автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление механической системой в фазе удара

Российская Академия Наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

На правах рукописи УДК 531.36

Галяев Андрей Алексеевич

Управление механической системой в фазе удара

Специальность 05.13.01 "Системный анализ, управление и обработка информации"

АВТОРЕФЕРАТ к диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Рубинович Евгений Яковлевич

Консультант

доктор физико-математических наук, профессор Миллер Борис Михайлович

МОСКВА, 2006 г.

Работа выполнена в Институте Проблем Управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Е.Я. Рубинович

Консультант:

доктор физико-математических наук, профессор В.М. Миллер

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.И. Матюхин

кандидат физико-математических наук М.Е. Широков

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится "/Я" г. в _ ч. _ мин. на заседании

Диссертационного совета Д.002.226.02 при Институте Проблем Управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу Москва, 117997, ул. Профсоюзная, 65, Ученый совет ИПУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты.

Автореферат разослан "_"

Ученый секретарь Диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук В.Н. Лебедев

b

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Динамика механических систем с ударами сложна и многообразна. Она находит свое применение во многих инженерных приложениях: робототехнике, вибро-ударных механшмах, микромеханических системах, работы J.Mills, C.Nguen, F.Pfifer, C.Glocker, A.Tornambe, В.И.Бабицкого, K.Bohringer, KGoldberg, M Cohn, R.Hower, A.Pisano. При исследовании дискретных систем с ударами используются два метода, известные в литературе под названиями: комплементарный подход и метод функции штрафов (в порядке исторического появления). Первый метод восходит к XVII и XVIII векам, когда Декарт, Ньютон, Пуассон, Гаусс, Гюйгенс занимались изучением явления столкновения двух твердых тел. В наши дни этот подход получил свое развитие в работах А.П.Иванова, P.Ballard и M.Schatzman, L.Paoli. Метод функции штрафов введен и развит в ра^ ботах В.И.Арнольда, В.В.Козлова, Д.В.Трещева, M.Schatzman.

Задачам управления системы с ударами, когда управление системой заключено между моментами ударов, посвящены работы Ф.Л.Черноусько, И М.Ананьевского, С.А.Решмина, B.Brogliato, L.Memni, A.Tornambe, A.Zalava. Заг дачам управления системы с ударами, когда управление системой происходит в фазе удара, посвящен ряд работ И.Бентцмана, Б.М.Миллера, Е.Я.Рубиновича.

Динамические системы, которые в процессе эволюции допускают резкие скачки своих характеристик, например обобщенных скоростей, называются системами с сингулярными фазами движения. Примерами подобных систем могут служить "нештатные" ситуации в энергетике, как в электросетях, так и в ядерных реакторах, механические системы с ударами и т.д. С целью уменьшения негативного эффекта или достижения требуемых параметров системы по завершении фазы "нештатной" ситуации внутри такой фазы вводится управление движением. В литературе управляемые сингулярные фазы называются активными сингулярностя-ми. Характерным примером сингулярной фазы в механических системах является фаза удара тела о препятствие. При проектировании системы управления ударом необходимо принимать во внимание следующее обстоятельство. Удар длится малый промежуток времени. Нагрузка на препятствие носит импульсный характер и ее временной профиль задает соотношение между конечной и начальной скоростями, так называемый закон восстановления. Конкретный закон восстановления определяется физическими свойствами системы и препятствия. Однако, нужно заметить, что именно деформация при контакте объектов заставляет их взаимодействовать друг с другом. При неуправляемом ударе выделяются условия контакта двух видов: математические и физические. Математические условия означают, что контакт между телами существует, пока присутствует деформация объектов. Физические условия подразумевают реальное соприкосновение тел и наличие силы, быть может равной нулю и действующей в точке контакта. Для динамической системы математические условия завершения фазы "нештатной" ситуации эквивалентны фазовым ограничениям на окончание процесса управления, тогда как физические накладывают дополнительные условия "контакта" на управления. Таким образом, в действительности при не нулевой деформации соприкосновения тел может и не быть, что ведет к потере возможности управлять системой. Это обстоятельство вызывает дополнительные трудности при синтезе закона оптимального управления. Соответственно, либо нужно вводить дополнительные тре-

>0с. НАЦИОнХлыГдя"] j библиотека

с.-Петербург

ПЛЧ'** 4 О ^

бования на управляющее воздействие с целью сохранения контакта за все время управления, либо рассматривать все интервалы существования контакта, что ведет к появлению фазы множественного удара. Если учет математических условий контакта часто дает простоту и понимание законов восстановления, то физические условия приводят к правильному математическому описанию происходящих явлений, насколько бы сложно оно не было. Надо заметить, что для неуправляемого удара в случае только упругого взаимодействия объектов, т.е без потерь энергии, эти условия совпадают.

Метод решения задач оптимального управления опирается на пространственно-временное преобразование в фазе удара (развитие метода функции штрафа). Суть подхода состоит в том, что с момента начала контакта до его окончания справедливы дифференциальные уравнения при конечной жесткости препятствия. Чтобы получить закон восстановления нужно устремить жесткость к бесконечности в терминальных выражениях для скоростей. Оказывается, что допредельные управления должны быть параметризованы жесткостью так, чтобы давать конечный интеграл за время контакта. Однако, полученные таким образом оптимальные управления имеют внутреннюю структуру переключений, не позволяющую осуществлять предельный переход к жесткости равной бесконечности без потери этой структуры Подобная вырожденность сродни неопределенности, которая возникает в задаче об ударе абсолютно жесткого тела об абсолютно жесткое препятствие, когда закон восстановления невозможно определить без дополнительных предположений. В связи с вышеописанными сложностями задачи управления (оптимального управления) в сингулярной фазе являются малоисследованными.

Введение управляющего воздействия в фазу удара может приводить к многократным потерям и возобновлениям контакта, что ведет к появлению фазы множественного удара. Отметим, что задачи определения всех времен контактов при описании множественного удара являются математически трудоемкими, почти не поддающимися аналитическому описанию Эти задачи также малоизучены.

Физическим объектом исследования диссертационной работы являются механические системы с ударами, на которые до и после удара не действуют внешние силы. Предполагается, что все взаимодействия между рассматриваемыми телами в системе происходят вдоль одной пространственной оси, т.е. имеет место кол-линеарный удар. Это означает, что одиночное тело или связанная, состоящая из конечного числа дискретных элементов, цепочка соударяется с препятствием, которое может быть подвижным или неподвижным, абсолютно жестким или обладать вязко-упругими свойствами. В фазе удара в точке контакта вводится дополнительная сила, зависящая от управляющего параметра, который в свою очередь является ограниченной, кусочно-непрерывной функцией времени. Вышесказанное означает, что уравнение движения системы вне фазы удара имеет вид

Vm = 0, (1.1)

где Ус,- скорость центра масс системы ударяющихся о препятствие тел. Удар длится на интервале времени {0, г], где т- время окончания удара. Уравнение движения в фазе удара принимает вид

Vor, = F, (1.2)

где F- результирующая сила, действующая со стороны препятствия на систему. Сила F равна

F = Fa+ Fmt, (13)

где Fa~ сила, возникающая при ударе и обусловленная вязко-упругими свойствами препятствия, a Fa^ = F^u^)), где u(t) - кусочно-непрерывное управление, которое является только функцией времени, причем ¡u(i)| < const. В общем случае г и Vçm^) являются зависимыми от временного профиля F^ и начальных условий удара. Задачи нахождения Ут(т), как функции начальной скорости системы, рассматриваются в работе.

Физический объект порождает математический объект исследования, которым является линейная система дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, рассматриваемая на интервале времени t € [0, г]. Система уравнений имеет вид

Г Xi = -рФцХ,-, i - 2,N,

\ хг = -цФ^ - 2^/ЦМг + Fmt, V '

с начальными условиями х,(0) = Х(и, ¿»(0) = V, где xit х,- соответственно координаты и скорости ¿-го тела, матрица симметрическая, с постоянными коэффициентами, ц > 0 и Л > 0- константы, Fou — Fcnt(u(t))~ управляющая сила, u(i)~ управление. Вследствие аналитического решения системы уравнений (1.4)

необходимо найти значения т, xJr), ±<(т), г, — и исследовать свойства

этих значений.

Представленные в диссертационной работе исследования направлены на нахождение аналитического решения системы уравнений (1.4). Это означает достижение следующей основной цели работы - нахождение закономерностей, связывающих до ударные и после ударные макроскопические характеристики системы путем исследования силовых взаимодействий возникающих в фазе удара. Во-первых, изучается возможность изменять коэффициент восстановления в требуемых, быть может максимально допустимых пределах, при помощи управляющего воздействия в фазе удара при фиксированных остальных параметрах системы Во-вторых, изучается силовое воздействие упругой цепочки на препятствие и возможность введения управления препятствием.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

• вывод коэффициента восстановления и исследование его физических свойств в случае вязко-упругой характеристики препятствия при одномерном, неуправляемом ударе;

• введение управляющего воздействия в фазу удара, и применение оптимального управления препятствием с целью минимизации и максимизации кинетической энергии ударяющегося о препятствие тела;

• остановка шарика вязко-упругой ракеткой при различных видах контактов, выбор физически обоснованного вида контакта;

• определение фазы множественного удара;

• рассмотрение удара упругой, однородной цепочки о неподвижное препятствие, для которой была проведена замена фазы множественного удара одной ударной фазой контакта;

• задача оптимального управления препятствием в фазе удара о него упругого, однородного стержня с целью минимизации его полной энергии.

Научная новизна. В работе введена формализованная постановка задачи удара тела о препятствие через контактное множество, что позволило свести известные различные условия окончания взаимодействия к одному виду, а также дало возможность рассматривать в рамках такой модели и другие возможные условия окончания взаимодействия. В результате исследования были решены задачи оптимального управления препятствием в фазе удара о него абсолютно жесткого тела при учете как физических, так и математических условий контакта. Показаны различия между контактами этих двух видов. Рассмотрен парадокс, возникающий при математических условиях контакта. При учете физических условий определен класс допустимых управлений, в котором решается задача оптимального управления.

Введена классификация фаз множественного контакта (удара).

Предложена модель множественного удара, модифицирующая одну из моделей известных ранее. Для этой модели получено аналитическое решение для задачи множественного удара при одновременном взаимодействии друг с другом большого количества тел и осуществлен предельный переход к бесконечному числу таких тел. Упрощена задача математического моделирования для любого числа тел.

Установлено соответствие между частотами колебаний однородного упругого стержня с одним закрепленным концом и нулями многочленов Чебышева.

Получена формула д ля времени удара стержня о препятствие в зависимости от его массы, габаритных и упругих свойств. Получена форма импульса воздействия стержня на препятствие в фазе удара. Установлено соответствие между волновым и дискретным подходами к описанию удара стержня о препятствие. Интерпретирована и решена задача оптимального управления абсолютно жестким препятствием в фазе удара о него упругого стержня с целью минимизации полной энергии стержня.

