автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Адаптивное кодирование в многочастотных системах

На правах рукописи

Трифонов Петр Владимирович

Адаптивное кодирование в многочастотных системах

05 13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации (информатика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург — 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет"

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Крук Евгений Аврамович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Колесник Виктор Дмитриевич кандидат технических наук, доцент Алмазова Вера Сергеевна

Ведущая организация Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится 26 мая 2005 г в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 229 18 ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу 195251 Санкт-Петербург, Политехническая ул 29, 9-й учебный корпус, аудитория 325

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу 195251, г Санкт-Петербург, Политехническая ул , 29

Автореферат разослан 25 апреля 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета

В Н Шашихин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Бурное развитие микроэлектроники, имевшее место в конце 20 века, создало возможность для реализации сложных высокопроизводительных вычислительных систем, используемых в настоящее время практически во всех отраслях народного хозяйства Это в свою очередь потребовало организации взаимодействия этих систем, причем с ростом их производительности растут требования к скорости и качеству связи между ними Для эффективного функционирования подобных систем необходим точный учет текущего состояния среды передачи данных По мере его изменения необходимо осуществ лять подстройку параметров системы связи с целью минимизации мощности передатчика, требуемой для поддержания заданного качества связи Таким образом, возникает задача управления параметрами передатчика Несмотря на то, что в теории информации были построены решения для этой задачи, их нельзя признать удовлетворительными с практической точки зрения Причиной этого является оптимизационный критерий исполь зуемый в подобных теоретико-информационных исследованиях, а именно максимизация суммарной (или взвешенной) пропускной способности всех пользователей системы Это не позволяет учесть ограничений, связанных как с невозможностью достижения пропуск ной способности канала с помощью существующих методов передачи информации так и с необходимостью поддержания определенного качества обслуживания отдельных пользователей системы В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов адап тивной передачи, учитывающих вышеприведенные ограничения При этом использование многочастотного метода передачи, получившего широкое распространение в последние годы, позволяет существенно упростить реализацию соответствующих оптимизационных алгоритмов, а также допускает использование при анализе системы достаточно простых математических моделей

Построение адаптивной системы передачи данных требует наличия нескольких методов кодирования и модуляции обеспечивающих различную степень защиты передаваемых данных от помех При этом особую важность имеет эффективная реализация используемых методов обработки информации, в частности кодирования и декодирования корректирующих кодов Алгоритмы кодирования и декодирования многих корректирующих кодов включают в себя классические вычислительные примитивы, такие как циклическая свертка, поиск корней многочлена, дискретное преобразование Фурье и т п При этом в большинстве случае вычисления производятся в конечных полях Несмотря на то что известны быстрые алгоритмы решения указанных задач, во многих случаях их непосредственное использование при реализации алгоритмов кодирования и декодирования оказывается крайне неэффективным как в силу специфики вычислений в конечных полях, так и в силу ограничений, накладываемых структурой алгоритмов кодирования и декодирования В связи с этим возникает задача эффективной реализации соответствующих вычислительных алгоритмов

Целью данной диссертационной работы является построение методов оптимизации

параметров кодирования в многочастотных системах, позволяющих снизить мощность передатчика, требуемую для достижения заданного качества работы системы В рамках работы решаются следующие задачи

1 Разработка методов настройки параметров помехоустойчивого кодирования, модуляции, разделения канала и распределения мощности в зависимости от текущего состояния физического канала связи

2 Эффективная реализация соответствующих процедур обработки информации при кодировании и декодировании данных

Предметом исследования являются оптимизация параметров схемы передачи данных в многочастотных системах, а также алгоритмы обработки информации, применяемые при кодировании и декодировании корректирующих кодов, используемых в подобных системах

В данной работе используются методы теорий цифровой связи, условного экстремума, помехоустойчивого кодирования, чисел и коммутативной алгебры

Достоверность полученных результатов обеспечена сопоставлением результатов теоретического анализа и имитационного моделирования, а также наличием программной реализации всех предложенных методов

Научные результаты и их новизна

1 Построен циклотомический алгоритм быстрою преобразования Фурье (БПФ) над конечными полями, на основе которого разработан метод вычисления вектора синдрома при классическом декодировании кодов Рида-Соломона Данные алгоритмы обладают наименьшей сложностью среди известных аналогов

2 Разработан метод оптимизации разделения канала, распределения мощности и скорости передачи в многопользовательских многочастотных системах вещания, позволяющий получить существенный (около 5 дБ) энергетический выигрыш по сравнению с известными методами

3 Предложен метод адаптивной передачи в многочастотных системах на основе многоуровневого кодирования, позволяющий повысить точность адаптации по сравнению с существующими методами, что приводит к снижению требуемой мощности передатчика на 2 дБ по сравнению с существующими методами

4 Разработан метод быстрого нахождения корней многочлена локаторов ошибки при классическом декодировании кодов Рида-Соломона, обеспечивающий снижение сложности одного из этапов декодирования в 2 - 6 раз по сравнению со стандартными методами

5 Предложен метод двумерной интерполяции при списочном декодировании кодов Рида-Соломона, позволяющий построить параллельную реализацию вычислительно наиболее сложного шага алгоритма Гурусвами-Судана

Практическая ценность работы состоит в разработке методов адаптивной передачи в одно- и многопользовательских системах, позволяющих существенно снизить требуемую мощность передатчика, а также методов декодирования некоторых классов кодов исправляющих ошибки, со сложностью, существенно меньшей по сравнению со стандартными методами Предложенный метод адаптивной передачи в однопользовательских

системах при использовании кодов длины 3200 обеспечивает функционирование системы при вероятности ошибки на бит порядка 10~7 на отношении сигнал/шум, превышающем предел Шеннона всего на 3 децибела Данный метод может быть также использован и в многопользовательских системах Предложенный метод адаптивной передачи в многопользовательских системах на основе кодового разделения позволяет снизить мощность передатчика, требуемую для достижения заданных параметров работы системы, на 5 дБ по сравнению с наилучшим известным автору методом, использующим частотное разделение Предложенный метод нахождения корней многочленов над конечным полем обладает наименьшей сложностью среди известных аналогов Предложенный алгоритм БПФ имеет наименьшую сложность среди известных алгоритмов на длине по крайней мере до 512 и позволяет построить алгоритмы вычисления синдрома при классическом декодировании кодов Рида-Соломона, обладающие наименьшей сложностью среди известных методов

Публикации и апробация работы Предложенные методы были опубликованы в журналах IEEE Transactions on Communications [6], Проблемы передачи информации [3), European Transactions on Telecommunications [4 7], Информационно-управляющие системы [1], в трудах конференций IEEE International Symposium on Information Theory [8], IEEE Vehicular Technology Conference [10], International OFDM Workshop [9], XXXI Недели Науки СБбГПУ [2]

Прикладная реализация работы

По материалам диссертации получен Европейский патент [5]

Материалы диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры "Распределенные вычисления и компьютерные сети" СПбГПУ и разработки АО "Институт информационных систем и технологий" Указанные внедрения подтверждены соответствующими актами

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 176 наименований Материал работы изложен на 147 страницах машинописного текста, основное содержание на 130 страницах Работа содержит 39 рисунков и 7 таблиц

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы сформулирована цель и поставлены задачи проводимых исследований определены научная новизна и прак тическая значимость выполненных изысканий приведены сведения о публикациях и апро бации полученных результатов структуре диссертации раскрыто краткое содержание глав работы

В первой главе приведен обзор некоторых методов передачи и обработки инфор мации на физическом уровне современных телекоммуникационных систем используе мых в последующих главах диссертационной работы Приведены основные теоретике информационные результаты связанные с управлением параметрами передат шков теле коммуникационных систем а также описаны некоторые практические приемы реализации адаптивной передачи В результате их сравнительного анализа выявлены возможности по совершенствованию алгоритмов адаптивной передачи

Показано что для эффективного осуществления передачи данных в как в одно так и в мноюпользовательских многочастотных системах необходима адаптация используе мои схемы передачи к текущему состоянию частотно селективного канала Управление параметрами схемы передачи должно осуществляться на основе классического правила водонаполнения или его модификаций на случаи многопользовательских систем Прак тическая реализация этого правила приводит к необходимости использования дискретных скоростей передачи что требует некоторого увеличения мощности сигнала по сравне нию с идеальным решением оптимизационной задачи Таким образом можно ожидать повышения эффективности адаптивной системы в случае использования набора схем ко дирования/модуляции с малым шагом скоростей что может быть реализовано на основе концепции многоуровневого кодирования

В случае многопользовательских систем вещания обеспечение фиксированной ско рости передачи данных для каждого из пользователей может потребовать совместного использования подканалов для передачи данных нескольким абонентам что требует раз работки соответствующих оптимизационных алгоритмов

Использование корректирующих кодов требует эффективной реализации соответству ющих вычислительных алгоритмов В частности при классическом декодировании кодов Рида Соломона наиболее трудоемкими этапами являются вычисление вектора синдрома и поиск корней многочлена локаторов ошибок а при списочном декодировании с помощью алгоритма Гурусвами Судана — двумерная интерполяция Несмотря на то что известны быстрые алгоритмы решения этих задач в общем случае они оказываются неэффективны при использовании в декодерах корректирующих кодов как в силу специфики вычислении в конечных полях так и в силу ограничений накладываемых алгоритмами декодирова ния Таким образом возникает возможность снижения сложности декодирования путем построения специализированных вычислительных алгоритмов

