автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Адаптивно-статистические методы в некоторых задачах вычислительной механики

На правах рукописи

Р Г Б ОД 2 7 ОПТ 1993

БУТЕНИНА Дина Викторовна

АДАПТИВНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Техническом Университете

Научный руководитель -

доктор технических наук,_

профессор |0.Ю. КУЛЬЧИЦКИЙ

Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор Г.Л. ШЕВЛЯКОВ

кандидат технических наук, доцент А.Б. ДЕГТЯРЕВ

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится ■»М " ¿ШЛЩО- 1998 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 063.38.18 при Санкт-Петербургском Государственном Техническом Университете по адресу 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. $ ■ К/5 _/ ^ . К ,

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургском Государственном Техническом Университете.

Автореферат разослан ^ .

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.38.18, доктор биологических наук

А.В. ЗИНКОВСКИИ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной механики происходит в направлении реализации численных экспериментов над все более сложными механическими моделями. Наиболее показательными здесь являются модели сплошных сред, анализ которых приводит к необходимости использования сеточных методов. При этом точность получаемого путем моделирования решения задач существенным образом зависит от характеристик узлов сетки, на которой ищется решение. Для сложных задач используются сетки с большим числом узлов, оптимизация которых невозможна из-за большей сложности этой проблемы, чем исходная. В данной работе предлагается развивать другой-ансамблевый, статистический подход к этой проблеме, согласно которому вместо оптимизации узлов сетки оптимизируется плотность их распределения.

Идея ансамблевого описания характеристик концентрации узлов сетки интегрирования позволяет преобразовать задачу математического программирования по выбору оптимальной сетки в соответствующую вариационную задачу. В ряде случаев эту вариационную задачу можно решить аналитически. В других же случаях возможно только приближенное численное ее решение. Однако сложность получения решения вариационной задачи намного меньше, чем решение аналогичной задачи математического программирования, так как в вариационной задаче оптимизации оказываются автоматически учтенными сложные для численной реализации ограничения на координаты узлов типа упорядочивания, а также для получения хороших приближений не требуется высокой точности определения плотности распределения узлов. Важны только тенденции их концентрации. Поэтому достаточной оказывается простейшая аппроксимация плотности распределения в виде кусочно- постоянных функций.

Другая актуальная задача, которая требует привлечения методов адаптивно-статистического моделирования, состоит в вычислении многомерных интегралов.

Цель работы. Разработка адаптивных статистических подходов, методов и алгоритмов для решения задач вычислительной механики, например, обобщение метода конечных элементов на случай адаптивной случайной сетки, а также построение алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов с повышенной скоростью сходимости.

Научная новизна.

1. Разработан регрессионный подход к вычислению многомерных интегралов на случайной сетке. Этот подход основан на аппроксимации подынтегральной функции функцией регрессии, коэффициенты которой определя-

ются стохастическим методом наименьших квадратов (МНК). В качестве оценки интеграла берется значение интеграла от полученой аппроксимации функции. Исследован рекуррентный и нерекуррентный МНК.

2. Получены аналитические представления для дисперсий оценок многомерных интегралов регрессионными методами и исследованы пути их понижения за счет выбора базисных функций.

3. Разработаны методы повышения точности вычисления многомерных интегралов, основанные на оптимизации плотности распределения узлов сетки.

4. Получены аналитические представления интегральных функционалов, характеризующих уровень погрешности вычисления одномерных интегралов на случайной сетке. Минимизация этих функционалов позволяет получать оптимальные распределения узлов сетки интегрирования.

5. Разработан подход к рациональному выбору характеристик случайной сетки в методе конечных элементов (МКЭ) при решении одномерных задач механики сплошных сред.

6. Рассмотрены и исследованы различные адаптивные алгоритмы оптимизации случайной сетки МКЭ.

■ Личный вклад. Все научные результаты и методологические подходы, Приведенные в диссертационной работе, получены и сформулированы соискателем самостоятельно.

Практическая ценность.Практически ценным является расширение круга задач, решаемых статистическими методами. Разработанные в диссертации алгоритмы оптимизации одномерной сетки могут быть успешно применены к расчету статики, а также динамики одномерных инженерных задач. Кроме того, идеи, предложенные для оптимизации одномерной сетки МКЭ при надлежащей доработке могут быть применены для рассчета двумерных и трехмерных задач вычислительной механики. Полученные результаты исследований носят универсальный характер и могут быть использованы при организации сложных вычислений в многопроцессорных компьютерных системах.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы теории вероятности, математической статистики, механики деформируемых тел, вычислительной математики, программирования и численного моделирования на ЭВМ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались

-на 4-ой Международной конференции женщин математиков "Математика. Моделирование. Экология'" (Волгоград, 1996)

-на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997),

-на Международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 1997)

-на семинарах кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета (С.-Петербург, 1997)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 61 наименования. Диссертационная работа изложена на 136 страницах, содержит 16 рисунков и 6 таблиц .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается аналитический обзор методов, применяемых для уменьшения погрешности вычисления интегралов методом Монте-Карло. Рассматриваются основные идеи и подходы методов Монте-Карло, известные в литературе.

Теория этих методов наиболее полно освещена в фундаментальных монографиях И. М. Соболя, С.М. Ермакова, Г.А. Михайлова, В.Б. Меласа, A.A. Жиглявского, В.В. Некруткина, Б.С. Елепова, A.C. Сипина, К.К. Са-бельфельда, О.Ю. Кульчицкого, В.М. Иванова, Д.Г. Арсеньева и других.

Одним из серьезных недостатков классических процедур вычисления интегралов методами статистического моделирования является сравнительно низкая скорость сходимости этих методов — порядка 1 /</N, где N — количество точек, в которых вычисляются интегрируемые функции. Поэтому в теории метода Монте-Карло большое внимание уделяется вопросам ускорения их сходимости на основе учета априорной информации. Основными приемами такого рода ускорения являются : частичное аналитическое интегрирование с выделением главной части; метод существенной выборки; методы выборки по группам; симметризация подынтегральной функции; использование взвешенных оценок и т.д.

