автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Устойчивость равновесия и движения свободных тел в системах с магнитным взаимодействием электропроводящих колец и магнитных полей

М1ШСТЕКЛЕ0 ОСВПИ УКГ'А1КИ КШ БСЬКИЙ ДЕНКАЬНМ УН1ВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕБЧЕША

'ГБ ОД

• ^ =.На правах рукошсу

ТЕРКИНА Хвтяна Борисовна

УЖ 531.38

СТШЮТЬ Р1ВКОВАГИ ТА РУХУ ВЫЬНИХ IIЛ У СИСТЕМАХ 3 МАГН1ТНОЮ ВЗАЕМ 0Д1 СЮ НАДПРОВ1ДНИХ К1ЛЕЦБ ТА МАГШ ТНИХ ДИПОЛ1В

05.13.16 - застосування обчислювально! техшки,

математичного моделовэння 1 математичяих метод!в у наукових дос-иджэннях

Автореферат

дисертзщ I на здобутгя наукового ступеня кандидата техн^чних наук

Кихв - 1994

Робота виконана в 1вституп кибернетики iMeHi В.М.Глушкова

HAH Укра1ни.

Науковий кердвник: доктор ф1зико-мзтеиатичних наук, профеоор K030PI3 В.В.

ОфШЛШ! опоненти: доктор ф1 зико-мэтемзтичних наук, професор ХУСА1Н0В Д.Я.; доктор техшчних наук ШАБЛ1Й В.П.

Проз! дна установа: Кшвський псштехшчний институт

Захист В1д3удеться

1994 р.

о _годинi на 3aciflaHHi сдащал^зовано! ради К 068.18.10

у Ки!вському державному ушверситет! iMeHi Тараса Шевченка : адресов: 252127, м.Кшв-127, пр. АкадемiKa Глушкова, 6, факультет к1бврнетики, зуд.40.

3 дисертащоо можна ознайомигися у на.укоШй öißjiioTeiU Кшвського ушверсигету iM8Hi Тараса Шевченка.

Автореферат po3iслано "

1994 р.

Вчевод секретар стшал^зовано! ради

I .В.Беико

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыасть теми. Одним з основних пигаяь, як1 виникають при досллдженш властизостей р1зних данэм1чних систем, с питания про стхшасть. Фундамснтальним методом досл1даення сиякосп с другта метод або метод функщя Ляпунова, розроблений у 1892 рощ академиком О.И.Ляпунова. ВсебгЧЕИй тэ глнбокиа розвиток цей метод одержав у . працях М.Г.Чвтаевз, €.О.Барбашина, Г.М.Дубошина, М.П.ЕруПна, В. I.Зубова, М.М.Красовського, С.Лефшеца, В.М.Мзтросова, Ю.О.Митропольського, В.В.Румянцева, Н.Руша, В.А. Якубовича та ¡нших вчених.

Застосування апарату математично! теорп спйкосп до конкретних проблем механики продовжуе залишатися актуальною задачею. Особливе мюце серед задач мехашки займас питания про хснування усталених рух1в та 1х спякоеп. Одецею з таких задач, що мае багато реальиих та можливих застосувань, е задача про юнування та стишсть стацюнарних руххв. Анал1зу ¡снування та спакосп таких рух1в присвячен! прац1 Б.М.Бублика, Ф.Г.Гаращенко» М.Ф.Кириченко, Ю. Г.Неямарка, Д.Я.Хусашова, М.О.Фуфаева, П.В.Харламова.

Класичним прикладом актуальносп питания усталених рух1В .е. питания про 1 снування та сиякють орбитального руху вольного Т1ла. 1стотн1 результата для випадку грэв1тащ иного поля М1стяться в працях В.В.Б^лецького, В.I.Гуляева, В.Г.Дьомша. Л.В.Докучаева, Г.М.Дубошина, В.В.Румянцева.

