автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Вещественный интерполяционный метод в задачах автоматического управления

1ч и

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Гончаров Валерий Иванович

ВЕЩЕСТВЕННЫЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.01 • Управление в технических системах

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Томск - 1995 г.

Работа выполнена в Томском политехническом университете. Официальные оппоненты:

академик МАНВШ, доктор технических наук, профессор Рубан А.И.; член-корреспондент РИА, доктор технических наук, профессор Шурыгин IO.A.

доктор технических наук, профессор Оскорбин Н.М.

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический

заседании специализированного совета Д 063.80.03 Томского политехническо университета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томскс политехнического универслтлв (634004, г. Томск, ул. Белинского, 55).

университет, г. Новосибирск

Зашита диссертации состоится

часов

Автореферат разослан "е/? «a&J-Sfi* 1995

г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 063.80.03 к.т.н., доцент

И.Л. Чудино!

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Развитие промышленного потенциала в настоящее время неразрывно связано с массовым применением систем автоматического управления (САУ), отвечающих возрастающим требованиям все усложняющихся объектов управления. Возможности САУ и эффективность их работы во многом определены этапом проектирования, в частности, используемыми методами расчета. Несмотря на наличие большого числа и разнообразие методов и непрерывное их совершенствование, остается неизменным необходимость повышения их эффективности.

Традиционные методы, имея достаточно много положительных сторон, обеспечивают приемлемые результаты при проектировании сравнительно простых систем. Повышение их порядка, переход :: многоконтурным структурам, учет распределенности параметров объектов управления и другие особенности вызывают определенные трудности расчета САУ. За последние десятилетия проявились новые аспекты этой проблемы, вызванные применением ЭВМ и численных методов. В связи с этим разработка новых методов расчсга и исследования САУ остается по-прежнему важной задачей, а их машинно-ориентированная форма усиливает значимость и современность результатов.

Цель и задачи работы. Данная работа посвящена разработке основ непрерывного и дискретного вещественных преобразований, численной формы представления функций-изображений и решению па этой математической базе основных задач автоматического управления для класса линеаризуемых непрерывных и импульсных систем.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие взаимосвязанные задачи:

разработка основ непрерывного и дискретного вещественного прсобрцюваний и численных машинно-ориентированных моделей вещественных изображений;

- решение приближенных задач расчета САУ на основе численных моделей с контролем погрешности решения в области времени и разработка механизма перераспределения погрешности;

- создание вещественного интерполяционного метода синтеза передаточных функций непрерывных и дискретных корректирующих устройств САУ, обобщение его на многоконтурные и неминимально-фазовые системы, и системы, описываемые передаточными функциями с иррациональными и трансцендентными составляющими;

- распространение вещественного интерполяционного метода на синтез передаточных функций эталонных систем по их временным динамическим характеристикам, параметрическую идентификацию непрерывных и дискретных объектов;

- получение формулы перехода от непрерывных передаточных функций к дискретным на основе вещественных преобразований и численных моделей;

- разработка на базе численных моделей программы автоматизированного синтеза законов управления, алгоритмов параметрической идентификации и прибора для идентификационной диагностики САУ и их элсу чпов, а также расчет регуляторов тростилыю-крутильных машин.

Методы исследования. Реализация сформулированных цели и задач осуществляется с помощью методов операционного исчисления, линейной алгебры, функционального анализа, теории автоматического управления, в частности, адаптивного управления и идентификации, а также численного моделирования на ЭВМ.

Научная новизна проведенных исследований заключается в следующем.

I. Предложены интегральное и дискретное вещественные преобразования, позволяющие получать для непрерывных и дискретных функций времени изображения, являющиеся функциями вещественной переменной. Класс функций-оригиналов охватывает динамические характеристики устойчивых и неустойчивых реальных линеаризуемых стационарных объектов и систем. Введение вещественных преобразований позволило сохранить простоту выполнения операций с и юбражепиями (по сравнению с действиями над их

оригиналами) и обеспечить дополнительное упрощение за счет замены ко «плексной или мнимой переменной вещественной.

2. В целях дальнейшего упрощения операций над математическими описаниями САУ и представления в ЭВМ вещественных изображений введена численная форма модели изображения, имеющая значение динамической характеристики системы. Предложена компактная запись численных моделей САУ в виде диагональных матриц, что снимает проблему их обращения при структурных преобразованиях системы. Получены условия существования и единственности взаимно однозначного перехода между передаточными функциями и численными моделями и алгоритмы преобразований.

3. Предложен итерационный способ решения приближенных задач, опирающийся на совпадение в интерполяционных узлах точных и приближенных решений в форме вещественных функций-изображений. Показана возможность оценивания точности решения как в области изображений, так и в области времени, включая, в частности, критерий равномерного приближения. На основе идеи чебышевского альтернанса разработан алгоритм приближения к решению, наилучшему в равномерной метрике. Он распространяется на системы, описываемые передаточными функциям!. с дробно-рациональными, иррациональными и трансцендентными составляющими.

4. Доказана возможность и предложен способ решения задач параметрического синтеза законов управления в терминах численных моделей; показан итерационный путь распространения результатов на задачи структурного синтеза.

5. Алгоритм синтеза в виде решения системы нелинейных алгебраических уравнений обобщен на миогоконтуриые САУ, обеспечивая получение параметров корректирующих устройств всех контуров без декомпозиции желаемых свойств системы по каждому из них в отдельности. На базе численных моделей и специальным образом формируемых передаточных функций эталонных систем решена задача синтеза систем управления неминимально-фазовыми объектами.

6. Разработаны алгоритмы формирования желаемых передаточных функций и численных моделей непрерывных и импульсных систем но их переходным и

импульсным характеристикам, которые могут быть заданы аналитическими выражениями, таблицами или графиками. Форма решения и алгоритм допускают априорное назначение нулей и полюсов передаточных функций или иных необходимых параметров.

7. Получена формула перехода от непрерывных передаточных функций к дискретным, не требующая знания временных динамических характеристик.

Теоретическая значимость результатов работы. Предложенный в работе путь получения вещественных функций-изображений соответствует общей тенденции перехода к функциям вещественного аргумента при выполнении численных расчетов. Он достаточно обоснован, опираясь на аппарат преобразования Лапласа, и позволяет максимально использовать результаты и знания, накопленные в этой области операционного исчисления. Введение описаний динамических систем и сигналов в форме вещественных функций и их численных моделей позполяет выполнять численным образом структурные преобразования систем и решать задачи исследования и расчета САУ. Важное в вычислительном отношении значение приобретает возможность представления численных моделей диагональными матрицами, что снимает сложную проблему обр нцения матриц при решении матричных уравнений.

Разработанные интерполяционные для области изображений алгоритмы решения ряда основных задач проектирования САУ позволяют достичь точного решения, если оно существует, или приближенного на основе интегрального критерия сближения, обладающего свойством линейности для области времени. Существенная особенность такого критерия состоит в наличии экспоненциальной весовой функции, изменяя параметры которой, можно перераспределять погрешность приближения па интервале. Этот механизм открывает в рамках итерационного процесса возможное, л для использования явления альтернанса в задачах приближения к наилучшим в равномерной метрике решениям. В частности, эта возможность распространена на коррекцию САУ, при которой временная динамическая характеристика скорректированной системы по отношению к эталонной отвечает требованиям равномерного приближения, бчшкого к наилучшему. Критерий близости и основан...... на нем вещественный

интерполяционный метод синтеза САУ охватывают широкий класс объектов управления, передаточные функции которых могут содержать иррациональные и трансцендентные выражения.

Введенные вещественные преобразования и численные модели открыли путь для разработки алгоритмов формирования передаточных функций эталонных систем по их реакциям на заданные входные воздействия, а также возможность формирования программных движений. При этом для области времени можно использовать критерий, обеспечивающий приближение в среднем на интервале, или интерполяционный критерий, приводящий к совпадению назначенной и программной траекторий в заданные моменты времени.

Практическая ценность результатов работы. Предложенные вещественные преобразования базируются на интегральном и дискретном преобразованиях Лапласа и потому позволяют использовать имеющиеся результаты для описания динамических. систем в области изображений. При этом сам переход к вещественным моделям оказывается достаточно простым для инженерной практики. Преимущества вещественного аргумента и численная форма моделей, в том числе в виде диагональных матриц, обеспечивают сокращение вычислительных затрат. Это относится к автоматизированным системам проектирования, но особо важное значение приобретает для встроенных в САУ вычислительных средств, работающих в реальном времени. Высокая степень формализации описания систем в форме численных моделей, внутреннее единство непрерывных и импульсных систем и возможность его сохранения на уровне численных описаний позволяют создавать единое математическое обеспечение систем этих классов, приводящее к значительному сокращению объема программных средств по сравнению с известными решениями.

Предложенный подход и алгоритмы расчета распространяются на системы, описываемые передаточными функциями, которые могут содержать помимо дробно-рациональных выражений также иррациональные и трансцендентные составляющие, характерные для объектов с распределенными параметрами. Дальнейшее расширение области практических приложений вещественного ншерполяционного подхода свямно с сишезом сложной коррекции.

включающей последовательные корректирующие устройства и обратные связи в условиях многоконтурных систем. При этом повышается точность результатов за счет устранения весьма произвольных назначений эталонных свойств каждого контура на основе требований, предъявляемых к системе в целом, уменьшается трудоемкость задачи в связи с объединением задач коррекции каждого контура в единую задачу синтеза.

