автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Учет взаимодействия между целевыми функциями и их агрегирование в задачах оптимизации

На правах рукописи Аристова Екатерина Михайловна

УЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ИХ АГРЕГИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 1 20і2

Воронеж - 2012

005045131

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Воронежский государственный университет"

Научный руководитель: Леденева Татьяна Михайловна, доктор

технических наук, профессор, Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой Вычислительной математики и прикладных информационных технологий

Официальные оппоненты: Батаропов Игорь Леонидович, доктор физико-

математических наук, профессор, Воронежский государственный технический университет, заведующий кафедрой Высшей математики и физико-математического моделирования

Матвеев Михаил Григорьевич, доктор технических наук, профессор, Воронежский государственный университет, профессор кафедры Программирования и информационных технологий

Ведущая организация: Липецкий государственный технический

университет

Защита состоится "20" июня 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д.212.038.020 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования " Воронежскш! государственный университет" но адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., д. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан '/5"" мая 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, ШабровС.А.

кандидат физико-математических наук,

доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Обобщения детерминированных моделей принятия решений в форме задач математического программирования в условиях неопределенности строятся путем представления коэффициентов целевых функции и/или ограничений нечеткими числами, что позволяет формализовать приближенные знания о той информации, которая необходима для принятия решений. Проявлением неопределенности является и наличие многих целей, которые характеризуют оптимальность решения с различных позиций. Это приводит к тому, что вместо скалярного критерия рассматривается векторный, компонентами которого являются нечеткие целевые функции. Разработка подходов к решению задач многокритериальной нечеткой оптимизации является актуальной проблемой моделирования сложных систем и процессов.

Модели оптимизационных задач в условиях неопределенности рассматривались в работах R. Füller, С. Carlsson, Е. Canestrelli, D. Dubois, F. Herrera, H.J. Zimmermann, Л. Заде, С. А. Орловского, Р. Штойера, В. В. Подиновского, А. В. Язенина и др. Однако, не в полной мере, в этих работах учитывались такие аспекты, как взаимодействие целевых функций, выбор стратегии агрегирования при переходе от векторного критерия к скалярному, взаимосвязь получаемых оптимальных решений с теми, которые могут быть получены на основе различных принципов выбора. В связи с этим диссертационная работа, посвященная разработке новых подходов к решению задач со многими целевыми функциями (критериями), является актуальной.

Диссертационная работа выполнена в рамках одного пз основных научных направлений Воронежского государственного университета "Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках".

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке моделей и методов для решения задач математического, в частности, многоцелевого линейного программирования с учетом типа взаимодействия между целевыми функциями, характеризующими оптимальность решения.

Для достижения цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к решению задач векторной оптимизации в детерминированном случае и в условиях неопределенности.

2. Разработка подходов к оценке взаимодействия нечетких целевых функций и способам учета этой оценки при решении .задач нечеткого линейного программирования.

3. Разработка методов формирования обобщенного критерия (целевой функции) на основе операций агрегирования н исследование взаимосвязи получаемых оптимальных решений со свойством Парето-онтималыюстп.

4. Разработка и апробация программного обеспечения, реализующего

предложенные алгоритмы п подходы к решешио задач многокритериального выбора.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы исследования операций, теории принятия решении, теории нечетких множеств и нечеткой арифметики, теории графов. При написании программного обеспечения использовалась технология модульного программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- коэффициент взаимодействия нечетких линейных целевых функций в форме нечеткого ЬД-числа. позволяющий структурировать множество целевых функций н на этой основе определить подходы к решению проблемы мпогокритериальностп;

- комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решешио проблемы мпогокритериальностп и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций; методы с использованием коэффициентов важности целевых функций; метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению;

- теорема о Парето-оптимальности решения, максимизирующего обобщенный критерий, полученный на основе порядковых операций взвешенного агрегировашш, которая обосновывает использование операций данного типа для решения задач векторной оптимизации или многокритериального выбора;

