автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах

На правах рукописи

-щ

Правдии Константин Владимирович

ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ О МЕТАМАТЕРИАЛАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2014

005557780

005557780

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Попов Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты: Сычев Максим Максимович

доктор технических наук, доцент, СПбГТИ(ТУ), заведующий кафедрой

Плешаков Иван Викторович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится 15 декабря 2014 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.227.06 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, конференц-зал центра интернет-образования.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, - и на сайте fppo.ifmo.ni.

Автореферат разослан « ^ » у.амЬв, 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Лобанов Игорь

кандидат физико-математических наук Сергеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Метаматериалы представляют собой искусственно созданные среды с внедренной периодической решеткой, благодаря которой они демонстрируют необычный эффект отрицательного преломления. В последнее время в оптике данный эффект привлекает большое внимание, в основном за счет возможности его применения при создании идеальной линзы (или суперлинзы) (Pendry J.B. // Phys. Rev. Lett. - 2000. - № 85. - P. 3966-3969). Несмотря на то, что с практической и физической точек зрения до сих пор не была доказана возможность создания суперлинзы, в электромагнетизме и других междисциплинарных областях возник большой интерес к исследованиям суперлинзы с точки зрения фундаментальной физики и материаловедения.

Модель суперлинзы представляет собой слой, находящийся в вакууме и изготовленный из материала с отрицательным показателем преломления (negative index material, NIM), и является частным случаем слоистых систем, содержащих NIM (NIM-систем). Такие системы широко применяются в производстве (различные оптические системы и многослойные покрытия), а наличие NIM придает им необычные свойства, которые раскрывают новые горизонты для изобретательской мысли.

Изучение взаимодействия электромагнитного поля с NIM занимает важное место в исследованиях метаматериалов. Особую ценность имеют работы, использующие аналитический метод исследований и содержащие явное решение поставленных задач, так как результаты, полученные в виде математических формул, легко анализировать и использовать при дальнейших исследованиях. Так, ряд исследований NIM посвящен нахождению функции Грина (например, Potemkin A.S., Poddubny A.N., Belov P.A., and Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. A. - 2012. - № 86. - P. 023848(1-9) и Shchelokova A.V., Poddubny A.N., and Belov P.A. // Phys. Rev. A. 2014. - № 90. - P. 023854), т.е. функции, описывающей электромагнитное поле, создаваемое точечным источником. Имея формулу для функции Грина, легко вычислить значение электромагнитного поля в любой точке системы, а также получить его аналитическое описание.

Слоистая NIM-система может рассматриваться также как модель одномерного фотонного кристалла (one-dimensional photonic crystal, 1DPC) с NIM. Фотонный кристалл (photonic crystal, PC) представляет собой структуру с показателем преломления, периодически зависящим от пространственных координат. Большинство фотонных кристаллов являются искусственными объектами, хотя они встречаются и в природе (Vukusic P. and Sambles J.R. // Nature. - 2003. - V. 424. - P. 852-855).

1DPC является простейшей моделью фотонного кристалла, представляющего собой систему чередующихся слоев с различным показателем преломления. Использование NIM в одномерных фотонных кристаллах приводит к таким необычным эффектам, как побочные колебания с комплексными частотами, дискретные моды и моды фотонного туннельного эффекта. Ряд недавних исследований посвящен изучению 1DPC, состоящих из слоев с отрицательным и положительным показателем преломления (positive index material, PIM). Однако большинство этих исследований рассматривают

недиспергирующие системы, то есть системы без частотной дисперсии электрической е и магнитной ц проницаемостей и, следовательно, показателя преломления. Поэтому изучение диспергирующих слоистых NIM-систем представляет особый интерес.

Таким образом, тема диссертационной работы отвечает современным проблемам рассматриваемой области науки и поэтому является актуальной.

Степень разработанности темы невелика. Имеется лишь несколько работ (например, Fenga X., Li Н. // Eur. Phys. J. D. - 2013. - № 67. - P. 224/1-7), при этом в основном в них содержатся численные, а не аналитические результаты.

