автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Стохастические методы адаптивного управления в вычислительной математике и механике

Введение

Глава 1. Стохастические вычислительные алгоритмы как объект адаптивного управления

1.1. Основная идея.

1.2. Постановка задачи адаптивного управления процессом вычислений.

1.3. Синтез оптимального управления вычислительным процессом.

1.4. Стратегия адаптивной оптимизации вычислительного процесса.

Глава 2. Адаптивное управление статистическими методами вычисления интегралов с повышенной скоростью сходимости

2.1. Постановка задачи.

2.2. Идея адаптации в статистических методах численного анализа, основанная на принципах существенной выборки

2.3. Адаптивный алгоритм вычисления одномерных интегралов.

2.3.1. Выбор плотностей вероятностей.

2.3.2. Процедура оценивания.

2.3.3. Результаты численных экспериментов.

2.3.4. Обсуждение результатов.

2.4. Адаптивный алгоритм вычисления одномерных интегралов (общий случай).

2.4.1. Процедура оценивания.

2.4.2. Сходимость алгоритма.

2.4.3. Оценивание погрешности в процессе вычислений.

2.4.4. Моделирование реализаций случайных величин.

2.4.5. Трудоемкость алгоритма.

2.4.6. Результаты численных экспериментов.

2.5. Адаптивный алгоритм вычисления двумерных и многомерных интегралов.

2.5.1. Описание алгоритма.

2.5.2. Результаты численных экспериментов.

2.5.3. Некоторые замечания.

Глава 3. Адаптивное управление процедурой полустатистического метода численного решения интегральных уравнений

3.1. Введение.

3.2. Основные соотношения метода.

3.3. Формулы рекуррентного обращения.

3.4. Сходимость метода.

3.5. Адаптивные возможности алгоритма.

3.6. Качественные соображения о связи полустатистического метода с вариационными.

3.7. Применение метода для интегральных уравнений с особенностью.

3.7.1. Описание и специфика применения метода

3.7.2. Формулы рекуррентного обращения.

3.7.3. Анализ погрешностей метода.

3.7.4. Адаптивные возможности алгоритма.

Глава 4. Проекционно-адаптивное управление процессом численного решения интегральных уравнений

4.1. Введение.

4.2. Основные соотношения метода.

4.3. Формулы рекуррентного обращения

4.4. Сходимость алгоритма.

4.5. Основные достоинства.

4.6. Адаптивные возможности.

4.7. Особенности численной реализации.

4.8. Альтернативная вычислительная методика: усреднение приближенных решений.

4.9. Результаты численного моделирования.

4.9.1. Тестовая задача.

4.9.2. Задача о вынужденных поперечных колебаниях закрепленной струны.

Глава 5. Применение методов адаптивного управления вычислительными процессами в задачах механики

5.1. Задача вибропроводности.

5.1.1. Краевая задача вибропроводности.

5.1.2. Интегральные уравнения вибропроводности.

5.1.3. Регуляризация уравнений.

5.1.4. Интегральное уравнение с улучшенными асимптотическими свойствами.

5.1.5. Результаты численного моделирования.

5.2. Первая основная задача теории упругости.

5.2.1. Потенциалы и интегральные уравнения первой основной задачи теории упругости.

5.2.2. Решение некоторых пространственных задач теории упругости методом потенциала.

5.2.3. Использование полустатистического метода для решения интегральных уравнений теории упругости.

5.2.4. Формулы для оптимальной плотности.

5.2.5. Результаты численного моделирования.

5.3. Вторая основная задача теории упругости.

5.3.1. Фундаментальные решения I и II рода.

5.3.2. Потенциалы Буссинека.

5.3.3. Тензор Вейля

5.3.4. Силовые тензоры Вейля

5.3.5. Произвольная поверхность Ляпунова.

5.3.6. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии картеров бортовых редукторов.

Глава 6. Адаптивное управление вычислительной процедурой при решении нестационарных задач

6.1. Общая схема решения нестационарных интегральных уравнений

6.2. Метод интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений.

6.2.1. Постановка задачи.

6.2.2. Оценка погрешности приближенного вычисления матричной экспоненты.

6.2.3. Оптимизация алгоритма приближенного вычисления матричной экспоненты.

6.2.4. Анализ условия оптимального выбора параметров.

6.2.5. Сравнение предложенного способа выбора параметров метода с известными аналогами.

6.2.6. Оценка погрешности метода интегрирования линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

6.2.7. Алгоритм численного интегрирования жестких линейных систем дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов.

6.2.8. Преимущества алгоритма.

Современные научные исследования в различных областях широко используют для приобретения знаний математическое моделирование, реализуемое с помощью цифровой вычислительной техники методами вычислительной математики. Совокупность таких исследований в механике дала толчок к возникновению и интенсивному развитию нового научного направления, получившего название вычислительной механики.

Развитие вычислительной механики происходит в направлении реализации численных экспериментов над все более сложными механическими моделями. Наиболее показательными здесь являются модели сплошных сред, анализ которых приводит к необходимости использования сеточных методов. Организация таких экспериментов, например, в рамках проектирования конструкций, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации, оказывается достаточно сложной и трудоемкой, требующей больших затрат как интеллектуального труда, так и машинного времени. В ряде случаев при расчете пространственных конструкций сложной конфигурации возникают значительные вычислительные проблемы, одной из которых является так называемое "проклятие размерности": получение численных решений подобных задач механики требует решения систем уравнений огромной размерности, что в свою очередь является источником погрешностей вычислений.

В связи с этим возникает задача поиска алгоритмических резервов данной проблемы. Наиболее перспективным направлением поиска подобных резервов для сеточных методов является специальная неоднородная организация сетки интегрирования. Из общих соображений представляется достаточно очевидным, что для достижения большей точности решения при одинаковом количестве узлов сетки она должна быть более густой в тех частях области интегрирования, где интенсивность изменения решений является наибольшей. Построенные по этому принципу эвристические алгоритмы рационализации сетки интегрирования широко распространены в вычислительной механике и приносят заметный эффект экономии вычислительных ресурсов.