В результате проведенного анализа современного состояния области адаптивной пе

редачи и вычислительных алгоритмов помехоустойчивого кодирования сформулирована цель и поставлены задачи диссертационной работы

Вторая глава посвящена построению адаптивных методов передачи для однопользовательских и многопользовательских систем

Рассмотрение проблемы адаптивной передачи начинается со случая однопользовательской многочастотной системы Как известно, принятый сигнал в многочастотных системах может быть представлен как г, = /.¿,s,+ ?),,г = 1 N, где s, — сигнал, переданный по 1-му подканалу, г], — отсчет аддитивного Гауссовского шума с дисперсией a1, /i, — передаточный коэффициент j-ro подканала Кавдый подканал может быть охарактеризован своим отношением канал/шум = |/i,|2/<r2 В соответствии с результатами анализа, выполненного в первой главе, для повышения точности адаптации в подобной системе необходимо наличие большого семейства схем кодирования и модуляции с малым шагом скоростей Описывается новый прагматический способ построения семейства многоуровневых кодов с указанными свойствами на основе заданного набора компонентных кодов

Предлагаемая процедура построения многоуровневого кода, использующего М-ичную амплитудную модуляцию и способного функционировать с заданной вероятностью ошибки на заданном отношении сигнал/шум состоит из следующих шагов

1 Для каждого из компонентных кодов С3 построить теоретически или путем имитационного моделирования кривую вероятности ошибки в зависимости от отношения сигнал/шум при передаче по аддитивному Гауссовскому каналу

2 Для каждого из имеющихся компонентных кодов С; найти отношение сигнал/шум

обеспечивающее заданную вероятность ошибки, т е решить уравнение Ptarget Это дает отображение г3 <-* ИЛИ г} «-> С(7,), которое также может быть аппроксимировано некоторой функцией — пропускная способность

аддитивного Гауссовского канала при отношении сигнал/шум Примеры аппрокси мирующих функций приведены в четвертой главе

3 Вычислить пропускные способности C,,i = 0 1—1 эквивалентных подканалов М ичной амплитудной модуляции с помощью стандартных выражений для пропускной способности эквивалентных подканалов в многоуровневом коде

4 Для каждого из подканалов г найти скорость кода г (С,), пригодного для использования в качестве компонентного на данном подканале Для кодирования данных на г-м уровне многоуровневого кода должен использоваться компонентный код из семейства с наибольшей скоростью, не превосходящей

Описанная процедура позволяет выбрать для каждого набор компонентных кодов, максимизирующих скорость передачи при заданной вероятности ошибки Ясно, что если имеется возможность использования сигнальных множеств с различным числом уровней М, то для каждого может быть выбрано сигнальное множество, обеспечивающее максимальную скорость передачи

Данный метод построения многоуровневых кодов может рассматриваться как модификация известного правила равных вероятностей ошибки Действительно, для каждого компонентного кода вероятность ошибки при передаче по аддитивному Гауссовскому каналу однозначно определяется отношением сигнал/шум С другой стороны, отношение сигнал/шум однозначно характеризует пропускную способность канала, т е пропускная способность канала однозначно определяет вероятность ошибки декодирования Предлагаемый метод основывается на предположении о том, что при переходе от аддитивному

Гауссовскому каналу к эквивалентным подканалам в многоуровневом коде эта зависимость не претерпевает существенных изменений Основным достоинством предлагаемого метода является простота процедуры построения многоуровневого кода, которая не требует достаточно сложного анализа вероятности ошибки декодирования Для многих кодов такой анализ практически неосуществим

Для построения семейства многоуровневых кодов описанная процедура должна быть выполнена для набора значений 7 с некоторым достаточно малым шагом Д Это позволяет построить большое число многоуровневых кодов на основе сравнительно небольшого семейства компонентных кодов

Построенное семейство многоуровневых кодов может быть использовано для организации адаптивной передачи на основе классического правила "водонаполнения", используемого во многих известных адаптивных алгоритмах Новизна предлагаемого метода состоит в использовании большого семейства многоуровневых кодов, обеспечивающего более точную подстройку параметров каждого подканала При этом большое семейство многоуровневых кодов может быть построено с помощью сравнительно небольшого набора компонентных кодов В работе рассматривается также способ снижения времени задержки сообщения и сложности оптимизации, состоящий в группировке подканалов с близкими характеристиками в одну подполосу (группу) и отображении каждого кодового слова многоуровневого кода на несколько подканалов, входящих в соответствующую подполосу Описывается новый метод аналитического исследования поведения адаптивных многочастотных систем в условиях стохастического канала Во многих случаях оказывается, что

являются случайными величинами с некоторым распределением Наиболее распространенный способ анализа поведения подобных систем состоит в выполнении имитационною моделирования В работе показано, что переупорядочение подканалов в соответствии с их отношениями канал/шум не влияет на характеристики адаптивной системы, но позволяет заменить при анализе случайные величины на математические ожидания порядковых статистик для почти всех Для систем с большим числом подканалов оказывается, что дисперсия порядковых статистик достаточно мала вследствие чего погрешность, связанная с такой заменой, незначительна Для многих практически важных распределений величин выражения для математического ожидания порядковых статистик сравнительно просты, что позволяет существенно упростить анализ адаптивных систем Кроме того, данный метод позволяет исследовать их поведение в области малых отношений сигнал/шум, что соответствует случаю неполного использования ресурсов однопользовательской системы Приводится пример анализа системы, функционирующей в условиях релеевского канала с независимыми замираниями Эти результаты используются в дальнейшем при анализе характеристик многопользовательской системы

Далее в работе рассматривается адаптивная передача в многопользовательских системах Формулируется задача условной минимизации мощности передатчика в многопользовательской многочастотной системе вещания Параметрами оптимизационной задачи являются скорости кодирования и модуляции пользователей по отдельным подканалам, коэффициенты усиления сигналов, предназначенных для отдельных пользователей и параметры разделения каналов Предполагается, что каждый подканал может одновременно использоваться для передачи данных нескольким пользователям, а их разделение осуществляется во временной или в кодовой области В случае использования кодового разделения предполагается использование ортогональных расширяющих последовательностей с однопользовательским детектированием Это позволяет рассматривать временное и кодовое разделение с одинаковых позиций Кроме того, накладывается требование поддержания фиксированных скоростей передачи данных для отдельных пользователей

Используется предположение о том, что отношение сигнал/шум, необходимое для передачи данных со скоростью с с использованием имеющегося семейства методов кодирования/модуляции, может быть вычислено с помощью некоторой функции /(с) На функцию накладывается требование выпуклости, монотонного возрастания а также /(с) = 0, с < О Использование этой функции позволяет найти коэффициент усиления Уу для символов, передаваемых пользователю по подканалу со скоростью как

Таким образом, оптимизационнг

(2)

с ограничениями

Показывается, что решение оптимизационной задачи должно удовлетворять следующей системе уравнений и неравенств

Здесь р— ДОЛЯ г-го подканала используемая к-м пользователем, Д^ — скорость передачи данных к-м пользователем — отношение канал/шум, наблюдаемое £-му пользователю на 1-м подканале, Аь и Д являются множителями Лагранжа При этом должно

учитываться дополнительное ограничение рь 6 {0, , где 5 — длина расширяющей последовательности в случае кодового разделения Таким образом, р^З задает число расширяющих последовательностей, используемых для передачи данных к-го пользователя на г-м подканале Ясно, что увеличение 5 приводит к повышению точности аппроксимации дискретных величин р^ непрерывными, принимающими значения из множества [0,1] Следовательно, точность решения рассматриваемой оптимизационной задачи, получаемого с помощью стандартных методов вариационного исчисления, также будет повышаться с ростом 5

Исследование свойств вышеприведенной системы уравнений и неравенств показывает, что она имеет большое число различных решений Это приводит к существованию точек в пространстве параметров задачи, в которых матрица Якоби системы уравнений вырождена или плохо обусловлена, что затрудняет использование для ее решения стандартных методов численного анализа В работе описывается специализированный оптимизационный алгоритм, позволяющий построить приближенное решение описанной задачи

1 Сформировать начальный набор {рь}

2 Вычислить Ль из (7) и подставить это значение в (9), получив

3 Найти наихудший подканал и наихудшего пользователя, назначенного на этот подканал {iw,kw) = arg max (/£?'*' — Д), а также наилучшего пользователя кь =

arg mm ßfj

4 Уменьшить долю pi^^ подканала 1ш, занимаемую пользователем кш, на 1/5 и увеличить долю занимаемую пользователем на эту же величину

5 Повторять шаги 2 — 4 заданное число раз Вычисления могут быть прекращены досрочно, если в течение нескольких шагов не происходит уменьшение величины

6 Воспользоваться каким-либо алгоритмом оптимизации однопользовательских многочастотных систем для нахождения распределения мощности передаваемого сигнала и скоростей передачи по подканалам, выделенным каждому из пользователей

Анализ характеристик описанной многопользовательскои многочастотной адаптивной системы существенно более сложен чем в однопользовательском случае Рассматривается приближенный метод анализа, основанный на предположении о том, что в оптимизированной системе передача данных каждому из пользователей осуществляется по наилучшим подканалам При этом допустимость совместного использования подканалов позволяет игнорировать возможность совпадения наилучших подканалов нескольких пользователей Таким образом задача анализа многопользовательской системы сводится к анализу одно пользовательских систем что может быть выполнено с привлечением аппарата порядковых статистик (см выше)

Рассматривается также возможность объединения смежных подканалов в группы (под-полосы) размером Показывается, что это приводит к существен-

