автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Управляемая математическая модель туристического комплекса

на правах рукописи

Юханова Мария Владимировна

УПРАВЛЯЕМАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТУРИСТИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК- 2007

□030ВБ57'0

003066570

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного университета имени С А Есенина

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Кузнецов Евгений Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Павлов Андрей Юрьевич

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "17" октября 2007 г в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета КМ 212 117 07 при Мордовском государственном университете им НП Огарева по адресу 430000, 1 Саранск, ул Большевистская, 68, корп 1,ауд. 225

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета им Н П Огарева

Автореферат разослан "13" сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук

Л.А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию математических моделей, которые описываются нелинейными системами дифференциальных уравнений с управляющим параметром Задачей исследования является определение условий, при которых рассматриваемые математические модели являются локально управляемыми

В последние десятилетия все сильнее ощущается потребность более детального изучения разнообразных процессов и явлений, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, а прогресс в области вычислительной техники открывает принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов

Особый интерес и актуальность представляет проблема разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений Не ослабевает интерес и к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости Примером такого типа задач могут служить, задача организации рекламной деятельности туристической фирмы, задача управления двигателем постоянного тока, задача управления системой «тележка - маятник».

Значительный вклад в развитие математической теории управления внесли Калман Р Е , Понтрягин Л С . Болтянский В Г , Красовский Н Н, Зубов В И, Ли Э Б , Маркус Л , Алексеев В М, Тихомиров В М На создание математических основ решения задачи об управляемости систем существенное влияние оказали работы Арутюнова А.В, Воскресенского Е В, Мастеркова Ю В , Тонкова Е Л и многих других математиков

Обилие приложений способствовало увеличению интереса к теории управления процессами. Несмотря на то, что изучению задачи управления посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы вызывают необходимость поиска новых методов решения задач управления Так, наименее изученной остается задача управления для нелинейных систем Следовательно, задача поиска условий, при которых математические модели, описываемые нелинейными системами дифференциальных уравнений, могут быть переведены в заранее заданное состояние, является актуальной

Цель работы состоит в определении условий локальной управляемости математических моделей, описываемых нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

х = /(*,х,и), (0 1)

где f{t,x,и)~п - мерная вектор - функция, х е Я" - фазовая переменная, и е й™ -управление, т<п

Методика исследования Допустимые управления отыскиваются в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной Поставленная задача сводится к поиску условий существования решения нелинейного операторного уравнения относительно постоянного вектора. Доказательство теорем об условиях существования управлений, удовлетворяющих задаче локальной управляемости системы (0 1), проводится методом неподвижной точки нелинейного оператора

Научная новизна. Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений самого общего вида В формулировках теорем, определяющих достаточные условия локальной управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения В диссертации получены новые достаточные условия локальной управляемости математических моделей, допустимые управления - измеримые функции, предложены алгоритмы исследования задачи локальной управляемости для системы (0 1) в 1фитических случаях

Практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений Доказанные теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме

На защиту выносятся следующие положения:

1 Достаточные условия локальной управляемости системы (0 1), установленные без использования фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной системы, допустимые управления - измеримые функции

2 Достаточные условия локальной управляемости системы (0 1), полученные с помощью фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной системы, допустимые управления - измеримые функции

3 Алгоритм исследования задачи локальной управляемости системы (0 1) в критических случаях, с привлечением свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0 1)

, Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете имени С А, Есенина, а также на следующих конференциях

1 IV Молодежная научная школа - конференция "Лобачевские чтения -2005" (г Казань, декабрь 2005 года),

2 XIII Международная конференция "Математика Компьютер Образование" (г Дубна, январь 2006 года),

3 XI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанском государственном радиотехническом университете (апрель 2006 года),

4 Научная конференция "Герценовские чтения - 2006" (г Санкт-Петербург, апрель, 2006 года),

5 VII Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, май 2006 года),

6 Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям в Рязанском государственном университете (октябрь 2006 года),

7 Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г Тула, ноябрь 2006 года),

8. Семинар Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е В Воскресенский (г Саранск, март 2007 года),

9 Третья Международная научная школа « Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ »(г Саранск, июль 2007 года)

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в тринадцати работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложений и библиографического списка литературы, включающего 121 наименование Общий объем диссертации-120 страниц машинописного текста

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы

В главе 1 рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений, правая часть которой удовлетворяет условиям Каратеодори

§ 1 содержит постановку задачи и теорему о существовании неподвижной точки нелинейного оператора, на основании которой далее строится вся теория локальной управляемости

Рассматривается система дифференциальных уравнений

x = f{t,x,u), (1 1 1)

при следующих предположениях xeR",ueRm - управление, т<п , tе[0,г], f(t,x,u) - п - мерная вектор - функция, удовлетворяющая условиям Каратеодори, /(i,0,0) = 0 при любом t е [о,Г]

Введем следующие обозначения.