Таким образом, в основе методов рационального выбора координат узлов сетки лежит априорная информация о свойствах искомых решений. Возможна и точная постановка задачи оптимального выбора координат узлов сетки как задачи математического программирования с оптимизируемой функцией и ограничениями, зависящими от искомых функций. Однако практическое решение такой задачи наталкивается по крайней мере на две серьезные трудности, преодоление которых не наблюдалось в литературе до последнего времени.

Во-первых, задача оптимального выбора сетки интегрирования как задача математического программирования не может быть решена априорно, так как сама ее постановка предполагает знание искомых полей напряжений или деформаций.

Во-вторых, размерность и сложность решения этой задачи даже при известных искомых полях напряжений и деформаций в несколько раз превосходят размерность решения исходной задачи по оценке искомых полей: так как результатом оптимизации сетки является набор оптимальных координат узлов сетки, то количество оптимизируемых переменных в 2 или 3 раза превышает количество неизвестных в первоначальной проблеме, не говоря уже о сложной структуре ограничений, которым эти координаты должны удовлетворять.

Итак, задача оптимизации сетки интегрирования наталкивается на проблемы, трудно разрешимые традиционными методами вычислительной математики. Очевидно, что требуется генерирование новых фундаментальных идей для достижения прогресса в этой области.

В настоящей работе выдвигаются и разрабатываются две такие идеи - идея адаптации и идея статистической вычислительной математики.

Идея адаптации основывается на идеях и методах адаптивного управления, хорошо разработанных в теории управления. Применительно к задаче оптимизации сетки она в упрощенной форме состоит в том, что процесс выбора сетки в алгоритмах интегрирования должен быть итеративным и чередоваться с процессом оценки решений. При этом очередная уточненная оценка искомых полей должна служить априорной информацией для решения оптимизационной задачи по уточнению характеристик сетки. В неявной форме элементы идеи адаптации использовались и ранее в вычислительных методах.

Вторая идея менее традиционна для вычислительной математики и уходит аналогиями в области статистической механики и физики, термодинамики и теории вибропроводности. Так, для механических систем с большим числом степеней свободы, таких, например, как газы, жидкости, другие динамические системы, не имеет смысла рассматривать поведение системы по каждой отдельной степени свободы, а следует обощать, укрупнять математические модели этих систем, описывать их поведение ансамблевыми характеристиками, такими как плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия и т.д.

Для получения высокой точности при численном решении задач механики сплошных сред и теплопроводности применяются сеточные методы с большим числом узлов сетки, превышающим в отдельных задачах десятки тысяч. Пользуясь аналогией с постановками задач в статистической механике, предлагается не рассматривать узлы сетки как индивидуальные объекты, а говорить об их плотности распределения в области интегрирования как об ансамблевой характеристике. Другими словами, предполагается, что неважно, как конкретно расположены эти узлы, а важна их относительная плотность концентрации внутри области интегрирования.

Идея ансамблевого описания характеристик концентрации узлов сетки интегрирования позволяет преобразовать задачу математического программирования по выбору оптимальной сетки в соответствующую вариационную задачу. В ряде случаев эту задачу (в отличие от задачи математического программирования) можно решить аналитически. В других же случаях возможно только приближенное численное решение. Однако сложность получения решения кардинально меньшая, чем у аналогичной задачи математического программирования, так как в вариационной задаче оптимизации оказываются автоматически учтенными сложные для численной реализации ограничения на координаты узлов типа упорядочения, а также для получения хороших приближений не требуется высокой точности определения плотности распределения узлов. Важны только тенденции их концентрации. Поэтому для многих задач достаточной оказывается простейшая аппроксимация плотности распределения в виде кусочно-постоянных функций.

Необходимо отметить, что идея статистического описания характеристик сетки интегрирования не решает проблемы зависимости вариационной задачи от искомого решения. Поэтому обе идеи в качестве статистического описания узлов могут работать только в одной связке. Совокупность этих идей, методов, алгоритмов будем называть статистической вычислительной математикой.

Наиболее близкими к идеям статистической вычислительной математики являются хорошо разработанные численные методы Монте-Карло, или, как их еще называют, методы статистических испытаний. Теория этих методов достаточно полно освещена в фундаментальных монографиях Й.М. Соболя, С.М. Ермакова, Г.А. Михайлова, В.Б. Меласа, A.A. Жиглявского, В.В. Некруткина, B.C. Елепо-ва, A.C. Сипина, К.К. Сабельфельда и других. Эти методы, дополненные методами адаптации и примененные для вычисления интегралов и решения интегральных уравнений, положены в настоящей работе в основу новых подходов к разработке алгоритмов статистической вычислительной математики. Отметим, что большой вклад в развитие детерминированных методов численного решения интегральных уравнений внесли Ю.В.Верюжский, Л.В.Канторович, Ю.Д.Копейкин, В.Д.Купрадзе, В.Н.Кутрунов, А.И.Лурье, В.Г.Мазья, С.Г.Михлин, В.З.Партон, П.И.Перлин, А.Ф.Верлань, В.С.Сизиков, А.Г.Угодчиков, Н.М.Хуторянский, Р.Баттерфилд, П.Бенерджи, К.Бреббиа, Т.Уоккер, Т.Круз, Ф.Риццо и другие.

Методы статистических испытаний, кроме того, обладают целым рядом уникальных алгоритмических возможностей. В частности, эти методы и их погрешности слабо зависят от размерности рассматриваемой области интегрирования, процесс образования сетки интегрирования просто автоматизируется и вместе с вычислительным алгоритмом может быть организован в рекуррентной форме или в форме параллельных вычислений. Последняя возможность организации вычислений может явиться базой для создания специального математического обеспечения для многопроцессорных ЭВМ.

До последнего времени использование статистических методов в вычислительной механике было ограничено двумя обстоятельствами: сравнительно слабой по сравнению с детерминированными методами скоростью сходимости, а также недостаточной проработанностью или отсутствием статистических алгоритмов для решения часто встречающихся в инженерной практике задач теории упругости и вибропро-водности.