Целью данной диссертационной работы является исследование многослойной NIM-системы, состоящей из параллельных слоев. Слои заполнены NIM и вакуумом и расположены в порядке чередования. Как показал В.Г. Веселаго (Веселаго В.Г. // УФН. - 1967. - Т. 92. - № 3. - С. 517-526), одновременно отрицательные в и // (и, следовательно, отрицательный показатель преломления) могут наблюдаться лишь при наличии частотной дисперсии, поэтому еи/i определяются на основе модели Лоренца (Gralak В. and Tip А. // J. Math. Phys. - 2010. - V. 51. - N 5. - P. 052902-28). Нас интересует поле точечного источника, помещенного в один из слоев, то есть функция Грина и структура спектра для соответствующей периодической системы. Научная новизна результатов, полученных в работе:

1. Построена электрическая функция Грина для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных чередующихся слоев NIM и вакуума. Показано отсутствие отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.

2. Для систем, состоящих из NIM-слоя, помещенного в вакуум, и конечной системы слоев, с источником, расположенным вне системы слоев получены выражения для s- и р-поляризованных составляющих электрической функции Грина. Проанализированы условия отсутствия отражения для NIM-частоты.

3. Описана зонная структура спектра для бесконечной периодической системы слоев, в каждом из которых электрическая и магнитная проницаемости равны друг другу и представляются в виде единичного вклада Лоренца. Изучена зависимость зонной структуры спектра от параметров системы. Для этого создан комплекс программ в пакете MathCAD. Проанализированы условия отсутствия отражения в системе для NIM-частоты. Теоретическая значимость результатов данной работы связана с

разработкой методов расчета слоистых NIM-систем и реализацией их для конкретных ситуаций. При этом большое количество результатов получено аналитически.

Практическая значимость результатов связана с возможностью их применения при создании реальных объектов: от системы суперлинз до многослойных NIM-покрытий.

Методы исследования, используемые в данной работе, можно разделить на две группы - аналитические и численные. К аналитическим методам относятся такие методы, как подход функции Грина, преобразования Лапласа и Фурье, методы решения дифференциальных уравнений, алгебраических систем и рекуррентных соотношений, метод производящих функций, методы

асимптотических разложений и асимптотических приближений. К численным методам относятся методы и приемы написания программ в пакете MathCAD, отображение результатов в виде графиков, а также их интерпретация. Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическая формула электрической функции Грина в NIM-ситуации для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных чередующихся слоев NIM и вакуума.

2. Аналитические формулы для 5- и ¿»-поляризованных составляющих электрической функции Грина при произвольной частоте в случае одного NIM слоя, помещенного в вакуум.

3. Описание зонной структуры спектра для бесконечной периодической NIM-системы. Зависимость зонной структуры спектра от параметров системы. Достоверность результатов обеспечивается надежностью используемых

теоретических методов, воспроизводимостью полученных результатов, использованием современного вычислительного оборудования, хорошим согласием с теоретическими расчетами других авторов и многократной апробацией результатов на научных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной конференции «20th Central European Workshop on Quantum Optics» (Стокгольм, Швеция, 2013 г.), VII международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики» (Санкт-Петербург, 2012 г.), международных конференциях «Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems» (Санкт-Петербург, 2013 г. и 2014 г.), III Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2014 г.), XLI научной и учебно-методической конференции НИУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2012 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных работах, из них 3 в журналах из Перечня ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 108 страниц с 52 рисунками. Список литературы содержит 111 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определяются степень ее разработанности и научная новизна, формулируются цель работы и положения, выносимые на защиту, определяются научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования, приводятся сведения об апробации работы.

В Главе 1 рассматривается слоистая NIM-система, состоящая из произвольного конечного числа параллельных слоев (Рисунок 1). Слои из NIM и вакуума чередуются между собой. Ставится задача получить выражения для электрической функции Грина.

В Параграфе 1.1 описывается сведение модели к одномерному представлению. Рассматриваются уравнения Максвелла в следующем виде (для удобства вычислений предполагается е0 = /¿а = 1):

^(x,/) = VxH(x,0, (1)

— (x,0 = -VxE(x,0, dt

У.Э(х,0 = 0, (3)

У-В(х,0 = 0, (4)

где вектор х задан в базисе {е,,е2,е3} декартовой прямо угольной системы координат, V - оператор Гамильтона, х - символ векторного произведения, ■ -символ скалярного произведения (а также матричного произведения).

№-2 Xst-l Спой №0 Jfe 2 Jfe.2 NIM №3 вакуум №4

т слоев 0 У Ai Л X п слоев

1

Рисунок 1 - NIM-система, состоящая из (п+т+1) параллельных чередующихся NIM-слоев шириной Д) (серого цвета) и слоев вакуума шириной Дг (белого цвета). Точечный источник располагается в точке с координатой у в нулевом NIM-слое.