Каждый из перечисленных способов ускорения основывается на дополнительных предположениях, сужающих класс, которому принадлежит интегрируемая функция. Чем уже этот класс, тем эффективней может быть сконструирован соответствующий алгоритм численного интегрирования методом Монте-Карло. О.Ю. Кульчицким, В.М. Ивановым разработаны адаптивные подходы к проблеме ускорения метода Монте-Карло. Эти подходы основаны на том, что если априорных данных о классе интегрируемых функций не имеется, то возможна их "реконструкция" в процессе моделирования и учет этой реконструкции в алгоритме.

Приведенный анализ литературы позволяет заключить, что дальнейшее

н

развитие адаптивно-статистических методов и применение их к решению задач вычилительной механики является актуальной задачей.

Вторая глава посвящена разработке регрессионных методов Монте- Карло вычисления многомерных интегралов. В этом методе уменьшение дисперсии оценки интеграла достигается за счет подходящего выбора базисных функций.

Пусть требуется вычислить гг-мерный интеграл на ограниченном, замкнутом множестве D С Rn-

J = {f(x)dx = Mi{j§}, (1)

d

где £ - случайная величина, распределенная с плотностью р(х) : р(х) > О при всех х € D, J p(x)dx = 1; { • } - символ математического ожидания

по

Используем для этого следующий статистический алгоритм: 1) Функция д(х) представляется в виде:

5(x) = K§ = ö^(x) + A5(x)' (2)

где в е Rm - неизвестный вектор параметров; ■¡/>(х) £ Rm - известная вектор-функция, компонентами которой являются линейно-независимые на D базисные функции; Ад(х) - минимальный по дисперсии остаток аппроксимации, имеющий нулевое среднее.

2) Оценка параметров в аппроксимации (2) осуществляется методом наименьших квадратов:

вк = arg mini Е (5(xi)-F0(Xi))2 + (0-e(O)f<5(O)(ö-ö(O)) о I ¡=1

где х; - независимые реализации случайной величины £ , распределенной с плотностью р(х)\в(0) - априорная оценка неизвестных параметров 0; Q(0)-априорная дисперсионная матрица оценок 0(0).

3) Оценка искомого интеграла J^ удовлетворяет следующей системе рекуррентных уравнений:

» - Qn4>{xn+x) (g(xN+1) - фт (xjy+i) n+1 n 1 + фт (xn+l) qn^ {xn+l)

Qn 1 = qn~ ,

N+1 N 1+ ФТ (xjv+l) QN4> {xn+l) '

0o = ö(O); <5o = <3(0) > 0.

Зы = / /лг(х)с?х =

о

где /^(х) = р{х.)вц1р(хУ, к = I ф{х)р(х)<1х. (3)

о

Функционал дисперсии ошибки определяется соотношением

(4)

Пусть базисные функции ^(г) удовлетворяют следующим условиям:

ф(х) = [1,/(х)]Т 6 Вт] в = [МТ € Д*,

= (5)

= ¥ /^г«*- - ' (6)

Тогда дисперсия оценки определяется выражением : где

Зр = у = / ^(х)^т(х)р(х)с?х > 0.

о о

Введение регрессионной зависимости в (2) приводит, как это видно из (6), к уменьшению дисперсии погрешности вычисления интеграла, но только в тех случаях, когда не все базисные функции ортогональны функции /(г), так как при этом величина (6) та же, что и в традиционном подходе.

Отметим также, что функционал качества работы системы определяется не только управляющим воздействием р(х), но и интегрируемой функцией /(х), вносящей фактор неопределенности в процесс управления. Поэтому решение оптимизационной задачи по выбору рор/ (х) не приводит к физически реализуемому управлению, т.к. Рор«(х) = рарг{х, /}. Тем не менее, получение явного выражения для рорг{х, /} может быть использовано для организации процесса адаптивной подстройки вычислений.

При условиях (5) оптимальная в смысле минимума функционала (6) плотность р*(х) удовлетворяет следующему нелинейному интегральному уравнению:

р*(х\ =_№и_ т

Р у ] цТ<р(х) + (рМфГМр^уЩу)-1^)2' Х }

где А выбирается из условия нормировки плотности р(х), а /г 6 Ят-г из условий:

I <р(х)р*(х)<1х = 0.

Полученное уравнение для р*(х) дает возможность построения стратегии управления, необходимой для синтеза физически реализуемых адаптивных управлений.

Физическая нереализуемость плотности р* (х) состоит в том, что она существенным образом зависит от функции /(х) и параметров 9*, также определяемых через значения /(х). Стратегия адаптивного управления процессом вычисления будет состоять в том, что на основе предыдущих к серий вычислений интегрируемой функции /(х) в отдельных точках строится ее аппроксимация Д(х) во всей области D и дается оценка в^ и Jn значениям параметров 9 и J в соответствии с алгоритмом (3). Плотность генерирования узлов сетки в следующей к + 1-ой серии вычислений выбирается в соответствии с (7) по формуле:

JftlL (<8)

у А + рт(р(х) + (щр(х))2

Различие алгоритмов адаптивного управления в изложенной постановке определяется различием способов аппроксимации функции /(х). В диссертации рассматриваются два способа аппроксимации /(х) в кусочно-постояннс виде и на основе регрессионной модели (2).

Третья глава посвящена адаптивной оптимизации квадратурных формул для вычисления одномерных интегралов на случайной сетке. Результаты, полученные в этой главе , применяются в главе 4 при решении задачи об адаптивном выборе одномерной сетки в методе конечных элементов.