Важным для практики результатом является получение формулы и алгоритма перехода от непрерывных передаточных функций к их дискретным аналогам. Необходимость такого перехода при расчете САУ, содержащих непрерывные и дискретные элементы, все увеличивающаяся частота появления этих задач в связи с развитием микропроцессорных систем управления, а также отсутствие необходимости привлечения функций времени, делает предложение важным и перспективным для инженерной практики.

Реализация результатов работы:. Многие решения, приведенные в диссертации, были получены в результате проведения научно-исследовательских работ, основная част которых выполнялась Кибернетическим центром при ТомПУ по заданию организации "Технотрон" (прежнее назв; тие - Томский филиал НИИ технологии машиностроения). Результаты зафиксированы в отчете инв. № 02.77.0 058087 чо теме "Выбор направлений автоматизированного моделирования исполнительных систем роботов" (№ гос. регистрации 01.86.0 075792), в отчетах инв. № 02.88.0 043089, инв. № 02.8.90 031664, инв. № 0.90.0 029804 по теме "Разработка информационной системы и элементов САПР исполнительных систем промышленных роботов" (№ гос. регистрации 01.8.80 068449). Вещественный интерполяционный метод и программное обеспечение на его основе были использованы для расчета двух систем автоматического регулирования модуля тростильно-крутильной машины в рамках выполнения договора между Кибернетическим центром ТомПУ и организацией "Технотрон" по теме "Разработка алгоритмов и программ расчета параметров систем стабилизации натяжения шпи" (№ гос. регистрации 01.9.00 020532, инв. № 02.9.10 046655).

Некоторые научные результаты работы и решения составили ал аритмическую основу прибора для получения коэффициентов ПФ исследуемых объектов, основное назначение которого заключается в идентификационном диагностировании сложных автоматических систем, например, исполнительных подсистем роботов. Сведения об использовании алгоритмов в приборной реализации подтверждены документом (см. Приложение).

На основе вещественного интерполяционного метода разработаны алгоритм работы и программное обеспечение контура самонастройки адаптивного регулятора с однократными идентификацией объекта, настройкой модели и регулятора. Сведения подтверждены актом. Работа выполнялась организацией "Технотрон" совместно с Кибернетическим центром при ТомПУ в рамках Госконтракта № 935 - Т088/93 от 14.04.94 с Российским Космическим Агентством.

В течение нескольких лет алгоритмы расчета САУ использовались студентами кафедры Робототехнические системы ТомПУ на практических занятиях, при выполнении курсовых и дипломных проектов. Алгоритм понижения порядка ПФ с нескольких десятков до заданного уровня исполь онан для создания программы ЭВМ и решеш.л научных задач на кафедре Электрические станции ТомПУ. Справки прилагаются. Основы вещественного преобразования и отдельные решения па этой основе используются на нескольких кафедрах ТомПУ при проведении различных видов занятии, в том числе лекционных.

Апробации результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях:

- Научная конференция по автоматизации производственных процессов, г. Алма-Ата, 1968;

- XX Республиканская конференция по автоматизации производственных процессов, г. Фрунзе, 1970;

- Региональная конференция молодых ученых по радиоэлектронике и управлению, г. Томск. 1974;

- XXXII Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио (с международным участием), г. Москва, 1977;

- Всесоюзное совещание по автоматизации проектирования систем автоматического и автоматизированного управления, г. Челябинск, 1978;

Всесоюзный научно-технический семинар по использованию распределенных систем управления технологическими процессами и производством, г. Новокузнецк, 1986;

- Краевая научно-техническая конференция по устройствам и системам автоматики автономных объектов, г. Красноярск, 1987;

- Ill Всесоюзная научно-техническая конференция по динамике станочных систем гибких автоматизированных производств, г. Тольятти, 1988;

- Всесоюзная научно-техническая конференция по перспективам развития и применения средств вычислительной техники для моделирования и автоматизированного исследования, г. Москва, 1991;

- Объединенный научный семинар Сибирской аэрокосмической академии, г. Красноярск, 1995;

- Объединенный научный городской семинар и семинар Новосибирского государственного технического университета "Синтез систем управления" г. Новосибирск, 1995.

Публикации результатов работы. Основные результаты работы опубликованы в монографии, учебном пособии 15-и статьях, 7-и тезисах докладов, 5-и отчегах по НИР, защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (165 наименований) и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 316 страниц машинописного текста, в который входят 7 таблиц, 25 рисунков, 16 страниц списка литературы и 4 страницы приложений (акт о внедрении и спразка об использовании результатов работы).

Основные научные положения, выиосиммс на защиту. На защиту выносятся: способ перехода и область вещест венной переменной на основе непрерывного и дискретною вещественных преобразований, получение численных магматических моделей линеаризованных систем и сигналов, способ матричной записи численных моделей, алгоритмы вещественною интерполяционною метода, а также другие результаты, укатанные » ратделе "Научная новизна".

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации рассмотрены вопросы получения математических моделей САУ, их элементов и сигналов, которые удовлетворяют одновременно двум требованиям. Во-первых, модели должны представлять собой функции вещественной переменной, обеспечивая возможность привлечения для выполнения действий над ними методов 1сории функций этог о класса, включая численные методы решения задач. Во-вторых, они должны относиться к области изображений, что приводит к значительному упрощению некоторых операций, например, интегрирования и дифференцирования, по сравнению с действиями в области времени. Этим условиям удовлетворяют широко используемые на практике некоторые частотные характеристики - амплитудные, фаювые, вещественные и др. Для их получения необходимо выполнить преобразования, обеспечивающие замену комплексной р=5+]о> или мнимой '¡о> переменной на вещественную м. Однако такие преобразования могут встречать существенные трудности, а при наличии иррациональных или трансцендентных составляющих в составе исходных выражений они могут оказаться непреодолимыми.

С целью устранения указанною недостатка и самою этапа вспомогательных но своей сути нреобраюваний в работе предлагается прямой путь получения функций вещественной переменной, основанный на испольювании преобразования

Преобразование (1.1) ставит в соответствие функции времени f(t), принадлежащей определенному классу, изображение F(S), которое удовлетворяет обоим отмеченным выше требованиям.

Класс преобразуемых функций Г(1) определен сходимостью интеграла в (1.1), поэтому следует полагать, что

а) функция f(t) и все ее производные непрерывны,

б) Г(1)=0 для всех t<0,

(II)

о

а шкже

В) /¡ГС0|2с1г <со (12)

о

для устойчивых систем, когда можно принять С=0.

Условия существования оригиналов 1X0 позволяют распространить интегральное вещественное преобразование (1.1) ьа устойчивые, нейтральные и неустойчивые системы.

Введенное преобразование имеет тесную связь с преобразованием Лапласа и в определенном смысле можег рассматриваться как его частный случай. В частности, это относится к получению 6-изображсний на основе лапласовых изображений Р(р) путем замены комплексной переменной р=6+^со на вещественную б.

Трактовка преобразования (1.1) как частного случая преобразования Лапласа влечет за собой важные практические последствия. Прежде всего становится возможным использовать все имеющееся богатство таблиц соответствия оригиналов и лапласовых изображении, а также способов и приемов получения таких соответствий, накопленных к настоящему времени. В связи с этим отметим, что можно предложить множество различных интегральных преобразований, которые позволяют получать изображения, имеющие вещественную переменную. Однако связь любого из этих преобразований с преобразованием Лапласа будет более опосредованной, следовательно, будег более сложным путь привлечения результатов и меюдов аппарата преобразования Лапласа.

В работе даны основные свойства 5-прсобразования, отмечена одна из ею важных в практическом отношении особенностей - изображения Р(5) имеют графическое представление, обеспсчвающая наглядность исходных данных и роультатов.

Функции И(6) использованы для описания динамических систем и процессов. Если входной сигнал х(0 системы и се реакция у(0 удовлетворяют условиям существования оригиналов, то найдутся изображения Х(8).=х(1), У(6Х-у(0, а их отношение

\У(8)=У(б) / Х(5) (1.3)

по определению будет передаточной функцией системы. Эго позволяет записать уравнение вход-выход систем в терминах вещественных функций:

У(6)=\У(5) Х(5). (1.4)

При этом передаточная функция \У(6) может быть найдена как по сигналам хО), у(0 в соответствии с (1.3), так и по импульсной реакции системы К(0=\У(6) по

□о

формуле прямого преобразования \У(б) = |К(1)е~8'<11, 5 с [С,со).

о

Можно видеть, что условия а), б) существования оригиналов и их 8-изображений являются достаточно общими, что позволяет распространить уравнение (1.4) практически на все реальные стационарные непрерывные линеаризованные системы и действующие в них сигналы.

Представляет интерес вопрос существования обратного 5-преобразования. Он в большей степени является теоретическим, т.к. практическая сторона дела в полной мере основана на косвенном пути обратного перехода с использованием обращения преобразования Лапласа. Положительный результат в отношении обратного 6-преобразования фактически дан Орурком И.А. при рассмотрении характеристик мнимых частот >>. Прямое решение задачи непосредственно для 5-прсобразования получено Барковским А.Н. э.

Для получения вещественных изображений Р(б) при решении практических задач в работе рекомендуется несколько путей: аналитический с непосредственным использованием формулы прямого преобразования (1.1): по лапласовым изображениям на основе замены комплексной переменной р на вещественную 5е[С,°о); численный, связанный с переходом в (1.1) к численному

" Орурк И.А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. - М.-Л.: Наука, 1965. - 208 с.

