автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Устойчивость и управление манипуляционными роботами

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

/ /' < о

> -л.-- * ••• '

На правах рукописи

ФРЕЙДОВИЧ Леонид Борисович

УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ МАНИПУЛЯЦИОННЫМИ РОБОТАМИ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Первозванский А. А.

Санкт-Петербург 1999 г.

/

Данная диссертация1 представляется на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук и является результатом исследований, выполненных под руководством доктора технических наук, профессора кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета Анатолия Аркадьевича Первозвалского. В процессе выполнения работы, автор постоянно и активно сотрудничал, также, с кандидатом физико - математических наук Ильёй Владимировичем Бурковым и доктором технических наук Сергеем Фёдоровичем Бурдаковым.

Анатолий Аркадьевич - мой учитель теории*автоматического управления, Илья Владимирович - применений математической теории устойчивости движения, Сергей Фёдорович - робототехники.

Указанные три направления полностью определили область моих научных интересов при выполнении данной работы, тем не менее, огромное влияние на меня оказали и другие мои учителя, в частности, профессор Борис Александрович Смольников, доцент Александр Николаевич Васильев, а также коллектив кафедры "Механика и процессы управления" СПбГТУ.

Пользуясь случаем, я хотел бы выразить огромную благодарность моим учителям.

Отмечу, также, что исследования были частично поддержаны грантами Фонда Сороса и Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

1эта страница не вошла в официальную версию работы

Содержание

1 Введение 5

1.1 Актуальность темы...................................5

1.2 Цель и задачи исследования..................................6

1.3 Методы исследования..........................................7

1.4 Построение математических моделей роботов..............9

1.5 Обзор литературы с комментариями..................17

1.5.1 Задача слежения........................................18

1.5.2 Задача позиционирования..............................22

1.5.3 Применение метода малого параметра..............35

1.6 О структуре данной работы..................................41

2 Стабилизация положения упругого робота ПД-регулято-ром с использованием разных датчиков 42

2.1 Теоретические результаты о стабилизации робота посредством ПД-регулятора.................................44

2.2 Обучение управления компенсации силы тяжести..........51

2.3 Результаты численного эксперимента........................53

3 Стабилизация положения робота с упругими сочленениями при ограничениях на управление с измерением и без измерения скоростей 56

3.1 Постановка задачи................................57

3.2 Асимптотическая стабилизация звеньев робота при доступности измерению обобщенных скоростей роторов двигателей ............................. 61

3.3 Асимптотическая стабилизация при недоступных измерению обобщенных скоростях................ 71

3.4 Замечания ........................... 77

4 Робастное позиционирование манипулятора с использованием слабой интегральной обратной связи 80

4.1 Асимптотическая устойчивость в целом сингулярно возмущенных систем..............................................81

4.2 Стабилизация жесткого робота ..............................83

4.3 Стабилизация податливого робота............................86

4.4 Результаты численного эксперимента........................90

4.5 Заключение к главе 4......................91

5 Некоторые оценки областей устойчивости при конечных

коэффициентах усиления ПИД - регулятора 93

5.1 Постановка задачи....................... 94

5.2 Анализ устойчивости для задачи позиционирования ... 97

5.3 Область экспоненциальной устойчивости для системы с ПИД - регулятором...................... 99

5.4 Некоторые вариации ПИД - регуляторов и небольшие добавления к предыдущим главам...............103

5.5 Задача слежения за медленным движением вдоль заданной траектории.........................105

6 Робастная стабилизация робота-манипулятора с податливыми сочленениями сильной обратной связью 108

