автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Выбор и реализация системы признаков для описания изображений в задачах распознавания

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

ПОЛИКАРПОВА Наталья Сергеевна

ВЫБОР И РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ПРИЗНАКОВ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ

Специальность 05.13.16. "Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Моек на 1994

Работа выполнена в Научном Совете РАН по комплексной проблеме "Кибернетика"

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

И.Б.Гуревич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

A.П.Немирко

кандидат физико-математических наук

B.В.Рязанов

Ведущая организация: Институт радиоэлектроники РАН

Защита состоится " 1994 г. в ^Счас.^Влин. на

заседании специализированного совета Д.002.32.06 в вычислительном . центре РАН по адресу: 117967 Москва, ул.Вавилова, д.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН.

Автореферат разослан У^ " < ¿¿¿2с/ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

С.М.Швартин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В последнее десятилетие, особенно начиная с 70-х годов, среди прикладных задач обработки и преобразования информации все более существенное место начинают занимать задачи, в которых исходная информация представляется в виде изображений. Этот процесс отражает появление новых технических средств сбора и воспроизведения информации, обеспечивающих эффективное и наглядное представление зарегистрированных и накопленных данных п виде изображений и рост известности и популярности распознавания как новой информационной технологии • мощной, практичной и в некотором смысле универсальной методологии математической обработки и оценивания информации и выявления скрытых закономерностей.

При разработке методов и систем автоматизированного распознавания изображений приходится отыскивать способы эффективной формализации описания изображений для того: чтобы иметь возможность работать с представлениями (описаниями), отражающими семантику изображения, информацию, заключенную в его внутренней структуре и. структуре внешних связей части , реального мира (сцены), воспроизводимой с помощью изображения.

Специфика, сложность и следующая из них трудность задач " распознавания изображений определяется необходимостью достижения компромисса между весьма противоречивыми факторами, ^ отражающими требования к анализу, природу зрительного восприятия,способы получения, формирования и воспроизведения изображения и существующие . математические и технические возможное ги |к|С)011>1 с ними Основным, очевидно, является

противоречие между природой изображения и анализом, основанным на использовании формального аппарата и модели объекта. Оно выражается в том, что для использования преимуществ представления информации в виде изображения необходимо придать этой информации "неизобразительный" вид, ибо соответствующие алгоритмы приспособлены для переработки лишь неких символьных описаний.

Анализ современного состояния проблемы распознавания изображений показывает, что ключевыми направлениями анализа и понимания изображений являются:

а) математическая постановка, характеризация и систематизация задач распознавания изображений;

б) разработка, исследование, характеризация н систематизация методов и средств построения моделей изображений, ориентированных на задачу распознавания;

в) разработка, исследование, характеризация и систематизация преобразовании, обеспечивающих приведение изображения к виду, удобному для распознавания;

г) разработка формальных конструкций для описания моделей алгоритмов распознавания изображений и использование последних в качестве базы знаний для определения и характернзации классов алгоритмов распознавания изображения;

Целью работы решение математических и вычислительных задач, связанных с разработкой, математическим исследованием и реализацией средств синтеза двух классов моделей изображений, ориентированных на использование при решении задач распознавания.

Научная новизна.

I. Проведена формализация процесса порождения признано» изображений и на основании введенного формализма предложена классификация используемых признаков.

2 Введена и обоснована модель изображения как компактного множества.

3 Введены, обоснованы и формализованы критерии выбора признаков изображений, ориентированные на задачи распознавания.

4 Введены и обоснованы фрактальная модель тоновых изображений, фрактальные представления тоновых изображений и Н фрактальные признаки тоновых изображений как объекты, удовлетворяющие введенным критериям выбора признаков.

5. Исследованы свойства ампирической фрактальной размерности изображений; описаны классы изображений с различными фрактальным» свойствами.

6. Описана оптимальная в смысле сохранения геометрической конфигурации линейная модель выделения признаков для случая ■> многомерных неколичественных исходных данных.

7. Построено параметрическое семейство линейных моделей выделения признаков для случая многомерных неколичественныя данных с малым числом уровней квантования.

Практнчсспап ценность. Были построены и прогаымно реализованы алгоритмы определения признаков, использующие теоретические результаты диссертационной работы, и получены оценки их сложности. Результаты проведенных машинных экспериментов вполне согласуются с теоретическими результатами диссертационной работы и подтверждают практическую применимость полученных характеристик в качестве признаков при решении задач распознавания изображений.