Великий ¡нтерес викдикае питания стшкост! стащонарких та . орбхтальних руххв для магштного поля. Особлив¿сть ше! проблеми пов'язана з там, що для добре вивчено! грав1таЩйно! взаемод! I не вивикала "проблема 1/Я3", зпдно. .з якою орбгтальн! рухи належать до класу нестипсих (да було виявлвно на пврших кроках вивчення природа ядеряих сил). У роботах В.в.Козор1за була вперше показана можливхсть спйкосп орбхтальних рух1в вольного магнитного плз, вивчена проблема застосування умов спйкосп по вцщошенвю до частишь змлнних на вшадок руху В1льних Т1Л з нецентральною взасмод1ею (частинним випадком яко! е магн1тна).

В подалыиому у працях В.В.Козор1за, В.М.Рашкована,

О.Г.Чэбор1на, В.П.Ша&ия результата, отримши ран1®с В.З.Козор1зом при дославши спякост! мапитнмх планетариях конф1гурацш, були ' поширеш на ешздск надгфов1д!итх днзрел магнитного шля та на електричш заряди, що рухэються.

1нтерес до стойких магштних систем зумовлюЕтьея широкими можливостями I х практичного викорисганяя: приладобудування, електромехашка, сгергетика, транспорт. Головною причиною стримування практичного застссування таких техн1чних систем с складность створе ння умов надпрорлдност! (шдгримка низьких температур) для вс^х еломенпв, що входять у систегу. Особливо це стосуеться рухливях об'ектю. Тему вжелжае теореткчяий та практичния !нтерес дпсл1даеыня СПикост! р1Еноваги, стацюнарних та орбтлъних руххв витьнях ткт у системах, ЯК1 складаються з надлр0в1дних дкерел жзпптшго поля та "теплих" магнтв. Так1 системи, як нам в1домо, ще детально не розгядалися.

Як модель надпров1дного даерела мапптного поля в робот! розглядасться тонке недеформован® надпров1дке кольце, а як модель "теплого" магк1ту - магштниа диполь.

Метою робота е:

- розробка математичних моделей динамки електромехарлчяих систем, що складаються 'з двох та трьох ты: надпров1дного кальця та мапитного диполя, двох надпров^дних к1лець та магштного диполя, двох мапатних дшкшв та надпровщюго К1льця;

- досл1даення умов хенування р^вновзги, стад!онарних та орб1тальних рух!В В1льних т1л у таких системах;

- отримання достатках умов ст1йкост! ршювэги, стацюнарних та орйхтальних рух!в;

- створення програмного забезпечення, яке дае монсливхсть визначити облает 1 спякосп у простор! параметр!в мапитнж систем.

Наукова новизна результат!в галягае в тому, що

- вперше знаяден! мехатчн! сита, дшчд у мэпитному пол!, для систем, що складакггься а надпров^дних тз "течг'гх/-'' (з посШйнкм струмом) струмових к^лець, а також чздпро^днкх:

KiJiOKb та мзпптних липол1в;

- одерюэш функцп Лахранжа та розроблеш математачш модел! динамики систем, що складаються з надпров1даих к1лець та мапптних детгсшв;

- доведена можлив»сть CTiüKOCTi стащонарних pyxiB (частинним випадком яких с положения р^вноваги) В1льних Т1л у таких системах, що знаходяться в пол1 сили ваги Пеяш: нерухоме надпров1Дне Ki лыдэ - вхльний мапиткий диполь, перухомиа магштаии диполь - в i льне надпров1дне кигьце, нерухомиа магн1тний диполь - два вьчьних надпровютих к1льця;

- доведена можливють стхйкост1 орбитального руху В1льного магнпиого диполя в двох випадках: перпендикулярности магштного моменту диполя до площини opßi-ra та його розмицення в'шговдпи opöi-ги.

- доведена HecTiüKicTb рхвновага двох: в ¿ль них магштних дапол1в у суперпозицп поля сили ваги та магнитного поля нерухомого яадпров1Дного шльця при будь-яких параметрах шльця. та дишшв.

flocroBipHicTb. Результата тэ висновки дасертаци отримаш за допомогою метод! в математичяого аналхзу, електромеханиси. аналогично! механиси, теорп cTiitKocri та обчислювально! математики. Теоретичн1 результата дасертаци В1ДП0В1дзоть експериментальним даним.

Практична щшпсгь. Практичною щннютыо робота е те, що результата дисертац!I можуть бути використан! при створенш превдзиших прилад!в разного призначення, при розрахунках магнтгкх Шдв1с1в, при розробш мапитних шдшипшшв для р1зного обладнання.