Теоретическая и практическая ценность. Управление в фазе удара позволяет по сути управлять коэффициентом восстановлений, что в общем случае расширяет область достижимости в фазовом пространстве для управляемого объекта, позволяя тем самым системе достигать требуемых критериев быстрее, лучше и т д. Оптимальное управление позволяет максимально расширить область достижимости. Для динамической системы управление внутри фазы нештатной ситуации может позволить избежать катастрофы или уменьшить ее размеры.

Полученная форма импульса воздействия стержня на препятствие в фазе удара позволяет рассчитывать нагрузки в вибро-ударной механике. Мегод, предложенный для интерпретации динамики многомерной системы, может быть успешно применен и при исследовании других систем.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались- на тематических семинарах, возглавляемых Ф.Л. Черноусько, в Институте Проблем Механики; на IV международном симпозиуме по контактной механике (СМШ) Ганновер, Германия, 2005; на V международной конференции "Идентификация

систем и задачи управления Москва, 2006; на симпозиуме "Управление упругими колебаниями Переелавль-Залесский, 2006; на международном симпозиуме по обобщенным решениям в задачах управления, СБСР-Об, Улан-Удэ, 2006. Основные результаты опубликованы в журналах "Автоматика и Телемеханика"№1, 2006г., №6, 2006г.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 112 страницах и состоит из трех глав (первая глава - введение), заключения, приложения и списка литературы из 48 наименований.

1.2 Содержание и результаты работы

В первой главе (введении) обосновывается актуальность рассматриваемых проблем, формулируются цели исследования, обсуждаются научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, дается краткий обзор исследований других авторов.

Глава 2 посвящена одномерному, одиночному удару тела о препятствие. В разделе 2.1 дана формальная постановка задачи удара и дано определение момента времени т окончания взаимодействия.

Определение 2.1 Момент г определяется следующим образом

г = > 0 : ЦС} = 0}. Полагаем, что т = оо, если для всех i > 0 ^{С} ф 0.

Здесь С — некоторое множество, отвечающее за взаимодействие (контакт) между телом и препятствием, {С} - индикаторная функция множества С. Рассматривается вывод коэффициента восстановления е и его зависимость от физических свойств неподвижного, вязко-упругого препятствия. Оказывается, что в этом случае е задается единственным образом и £ £ [0>1]- В разделе 2.2 в фазе удара вводится управляющее воздействие, описываются два вида возможного сохранения контакта и определяется класс допустимых управлений. После чего ставится задача оптимального управления препятствием с целью минимизации и максимизации кинетической энергии ударяющегося о препятствие тела. Доказана теорема 2.2, которая утверждает, что скорости в момент отрыва от препятствия, полученные как решения соответствующих задач оптимального управления, задают область изменения коэффициента восстановления при фиксированных исходных параметрах задачи для любых других допустимых управляющих воздействий. При фиксированных начальном значении скорости тела и ограничении на управление находится область в соотношении вязких и упругих свойств препятствия, где тело может быть остановлено. В разделе 2.3 рассматривается задача об остановке тела вязко-упругой ракеткой, обладающей массой. Получены условия, когда эта задача имеет решения. Физический смысл этих условий следующий. Это такие условия на управление, которые позволяют за время удара ракетке начать двигаться с телом как единое целое в направлении первоначального удара. При фиксированных свойствах ракетки и ограничении на управление получена область начальных скоростей тела, где тело может быть остановлено, т.е. е = 0 В разделе 2.4 на примере упрощенного ускорителя Ферми показано изменение свойств устойчивости системы при введении управления в фазу удара.

Все результаты по главе получены автором лично, в разделе 2.1 дано обобщение результатов, полученных Козловым и Трещевым. Основные результаты но главе опубликованы в работах [1], ¡3), [6], ¡7].

Формализуем модель одномерного удара тела о неподвижное препятствие. Уравнение движения тела имеет вид

= (2 5)

с начальными условиями г(0) = 0, ¿(0) = V и рассматривается на интервале < е [0,оо). Здесь F(z, г, и) - непрерывная функция из К х К х I/ в К, липши-цева по своим аргументам, и = м(4) € С/ С К - кусочно-непрерывная функция, и = {|«| < но}, С - некоторое множество, отвечающее за взаимодействие (контакт) между телом и препятствием. Определение множества С ведет к заданию явного вида момента т. Задача состоит в том, чтобы вследствие решения уравнения (2.5) определить г, ¿(г) и исследовать их свойства В (2.5) F имеет смысл силы, действующей со стороны препятствия на тело.

Пусть твердое тело (материальная точка единичной массы), движущееся вдоль оси ОУ с начальной скоростью V, ударяется о препятствие, занимающее первоначально полупространство у > О, рис. 2.1. Предположим, что препятствие облада-

/ / /

у,г

Рис. 2.1: Удар тела о препятствие.

ет вязко-упругими свойствами, подобными свойствам среды Кельвина-Фойгта и параметризованными жесткостью среды Свойства среды Кельвина-Фойгта обеспечивают верхний и нижний деформируемые элементы на рисунке, а С1>едний элемент отождествляется с управляющим элементом. На первом этапе исследования предположим, что управление в системе отсутствует. Пусть сила сопротивления, возникающая в среде и действующая на тело, обусловлена как деформацией препятствия, так и скоростью этой деформации

= -2куД1уЦ) - аду(().

Здесь к -вязкие и о -упругие параметры среды, ß -жесткость, у -деформация, у -скорость деформации препятствия. Пусть z - координата тела. В такой модели равенство у — z является условием контакта и возможного взаимодействия тел.

В контактной механике существуют два подхода к описанию процесса удара как такового: математический и физический. Так как на тело действует только сила со стороны препятствия, то F(z, z) — Fa(z, z). Введем определения контактных множеств множеств Ст и С/, где индексы m и / означают соответственно математический и физический подхода.

Определение 2.2 Контактное множества, отвечающее математическому условию окончания взаимодействия, определим следующим образом

cm±{t> 0 : z(t) > 0}.

Следствие 2.1 Из определений 2.1 и 2.2 следует, что

тт = inf {t > 0 : z(t) < 0}.

Определение 2.3 Контактное множество, отвечающее физическому условию окончания взаимодействия, определим следующим образом С/ = {t > 0 : F{z,z) < 0}.

Следствие 2.2 Из определений 2.1 и 2.3 следует, что

т, = in£{i > 0 : F(z, z) > 0}.

Замечание 2.1 Определение 2.8 и следствие 2-1 задают математическое условие окончания взаимодействия, которое означает, что в момент т выполнено равенство z(r) = 0, вследствие решения уравнения движения (2.5)(см. рис.2.2).

Замечание 2.2 Определение 2.3 и следствие 2.2 задают физическое условие окончания взаимодействия, которое означает, что в момент т равна нулю сила F, т.е. ~2куДИ{т) —ацг(т) = 0, вследствие решения уравнения движения (2.5).

Пусть ^ < 1 и 5 = у 1 — тогда коэффициент восстановления находится следующим образом £/ = е-2 при 5 = 0,

1

ет = 0, (2.6)

Пусть ~ > 1 и 5 — \J~j~2~ 1> тогда коэффициент восстановления находится сле-

дующим образом

ет = ехр , £} — ехр

(,. 26 7rn ± arcsm

" n = 0,1. (2.7)

В вышеприведенной формуле знак "+н соответствует п — 0 при 6 е [0,1], знак соответствует п = 1 при 5 е (1,оо). Индекс с у коэффициента восстановления означает "клейкую" поверхность препятствия.

и 1 05 О

-А.5 -1

-15 -2 -2.5

0 0.1 0.2 03 0.4 05 0.6 0.7 0Я I

Рис. 2.2: Зависимости г, F от времени.

1 — ------- —

0.9 ОД 0.7 О* ««> 05 ОЛ 05 ОЛ 0.1 О

10"' ю"1 10* 10* ю1 ю5

ШП?

Рис. 2.3: Зависимости коэффициентов восстановления от вязко-упругих свойств.

Определение 2.4 Контактное множество отвечающее условию окончания взаимодействия в случае "клейкой11 поверхности определим как Сс = > 0 : Р(г,г)<А}.

Следствие 2.3 Из определений 2.1 и 2-4 следует, что

тс = тф>0^(.г,2)> А}.

Замечание 2.3 Определение 2-4 и следствие 2.3 задают условие окончания взаимодействия в случае "клейкой" поверхности препятствия, которое означает, что в момент т выполнено равенство Р = А > 0, те. ~2куДИ{т) — а(1г(т) ~ А, вследствие, решения уравнения движения (2.5)

Зависимости коэффициентов восстановления от вязко-упругих свойств препятствия представлены на рис. 2.3.

В разделе 2.2 в фазу удара вводится управляющая сила Fct, параметризованная жесткостью препятствия,

Fmt =

где и - управляющее воздействие. Пусть |ti(t.//I)| — "о- Уравнения движения тела (2.5), где F(z, z,u) = Fci{z,z) + Fmt(и), принимают вид

z(t) = (Fei(z, г) + Fa,t(u))It{C} (2.8)

с начальными условиями г(0) = 0, ¿(0) = v.

Определение 2.5 Контактное множество С определим следующим образом С = {t> 0: Fd(z, z) + F„u(u) < 0}.

Следствие 2.4 Момент окончания взаимодействия вследствие определений 2.1 и 2.5 выражается в виде

т - inf{i > 0 : —2k-JJiz(t) - ацг(Ь) + y/Jiu(ty/ji) > 0}.

Замечание 2.2 Существуют два случая, когда имеет место контакт между телом и препятствием (совпадение их координат).

1. Сила, действующая на тело со стороны препятствия, не равна нулю, т.е. Fd + F^ < 0. При этих условиях тело движется с отрицательным ускорением z< 0.

2. В момент {ti - 0} результирующая сила Fel 4- Fmt < 0. Далее на интервале [ti,t2] сила Fd + F^ — Q, и существует Fcnt(t) при t € [¿ь^] такое, что Fd + Fmt < 0. В этом случае

= (2.9)

Такая ситуация возможна, если только |2fci(i) + a^/jlz{t)\ < щ.

Определение 2.6 Управляющее воздействие u*{tjp), которое удовлетворяет пункту 2 замечания 2.2, назовем "специальным" и отметим символом *.

Следствие 2.4 На любом конечном временном интервале [ti, £2]» там где действует специальное управление, его зависимость от времени задается формулой:

u'itVfi = 2Ai(ii) + <hffl*(ti) + ¿(ti)(t - h)).

Определение 2.7 Кусочно-непрерывное управляющее воздействие, удовлетворяющее ограничению

и(ty/fi) е [-«о, «о Л w*(tv£)], (2.10)

назовем допустимым. Здесь А А В — min{j4, В}.

Правое ограничение гарантирует сохранение взаимодействия вплоть до момента окончания процесса управления. Наша цель - найти такие допустимые управления, которые минимизируют абсолютное значение скорости тела в момент окончания взаимодействия тела и препятствия. Так как скорость тела после удара либо

меньше, либо равна нулю, то нужно минимизировать J{z{r)') = —¿(г) В разделе 2 2 рассматриваются физические условия окончания взаимодействия.