Результаты диссертационной работы были использованы в НСК РАН при решении задач идентификации дактилоскопических отпечатков пальцев и задаче визуализации неколичественных данных из области психиатрии и при разработке банка алгоритмов анализа и обработки изображений. Результаты работы могут быть использованы в дальнейшем при выполнении плановой тематики в НСК РАН, ВЦ РАН, Электротехническом университете г. Санкт-Петербурга, НИИ прикладной математики н кибернетики при Нижегородском Государственном университете им. Н.И.Лобачевского, Самарском аэрокосмическом университете, Новгородском Государственном университете, ТОО "Биосигнап", НКПП "Информационные исследования" н НПКП "Новинтсх-ЛЭИНТЕК".

Публикации и апробации работы. Результаты, полученные в ходе работы над диссертационной работой, докладывались на 1-ой Всесоюзной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии", (Минск, октябрь 1991 г.) и на 3-м открытом Российско - Немецком семинаре по пониманию изображений и распознаванию образов (Эрланген, ФРГ, март 1993 г.). Вошедшие в диссертацию результаты публиковались в работах (71. 11321,1981, (991.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, изложенных на 132 страницах машинописного текста, содержит 3 таблицы и 4 рисунка. Библиография включает 132 наименования.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю к.ф.-м.н. И.Б.Гуревичу и академику РАН Ю.И.Журавлеву за руководство и постоянное внимание в процессе работы над диссертацией.

Содержание работы.

Во введении содержится краткое описание дескриптивной теории анализа и понимания изображении, перечислены основные i теоретические и практические задачи, возникающие в рамках этой теории в области анализа и понимания изображений.

Первая глава посвящена признакам в задачах распознавания изображений.

В п. 1.1. дан обзор типов задач распознавания изображений.

В п 1.2 представлено формальное описание процесса порождения признаков цифровых изображений.

Пусть / - исходное цифровое изображение. М(1) • модель изображения, R(l) • представление изображения . Модель М(/) и представление R(I) определяют пространство С0(М,' /?), элементами которого являются представления изображений, порождаемые данной моделью. Пусть (Gx,d\) (G},d,) (Gj,dj),... • некоторые пространства, на парах элементов которых определены отношения близости (или

различия) d>t dj, d3..... Пространство (Gt,d)t называется допустимым

для задачи распознавания Z, если его элементы могут быть использованы в качестве признаков при решении задачи Z.

Оператор выделения признака в задаче распознавания изображений Z определяется как произвольное отображение lt:G0-*(G,,d)lt где принадлежит множеству допустимых

пространств. 1

Задача выделения признаков для решения задачи распознавания изображений Z в рамках представленного подхода состоит в определении множества порождающих моделей {Af(/)>,, множества представлений {/?(/)},, множества используемых лопуешмых

пространств {(0,Д)}, н множества операторов выделения признаков {/}..

В п. 1.3. проводится классификация признаков изображений по типу допустимого пространства, элементом которого является признак. Такой принцип классификации позволяет унифицировать признаки, используемые при решении задач распознавания изображений, как математические объекты, независимо от модели изображения и способа вычисления признака. Выделены следующие допустимые пространства, а следовательно, типы признаков:

1) изображения (символьные или целочисленные матрицы) и отдельные подмножества их элементов;

2) Л" (О);

3) структуры;

4) кусочно-непрерывные функции.

В п.1.4. приведен обзор по использованию признаков различных типов в задачах распознавания и анализа изображений.

В п. 1.5. сформулированы следующие требования к числовым,

I

векторным и матричным признакам:

1. элементы допустимых пространств, выступающие в роли признаков, должны аггрегировать существенную информацию об изображении в порождающей модели;

2. выделенные признаки должны быть инвариантны к искажениям (например, зашумлению исходных данных, группе преобразований, применяемых к исходным данным и т.д.);

3. признаки должны быть сравнительно легко вычислимы (требование к оператору выделения признаков).

Вторая глава посвящена признакам изображений, основанных на понятии фрактальной раз^еркоч-и... -

В п. 2.1. даны определения фракталов, фрактальной размерное!и и описаны свойства фрактальной размерности. Введена основная формула вычисления решеточной фрактальной размерности:

О= нп{——где А - компактное множество в пространстве [LnÜ/r')) 1 '

Rm с евклидовой метрикой, a Nn{Ä) - количество ячеек решетки шага

Cr" в покрытии этого множества, С>0, 0<г<1.

