автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление с оптимизацией и прогнозом в режиме реального времени

/

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СОТНИКОВА Маргарита Викторовна

УПРАВЛЕНИЕ С ОПТИМИЗАЦИЕЙ И ПРОГНОЗОМ В РЕЖИМЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2009

003476452

Работа выполнена на кафедре компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович,

кандидат технических наук, Сумачев Сергей Александрович

Ведущая организация: ОАО «Концерн «НПО «Аврора»

г. Санкт-Петербург.

Защита состоится «30 »2009 года в часов на заседании совета Д-212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан " " 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук,

профессор Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в комплекте вопросов, относящихся к сфере математического и компьютерного моделирования, исследования, проектирования и реализации систем автоматического управления динамическими объектами центральная роль принадлежит современной цифровой технике и компьютерным технологиям. Это определяется двумя главными обстоятельствами, определяющими особую роль и место, занимаемое цифровыми системами в указанной сфере.

Во-первых, постоянное стремление к повышению эффективности и качества работы сложных динамических объектов порождает очень сложные комплексы условий, ограничений и требований, которые должны быть обеспечены с помощью систем управления. Создание таких систем невозможно без широкой поддержки вычислительными средствами на всех стадиях моделирования, исследований, разработки и реализации.

Во-вторых, современное состояние и стремительный рост потенциала цифровой техники и ее программного обеспечения определяет новые возможности повышения эффективности и качества исследовательских и конструкторских работ, а также расширения функциональности систем при реализации законов управления в режиме реального времени.

Особая значимость придается применению компьютерных технологий на стадии практической реализации законов управления в режиме реального времени. Это связано с тем, что цифровые устройства и их программная поддержка обладают рядом преимуществ перед средствами аналоговой техники. Сюда относятся универсальность, гибкость, простота в настройке, компактность и многие другие особенности.

Тем не менее, возможности цифровой техники ограничены, что с особой остротой ощущается при бортовой реализации систем управления подвижными объектами и в различных встраиваемых системах.

При формировании законов управления особую роль играют вопросы оптимизации по различным критериям. Теоретические основы оптими-зациионного подхода были заложены в трудах В.И. Зубова, А.М. Летова, A.A. Красовского, Н. Винера, Р. Калмана и других выдающихся ученых.

Естественное стремление к наилучшей динамике управляемых объектов в настоящее время, как правило, решается путем адаптивной перена-

стройки обратных связей. Такая перенастройка может выполняться в ходе функционирования системы непосредственно по текущим измерениям. Другой подход (именуемый в иностранной литературе MPC - model predictive control) предполагает использование прогнозирующих моделей в контуре обратной связи. И в том, и в другом варианте для решения оптимизационных задач в темпе протекания реальных процессов требуется экономия времени счета и необходимого объема памяти.

В связи с этим требуется известная доработка известных методов оптимизации, обеспечивающая такую экономию требуемых вычислительных ресурсов, которая позволит говорить о возможности их использования для управления в реальном времени.

В частности, в последние годы существенное внимание уделяется вопросам оптимизации законов управления движением морских объектов. Здесь используются теория среднеквадратичной оптимизации, основы которой разработаны такими учеными, как В.В. Солодовников, B.C. Пугачев, A.A. Первозванский, X. Квакернаак и другие. В последние годы применяются также более общие методы //-теории, развиваемые в трудах Б. Френсиса, Д. Дойла, К. Гловера и других специалистов.

В работах Е.И. Веремея и В.М. Корчанова предложено применение многоцелевой структуры законов управления движением. В структуру входят отдельные элементы, включаемые в работу по мере необходимости для обеспечения желаемой динамики системы. Тем не менее, до сих пор нет публикаций, посвященных цифровым вариантам ее реализации с учетом специфических особенностей дискретных систем.

Целый ряд нерешенных вопросов существует и в области цифрового управления с прогнозом. Сюда следует отнести проблемы с отсутствием гарантии устойчивости движений замкнутых систем, проблемы применения нелинейных моделей и ограничений и т.д.

Отмеченные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на внедрение современных математических методов анализа и синтеза законов управления динамическими объектами в цифровые системы, реализующие эти законы в режиме реального времени. Исследования по данному направлению интенсивно проводятся в последние годы, однако проблему нельзя считать исчерпанной в связи с наличием

целого ряда трудностей математического и технологического характера. В связи с этим необходимо дальнейшее развитие математического аппарата для решения задач управления конкретными классами динамических объектов с применением цифровых систем.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов для решения задач анализа и синтеза цифровых систем автоматического управления в режиме реального времени. Главное внимание уделяется оптимизации и прогнозированию динамических процессов в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим направлениям:

• формализация вопроса о цифровой фильтрации высокочастотных помех в канале управления с учетом требования устойчивости и ограниченности динамических характеристик замкнутой системы;

• разработка нового метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров в составе многоцелевой структуры законов управления подвижными объектами с привлечением //.„-оптимизационного подхода;

• исследование эффективности применения прогнозирующих моделей в контуре цифрового управления подвижными объектами с адаптацией к реальным динамическим свойствам и условиям функционирования;

• разработка методов управления с прогнозирующими моделями, учитывающих требования устойчивости замкнутого контура на базе идеологии модальной параметрической оптимизации в заданных областях комплексной плоскости;

• разработка алгоритмов для оптимизации маршрутов морских подвижных объектов на трансокеанских переходах с учетом периодически поступающих прогнозов погодных условий в области плавания. Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза систем управления динамическими объектами. Построение и исследование регуляторов осуществляется с использованием аналитического и вычислительного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Научная новизна полученных результатов определяется созданием новых методов анализа и синтеза законов цифрового управления дискретными объектами, обеспечивающих желаемое качество динамических процессов в замкнутой системе с учетом воздействия внешних возмущающих факторов. Развивается частотный подход к оптимизации в смысле нормы пространства Н„ и на его основе предложена методика синтеза цифровых корректирующих фильтров в составе многоцелевой специализированной структуры законов управления. Сформирован новый подход к управлению динамическими объектами с использованием прогноза. Разработана методика решения задач о выборе оптимальных маршрутов судов с учетом погодных условий.