Описание движения в фазе удара может быть получено при помощи пространственно-временного преобразования, цель которого состоит в том, чтобы освободиться в уравнениях движения от параметра /л,

а = гу/ё, (2.11)

*(в) = у/Цгф, (2.12)

«(а) —

В обозначениях (2.11) уравнение движения и ограничение (2.10) принимают вид:

аг(в) = -2кх(з) - аж(а) + и(я), (2.13)

и{з) € [-ио, «о Л и" ($)]. (2.14)

Положим а = ш1 + А2, к — А. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1 При любых допустимых управлениях

1) существует конечный или бесконечный момент з" такой, что

а" = шф > 0 : х(з) < 0, 2Аг(в) + (уг + А2)^) <ио}; (2.15)

2) после конечного момента в" вплоть до момента

8* = Ы{в > 0 : -2Аг(л) - {ш1 + А2)г(в) + и(з) > 0}

окончания процесса управления действует специальное управление

«•(я) = 2Ах(0 + (ш2 + А2)(х(з") + - в**)),

которое является оптимальным на интервале [а**, в*] в смысле минимизации функционала качества.

Вид оптимального управления во времени < будет следующий где моменты в**, в* определены в работе.

Следствие 2.4 Полученное оптимальное управление доставляет минимум кинетической энергии тела в момент отрыва тела от препятствия.

-ио, если Ь е |0, ,

«*(<). если I б

Л'

Если изменить критерий качества на противоположный, 3 (¿(т)) — ¿(т), то вид оптимального управления во времени 4 будет следующий

«<,*(£) = "о, если Ь 6 иоре(£) = «о, если < е и<ч<(*) = -«о, если t € где моменты загхи:1зр, 5* определены в работе.

О

& spec tP I

(2.17)

Следствие 2.5 Полученное управление является оптимальным в смысле максимизации кинетической энергии тела в момент отрыва его от препятствия.

Следствия 2.4 и 2.5 позволяют сформулировать теорему.

Теорема 2.2 Пусть ьт{п- скорость тела в момент отрыва при применении закона оптимального управления, минимизирующего кинетическую энергию тела, а Ьтах- скорость тела в момент отрыва при применении закона оптимального управления, максимизирующего кинетическую энергию тела. Тогда

1. при применении любого другого допустимого управления ±(т) € [«„,„, Гтах],

2. для V V е [ит<п, «пм«1 существует такое кусочно-непрерывное и(£) € [~Л и* (4)], что х(т) = V получается вследствие применения этого управления.

е е

Область изменения коэффициента восстановления задается так

|fmag| — [em4BiCfi. Минимальное значение emm и максималь-v v

ное значение £тах определяются свойствами препятствия и отношением u0/v. Причем emi„ = 0, в случае когда можно остановить тело, а значение етах может превышать 1.

Полный импульс, сообщенный телу внешней силой или управляющим воздействием при оптимальном управлении, равен

1{щ)= [ J о

и / < <3 при любых ц, где - константа.

В разделе 2.2 было получено, что для минимизации кинетической энергии тела, сталкивающегося с неподвижным препятствием, которое обладает вязко-упругими свойствами, управляющая сила должна действовать навстречу скорости тела до момента его нулевой скорости. После этого момента направление управляющего воздействия должно быть изменено на противоположное (т.е. всегда против скорости тела). Физическим аналогом такого управляющего воздействия является сухое трение. Наоборот, чтобы максимизировать кинетическую энергию тела, управляющая сила должна совпадать с направлением движения тела до его нулевой скорости, а затем знак управления должен быть изменен (т.е. всегда по направлению скорости тела).

В разделе 2 3 рассматривается задача перпендикулярного соударения шарика единичной массы с ракеткой массы М, обладающей вязко-упругими свойствами Шарик налетает слева на ракетку. Будем считать, что на ракетку подается управление, ограниченное по модулю и параметризованное жесткостью ракетки Для системы шарик-ракетка справедливы уравнения движения'

Г z(s) = Fell,{С},

\ My(s) = —Feil,{C} + Fcnt, [гЛй>

где z, у - координаты шарика и поверхности ракетки соответственно, Fmt = y/Jiu(Sy/ji) - управляющее воздействие, а сила упругости, действующая на шарик, дается выражением

= 2л/Цк(у - z) + fia(y - z). (2.19)

Предполагается, что на управляющее воздействие наложено ограничение | u{s^/JL) |< Но- Первое уравнение из (2.18) может быть переписано в следующем виде:

х = ( - 2А± - (ш2 + Хг)х + W(t, и))ЫС} (2.20)

где произведены такие замены: х = -Jjiz, t = -Jjls, А = к (1 + ), d — —Ц—,

\ М J 1 + М

, VoM + Uo 2 ,2 /, 1\ ,,

Ь - —---, uj' + А' = а { 1 + — |, здесь V0~ начальная скорость ракетки, и0-

1 + М \ М J

начальная скорость шарика. Также введено обозначение:

W(t, и) — 2АЬ ■+■ (ы2 + A*)bt + 2Аd Г u[ti)dti+

rt a Ja (2.21)

+(w2 + A2)d / I ui^dtidt}.

Jo Jo

Считаем, что удар шарика о ракетку начинается в момент t = 0 В этом случае начальные условия для уравнения (2.20)х(0) = 0, ¿(0) = Щ. Будем рассматривать W(t,u) как некоторое обобщенное управление, действующее на шарик. В этих обозначениях для силы упругости получаем выражение

Fa = -2А± - {ш2 + А2)х + W(t, и) (2.22)

Пусть С = {i > 0 : Fa < 0}. Тогда согласно определению 2 1 время окончания фазы удара определяется следующим образом

т = inf{t > О : Fcl > 0}. (2.23)

При этом допустимыми считаются управления, которые не разрывают контакт за время фазы удара [0,т].

Определение 2.8 Допустимыми являются управления, для которых при t е [0, г] выполнено условие

W{t, и) < 2Аx(t) + {ш2 + A2)a:(i). (2 24)

и u(t) является кусочно-непрерывной функцией своего аргумента

Уравнения движения шарика в ракетке при применении допустимого управления имеют следующий вид

I = -2Хх - {и2 4- Хг)х + W{t, и) (2.25)

с начальными условиями х(0) = 0, ¿(0) = С/0, где W(t,u) вычисляется по формуле (2.21) . Нужно найти такие и(t), которые доставляют минимум следующему критерию качества

J(i(r)) = -х{т). (2.26)

Решение задачи оптимального управления дает ответ на вопрос: "Можно ли остановить шарик?" Из решения задачи вытекает

Следствие 2.8 Равенство нулю выражения

^.(i)-±(t)(u,2 + A2) = 0 (2.27)

в некоторый момент времени t <т при ±{t) > 0 означает то, что шарик может быть остановлен.

Раздел 2.3 заканчивается рассмотрением парадокса при математических условиях контакта. Рассмотрим шарик налетающий на ракетку, обладающую вязко-упругими свойствами. Пусть шарик отразился от ракетки и получил скорость, измеренную в неподвижной системе координат, направленную в противоположную начальному направлению движения сторону. Пусть ракетка догнала шарик, что всегда можно сделать, так как даже небольшое управляющее воздействие, приложенное к ракетке, разгонит ее до любого значения скорости ракетки. Тогда ракетка и шарик будут двигаться как единое целое. Возникает вопрос: "Можно ли, находясь в математических условиях окончания взаимодействия между ракеткой и шариком, уменьшить абсолютное значение скорости шарика?" Ответ на этот вопрос положительный.

В разделе 2.4 на примере упрощенного ускорителя Ферми (шарик, скачущий на вибрирующем столе под действием силы тяжести) рассматривается изменение свойств устойчивости системы при введении управляющего воздействия в фазу удара.

Исследование механических систем в фазе одномерного и одиночного удара показывает, что несмотря на кажущуюся простоту рассматриваемых моделей, постановка задачи оптимального управления требует полного и точного учета физических сил, описывающих взаимодействие тел. Оказывается, что физическая постановка такой задачи может не иметь в фазовом пространстве терминальных условий окончания управления. Терминальные условия зависят от траектории движения системы, которая в свою очередь зависит от управляющего воздействия. Этот факт приводит к необходимости учитывать возможные изменения управления в терминальный момент, чтобы решить уравнения сопряженной системы в обратном времени В рассмотренных задачах оптимального управления принцип максимума Понтрягина в некоторой области начальных данных вырождается, т.с имеется бесконечно много решений задач. Этот факт ведет к возможности выбора из множества оптимальных стратегий предпочтительной по иному критерию

В третьей главе рассматриваются виды множественного удара. В разделе 3.1 введена классификация множественного удара.

Определение 3.1 Будем считать, что в динамической системе х ■— Р(х,х,^ с односторонними ограничениями > 0 при г = 1,. ., г на интервале на-

блюдения за ней [О, Т] возникает фаза множественного удара, если равенство /¡(х(<),4) = 0 на этом интервале выполняется больше одного раза.

В разделе 3 2 рассматривается удар упругой цепочки о неподвижное препятствие как одна из моделей множественного удара. Введение в эту модель дополнительного упругого элемента дало возможность привести множественный удар, возникающий в системе, к одной ударной фазе контакта. Более того такая модель поддается полному аналитическому описанию. Предложена модель множественного удара, в которой контакт первого тела с абсолютно жестким препятствием происходит через дополнительную упругую пружину (крайняя левая пружина на рис. 3.4). При этом фаза удара всей системы происходит до тех пор, пока сохраняется контакт этой пружины с препятствием, а множественный удар описывается одним контактом и последовательностью колебательных движений первого тела. Рассмотрим одномерную цепочку, состоящей из N материальных точек массы т, связанных между собой одинаковыми пружинами жесткости К (см. рис. 3.4), которая является в пределе одномерным, упругим, однородным стержнем. Расстояние между

I

1 п\г 1 ,

т да

ыя»

Рис. 3.4: Упругий стержень как одномерная цепочка тел

двумя соседними материальными точками недсформированиой цепочки равно I. При этом общая масса цепочки равна М = ЛГт. Пусть пружины первоначально не деформированы, и цепочка движется со скоростью —V навстречу абсолютно жесткому препятствию, расположенному в области х < 0. Пусть х, является координатой г-й материальной точки. Из второго закона Ньютона получаем систему уравнений движения материальных точек

= -и)2{хк - ХЫ-1 — I), ¿ЛГ-1 = ~Хц + 2Хдг_1 — хлг-2),

х2 = -Ш2(~Х3 + 2X2- Хх), Х\ = -шг(-хг + Хх) - Ъ^хи

(3.28)

2 К

где и> = —, с начальными т

условиями х,(0) = (г - 0 I, х,(0) = -V для г = 1,..., N В тензорных обозначениях, где ведется суммирование по повторяющимся

индексам, система уравнений движения (3.28) принимает вид

4,(0 = -и>а(Ф<Л(*) + г,).