\у\ = тах{Ы}, где у е R",Rs - s - мерное векторное пространство, |В(,)|| = sup ]]5(i)|l |S|| = supjBz\,B - матрица,

is[0 Г] ' |z|<l

jg( )|l = sup lg(f)|, g(t) - вектор - функция, определенная на [0,г],

H(S0) = {(t,x,u) t е [О,Т\х е R",u е Лм,|х| < S0,\u\ < ¿Д Ht(S0) = {(i,x) t e [0,т\х е R",\x\< <S0}, H2(S0) = {(/,x,c) t e [0,Г],д: e R",c e < ¿0,|c| < S0\ W(S0) = {«6 R" \a\ < S0}, S0 - некоторое положительное число В качестве допустимых управлений рассматриваются измеримые на сегменте [О, Г] вектор - функции u(t), удовлетворяющие условию ¡м()|<^0 Множество всех допустимых управлений обозначим U(d0).

Под решением системы (111) будем понимать абсолютно непрерывную вектор — функцию, определенную на сегменте [0,Г] и почти везде на этом сегменте удовлетворяющую уравнению (1 1 1)

Символом x(t,a,u()) обозначается решение системы (1 1 1), удовлетворяющее начальным условиям л:(0, а, и()) = а

Определение 1.1.1. Систему (1 1 1) назовем локально управляемой на сегменте [G,7j, если существует такое число 6 > 0, что для любого вектора а е W(3) найдется и eU(S) при котором решение системы (1.1.1) удовлетворяет равенству х(Т,а,и( )) = 0

Ставится задача - определить условия, при которых система (111) локально управляема

Рассмотрим множество вектор - функций В(к), заданных на сегменте [О, Г] и обладающих следующими свойствами

11) множество вектор - функций О(к) равномерно ограничено, т е существует положительное число к, что для любой функции х(г) е О(к) выполняется неравенство |х(/)|<к,

2|) множество вектор - функций В(к) равностепенно непрерывно, т е для

любого е > О найдется 8 > 0 такое, что для любых е [0,г], для любой функции

г ^

х{1) е В(к) |х(Г + К)~ х(0|Л < а, как только Щ < 8 ,

3,) х(Г) = 0

Следовательно, £>(к) - замкнутое, компактное, выпуклое множество В § 2 исследуется проблема локальной управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений, содержащей линейные члены, как по фазовой переменной, так и по управлению

Пусть система (1 1 1) имеет вид

х = А(()х + В{г)и + /(/, х,и), (12 1)

где х е К" ,и е Ят,А(г),ВО) - измеримые ограниченные матрицы, /и < и, / е [О, Г], /(/,х,и) - и - мерная вектор - функция, определенная на множестве Н (<§д), удовлетворяющая на этом множестве условиям Каратеодори

Управление и{1) отыскивается в виде вектор - функции, зависящей от фазовой переменной

и{1) =■ <р^,х,с) = ),т + + (~р(1,х,с), (1 22)

где известные т хп измеримые матрицы, ограниченные на сегменте

[О, Г], с - неизвестный вектор, с е С(80) = {с £ К" |с| < 80}, ф(1,х,с) - известная т -мерная вектор - функция, определенная на множестве Нг(80) и удовлетворяющая на этом множестве условиям Каратеодори В качестве множества допустимых управлений рассматривается множество

и(80) = {«(/) и(0 = + ЦГ)с + х, с), х(0 е О(80), с е С(8а)}

С учетом представления и(/) в виде (1.2.2) систему (1 2 1) можно представить в виде

х = А(1)х + АТ(()с + /0, х,с), (12 3)

где А(1) = А(() + N(0 = -пуп известные матрицы, измеримые и

ограниченные на [о,г], /(г,х,с) = В(/)^(?,х,с) + /(Г,х,^(?,х,с)) - известная «-мерная вектор - функция, определенная на множестве Н2(80) и удовлетворяющая на этом множестве условиям Каратеодори

Требуется определить условия, при которых система (1 2 3), а, следовательно, и система (12 1) локально управляема.

На множестве О(к) определим оператор F следующим равенством

Гсх = а + дХ^х + Л7(,з)с + /(з,х,с)]с!л Пусть х({) е В(к) Рассмотрим функцию о

= + Следовательно, х~Рсх Убедимся,

о

что число к можно выбрать так, чтобы для любой вектор - функции х({) е О(к) выполнялось х({) е О(к)

Определены условия, при которых а) существует положительное число к такое, что для произвольной вектор - функции х(У) € О(к) справедливо неравенство |х (г)| < к,

б) для любого е > 0 найдется 8 > 0 такое, что для любого к е [О, Т\, любой

т

вектор - функции х({) е О(к) имеет место неравенство ||х(^ + /г)-х(/)|Л<£, как

о

только Щ < 8

Выясним, при каких условиях справедливо равенство х(Т) = О Рассмотрим уравнение

7 Т

а + Ыс+ рО)хО)(& + |/(.у,х(5'),е)& = О (124)

о о

г

относительно переменных а,с, N=

о

Теорема 1.2.1. Если матрица N является неособенной, то существуют положительные числа 8\д" е (0,80 ], е (0, к0 ] такие, что для любой вектор - функции е 0(к{). любого вектора а е Ж(8") уравнение (12 4) имеет единственное решение во множестве С(8')