Пусть требуется вычислить одномерный интеграл :

ь

J = jf{x)dx. (9)

Для приближенной оценки интеграла (9) используются случайные квадратурные формулы общего вида:

N m

(х{Ш) - *(Ч) £ Aif(Zkii). (10)

fc=0 i=l

Здесь Xft)— случайные узлы интегрирования, причем а = х^ < х^ < Х(к+1) < x(n+i) = Ь, к = 1 ,...,N- вариационный ряд, составленный из независимых реализаций xi, случайной величины распределенной с некоторой плотностью р{х) такой, что:

ъ

р(х) >0, jp(x)dx = 1, (И)

а

Zh,i,Ai- некоторые числа, такие что А{ > 0, г = l,m, £ А{ = 1, 2*,- £

¿=1 '

Рассматриваются следующие частные случаи квадратурной формулы (10):

1) Формулы 'левых', 'правых' прямоугольников:

JN = fix(k)){x(k+1)-^*)), (12)

к=о

"(г) N

W = £ Я®(*+1)Х*(*+1) - *(*))■ (13)

к=0

2) Формула трапеций:

'(t) N 1

Jn = Е ô(/(®(*)) + /(*(*+i))K*(*+i) - (14)

*=0 z

3) Формула центральных прямоугольников :

= (15)

В литературе квадратурные формулы типа (10) рассматриваются для случаев детерминированных узлов. При равномерной расстановке узлов известны соответствующие оценки погрешности вычисления интегралов по этим формулам. Например, у Никольского С. М. приводится следующая оценка: если формула (10) точна для многочленов степени г - 1 и f(x) 6 а7 6), т. е. функция f(x) имеет ограниченную константой

M на [а, 6] кусочно-непрерывную производную порядка г, то |J/y — J\ < где cr > 0.

Обычно наилучшую квадратурную формулу выбирают на определенном

классе функций F, минимизируя остаточный член квадратурной формулы

/?(/). Узлы !(,-) квадратурной формулы выбираются из условия минимума

величины sup |Л(/)|. Так как сетка должна быть наилучшей для всех / б feF

F, то чаще всего оказывается, что узлы х^ -равномерны.

Эта оценка является сильно завышенной на достаточно широком подклассе F' класса F (F' < F) . Поэтому предлагается вычислять интеграл от функции /, минимизируя оценку погрешности этого вычисления, учитывающую специфику f(x), т. е. адаптивно по отношению к /(х). Для этого предлагается построить оценки Tj^(f) остаточного члена R(f), которые учитывали бы специфику интегрируемой функции / и удовлетворяли неравенству:

1дЛг| = U - J À < TN(f) < sup (Д/tfl.

Ill I feF

Минимизировать оценку погрешности вычисления интеграла TV(/) в детерминированном виде практически сложно. Однако, если узлы случайны,

то можно получить функционал Д/\- = М{Т^}, зависящий от функции плотности распределения случайных узлов р(х). Решив вариационную задачу минимизации этого функционала, получаем оптимальную плотность распределения узлов сетки р*(х, /), которая не может быть непосредственно реализована из-за зависимости от /(х).

Основной идеей работы является синтез квадратурных формул на случайной сетке адаптивно приспособленной к конкретной интегрируемой функции /.

Для функций /(х) £ Сг^'ц получены оценки Тц остаточного члена квадратурных формул (12), (13) (г = 1) и формул (15), (14) (г = 2). Оценки Тдг представляют собой суммы следующего вида:

n

^ = *('■+!))> (16) »=0

где узлы £(,■), г = 0, ...,ЛГ + 1 такие, что х^) = = Ь и < £(,-+1) и

функции для каждой из квадратурных формул (12)-(14) опре-

деляются соответственно выражениями:

ты «(.•+!)) = / (*<.-+ч - о |/'(01 ¿е, (17)

*<0

2)Д(*Мг-+1)) = 1 7 ^/"(ОКе - *0))(*(.-+1) - (19)

Х(>)

где г,- = 2а2|и±и.

Вывод выражения для М{Т;/} представляет собой самостоятельную задачу, поскольку узлы входящие в (10) не являются стохастически независимыми величинами и вывод выражения для М{Тдг} требует привлечения методов теории порядковых статистик.

Сумма Т/у является частным случаем суммы общего вида:

n

5лг = (21)

•=о

где узлы Х(,),г = 0,...,^ + 1 такие, что яо = = Ь и х^) < £¡¡+1),

Я(гг(,),х^+1))-некоторая функция. Имеет место следующая теорема! :

Теорема1 Пусть -ограниченная на [а,б]2 функция, тогда

математическое ожидание определяется выражением:

и <л

M{SN} = Nf H (а, х) [1 - P{x]f-1 p{x)dx + N f H(x,b)P(x)N~1p(x)dx

+

ь ь

+N(N - 1) // H(x,y) [P(x) + 1 - P(y)}N-2p(y)p(^)dydx, (22)

a x

x

где P(x) = Jp(Qd^- функция распределения случайной величины x, М{.} -символ математического ожидания. Пусть функция Н(х, у) такая, что

1 )Н(х,у) — кусочно-дифференцируемая функция своих аргументов, 2)Н(х,х) = 0. (23)

Тогда для M{Sn} справедливо также представление:

M{SN} = 5 - / / НЦх, у) [Р(х) + 1 - P(y)f dydx, (24)

а х

Ь

где S — !Н'у(х,у) |г=и dy.

С помощью теоремы1 получено аналитическое представление функционала Д/дг = M{TN}.

Следствие.Математическое ожидание Тдг определяется выражением:

àIN = -fJ Щг(х, у) [Р(х) + 1 - P(y)f dydx. (25)

Ниже приводятся функционалы ДОЯ каждой из квадратурных формул (12)-(14).

1) Для формулы "левых", "правых" прямоугольников:

ь ь

Г« -

AIP = J\f(x)\J[P(x) + l-P(y)fdydx, (26)

а х

AIN = )j\f'(y)\[P(x) + l-P(y)}Ndxdy. (27)

2) Для формулы трапеций :

k ь {

2

A/f = \} |/"(01 // №) + 1 - ВД]" dzdydt. (28)

^ а ( а

3) Для формулы центральных прямоугольников:

AI» = i / / / V' (Ч1) ip(®)+1 - <29)

^О J о I ' * '

В работе исследовалась проблема оптимизации полученных функционалов по функции плотности р(х) или по функции распределения Р{х). Решить эту задачу аналитически в общем случае не удается, ввиду сложности минимизируемых функционалов и сложных ограничений, накладываемых на функцию Р{х). Однако можно получить выражение для плотности, минимизирующей функционалы (26)-(29) при числе случайных узлов N » 1.