Также рассматриваются материальные уравнения в следующем виде:

D(x, t) = Е(х, t) + Р(х, 0, Р(х, 0 = { Хе (х,' ~ s) ■ Е(х, s) ds, (5)

В(х,0 = Н(х,/) + М(х,0, М(х,/)= _[x„,(x,/-i)-H(x,s)öb, (6)

гДе Хе(х>0> Xm(x>0 ~~ тензоры электрической и магнитной восприимчивостей среды. Ставятся условия причинности и пассивности. NIM в слоях предполагается однородным и изотропным, а также диспергирующим и непоглощающим. Электрическая и магнитная проницаемости в NIM-слоях считаются равными. Таким образом, они имеют вид: Q2

s(z) = /j(z) = l-

(7)

где О и ю0 - константы, г = со + 1а , а—>0 , а> 0, и для NIM-чacтoты ® = л/й)о 2 справедливо £{±со) -/и{±&>) = -1 . В слоях вакуума £(г) = //(г) = 1.

При помощи преобразования Лапласа по времени

/(2) = , /(0 = , (8)

где г = а>+1а , а—>0, а>0, и Г - прямая, расположенная параллельно действительной оси на расстоянии а, и преобразования Фурье по координатам шк(х)= |е'к11т(х)сй£±. (9)

т(х) = (2/г)~2 |е"'к"п1к (х)с!к, (10)

а также введения стандартным образом электрической функции Грина и рассмотрения случаев 5- и /»-поляризации, получаются следующие дифференциальные уравнения:

1

/ФО

#7+4%-.*)

G"(x,y,z,K) = S(x-y), Gp(x,y,z,K) = S(x-y),

ч&2 £2(z,K){dx2

где Gs, Gp - скалярные s- и ¿»-поляризованные составляющие электрической функции Грина, 5(х-у) - дельта-функция, ^2{z,k) = z2s{z)/j{z)-k1 - квадрат продольной составляющей волнового вектора (вдоль орта е3), s(z), fi(z) и £1(z,k) вычисляются в слое, соответствующему координате х.

Для границы, находящейся в точке с координатой х по оси х и разделяющей пространство на два соседних слоя с условными номерами 1 (левый) и 2 (правый), краевые условия в общем виде записываются следующим образом:

(Е1-Е2)хе3 = 0, (11)

(Н!-Н2)хе3=0, (12)

(D,-D2)-e3=0, (13)

(В1-В2)-е3=0, (14)

где Е;=ЕДх,0, Ну. =Н;(х,/), D7 = Dy(x,/), Ву = В;(х,/) вычисляются через односторонние пределы при х х таким образом, что х = Xх + ле,, х = х1 + хе3 и х —> х, при этом левосторонний предел берется в слое, расположенном слева от границы (/ - 1), а правосторонний - в слое, расположенном справа от границы (/ = 2). Из данных краевых условий получаются условия для р-поляризованной составляющей функции Грина G{(.x,y,z,K) = Gp2(x,y,z,K),

дх £-,(z) (z,k) дх

и для ^-поляризованной составляющей функции Грина G; (x,y,z,K) = Gs2 (х, у, z,k), oGs , цх{2) cG[ ^

OX i"2(z)

где x - координата по оси л: границы между двумя слоями с условными номерами 1 (слева от границы) и 2 (справа от границы).

С учетом полученных условий скалярная р-поляризованная составляющая функции Грина в ¿-ом слое принимает вид:

G>(x,y,z,K) = (Ak + Bt+ (Ct + Dk где Ак и Dk - коэффициенты волн, прошедших внутрь А:-го слоя через левую и правую границу соответственно, Вк и Ск — коэффициенты волн, отраженных внутри к-то слоя от левой и правой границы соответственно, = (z, к)

вычисляется в соответствующем слое. Аналогичное выражение получается для поляризованной составляющей. Таким образом, модель сводится к одномерному представлению. В Параграфе 1.2 составляются рекуррентные соотношения для коэффициентов функции Грина, предлагается способ их решения в общем виде, а также находятся их решения для ЫШ-ситуации.