В п. 2.2. строится пирамидальное представление исходною тонового изображения и выводятся формулы вычисления его эмпирической решеточной фрактальной размерности - ЭРФР - в предположении, что изображение является подмножеством некотором поверхности [(х,у) в /?3 , такой, что min(íj+k¡+,)<;/(х,у)5шах((цкjH), k,/=0,1 в областях (s<x<s+l, ¡<y<l+1). Вычисляются мощности покрытий изображения решетками G(h) с шагами 1/2», Ля0,...,/, 2' -количество уровней тона исходного изображения. Показано, что наложение на изображение решетки G(t) равносильно переходу от исходного изображения к трехмерному бинарному изображению ДО по следующему правилу;

/¡jk(/)=l, если mina j+,)¿kímax(il+pj+,),

Oípíl r' OSDSl r

Os/sl Osísl

i¡jt)=О, если k<min(iUphl) или k>max(iu. /+().

Oípül • OSpSl r''

Osísl Osfsl

Покрытие изображения решеткой O(t) совпадает с Ob(t), -множеством единичных элементов J(t).

/(/-1) строится по следующему правилу:

/iJk(/-l)=max(72/+í2>+í>2Jtv/</)

Mi

* ^ i'miri" 'tnax^1 У ^ í/'niin» /тах^>

где 'min. im in. равны О или 1, в зависимости от расположения начала координат S,- такого пиксела

изображений, через который проходит вертикальное ребро всех С(Н) с шагами 1/2\ Л=0.....1.

Мощность М/-Л) покрытия изображения решеткой определяется как Таким образом, алгоритм строит

набор чисел МО....МО) - мощностей покрытия изображения решетками с соответствующим шагом, и, представление исходного изображения пирамидой трехмерных бинарных изображений.

С использованием метода наименьших квадратов получена следующая формула для вычисления ЭРФР на интервале масштабов

Ъ^пМт-пъ-щ) (т„т2): ЭРФР«-—-а.

1п 2(^2 - т, Кт, - т, + ОСт, - п\ + 2)

Вводится понятие элементарной ЭРФР /(ст.+1)=1ор2(^")

Щт,)

Показано, что на любом интерсале масштабов |т2,Ш|], т2-/П|>1

6^/(00-т1)(т3-1 + 1)

ЭРФР=--- -

[щ - т,)[1П2 - гщ + икщ -т, + 2)

В п. 2.3. описаны свойства бинарных трехмерных изображении

из пирамидального представления исходного тонового изображения.

Доказана следующая теорема: V /г и любого /(/-Л), построенного

по исходному тоновому изображению при его модели - непрерывной

поверхности в И3, ОЬЦ-Н) является связным множеством без дыр.

Над трехмерными бинарными изображениями вводятся операции

дилатации по направлению, полной дилатации, дилатации,

согласованной с началом координат, и расширенных дилатации всех

видов.

Дилатацией трехмерного изображения /(/-Л) по подмножеству

направлений {с1}е{ 1,2,...,8} называется его отображение в трехмерное изображение 0,/(У(/-Л)), в котором О^Ц к)=г/,(и)).

А* \ (/

Полной дилатацией й называется дилатация {¿}={1,2,...,8}

Для каждого /^(/-й) определяется подмножество направлений

согласованное с началом координат, как множество направлений

на соседей, с которыми он "склеивается" при образовании одною

элемента изображения /(<-А-1). Дилатацией, согласованной с началом

координат 5 трехмерного изображения /0-й) называет сн его

отображение в трехмерное изображение 05(Д/'й)), в котором Л»в тах ¡¡¡к).

Расширенной дилатацией называется дилатация трехмерного

изображения Д<-й) одного из видов, перечисленных выше,

вычисленная по соответствующим правилам для дополнительных

элементов, имеющих соседей, принадлежащих исходному

изображению /(/-Л).

Вводятся понятия функции разреженности изображения Д*-й),

согласованной с некоторым началом координат Б,

РсО-й)3Р и обобщенной функции разреженности -

N0 - п)

■ УI тлш) - соответственно,

N(1 • п)

расширенная дилатация, согласованная с началом координат н расширенная полная дилатация).

Доказана следующая теорема: длялюбого Д/-М и любого начала координат Э 1<е$(/-Л)<4. В доказательстве теоремы существенно используется связность объекта трехмерного изображения и отсутствие в нем дыр.