6.1 Постановка задачи.......................108

6.2 О линейных законах управления...............110

6.3 Исследование устойчивости замкнутой системы......111

6.4 Сравнение передаточных функций..............115

7 Об астатизме нелинейных систем управления 117

7.1 Предварительные замечания.................117

7.2 Астатизм и реакция на возмущения .................118

7.3 Астатизм в автономных следящих системах........123

7.4 Интегральная обратная связь и астатизм..........126

7.5 Обеспечение астатизма управляемых Лагранжевых систем 128

8 Дополнительные пояснения численных экспериментов 132

8.1 О выборе методов численного интегрирования.......133

8.2 Описание тестового примера.................135

9 Заключение, основные выводы и результаты работы 143 Библиография 146

Глава 1

Введение

1.1 Актуальность темы

Кажется, весь технический прогресс имеет единственную цель — человек пытается окружить себя управляемыми механизмами, способными выполнять множество сложных и простых задач. Чтобы продвигаться к этой цели нужно проектировать множество управляемых систем и уметь их анализировать. Данная работа посвящена, в основном, анализу некоторых простых на вид и очень естественных способов управления некоторыми электро-механическими системами с обратными связями.

Перед проектировщиком системы управления механическим объектом, таким как например манипуляционный робот [2, 71, 76], неизбежно встает множество проблем. Одной из важнейшая является выбор регулятора, соответствующего поставленной технической задаче. Иногда, когда манипуляция, которую нужно выполнить предельно проста и требования к качеству ее выполнения не велики, можно ограничиться линейной постановкой. Тогда применимо огромное множество методов общей теории автоматического управления [23], разработанных для линейных систем [23, главы 2,3,6,9]. Тем не менее, для множества технических задач такого исследования недостаточно и требуется провести хотя бы качественный анализ поведения замкнутой выбранным регулятором

системы с учетом нелинейностей. В результате возникает проблем исследования системы нелинейных дифференциальных уравнений. И: вестные общие методы такого исследования [81], [23, главы 5 и 8], [54 [58] сложны, и порой столь общи, что не способны учесть особеннс стей данной конкретной системы. В силу этого (и не только) в теори управления роботами в настоящее время возник огромный разрыв меж ду практиками и математически ориентированными исследователям! работающими в данной области.

В частности, оказалось, что столь популярные в промышленности элементарные для реализации линейные или "псевдо-линейные" закон] управления, которым посвящено огромное множесво работ, до сих по не исследованы досконально. Предлагается множество новых, порой до рогостоящих регуляторов, но что же можно сделать с этими простым; - совершенно не ясно. Прояснить ситуацию до конца, разумеется, вря, ли удастся когда-либо, но работать в этом направлении совершенна необходимо, чему данная работа и посвящена.

1.2 Цель и задачи исследования

Цель диссертационной работы — исследование качественного поведе ния решений некоторых нелинейных систем дифференциальных урав нений, описывающих, с той или иной степенью подробности, динамик; многозвенного пространственного манипулятора под воздействием раз личных систем управления с обратными связями по сигналам с устало вленных на роботе датчиков.

Основное внимание уделено исследованию, так называемым, жест кой модели робота (представляющей собой, на самом деле, общую Ла гранжеву систему с прямым управлением) и двум популярным моделям манипуляторов с податливыми сочленениями.

Задачей исследования является установление условий на параметры законов управления указанными моделями, гарантирующих отработку роботом задания, а точнее условий асимптотической (а лучше экспоненциальной) устойчивости.

При этом, особое внимание уделено исследованию регуляторов с пропорционально - интегрально - дифференциальными (ПИД) обратными связями "по выходу", а также их модификаций путём добавления "динамических" обратных связей (то есть связей по выходу численно решаемой on-line системы некоторых линейных дифференциальных уравнений) или с учётом эффектов связанных с насыщением в характеристиках используемых для реализации усилителей.