Настоящая работа восполняет эти пробелы. В ней содержатся статистические алгоритмы для задач, ранее не решавшихся подобными методами, а известные в литературе алгоритмы усовершенствованы, чем обеспечены более высокая скорость их сходимости и возможность глубокой автоматизации вычислительных процессов при решении исходных задач вычислительной математики. Эта цель оказалась достигнутой за счет применения методов теории адаптивного управления к нетрадиционным объектам, таким как стохастические вычислительные процедуры. Кроме того, в разработанных статистических алгоритмах широко использовались детерминированные процедуры, что позволяет класифицировать предложенные в работе методы как гибридные, сочетающие в себе достоинства и чисто статистических, и чисто детерминированных алгоритмов.

Так, в качестве первого приложения разрабатываемого подхода решалась задача адаптивного вычисления интегралов, имеющая большое прикладное значение. Полученный в результате класс адаптивных статистических алгоритмов численного интегрирования имеет такие же скорости сходимости, как и их детерминированные аналоги, однако обладают всеми достоинствами чисто статистических алгоритмов.

Другим методом, развиваемом в работе, является так называемый полустатистический метод. Он сочетает в себе как статистические, так и детерминированные операции и предназначен для численного решения интегральных уравнений. Метод позволяет рекуррент-но увеличивать число узлов случайной сетки интегрирования, а также оптимизировать ее структуру и контролировать точность получаемых оценок в процессе вычислений.

Естественным развитием и обобщением полустатистического метода является проекционно-статистический метод. Основной особенностью предложенного метода является возможность использования априорной информации о решении путем выбора соответствующих базисных функций. Это обстоятельство позволяет получить дополнительное ускорение сходимости по сравнению основной схемой полустатистического метода.

Наряду с методами решения статических задач, в работе разрабатывались методы решения и нестационарных задач, основанные на предложенных подходах. При этом особое внимание уделялось оптимизации алгоритма вычисления матричной экспоненты и связанных с ней задач.

Основными результатами работы являются следующие.

1. Поставлена общая задача адаптивного управления в вычислительных процессах, что позволило выявить общие тенденции и алгоритмические резервы адаптивной оптимизации вычислительных процедур.

2. Разработаны адаптивные алгоритмы управления процедурой численного интегрирования методом Монте-Карло, обладающие повышенной скоростью сходимости. Построенные статистические алгоритмы интегрирования имеют скорости сходимости не меньшие, чем у детерминированных аналогов, сохраняя при этом все преимущества статистических методов. Численными экспериментами подтверждена практическая эффективность алгоритмов.

3. Исследован процесс адаптивного управления случайной сеткой интегрирования в полустатистическом методе численного решения интегральных уравнений. Построенные формулы для определения плотности расположения случайных узлов сетки по различным критериям оптимальности позволяют осуществить ее агрегированное описание и проводить адаптивную корректировку структуры сетки в ходе вычислений.

4. Предложен проекционно-статистический метод управления вычислительным процессом при решении интегральных уравнений, являющийся обобщением полустатистического метода. Рассмотрены вопросы его сходимости. Установлено, что предложенный метод обладает более широкими адаптивными возможностями и обеспечивает ускорение сходимости для определенных классов задач.

5. Численным экспериментом подтверждена эффективность использования предложенных подходов при решении различных задач механики. Проведенное исследование напряженно - деформированного состояния картеров выявило участки, изменение геометрии которых приводит к наибольшему изменению податливости конструкции, и позволило выработать рекомендации по модернизации изделий. Проведенное сопоставление результатов расчетов конструкций, выполненных полу статистическим методом, с аналогичными расчетами, проведенными методом конечных элементов, показало примерно одинаковую точность получаемых результатов. При этом предложенные подходы обладают более высокими адаптивными возможностями (рекуррентность, учет априорной информации, адаптивное изменение структуры сетки, возможность увеличение количества узлов сетки на любое число, например, на один узел), что позволяет повысить степень автоматизации вычислительного процесса.

6. Предложен метод решения интегральных уравнений для нестационарных задач. Проведена оптимизация алгоритма вычисления матричной экспоненты численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле минимума затрат машинного времени. Выполнено численное моделирование разработанных алгоритмов, подтвердившее эффективность их использования.

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

Дадим краткий обзор содержания настоящей работы.

Первая глава посвящена общей постановке задачи адаптивного управления в вычислительных процессах.

Во второй главе изложена теория адаптивно-статистического управления процессом вычисления интегралов. Показано, что этот класс методов вычисления интегралов, обладая такими достоинствами статистических методов, как рекуррентность в оценке как самого интеграла, так и уровня достигнутой точности, имеет повышенную скорость сходимости, близкую к скорости сходимости соответствующих детерминированных аналогов. Теоретические исследования свойств этих алгоритмов уточнены на примерах проведенных численных экспериментов, показавших еще большую практическую эффективность методов, чем это прогнозирует PIX теория.

В третьей главе развита теория полустатистического метода численного решения интегральных уравнений, предложенного

В.М.Ивановым и О.Ю.Кульчицким. Рассмотрены алгоритмические возможности метода, приведены формулы рекуррентного представления алгоритмов метода. Исследован вопрос адаптивного управления процессом оптимизации структуры сетки.

В четвертой главе разрабатывается проекционно-статистический метод решения интегральных уравнений. Приведены основные алгоритмы, исследована сходимость, рассмотрены вопросы эффективности данной разновидности адаптивных стохастических алгоритмов.

Пятая глава посвящена применению рассмотренных методов к решению задач теории упругости и вибропроводности. Соответствующие интегральные уравнения представлены в инвариантной форме. Для ряда классических областей (шар, шаровая полость, полый шар) построены аналитические решения непосредственно интегрального уравнения. Приведены результаты численного моделирования на тестовых задачах. Проведен расчет инженерных конструкций и сопоставление полученных оценок напряжений с аналогичными результатами, вычисленными МКЭ.

