автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вейвлет-анализ временной структуры космических магнитных полей

На правах рукописи

ОД

ГАЛЯГИН Денис Константинович

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ КОСМИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2000

Работа выполнена в лаборатории физической гидродинамики Института механики сплошных сред УрО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор П.Г.Фрик Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.К.Хеннер* кандидат технических наук, доцент В.Н.Ашихмин

Ведущая организация:

Научно-исследовательский вычислительный центр Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится 30 мая 2000 г. в 12 часов в ауд.423 на заседании диссертационного совета К 063.66.07 в Пермском Государственном техническом университете по адресу: 614600 г.Пермь, Комсомольский пр. 29а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского Государственного технического университета.

Автореферат разослан апреля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

канд. технических наук, доце

'? С.Г.Николаев

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Магнитные поля играют важную роль в формировании структуры космических объектов. Современное представление о структуре и эволюции космических магнитных полей связано с понятием магнитогидродинамического динамо. МГД динамо - это явление генерации магнитного поля движущейся проводящей средой, возникающее при значительных магнитных и гидродинамических числах Рейнольдса и приводящее к сложной пространственно-временной структуре возникающих полей. В последние десятилетия были получены фундаментальные теоретические результаты, позволяющие описать процесс генерации крупномасштабного магнитного поля. Отсутствие экспериментов, позволяющих рассмотреть действие МГД динамо в лабораторных условиях, делает наблюдения за космическими магнитными полями практически единственным источником информации, состявляющим базу для теоретических работ по МГД-динамо.

В настоящее время накоплен значительный объем данных наблюдений за магнитной активностью Земли и Солнца. Развитие техники измерений позволили получить ряды данных о полярности магнитного поля, описывающих историю изменения геомагнитного поля на временнах, сравнимых с возрастом нашей планеты. К сожалению, значительно меньший отрезок времени обеспечен данными по величине и точной ориентации напряженности магнитного поля. Возрастающий интерес к астрофизическому динамо вызвал появление работ, посвященных реконструкции архивных данных, что позволило значительно увеличить длину временных рядов, касающихся в основном наблюдений за Солнцем. С другой стороны, происходит увеличение количества наблюдаемых объектов. В обсерватории Маунт Вильсон (США) в течении последних 30 лет производят наблюдения за 111 звездами солнечного типа.

Характерной чертой.большинства астрофизических наблюдений являются сильная зашумленность, непродолжительность и наличие пробелов во временных рядах данных, связанных с сезонно-•стью наблюдений, характером движения небесных тел, условиями наблюдения и т.д. Влияние этих факторов становится особенно

существенным при анализе спектральных свойств сигналов и их изменчивости на временах, сопоставимых с длительностью временных рядов. Все это делает необходимым как улучшение качества набдюдений, так и поиск новых методов обработки данных и интерпретации результатов. Среди методов обработки сигналов наиболее распространен Фурье-анализ. Однако, его возможности ограничены при исследовании нестационарных квазипериодических сигналов, когда интерес представляет именно изменчивость спектральных свойств. В последнее десятилетие широкое развитие получил вейвлет-анализ, основанный на разложении исследуемого сигнала по функциям, локализованным как в физическом, так и в фурье-пространствах (идея метода была сформулирована в работе А.Гроссмана и Ж.Морле в 1984). В отличие от Фурье, вейвлет-разложение проецирует одномерный . сигнал на полуплоскость время-частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени.

Идеи, близкие идеям Гроссманна и Морле, использовались и в других областях науки. Так, с начала 80-х годов в ИМСС В.Зиминым и П.Фриком разрабатывались модели развитой турбулентности, основанные на представлении исследуемых полей по базисным функциям, локализованным в физическом и фурье-пространствах (по современной терминологии это вейвлет-базисы). С начала 90-х годов в лаборатории физической гидродинамики ИМСС начались работы по приложению вейвлет-анализа к исследованиям самых различных нелинейных гидродинамических систем. Первые попытки применения метода к анализу данных метеорологических наблюдений подтвердили его эффективность, но и выявили целый ряд специфических для обработки наблюдательных данных проблем.

Целью работы является адаптация методов вейвлет-анализа к задачам обработки данных наблюдений, разработка специальных алгоритмов для анализа данных с пробелами и их применение к обработке данных астро- и геофизических наблюдений.

Научная новизна

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразо-

вания, предназначенный для спектрального анализа временных рядов с пробелами, не требующий предварительной подготовки (интерполяции) данных.

• Впервые проведен вейвлет-анализ вариаций характеристик геомагнитного поля. Проведен сравнительный анализ всех известных характеристик вектора напряженности магнитного поля Земли за период времени, охватывающий 1700 млн.лет.

• Проведен вейвлет-анализ данных наблюдений солнечной активности за период 1610-1995 гг. Показано, что ослабление солнечной активности соответствует отрицательной производной вариаций периода основного солнечного цикла.

Научная и практическая ценность работы. Разработанный алгоритм адаптивных вейвлетов может быть использован в'различных задачах спектрального анализа одномерных сигналов, содержащих пробелы. Также адаптивные вейвлеты могут применятся в случае коротких (в смысле отношения длины сигнала к основному периоду) сигналов.

Полученные результаты могут быть использованы при построении и верификации моделей МГД-динамо космических объектов.

Пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов, используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь; Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардском астрофизическом центре.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы "Исследование развитой конвективной и магнитоконвективной турбулентности с reo- и астрофизическими приложениями" №ГР 01.960.011298, пректов РФФИ 94-01-00951-а, 95-02-16252-а и гранта CRDF №176100.

Достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и программ и сравнением полученых результатов, где это возможно, с результатами, полученными с помощью других методов.

