автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Универсальное разложение частных ... и его применение к анализу критических ... последовательностей

Р Г Б ОД

ri,r,:i:-iia) Ч:!м)л:1,'| Ü:) ко\.> <• v'A'i

И UI'íí M" AUAJ'ilV' i"f ' ¡"".í'-Í'"CÍO! T^'i'lvri

:\>. 13. I и - npiiueiK'i'i'e iüI'Iücaütc íí.::iü! t^ûiîhkh, :!П теч :п и cr.orn '.kv <*,'.ü;>on:i,'ni4 :¡ м;-тч'-П'П'чееi:\" метсов üay'-iiiUX нсслелопанняч (и fj¡¡oC¡¡3i!'<t: )

J\:, ; or" ■ p;xr лпсС'-рт:1 linn ii;i cuîick nui" yieiuni ¡.- rent. : :,, ьаилидп ' .i ц*.:пш.'»- го ;.r : ¡ r;i ч o i.' i. и •• h:i\

!'Г1СНСМ|нк 1ччс,

Ра'юти выполнена в Гздчнслнтельном центре СО Гл11 {г. Красноярск)

Иаушмс руководители: доктор фкзмко-матемэтическнх

наук, профессор ГорОанъ А. И. ,

Г'1',. О. Кнрлин II. В.

Официальные опщмемтц: доктор биологических наук,

профессор Леши? л. А. ,

Кандидат фнзико-ка'гематических

наук

Зама и с. С.

Ведущая организация: институт Биофизики со РЛН

Завита диссертации состоится 1996 гола в "И ~

часов на заседании диссертационного сосета К 064. 54.01 при Красноярском государственной техническом университете по адресу:

6 6 0 0 74, г. Красноярск, ул. ахад. Корейского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться ¡3 библиотеке Красноярского государственного технического университета

Автореферат разослан 1996 года

Ученый секретарь диссертационного совет;) кандидат технических наук

01>1!!ЛП ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

1. Проблей:! получения замкнутых , уравнений па частичные Функции распределения - одна из классических п статистической механике- н других областях науки, изучающих большие ансамбли взаимодействую!!* однотипных объектов. Поведение системы, состояцей из болыаого количестпа частей, определяется полной фучкпнен распределения утой системы. Но ¡1 случае. когда пэанмодействне яплягтея парным (пли трех- четыре хч 1с тичним), псе макропараметри систечи - плотность, пнергня к т. н. - определяются двух- (соответственно трех-, четырех-) -частичной функцией распределении. Уравнение на отм Функции можно получить, :1ам::нув на соотгзетстпупием уропне цепочку уравнений Боголюбова- Ь"о[ ща-Грнпа-Кнрг:пуда-Нвона (БЕП-'И). Использование ¡шеакблен максимальной онтрошп'., начатое я статистической физике еце гнбОсои, позволяет по-нссому подойти к решению этой проблемы, до сих пор нерешенной и актуальной, исскотря на больное количество посв'лгдеиш« ей работ.

2. Гастукий объем экспериментальных данных по еекгзеннроваип» последовательностей АШ'., ГНК 11 белкон требует развития меюдсп анализа, позволяппич выделять качественные особенности, обобпать получаемуо детальиу» мяОДюашга я т. д. для этого необходимо построить статистические метод!.!, • ориентированнее на анализ одномерных мерподмчеекпх структур. Значительная час п. супествумцих подходов опирается на цсследэваиие ассамблеи Фрэгментоз этих структур. Использование метола максимума тштропнн позволяет построить новые методы для анализа ан(эмблем фрагментов

о

п по-нояоиу подойти к ртду классических вопросов.- ¡шяп\сш1:о отличий генетических текстов и аяннокнелотних т>слелопат«лыюстеЛ от случайных, таксономическому анализу и др.