В шестой главе предложен новый метод решения интегральных уравнений для нестационарных задач. Особое внимание уделено наиболее критичной части общего алгоритма - интегрированию жестких систем линейных дифференциальных уравнений.

В заключении подведен краткий итог результатов, полученных в работе, и указаны перспективные направления их развития.

Выводы по главе 6

6.131)

1. Сформулирован новый метод решения интегральных уравнений для нестационарных задач.

2. Проведена оптимизация алгоритма вычисления матричной экспоненты для численного интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (СЛОДУсПК) в смысле минимума затрат машинного времени.

3. Сформулированы и решены задачи оптимального выбора параметров алгоритма в двух смыслах — минимальной оценки погрешности и минимального числа арифметических действий. Построены алгоритмы решения указанных задач, готовые к использованию в программных комплексах численного решения СЛОДУсПК.

4. Разработан оптимизированный алгоритм приближенного решения задачи Коши. Обоснованы его преимущества по сравнению с имеющимися в литературе аналогами.

5. Проведенные численные эксперименты показали, что использование предложенных алгоритмов оптимизации позволяет значительно сократить вычислительные затраты на решение СЛОДУсПК по сравнению с традиционными методами.

Заключение

Основными результатами работы являются следующие.

1. Поставлена общая задача адаптивного управления в вычислительных процессах, что позволило выявить общие тенденции и алгоритмические резервы адаптивной оптимизации вычислительных процедур.

2. Разработаны адаптивные статистические методы управления процедурой численного интегрирования в общем случае кусочно-полиномиальной аппроксимации, обладающие повышенной скоростью сходимости. Построенные статистические алгоритмы интегрирования имеют скорости сходимости не меньшие, чем у детерминированных аналогов, сохраняя при этом все преимущества статистических методов. Численными экспериментами подтверждена практическая эффективность методов.

3. Исследован процесс адаптивного управления случайной сеткой интегрирования в полустатистическом методе численного решения интегральных уравнений. Построенные формулы для определения плотности расположения случайных узлов сетки по различным критериям оптимальности позволяют осуществить ее агрегированное описание и проводить адаптивную корректировку структуры сетки в ходе вычислений.

4. Предложен проекционно-статистический метод управления вычислительным процессом при решении интегральных уравнений, являющийся обобщением полустатистического метода. Рассмотрены вопросы его сходимости. Установлено, что предложенный метод обладает более широкими адаптивными возможностями и обеспечивает ускорение сходимости для определенных классов задач.

5. Численным экспериментом подтверждена эффективность использования предложенных подходов при решении различных задач механики. Проведенное исследование напряженно - деформированного состояния картеров выявило участки, изменение геометрии которых приводит к наибольшему изменению податливости конструкции, и позволило выработать рекомендации по модернизации изделий. Проведенное сопоставление результатов расчетов конструкций, выполненных полустатистическим методом, с аналогичными расчетами, проведенными методом конечных элементов, показало примерно одинаковую точность получаемых результатов. При этом предложенные подходы обладают более высокими адаптивными возможностями (рекуррентность, учет априорной информации, адаптивное изменение структуры сетки, возможность увеличения количества узлов сетки на любое число, например, на один узел), что позволяет повысить степень автоматизации вычислительного процесса.

6. Предложен метод решения интегральных уравнений для нестационарных задач. Проведена оптимизация алгоритма вычисления матричной экспоненты численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле минимума затрат машинного времени. Выполнено численное моделирование разработанных алгоритмов, подтвердившее эффективность их использования.

Представляется, что наиболее перспективными направлениями развития предложенных методов являются следующие.

1. Решение задач большой размерности. Известно, что преимущества статистических методов проявляются набольшим образом при решении многомерных задач (в частности, при вычислении многомерных интегралов). В связи с этим следует ожидать, что при хорошей программной реализации предложенных методов в многомерном случае, они могут составить конкуренцию традиционным детерминированным алгоритмам.

2. Использование многопроцессорных ЭВМ. Созданные в последнее время многопроцессорные ЭВМ позволяют одновременно проводить множество параллельных вычислений. Традиционные детерминированные методы слабо приспособлены к процедуре распараллеливания вычислительного процесса. Предлагаемые адаптивно-статистические методы допускают естественное распараллеливание, т.к. основаны на статистических процедурах. Поэтому программная реализация предложенных методов на многопроцессорных ЭВМ может качественно повысить их эффективность.

3. Развитие данных методов и подходов, кроме того, может идти путем внедрения их в детерминированные процедуры численного анализа, например, в метод конечных элементов (МКЭ). Первые результаты в этом направлении уже получены в [14], [127]. В этих работах был построен стохастический аналог МКЭ на случайной сетке и проведено численное моделирование ряда тестовых задач. Первые полученные результаты по управлению случайной сеткой МКЭ подтвердили перспективность продолжения исследований в данном направлении.

1. Авиационные зубчатые передачи и редукторы: Справочник/Под ред. Э.Б. Булгакова. М.: Машиностроение, 1981. 374 с.

2. Адамов A.A. Построение оптимальной плотности при одновременном оценивании нескольких функционалов методом Монте-Карло // Теории функций и вопросы вычислительной математики. Алма-Ата, 1990. С. 60-65.

3. Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Дилъдабаев Ш.А., Жанбыр-баев Н.Б. Метод граничных интегральных уравнений в задачах динамики упругих многосвязных тел. Алма-Ата, 1992. 307 с.

4. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М. Решение интегральных уравнений первой основной задачи теории упругости полустатистическим методом / Л., 1986.- 49 е.- Деп. в ВИНИТИ 05.04.86, N 6644-В86.

5. Арсеньев Д.Г., Кульчицкий О.Ю. Оптимизация алгоритмов численного интегрирования жестких линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / JL, 1986. 32с. Деп. в ВИНИТИ 31.01.86, N732-B86.

