автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Выборочные функции и глобальная топография Марса

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТЕОРИЯ ДВУМЕРНЫХ ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ НА. СФЕРЕ

1.1. Выборочные функции двух переменных на сфере.

1.2. Определение положения выборочных точек на сфере.

1.3. Методы вычисления выборочных функций на сфере.

1.3Л. Метод обратной матрицы.

1.3.2. Метод решения систем линейных уравнений

1.3.3. Определение коэффициентов выборочных функций методом ортогонализации Грама-Шмидта

1.3.4. Метод итераций.

1.4. Связь коэффициентов разложения по выборочным функциям с коэффициентами сферических гармоник.

Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ СМЕШАННОЙ. ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ.

2.1. Выборочные функции и смешанная задача теории приближения функций.

2.2. Вывод рабочей формулы для представления поля глобальной топографии планеты конечным рядом с помощью выборочных функций

2.3. Метод вычисления выборочных функций с учетом их симметрии.

Глава 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ ТОПОГРАФИИ МАРСА С

ПОМОЩЬЮ ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ.

3.1. Исходная информация.

3.2. Определение высот рельефа в выборочных точках.

3.2.1, Классические методы интерполирования

3.2.2. Интерполяция по методу средней квадратичес-кой коллокации.

3.3. Построение моделей глобальной топографии Марса в виде разложения по выборочным функциям

3.4. Сравнение порядков разложения поля рельефа Марса с помощью выборочных и сферических функций.

В последние годы все более целенаправленный характер приобретает программа исследований околоземного пространства и открытого космоса, включающая:

I) комплексность исследований - получение синхронной информации о различных физических полях небесных тел Солнечной системы; сравнительный анализ глобальных характеристик физических полей общей природы для различных небесных тел;

3) использование полученной информации для решения вопросов эволюции как Солнечной системы в целом, так и небесных тел, ее составляющих;

4) единый методологический подход к исследованию физических полей различных планет.

Одной из планет, представляющих наибольший интерес для исследований, является Марс. Это объясняется тем, что Марс из всех планет земной группы наиболее близок к Земле в отношении химического состава, внутреннего строения и процессов, протекающих в его атмосфере. Изучение этой планеты помогает лучше понять многое из того, что происходит на Земле.

Подтверждением этого являются обширные исследования Марса, выполненные в СССР и за рубежом на основе наземных наблюдений и информации, полученной в ходе космических экспериментов (КА серии Марс, Маринер, Викинг). Последние позволили получить большой объем данных о гравитационном и магнитном полях этой планеты, а также об атмосфере, тектонике и геоморфологии. Эти данные позволяют уже сейчас выделить среди обширного круга проблем, связанных с исследованием Марса, весьма актуальные и важные задачи изучения его глобальной топографии. Топография планеты является одной из наиболее важных ее характеристик, так как она отражает комплексную историю взаимодействия экзогенных и эндогенных процессов, формирующих и видоизменяющих планету. Топографические данные в совокупности с гравитационными, а также с сейсмическими и петрологическими наблюдениями служат для оценки горизонтальных вариаций плотности подповерхностного слоя и распределения напряжений. Топография свидетельствует об активных тектонических процессах на Марсе в прошлом, не прекращающихся и в настоящее время.

Общепринято глобальную топографию планет для последующего геофизического анализа гравитационного поля представлять в виде той или иной модели - численно-аналитической или графической (топографические карты).

Характерной особенностью развития физической планетодезии за последние 15 лет является подход к решению ее задач с самого начала как задач аппроксимации. При этом традиционно используется математический аппарат сферических функций. Особенностью применения сферических функций для моделирования физических полей и поверхностей планет является резкое увеличение объема вычислений,а, следовательно, снижение эффективности используемых ЭВМ и рост материальных затрат и времени, требуемых для обработки информации. В этой связи весьма актуальными являются исследования нетрадиционных представлений геофизических полей планет, в частности,поля рельефа (топографии), основанных на использовании иного математического аппарата, обеспечивающего большую вычислительную эффективность. Одним из таких представлений является разложение топографии в ряд по выборочным функциям.

