автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Адаптивное управление одним классом нелинейных объектов на примере выращивания кристаллов из расплава

Г8 ОД

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

ПАНИН Дмитрий Натанович

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНИМ КЛАССОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ПРИМЕРЕ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ ИЗ РАСПЛАВА

1бииальиость 05.13.01 - управление а технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени канпидата технических наук

Носка« - I994

Работа выполнена в Центральном НИН комплексной ав матиэации.

Научный руководитель - доктор технических наук, л фессор Ядыкин И.Б.

Официальны* оппоненты - доктор технических наук, п фессор Борзенко И.М., доктор технических наук Лотоц в. А.

Ведущая организация - Московский институт химичес го машиностроения.

Защита состоится 1994 года а час. на «а

дании Специализированного совета N 1 (Д 002.68.02) Инс тута проблем управления по адресу: 117806, г. Москва, Профсоюзная, д. 05. Телефон совета: 3349329.

С диссертацией можно ознакомиться а библиотеке инс тута проблем управления (автоматики и телемеханики).

Автореферат разослан апреля 1994 года.

Ученый секретарь Специализированного совета N 1, доктор технических наук

Акиифиев В.К.

О КОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы, Научные исследования, свя->анныо с разработкой лроцоссоо аырацивания кристаллов из эасплаваа, являются а настояпаэ вромя чрезвычайно актуальными. Это оыэоано том, что современная микроэлектроника >стро нуждается о бездефектном монокристаллическоы крвмни-германии и т.п. для производства больших и сверхбольших «нтегральных схем, закипающих господстзуюшоо положение» на жропом рынке. Проиэ&одстоу полупроводниковых материалов >тводится одно из ввдузих мест в развитии современных тех-«опогий о РФ.

Одним из основных способов получения кристаллических юлулроводникооых материалов является способ Чохральского шращивання кристаллов из расплава. Этим способом проиэоо-|ится до ЗОЯ всех кристаллических полулроаодникосых питательных схем на кремнии и германии. Использование »того :пособа позволяет увеличить производительность установки ю выращивания.

Таким образом, исследования объекта и управлений •тип пооцэссои становится все более актуальным.

Цель работы. Цель работы состоит а разработке I применении субоптммальимх адаптивных алгоритмов улоавлв-1ия для нелинейного обьехта на примере вырадованкя иоиок-жсталлоа кремния мэ расплава иетодои Чохральского. Методы исследования,

Обаая методика исследования опирается на методы те-

опии оптимального управления. теории абсолютной устойчивости и теории случайных процессе:;.

Научная новизна работы состоит о слвдуюкои :

- синтезирован н исследован алгоритм аналитического конструирования регуляторов с ограниченной структурой. в том числе широко применяемых о инженерной практике ПИД регуляторов;

- синтоаиросон алгоритм субоптнмального «опального управления замкнутой линейной системой на баэ© критерия гарантированной устойчивости;

- лолучэны условия существования решения задачи аналитического конструирования регуляторов с ограниченной структурой:

- введен в рассмотрение ноздй класс полокительно-дмс-сипативных систем и для »того класса доказана сходимость оценок параметров, линейно оходяиих в модель, к истинным значениям и определена скорость сходимости.

- впервые для управления процессом выра&«иганип кристаллов из расплава разработана и внедрена система субол-тималького управления и оценивания.

П08ктяческвя_реализация результатов работы заключалась а разработке системы управления верхнего уровня процессом роста моиокристаллического кремния из расплава методом Чохральского на установке типа "Рвдиет-30" и вычислительном комплексе сиги. Созданная система оформлена в виде пакета прикладных программ и внедрена на По-

дольском хиинко-цаталлургическси з'азода. Результаты применения системы подтввжяается соответствующим актом.

Апйобгщия.рабрты^ Оскоаныа результаты работы были доложены

- на седьмой всесоиэиой конференции по процессам поста и синтеза полупроводниковых кристаплоа и опенок, г. Новосибирск, июнь 19сб г.

- на симпозиуме IРАС/IMACS по САПР систем управления, г. Алма-Ата, нянь 1939 г.

- на симпозиума IFAC по оценке стратегий адаптивного управления в индустриальных применениях, г. Тбилиси, октябрь tsas г.