ному снижению сложности оптимизации и объема передаваемой служебной информации Но с другой стороны, увеличение Sf приводит к снижению возможностей по адаптации схемы передачи

Анализируется структура служебной информации, которая должна широковещательно передаваться базовой станцией с целью обеспечения функционирования адаптивного про токола Показывается, что при наличии достаточно точных оценок состояния канала все пользователи могут восстановить величины 14, с помощью выражения (1) Следовательно, передача величин не требуется Величины могут быть преобразованы в списки подканалов, используемых каждым из пользователей, с указанием числа расширяющих последовательностей, используемых на каждом подканале Показывается, что объем служебной информации может быть существенно снижен путем использования комбинации дельта-кодирования, кодирования длины пробегов и кодов Хаффмана При этом использование статических кодов Хаффмана требует также передачи дерева кодирования, которое оказывается сопоставимо по объему с собственно сжатой служебной информацией Одним из возможных решений данной проблемы является использование заранее построенных деревьев Хаффмана Однако оказывается, что статистические свойства служебной информации существенно зависят как от параметров канала, так и от параметров системы (числа активных пользователей и их требований к скорости передачи), что приводит к снижению коэффициента сжатия служебной информации Данная проблема может быть решена

путем использования динамических кодов Хаффмана Однако их применение связано с определенными сложностями

1 Объем служебных данных на начальном этапе может существенно превышать средний

2 Ошибка декодирования служебного блока данных может привести к рассинхрониза-ции таблиц кодера и декодера, что сделает невозможной дальнейшую работу приемника

3 Подключение нового пользователя к системе затруднено ввиду необходимости синхронизации его таблицы декодирования

Эти проблемы могут быть решены путем использования комбинации универсальных кодов Хаффмана, а также периодической реинициализации кодера базовой станции и декодеров всех пользователей

Приведен анализ поведения адаптивной системы в случае наличия стохастических временных изменений состояния канала, характеризуемых моделью Джейкса Полученные результаты позволяют выбрать длительность временного интервала в течение которого может использоваться одна и та же оптимизированная схема передачи

Третья глава посвящена вопросам построения эффективных вычислительных алго ритмов декодирования корректирующих кодов Проблема рассматривается с точки зрения задачи декодирования кодов Рида-Соломона, заданных над полем СГ(2т) но по пучен ные результаты могут быть применены и для других кодов, использующих аналогичные процедуры декодирования

Согласно, результатам первой главы, наиболее трудоемкими операциями при классическом декодировании кодов Рида Соломона являются вычисление синдромного многочлена и поиск корней многочлена локаторов ошибок Обе операции сводятся к вычислению значений некоторою многочлена в наборе точек Показано, что использование факта шествования линеаризованных и аффинных многочленов над полем позволяет

существенно упростить вычисления

В частности, доказано, что всякий многочлен f{x) = Yl'-of'1' ^ GF(2m), может быть разложен на сумму многочленов кратных аффинным

где L,(x) = /si+2>— линеаризованные многочлены, = О ДЛЯ всех ] > t Таким образом, для вычисления значений многочлена во всех точках конечного поля может использоваться следующий алгоритм

1 Построить таблицы значений линеаризованных многочленов из разложения (10)

L^ = Ь,(ак), к = [0,m - 1], г € [0, f(i - 4)/5]], где а — примитивный элемент конечного поля

2 Произвести инициализацию

3 Упорядочив все элементы поля х3 £ GF(2m), j 6 [0,2"' - 1], разложенные в стандартном базисе, в соответствии с кодом Грея, вычислить А= А11 + £

указывает координату, в которой отличается от

4 Вычислить = /зх33 + Й!0-4)/51 г,5Ч0).; € [0,2го-1] Если /(х3) = 0, х, является корнем многочлена

Сложность данного алгоритма равна

Waff = т

t + 1

(4Cmuj + ЗСщи) +

t + 1

(2Сш + Cmui) + 2 Сы

(П)

где Ж — число обращений к вышеописанной процедуре вычисления значений многочлена, Сцц — сложность одной операции сложения над конечным полем, Сти1 — сложность одной операции умножения над конечным полем Предложены также специализированные разложения многочленов степени 8 и 17, позволяющие несколько снизить требуемое число арифметических операций над конечным полем Описан гибридный алгоритм поиска корней многочленов над конечным полем, состоящий в последовательном понижении степени многочлена путем его деления на для каждого найденного корня

После получения многочлена степени 4 или ниже может быть использован аналитический метод поиска корней Применение предложенной модификации процедуры Ченя позволяет снизить сложность поиска корней многочленов над конечным полем (7Р(2т) в 2 - 6 раз Задача вычисления синдрома принятого вектора может рассматриваться как вычисление неполного дискретного преобразования Фурье над конечным полем Применение свойств линеаризованных многочленов над полем позволяет построить разложе-

ние произвольного многочлена степени на сумму линеаризованных

m,-l

V mod пУ

,2'

(12)

Это дает возможность представить компоненты дискретного преобразования Фурье как Р} — ¡{ос1) — Ь,(а}к') Разлагая величины = а*' в подходящих базисах В,

можно получить следующее выражение для ДПФ над конечным полем <?.р(2,п)

где } — переставленный вектор коэффициентов исходного многочлена f(x), L — блочно-диагональная матрица, соответствующая базисам Вх, А — некоторая двоичная матрица Показано, что выбор в качестве В, нормальных базисов подполей GF(2т) позволяет свести задачу умножения на блоки матрицы L к задаче вычисления набора коротких циклических сверток

Показана возможность сведения задачи умножения на двоичную матрицы А к задаче декодирования линейного кода с проверочной матрицей Н = (/|А) Предложен вычислительный алгоритм осуществляющий построение разреженного представления матрицы Я Разреженное представление этой матрицы может быть использовано для нахождения произведения с помощью итеративного алгоритма декодирования низкоплотностных кодов в двоичном канале со стираниями Описанный метод позволяет получить весьма эффективные алгоритмы умножения вектора на двоичную матрицу, но оценить их сложность в общем случае не удалось

В таблице 1 представлена сложность (число умножений и сложений) алгоритма быстрого преобразования Фурье над конечным полем, полученного описанным методом, а также сложность наилучшего известного аналога

Выражение (13) может быть преобразовано к виду / = L~lA~lF В силу симметрии прямого и обратного ДПФ, это выражение также задает алгоритм быстрого преобразова ния Фурье, который удобно использовать при вычислении неполного ДПФ Применение

Таблица 1 Сложность некоторых алгоритмов БПФ

Метод Захаровой Предлагаемый метод

п ли /Си

7 6 26 6 25

15 16 100 16 77

31 60 388 54 315

63 97 952 97 805

127 468 3737 216 2780

255 646 35503 586 7919

511 - - 1014 26643

этого метода позволило построить алгоритм вычисления синдромного многочлена со сложностью в 8 раз меньшей чем у стандартного метода, основанного на схеме Горнера

Была показана возможность преобразования алгоритма вычисления синдрома в разреженный фактор-граф, задающий соответствующий код Рида-Соломона Это может быть использовано для его мягкого декодирования

Предложенные вычислительные методы могут быть использованы не только в классическом, но и в списочном декодировании кодов Рида-Соломона В работе предложен также специализированный вычислительный алюритм для списочного декодирования кодов Рида-Со-ломона Показано, что вычислительно наиболее сложный интерполяционный шаг алгоритма Гурусвами-Судана списочного декодирования кодов Рида-Соломона состоит в нахождении базиса полиномиального модуля образованного интерполяционными мною членами от двух переменных Предложен новый алюритм, состоящий в разбиении множе ства интерполяционных точек на непересекающиеся подмножества, независимом постро ении модулей интерполяционных многочленов для этих подможеств и их последующем пересечении Показана связь операции пересечения полученных таким образом модулей и операции нахождения наименьшего общего кратного матричных полиномов Показана возможность нахождения пересечения таких модулей с помощью более простого алю-ритма перемножения полиномиальных идеалов Введено понятие производящей функции базиса полиномиального идеала, использование которой позволяет свести задачу перемножения двух нульмерных взаимно простых полиномиальных идеалов к перемножению их производящих функций, что в свою очередь может быть выполнено с помощью классических алгоритмов быстрой линейной свертки многочленов Применение описанных методов позволяет параллелизовать вычислительно наиболее сложный шаг алгоритма Гурусвами-Судана.

