автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы оптимизации переходных режимов в цифровых системах управления подвижными объектами

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

На правах рукописи

ЛЕПИХИН Тимур Андреевич

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 С ОнI 2ш1

Санкт-Петербург 2011

4857887

4857887

Работа выполнена на кафедре компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович Санкт-Петербургский государственный университет.

кандидат физико-математических наук, Тукачев Павел Анатольевич ООО «Передовые Технологии - Максимум Качества», г. Санкт-Петербург.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт информатики и

автоматизации РАН

Защита состоится « 26 » октября 2011 года в 14 часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан "26 " сентября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Комплекс вопросов, относящихся к сфере математического и компьютерного моделирования, исследования, проектирования и реализации систем автоматического управления подвижными объектами, в данное время немыслимо решать без широкого привлечения современных компьютерных технологий. Это определяется двумя основными обстоятельствами, определяющими особую роль и место, занимаемое цифровыми системами в указанной сфере.

Первый момент связан с постоянно растущими требованиями к эффективности и динамическому качеству систем управления, в особенности - к надежности работы и безопасности экипажей. Эти требования задаются сложным комплексом условий, ограничений и требований, выполнение которых обеспечивается системой управления па базе мощной компьютерной поддержки исследований, разработки и реализации.

Второй момент определяется современным состоянием и неуклонным ростом возможностей элементной базы компьютеров и соответствующих программных инструментальных средств, что способствует повышению эффективности НИР и ОКР по системам управления движением.

Особую роль играют современные цифровые устройства и компьютерные технологии на стадии практической реализации алгоритмов управления в режиме реального времени. Это связано с их универсальностью, гибкостью, простотой в настройке и обслуживании, компактностью и многими другими достоинствами по сравнению с аналоговой техникой.

Однако следует отметить, что при реализации законов управления возможности цифровой техники далеко не безграничны, в особенности - для подвижных объектов. Это связано с существенной ограниченностью как бортовых ресурсов по весу и габаритам, выделяемых на размещение соответствующей аппаратуры, так и энергетики бортовых источников питания. Кроме того, важно и стремление к использованию наиболее простой и дешевой элементной базы в бортовых вычислительных комплексах.

Отмеченные обстоятельства определяют особую значимость достижения разумного компромисса между уровнем динамического качества управляемых движений и реальными возможностями бортовых устройств по памяти и быстродействию.

Применение современных компьютерных технологий при исследовании и создании систем управления, в первую очередь, определяется необходимостью обеспечения требуемой функциональности, которая достига-

ется с помощью формализованных подходов на этапе проектирования. Целью служит формирование математических моделей законов управления, обеспечивающих желаемую динамику замкнутых систем.

В рамках математической формализации такие модели, чаще всего, формируются как результаты решения различных задач оптимизации. Оптимизационный подход позволяет широко применять компьютеры в проектировании, существенно повысить его качество и освободить проектировщика от рутинных вопросов для решения тех проблем, формализация которых либо совсем невозможна, либо существенно затруднена.

В постановке задач оптимизации особую значимость имеет выбор функционалов качества и разработка методов поиска экстремумов. Теоретические основы соответствующих подходов были разработаны в трудах

A.M. Лётова, В.И. Зубова, A.A. Красовского, В.В. Солодовникова,

B.C. Пугачёва, Р. Калмана и многих других исследователей.

Стремление к наилучшей динамике управляемых процессов, как правило, реализуется путем адаптивной перенастройки обратных связей, которая выполняться в ходе работы системы (однократно, периодически или непрерывно) по ее текущему состоянию путем решения соответствующих оптимизационных задач. Это требует всемерной экономии времени счета и объема оперативной памяти, что несущественно при проектировании неадаптивных систем в стационарных условиях. Однако цифровая реализация в реальном времени резко повышает значимость такой экономии, что весьма существенно для систем управления движением.

В частности, вопросы решения прикладных задач в области процессов управления движением судов нашли отражение в фундаментальных работах В.И. Зубова, E.H. Розенвассера, Ю.А.Лукомского, В.М. Корчанова,

C.П. Дмитриева, Ю.П. Петрова, А.Е. Пелевина и других известных ученых, где существешюе внимание уделяется проблемам оптимизации, включая учет требований адаптивной реализации.

В работах Е.И. Веремея и В.М. Корчанова предложено применение многоцелевой структуры законов управления движением, в которую входят настраиваемые элементы, включаемые в действие по мере необходимости для обеспечения желаемой динамики системы. Тем не менее, до сих пор остаются не исследованными многие вопросы, связанные с ее цифровой реализацией при учете специфики синтеза дискретных систем.

Отмеченные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований по внедрению современных математических методов анализа и синтеза законов управления подвижными объектами в практику разработ-

ки цифровых систем, реализующих эти законы в темпе реального времени. Подобные исследования ведутся достаточно широко, однако решению проблемы препятствуют объективные трудности математического и технологического характера. В связи с этим представляется уместным развивать математические методы, алгоритмы и реализующие их программные средства, а также приспосабливать их для решения задач цифрового управления конкретными классами подвижных объектов. Это должно существенно повысить качество процессов управления при снижении вычислительных затрат на цифровую поддержку методов расчета оптимальных решений и их применение в режиме реального времени.

Целью диссертационной работы является проведение исследований и разработок, направленных на развитие математических методов и алгоритмов решения задач анализа и проектирования цифровых систем автоматического управления движением, функционирующих в переходных динамических режимах, с учетом требований применения в реальном времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации динамических процессов, протекающих в замкнутых системах.