6. Арсеньев Д.Г., Кульчицкий О.Ю. Оптимизация вычислительной процедуры перехода от непрерывных линейных моделей системы управления к дискретным. // В сб. "Математические методы в задачах управления и обработки данных", Рязань, 1986, с.9-13.

7. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Яугонен В.И. Об одном численном методе определения локальных температур в задачах теплопроводности / Л., 1987.- 30с. Деп. в ВИНИТИ 30.07.87, 5401-В87.

8. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Полустатистический метод численного решения интегральных уравнений // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике:УШ Всесоюз. совещ .- Новосибирск, 1991.- С. 109-112.

9. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М. Адаптивно-статистические методы численного решения интегральных уравнений // Всероссийский научный Форум "Интеллектуальный потенциал России в XXI век". - С-Петербург, 1995, с. 52-53.

10. Арсенъев Д.Г., Зинковский A.B., Шолуха В.А. Математические методы системного анализа в биомеханике.: СПб., СПбГТУ, 1995, 48с.

11. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Адаптивно-статистические методы управления сложными вычислительными процессами // 3-я Украинская конференция по автоматическому управлению "Автоматика-96". Севастополь 1996, т.1, с.161-162

12. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Адаптивные методы вычислительной математики и механики. Стохастический вариант / С-Петербург, Наука, 1996, 366с.

13. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Адаптивно-статистические методы управления сложными вычислительными процессами // Проблемы управления и информатики. Киев -1997, N3, с.1-18.

14. Арсенъев Д.Г., Бутенина Д.В., Иванов В.М. О методе конечных элементов на случайной сетке // Всероссийская научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах", С-Петербург, 1997, с. 177-178.

15. Арсенъев Д.Г., Кореневский М.Л., Кульчицкий О.Ю. О способе выбора оптимальных параметров при вычислении экспоненты от матрицы // Труды СПбГТУ, сер. Вычислительная техника, автоматика, радиоэлектроника, 469, 1997, с. 142-149.

16. Арсенъев Д.Г. О новых подходах к численному решению интегральных уравнений // Всероссийская научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах", С-Петербург, 1998, с.85-86.

17. Арсенъев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Численное моделирование линейных стохастических систем дифференциальных уравнений / СПб.:Наука.- 1999.- 131 с.

18. Арсенъев Д.Г., Кореневский М.Л., Кульчицкий О.Ю. О повышении точности статистических методов расчета интегральных характеристик сложных систем // Известия вузов. Радиоэлектроника, 1, 1999.

19. Арсенъев Д.Г., Кореневский М.Л., Кульчицкий О.Ю. Методы адаптивного управления сеткой в задаче расчета интегральных характеристик сложных систем // Автоматика и телемеханика, 1999,(принята к опубликованию).

20. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

21. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Пер. с англ.; Под ред. В.Б. Лидского. 2-е изд. М.: Наука, 1976. 351 с.

22. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

23. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 3-е изд. М.: Наука, 1966. 520 с.

24. Большее JI.H, Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1985. 328 с.

25. Бреббия К., Уоккер Т. Метод граничных элементов. М.: Мир, 1985. 420 с.

26. Бреббия К., Уоккер Т. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

27. Вейлъ Р. Избранные труды: Математика. Теоретическая физика / Отв. ред. В.И. Арнольд. М.: Наука, 1984. 511 с.

28. Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. / Киев, Наукова думка, 1978, 292с.

29. Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / Киев, Наукова думка, 1986, 544с.

30. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. 183 с.

31. Ветров А.Н., Ефимов Ю.Т., Иванов В.М., Соловьев Ю.М. Универсальная методика расчета составных частей трансмиссий // Отраслевой журн. Сер. 6. 1986. Вып. 6. С. 43-47.

32. Гиндин И.Б., Кульчицкий О.Ю. Численное агрегирование в жестких системах линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Л., 1986. 14 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 280-В86.

33. Дейвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1974. 352 с.

34. Дынкин Е.Б., Юшкевич A.A. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967. 231 с.

35. Дядькин И.Г., Стариков В.Н. Об одной возможности экономии машинного времени при решении уравнения Лапласа методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1965. Т. 5, N 5, С. 936-938.

36. Зарицкий B.C., Светник В.В., Шимелевич Л.И. Метод Монте-Карло в задачах оптимальной обработки информации // Автоматика и телемеханика, №12, 1975, с.95-103.

37. Елепов B.C., Кронберг A.A., Михайлов Г.А., Сабелъфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло / Отв. ред. Б.А. Каргин. Новосибирск: Наука, 1980. 174 с.

38. Епихова Н.В. Адаптивный метод Монте-Карло и его применение в задачах нелинейной идентификации // Автоматика и телемеханика. 1981. № 10. С. 98-104.

39. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. 2-е изд. М.: Наука, 1975. 471 с.

40. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. 2-е изд. М.: Наука, 1982. 296 с.

41. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин A.C. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984. 205 с.

42. Ефимов Ю.Т., Коровай М.В., Маришкин С.Ф., Осипов В.Н. Исследование напряженного состояния сателлитов с гибким ободом планетарных силовых передач транспортных машин // Тр. ЛПИ. 1983. № 394. С. 69-71.

43. Железное И.Г. Сложные технические системы (оценка характеристик). М.: Высш. школа. 1984. 119 с.

44. Жиглявский A.A. Математическая теория глобального случайного поиска. Д.: Изд-во ЛГУ, 1985. 293 с.

45. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.

46. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Метод численного решения интегральных уравнений на случайной сетке // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, N 2. С. 333-341.

47. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Статистические методы численного анализа с адаптацией: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПб-ГТУ. 1994. 120 с.

48. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Статистические методы численного решения краевых задач теплопроводности и теории упругости: СПб.: Изд-во СПбГТУ. 1994. 112 с.

49. Иванов В.М., Пупырев В.А. О тензоре Вейля // Тр. ЛПИ. Сер. Механика и процессы управления. 1988. № 425. С. 125-129.