Основн1 результата дасертаци використанi в 1нститут1 к1бернетики HAH Укра1ни та Крежнчуцьксму учбово-наковому центр1 надпров1дних керованих динам!чних систем.

Апробация робота. Результата дасертаци допов!дались та обговорювались на Украхнсышх конференциях "Моделювання та досл1дження cTimcocTi ф1зичних nponeciB", м.Кмв, 1992-1994 роки, на CQMisapi Науково! Ради HAH Украиги з проблеми "Кгбернэтика" "Моделювання i оптюизатя складаих систем" (н.к. чл.-кор. HAH Укра1ни проф. Бублик Б.М., проф. Наконечний О.Г., Кшв, 1994), на

сем!нарах "Керування. ф1зичними процасами" в 1нстш-кКЗврнетики HAH Украхни (н.к. - чл.-кор. HAH Украхни, пр Самоялэнко ЮЛ.)» на семшар! "Teopifl стткосп та застосування" Науковох Рада HAH Украхни з проездами "Ззгал механ!ка" в iHonrryri MexaHira HAH Украхни (н.к. - чл.-кор. Украхни, проф. Мартинюк A.A.), та т.д.

Дуйякацп. OcHOBHi результата дасертацп опублиован роботах С Г - 8] .

Структура та об'сн робота. Дисертащя Mi стать вот чотири роздхли, висновок, список Лтератури з' 73 наяменуваш 7 додатк1в. Обе яг робота складае 168 сторонок, з яких CTopiHQK основного тексту, 21 малюнок, 22 стор1нки додатки

ЗМ1СХ Р0Б01И

Вступ присвячено обгрунтуванню актуальносп досл1да Форкулюеться мета ' робота, розглядаеться наукова нови практична адннють та методика складання математичних мода Дана стисла анотащя роздшв.

У першому роздш знааденх .иехашчн!- сили, Д1Ю* магн1тному пол! для систем, що складаються з надирав 1 дни •теплюг кивэць, а також надщхшдних к^лэць та магш даполхв.

У горшому параграф! доведена Теорема. Дяя консервативно! систеш, що складаеться надпровхдних та 1-п-п» (п>т) "теплих" кк узагатьавт сит визяачавться виразом

*" зг+ 2 Г1зг ' *"1.....р'

да ,чк - узагальнен! координата системи, к » 1,.. М - магн1тна енорпя системи; - струм в 1-му "теп к!льщ» 1 = Ш+-1,..., г»; - пот!к поля через 1-е "п кыьцэ, I = т+1,..., п.

Ця теорема узагальнюе результата, отриман! Д.Уа

Г.Вудсонсм1 для випздк1в, коля вех к1льця або надпровхди, або "теши

На' основ 1 теореми одержат так1 тверждення.

Насл1Док I. Для консервативно! системи надпровхдне к1лъце -магн1тнкй диполь узагальнен! сили знзходяться з виразу

* -ч>

» к = 1.....Р,

да

д ПОТ1К диполя через кичьце: ^ - заморожена

потокозчеплення китьця; - власяа ¡ндуктивШсть кыьця.

НасЛ1_док 2. Для консервативно» системи два надщхшдних

К1льця - мэпитний диполь узагэльиен! сили мають вигляд

■А.

их иг

Г. = I —- + I —- + к 1 2

, К = 1....,р.

де

- потхк диполя через 1-те шльце, » - I, 2 ;

Ч =

)LJJ

к

(*.- * ) ■■ х J д 1 '

струм В 1-му к1лыд1 ,

41

1 = 1, 2, - власяа 1ндуктавн1сть 1-го кишця,

1 = 1, 2; Ц2 взасмна шдуктшшсть к!лець; ^ - заморожена потокозчеплення 1-го юльця, 1 = 1, 2.

Насл1 док 3. Для консервативно! системи надпров1Днэ кхлъда - два магнхтних диполя узагэльяеш сили визначзються виразом

гк = "

* + у - *

д! дг з

3«

, К = 1,

де ф - пот!к 1-го диполя через кыьцэ, 1 » 1, 2; *э -заморожена потокозчеплення кхльця; 1_ээ - власна 1ндукгивн1сть К1льця; V - енергхя взаемодП мапитних диполхв.