2> Барковский А.Н. Один метод обращения дельта-преобразования // Теория и техника автоматического управления / УНПК "Кибернетика" Томского поли-зехнич. ин-та. - Томск, 1990.-е. 127-131. - Деп. в ВИНИТИ 15.02.91, №775-В91.

интегрированию в условиях придания переменной б нескольких фиксированных значений ¡=1,2,... • '

Для реализации последнего из отмеченных вариантов и использования ЭВМ при выполнении действий над функциями Р(б) вводится понятне численной характеристики (ЧХ) {Р(8,)}п размерности ч. представляющей собой

упорядоченную совокупность значений Рф), 1 = 1,т) на сетке

4: 0£б| <б2<...<бп. (1.5)

Даны условия однозначного представления дробно-рациональных функций Р(8) их моделями в форме ЧХ {р(5,)}п- В простейшем и наиболее распространенной случае, когда

Р{5) = Ь1В8» + Ьт_,8"'-'+.-4Ь0 апЙ" +а„_|5п-1+"-+1 условие имеет вид г|-ш+п+1. Показана возможность однозначного обратного перехода. Техника решения обратной задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Р(8|) = Ь"8'^Ьт-,5С,'+'"*Ь0' «-и Ч = т + п + 1. (1.6) +ап_(5( +•••+!

Приведены нежесткие условия существования и единственности решения СЛАУ (1.6). Использована матричная запись СЛАУ

ОС=Р, (17)

гдеС = [Ьт,Ьт_,.....Ь(),ап,ап_......а,]Т, Р = [Р(8,),Р(8г).....Р(8П)]Г.

Сущесгвование взаимно однозначного перехода между функциями {р(8,)}г)

и Р(5) позволяет рассматривать и использовать ЧХ как динамические характеристики систем, их элементов и сигналов. Это приводит, в частности, к численной форме уравнения вход-выход (1.4): {У(8,)}11 = {\У(81)}п{Х(8))}л.

Определены основные действия над ЧХ, позволяющие выполняв структурные преобразования САУ. Они приводят к меньшему числу операций но

сравнснию с традиционными способами. Так для дьух последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями \У,(р)=Вц(р)/Ау(р), \у2(р)=Вг(р)/Ат(р), где ц, v, г, у - степени соответствующих полиномов, получение результирующей ЧХ в соответствии с равенством

сводится к выполнению грц+у+г+у+1 операций умножения. Распространенный альтернативный путь - полиномиальный - требует выполнения только операций умножения рг+\7+ц+у+г+у+2, что значительно больше г|. Другой альтернативный способ, использующий пули и полюсы функций, имеет специфические особенности и тоже неконкурешоспособен но критерию вычислительных затрат.

Преобразования ЧХ можно выполнять по предложенным правилам и это оказываегся удобно для задач малой размерности. В общем случае целесообразно воспользоваться, как предложено в работе, матричной алгеброй, чго потоляет привлечь-известные алгоритмы и программные реализации. Для перехода к матричной форме можно представлять ЧХ передаточных функции систем и их элементов диагональными матрицами. ЧХ воздействий и реакций - векторами. При этих условиях уравнение вход-выход (1.4) замещается матричным уравнением

У=ЛУХ,

где У = со!оп[У(8,),У(52).....У(5П)], X =со1оп[Х(й,),Х(о2).....Х(ЙП)],

и/ = с11аё[и/(8,),\У(82).....\У(8„)].

Обратим внимание на матрицу V/. Вследствие диагонального расположения элементов снята проблема ее обращения. Диагональными матрицами можно представить также ЧХ сигналов. В некоторых задачах, например, при идентификации объектов такое представление даже необходимо.

Введенные в работе ЧХ по своей сути и направленности развивают известные исследования, связанные с использованием значений лапласозых изображений Р(р) в точках на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости. До появления ключевых в -лой области исследований

работ Орурка И.А.» и Солодовникова В.В., Дмитриева А.Н., Егупова НД.» рассматривалась исключительно задача обращения преобразования Лапласа по значениям изображения Р(р), заданного дискретным рядом точек. Отмеченные работы впервые распространили возможности интерполяционного подхода в комплексной плоскости по вещественным значениям изображения на иные задачи, прежде всего связанные с синтезом систем. Они показали целесообразность и необходимость получения вещественных функций, разработки достаточно общ:го и удобного для практических целей способа перехода к таким функциям, а также комплекса вопросов, связанных с точностью решения приближенных задач, получением дискретных математических описаний систем на уровне их динамических характеристик, распространением подхода на импульсные системы. Плодотворные идеи указанных и предшествующих работ в эгом смысле являются источником развития вещественного интерполяционного подхода, в том числе в рамках данной диссертационной работы.

Характерной чертой подхода является сравнительно малая вычислительная сложность алгоритмов, получаемых на его основе. В пределах уже представленного в автореферате материала эта особенность является следствием мер, реализованных в математическом описании систем и сигналов:

- осуществлен переход от функций комплексной или мнимой переменной к вещественной функции Р(5);

- введено описание в форме ЧХ, представляющей собой минимально необходимую совокупность чисел, которая в то же время однозначно и полностью характеризует исходное аналитическое дробно-рациональное выражение;

•> Орурк И.А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. - М.-Л.: Наука, 1965. - 208 с.

-> Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Ортогональный «под анализа и синтеза линейных САР на основе понятия моментов // Автоматическое управление и вычислительная техника. Выи. 8. Частотные методы. - М: Машиностроение 1968. -С.30-86.

W(p)^Wnp(p) = S. C-8)

- действия над ЧХ требуют малого числа операций по сравнению с традиционными формами математических моделей;

- матрицы СЛУ и элементов являются диагональными. Математические модели в форме ЧХ использованы для получения

приближенных решений различных задач проектирования САУ. Например, она. может относиться к синтезу регуляторов на основе концепции их упрощения. В моделях передаточных функций задача имеет вид

В(р) ÂÎP?

где в параметрической постановке известны показатели m = degB(p), n = degA(p), а коэффициенты ak, bj, к=1,2,..., j=0,!,... подлежат определению. Соотношение (1.8) заменяется сопоставлением ЧХ точной и приближенной функций:

{wta^iw^s,)}^ (1.9)

которое разворачивается в СЛАУ

Смысл равенства (1.9) и решения СЛАУ (1.10) отвечает интерполяционному критерию близости в области изображений

wfoMv^.M, (i.ii)

имеющему естественную тесную связь с областью времени. Полагая W(ô).-K(t), Wnp(5).-Knp(t), можем получить эту связь в явном виде

00

Д\У(б| ) = J AK(t)e~8''dt, i = i7n,

о

где AK(t)=K(t)-Knp(t), а значение AW(S,) определено функцией AW(5)~W(6)-W„p(ô).

Погрешность решения оценивается как в области изображений, так и в области времени. В первом случае численные показатели погрешности формируются по правилу

л-m+n+i. (1.Ю)

Ь, =|\У(8)){ = бДах^|д\У(5>], ¡ = !,Л1 . (1.12)

которое отвечает интерполяционному критерию4 (1.11) и существованию альтсрнанса Валле-Пусссна. Смысл оценки Ц вытекает из развернутой формы

00

д\у(б}) = ]дк(0е""5),и1, ] = 1~п,

о

где величины б^ определяют зкезремальные значения функции д\У(5) на ¡-ом участке интерполяции. Из соотношения следует, что каждое значение Д\У(бр определено интересующий нас функцией АК(1) с учетом веса ехр(-б^). Это позволяет использовать значения или Ц как настроечные параметры алгоритма решения задачи. К примеру, изменения эз их значений могут быть направлены на выравнивание модуль-максимумов Ц, что соответствует приближению к наилучшему решению в равномерной метрике на основе чебышевского альтсрнанса. Теоретической основой для получения таких решений служит теорема о наилучшем приближении, доказанная Чебышевым П.Л. непосредственно для дробно-рациональных функций и получившая затем развитие в работах Ахиезера Н.И. для задач на полубескоиечном интервале в виде обобщенной теоремы Чебышева1».

В связи с отсутствием способов получения наилучших равномерных приближений в классе рассматриваемых функций за конечное число действий в работе использован итерационный способ решения задачи. Для приближения к |Д\У(б)|с=тт использовано направленное изменение узлов интерполирования.

Установлено, что возможности такого приближения ограничены и это связано во многом со свойствами САУ. В частности, увеличение колебательности и перерегулирования приводит к ухудшению условии сближения.

Показано существование связи между альтернансом в области изображений и альтернансом в области времени. Это позволило оценивать точность решения приближенных задач по функции ДК(1), в том числе в количественной форме

» Ахнсчср Н.И. Лекции по ич>рии аппроксимации. - М.-Л.: 0Г113, 1947.-324 с.