CJRXKT^Pfi_H_o6>^4_pa6pTWf. Диссертация состоит и» овод^нип, трах глаа, ааклвчсния и списка цитируемой литературы. Работа содержит 103 машинописных страниц, 31 библиографические нвимомоааиио»

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Pq____ведении обосиссмоавтся кратко актуальность темы, Сформируется ц»Л1» диссертационной работы, отмочены научная новизна и практическая значимость результатов.

DL ШРМйЛ .Т.П.& в о расс:»от{элмм общие вопроси н за~ дичи автоматического упраэлонкя, воаникакцно о исслелооа-ниях процесса роста монокристаллов из расплава иатодса Чохральского.

Вырациванне искусственных кристаллов - технологии«-

- в -

скнй процесс, предназначенный для получения сверхчистых материалов с заданным строением кристаллической решетки, формой кристалла » содержанием легирующих примесей. На первой стадии его автоматизации среди проблей управления наибольшее внимание привлекает задача стабилизации роста внешней поверхности (формообразования) -кристалла. В большей степени. это связано с отсутствием In sHtu контроля других параметров, а также с требованиями потребителей высококачественных материалов к геометрии кристаллов. Вероятно, на выбор направления автоматизации оказали также влияние пока не формализованные феноменологические представления о взаимосвязях между электрофизическими характе-ристсками кристалла и процессом его формообразования. Проведенные исследования показали , что стабилизация переменных системы кристалл - расплав одновременно улучшает распределение примесей в объеме теле, уменьшает вероятность возникновения структурных дефектов, обеспечивает устойчивый бездислокационный рост.

Процесс формообразования кристаллов по способу Чох-ральского будем рассматривать при следующих предположениях:

1) фронт кристаллизации (поверхность раздела твердой и жидкой фаз) плоский:

2) кристалл изотропный:

3) столб расплава (мениск), поднимающийся аа растущим кристаллом, представляет собой тело вращения, внешняя

поаерхность которогр образована вращением однозначной кривой мениска вокруг вертикальной оси г (оси роста);

А) угол встречи кривой мениска с растущим кристаллом раоен в|я0|°±вв, где

5|в - угловая постоянная (угол между касательной к кривой мениска и образующей поверхности кристалла в гочкс встречи трех йаа), ав - угол отклонения >бразу»!цвй поверхности кристалла от вертикальной оси;

5) угол встречи поверхности расплава с тиглем ра-!вм а/2.

При этих услозкях исследование (формообразования (росте вневной поверхности) кристалла сводится к анализу движения точки встречи трех фаз на плоскости (г,г) (рис.1), (оложениэ этой точки относительно начала координат опроде-шотся двумя независимыми координатами (степенями свобода): радиусом Я кристалла и высотой Л столба (мениска) »асплава. Для определения относительного движения точки относительно неподвижного элемента элоктроггочи) введена рвтья (осевая) координата - высота уровня расплава в тиг-¡е или пропорциональная ей касса расплава в тигле. Для 'казенных трех независимых переменных составлены ди£<5>орви-¡иальныа уравнения движения с использованием уравнений впло- и массолереноса о системе кристалл - расплав и ди-аынки внешней поверхности кристалла с учетом капиллярных впений о малой окрестности точки эстрачи трех фаа.

Дифференциальное уоаемакка даижаммя систем кристалл

Расчетная схема <рормоо0/>аъо6с/ния kpuomajMoè Мйтодом Чохрсмьокоы

- расплав имеет вид:

0<Х)Х в F(X.U.u), ( f)

где X - трехмерный вектор состояния с компонентами R, h, Mi ; U - 2-мвопий вектор управления с компонентами ир, irr; u - 2-мерный вектор возмущений; F

- трехмерная нелинейная вектор-функция: 0(Х)-3»3-фуикци-оиальная матрица, элементы которой зависят от вектора X.

Первое ураанение системы (1) - отражение чисто геометрических зависимостей в росте кристалла ииллиндрической Формы с учетом решения двухточечной краевой задачи капип-ляоности Лапласа.

Второе уравнение - эахон сохранения тепловой энергии на Фронте кристаллизации:

ai «а» ♦ LVi г» , где a=-a*G - поток топпа, а знак минус означает про-тивонапоавленность векторов в и q.