50. Камаева Л.И., Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Ускоренные алгоритмы метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Киев, 1992. 24 с. — Деп. в Укр. ИНТЭИ 28.07.92, № 1162-Ук92.

51. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, вып. 6(28). С. 89-185.

52. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. М.: Наука, 1974. 119 с.

53. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972, 496 с.

54. Кореневский М.Л. Об оптимизации одного метода приближенного вычисления матричной экспоненты. // Межд. конференция "Средства математического моделирования". Сб. трудов, СПб.: СПбГТУ, 1998, с. 125-134.

55. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд. М.: Наука, 1967. 500 с.

56. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976. Т. 2. 399 с.

57. Кульчицкий О.Ю., Скроботов С.В. Адаптивный алгоритм метода Монте-Карло для расчета интегральных характеристик сложных систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 6. С. 88-95.

58. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории установившихся упругих колебаний // Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, вып. 3. С. 3549.

59. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

60. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчула-дзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 662 с.

61. Кутрунов В.Н. Квартерный метод регуляризации интегральных уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56, вып. 5. С. 864-869.

62. Кутрунов В.Н. Регуляризация сингулярных интегральных уравнений плоской задачи теории упругости на основе спектра // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Л.: Изд-во ЛИСИ, 1990. С. 9-14.

63. Кутрунов В.Н., Мальцев Л.Е. Спектральная регуляризация интегральных уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 2. С. 348-351.

64. Липин А.В., Седунов Е.В. Оптимизация монте-карловского эксперимента на функционалах гилбертова пространства // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1991. Т. 31, № 8. С. 1146 -1159.

65. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

66. Махоткин O.A. Квантильный метод моделирования дискретных случайных величин. // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1989. С.33-42.

67. Махоткин O.A., Пиримкулов М.И. Использование сплайнов в некоторых задачах статистического моделирования. // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1989. С.43-53.

68. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике: Материалы симпозиума/ Под. ред. Т. Круз, Ф. Риццо. М.: Мир, 1978. 210 с.

69. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / Под ред. Ю.А. Шрейдера. М.: Физматгиз, 1962. 331 с.

70. Михайлов Г.А. Минимаксная теория весовых методов Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1984. Т. 24, № 9. С. 312-409.

71. Михайлов Г. А. Трудоемкость методов Монте-Карло для глобальной оценки решений многомерных задач. Новосибирск, 1990. 35 с. (Препринт./ АН СССР, СО ВЦ; № 922).

72. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. 2-е изд. М.: Гостехиздат, 1949. 380 с.

73. Новацкий В. Теория упругости / Пер. с польск. Б.Е. Побед-ри. М.: Мир, 1975. 872 с.

74. Палъмов В.А. Описание высокочастотной вибрации сложных динамических систем методами теории теплопроводности //

75. Избранные проблемы прикладной механики: Сб., посвящ. 60-летию акад. В.Н. Челомея. М., 1974. С. 210-215.

76. Палъмов В.А., Беляев А.К. Теория вибропроводности // Вопросы динамики и прочности машин. Рига, 1978. С. 302-310.

77. Палъмов В.А., Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Интегральные уравнения теории вибропроводности и полустатистический метод их численного решения. Л., 1979. 64 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.79, № 2369-79.

78. Партон В.З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

79. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

80. Перлин П. И. Об асимптотиках решений краевых задач теории потенциала и теории упругости в окрестности конических точек границы // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 5. С. 835-839.

81. Перлин П. И. Об одном применении расходящихся интегралов в задачах теории потенциала и теории упругости // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57, вып. 4. С. 144-146.

82. Перлин П.И., Штерншис А.З. К определению коэффициента интенсивности напряжений в плоской задаче теории упругости // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55, вып. 4. С. 679-684.

83. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 343 с.

84. Победря Б.Е., Чистяков П.В. Решение пространственных задач теории упругости методом Монте-Карло // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52, вып. 2. С. 341-345.

85. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.М. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750 с.

86. Пупырев В.А. Интегральные уравнения динамической вязко-упругости. JL: Изд-во ЛПИ, 1978. 81 с.

87. Ракитский Ю.В. Новые численные методы решения системы обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений // Тр. ЛПИ. 1973. № 332. С. 88-97.

88. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Сениченков Ю.Б., Воскобой-ников С. Б. Алгоритмы и программы интегрирования дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во ЛПИ, 1982. 89 с.

89. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.

90. Расулов А. С. Метод Монте-Карло для решения нелинейных задач. Ташкент: Фан, 1992. 104 с.

91. Рей У. Методы управления технологическими процессами / М.: Мир, 1983, 368с.

92. Сабелъфелъд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1989. 280 с.

93. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Под. ред. Б.Е. Победри. М.: Мир, 1979. 392 с.

94. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 311 с.

95. Соловьев Ю.М. Объемное напряженно-деформированное состояние деталей трансмиссий гусеничных машин, влияние деформаций различных деталей передачи на напряженное состояние зубчатых колес: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Л., 1987. 16 с.

96. Соловьев Ю.М., Ефимов Ю. Т. Расчет картеров бортовых редукторов методом конечных элементов // Отраслевой журн. Сер. 6. 1986. Вып. 6. С. 34-50.

97. Сретенский JI.H. Теория ньютоновского потенциала. М.: Гостехиздат, 1946. 318 с.

98. Старков A.B. Мажорирование элементов интегральных уравнений 2-го рода и использование мажорант для улучшения весовых методов Монте-Карло // Методы статистического моделирования. Новосибирск, Наука. Сиб. отд., 1990. С. 39-50.

99. Старков A.B. О мажорантной оптимизации весовых алгоритмов метода Монте-Карло // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 2. С. 305-309.

100. Старков A.B., Машкина И.А. Весовые алгоритмы с равномерным распределением по пробегу для моделирования переноса излучений методом Монте-Карло. Новосибирск, 1991. 10 с. (Препринт./ АН СССР. СО ВЦ; № 932).

101. Степанов O.A. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации / СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 1998, 370с.