1,= max |AK(t)l, j = 1,2..........(1.13)

1 «1<«<«щ

Предложенный итерационный процесс для области изображений обобщен на задачу минимизации отклонений Al = maxlj -mjnlj, j = l,2,..„ что позволяет

получать решения, близкие к наилучшим по критерию ¡AKit)]^. Способ получения таких решений основан по-прежнему на изменении значений узлов 5), а также на свойстве перекрестного соответствия 5-преобразования: начальный или конечный участок функции оригинала определяет в основном поведение функции-изображения соответственно на конечном или начальном его участке. Это означает, что увеличение (или уменьшение) значений функции AW(8) на начальном или конечном участке интервала С<5<оо приводит к увеличению (или уменьшению) значений функции AK(t) соответственно на конечном или начальном участке интервала Oit<°o. Поэтому изменение значений lj достигается смещением узлов б,, что позволяет создавать достаточно простые процедуры.

С вычислительной точки зрения функцию AK(t) целесообразно рассматривать в пределах 0<t<tp, где tp - время регулирования. Сам интервал [О, tp] удобно разбить на грн участка [0, t|], [ttji], [tjj, tp]. В процессе выравнивания отклонений lj наиболее динамичными оказывакмея отклонения Ij.lj". принадлежащие первому и третьему участкам. По лому процедура выравнивания почти полностью относится к ним.

Прием выделения трех участков ("зон") предложен н успешно использован Ремезом Е.Я. в алгоритмах приближения к наилучшим равномерным решениям а классе алгебраических многочленов1». В задаче дробно-рационального приближения прием оказался также эффективным. Более того, он нснользуется не только для переменной t, но и для переменной области изображений 5. В последнем случае зновь рассматривается не вся область определения функции Д\У(5), а лишь интервал 0 5 8 < 5*. верхняя граница которого определена условием

» Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. - Киев: Наукова думка, 1969. - 624 с.

тах |д\У(5)|^с1,

б <б<<*>

где ё - заданная малая величина. Как и в области времени, интервал [0,8*] делится на три участка. На основании перекрестного свойства им ставятся в соответствие участки функции ЛК(0, имеющие определяющую взаимную связь. Это позволяет достаточно просто установить узлы, оказывающие наибольшее влияние на интересующие отклонения |',1]", и приблизиться к желаемому распределению модуль-максимумов 1], например, равномерному.

Вторая глава диссертации посвящена центральной задаче проектирования САУ - динамическому синтезу систем. Целесообразность рассмотрения связана с нгишчием в методе передаточных функций ряда привлекательных свойств, которые в сочетании с численными способами достижения цели могут составить эффективный инженерный машинно-ориентированный мет од синтеза САУ.

Для одноконтурной системы, имеющей передаточные функции неизменяемой части \У„(р), корректирующего устройства У/К(р) и обратной связи \У0£(р), составляется уравнение синтеза

\У» = Р[\Ук(р), У/„(р), \У0С(р)], (2.1)

в котором эталонные свойства САУ заданы желаемой передаточной функцией \У». С целью упрощения уравнения в работе осуществляется переход к эквивалентному уравнению синтеза разомкнутой САУ, использующему традиционные модели

и'>)0У/к(р)\Ун(р). (2.2)

вещественные функции

WP(5) = \VЛS)WЯ(5) (2.3)

и численные характеристики

{^(8,)}^ ^(З,)}^,,^, (2.4)

в том числе их матричное представление

\У£ = \УК\УН. (25)

Последние два соотношения показывают возможность численного решения задачи. Для его осуществления положим пока, что все передаточные функции.

входящие в уравнение (2.1), не имеют нулей в правой полуплоскости и на мнимой осн. Тогда формальная часть решения будет содержать два этапа. На первом определяются элементы = ЧХ корректирующего устройства,

например, в матричной форме

На втором этапе вычисляются коэффициенты искомой передаточной функции

Ьтй'"+Ьт_,5га-'+-+Ь0 ап5"+ав_|5"-,+...+1

путем решения СЛАУ вида (1.6)

\УК(5)= т ■ ""' ; 0 (2.6)

.....¡ = >Я Л-т + п + 1. (2.7)

Привлекая матричную запись СЛАУ, подобную (!.7), ПС=\*/К, можно получим, решение

С = 0Ч\УН-'\УР, (2.8)

определяющее коэффициенты передаточной функции \У.(8). Они совпадают с коэффициентами функции \1/к(р), а переход \'/,(8)-+\У|1(р) осуществляется формальной заменой переменной 5 на р.

Предложенный алгоритм приводит к точному решению, если оно сущестпуег и тогда задача считается в осношшм решенной. Полсе сложные ситуации возникают при поиске приближенных решений. Рассмотрению таких задач и работе уделено главное внимание. В основу решения положен итерационный способ достижения цели, возможность изменения отклонений ^ за счет смещения узлов 6¡ и результаты разработки алгоритма« решения приближенных задач, полученные в.первой главе.

Имеющаяся возможность направленного смещения узлов интерполирования

{зт} на шаге у итерационной процедуры позволяет приблизить импульсную

характеристику К* (О системы к оптимальной К°пт(0, отвечающей принятому критерию приближения. С этой целыо импульсные реакции желаемой Кж(1) и синтезированной К^(0 систем используются для формирования функции

AK(t)=K„[(t)-K*(t), ' по которой D соответствии с (1.13) находятся экстремальные значения Ij. Выравнивание этих значений изменением узлов Sj приближает К* (t) к наилучшей в пространстве C[0,tp] функции K°nr(t).

О предельной достижимой близости функций K*(t) и K°nT(t) на основе итерационного процесса можно судить по модуль-максимумам lj функции IC*(t) при tcto, tu]. Этн значения являются консервативными, слабо зависящими от изменений узлов б(. В наибольшей степени это относится к значениям lj центральной части выделенного участка. Одно из них - наименее подвижное -можно использовать как меру принципиально достижимой близости рассматриваемых функций.

Алгоритм позволяет получать повышенную точность воспроизведения начального или конечного участка временной динамической характеристики на основе рекомендаций главы I.

Численный алгоритм синтеза САУ имеет важную принципиальную особенность, отличающую его от известных методов - он распространяется на системы, передаточные функции которых могут содержать одновременно рациональные дроби высокого порядка и различного рода иррациональные и трансцендентные выражения. Существующая техника синтеза таких систем базируется преимущественно на раздельном приближении всех составляющих рациональными дробями низкого порядка с последующим понижением порядка общей дробно-рациональной передаточной функции. Такая последовательность решения задачи, включающая два этапа аппроксимации и собственно синтез регулятора, характеризуется большим объемом вычислений и значительной накопленной по1решностью результата. Предложенный алгоритм относится в обсуждаемом смысле к одноэтапным процедурам и потому не имеет указанных недостатков.

Показана возможность обобщения предложенного пути решения на функциональный подход в задачах синтеза САУ. Такое обобщение формализует тик книжку тадачи, потнолня привлечь к ее решению эффективные методы

ункций вещественной переменной. Так для класса следящих систем уравнение ннтеза 1 = \\^(р) может быть представлено в виде

1-\У)1(8) = 0. (2.9)

[оявляющаяся при этом возможность трактовать поиск решения уравнения (2.9) ак задачу получения дробно-рациональной функции (8), наименее «лоняющейся от единицы, обеспечивает привлечение идей Чсбышева П.Л. для ее гшемня, а также некоторых результатов ее реализации, полученных в главе I.

Рассмотрены вопросы робастности систем, синтезируемых на основе эедложенного алгоритма. Важной в смысле робастности особенностью интерпо-щионного вещественного подхода яллястся использование непараметрнческой ормы описания динамических систем ЧХ {¡^З,)}^. Переход к параметрической

эрме, например, передаточной функции, может дать различные результаты в внснмости от принятых значений параметров т, п, хотя размерность г) ЧХ гтается неизменной. С этих позиций решение уравнений синтеза в терминах ЧХ кже соответствует поиску результата о непараметрнческой форме. Его (следующая параметризация заключается п определении коэффициентов редаточной функции \Ук(р) корректирующего устройства по полученному из авненпя синтеза решения - ЧХ {'^к(5|)}п. Важность непараметрического

>дхода в синтезе систем связана с тем, что при этом обеспечиваются боле: пгоприятнме предпосылки получения робастпых САУ по сравнению с многими угими. Известно, что к неробастмым системам зачастую приводит реализация нцепции понижения порядка передаточной функции регулятора на основе редаючшлх функций, дробей Паде и нспрерыпных дробей. Подобный достаток' имеет удобный в вычислительном отношении интегральный адратнчный критерий.

С целыо разработки интерполяционного метода синтеза, приводящего робастным системам, выполнен анализ зависимости изменений зела! очной функции \Ус'(5,8п,С) от вариаций компонент вектора

[ЬШ,ЬП1 ......Ь0,а„,ап_.....,а,]Т и параметра б,,. Установлено, что приращения

^.'(8,8П,ДС) при определенных условиях приближенно соотеки^км

приращениям Д\Ус1(5,Л5,),С). Это позволяет заменить сложные исследования чувствительности передаточной функции \\Г"(5,8Ч,С) по компонентам вектора С проверкой вариаций по параметру 6П. Такая замена использована не только для анализа имеющегося решения, но и, что более существенно, для целей синтеза робастных систем. Установлено, что в общем случае чувствительность передаточной функции \\,'<?(5,5П) мала в области начальных значений параметра бп и непропорционально возрастает с его увеличением. Добавим к этому, что ранее была установлена зависимость показателей качества синтезируемой системы от значений этого пцтамспра. Оба отмеченных фактора, в основном определяющие роль верхней границы интервала расположения узлов интерполирования, позволяют использовать параметр 8П как настроечный для алгоритма синтеза.