В четвертой главе рассматривается применение предложенных методов адаптивной передачи в широкополосных системах кабельной и радиосвязи Приводится описание используемых математических моделей стационарного в широком смысле радиоканала с некоррелированными рассеяниями и кабельного канала на основе неэкранированной витой пары

Приводятся характеристики семейства многоуровневых кодов построенных на основе низкоплотностных (ЬБРС) кодов с помощью метода, предложенного во второй главе Показывается, что использование большого семейства кодов с малым шагом скоростей (82

кода на основе КАМ с диапазоном скоростей от 0,05 до 10) позволяет снизить мощность, требуемую для достижения заданной скорости передачи данных в однопользовательской системе, на 2 дБ по сравнению с системой, использующей только 12 кодов Исследуется влияние группировки подканалов на качество работы адаптивной системы Показано, что предложенный метод анализа адаптивных многочастотных систем позволяет получить адекватные результаты даже при наличии статистической зависимости характеристик отдельных подканалов

В случае адаптивной многопользовательской системы вещания показано, что за счет совместного использования подканалов может быть получен выигрыш до 5 дБ по сравнению с аналогичной системой, в которой каждый подканал используется ровно одним пользователем Показано, что группировка подканалов в группы (подполосы) приводит к незначительному снижению эффективности адаптивной передачи в случае сильной частотной селективности канала Показано, что выигрыш от совместного использования подканалов растет с ростом числа одновременно активных пользователей в системе Сопоставление результатов приближенного анализа, выполненного на основе предложенного метода порядковых статистик, и результатов имитационного моделирования позволяет сделать вывод о том, что ошибка метод порядковых статистик не превышает 1-2 дБ

Приводятся результаты имитационного моделирования, характеризующие чувствительность предложенного метода адаптивной передачи к неточности оценивания состояния канала Показано, что выбор минимизирует связанное с этим ухудшение харак-

теристик адаптивной системы Приводятся оценки объема служебной информации после сжатия Показано, что для системы с 512 подканалами, полосой сигнала 20 МГц и 32 пользователями, осуществляющими передачу со скоростью 160 бит/OFDM символ (т е примерно 6,2 Мбит/с) ее объем не превосходит 50 бит на одного пользователя Из сопоставления этой величины со скоростью передачи пользовательских данных следует, что вся служебная информация может быть передана в рамках одного OFDM-символа

Основные результаты работы

Основными результатами диссертационной работы являются

1 Метод поиска корней многочленов над конечным полем, позволяющий снизить сложность соответствующего этапа декодирования кодов Рида Соломона в 2-6 раз

2 Метод вычисления быстрого преобразования Фурье над конечным полем, обладающей наименьшей сложностью среди известных аналогов на длинах по крайней мере до 512

3 Метод построения разреженных фактор-графов линейных кодов и его применение в задаче быстрого умножения матрицы на вектор в полях характеристики два

4 Метод вычисления синдромного многочлена при декодировании кодов Рида-Соломона, обладающий наименьшей сложностью среди известных аналогичных методов для кодов на длине по крайней мере до 255

5 Метод вычисления произведения нульмерных взаимно простых полиномиальных идеалов и основывающийся на нем алгоритм интерполяции при списочном деко дировании кодов Рида-Соломона

6 Метод адаптивной передачи с использованием многоуровневого кодирования в мно гочастотных системах

7 Метод оценивания пропускной способности векторного Гауссовского канала с неза висимыми случайными передаточными коэффициентами

8 Метод адаптивного распределения мощности, скорости и разделения канала в многопользовательских многочастотных системах

Публикации

[1] Трифонов П В Адаптивная передача в многопользовательских многочастотных системах вешания // Информационно управляющие системы — 2005 — Т 1 № 14 — С 41-45

[2] Трифонов П В, Федоренко С В Быстрый алгоритм вычисления синдромного многочлена при декодировании кодов Рида-Соломона // XXXI неделя науки СПбГПУ — Т 3 - 2002 - С 189-191

[3] Трифонов П В, Федоренко С В Метод быстрого вычисления преобразования Фурье над конечным полем // Проблемы передачи информации — 2003 — Т 39, № 3 — С 3-10

[4] Costa Е, Fedorenko S V, Tnfonov P V On computing the syndrome polynomial in Reed Solomon decoder // European Transactions on Telecommunications — 2004 — May/June - Vol 15, no 4 - Pp 337-342

[5] E Costa, M Lott, E Schultz, S Fedorenko, P Tnfonov, E Krouk Method and device for a communication system for finding roots of an error locator polynomial — 2003 — European patent EP1367727

[6] Fedorenko S V, Tnfonov P V Finding roots of polynomials over finite fields // IEEE Transactions on Communications - 2002 - Vol 50, no 11 - Pp 1709-1711

[7] Fedorenko S V, Tnfonov P V, Costa E Improved hybrid algorithm for finding roots of error-locator polynomials // European Transactions on Telecommunications — 2003 — Vol 14, no 5

[8] MaJ, Tnfonov P, Vardy A Divide-and-conquer interpolation for list decoding of ReedSolomon codes // Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory - 2004 - P 386

[9] Tnfonov P, Costa E, Schulz E Adaptive user allocation, bit and power loading in multi-carrier systems // Proceedings of the 9th International OFDM-Workshop — 2004

[10] Tnfonov P, Costa E, Schulz E Adaptive multilevel coding in OFDM systems // Proceedings of IEEE Vehicular Technology Conference — Spring 2005 — 2005

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Подписано в печать £0 ОУ Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л. 1,0 . Тираж 100 . Заказ ЛОЗ .

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

0£ M - Of. /3

19 Ч

-и ц

945

Введение

1 Обработка информации на физическом уровне цифровых систем связи

1.1 Каналы передачи информации.

1.1.1 Двоичный канал со стираниями.

1.1.2 Двоичный симметричный канал.

1.1.3 Аддитивный Гауссовский канал.

1.1.4 Линейный Гауссовский канал с межсимвольной интерференцией

1.1.5 Релеевский канал.

1.2 Модуляция.

1.2.1 Одноканальная М-ичная модуляция.

1.2.2 Ортогональное разделение частот.

1.3 Многопользовательские системы связи.

1.3.1 Временное разделение.

1.3.2 Частотное разделение.

1.3.3 Пространственное и поляризационное разделение.

1.3.4 Кодовое разделение.

1.4 Помехоустойчивое кодирование

1.4.1 Основные понятия.

1.4.2 Коды Рида-Соломона

1.4.3 Вычислительные алгоритмы алгебраического декодирования.

1.4.4 Низкоплотностные коды.

1.4.5 Фактор-графы

1.4.6 Кодированная модуляция.

1.5 Методы адаптивной передачи.

1.5.1 Однопользовательские одноканальные системы.

1.5.2 Однопользовательские многочастотные системы.

1.5.3 Многопользовательские многочастотные системы.

1.6 Выводы. Задачи диссертационной работы.

2 Адаптивные методы передачи

2.1 Адаптивное многоуровневое кодирование.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Семейство многоуровневых кодов.

2.1.3 Адаптивное кодирование в многочастотных системах.

2.1.4 Анализ эффективности.

2.2 Адаптивное разделение каналов в многопользовательских многочастотных системах

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Оптимизационный алгоритм.

2.2.3 Анализ эффективности.

2.2.4 Частотно-временное расширение.

2.2.5 Сжатие служебной информации.

2.2.6 Чувствительность к изменениям состояния канала.

2.3 Выводы.

3 Вычислительные процедуры декодирования $

3.1 Ускоренный поиск корней многочленов над конечными полями

3.1.1 Аффинное разложение

3.1.2 Специальные разложения.

3.1.3 Обобщенное разложение.

3.1.4 Гибридный алгоритм поиска корней многочленов.

3.2 Быстрое преобразование Фурье над конечным полем.

3.2.1 Циклотомический алгоритм БПФ.

3.2.2 Применение обратного преобразования Фурье для быстрого вычисления вектора синдрома.

3.3 Разреженное представление линейных кодов.

3.3.1 Построение разреженного фактор-графа линейного двоичного кода

3.3.2 Быстрое умножение вектора на двоичную матрицу.

3.3.3 Разреженное представление кодов Рида-Соломона.

3.4 Двумерная интерполяция при списочном декодировании кодов Рида-Соломона

3.4.1 Матричная интерпретация алгоритма Нильсена.

3.4.2 Алгебро-геометрическая интерпретация алгоритма Нильсена

3.4.3 Быстрое вычисление произведения идеалов.

3.5 Выводы.

4 Применение адаптивных методов в широкополосных системах связи

4.1 Модели некоторых физических каналов.

4.1.1 Модель радиоканала со стационарными в широком смысле некоррелированными отражениями.

4.1.2 Модель кабельного канала на основе неэкранированной витой пары

4.2 Адаптивная передача в однопользовательской системе.

4.2.1 Построение семейства многоуровневых кодов

4.2.2 Адаптивное многоуровневое кодирование.

4.3 Адаптивная передача в многопользовательской системе

4.3.1 Сравнение адаптивных методов

4.3.2 Анализ характеристик системы с адаптивным разделением подканалов

4.3.3 Чувствительность предложенного метода к временным изменениям состояния канала

4.3.4 Чувствительность предложенного метода к неточности оценивания канала.

4.3.5 Оценка сложности предложенного метода

4.4 Выводы.

Выводы

Бурное развитие микроэлектроники, имевшее место в конце 20 века, создало возможность для реализации сложных высокопроизводительных вычислительных систем, используемых в настоящее время практически во всех отраслях народного хозяйства. Это в свою очередь потребовало организации взаимодействия этих систем, причем с ростом их производительности растут требования к скорости и качеству связи между ними. Для эффективного функционирования подобных систем необходим точный учет текущего состояния среды передачи данных. По мере его изменения необходимо осуществлять подстройку параметров системы связи с целью минимизации мощности передатчика, требуемой для поддержания заданного качества связи. Таким образом, возникает задача управления параметрами передатчика. Несмотря на то, что в теории информации были построены решения для этой задачи, их нельзя признать удовлетворительными с практической точки зрения. Причиной этого является оптимизационный критерий, используемый в подобных теоретико-информационных исследованиях, а именно максимизация суммарной (или взвешенной) пропускной способности всех пользователей системы. Это не позволяет учесть ограничений, связанных как с невозможностью достижения пропускной способности канала с помощью существующих методов передачи информации, так и с необходимостью поддержания определенного качества обслуживания отдельных пользователей системы. В связи с этим возникает необходимость разработки алгоритмов адаптивной передачи, учитывающих вышеприведенные ограничения. При этом использование многочастотного метода передачи, получившего широкое распространение в последние годы, позволяет существенно упростить реализацию соответствующих оптимизационных алгоритмов, а также допускает использование при анализе системы достаточно простых математических моделей.