Последовательный учет краевых условий для каждого слоя системы приводит к выражениям для коэффициентов скалярйой /»-поляризованной составляющей функции Грина. При к = 1,...(«-1)

Ак=/ЗкА„, Вк =—укАп, Ск=^рмА„, Пк=умАп, ск 8к

При к = -(от-1),...О

Су

Ск - —(РмАп + А = ушА„ +77,+1, ёк

С0 = -^-ДЛ, О0 = ухАп, А_(т_п = 0, Д ,„ = г_(т-„Л + '/-<,„-„ •

Величины рк, ук, ^ , г}к являются решениями следующих рекуррентных соотношений:

/и-1 > Д,1 — ^п-\ ' ^к ~~

еь

/

1

V ^

ас1ек Ьс/ё.

"к

Гк=-Г

ёк

ак

Уп-1= т '

\ьё)„-,

к ~ к^Ы

ЙГД

ч6су

> 'зо — -А)

—е~'(оУ -

ас!

¿(оУ

УЬсУо J

ак\ К г ,

где

ак= 2е*л, Ък=ст:к_1е'!^, ск = с1к=<у;к_,е

гКк-Л

± _ £кС} ~ к т _ Ср

■»л

'к,1

2е £.

Для коэффициента была получена следующая зависимость:

Ъс )к Ъкск

А=-

Р-(т-1)

Так как рекуррентные соотношения имеют схожую структуру, но разные начальные условия, предлагается универсальный способ их решения в общем виде. Используется метод производящих функций. В качестве частного случая рассматривается ММ-ситуация. Для значений величины ,

вычисленной в к-ом слое при г—>±со , при фиксированных к , П , а>0 выделяется два случая:

1) случай со ж, при котором £к(±а>)=+р(а>), если к четно или к= 0, и £к(±й)) = +р(а>) , если к нечетно, а величина ег~2 = <т~2(г,/с) —> 0 при

2) случай со<к , при котором ^к(±а>) = ¡р(со) для любого номера к и ег,+2 = а*2 (г, к) —> 0 при г —> ±&),

1/2

где р(со) =

Вводится обозначение о(сг*2) , под которым понимается некоторая величина одного порядка малости с . Решения рекуррентных соотношений в ШМ-ситуации выражаются через асимптотические приближения при сгГ2 -> 0.

В Параграфе 1.3 с помощью асимптотических приближений при —> О находятся коэффициенты функции Грина и, в итоге, получаются выражения для скалярных я- и /»-поляризованных составляющих функции Грина в каждом слое. Тензорная электрическая функция Грина в ММ-ситуации выражается при помощи покомпонентной записи матриц следующим образом: при ¿о ж в Ы1М-слоях, то есть при четных номерах к, где к = -(/и -1),... - 2,0,2,.. .(и -1),

(О

Ир(со)

екек ± -у)^— (еке3 + е3ек) + е3е3 р(со) р (а)

и в слоях вакуума, то есть при нечетных номерах к, где к = —гп,...—3,-1,1,3,...«, СК(х,у,±о>) = .

Ир(сЬ)

ез Х еке3 Х ек +

р'(со)

екек ±sign(Jc-Д, +Х)-^-(еке3 -е3ек)--е3е3

р(со) р (со)

при со<к в №М-слоях, то есть при четных номерах к, где к = -(т-\),...-2,0,2,. ..(«-1),

2 р{со)

е3 хеке3 хе, , Р\«>)

екек 7)

р{&)

(еЛ

р2(а>)

и в слоях вакуума, то есть при нечетных номерах к, где к = —т,... — Ъ,—\,\,Ъ,...п,

1

2 р{&)

р\со)

eкeк-sign(x-A1+y)-^(eкe3-e3eк)- К

р(,&У к " ' к/ у02(й)) где функция знака = 1, если х > 0, и з1§п(х) = -1, если х < 0.

В Параграфе 1.4 обсуждаются полученные результаты, делаются замечания о некоторых введенных ограничениях на рассматриваемую систему. Отмечается эффект отсутствия отражения при ТчПМ-частоте.

В Главе 2 рассматривается два частных случая слоистой КИМ-системы. Ставится задача получить выражения для электрической функции Грина.

В Параграфе 2.1 рассматривается первый частный случай - система, состоящая из одного ЫШ-слоя, помещенного в вакуум (Рисунок 2).

вакуум кгм вакуум

У а Ъ "х

Рисунок 2 - ШМ-система, состоящая из одного №М-слоя (серого цвета), помещенного в вакуум (белого цвета). Точечный источник располагается в вакууме слева от ММ-слоя в точке с координатой у.