Впервые выборочные функции были применены в 1969 г. С.А.Лунд-квистом и Дк. Е.О.Джакалией для представления гравитационного поля Земли [20, 67 , 68, 83-85] . Н.А.Чуйкова в 1974 г. применила выборочные функции для представления глобальной топографии Луны [40, 41]. Кроме того, следует отметить работы Г.Шмидта, который непосредственно вычислил выборочные функции для описания гравитационного поля Земли до 36-го порядка разложения включительно [iOI,

102, 104-107].

Анализ полученных результатов позволил сделать ряд выводов относительно преимущества практического использования выборочных функций [7, 40, 41, 68, 83, 105]. В то же время этот анализ выявил следующие трудности, возникающие при практическом применении выборочных функций для моделирования конкретных физических полей на основе реально имеющейся в распоряжении исследователя информации:

1) отсутствие систематизированного описания математического аппарата выборочных функций в отечественной литературе;

2) необходимость надежного определения количественных характеристик поля в строго заданной системе выборочных точек;

3) отсутствие методов вычисления выборочных функций, позволивших бы эффективно использовать при моделировании ЭВМ средней мощности (типа ЕС-1033).

Поэтому целью наших исследований является:

Л систематизация описания математического аппарата двумерных выборочных функций;

2) представление глобальной топографии Марса при помощи разложения в ряд по выборочным функциям;

3) установление связи теории двумерных выборочных функций со смешанной задачей теории приближения функций и на основании этой связи предложение методики вычисления выборочных функций, которая бы при достаточной строгости теоретического обоснования обеспечивала бы максимум вычислительной эффективности;

4) разработка практических рекомендаций по вычислению количественных характеристик физических полей (в частности, поля рельефа Марса) непосредственно в выборочных точках.

В соответствии с этим в представляемой работе на основе комплекса исследований:

I) разработана методика определения выборочных функций, основанная на смешанной задаче теории приближения функций и ее модификация, учитывающая свойство симметрии выборочных функций;

2) выбран оптимальный метод интерполирования по исходной информации количественных характеристик физического поля (высот рельефа Марса) в выборочных точках;

3) построены модели глобальной топографии Марса с помощью разложения ее по выборочным функциям (5x5), (бхб), (7x7);

4) установлено, что применение выборочных функций для моделирования топографии Марса уменьшает порядок разложения поля рельефа, по крайней мере, на три порядка в сравнении с разложением его по сферическим функциям без потери точности представления исходной информации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Она содержит стр. машинописного текста ( 82 стр. основного текста), 13 таблиц, 4 рисунка. Список литературы включает 115 наименований, в том числе 74 на иностранных языках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая результаты выполненных исследований, можно сделать следующие основные выводы и рекомендации.

1. Задача аппроксимации с помощью выборочных функций является частным случаем смешанной задачи теории приближения функций.

2. Применение математического аппарата выборочных функций вместо сферических позволяет упростить и автоматизировать процесс построения моделей глобальных физических полей и поверхностей небесных тел Солнечной системы благодаря следующим их преимуществам: а) выборочные функции позволяют получить приемлемую аппроксимацию физических полей планет Солнечной системы при использовании минимального количества исходных данных; б) природа выборочных функций не зависит от характера исследуемого поля, что позволяет применять общие алгоритмы вычисления выборочных функций при обработке различной в физическом отношении информации; в) математический аппарат выборочных функций легко алгоритмизируется и реализуется в программах; г) применение выборочных функций позволяет сократить объем вычислений и уменьшить порядок разложения изучаемого поля по сравнению с разложением по сферическим функциям.

3. Модели, создаваемые с использованием выборочных функций, эквивалентны моделям, полученным по другим представлениям в смысле адекватности представления исследуемого поля.

4. При решении задач моделирования, возникающих в физической планетодезии, с помощью аппарата выборочных функций рекомендуется : а) предварительную обработку исходной информации - вычисление количественных характеристик моделируемых полей -выполнять по методу средней квадратической коллокации; б) вычислять значения выборочных функций с помощью общего алгоритма, разработанного на основе смешанной задачи теории приближения функций; в) с целью эффективного использования ЭВМ средней мощности (объем оперативной памяти 500 Кбайт) вычислять значения выборочных функций при f\| > 14 с помощью модифицированного алгоритма, учитывающего свойство симметрии выборочных функций.