ис-ль работы

Целью р?боти явлг.етса:

- оанык«1!ше П'-поч*:'. уравнений ВБГКИ и получение вирагеиия трехчастнчной функции распределения через дчуучастичную на осиочс

нетола ансамблей максимальной энтропии;

- решение задачи восстановления словарей фрагментов биологических' макромолекул и генетических текстов и получение выражении для частот восстанавливаемого большего словаря по данным частотам словаря меньией длины;

- анализ конкретных баз данных генетической информации с целью выявления достоверных отличий реальных генетических текстов от случайных. *а также анализ аминокислотных последовательностей групп-белков в алфавитах различных классификаций аминокислот.

Научная новизна

Метолом максимума энтропии получено выражение трехчастичной функции распределения через двухчастнчну».

найдено обоснование для ряда известных классическим способов замыкания. Получены поправки к классическим приближениям, в частности, к приближению ¡Сирквуда.

для нуклеотндных и" аминокислотных последовательностей методом максимума знтропии получены явные выражения для восстановления частотных словарей больших длин через словари меньших длин без внесения дополнительной информация.

Проведен анализ конкретных баз данных иуклестндних и аминокислотных последовательностей. Получены достоверные отличия некоторых информационных характеристик реальных и случайных куклеотидных текстов. Предложен способ классификации аминокислот, позволяющий максимизировать отличия характеристик реальных и случайных аминокислотных текстов.

Практическая значкиость-

Полученные приближения трехчастичной функции распределения могут быть использованы для анализа конкретных физических систем, состоящих из большого количества частиц. Предполагается, что в области применимости известных приближений описание поведения систем может быть улучшено.

Использование для исследования нуклеотпдных и аминокислотных последовательностей полученных выражений энтропии словарей болыаих длин через энтропии словарей меньших длин, позволяет проводить

Г.) КС С. НО.-'НЧес I.HÍ! ¡llI.UII.i Г СИСЧ'^СКИЧ H Г ел КО,!ЧХ .'е ,.CTII!1, ,:-':lf<'i!.:U::l>:i на НИ vOp .!Н ЦНОН1! О!! ппл\').м:.

Апробация рабоги

Oí ионике результаты р.чдгги локл.ч\и ¡u> mi ci., и oüevv \я me: ■<» Второн Всесоюзной студенческой ч<>леречщ:;: '¡г. ■'.,! üii:': ; ¡>ci,-aí г ч ¡--.\ц (Томск. l'i'SS), ! ! "i сечии.фе отдела Вы'ИКгнп-льшм :аге!,', , ¡кч

Внчислителыюго истра со рак (Крпсмочгск. i«*« i, i •>')>> j, ¡ra Семинаре иНнсти гуте {«>(>.;•»ut > >j ¡'All {i:i,.icnct¡.f i., I 'vi, j, на

Международной in!!l('f¡ анчнн " У.: ¡ с'м i :, i»-. i,i.irren, ■ :: >;> ч-н, с '

(дубна, )9')t, i, на ВТо)';'! счон t K:iur:,c'.'.': no .m .y^'p! i.Ui.i".- a прикладной математике ; Рочос :'>чгн:к, 1 •• ч<■ )

По токе AUCCÏpl'IlU"! i1 i: у ' г О S р;)(.ОТ

г; г :У". о л дгссоп ;. : ч а i

ЛИССерТ! '1ня |(у> у ¡¡ « v-'ьнч, ч t- ¡ ■ î ; ■■ t j г l',u:¡:

списка i'üth yveyoy личерачурч ■> * и;i<!it r,-;r /; ; sm,

рисунуоц li ; -.:()A!iü 'cjói'plí! ом.цч л"1 e ;; : 1;.: ч нлл-ютраапи; _ et с1 а;:\мет I V) стра.П'У

Ссдср:-ч. Ii,:.; p.íCoru

po :'0;;::чана ::ч'у:| alüo ci !j re'.1:1 ; h l p г--и ni'i-r'ii-iii,

û.yyiHa'î >!<,:::> ~>..¡ r ¡ j г n ктч : е <:.*:.'! ч ценность im »y ■ u . • : s. у : ' -ул i. ; ..':■. i.

и перге.": г.'-.аг.'Э лан очуор литератур:: hü '::,;:;¡>:y :' ' ï :4t.