Представленные в диссертационной работе исследования проводились по следующим конкретным направлениям:

• развитие методов модальной параметрической оптимизации динамических систем управления в дискретном времени;

• разработка методов повышения быстродействия для систем управления движением путем выбора варьируемых параметров линейных цифровых обратных связей;

• исследование вопросов астатизма по контролируемым координатам для цифровых систем и развитием методов его обеспечения;

• исследование особенностей законов цифрового управления морских судов с многоцелевой структурой и развитие методов синтеза ее настраиваемых элементов для переходных режимов движения;

• разработка алгоритмов применения прогноза для автоматизированного управления маневрированием судов;

• рассмотрение решения практических задач управления подвижными объектами для иллюстрации работоспособности и эффективности разработанных методов.

Методы исследований. Решение задач, рассматриваемых в диссертации, базируется на классических и современных методах анализа и синтеза систем управления динамическими объектами. При этом поиск и исследование законов обратной связи (регуляторов) осуществляется с использова-

нием аналитического и вычислительного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, численных методов высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна результатов диссертационного исследования состоит в разработке новых аналитических и численных методов анализа и синтеза законов цифрового управления подвижными объектами. Развиваются модальные методы многоцелевой параметрической оптимизации динамических систем управления в дискретном времени. Сформирован новый подход к повышению быстродействия систем управления движением путем выбора варьируемых параметров линейных цифровых обратных связей с учетом требований режима реального времени. Разработана методологическая основа для решения задач синтеза цифровых законов управления в специализированной многоцелевой структуре.

Практическая значимость работы состоит в ее исходной ориентации на обеспечение комплекса практических требований, выдвигаемых необходимостью эффективной реализации цифровых законов управления в режиме реального времени. Предлагаемые новые математические методы и вычислительные алгоритмы позволяют существенно повысить эффективность решения сложных проблем управления объектами с непосредственной цифровой практической реализацией. Результаты, полученные в диссертации, успешно используются при проведении конкретных работ по исследованию и проектированию систем управления подвижными объектами в судостроении и робототехнике.

Работоспособность и эффективность принятого в диссертации подхода подтверждена конкретными примерами синтеза цифровых законов управления движением морских судов в различных режимах функционирования, а также управления движением двухзвенного робота-манипулятора. Характеристики качества динамики соответствующих процессов вполне сравнимы с вариантами, полученными другими путями, а в ряде аспектов превосходят их в разумных пределах.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова (SCP'2005) (Санкт-Петербург, 2005), III всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATT,AB» (Санкт-Петербург, 2007), III международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2008), IV всероссийской научной конференции «Проектирование инже-

нерных и научных приложений в среде МАЛЪАВ» (Астрахань, 2009), IV международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2009), международной конференции «XII конференция молодых ученых "Навигация и управление движением» (Сашст-Петербург, 2010), V международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2010), V международной научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ» (Украина, Харьков, 2011), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем и лаборатории компьютерного моделирования систем управления С116ГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 77 наименований. Объем составляет 11 б страниц машинописного текста, работа содержит 20 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ввсдсшш проводится общее осуждение всех задач, решаемых в диссертационной работе, и дается краткий анализ опубликованных научных работ по теме диссертации.

Первая глава представляет материалы исследований, связанных с аналитическим синтезом алгоритмов функционирования цифровых систем управления динамическими объектами, работающими в переходных режимах движения. Основное внимание уделяется вопросам, связанным с обеспечением желаемого быстро действия и астатизма замкну той системы по регулируемым переменным.

Первый параграф посвящен методической основе повышения быстродействия, в качестве которой принят оптимизационный подход, базирующийся на идее модальной параметрической оптимизации. Ее существо состоит в обеспечении экстремума функционала, заданного на движениях замкнутой системы, на множестве таких значений настраиваемых параметров, что корни характеристического полинома линейного приближения лежат в заданной области внутри единичного круга на плоскости корней.

Здесь рассматриваются уравнения замкнутой нелинейной модели объ-

екта управления в дискретном времени

х[и +1] = G(H,x[«],u[/?],(p[«]),

у[л] = Сф], (1)

u[«] = W(g,h)yN,

заданные на положительной полуоси п е [0, со) с jV1 . Здесь х е Е"' - вектор состояния объекта, у - вектор измеряемых переменных, иеГ - вектор управляющих воздействий, ср е Е'- вектор внештшх возмущений.

На движениях замкнутой системы (1), определяемых заданным возмущением ф= {$[«]} и начальными условиями х[0] = х0 при нулевых начальных условиях по вектору состояния^ обратной связи, задается некоторый неотрицательный функционал Jр = ^(xt^hl.uf^h]) и ставится задача его минимизации, как функции варьируемых параметров h е Ер:

Jp=Jp{h)->hinf. (2)

Считаем, что функция G допускает линеаризацию в окрестности указанных движений, т.е. существует модель линейного приближения х[и +1] = Ах[и] + Ви[и] + Нср[л],

у[и] = Сх[и], (3)

п[и] = W(?,h)y[n],

записанная в отклонениях от этих движений. _

Здесь допустимое множество = { h е Ер: 5,(h) е Сд, i = \,nd) определяет нахождение корней 8. характеристического полинома вида

( E„z-А

A3(z,h) = det

- Wj(z,h)C

"В | (4)

W2(z,h)J

в заданной желаемой области Сд, пл = deg А3. В качестве этой области далее принимается круг СА - {г е С : < /'}, г е (0,1).

В данном параграфе приведено доказательство базового утверждения, позволяющего свести сложную задачу (2) нелинейного программирования к более простой задаче на безусловный экстремум.

Во втором параграфе в центре внимания находится вопрос о выборе коэффициентов линейных обратных связей по состоянию или по измерениям, обеспечивающем повышение быстродействия замкнутой системы с учетом комплекса предъявляемых к ней динамических требований.