1.3 Методы исследования

Наиболее разработанные способы аналитического исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений связаны с теорией устойчивости. Два подхода этой теории: непрямой и прямой методы Ляпунова развиваются множеством авторов с 90-ых годов прошлого века. Строгое изложение идей первого метода можно найти в работе [22]. Второй метод состоит в использовании вспомогательной функции. Математически строгий обзор результатов его развития к 70-ым годам текущего столетия можно найти в работе [27], смотри также замечательные и до сих пор очень популярные книги [51, 84]. Теория устойчивости движения тесно связана со многими направлениями математики. Взгляд на устойчивость с позиций общего функционального анализа можно найти в [18]. Использование при исследовании устойчивости методов малого параметра см. в работах [20,19, 52, 53], о которых далее будет рассказано подробнее, а также в курсах [23, стр. 377-381], [81, pp. 194-195] и [16].

Как указывалось ранее, для использования второго метода Ляпунова необходимо построить специальную вспомогательную функцию. Отсутствие общего строгого математического алгоритма построения такой функции является серьезным недостатком метода. Зато если эта функция найдена, то она позволяет не только сделать вывод о том, устойчива система или нет "в малом", но и исследовать области притяжения, а иногда даже оценить качество этого притяжения.

Построение функции Ляпунова немного упрощается при рассмотрении автономных систем, то есть систем дифференциальных уравнений с отсутствием явной зависимости от времени. Прекрасный обзор способов синтеза вспомогательных функций для нелинейных автономных систем можно найти в [1, стр. 64-84], где описан, в частности, наиболее механически понятный - энергетический метод, заключающийся в использовании полной механической энергии. Тесно связана с этим методом идея А. И. Лурье о включении в функцию Ляпунова интеграла от нелинейности. Эта идея постоянно используется в работах современных исследователей. Возможно использование для построения вспомогательной функции и других, известных в механике интегралов движения (см., например, [27], где, кстати, приведено множество конкретных механических и физических примеров). Для анализа устойчивости автономных систем оказывается полезной теорема Барбашина - Красов-ского об асимптотической устойчивости "в целом" (см., например, [27, стр. 48-51] или [1, стр. 21]), которая является частным случаем использования общего принципа Ла-Салля о полуинвариантности предельных множеств решений автономных систем дифференциальных уравнений [27, стр. 189-190]. Отметим, что использование энергетического метода в совокупности с теоремой Барбашина - Красовского позволяет доказать теорему Сальвадори об асимптотической устойчивости лагранже-

и И и и

вой системы с хорошей потенциальной энергией при наличии полной диссипации [27, стр. 97-98]. Идеи диссипативности тесно связаны с определением вход-выход устойчивости [81, стр.233], которое в более поздних работах западных авторов преобразилось в понятие пассивности дифференциальных операторов, успешно используемое для построения подходящих функций Ляпунова.

В заключение обзора применяемых далее методов исследования хотелось бы ещё раз отметить, что данная работа посвящена анализу устойчивости конкретных систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику электро-механических манипуляционных роботов, находящихся под контролем различных по структуре систем управления; в работе предложено также несколько новых законов управления.

1.4 Построение математических моделей роботов

Далее выводятся уравнения, описывающие динамику рассматриваемых в диссертации механических систем. Предполагается, что читатель знаком с основами построения уравнений Лагранжа 2-ого рода, которые описаны в любой книге (учебнике) по механике (см. например, [21, 49]). Хорошее сжатое описание свойств рассматриваемых моделей приведено, также, в близкой по тематике к данной диссертации работе [61].

Манипуляционным роботам, как хорошо известно, присущи достаточно сложные динамические свойства. Поэтому проектирование системы управления ими на основе слишком подробной математической модели может натолкнуться на серьезные трудности. В то же время игнорирование важнейших свойств робота может привести к ошибкам в оценке возможностей эффективного управления им. Поэтому для разных задач приходится использовать разные модели.