частични-у функций p:i спред.-чен ;:ч

По ¡iioj-oü r.-ncft, исход-! ir< ,:;тадн ану.. ¡¡.ей : :. -:у п.-.л i-,, ,¡ о.чтропчи, строится y;¡i¡¡-epc:i/.'iHne раз vwnit» ; p- ча; ¡ :; -,Уин ^учакчр: распрсделеиня.

рассчатрпчаетеч енечеча, eoc top; м ч ¡i; V v.imal очуч бесструктурных частиц в M¿n:pcy--"-"H4ee¡ -. i чп.оче I-, полное

статистическое описание опредслчсчуч полной ;.-ча сч рччг.'-п ; v:{:,-¡44eri распределения .....*vxjafrJ. /',-' ' co-WKyiihocr!.

пгсстрзкстзекних координат /• . и нипульса р ; а часчипи Ог:',."сть

изкенеиит .г,. обозначена -срез f\. Х-4.1 .шшч ',*•/акция

.:: ;. ч •: : i:

er-, :, ■ ,: , : -

у

А1 "V

распределения неотрицательна для всех относительно любых перестановок аргументов удовлетворяет условию .нормировки

симметрична .....и

.....*ы)<1ху ..¿хк - 1;

V

(I)

где В„

лег.армво произведение к областей Я* с1х -5с13г а/3р

^-частичные функции 1,. ... V- I -определяются как:

распределения

V -

)' I

(Л'-.У

• с1х„

(2)

Нижний индекс (Л') означает, что рассматривается система конечного числа частиц к. Переход к термодинамическому пределу Л'-»», Л'/Иапасопяь производится на последних- стадиях вычислений.

Для получения соотношений между трехчастичной и двухчастичной функциями распределения применяется вариационный принцип.

Рассматривается Л'-частпчная энтропия

Лг,..

(3)

где Ь

постоянная Больциана.

Б

вариационный принцип условный максимум функционала

постановке реализующей

самой общей ♦

заключается в отыскании

N

При некоторых ограничениях, накладываемых на 'Р для систем с парным взаннодействием равновесную г можно определить о диа этапа: сначала найти кваз1!равцовесное распределение ^ I^ (АГ) ^' реализующее максимум SЧ[F¡J] при заданной двухчастичной функции распределения ^2(1/) 1! нормировке (1), а затем определить равновесное распределение, доставляющее максимум квазиравновесной энтропии ]) при

заданной средней энергии пары частиц.

Задача построения квазиравновесного распределения ^ 1 ^ (у)' мо;;.ет решаться отдельно. Ее решение устанавливает универсальную (не зависящую от гамильтониана) связь ^-частичных Функций

рас прел с л си п'л с лпухчастичнсш. Результат универсального выражения

ри\ри у I -ю*ет Рыть нст>льзов;ш для заникпния равновесной цепочки -V ( л )

ББГХИ с парным взаимодействием.

Таким оораэоч, решается следупшая окстреиальная задача

(вместо онтропнп (3) используется //-фуикция Я ^ | ]»-( 1 / кв | и отыскивается ее минимум):

V7/,'1 т1п ('!)

при выполнении условия нормировки (1) и условия

< л'~ 1 ) .) гы < ,....."х гц " гг, ) < ' 1 • х2 >• (>

Ву -

При этой Г^ ^ " играет роль протиюлмтго фиксированного

пара мет ра.

Применяя метод неопределенны», шюжителеи л и ранжа н писая обозначен!!«

а,я>"°е1ф(а<АГп-

<?(Л'>1*' К)»ехр(Х(АГ)(л-. к)).

Ф(У)(<Г......V *,■>'

получаем систему уравнений относительно а .. , ф,,. (л г > (ялес ■ ■ 1 ) (л , I !

О. , - неопрел, е."