Для реализации практических шагов при синтезе робастных систем вычисляется несколько значений функции

в окрестности выбранной рабочей точки. Полученные значения 11(6,,), П^б^Лбц) и Н2(5,,-Д5п) должны оставаться положительными (в конечном итоге речь должна

идти о Н-гО), что свидетельствует о наличии необходимого запаса по робастиоетн. В то же время большие (по отношению к значению К(8П)) величины Я^-) и Я2( )

являются признаком имеющейся возможности значительного улучшения показателей качества.

Задача синтеза САУ охватывает в широком смысле не только нахождение решения, но и формирование самого уравнения, в частности, получение всех входящих в уравнение функций. Наиболее существенное значение имеют вопросы синтеза моделей эталонных систем. Особенность вопросов заключается в том, чгс проектировщику более понятно описание системы в области времени. В то ж< время существующие частотные, корневые и некоторые другие методь формирования эталонных моделей базируются на решении задачи в обласн

Жб^п^ГК.

к

т л

+ 1УЬрО,ак>(), -1сслиЗЬ^0,ак ¿0,3 = 0,1,...,т, к = 1,2,...,п

изображенин, опираясь на косвенные показатели качества. Для устранения имеющегося несоответствия поставлена и в рамках интерполяционного подхода решена задача разработки способа получения эталонных моделей непосредственно по заданным временным динамическим характеристикам.

Решение дано в форме выполнения двух этапов. На первом вычисляются элементы ЧХ искомой модели, на втором - коэффициенты передаточной функции модели. Алгоритм первого этапа определен численным интегрированием па основе (1.1). Так в случае задания желаемой импульсной реакции Кж(1) элементы ЧХ желаемой системы вычисляются по формуле

Wx(Si) = EK)K(tJ)e-S','Atj, i = U (2.10)

И

которая имеет матричную форму записи \УЖ = 1ТКЖ.

Второй этап заключается в определении матрицы С путем решения уравнения вида (1.7). В конечном итоге вычисляется решение

С - 0~'1ТКЖ, (2.11)

т.е. находятся коэффициенты желаемой передаточной функции \\'Л(р), Заметим, что второй этап будет излишним, если формируемая эталонная модель будет использована в уравнении синтеза - там необходимы модели в форме ЧХ.

Разработаны два способа получения желаемых передаточных функций и ЧХ по переходным характеристикам, рассмотрены особенности синтеза астатических систем и перехода от ЧХ замкнутых систем к моделям в разомкнутом состоянии. Даны рекомендации по выбору, узлов интерполирования, обеспечивающие приближение к равномерному или иному заданному распределению модуль-максимумов lj на [0,tp].

Рассмотренный комплекс вопросов решения уравнения синтеза и получения функций, входящих в это уравнение, объединены общей задачей, используют единый математический аппарат и составляют основу мегода, получившего название вещественного интерполяционного метода (ВИМ). Его основные

достоинства, представляющие интерес для инженерной практик» концентрированно сводятся к следующему:

- метод является численным, ориентированным на применение ЭВМ;

- передаточные функции, входящие в уравнение синтеза, могут содержат иррациональные и трансцендентные выражения, не приводя к заметны творческим или вычислительным препятствиям;

- имеется возможность выбирать параметры m, п искомых передаточнь функций;

- часть нулей, полюсов и коэффициентов может назначаться;

- возможна приближенная реализация заданного закона распределен] погрешностей 1, в области времени;

- используется нспараметричсская форма моделей, способствуют получению робастных систем;

- метод распространяется на параметрический и структурный синтез.

Третья глава посвящена обобщению метода на более широкий кг

. актуальных задач. Рассмотрено применение BUM к синтезу многоконтурн САУ и систем управления объектами неминимально-фазового типа, реше задачи параметрической идентификации и расщепления движения лннейн систем.

Необходимость совершенствования синтеза многоконтурных систем связ; с недостатками существующих пугей решения задачи. Наибо распространенный подхоц основан на замене общей задачи синтеза С последовательностью более простых задач коррекции каждого контура. При э" необходимо предварительно распределить требования, предъявляемые к систед целом, по каждому внутреннему контуру. Процедура не формализов; выполняется во многом произвольно и потому может приводить к болы погрешностям. В работе по мегодике BUM составляется уравнение синтеза W» = F[W,(p), W2(p).....Wq(p), WH(p)],

содержащее q передаточных функций элементов коррекции, переводите вещественную область и" трансформируется в систему т) нелиней ал!сбраических уравнений

и^зф^б,).)^,).....N^(5^,^,(8.)], (3.1)

1е л - общее число неизвестных коэффициентов. Обсуждается применение метода [ьютона и сходимость процесса. Находится точное решение, сии оно сушествуег, ли приближенное. В последнем случае по-прежнему сохраняется возможность риближения к заданному распределению погрешности в области времени. 1меется пример расчета параметров корректирующих устройств двухконтурной ¡стсмы.

Предложено решение задачи синтеза законов управления объектами сминимально-фазового типа. Даны рекомендации по составлению и решению равнений синтеза, рассмотрен ключевой этап задачи - формирование эталонных оделей с учетом неминимально-фазовых особенностей объекта управления, [ринцнпиальное отличие предложенного варианта ВИМ синтеза от известного, риводящего к передаточным функциям корректирующих устройств к'к(р)=Вт(р)/Ап(р), порядок которых сравним с порядком передаточной функции бъекта управления \У„(р), состоит в возможности назначать по условиям очности параметры Вт(р), п=(1ед А„(р), не связывая их непосредственно

аналогичными параметрами функции \^'с(р).

Вещественный интерполяционный метод и процедура аппроксимации на ее снове использованы для расщепления движения линейных систем. Для решения аких задач обычно привлекают идею малого параметра, базирующуюся на редположении существования двух или более групп далеко друг от друга асположепных корней. Условие такого размещения выполняется не часто и отому погрешность из-за пренебрежения какой-то их частью корней может быть ущественпой. Другой подход - агшроксимацнонный - основанный на степенных сеченных приближениях, приводит к хорошему приближению в малой крестности точки, но не на интервале. Привлеченный для решения задачи ипсрполяционный метод базируется па выделении в пределах интервала [0лр] 1алых участков [0,1,], Цп, 1р], ^«^ц, для которых определяются соответственно ¡ыстрые и медленные движения. Получены расчетные соотношения для ¡ранни ■частков размещения узлов в каждом случае. Техническая сторона решения снована на формировании ЧХ моделей быстрою и медленного движений с

последукяцим вычислением коэффициентов их передаточных функций путем решения СЛАУ вида (1.6). Предложенный вариант решения обладает основными свойствами ВИМ, в том числе, что особенно важно для практических задач, распространяется на объекты, описываемые иррациональными и трансцендентными передаточными функциями.

Имеется возможность применения полученного решения для реализации известного предложения об управлении по старшим производным, приводящим к локализации всевозможных быстрых отклонений параметров и возмущений. Реализация таких систем управления приводит, в частности, к двухконтурным управляющим устройствам с целью раздельного управления по быстрым и медленным движениям. Полученные на основе ВИМ результаты разделения движений показывают алгоритмический путь получения одноконтурного управляющего устройства, обладающего свойствами двух контуров.

Рассмотрено применение ВИМ к задаче параметрической идентификации объектов при отсутствии помех. Принятый критерий близости объекта и модели Р(8,)-Рм(8|)=0, 1 = 1,2,... (3.2)

соответствует в области изображений совпадению их ЧХ. Смысл критерия в области времени заключается в выполнении системы равенств

|[Г(0 ~ГМ0)]е~6,,& = 0, ¡ = 1,2,..., (3.3)

о

где Г(1)гР(5), Гм(0гРм(5). Ядро ехр(-5^) обеспечивает настройку алгоритма идентификации путем формирования интерполяционной матрицы 1 с элементами Эу =схр(-б|^), 1 = 1,т), ]= 1,М, где п - размерность ЧХ, N - число отсчетов Дф, используемых в численной реализации системы (3.3). Дана оценка числа длинных операций: 0((Ы+1)ц+11). По числу выполняемых операций алгоритм ВИМ идентификации примерно вдвое экономичнее частотного варианта.

Предложенный ВИМ идентификации обладает сравнительно высоким свойством помехозащищенности - на уровне частотного метода. Имеются также другие достоинства метода: возможна настройка алгоритма на повышенную точность идентификации быстрых или медленных движений; интерполяционный

для области изображений критерий (3.2) в необходимых случаях может быть дополнен интерполяционной на ¡tj} близостью временных динамических характеристик; открываются перспективы рстнения сложной задачи идентификации объектов с переменным запаздыванием на основе решения трансцендентных уравнений.

В четвертой главе рассматривается приложение идеи вещественного интерполяционного метода к расчету линеаризованных импульсных автоматических систем. За математическую основу описания систем этого класса принято дискретное вещественное преобразование

F*(5)=¿f(nT0)e-SnT\ Se [С,да), с> 0, (4.1)

п=0

непосредственно связанное с вещественным интегральным преобразованием (1) и дискретным преобразованием"Лапласа, и о-преобразование

F(u)=f;r(nT0)»-n, us[C,oo), С>1, (4.2)

п-0

которое с определенных позиций можно трактовать как частный случай z-преоб-разования. Обе формулы, выражающие преобразование решетчатой функции Г(пТ0) в изображение F*(8) или F(u), отвечают двум важном требованиям: они приводят к вещественным изображениям и максимально просто связаны с дискретным преобразованием Лапласа и z-преобразоваиисм. Существенно, что вещественные изображения F*(S), F(u) имеют графические представления, обеспечивая высокую наглядность рассматриваемых задач.