1. АЛЕКСАНДРОВ Ю.Н. и др. Радиолокационные наблюдения Марса, Венеры и Меркурия на волне 39 см в 1980 г. - Доклады АН СССР, 1980, т. 255, W б, с. 1334-1338.

2. БЕЛЛМАН Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.- 351 с.

3. БЕРЕЗИН И.С., ШЙДКОВ Н.П. Методы вычислений, т. I. -М.: Наука, 1966. 632 с.

4. БРОНШТЕЙН И.Н., СЕМЕНДЯЕВ К.А. В кн.: Справочник по математике для инженеров и учалдехся втузов.-М.: Наука, 1981,с.82-87.

5. ГРУШИНСКИЙ Н.П. Теория фигуры Земли. 2-е изд., М.: Наука, 1976. - 512 с.

6. ДЕМИДОВИЧ Б.П., МАРОН И. Л. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. - 664 с.

7. ДРОЖИНЕР А. Некоторые замечания о разложении геопотенциала в ряд выборочных функций. В сб.: Наблюдения искусственных спутников Земли. - М., 1973 (1974), Р 13, с. 51-59.

8. ЗИНГЕР В.Е., ПОЛЯКОВСКАЯ Л.Л. Применение метода средней квадратической коллокации для интерполирования высот рельефа Марса в выборочных точках. Деп.рук. Р 784 Ук-Д84, Львов: УкрНИИНТИ, 1984. II с.

9. Использование искусственных спутников для геодезии (Под ред. С.Хенриксен, А.Манчини, Б.Човиц. Пер. с англ. М.: Мир,1975.- 432 с.

10. Исследование космического пространства т. 10. Планеты солнечной системы (Марс). (Под ред. И.С.Щербины Самойловой (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). - М.: 1977. - 187 с.

11. КИРИЧУК В.В., СКРЫЛЬ В.А. Предварительный статистический анализ скоростей вертикальных движений земной коры. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1979, № I, с. 60-63.

12. КОТЕЛЬНИКОВ В. А. и др. Развитие радиолокационных исследований планет в Советском Союзе. Пробл. соврем, радиотехн. и электрон. - М., 1980, с. 32-57.

13. K0P0TK0BA JI.JI. Выборочные функции и их использование в геодезии и селенодезии. Геод., картогр. и аэрофотосъемка, Львов, 1979, № 29, с. 24-31.

14. КСАНФОМАЛИТИ Л.В. и др. "Марс-З": давление и высоты по результатам С02 альтиметрии. - М., 1974. - 22 с. (Препринт-183/ Ин-т космич. исслед. АН СССР).

15. КСАНФОМАЛИТИ Л.В. "Марс-5": поверхность и атмосфера красной планеты. Земля и Вселенная, 1974, № 5, с. 7-II.

16. КСАШОМАЛИТИ Л.В., Мороз В.И. Инфракрасная радиометрияс борта АМС "Марс-5". Космич. исслед., 1975, т. 13, W I,с.77-83.

17. КСАНФОМАЛИТИ Л.В., КУНАШЕВ Б.С., МОРОЗ В.И. Давление и высоты по интенсивности полос COg по измерениям с борта АМС "Марс-5" (предварительные результаты). Космич. исслед., 1975, т. 13, вып. I, с. 84-86.

18. ЛЕБЕДЕВ С.В., ЛИПЯНИНА Л.П., НЕЙМАН Ю.М. и др. Корреляционный анализ аномалий силы тяжести. Отчет НИР МИЙГАиК, 1975, Per. № 75038768. - 115 с.

19. ЛЕБЕДЕВ С.В., НЕЙМАН Ю.М. Методика определения корреляционной функции аномального гравитационного поля Земли для локальных участков. В сб.: Новосиб. инж.-строит, ин-та "Геодезия",1977, т. I (41), с. 87-91.