У другому параграф! ¡нтегруванням отримашй формул дяя сил знаадеш потенции! енергп систем, що складаються з надщхшдних к^лець та мапитних дитшв.

Насл¡док 4. Для консервативно! системи нэдпровГднэ кольце -

'-Д. Уайт, Г.Вудсон. Электромеханические преобрезовэния энергии. - М.: Энергия, 1963. - 528 с.

а

магштши диполь готенШяна енерпя мае вигляд' («> - * )г

Ч 1

и= :

для консервативно! системи два надиров 1дних мльця магштниа диполь штенщана енерпя визначаеться виразом

и

9,,...Зр р

- 1 д

о, ...,о к=1

а* <м

1

дх 1 |

+ 1112 + с :

для консервативно! системи надпров1дне к!лыде - д магнхтних диполя потенщяна енерпя мае вигляд

и

(* + * - * у

4 3. яг а'

+ V + с :

дз С - будь-яка постлана, а параметри систем визначен1 насл!дках 1-3.

У другому роздш досл1дауеться сПйкють стэщ снарнс руху (частинним випадком якого е положения р^вноваги) вгльнс Т1ла в двох консервативних системах, що знаходятся в пол» сь , ваги Земл!: нерухоме надпрешдае шльцэ - в ¿ль кий магшп диполь та . нерухомий магштнии диполь - вIльне надпрови

К1ЛЫ}Э.

На основ! насл!дку 4 в пвршому параграф! знаадена фушп Лагранжа системи норухоме надпровддне к1льце - в1льний мэгшт! диполь:' .

1

21..

-р1((а+р)г+2г)^2

2 2 2 а +р +2

(а-р)г+г2

Е. - К

ЙШ'созасоз;?

«а-ф)1«2)1"

(а-р)'+2г

Е. + К

Мдг ,

да

т - | М { х2+ 2* ) + ^ А < ¿гсозг/5 + пг ) +

+ ^ С ( + г )2 - к!нетична енорня системи;

К1» К1(к1), Е1=Е1(к1) - повн! елштичш ттеграли

мпг

К. ( *.

4-ар

— ):

р*

X , V, Z

декартов!

координата диполя; ^, р, г - кути Ейлвра-Крилова, що визначають ор1ентац!Ю диполя; а - рэд!ус к^льця; М - маса диполя: д -прискорення сили ваги; А, С - головш цэнтралъш момента 1нерцп диполя: ф - заморожено потокозчеплення. К1льця; т -модуль мэгтптного моменту диполя: 1_ - власна шдуктивнхсть

К!ЛЬЦЯ.

У другому параграф! одержана фупкщя Лагранжа системи норухомий мапцтнт диполь - в^льне надиров!дне кыьце:

L=T-

1

2L

ткгр

2а1 yzY>y

г-*!

1-К

гГ'г п-к!)

- *

pcosacos/?—(Xsi ri|?-Ysinacos/?)

P

- М92,

Y2 = ХгсоsZ(? + уг (cos2a+sin2oistп*f)) + Z* (sin2a+cos2asin2f?) + + 2XYsin«sirV?cos/? + 2zcoso^osf?{xsiry?-Ysiric<cosf}) ; K* = -- ; p2 = XZ+Y2 : DC = K,(K,), E = E,<K,) -

Рг+а2+гг+2аУ - - - - ^

повн1 0л!птичн! !нтеграли модуля к2: х, v, z - декартов! координата центра мае кдльця; ft, г - кути Ейлара-Крилова, що визначаюггь opieHTaui» кыьця; М - маса к!льця; Шнетична енерпя Т та параметри a, g, m, ^ , L , А, с визначен1 у першому параграф!.

У третьому параграф! отриман! р!вняння руху виьного кдльця та Biльного даполя у форм! Лагранжа II роду. Використання функцп Рауса дозволило виклкиети цшиНчну координату та записати приведен! рхвняння руху.

Показано, що р!вняняям руху задовольняе частаняия розв'язок ■.