Показано, что при фиксированном начале координат 5 для мощностей N(/-/1) и Ы(/-Л-1) покрытия изображения решетками и С(/-й-1) справедливо следующее неравенство:

Доказана теорема, что при фиксированном начале координат 5

--' -, где - функция

разреженности, согласованная с началом координат, для трехмерного бинарного изображения /)'(/(/•/»)).

В п.2.4. исследуются свойства ЭРФР. .

Доказаны следующие свойства.

1. Для любого изображения и для любого интервала масштабов ЭРФР^З.

Доказательство основывается на том факте, что в один элемент ОбО-Ы) переходит не более 8 элементво ОЬ(/-Л).

2. Условие /р$0-Н) для каждого ¡-И из данного интервала масштабов является достаточным для выполнения ЭРФР^2 для данного интервала масштабов для произвольного начала координат, (здесь р5(/(/-Л))=Ы(/-Л)/(т5(/-Л)«5(/-Л)) - плотность трехмерного изображеиия для некоторого начала координат Б, /п5(/-Л), л30-Л) - те размеры изображения, которые оно имеет после проведения операции расширенной дилатации для нахождения функции разреженности, согласованной с началом координат, или обобщенной функции разреженности.)

3. Если существует такое начало координат Б, что 1$(1-Н)<2, еО-л)> 2.

4. Если б50-А)>2, /(<-/!)<2.

5. Для любого <-Л /(*-й)>1, если gs(t-h)<4-2/р5(/(/-Л)).

6. Если gs^(t-h) и ¿520-/1) - функции разреженности при двух различных началах координат, и начала координат таковы, что /5|(/-/г)=У52(/-Л), и 6 >1, то

7. Если gs^U■h) и gS2{t^h) - функции разреженности при двух различных началах координат, начала координат таковы, что

/52( <-/<), н а йлЛ^е, Б >1, то

1од2( 1 / ь+Ъ/85ярз\>-Оценки зависимости изменения величины ЭРФР от расположения начала координат являются оценкой зависимости ее изменения при повороте изображения на 90 градусов или сдвигу изображения на шаг решетки (в зависимости от выбора Б! и 52).

Вводится понятие касающихся подызображений исходного изображения до уровня Н0>0 - /=/,и/2, /,п/2=5г5Л.

8. Пусть исходное тоновое • изображение ¡-¡^>17, [,г\12=Вгзн, и пусть /|((-Ь)>/2{*-Л) для всех Н, 0£Л+12Л0. Тогда ЭРФР(/2)<ЭРФР(/)<ЭРФР(/,).

9. Пусть исходное тоновое изображение /~/,и/2, 11п12=Вг51„ и пусть /,(/-Л)>/2(/-/1) для всех Н, 0<Л+1йИ0. Пусть В\$и-Ь) и • функции разреженности, согласованные с началом

координат 5 трехмерных изображений J^(t■h) и /2(/-Л). Тогда условие

Л', (7-Л) 1в15(Г-Л) + 2'Л.5(1-Л) л —±~--;—-- для всех • масштабов

V виО-н)

рассматриваемого интервала является достаточным для выполнения

неравенства _ЭРФР(/)>(ЭРФР(/,)+ЭРФР(/2))/2,

МО-Л) I й а условие —4-—-—^--—--г для всех масштабов

рассматриваемого интервала • достаточным для выполнения неравенства ЭРФР(/)<(ЭРФР(/,)+ЭРФР(Л,))/2.

В п. 2.5. описаны два основных класса изображений с различными фрактальными свойствами. - правильные и анизотропные регулярные.

Доказана следующая теорема: пусть задано начало координат 5. Если ц{Ш£2-2/р5и-И) и то g{t-hЛ)<2.

Вводится понятие плотных изображений, у которых т{п(р$0*Н)№'-*-'+1. Для них доказано, что, если трехмерное изображение Ш-Н) - плотное, то V 5 £$£2-2/р5.

Показано, что убывание функции р^-И)/2"1 при изменении Л от 0 до г ограничено величиной ■ . ,,-———;-гт~~ГС

Доказанные теоремы позволяют сделать следующие выводы:

• если на некотором уровне пирамидального представления выполняется неравенство то и на следующих шагах значение функции разреженности таково, что значение ЭРФР при любых началах координат близко к 2;

• плотность трехмерного изображения • его устойчивое свойство, т.е. если трехмерное изображение на некотором уровне пирамидального представления становится плотным, оно уже не выходит из этого класса.