Личный вклад автора. В работе [2] автору принадлежит разработка алгоритма непрерывного вейвлет-преобразования для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты, тестирование этого метода на модельных примерах и исследование его свойств. В работах [5, 10, 6] автором проведена вся вычислитель-нал работа по вейвлет-анализу данных наблюдений. В работах [14, 11, 15, 16, 9, 12, 13, 3] вычисления выполнены совместно с М.Ю.Решетняком, а в работах [1, 8, 7, 4] с В.Г.Захаровым. Автором лично подготовлены использованные в работах алгоритмы и программы. Во всех работах автор принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались:

на семинарах кафедры математического моделирования ПГТУ; на семинарах Института Механики Сплошных Сред, Пермь; на Х,Х1 и XII Зимней Школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995,1997 и 1999; на конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", С.Петербург, 26-30 мая 1997; на конференции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, 29 сент.-З окг. 1997; на конференции 17-th International Workshop SOLERS22, National Solar Observatory at Sacramento Peak, Sunspot, New Mexico, June 17-21, 1996.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (81 наименование). В работе приводится 47 рисунков и одна таблица. Общий объем диссертации составляет 145 страниц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность задачи вейвлет-анализа данных наблюдений космических магнитных полей, формулируются цели исслледования, описывается построение диссертационной работы.

Первая глава содержит описание свойств космических магнитных полей и краткий, обзор методов обработки данных на-

блюдений. В первом параграфе обсуждается структура и свойства магнитных полей звезд и планет. Приведены основные характеристики магнитного поля Солнца и Земли, известные по данным наблюдений. Во втором параграфе описаны алгоритмы спектрального анализа сигналов, Фурье-преобразование, периодограммы Ломба-Скаргла и непрерывного вейвлет-преобразования. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в разложении его по базису, построенному из семейства вейвлет-функций. Каждая из функций этого базиса характеризует как определённую частоту, так и её локализацию в физическом пространстве. Семейство вейвлет-функций генерируется из одной "материнской" функции ф^), называемой также анализирующим вейвлетом, при помощи растяжения (сжатия) и сдвига. Таким образом, одним из характерных признаком семейства вейвлет-функций является самоподобие. В качестве вейвлета выбирается осцилирую-щая функция, удовлетворяющая следующим условиям. Во-первых, среднее значение функции должно равнятся нулю. Во-вторых, функция должна быть локализована и в физическом и в фурье пространствах (время и частота). В работе использовались два вейвлета: действительный вейвлет, называемый "мексиканской шляпой" ?/>(£) = (1 — £2)е~( /2 и комплексный вейвлет Морле (Мог1е^ грЦ) - е-<2/2е27Г,< . Параграф заканчивается перечислением основных свойств непрерывного вейвлет-преобразования и примерами разложения простых сигналов.

Во второй главе приводятся результаты вейвлет-анализа данных наблюдений активности Солнца и ряда звезд солнечного типа. Данные по солнечной активности представлены числами групп солнечных пятен с месячным осреднением и охватывают период с 1610 по 1994 гг. Число групп солнечных пятен связано с интенсивностью магнитного поля и характеризует работу солнечного МГД динамо. Показано наличие двух устойчивых циклов (11-летний цикл Швабе и 100-летний цикл Глессберга). Было проведено исследование свойств 11 летнего цикла. Для этого построена зависимость максимумов вейвлет-коэффициентов от времени в полосе масштабов 8-16 лет (рис.1). 11-летний цикл имеет три явных сбоя, связанных с изменением длины цикла. Эти три эпизода выделены вертикальными линиями. Необходимо подчеркнуть, что эти собы-

1, годы I

Рис. 1: Вариации периода 11-лстпего цикла 1610-1995 гг.

тия не связаны с недостатком наблюдений, а действительно являются следствием ослабления солнечной активности. Показано, что минимумы солнечной активности соответствуют отрицательной производной вариаций периода 11-летнего цикла. Перед каждым минимумом период увеличивается и чем выше значение периода накануне, тем глубже минимум. Отдельно в работе исследованы свойства солнечной активности в периоды резкого уменьшения числа солнечных пятен.

Квазипериодическое поведение демонстрируют и данные наблюдений магнитной активности некоторых звезд солнечного типа (рис.2). Несмотря на относительно короткие временные ряды (25 лет), в звездных данных присутствуют практически все особенности, характерные для солнечной активности. Две особенности данных астрофизических наблюдений осложняют спектральный анализ. Первая - ограниченная продолжительность данных (около 25 лет). Вторая - наличие пробелов в данных, составляющих около 50% длины сигнала. Эти пробелы связаны с практическими трудностями, такими как сезонные окна возможности наблюдений, облачное небо и т.д.

В случае короткого исследуемого сигнала (короткого в смысле соотношения основного периода и длины сигнала) и наличия пробелов, возникают проблемы, связанные с граничными эффек-

0.9 0.8

S

0.7 0.6

0 50 100 I, гаэтцы 200 250 300

Рис. 2: Данные наблюдений хромосферной активности для звезды HD201091.

тами и интерполяцией. В обоих случаях применение стандартного вейвлет-анализа ведет к появлению в разложении искуствен-ных шумов. На языке фурье-представлешш можно дать следующую интерпретацию. Особенностью вейвлетов является то, что их фурье-образ локализован в ограниченной полосе частот. Отклонение среднего значения вейвлет-функции от нуля приводит к появлению в спектре \ф'{и)) |2 низких частот вплоть до tj — 0, а разрывы на краях дыр производят высокочастотный шум.