Построение адаптивной системы передачи данных требует наличия нескольких методов кодирования и модуляции, обеспечивающих различную степень защиты передаваемых данных от помех. При этом особую важность имеет эффективная реализация используемых методов обработки информации, в частности кодирования и декодирования корректирующих кодов. Алгоритмы кодирования и декодирования многих современных кодов включают в себя классические вычислительные примитивы, такие как циклическая свертка, поиск корней многочлена, дискретное преобразование Фурье и т.п. При этом в большинстве случае вычисления производятся в конечных полях. Несмотря на то, что известны быстрые алгоритмы решения указанных задач, во многих случаях их непосредственное использование при реализации алгоритмов кодирования и декодирования оказывается крайне неэффективным как в силу специфики вычислений в конечных полях, так и в силу ограничений, накладываемых структурой алгоритмов кодирования и декодирования. В связи с этим возникает задача эффективной реализации соответствующих вычислительных алгоритмов.

Целью данной диссертационной работы является построение методов оптимизации параметров кодирования в многочастотных системах, позволяющих снизить мощность передатчика, требуемую для достижения заданного качества работы системы. В рамках работы решаются следующие задачи:

1. Разработка методов настройки параметров помехоустойчивого кодирования, модуляции, разделения канала и распределения мощности в зависимости от текущего состояния физического канала связи.

2. Эффективная реализация соответствующих процедур обработки информации при кодировании и декодировании данных.

Объектом исследования являются широкополосные системы связи, основанные на принципе многочастотной передачи, а также алгоритмы кодирования и декодирования корректирующих кодов, используемых при передаче данных в подобных системах.

В данной работе используются методы теорий цифровой связи, условного экстремума, помехоустойчивого кодирования, чисел и коммутативной алгебры.

Достоверность полученных результатов обеспечена сопоставлением результатов теоретического анализа и имитационного моделирования, а также наличием программной реализации всех предложенных методов.

Предметом исследования являются оптимизация параметров передачи данных в многочастотных системах, а также алгоритмы кодирования и декодирования корректирующих кодов, используемых в них.

Научные результаты и их новизна:

1. Разработан метод оптимизации разделения канала, распределения мощности и скорости передачи в многопользовательских многочастотных системах вещания, позволяющий получить существенный (до 5 дБ) энергетический выигрыш по сравнению с известными методами.

2. Предложен новый метод адаптивной передачи в многочастотных системах на основе многоуровневого кодирования, позволяющий повысить точность адаптации по сравнению с существующими методами, что позволяет получить энергетический выигрыш до 2 дБ по сравнению с существующими методами.

3. Разработан метод быстрого нахождения корней многочлена локаторов ошибки при классическом декодировании кодов Рида-Соломона, обеспечивающий снижение сложности одного из этапов декодирования в 2 - 6 раз по сравнению со стандартными методами.

4. Построен циклотомический алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) над конечными полями, на основе него разработан метод вычисления вектора синдрома при классическом декодировании кодов Рида-Соломона. Данные алгоритмы обладают наименьшей сложностью среди известных аналогов.

5. Предложен новый метод двумерной интерполяции при списочном декодировании кодов Рида-Соломона, позволяющий построить параллельную реализацию вычислительно наиболее сложного шага алгоритма Гурусвами-Судана.

Практическая ценность работы состоит в разработке методов адаптивной передачи в одно- и многопользовательских системах, позволяющих существенно снизить требуемую мощность передатчика, а также методов декодирования некоторых классов кодов, исправляющих ошибки, со сложностью, существенно меньшей по сравнению со стандартными методами. Предложенный метод адаптивной передачи в однопользовательских системах при использовании кодов длины 3200 обеспечивает функционирование системы при вероятности ошибки на бит порядка Ю-7 на отношении сигнал/шум, превышающем предел Шеннона всего на 3 децибела. Данный метод может быть также использован и в многопользовательских системах. Предложенный метод адаптивной передачи в многопользовательских системах на основе кодового разделения позволяет снизить мощность передатчика, требуемую для достижения заданных параметров работы системы, на 5 дБ по сравнению с наилучшим известным автору методом, использующим частотное разделение. Предложенный метод нахождения корней многочленов над конечным полем обладает наименьшей сложностью среди известных аналогов. Предложенный алгоритм БПФ имеет наименьшую сложность среди известных алгоритмов на длине по крайней мере до 512 и позволяет построить алгоритмы вычисления синдрома при классическом декодировании кодов Рида-Соломона, обладающие наименьшей сложностью среди известных методов.

Публикации и апробация работы. Предложенные методы были опубликованы в журналах IEEE Transactions on Communications [38], Проблемы передачи информации [175], European Transactions on Telecommunications [31, 39], Информационно-управляющие системы [174], на конференциях IEEE International Symposium on Information Theory [84], IEEE Vehicular Technology Conference [127], International OFDM Workshop [126]. По материалам диссертации получен Европейский патент [36].

Диссертационная работа организована следующим образом. В главе 1 представлен обзор некоторых методов обработки информации, используемых при реализации протоколов физического уровня систем связи. В главе 2 рассматриваются новые методы адаптивной передачи в многочастотных системах. Глава 3 посвящена построению новых вычислительных алгоритмов для систем с помехоустойчивым кодированием. Применение предложенных методов в широкополосных системах связи рассмотривается в главе 4.

выводы

134

Автор выражает благодарность проф. А.И. Генералову (Санкт-Петербургский Государственный Университет), д-ру Е. Коста (Siemens AG), доц. Ю.Б. Сениченкову и доц. С.В. Федоренко (Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет) за многочисленные плодотворные обсуждения различных аспектов данной работы.

1. Adaptive modulation for the H1PERLAN/2 air interface / R. Griinheid, E. Bolinth, H. Rohling, K. Aretz // Proceedings of 5th 1.ternational OFDM Workshop. - 2000. -September.

2. Adaptive modulation systems for predicted wireless channels / S. Falahati, A. Svens-son, T. Ekman, M. Sternad // IEEE Transactions on Communications. — 2004. — February. — Vol. 52, no. 2.

3. Afanasyev V. On complexity of FFT over finite field I j Proceedings of Sixth Joint Swedish-Russian International Workshop on Information Theory, Molle, Sweden. — 1993. August. - Pp. 315-319.

4. Alamouti S., Kalel S. Adaptive trellis-coded multiple-phase-shift keying for Rayleigh fading channels // IEEE Transactions on Communications.— 1994.— June.— Vol. 42. Pp. 2305-2314.

5. Alouini M.-S., Goldsmith A. J. Adaptive modulation over nakagami fading channels j I Kluwer Journal on Wireless Communications. — 2000. — May. — Vol. 13, no. 1-2,— Pp. 119-143.

6. Al-Dhahir N., Cioffi J. M. Efficiently computed reduced-parameter input-aided MMSE equalizers for ML detection: A unified approach // IEEE Transaction on Information Theory. 1996. - May. - Vol. 42, no. 3.

7. Al-Dhahir N., Cioffi J. M. Optimum finte-length equalization for multi-carrier transceivers // IEEE Transactions On Communications. — 1996. — January. — Vol. 44, no. 1.

8. Ardakani M., Esmailian Т., Kschischang F. Near-capacity coding in multicarrier modulation systems // IEEE Transactions on Communications. — 2004. ~ November. — Vol. 52, no. 11.

9. Armstrong J. Analysis of new and existing methods of reducing intercarrier interference due to carrier frequency offset in OFDM // IEEE Transactions On Communications. — 1999. March. - Vol. 47, no. 3.

10. Baccarelli E., Fasano A., Biagi M. Novel efficient bit-loading algorithms for peak-energy-limited ADSL-type multicarrier systems // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2002. — May. — Vol. 50, no. 5.

11. Beckermann В., Labahn G. Fraction-free computation of matrix rational interpolants and matrix GCDs // SI AM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 2001. — Vol. 22, no. 1, —Pp. 114-144. citeseer.nj.nec.com/beckermannOOfractionfree.html.

12. Bergamaschi L., Moret I., Zilli G. Inexact quasi-Newton methods for sparse systems of nonlinear equations // Future Generation Computer Systems. — 2001,— Vol. 18, no. 1,- Pp. 41-53.

13. Burr A. Modulation and Coding for Wireless Communications. — Prentice Hall, 2001.

14. Campello J., Modha D. S., Rajagopalan S. Designing LDPC codes using bit-filling j j Proceedings of the IEEE ICC 2001. 2001.

15. Canpolat ВTanik Y. Performance analysis of adaptive loading OFDM under Rayleigh fading // IEEE Transactions On Vehicular Technology. — 2004. — July. — Vol. 53, no. 4,- Pp. 1105-1115.

16. Capacity optimization in MC-CDMA systems / E. Costa, H. Haas, E. Schulz, A. Fil-ippi // European Transactions on Telecommunications. — 2002. — October.

17. Cheng R. S., Verdu S. Gaussian multiaccess channels with ISI: capacity regions and multiuser waterfilling // IEEE Transactions on Information Theory. — 1993. — May. — Vol. 39, no. 3.

18. Chen C.-L. Formulas for the solutions of quadratic equations over GF(2'"1) // IEEE Transactions on Information Theory. — 1982. — September. — Vol. 28, no. 5. — Pp. 792-794.