Из двух функций F*(S), F(i>) в работе предпочтение отдается более простой по аргументу функции F(u). Предложено зри способа получения таких функций: по z-изображениям путем замены комплексной переменной z на вещественную oc[cv'.), по решетчатым функциям Г(пТ„) на основе формулы (4.2) либо на основе обобщения понятия ЧХ на изображения F(u). Первые два способа очевидны, зрешн является специфическим и в то же время во многих случаях .»ффективным. Его использование ноишляег устраним, известный недостаток традиционного -

персхода от функций времени Г(пТ0) к изображениям Р(г) по формуле прямого г-преобразования

Р(г)=ХГ(пТ0)г-п. (4.3)

п=0

Недостаток заключается в недопустимо высоком порядке функции Р(г) при непосредственном использовании отрезка ряда (4.3) и трудностях сворачивания этого отрезка.

Сказанное в полной мере распространяется на формулу перехода (4.2). Однако последняя имеет весомое преимущество перед (4.3), т.к. позволяет сформировать косвенный путь решения задачи. Этот путь содержит два этапа. На первом определяется ЧХ {р(и,)} по выражению

Ч

Р(и,)=|;г<пт0)и|-П, 1=й (4.4)

п=о

На втором осущест вляется переход к дробно-рациональной форме

Ьтит+Ьту-'+-+Ь0 путем решения СЛАУ

Р(«) =---ГТТ"—т2п <4-5>

Р(и|)= — '._,-А «= Л = ш + п +1. (4.6)

апиГ+ап_,и^ '+-+1

Полученные коэффициенты Ь^ ак являются коэффициентами выражения Р(г), так

что задача, имеющая точное решение в классе рациональных дробей с

параметрами т, п, завершена.

Аппарат вещественных функций и ЧХ использован для разработки метода

синтеза цифровых корректирующих устройств. За базовое соотношение принято

уравнение замкнутой одноконтурной системы

£ р^(2),\уи.пр(г), УУос(/)],

в которое входят передаточные функции эталонной системы корректирующего устройства \Ук(г), непрерывной приведенной части Wн[ф(z) и

обратной связи Ww(?). В параметрической постановке известны все функции, входящие в уравнение, за исключением WK(z), которая задана выражением вида (4.5) с точностью до коэффициентов. Как и в случае непрерывных систем, исходное уравнение упрощается за счет перехода к сопоставлению математических описаний желаемой и синтезируемой разомкнутых систем в z-формах

WP(z) = WK(Z)W„np(/), о-изображеннях

WP(u)=WK(u)WH.np(u) (4.7)

И численных характеристиках

{w>i)}n={WI[(o,)}ii{WH.lip(oI)}4. (4.8)

Последнее уравнение представлено также в матричной форме

Wxp = WKW,np, (4.9)

где все матрицы диагональные, а их элементы W£(u¡), WK(o¡), WH np(o¡), i = 1,ц являются элементами ЧХ уравнения (4.8). Уравнение (4.9) имеет решение

поиск которого не встречает принципиальных и вычислительных затруднений из-за диагональной формы матриц. Получением матрицы WK Или, что то же самое, характеристики {W^Uj)}^ из уравнения (4.8) завершается нспараметрическая

часть решения задачи синтеза. Параметризация результата заключается в решении СЛАУ • вида (4.6). что позволяет найти передаточные функции скорректированной разомкнутой \Vcp(u)= \V„(u)WHnp(u) и замкнутой W^O') систем.

Необходимым элементом синтеза САУ является оценивание точности peiyjibTaia, г.к. в реальных условиях приходится искать приближенные решения. Для этих целей используется функция Д\У(и)= W¿(и)-Wcv(u)

н одно или несколько ее экстремальных значений Ь,= шах ¡ = 1,2,....

Более существенным является оценивание погрешности в области времени на основе обращения г-преобразования, получения. Кс(пТ0).= >Ус3(г) и вычисления

погрешности е = шах|ДК(пТ0)|=тах|Кж(пТ0)-Кс(пТ0)|. Для минимизации

П II

величины с привлечен использованный ранее для решения приближенных задач непрерывных САУ механизм модуль-максимумов Последние определены

выражением I. = шах |ДК(пТ0)|, 3 = 1,2..... Совокупность Ь, }=\,2,. -

' пт0 €[д0,0 + 1)т0 ]

позволяет найти величину Д1 = шах1^ -пнп^ и составить суждение о близости

импульсной характеристики К^пТо) к наилучшему в каком-то смысле решению. Изменение величины ^ осуществляется смещением' узлов ц по методике, разработанной для непрерывных систем.

Несколько отмеченных параллелей в решении задач синтеза непрерывных и импульсных систем создают основу для вывода о существовании значительной общности расчетных схем, алгоритмического и программного обеспечения проектирования систем этих классов. Формальным источником для такого обобщения является аналогия в уравнениях синтеза (2.4) и (4.8), описывающих соответственно непрерывные и импульсные системы. Она еще более заметна при сопоставлении матричных форм (2.5), (4.9) этих уравнений, решения которы? ищутся по одинаковым алгоритмам и программам. Совпадающие формь описания непрерывных и импульсных систем и решения их уравнений синтез: явились отражением объективно существующего внутреннего единства эти) систем. В практическом плане алгоритмическая близость приводит I значительному сокращению общего объема программного обеспечения синтез; систем указанных классов. Имеющиеся различия в расчетных схемах связаны нижними границами 6|, 1)| расположения узлов 5,, и,, для которых ограниченп являются различными: б|£0,

В работе обсуждается и на основании результатов решения подобных задач для непрерывных СЛУ обосновывается возможность распространения BUM синтеза импульсных САУ на многоконтурные структуры и импульсные системы неминимально-фазового тина. По-прежнему сохраняется положительные свойства метода: численный характер решения задачи, задание желаем!.;: значений параметров тп, п передаточной функции цифрового корректируют^ > устройства, непараметричсская форма уравнения сишеза, возможность описания объектов сложными передаточными функциями и т.д.

Эффективность распространения BUM на синтез импульсных систем связана с возможностью формирования желаемых передаточных функций, входящих в уравнения синтеза, по заданным временным динамическим характеристикам. Эта задача являет ся актуальной и для z-форм, так что се успешное решение выходит за рамки и-преобразования. Решение базируется на использовании понятия ЧХ желаемой САУ. Вновь реализуется двухэтапная процедура, в которой на первом

этапе находятся элементы ЧХ , на втором - коэффициенты желаемой

передаточной функции \Уж(и).

В случае задания желаемой импульсной характеристики Кж(пТ0) и значений параметров т, п искомой дробно-рациональной функции W^(u) вида (4.5) можем найти в соответствии с (4.4) элементы

N __

Wi(u,)= ХК.ж(пТи)и-п, Oj >С, i = M, n = m-tn + l. (4.1!)

n=0

Это позволяет путем решения СЛЛУ вида (4.6) определить коэффициенты функции W^(u). Исходная функция Кж(пТ,,) может быть задана таблицей, графиком или аналитическим выражением. Показана возможность обеспечения повышенной точности воспроизведения желаемой импульсной характеристики при малых или больших значениях дискретного времени nT0 «[0,tp |.

Расчетная формула (4.11) используется в матричной форме

w; = ik„ <*'2>

где матрицы W^, Кж имеют элементы соответственно W^(Uj), i = Кж(пТ0), п = О,N, а интерполяционная iix(N+l)- матрица I - элементы ац = и|~'.

Решена задача получения функции W^(u) по желаемой переходной характеристике Ьж(пТ0). Показано влияние выбора начального Uj и конечного v>n узлов на условия решения задачи. В частности, неправомерное увеличение или уменьшение их значений приводит к ухудшению обусловленное ги матрицы I.

Рассмотрены вопросы использования уравнения (4.12) для обращения о-преобразования на основе решения Кж = r'W^, а также реализация интерполяционного для области времени критерия близости формируемой и заданной импульсных характеристик, что обеспечивает их совпадение в моменты времени jT0, j=l,r, r<rj.

Получено решение наиболее распространенной задачи, возникающей при проектировании цифро-аналоговых САУ,-получение дискретной передаточной функции W(z) по ее непрерывному прототипу W(p). Традиционные решения на основе какой-либо замены p-»z приводят к высокому порядку функции W(z) либо ее низкой точности. В работе замена переносится с уровня переменных непосредственно на функции, а возможность реализации технической стороны решения достигается переводом задачи в область вещественных функций. Одно из полученных решений дано в виде

W(u) = ~W(8) + 0.5К(0), и = ехр(8Т0), (4.13)

•о

где W(S)='K(t) - непрерывная передаточная функция, W(u) - ее дискретный аналог

и К(0) = lim K(t). Решение (4.13) получено на основе сравнения ЧХ непрерывной t-»0 1

W(ö) и дискретной W(u) передаточных функций, а смысл его раскрывается при использовании в (4.13) развернутых выражений функций W(u), W(6):

b^'+b,,.^-1»1-^.-^, I P^+ß,-,^-»+■■•+()„ anc6"T" +an_,e8(n"l)T"+•••+( = T„ avSv + av_,öv~'+---+l Неизвестные коэффициенты bj, ak, j = 0,m, k = l,n находятся в резулыате решения СЛАУ, сформированной на бате уравнения (4.13):

W(es'т«)--Í-W(бi) + 0.5K(0), ¡ = |,л, п = т + п + 1. 'о

Коэффициенты Ц, ак являются одновременно коэффициентами передаточной функции \У(г), так что выполненный переход соответствует по

результату преобразованию \У(р)->У/(х).