Практическая значимость работы состоит в ее ориентации на решение проблем эффективной реализации в режиме реального времени цифровых законов управления, обеспечивающих желаемое качество процессов в замкнутой системе. Разработанные новые математические методы и вычислительные алгоритмы позволяют повысить эффективность решения сложных проблем управления объектами в реальном времени. Эти результаты успешно используются при решении задач исследования и проектирования систем управления подвижными объектами.

Работоспособность и эффективность принятых подходов подтверждена конкретными примерами синтеза цифровых законов управления движением морских судов в различных режимах функционирования. Достигнутые динамические показатели вполне сопоставимы с системами, синтезированными другими путями, и превосходят их в разумных пределах по соответствующим характеристикам.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на международных конференциях «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова (SCP'2005) (Санкт-Петербург, 2005), «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2006), IV межвузовской студенческой научно-технической конференции «Актуальные проблемы персональных компьютеров и сетей» (Москва, 2006), III всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» (Санкт-Петербург, 2007), Beam Dynamics & Optimization (BDO'2008) (St.

Petersburg, Florida, USA, 2008), IV всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» (Астрахань, 2009), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем и лабораторий компьютерного моделирования систем управления и управления морскими объектами СПбГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных работах, три из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 96 наименований. Объем составляет 140 страниц машинописного текста, работа содержит 32 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается общая содержательная постановка задач, решаемых в диссертационной работе, и проводится краткий обзор опубликованных научных работ по теме исследований.

Первая глава посвящена вопросам оптимизации цифровых фильтров, включаемых в состав законов управления специальной структуры для подвижных объектов, и предназначенных для подавления высокочастотных помех в составе управляющего сигнала.

В первом параграфе рассматриваются уравнения дискретной линейной модели объекта управления

х[к +1] = А \[к]+bS[;t] + hd[Jt],

5[/fc +1] = Tu[k] + S[¿], у[к] = cx[¿], (1)

где хе Е" - вектор состояния, 86 Е1 - управляющее воздействие, de Ех -возмущающее воздействие, у в Е1 - измеряемая переменная, иеЕ1-управляющий сигнал. Будем считать, что при фиксированной скорости хода A, b, h и с -заданные матрицы с постоянными компонентами, Т = const - период дискретизации в системе управления.

Для стабилизации используется управление специальной структуры

i[k +1] = АВД + b0[¿] + g ДО*] - сЗД), (2)

и[£] = кх[&] + /:05[Аг] + + 1{к],

Здесь х е Е" - состояние наблюдателя, g - вектор, обеспечивающий его устойчивость, кД0 и V - заданные коэффициенты управления и = (к+Ус)х + к08 для объекта (1), обеспечивающие устойчивость матрицы Ас замкнутой системы, к = к + Ус.

Последнее уравнение в (2) определяет динамический фильтр в канале управления, передаточная функция р' которого не задана и подлежит поиску в процессе синтеза, ц — оператор сдвига на такт вперед.

С учетом уравнений обратной связи (2), замкнутую систему можно представить как соединение трех ЬТ1 объектов, одним из которых является искомый Динамический фильтр (рис. 1).

Рис. 1. Блок-схема замкнутой системы. Для указанной схемы имеем = А1(г)/А(г) ,Р2(г) = А2(г)/А{г),

(Р,(г) ! Р2(г)Л (Ег-А \ -Ь ^

Р(*Н --Г-1---- I = Щ Г""! Г')'

| Р4(г)

\ к | 2 ~~ 1сг

Д, (г) - На (г) = -!--1, Д2 (г) = А{г) = det(Ez - А).

-к

Во втором параграфе с использованием указанного представления формализуется задача фильтрации высокочастотных возмущений с учетом требования устойчивости замкнутой системы и ограниченности ее переходной характеристики по регулируемой переменной.

Эта задача сводится к следующей оптимизационной постановке:

(3)

шт ,

J(F) = вир

ие|0.ы(]

-1)

+ <7

|Де;о>)|2

(4)

где ц >0 - весовой множитель, о^ = к/Т. Первое слагаемое в квадратной

скобке определяет качество фильтрации, а второе - максимум переходной характеристики замкнутой системы.

Третий параграф представляет разработку спектрального метода решения задачи (3), которая при фиксированном значении множителя q является типичной задачей оптимизации в пространстве RH„, поскольку ее с очевидностью можно представить в виде

J(F) = sup |rW)f = llRz,F)H -> min , (5)

0)6 [0. raj FeRH.