Электрическая и магнитная проницаемости имеют следующий вид:

е(х, г) =

£{г), хе(а,Ь)

р(х,г) =

х е (а,Ь)

1, х£(а,Ь)' ' [ 1, х<£(а,Ь)' считаются равными и определяются на основе модели Лоренца (7).

Следуя рассуждениям, описанным в Главе 1, ищутся скалярные и р-поляризованные составляющие электрической функции Грина. При х<у и у < х < а , а также при х = у , выражение для скалярной р-поляризованной составляющей электрической функции Грина имеет вид:

Ор{х,у,г,к) = 1е'с°и'л +

1-

V сто+лсто+л

V1

КЦк-а)

при а< х <Ь: С(х,у,г,к) =

= 1

- - /

1 + £оЛл

_/ 2

0,1 СТ0-1 при х> Ь:

\

| СТОЛСТОЛ %ЦЬ-а)

ол"ол V °ол°ол у

¡¿•2(4-0)

- - V1

V СТол^ол у

е>(о (а-у)^Ц2Ь-х-а)

СР(х,у,2,к) = 1р—Г-;

Сп ,(7,

V1

2 _ СГол^ОЛ (Ь-а) СТп^п

0Ли1,0 V "ол"ол

где

<Го

' 2к2 ' ол~ £ ' ,0 !

С2(2,К) = 22£(2)М?) - X2 , См = 22-К2.

Выражение для скалярной ^-поляризованной составляющей электрической функции Грина при х < а имеет следующий вид:

С*(х,у,2,к) = 1е

- Т .

т+

'л 1

1 —

С - -

1 Г0ЛГ0Л Ц2 (Ь-а) 1 + + е

V. голгол

V1

¿(2 [Ь-а)

,КЛ2а-х-у)

при а < х <Ь: С\х,у,2,кг) =

= /

I ^ гол*ол

1 Г0ЛГ0Л К2 {Ь-а)

т* т+ V 'ол ол

V1

¡С2(Ь-а)

3 т* г* 'ол ол

1—

V'

ол'ол ¡с, ЦЬ-а)

е<Сц{"-у)еК{2Ь-х-а)

при х > Ъ:

/

С,(х,у,2,к) = 1!—гт

д голгол ¡;2(ь-а)

т* г+ 'ол'ол

где

2'4о РСо £

В ЫГМ-ситуации имеется два случая для значений величин £(2, к) и (г,/с) при 2 —>±а> и фиксированном к:

1) случай со>к, при котором <^(±й>) = +р{со) и ¿Го(±а>) = ±р{а>);

2) случай ¿о<к, при котором £(±со) = £0(±сЬ) = гр(а>),

где р(со) =

а2(1 -о2/(®2-ю02))2-аг:

1/2

Таким образом, скалярные .у- и р-

поляризованные составляющие электрической функции Грина при х<а фиксированном к и. со ж имеют следующий вид:

С(х,у,±со,к) = ±Ще±^^, 2 ко

С5(х,у,±6),к) = ±- 1

Ир(со)

и при сЬ<к\

Ср(х,у,:,::)~"й с***1-* I °2 ^(Х-Ща?) _-ртга-х-у)^ 2 аУ Лак2 (г - + со)

&(х,у,2,к)"~__1 | Р(й>№-4Р(*>)2) _

2р(т) 4 к2 (2-со){2 + а>)

При а<х<Ь, фиксированном к и со> к

На

С*(х,у,±й),к) = ±—1-

21р(со) и при охк:

4 оУк~ (г - со)(г + <у) йГ

4л-" (г - со){2 + ¿о) При х > Ь, фиксированном к и со > к

р(ср) оИр(йХх-у-2(Ь-а))

' 2 ш

в' (х, у,±ю,к) = ± ё

2гр(со)

1 ,±1р(^Хх-у-2(Ь-а))

и при со<к\

1 _/-л.\3

_^-р^х-у-ЦЬ-а))

со"

С (х,у,±со,к) = 2р^о)ер<Мх-у-ш-а)).

Функция Грина в случае а><к при х<а и а<х<Ъ имеет полюс вида 1¡(2- ¿д)(т. + со) , поэтому ее выражение при I ->+&) было получено в асимптотическом виде. В ЫШ-ситуации для случая а» к в рассматриваемой системе отсутствует отражение.