Теорема 1.2.2, Если выполнены условия георемы 12 1, то существует единственное управление и({), определяемое равенством (1 2.2) и вектором с е С(8'), при котором решение х((,а,и( )) системы (12 1) удовлетворяет равенству х(Т,а,и( ))= 0

Пусть гащТЯ = г,0<г<п Тогда элементарными преобразованиями систему (1 2 4) можно свести к системе

_ т ^ т ^

а+Ыс+ [Л, (/)х(,ч)<1$ 4-1(х, 5с{,5'), с)г/х = 0,

т1 _ г1 О25)

(р{й:)+ ¡Л2(.<;)х(,<;)с1$ + ^/2{в,х(з),с)4$ = 0, о о

где N -г хп-матрица, составленная из первых г строк матрицы N, гапр^Ы = г

Пусть |/(г,х(?),е)сйГ = /р(с) + о|с|" ^ /Дс) - вектор - форма порядка р от-

0

носительно с, нетождественно равная нулю 8

Введем замену с = pz, р> 0, тогда

-a+Nz + - |Д (s)5c(s)ds + о(р"-]\zf ) = О,

Р Р о (12 6)

ДО + Л р2 + o(p\z\")= 0.

Р о

Обозначим

N(z) = colon(Nz, /¡¡(г)), q(x,p) = colon - ¡А^х^сЬ,— J_4(s)5?(s)ife L

\Pо Р 0 )

0'(p\z\p)= colon{o(pp-x\z\p\o^)\z\p\m(a,p) = colon^~a,-~<p(cc)j

Получим уравнение

m(a, p) + N(z) + q(x, p) + 0'(p\z\" )= 0. (12 7)

Теорема 1.2.3. Пусть на множестве Z = [z • \z\ = l} N(z) Ф 0 Тогда существуют такие положительные числа S", к2 е(0,&0], что для любых фиксированных р<5[, а е W(S"), любой вектор - функции x(t) е D(k2) уравнение (1 2 7) не имеет решений во множестве Z

Теорема 1.2.4. Пусть выполнены условия теоремы 12 3 Тогда существует множество \р*z • р* < 8[ь jz = l}, в котором нет вектора с, а значит и управления u(t), определяемого равенством (1 2 2), при котором решение системы (12 1) удовлетворяло бы равенству х(Т, а, и( )) = 0

Пусть существует z jz'j = 1 такое, что Nz* =0 /Дг*)=0 Тогда система (12 6) запишется так

m(a,p) + H0v + q(x,p) + j^RXz\v) + O'\p\z'+v\P)=0, (12 9) i=2

где Н0 = со1оп(м,D0(z*)), D0(z") - значение матрицы Якоби вектор - функции /Дг) в точке z*, v = z-z', R'(z*,v) = colon(o, ,0,/?,(z*,v)), Rt{z\v) - форма порядка i относительно v

Теорема 1.2.5, Пусть #0 - неособенная матрица Тогда существуют такие положительные числа S2,S3,S4,p<S3, к3 <= (0,£0], что для любого фиксированного \а\ < 3А, любой вектор - функции x(t) е D(k2) уравнение (12 9) имеет единственное решение во множестве Л(<?2) = jv jvj < S2]

Теорема 1.2.6. Если выполнены условия теоремы 12 5, то существует единственный вектор управления и it) = <p{t,x,c), определяемый равенством (12 2), вектором с - p*(z* + v*), |z*j = l,|v*| < S2,p* < ¿>3 и вектор - функцией x(t) е D(k3), при котором решение x(t,a,u()) системы (1 2 1) удовлетворяет равенству х(Т,а,и( ))= 0

Если же Hй является особенной матрицей, то повторяем алгоритм, описанный выше Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо система (1 2 1) не будет иметь решения, либо через конечное количество шагов получим матрицу с рангом п, ив этом случае будет существовать единственное решение рассматриваемой системы, либо процесс преобразования будет бесконечным и задача локальной управляемости для системы (1 2 1) данным методом не разрешима в рассматриваемом классе допустимых управлений

Случай, когда в уравнении (12 4) матрица N является нулевой, рассматривается аналогично вышеизложенному

Замечание 1.2.1. Исследования, проведенные в §2, не исключают возможности нахождения управления в любом из следующих случаев u(t) = <p(t, х, с) = R(î)c, u(t) - <p(t, x,c), u(t) = (p{t, x, с) = S(t)x + <p(t, x, c), u(t) = <p(t,x,c) = K(t)c + <p(t,x,c), u(t) = <p{t,x,c) = S(t)x + R(t)c

Замечание 1.2.2. Не исключается случай, когда в системе (1.2 1) A{t) - нулевая матрица, в системе (1 2 3) A(t) - нулевая матрица

В § 3 рассматривается система дифференциальных уравнений вида

x = f{t,x,u), (13 1)