где вспомогательная функция Г определяется тождеством

' ' Px(eja)Sa(en У 1

В данном параграфе доказаны следующие утверждения:

Лемма 1.1. Найдутся такие дробно-рациональные функции L,(z), L,(z) с полюсами внутри единичного круга и такая дробно-рациональная функция L}(z), без полюсов на единичной окружности, что функция Г(z, F), определяемая формулой (б), удовлетворяет тождеству

T(F)T(F) = (L, +L2F\Ll+L2F)+Li. (7)

При этом задача (5) трансформируется к поиску такой функции F(z)e RH„, чтобы выполнилось условие

J(F) = l4z,Ft = suP L(О + L^Wf + ¿3(0|<у, (8)

шб[0,га,]

где у >Jg = sup ¿з(еуш) - заданное число. <ое[0,ю,]

Замечание: здесь и далее знак «-» над рациональной дробью обозначает замену ее аргумента z на z~'.

Теорема 1.1. В регулярной ситуации (у> Jg) задача (8) об ограничении нормы Г„ обобщённой передаточной функции T(z,F) замкнутой системы сводится к задаче о поиске такой функции F(z)e RHm, чтобы выполнялось условие ||(£, + L2F)Pfm < 1, где P(z)e RH„ - весовой множитель, однозначно определяемый начальными данными.

Теорема 1.2. Задача о поиске функции F(z)e RHудовлетворяющей соотношению ¡(¿, +L2F)P\\^ <1, имеет решение для таких и только для таких величин у > Jg, для которых является знакоположительной эрмитова матрица ¿(у) = {/,, (у)}, где ll} = (1 - (ЗД,) /(1 -1 / ),

Р/ = 1 , 1,]=1,и,, (9)

(г = 1, /7|) - простые нули функции С (г) — результата факторизации СО = АА ТаТа(г - Х)(г~1 -1 ) + цИаЫаНаНа, й - шуров полином, и, =

Теорема 1.3. Пусть найдено любое решение у) = /и, ¡(т^"') задачи Неванлинны-Пика ^(г, < 1 с исходными данными g¡, Р,- (9) при фиксированной величине У ^ Jg■ Тогда для этого решения существует единственная функция = определяемая формулой

лЛ _ Яд(г)[ду(г)/Уп(2)т,(г,у) + Г„(г)Та(2)А(г)(г -1)>я2(г,у)]/С(г)

т2(2,у)С(г)

для которой (¿, + Ь1Р(})Р = Кг,у), д(г) = С?(г)г"1.

Б четвертом параграфе сформирован алгоритм поиска передаточной функции искомого фильтра в соответствии с приведенными утверждениями. Его работоспособность и эффективность проиллюстрирована на практическом примере.

Во второй главе диссертации основное внимание уделяется проблеме использования прогнозирующих моделей в замкнутом контуре управления с практической цифровой реализацией в режиме реального времени.

В первом параграфе рассмотрен традиционный способ задания управления на горизонте прогноза Р в виде конечной программной последовательности векторов {и,}, ¿~к,к + \,...,к + Р — \. При этом задача оптимизации управления на горизонте прогноза по отношению к заданному функционалу сводится к задаче нелинейного программирования

п"п „ .„„> (Ю)

("!•»»+!.....и(+,_,)еПсЬ"

где хк = \к - текущее состояние, О с Е"'7'- допустимое множество.

Предложены следующие способы понижения размерности задачи оптимизации (10), позволяющие уменьшить время вычислений:

1. За счет выбора периода Ти дискретности управления кратного периоду Т функционирования системы управления.

2. Посредством введения горизонта управления С <Р.

3. Одновременным использованием периода Ти дискретности управления и горизонта управления С.

Предложен алгоритм формирования управления на каждом такте, учи-

тывающий ограниченность допустимого времени счета. Параметрами алгоритма являются период дискретности Ты управления, горизонт управления С и период Д/„ пересчета управляющего воздействия.

На базе данного алгоритма сформирована схема практической реализации управления с прогнозом, состоящая из следующих операций:

1. Осуществляется измерение вектора у[&] и восстанавливается текущее состояние х[*] объекта с помощью асимптотического наблюдателя.

2. Решается оптимизационная задача (10). При этом используется алгоритм формирования управления на каждом такте и применяется один из способов понижения размерности задачи (10).

3. Из найденной в результате решения задачи (10) оптимальной последовательности и*[^1и*[^ + 11...,и*[/: + Р-1] используются векторы

+ / —1], где I — А/„ /Т, в качестве программного управления на тактах к+1,..., к + 21 -1 (в течение следующего периода длиной Л/„).

4. Начиная с момента времени к+1, все операции, указанные в пунктах 1-3, повторяются заново.

Применение подхода иллюстрируется на примере управления циркуляцией морского судна с учетом ограничений величины крена.

Во втором параграфе предложен новый подход к управлению с прогнозом, ориентированный на учет требования устойчивости замкнутой системы в линейном приближении. В данном случае управляющее воздействие на горизонте прогноза ищется в виде регулятора

иМ = \У(9,11)уМ, (11)

где ц- оператор сдвига на такт вперед, \У(<7,Ь) - передаточная матрица регулятора, Ье Ег- вектор настраиваемых параметров.

Показано, что функционал Jk, характеризующий качество управления, является функцией вектора настраиваемых параметров Ь. Формулируется следующая задача оптимизации управления на горизонте прогноза:

У,=Л(Ь)-»1"пГ, (12)

ЬеПи

где Он- множество настраиваемых параметров, обеспечивающих расположение корней характеристического полинома линейного приближения замкнутой системы внутри заданной области СА в единичном круге.