19. Chen H., Pottie G. J. An orthogonal projection-based approach for par reduction in OFDM // IEEE Communication letters. 2002. - May. - Vol. 6, no. 5. - Pp. 169171.

20. Chien R. T. Cyclic decoding procedures for Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes // IEEE Transactions on Information Theory. — 1964. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 357-363.

21. Chien R. Т., Cunningham B. D., Oldham I. B. Hybrid methods for finding roots of a polynomial with application to BCH decoding j j IEEE Transactions on Information Theory. 1969. - Vol. 15, no. 2. - Pp. 329-335.

22. Choi B. J., Hanzo L. Optimum mode-switching assisted adaptive modulation // Proceedings of Globecom 2001. 2001. - Pp. 3316-3320.

23. Chow P. S., Cioffi J. M., Bingham J. A. C. A practical discrete multitone transceiver loading algorithm for data transmission over spectrally shaped channels // IEEE Transactions On Communications. — 1995. — February/March/April. — Vol. 43, no. 2/3/4.

24. Chung S. Т., Goldsmith A. J. Degrees of freedom in adaptive modulation: A unified view // IEEE Transactions on Communications. — 2001. — September. — Vol. 49, no. 9.- Pp. 1561-1571.

25. A class of low-density parity-check codes constructed based on Reed-Solomon codes with two information symbols / I. Djurdjevic, J. Xu, K. Abdel-Ghaffar, S. Lin // IEEE Communications Letters. — 2003. — July. — Vol. 7, no. 7.

26. Comparison of heuristic and optimal subcarrier assignment algorithms / J. Gross, H. Karl, F. Fitzek, A. Wolisz // Proceedings of ICWN'03. 2003. - June.

27. Construction of irregular LDPC codes with low error floors / T. Tian, C. Jones, J. D. Villasenor, R. D. Wesel // Proceedings of IEEE International Conference on Communications 2003. Vol. 5. - 2003. - Pp. 3125-3129.

28. Construction of low-density parity-check codes based on balanced incomplete block designs / B. Ammar, B. Honary, Y. Kou et al. // IEEE Transactions on Information Theory. 2004. - June. - Vol. 50, no. 6.

29. Costa E., Fedorenko S. V., Trifonov P. V. On computing the syndrome polynomial in Reed-Solomon decoder // European Transactions on Telecommunications. — 2004. — May/June. Vol. 15, no. 4. - Pp. 337-342.

30. Dardari D. Ordered subcarrier selection algorithm for OFDM-based high-speed WLANs // IEEE Transactions On Wireless Communications. — 2004. — September. — Vol. 3, no. 5.

31. Davis J. A., Jedwab J. Peak-to-mean power control in OFDM, golay complementary sequences, and reed-muller codes // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1999. — November. Vol. 45, no. 7. - Pp. 2397-2417.

32. Ergen M., Coleri S., Varaiya P. Qos aware adaptive resource allocation techniques for fair scheduling in OFDMA based broadband wireless access systems // IEEE. — 2003. December. - Vol. 49, no. 4.

33. Explicit construction of LDPC codes with girth at least six / V. Pless, J.-L. Kim, U. N. Peled, I. Perepelitsa // Proceedings of the 40th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. — 2002.

34. E. Costa, M. Lott, E. Schultz, S. Fedorenko, P. Trifonov, E. Krouk. Method and device for a communication system for finding roots of an error locator polynomial. — 2003. — European patent EP1367727.

35. Farhang-Boroujeny В., Ding М. Design methods for time-domain equalizers in DMT transceivers // IEEE Transactions On Communications. — 2001. — March. — Vol. 49, no. 3.

36. Fedorenko S. V., Trifonov P. V. Finding roots of polynomials over finite fields // IEEE Transactions on Communications. — 2002. — Vol. 50, no. 11. — Pp. 1709-1711.

37. Fedorenko S. V., Trifonov P. V., Costa E. Improved hybrid algorithm for finding roots of error-locator polynomials // European Transactions on Telecommunications. — 2003. Vol. 14, no. 5.

38. Fischer R., Huber J. A new loading algorithm for discrete multitone transmission // Proceedings of GLOBECOM'96. 1996. - November. - Pp. 724-728.

39. Forney G. D. Generalized minimum distance decoding // IEEE Transactions on Information Theory. 1966. - April. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 125-131.

40. Forney G. D., Eyuboglu M. V. Combined equalization and coding using precoding // IEEE Communications Magazine. — 1991. — December. — Vol. 29, no. 12.

41. Gallager R. Low-density Parity-Check codes: Ph.D. thesis / MIT. — 1963.

42. Garcia-Armada A. A simple multiuser bit loading algorithm for multicarrier WLAN // Proceedings of IEEE Communications Conference. — 2001. — June.

43. Goldfeld L., Lyandres V. Capacity of the multicarrier channel with frequency-selective Nakagami fading // IEICE Transactions on Communications. — 2000. — March. — Vol. E83-B, no. 3.

44. Goldsmith A. J. Wireless Communications. — Cambridge University Press, 2005.

45. Goldsmith A. J., Varaiya P. Capacity of fading channels with channel side information // IEEE Transactions on Information Theory. — 1997. — November. — Vol. 43, no. 6.

46. Goldsmith A., Chua S.-G. Variable-rate variable-power MQAM for fading channels // IEEE Transactions On Communications. — 1997. — October. — Vol. 45. no. 10.

47. Goldsmith A., Chua S.-G. Adaptive coded modulation for fading channels // IEEE Transactions On Communications. — 1998. — May. — Vol. 46, no. 5.

48. Gross J., Karl H., Wolisz A. On the effect of inband signaling and realistic channel knowledge on dynamic OFDM-FDMA systems // Proceedings of 5th European Wireless Conference. — 2004. — February.

49. Gross R., Veeneman D. SNR and spectral properties for a clipped DMT adsl signal // Proceedings ICC '94. New Orleans, LA: 1994. - May. - Pp. 843-847.

50. Guruswami V., Sudan M. Improved decoding of Reed-Solomon and algebraic-geometric codes // IEEE Transactions on Information Theory. — 1999. — September. — Vol. 45, no. 6,— Pp. 1757-1767. citeseer.nj.nec.com/guruswami98improved.html.

51. Hayes J. F. Adaptive feedback communications // IEEE Transactions on Communications. 1968. - February. - Vol. 16, no. 1. - Pp. 29-34.

52. Henkel W. Analog codes for peak-to-average ratio reduction // 3rd ITG Conference Source and Channel Coding. — Munich, Germany: 2000. — January 17-19. — Pp. 151155.

53. Henkel W., Wagner B. Another application for trellis shaping: PAR reduction for DMT (OFDM) // IEEE Transactions On Communications. — 2000. — September. — Vol. 48, no. 9,- Pp. 1471-1476.

54. Henkel W., Zrno V. PAR reduction revisited: an extension to tellado's method // 6th International OFDM-Workshop (InOWo). Hamburg, Germany: 2001,- Pp. 31 — 1 — 31-6.

55. Hole K. J., Holm H., Oien G. E. Adaptive multidimensional coded modulation over flat fading channels // IEEE Journal On Selected Areas In Communications. — 2000 — July. Vol. 18, no. 7.

56. HOMPACK90: A suite of Fortran 90 codes for globally convergent homotopy algorithms / L. T. Watson, M. Sosonkina, R. C. Melville et al. // ACM Transactions on Mathematical Software. 1997. - December. - Vol. 23, no. 4. - Pp. 514-549.

57. Hong J., Vetterli M. Computing m DFT's over GF(q) with one DFT over GF{qm) // IEEE Transactions on Information Theory.— 1993. — January. — Vol. 39, no. 1.— Pp. 271-274.

58. Huber J. Multilevel codes: Distance profiles and channel capacity // ITG-Fachbericht 130, Conf. Rec. 1994. - October. - Pp. 305-319.

59. Hughes-Hartogs D. Ensemble modem structure for imperfect transmission media: US. Patents Nos. 4,679,227 (July 1987). 4,731.816 (Mar. 1988). and 4,833,706 (May 1989).

60. Ни X.-Y., Eleftheriou E., Arnold D.-M. Regular and irregular progressive edge-growth tanner graphs // IEEE Transactions on Information Theory. — 2005. — January. — Vol. 51, no. 1.

61. Imai H., Hirakawa S. A new multilevel coding method using error correcting codes // IEEE Transactions on Information Theory. — 1977. — May. — Vol. 23, no. 3. — Pp. 371-377.

62. Jakes W. C. Mobile radio propagation // Microwave Mobile Communications / Ed. by W. C. Jakes. New York: Wiley, 1974. - Pp. 11-78.

63. JindalN., Vishwanath S., Goldsmith A. On the duality of Gaussian multiple-access and broadcast channels I j IEEE Transactions on Information Theory. — 2004. — May. — Vol. 50, no. 5.

64. Johnson S. J., Weller S. R. A family of irregular LDPC codes with low encoding complexity // IEEE Communications Letters. — 2003. — Vol. 7, no. 2.

65. Johnson S. J., Weller S. R. Resolvable 2-designs for regular low-density parity-check codes // IEEE Transactions on Communications. — 2003. — September. — Vol. 51, no. 9.

66. Kailath T. Linear systems. — Prentice Hall, 1985.

67. Karagiannidis G. K., Zogas D. A., Kotsopoulos S. A. An efficient approach to multivariate Nakagami-m distribution using Green's matrix approximation // IEEE Transactions On Wireless Communications. — 2003. — September. — Vol. 2, no. 5.