Справедлива следующая лемма:

Лемма1 Пусть выполнены следующие условия:

1) (г — 1)- максимальная степень многочленов, для которых точна случайная квадратурная формула (10);

2) f(x) е Wßj для формул (12)-(15) и f(x) е Wffi для формулы (14);

3)плотностъ р(х) > 0, за исключением, быть может, тех точек, в которых f^r\x) =0 ир(х)- кусочно-дифференцируемая функция на [а, Ь].

Тогда

п (N + i)Ja Рг{х) \Nr+4

1=1

где Cr-некоторый числовой коэффициент, не зависящий от N и f.

Оптимизация функционала (30) при числе случайных узлов N » 1 по функции плотности р(х) дает следующее выражение для асимптотической оптимальной плотности р(х):

р>) = срЧ/|/М(х)|, (31)

где ср = 1—---нормировочный коэффициент.

а

Непосредственно воспользоваться плотностью р(х) для расстановки узлов нельзя, поскольку неизвестным является значение нормировочного множителя Ср, вычисление которого представляет собой по сложности такую же задачу,что и вычисление самого интеграла 3. Однако, зная аналитическое выражение для оптимальной плотности, можно построить адаптивную процедуру оптимизации случайной сетки.

С другой стороны, функционал (25) может быть оптимизирован численно на классе кусочно-постоянных плотностей. При этом не требуется точного учета вклада функции В!'ху(х,у) в функционал , поскольку достаточно знать только тенденции концентрации случайных узлов.

Для формул трапеций и прямоугольников определена также асимптотическая оптимальная плотность из класса кусочно-постоянных функций.

Доказана теорема о скорости сходимости случайных квадратурных формул (10).

Теорема2. Пусть случайная квадратурная формула (10) точна для многочленов степени г — 1 и функция f(x) 6 W^(Mr, а, Ь). Пусть плотность р(х) такая, что р(х) > тр > 0, тогда справедлива следующая оценка:

М{\Д J\} <-с < оо. ■ (32)

»V n(W + i) i=i

Для формул трапеций и прямоугольников показано, что при числе случайных узлов N >> 1 узлы х*, доставляющие минимум детерминированным оценкам TV и оптимальная асимптотическая плотность р(х) связаны соотношением:

x*^M{x(i)/p(x)=p{x)}. (33)

В третьей главе также приводятся результаты численных экспериментов, в ходе которых методами (12)-(14) вычислен ряд тестовых интегралов. Результаты вычисления показали эффективность использования оптимальной плотности (31) по сравнению с применением равномерной плотности, а также по сравнению с детерминированной равномерной расстановкой узлов интегрирования. Посчитаны величины SJ^, характеризующие относительное отклонение усредненной погрешности вычисления интеграла по случайной квадратурной формуле с оптимальным распределением узлов по сравнению с погрешностью вычисления интеграла по детерминированной квадратурной формуле с равноотстоящими узлами. В частности, при вычислении интеграла J = f e~x^dx методом трапеций с адаптацией плотно-

о

сти величина для Л = 7 составила приблизительно 23%, для А = 10 -приблизительно 66%. В случае, когда в качестве узлов брались величины, определенные формулой (33) dif,o ~ 82% и 92% соответственно.

Четвертая глава посвящена адаптивной оптимизации случайной одномерной сетки метода конечных элементов при решении задач теории упругости, термоупругости.

При решении практически важных инженерных задач методом конечных элементов одной из важных проблем и, по существу, первым шагом по пути к решению задачи является дискретизация области, поскольку плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, даже если остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.

Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. При этом возникает двоякая ситуация. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно мелкими, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем, чтобы можно было уменьшить размеры в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов) и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.

В литературе (например, Сегерлинд) указывается, что искусство разбиения области на подобласти зависит от имеющихся инженерных навыков и не имеет теоретического обоснования.

В данной работе выбор сетки определяется следующими соображениями:

Пусть П{ш(ж)} - потенциальная энергия системы. Тогда если и*(х) -решение, то

ПК(ж)} < П{и(®)}, (34)

где й{х) - любая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям. В МКЭ аппроксимация решения й(х) представляет собой кусочно-полиномиальную функцию, такую что на каждом элементе аппроксимирующий полином имеет следующий вид :

«М(*) = и2>(е)(*)- (35)

Здесь т - число узлов элемента, зависит от вида используемого элемента, е - номер элемента, ф^ -вектор-функция, компонентами которой являются координатные функции узлов элемента, ит - вектор узловых значений искомой величины, Т обозначает операцию транспонирования.

Узловые значения щ,..., и^, где N - общее число узлов конечно-элементно! модели, должны быть теперь "отрегулированы" таким образом, чтобы обеспечивалось "наилучшее" приближение к истинному распределению перемещения. В МКЭ это регулирование осуществляется , применительно к задачам теории упругости, путем минимизации потенциальной энергии по неизвестным компонентам вектора и^ после подстановки в ее выражение аппроксимации й{х), т.е.

и^ = а^ ттП(ил., Хд/), (36)

где х^ — [ж(1), ...,£(л')]Т-вектор упорядоченных узловых значений координат.

Процедура минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений щ,..., мдг . В случае если

заданы числовые значения координат узлов х^,..., 1(дг), это позволит сразу получить решение.

В данной работе предлагается координаты узлов a?i ,.... хм не задавать заранее, а рассматривать их реализациями случайной величины х, распределенной с некоторой плотностью вероятности р(х) такой, что

Ip(x)dx = 1, р(х) >0, х Е D (37)

d

и оптимальную плотность распределения находить совместно с узловыми значениями перемещения щ,..., и у из условия:

{popt(x),u*N) = arg min М{П(илт,х^)}, (38)

где М{-} - символ математического ожидания.

Процедура определения оптимальной плотности может быть осуществлена различными способами.

В ходе одного из них узлы, входящие в выражение (36), рассматриваются как параметры. Тогда узловые значения uj, , найденные из условия (36), будут зависеть от координат узлов, т.е.