в предположении, что f(t,x,u) представима в виде суммы двух вектор - функций, то есть f(t,x,u) = fl(t,x) + f2(t,x,u), причем вектор - функция f^(t,x) определена на множестве Нх (¿>0 ) и удовлетворяет на нем условиям Каратеодори, вектор - функция f2(t,x,u) определена на множестве H(S0) и удовлетворяет на нем условиям Каратеодори

Ставится задача - найти условия локальной управляемости системы

(13 1)

С учетом представления управления u(t) в виде (12 2), система (13 1) может быть записана так

x = f1(t,x) + f2(t,x,c), (13 2)

причем вектор - функция f2(t,x,c) определенна на множестве H2(ô0), удовлетворяет на нем условиям Каратеодори

Таким образом, задача определения условий локальной управляемости системы (13 1) сведена к поиску условий локальной управляемости системы (13 2)

На множестве D(k) определим оператор F следующим равенством

о

Пусть x(t)eD(k) Рассмотрим x(t) = а+ Д+ f2(^,x(^),c)]d^, то

а

есть x = Fcx Убедимся, что существует положительное число к такое, что для любой вектор - функции x(t) е D(k) имеет место x(t) е D(k)

m

Установлено, что а) существует положительное число к, что для любой вектор - функции х(() е £)(£) будет выполнено |х(г)| ^ к,

б) для любого е >0 найдется 3 >0 такое, что для любых /,/г е [0,Г], век-

г

тор - функции х(/) б О(к) справедливо неравенство ||х(? + И) - х(У)|<# < е как

о

только |/г| < 8

Выясним, при каких условиях выполняется равенство х(Т) = 0 Рассмотрим уравнение

« + + ]/,(*,*(/),с)А = 0 (13 3)

о о

Пусть для любого х(?)е.£>(&) |/2(/,х(/),с)= /1(с) + о|с|*} /Дс) - вектор -

о

форма порядка 5 по с

Тогда равенство (13 3) примет вид

а + Ш + ]/,(г,Зс(г))Л + о|сГ)=0 (1 3 4)

о

Положим с = рг, р е Я, р> 0 Систему (13 4) сведем к системе

+ + + 0 (1 3 5)

Р Р о

Теорема 13.1. Пусть при любом г \г\ = 1 /,(г) * 0 Тогда существуют такие положительные числа ¿>,", 8\, к{, что для любого фиксированного р<8\, любого любой вектор-функции х(!) е В(к]) уравнение (1 3 5) не имеет решений при любом г \г\ = 1

Теорема 1.3.2. Если выполнены условия теоремы 13 1, то существует множество {р'г р" <<У,*,|2| = 1}, в котором нет вектора с, а значит и управления и(*), определяемого равенством (1 2 2), при котором решение системы (13 1) удовлетворяло бы равенству х(Т,а,и( )) = 0

Пусть существует г \г"\ = \ такое, что /Дг")=0 Тогда систему (1 3 5) можно записать так

+ (13 6)

Р '=2 Р о

где £>1(2') - значение матрицы Якоби вектор - формы /Дг) в точке г', V = г-г , ,/? (г",у) - форма порядка I относительно V.

Получили уравнение, аналогичное уравнению (12 9) Уравнение (13 6) разрешается как и уравнение (12 9)

и

Во 2 главе решается та же задача, которая была поставлена в первой главе Исследование проводится с использованием фундаментальной матрицы системы линейного приближения, что позволяет ослабить некоторые условия, при которых выполнены исследования в первой главе

В §1 рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений

(1-1 О

х = A(t)x + B(t)u + f(t, х,и) (211)

при указанных в §2 главы 1 предположениях

С учетом представления u(t) равенством (1 2 2), получим систему вида

(12 3)

Требуется определить условия, при которых (2 11) локально управляема На множестве D{k) оператор F определим равенством

Fcx = X{^a + X(t)\X-\s)N{s)cds + X{t)\X-\s)f{s,x,c)ds, где X(t) - фундамен-

0 о

тальная матрица системы х = A{t)x, Х(0) = Е

Возьмем произвольную вектор - функцию x(t) е D(k) и пусть

x(t) = X(t)a + X(t) '¡Х~1 (s)N(s)cds + X(t) pT1 (s)f(s, x, c)ds о 0

Очевидно, что x = Fcx Убедимся, что число к можно выбрать так, чтобы для любой вектор - функции x{t) е D(k) выполнялось x(t) е D(k)

Доказано, что а) существует положительное число к, что для любой вектор - функции x{t) е D(k) будет выполнено |x(i)| < к,

б) для любого е > 0 найдется д > 0 такое, что для любых t,he [О, т], век-

т

тор - функции 5c(t)eD(k) справедливо неравенство \\jx(t + h)-x(t)\dt < s как

о

только \h\ < 8 ,

Выясним, при каких условиях справедливо равенство х(Т) - О Рассмотрим систему уравнений

a + Nc + Т\Х'] (s)f(s, xißl c)ds = 0, (2 1 3)