- теорема о взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов адаптивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето;

- структура программного комплекса, включающая модуль для определения тина взаимодействия целевых функций в многоцелевых задачах четкого и нечеткого линейного программирования, а также составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

Содержание диссертации соответствует и. 1 "Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений, перечисленных в формуле специальности" и и. 3 "Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном этапе математического моделирования" специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" Паспорта специальностей.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием выбранного математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость исследования заключается в возможности

формирования моделей и методов принятия решений в условиях неопределенности, которая проявляется в необходимости учитывать множество критериев (целевых функций), характеризующих оптимальность выбираемых решений, а также в использовании приближенной информации о параметрах модели. Подходы, предложенные в диссертации, позволяют повысить обоснованность принимаемых решений в прикладных задачах экономики, техники и других областях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет" при чтении спецкурсов и выполнении выпускных квалификационных работ. Банком ОАО "Альфа-Банк" (Воронеж) признана целесообразность использования предложенной в диссертации методики для оптимизации процедур кредитования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных научных сессиях ВГУ и различных конференциях: Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, 2009-2011 гг.); Всероссийская конференция "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2009 г.); Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2009-2010 гг.); Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г. Крейна (Воронеж, 2010-2011 гг.), Международная студенческая научно-ирактнческая конференция "Повышение жизнеспособности нации: продуктивность интеллекта" (Хабаровск, 2010 г.) и др.

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 научных работ, в том числе 4 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, выполненных в соавторстве: в [4] предложен подход для анализа взаимодействия целевых функций в задаче линейного программирования; а в [8] — метод решения задачи о формировании нечеткого инвестиционного портфеля.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 152 страницы текста, включает 23 рисунка и 22 таблицы. Список литературы содержит 127 наименований, включая работы автора.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко изложены структура и содержание диссертации, определены научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассмотрены основные положения концепции принятия решений и содержание этапов процедуры принятия решений, предложена классификация задач принятия решений в зависимости от различных признаков. Отмечается, что важнейшим фактором, осложняющим выбор оптимального

решения. яв.тается неопределенность, для формализации которой используются различные тины нечетких мер.

Объектом исследования является многоцелевая (многокритериальная) модель математического программирования следующего вида

/(х) e.Xtr __цч

х е X = {х : ft(x)[<, =, >] Ъг (г = 1, m)} С Л»,

где /(х) = (/i(x),...,/,,(х))т - векторный критерий, компонентами которого являются целевые функции (критерии) (без ограничения общности для всех целевых функций положим, что extr = max); д{(х) - функции, задающие левую часть ограничений; bi - константы; X - множество допустимых решений.

Особенностью задачи (1), как задачи принятия решений, является то, что для характеристики качества (оптимальности) допустимых решений х используется несколько критериев, поэтому в рамках моделирования необходимо решать проблемы, связанные с установлением и аргументацией понятий "оптимальность". "согласованность", "компромисс", и т.н. В диссертации рассматриваются подходы к решению многокритериальных задач, основанные на этих понятиях.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию взаимодействия целевых функций (критериев). К основным типам взаимодействия относятся: кооперация, конфликт и независимость. Для определения типа взаимодействия используется подход, основанный на понятии градиента целевой функции.1

Будем считать, что все целевые функции в модели (1) удовлетворяют следующим условиям: являются непрерывно дифференцируемыми в X, и тогда в любой точке х для каждой из них определен градиент X7fi{x), а также для любой точки х° из X и произвольного ненулевого приращения р е R" можно определить производную ' по направлению р.

Идея подхода заключается в следующем. Пусть /¿(х) и fj(x) — целевые функции, ej — направление, задаваемое вектором V/j(x°) в некоторой точке х°, тогда — производная по этому направлению функции /Дх) в точке х°.