где 1,-0 для г — 1,..., N — \,1ц = 1и. матрица ||Ф,,|| имеет вид

/3-10 о ... О о о \ -1 2 -1 О ... О О О О -1 2 -1 ... О О О

=

-1 2

О -1

(3.29)

(3.30)

1 /

т.е. является симметрической. Ее собственные значения Л, находятся из условия С?лг(А) = с1е1 ||Ф,, — Лй,-3Ц, где Е,, - единичная матрица. Тем самым при каждом фиксированном N определяются собственные частоты шу/Х1 колебаний системы.

Фаза удара начинается с момента I — 0, когда самая левая пружина входит в контакт с препятствием, и оканчивается в момент отрыва. Отрыв от препятствия в рассматриваемой системе материальных точек будет происходить в такой момент времени г, когда координата первой материальной точки оказывается равной - при положительной скорости движения. Тем самым определены и контактное множество С = {4 > 0 : < 1/2}, и момент окончания фазы удара т = > 0 : > 1/2}. Будем рассматривать только такие значения начальной скорости системы, которые в течение фазы контакта первой пружины с препятствием не нарушают неравенства

о< Х&) < - -<х^1(г)<х((г)< - -<хы(£), ¡=1,...д (3.31)

для всех Ь е [0, т] и являются, по сути, условиями геометрического неразрушеюая такой модели.

Для этой задачи цель исследования состоит в том, чтобы

• вывести аналитическое представление для частот колебаний системы, т.е. для частот колебаний для каждой материальной точки, найти корни уравнения Сдг(А) = 0.

• получить аналитический вид амплитуд этих колебаний д ля произвольного Л\ т.е. найти явный вид

• найти момент времени т, т.е. решить уравнение х^) = 1/2.

• осуществить предельный переход от рассматриваемой системы тел к случаю

- однородного упругого стержня той же массы М и длины Ь и получить форму

импульса воздействия на препятствие со стороны стержня

В результате исследования получены следующие результаты.

ТЬорема 3.1 Функции при различных, фиксированных N удовлетворяют

рекуррентной формуле

— (2 — А)<7лг — = (1 - А)С2 - АСь /,

ба = (1 - А)б1 - 1, <?1 = 3 - А.

Из теоремы (3.1) вытекает следующее свойство для функций (?лг(А) при А = О

Следствие 3.1 Для любых N > 2 выполняются равенства (0) = 2 и СДО) = 3.

Так как значения С?лг(А) вычисляются как соответствующие детерминанты, то для А к, как собственных значений матрицы верны следующие два равенства.

Следствие 3.2

ЛГ

*=1 »=1

Теорема 3.2 Собственные значения матрицы ||Фу|| различны. Они расположены симметрично относительно точки А = 2 на отрезке Хк е [0,4], т.е. Хк = Алг-к+1 при к = 1,..., Л/", и задаются формулой

В пределе, при N —♦ оо, частоты колебаний цепочки ведут себя следующим обрат зом

= (3.35)

1 /Е-Л1/2

для натуральных к, а О = — ( — I , где Ет-модуль Юнга, р-плотность стерж-

ь \ Р ) ня. Отсюда следует вывод.

Следствие 3.3 Во время удара в одномерном упругом стержне, как предельной системе, когда N —> <х>, присутствуют колебания, как функции времени, только нечетных частот, кратных основной частоте

Справедлива следующая лемма.

Лемма 3.1 Общее решение уравнения (3.29) находится по формуле

к-1

где У1к, дк - некоторые константы, ^ = (г + 1/2)/ для г = 1,..., N.

Следствие 3.4 Амплитуды дк зависят только от собственных значений, как функций от N матрицы ||Фу||, которая в свою очередь появилась в результате однородности и равномерного разбиения стержня на части.

Для элементов матрицы справедлива теорема. Теорема 3.3 Элементы матрицы равны

^^аш^-у-1)) .....

(3.36)

1С

Из теоремы 3 3 вытекает следствие 3.5.

Следствие 3.5 Матрица ЦК^Ц симметрическая, т.е. У1к = Уь- Ее элементами являются при некотором ] — 1,..., N. В первой строке и в первом столбце

нет одинаковых по модулю элементов.

Теперь выскажем гипотезу, которая представляет определенный интерес.

Гипотеза 3.1 1. Все собственные числа матрицы равны Причем,

если N- четное, то есть равное количество положительных и отрицательных собственных чисел, а если N- нечетное, то положительных на одно больше.

2. (2е4||1/«|| = (—1)К"+1)/212Л' ( — 1 , где квадратные скобки означают целую часть числа.

Вторая часть гипотезы непосредственно следует из первой ее части. Первая часть гипотезы проверена при помощи математического моделирования вплоть до N — 100. Дальнейшая проверка представляется затруднительной вследствие больше чем экспоненциальной скорости роста детерминанта.

Теорема 3.3 помогает сформулировать теорему 3.4 об амплитудах

Теорема 3.4 Для всех к — 1,..., N амплитуды д* находятся по формуле

(3-37)

Подставив в формулу (3.37) А* из выражения (3.34), получаем

_ _ 2

_Л ~Г

А 4ЛГ )

"-1.....*

где £ = —^-тгг—^- Откуда видно, что при больших N и малых к амплитуды убы-4/у

вают обратно пропорционально 2к — 1, а при номерах к порядка N ведут себя как . В случае одномерного упругого стержня дь находятся по формуле

2 1 и

9к = —г для натуральных к. я- 2к — 1

Время отрыва от препятствия может быть вычислено как корень уравнения I

XI (т) = -. Откуда получаем, т определяется первым положительным корнем следующего уравнения

" 1

£ шп( у/Тк и Т) = 0. (3.38) •

В предельном случае одномерного упругого стержня, когда все частоты в системе кратны, условие отрыва (3 38) есть условие первого равенства нулю синуса самого медленного колебания, т.е.

<зл»>

Теорема 3.5 Временная зависимость силы, действующей со стороны упругого, однородного стержня на неподвижное препятствие, определяется формулой

P(t) = MVSl, t е [0, г). (3.40)

Такая импульсная нагрузка прямо пропорциональна массе упругого элемента, его начальной скорости и его основной частоте колебания, зависящей от упругости.

В разделе 3.3 рассматривается задача управления препятствием в фазе удара о него упругой цепочки, описанной в предыдущем разделе. Система уравнений движения принимает вид

х,(1) = -и>\Фцх,(Ь) + Ь), (3.41)

где L = 0 для i = 2,...,iV - 1, h = 2х0, In = I, где x0 = x0(t) - координата

( Л v

поверхности, при начальных условиях Хо(0) ~ 0, х,(0) = ( » — - 1Í, ¿ДО) = —— для i = 1, ...,ЛГ.

• Управление происходит путем изменения координаты поверхности, о которую ударяется цепочка тел. Координата поверхности вычисляется по формуле Xß(s) = fg it(C)dÇ, где u(s)~ скорость изменения координаты поверхности, на которую наложено ограничение |и(«)| < щ.

• Момент окончания управления определяется как г = inf{e : Xi(t) - x0(t) > 1/2}.

• Задача управления состоит в том, чтобы J(r) —♦ min, где

J(T, _ Ml^íl) + ЪМтЫТ) _ и(т) + жо(т)2 + lxo{T)í (3 42)

т.е. решается задача минимизации полной энергии цепочки в момент отрыва ее от препятствия.

Для цепочки закон оптимального управления имеет вид u^it) = —щ при lío < V/3. Для упругого стержня

" \ -V/2, щ > V/2. <3'43)

Все результаты по главе получены автором лично. Основные результаты по главе опубликованы в работах [2], [4], [5].

3.3 Основные результаты работы

1. Введена формализация процесса удара через контактное множество. Решены несколько задач оптимального управления препятствием с целью минимизации кинетической энергии ударяющегося о него тела, описано множество допустимых управлений, сохраняющих контакт в течении фазы удара, проведено сравнепие математических и физических условий окончания взаимодействия, предложены

условия окончания взаимодействия в случая "клейкой" поверхности препятствия. На примере упрощенного ускорителя Ферми показано изменение свойств устойчивости решения системы при введении управления в фазу удара. 2. При исследовании удара упругой цепочки о неподвижное препятствие были получены следующие закономерности.

• Эволюция дискретной системы при фиксированном N описывается при помощи конечного спектра собственных частот колебаний.

• Каждая частота этого спектра может быть легко найдена аналитически.

• Для соответственных амплитуд дк колебаний получена явная формула, что сильно упрощает задачу математического моделирования этих колебаний.

• Получено свойство для Ац Следствие 3.2

N N

£Afc = 2JV; J]A* = 2, (3.44)

b=l к-1

которое может быть применено к нулям Хк многочленов Чебышева степени N, что дает формулы

lf N

£(2-2*t) = 2W; Ц{2-2Хк) = 2.

*=1 Ь=1

Первая формула очевидна, а вторая появилась как следствие нахождения собственных значений матрицы ||ФЧ||.

• Множественный удар свелся в итоге к одной ударной фазе контакта, что сделало возможным перейти к случаю упругого стержня.

• Для случая одномерного упругого стержня получено время нахождения в фазе удара. Время удара, как оказалось, зависит от свойств системы и не зависит от начальной скорости соударения.

• Получена форма импульса воздействия упругого протяженного элемента на неподвижное абсолютно жесткое препятствие во время фазы удара.

• Интерпретирована и решена задача оптимального управления препятствием с целью минимизации полной энергии стержня.

3.4 Список работ опубликованных по теме диссертации

1. Галяев А. А. Оптимальное импульсное управление динамической системой в фазе удара. //Автоматика и Телемеханика, №1, 75-88, 2006.

2 Галяев А. А. О математической модели импульсного воздействия, вызванного ударом системы материальных точек об абсолютно жесткое препятствие. //Автоматика и Телемеханика, №6, 27-40, 2006.

3. Galyaev A. A., Miller В. М., Rubinovicb Е. Ya. Optimal impulsive control of dynamical system in an impact phase.// Proc of the 4th Contact Mechanics International Symposium, CM1S'05, Jule 4-6, 2005, Hannover, Germany.

4. Галяев А. А. Динамика многомерной системы как модель множественного удара. // Тезисы V Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" , SICPRO'06, 30 янв.-2 фев., 2006, Москва, Россия.

5. Галяев А. А. Об одной модели множественного удара. // Тезисы российского симпозиума с международным участием "Управление упругими колебаниями" , 31 янв.-2 фев., 2006, Переелавль-Залесский, Россия.

6. Bentsman J., Galyaev А.А., Miller B.M., Rubinovicb E. Ya. About control of dynamical systems in a singular motion phase. // Тезисы российского симпозиума с международным участием "Проблемы управления" , Июль 5-7, 2006, Улан-Удэ, Россия.

7. Galyaev A. A., Miller В.М., Rubinovicb Е. Ya. Optimal impulsive control of dynamical system in an impact phase. // Lecture notes in Applied and Computational Mechanics, Springer, Vol.27, pp. 385-386, 2006.

Галяев Андрей Алексеевич УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ В ФАЗЕ УДАРА

с

Автореферат

Подписано в печать ??.??.2006. Формат 60x 84 1/16. Бумага писчая. Усл.-печ.л. 1,1. усл.-изд.л. 1,0. Тираж 100 экз.

Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН Москва, 117997, Профсоюзная ул., д.65

¿QOGft

ЧМ€>3

1 Введение

1.1 Описание систем с ударами.

1.1.1 Волновая теория удара

1.1.2 Дискретные модели. Метод конечных элементов

1.1.3 Комплементарный подход.

1.1.4 Метод функции штрафа в ударной механике

1.1.5 Численный анализ и моделирование.

1.1.6 Биллиарды.Устойчивость и хаос в динамических системах.

1.1.7 Управление в виде обратной связи.

1.1.8 Метод пространственно-временных преобразований для описания динамики систем с ударами как развитие метода пенальтизации.

1.2 Об управлении в сингулярной фазе (фазе нештатной ситуации или фазе удара).

2 Управление в механических системах с одиночными ударами

2.1 Постановка задачи удара тела о неподвижное препятствие

2.1.1 Математическое и физическое условия взаимодействия

2.1.2 Решение задачи удара тела о неподвижное препятствие, обладающее вязко-упругими свойствами

2.1.3 Выводы но разделу.ЗС

2.2 Управление в фазе удара тела о неподвижное препятствие

2.2.1 Два вида сохранения контакта.

2.2.2 Постановка задачи оптимального управления

2.2.3 Пространственно-временное преобразование

2.2.4 Решение задачи оптимального управления

2.2.5 Импульс, полученный телом в фазе удара.

2.2.6 Выводы по разделу.

2.3 Задача об остановке шарика вязко-упругой ракеткой

2.3.1 Уравнение движения с физическими условиями контакта.

2.3.2 Постановка задачи оптимального управления с физическими условиями контакта.

2.3.3 Решение задачи оптимального управления

2.3.4 Условия остановки шарика и специальное управление

2.3.5 Задача оптимального управления с математическими условиями окончания взаимодействия

2.3.0 Парадокс в математических условиях окончания взаимодействия.

2.3.7 Выводы по разделу.

2.4 Об устойчивости движения в системах с ударами

2.5 Выводы из главы.

3 Математические модели множественного удара

3.1 Виды множественного удара.

3.2 Математическая модель удара упругой цепочки материальных точек о неподвижное препятствие.

3.2.1 Уравнения движения цепочки.

3.2.2 Постановка задачи.

3.2.3 Определение частот и амплитуд колебаний, возникающих в фазе удара цепочки тел о неподвижное препятствие.

3.2.4 Время нахождения в фазе удара цепочки тел

3.2.5 Импульсная нагрузка на препятствие со стороны цепочки.

3.2.0 Зависимости скорости центра масс и кинетической энергии цепочки от времени.

3.2.7 Скорость изменения кинетической энергии цепочки

3.3 Задача оптимального управления в фазе удара упругой цепочки о движущееся препятствие.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Решение задачи оптимального управления

3.4 Выводы из главы.

А.1 Управление в фазе удара тела о препятствие.

АЛЛ Модели Максвелла и Кельвина-Фойгта для вязко-упругой среды.

АЛ .2 Доказательство теоремы 2Л.

АЛ.З Определение момента переключения управления

АЛЛ Случаи 1) и 2).

АЛ.5 Доказательство теоремы 2.2.

АЛ.6 Исследование случая а — к2 < 0.

А.2 Математическая модель удара упругой цепочки материальных точек о неподвижное препятствие.

А.2 Л Доказательство теоремы 3.1. Вывод рекуррентной формулы (3.6).

А.2.2 Многочлены Чебышева.

А.2.3 Доказательство теоремы 3.3.

А.2.4 Доказательство теоремы 3.4.

А.2.5 Пример цепочки, состоящей из 7 тел (АГ = 7)

Глава 1 Введение

Механическая система с односторонними ограничениями по ее состоянию описывается динамическими уравнениями вида х = Р(х,х,и), /(ж,г)>0, (1.1) где жбМ"- вектор обобщенных координат системы, и £ Мш - управление, которое в общем случае может задавать обратную связь системы. Механическая система состоящая из твердых, взаимодействующих друг с другом тел попадает в подкласс систем, которые могут быть описаны уравнениями (1.1). В общем случае решения (1.1) являются негладкими функциями времени. Эта негладкость возникает вследствие ударов при эволюции динамической системы, когда ее траектории достигают поверхности /(ж, £) = 0. Поэтому необходимо, чтобы траектории все время находились в разрешенной области координатного пространства Ф = {ж : /(ж,£) > 0}.

Динамические системы с ударами, которые относятся к классу негладких динамических систем, вызывали интерес исследователей еще со времен древних греков. В XVII и XVIII веках Декарт, Ньютон, Пуассон, Гаусс, Гюйгенс занимались изучением явления столкновения двух твердых тел. Позднее Дарбу и Карно внесли большой вклад в теорию ударных взаимодействий. Сейчас уже почти забыт тот факт, что динамика систем с ударами применялась к изучению моделей распространения частиц света. Подобные модели используются и сейчас для описания движения молекул идеального газа, а также для описания сложного динамического поведения систем, называемых биллиардами.

В настоящее время много задач, связанных с динамикой многосоставных механических систем с односторонними ограничениям, остаются нерешенными. Здесь есть математические задачи (существование, единственность продолженных решений, непрерывная зависимость от начальных данных, бифуркации, хаос), задачи численного анализа (как разбивать на составные части сложную смесь дифференциальных уравнений и алгебраических условий), механические задачи (множественные удары и их правильное моделирование, контакты с учетом силы трения (парадокс Пенлеве)), задачи системного анализа (управляемость, устойчивость).

Цель проделанной диссертационной работы состоит в том, чтобы ответить на некоторые поставленные выше вопросы, а именно, на вопросы управления и оптимального управления по энергии таких систем, математического моделирования множественных ударов и управления механической системой в фазе множественного удара.

Из вида уравнений (1.1) становится понятно, что механическая система по достижению в фазовом пространстве ограничения /(ж, ¿) = О в общем случае мгновенно перескакивает в другую точку с теми же пространственными координатами, но с другими значениями проекций скоростей, за исключением случая, когда решение ж(£) системы на некотором интервале времени удовлетворяет /(ж(£),£) = 0. Эти новые значения проекций скоростей задаются при помощи ньютоновского коэффициента восстановления, в то время как сам процесс удара (взаимодействия между телами) оказывается как бы скрыт в этом коэффициенте, поскольку длительность фазы удара полагается равной нулю. Управление в таких системах входит только в безударную фазу движения.

Основным отличием систем, рассмотренных в диссертационной работе, от подобных моделей является конечная (ненулевая) длительность фазы удара. Решение уравнений движения системы в фазе удара позволяет связать послеударные макроскопические характеристики системы (скорость центра масс, полную энергию и т.д.) с доударны-ми. Другой отличительной особенностью проделанного исследования является введение в фазу удара управляющего воздействия, которое, в частности, позволяет управлять коэффициентом восстановления и расширяет область достижимости в фазовом пространстве от одной точки (в случае отсутствие управления) до некоторой области.

Следует отметить, что идея рассмотрения ненулевой длительности фазы удара не нова. В частности, в [7| А.П.Иванов говорит о необходимости рассмотрения конечной длительности фазы удара в связи с возможностью применения в ней конечных управляющих сил.

1.1 Описание систем с ударами

Динамика механических систем с ударами сложна и многообразна. Она находит свое применение во многих инженерных приложениях: робототехнике [32], [36], [40], вибро-ударных механизмах [4], микромеханических системах [23] (это работы Mills, Nguen, Pfifer, Glocker, Tornambe, Бабицкого, Bohringer, Goldberg, Colin, Hower, Pisano). В последней из работ движение индуцируется именно посредством организованных ударов, через которые происходит управление системой. При рассмотрении систем с ударами используются два подхода, известные в литературе под названиями: волновая теория удара и дискретный подход.

1.1.1 Волновая теория удара

Основное отличие волновой теории удара от классической стереоме-ханики состоит в определении твердого тела (Иванов, [7]). Считается, что связи между точками допускают их относительные перемещения. Это обстоятельство приводит к резкому увеличению степеней свободы, т.е. числу независимых координат системы. На практике возникает проблема получения численного решения для систем, состоящих из сотни точек (Иванов, [7]), не говоря уже об аналитическом решении. В связи с этим используется представление о твердом теле как о сплошной среде.

Простой моделью коллинеарного удара твердого тела является соударение стержня длины L с абсолютно жестким препятствием (тела более сложной формы при ударе не будут двигаться поступательно). Зафиксируем инерциальную систему отсчета с осыо X, направленной вдоль стержня и обозначим и = и(х, t) смещение поперечного сечения с координатой х в момент времени t от начального, недеформирован-ного положения. Пусть препятствие расположено при х > 0. В случае упругого стержня для смещений и справедливо волновое уравнение где с- скорость распространения волны в стержне [12]. Чтобы решить уравнение (1.2) следует задать начальные и граничные условия. В начальный момент £ = 0 стержень не напряжен, скорости всех точек равны, за исключением точки х = 0, поэтому и(1,0) = £(х,0) = 0. (1.3) с) II

Граничные условия определяются как и(0,1) = 0 пока — (0, £) < 0 на ударяющемся конце, и —(£,,£) = 0 на свободном конце стержня.

Таким образом выбранные граничные условия априори привязывают решение уравнения (1.2) к точке удара. Какие явления происходят в точке контакта? Как вводить управление препятствием? Помочь ответить на эти вопросы может дискретная модель стержня как упругой цепочки, рассмотренная в работе.

1.1.2 Дискретные модели. Метод конечных элементов

Решения задач о коллинеарном ударе двух твердых тел на основе гипотезы Ньютона (комплементарный подход) и методами волновой теории могут рассматриваться как полярные и в смысле сложности вычислений, и в смысле соответствия результатов реальности. С практической точки зрения каждая из таких моделей обладает весьма существенными недостатками: первая слишком груба и не позволяет определить важные характеристики процесса удара, как его длительность максимальную нагрузку и т.п. Вторая модель в этом смысле более привлекательна, однако уравнения волновой теории, как правило, очень сложны для решения, поэтому в ее рамках остается открытым основной вопрос определения ударного импульса как функции начальных условий."(Иванов, [7|).

Переход от непрерывной модели описания деформируемого твердого тела к представлению его при помощи конечного числа связанных между собой подчастей носит название метода конечных элементов. Некоторые виды одномерных деформируемых элементов представлены в Приложении, раздел АЛЛ. В общем случае анализ дискретной многомерной системы требует использования численных методов исследования. Эти методы могут оказаться неэффективными при расчете моделей быстро повторяющихся (множественных) ударов. При рассмотрении дискретных систем используются два метода, известные в литературе под названиями: комплементарный подход и метод функции штрафов (в порядке исторического появления).