68. Keller Т., Hanzo L. Blind-detection assisted sub-band adaptive turbo-coded OFDM schemes j I Proceedings of the IEEE Vehicular Technology Conference. — 1999. — Pp. 489-493.

69. Keller Т., Hanzo L. Adaptive modulation techniques for duplex OFDM transmission // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 2000. — September. — Vol. 49, no. 5.

70. Kivanc D., Li G., Liu H. Computationally efficient bandwidth allocation and power control for OFDMA I j IEEE Transactions On Wireless Communications. — 2003. — November. — Vol. 2, no. 6.

71. Koetter R., Vardy A. A complexity reducing transformation in algebraic list decoding of Reed-Solomon codes. — 2003. — March.

72. Кои У., Lin S., Fossorier M. P. C. Low-density parity-check codes on finite geometries: A rediscovery and new results // IEEE Transactions on Information Theory. — 2001. — November. — Vol. 47, no. 7.

73. Krongold В., Ramchandran K., Jones D. Computationally efficient optimal power allocation algorithms for multicarrier communication systems // IEEE Transactions on Communications. — 2000. — January. — Vol. 48, no. 1. — Pp. 23-27.

74. Li J., Kurtas E. A class of /p'y~1,p~l,p,7, {0,1}) combinatorially designed LDPC codes with application to ISI channels // Proceedings of IEEE International symposium on Information Theory. — 2003.

75. Li L., Goldsmith A. J. Capacity and optimal resource allocation for fading broadcast channels-part i: Ergodic capacity // IEEE Transactions on Information Theory. — 2001. March. - Vol. 47, no. 3.

76. MacKay D. J. C., Hesketh C. P. Performance of low density parity check codes as a function of actual and assumed noise levels // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. ~ 2003. Vol. 74.

77. MalLik R. K. On multivariate Rayleigh and exponential distributions // IEEE Transactions On Information Theory. — 2003. — June. — Vol. 49, no. 6.

78. Marinari M. G., Moller H. M., Mora T. Grobner bases of ideals defined by functionals with an application to ideals of projective points // Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. — 1993. — Vol. 4. — Pp. 103-145.

79. Ma J., Trifonov P., Vardy A. Divide-and-conquer interpolation for list decoding of Reed-Solomon codes // Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory. 2004. - P. 386.

80. Mestdagh D. J. G., Spruyt P. M. P. A method to reduce the probability of clipping in DMT-based transceivers 11 IEEE Transactions on Signal Processing. — 1996. — October. Vol. 44, no. 10. - Pp. 1234-1238.

81. Meyr H., Moeneclaey M., Fechtel S. A. Digital Communication Receivers, Vol. 2: Synchronization, Channel Estimation, and Signal Processing. — Wiley-Interscience. 1997.

82. Mosier R. R., Clabaugh R. G. KINEPLEX, a bandwidth efficient binary transmission system // AIEE Transactions. — 1958. — Vol. 76.

83. A multicarrier CDMA system with adaptive subchannel allocation for forward links / Y. H. Kim, I. Song, S. Yoon, S. R. Park // IEEE Transactions On Vehicular Technology. 1999. - September. - Vol. 48, no. 5.

84. Multiuser OFDM with adaptive subcarrier, bit, and power allocation / C. Y. Wong, R. S. Cheng, К. B. Letaief, R. D. Murch // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. — 1999. — October. — Vol. 17, no. 10.

85. Multiuser transmit optimization for multicarrier broadcast channels: Asymptotic FD-MA capacity region and algorithms / L. M. С. Hoo, B. Haider, J. Tellado, J. M. Cioffi // IEEE Transactions On Communications. — 2004. — June. — Vol. 52, no. 6.

86. Nagarajan V., Liu Y., Нои I. Joint design of LDPC codes for parallel channels and its applications // In Proceedings of 41th Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing. — 2003. — October.

87. Nahman N. S., Holt D. R. Transient analysis of coaxial cables using the skin effect approximation // IEEE Transactions on Circuits Theory. — 1972 — Vol. 19, no. 5.— Pp. 443-451.

88. A new approach for evaluating clipping distortion in rnulticarrier systems / A. R. S. Ba-hai, M. Singh, A. J. . Goldsmith, B. R. Saltzberg // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. — 2002. — Vol. 20. — Pp. 3-11.

89. Nielsen R. R. List decoding of linear block codes: Ph.D. thesis / Technical University of Denmark. 2001.

90. Nielsen R. R., Hoholdt T. Decoding Reed-Solomon codes beyond half the minimum distance // Proceedings of the International Conference on Coding Theory and Cryptography, Mexico 1998. — Springer-Verlag, 1998.

91. Ochiai H. Performance analysis of peak power and band-limited OFDM system with linear scaling // IEEE Transactions On Wireless Communications. — 2003. — September. Vol. 2, no. 5. - Pp. 1055-1065.

92. OFDM with reduced peak-to-average power ratio by multiple signal representation / S. Muller, R. Bauml, R. Fischer, J. Huber // Annals of Telecommunications. — 1997. — February. Vol. 52, no. 1-2. - Pp. 58-67.

93. On the design of low-density parity-check codes within 0.0045 dB of the Shannon limit / S.-Y. Chung, G. D. Forney, T. J. Richardson, R. Urbanke // IEEE Communications Letters. 2001. - February. - Vol. 5, no. 2.

94. Optimal decoding of linear codes for minimizing symbol error rate / L. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek, J. Raviv // IEEE Transactions on Information Theory. — 1974. — Pp. 284287.

95. Optimal design of adaptive coded modulation schemes for maximum average spectral efficiency / H. Holm, G. Oien, M. Slim-Alouini et al. // Proceedings of IEEE Workshop on Signal Prcessing Advances in Wireless Communications. — 2003.

96. Per tone equalization for DMT-based systems / K. van Acker, G. Leus, M. Moonen et al. // IEEE Transactions On Communications. — 2001. — January. — Vol. 49, no. 1.

97. Pfletschinger S., Miinz G., Speidel J. Efficient subcarrier allocation for multiple access in OFDM systems I j Proceedings of 7th International OFDM Workshop. — 2002. — September.

98. Pietrzyk S., Janssen G. J. M. Multiuser subcarrier allocation for QoS provision in the OFDMA systems // Proceedings of VTC Fall'02. 2002. - September.

99. Prabhakar A., Narayanan K. Pseudorandom construction of low-density parity-check codes using linear congruential sequences j I IEEE Transactions on Communications. — 2002. September. - Vol. 50, no. 9.

100. P. Hoher. A statistical discrete-time model for the WSSUS multipath channel // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 1992. — November. — Vol. 41, no. 4.

101. Rate-adaptive coding and modulation with LDPC component codes: Tech. rep. / O. Jetlund, G. E. Oien, K. J. Hole, V. Markhus: Department of Telecommunications, Norwegian University of Science and Technology, 2002.

102. A real-time sub-carrier allocation scheme for multiple access downlink OFDM transmission / C. Y. Wong, C. Y. Tsui, R. S. Cheng, К. B. Letaief // Proceedings of VTC Fall'99. 1999. - September. - Pp. 1124-1128.

103. Regularized Newton methods for convex minimization problems with singular solutions / D.-H. Li, M. Fukushima, L. Qi, N. Yamashita // Computational Optimization and Applications. 2004. - July. - Vol. 28, no. 2. - Pp. 131-147.

104. Rhee W., Cioffi J. M. Increasing in capacity of multiuser OFDM system using dynamic subchannel allocation // Proceedings of IEEE International Vehicular Technology Conference. Vol. 2. - 2000. - May. - Pp. 1085-1089.

105. Richardson T. J., Urbanke R. The capacity of low-density parity check codes under message-passing decoding // IEEE Transactions on Information Theory. — 2001. — February. — Vol. 47, no. 2.

106. Richardson Т., Shokrollahi M. A., Urbanke R. L. Design of capacity-approaching irregular low-density parity-check codes // IEEE Transactions On Information Theory. — 2001. February. - Vol. 47, no. 2. - Pp. 619-637.

107. Rosenthal J., Vontobel P. Constructions of LDPC codes using Ramanujan graphs and ideas from Margulis // Proceedings of 38th Allerton Conference on Communication, Control and Computing. — 2000.

108. Roth R., Ruckenstein G. Efficient decoding of Reed-Solomon codes beyond half the minimum distance // IEEE Transactions on Information Theory. — 2000. — Vol. 46, no. 1. — Pp. 246-257. citeseer.nj.nec.com/rothOOefficient.html.

109. Ryan W. E. An introduction to LDPC codes // CRC Handbook for Coding and Signal Processing for Recording Systems / Ed. by B. Vasic. — CRC Press, 2004.

110. Sampei S., Komaki S., Morinaga N. Adaptive modulation/TDMA scheme for large capacity personal multimedia communications systems // 1EICE Transactions on Communications. 1994. - September. - Vol. E77-B. - Pp. 1096-1103.

111. Santhi N., Vardy A. On the effect of parity-check weights in iterative decoding // Proceedings of IEEE International symposium on Information Theory. — 2004.

112. Sauer T. Polynomial interpolation of minimal degree and grobner bases groebner bases and applications // Groebner Bases and Applications (Proceedings of the International Conference "33 Years of Groebner Bases") / Ed. by B. Buchberger, F. Winkler. —

113. Vol. 251 of London Mathematical Society Lecture Notes. — Cambridge University Press, 1998. Pp. 483-494.

114. Scholtz R. The origins of spread-spectrum communications // IEEE Transactions On Communications. 1982. - May. - Vol. 30, no. 5. - Pp. 822-854.