Предложенный подход и полученные формулы перехода распространены непосредственно на определение цифровых корректирующих устройств по их непрерывным прототипам. Задача решается на основе сопоставления передаточных функций соответствующих участков дискретной и непрерывной систем. Возможны обобщения вплоть до наиболее полного \УС'(1>|) = Р^Дб^,

обеспечивающего получение неизвестных коэффициентов функции \УС(/.).

В пятой главе диссертации представлены аппаратно-программные применения вещественного интерполяционного метода. Даны сведения о диалоговой программе "Синтез", предназначенной для получения коэффициентов передаточных функций коррелирующих устройств непрерывных и импульсных САУ. Алгоритмической основой являются уравнения синтеза (2.4) и (4.9)

непрерывных и импульсных систем. Программа обеспечивает последовательное

*

приближение к оптимальной по быстродействию системе при ограничении на допустимое перерегулирование. Программа используется несколько лет в учебном процессе, была применена для расчета коррекции САР натяжения нит и и скорости вращения веретена модулей тростильно-крутильных машин. Приведены основные эшпы и результаты расчета системы регулирования натяжения нити.

Даны сведения о разработанном алгоритмическом и программном обеспечении адаптивною регулятора непрямого действия. Регулятор содержит идентификатор обьекта управления, обеспечивающий получение ЧХ {1!(й,)}п.

{)} сигналов входа и выхода и(0, у(1) на основе реализации численного

итерирования в (1.1). Полученные модели сигналов пошолякн определин> 1скушие шаченпи ыемеиюв ЧХ обьекча = У(й() / 1)(й,), 1 - 1,ц и ЧХ

{^'(л,)} рсч уляюра \УП(Й1)=-\У';(Й1)/\Ч,(Й1). ые -

■ ') *

ишестпые элементы ЧХ неявной эталонной модели САУ в разомкнутом состоянии. Заключительная процедура связана с получением Ч-m+n+l текущих значений коэффициентов передаточной функции регулятора и их записью в запоминающее устройство. Из четырех перечисленных процедур первая - получение ЧХ сигналов входа й выхода - является наиболее объемной и сравнима по вычислительной сложности с аналогичными действиями в других методах. Три последующие процедуры требуют выполнения примерно Зг| операций деления, что в условиях низкой размерности г| приводит к малому обьему вычислительных затрат. Рассмотрены некоторые вопросы построения двух модификаций адаптивного регулятора. Один предназначен для работы с нестационарными обьектами, второй ориентирован на замену ручной настройки неадаптивного регулятора автоматической в условиях однократной идентификации. Адаптивный регулятор защищен заявкой на патент РФ.

Положительные результаты применения ВИМ в задаче идентификации, включая достижение малых вычислительных затрат, позволили создать портативный прибор, реализующий принципы идентификационной диагностики, направленной на повышение надежности САУ, имеющих постепенные отказы. Технология применения прибора ставит целью обнаружить приближение к отказу на основе сопоставления получаемой текущей математической модели САУ или ее части с начальным, паспортным описанием. Проверке в ходе регламентных работ подлежат наиболее динамичные с позиций надежности участки САУ, а паепо-тные модели в форме передаточных функций могут быть анпрокеимационными, имея второй-третий порядок. Прибор использует отсчеты кривой разгона и позволяет определять до семи коэффициентов.

В работе рассмотрен вопрос совместного применения прибора для определения коэффициентов передаточных функций и иро1раммы "Синтез". Комплекс предназначен для настройки регуляторов сложных САУ. На первом мапе определяется индивидуальная текущая передаточная функция неизменяемой части. Ома и извесжая эталонна»! передаточная функция САУ позволяют сформирова 1 уравнение системы и решить его относи 1сльно ко>ффицпснюв перелпючшж функции регулятора с помощью npoipuMMU "СингеТ'. Такай

технология получения значений настраиваемых параметров позволяет учесть индивидуальные особенности каждой системы, прежде всего ее силовых элементов. Использование для настройки метода синтеза, а не упрощенной методики, также приводит к повышению точности результата. Перспективы развития технологии связаны с объединением аппаратной и программной частей в одном корпусе специализированного прибора, что обеспечено сравнительно малым объемом программы "Синтез". Предложенная технология настройки распространяется как на эксплуатируемые, так и изготавливаемые САУ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные выводы и результат ы работы заключаются в следующем.

1. Предложены интегральное и дискретное вещественные преобразования, позволяющие по временным динамическим характеристикам линеаризованных непрерывных и импульсных систем получить их модели в виде функций-изображений, имеющих вещественный аргумент. Наличие непосредственной связи введенных преобразований с преобразованиями Лапласа и /-преобразованием позволяет находить вещественные изображения функций времени, используя имеющиеся обширные таблицы соответствия оригиналов и их изображений.

2. Для представления в ЭВМ описаний САУ в виде вещественных функций введено понятие численной динамической характеристики, которая представляет собой конечный набор чисел, характеризующий динамические системы, принадлежащие'определенному классу. Численная форма описания позволяет создавать машинно-ориентированные модели динамических сиегем широкого класса, включая устойчивые, астатические и неустойчивые, непрерывные и импульсные. Определены основные действия над численными характеристиками в непосредственной и матричной форме. Предложены уравнения вход-выход в терминах численных характеристик. При этом матрица системы имеет диагональную форму, что снимает проблему ее обращения, приводит к резкому сокращению сложности алгоритмов и вычислительных затрат при их ашыратно-

программн й реализации. Определены условия однозначной связи численных характеристик с передаточными функциями и форма этого перехода.

3. Разработан алгоритм решения уравнений САУ в терминах численных характеристик. Определены условия получения приближенных решений и точных, если они существуют. Установлено "перекрестное" свойство оригиналов и вещественных изображений, позволяющее в рамках итерационного процесса на основе альтернанса Валле-Пуссена изменять и перераспределять величину максимальной погрешности решения на интервале в области изображений или времени. Показана возможность получения приближения к чебышевскому альтернансу, определяющего наилучшее решение в равномерной метрике. Предложены выражения для оценивания точности решения в области изображений и времени.

Полученные результаты позволяют решать разнообразные задачи расчета САУ и представлены как вещественный интерполяционный мегод (ВИМ).

4. Предложена методика составления и решения уравнений синтеза САУ на основе ВИМ, предусматривающая получение передаточных функций корректирующих устройств й каналов инвариантности численным методом. Разработаны способы получения численных характеристик, входящих в уравнения синтеза. В частности, решена задача получения желаемой численной характеристики заданной размерности по эталонной реакции системы на интересующее входное воздействие. Это позволяет задавать желаемые свойства САУ простой и наиболее понятной форме в области времени, являющейся естественной для пользователя. В силу однозначной связи численных характеристик и передаточных функций результат обобщается на формирование передаточных функций эталонных систем по их временным динамическим характеристикам. Предложены два критерия приближения к эталонной системе в области времени. Первый обеспечивает среднее взвешенное приближение на интервале, второй позволяет учесть требование совпадения ладонной и сиптешроватшой временных характеристик в заданные моменты времени.

5. Обеет чено существование двух важных особенностей ВИМ ситлоа. Во-периых, алтортлм синтеза формируется на бате уравнения ратомкнутой отстемы,

которое эквивалентно уравнению синтезируемой САУ, но приводит к меньшей вычислительной сложности. Во-вторых, использование численных характеристик, относящихся к непарамстрическим формам описания, создает вследствие этого более благоприятные условия для придания САУ свойства робастности г/о сравнению с уравнениями синтеза в передаточных функциях. Предложен способ оценивания робастности и итеративный путь достижения заданного уровня этою свойства САУ.

6. Выполнено обобщение BUM на синтез двух классов САУ - с многоблочными регуляторами, включая их реализацию в виде многоконтурных структур, и системы управления неминимально-фазовыми объектами. В первом случае получено уравнение синтеза в вещественной области, порождающее систему нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов передаточных функций последовательных корректирующих устройств и обратных связей. Рассмотрена и положительно оценена возможность получения решения и его сходимость к точному на основе метода Ньютона.

Для класса систем с объектами управления неминимально-фазового типа показана необходимость составления уравнений синтеза с учетом фазовых особенностей объекта управления в желаемых передаточных функциях разомкнутых систем. Алгоритм вычисления коэффициентов передаточных функций корректирующих устройств по сформированным таким образом уравнениям полностью соответствует решению задачи синтеза минимально-фазовой системы, что позволяет использовать единое программное обеспечение.

7. Показано применение ВИМ для аппроксимации передаточных функций непрерывных систем с контролем точности в области времени. На этой основе метод обобщен на задачу расщепления движения линейной системы. Результат достигается соответствующим выбором узлов интерполирования в рамках стандартного решения уравнения вход-выход системы численным методом.

Предложенные алгоритмы аппроксимации и расщепления движения распространены на широкий класс систем, передаточные функции которых Moryi содержа и» дробно-рациональные сост авляющие высокого порядка, а также иррациональные и трансцендентные выражения.