102. Стрэтт Дэн. В. (Лорд Рэлей). Теория звука/ Пер. с 3-го англ. изд. П.Н. Успенского и С.А. Каменецкого. М.; JL: Гостехиздат, 1944. 476 с.

103. Теория и применение случайного поиска / Под общ. ред. Л.А. Растригина. Рига: Зинатне, 1969. 305 с.

104. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер Р. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

105. Тихонов A.B., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 735 с.

106. Угодников А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань, 1986. 296 с.

107. Устиненко В. Л. Напряженное состояние зубьев цилиндрических зубчатых колес. М.: Машиностроение, 1972. 91 с.

108. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 2. 800 с.

109. Хайруллин Р.Х. О применении метода Монте-Карло для решения некоторых задач анализа // Исслед. по прикл. математике. 1990. № 17. С. 146-166.

110. Хомченко A.B. Упрощенный анализ тепловых полей в областях сложной конфигурации // Инж.-физ. журн. 1990. Т. 59, № 1. С. 146-149.

111. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1988. 287 с.

112. Шабров ff. В. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. Л.: Машиностроение, 1983. 212 с.

113. Ширяев А. ff. Вероятность. 2-е изд. М.: Наука, 1989. 640 с.

114. Adomian G., Malakian К. Inversion of stochastic partial differential operators-the linear case // J. Math. Anal. Appl. 1980. Vol. 77. P. 309-327.

115. Aggarwala B. On a Monte Carlo method for rectilinear plates // ZAMM. 1974. Vol. 54, N 3. P. 194-196.

116. Andriessen J.H.M. A parallel MC-method to solve linear systems // 12th IMACS World Congr. Sei. Comput. (Paris, July 18-22 1988). Villeneuve d'Asq, 1988, Vol.4. P. 404-407.

117. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., Kul'chitsky O.Yu. Adaptive calculating mathematics based on the stochastic programming methods // VII International Conference on Stochastic Programming, Naharia, Israel, 1995, pp.159-164.

118. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., Kul'chitsky O.Yu. About the adaptive semi-statistical method for the integral equation solution // International Conference "Optimization of Finite Element Approximations", St.Petersburg, Russia, 1995, pp.66-67.

119. Arsenjev D.G., Ivanov A.A., Sholuha V.A., Zinkovsky A.V. Computer modelling of complexly coordinated human motion with pre-set characteristics // XVth Congress of the International Society of Biomechanics, Finland, 1995, pp.121-122.

120. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., Kul'chitsky O.Yu. Consecutive planning of experiment in computing procedures of Monte-Carlo method // 2-nd St.Petersburg workshop on simulation. 1996, pp.245-249.

121. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Yu. Adaptive computer simulation of numerical algorithms // International conference "Simulation, gaming, training and business process reengineering in operations. Riga, Latvia, 1996, p.15-16.

122. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Adaptive control of stochastic integral calculating processes // Nonlinear Control Systems Design Symposium, The Netherlands, 1998 pp.366-370

123. Arsenjev D.G., Ivanov V.M. Semi-statistical method: theory and applications // On new approaches to hi-tech98, International workshop. St.Petersburg, Russia, 1998, H9.

124. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. About semi-statistical method of integral equations // 3-d St.Petersburg workshop on simulation.- 1998, pp.62-66.

125. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Effectiveness of semi-statistical method: theory and numerical results // Second International Conference "Differential Equations and Applications", St.Petersburg, 1998.

126. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Numerical solution of integral equations: hybrid method // The Fifth International Conference "Integral Methods in Science and Engineering98", Michigan, USA, 1998, pp.214-218.

127. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Semi-Statistical Method of Numerical Solution of Integral Equation // International Conference on Systems, Signals, Control, Computers (SSCC98), Durban, South Africa, 1998. p.87-90.

128. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Adaptive methods of computing mathematics and mechanics. Stochastic variant // World Scientific Publishing Co., Singapore, 1999, 420p.

129. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. Adaptive control of stochastic calculating processes // Journal of Statistical Planning and Inference. Elsevier Science BV, 1, 1999.

130. Arsenjev D.G., Ivanov V.M., KuVchitsky O.Y. The solution of integral equation on the random grid // Journal of Engineering Mechanics. American Society of Civil Engineers, 1999 (принята к опубликованию).

131. Bazant Z.P. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method // Intern. J. Eng. Sci. 1974. Vol. 12, N 3. P. 221-244.

132. Bazant Z.P., Keer L.N. Singularities of elastic stress and of harmonic function at conical notches or inclusions // Intern. J. Solids and Struct. 1974. Vol. 10, N 9. P. 957-964.

133. Berbliger Micael, Schlier Christoph. Monte Carlo integration with guasi-random numbersi: some experience// Comput. Phys. Commun. 1991. Vol. 66, N 2-3. P. 157-166.

134. Bradley lohn Stuart, McKay Ronald lames. A Monte Carlo study of tests on data originating from quadrat sampling. I. Data from a Poisson distribution // Math. Biosci. 1990. Vol. 100, N 1. P. 69-85.

135. Chanem R., Spanos P.D. Polynomial chaas in stochastic finite elements // ASME J. Appl. Mechanics. 1990. Vol. 57. P. 197-202.

136. Cruse T.A. Application of the boundary-integral equation method to the three dimensional stress analysis //J. Comput. and Struct. 1973. N 3. P. 509-527.

137. Der-Kiureghian A. The stochastic finite element method in structural reliability // Proc. US Austria Joint Seminar on Stochastic Structural Mechanics. Florida, Atlantic Univ. Boca Raton, Fla., 1987. P. 325-357.

138. Ermakov S.M., Melas V.B. Design and analysis of simulation experiments. Dordrecht, 1995. 198 p.

139. Fishman George S. Monte Carlo, control variates, and stochastic ordering // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1989. Vol. 10, N 1. P. 187-204.

140. Frery A. Monte Carlo determination of the convergence time of two cluster-flip algorithms in the issing model // Rev. Bras. fis. 1991. Vol. 21, N 4. P. 482-491.