о

^ т

относительно переменных а,с, в которой N= ¡X~>(s)N(s)ds

о

Теорема 2.1.1. Если матрица N является неособенной, то существуют положительные числа 8,8Х е (0,<У0], к[ такие, что для любого фиксированного вектора а е W(8^), любой вектор - функции x(t) е D(k[), уравнение (2 1 3) имеет единственное решение во множестве C{ö )

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1 1 Тогда существует единственное управление и (7), определяемое равенством (12 2) и вектором

с е С(8), при котором решение х^,а,и{ )) системы (2 1.1) удовлетворяет равенству х(т,а,и( )) = О

§2 посвящен рассмотрению случая, когда в уравнении (2 1 3) матрица N особенная, гап^Ы = г,0 < г < п. Рассмотрение этого случая проводится аналогично вышеизложенному в главе 1

Глава 3 посвящена решению задачи локальной управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений, правая часть которых непрерывные вектор-функции

В § 1 поставлена основная задача исследования, сформулированы основные определения, получен общий вид решения системы, задача локальной управляемости сведена к решению операторного уравнения, построение которого осуществлено с учетом представления решения исследуемой системы

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

х = Л(*)* + -8(0и+ /(*,*> и). (3.11)

где А(1) - « х и - матрица, В(г)~ пхт- матрица, хеК" ,ие Л™ - управление, т <п,1 <= [О, Г], Т - некоторое число, матрицы yi.fi), -/?(/) — непрерывны на ¡0,Г],/(г,х,и)-п-мерная вектор-функция, определенная и непрерывная на множестве Н(бй)

В качестве допустимых управлений будем рассматривать непрерывные на сегменте [0,г] функции и(/), удовлетворяющие условию |и()|<£0 Множество всех допустимых управлений обозначим и(30).

Под решением системы (3 1 1), определенном на [о,7'] при любом и(г)еи(8,}), будем понимать непрерывно дифференцируемую на эгом сегменте вектор - функцию, удовлетворяющую системе (3 11)

Символом х((,а,и()) обозначим решение системы (3 11), соответствующее управлению и(Ое£/(£0), удовлетворяющее начальному условию х(0,а,и) = а

Основная задача определить условия локальной управляемости системы

(3 1 1)

Будем предполагать, что система (3 11) удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра на множестве Н{дй)

Управление м(/) будем искать в виде функции, зависящей от фазовой переменной, то есть

и^) = <р^,х,с) = 8^)х + К(1)с + <р^,х,с), (3 12)

где £■(?),известные мхи матрицы, непрерывные на сегменте [0,Г], с- неизвестный вектор, сеС(<50) = {сеГ |с|<^0}, (р(1,х,с) известная т - мерная вектор - функция, определенная и непрерывная на множестве Н2(о0)

С учетом равенства (3 1 2) система (3 11) примет вид

х = A(t)x + N(t)c + f{t, х,с), (3 13)

где А(t) = A(t) + B(t)S(t), N(t) ~ B(t)R{t) -nxn известные матрицы, непрерывные на [0,7*], f(t,x,c) = B(t)<p(t,x,c) + f(t,x,<p(t,x,c)) - известная я -мерная вектор -функция Будем предполагать, что f(t,x,c) удовлетворяет на множестве H2(S0) условиям

1 ш) f(t,x,c) непрерывна по всем аргументам,

2|о) удовлетворяет условию Липшица по переменным х и с, те для любого 8 € (О,80] на множестве Н2(д) для любых x]bx2,c^c1,t е [0,Г] справедливо

\/Ц,х^)-У{г,хг,с2-\<М[{8)\сх-с2\ + \х, -xj, M[{S)^> 0 при ^ ^ О 3 ю) fit,0,0) = 0 для любого t е [о,г],

7(Î,X,C) _

4|o) lim-—r=i—- = 0 равномерно по t е |0,7j, со - ix,с) ®->0 flj

Таким образом, задача локальной управляемости системы (3 11) сводится к задаче локальной управляемости системы (3 1.3)

Очевидно, что х = 0 при с-0 является решением системы (3 13) Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра найдется 8а е (0,50], такое, что для любых а е Wißl), с е с(<5^) система (3 1 3) имеет решение x(t,a,c), определенное на сегменте [О,Т], и при любом t е [О, т] удовлетворяющее неравенству |x(f,a,c)| < SQ

Решение x(t,a,c) системы (3 13) определяется равенством

*(/,«,с) - X(t)a + Xit)\x-\Ç)[NiÇ)c + о

Пусть qit,а,с) = X(t)\X-\Ç)f{Ç,x(Ç,a,c),c)dP

о

Теорема 3.1.2. Решение системы (3 1 3) x(t,a,c) с начальным условием х(0, а, с) = а, а е fV(S^ ), с е С{8'й ) для любого t е [О, Т] представимо равенством

xit,a,c) = Xit)a + X(t)\X-\Ç)N(Ç)cd£ +

о

где Л = (а,с)

Из теоремы 3.1.2 следует, что задачу о локальной управляемости системы (3 1 3) можно свести к задаче нахождения условий существования решений системы уравнений вида

7

Х{Т)а + XiT) jX~\Ç)NiÇ)cd€ + о{Л)= 0, (3 1 5)