X = О, Y = О, 2 = z0 " О, а = О, ft - О, г - <aot,. X О , Y-0,-2-0,a = 0,/i-0,P = 4>o, (I)

< ш - const ), котрому в!дпов1дае стащонарния рух ( власне

- X fYZ

обертання вольного пла навколо прямо!, на якт лежать вюь К1льця та магн!тний момент диполя I вздовж яхо! направлена сила ваги).

Умовою ютування розв'язку (I) е рхвнють

-бггтаг_

2тпа

<а203

+ МЗ

Ф1зични2 змкгг ще! умови полягае в тому, що сила пригягання к!льця та диполя зрхвяоважуеться силою пригягання в1льного тхла до Земль

У четвертому параграфа одержан! достатн! умови стхикостх розв'язку (I), як умови знаковизначенностг хнгегралу енергп р!внянь збуреного ругу приведено! системи. Щ умови для система нврухоио надпров1дне шльцэ - в1льний мзгштний диполь та системи нерухомий магн1тниа диполь - в1льне надпров1дае, кольце мають вигляд

яг*

> о

> о

причому ПОХ1ДН1

a2\J° • «*

«v»

> О

УЧГ ас»

ар*

Кор

1 ■' > А»*

avía

р13Н1 ДЛЯ

ар* да*

о" означае. що noxiflHi коли 'Координата

ажар ¡>а

розглянутих вида систем. Символ ■ потеши ано1 е нерп г обчисдэнх у положена!, В1льного Т1ла приямаоть значения (I).

Аналогично доведено, що для обох систем умови !снування стацюнарного руху та достатш умови (гпйкост! можуть виконуватись разом. Виявлено, що область спчйкост! стацюнарного руху в! льного к1льця в систем! нерухомий магштний диполь -в!льне надпров!днэ к1льце е шдобласпо облает! стхйкост! стацюнарного руху в!льного диполя в систем! нерухоме надпров!дне к!льце - в!льния магштний диполь. Стишсть у систем! нерухоме надаровхдае мльце - вхлыши магштний диполь ноже досягатися на б!лып близьких в!дстанях диполя до К1льця, н1ж у випадку 1ншо1 системи. Чисельним розв'язком знаядеи! областх спякост! систем у простор! безрозм!рних параметр!в х = 2о/а,

9

У

ши = '^а/т, проводиться IX пор^внянця та мал. Г

зображена область ст1икост1 стационарного руху системи керухоме надпровхдив кыьце - вьчьний магштнии диполь, на мал. 2 -область стхякост! стащонарного руху шшо! системи.

Май. I

У третьому розди! розв'язуггься задача про стхйкгсть -|рб1тального руху В1льного магнитного диполя в магнитному пол1 • :адпров1дного ¡альця в двох випздках: перпендикуляряост! штатного моменту диполя до площини орбита та його розмщення в лощил орб1ти.

На основ1 нэсл1дау 4 в першому параграф! знаадена фунгаия агранжа системи надпров!дне к!льце (шльце обертаеться нззколо

Biel, яка леяапъ у шющин1 кЫьця тз праходогь через його центр) - в!льния мзттниа диполь:

М А С

L « 5 ( р2+ р1аг+ z2) + - ( y2sin2e + ег) + - < ¿cose + ¿> )2 + с с с

* -2 1 + —- К + -

г 2L.

та si.nösin(v/—* )к Е

так

2(aY)3'2(1-«2) 2(aY)3'zY

2-к 2К - — Е

1-кг

да

4-aY

xjp2sl пвсоа (v~a)sln (*-o)+p2eosecosCa-* )-z2sln0si n (y-t )J "" ^

; Y2 - Z* + p2sin2<*-a>; p, a, 2 - цгшндричн1 рг+а2+2г+НаУ

координата центра мае К1льця; в,, v, *> - куги Ейлера, ¡до визначають opiEHTamro диполя; * - кутова швидкють обертання К1льця; А2 - головний-цзнтралышй момент 1нерц1х ¡альця; а, М, А, С, tn, L , К - К<к), Е • Е<к) - визначен! у пвршому параграф! другого розд!лу.