ограничениям (I), (5)):

СХ , X ^ — неопределенные множители, ссотвстстпупипс мшейкып

'7(АМ

V)! Ф(/)(АГ1.....^к/лг <6>

4

•<■'<«-')| ®( К)(*, • • • ■ • у ■ ■ ,л , <* у хг <7 >

'V

Уравнения (6), (7) неявным образом связывают с гцру

Решение уравнений (6), (7) прон.имлитсч в окрестности некоррелированного состояния

ь

❖ункнны /"., , ( х. г) представляется с силе - »< *

(л )(1 )Г1 <> > *''< <9>

далее ьнра'-.ешк {9 )«волится формальный параистр £>0:

и реи^пг у ^ v, у) тискикается а ¡.плс ряда по степеням £:

со

л=()

Такое представление ^(V) порождает разложение интегральных оп^па ¡орав й леьой части (6), (7) в ряд Тейлора в окрестности полностью некоррелированного состояний (5). Получающаяся

послсдона гелькпеть интегральных уравнений относительно ф| у | может бить последовательно ресена. поскольку в уравнение относительно

| входят ли«!, * при аКк. причем входит линейно.

Следует подчеркнуть, что £ - формальный, ко не налыГ> параметр разлоксиья. Пзисаснис £ от нуля до едишпи: формально соответствует "включению" парной корреляции.

С результате реиеиия уравнений {{>), (7) Оыли получены четыре (¿»1, 2, 3, 4) коэффициента разложения Г, ,,..

3 ( я )

(О

>')(»><*г х "г хг <,0>

£--■ о

13 термодинамическом пределе три из пнх нкеит вид

*г (л, )<"(*,. + )/"(*,. х3 (л-3 >/"(х1 , х2 ),

^З2 )(А'г ХТ л'з) = г(ЛГГ Х2)Г{Х\' ХЪ ' (Г1 )+/"(-Г1- Х1 )-Г<.Х2- Д'з {Х2 ) +

( х2 , , ( *,. * , < л-3 д>) < *., *2 ))}.

где заедено обозначение

"(л')1'*1' 312 H Лл')<Л'г Х)Г V ЛГ)'/ГТ(.¥> <дг)'/дг-

■ i г WV^ <V*V

Mim Г, X)

У-»</•■!

)• Г " " (.

<V * J ' < v2 1 <>+*(A') < *I • V

-r"1 (X, I ( )] [r , Í-V, )Л А-,, Л-, (,r, )/" ir,. A-, ) +

+'", <*з )Г(лгг '<",)] +(/■■■/ )" V, ( X, )F, (Л-, ( j-2(/Ü') "(«У ,)T( i; ) ( * r 4 ) t )■T(( X ¡■. -Vj ) + ~¡ (^ )7, д, } С - !. )] --í:iV)-2 (r, ( x1 i-S ) V) (Л'з )rf, (Л-, )F, >T(ff)<*2 )+♦

-2,

«'■H ^(.Yll'^KÍ)"^!^»^' "

Г r(/¡^xi- "O

Bv

!(.V) '

)

T (¿r.) = —i-^-—¿к

для вычисления к записи хозффицнентои пяла (10) била разработана

специальная диаграммная техника, ее описание приведено в

I 4)

третьем разделе персон главы диссертации. Выражение для дано

о виде таблицы диаграмм.

В случае (¡ыстроу^ываюаего коррелятора сумма первых четырех коэффициентов разложения ( I о) (А=о, I, 2, Д) дает приближение Кирквуда и первую поправку к иену

хг )ггег л )г21-*у ) ^з(А' г хг• хз + '

Г(»)(хУх)Г{Х)(х'Ух)Г{а^хГх)РНУ,(х)с1х-

К

Если ограничиться лииь нулевым и первым порядками в раэмженин (10), то после тождественного преобразования получается ирп'олнхелне Чем::

^з(-V{, ^ )/=•, (л, (д. ) +

+ /7,(г) )/"-2 (а-,, а'3 (лг, )р2( а'г ) +

)г2( г,, л', ),

Предлодешнш метод построения универсального

квазирадновесного ансамОля допускает оЬоГщение на Случай прокзвольнго ¿-частичного взаимодействии: вместо второго ограничения а задаче < 4) следует задать ¿'-частичную фуккшпо распределения. Возможно такие распространение нп квгштовие И решеточные модели