Для анализа данных с пробелами предложен новый алгоритм -адаптивные вейвлеты, который позволяет подавить как низкочастотный, так и высокочастотный шум, обусловленный дырами и краями (край рассматривается как полубесконечная дыра) без дополнительной обработки данных. Пусть f(t) стохастический или квазипериодический сигнал, который регистрируется только на некоторых интервалах времени. Иначе говоря, вместо функции f(t) нам известна функция f'(t) = f(t) • G(t) , где G(t) некоторая функция, которая равна единице если сигнал регистрируется и нулю во всех остальных точках (т.е. внутри пробелов и вне сигнала). Идея адаптивных вейвлетов состоит в перенесении проблемы пробелов с неизвестной функции f(t) на хорошо известную функцию ф и замене "испорченного" вейвлета гр' на "адаптированный" вейвлет ф, который должен, по меньшей мере, удовлетворять условию < ф >= 0 и стремиться к исходному вейвлету ф при ис-

XI

8.5

а

b

10.5

§

9.5

14

6.5

50 100 1„«з,чы 200 JSO 300

5(1 100 i,месяцы 200 250 300

Рис. 3: Изменение периода, a) HD 104765; б) HD 201091.

чезновешш пробелов. Для реализации этой идеи исходный вейвлет ijt представляется в виде ф(1) = h(t) • Ф(£) , где Ф(£) есть положительно определенная масштабная функция, a h(t) - "заполняющая" функция. Искомый адаптивный вейвлет ij; записывается в виде

В работе приведены примеры изменения вейвлет-функций на одиночном пробеле, а также результаты вейвлет-разложения тестовых сигналов с пробелами, полученные по адаптивной методике. На модельных примерах обсуждаются свойства адаптивного алгоритма.

Для данных наблюдений магнитной активности звезд построены глобальные спектры с помощью адаптивных вейвлетов, периодограмм Ломба-Скаргла и непрерывного вейвлет-преобразования интерполированных данных. По аналогии с солнечной активностью, для звезд с ярко выраженной периодичностью, анализировались изменения длины основного цикла со временем. На рис.3 (сплошная линия) показана зависимость периода Т от времени. В отличае от результатов, полученных для солнечной активности (рис.1), данные вариации периода могут быть обусловлены

неравномерным распределением данных. Для проверки значимости полученных результатов были посчитаны максимумы вейвлет-разложения гармонического сигнала, период и фаза которого совпадают с глазным циклом в данных, с наложением наблюдательных пробелов. Результат показан на рис.3 штриховой линией, из которого следует, что период активности 1ГО 104765 (ряс.За) стабилен во времени, потому что видимые изменения имеют ту же форму и порядок величины, что и изменения, связанные с нерегулярно распределенными данными. Изменения периода во втором случае (рис.ЗЬ) являются действительными, т.к. они отличаются по форме и намного больше, чем изменения, полученные для гармонического сигнала с неравномерным распределением.

В третьей главе исследуются вариации характеристик магнитного поля Земли с использованием стандартного и адаптивного вейвлет-преобразования. Рассматрено два типа данных: палео-магнитные (за период 1700 млн.лет) и археомагнитные (продолжительностью 4000 лет). Целью анализа являлось определение закономерностей изменений магнитного поля и исследование взаимосвязи между различными характеристиками вектора поля.

По данным палеомагнитных исследований известно, что магнитное поле Земли неоднократно меняло знак, так называемые инверсии геомагнитного поля. Последовательность точек смены полярности составляет шкалу геомагнитной полярности (ШГП). Для последних 170 млн.лет была построена шкала по записям магнитных океанических аномалий и продолжена для всего неогея (1700 млн.лет) (ШГП-1700). Общее число инверсий для ШГП-1700 — 593. Время одного переброса составляет около 1000 лет. Интервалы постоянной полярности геомагнитного поля (магнитозоны) характеризуются временами от 10 тысяч до сотен миллионов лет.

В вейвлет-спектрах найден излом в области Т & 1.2 млн.лет, отмечавшийся также и при фрактальном анализе в работе Печер-ского (1997). При а > 1,2 млн.лет спектр ШГП-1700 можно аппроксимировать степенным законом М ~ с показателем /г « 0.9.

Для того, чтобы узнать в какой степени спектры ШГП отражают спектральные свойства самого магнитного поля, были рассмотрены тестовые сигналы в виде численного решения модели двухдискового динамо Рикитаки, реализации винеровского лро-

десса и соответствующие этим сигналам шкалы инверсий. В спектрах сигнала, генерируемого моделью Рикитакп, выделяется масштаб, соответствующий наболее вероятной длительности зон. На больших масштабах спектр инверсий с точностью до постоянного множителя повторяет спектр самого сигнала. Важно отметить, что множество точек инверсий в системе Рикитаки не обладает фрактальными свойствами, а исходный сигнал формируется из последовательностей некоторого числа колебаний по одну сторону от оси с приблизительно постоянным периодом, задающим характерное время.

, Другой рассмотренный пример полу чен с помощью модели случайных блужданий. Его шкала инверсий обладает значительно более выраженными фрактальными свойствами, чем у реальной ШГП,; и не содержит никакого характерного масштаба времени. Фрактальная размерность множества точек инверсий для такого сигнала 6 ~ 0,5. В этом случае не происходит разделения спектра на низкочастотную и высокочастотную части. Спектр самого сигнала плоский ( /л ~ 0.03), а спектр его шкалы инверсий — убывающий с показателем /г = 0.52. Таким образом, рассмотренные примеры позволяют надеяться на то, что низкочастотная часть спектра ЩГП, правильно отражает структуру временного спектра магнитного поля Земли. Более осторожная точка зрения состоит в том, что полученное значение является нижней оценкой наклона спектра самого палеомагнитного поля Земли.

К настоящему времени построены временные ряды основных характеристик геомагнитного поля в течение неогея (1700 млн.лет): изменения его полярности, интенсивности и направления. Следует отметить, что ряды, соответствующие характеристикам вектора поля, содержат значительно меньше данных по сравнению с рядом инверсий, хотя охватывают тот же период 1700 млн.лет. Рассмотрен ряд осредненных характеристик геомагнитного поля в неогее: частота инверсий, шкала полярности, модуль напряженности, вариации ее направления и величины. В терминах вейвлет-анализа построены временные спектры и их эволюция. Показано, что большинство пиков, регистрируемых в интегральных спектрах, обусловлены не периодическими процессами, а локальными событиями с соответствующим временным масштабом.