20. ЛУНДКВИСТ С.А., ДОКАЛИН Дгк. Е.О. Представление геопотенциала с помощью выборочных функций. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. - М.: Мир, 1975, с. 184-192.

21. МАРЧЕНКО А.Н., МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ПОЛЯКОВСКАЯ Л.Л. О вычислении выборочных функций с учетом их симметрии. Деп. рук. Р 912 УК-Д83, Львов: УкрНИИНТИ, 1983. 12 с.

22. МЕЩЕРЯКОВ Г.О. Про одну змЪпану задачу теорП наближення функцХй. Доп. АН УРСР, сер1я А, 1974, № 12, с. 1066-1069.

23. МЕЩЕРЯКОВ Г.А., ЗИНГЕР В.Е., ЗАЗУЛЯК П.М., КИРИЧУК В.В. Опыт прогноза аномалий силы тяжести Луны. Геод., картогр. и аэрофотосъемка, 1981, вып. 33, с. 43-50.

24. МИХАЙЛОВ А.А. Курс гравиметрии и теории фигуры Земли. -2-е изд., М.: Редбюро ГУГК при СНК СССР, 1939. - 432 с.

25. МОРОЗ В.И. и др. Предварительные результаты определения высот на Марсе по полосам COg с борта автоматической межпланетной станции "Марс-3". Докл. АН СССР, 1973, т. 208, Р 5, с. 10481051.

26. МОРОЗ В.И. Физика планеты Марс. М.: Наука, 1978. -352 с.

27. МОРЙЦ Г. Современная физическая геодезия. Пер. с англ. /Под ред. Неймана Ю.М. М.: Недра, 1983. - 392 с.

28. НЕЙМАН В.В. Гипсометрический анализ рельефа Марса по данным "Маринер-9". Астрон. вестник, 1975, т. IX, № 4, с. 245 -250.

29. Новое о Марсе. Сб. статей. Пер. с англ. /Под ред. Мороза В.И. М.: Мир, 1974. - 196 с.

30. ПЕЛЛИНЕН Л.П. Статистический анализ силы тяжести. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1970, № 5, с. 43-50.

31. ПЕЛЛИНЕН Л.П., НЕЙМАН Ю.М. Физическая геодезия. Геодезия и аэросъемка, т. 18 /Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР/. М., 1980. - 132 с.

32. ПОЛЯКОВСКАЯ Л.Л. Разложение рельефа Марса в ряд выборочных функций. Геод., картогр. и аэрофотосъемка, Львов, 1980, № 31 с. 91-99.

33. ПОЛЯКОВСКАЯ Л.Л. Гравитационное поле и топография Марса. Деп. рук. № 4435-82, Львов: ВИНИТИ, 1982. 44 с.

34. ПОЛЯКОВСКАЯ Л.Л. К вопросу представления поля рельефа с помощью выборочных функций. Деп. рук. № 497 Ук-Д83, Львов: УкрНИШИ, 1983. 5 с.

35. ПОСТНИКОВ Д.В. Рельеф и тектоника Марса. Геотектоника, 1980, № 6, с. 3-12.

36. РОМАНОВСКИЙ П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1980. - 336 с.

37. САГИТОВ М.У. Лунная гравиметрия. М.: Наука, 1979.-432с.

38. СОКОЛОВ С.С. Советские автоматические межпланетные станции исследуют Марс. Вестник АН СССР, 1974, № 10, с. 21-38.

39. ФАДДЕЕВ Д.К., ФАДЦЕЕВА В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, I960. - 656 с.

40. ЧУЙКОВА Н.А. Геометрическая фигура Луны, представленная в виде разложения по сферическим и выборочным функциям. Астрон. журн., 1975, т. 52, Р 6, с. 1279-1292.

41. ЧУЙКОВА Н.А. О представительности разложения геометрической фигуры Луны по сферическим и выборочным функциям. Астрон. журн., 1978, т. 55, Р 3, с. 617-627.