В Параграфе 2.2 рассматривается второй частный случай - система, подобная уже рассмотренной, с источником, находящимся за пределами слоистой системы - в вакууме (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Ы1М-система, состоящая из (п+2) параллельных чередующихся Ы1М-слоев шириной Д] (серого цвета) и слоев вакуума шириной Дг (белого цвета). Точечный источник располагается в точке с координатой у в слое вакуума с номером -1.

Следуя рассуждениям, описанным в Главе 1, получаются выражения для электрической функции Грина в ШМ-ситуации. При помощи покомпонентной записи матриц они представляются следующим образом: в случае а> > к в №М-слоях, то есть при четных номерах к, где к = 0,2,... (и -1),

GK(x,y,±ä>) = ±-

1

2 ip(cö) p\w)

а>~

±!р(шЦк&2-х-у)

К

ек ±-е3

р(ю)

к

е* +— к (*&) '

и в слоях вакуума, то есть при нечетных номерах к, где к = —1,1,3,.. .п,

2ip(co)

е3 х еке3 х ек + и ,2 ек + sign(x - у)

СО"

р{со)

ек + sign(* - у)

р(ю)

в случае ю < к в NIM-cлoяx, то есть при четных номерах к, где к = 0,2,... (и — 1), вК(,х,у,±со) = .

2 р(ю) р\ф)

СО'

p(<h) Д к р(а>)

1К

и в слоях вакуума, то есть при нечетных номерах к, где к = —1,1,3,...и,

е, хее, хе„

2 р(со) р\о>)

СО'

ек + sign(x - у)

1К -(

р(со)

ек +sign(x->>)

p(cb)

где функция знака = 1, если х > 0, и sign(x) = —1, если х < 0.

В Параграфе 2.3 обсуждаются полученные результаты и отмечается, что при определенных условиях для Г\Г1М-частоты в системе наблюдается эффект отсутствия отражения.

В Главе 3 рассматривается бесконечная периодическая слоистая система или, иными словами, одномерный фотонный кристалл (Рисунок 4).

NIM вакуум

А, л:

Рисунок 4 — NIM-система, состоящая из бесконечного числа параллельных чередующихся слоев метаматериала шириной Д[ (серого цвета) и слоев вакуума шириной Дг (белого цвета).

Ставится задача описания зонной структуры его спектра. Так как электрическая и магнитная проницаемости определяются на основе модели Лоренца, то метаматериал в слоях для одних частот ведет себя как среда с положительным показателем преломления, а для других - как среда с отрицательным показателем преломления. Таким образом, для рассматриваемой системы имеется возможность сравнить зонные структуры спектра в случаях, когда метаматериал ведет себя как NIM и как PIM. Также в Главе 3 исследуется зависимость зонной структуры спектра от параметров системы.

В Параграфе 3.1 рассматриваются уравнения Максвелла (1)-(4) и материальные уравнения (5)-(6) с учетом того, что е0р0 = 1 / с1, где с - скорость света в вакууме. Ставится условие причинности и пассивности. Метаматериал в слоях предполагается однородным и изотропным, а также диспергирующим и непоглощающим. Электрическая и магнитная проницаемости в слоях метаматериала считаются равными и определяются на основе модели Лоренца аналогично (7):

ff(®) = M®) = 1--А-г, (15)

со - СО'й

где Q и со0 - константы (параметры), а в слоях вакуума s(co) = /и(со) = 1. Для любого значения частоты со из интервала (со0,а>2) (NIM-интервал) значения s(a>) и р(а>) отрицательны и метаматериал является NIM. При этом

со2 = y]a>Q +D.2 , s(a>2) = р(со2) = О и е(со0 + 0) = р(а>0 + 0) = ^о . Для любого значения частоты со из интервала (0,®0) или {со2,+°о) (первый и второй PIM-интервалы соответственно) значения s(cl>) и р(со) положительны и метаматериал является PIM. При этом е(со0 - 0) = р(со0 — 0) = +оо. Для частоты

го, =\Jco2 +Q2/2 в метаматериале = р(со,) =-1, то есть со, является NIM-частотой.

Используется преобразование Фурье по времени, аналогичное преобразованию Лапласа по времени (8)

/М= £f{t)e-'adt, f(t)^^-^f(co)eiMdco,

а также преобразование Фурье по координатам (9)-(10). Рассматриваются случаи ТЕ и ТМ поляризации (5- и р-поляризации соответственно). Для ТЕ и ТМ случаев получается общее дифференциальное уравнение вида:

'Э2

ч

cV ■ ^(co,K) \Ej(x,co) = Q,

где ^г(со,к) = (со1 с]гЕ(са)^{со)-к2 и j - номер слоя (j =1 для метаматериала и 7 = 2 для вакуума).