Об общей нестабильности геомагнитного поля в неогее свидетельствуют следующие факты: заметное различие общей структуры вейвлет-спектров всех рассмотренных геомагнитных параметров; из выделенных периодов подавляющее большинство представляет собой краткие "всплески", по продолжительности близкие одному полному колебанию; колебания различных характеристик поля с близкими периодами обычно не синхронны.

Одним из проявлений процессов, происходящих в жидком ядре Земли, являются вековые вариации напряженности геомагнитного поля. Были проведены оценки спектральных характеристик напряженности поля для трех временных рядов изменения напряженности геомагнитного поля в Болгарии, Грузии и Средней Азии по археомагнитным данным, за последние 4 тыс.лет. Следует отметить, что эти данные характеризуют локальное изменение напряженности магнитного поля. Показано, что данные для всех трех регионов хорошо коррелируют на масштабах 1 750 лет. По корреляции между вейвлет-коэффициентами определен фазовый сдвиг и найдена скорость распространения водны с востока на запад у и 0.2"/год, связанной с проявлением локальных неоднородностей магнитного поля Земли.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты и выводы

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразо-вания, предназначенный для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты. Показана эффективность алгоритма при обработке коротких рядов.

• Проведен анализ данных наблюдений магнитной активности Солнца и ряда звезд солнечного типа с использованием стандартного и адаптивного вейвлет-разложения. Показано, что уменьшению солнечной активности соответствует отрицательная производная вариаций периода основного солнечного цикла. Исследованы вариации периода звездных циклов.

• Проведен совместный анализ различных характеристик магнитного поля Земли за 1700 млн.лет. Показано отсутсвие пе-

риодических изменений в вариациях крупномасштабного поля. Исследован вопрос о возможности получения информации о спектральных свойствах геомагнитного поля по шкале инверсий.

• По корреляциям между вейвлет-коэффициентами для локальной напряженности геомагнитного поля за 4000 лет получено значение скорости распространения волны « +0,2"¡год.

• Написан пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов. Программы используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь; Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардский астрофизический центр.

Основные результаты, приводимые в диссертации, опубликованы в следующих работах:

[1] Галягин Д.К., Захаров В.Г., Фрнк П.Г. Вейвлет-анализ системы Лоренца // X Зимняя Школа по механике сплошных сред, Пермь.-1995.-С.68-69.

[2] Галягин Д.К., Фрик П.Г. Адаптивные вейвлеты (Алгоритм спектрального анализа сигналов, известных с пробелами в данных) // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1996.-М.4.-С.10.

[3] Frick P., Galyagin D., Pechersky D., Reshetnyak M., Sokoloff D., Tsaplina E. A statistical approach to geomagnetic polarity time scale // European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Part II, Supplement II to Volume 14.-1996.-P.635.

[4] Frick P., Nesme-Ribes E., Sokoloff D., Galyagin D., Hoyt D., Laclare F., Ribes J.-C-, Shatten K., Vigouroux A., Zakharov V. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups and solar diameter data // 17-th International Workshop SOLERS22,

National Solar Observatory at Sacramento Peak, Sunspot, New Mexico.-1996.-P.-57.

[5] Prick P., Baliunas S.L., Galyagin D., Soon W.H. Wavelet analysis of stellar chromospheric activity variations // Astrophysical Journal.-1997.-V.483.-P.426.

[6] Frick P., Baliunas S., Galyagin D., Sokoloff D., Soon W., Wavelet analysis of observational data with gaps: an application to the study of stellar chromospheric activity variations // Preprint N".4185 of Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics.-1997.-P.20.

[7] Frick P., Galyagin D., Hoyt D., Nesme-Ribes E., Shatten K., SokoloffD., Zakharov V. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups. // Astronomy and Astrophysics.-1997.-V.328.-N.12.-P.670-681.

[8] Захаров В.Г., Галягин Д.К., Нем-Риб E., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Вейвлет-анашз солнечной активности по данным числа групп солнечных пятен и вариаций солнечного диаметра // Труды конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", С.Петербург.-1997.-С.71-75.

[9] Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Фрик П.Г., Соколов Д.Д. Стохастические модели шкалы инверсий геомагнитного поля // XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь,-1997.-С. 100.

[10] Галягин Д.К., Балиунас С.Л., Фрик П.Г., Соколов Д.Д., Суун В.Ч. Вейвлет-анализ хромосферной активности звезд //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1997.-С.19.

[11] Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ геомагнитного поля в неогее // Тезисы конфеенции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, Научный совет по геомагнетизму, М.-1997.-С.26.

[12] Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Скейлинг геомагнитного ноля и шкалы геомагнитной полярности. Доклады PAH.-1998.-T.360.-N.4.-C.541-544.

[13] Burakov К., Galyagin D., Frick P., Nachasova I., Reshetnyak M., Sokoloff D. Wavelet analysis of archeomagnetic data over the last 4000 years // Geologica Carpathica.-1998.-V.49.-N.3.-P.206.

[14] Бураков K.C., Галягин Д.К., Начасова И.Е., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Всйвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет // Известия РАН: Физика Земли.-1998.-Т.34.-М9.-С.83-88.

[15] Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Спектральный анализ характеристик геомагнитного поля в неогее // XII Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1999.-С.122.

[16] Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ магнитного поля в неогее // Известия РАН: Физика Земли.-2000.-Т.36.-Ы.4.-С.82-89.

Сдано в печать 26.04.2000. Формат 60x84/16. Объем 1 п.л. Тираж 100. Заказ {090.

Ротапринт Пермского государственного технического университета

Введение.,,.

1 Методы анализа вариаций космических магнитных полей

1.1. Космические магнитные поля.

1.1.1. Магнитные поля планет

1.1.2. Магнитные поля звезд.