Третье ураанение - закон сохранения массы в замкнутой физической системе: начальная масса загрузки неизменна и равна сумме масс выращенного кристалла, мениска, под-кристального столбика расплава и массы расплава о тигле (последняя служит одной из переменных состояния). Угол в| - неявная функция R и h:

M+hDcosöi /(2R) - ö<l-ainöi )«0,

Состояние системы кристалл - раеплао при неизменной Форме раетуваго называет стационарным режимом роста, который описывается некоторым решением нелинейного диффвреици-

альмого уравнения (1), которое поймем фундаментальным для дальнейшего анализа, потому что стационарный режим роста является желаемым (идеальным), так как именно стабилизация геометрических характеристик кристалла есть цель управления.

При этом в случае циллиндрической- Формы кристалла имеют место соотношения:

Я=Яо=сопв1, е.=о, Ь=МПа, 8«0 )=Ьо . Третья фазовая переменная является функцией времени

Х*°(П=Хзо+[ Тз (I Э/йзэ , где Хзо - начальное условие. Таким образом, фундаментальное решение уравнения (2), описывающее стационарный режим, имеет следующие компоненты;

Яо , Ы>. Хэ 0 .

Представим векторы состояния, управления и возмущений в виде сумм двух составляющих: Х=Хо+Х~. (невоэму-щенное) решение уравнения (2), Х~ - вариация вектора состояния; и0 - медленно изменяющееся управление, которое формируется по априорным и текущим данным: 1Г быстро изменяющееся управление, которое вычисляется по выходным сигналам датчиков системи кристалл - расплав: ц° - медленно изменяющиеся возмущения, среди которых выделим внутренние и внешние. ц~ - быстро изменяющиеся возмущения (помехи).

К внешним возмущениям системы кристалл - расплав от-

несем скорость но0.вытягивания кристалла, изменяющуюся в течение технологического процесса. Это осуществляется с цолыэ получения равномерного распределения удельного сопротивления по длина кристалла полупроводникового кремния. Внутренние возмуыенин порождаются самим способом выращивания коисталлоо, а результате которого изменяются (в процесса роста) теплопередача а расплаве и кристалле. В дальнейшем, несмотря на разную природу тепловых возмущений, приведем температурные возмущение и управление к температур» основания столба расплава в виде:

То =Too+Ut о+цто , где Too - постоянная температура. что. Uto - температурные возмущение и управление соответственно. Кроме указанных воэмуиений. на систему кристалл

расплав действуют быстро изменяющиеся возмущения ц", обусловленные несоеэошенетоом механической. электрической и электронной аппаратуры.

Лооведем линеаризации нелинейного дисЬгйаренциального уравнения (1) относительно иевознуменного решения Хо. Линейное дифференциальное уравнение имеет такой вид:

DX~ = АХ" ♦ В(1»"+ Ц~). (2)

X~(t« ) * Х~в ,

где X" - трехвгормыЯ вектор состояния: U" - 2-«ариый вектор управлений; и" - 2-ивРный вактор ооэыуввимД: А, В, О - матрицы соответствующих размерностей.

- 12 -

Датчиками состояния системы кристалл - расплав могут быть весовой и оптический. Они контролируют (в линейном приближении) одну компоненту вектора состояния X" или их линейную комбинацию. В случае применения весового датчика, уравнение наблюдения имеет вид: у(г) = м~.: у(П = - М"| . где М~. - отклонение приведенной массы кристалла (с учетом сил поверхностного натяжения), М""| - отклонение массы расплава в тигле от их значений во времени для стационарного режима роста. При контроле массы расплава в тигле знак в уравнении изменяется на противоположный. Уравнение наблюдения в случав использования олтоэлвктроиного датчика имеет вид:

у = Н~ * огЬ".

где с»»«1вв|®.

Зависимость элементов матриц А(0, ВС*> от времени обусловлена скоростным цо, тепловым цт возмущениями и отсутствием у динамической модели состояния равновесия, т. е. тем, что линеаризация производится вдоль некоторой траектории - фундаментального решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. Как показали физические и вычислительные исследования, скорость изменения функций Цоо и

цто, а следовательно, и элементов матриц А(1), В(г) мала по сравнение с динамикой формообразования кристаллов. Поэтому при исследовании устойчивости м расчете

:истемы управления с обратной связью будет принята гипоте-а квазистацнонарностм.