(39)

В этом случае оптимальная плотность popt(x) подлежит определению из условия:

pcpt(x) = arg min М{n(u*v(x.v), xiV)}. (40)

p(x)

С плотностью Popt(x) разыгрываются узлы x*N и в качестве искомых узловых значений перемещения берутся величины и^(х^).

В тех случаях, когда форма конечного элемента учитывается не точно, т.е. аппроксимируется каким-либо образом, условие (34),вообще говоря, не выполняется и оптимальная плотность должна быть определена из условия:

Popt{x) = arg min |M{n(u^r(xyv), Хлг)} — П*|, (41)

рМ

где П* = П{ы*}.

В диссертации рассматриваемый метод иллюстрируется решением задачи о нахождении поля перемещений в стержне переменной площади поперечного сечения F(x), подверженного осевой нагрузке Q.

рас. 1

Задача решалась симплекс-методом. Рассматривались различные конечно-

элементные модели балки в зависимости от способа аппроксимации Fi(x) площади поперечного сечения стержня на элементе Так, для

моделей Mi, Mt соответстветственно t\{x) — F{x^) и Fi(x) = •

Рассмотрен также случай точного учета формы стержня (модель М0). Для каждой из вышеуказанных моделей доказано, что

M{fL(uN(xN),xN)} = ГГ + ДП{р, F}.

Оптимальная плотность определялась из условия:

Popt(x) = arg min |АП{р, F}\.

Определена асимптотическая оптимальная плотность р{х). Численный эксперимент проведен для стержня длины L = 1 с площадью поперечного сечения F(x) = F(0j(l — ßx), где параметр /3 = 1 — •

Посчитана величина средней погрешности |Ди(аг)| = ¡и*(ж) - й(ж)| оценки перемещения и(х) при равномерном и оптимальном распределении случайных узлов. Оказалось, что применение оптимальной сетки в модели М/ приводит к уменьшению погрешности оценки перемещения и(х) в области х 6 [0.9,1], т. е. к более точному моделированию перемещения на конце стержня. Этот результат очевиден, поскольку в данном примере оценка для потенциальной энергии и перемещения на конце стержня совпадают с точностью до мультипликативного множителя и минимизация потенциальной энергии автоматически ведет к оптимизации погрешности оценки перемещения на конце стержня.

При точном учете формы стержня (модель М0) величина погрешности перемещения |Ди(аг)|, построенного на оптимальной сетке, приблизительно одинакова во всей области стержня, в то время как при использовании равномерной сетки величина погрешности оценки перемещения нарастает к концу стержня и в несколько раз превосходит погрешность оптимального решения.

Получены значения (индекс указывает на модель стержня) числа детерминированных равноотстоящих узлов , необходимых для достижения той же точности по значению потенциальной энергии, что и при N оптимальных узлах. Так, для достижения той же точности по значению оценки потенциальной энергии для модели М; требуется число равноотстоящих

узлов N1 « 1.5N при В = 0.9 и N1 « 4.5ЛГ при в = 0.99, для модели М1 -

и при ¡3 = 0.9 и IV, и 7И при /? = 0.99.

Проведен сравнительный анализ стохастических и детерминированных решений, построенных по детерминированной равномерной сетке. Выяснилось, что моделирование с использованием равномерной плотности распределения случайных узлов в среднем приводит к более высокому значению погрешности оценки энергии по сравнению с погрешностью, получающейся при детерминированной расстановке узлов равномерным образом. То же самое можно сказать и о моделировании с использованием оптимальной плотности. При моделировании с оптимальной плотностью наблюдается эффект уменьшения величины зтой погрешности по сравнению с детерминированной равномерной расстановкой узлов при значениях параметра /3 > 0.95.

Предложены различные алгоритмы усреднения стохастического решения й(х) , позволяющие уменьшить норму величины |Д?/(ж)|.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан адаптивно-регрессионный подход к вычислению многомерных интегралов методам Монте-Карло. Подынтегральная функция аппроксимируется функцией регрессии, параметры которой определяются методом наименьших квадратов (МНК).

2. Получено аналитическое выражение функционала дисперсии оценки интеграла регрессионным методом. Показано, что величина дисперсии может быть значительно уменьшена по сравнению с традиционным методом Монте-Карло за счет подходящего выбора базисных функций.

3. Получено с точностью до параметров аналитическое выражение для плотности р{х, /}, минимизирующей функционал дисперсии.

4. Предложены 2 алгоритма адаптации плотности р{х, /}.

5. Разработаны алгоритмы адаптивной оптимизации вычисления одномерных интегралов по квадратурным формулам со случайными узлами.

6. Получены функционалы оценок погрешностей вычисления интегралов. Эти функционалы зависят от плотности распределения случайных узлов и от характеристик интегрируемой функции.

7. Получено аналитическое выражение для асимптотической оптимальной плотности, минимизирующей функционал погрешности. Эта плотность зависит от характеристик интегрируемой функции. Построена адаптивная процедура оптимизации погрешностей вычислений интегралов, эффективность использования которой подтверждена численными экспериментами.

8. Предложен подход к рациональному выбору случайной сетки метода

1ß

конечных элементов при рассчете одномерных стержневых систем. Этот подход заключается в том, что плотность распределения случайных узлов определяется из условия минимума математического ожидания потенциальной энергии, выраженной через аппроксимации искомого решения.

9. Получены основные соотношения метода для стержня переменной площади поперечного сечения , подверженного осевой нагрузке . Численный эксперимент проведен на примере стержня с линейно меняющейся площадью поперечного сечения. Результаты численного моделирования показали достаточно высокую эффективность использования адаптивно-оптимальной случайной сетки МКЭ.

Публикации по теме диссертации

1. Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М., Бутенина Д.В. Вычисление интегралов методами статистического моделирования с адаптацией. Труды СПбГТУ, сер. Механика и процессы управления, N458, Изд. СПбГТУ, С.-Петербург,1995, с.151-161.

2.Butenina D.V., Ivanov V.M., Kul'chitsky O.Yu. The adaptive optimization of nodes distribution in multivariate quadrature formulas. International Conféré "Optimization of Finite Element Approximations", St .Petersburg, Russia, 1995, p.46-47.