о

где Xit) - фундаментальная матрица решений системы х = A(t)x, ,Y(0) = Е, Л = (а,с)

Систему (3 1 4) запишем в виде

а + Рс + о(Л) = О, (3 1.6)

т

где Р = рГ1 (¿i)N{%)d£ -пх.п известная матрица о

Таким образом, задача о локальной управляемости системы дифференциальных уравнений (3 1.1) сводится к задаче нахождения вектора с, являющегося решением системы уравнений (3 1 6)

В §2 найдены достаточные условия локальной управляемости системы дифференциальных уравнений в некритическом случае, когда матрица Р операторного уравнения неособенная

Теорема 3.2.1. Если матрица Р является неособенной, то найдутся 5,3 е(о,5д], что для любого вектора а е W(S), операторное уравнение (3 1 6) имеет единственное решение во множестве С(д)

Теорема 3.2.2. Если выполнены условия теоремы 3 2 1, то для любого вектора а е W(6) существует единственное управление u(t), определяемое равенством (3 1 2), при котором решение x(t,a,u( )) системы (3 11) удовлетворяет равенству х(Т,а,и( ))= О

§3 и §4 посвящены поиску условий локальной управляемости в критических случаях

Пусть функция f(t,x,c) представима следующим образом f(t,x,c) = f'(t,c) + f"(t,x,c), где

1И) f'{t,c) = /Д/,с) + с>(|с|*), где fk(t,с)- форма к - го порядка относительно с, к> 2,

2ц) f(t,x,c) = /Д?,х,с) + о|ю|'), где /,(/,*,с) - форма порядка I относительно со, Ш - (х,с), I > 2

Тогда с учетом условий 1ц) и 2ц) система (3 1 6) преобразуется в систему

а + Рс + Л(с) + /,(Л) + О|(с) + о2(Я) = 0 (3 3 1)

Пусть rangP = г, 0 < г <п С помощью элементарных преобразований систему (331) можно записать так

Га + Рс + /к (с) + f,{X) + о, (с) + о2 (Я) = О, \ £>(«)+ 5к (с) + /, (Я) + о, (с) + о2 (Я) = О, где Р - гу. п - матрица, составленная из первых г строк матрицы Р, rangP- г

Положим а = рр,с = pv,p>0,peR Тогда система (3 3.2) сведется к системе

\р0 + Ppv + pkfk (у) + plf,U3, v) + о, <j?v) + о2 (Л) = 0, pqAft) + pkjk (v) + р'1(/],у) + Щру) + о2 (Я) = 0

Первый критический случай

Пусть к <1 Систему (3.3 3) можно представить в виде

ß + Pv + ö\pk-y\)=V

' j^9{ß)+fkiv) + 0(p\vt)^ (3 34)

Обозначим = colon{p v, Jk (у )\ m(ß, р) = со1ощ ß, —^ cp(ß)j,

o{p\vf )= colon{p(pk-1 \vf ) ö(p\vf ))

Тогда систему (3 3 4) можно записать так

m(ß, р) + S(v) + o{p\vf )=0 (3 3 5)

Теорема 3.3.1. Пусть на множестве L = {у • = l} S(v) Ф 0 Тогда существуют такие числа S', S е (о,^ ], р<5' и множество в окрестности точки с = О, в котором нет решений системы (3 3 5) при любом \ß\ < S

Из теоремы 3 3 1 следует, что для любого а = р*ß, р° < ô', \ß\ < ö во множестве = pv ]р* | < 8', |v| = l} нет решений системы х(Т, a, u(. j) = О

Далее будем предполагать, что существует такая точка |у*[ = 1, что Р v* - О и fk{v") = 0 Получим систему

»W,P)+Qy+iK<y,y)+o[(ty+vfy о, (3 3 7)

1=2

в которой Q = colon(p, D[(v" f), D[(y') - значение матрицы Якоби вектор - формы fk{v) в точке v, v = v-v\ R*(v*,y) = colon(o, ,0,Rt(v',у)), R,(v',y) - форма г - го порядка относительно у, О*(pjу + v*| j = colonio{pk~> jy + v*j* j О (pjy + v*| J

Теорема 3.3.2. Пусть Q - неособенная матрица Тогда существует такое число ^ е (o,£q ], что при любом ß \ß\ < ¿>, система (3 3 7) разрешима

Теорема 3.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3 3 2 Toi да существуют число 8Х е (о, Si ] и множество С такое, что для любого а = pß, \ß\ < ¿>, во множестве С существует единственная точка с, удовлетворяющая равенству х(Т,а,и( )) = О

При этом множество С определяется равенством С = {е c = p*(v*+У)}, у - решение системы (3 3 7)

Если же матрица Q особенная, то повторяем алгоритм, описанный выше Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо система (3 3 7) не будет иметь решения, либо через конечное число шагов получим матрицу с рангом «, ив этом случае будет существовать единственное решение рассматриваемой системы, либо процесс преобразования будет беско-

V

p J

нечным и задача локальной управляемости для системы (3 11) не разрешима предложенным способом