Исследуем устойчивость иеоозмущвнного движения 0 нелинейного дифференциального уравнения (1), ис-ользуя первый метод Ляпунова, состоящий в анализе устой-ивости линейного диДйореициальиого уравнения первого риближения:

X" = <ЭХ~, Х~(Го ) в Х~о , да <3 « О"'А. После проведения идентификации матрица

оказалась неустойчивой и, таким образом. неустойчиво умдаментальное эезение Xе нелинейного дмФФаооициали-ого уравнения (1), крона того многомерная система упоав-ения оказывается мсмкиинальнофазооой.

Управление объектом, имевшим неминимаиьио-баэову» атричну» первдаточну» функцию (пряные нули), значительно худоаот динамические характеристики замкнутой системы, озтоиу одной нз задач синтеза системы управления явпкет-я уменьшение млн исключения правых нулей о системе упраа-ения.

При заданном объекта управления (матрицах А.О) число тип каналов управления (структура входя, опролелявялал атрицу 0) и наблюдения (структура выхода, опредоллкмаая атрицу С) является предметом проектирования.

во второй гпаса разработаны методы синтеза атрнчных регуляторов с ограниченной структурой, то есть егуляторов, использугзмих неполный ооктоо состояния для

Формирования управлений, что приводит к грубости систем* управления, как показывает пример широко применяемых в инженерной практике ГШ и ПИД - регуляторов, являвшихся частным случаем регуляторов с ограниченной структурой - »тс легко видеть, если система приведена к каноиичнской Форм« фазовой переменной по выходу, то есть*вектор состояние представляет собой скалярный выхо£ и его последовательны« производные до (п-1)-го порядка включительно. Метод перехода к такой форме описан во второй главе.

Рассмотрим объект управления, описываемый системой линейных дифференциальных уравнений:

X ■ АХ ♦ ви, (3)

где Х- п-мерный вектор состояния, и- ш-мерный вектор управлений. А,В - управляемая по Калману пара постоянны) матриц соответствующих размерностей.

Оптимальное управление должно обеспечивать на траекториях системы (3) минимум функционала качества:

<1 < 1 (<Х,ОХ> ♦ «и,(*и>№. С)

где Н>0,0- постоянные симметричные весовые матрицы соответствующих размерностей.

Пусть наблюдаются лишь первые 1<п компонент вектор« состояния X. Найдем оптимальное управление в классе линейных по »той части вектора состояния уравнений обратно! связи:

и * 8МХ, С5]

где 8- подлежащая определению м«1 матрица обратной связи

- 15 -

I - 1*п матрица, имемяая вид:

М » I Н) | О 1. 1одставим (5) в (3), тогда

X » (А ♦ ввМ)Х. 'бозначим 6(8) я А * ВШ. Т(Б) « О ♦ М75ТЯ5М. огда Функционал (4) запишется в виде:

Л * <Хо , в*р(0Т1 )Т(8)еяр(в1 )<И*Хо> (&)

де Хо - вектор начальных условий для системы (3). >боэначим Р « ехр(вт1)Т(8)«хр(ог)<К. Если собствен-ше числа матрицы 0(8) имеют отрицательные действительны* асти (замкнутая система управления устойчива), то Р -ходяаийся интеграл. В этом случав Р удовлетворяет уоавне-1и» Ляпунова:

втР ♦ РО + Т е О аким образом, минимизация функционала (*) превращается в 1ИНИМИЗВЦИ» по & квадратичной формы:

в* « агвпИп<Хо,Р(8)Хв>. (V)

ак что осуществлен переход к задаче конечномерной пара-1етрической (по в) оптимизации. Рассмотрим оператор Р(8), [ействуюций ив пространства (я*1) - матриц 3 (то есть ив I"1) в пространство (п*п)- матриц Р (то есть в I"*). Для'выполнения (в) при лвбых X* нвобхо-|ИМО. чтобы

-Р'<3*> - СРЧбМГ, (9)

А* Р* - производная Гато оператора Р(8), в* - олти-■альная матрица обратной связи. Соотновеиие (в) упро«а«т-

ся, если заметить, что Р* должен быть одновременно симметричным оператором, тах как является пределом разност» двух симметричных операторов по определению проиэводно( Гато:

Р* = НгоЬ-'(Р(8-Н1б8) - Р(Э)) при Ь * О. где 8Э 6 Я"1, И € Я». Матрица Р симметрична при любом аргументе оператора Р(в), так что выоажени« в скобках всегда симметрично. Итак, оператор Р' одновременно симметричный и кососимметричный. Этим успо&иям удовлетворяет только рулевая матрица, то есть

Р'(5*)=0. (10)

Продифференцируем (7) по 5, учитмаая (10). Получим (индекс "*" опускается в дальнейшем для простоты записи): (РВ+(Я5М)Т ЭбБМ + [(РВ+(Я8М)1Г )65М1Т «= 0. Для того, чтобы (11) выполнялось для любого бБ необходимо и достаточно выполнения равенства:

РВ + Мт 8Т Я = 0 0 % *

Алгебраические матричные уравнения (7) и (12) образует систему с двумя неизвестными матрицами Р и в: Рв + (ЯвМ)* =0

(А+В8М)*Р + Р{А+ВвМ) + О + = 0

Обсудим вид матрицы Р в случае М=ГЕ||01, 1<п. Тогда для того, чтобы (13) было разрешимо, Р необходим' имеет блочный вид. такой что 1 имеет размерность )•), правая верхняя клетка нулевая в силу симметоичност матрицы Р. Разобьем матрицы А, В, в, О на такие же блоки

Для совместности (13) необходимо. чтобы 0г*=0. При этом (13) можно преобразовать. опуская индекс "11" у подматриц А, В, 6, Р, О к виду:

в а А ♦ Вв

етр + рб + втдв + 0 = 0 (440

в * "Й-'ВТР

РА1 г = - 01» (44")

Подсистема (14') определяет регулятор состояния для подпространства, натянутого на первые 1 компонент вектора состояния. Эта подсистема совместна и имеет решением !•) матрицу Р|1>0 (если 01»>0). когда пара (А11.В11) управляема. Однако, должно удовлетворяться и условие (14"). Так как 01 г не входит в (14*), то для совместности (14) необходимо, чтобы О1г имела еид (14"), где Р11 определяется из (14*). Это требование не очень жесткое, так как весовая матрица О назначается достаточно произвольно. Так как О становится энаконэолоеделенной дпя существования конечного минимума (4) необходимо и достаточно выполнения частотного условия Якубовича для всех действительных **:

< ( 1*»Е-А)-» В)т0( 1*Е-А)-» В+И>0. (1$)

Матрица Р блочного вида является, очевидно, ранением уравнения Риккати для системы О) с аесовой патрицей О о функционале качества (4), имеющей вид:

0« 1 -Р» 1 А11 -(Р11 А» 1 )т

О =

(46)

Заметим, что при дифференцировании уравнения Ляпунова матрица О считалась постоянной, м ее производная принималась равной нуле. Однако, О в виде (18) зависит от S. Но оказывается, что Q4S* )=0, так как Он «const, Ait=conet. P't«(SV)«0 в силу оптимальности S* как регулятооа состояния для лары Ан» вн. так что ни один из блоков матрицы О вида (10) не зависит от S в S*. Поэтому от S а S* не зависит и вся матрица Q.

Вышеизложенное позволяет сформулировать основную

ТЕОРЕМУ:

Решение задачи минимизации (4) на траекториях (3) при управлении (5) с ограниченной структурой (при 1<п) существует и единственно тогда и только тогда, когда выполняется частотное условие Калмана - Якубовича (15) с матрицей Q вида (16), зависящей от матриц А и В. так что »то решение есть регулятор состояния для подсистемы (3). натянутой иа наблюдаемы* компоненты вектора состояния.

Далее описанный метод параметрической оптимизации распространяется на случаи дискретного времени и случайных помах, после чего описывается следующий метод синтеза регулятора с ограниченной структурой, основанный на применении критерия Гершгорина локализации .характеристических чисел квадратной матрицы: каждое собственное число расположено а круге с центром » ди и радиусом, равным сумме модулей внедиагональных элементов i-го столбца мат-

рицы О. Если для каждого столбца добиться минимума правой границы соответствующего круга Гервгорина, то все круги передвинутся «лево на комплексной плоскости, что приведет к увеличение sanaca устойчивости САУ. Пои минимизации лра-вой границы 1-го круга Гермгорина необходимо, конечно, учитывать и ограничения на элементы матрицы обратной связи S.