Рассматривается математическая модель объекта управления в виде замкнутой нелинейной системы с линейной обратной связью:

x[H + l] = Ax[H] + Bf(u[n]),

у[и] = Сх[и] +Du[w], и[и] = W(?,h)y[w],

где матрицы А, В, С и D имеют постоянные элементы, а компонентами векторной функции f служат функции-срезки

Гм,., если|м(|<«,0, .

[ию ■s\gn(ul),ecmi\ui\>ui0,

На движениях системы (5) при условии х[0] = х0 и при нулевых начальных условиях в обратной связи зададим функционал быстродействия

Тр = inf {и, : х[и] е Xf(Q,Cp),\/n > Пр), (6)

определяющий длительность процесса перевода вектора состояния из положения х0 в заданную £р-окрестность А/(0,ef) начала координат, где с.р - фиксированное вещественное число (обычно принимают ер < 0.05||х0||). Очевидно, что при прочих фиксированных данных, введенный функционал превращается в функцию варьируемых параметров h е Ер: Тр = Тр (h).

Вопрос о повышении быстродействия замкнутой системы выбором указанных параметров формализуем в виде следующей задачи синтеза

Гр=Тр(Ъ)-+ inf . (7)

heC2„

Теорема 1.2. Если в задаче модачыюго параметрического синтеза (7) экстремум достигается в некоторой точке hÄ0 е QИ, то в вещественном евклидовом пространстве Е найдется

токая точка ß^o» что Ко=ъ'(Чо)> причем Еk0 = arg minТ"(е). (8)

ееЕ1 у

Обратно: если в пространс?пве Ех существует точка ък0> удовлетворяющая (8), то вектор hw =h (сА0) является решением задачи (7). Иными словами, в указанном смысле задача (7) эквивалентна задаче на безусловный экстремум

Тр = Тр (в) —> inf .

Здесь вектор se£l представляет собой совокупность варьируемых параметров (л > р), при этом указывается, как выбрать величину X и как формируется вспомогательная функция Тр на базе функционала Тр .

Далее изучается задача модальной параметрической оптимизации с за-дапной динамической областью, с помощью которой учитываются дополнительные динамические требования к переходному процессу. Для задания этой области вводится скалярная функция х = {.г[н,Ь]} дискретного времени, определяющая динамическое качество переходного процесса:

x[»,h] = |y[«,h]l = -7y'[«.b]Ry[«,h],

где R - заданная знакоположительная симметрическая весовая матрица. Кроме того, задаются две числовые последовательности = {^[и]} и х2={х2[и]} такие, что х2[/г] < х^и] VneN1. Считается, что указанные требования выполнены, если справедливы неравенства

х2 [и] < х[п, h] < х, [и] V« е [0, N], (9)

что соответствует желаемому качеству процесса. Для оценки меры нарушения условий (9) вводится функция a(h):

<x(h) = f>„(h), (10)

и=0

где а„ (h) - локальная мера для п -го отсчёта, определяемая формулой

0, if xjH^xfw.hl^xJw]; a„(h) = - x[«,h] - Xj[«], if x[«,h] > xjn];

х2[и]-х[и,Ь], if x[w,h] < х2[и].

Если oc(h) Ф 0, то ставится оптимизационная задача

а = a(h) -» min , (11)

для которой справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.3. Если в оптимизационной задаче (11) достигается нулевой глобальный экстремум функционала (10) в некоторой точке Ьа0 е Оя, то в пространстве Ех найдется такая точка еа0) что

Ьа0 =И"(еа0), причем см = а^гтпа(е). (12)

Обратно: если существует точка еие£1, удовлетворяющая (12), то вектор Ьа0 = Ь (еа0) является решением задачи (11).

В указанном смысле задача (11) эквивалентна задаче а =а (е)-мпГ на безусловный экстремум, где вектор с е Е'' представляет собой совокупность варьируемых параметров (л > р).

Кроме того, в данном параграфе исследуется вопрос о синтезе квазиоптимальной обратной связи для линейного объекта, движущегося в горизонтальной плоскости, с ЬТ1 моделью четвертого порядка: х[л +1] = Ах[и] + Ь5[«], 5[и +1] = к[и], у[п] = сх[и].

Здесь х = {1'\ со ф) - вектор состояния, Уг - боковая скорость, го - угловая скорость, ср - угол поворота объекта, 8 - угол отклонения рулей, и - управление, с = (0 0 1). Будем далее предполагать, что все собственные числа матрицы А вещественные и они находятся в левой полуплоскости.

Известно, что оптимальное по быстродействию управление представляется релейной функцией времени не более, чем с тремя переключениями.

Будем строить квазиоптималыюе управление в виде

и = к+к2х2 + к3(х3 -фг) + £48, (14)

которое обеспечивает поворот объекта на желаемый угол ф2 и стабилизирует положение равновесия замкнутой системы (13), (14). Время Т<? перехода в малую окрестность этого положения должно быть сделано минимальным за счет выбора коэффициентов кп / = 1,4 регулятора (14).

Для решения задачи вначале формируется квазиоптимальное программное управление в виде последовательностей и ={и0[и]} и § ={5с[и]} представленных огибающими на рисунке.

и и0

ис

0 8 и/ П2 ИЗ И4 П

0 11 > И* П

Приближенное нахождение моментов пип2,п3 переключения управления осуществляется по простым формулам.

Далее выполняется переход к построению искомого линейного регулятора (14), коэффициенты которого удовлетворяют системе уравнений

фг,] = кххх[щ] + к2х2[щ] + &3(х3[и,] - фг) + ^бДи^ = О,

и[п2] =Кхх[п2~\ + к2х2{112\ + к3(хъ[п2] -фа) +£А[и2] = 0, (15)

Ф'3] = к1х1[щ]+кгх2[щ} + £3(х3[и3] - фг) + ¿4Зс[н3] = 0.