Если в уравнении (3 3.1; матрица Р нулевая, то после замены а = pß,c = pv,p> 0,psR получим уравнение вида (3 3 5), которое разрешается аналогично уравнению (3 3 5)

Второй критический случай

Рассмотрим систему (3 3 3) при / < к Систему (3 3 3) запишем в виде ß + Pv + ö(pM\crl()= О,

' ~^cp{ß)+kß^) + O{p\y\) = 0, (3 4 0

где <r = (ß,v)

Обозначим Q(ß, v ) = colon(P v, ft (/?, к)), m(ß,p) = colon

Ö(p\af) = colon^{p'-l\a\\ü^}\a^

Тогда система (3 4 1) примет вид

m(ß,p) + Q(ß,v) + Ö(p\cr\l) = 0 (3 42)

Пусть при ß = 0 существует такая точка v* |v*| = l, что вектор Q(0,v'} ненулевой Тогда существует число 8 > О такое, что на множестве W(8)~ jcr = (/?,v) ^¿5,jv-v*|<5,|v*J = l} вектор Q(ß,v) ненулевой

Теорема 3.4.1 Пусть существует точка v* |v*| = l такая, что g(o,v*)?b 0. Тогда существуют положительные числа 8], 82 и множество в окрестности точки с = 0, в котором нет решений системы (3 4 2) при любом а = pß,p < 8t, \ß\ < 8г

Пусть существует точка v" |v*| = l, что Pv* - 0 и пусть на множестве

W'(S) равенство f,{ß,v)~ 0 определяет единственную вектор - функцию v = t//(ß) в окрестности точки ß = 0 со значениями из окрестности точки у = к*,^/(0) = к*,ипусть Pi//(ß) = 0

Тогда (3 4 1) можно представить следующим образом

K{ß,p)+L{ß)w + YJXß,w) + o[p\cT,l)=0, (3 44)

1=2

где L(ß) - colon(p,D(ß,y/(ß))), D(ß,y/(ß)) - значение матрицы Якоби вектор-функции f,(ß,v) в окрестности точки (/?,у/(/?)), w~v-if/(ß),

K(ßip) = colon^ßi-~<p(ß)j, R.iß^) = coioniO, ...Q,R,{ß,w)), R,(ß,w) - форма порядка г относительно w, o[p\cr\)= color^^'^a^öiplcri^

Теорема 3.4.2. Если матрица L(О) является неособенной, то для любого фиксированного \ß\ < 8 система (3 4 4) разрешима.

Теорема 3.4.3. Если выполнены условия теоремы 3 4 2, то существует единственное управление u(t), определяемое равенством (3 12) и вектором

с = р (w +y/[ß')), w I <S[, p <S'7, \ß ¡<<5, при котором решение x{t,a,u{)) системы (3 1 1) удовлетворяет равенству х(Т,а.и( ))= О

Теорема 3.4.4. Если матрица det i(o) = 0, но существует такое число 8, что при любом 0 <\ß\< 8 det L{ß) ф 0, то система (3 4 4) разрешима

Теорема 3.4.5. Если выполнены условия теоремы 3 4 4, то для любого Q<\ß\<8 существует р , что для любого р< р* существует единственное управление u(t), определяемое равенством (3 1 2), при котором решение системы (3 1 1) x(t,a,u{)) удовлетворяет равенству х(Т,а,и( )) = 0 при а = pß

Наконец, пусть deti(O) = 0, и пусгь rangL(0) = г', 0 < г' < п. Рассмотрим множество М{а)= \ß \0\<a,äzlL{ß) = o) и предположим, что на множестве М{а) rangL(ß) = г' Элементарными преобразованиями (3 4 4) сведем к системе

(3 4 5)

к, (Д р) + A(/?>v + X R) (р, w) + О, (р\ст\ ) = О,

1=2

K2(AP) + ÍR?(Aw) + о2(ркт\ ) = о ¡=2

Заметим, что ^ Rf (/3, w) = R¡t (0, w) + ojjw)7'), Rh (Д») - форма наименьше-

1=2

го порядка относительно w

Заменой w = p¡ju, рх е R, рх > 0 систему (3.4 5) можно привести к виду

1

(Д/>) + £, (/?)/! +о, М)-

О,

ш

= 0,

±K2(ß,p) + Rh (ß,ß) + о(Р]И'1)+ Р\ Р\

(3 4 8)

Пусгь

и... . .