Начнем с описания допущений, которые делаются при построении

первых двух моделей. Рассматривается робот, состоящий из п + 1 последовательно соединенных звеньев, на каждом звене, кроме последнего, установлен привод, ротор которого через редуктор связан со следующим звеном. Описание такой системы, как совокупности абсолютно твердых тел приводит к системе п дифференциальных уравнений динамики второго порядка, на которой мы остановимся в дальнейшем. Такое описание называется жесткой моделью робота и обладает тем серьезным недостатком, что принципиально не отражает возможность возникновения в системе упругих колебаний. Такие колебания часто встречаются в работе реально существующих роботов и, часто, особенно при необходимости достаточно точной или быстрой установки робота в заданное положение, не могут быть проигнорированы. Податливость элементов конструкции робота может быть обусловлена разными факторами. Она бывает связанной с наличием упругой соединительной муфты между ротором двигателя и входным валом редуктора, или с нежесткостью часто применяемых в робототехнике планетарных редукторов, или со скручиванием валов, или с упругостью самих звеньев манипулятора. Отдельный учет всех этих и многих других факторов, до определенной степени, возможен, но приводит к громоздким моделям со многими степенями свободы, с трудом поддающимся аналитическому исследованию. Для первичного проектирования системы управления необходима более простая, отражающая упругие свойства объекта, модель. "Сосредоточим" всю имеющуюся податливость робота в "упругих шарнирах". Тогда геометрическое положение робота - манипулятора может быть описано 2п обобщенными координатами (вдвое большим, чем для жесткой модели робота), а именно, дх = [д^,..., д1„]т - углы, определяющие положение звеньев манипулятора и в = [#!,..., вп)т - угловые положения роторов. Если тг- - передаточное отношение 1-ого редуктора,

TO q2 =

rrii

1

m.

- угловые положения выходных валов редукторов. Для простоты смоделируем упругость в ьом "шарнирном" сочленении через пружинку с линейной жесткостной характеристикой кг. Определим матрицу упругости К =6.1^ {кг}™=1. Тогда потенциальная энергия пружин может быть представлена в виде

Ui = -(qi - q2)TK(qi - q2)

(1.1)

Следуя [73, 79] допустим далее, что ротора двигателей симметричны относительно собственных осей вращения, тогда потенциальная энергия гравитационных сил не зависит от их угловых положений

U2 = U2{qi)

(1.2)

Моменты сил тяжести (точнее, противоположные им по знаку величины) могут быть выражены по формуле

g{qi) =

dU2 dqi

dU2

dU2

(1.3)

дяи ' " '' дqln

В силу того, что компоненты д{х) являются линейными комбинациями тригонометрических и линейных функций, всегда существует а > О такое, что

Ы*) - д(у)\\ < Ф - y\l \fx,ye R"

\fq1 е Rn

(1.4)

dqi

Где ||ж|| - норма вектора х , например

^Ц2 — И2Х! или ||сс|| = max | ж*

г=1 г=1 ,п

Норма матрицы предполагается согласованной с нормой вектора, то

есть ||А|| = sup ||Ас||, тогда соответственно IMI=i

п

\\А\\2 = max Spectr(ArA) или ||А|| = max^Z I <Hj I

¿=1,71 j—I

Сделанное ранее предположение о симметрии роторов приводит к тому, что скорость центра масс каждого ротора не зависит от углового положения роторов 9. Тогда кинетическая энергия ього ротора двигателя (в главных осях) принимает вид

Тгг = \мгУгтУг + ^гг/А (1.5)

где Мг-,/г- - масса и тензор инерции ього ротора двигателя соответственно, Ц,- скорость его центра масс, являющаяся функцией лишь , ..., #1. и их производных. Если при расчете тензора инерции звена, на котором расположен двигатель, использовать в качестве полюса центр масс ротора и присоединить М{ к массе звена, то первый член в (1.5) войдет в кинетическую энергию звеньев и будет учтен в формуле

ъ =

где ^(91) - матрица инерции робота с учетом указанного выбора полюсов; - вектор угловой скорости ього ротора относительно главных осей. Он, согласно [79], может быть вычислен по рекуррентным формулам

Пг = РЦй^г + еА] (1.6)

&г = Р!(ди)[й^ 1 + ё^] (1.7)

где - вектор угловой скорости г-ого зве