Заметим, что направление градиента функции /¿(х) есть направление наиболее быстрого ее роста, следовательно, для оценки отклонения направления ej от направления, соответствующего v/Дх), можно использовать величину

kAfl)Uo = WM^\ = COSip' (2)

где <р е [0,7г] - угол, образованный градиентами v/i(x°) и V/j(a'°) в точке х°.

В линейном случае Vi = 17« ^/Дх) = ¿) с,тогда S7fi(x) = (с;ь •■•,cin)T,

'Омспои Б. А. Модели и методы решения многокритериальных задач нечеткой оптимизации : диссертация канд. фнз.-ыат. наук : 05.13.1S / Б. А. Семенов; Воронеж, гос. ун-т; науч. рук. Т. М. Леденею. - Защищена 30.06.2010.- Воронеж : ВГУ. - 2010. - 1SG с. - На правах рукописи.

и, следовательно,

п

кц = совр = —е [-1,1]. (3)

п п

Для определения взаимодействия целевых функций разобьем [0,7г] на три

7Г 7Г 2я" 27Г

промежутка: [0,7г] = [0, —]и(—,—)и [—,тг] - С учетом этого разбиения

А-у€[1,1] ЬМ-Ц) ^£[-1,-^1 можно сформулировать следующие правила принятия решений:

1) если кц 6 1], то цели кооперируют; 2) если ку 6 [—1,—то цели конкурируют; 3) при к^ £ (—цели независимы.

В диссертации предложено обобщение формулы (3) на случай, когда коэффициенты линейных целевых функций в модели (1) представлены нечеткими ¿Д-чнслами.

Нечетким ЬЯ-числом называется нечеткая величина с функцией принадлежности вида

Hlr(X) = <

L((a — х)/а), х € [я — а, а], 1,а-е[а,о],

О, иначе,

где а н а — минимальное и максимальное модальные значения нечеткого числа. L и R — невозрастающие полунепрерывные сверху функции, задающие возрастание и убывание функции принадлежности па промежутках [а — а, а] и [а, а + /?], а и /3 — левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.

Если я < а, то Hlr{x) задает нечеткий интервал, если я = а = а, то тп{х) определяет унимодальное нечеткое число, которое обозначается (а, а, ¡3)ьп■

Задача линейного программировашш с нечеткими целевыми функциями имеет вид:

п _

/«(*) = £ -» max (г =

k=1 (5)

х £ X С. R'\

где?!, ..., — коэффициенты целевой функции /¿(ж) в форме нечетких LR-чисел.

По аналогии с формулой (3) определим нечеткий коэффициент взаимодействия в виде

" ______к=1_

vij

ktj = ,—^ ,-=■ (6)

i

ЕЙ)2 - i/ЕЙ)2

В диссертации доказана _ _ _

Лемма. Пусть а = (аи ...,ап) и Ь = (61;..., Ь„) - векторы, у которых каждая компонента представляет собой нечеткое ЬЯ-число, т.е. а, = (яьа,,А)£Л> £ = (Ььа?Д2)1л, тогда их сксииярпое произведение (а,Ь) представляет собой нечеткое ЬЯ-число вида

П I!

£ аА, £ а,а? + £ б,«* - £ Е <+ Е + Е (7)

¿=1 ¿=1

1=1 ¿=1

і=1 ¿=1

На основе леммы и операций над нечеткими числами доказана Теорема 1. Пусть с' ?( с' — векторы коэффициентов г-й и 3-й целевых функций в задаче (5), компоненты которых представляют собой нечеткие числа вида {с\.,а\.,]зі)ш и (с{,а{, соответственно. Тогда в качестве

коэффициента взаимодействия к^ выбирается одно из двух согласованных между собой нечетких ЬЯ-чисел — Ау = (к^,а,рі) или % = 2), где

кц —

£44 і—І

£(4)2 £(4)2

(8)

о = [£4 4-і-

п п

£(4>2 £(4)2+, £(4>2 + 2£44 + £(ф2-

Л=| 1-=1 \ *=1 1=1 4-1

£(4)2 + 2£4# + £(4)2)+

и=1 і=і /і=І

£(4)2 £(4)2 • (£ 44 + £ 44 - £ 44)1 -і-=1 к-1 1-1 1-1

£(4)2£(4)2 к= 1 *■=!