K(ß,P,Pl) = colon] —K,{ß,p)--TK2{ß,p) ,G(ß,M) = colon{Lx(ß)p,R, С/Л/0),

U Р\ J

о'

(А|^|) = соЬпЦ/иЦо^ | Ъ\р\а\,рхУ-

■ colon

Q,(pN;) QiiM)

Рх

Р\

Уравнение (3 4 8) запишется так

K(ß,p,pi) + G{ßifi) + Ö'(Pi + Ö*{p\<?lp,) = 0 (3 4 9) Теорема 3.4.6. Пусть существует ß' е М(а) такое, что на множестве \jli ¡/¿j = l} G(ß\ju) Ф 0 Тогда существует множество в окрестности точки Я = 0, в котором нет решений уравнения (3.4 9)

Предположим, что существуют такие ¡и" ¡/¿'¡ = 1 и р" е М{а), что L,(/?*)//* = 0, Rlt (/?*,//)=(). Тогда система (3 4 9) сведется к системе

K{p',p,p1)+Li{p\Ju')s + tYl{/3\M\s)+ 1=2

+ д*(р,\/и* +e\j+0'(p\af,p,)=0, (3 4 12)

в которой Ll{p\v)=colon(fl{p*)>D{p*,//)), D{fl',fi ) - значение матрицы Якоби формы Rh{j3\ju) в точке /Л е = Y,{p\ju\s)=colon{0, ДУ,(Д\//,г)),

*,//*,£■)- форма z - го порядка относительно е

Теорема 3.4.7. Если матрица (/?*,//) неособенная, то в окрестности точки Л = 0 уравнение (3 4 12) разрешимо

Теорема 3.4.8. Если выполнены условия теоремы 3 4.7, то при любом фиксированном /?* е Mia) существует единственное управление u(t), определяемое равенством (3.1.2), при котором решение системы (3 1.1) x(t,a,u()) удовлетворяет равенству х(Т, а,и()) = 0 при а = рр*

Если же матрица /.,(/?*,//) особенная, то повторяем алгоритм, описанный выше Так как на каждом шаге ранг исследуемой матрицы не может уменьшиться, то либо через конечное число шагов мы получим матрицу с рангом и, и в этом случае вопрос о локальной управляемости для системы (3 11) разрешим, либо процесс преобразования будет бесконечным и задача локальной управляемости для системы (3 1 1) данным методом не разрешима

Полученные результаты применены для исследования прикладных задач математической модели организации рекламной деятельности туристической фирмы, модели двигателя постоянного тока, задачи управления системой «тележка-маятник» Составлена программа в среде Maple, проверяющая условия теоремы 12 6 для различных систем

В заключении автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М Т Терехину за руководство, помощь в работе и всестороннюю поддержку

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОГ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1 Юханова М В О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ТулГУ Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи» Вып 1 - Тула Изд-во ТулГУ. - 2006 -С 39-42

Публикации в других изданиях

1 Юханова М В Локальная управляемость системы дифференциальных уравнений // Труды математического центра имени Н И Лобачевского Лобачев-

19

ские чтения - 2005 Материалы IV Всероссийской молодежной научной школы - конференции. - Казань Казанское математическое общество — 2005, Т31.С 182-184

2 Юханова М В О существовании решения системы дифференциальных уравнений с управляющим параметром// Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения -Рязань Изд-воРГУ -2006 -№10 -С 86-89

3 Юханова М В Об условиях локальной управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений в некритическом случае// Известия РАЕН Дифференциальные уравнения- Рязань Изд-во РГУ - 2006 - №10 -С 90-94

4. Юханова МВ Условия локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Матемагика Компьютер Образование Тезисы докладов XIII Международной конференции - М - Ижевск Изд-во "Регулярная и хаотическая динамика" - 2006 -Вып13 -С.38.

5 Юханова М В О способе решения одного операторного уравнения в критическом случае // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Материалы научной конференции " Герце-новскиечтения-2006" - СПб,2006 С 155-157

6 Юханова М В О разрешимости операторного уравнения в различных случаях // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета им С А Есенина - Рязань Изд-воРГУ -2006 - № 7 - С 130-133

7 Юханова МВ О локальной управляемости системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании Тезисы докладов XI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов -Рязань Изд-воРГРУ —2006 — С 11-12.

8 Юханова МВ К вопросу локальной управляемости в одном критическом случае // Труды СВМО, 2006, Т 8, № 2 С 216-222

9 Юханова М В Об одном методе решения задачи локальной управляемости // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения (материалы Всероссийской конференции по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям) -2006 -№11-С 256-257

10 Юханова М.В. Локальная управляемость нелинейных систем // Современные проблемы математики, механики, информатики Тезисы докладов Международной научной конференции -Тула Изд-воТулГУ -2006 -С 101-102

11. Юханова М В. Условия локальной управляемости нелинейных систем // Информатика и прикладная математика Межвуз сб науч тр - Рязань. РГУ -2006 -С 139-143.

12 Юханова М.В Об условиях локальной управляемости одной системы дифференциальных уравнений // Математика Компьютер Образование Сб на-учн трудов Том 2 / Под ред Г Ю Ризниченко - М. - Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» - 2006 - С 118-126

13. Юханова МВ Исследование проблемы локальной

управляемости посредством фундаментальной матрицы системы линейного приближения // Саранск Средневолжское матем общество, 2007, препринт № 107- 18с

Юханова Мария Владимировна

УПРАВЛЯЕМАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТУРИСТИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано к печати _2007 Формат бумаги 60x84 1/16

Печать ризографическая Объем_п л Заказ №

Тираж 100 экз Бесплатно

Отпечатано в ООО «Интермета» 390000, г Рязань, ул Каляева, д 5