Итак, постановка залачи такова: добиться минимума правой границы 1-го круга Гервгорина:

• «й > f7 X Г i*«i ♦ i

f**>

при ограничении на элементы матрицы обратной связи S:

|S) I |Soi I . С ff)

Целевая функция (17) нелинейна и имеет неудобный для аналитического реиения вид. Поэтому целесообразно минимизировать по ем некоторую оценку (17) сверху. При «том, конечно, найденное решение будет субоптимальным • смысле (17), .(18). Оценим (17) сверху, иелольауя неравенство треугольника:

j *♦» J

Новая целевая Функция (19) ма участках аиакопостояиетва вц линейна и, разбив (1в)иа два ограничения,

*« >< вп $ О <">

можно рассматривать задач/ с ограничениями (20) как задачу линейного программирования. Для каждой комбинации условий (20) для всех i при Фиксированном номере столбце i необходимо решить соответствующую задачу линейного программирования. Всего этих задач возникает 2» (так как для каждого 1 есть два возможных ограничения). Из »тих решений следует выбрать минимальное J~>, которому соответствует i-тый столбец субоптииалькой матрицы обратной связи. При этом если J~.<0, то эта обратная с&язь гарантирует устойчивость САУ, в противном случае такой гарантии нет.

Отметим, что если наблюдаются первые 1 компонент вектора состояния, а п-Т последних столбцов матрицы А имеют круги Гершгооина в левой полуплоскости, то мокио задать матрицу S в виде:

sil.....sil i 0

: : 1 0 s« 1.....s. I I 0

и изменять < при минимизации J~« от 1 до 1.

При этом будет реализован регулятор по честн вектора состояния, гарантирующий устойчивость САУ, если J".<0. Практическое значение имеет управление по двум компонентам вектора состояния, которое можно интерпретировать как ПД - регулирование по выходу.

Использование алгоритма линейного программирование приводит к оеюениа в одной из веснами или на грани о—мерного параллелепипеда пространства параметров настройки оегу-

- 21 -

ятора (элементов матрицы S), т.е. настройки регулятора сегда будут иметь граничные значения. Менее жесткие ре-ультаты можно получить, если |sii|ai, что до-тигавтся надлежащей ноомиоовкой. Тогда (19) допускает ценку сверку:

-sr/e-tis/i-с**)

Л Л J J

кодифицируя (20) в

si i » S 0 * max ai i » (ZZ)

используя (21). придем к следующей задаче нелинейного ¡рограммирования с ограничениями для определения 1-го толбца субоптимальной матрицы обратной связи:

Ji " —min: Bii* SB: j = 1,2....m 1адача (23) удовлетворяет условиям теоремы Куиа-Таккера. Гак как целевая функция выпукла, то условия теоремы достаточны. Лоэтом'у, чтобы в (23) достигался условный минимум, необходимо и достаточно, чтобы: dL/dsii » О, где

L в Ji ' - I Mi (в| | * - в) - функция Лаграмжа для (23), щ - множители Загранжа.

В_третьей глав» описывается некоторый класс

нелинейных объектов управления, линейных по параметрам и таких, что имеет место сильная состоятельность оценок UHK •

Рассмотрим задачу идентификации вектора в по

наблюдениям за сигналом

yt ♦ 1 = <0t , Qt > + rt. t Процесс Qt измерим относительно о-алгеб-ры Ft«(ti , г...... г«). Уравнения рекуррентного МНК для последовательности оценок Ot имеют вид:

в' = в ♦ Р*(у'-<6.0>) Р* в Р - PD* (1 +<0' .РП" >)" ' О'т Р. где штрих соответствует моменту t-И. а его отсутствие моменту t, Pt -последовательность матриц, обратных к информационной:

Pt-' * Rt в.Ro + (24)

* Xi * <Qk ,0ь >

Оценки МНК сильно состоятельны, если информационная матрица (24) удовлетворяет неравенству:

a»tE < Rt < a"tE. (2S)

P(a. >0) e 1, o*(a") < const Очевидно, что если каждый из регрессооов Q* удовлетворяет для любого к и любого X из R" неравенству:

0 < 0» « О» * , (2. Ь)

то выполняется (25).