В качестве Сл рассматриваются области СД1 и Сд,, которые определяют заданную степень устойчивости и колебательности системы:

СД1 = {г е С1: |г| < г}, где г е (ОД) - заданное вещественное число;

СА2 = {г е С1: г = р • е±'ф, 0 < р < г, 0 < (р < \|/(р)}, где г е (ОД) - заданное вещественное число, - вещественная функция переменной ^е (0,г], принимающая значения из отрезка [0,л], причем \)/(г) = 0.

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 2.1 .Для любого вектора уе Е"'1 корни полинома А'(г, у), построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области СД| или на ее границе. Обратно, если корни некоторого полинома А(г) принадлежат области См и при этом вещественные корни положительны, то можно указать такой вектор у е Еп*, что справедливо тождество Д(г)зД*(2,у). Здесь

Л'(М) = П(22 +аК7,г)2+о?(7,г)), (13)

если п^ — четное, с1 = пц / 2;

Д'(г,у) = (г-а,+1(у,г))П(72 +а,,(у,г)г + «,°(у ,/•)), (14)

/=1

если п11 - нечетное, с{ /2];

(У,О = Т*,/2 + л/Тл/4-^2)+ ехр(-7?, / 2 -Ьп'*~У1г1

а?(у,г)=ггехр(-7п). ' = 1,^ ¿7,,+|(у,г) = /-ехр(-у^0),

У = {7|1>У12»У21»У22>—>7</МУ^2»'У</О}'

Теорема 2.2. Для любого вектора уе корн« полинома А* (г, у) (13),(14) принадлежат области Сд2 м обратно, если корни некоторого полинома А(г) принадлежат области Сд2 и при э»иш вещественные корни положительны, то можно указать такой вектор у е £""'', что справедливо тождество Д(г) = где

а](1,г) = -/-(ехр(-у,)+схр(-7?, - V,.)), о,°(7.'") = ''2ехр(-27?1), / = 1,с/, а,,+|(у,г) = /-ехр(-у20),

Ч " /(У,-2 )Ьг (г ехр(- у?,))+ У,4,), У = (У,,>У,2,У2,,722,• • У(/|,I,,, 7*,} • При этом функция + (0,1) должна удовлетворять усло-

вию существования обратной функции во всей области задания, а -вегцественная функция переменной ^ € (0, /•]. принимающая значения из отрезка [0,зг], причем \]/(г) = 0.

Теорема 2.2 используется для построения вычислительного метода решения задачи параметрического синтеза (12). При этом считается, что структура регулятора (11) является полной. Тогда для любого вектора у е E"d может быть составлена система нелинейных уравнений L(h) ="/("/)' относительно неизвестных компонент вектора h. Обозначим общее решение данной системы как Ь=Ь*(£),где ге Ек - произвольный вектор независимых параметров. При этом функционал Jk становится функцией вектора е: Jk -j'k(e).

Теорема 2.3. Если в задаче параметрического синтеза (12) при условии СЛ = СЛ,, экстремум достигается в некоторой точке hJ0 е Q.,,, то в пространстве Ех найдется такая точка £к0, что

hi0 = h*(et0), причем sk0 =arg min J*k{z). (15)

И обратно: если в пространстве Ех существует точка гк0, удовлетворяющая (15), то точка hJ0 = h'(£i0) является решением задачи (12). Или, иными словами, в указанном смысле задача (12) эквивалентна задаче на безусловный экстремум

j't=jl(£)~unf. (16)

IE El

Из теоремы 2.3 следует, что на каждом такте формирования управления должна быть решена задача безусловной оптимизации (16).

Реализация подхода продемонстрирована на примере управления движением судна в режиме маневрирования по курсу. В качестве итогового примера рассматривается задача управления скоростными судами, оборудованными интерцепторами.

Третья глава посвящена решению задач оптимизации, связанных с выбором маршрутов движения судов на трансокеанских переходах. При этом качество маршрута оценивается временем перехода или расходом топлива с учетом прогноза погодных условий в районе плавания.

Пусть траектория движения судна задается вектором г е Е2р, а скорость движения по ней - вектором ve£', где р - количество участков траектории. Введем функции Jr{r,v) и JF(r,v), определяющие длительность перехода и расход топлива соответственно для маршрута (г, v).

Показано, что задачу формирования маршрута можно представить как

Jr(r',v*) = min min Jr(r,v)

reRs veV(r)

при минимизации времени перехода, или

v") = min ™!РЛ(»% v),

reR,- veV(r)

(18)

при оптимизации расхода топлива. Здесь У(г) - множество векторов допустимых заданных скоростей, зависящее от вектора г, а множество состоит из векторов г определяющих траектории, по которым возможно движение без нарушения ограничений, формирующих множество У(г).

Вычислительные затраты, необходимые для решения задач (17), (18), очень велики. С целью сокращения времени вычислений разработаны алгоритмы, основанные на представлении допустимых множеств в задачах (17), (18) конечными совокупностями допустимых тряртггприй.

Для реализации предлагаемых алгоритмов вначале необходимо выполнить предварительный этап, состоящий в построении набора траекторий, покрывающих область плавания и допустимых по отношению к статическим ограничениям.