В третьей гяауе методом максимума энтропии реиаегся задача восстановления Словарей генетических текстов (большего словаря по меньсеиу). Генетические тексты представляются как

последовательность символов, словами -заданной длины строятся при движении окна считывания с единичным иагом, граничные условия берутся периодическими, энтропия традиционно определяется как

лу-- ) Г- . 1 пГ . (И)

л . ■ 1 1' гк V ' к 1УЛк

где. к - дмн'П слонарч. Ь'^ - чн ! роим*. 1 , . 1 ^ - слово из носителя словаря, ( . . [01л встречаемости :пого слова, а

суммирование производится по »сем словам носителя. Решается экстремальная задача

при условиях связи словарей

Е

г.

-/ /„.. / ,

(12- ) )

Е

г. . . . . ■

( 12. 2)

Е

а-Н' 'оЧл^Г

( 1 2. -9+1 )

где ^ - энтропия словаря длины определяемая согласно (11),

а суммирование произоднтся для всех возможных 1,...,

Решение задачи (12) есть при с/>1

Г .

л • • .....л

С .■

Г • ' "'с/-1с/+1- • • -'о'+л- ' л',. ... . . а

... Г,

при с1-1

Г ■

■4+1

'Г2 ■••Г2 ■

5 1 </+.<;

В результате для энтропии (. /) словаря длины восстановленного по словарю длины ./', получается выражение

^•(.У) = аЧ + П^. - (А-^).?^, ./>!

В- качестве информационных характеристик словарей, помимо зкгрошш, введены понятия предельной энтропии

! 1И-

л->

Л

пах(5,)

¡1 информативности

и качестве характеристики соязи словаре» виелено понятие, качества восстановления о ¡(.i) словаря дмиш i rio словарю длины (<1 как "тиопенис ннформатпогоети восстановленного словаря к информативное га истинно! о:

о.•(./>—----------•

Ix(i) mix(SJ)~Si

'..-наченнс качества восстановления иохет намолиться в предел»* причем c&i'Hüue соответствует случай тачного вое станов \ения.

Яраволсни результата uunmmux экспериментов, в когоpu* определились качества loccimüoвлекия и предельные пчтротш реальных генетических: ппьлслсн стельиостей и средине значения а срс-о.н е хвглр.'.тнчние nri;,' ernte к и ч ест восстановления п nptv.e-'Biajï :лггрот!п е/л-ччннм- 'скстог- с те'.: :.е нуклеоi плним со ста :■..-.:.!.

! ijhay;;i!(!. ч-о гли^ра : сальн-Д» и случайны:. то<:стоо достоверно от «ч1^ юте;; г," P'"v.y р;и:тер::ст;;>:, ¡latроолсе йркпе от,-.нч::г' 1:н(>лк1.5.-: ч)тс >. на л.ин:::.-; Слоякрен 2, 5 и f..

С )Шмсть сделанных ьиослоя . (¡р01.лл.>етг>пр0я<»Н2 рерультатани обсчетов ¡шслсдоватслы'.остеи почти все:; секвенкровпйних к tía стекшему времени ',агоь ( I 170 |рз 1204, Genetic Scquef.ce Data Pank.' 15 April ¡-/901,

Or мечено, что ui^opMuiiüBüH.ue характеристики поерт суассгзенка статистический уар'ктер. Гегулгр.;:; : доето;,..,р,[|,;е отличим рсальь'ь.'К теке г?с от «.лучаГшкх 1;:>0л»лп»тсг. и шхяьпж икснарямектах текст оо достаточно лпниих- ~ как правило. более пятисот нуклес г:1дои

Я четвертой гласе исследуете* Оуюсйпн распределения амннокнелот в амнкоянслотнон последовательности 'Ьелкц. Для йкв.чи-ja «спольчуптс« теорегическне ргиулы.-пи третьей главы.