Возможно. что (20) не выполняется-для произвольных виачений X. Пусть, например, Q зависит от X мультипликативно:

(г?)

0» * п XI"

1ои этом, конечно. (26) не выполняется для любого X из Р. Существует, однако, класс объектов управления. в оторых X с X* € R". а на X* (2в) для D вида 27) выполняется. Аля таких объектов известное определено диссипатиеностн как принадлежности траекторий системы екоторой замкнутой односвязной области пространства со-тояний должно быть усилено.

Для существования Q для любого а е. * введем следующее определение:

Система п разностных уравнений Xt.1 = F(Xt . Ut ) азывается положительно диссипативной. если при t' > е выполняются неравенства:

О < хк < хи" = const, к = 1.2___п.

ТЕОРЕМА. Если:

1. Объект, параметры которого подлежат идентифика-ин, обладает свойством положительной диссипативности.

2. Лииоеи по идентифицируемым параметрам.

3. Рогр.ассоры зависят от компонент вектора состояния ультипликзтиаио. Тогда оценки РМНК для неизвестных пара-етроа сильно состоятельны. Доказательство следует из тоо Факта, что ма области X". принадлежащей положительному ртанту R", рогрессоры вида (27) удовлетворяют нера-еиству (26). а информационная матрица - неравенству 25), так что гарантируется сильная состоятельность оце-ок РМНК. Таким образом, определен класс нелинейных объек-

тоа управления для которых (при мультипликативно завися ких от компонент вектора состояния регрессооах и линейно зависимости -от неизвестных параметров) РМНК гарантируе сильную состоятельность оценок-параметров. Эти объект диссипативны и их аттрактор целиком должен лежать.в пола жительном ортанте R* (где п размерность вектора состояния).

Критерием верификации модели служит сходимость оце иок параметров линеаризованной четырехмерной модели к ¥ значениям, полученным при идентификации нелинейной треп мерной модели пг.ямым МНК по результатам активного экслер» мента.

Неизвестными в линеаоизоваиой модели являются два ni рамет-''ft лгг и аг». "Истинными" значениями неизвестных параметров приняты значения, полученные пои ид< итификации трехмерной нелинейной модели в пеооходн< режиме.

Для применения стандартной процедуры РМНК пеоедато мая матрица системы управления записана по г.«пеням ко ллексной переменной * я соответствии с алгоритмом «адд ееа - Леаеррье:

у<в)«С(вС^ *í-,BU(e)«U(e)»XK¡ •» /det(aO-A). Сг<

где С"ГОм(1.с.О,О), F| - матричные коэффициенты при-соедин'<<ной матоииы для *0-А: Kt =CF| в. j»r.".2.3. Коэффициенты характеристического многочлена

[атрицы числителей передаточных функций зависят от изве-тных и неизвестных элементов матриц А,B.D. Собирая в ла-ой части все известные величины, а в правой - неизве-тные параметры аг», ais с сомножителями и аыеняя кажду» степень з на• соответствующий полином от пвратора сдвига назад на один такт, запишем (28) в ане:

Vt Я <в«-1 , Qt-1 > + at ,

дв Vt - Фиктивный выход (упомянутая последователь-

ость значений суммы известных величин в (28),

t - регрессоры (последовательность сомножителей

ри неизвестных параметрах), 8=соИаи,

а»), a - помеха. В выражения для V и О вхо-

!ят первые 4 разности последовательности значений выхода

первые 3 разности каждого из управлений Up и г, само управление Up в момент времени t-1, а акзке текущее значение выхода у в момент t. Получено:

аги=-0.31, аг*=0.19»10-*. равнение полученных оценок с "истинными" (-0.32 и 02*10-*) показывает, что оценки близки к теоретиче-кии, сходятся оценки примерно sn 40 сэагов.

В_заключении приведены основные результаты

¡иссертации и акт о внедрения описанных алгоритмов в рам-:ах программного комплекса "Регулятор" иа Подольском хи-1Ико - металлургическом заводе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена физически адекватная нелинейная динамическая модель роста циллиндрического кристалла из расплава по методу.Чохральского. Определены условия существования стационарного режима роста кристалла. Произведена прямым методом наименьших квадратов идентификация параметров этой модели в переходных режимах при активном эксперименте.