А

А=1 к=1

п п

(,=1 * = 1

/> = [£44-(

£(4)2+2£4Д + £(4)2• х| £(4)2 - 2 £44 • £(№

\

(9)

« п

£(4)2£(4)2<

Л=1 А=1

£(4)2 ~2£44 + £К)2, »-1 к=1

к=\ к= 1 А=1

£(4Я £(4)2 ■ (£ 44 + £ 4л + £ 44)1 ■*■ I

А=1 А-1 А = 1 »=1 А-1

£(4)2-2£44 + £(4)2)+ і

V

£(4)2£(4)2-

1=1 4-1

\

£(4)2-2£44 + £(4)2-

«г=1 4=1 1 = 1

£(4)2 -2 £ 44 + £(4)21-(=1 і=і 1-і

(10)

При * = {'-'} и ** = {'+'} получаем, что ? = ¡Зи а при * = {'+'} и ** = {'-'} выполняется ¡3 = $2В диссертации рассматриваются подходы к определению четкого значения кц на основе процедур дефаззификацнн. Поскольку Т1Ш взаимодействия целевых

функций оценивается на основе факта принадлежности коэффициентов взаимодействия к определенному промежутку, то в нечетком случае целесообразно использовать модальное значение нечеткого числа /ту, равное ку.

Предлагается следующий сиагоритпм решения линейной задачи с четкими и нечеткими целевыми функциями, учитывающий тип взаимодействия между ними и основанный на использовании аддитивной свертки, которая позволяет для каждого подмножества целевых функций с определенным типом взаимодействия сформировать обобщенную функцию:

1. Для каждой целевой функции /¡(х), ] = Т7р решить задачу

$]{х) —> тах, х е X,

получив оптимальное решение х^ и соответствующее значение /Д.т]).

2. Составить матрицу К = коэффициентов взаимодействия целевых функций, вычислив кц для каждой пары /¿(х) и /,-(х).

3. Определить тип взаимодействия между всеми парами целевых функций, используя вышеописанные правила.

4. Определить множества кооперирующих 5^ооп, конфликтующих 5^онф и независимых Бнез функций для каждой функции /¿(х), ] = 1 ,р.

5. Определить коэффициенты значимости соответствующего взаимодействия

= ^ = ТД.7 = ТТР)-

6. Построить ранжирование (х^,..., х^) решений по предпочтительности в зависимости от значений целевых функций, и соответствующим образом упорядочить целевые функции.

7. С помощью специальной процедуры на основе расстояний между множествами однокритернальных задач определить коэффициенты зависимости для каждой пары целевых функций.

8. Определить оценки ^кооп, р*тф\ 0' = Т7р) по формулам

5коо» 5конф

г/»» = £ с>„ = ]Г щ™ = £ Щп, (И)

г=1 ¡=1 ¿=1

где С, АР, № — функции из соответствующих множеств, с которыми j-я целевая функция кооперирует, конфликтует и независима, р,- — коэффициенты зависимости.

9. Построить обобщенную целевую функцию вида

>=1

где

/„(*)) = 4*7™ + а^/0"^ + (12)

10. Решить задачу линейного программирования

!(х), ...,/р(х)) тах, х € X С №.

В диссертации проведен анализ работы данного алгоритма с использованием различных принципов принятия группового решения: правила простого большинства, правила Борда, правила Кондорсе и прннцппа стратегического планирования. Установлено, что решение, полученное с помощью данного алгоритма, согласуется с перечисленными принципами группового выбора.