1.1.3 Комплементарный подход

Комплементарный подход к задачам ударной механики восходит к Ныотону, который ввел в постановку задачи закон восстановления. При комплементарном подходе длительность удара полагается равной нулю. Одновременно с этим считается, что координаты системы являются непрерывными функциями времени, а скорости могут испытывать в точках ударов конечные скачки. В случае одномерного удара в общем виде задача может быть сформулирована следующим образом (ЗсУ^тап [37]). Пусть дана непрерывная функция Р из М х М х [О, Т] в К, которая Липшицева по двум первым аргументам. Также дана выпуклая область К, состоящая не из одной точки. С°([0, Т]; К)- пространство непрерывных функций из [О, Т] в К. со значениями в К. Тогда ищем функцию х € С°([0,Т];М), ограниченной вариации, и меру ц на [0,Т], которые удовлетворяют соотношениям с начальными условиями ж(0) = жо, ¿(0) = х\. Далее, для того чтобы задача (1.4)-(1.6) имела решение, необходимо задать закон восстановления. С этой целыо используется классическая модель Ныотона с коэффициентом восстановления е € [0,1].

Однако решение задачи (1.4)-(1.7) глобально не единственно. Ballard в [20] и Schatzinaii в [37], доказали, что если F- аналитическая функция, то глобальная единственность решения есть. хес°([0,т]-,к), х = F(x,x,t) + /i, ф - ж) < о, Vv 6 С°([0,Т]; К), x(t) е дК =ф x(t + 0) = -ex(t - 0).

1.1.4 Метод функции штрафа в ударной механике

Метод функции штрафа обосновывает комплементарный подход и является аналогом идеи введения сильного потенциального поля при описании гамильтоповой системы с голономными связями, развитой Арнольдом в [2], [3]. Для исследования уравнений движения тел в фазе удара в уравнения движения вводится параметризованная сила, в виде градиента потенциала U, которая отвечает за проникновение тела вглубь препятствия. Длительность фазы удара полагается ненулевой. Уравнения движения системы при наличии штрафного потенциала будут иметь вид х = F(x,x,u) - —, (1.8) uf2(X t) где U = при /(ж, i) < 0 и U = 0 при f(x, t) > 0. Эта сила зависит от параметра который в пределе полагается равным бесконечности (жесткость препятствия), что (в пределе) приводит к нулевой длительности фазы удара. Далее решаются полные уравнения движения, в конечных выражениях скоростей и координат, а затем осуществляется переход к пределу при жесткости стремящейся к бесконечности (Козлов и Трещев [10], Schatzman [37]). Этот подход будет использован в диссертационной работе.

1.1.5 Численный анализ и моделирование

Метод функции штрафов является по своей сути процедурой, через которую выводятся законы восстановления, вводящиеся априори или при помощи эксперимента, как при комлемеитарпом подходе. Однако, при расчете численных схем взаимодействия объектов в реальном времени возникает проблема, состоящая в том, что решения уравнений движения, параметризованных жесткостью, при разных значения параметра и мелкости разбиения схем численных алгоритмов, дают разные результаты. Так как реальные физические системы обладают быть может большой, но конечной жесткостью, то мелкость разбиения должна быть связана с жесткостью, чтобы приводить к единственным и корректным результатам. Наиболее известные примеры такого рода можно найти в работах Menini, Paoli, Schatzman, Tornambe, Stuard

19], [33], [34], [35], [37], [40].

1.1.6 Биллиарды.Устойчивость и хаос в динамических системах

Движение материальной точки в замкнутой ограниченной области пространства называется биллиардом, если при ударах о границу препятствия не происходит потерь энергии и угол падения равен углу отражения. Биллиарды, будучи чрезвычайно простыми по своей сути, демонстрируют всю сложность нелинейной динамики. В конце 18 века Э.Ф. Хладни положил начало экспериментам, которые предвосхитили все последующие работы, связанные с биллиардами. Хладни заметил, что если металлическую пластину заставить вибрировать с помощью скрипичного смычка, то мелкие песчинки, случайно рассыпанные по ее поверхности, самоорганизуются в геометрические фигуры (фигуры Хладни). Эти фигуры, в тех областях где они появляются, характеризуют систему как устойчивую по отношению к изменению начальных данных (Штокман [18]).

Рассмотрим эволюцию системы, описываемой N динамическими переменными х\,., Ждг. Под хп понимаются все компоненты радиус вектора, а также импульса частицы. Соответственно, для системы из Б частиц количество динамических переменных N = 65. Пусть теперь х(0) = (^1(0),., Ж]у(0))- вектор динамических переменных в начальный момент времени £ = 0. В любой последующий момент времени вектор х(£) можно рассматривать как функцию начальных условий и времени х(г) = с(х(о),г). (1.9)

При бесконечно малом изменении начального условия х(0) = х(0) + т (1.10) динамические переменные в момент времени £ будут определяться в соответствии с выражением х(0 = С(х(0)+£(0),0. (1.11)

В линейном приближении расхождение координат между исходной и возмущенной траекториями находится как = (1.12) где оператор градиента V действует на функцию, зависящую от начальных координат. Записав далее уравнение (1.12) по компонентно, получаем

Ш^ъгШ- (1.13)

Собственные значения матрицы М = ||<9С„/<9:гт|| определяют устойчивость траектории. Так, если модули всех се собственных значений меньше единицы, то траектория является устойчивой, и любые отклонения от исходной траектории со временем будут стремиться к нулю. Если же модуль хотя бы одного из собственных значений превышает единицу, то траектории будут экспоненциально удаляться друг от друга даже при малых начальных отклонениях £(0). Такое разбегание траекторий и является причиной возникновения классического хаоса.

Рассмотрим другой пример - ротатор (маятник), движущийся под действием периодических толчков. Соответствующий гамильтониан записывается следующим образом:

Я(£) = ^ + ксозЩ^б^ - пТ). (1.14)

Первое слагаемое в правой части(1.14) описывает вращение маятника с моментом импульса Ь и моментом инерции /, а второе - периодические толчки или удары. Здесь Т - период, а параметр к определяет максимальное количество энергии, которое может быть получено системой за один удар. Поскольку Ь изменяется скачкообразно, уравнения движения сводятся к отображениям динамических переменных Ь и {}. Положим I и Т равными единице, тогда перед очередным ударом динамические переменные принимают значения

Ьп+1 = Ьп + К8П\()п.

Полученные соотношения определяют стандартное отображение Чи-рикова [18]. Это отображение оказалось удобным для исследования перехода от регулярного движения к хаотическому, так как переход происходит при изменении одного параметра к. При значениях к, не превышающих 0,2 движение ротатора регулярно практически при любых значениях $ и Ь. При этом изображающая точка движется в фазовом пространстве но, так называемым, инвариантным торам. С увеличением к торы постепенно разрушаются. Последний тор будет разрушен при значении к = 0,9716 [18]. Однако при этом в фазовом пространстве еще остаются небольшие области регулярного движения. Наконец, при к, > 5 подавляющая часть фазового пространства охвачена хаосом [18]. Наиболее полное изложение курса динамических систем можно найти в книгах А.Б. Катока и Б. Хассельблата [8], [9]. Примеры устойчивости и возникновения хаоса в дискретных системах будут приведены в работе, как результат введения управления в фазу удара.

1.1.7 Управление в виде обратной связи

Рассмотрим задачу управления механической системой с односторонними ограничениями. Под управлением системой понимается следующий процесс. В условиях, когда известны все входы и выходы системы, входы могут быть выбраны как функции в виде обратной связи, чтобы привести выходы к желаемой цели. Это общая задача для теории управления. Основным объектом исследования для таких задач является робот-манипулятор, который сталкивается с другой механической системой. Подобные системы удовлетворяют следующим условиям.

• Гладкие траектории остаются ограниченными и система движется по желаемой траектории между ударами.

• Существует последовательность моментов ударов конечная или бесконечная.

• Предел последовательности может быть конечный или бесконечный. Поэтому моменты ударов должны быть раздельные и обладать или конечной точкой накопления ударов, или бесконечной точкой накопления.

• Скорости ¿(£]ь) стремятся к требуемому значению £</.

• Координаты х(Ьк) стремятся к требуемому значению х^.

Джаглер является простейшей системой, которая была бы неуправляемой, если в ней не было бы ударов. Эта система представляет собой шарик, скачущий на вибрирующем столе. В такой системе в случае абсолютно упругого удара шарику можно сообщить сколь угодно большую скорость ^а1ауа, Вг^Па1ю [41]).

Задача остановки шарика является противоположной задаче раскачки. Шарик должен быть остановлен за конечное время, но, быть может, за бесконечное число ударов. Такая ситуация реализуется при ударе шарика о препятствие в поле тяжести с коэффициентом восстановления меньшим единицы. В этом случае шарик останавливается за конечное время, по есть точка накопления ударов.

В модели ускорителя Ферми шарик движется горизонтально между закрепленной и подвижной стенками. В упрощенной модели роль неподвижной стенки играет постоянная сила. Если стенка движется ио синусоидальному закону но времени, то дискретное отображение задастся соотношениями +аг„, (иб) хп+\ =£хп~1 СО 8уп + хп). где 7 > 0- некоторая константа. Такое отображение задает сложное динамическое поведение системы, но при е < 1 (динамическая система задает сжимающее отображение) скорость остается ограниченной и с течением времени система приходит в положение равновесия.

В подобного рода задачах (В1т^На<;о, Мешш, ТогпашЬе, Zalava [22], [29], [41]) управление системой заключено между моментами ударов, в самой же фазе удара управления нет. Его можно было бы ввести искусственно, если считать, что коэффициент восстановления зависит от некоторого управляющего параметра, что означало бы появление управления внутри фазы взаимодействия тел.

Задачи управления в фазе удара являются малоисследованными. Автору известно только, что Миллер и Венцман в [28] рассматривали задачу подкрутки шарика упругой ракеткой, а в [13] Миллер и Руби-нович рассматривали задачу управления шариком в математических условиях окончания взаимодействия. Задачи остановки тел при введении управления в фазе удара будут рассмотрены в работе.

1.1.8 Метод иространствешю-времеиных преобразований для описания динамики систем с ударами как развитие метода пенальтизации

В системах с ударами фазовые траектории являются разрывными функциями времени. Поскольку траектории систем разрывны, то их невозможно описывать обыкновенными дифференциальными уравнениями и поэтому естественно использовать более общий тип динамических уравнений, а именно: нелинейные дифференциальные уравнения с мерами. Эти уравнения являются универсальным средством строгого описания динамики дискретно-непрерывной системы (ДНС). Однако, управление такими системами в фазе удара представляет собой значительно более сложную задачу, чем управление чисто дискретными или непрерывными системами. В последние годы в задачах оптимального управления ДНС была предложена и детально разработана новая методология, применимая для широкого класса задач оптимального управления с различными типами ограничений.

Основой нового подхода является метод разрывной замены времени или, более обще, метод пространственно-временных сингулярных преобразований. В задачах импульсного управления с использованием специального преобразования времени исходная задача с импульсными управлениями и разрывными траекториями преобразуется к эквивалентной стандартной задаче оптимального управления с ограниченными входными воздействиями и непрерывными траекториями" (Миллер, Рубинович [13]).