Если трактовать уравнения (15) как связи, учитываемые при выборе коэффициентов регулятора (14) для исходного линейного объекта, можно по-

ставить вспомогательную задачу о достижении максимальной степени устойчивости замкнутой системы. Эта задача может быть' решена численно с применением идеологии модальной параметрической оптимизации.

В третьем параграфе детально исследуется вопрос об астатизме по регулируемым координатам для замкнутых линейных и нелинейных цифровых систем управления. Выводятся условия астатизма, как в частотной, так и во временной области. Предлагается метод обеспечения астатизма, базирующийся на введении производных от динамических переменных в закон управления по состоянию.

Заметим, что представленные в главе новые методы удобны как для непосредственного синтеза цифровых алгоритмов, так и для оценки предельных возможностей синтезируемых систем.

Во второй главе диссертации основное внимание уделяется проблемам цифрового управления движением морских судов. В работе развиваются вопросы использования единой многоцелевой структуры законов управления для переходных режимов. Проводятся исследования, направленные на выбор варьируемых элементов в цифровом варианте единой структуры с учетом их применения в режиме реального времени на борту.

В первом параграфе вводится линеаризованная модель объекта х[и +1] = Ах[я] + В5[я] + Нфг],

6[и + 1]=и[л] + 6[и], (16)

У[«]=РМ=СХ[Л].

где хе Е"' - вектор состояния, 5 е Е" - отклонение рулей, й<= Е1 - внешнее возмущение, у е Ек - измеряемая переменная, иеГ - управляющий сигнал, А, В, Н и С - заданные матрицы с постоянными компонентами.

В общем случае закон управления выбирается в виде

»^ЛУ^у+ЛЭДЗ, (17)

где q - оператор сдвига на такт вперед по дискретному времени.

Передаточные матрицы \У и \У0 регулятора (17) априорно не известны и подлежат поиску в процессе синтеза, который удобно базировать на оптимизационном подходе, определяемом задачей

J=J(W,'W0)^■ М (18)

(\У,\У0)еП

Здесь 3 - функционал качества, заданный на движениях замкнутой нелинейной системы, О* с: О - допустимое множество искомых матриц, входящее в область О, для которой устойчива система (1б)-ь(17).

Во втором параграфе вводится в рассмотрение многоцелевая структура цифрового управления (17), именуемая далее структурой AOCS, которая включает следующие основные блоки со следующими уравнениями:

а) наблюдателя г[п + \] = Az[/í] + B5[«] + G(y[«]-Cz[?!]) (19)

б) корректора = F(q)(y - Cz) (20)

в) управляющего сигнала и[и] = \x(z[n +1] -z[«]) + vy[w] + ^[n] (21)

Здесь z e E"' и с e Em - вектор состояния наблюдателя и вектор выходных переменных корректора соответственно. Уравнения структуры можно записать в нормальной форме

г[п +1] = Аг[п] + В5[и] + G(y[/i] - Сг[и]), г [и +1] = аг[л] + р(у[я] - Cz[/?]), у[и] = Сх[и], (22)

и[и] = ц(г[и +1] - z [«]) + vy[w] + уг [и],

Априори неизвестными элементами структуры AOCS являются постоянные матрицы G,(i, V наблюдателя и скоростного закона, а также передаточная матрица F(q) корректора. Поиск этих матриц, исходя из желаемых требований к динамике соответствующих режимов движения, составляет существо задачи многоцелевого синтеза в цифровой структуре AOCS.

Решение задачи базируется на следующих доказанных утверждениях:

Теорема 2.1. Если матрицы A-GC и а являются шуровьши, т.е. если наблюдатель и корректор асимптотически устойчивы, то и замкнутая система (16), (22) является асимптотически устойчивой.

Теорема 2.2. Если замкнутая система (16), (22) является асимптотически устойчивой, то переходный процесс по отработке заданного командного сигнала у" е Ек по регулируемым переменным, реализуемого через обратную связь со структурой AOCS

z[n +1] = А г[п] + В5[я] + G(y[n] - Cz[«]),

r[n +1] = ar[n] + (ХУН - CzM), yH = Cx[n], (23)

и[и] = ц(г[и + 1] - z[«]) + V (у[и] - у*) - ц(А - Е)х* + уг[н],

тождественно совпадает с переходным процессом для объекта (16), замкнутого базовым управлением по состоянию и = при

условии, что внешние возмугцения отсутствуют, начальные условия по векторам х и г одинаковы и г[0] = 0, Сх =у , причем матрицы |_i и v однозначно связаны с матрицами К^К соответствующими формулами.

Теорема 2.3. Если выбор матриц К^, К, G и а обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы (16), (22), и если при этом дополнительно выполняется условие F(l) = 0, то указанная замкну-

тая система будет астатической по регулируемому вектору р = у е Ек.

Доказанные теоремы позволяют декомпозировать задачу выбора настраиваемых элементов структуры.

Начальным действием по настройке структуры АОСБ является поиск матриц Кг и К6, который осуществляется, исходя из желаемых требований к динамике режима собственного движения, состоящего в отработке постоянных командных сигналов. Для решения соответствующих задач привлекаются методы, разработанные в первой главе. Через найденные матрицы К,, и К5 однозначно определяются искомые матрицы ц и V в уравнении управляющего сигнала (21).