у другому параграф! одержан! р1вняння руху в!льного магнитного диполя в мапитному пол1 нерухомого надпров1даого к!льця. При цьому як узагальнен! координата вийрэт щшндричя! координата та кути Ейлера. За допомогою 1нтеграл1в руху скорочена KiJbKiCTb' ЗМ1ННИХ. Показано, що р1вняння руху допускають наступниа частиннии розв'язок

Р * Рс, 2 « Q, © - п. а » «ot, V " "jt, 9 - "jt, р » О, ¿»O.e-O.oi-Wj.V-MjiP-Wj, (2)

<оо, - const), котрому в!дпов!дае орб!тальниа рух диполя е

шющин1 к!льця 1, одаочасно, власне обертання навколо bici, яке перпендикулярна до плошцни к1льця. Умовою юнування розв'язку <2; е р1вн1сть

2пт

Ц»Ро<а + Ро>

а +• Р0

Е„ - К

<а -Р„)г

2ш

ОС

а - Р„ а + ре

+ ф

- "оМро •

де К = К (к ), Е = Е (к ) - повн! елтгичн! !нтеграли модуля

4-ар.,

( =

)

<Ро+а>

Достала умови cTiaKocTi орбитального руху по вхдаошенню до 3Miнких р, 2, в, р, 2, э отримаШ на основi використання иггеграла енерги р1внянь збуреного руху приведено! системи як функцп Ляпунова. Умови мзють виг ляд

оги° , <32и°

- + Зи*М > О ,

орг °

&Z2

> о

- (О СК + А->. - 2Au и

>

пве

да Ск - const - першия ¡нтеграл руху.

Аналогично показано, ¡до орсЛтэльния рух диполя може бути спиким тхльки для opdiT поза кыьцем. Чйсельним розв'язком системи трэнсцендентяих неровностей, якх м!стять повш ejiirnrasi ¡нтеграли та ix модуль, знаидена область cri акает i систем у npocTopi безрозмхряих параметров х = Р0/а, л.о = т/Ч«; а). Область cTiHKocTi зображена на мал. 3.

В третьому параграф! одержан! р1Еняккя руху выьного MantiTHoro диполя в мапатноку пол1 кадпров!дного к1льця, що обертаеться. За допомогога !нтеграл1в руху схороченэ KUbKi сть зм!нних. Показано, що якщо виконан1 умови

и

2nma

6ima p

N Mp

[mPo + a +

К = 0

(n - const - пврший iHTerpaji pyxy), то р1вняння допускаклъ наступниа частанний розв'зок

Р ,2 = 0,9=—, а го * 2'

« t, v

"а1 + 2' р = '

Р = О, 2 = 0,9=0, « » « = <оо, V - <->0, i> = О, (3)

(<оо,. f>0 - CONST). Розв'язку (3) В1ДП0В1ДаЕ орбхтальнкя рух диполя з швидкютю обертання, що piBHa швьщкост! обертання К1льця. Умова К = 0 означае, що твида сть власного обертання диполя дор1внюе нулю.

Достатн! умови ctiukoct! орбитального руху отриман! за допомогою ощвки матриц! других тшдаих розкладу !нтеграла загально! енерги р1внянь збуреного руху приведено! системи в ряд Тейлора по збуренням координат та швидкостей

*р2

N М

<Mp* + А + A )z

4Мр*

Hp 2 + А + А

- 1

> О

£U4 az2

av'

> О,

> О

¿z

aU

n2A

(Mp * + A + A )

a'U'

azae

диву)

Анал!тачно доведено, що умови iснувашя орб!тального руху та достзтн! умови'crifiKocTi можуть виконуватись разом при деяких значениях параметр!в, тобто .орб1тальний рух бального мапитного диполя може бута спяким.. Чисельним розв'язком знаиден! облает! CTiiKQCTi в npocropi бвзрозм!рних параметр! в х = pQ/a, >-0 = тЛч^а) при ф1ксованому значенш третього параметра а = муи, да Mt - ыаса К1.тьця. Облаетi. cTifficocTi зображен! на мал. 4.

У. четвертому рйздш розв'язуеться задача про стишсть даох в! ль них магнхтних пл у сутрпозицп поля сили ваги та мзгн1тного поля нерухомого мапитного пла.