Описание явления удара (т.е. резкого изменения скоростей) в терминах некоторого быстрого движения похоже па введение в систему импульсного управления. Тогда подобное пространственно-временное преобразование можно рассматривать, как некоторую модификацию метода разрывной замены времени (Варга [5]). Такой подход позволяет корректно описать результат единичного соударения. Однако исследование ситуации с бесконечным числом соударений, возникновением точек накопления моментов соударений и "слипания" тел вызывает серьезные трудности. Изучение подобных систем имеет большое значение вследствие развития в последнее время робототехники, точной механики и управления движением. Многие авторы, рассматривая задачи управления в системах с односторонними ограничениями, приходят к выводу, что ограничения присутствующие в системе дают некоторые дополнительные средства управления, позволяющего обеспечить устойчивость или изменить и расширить множество достижимости (Черноусько, Вп^Нак), Мешш [16], [29], [40], [41]). Если рассматривать фазу удара, как управляемый процесс, то можно пойти еще дальше. Управление в фазе удара подразумевает воздействия, которые происходят в темпе контакта, то есть достаточно быстро. Один из наиболее ярких примеров такого рода можно наблюдать при игре в настольный теннис, когда опытный игрок успевает за время контакта мяча с поверхностью ракетки быстро развернуть ее, придав мячу дополнительное, очень сильно вращение (этот удар называется топ-спин). Другой пример, это селективный захват или, наоборот, отталкивание металлического предмета, например, с помощью электромагнита. Ясно, что электромагнит нужно включать, создавая либо силу притяжения, либо отталкивания только тогда, когда предмет касается его поверхности. В такой постановке задачи управления в механических системах с односторонними ограничениями похожи па задачи импульсного управления.

Одной из основных трудностей при решении задач оптимального управления механическими системами с ограничениями является отсутствие робастности. В силу вышесказанного разработка математического аппарата для решения таких задач является актуальной задачей. Для иллюстрации типичных проблем, возникающих при управлении системой с ударами, рассмотрим следующий классический пример из [13].

Пример 1.1 Пусть мяч единичной массы движется вдоль вертикальной оси под действием гравитационной силы до момента частично упругого удара о горизонтальную поверхность (например теннисную ракетку), которая, в свою очередь, двиэ/сется вертикально с некоторой скоростью. Поскольку при ударе скорость мяча изменяется почти мгновенно, рассмотрим его движение, как движение подчиненное воздействию импульсной силы, возникающей в момент удара и приводящей к скачкообразному изменению скорости мяча.

Формализуем эту модель. Пусть у(£)~ текущая координата мяча, а х(Ь)- координата поверхности ракетки.

Свободное движение мяча может быть описано в терминах его координаты и скорости {у{Ь), у(£)), удовлетворяющих системе уравнений т = -9, № = у(1).

Аналогично, уравнения движения поверхности ракетки в терминах (ж(£),ги(£)) имеют вид где д - ускорение свободного падения, М 1 - масса ракетки и F(£)

- внешняя управляющая сила, подчиненная ограничениям

Fcnt(t)\ < Fq < оо.

Предположим, что у(0) > ж(0), так что мяч падает па поверхность ракетки сверху. Если в некоторый момент т > О мы имеем у{т) = х(т), тоо, принимая гипотезу Ньютона о частичном восстановлении нормальной скорости, получаем v(t) = -v(t-)£ + Цт)(1 + е), (1.17) где 0 < е < 1 коэффициент восстановления [16]. Принимая во внимание неравенство М 1, моэюно пренебречь изменением скорости ракетки. С учетом этого обстоятельства

Av(t) = v(t) - v(t—) = (w(t) - г;(г-))(1 + s), и, следовательно, движение мяча может быть описано уравнениями t) = -g+ ЕЫ-г) - v(r-))(l + e)6(t - г), T<t

1.18) m=v(t), где суммирование осуществляется по всем моментам т удара мяча о ракетку в течение времени t.

Задача оптимального управления Mooicem быть сформулирована, как задача выбора управляющей силы Fm^t), обеспечивающей достижение некоторой цели управления, например, минимизации \v(T)\, соответствующей задаче эффективного торможения или, наоборот, максимизации v(T), что отвечает задаче разгона, и т.п.

Данный пример показывает, что динамика ДНС, возникающей при исследовании описывается сложными нелинейными уравнениями, поскольку времена ударов не определены заранее и зависят от управляемого движения ракетки. Следует отмстить, что это еще не все сложности. В самом деле, описание движения остается все еще неоднозначным, поскольку уравнение (1.18) не дает полного описания всех возможных движений. Дополнительные трудности (появление точек накопления ударов) возникающие при изучении систем с ударами демонстрирует следующий пример, взятый в [13].

Пример 1.2 Рассмотрим движение, когда ж(0) = 0, «;(0) = О, = О, 7/(0) = К ^(0) = 0. В этом случае мяч ударяется о поверхностъ первый раз в момент Ь = \ — и его скорость после удара равна и^) = Еу/2дН. Следовательно следующий удар произойдет через время

Временной интервал между п-ым и (п+1)-ым ударами оказывается равным

2 — ¿1 = 2е\ а скорость Кроме того, tn+1 ^п — v(tn)=£1ly/2gh->0, n —► 00. tn+l = Î! + 2ii il + =

Поэтому, когда t>T* мяч достигнет состояния равновесия с y(t) = О, v(t) = 0, как показано на Рис. 1.1. Однако это состояние не может быть описано уравнениями (1.18), даже если мы положим x(t) = y(t) = 0.

Y(t) Y(0) = h t, t2 . tk Г

Рис. 1.1: Прыгающий мяч, стремящийся к равновесному состоянию

Этот пример показывает, что в состоянии равновесия необходимо как-то ввести дополнительную силу, которая компенсировала бы гравитационную силу. Наличие такой силы не следует непосредственно из уравнений (1.18). Ситуация могла бы быть еще более сложной, если бы на некотором интервале выполнялось равенство х(£) = у(£) ф 0, что, вообще говоря, является допустимым. Этот случай требует введения в уравнения движения некоторой дополнительной не импульсной силы и соответствующего расширения уравнений (1.18). Обычно эти уравнения можно вывести из полной системы уравнений, описывающей динамику удара при конечном значении жесткости и устремлении его затем к бесконечности (метод функции штрафа). При предельном переходе получаются уравнения предельного движения в форме комплементарных уравнений или дифференциальных уравнений с мерами, локализованными на границе ограничения, [41]. В этих уравнениях, однако, необходимо определять одновременно и решение и соответствующую меру, что приводит к отсутствию единственности решения. Как было выше сказано, известные результаты о единственности решения применимы лишь при условии аналитичности внешнего управляющего воздействия как функции времени [20], [37], что может являться чрезмерно сильным требованием для задач управления. Более того, отсутствие единственности решения для систем с ударами не является чем-то экзотическим, а, наоборот, скорее является обычным свойством этого класса дифференциальных уравнений с мерами ([13]). Миллер и Бенцман в [28], [30] и [31] представили обобщенные решения для широкого класса динамических систем с односторонними ограничениями.

Метод пространственно-временного преобразования будет использоваться в работе.

1.2 Об управлении в сингулярной фазе (фазе нештатной ситуации или фазе удара)

Механическая система с одиосторо1ни1ки1 ограииченняли! но ее со-стояиию оиисывается дииa^иIчecкими уравнениями вндаx^F{x,x,u), f{x,t)>0, (1.1)где ж е М" - вектор обобщенных коордннат снстемы, и е Ш"^ - унравленне, которое в общем случае может задавать обратную связь снстемы. Механическая система состояния нз твердых, взанмодействующих друг с другом тел нонадает в нодкласс снстем, кото1)ые могут быть оиисаны уравнениями (1.1). В общем случае решения (1.1)являются иегладкими фyикция^нI временн. Эта негладкость возннкает вследствне ударов нрн эволюцни динакн1ческой системы, когда еетраектории достигают новерхности /(х, t) = 0. Поэтому необходимо,чтобы траектории все время находились в разрешенной области координатного пространства Ф = {х : f{x,t) > 0}.Диналн1ческне снстемы с ударами, которые отиосятся к классунегладких динамическнх снстем, вызывалн ннтерес нсследователейеще со времен древннх греков. В ХУП и XVni веках Дека1)т, Пьютон,Пуассон, Гаусс, Гюйгенс заннмались нзученнем явлення столкновеннядвух твердых тел. Позднее Дарбу н Карно внеслн больнюй вклад в теорию ударных взанмодействнй. Сейчас уже ночтн забыт тот факт, чтодннa^нIкa систем с ударами нрименялась к нзучению моделей раси1Юстранення частиц света. Подобные моделн нснользуются н сейчас дляоннсания движения молекул идеального газа, а также для онисаннясложного дина\н1ческого иоведения систем, называемых бнллнардалн1.В иастоян1,ее время лпюго задач, связанных с дннa^нIкoй многосоставных механнческнх снстем с односторонннми ограниченням.остаются нерешенньти!. Здесь есть математическне задачи (существование, единственность нродолженных решений, иеирерывиая зависимость от иачальиых даииых, бифуркации, хаос), задачи числеиногоаналнза (как разбивать на составные частн сложную смесь диффе1)еицнальных уравненнй н алгебранческнх условий), мехаиические задачи(лиюжествеиные удары н их иравильиое моделироваиие, коитакты сучетом силы трення (иарадоке Пенлеве)), задачи систелнюго aHajHoa(унравляемость, устойчнвость).Цель проделанной диссертационной работы состоит в том, чтобы ответить на иекоторые иоставленные выше вонросы, а именно, на вонросы унравления и оитимальиого уиравлеиия но эиергии таких систем,математического моделировання ^июжecтвeиныx ударов и унравленнямеханнческой системой в фазе ^нюжecтвeннoгo удара.Из вида уравнений (1.1) становится понятно, что механическая система но достиженню в фазовом нространстве ограинчення /(ж, t) = 0в общем случае лн^новенно нерескакнвает в другую точку с теми жен})остранственныли1 коордннатамн, но с Д1)угнлн1 значениями! ироекций скоростей, за исключением случая, когда решеиие x{t) системына некотором интервале временн удовлетворяет f{x{t),t) = 0. Эти новые значення проекций скоростей задаются ири иомощи иьютоновского коэффнциента восстановлення, в то время как сам нроцесс удара(взаимодействия между тeлa^нI) оказывается как бы скрыт в этом коэффициеите, поскольку длительность фазы удара нолагается равнойнулю. Унравление в такнх системах входит только в безударную фазудвнження.Основным отлнчием снстем, рассмотренных в днссертацнонной работе, от нодобпых моделей является конечная (ненулевая) длительность фазы удара. Решение уравнений движення снстемы в фазе удара нозволяет связать нослеударные макросконические характеристикисистемы (скорость центра масс, нолную энергню н т.д.) с доуда1)ными. Другой отлнчптельпой особенностью нроделанного псследованняявляется введенне в фазу удара унравляющего воздействня, которое,в частностн, позволяет унравлять коэффнцнентом восстановлення нрасширяет область достижимости в фазовом иространстве от однойточки (в случае отсутствие уиравлеиия) до некоторой областн.Следует отметить, что ндея рассмштрення ненулевой длнтельностнфазы удара не нова. В частностн, в [7| А.П.Иванов говорнт о необходимости расслютрення конечной длительностн фазы удара в связи свозможностью применения в ней конечных унравляюпцгх сил.