3. Бутенина Д. В. " Оптимизация сетки метода конечных элементов в задаче о растяжении балки переменного сечения." 5-я Международная конференция женщин-математиков "Математика. Экономика." Тезисы докладов. 26 июня - 1 июня 1997. Ростов на Дону, с.7.

4. Бутенина Д. В.,Кульчицкий О. Ю., Иванов В. М. " Оптимизация случайной сетки метода конечных элементов в задаче о растяжении стержня переменного сечения." Международный семинар. Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов. Самара, 24-27 июня 1997 г., с.158.

5. Бутенина Д. В., Кульчицкий О. Ю. " Адаптивно-статистический подход к решению задач вычислительной механики." Труды IV Международной конференции женщин-математиков "Математика. Моделирование .Экология" Волгоград, 27-31 мая 1996 г., т. 4, вып. 1, Изд.Изв.Вузов, радиофизика, Нижний Новгород, 1997, с. 65-72.

6. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю., Бутенина Д.В. Адаптивное управление вычислительными процессами. Труды СПбГТУ, сер. Механика и процессы управления, N467, Изд. СПбГТУ, С.-Петербург, 1997, с.54-60.

/■) П J / ///./

44-з

САНКТ-ПЕТЁРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БУТЕНИНА Дина Викторовна

АДАПТИВНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования. и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор О. Ю. КУЛЬЧИЦКИЙ

Санкт-Петербург

1998

3"

Предисловие

Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной механики происходит в направлении реализации численных экспериментов над все более сложными механическими моделями. Наиболее показательными здесь являются модели сплошных сред, анализ которых приводит к необходимости использования сеточных методов. При этом точность получаемого путем моделирования решения задач существенным образом зависит от характеристик узлов сетки, на которой ищется решение. Для сложных задач используются сетки с большим числом узлов, оптимизация которых невозможна из-за большей сложности этой проблемы, чем исходная. В данной работе предлагается развивать другой-ансамблевый, статистический подход к этой проблеме, согласно которому вместо оптимизации узлов сетки оптимизируется плотность их распределения.

Идея ансамблевого описания характеристик концентрации узлов сетки интегрирования позволяет преобразовать задачу математического программирования по выбору оптимальной сетки в соответствующую вариационную задачу. В ряде случаев эту вариационную задачу можно решить аналитически. В других же случаях возможно только приближенное численное ее решение. Однако сложность получения решения вариационной задачи намного меньше, чем решение аналогичной задачи математического программирования, так как в вариационной задаче оптимизации оказываются автоматически учтенными сложные для численной реализации ограничения на координаты узлов типа упорядочивания, а также для получения хороших приближений не требуется высокой точности определения плотности распределения узлов. Важны только тенденции их концентрации. Поэтому достаточной оказывается простейшая аппроксимация плотности

Содержание

Предисловие 5

1 Введение. Современное состояние методов статистических вычислений:

определения, свойства, проблемы, применения 23

2 Регрессионный метод вычисления многомерных интегралов 30

2.1 Постановка задачи ........................ 30

2.2 Синтез оптимального управления

вычислительным процессом .............................34

2.3 Стратегия адаптивной оптимизации

вычислительного процесса.................... 39

3 Адаптивная оптимизация квадратурных формул

со случайными узлами 41

3.1 Постановка задачи.............................41

3.2 Оценки погрешностей квадратурных формул

для произвольно расположенных узлов............. 44

3.3 Функционалы математических ожиданий

погрешностей случайных квадратурных формул....... 48

3.3.1 Примеры функционалов.................. 55

3.3.2 Некоторые ограничения для функционалов....... 56

3.4 Оптимизация функционалов по плотности распределения . . 59

3.4.1 Асимптотическая оптимальная плотность....... 59

3.4.2 Численное определение оптимальной плотности распределения произвольного числа узлов........ . 64

3.5 Некоторые соотношения между стохастическими

и детерминированными погрешностми ....................71

3.5.1 Оптимизация погрешностей детерминированных оценок. Примеры ....................... 71

3.5.2 Связь детерминированных оптимальных узлов и оптимальной плотности распределения случайных узлов . 76

3.6 Адаптивные алгоритмы оптимизации

случайной сетки интегрирования................ 82

3.7 Результаты численных экспериментов ............. 84

4 Оптимизация случайной сетки МКЭ при расчете одномерных упругих систем 87

4.1 Постановка задачи. Основная идея...... .......... 87

4.1.1 Адаптивный метод 1 оптимизации сетки МКЭ..... 90

4.1.2 Адаптивный метод 2 оптимизации сетки МКЭ..... 92

4.2 Растяжение стержня переменной площади

поперечного сечения. Расгчет симплекс-МКЭ......... 95

4.2.1 Вариационная формулировка задачи.......... 95

4.2.2 Конечно-элементная модель стержня .......... 96

4.2.3 Функционалы математических ожиданий аппроксимаций потенциальной энергии ............... 98

4.2.4 Оптимизация функционалов по плотности.......103

4.3 Пример. Растяжение стержня линейно меняющейся площади поперечного сечения........................105

4.3.1 Аналитическое решение задачи . ............105

4.3.2 Оптимизация детерминированной сетки МКЭ.....106

н

4.3.3 Оптимизация случайной сетки МКЭ..........110

4.4 Результаты численных экспериментов..............114

4.4.1 Моделирование детерминированных МКЭ-решений . 114

4.4.2 Моделирование стохастических МКЭ-решений .... 119

4.4.3 Сравнительный анализ стохастических и детерминированных решений.....................121

Заключение 128

Литература 130

б

распределения в виде кусочно- постоянных функций.

Другая актуальная задача, которая требует привлечения методов адаптивно-статистического моделирования, состоит в вычислении многомерных интегралов.

Цель работы. Разработка адаптивных статистических подходов, методов и алгоритмов для решения задач вычислительной механики, например, обобщение метода конечных элементов на случай адаптивной случайной сетки, а также построение алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов с повышенной скоростью сходимости.

Научная новизна.