ио зо

А<м. ч

На основ1 насл^дку 4 в першему параграф знавдена функщя Лагранжа системи нерухомий мзгн1тнил диполь - даа в!льних надпров^дакх клльця,. у другому -параграф! - функгця Лагранжа системи нерухоме ■ нздпровхдне к1льцэ - два В1лымх магнтшх диполя. *

У третьому параграф! отриман! р!вняння руху двох в! льни* надпров!дних к1лець у мапитному полх нерухомого магштного диполя у форм! Лзгрзн-кз ■ II роду. Використання фуянцп Рауса ДОЗВОЛИЛО ВИКЛЮЧИТИ ЦИКЛ1ЧН1 координата.

Показано, що р!внянням руху задовольняс частинния розв'язок

О, О, 21= 21о-0, «.»-О, /\- О, >-1- мхг.

X,- О,

о,

о, ,. i

1,2,

(4)

, - const), котрому BiOTOBiflae стацюнзрниа.'pyx (власне обертання в1льних надпров!дни2 к!лець навколо прямо!, на mia лежать Bici К1лвць- та мапитниа момент диполя i вздовж яко! направлена сила ваги). Умови юнування частишюго розв'язку (4) мають вигляд:

- Г

- I"

0*° д» -1°Л 12

да -о: 12

+ М.д

Мгд

да ,М1- маса i-го к!льця i

2; I,

gi ■

L13- визначен! в

насллдау 2.

Одержан! достатш умови стшкост! стацоонарних рух!в. Вони являють собою систему десяти трансцендентних неровностей, як1 мостять повш ел1гггитш1 лнтеграли та IX модуль. Чисельним розв'язком знааденл областо спякост! у простор! параметр!в ?1 та 2г при ф!ксованих значениях параметров а1, 1_и , ^, 1= 1, 2, дэ - рад!уси к!лвць. 1 = 1, 2; - власн!

* а.

ондукгивност! шлець, 1 = 1, 2; = —— - безрозм!рно

параметри, як1 харакгеризують в!дношення замороженого лотокозчешення 1-го к1льця ^ до модуля магн!тного моменту диполя т. I = 1, 2; - водстань вод магнотного диполя

до першого (другого) к!льця. Приклада областей стойкосто зобран©н1 на мал. 5, мал. 6. На мал. 5 зображеШ областл спйхосп, якщо параметри систеии приймаюггь так! значения: а» " 1» ах " 1'5» = 0,027, - 0,089; на мал. 6 - областо сликост, якщо параметри сйстеми приакають значения: а4 =10, аг - 50, м4 - 0,002, иг .« 0,198. Даеться пояснения впливу параиетр!в системи на облает Л стШсосто.

Я>л .5"

-ЦР -130 -140 -1Ь0 -по

НО

У четвертому траграф! отркм-Ш р1вняння руху цвох В1лышх мапитних дшюл1В у мзхтптнаму гош нерухемого надпров!дного китьця. Зпзядонх умови юнування р1Вноваги дшкшв, якщо мзпптн! момента дапол1в ¡г^и т2 дожать на б1<?1 шлыдя, вдобж яко! направлена «ига ваги. Вони маотъ виг ляд:

-бпш» а 21с

2шп4 а

2птга

6т1тг +--

о — 2г|3)

-6"т,а г.

Ц3(а*+ 2га)

6т» т2

+ М4д = О

2пт, а2"

(а1^ 22 о + М 9 = о,

(а + гиг

2ят2а

(а f 2го)

(2! о - 2го)*

де т1- модуль мчгн!теого момента 1-го диполя, 1= I, .2: маса 1-го диполя, 1 = 1, 2: параметри а, д, Ц , визначен1 в

. насл1дку 3.

Отриман! достатнх умови ст1йкост1 р^вноваги мапитнго дагашв. Анал1тично показано, що доста-гш умови стчйкосп н« виконуються разом Н1 при яких значениях параметров кьтьця т; дишл!в. На основ! теореми Ляпунова про нестчйкють робитьа висновок про нест1йк1сть р1вноваги дигкшв у суперпозищ" мэгштного поля нерухомого надпров!дного к1льця та поля сшо ваги.