Решая данное уравнение с использованием стандартных краевых условий (И)-(14) и теоремы Флоке-Блоха для периодических сред, для случаев ТЕ и ТМ поляризаций получаем следующее общее дисперсионное уравнение:

(1 + e'^V2^) + + е'2^-)

где в - блоховский волновой вектор (параметр, обычно называемый

е С ±£С

квазиимпульсом), crk, = -— при £ = 1 и / = 2 , или А: = 2 и / = 1 ,

£J=£j(cd) и £]=£](со,к) при 7=1,2.

В Параграфе 3.2 изучается зонная структура спектра рассматриваемого 1DPC. Используются численные методы. Рассматриваются излучательный (radiative) и затухающий (evanescent) режимы в слоях NIM и вакуума (Рисунок 5).

Рисунок 5 - Области излучательного и затухающего режимов. Черные сплошные линии разделяют плоскость значений {со, к) на области. Области с номером 1 соответствуют случаю, когда и в метаматериале, и в вакууме одновременно наблюдается излучательный режим. Область с номером 2 соответствует случаю, когда в метаматериале наблюдается затухающий режим, а в вакууме - излучательный режим. Область с номером 3 соответствует случаю, когда в метаматериале наблюдается излучательный режим, а в вакууме -затухающий режим. Области с номером 4 соответствуют случаю, когда и в метаматериале, и в вакууме одновременно наблюдается затухающий режим. Вертикальная пунктирная прямая соответствует частоте й)0=30 ТГц. Частота со, =70.35 ТГц - NIM частота, то есть = //,(й>,)=-1. При частоте ft>,=94.86 ТГц g,(ü)2) = /j,(ü>2) = 0.

В первой части исследования параметры выбираются следующим образом: Д1=Д2=10 мкм, а>0 = 30 ТГц, Г2 = 90 ТГц. Задаются следующие интервалы: для частоты со - от 0 до 240 ТГц (в этом случае нормированная частота col с принимает значения от 0 до 0.8x106 м"1), и для длины поперечного волнового вектора к (в плоскости слоев) - от 0 до 0.8 мкм"1 (иными словами, от 0 до 0.8х106 м-1).

Зонная структура спектра представляется серией графиков для PIM-(Рисунок 6) и NIM-интервалов (Рисунок 7).

о.в

0.6 к, ЦПГГ 0.4

0.2

0

Рисунок 6 - Зонная структура спектра 1DPC, одинаковая в ТЕ и ТМ случаях. Разрешенные зоны имеют серый цвет, запрещенные зоны - белый. Пунктирные линии разделяют плоскость значений {со,к) на области излучательного и затухающего режимов (Рисунок 3.4). Метаматериал проявляет свойства PIM.

0.80.6-К, нпт1

0.4

0.2-

036.0 37.5 39.0 40.5 42.0 СО, THZ

Рисунок 7 - Зонная структура спектра 1DPC, одинаковая в ТЕ и ТМ случаях. Разрешенные зоны имеют серый цвет, запрещенные зоны - белый. Пунктирные линии разделяют плоскость значений {со,к) на области излучательного и затухающего режимов (Рисунок 3.4). Метаматериал проявляет свойства NIM.

При излучательном режиме в метаматериале и при обоих режимах в вакууме наблюдается множество запрещенных и разрешенных зон, которые сужаются при изменении частоты в сторону значения со0. Для PIM- и NIM-интервалов частот наблюдается различие между зонными структурами спектра. При NIM частоте в системе наблюдается эффект полного отсутствия отражения.

ш, THz

Во второй части исследования изучается зависимость зонной структуры спектра от параметров ®0 и Q терма Лоренца (15). Рассматривается несколько случаев для значений параметров. С ростом параметра Q наблюдается увеличение NIM-интервала частот. Зонная структура спектра уплотняется. С ростом параметра а>0 наблюдается увеличение первого PIM-интервала частот и сужение NIM-интервала частот. Зонная структура спектра расширяется вдоль оси к.