Задание набора траекторий состоит из следующих этапов:

1. Формируется траектория, соединяющая начальную и конечную точки по линии прямого курса.

2. Строится набор траекторий, расположенных выше и ниже траектории прямого курса. Построение осуществляется так, чтобы равномерно заполнить всю область между крайними траекториями.

3. Проверяется допустимость каждой траектории из полученного в пункте 2 набора. Если траектория /(г,) допустима, то вектор г; оставляется без изменений. В противном случае, строится ближайшая допустимая траектория, и вектор г; заменяется соответствующим вектором г/, определяющим новую траекторию /(г/).

Результатом работы алгоритма является совокупность допустимых по отношению к статическим ограничениям траекторий {/(г;.)}*, и соответствующих векторов г„/=1,Л^.

Для формирования маршрута, оптимального по времени перехода, на каждой траектории /(г,) решается задача о минимизации времени перехода на допустимом множестве У(г.):

Т( г,) & JT (г, ,\,) = min Л (г,, v).

reV(r,)

Если множество V(r.) не пустое, то в результате получаем оптимальный вектор v' е V(r), и в качестве приближенного решения (r\v') задачи (17) выбирается допустимый маршрут с наименьшим временем перехода:

•/r(r*>v*)= min Л(г,-»у/)-

Для формирования маршрута, оптимального по расходу топлива, вводится новое допустимое множество заданных скоростей, учитывающие дополнительное ограничение на величину расхода топлива:

V(r) = {v:veV(r),J,(r,v)<Jr}-

Для каждой траектории /(г;) решается задача о минимизации времени движения, аналогичная задаче (19), но на множестве V*(r). Если V*(r;) не пустое, то в результате решения задачи минимизации находится оптимальный вектор v". В качестве оптимального маршрута (г", v") выбирается допустимый маршрут с наименьшим временем перехода:

^(г",у")= min Jr(r„v").

Практическая работоспособность и эффективность полученных алгоритмов при реализации в режиме реального времени продемонстрированы на конкретных примерах формирования маршрутов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

1. Формализован вопрос о желаемом качестве фильтрации высокочастотных возмущений в контуре управления с учетом динамических ограничений и предложен новый метод синтеза цифрового фильтра на базе интерполяции Неванлинны-Пика.

2. Разработан алгоритм управления подвижными объектами с нелинейной прогнозирующей моделью, включенной в замкнутый контур, с практической реализацией в режиме реального времени.

3. Предложен метод синтеза цифровых законов управления с прогнозирующей моделью, обеспечивающий желаемые модальные свойства линейного приближения замкнутой системы.

4. Разработаны алгоритмы оптимизации маршрутов движения морских

судов, обеспечивающих снижение затрат топлива и времени перехода с

учетом прогноза погодных условий.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1. Sotnikova М. Plasma stabilization based on model predictive control // International journal of modem physics A.- Vol. 24, No. 5 - 2009. - p. 999-1008.

2. Сотникова M.B. Алгоритмы формирования маршрутов движения судов с учетом прогноза погодных условий // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009.-Вып. 2.-С. 181-196.

3. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Применение спектрального мртодп Н оптимизации для синтеза фильтров морского волнения // Гироскопия и навигация. - 2009. - № 2. - С. 24-36.

Публикации в других изданиях:

1. Веремей Е.И., Сотникова М.В., Хуан Годун, Ван Хунбо, Чень Сюньцю-ань. Бортовой алгоритм прогнозирования динамики судов в условиях морского волнения // Тр. Международной конференции «Устойчивость и процессы управления». - СПб.: СПбГУ, 2005. - С. 1339-1346.

2. Сотникова М.В. Компьютерное моделирование алгоритмов управления с прогнозом // Тр. XXXVII конф. «Процессы управления и устойчивость». - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. - С. 433-439.

3. Сотникова М.В. Компьютерная реализация управления с прогнозом в режиме реального времени // Межвузовский сборник научных трудов «Программное и информационное обеспечение систем различного назначения на базе персональных ЭВМ». - М.: МГУПИ, 2006. - Вып. 9. -С. 214-222.

4. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Управление с предсказанием на базе нелинейной прогнозирующей модели // Тр. III конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». - 2007. - С. 9741000.

5. Сотникова М. В. Идентификация линейной модели магнитной левитации в среде MATLAB // Тр. IV конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». - 2009. - С. 507-522.

Подписано к печати 24.08.09. Формат 60 х 84 Vi&. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Закат 4498.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043,428-6919

ВВЕДЕНИЕ .:.

1. Актуальность, цели и основные результаты диссертации

2. Общие постановки и обсуждение рассматриваемых задач.

3. Обзор литературы по теме работы

ГЛАВА 1. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ

СИГНАЛОВ В КАНАЛЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

1.1. Специализированная структура дискретных законов управления динамическими объектами.

1.2. Формализация задачи динамической фильтрации.

1.3. Спектральный подход к синтезу фильтра

1.4. Алгоритм и содержательный пример цифровой фильтрации

ГЛАВА 2. УПРАВЛЕНИЕ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

С ПРОГНОЗОМ В КОНТУРЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ.

2.1. Управление с нелинейной прогнозирующей моделью в режиме реального времени.

2.2. Управление циркуляцией морского судна с использованием прогнозирующей модели.

2.3. Цифровое управление с прогнозом на базе параметрической оптимизации линейного приближения.