8. Получены положительные результаты в применении численных характеристик для решения задач параметрической идентификации детерминированных объектов. Предложенный способ обладает рядом важных свойств:

- он приводит к моделям с повышенной робастностью вследствие выполнения основных преобразований в непараметрической форме;

- интегральная связь между исходной информацией об объекте - функциями времени - и вещественными моделями обуславливает существование помехозащищенности на уровне частотных методой;

- при прочих равных условиях можно обеспечить получение моделей с более точным воспроизведением быстрых или медленных движений;

- обеспечивает малые вычислительные затраты.

9. Разработан алгоритм синтеза цифровых регуляторов на основе математического аппарата дискретного вещественного преобразования. С привлечением понятия численных характеристик решены задачи формирования желаемых дискретных передаточных функций заданного порядка по их временным функциям. Показана возможность использования этого решения для ограниченного по числу тактов обращения дискретного преобразования, позволяющего получать значения решетчатой функции в интересующие моменты времени.

10. Установлено свойство вещественного непрерывного и дискретного преобразований, приводящее к такой формализации алгоритмов синтеза непрерывных и дискретных систем, которая позволяет создавать единое программное обеспечение для решения задач коррекции систем указанных классов.

Получена в формульном виде приближенная связь между непрерывными передаточными функциями и их дискретными аналогами. Формула распространяется на передаточные функции приведенной непрерывной части к описания более общих структурных образований, включая разомкнутые и замкнутые сг темы.

II. Разработано математическое обеспечение портативного прибора для экспериментального определения моделей сложных САУ, предложена методика его использования для идентификационного диагностирования и настройки систем. На основе численных характеристик получен алгоритм работы адаптивного регулятора, использующего текущую идентификацию объекта управления с самонастройкой системы по ее эталонной временной характеристике.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ. Основное содержание отражено в следующих публикациях.

1. Осипов В.М., Гончаров В.И., Барковский А.Н. Один метод приближения сложных передаточных функций. - М.: 1969. - 9 с. - Деп. в ЦНИИТЭИ приборостроения. АУ М № 8 - 1969, № 22.

2. Осипов В.М., Гончаров В.И. Синтез устройств запаздывания на основе экспоненциальных разложений. - М.: 1969. - 8 с. - Деп. в ЦНИИТЭИ приборостроения. А УМ №8- 1969, № 20.

3. Гончаров В.И., Осипов В.М Некоторые вопросы моделирования

*

запаздывания // Труды Республиканской конференции по автоматизации производственных процессов: Тезисы докладов. - Алма-Ата: 1970.

4. Осипов В.М., Гончаров В.И. Приближение некоторых трансцендентных и иррациональных передаточных функций // Приборостроение. - 1970. - № 2.

5. A.c. 249077 СССР, 42 т4, 7/48. Устройство для воспроизведения запаздывания II В.М. Осипов, В.И'. Гончаров. - 4 с.

6. A.c. 272678 СССР, 42 т4, 7/32. Устройство для моделирования объектов, описываемых трансцендентными и иррациональными передаточными функциями // В.М. Осипов, В.И. Гончаров. - 4 с.

7. Гончаров В.И. Моделирование запаздывания с использованием полиномов Лежандра П Известия ТПИ / Томский политехнический институт. -1972--Т. 225.

8. Oci ob B.M., Гончаров В.И. Синтез одной трансцендентной передаточной функции с помощью пассивных цепей и операционных усилителей II Известия ТПИ / Томский политехнический институт. - 1972. - т. 225.

9. Гончаров В.И., Комагорова Л.В., Пушкарев Г.Ф. О приближении сложных передаточных функций методом интерполирования // Радиоэлектроника и управление: Тезисы докл. региональной конференции молодых ученых. - Томск: 1974.

10. Баторов А.Р., Гончаров В.И. Синтез линейных динамических систем методом интерполирования // Радиоэлектроника и управление: Тезисы докл. региональной конференции молодых ученых. - Томск: 1974.

11. Гончаров В.И. Численный метод исследования линейных систем // Техническая кибернетика / Фрунзенский политехнический институт. - 1975. - Вып. 86.

12. Гончаров В.И. Анализ и синтез линейных электрических цепей при помощи ЭЦВМ II ХХХ11 Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио: Тезисы докладов. - М.: 1977.

13. Гончаров В.И. Расщепление движения линейной системы на основе 5-преобразования // Автоматизация управления и АСУ ТП / Межвуз. научно-техн. сборник,-Томск: 1977.

14. Гончаров В.И., Петере Д.П. Алгоритмы расчета линейных стационарных систем методом дельта-преобразования II Системы управления и их элементы I Межвуз. научно-техн. сборник. - Томск: 1980.

15. Вадутова Ф.А., Гончаров В.И., Петере Д.П. Алгоритмы автоматизированного расчета импульсных систем на основе дельта-преобразования // Теория и техника автоматического управления / Межвуз. научно-техн. сборник. - Томск: 1981.

16. Вадутова Ф.А., Гончаров В.И. Использование 6-преобразования для апалша САУ II Моделирование процессов и систем / Межвуз. научно-техн. сборник. - Томск: 1982.

17. Вадутова Ф.А., Гончаров В.И., Поздняков В.10. К сишезу передаточных функций линейных систем / Межвуз. 1...учно-1ехи. сборник. - Томск: 1983.

¡8. Вадутова Ф.Л., Гончаров В.И. Преобразование передаточных функций и сигналов на основе их численных характеристик // Межпуз. иаучно-техн. сборник. - Новосибирск: 1984.

19. Вылегжанип О.Н., Вадутова Ф.Л., Гончаров В.И. Численное представление импульсных сигналов рациональной функцией И Межпуз. научпо-тсхн. сборник. - Томск: 1986.

20. Вадутова Ф.Л., Гончаров В.И. Применение интегрального вешест венного преобразования к расчету систем с распределенными параметрами. // Оньч использования распределенных систем управления технологическими процессами и производствами: Тезисы докладов Всесоюзного научно-практического семинара. 1-3 декабря 1986 г.

21. Выбор направлений автоматизированного моделирования исполнительных систем роботов: Отчет о НИР I Кибернетический цешр при Томск, полнтехн. ин-те. № гос. per. 01860075792, инв. № 02770058087. - Томск, 1986.

22. Вадутова Ф.Л., Гончаров В.И. Получение и использование вещественных функций-изображений при исследовании динамических систем II Электромеханика. - 1987. - № 8.

23. Разработка информационной системы и элементов САПР исполнительных систем промышленных роботов: Отчет о НИР / Кибсрпсшчсский центр при Томск, политехи, ин-те. - № гос. per. 01860075792, инв. № 02880043П89. -Томск, 1987.

24. Синтез исполнительных систем управления роботоо на основе вещественного прсобразойания: Отчет о НИР / Кибернетический центр при Томск, политехи, ин-те. - № гос. per. 01860075792, инв. №02890031664. - Томск, 1988.

25. Анисимоп В.Г., Вадутова Ф.А., Гончаров В.И. Моделирование цифровых динамических систем, обеспечивающее малые вычислительные за фаты //Динамика станочных систем гибких автоматизированных производств: Тезисы докладов 3-й Всесоюзной научно-технической конференции, 24-26 мая 1988 г-Тольятги, 1988.

26. Ра>;лботка элементов САПР исполнительных систем промышленных роботов: Отчет о НИР / Кибернетический центр при Томск, политехи, ин-те. - № roc. per. 01880068449, инв. № 0900029104. - Томск, 1988.

27. Гончаров В.И., Пеггерс Д.П., Вадутова Ф.А. Проектирование исполнительных систем роботов: Учебное пособие по курсовому проектированию / В.И. Гончаров, Д.П. Петере, Ф.А. Вадутова. - Томский политехи, ни-т, 1989.

28. Разработка алгоритмов и программ расчета параметров систем стабилизации натяжения пита: Отчет о НИР / Кибернетический центр при Томск, политехи, ин-те. - Hi гос. per. 01900020532, инв. № 02910046655. - Томск, 1991.

29. Аннснмов В.Г., Гончаров В.И., Мельник А.И. Получение математической модели исполнительной системы робота для целей адаптации II Автоматизация, математические методы и управление народным хозяйством. -Томск: Изд-бо Томского госуниверситсга, 1990. - с. 126-129.

30. Гончаров В.И., Лавришенкова В.А. Получение дискретных передаточных функций непрерывно-дискретных систем автоматического управления II Теория и техника автоматического управления / УНПК "Кибернетика" при Томском политехническом институте. - Томск: 1990. Деп. в ВИНИТИ 19.02.91, №773-В91.

31. Гончаров В.И. Численные модели систем, имеющих элементы с распределенными параметрами II Перспективы развития и применения средств вычислительной техники для моделирования и автоматизированного исследования: Тезисы докладов Всесоюзной конференции, 16-18 октября 1991 г. -М., 1991.

32. Гончаров В.И. Вещественный интерполяционный метод сиситеза систем автоматического управления. - Томск: изд-во ТПУ, 1995. - 108 с.

33. Гончаров В.И., Яковлева Е.М. Синтез передаточных функций эталонных систем по их временным динамическим характеристикам. // Элехтромеханиха.-1995.-М> 5-6 (в печати).

Подписано к печати 21.09.95.

Заказ №796. Тираж 70.

ИПФ ТПУ. 634034 Томск, пр. Ленина, 30.