Вторым элементом, подлежащим поиску, является матрица С коэффициентов наблюдателя (20). Поиск этой матрицы осуществляется, исходя из желаемых требований к динамике движения судна, определяемого воздействием ступенчатых внешних возмущений при условии X = 0. Здесь также привлекается оптимизационный подход, развитый в первой главе, с применением идеологии модальной параметрической оптимизации.

В третьем параграфе исследуется вопрос применения прогноза при автоматизированном управлении курсом судов. В качестве основы для построения такого управления принимается задача об оптимальном быстродействии и методика ее приближенного решения из первой главы.

Третья глава посвящена примерам практического применения предложенных в диссертации подходов и разработанных методов.

В первом параграфе рассмотрено цифровое регулирование с обеспечением астатизма на примере управления водоизмещающего судна по крену (успокоители бортовой качки). Осуществлен синтез цифрового астатического закона управления в предлагаемом скоростном варианте с использованием оценок для скоростей координат состояния. Для сравнения приведены соответствующие динамические процессы для стандартного ПИД закона астатического управления. Анализ показывает, что АОСБ регулятор обеспечивает 25%-е уменьшение времеш! переходного процесса и максимального динамического отклонения по крену по сравнению с традиционной ПИД структурой, что проиллюстрировано на рисунке.

Во втором параграфе проиллюстрированы вопросы синтеза цифрового управления курсом на примере транспортного судна. Следует отметить, что цифровой вариант системы управления движением впервые подробно рассмотрен с применением математических моделей дискретного времени, что соответствует современным тенденциям использования компьютеров и передовых компьютерных технологий.

Третий параграф главы посвящен вопросам цифрового управления двухзвенным роботом-манипулятором. Здесь многоцелевая структура, которая ранее использовалась только для управления морскими судами,

roll angle

command signal

rudder deflection

rudder deflection

10 20 t(cek)

10 20 t (cek)

впервые применена для повышения качества динамики роботов. Целесообразность использования такого подхода определяется не только тем обстоятельством, что рассматриваемые роботы могут использоваться для погрузочных работ на морских судах, но и теми особенностями многоцелевой структуры, которые выделяют её на фоне других вариантов управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Исследована задача модальной параметрической оптимизации переходных процессов для цифровых систем с локализацией собственных значений линейного приближения и предложен вычислительный алгоритм для поиска ее решения.

2. Изучены вопросы астатизма замкнутых цифровых систем по контролируемым координатам, разработан метод обеспечения астатизма с использованием производных от вектора состояния.

3. Разработаны методы и реализующие их алгоритмы синтеза линейных законов цифрового управления, позволяющие повысить быстродействие замкнутой системы с учетом требований режима реального времени.

4. Исследованы вопросы применения многоцелевой структуры цифровых законов управления движением морских судов и предложены новые методы поиска варьируемых элементов в этой структуре.

5. Предложен новый алгоритм применения прогноза при выполнении

разворота судна по курсу в режиме ручного или автоматического цифрового управления с минимизацией длительности маневра.

Сппсок публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1. Лепихин Т.А. Приближенная оптимизация процессов изменения курса по быстродействию. «Гироскопия и навигация» №2 (69), 2010.

2. Лепихин Т.А. Методы повышения быстродействия цифровых систем с линейной обратной связью. Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. №4. СПб.-2010. С. 96-108.

Публикации в других изданиях:

1. Лепихин Т.А., Мисенов Б.А. Автоматизированный синтез в среде Matlab квазиоптималыюго по быстродействию закона управления курсом судна. Труды III научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», СПб, 2007. С. 1061-1072.

2. Веремей Е.И., Лепихин Т.А. Инновационная учебно-исследовательская среда моделирования информационных процессов. III Международная научно-практ. конференция «Современные информационные технологии и ИТ-образование» под ред. В.А. Сухомлина, М.-2008. С. 207-215.

3. Лепихин Т.А. Система цифрового управления маятником с демпфирующей пружиной в реальном времени. Труды IV Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», Астрахань, 2009. С. 467-477.

4. Лепихин Т.А. Использование промышленного робота FANUC в учебном процессе. IV Международная научно-практическая конференция «Современные информационные технологии и ИТ-образование» под редакцией В.А. Сухомлина, М.-2009. С. 339-345.

5. Лепихин Т.А. Методологические аспекты применения учебных робото-технических комплексов в подготовке специалистов по информационным технологиям. I Интернет конференция «Современные информационные технологии и ИТ-образование», ред. В.А. Сухомлина, М.-2010. http: //ip2010. it-edu.ru/posts/ipt-v-it-obrazovanii/942.

6. Лепихин Т.А. ЗБ-анимация на базе пакета Virtual Reality Toolbox. Труды V Международной научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», Украина, Харьков, 2011. С. 397-403.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 12.09.11 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 120экз., Заказ 1230. 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

2. Общая постановка и обсуждение рассматриваемых задач

3. Краткий обзор публикаций по теме работы.

ГЛАВА 1. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ

ДЛЯ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ.

1.1. Модальная параметрическая оптимизация цифровых систем

1.2. Повышение быстродействия цифровых систем с линейной обратной связью

1.3. Метод обеспечения астатизма цифровых систем по регулируемым переменным.

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ

ДВИЖЕНИЯ ОДОВ.

2.1. Многоцелевая структура законов цифрового управления движением морских судов

2.2. Особенности многоцелевой структуры и вопросы синтеза ее элементов.

2.3. Применение прогноза при автоматизированном управлении курсом судов.

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА

ЦИФРОВЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Синтез астатических цифровых успокоителей бортовой качки морского судна

3.2. Цифровое управление морским судном с применением многоцелевой структуры

3.3. Синтез законов цифрового управления двухзвенным роботом-манипулятором

1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

Широкий комплекс вопросов, относящихся к сфере математического и компьютерного моделирования, исследования, проектирования и реализации, систем автоматического управления,подвижными объектами, в данное время немыслимо решать без повсеместного привлечения современных компьютерных технологий. Это определяется двумя, основными* обстоятельствами, определяющими, особую роль и место, занимаемое цифровыми системами.в указанной сфере.