2. Нелинейная модель неустойчива по Ляпунову, но обладает свойством диссипативности, то есть о пространстве состояний системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс роста кристалла - динамической модели объекта, имеется притягивающее множество (аттрактор).

3. Осуществлено решение задачи синтеза линейного матричного регулятора с ограниченной структурой для линейного объекта управления нп основе использования алгоритмов параметрической оптимизации, размещения областей локализации полюсов замкнутой системы управления и прямого использования методов поиска акстремума Функции нескольких переменных. Указаны условия применимости методов.

4. Введено определение канонической формы Фазовой переменной по скалярному выходу для линейных систем управления. Разработан алгоритм перехода к этой форме - найдена матрице соответствувааго линейного невырожденного преобра-

■ сования.

6. Получено новое доказательство сильной состоятельности оценок Ш в случае ограниченных в пространстве

- 27 -

i регрессоров. Определен класс т.н. положительно иссипатипных систем, для которых рогрессоры, мультиплика-ивио зависящие от компонент вектора состояния, оказывают-я ограниченными и положительными в Хг , что гаранти- , ует сильную состоятельность оценок МНК линейно входящих модель параметров.

б. Произведена программная реализация синтеаирован-м алгоритмов управления и оценивания, а результате кото-зй создай программный комплекс "Регулятор". ПК "Регуля-jp" успешно прошел промышленные испытания на Подольском 1мико - металлургическом заводе и принят в промышленнув «сплуатацию. что подтверждается соответсвующим актом.

Публикации

1. Дмитриева A.A., Лейбович B.C., Панин Д.Н., Определимо параметров динамической модели процесса роста крис-1ллов полупроводникового.кремния, Цветные металлы, 1989,

9

2. Ланий Д.Н., Применение линейных динамических моде-»й для построения регуляторов с ограниченной структурой,

кн.: Математическое моделирование объектов управления, (.'.научи,' трудов ЦНИИКА, м., Энергоатониздат, 1990.

3. Панин Д.Н., Применение критерия локализации поли->в сов для построения регуляторов с ограниченной структу->й, в кн.: Методы повышения эффективности , функциоиирова-ш АСУ. сб. научи, трудов ЦНИИКА, U., Эиергоатоииздат, Ю9.

4. А. С. 1554437 СССР. Способ автоматического управления ростом монокристаллов кремния, выращиваемых методов Чохральского. Ланин Д.К. и др., Опубл. в Б.И. 1990 г., > 12

5. Лейбовнч B.C., Ланин Д.Н., Автоматическое .управление формообразованием кристаллов по Чохральскому, в кн.: Процессы роста полупроводниковых кристаллов и пленок, Новосибирск, Наука, 1988, с.104

6. Лвйбович B.C., Ланин Д.н., Фролова P.A. Сравнительный анализ динамики САУ процессов роста объемных кремниевых кристаллов по Чохральскому, тез. докл. 7 конф. п( процессам роста и синтеза полупроводниковых кристаллов i планок. Новосибирск, 1986, с. 126

7. Дмитриева A.A., Лейбович B.C., Ланнн Д.Н., Прогноз теплового режима в процессах выращивания кремниевы. монокристаллов методом Чохральского, Цветные металлы 1992, N 7.

в. Lantn Ü.M., YadyMn I.e., The CAD of regulator with constrained structure. In: Computer - aided contro systems design, IFAC/IMACS Workshop, Moscow, 1989, p.92

9. Canin D.N. et a1., Optimal adaptive control о the crista) growth from the melt, In: Evaluations of adap tive control strategies In induetrial applications, Moo сow, 13S9, p.28

10. Zalyaev A.I., Yadykin I.B., Lanin O.K. Leibovich V.S., Adaptive control of silicon crysta

jrowth with suborn 1mnl reference model, fn: IFAC Evaluatl->n of adaptive control systems, Lohdon, Perqaeton Prees, 1989. p. 275

Личный вклад aarona Все результаты, состааляюяие основное содержание яис-:еотации. полумены автором самостоятельно.

В оаботах. опубликованных о соавторстве, автору лри-юдпежот методы ограниченного синтеза регуляторов и оцени-юния ларамотроо нелинейных диссипативных объектов.

Зои. 394. Tip.100. HAT.

117806. Москва ГСО-Т. профсоюзная. 63.

Ввсгвтут проблем управленн«.