Поскольку ЭРФР является взвешенной суммой значений элементарных ЭРФР на некотором интервале масштабов, для правильных изображений значение ЭРФР, вычисленных по любому масштабному интервалу, находится в интервале [2,31. Значения ЭРФР для таких изображений не зависят от начала координат, т.е. ЭРФР инвариантна относительно поворотов и сдвигов. Таким образом, свойства ЭРФР правильных изображений близки к свойствам теоретической фрактальной размерности.

■ Класс плотных изображений является предельным, поскольку изображения этого, класса, заполняя более половины всего обьема соответствующего куба на каждом уровне пирамиды, тем более

заполняют более половины объема оболочки, порождаемой дилатацией любого вида.

Для изображений второго класса на высоких уровнях пирамидального представления существуют начала координат, для которых значение функции разреженности близко к 1, и начала координат, для которых это значение близко к 3. Это анизотропные изображения, обладающие существенной регулярностью на данных масштабных уровнях. Значения элементарных ЭРФР на данном масштабном уровне не инвариантны к сдвигам н вращениям. При этом, чем больше разница в значениях функции разреженности на некотором шаге для различных начал координат, тем существеннее регулярность данного масштабного уровня.

В третьей главе описан подход к выделению признаков для визуализации неколичественных данных.

В п.3.1. ставится задача визуализации многомерных данных и представлены краткие обзоры методов визуализации и методов выделения признаков для визуализации. Дана постановка задачи выделения признаков для визуализации многомерных неколичественных данных.

В п.3.2. рассмотрены линейные модели выделения признаков для визуализации неколичественных многомерных данных, оптимальные в смысле сохранения геометрической конфигурации.

Под моделью оцифровки неколичественных данных понимается М=(Я,Д,Т,£,Т,,^), где П - пространство представлений объектов, заданных исходными неколичественными признаками, в форме, допускающей возможность вычисления различии и близостей между объектами, А и Г() • матрицы различий и близостей между объектами, (члемсити Л пре;:,п<г!л! гпотся нош рицлтг.'п.ними, и обозначаются Л,!1').

£ и Т1 • матрицы евклидовых расстояний и скалярных произведений между объектами, представленными выделенными числовыми признаками, q - размерность результирующего прнзнаковою пространства. В задаче построения диаграммы рассеяния набора неколичественных данных q -2.

Пространство промежуточных представлений П может совпадать с исходным пространством, которому принадлежат символы, описывающие исходные данные, или его элементами могут быть какие либо формализованные описания объектов.

Доказана следующая теорема: пусть модель Л1 выделении числовых признаков (Я,А,Г,£,Г,,ч) удовлетворяет следующим условиям:

1. (¡1 удовлетворяет свойствам скалярного произведения;

2. Дц»в'н+<1Г2'« :

3. Т - дважды стохастическая матрица;

4. <7 - размерность результирующего признакового пространства,

Тогда набор числовых признаков мощности цпах, выделенных применением метода многомерного метрического шкалирования к матрице исходных расстояний Д удовлетворяет следующим условиям:

ЕК-е^'-о

¡.I

Следствием этой теоремы является следующее утверждение: пусть выполнены первые 3 условия теоремы, а Тогда набор

числовых признаков мощности выделенных применением методг многомерного метрического шкалирования к матрице исходны*

расстояний Д минимизурует векторный функционал

(I Щ-е'Г.ЯьЛ-ЪП

i.l i.l п

Таким образом, модели, удовлетворяющие условиям теоремы (или следствия), оптимальны в смысле сохранения геометрической конфигурации исходных данных.

В п. 3.3. описана реальная модель выделения цифровых признаков, которая удовлетворяет свойствам теоремы, доказанной в предыдущем разделе, - модель выделения признаков на основе множественного анализа соответствий (MAC).

Пусть исходные данные представлены векторами первичных признаков, которые являются элементами пространства, определяемого произведением S|XS2x...xSp, где S/ представляет собой множество строк, каждая из которых соответствует градации (уровню квантования) i-того первичного признака, IsJ^m,. В модели на основе MAC исходные неколичественные данные представляются

матрицей У, состоящей из 0 и 1, размера пжт, где п • число объектов,

р

а т - общее число градаций всех признаков, т.е.