висновки

У дисертацп вперше поставлена та розв'язана 'задача пр стчакють р1вноваги та руху В1льних тьч у системах з мапптно взаемод!сю надпров1дних кыець та мага1тних дипол1в. У ход! I розв'язку одержан! наступи! результата:

1. Розв'язана задача про знаходаення механ!чних сил д!ючих у магн1тному пол!, для систем, що складакггься яадпровхдних та "теплит- к!лзць, а також надпров!дних к!лэць т магнхтних дигкшв.

2. Отриман!'функцп Лагранжа та розроблен! математичи модел1 данамиси систем, що складаються з надпров!дних к!лець т МаГН!тних ДИГКШВ.

3. Знаядэн1 умови !снування, достатн! умови стшкост! т облает ст!2кост1 стацюнарних рух1в (частинним випадком яких положения р1вноваги) Вильнюс тхл у наступних системах, с знаходяться в пеш сиди ваги Земл!: нерухоме надпров!дне Шлы - в!льний магнхтний диполь, нерухомий магн!тнш диполь - в1лы надпров!дна кольце, нерухомия мапатат. диполь - два в1льш надпров1дних гс!льця.

. 4. Аналтгаю доведена спяшсть стацюнарного ру: одного в1льного Т1ла в систем!, що складаеться з надпров!дао: кхльця та. магнхтного диполя. Показано, що область стткос стацюнарного руху надпров1даого к!льця в систем! нерухом магя!тния диполь - в1льне надпровхдае кхльце е п!доблас облает! слякост! стацюнарного руху в!льного магнитного диполя систем! нерухоме надпровше к!льце - вишниа магштний диполь

5. Знайденх умови Юнування, достатн! умови спйкост! облает! сшгкосп орб!тального руху в1льного магн!тного диполя магн!тному пол! надпров!даого К1льця в двох випадкг даршвдикулярност! магнитного моменту диполя до шющини орб!

та гого розмицеяня в площиш орб!ти.

, 6. Розробления шкет прогрэм, якиа дозволяе обчислювати облает! cTiBKocTi названих систем.

7. Знайдеш умови ¡снування рлвновэги двох В1льних магштних дишшв у суперпозицИ поля сили ваги та мапитного шля нерухамого яадпроводного к1льця. Анал!тично доведена HecTiZKicrb piBHOBani дипайв при будь-яких параметрах кхльця та дополлв.

У додатках до дисертацп приведен! текста програм для знаховдення областей слякосП розглянутах у poöoTi систем, а також документи, що тдгверждугать впровадаення результата.

0сновн1 результата дисертацп опубл!кованi в роботах:

1. Терепшна Т.Е. Параметрическая стабилизация, орбитального, движения свободного магнитного диполя // Автоматика, - 1991.

- N8. - С. 75-78.

2. Терешина Т.Б. Второй метод Ляпунова в задаче устойчивости планетарных конфигурации с магнитным взаимодействием.// Тез. докл. Украинской конф. по моделированию и устойчивости процессов.- Киев: Общ. «Знание» Украины, 1992. - Ч. 2.- С.48.

3. Козорез В.В:, Терешина Т.Б. О-зависимости устойчивости от числа идеально электропроводящих токовых колец. - Киев, 1993.

- 23 е.- (Ирепр./АН Украины. Ин-т кибернетики им. В.И. Гдушкова; 93-4).

4. Терешина Г.Б., Терешин В.Ю. Об устойчивости орбитального движения в системе с магнитным взаимодействием.// Тез. докл. Украинской конф. по моделированию и устойчивости процессов. Киев: Общ. «Знание» Украины, 1993. - Ч. 2.- С. 45.

5. Козорез В.В., Терепшна Т.Б. Устойчивость систем с магнитным взаимодействием. -.Киев, 1993. - 32 е.- (Препр./АН Украины. Ин-т кибернетики им. B.W. Глушкова: 93-33).

6. Терепшна Т.Б.- Об устойчивости стационарного движения свободного тела в системе с магнитным взаимодвйст_. // Тез. докл. Украинской конф. по моделированию и устойчивости процессов.- Киев: Общ. «Знание» Украины, 1994. - С. 130.

раамнодано ГЩ ¿шлоыха^ярадны ццй