И:.а-.:стно, по порулок следовать а'.ншохнелот в полнпептидних н-почюх случае;-. или "почти с/у«;-ск* ß ..смысле сходства ::татис, нческну xup.it, гер.гстик чеходнон последовательности и тех, ■¡го получении* и i нее «vre« случайного перерасположения i.ое ганлч.-.цнs ее :*лекекн>в. л.\Я вилелення особенностей прибегают к

различным классификациям аминокислот, как правило, по физическич или химическим свойствам.

Приведены результаты сравнения реальных и . соответствующих случайных аминокислотных последовательностей в трех алфавитах, исходном лаадцптибуквенном алфавите и в алфавитах ллин четыре и тринадцать, получающихся при использовании рациональной классификации и классификации Соловьева.

Для каждого текста билп определены коэффициенты восстановления словаря ланнон длины по словарю на единицу меньигн длшш и прелельчне энтропии каждого словаря. в машинной эксперименте определялись средние значения и среднкг квадратичные отклонения коэффициентов восстановления и предельных энтропии случайных текстов. Было проанализировано сто текстов аминокислотных последовательностей длиной ог 400 до îjoû символов.

Показано, что з исходном лвадцатнбуквенном алфавите и в четырехбуквенном алфавите рациональной классификации распределение отклонений по интервалам среднеквадратичных отклонений близко к нормальному. В алфавите Соловьева распределения . и для качеств восстановления, и ллг, предельных энтропии на л/икс два отлнчки от нормальных.

Предложен следующий" способ построения классификации аминокислот на ос.чсгзе отличия информационного содержания! словарей реального и случайных техстов.

Мерой отклонения некоторой» распределения {/» .) от своих равновесных значений служит зыпуклая функция

J.

Функция I неотрицательна и обращается з ноль только когда для gj

всех i

Для рассматриваемых текстов частоты Г -, . слов длины q

Г ' q

определяются непосредственными вычислениями. "Средние частоты

f • . слов длины q, получающиеся при "случайном перерасполокеиин i * * f/

символов текста, виражаятся через частоты встречання отдельных символов (словарь длины 1):

г. . */•..../•. .

^ 7 2 1

I ? I <?

Тогда информация не;[¡много словаря длины относительно случайного слонаря может быгь определена как

V

■ 1п

Л

Г£- ■ ■ Гх

1 <7

""'аким образом, для того, чтобы п некоторой классификации информационное содержание ^ словаря ¿лини с/ заданного текста инксийальиим образом отличалось бы от информационного содержания словарей длины ц случайных" текстои, классификацию (переобозначение нескольких разных символов каким-то одним) следует производить

Такт;« образом, чтобы частоты р ■

ллшш (I к I текста, переписанного в новых обеспечивали Он максимум соответствующей функции 1

р • словарей обозначениях,

Я

Р;

4

сг

Приведен пример построения бинарной классификации аминокислот, основанной на информационное подходе. Процедура Оикарной классификации была проделана для каждого из ста белков (>ази данных. Для каждого белка Оыло построено три классификации, таким о^рлзои, что)ы получить ылкслыальгме отличия реальных и случайных словарей па длинах ф-2. 3 и 4.

Показано, что предложенный иетод построения классификации на основания нахождения максимального отличия значения предельных чнтропнй' словарей заданной длшш , реальных к случайных1 текстов является эффект»иным и позволяет получить значимые отличия предельных зитропий словарей разных длии реальни/. и случайных текстов.

В заключении излагаются основные результаты,.-I, Методом максимума сштрояни установлена универсальная :?«гшгнипегь грскчиа «ниок Функции распределения от лпукчнетячмой

2. Получено разложение трехчастнчнои функции распределения в ряд и вычислены пять первых коэффициентов этого ряда.

3. Получены поправки х классическим приближениям,- п частности, к приближению Кирквула, выдвинута гипотеза получения дальченшнх поправок в случае Кмстроубываюшего коррелятора.

4. разработана диаграммная техника, облегчающая процесс вычисления членов ряда н способ представления результатов.