пространство формализованных описаний Я представляет собой пространство двоичных векторов длины т. Каждому объекту в данной модели соответствует строка в матрице У с ровно р единицами и т-р нулями. У={У,,...Ур}, где У, - матрица размера n-rni - соответствует t-тому признаку с числом градаций т{. Расстояния между объектами и i/j в X2 метрике определяется по формуле

¿V « - yhis) = -(УГУ^ЧУГУ,).

Р Л.1 s=l ns Р

Матрица D размера т-т, - диагональная матрица, элементами которой являются числа л* - количества объектов, у которых для признака h реализовалась градация s.

Матрица близости Т- — У/)1У'={<,/=-у,'/),«/}. Сумма элементов р р

любого столбца (строки) матрицы Т равна п. След матрицы Т одинаков для всех исходных данных с одинаковым суммарным числом градаций m и равен т/р. Поскольку элементы матрицы Ол •

с

положительные числа, величины tit удовлетворяют всем свойствам скалярного произведения, т.е. ty =a<yi,yi>. Расстояния между объектами в X» метрике можно записать в виде Aif!=<yt-yi,yi-yi> и считать евклидовыми расстояниями в пространстве бинарных переменных.

Таким образом, применение многомерного метрического шкалирования к матрице расстояния или близости, полученным с использованием MAC, дает в результате оптимальные в среднеквадратичном смысле числовые признаки.

В п.3.4. представлен метод учета недостаточности уровней квантования исходных неколичественных признаков при выделении признаков для визуализации. В основе метода - поиск модели (K*,X3,W',£,//,<}), удовлетворяющей одновременно условиям теоремы из п. 3.2. и следующим условиям:

О

2) p1ij(s)>£\.1tl(st)-0 для всех объектов, у которых проявилась градация s признака I. ((sy) обозначает вклад в значение расстояния или меры близости градации s признака /.);

3) пространство промежуточных представлений У* должно быть таким, что расстояния между формализованными описаниями из этого пространства в %2 метрике образовывали бы матрицу Р, а скалярные произведения с новыми весами • Н.

4) И - дважды стохастическая (в широком смысле).

С использованием вероятностного подхода и комбинаторных методов найдены параметры Р, Н, модели (Y*X1,^,,P-H,q).

В п.З.б. в явном виде найдены параметры W1, Y* модели

(Y+,W,P,H,q).

Параметры исходной модели выделения признаков на основе MAC однозначно задавались исходными неколичественными данными. В построенной модели часть параметров (номера подвергаемых дополнительному квантованию признаков, номера градаций, за счет которых производится увеличение уровней квантования, количества дополнительных уровней квантования) могут принимать различные значения с учетом ограничений. Следовательно, одному и тому же набору исходных неколичественных данных соответствует параметрическое семейство таких моделей {(K*,XJ,W Наличие параметрического семейства моделей, в свою очередь, позволяет ставить и решать оптимизационные задачи. В частности, для решения задачи выделения признаков для визуализации исходного набора неколичественных данных представляется возможным подбор параметров модели, наиболее адекватных целям визуализации.

Четвертая глава посвящена использованию выделенных систем признаков в решении практических задач и алгоритмам их вычисления. Описаны алгоритмы вычисления эмпирических фрактальных размерностей и примеры использования эмпирических фрактальных размерностей тоновых изображений в качестве признаков в практических задачах распознавания, и алгоритмы вычисления признаков для визуализации неколичественных данных.

Приложение содержит рисунки и таблицы результатов вычисления ЭРФР дактилоскопических' отпечатков - пальцев для различных масшт.чбнмх интервалов.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Поликарпова Н.С., Модель представления медицинских данных из области психиатрии для задачи визуализации, Тезисы докладов, РОАИ-1-91, 1991 Т.4., стр 126-130.

2. Yu.Zhuravlev, I.B.Gurevitch, S.V Ilyinski, N.S.Polikarpova, Yu.Smetanin, AV.Khilkov. Development and Investigation o( the mathematical and Computational Basis for a System of Information Technologies of Pattern Recognition and Image Understanding / / Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications. 1993, v.3, N 3 pp. 266-282

3. Polikarpova N.S., On the Use of the Features Based on the Calculation of the Fractal Dimension in the Analysis and Recognition of Fingerprints //Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications in the USSR, 1993, Vol3, N3., pp.366-373.

4. Polikarpova N.S. Point Diagrams for Nonquantitative Data: An Approach to Feature Extraction for Visual Display //Pattern Recognition and Image Analysis: Advances in Mathematical Theory and Applications in the USSR, 1994, Vol4, N1.