3.4 Выводы из главы

При исследовании удара упругой цепочки о неподвижное препятствие были получены следующие закономерности.

• Эволюция дискретной системы, введенной в разделе при фиксированном N, описывается при помощи конечного спектра собственных частот колебаний.

• Каждая частота этого спектра может быть легко найдена аналитически при помощи формулы (3.9).

• Для соответственных амплитуд колебаний цепочки получена формула (3.21), что сильно упрощает задачу математического моделирования этих колебаний (рис. 3.8).

Следствие 3.2 может быть применено к пулям Хк многочленов Чсбышева степени N, что дает формулы

N N

2 - 2хк) = 2ЛГ; ц(2 - 2хк) = 2. к=1 к=1

Первая формула очевидна, а вторая появилась как следствие нахождения собственных значений матрицы ||Фг^||.

Множественный удар был приведен к одной ударной фазе контакта, что сделало возможным перейти к случаю упругого стержня.

Для случая одномерного упругого стержня получено время нахождения в фазе удара формула (3.24), которое, как оказалось, зависит от свойств системы и не зависит от начальной скорости соударения.

Получена форма импульса воздействия упругого протяженного элемента на неподвижное абсолютно жесткое препятствие во время фазы удара, уравнение (3.28).

Интерпретирована и решена задача оптимального управления поверхностью препятствия с целыо минимизации полной энергии стержня.

Заключение

При рассмотрении задачи оптимального управления при ударе материального тела об упругую среду управляющее воздействие, приложенное к поверхности среды сообщало или отбирало кинетическую энергию ударяющегося тела. Так как при неуправляемом ударе кинетическая энергия тела достигала своего локального максимума в момент отрыва от препятствия, то по сути решались две задачи шах шах и min шах где и- управляющее воздействие, т(и)~ и т(и) и т{и) время окончания удара, Ек- кинетическая энергия тела. При рассмотрении модели множественного удара упругой одномерной цепочки о неподвижное препятствие кинетическая энергия такой многомерной системы почти полностью перетекла в потенциальную энергию взаимодействия тел друг с другом, а потом в момент отрыва от препятствия опять почти полностью перешла в кинетическую энергию. Ограничение в виде препятствия играло роль управления, которое влияло на распределение полной энергии системы. Все решенные задачи описывались при помощи гамильтонова формализма, что сделало возможным введение в системах понятия функции энергии.

Цель диссертационной работы заключалась в исследовании возможности применения управления внутри сингулярной фазы для механических систем с ударами, в описании множества допустимых управлений, соответствующих реальным, физическим условиям контакта в фазе удара, и в исследовании модели множественного удара упругой, однородной цепочки, состоящей из произвольного числа тел.

В диссертации показано, что учет нефизических условий контакта может приводить к несуществующим и парадоксальным явлениям. Решенные в диссертации задачи управления в фазе удара показывают, что оптимальные управления имеют внутреннюю структуру переключений, что не позволяет в рамках рассмотренных моделей осуществить предельный переход к жесткости препятствия, стремящейся к бескоценности, т.е. к равной нулю длительности фазы удара, с сохранением этой структуры.

В силу того, что все реальные объекты имеют, быть может очень большую, но конечную жесткость, этот факт еще раз подчеркивает актуальность физического рассмотрения подобных задач. Именно жесткость (амплитуда силы взаимодействия между объектами) задает темп изменений в системе, и чтобы иметь возможность эффективно управлять внутри фазы удара, требуется прикладывать силовое воздействие в темпе таких изменений.

Для модели множественного удара оказалось, что введение дополнительного упругого элемента, отвечающего за контакт цепочки с препятствием, дало возможность аналитически описать данную систему. Этот аналитический результат для систем с множественным ударом, в свою очередь, дает возможность понять природу кратности частот собственных колебаний для упругого стержня с одним закрепленным концом, и сопрягает дискретный подход к такой задаче с волновым, проявляя, таким образом, подобие корпускулярно-волиового дуализма, а также позволяет найти форму импульса воздействия па препятствие со стороны упругой цепочки. Однако, применяя волновой подход, невозможно без дополнительных эмпирических соображений найти время удара упругого стержня о барьер, которое получилось в работе из допредельной цепочки. Определение предельного перехода от упругой цепочки к стержню привело к корректной постановке задачи оптимального управления стержнем в фазе удара о препятствие и ее решению.

Проделанная диссертационная работа является исследованием возможности применения теории оптимального управления в механических системах с ударами. В рамках одного интервала взаимодействия были поставлены и решены задачи оптимального управления. Однако, в случае повторяющихся контактов применение теории оптимального управления сильно затруднено. Повторяющиеся контакты ведут к появлению одной из разновидностей гибридных систем, когда исходная система описывается на разных интервалах времени разными дифференциальными уравнениями, а моменты переключения между уравнениями заранее неизвестны. Необходимость решения такого класса задач в ударной механике и в теории динамических систем определяет обширную область для дальнейших исследований.

1. Апдрисвский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории фвто-матического управления. С-Пб.: Наука, 1999.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нсйштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

4. Бабицкий В.И. Теория вибро-ударных систем: Приближенные методы. М.: Наука, 1988.

5. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. Пер. с англ. М.: Наука, 1977.

6. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. С-Пб.: Наука, 2005.

7. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997.

8. Каток А.Б., Хасссльблат Б. Введение в теорию динамических систем (с обзором последних достижений). М.: МЦНМО, 2005.

9. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

10. Козлов В.В., Трсщсв Д.В. Биллиарды. (Генетическое введение в динамику систем с ударами). М.: МГУ, 1991.

11. Корн Г., Кори Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978.

12. Ландау Л.Д., Лпфшпц ЕМ. Теоретическая физика. Т. VII. М.: Физматлит, 2003.

13. Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005.

14. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис, 1998.

15. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика. С-Пб.: Наука, 2003.

16. Черноусько Ф. Л. Оптимальное прямолинейное движение двух-массовой системы. //Прикладная математика и механика, 66, N1, 3-9, 2002.

17. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И.М., Рсшмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физмат-лит, 200G.

18. Штокман X. Квантовый хаос. М.: Физматлит, 2004.

19. Abadic М. Dynamic Simulation of Rigid Bodies: Modelling of frictional Contact. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 61-144, Germany, Springer, 2000.

20. Ballard P. The Dynamics of Discrete Mechanical Systems with Perfect Unilateral Constraints. //Arch. Rational Mech. Anal., 154, 199-274, 2000.

21. Bentsman J., Miller В., Rubinovich E. Modeling and control of dynamical systems with active singularities and sensing in a singular motion phase. //Preprints submitted to Automatica Dec. 2005.

22. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Models, Dynamics and Control. London, Springer-Verlag, Communications and Control Engeneering Series, 1999.

23. Kunzc M., Monteiro Marques M. An Introduction to Moreau's Sweeping Process. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 1-60, Germany, Springer, 2000.

24. Miller B., Bentsman J. The singularity opening approach to control of mechanical systems with constraints.// Proc. of the 2nd IFAC Workshop on Lagrangian and Hamiltonian Methods for Nonlinear Control, LHMNLC'03, April 3-5, 2003, Seville, SPAIN

25. Mcnini L., Tornambc A. Control of (otherwise) uncontrolable linear mechanical systems through non-smooth impacts. //System and control letters, V. 49, 311-322, 2003.

26. Miller B., Bentsman J. Optimal control problems in hibrid systems with active singularities. //Nonlinear Analysis, 1-19, 2005

27. Miller B., Bentsman J. Representation of motion of controlled dynamic systems with unilateral constraints. //Preprints

28. Mills J.K., Nguen C. Robotics manipulator collision: modelling and simulation. //Trans. ASME J. Dyn. Sys. Meas. and Contr., V. 114, No.2, 650-659, 1993.

29. Paoli L., Schatzman M. A numerical scheme for impact problems I: the one-dimensional case.// SIAM J. Nurner. Anal., V. 40, No.2, P. 702-733, 2002.

30. Paoli L., Schatzman M. A numerical scheme for impact problems II: the multidimensional case.// SIAM J.Numer. Anal., V. 40, No.2, P. 734-768, 2002.

31. Paoli L., Schatzman AI. Penalty approximation for dynamical systems submitted to multiple non-smooth constrains.// Multibody System Dynamics, V.8, P.347-366, Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 2002.

32. Pfifcr F., Glocker C. Multi-body Dynamics with Unilateral Constraints. Wiley, New-York, 1996.

33. Schatzmau M. Uniqueness and Continuos Dependence on Data for One-dimensional Impact Problems.// Mathl. Comput. Modelling, V. 28, No. 4-8, P. 1-18, 1998.

34. Schatzmau M. Penalty method for impact in generalized coordinates.// Phil. Trans. R. Soc. Lond, 359, P. 2429-2446, 2001.

35. Stronge W. Contact problems for elasto-plastic impact in multi-body systems. Bernard Brogliato (Ed.) Impacts in mechanical systems, 188— 234, Germany, Springer, 2000.

36. Tornambc A. Modelling and control of impact mechanical systems: theory and experimental results. //IEEE Trans. Automat. Control, V. 44, No.2, 294-309, 1999.

37. Zalava A., Brogliato B. Direct adaptive control design for one-degree-of-freedoin complementary slackness jagller. //Automatica, V. 37, 1117-1123, 2001.

38. Галяев А. А. Оптимальное импульсное управление динамической системой в фазе удара. //Автоматика и Телемеханика, №1, 75-88, 2006.

39. Галяев А. А. О математической модели импульсного воздействия, вызванного ударом системы материальных точек об абсолютно жесткое препятствие. //Автоматика и Телемеханика, №6, 27-40, 2006.

40. Galyaev A. A., Miller В. М., Rubinovich Е. Ya. OPTIMAL IMPULSIVE CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEM IN AN IMPACT PHASE// Proc. of the 4th Contact Mechanics International Symposium, CMIS'05, Jule 4-6, 2005, Hannover, Germany.

41. Галяев А. А. ДИНАМИКА МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОГО УДАРА // Тезисы V Международной конференции "Идентификация систем и задачи управления" , SICPRO'OO, 30 янв.-2 фев., 2006, Москва, Россия.

42. Галяев А. А. ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОГО УДАРА // Тезисы российского симпозиума с международным участием "Управление упругими колебаниями" , 31 янв.-2 фев., 2006, Переславль-Залесский, Россия.

43. Bentsman J., Galyaev A.A., Miller B.M., Rubinovich E.Ya. About control of dynamical systems in a singular motion phase // Тезисы международного симпозиума по обобщенным решениям в задачах управления, GSCP-06, Июль 5-7, 2006, Улан-Удэ, Россия.

44. Galyaev A.A., Miller В.М, Rubinovich E.Ya. Optimal impulsive control of dynamical system in an impact phase. // Lecture notes in Applied and Computational Mechanics, Springer, Vol.27, pp. 385386, 2006.