В третьей части исследования изучается зависимость зонной структуры спектра от ширины слоев метаматериала и вакуума - параметров Д, и Д2 соответственно. С ростом ширины слоя метаматериала А, зонная структура спектра сгущается. С ростом ширины слоя вакуума Д2 разрешенные зоны смещаются в область, для которой в метаматериале и вакууме одновременно наблюдается излучательный режим. Для других областей разрешенные зоны сужаются до изогнутых линий. В обоих случаях - при росте ширины слоев как метаматериала, так и вакуума - разрешенная зона, содержащая NIM-частоту, расщепляется на две полосы. Таким образом, пропадает эффект отсутствия отражения для NIM-частоты.

В Параграфе 3.3 подводится итог полученным результатам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Решена задача поиска электрической функции Грина для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных слоев NIM и вакуума. Показано отсутствие отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.

2. Для системы, состоящей из NIM-слоя, помещенного в вакуум, с источником, расположенным вне NIM-слоя, при произвольной частоте получены выражения для s- и /^-поляризованных составляющих электрической функции Грина в общем виде. В NIM-ситуации найдены точные выражения и асимптотики и /^-поляризованных составляющих электротеской функции Грина. Показано, что при некоторых условиях в рассматриваемой системе отсутствует отражение. Для системы с конечным числом слоев с точечным источником, находящимся вне системы (в вакууме), получены выражения для Фурье образа электрической функции Грина в NIM-ситуации. Показано отсутствие отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.

3. Получено дисперсионное уравнение для бесконечной периодической системы слоев. Численно решена задача построения зонной структуры спектра. Разработан комплекс программ в пакете MathCAD. Численно изучена зависимость зонной структуры спектра от параметров системы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в ведущих рецензируемых журналах, утвержденных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертаций соискателей ученой степени кандидата наук:

1. Pravdin K.V. Model of the interaction of point source electromagnetic fields with metamaterials / K.V. Pravdin, I.Yu. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2013. - Vol. 4. - № 4. - P. 570-576. - 0,44/0,3 пл.

2. Правдин K.B. Точечный источник в слоистой среде с метаматериалами: подход рекуррентных соотношений / К.В. Правдин, И.Ю. Попов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2014.-Вып. 91. - № 3. - С. 11-17.-0,44/0,3 п.л.

3. Pravdin K.V. Photonic crystal with negative index material layers / K.V. Pravdin, I.Yu. Popov // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. - 2014. -Vol. 5. -№ 5. - P. 628-645. - 1,12/0,8 п.л.

Другие работы:

4. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В. Правдин // Труды студенческого центра прикладных математических исследований. Сборник статей. - 2011. - № 1. - С. 67-71. - 0,31 п.л.

5. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В. Правдин // Научные работы участников конкурса «Молодые ученые НИУ ИТМО» 2012 года. - 2013. - С. 191-197. - 0,44 п.л.

6. Правдин К.В. Явно решаемые модели в задачах о метаматериалах / К.В.Правдин // Научные работы участников конкурса «Молодые ученые НИУ ИТМО» 2013 года. - 2014. - С. 156-161. - 0,37 п.л.

7. Правдин К.В. Модель точечных возмущений для метаматериалов / К.В. Правдин, И.Ю. Попов // Сборник трудов VII Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2012», Санкт-Петербург, НИУ ИТМО. - 2012,- С. 227-229. - 0,18 п.л.

8. Pravdin K.V. Model of point perturbation for metamaterials / K.V, Pravdin // CEWQO 2013: Book of Abstracts, Stockholm, KTH. - 2013. - P. 77. - 0,06 п.л.

9. Правдин К.В. Модель точечного возмущения для метаматериалов / К.В. Правдин // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых, Выпуск 2, Санкт-Петербург, Университет ИТМО. - 2014. - С. 283-284. - 0,12 п.л.

10.Pravdin K.V. Model of point sources electromagnetic field interaction with metamaterials. / K.V. Pravdin // MCQTN 2013: Book of Abstracts, Saint Petersburg, ITMO University. - 2013. - P. 20. - 0,06 п.л.

11. Pravdin K.V. Photonic crystal with negative index material layers / K.V. Pravdin // MCQTN 2014: Book of Abstracts, Saint Petersburg, ITMO University. - 2014. -P. 17.-0,06 п.л.

Подписано в печать 13.10.2014 Формат 60x84 1/16 Цифровая Печ. л.1.0

_Тираж 100_Заказ 04/10_печать_

Типография «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)