2.4. Управление скоростными судами, оборудованными интерцепторами, с применением прогноза.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ МАРШРУТОВ

С УЧЕТОМ ПРОГНОЗА ПОГОДНЫХ УСЛОВИЙ.

3.1. Постановка задач оптимизации маршрутов движения на трансокеанских переходах

3.2. Вычислительные алгоритмы для решения задач оптимизации маршрутов судов

3.3. Примеры решения задач о построении маршрутов

1. Актуальность, цели и основные результаты диссертации

В настоящее время при рассмотрении комплекса вопросов, относящихся к сфере математического и компьютерного моделирования, исследования, проектирования и реализации систем автоматического управления динамическими объектами центральная роль принадлежит современным компьютерным технологиям. Это определяется двумя основными обстоятельствами, определяющими особую роль и место, занимаемое цифровыми системами в указанной сфере.

Во-первых, постоянное стремление к всемерному повышению эффективности и качества функционирования сложных динамических объектов порождает исключительно сложные комплексы условий, ограничений и требований, которые должны быть обеспечены с помощью систем автоматического управления. Обеспечение указанного комплекса невозможно без широкой поддержки вычислительными средствами на всех стадиях исследований, разработки и реализации этих систем.

Во-вторых, современное состояние и лавинообразный рост потенциала средств вычислительной техники и инструментов их программной поддержки определяет, непрерывно расширяющиеся возможности повышения эффективности и качества научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ, относящихся к системам управления. Очевидно, что полное использование этих возможностей не достижимо, однако стремление к максимальному их учету носит естественный характер.

Особая значимость придается вопросам применения компьютерных технологий на стадии практической реализации законов (алгоритмов) управления в режиме реального времени. Это связано с тем, что цифровые устройства, системное, инструментальное и прикладное программное обеспечение обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед соответствующими средствами аналоговой техники. Сюда относятся универсальность, гибкость, простота в настройке и обслуживании, компактность и многие другие особенности [40], [47], [66], [77].

Тем не менее, возможности цифровой техники не безграничны, что с особой остротой ощущается при бортовой реализации систем управления подвижными объектами и в различных вариантах встраиваемых управляющих систем. В первом случае доминирующие ограничения определяются габаритными и весовыми характеристиками, во втором — вопросами экономичности микропроцессорной поддержки [64], [83], [92].

В указанных ситуациях резко возрастает ответственность, возлагаемая на разработчиков алгоритмического обеспечения систем управления, которое должно поддерживать разумный компромисс между уровнем эффективности и качества динамических процессов и реальными возможностями по памяти и быстродействию вычислительных средств. 1

Особую роль играют вопросы оптимизации процессов управления по различным критериям. Естественное стремление к наилучшей динамике управляемых объектов в настоящее время, как правило, решается путем адаптивной перенастройки обратных связей. Такая перенастройка может выполняться в ходе функционирования системы непосредственно (однократно, периодически или непрерывно) по текущим измерениям [55], [63], [69]. Другой подход (именуемый в иностранной литературе МРС - model predictive control) предполагает использование прогнозирующих моделей в контуре обратной связи [60], [65], [84]. 1

И в том, и в другом варианте для решения оптимизационных задач в темпе протекания реальных процессов требуется всемерная экономия времени счета и необходимого объема памяти. Заметим, что эти вопросы не носят принципиального характера для проектирования неадаптивных систем в стационарных условиях, но цифровая реализация в реальном времени выдвигает их на.передний план. В ряде ситуаций оказывается, что даже экономия в единицах .процентов позволяет уложиться в такт счета для дискретной системы управления, что качественно меняет ситуацию. В связи с этим требуется известная доработка даже популярных и широко используемых методов оптимизации, обеспечивающая такую экономию требуемых вычислительных ресурсов, которая позволит говорить о возможности их использования для управления в режиме реального времени.

В частности, в последние годы существенное внимание уделяется вопросам оптимизаций законов управления движением морских объектов [11], [12], [20], [23], [36]. В публикациях [11], [12] предложено использование единой структуры законов управления для различных режимов движения. Использование этой структуры позволяет обеспечить многоцелевую ориентацию системы, учитывающую все возможные варианты режимов ее функционирования и весь комплекс требований для обеспечения желаемой динамики в конкретных ситуациях. Тем не менее, до сих пор остаются не исследованными вопросы, связанные с цифровыми вариантами их реализации с учетом специфики синтеза дискретных систем.

Целый ряд до сих пор нерешенных вопросов существует и в области цифрового управления с прогнозом [71], [90]. Сюда следует отнести проблемы с отсутствием гарантии устойчивости движений замкнутых систем, проблемы применения нелинейных моделей и ограничений и т.д.