1.2. Методы анализа временных рядов.

1.2.1. Спектральный анализ

1.2.2. Непрерывное вейвлет-преобразование

2 Анализ магнитной активности астрофизических объектов

2.1. Солнечная активность.

2.1.1. Исходные данные (число групп солнечных пятен)

2.1.2. Общая структура солнечной активности 1610

2.1.3. Свойства основного цикла.

2.1.4. Анализ минимума Маундера.

2.2. Магнитная активность звезд солнечного типа.

2.2.1. МВО НК проект: данные наблюдений.

2.2.2. Адаптивные вейвлеты.

2.2.3. Анализ магнитной активности звезд.

2.2.4. Алгоритм Фостера и адаптивные вейвлеты . 80 2.3. Выводы по главе.

3 Вариации геомагнитного поля

3.1. Инверсии поля (шкала геомагнитной полярности)

3.2. Характеристики вектора напряженности геомагнитного поля.

3.2.1. Частота инверсий геомагнитной полярности.

3.2.2. Шкала геомагнитной полярности.

3.2.3. Модуль напряженности.

3.2.4. Вариации модуля напряженности геомагнитного поля.

3.2.5. Суммарная амплитуда вариаций направления.

3.2.6. Совместный анализ.

3.3. Локальные вариации напряженности геомагнитного поля за последние 4000 лет.

3.3.1. Археомагнитные данные.

3.3.2. Результаты анализа.

3.3.3. Корреляция коэффициентов вейвлет-разложения

3.4. Выводы по главе.

Актуальность проблемы. Магнитные поля играют важную роль в формировании структуры космических объектов. Современное представление о структуре и эволюции космических магнитных полей связано с понятием магнитогидродинамического динамо. МГД динамо - это явление генерации магнитного поля движущейся проводящей средой, возникающее при значительных магнитных и гидродинамических числах Рейнольдса и приводящее к сложной пространственно-временной структуре возникающих полей. В последние десятилетия были получены фундаментальные теоретические результаты, позволяющие описать процесс генерации крупномасштабного магнитного поля. Отсутствие экспериментов, позволяющих рассмотреть действие МГД динамо в лабораторных условиях, делает наблюдения за космическими магнитными полями практически единственным источником информации, состявляющим базу для теоретических работ по МГД-динамо.

В настоящее время накоплен значительный объем данных наблюдений за магнитной активностью Земли и Солнца. Развитие техники измерений позволили получить ряды данных о полярности магнитного поля, описывающих историю изменения геомагнитного поля на временнах, сравнимых с возрастом нашей планеты. К сожалению, значительно меньший отрезок времени обеспечен данными по величине и точной ориентации напряженности магнитного поля. Возрастающий интерес к астрофизическому динамо вызвал появление работ, посвященных реконструкции архивных данных, что позволило значительно увеличить длину временных рядов, касающихся в основном наблюдений за Солнцем. С другой стороны, происходит увеличение количества наблюдаемых объектов. В обсерватории Маунт Вильсон (США) в течении последних 30 лет производят наблюдения за 111 звездами солнечного типа.

Характерной чертой большинства астрофизических наблюдений являются сильная зашумленность, непродолжительность и наличие пробелов во временных рядах данных, связанных с сезонностью наблюдений, характером движения небесных тел, условиями наблюдения и т.д. Влияние этих факторов становится особенно существенным при анализе спектральных свойств сигналов и их изменчивости на временах, сопоставимых с длительностью временных рядов. Все это делает необходимым как улучшение качества набдюдений, так и поиск новых методов обработки данных и интерпретации результатов. Среди методов обработки сигналов наиболее распространен Фурье-анализ. Однако, его возможности ограничены при исследовании нестационарных квазипериодических сигналов, когда интерес представляет именно изменчивость спектральных свойств. В последнее десятилетие широкое развитие получил вейвлет-анализ, основанный на разложении исследуемого сигнала по функциям, локализованным как в физическом, так и в фурье-пространствах (идея метода была сформулирована в работе А.Гроссмана и Ж.Морле в 1984). В отличие от Фурье, вейвлет-разложение проецирует одномерный сигнал на полуплоскость время-частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени.

Идеи, близкие идеям Гроссманна и Морле, использовались и в других областях науки. Так, с начала 80-х годов в ИМСС В.Зиминым и П.Фриком разрабатывались модели развитой турбулентности, основанные на представлении исследуемых полей по базисным функциям, локализованным в физическом и фурье-пространствах (по современной терминологии это вейвлет-базисы). С начала 90-х годов в лаборатории физической гидродинамики ИМСС начались работы по приложению вейвлет-анализа к исследованиям самых различных нелинейных гидродинамических систем. Первые попытки применения метода к анализу данных метеорологических наблюдений подтвердили его эффективность, но и выявили целый ряд специфических для обработки наблюдательных данных проблем [5].

Целью работы является адаптация методов вейвлет-анализа к задачам обработки данных наблюдений, разработка специальных алгоритмов для анализа данных с пробелами и их применение к обработке данных астро- и геофизических наблюдений.

Научная новизна

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразо-вания, предназначенный для спектрального анализа временных рядов с пробелами, не требующий предварительной подготовки (интерполяции) данных.

• Впервые проведен вейвлет-анализ вариаций характеристик геомагнитного поля. Проведен сравнительный анализ всех известных характеристик вектора напряженности магнитного поля

Земли за период времени, охватывающий 1700 млн.лет.

• Проведен вейвлет-анализ данных наблюдений солнечной активности за период 1610-1995 гг. Показано, что ослабление солнечной активности соответствует отрицательной производной вариаций периода основного солнечного цикла.

Научная и практическая ценность работы. Разработанный алгоритм адаптивных вейвлетов может быть использован в различных задачах спектрального анализа одномерных сигналов, содержащих пробелы. Также адаптивные вейвлеты могут применятся в случае коротких (в смысле отношения длины сигнала к основному периоду) сигналов.