В третьей главе рассматривается проблема агрегирования для многокритериальных (многоцелевых) задач, решение которой направлено на формирование обобщенного критерия (обобщенной цели). Выбор оператора агрегирования — важнейший этап моделирования. В диссертации рассмотрены основные тины функции агрегирования, среди которых перспективными для формирования обобщенной целевой функции являются аддитивная свертка (как классический вариант, позволяющий сохранить линейность обобщенной целевой функции) н порядковые функции агрегирования. В первом случае весовые коэффициенты и\ {¡. = 1, р) определяют систему приоритетов па множестве целевых функций, а во втором — появляется возможность формализовать некоторый принцип согласования целей (критериев) за счет использования лингвистических кванторов с соответствующими функциями квантпфикации.

р-местпым порядковым оператором агрегирования, ассоциированным с вектором весов И7 = (ич,...,гир), называется отображение Г : [0,1]р+1 —> [0,1] такое, что

где а : {1, ...,р} —> {1, ...,;>} — перестановка со свойством >

Отличительной особенностью порядковых операторов агрегирования является наличие количественно измеримых свойств (уровень компенсационных свойств, отношение к риску), а также возможность моделирования компромиссной стратегии, которая занимает промежуточное положение между конъюнкцией (все цели должны быть достигнуты) и дизъюнкцией (достижение по крайней мере одной цели) критериев. Этот подход реализуется с помощью функций квантпфикации.

Пропорциональная функция кваитификации — это непрерывная, неубывающая функция (} : [0,1] —> [0,1], которая удовлетворяет условиям <5(0) = 0, <3(1) = 1 и служит для качественного описания отношения части к целому (большинство, несколько, мало и т.п.). Для заданной функции квантпфикации <2(х) весовые коэффициенты определяются по следующим

(13)

формулам (при этом всегда выполняется j] w¿ = 1):

р

i=i

«Л = Q(i), w¡ = QC-) - Q(~) (i = XP)

V

В диссертации рассматриваются различные тины функций квалификации, в том числе ее параметрические формы. Выявлено влияние параметров для некоторых функций квалификации на стратегию агрегирования. А также представлен алгоритм формирования обобщенного критерия, отличительной особенностью которого является возможность учета стратегии и схемы агрегирования, а также уровня компенсационных свойств.

Особое значение процедура агрегирования имеет для целевых функций, принадлежащих одному и тому же классу кооперации, поскольку позволяет сократить общее число критериев и свести задачу к такому варианту, когда цели независимы или конкурируют (в этом случае целесообразно использовать, например, метод последовательных уступок, метод целевого программирования).

В работе предложен ряд алгоритмов, которые учитывают характер взаимодействия целей и используют процедуры агрегирования.

Будем говорить, что целевые функции /¿,(.г-),..., fir(x) в задаче (1) кооперируют в совокупности, если min {k¿,¡,} е [£> !]•

V/ есМ т! t-As ¿

Подмножество целевых функций {/„(ж),..., Д(х)} образует класс кооперации, если они кооперируют в совокупности и подмножество является максимальным по включению, т.е. добавление любой другой целевой функции, не входящей в это подмножество, нарушает отношение кооперации.

Для построения класса кооперации используется понятия графа кооперации. Пусть {А(х),...,/р(х))Т - вектор целевых функций, К = {ки}рхр - матрица коэффициентов взаимодействия целевых функций, ККООП --= {к^"}рхр - матрица с элементами

Графом кооперации С-00" называется граф, у которого множество вершин совпадает с множеством целевых функций, а матрица смежности — с Кк<юп.

В диссертационной работе предложен алгоритм, основанный на выделении клик в графе кооперации С"00", которые представляют собой максимальные полные подграфы. В кликах все вершины попарно связаны между собой, причем коэффициенты взаимодействия связей ки £ [¿, 1], т.е. каждая клика содержит только кооперирующие цели, п ей в соответствие можно поставить единственную цель, полученную с помощью подходящего оператора агрегирования. Клики являются основой для агрегирования кооперирующих целей.