115. Schurgers C., Srivastava M. B. A systematic approach to peak-to-average power ratio in OFDM // Proceedings of SPIE's 47th Annual Meeting. San Diego, CA: 2001. -July/August. — Pp. 454-464.

116. Seyedi A., Saulnier G. J. Symbol-error rate analysis of Fischer's bit-loading algorithm // IEEE Transactions On Communications. — 2004. — September. — Vol. 52, no. 9. Pp. 1480-1483.

117. Shen Z., Andrews /., Evans B. L. Optimal power allocation in multiuser OFDM systems // Proceendings of IEEE Global Communications Conference. — Vol. 1. — 2003. — December. Pp. 337-341.

118. Subcarrier allocation for variable bit rate video streams in wireless OFDM systems / J. Gross, J. Klaue, H. Karl, A. Wolisz // Proceedings of VTC Fall'03. 2003.-October.

119. Tarokh V., Jafarkhani H. On the computation and reduction of the peak-to-average power ratio in multicarrier communications // IEEE Transactions On Communications. 2000. - January. - Vol. 48, no. 1. - Pp. 37-44.

120. Torrance J. M., Hanzo L. Latency and networking aspects of adaptive modems over slow indoors Rayleigh fading channel // IEEE Transactions on Vehicular Technology. 1999. - July. - Vol. 48. - Pp. 1237-1251.

121. Torrance J., Hanzo L. Optimization of switching levels for adaptive modulation in slow Rayleigh fading // IEE Electronics Letters. — 1999. — June. — Vol. 32, no. 13. — Pp. 1167-1169.

122. Trifonov P., Costa E., Schulz E. Adaptive user allocation, bit and power loading in multi-carrier systems // Proceedings of the 9th International OFDM-Workshop. — 2004.

123. Trifonov P., Costa E., Schulz E. Adaptive multilevel coding in OFDM systems // Proceedings of IEEE Vehicular Technology Conference — Spring 2005. — 2005.

124. Truong T.-K., Jeng J.-H., Reed I. S. Fast algorithm for computing the roots of error locator polynomials up to degree 11 in Reed-Solomon decoders // IEEE Transactions on Communications. — 2001. — Vol. 49, no. 5. — Pp. 779-783.

125. Ungerboeck G. Channel coding with multilevel/phase signals // IEEE Transactions on Information Theory. 1982. - Vol. 28, no. 1. - Pp. 55-67.

126. Upper bounds on the rate of LDPC codes / D. Burshtein, M. Krivelevich, S. Lit-syn, G. Miller // IEEE Transactions on Information Theory. — 2002. — September. — Vol. 48, no. 9.van der Waerden B. L. Algebra. — Springer-Verlag, 1991,— Vol. 1.

127. Vareljian A. Behavioral modeling of transmission line channels via linear transformations: 10GBASE-T study group working document: 2003.

128. Vasic В., Milenkovic 0. Combinatorial constructions of low-density parity-check codes for iterative decoding // IEEE Transactions on Information Theory. — 2004. — June. — Vol. 50, no. 6.

129. Viswanath P., TseD. N. C., Anantharam V. Asymptotically optimal water-filling in vector multiple-access channels // IEEE Transactions On Information Theory. — 2001. — January. — Vol. 47, no. 1.

130. Vitter J. S. Design and analysis of dynamic Huffman codes // Journal of the ACM. —1987. October. - Vol. 34, no. 4. - Pp. 825-845.

131. Vontobel P. O., Koetter R. Lower bounds on the minimum pseudo-weight ol linear codes j I Proceedings of IEEE International symposium on Information Theory. — 2004.

132. Wachsmann U., Fischer R. F. H., Huber J. B. Multilevel codes: Theoretical concepts and practical design rules 11 IEEE Transactions On Information Theory. — 1999. — July. Vol. 45, no. 5. - Pp. 1361-1391.

133. Wang X., Liu K. J. R. Adaptive channel estimation using cyclic prefix in multicarrier modulation system // IEEE Communications Letters.— 1999. — October. — Vol. 3, no. 10. Pp. 291 - 293.

134. Wang Y., Zhu X. A fast algorithm for the Fourier transform over finite fields and its VLSI implementation // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. —1988. Vol. 6, no. 3. - Pp. 572-577.

135. Webb W. Т., Steele R. Variable rate QAM for mobile radio // IEEE Transactions on Communications. 1995. - July. - Vol. 43, no. 7. - Pp. 2223-2230.

136. Weinstein S. В., Ebert P. M. Data transmission by frequency-division multiplexing using the discrete fourier transform I j IEEE Transactions on Communications. — 1971. — October. — Vol. 19, no. 5. Pp. 628-634.

137. Weller S. R., Johnson S. J. Iterative decoding of codes from oval designs // Proceedings of Wokshop on Defence Applications of Signal Processing. — 2001.

138. Woerz Т., Hagenauer J. Iterative decoding for multilevel codes using reliability information // Proceedings of GLOBECOM'92. Vol. 3. - 1992. - December. - Pp. 1779 -1784.

139. Wu Н.-С., Gu G. Analysis of intercarrier and interblock interferences in wireless OFDM systems // Proceedings of Globecom. — 2003.

140. Yang L.-L., Hanzo L. Multicarrier DS-CDMA: A multiple access scheme for ubiquitous broadband wireless communications // IEEE Communications Magazine. — 2003. — October. Vol. 41, no. 10.

141. Yedidia J. S. Sparse factor graph representations of Reed-Solomon and related codes // Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory. — 2004. — June.

142. Yin H., Liu H. An efficient multiuser loading algorithm for OFDM-based broadband wireless systems // Proceedings of IEEE Global Communications Conference. — 2000. November. - Pp. 103-107.

143. Yu Q., Wing O. W. Computational models of transmission lines with skin effects and dielectric loss // IEEE Transactions on Circuits and Systems. — 1994. — Vol. 41, no. 2,- Pp. 107-119.

144. Yu W., Cioffi J. M. FDMA capacity of gaussian multiple-access channels with ISI // IEEE Transactions on Communications.— 2002. — January. — Vol. 50, no. 1.— Pp. 102-111.

145. Афанасьев В. Б., Грушко И. И. Алгоритмы БПФ для полей GF{2m) // Помехоустойчивое кодирование и надежность ЭВМ. — М.: Наука, 1987. — С. 33-55.

146. Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536 с.

147. Бахвалов И., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. — М : Физматлит. 2002. 632 с.

148. Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика. — М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 2001. — 744 с.

149. Берлекэмп Э. Р. Алгебраическая теория кодирования. — М.: Мир, 1971. — 477 с.

150. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. — М.: Мир, 1986. — 576 с.

151. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1989. — 448 с.

152. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Лань, 2002. - 464 с.158. ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976. — 648 с.

153. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М.: Факториал, 2002. — 824 с

154. Габидулин Э. М., Афанасьев В. Б. Кодирование в радиоэлектронике, — М.: Радио и связь, 1986. — 176 с.

155. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. — М.: Советское радио, 1974. — 720 с.

156. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 4 изд. — М.: Наука, 1988. — 543 с.

157. Грин П. Е. Системы с обратной связью // Лекции по теории систем связи / Под ред. Е. Д. Багдади. — Мир, 1964.

158. Дэйвид Г. Порядковые статистики. — М.: Наука, 1979. — 335 с.

159. Захарова Т. Г. Вычисление преобразования Фурье в полях характеристики 2 // Проблемы передачи информации. — 1992. — Т. 28, № 2. — С. 62-76.

160. Захарова Т. Г. Применение преобразования Фурье при декодировании кодов Рида-Соломона // Радиотехника. — 1996. — № 12. — С. 55-57.

161. Кокс Д., Литтл Д., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. — М.: Мир, 2000. 687 с.

162. Колесник В. Д., Полтырев Г. Ш. Курс теории информации. — М.: Наука, 1982. — 416 с.

163. Мак-Вильямс Ф. Д., Слоэн Н. Д. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. — М.: Связь, 1979. 744 с.

164. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео / Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. -384 с.

165. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир, 1976.— 594 с.

166. Прокис Д. Цифровая связь. — М:: Радио и связь, 2000. — 800 с.

167. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и практика. М.: Мир, 1980. - 478 с.

168. Трифонов П. В. Адаптивная передача в многопользовательских многочастотных системах вещания // Информационно-управляющие системы, — 2005.— Т. 1, № 14,- С. 41-45.

169. Трифонов П. В., Федоренко С. В. Метод быстрого вычисления преобразования Фурье над конечным полем // Проблемы передачи информации. — 2003. — Т. 39, № 3. С. 3-10.

170. Фишс Л. Теория передачи дискретных сообщений. — М.: Советское радио, 1970. — 728 с.1. АКТоб использовании результатов диссертационной работы П.В. Трифонова

171. Циклотомический алгоритм быстрого преобразования Фурье над конечным полем, используется в курсе «Информатики» по кафедре Распределенные вычислений и компьютерных сетей, специальность 552800 "Информатика и вы ч и с: 111 тел ь н а я тех н и ка'1

172. Адаптивный метод передачи в многочастотных системах на основе многоуровнего кодирования.

173. Быстрый алгоритм поиска корней многочленов над конечным полем

174. Применение указанных результатов позволило:• повысить точность адаптации в системе передачи информации• повысить скорость работы декодеров кодов Рида -Соломона .1. Руководитель проекта1. А.Д. Фомин