Первый, момент связан с постоянно растущими требованиями к эффективности и. динамическому качеству функционирования систем,управления; в особенности — к^их надежности и безопасности в тех случаях, когда на подвижных объектах находятся экипажи. Эти требования формализуются в. виде сложных комплексов условий, ограничений-и требований, для выполнения которых. и создаются системы управления. Обеспечение таких комплексов невозможно без мощной« компьютерной»поддержки/ на, всех стадиях исследований, разработки-и реализации* этих систем.

Второй момент определяется современным состоянием и неуклонным-ростом возможностей* элементной базы компьютеров, и инструментальных средств их программной поддержки, что способствует повышению эффективности и качества научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по системам управления движением.

Особую роль играет современная компьютерная» техника и компьютерные технологии на стадии практической реализации законов (алгорит-мов)^управления в режиме реального времени. Общеизвестно, что цифровые устройства и современное программное обеспечение обладают универсальностью, гибкостью, простотой в настройке и обслуживании, компактностью и многими другими достоинствами по сравнению с аналоговой техникой [44], [65], [66], [48].

Однако, что касается вопросов реализации! аналитически полученных законов управления, следует отметить, что, несмотря на существенный прогресс в области* электроники, возможности цифровой техники далеко не безграничны. Для подвижных объектов это обстоятельство является. особо значимым в связи с существенной ограниченностью как бортовых ресурсов по весу и габаритам, выделяемых на размещение соответствующей аппаратуры, так и энергетики бортовых источников питания [44]; [72], [75]. Не последнюю роль играют и экономические соображения, определяющие стремление к использованию наиболее простой и дешевой' ' элементной базы в бортовых вычислительных комплексах.

Отмеченные обстоятельства определяют особую значимость усилий, затрачиваемых, на создание и модификацию-такого алгоритмического и программного обеспечения систем управления подвижными' объектами, которое поддерживало бы разумный компромисс между уровнем динамического качества управляемых движений и реальными возможностями бортовых устройств по, памяти и быстродействию.

Применение современных компьютерных технологий при-исследовании и. создании систем управления, в первую очередь, определяется необходимостью обеспечения требуемой функциональности, что достигается на базе формализованных (математических) подходов на этапе исследовательского проектирования. Главная цель.всего комплекса выполняемых здесь работ состоит в формировании'математических моделей управляющих устройств или законов управления, обеспечивающих желаемую, динамику замкнутых систем в различных режимах движения.

В рамках формализованных подходов1 математические модели проектируемых систем, чаще всего, формируются как результаты решения различных оптимизационных задач. Такой подход существенно отличается от классического автоматического управления, где формализованные математические методы выполняли лишь вспомогательную роль. При этом само законы управления в классике находились обычно неформальным и путями, зачастую - на основе экспериментов.

Заметим, что использование оптимизационного подхода позволяет широко применять вычислительную технику на всех этапах проектирования, существенно, повысить.его качество и освободить проектировщика.от рассмотрения-рутинных вопросов; концентрируясь на проблемах, формализация которых либо совсем невозможна, либо нежелательна по каким-либо причинам:

В настоящее время в рамках оптимизационных подходов используются* различные критерии качества, среди которых особую, роль играют такие-традиционные функционалы, как быстродействие; перерегулирование, интегральные квадратичные характеристики точности и-интенсивности управления и другие, оправдавшие себя на практике показатели.

Исключительно широкое распространение в теоретических исследованиях и практических приложениях получила теория1 аналитического, синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов^ были разработаны в трудах

A.M. Лётова [36, 37], В.И1 Зубова, [23 - 27], A.A. Красовского [33, 34],

B.В. Солодовникова [55; 56], B.C. Пугачёва [51], Р. Калмана [28], и многих других исследователей. Эта теория»определила базу для решения задач оптимизации, обеспечивающих достижение экстремума тех или иных критериев.качество процессов управления.

Естественное стремление к наилучшей динамике управляемых процессов^ настоящее время, как правило, реализуется путем адаптивной перенастройки обратных связей. Такая перенастройка может непосредственно выполняться в ходе функционирования системы (однократно, периодически или непрерывно) по ее текущему состоянию [2], [60], [64], [68].

Независимо от того, как решаются оптимизационные задачи, для их использования требуется всемерная экономия времени счета и необходимого объема памяти. Заметим, что это не имеет решающего значения для проектирования неадаптивных систем в стационарных условиях, но цифровая реализация в реальном времени существенно повышает значимость, экономии. В ряде ситуаций даже единицы процентов позволяют уложиться в такт счета для дискретной системы управления движением, что может качественно изменить ситуацию.

В-частности, вопросы решения прикладных задач в области процессов управления движением судов нашли^ отражение в фундаментальных работах В:И. Зубова, Е.Н. Розенвассера, Ю.А.Лукомского, В.М. Корчано-ва, С.П. Дмитриева, Ю.П.Петрова, А.Е. Пелевина и других известных специалистов ([27], [10]; [15], [21], [37, 3.8], [57]), где существенное внимание уделяется проблемам оптимизации. В публикациях [10]^ [15] предложено использование единой- структуры законов управления- для различных режимов1 движения, что позволяет обеспечить многоцелевую ориентацию^ системы, учитывающую весь комплекс требований для обеспечения желаемой динамики в конкретных вариантах. Тем не менее, до сих пор остаются не исследованными многие вопросы, связанные с ее цифровой реализации при учете специфики синтеза дискретных систем.