Отмеченные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на внедрение современных математических методов анализа и синтеза законов управления динамическими объектами в цифровые системы, реализующие эти законы в режиме реального времени. Исследования по данному направлению интенсивно проводятся в последние годы, однако проблему никак нельзя считать исчерпанной в связи с наличием целого ряда трудностей математического и технологического характера. В связи с этим представляется уместным всестороннее развитие математических методов, алгоритмов и реализующих их программных средств, а также их адаптация для решения задач управления конкретными С классами динамических объектов с применением цифровых систем. Конечным результатом должно служить повышение качества процессов управления, достигаемое посредством снижения вычислительных затрат при цифровой реализации.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов для решения задач анализа и проектирования цифровых систем автоматического управленйя в режиме реального времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации и прогнозирования динамических процессов в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим конкретным направлениям:

• формализация вопроса о цифровой фильтрации высокочастотных помех в канале управления с учетом требования устойчивости и ограниченности динамических характеристик замкнутой системы;

• разработка нового метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров в составе многоцелевой структуры законов управления подвижными объектами с привлечением Нт -оптимизационного подхода;

• исследование эффективности применения прогнозирующих моделей в контуре цифрового управления подвижными объектами с адаптацией к реальным динамическим свойствам и условиям функционирования;

• разработка методов управления с прогнозирующими моделями, учитывающих требования устойчивости замкнутого контура на базе идеологии модальной параметрической оптимизации в заданных областях комплексной плоскости; t

• разработка алгоритмов для оптимизации маршрутов морских подвижных объектов на трансокеанских переходах с учетом периодически поступающих прогнозов погодных условий в области плавания.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 96 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена вопросам моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления динамическими объектами в дискретном времени, базирующихся на цифровых устройствах и современных компьютерных технологиях.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмов решения задач, связанных с исследованием и проектированием цифровых систем автоматического управления в режиме реального времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации и прогнозирования динамических процессов в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим конкретным направлениям:

• формализация вопроса о цифровой фильтрации высокочастотных помех в канале управления с учетом требования устойчивости и ограниченности динамических характеристик замкнутой системы;

• разработка нового метода синтеза квазиоптимальных цифровых фильтров в составе многоцелевой структуры законов управления подвижными объектами с привлечением Пт -оптимизационного подхода;

• исследование эффективности применения прогнозирующих моделей в контуре цифрового управления подвижными объектами с адаптацией к реальным динамическим свойствам и условиям функционирования;

• развитие методов управления с прогнозирующими моделями, учитывающих требования устойчивости замкнутого контура на базе идеологии модальной параметрической оптимизации в заданных областях комплексной плоскости;

• формирование алгоритмов для оптимизации маршрутов морских подвижных объектов на трансокеанских переходах с учетом периодически поступающих прогнозов погодных условий в области плавания.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Формализован вопрос о желаемом качестве фильтрации высокочастотных возмущений в контуре управления с учетом динамических ограничений и предложен новый метод синтеза цифрового фильтра на базе интерполяции Неванли'нны-Пика.

2. Разработан алгоритм управления подвижными объектами с нелинейной прогнозирующей моделью, включенной в замкнутый контур, с практической реализацией в режиме реального времени.

3. Предложен метод синтеза цифровых законов управления с прогнозирующей моделью, обеспечивающий желаемые модальные свойства линейного приближения замкнутой системы.

4. Разработаны алгоритмы оптимизации маршрутов движения морских судов, обеспечивающих снижение затрат топлива и времени перехода с учетом прогноза погодных условий.

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. - Киев: Наукова думка, 1978. - 327 с.

2. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. -1992,-№9.-С. 3-32.

3. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Нда-оптимального синтеза // Теория и системы управления. -1995.-№4.-С. 88-96.

4. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

5. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей. М., 1978. - Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

6. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982.-С. 24-31.

7. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. -№ 10. - С. 52-57.

8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. -№ 12. - С. 33-39.

9. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. -№9.-С. 126-137.

10. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 05.13.16. СПб., 1995. -353 с.

11. Веремей Е.И., Еремеев В.В., Корчанов В.М. Синтез алгоритмов робастного управления движением подводных лодок вблизи взволнованной поверхности моря // Гироскопия и навигация. 2000. - № 2. - С. 34-43.

12. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожев С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. ^ СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 370 с.

13. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Принципы адаптивного управления движением ПЛ в условиях развитого морского волнения // Сб. докладов5.й Международной конференции по морским интеллектуальным технологиям «МОРИНТЕХ-2003». СПб., 2003. - С. 164-174.

14. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Н® // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. 2004. - Вып. 1. — С. 48-59.

15. Веремей Е.И., Коровкин М.В. Применение пакета NCD для решения задач модальной параметрической оптимизации // Тр. II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 884-896.

16. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. В. Ю. Лебедева; Под ред. А. А. Петрова. М.: Мир, 1985. - 509 с.

17. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1972. - 278 с.

18. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. -М.: Физматгиз, 1951. "

19. Дмитриев С.П., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ-ЦНИИ «Электроприбор», 2002.- 160 с.

20. Закатов П.С. Курс высшей геодезии. М.: Недра, 1976.-511 с.

21. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.496 с.

22. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966. — 352 с.

23. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. - 336 с.

24. Калман Р., Быоси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д. -1961.-Т. 83, № 1. С. 123-141.

25. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650 с.

26. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.-398 с.

27. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. — 558 с.

28. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. - 712 с.

29. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

30. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1968. — № 12.-С. 142-144.

31. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1971. - 139 с.

32. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960. - № 4-6; 1961. - № 4, 11.

33. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.359 с.

34. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. — М.: Наука, 1981.-256 с.

35. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. - 320 с.

36. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967. - 550 с.

37. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб: Питер, 2005. — 271 с.

38. Ньютон Д., Гулд Л., Кайзер Д. Теория линейных следящих систем. М.: Физматгиз, 1961.

39. Олссон Г., Пиани Д. Цифровые системы автоматизации и управсления. СПб.: Невский Диалект, 2001.-557с.

40. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. — М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

41. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. — Л.: Судостроение, 1973. 216 с.

42. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977.

43. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика. 1983. — № 7. - С. 5-24.

44. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. - 292 с.

45. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

46. Поляков К.Ю. Основы теории цифровых систем управления: Учеб. пособие. СПб.: СПбГМТУ, 2006. - 161 с.

47. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. — 148 с.

48. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Наука, 1974. - 400 с.

49. Пугачев В. С;, Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. -М.: Наука, 1990. 560 с.

50. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

51. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960. - 656 с.

52. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

53. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. -М.: Наука, 1982.

54. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

55. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Пер. с англ.: И.М. Быховская, Б.Т. Вавилов; ред.: М.Л. Быховский. М.: Мир, 1975.-536 с.

56. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964.

57. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск, гос. ун-та, 1996. - 432 с.

58. Akerblad М. A Second Order Cone Programming Algorithm for Model Predictive Control. — Licentiate's thesis, Royal Institute of Technology, Stockholm, 2002.

59. Allgower F., Zheng A., editors. Nonlinear Model Predictive Control. -Basel: Birkhauser-Verlag. 2000. - 472 p.

60. Bellman R. Dynamic Programming. — Princeton University Press (New Jersey). 1957.

61. Bijlsma S. J. A Computational Method for the Solution of Optimal Control Problems in Ship Routing // Navigation. Journal of The Institute of Navigation. 2001.-Vol. 48.-P. 145-154.

62. Bogsra O.H., Kwakernaalc H., Meinsma G. Design methods for control systems. — Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

63. Braunl Th. Embedded Robotics: Mobile Robot Design and Applications with Embedded Systems 2nd ed.- Berlin: Springer-Verlag, 2006 - 458 p.

64. Camacho E.F. and Bordons C. Model Predictive Control. 2nd ed. -London: Springer-Verlag, 2004. - 405 p.

65. Caspi P., Maler O. From Control Loops to Real-Time Programs. In Handbook of Networked, and Embedded Control Systems (Hristu D. and Levine W.S. editors), Boston: Birkhauser, 2005. - P. 395-418.

66. Chen H. A dynamic program for minimum cost ship routing under uncertainty: PhD Thesis. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 1978.- 163 p.

67. Cutler C.R., Ramaker B.C. Dynamic Matrix Control A Computer Control Algorithm // Proc. Joint Automatic Control Conference.- San Francisco, 1980.-PaperNo. WP5-B.

68. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - XI, 227 p.

69. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and HOT. control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989,- Vol. 34, nr. 8. - P. 831-847.

70. Findeisen R., Biegler L.B., Allgower F., editors. Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Berlin: Springer-Verlag, 2007. - 642 p.

71. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. 2nd ed. - John Wiley & Sons Ltd., 2000.-450 p.

72. Francis В.A. A course in Hoo control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987. - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

73. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theory with an H^ optimality criterion // SIAM J. Control and Optimization. 1987. - Vol. 25. - P. 815-844.

74. Hagiwara H. Weather routing of (sail-assisted) motor vessels: PhD Thesis. Delft: Technical University of Delft, 1989. - 337 p.

75. Hendricks E., Jannerup O., Sorensen P.H. Linear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods. Berlin: Springer-Verlag, 2008. - 555 p.

76. Hung Y. S. ^Яоо-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. 1998. - Vol. 49. -P. 675-684.

77. James R.W. Application of wave forecast to marine navigation. -Washington, D.C.: US Navy Hydrographic Office, 1957. 78 p.

78. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. Vol.82. - P. 35-45.

79. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. - Vol. 5. - P. 102-119.

80. Kargoneckar P. P., Peterson I. R., Rotea M. A. Hm optimal control with state-feedback 11 IEEE Transactions on Automatic Control. 1988. -Vol.33.-P. 786-788.

81. Landau I.D., Zito G. Digital Control Systems: Design, Identification and Implementation. London: Springer-Verlag, 2006. - 484 p.

82. Maciejowski J.M. Predictive Control with Constraints. London: Prentice Hall, 2002. - 331 p.

83. Mayne D.Q., Rawlings J.B, Rao C.V., Scokaert. Constrained model predictive control: Stability and optimality // Automatica. 2000. - Vol. 36. -P. 789-814.

84. Nesterov Y, Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. — Philadelphia: SIAM, 1994.

85. Pontryagin L. S, Boltyanskii V. G., Gamkerelidze R. V., Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. — John Wiley (New York).

86. Prime И. Modern concepts in control theory. McGraw-Hill. - 1969.

87. Richalet J., Rault A., Testud J.L., Papon J. Model Predictive Heuristic Control: Application to Industrial Processes // Automatica. — 1978. Vol.14. -P. 413-428.

88. Rossiter J.A. Model-Based Predictive Control: A Practical Approach. Boca Raton: CRC Press, 2003. 318 p.

89. Ruscio D. Model Predictive Control and optimization. Lecture Notes for a course of the Telemark University College. - 2001. - 176 p.

90. Sami Fadali M., Visioli A. Digital Control Engineering: Analysis and Design. Burlington: Academic Press, 2009. - 552 p.

91. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach. -Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

92. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationaiy time series. Cambridge, 1949.

93. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear Systems Theory. McGraw Hill book Co, New York, NY, - 1963.

94. Zames G. Feedback and complexity. Special plenary lecture addendum // IEEE Conf. Dec. Control. 1976.1962.1. С' iи