141. Geweke John. Acceleration methods for Monte Carlo integration in Bayesian inference/'/ Comput. Sci. and Statist.: Proc. 20th Symp. Interface, Fairfax, Alexandria (Va), 1988. P. 587-592.

142. Gopalsamy K., Aggarwala B. On a Monte Carlo method for biharmonic boundary value problems // ZAMM. 1973. Vol. 53, N 6. P. 293-298.

143. Hart G.C., Collins J.D. The treatment of randomness in finite element modelling // SAE Shock and Vibratious Symp., Soc. of Automotive Eng. 1970. P. 2509-2519.

144. Heinrich S. Monte Carlo complexity of global solution of integral equations //J. Complexity, V.6, 1997

145. Ibrahim Yaacob. Issues relating to the effective use of importance sampling // AIAA/ ASME/ ASCE/ AHS/ ASC/ 31st Struct., Dyn. and Mater. Conf. Collect. Techn. Pap. Pt.2. Wahington (D.C.), 1990. P. 1124-1133.

146. Lachat J.C., Watson J.O. A second generation boundary integral equation program for three dimensional elastic analysis // Boundary integral equation method / Ed. ASME. 1975. P. 312-401.

147. Lauricella G. Alcune applicationi della teoria della equazioni funzionali alia fisica-matemat // Nuovo cimento. Ser. 5. 1987. N 13. P. 121-135.

148. Lavine M. A note on bounding Monte Carlo variances // Commun. Statist. Theory and Meth. 1992. Vol. 21, N 10. P. 2855-2860.

149. Lawrence M.A. Basic random variables in finite element analysis // Intern. J. Numer. Methods in Eng. 1987. Vol. 24. P. 1849-1863.

150. Lee Koo-Chul. A new efficient Monte Carlo technique //J. Phys. A. 1990. Vol. 23, N 11. P. 2087-2106.

151. Li Bin, Sokal Alan D. High-precision Monte Carlo test of the conformal-invariance prediction for two-dimensional multually avoiding walks // J. Statist. Phys. 1990. Vol. 61, N 3-4. P. 723-748.

152. Liu W.K., Besterfield G., Belytschko T. Trancient probabilistic systems // Comput. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1988. Vol. 67, N 3. P. 27-54.

153. Liu W.K., Besterfield G., Mani A. Probabilistic finite element methods in nonlinear structural dynamics // Comput. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1986. Vol. 56 (1). P. 61-81.

154. Markowski Carol A., Markowski Edward P. Conditions for the effectiveness of a preliminary test of variance// Amer. Statist. 1990. Vol. 44, N 4. P. 322-326.

155. Marsi S., Miller R. Compact probabilistic representation of random processes // ASME J. Appl. Mechanics 1982. Vol. 49. P. 871-876.

156. Moler C., Van Loan C. Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix // The Auerbach Annual, 1979: Best Compute Papers. New-York; Oxford, 1979. P. 237-281.

157. Morimune Kimio. t-Test in a structural equation //' Econometrics 1989. Vol. 57, N 6. P. 1341-1360.

158. Nakagawa Masayuki, Morito Takamasa, Sasaki Makoto. Comparison of vectorization methods used in a Monte Carlo code // Nucl. Sei. and Eng. 1991. Vol. 107, N 1. P. 58-66.

159. Rizzo F.J., Shippy D.T. A formulation and solution procedure for the general non-homogeneous elastic inclusion problem // J. Solids and Struct. 1968. N 4. P. 1161-1179.

160. Rodgers R.P.C., Baddeley A.J. Nested Monte Carlo study of random parking on the sphere// Rep. Cent. Math, and Comput. Sei. 1990. N BS-R9023. P. 1-17.

161. Sarno Riyanarto, Bhavsar Virendra C., Bussein Esam M.A. Generation of discrete random variables on vector computers for Monte Carlo simulations// Intern. J. High Speed Comput. 1990. Vol. 2, N4. P. 335-350.

162. Shimamura S., Kuriyama K., Kashiwagi Y. Monte Carlo simulations of crack growth and crack patterns in two-dimensional model systems// J. Mater. Sei. Lett. 1990. Vol. 9, N 7. P. 756-758.

163. Shinozuka M. Stochastic mechanics. Dep. of Civ. Eng. Columbia Univ. New York. 1987. Vol. 1. 200 p.

164. Shinozuka M., Nomoto T. Response variability due to spatial randomness of material properties // Techn. Rep. Dept. of Civ. Eng., Columbia Univ. New York, 1980. P. 165-178.

165. Spanos P.B., Chanem R. Stochastic finite elements expansion for random media // J. Eng. Mech. ASCE, 1989. Vol. 115, N EM5. P. 1035-1053.

166. Stark D.B., Reed J.F.(III). Evaluation of Monte Carlo generation of long-tailed symmetric and contaminated symmetric distributions// Comput. Meth. and Programs Biomed. 1990. Vol. 31, N 3-4. P. 195-200.

167. Stein E., Carstensen C., Seifert B., Ohnimus S. Adaptive finite element analysis of geometrically non-linear plates and shells, especially buckling // Intern. J. Numer. Methods in Eng. 1994. Vol. 37, P. 2631-2655.

168. Traina M.I., Miller R.K., Marsi S.F. Orthogonal decomposition and transmission of nonstationary random processes / / Probabilistic Eng. Mech. 1986. Vol. 1(3). P. 136-149.

169. Troubetzkoy Eugene S. Optimization of linear Monte Carlo calculations// Nucl. Sei. and Eng. 1991. Vol. 107, N 4. P. 359-364 .

170. Vanmarcke Erik, Grigoriu Mircea Stochastic finite element analysis of simple beams // J. Eng. Mech. ASCE. 1983. Vol. 109, N 5. P. 1203 -1214.

171. Yamazaki F., Shinozuka M., Dasgupta G. Neumann expansion for stochastic finite element analysis // M2-Rep. Dept. of Civ. Eng. and Eng. Mech., Columbia Univ. New York, 1986. P. 212-240.