Полученные результаты могут быть использованы при построении и верификации моделей МГД-динамо космических объектов.

Пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов, используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь; Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардском астрофизическом центре.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы "Исследование развитой конвективной и магнитоконвективной турбулентности с reo- и астрофизическими приложениями" №ГР 01.960.011298, прек-тов РФФИ 94-01-00951-а, 95-02-16252-а и гранта CRDF №176100.

Достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и программ и сравнением полученых результатов, где это возможно, с результатами, полученными с помощью других методов.

Личный вклад автора. В работе [73] автору принадлежит разработка алгоритма непрерывного вейвлет-преобразования для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты, тестирование этого метода на модельных примерах и исследование его свойств. В работах [76, 81, 77] автором проведена вся вычислительная работа по вейвлет-анализу данных наблюдений. В работах [85, 82, 86, 87, 80, 83, 84, 74] вычисления выполнены совместно с М.Ю.Решетняком, а в работах [72, 79, 78, 75] с В.Г.Захаровым. Автором лично подготовлены использованные в работах алгоритмы и программы. Во всех работах автор принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинарах кафедры математического моделирования ПГТУ; на семинарах Института Механики Сплошных Сред, Пермь; на Х,Х1 и XII Зимней Школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995,1997 и 1999; на конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", С.Петербург, 26-30 мая 1997; на конференции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, 29 сент.-З окт. 1997; на конференции 17-th International Workshop SOLERS22, National Solar Observatory at Sacramento Peak, Sunspot, New Mexico, June 17-21, 1996.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

3.4. Выводы по главе

• Проведен вейвлет-анализ шкалы геомагнитной полярности для различных временных интервалов (170 млн.лет, 560 млн.лет, 1700 млн.лет). Полученные результаты дают возможность предположить, что пики в спектрах характеризуют времена релаксации

1.0 г

0.2 0

0.8 0.6

Рис. 3.16. Модуль коэффициента корреляции вейвлет-разложений: 1 - Болгария-Грузия; 2 - Средняя Азия-Болгария; 3 - Средняя Азия-Грузия. системы. Приведены оценки фрактальных свойств шкалы геомагнитной полярности. Выявлен излом в интегральном вейвлет-спектре на масштабе о, ~ 1 млн.лет, отсекающий вариации с характерными временами, меньшими 1 млн.лет, обусловленными непосредственно процессами геодинамо, от более медленных вариаций геологического происхождения. С помощью модельных сигналов исследован вопрос о возможности получения информации об изменениях магнитного поля по шкале инверсий. Показано, что наклон спектра шкалы инверсий всегда больше наклона спектра самого сигнала и может совпадать с ним при относительно простой структуре сигнала (например, в модели динамо Рикитаке).

• Проведен вейвлет-анализ данных изменений характеристик магнитного поля Земли за 1700 млн.лет, полученным по палеомаг-нитным данным. Показано, что большинство пиков, регистрируемых в интегральных спектрах, обусловлено не выраженными периодическими процессами, а локальными событиями с соответствующим временным масштабом. Проведен совместный анализ характеристик поля: изменения его полярности, интенсивности и направления.

• С помощью вейвлет-анализа, исследованы ряды изменения напряженности магнитного поля Земли за 4000 лет, полученные по ар-хеомагнитным данным для Болгарии, Грузии и Средней Азии. Показано, что во всех трех временных рядах надежно выделяется 1 750—летнее колебание. По корреляциям между вейвлеткоэффициентами найдены сдвиги фаз между колебаниями этого периода в различных регионах, соответствующие волне с долготным ходом с востока на запад со скоростью ~ 0, 2°/год.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразова-ния, предназначенный для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты. Показана эффективность алгоритма при обработке коротких рядов.

• Проведен анализ данных наблюдений магнитной активности Солнца и ряда звезд солнечного типа с использованием стандартного и адаптивного вейвлет-разложения. Показано, что уменьшению солнечной активности соответствует отрицательная производная вариаций периода основного солнечного цикла. Исследованы вариации периодов звездных циклов.

• Проведен совместный анализ различных характеристик магнитного поля Земли за 1700 млн.лет. Показано отсутсвие периодических изменений в вариациях крупномасштабного поля. Исследован вопрос о возможности получения информации о спектральных свойствах геомагнитного поля по шкале инверсий.

• По корреляциям между вейвлет-коэффициентами для локальной напряженности геомагнитного поля за 4000 лет получено значение скорости распространения волны « +0, 2°/год.

• Написан пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов. Программы используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь;

Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардском астрофизическом центре.

1. Ануфриев А.П., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Хейда П. // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-Т.37.-N.2.-0.166-172.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основные теории и примеры применения // Успехи Физических Наук.-1996.-Т.166.-N.11.-С.1145-1168.

3. Бурлацкая С.П. Археомагнетизм. Изучение древнего геомагнитного поля. // М.:Мир.-1987.-247с.

4. Диденко А.Н. О связи глубинных и приповерхностных процессов в палеозое // Известия РАН: Физика Земли.-1997.

5. Захаров В.Г., Фрик П.Г. Применение вейвлет-анализа к задачам исследования загрязнения окружающей среды // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1994.-N.2.-0.28-42.

6. Зимин В.Д. Иерархические модели турбулентности // Известия АН СССР. Физика атмосферы и 0KeaHa.-1981.-T.17.-N.12.-С.1265-1273.

7. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике // М.:Недра.-1985.-400с.

8. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика: пер. с англ. В.Г.Петрова // М.:Атомиздат.-1978.С.144.

9. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаке // М.:Мир. сб.Новое в зарубежной науке. Странные аттракторы.-1981.-К. 22.-С. 164-192.

10. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // М.:Мир. сб.Новое в зарубежной науке. Странные аттракторы.-1981.-К. 22.-С.88-116.

11. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. // М.-1980.-С.340.

12. Начасова И.Е., Бураков К.С. Вариации геомагнитного поля в Средней Азии в последние две тысячи лет. Анализ мировых данных // Геомагнетизм и аэрономия.-1995.-К.6.-С.150.

13. Начасова И.Е., Бураков К.С. Вариации напряженности геомагнитного поля в последние четыре тысячи лет по мировым данным // Доклады академии наук.-1997.-Т.353.-К.2.-С.255.

14. Начасова И.Е., Бураков К.С. Напряженность геомагнитного поля в Средней Азии во втором — первом тысячелетии до нашей эры // Известия РАН: Физика Земли.-1997.-N.7.-СЛ.

15. Начасова И.Е., Бураков К.С. Изменчивость возмущенности напряженности геомагнитного поля в последние семь тысячелетий// Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-]М.6.-С.150.

16. Паркер Е. Космические магнитные поля // М.:Мир.-1982.-Ч.2,-470с.

17. Петрова Г.Н., Нечаева Т.Б. Поспелова Г.А. Характерные изменения геомагнитного поля в прошлом // М.:Наука.-1992.-С.176.

18. Печерский Д.М., Нечаева Т.Б. Вариации направления и величины геомагнитного поля в фанерозое // Геомагнетизм и аэрономия.-1998.-Т.28.-N.5.-0.820.

19. Печерский Д.М. Зависимость суммарной амплитуды палеовари-аций направления геомагнитного поля от широты в неогее // Геомагнетизм и аэрономия.-1996.-Т.36.-N.5.-0.130.

20. Печерский Д.М. Некоторые характеристики геомагнитного поля за 1700 млн.лет // Известия РАН: Физика Земли.-1997.-^5.-С.11.

21. Печерский Д.М. Поведение палеоинтенсивности и других характеристик палеомагнитного поля в неогее // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-N.5.-0.11.

22. Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д. Фрактальный анализ временной шкалы геомагнитной полярности // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-N.4.-С.132.

23. Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д. // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-Т.37.

24. Печерский Д.М. // Известия АН: Физика Земли.-1997.-С.Ю00-1005.

25. Рикитаки Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. // Л.: Недра.-1968.-С.332.

26. Степанов P.A. Двумерная вейвлет-томография галактических полей // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1999.-N.7.-С.86-91.

27. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности // Препринт ИМСС УрО РАН, Пермь.-1992.-35с.

28. Altarac S. Analyse Temps-Frequence de donnees astronomiques // Rapport de stage, Institut de Physique et chimie Industrielle.-1995.

29. Anufriev A., Sokolofï D. // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics.-1994.-V.74.-P. 207-213.

30. Baliunas S., Soon W. Are Variations in the Length of the Activity Cycle Related to Changes in Brightness in Solar-Type Stars? // Astrophysical Journal.-1995.-V.450.-P.896.

31. Baliunas S., Sokoloff D.D., Soon W. Magnetic Field and Rotation in Lower Main-Sequence Stars: an Empirical Time-dependent Magnetic Bode's Relation? // Astrophysical Journal.-1996.-V.457.P.L99.

32. Baliunas S., Nesme-Ribes E., Sokoloff D., Soon W. A Dynamo Interpretation of Stellar Activity Cycles // Astrophysical Journal.-1996.-V.460.-P.848.

33. Blackett P.M.S. // Nature.-1947.-V.159.-P.658.

34. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Stud. Math.-1964.-V.24.-P.113-190.

35. Carbonell M., Ballester J.L. Search algorithm for weak periodicities in definite time intervals // Astronomy and Astrophysics.-1991.-N.249.-P.295.-297.

36. Clube S.V.M., Napier W.M. // Q.J.R.astr. Soc.-1996.-V.37.-P.617-642.

37. Cox A. A stochastic approach towards understanding the frequency and polarity bias of geomagnetic reversals // Phys. Earth. Planet. Int.-1981.-V.24.-P. 178-190.

38. Cox A. Length of geomagnetic polarity intervals // J.Gephys.Res.-1968.- V.73.-P.3247.

39. Daubechies I. Ten lectures on wavelet // SIAM, Philadelphia.-1992.

40. Donoho D.L., Wavelets: theory, Algorithms and Applications // ed. C.K. Chui, L. Montefusco and L. Puccio.-1994.-P.233.

41. Foster G. Wavelets for period analysis of unevently sampled time series // Astrophysical Journal.-1996.-V.112.-N.4.-P. 1709-1729.

42. Frick P., Grossmann A., Tchamitchian P. Wavelet analysis of signals with gaps // Journal of mathematical physics.-1998.-V.39.-N.8.-P.4091-4107.

43. Frick P., Nesme-Ribes E., Sokolof D.Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups and solar diameter data // Acta Astronomica et Geophisica Universitatis Comenianae XIX.-1997.-P. 113121.

44. Gafíin S. Phase difference between sea level and magnetic reversals rate // Nature.-1987.-V.329.-P.816-819.

45. Gabor D. Theory of communication //J. Inst. Electr. Eng.-1946.-V.93.-P.429-457.

46. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Numerical simulations of the geodi-namo // Acta Astronómica et Geophisica Universitatis Comenianae XIX.-1997.-P. 125-143.

47. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal.-1984.-V.15.-N.4.-P.723-736.

48. Haar A. Zur Theorie der Ortogonalen Funktionensysteme // Gottingen.-1909.

49. Harland, W.B., Armstrong, R., Cox, A., Craig, L., Smith, A., Smith, D. A geologic time scale // NY: Cambridge University Press.-1989.-P.210.

50. Holschneider M. Wavelets: Tool of analysis // Oxford: Oxford University Press.-1995.-P.423.

51. Home J.H., Baliunas S.L. A prescription for period analysis of unevenly sampled time series // Astrophysical Journal.-1986.-V.302.-P.757-763.