42. ANDERSON J.D., Planetary Geodesy. Rev. Geophys. and Space Phys., 1975, 13, N 3, p. 274-275.

43. BARTH C.A., HORD C.W. Mariner ultraviolet spectrometer: topography and polar cap. Science, 1971, 173» p. 197-201.

44. BILLS B.S., FERRARI A.J. Mars topography harmonics and geophysical implications. J. Geophys. Res., 1978, В 83, U 7, p. 9497-9508.

45. BRILLOUIN L. Science and information theory. Acad. Press. New York, 1962

46. CAIN D.L. et al. The shape of Mars from the Mariner-9occultations. Icarus, 1972, 17, p. 517-524.

47. CAIN D.L. et al. Approximations to the mean surface of Mars and Mars atmosphere using Mariner-9 occultations. J. Geo-phys. Res., 1973, 78, И 20, p. 4352-4354.

48. CALDV/ELL J. Ultraviolet observations of Mars made by the orbiting astronomical observe tori'. Icarus, 1973» 18, H 3, p. 489-496.

49. CARR M.H. et al. Preliminary results from the Viking orbiter maging experiment. Science, 1976, 193, N 4255, p. 766776.

50. CHASE S.C. et al. Infrared radiometry experiment on "Mariner-9- Science, 1972, 175, p. 308-309.

51. CHRISTENSE1J E.J. Martian topography derived from occul-tation, radar, spectral and optical measurements. J. Geophys. Res., 1975, 80, К 20, p. 2909-2913.

52. С0ШАТН B.J. et al. Atmospheric and surface properties of Mars obtained by infrared spectroscopy on "Mariner-9". J. Geophys. Res., 1973, 78, N 20, p. 4267-4278.

53. COXETER H.S.M. The problem of packing a number of equal nonoverlapping circles on a sphere. Trans. Hew York Acad. Sci., Div. of Math., 1962, ser. II, 24, p. 320-331.

54. DAVIES Ы.Е., ARTHUR D.V/.G. Martian surface coordinates. J. Geophys. Res., 1973, 78, Ж 20, p. 4355-4394.

55. DAVIES M.E. The control net of Mars: May 1977. J. Geophys. Res., 1978, 83, H В 5, p. 23И-2312.

56. DAVIES M.E., KATAYAMA P.Y., ROTH J.A. Control net of Mars: February 1978. R-2309-MSA, The Rand Corp., Santa Monica, Calif., 1978.

57. DAVIES K.E., KATAYAMA P.Y. The 1982 control network of Mars. J. Geophys. Res., 1983, 88, К В 9, p. 7503-7504.

58. DOVvKES G.S. et al. Mars Radar observations, a preliminary report. Science, 1971, 174, p. 1324-1327.

59. D0W1TES G.S. et al. Martian topography and surface properties as seen by radar: the 1971 opposition. Icarus, 1973» 18, U I, p. 8-21.

60. DOWIJES G.S., REICHLEY P.E., GREEH1 R.R. Radar measurements of Martian topography and surface properties: the 1971 and 1973 oppositions. Icarus, 1975, 26, N 3, p. 273-312.

61. DOWltfES G.S. et al. New radar derived topography for the northern Hemisphere of Mars. J. Geophys. Res., 1982, 87, К BI2, p. 9747-9754.

62. DZURISIlf D., BLASIUS K.R. Topography of the polar layered deposits of Mars. J. Geophys. Res., 1975, 80, If 23, p. 3286-3306.

63. FERRARI A.J., BILLS B.G. Planetary geodesy. Rev. Geophys. and Space Phys., 1979, 17, К 7, p. 1663-1677.

64. FJELDBO G. et al. Viking radio occultation measurements of the martian atmosphere and topography: primary mission coverage. J. Geophys. Res., 1977, 82, p. 4317-4324.

65. PREY H. Surface features on Mars: ground based and radar compared with "Mariner-9" topography. J. Geophys. Res., 1974, 79, N 26, p. 3907-3916.

66. GIACAGLIA G.E.O. Trigonometric interpolation. Celestial Mechanics, 1970, I, p. 36O-367.

67. GIACAGLIA G.E.O., LUKDQUIST C.A. Sampling functions as an alternative to spherical harmonics. Sp. Proc. of IAU Symp., Rotation of the Earth ed. by S. Jumi, Sasaki, Printing and Publ. C°, Sendai, Japan, Morioka, 1971, May n 48, p. 149-153.