5. Применительно к анализу чуклеотидных последовательностей методом максимума знтрошш получены выражения для восстановления частотных словарей Нолыаих длин через словари кеиьаих длин без внесения дополнительней информации. Получен метод определения относительной ценности информации, содержащейся в разных словарях.

6. Поовелеии вычисления для реальных иуклеотидних последовательностей н проведено сравнение результатов с вичнеленпями лля соответстчу'Мшх случайних последовательностей, выявлены достоверные отличия некоторых характеристик реальных последовательностей:

- словари длины два -дли реальных и случайных текстов достоверно' еупественно различны по своим информационным характеристиками;

- в словаре длины два реального текста содержится заметно большая, чем для случайных текстов, часть информации о тексте в целом;

- в реальных текстах разность количества информации в словарях длины два и три существенно меньгае, чем в случайных;

- в подавляющем большинстве случаев более 90% информации о тексте содержится в его частотном словаре длины восемь.

7. проведен анализ аминокислотных последовательностей белков в алфавитах различных классификаций аминокислот! показано, что в некоторых классификациях в среднем по группе белков реальные последовательности отличны от случайных. даны примеры построения бинарных классификаций, макспииЗируюпие отличия характеристик заданных реальных аминокислотных последовательностей от средних характеристик соответствующих случайных последовательностей.

1 5

Пувяякмггк по те«« гмссертацин

». Еугг.инко Ч. 11. Ун.(нереальное диаграммное разложение для трехчаетнчнои функцкн распределении II Физика тверлого тела. Тезисы докладов бсес. науч. стул, конференции. - Тонек, изд-во Т1У, ! VГ.S. - С. 40.

2. Еугаенко П. Н. , Гортань" с,. II. , Карлнн il. Б. Универсальное -разложение трехчасшчнои функции распределения il Теорст. и кат. й.И'ЗНКа, Т. HS. ,чЗ, 1991. - С. 430-4 м.

3. Бугаснко Н. н. . Карлнн il. В. , Кнрдин А. П. Универсальное разложение трех части':ион оункции распределения // СО. Эволюционное .м.чделнраеачие и кинетика. попоеиЬпрок,- Г>0 "Наука", I 'J91. -

4. Ругаенко U.U., Горении. л'. II. . Карлиц П. В. Универсальная л а йнсааость | Ii CG. Термодинамика необратимых процессов. !,'.. : Паука. 1 '>41. ~ С. 3 0- 4 8.

5. ч- ¡я.'йасг.ко д. К. Corbait, i.V. Karl in. Universal Expansion in llu. Pfeiles «Г Closure I I X.»!cl,linfi, Mcasurcucnt 4: Cont rol. A, Л M St rresN, v. 4?, ко..;, ¡99:. - pp. 25-4}.

i"'. N. Пидаепко, К Sapoztiikov, M. O. Sasiov.sky. такси оГ Kvcicotiilc ;;ецйег.ееa // Междушфадная конференций • «»тематика, компьютер, oiipa'jo заике Течцсы. s.!., 19 9ft. - С, 15«. 7. i.yiMcuKo II. Ii. , fopSitiib II. , Содомский M. Г. 00 определении количества пчуар :аиин к куклео гилл.их пагледователытс.тйх ) /

Пол. ()||»Л1>( ils, Г. 30, ¡Чаи. }.■ 1996. - С. 52У-54 1.

оугаенко и. 11. , ГорГ'.аиь л II., Салоне:-:!,'И ,'.!. Г. Метод максимума -.ш.р-шни /. «я апалн-j'i нндорчацноннрго содержания иуклеотид««'* tu,елсл'Н,a re \uioc teil п Ыорон Сибирский конгресс no прикладной » im.syci r-Hj/a.i.-i ■:■! ннгепигнке. Ссмшх "¡'a тематическая биология".

IcHiCIJ. llii"0..4liiapcK, !9Чп. - с.

\ .. -----. IWnrwiîT КПУ.э.II50.T. 120.

Юно а! см, _ \