1. Разработан регрессионный подход к вычислению многомерных интегралов на случайной сетке. Этот подход основан на аппроксимации подынтегральной функции функцией регрессии, коэффициенты которой определяются стохастическим методом наименьших квадратов (МНК). В качестве оценки интеграла берется значение интеграла от полученой аппроксимации функции. Исследован рекуррентный и нерекуррентный МНК.

2. Получены аналитические представления для дисперсий оценок многомерных интегралов регрессионными методами и исследованы пути их понижения за счет выбора базисных функций.

3. Разработаны методы повышения точности вычисления многомерных интегралов, основанные на оптимизации плотности распределения узлов сетки.

4. Получены аналитические представления интегральных функционалов, характеризующих уровень погрешности вычисления одномерных интегралов на случайной сетке. Минимизация этих функционалов позволяет получать оптимальные распределения узлов сетки интегрирования.

5. Разработан подход к рациональному выбору характеристик случайной сетки в методе конечных элементов (МКЭ) при решении одномерных задач механики сплошных сред.

6. Рассмотрены и исследованы различные адаптивные алгоритмы опти-

¥

мизации случайной сетки МКЭ.

Личный вклад. Все научные результаты и методологические подходы, приведенные в диссертационной работе, получены и сформулированы соискателем самостоятельно.

Практическая ценность.Практически ценным является расширение круга задач, решаемых статистическими методами. Разработанные в диссертации алгоритмы оптимизации одномерной сетки могут быть успешно применены к рассчету статики, а также динамики одномерных инженерных задач. Кроме того, идеи, предложенные для оптимизации одномерной сетки МКЭ при надлежащей доработке могут быть применены для рассче-та двумерных и трехмерных задач вычислительной механики. Полученные результаты исследований носят универсальный характер и могут быть использованы при организации сложных вычислений в многопроцессорных компьютерных системах.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы теории вероятности, математической статистики, механики деформируемых тел, вычислительной математики, программирования и численного моделирования на ЭВМ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались

-на 4-ой Международной конференции женщин математиков "Математика. Моделирование. Экология" (Волгоград, 1996)

-на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997),

-на Международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 1997)

-на семинарах кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета (С.-Петербург, 1997)

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ, список которых приведен в конце автореферата.

£

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 61 наименования. Диссертационная работа изложена на 136 страницах, содержит 16 рисунков и 6 таблиц .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дается аналитический обзор методов, применяемых для уменьшения погрешности вычисления интегралов методом Монте-Карло. Рассматриваются основные идеи и подходы методов Монте-Карло, известные в литературе.

Теория этих методов наиболее полно освещена в фундаментальных монографиях И. М. Соболя, С.М. Ермакова, Г.А. Михайлова, В.Б. Меласа, A.A. Жиглявского, В.В. Некруткина, Б.С. Елепова, A.C. Сипина, К.К. Са-бельфельда, О.Ю. Кульчицкого, В.М. Иванова, Д.Г. Арсеньева и других.

Одним из серьезных недостатков классических процедур вычисления интегралов методами статистического моделирования является сравнительно низкая скорость сходимости этих методов — порядка 1 / y/N, где N — количество точек, в которых вычисляются интегрируемые функции. Поэтому в теории метода Монте-Карло большое внимание уделяется вопросам ускорения их сходимости на основе учета априорной информации. Основными приемами такого рода ускорения являются : частичное аналитическое интегрирование с выделением главной части; метод существенной выборки; методы выборки по группам; симметризация подынтегральной функции; использование взвешенных оценок и т.д.

Каждый из перечисленных способов ускорения основывается на дополнительных предположениях, сужающих класс, которому принадлежит интегрируемая функция. Чем уже этот класс, тем эффективней может быть сконструирован соответствующий алгоритм численного интегрирования методом Монте-Карло. О.Ю. Кульчицким, В.М. Ивановым разработаны адаптивные подходы к проблеме ускорения метода Монте-Карло. Эти подходы основаны на том, что если априорных данных о классе интегрируемых функций не имеется, то возможна их "реконструкция" в процессе модели-

рования и учет этой реконструкции в алгоритме.

Приведенный анализ литературы позволяет заключить, что дальнейшее развитие адаптивно-статистических методов и применение их к решению задач вычилительной механики является актуальной задачей.

Вторая глава посвящена разработке регрессионных методов Монте- Карло вычисления многомерных интегралов. В этом методе уменыпешхе дисперсии оценки интеграла достигается за счет подходящего выбора базисных функций.

Пусть требуется вычислить п-мерный интеграл на ограниченном, замкнутом множестве И С Яп'-

J = jf(x)dx = M({Ж}, (0.1)

В

где £ - случайная величина, распределенная с плотностью р(х) : р(х) > 0 при всех хб Д ! р(х)с1х = 1; | • | - символ математического ожидания по

Используем для этого следующий статистический алгоритм: 1) Функция д(х) представляется в виде:

= Щ = + (0.2)

где 9 £ Ят - неизвестный вектор параметров- ф(х) £ Ят - известная вектор-функция, компонентами которой являются линейно-независимые на В базисные функции; Ад(х) - минимальный по дисперсии остаток аппроксимации, имеющий нулевое среднее.

2) Оценка параметров 9 аппроксимации (2) осуществляется методом наименьших квадратов:

9И = аг§шт{ Е (<?(х;) - 9Тф(:х;))2 + (в - ¿(О))гд(О)(0" *(0)) } ' в к 1=1 ;

где X; - независимые реализации случайной величины £ , распределенной с

плотностью р(х); 9(0) - априорная оценка неизвестных параметров 9; (¿(0) —

априорная дисперсионная матрица оценок #(0).