68. GIACAGLIA G.E.O., LUlvT)QUIST C.A. Sampling functions for geophysics. Smith. Astrophys. obs., Spec, rep., 1972,1. July, IT 344. 94 p.

69. HANEL R.A. et al. Investigations of the martian environment by infrared spectroscopy on "Mariner-911. Icarus, 1972, 17, N2, p. 433-442.

70. HEBB K., MAIR S.G. Numerical definition of localized functions on a sphere. Smith. Astrophys. obs., Spec, rep., 1969, Pebr. N 294, p. 45-98.

71. HEISKANEN W.A., MORITZ H. Physical geodesy. San Francisco: W.H. Freeman, Calif., 1967. - 364 p.

72. HORD C.W., BARTH C.A., STEWART A.J. Mariner-9 ultraviolet spectrometer experiment: photometry and topography of Mars.- Icarus, 1973, 17, К 2, p. 443-456.

73. HORD C.W., SIMONS K.E., McLAUGHLIN L.K. Mariner-9 ultraviolet spectrometer experiment: pressure-altitude measurements on Mars. Icarus, 1974, 21, p. 292-302.

74. KAULA W.M. Statistical and harmonic analysis of gravity. J. Geophys. Res., 1959, 64, Ы 12, p. 2401-2421.

75. KIEFFER H.H. et al. Preliminary report on infrared radiometric measurements from "Mariner-9" spacecraft. J. Geophys. Res., 1973, 78, N 20, p. 4291-4312.

76. KLIORE A.J. et al. "Mariner-9" S-band occultation experiment: unitial results on the atmosphere and topography of Mars.- Science, 1972, 175, p. 3I3-31?.

77. KLIORE A.J. et al. The atmosphere of Mars from Mariner occultation measurements. Icarus, 1972, 17, p. 484-516.

78. KLIORE A.J. et si. S-band radio occultation measurements of the atmosphere and topography of Mars with Mariner-9: Extended mission coverage of polar and intermediate latitudes. -J. Geophys. Res., 1973, 78, F 20, p. 4331-4351.

79. LAMBECK K. Comments on the gravity and topography of

80. Mars. J. Geophys. Res., 1979, 84, p. 6241-6247.

81. LEVINTHAL E.C. et al. "Mariner-9" image processing and products. Icarus, 1973, 18, IT I, p. 75-101.

82. LI1TDAL G.F. et al. Viking radio occultation measurements of the atmosphere and topography of Mars: Data acquired during

83. Martian year of tracking. J. Geophys. Res., 1979, 84, H BI4, p. 8443-8456.

84. LORELL L.G. et al. Gravity field of Mars from Mariner-9 tracking data. Icarus, 1973, 18, N 2, p. 304-316.

85. LUHDQUIST C.A., GIACAGLIA G.E.O. Possible geopotential improvement from satellite altimetry. Smith. Astrophys, obs., Spec, rep., 1969, Febr., IT 294, p. 1-44.

86. KASURSKY H. et al. Television experiment for Mariner Mars. Icarus, 1971, IT 12, p. 10-45.

87. MORITZ H. Least Square Collocation. Deut. Geod. Kommis. Munchen, 1973, A, IT 75. 91 p.

88. MORITZ H. Covariance function in least-squares collocation. OSU Rep. IT 240, Dep. of Geod. Sci., 1976. - 79 p.

89. MORITZ H. Least-squares collocation and the gravitational inverse problem. J. Geophys., 1977. - 43 p.

90. MORITZ H. Least-squares collocation. Rev. Geophys. Space Phys., 1978, 16, II 3, p. 421-430.

91. MORITZ H. Statistical foundations of collocation. -Rep. N 242. Dep. Geod. Sci., OSU, 1978. 75 p.

92. MUTCH T.A. et al. The surface of Mars: the view from the Viking I lander. Science, 1976, 193, N 4255, p. 791-800.

93. PEARL J. et al. Results from the infred spectroscopy experiment on "Mariner-9". Int. Astron. Union. Symp., 1974, N 65, p. 293-294.