52. Hoyt D.V., Schatten K.H. New information on solar activity, 17791818, from Sir William Herschel's unpublished notebooks // Astro-physical Journal.-1992.-V.384.-P.361.

53. Hoyt D.V., Schatten K.H. A new look at Wolf sunspot numbers in the late 1700's // Solar Physics.-1992.-V.138.-N.2.-P.387-397.

54. Hoyt D.V., Schatten K.H. Nesme-Ribes E. The one hundredth year of Rudolf Wolf's death: Do we have the correct reconstruction of solar activity? // Geophysical Research Letters.-1994.-V.21.-P.2067.

55. Irving E., Pullaiah G. Reversals of the geomagnetic field, magne-tostratigraphy and relative magnitude of paleosecular variation in the Phanerozoic // Earth Sci. Rev.-1976.-V.12.-P.35-64.

56. Jacobs, J.A. Reversals of the Earth's Magnetic Field // Cambridge: Cambridge University Press.-1994.-P.346.

57. Larmor Sir Joseph // Brit. Assoc. Rep.-1919.-P.159.

58. Lawrence J.K., Cadavid A.C., Ruzmaikin A.A. Turbulent and Chaotic Dynamics Underlying Solar Magnetic Variability // Astrophysical Journal.-1995.-V.455.-P.366.

59. Littlewood J., Paley P. Theorem on Fourier series and power series // Proc. London Mathematical Society.-1937.-V.42.-N.2.-P.52-89.

60. Lutz T.M., Watson G.S. Effects of long-term variation on the frequency spectrum of geomagnetic reversal record // Nature.-1988.-V.334.-P.240.

61. Marzocchi W., Mulargia F. The periodicity of geomagnetic reversals 11 Phys. Earth Planet Int.-1992.-V.73.-P.222-228.

62. Mazaud A., Laj C., de Seze L., Verosub K.L. 15-Myr periodicity in the frequency of geomagnetic reversals since 100 Myr // Nature.-1983.-V.304.-P.328.

63. Merrill R., McElhinny M.W. The Earth's Magnetic Field // Academic, San Diego, Calif.-1983.-P.401.

64. Meyer Y. Les ondelettes, algorithmes et applications // Armand Colin, Paris.-1992.

65. Nesme-Ribes E., Frick P., Sokoloff D., Zakharov V., Ribes J. C., Vigouroux A., Laclare F. Wavelet analysis of the Maunder minimum as recorded in solar diameter data // C. R. Acad. Sci. Paris.-1995.-V.321. Series IIb.-P.525-532.

66. Ochadlick A.R., Kritikos H.N., Giegengack R. Variations in the period of the sunspot cycle // Geophysical Research Letters.-1993.-V.20.-N.14.-P. 1471-1474.

67. Ribes E., Merlin Ph., Ribes J.C., Barthalot R. Absolute periodicities in the solar diameter, derived from historical and modern data // Annales geophysicae.-1989.-V.7.-P.321-329.

68. Scargle J.D. Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // Astro-physical journal.-1982.-N.263.-P.835-853.

69. Torresani В. Analyse continue par ondelettes // Paris: Savoirs Actuels.-1995.

70. Wilcox J.Z., Wilcox T.J. Algorithm for extraction of periodic signals from sparse, irregularly sampled data // Astronomy and Astrophysics, Supplement series.-1995.-N.112.-P.395-405.

71. Wolf R., Naturf. Gesell. Bern. Mitt.-1851.-V.l.-P.89.

72. Галягин Д.К., Захаров В.Г., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ системы Лоренца // X Зимняя Школа по механике сплошных сред, Пермь.-1995.-С.68-69.

73. Галягин Д.К., Фрик П.Г. Адаптивные вейвлеты (Алгоритм спектрального анализа сигналов, известных с пробелами в данных) // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1996.-N.4.-С. 10.

74. Frick P., Galyagin D., Pechersky D., Reshetnyak M., Sokoloff D., Tsaplina E. A statistical approach to geomagnetic polarity time scale // European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Part II, Supplement II to Volume 14.-1996.-P.635.

75. Frick P., Baliunas S.L., Galyagin D., Soon W.H. Wavelet analysis of stellar chromospheric activity variations // Astrophysical Journal.-1997.-V.483.-P.426.f

76. Frick P., Galyagin D., Hoyt D., Nesme-Ribes E., Shatten K., Sokoloif D., Zakharov V. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups. // Astronomy and Astrophysics.-1997.-V.328.-N.12.-P.670-681.

77. Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Фрик П.Г., Соколов Д.Д. Стохастические модели шкалы инверсий геомагнитного поля //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1997.-С. 100.

78. Галягин Д.К., Балиунас СЛ., Фрик П.Г., Соколов Д.Д., Су-ун В.Ч. Вейвлет-анализ хромосферной активности звезд //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1997.-С. 19.

79. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ геомагнитного поля в неогее // Тезисы конфеенции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, Научный совет по геомагнетизму, М.-1997.-С.26.

80. Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Скей-линг геомагнитного поля и шкалы геомагнитной полярности. Доклады РАН.-1998.-Т.360.-N.4.-C.541-544.

81. Burakov К., Galyagin D., Frick P., Nachasova I., Reshetnyak M., Sokoloff D. Wavelet analysis of archeomagnetic data over the last 4000 years // Geologica Carpathica.-1998.-V.49.-N.3.-P.206.

82. Бураков К.С., Галягин Д.К., Начасова И.Е., Решетняк М.Ю., Соколов Д. Д., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет // Известия РАН: Физика Земли.-1998.-Т.34.-К.9.-С.83-88.

83. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Спектральный анализ характеристик геомагнитного поля в неогее // XII Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1999.-С.122.

84. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ магнитного поля в неогее // Известия РАН: Физика Земли.-2000.-Т.36.-1Ч.4.-С.82-89.