ю

3) Оценка искомого интеграла «Тдг удовлетворяет следующей системе рекуррентных уравнений:

ЯыФ{хм+\) {д(хы+\) - Фт (жлг+х) 9Н 9и+1 = --

Qn+I = QN

1 + фт (xN+i) (¿мф (xN+i) дыф(хм+1)фт (xN+i) qn

i + фт (xN+i) {xN+i)

Оо = 9(0); Qo = Q{0)>0

Jn = I /лг(х)^х = §Nh, D

где fN(x) = р(х)9мф(х); h = j ф(х)р(х)ёх. (0.3)

D

Функционал дисперсии ошибки определяется соотношением

Djn = hTD§Nh. (0.4)

Пусть базисные функции ф(х) удовлетворяют следующим условиям:

ф(х) = [l,^T(x)f G Rm'i 9 = [МТ € Л™,

МЫ0} = = 0. (0.5)

D

Тогда дисперсия оценки определяется выражением :

(р, /} = ^ (/ -J- J^F-1 J, j , (0.6)

где

J<p = j/(x)v?(x)dx;F^ = f <p(x)(pT(x)p(x)dx > 0.

D D

Введение регрессионной зависимости в (2) приводит, как это видно из (0.6) , к уменьшению дисперсии погрешности вычисления интеграла, но только в тех случаях, когда не все базисные функции ортогональны функции fix) , так как при этом величина (0.6) та же, что и в традиционном подходе.

Отметим также, что функционал качества работы системы определяется не только управляющим воздействием р(х), но и интегрируемой функцией /(х), вносящей фактор неопределенности в процесс управления. Поэтому решение оптимизационной задачи по выбору рорг(х) не приводит к физически реализуемому управлению, т.к. £>ор*(х) = рор1,{-х., Тем не менее, получение явного выражения для /} может быть использовано для организации процесса адаптивной подстройки вычислений.

При условиях (0.5) оптимальная в смысле минимума функционала (0.6) плотность р*(х) удовлетворяет следующему нелинейному интегральному уравнению:

/(х) ^ + Л?(х) + Ш у)-Ч)2' (0"7)

где Л выбирается из условия нормировки плотности р(х), а /л 6 Ят-1-из условий:

I (р(х)р* (х)с1х = 0. о

Полученное уравнение для р*(х) дает возможность построения стратегии управления, необходимой для синтеза физически реализуемых адаптивных управлений.

Физическая нереализуемость плотности р*(х) состоит в том, что она существенным образом зависит от функции /(х) и параметров в*, также определяемых через значения /(х). Стратегия адаптивного управления процессом вычисления будет состоять в том, что на основе предыдущих к серий вычислений интегрируемой функции /(х) в отдельных точках строится ее аппроксимация Д(х) во всей области И и дается оценка 9^ и значениям параметров 9 и 7 в соответствии с алгоритмом (0.3). Плотность генерирования узлов сетки в следующей к + 1-ой серии вычислений выбирается в соответствии с (0.7) по формуле:

К+1(х) = , 1 /<,(х) 1 ^ - (0.8)

1 у/Х + /¿Мх) + К '

Различие алгоритмов адаптивного управления в изложенной постановке

определяется различием способов аппроксимации функции /(х). В диссертации рассматриваются два способа аппроксимации /(х) в кусочно-постоянно виде и на основе регрессионной модели (0.2).

Третья глава посвящена адаптивной оптимизации квадратурных формул для вычисления одномерных интегралов на случайной сетке. Результаты, полученные в этой главе , применяются в главе 4 при решении задачи об адаптивном выборе одномерной сетки в методе конечных элементов.

Пусть требуется вычислить одномерный интеграл :

ъ

•7 = / ¡{х)йх. (0.9)

а

Для приближенной оценки интеграла (0.9) используются случайные квадратурные формулы общего вида:

n га

JN=Л (х(к+1) - Х(к)) £ (0.10)

Аг=0 г=1

Здесь £(£)— случайные узлы интегрирования, причем а — х^ < х^) < х{к+1) < х{ы+1) — Ъ, к — 1,...,ЛГ - вариационный ряд, составленный из независимых реализаций х\, случайной величины распределенной

с некоторой плотностью р{х) такой, что:

р{х) >0, Iр(х)йх = 1, (0.11)

некоторые числа, такие что А,' > 0л = = 1, €

¿=1

1х{к),х{к+1)] •

Рассматриваются следующие частные случаи квадратурной формулы (0.10):

1) Формулы 'левых', 'правых' прямоугольников:

А = £ - Х(к)), (0.12)

к=0

А = £ 1(х(к+1)){х(к+1) - Х(к))- (0.13)

к-о

2) Формула трапеций:

М 1

А = £ 2(/(х{к)) + 1(х[к+1)Жх(к+1) - х(к))- (0.14)

к=0

3) Формула центральных прямоугольников :

n ,

Е/

Х(к) + х(к+1) 2

) (^(А+1) - х(к))

(0.15)

Аг=0 \

В литературе квадратурные формулы типа (0.10) рассматриваются для случаев детерминированных узлов. При равномерной расстановке узлов известны соответствующие оценки погрешности вычисления интегралов по этим формулам. Например, у Никольского С. М. приводится следующая оценка: если формула (0.10) точна для многочленов степени г — 1 и /(х) 6 \¥(г)(М,а,Ь), т. е. функция /(ж) имеет ограниченную константой М на [а, 6] кусочно-непрерывную производную порядка г, то — 3\ <

Обычно наилучшую квадратурную формулу выбирают на определенном классе функций Р, минимизируя остаточный член квадратурной формулы #(/). Узлы квадратурной формулы выбираются из условия минимума величины Бир|Я(/)|. Так как сетка должна быть наилучшей для

всех / € Р, то чаще всего оказывается, что узлы х^ -равномерны.

Эта оценка является сильно завышенной на достаточно широком подклассе Р' класса Р (Р1 < Р) . Поэтому предлагается вычислять интеграл от функции /, минимизируя оценку погрешности этого вычисления, учитывающую специфику /(х), т. е. адаптивно по отношению к /(#). Для этого предлагается построить оценки остаточного члена Ы^), кото-

рые учитывали бы специфику интегрируемой функции / и удовлетворяли неравенству:

Минимизировать оценку погрешности вычисления интеграла Гдг(/) в детерминированном виде практически сложно. Однако, если узлы случайны, то можно получить функционал — М{Т^}, зависящий от функции плотности распределения случайных узлов р(х). Решив вариационную задачу