Отмеченные обстоятельства определяют актуальность проведения исследований, направленных на внедрение современных математических методов анализа и синтеза законов управления подвижными объектами в практику исследований* и разработок цифровых систем; реализующих эти законы в режиме реального времени. Исследования) по данному направлению проводятся во всем мире, однако проблема8не закрыта в связи с наличием целого ряда трудностей математического и технологического характера. В связи с этим представляется уместным развивать математические методы, алгоритмы и реализующие их программные средства, а также приспосабливать их для решения задач управления конкретными классами подвижных объектов с помощью цифровых систем. Конечным результатом должно служить существенное повышение качества процессов управления, при условии снижения вычислительных затрат на цифровую поддержку как методов расчета оптимальных решений, так и самих решений в темпе реального времени.

Целью диссертационной' работы^ является проведение исследований и разработок, нацеленных на\ развитие математических методов и алг горитмов'для!решения!задач анализа и проектирования.цифровых систем автоматического управления движением, функционирующих в переходных динамических режимах, с учетом требований применения в реальном времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации динамических процессов, протекающих в замкнутых системах.

Исследования, представленные в диссертационной1 работе, проводились по следующим конкретным направлениям:

•> развитие методов модальной параметрической оптимизации динамических систем управления в дискретном времени; — - - - - - •

• разработка методов повышения, быстродействия для систем управления движением путем выбора варьируемых параметров линейных цифровых обратных связей;

• исследование вопросов астатизма по контролируемым координатам для цифровых систем и развитием методов его обеспечения; исследование особенностей, законов цифрового управления морских судов-с многоцелевой структурой и развитие методов синтеза ее настраиваемых элементов для переходных режимов движения;

• разработка алгоритмов применения-прогноза для автоматизированного управления маневрированием судов по курсу;

• рассмотрение решения практических задач управления подвижными объектами для? иллюстрации работоспособности и эффективности раз8 работанных методов.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 77 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание диссертационной работы составляет рассмотрение комплекса вопросов, связанных с оптимизации переходных процессов при цифровом управлении движением подвижных объектов.

Целью диссертации является проведение исследований и разработок, нацеленных на развитие математических методов и алгоритмов для решения задач анализа и проектирования цифровых систем автоматического» управления движением, функционирующих в переходных динамических режимах, с учетом требований* применения в, реальном- времени. Центральное внимание уделяется методам оптимизации динамических процессов, протекающих в замкнутых системах.

Центральное внимание в работе уделено следующим'направлениям исследований и разработок:

• развитие методов - модальной параметрической оптимизации динамических систем управления в дискретном времени;

• разработка методов повышения быстродействия для-систем управления движением1 путем выбора варьируемых параметров-линейных цифровых обратных связей;

• • исследование вопросов астатизма по контролируемым координатам для цифровых систем и развитием методов его обеспечения;

• исследование особенностей законов цифрового управления' морских судов с многоцелевой структурой1 и развитие методов синтеза ее- настраиваемых элементов для переходных режимов движения;

• разработка алгоритмов применения прогноза для автоматизированного у правления« маневрированием судов по курсу;

• рассмотрение решения практических задач управления подвижными объектами для иллюстрации работоспособности и эффективности разработанных методов.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Исследована задача модальной параметрической оптимизации переходных процессов для цифровых систем с локализацией собственных значений линейного приближения и предложен вычислительный алгоритм для поиска ее решения.

2. Изучены вопросы астатизма замкнутых цифровых систем по контролируемым координатам, разработан метод обеспечения астатизма с использованием производных от вектора состояния.

3. Разработаны методы и реализующие их алгоритмы синтеза линейных законов цифрового управления, позволяющие повысить быстродействие замкнутой системы с учетом требований режима реального времени.

4. Исследованы вопросы применения многоцелевой структуры цифровых законов управления движением морских судов и предложены новые методы поиска варьируемых элементов в этой структуре.

5. Предложен новый алгоритм применения прогноза при выполнении разворота судна' по курсу в режиме ручного или автоматического цифрового управления с минимизацией длительности маневра.

1.Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев, "Наукова думка", 1972. 320 с.

2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

3. Боднер В.А. О выборе оптимальных параметров регулируемых систем. М.: Оборонгиз, 1953.

4. Бородай И'. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. Л.: Судостроение; 1969.

5. Брайсон* А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория^ оптимального^управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

6. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами' с неполной информацией // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.

7. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126-137.

8. Веремей Е. И., Корчанов В. М., Коровкин М:В., Погожев С. В. Компьютерное моделирование- систем управления движением морских подвижных объектов — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002 370 с.

9. Веремей Е.И., Корчанов В.М. Принципы адаптивного управлениядвижением* ПЛ в условиях развитого морского волнения* // Сб. докладов 5-й Международной конференции по морским интеллектуальным технологиям «МОРИНТЕХ-2003». СПб., 2003. - С. 164-174.

10. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Нг и Нш // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. 2004. - Вып. 1. — С. 48-59.

11. Веремей Е.И., Коровкин М.В. Применение пакета ЫСБ для решения задач модальной параметрической оптимизации // Тр. II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ». М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 884-896.

12. Веремей Е.И., Сотникова М.В'. Применение метода Н00-оптимизации для синтеза фильтров морского волнения // Гироскопия и навигация. 2009: - № 2. - С. 24 -36.

13. ВеремейгЕ.И: Синтез* законов* многоцелевого управления; движением морских объектов // Тироскопияш навигация: 2009.' - №4. С. 3-14.

14. Войткунский Я. И., Бородай И. К., Нсцветаев Ю. А. Мореходг ность судов. Л.: Судостроение, 1982 - 288 с.

15. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1985.

16. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения. М:: Наука, 1972.19: Джеймс:Х'.,. Никольс Н, Филлипс Р: Те ория; следящих система .М;: Физматгиз, 1951.

17. Дидук Г. А. и др. Анализ и оптимальный синтез; на ЭВМ систем управления: М.: Наука, 1984. .

18. Дмитриев С.П., ПелевинА.Е.Задачинавигациииуправленияпри стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электропри-бор»^ 2002. 160 с.

19. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. 320 с.

20. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966; 352 с.

21. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д. -1961. — Т. 83, № 1. — С. 123-141.

22. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

23. Кожинская Л.И., Ворновицкий А.Э. Управление качеством систем: синтез систем управления с заданным качеством методами модального управления. М.: Машиностроение. 1979:

24. Коровкин М.В-: Среднеквадратичный; оптимальный, синтез с учетом ограничений Hai длительность переходного процесса // Тезисы докладов науч. конф. "Современные проблемы «математики, механики, информатики".- Тула, 2000.- С. 150—151.

25. Коровкин M.Bi К вопросу об обеспечении астатизма в системах стабилизации-судов // Труды. XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость'.'. СПб., 2001- С. 71-75.

26. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

27. Красовский« A.A., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

28. Кузовков Н:Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение. 1976.36. Лётов А. М: Динамика полёта и управление. М'.: Наука, 1969.

29. Лётов А. М. Математическая теория процессов управления: Ml: Наука, 1981.

30. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988.

31. Лукомский Ю. А., Корчанов В. М. Управление морскими, подвижными объектами СПб.: Элмор, 1996 - 320 с.

32. Лукомский Ю. А., Пешехонов В .Г., Скороходов Д. А. Навигация и-управление движением судов. СПб.: «Элмор», 2002. 360с.

33. Мирошник И. Bt Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. — СПб: Питер; 2005. — 271 с.

34. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л<: Огиз, Гос. изд-во тех.-теор. лит. 1947. 448 с.

35. Ньютон Д., Гулд Л., Кайзер Д. Теория линейных следящих систем. -М.: Физматгиз, 1961.

36. Олссон Г., Пиани Д. Цифровые системы автоматизации и управления. СПб.: Невский Диалект, 2001. - 557 с.

37. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

38. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977.

39. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов: СПб:: Изд-во СПбГУ, 1995. 148 с.

40. Пугачёв В. С. Статистические методы, в технической кибернетике. М:: Наука, 1971.

41. Ремез Ю. В.,Качка корабля Л.: Судостроение; 1983- 328:с:53: Рязанов Ю:А. Проектирование систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение; 1968.

42. Скороходов: Д.А. Системы управления кораблей с динамическими принципами поддержания. СПб.: ГНЦ- РФ-ЦНИИЧ<Электроприбор>>, 2000;-282 с.55: Солодовников В. В: Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.

43. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф.,. Тумаркин.В. И: Принцип сложности в теории управления. М.: Наука; 1977.

44. Справочник по теории корабля: В 3 т. / Под ред. Войткунского Я.И. Л.: Судостроение. 1985.

45. Управление морскими подвижными объектами» / Лернер Д: М., Лукомский Ю- А. и др.- Л.: Судостроение, 1979.59: Успокоители качки морских судов: Шмырев А.Н., Мореншильт В.А., Ильина С.Г., Гольдин А.И: Л., Судостроение, 1972, 480с.

46. Фомин В. Н. Методы, управления-линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

47. Чернецкий. В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск, гос. ун-та,. 1996. — 432 с.

48. Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия (Ленинградское отделение). 1970. 374 с.

49. Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973.

50. Bogsra О.Н., Kwakernaak Н., Meinsma G. Design methods for control systems. Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

51. Braunl Th. Embedded Robotics: Mobile Robot Design and, Applications with Embedded Systems. 2nd ed-Berlin: Springer-Verlag, 2006-458-p.

52. Caspi-P., Maler O. From Control'Loops to Real-Time Programs. — In Handbook of Networked and Embedded Control Systems (Hristu D. and Levine W.S. editors), Boston: Birkhauser, 2005. P. 395-418.

53. Chilali M., Gahinet P. H^ Design with Pole Placement Constraints:an LMI Approach // Proc. Conf. Dec. Contr. 1994, - pp.553-558.

54. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. - XI, 227 p.

55. Findeisen R., Biegler L.B., Allgower F., editors. Assessment andi Fixture Directions of Nonlinear Model-Predictive Control. — Lecture Notes in Control and Information Sciences. Berlin: Springer-Verlag, 2007. - 642 p.

56. Fossen T.I. Guidance and' Control of Ocean Vehicles. John Wiley Sc Sons. New York, 1999, 480 p.

57. Francis B.A. A course in Hoonü control theory Berlin: SpringerVerlag, 1987 - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

58. Landau I.D., Zito G. Digital Control* Systems: Design, Identification and Implementation. London: Springer-Verlag, 2006. - 484 p.

59. Prime H. Modern concepts in control theory. McGraw-Hill. - 1969.

60. Rossiter J.A. Model-Based Predictive Control: A Practical Approach-Boca Raton: CRC Press,,2003'. 318 p.

61. Sami Fadali M., VisiolLA. Digital Control Engineering: Analysis and Design. Burlington: Academic Press, 2009. - 552 p.

62. Simulink Response Optimization 3: User's guide/ Natick (Mass.): The MathWorks, Inc., 2004. 138 p.

63. E. Vitrant, C. Canudas-De-Vit, D. Georges, M. Alamir. Remote stabilization via time-varying communication network delays// IEEE Conference in. jrj Control Applications, Taiwan, Sept 2-4, 2004.