94. PETTENGILL G.H. et al. Radar measurements of Martian topography. Astron. J., 1969, 74, H 3, p. 461-482.

95. PETTENGILL G.H., ROGERS A.E.E., SHAPIRO I.I. Mars craters and scarp as seen by radar. Science, 1971, 174, p. 13211324.

96. PETTENGILL G.H., SHAPIRO I.I. Topography and radar scattering properties of Mars. Icarus, 1973, 18, p. 27-28.

97. PETTENGILL G.H. et al. Martian surface properties from recent radar observations, 2. Bull. Amer. Astron. Soc., 1974, 6, U 3, p. 372.

98. PHILLIPS R.J., SAUNDERS R.S. The isostatic state of martian topography. J. Geophys. Res., 1975, 80, p. 2893-2898.

99. ROGERS A.E.E. et al. Radar measurements of the surface topography and roughness of Mars. Radio Sci., 1970, N 5, p. 465-473.

100. ROTH L.E. et al. Radar altimetry of South Tharsis,Mars. Icarus, 1980, 42, p. 287-316.

101. SCHMIDT H.F. Darstellung des Geoidpotentials mit Hilfe von "Sampling Functions". Veroff. Bayer. Kommiss. Inst. Erd-mess. Bayer Akad. Wiss. Astron.-Geod. Arb., 1973, N 30, S. 63-70.

102. SCHMIDT H.F. Die Bestimmung der Koeffizienten der Sampling Funktionen. Veroff. Bayer Kommiss. Inst. Erdmess. Bayer Akad. V/iss. Astron.-Geod. Arb., 1974, H 32, S. 51-59.

103. SCHMIDT H.F. Trigonometrische interpolation mittels "Sampling Functionen". Z. Vermes. 1974, Marz, 99, Heft 3, S. Ю9-И8.

104. SCHMIDT H.F. Moglichkeiten zur Erstellung von Erdmode-len mit Hilfe der Sampling Funktionen. Veroff. Bayer Kommis. Int. Erdmess. Bayer Akad. V/iss. Astron.-Geod. Arb., 1975, H 33, S. II9-I23.

105. SCHMIDT H.F. Untersuchungen zur Anwendung von Sampling Funktionen in der Geodasie. Diss. Veroff. Dtsch. Geod. Kommis. Bayer Akad. V/iss., 1978, C, N 241. - 148 S.

106. SCHMIDT H.F. Zur Problematik der Approximation mittels Sampling Funktionen. Veroff'. Bayer Kommis. Int. Erdmess. Bayer Akad. V/iss. Astron.-Geod. Arb., 1978, II 38, S. 89-101.

107. SJOGREN V/.Ь. Planetary geodesy. Rev. Geophys. and Space Phys., 1983, 21, N 3, p. 528-537.

108. WHITTAKER E.T. On the functions which are represented by the expansions of the interpolatory theory. Proc. Roy. Soc. Edinburg, 1915, 35, p. 131-194.

109. I. WU S.S.C. et al. Photogrammetrie evaluation of Mariner-9 photography. J. Geophys. Res., 1973, 78, p. 4405-4410.

110. WU S.S.C. Topographic mapping of Mars.- Interagency Rep.: Astrogeology 63, U.S. Geol. Surv., Reston, Va, 1975.

111. WU S.S.C. Mars synthetic topographic mapping. Icarus, 1978, 33, p. 417-440.

112. WU S.S.C. Photogrammetrie portrayal of Mars topography. J. Geophys. Res., 1979, В 84, N 14, p. 7955-7959.

113. H5. WU S.S.C. A method of defining topographic datums of planetary bodies. Ann. geophys., 1961, 37, N I, p. 147-160.urn nm1. КОЭФФИЦИЕНТЫ Aj и Bj1. ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ Zj

114. N 14; П = m = I; j = 1,2, . ,225)

115. НО 0,I4I5I03xI0~16 0,24226I4xI0"16