Другой подход для структуризации множества целей связан с использованием знаковых графов. Пусть (/1(1),..., /р{х)) - вектор целевых

функций, К = — матрица коэффициентов взаимодействия. Знаковый

граф С""а"м взаимодействия целевых функций определяется правилами:

а) каждой вершине I ставится в соответствие целевая функция /¡{х)\

б) вершины г и ] соединяются ребром, если соответствующие целевые функции не независимы, причем ребро (г,^) помечается знаком "ч-", если /су 6 и знаком " —", если А:у £ [—1, —

Согласно теореме Харари о структуре, если множество вершин знакового графа можно разбить на два подмножества так. что связи в каждом из подмножеств положительны, а для вершин из разных подмножеств — отрицательны, то граф является сбалансированным в том смысле, что во множестве вершин отсутствует напряжение, а, следовательно, множество целей можно считать в некотором смысле согласованным.

Может оказаться, что разбиение содержит не два, а больше подмножеств вершин. — в этом случае граф является групипрпруемым. Группприруемый граф позволяет выделить подмножество кооперирующих целей, которые между собой либо независимы, либо конфликтуют.

В диссертации рассматривается связь между множеством Парето и множеством выбора, которое включает решения, максимизирующие некоторую функцию агрегирования.

Пусть X — множество вариантов решений в задаче векторной максимизации (минимизации). Решение х* 6 X называется оптимальным по Парето, если для любого другого решения х для всех частных критериев выполняются неравенства /¿(а-'*) > й(х)а,{х*) < /¿(.т)) (г = 1,р), причем существует такой индекс г0, что

Множество Парето Р(X) представляет собой множество попарно несравнимых по предпочтению решений, и для окончательного выбора оптимального решения необходимо привлечение специальных методов.

Рассматриваются подходы, основанные на решении следующих задач:

Для решения задачи (17) используется обобщенный критерий, а задача

(18) является основой метода целевого программирования. В рамках данного

метода в качестве лучшего выбирается такое решение х* Є X, для которого

вектор /(х") = (fi{x*),..., fp(x*)) находится на наименьшем расстоянии от

некоторого "идеального" вектора f(x°) = ( max fi(x),..., max fJx)), состав-

.І-ЄР(Л') хЄР(Х)

ленного, например, из максимальных (при максимизации) значении частных

критериев.

fi№) > fiSx)U,a{x*) < //„(*)).

х Є Р(Х),

max

(17)

(18)

При выборе вида обобщенного критерия для выявления лучшего решения возникает вопрос: является ли такое решение Парето-оптиматьным?

Для аддитивной свертки известны необходимые (теорема Карлнна) и достаточные условия Парето-оптнмалыюстн. Для обобщенного критерия на основе порядковых операторов взвешенного агрегирования доказана

Теорема 2. Пусть X - множество вариантов решений, /¿(х) — частная оценка решения х G X по i-му критерию, f{x) = (f^x),..., fp(x))T - векторная оценка решения х (множество векторных оценок образует критериальное пространство). Пусть обобщенная оценка решения х е X формируется на основе порядкового оператора агрегирования в виде

F(^,f{x)) = J2wifi{x), (19)

¡=1

где f(x) = f(x) I, W = (wj,..., wp) - вектор весов, причем Vi = l~p (ш,- e [0,1]),

Еш, = l.

¡=1

Тогда справедливо включение

X(W) С Р(Х), (20)

где Х(1У) = {arg max F(\V, f(x))}, P{X) - множество оптимальных no

.т€7 ( л)

Парето решений.

В рамках целевого программирования использование различных метрик для определения расстояния в критериальном пространстве приводит к целому семейству однотипных вариантов метода.

В диссертации рассматривалась задача определения взаимосвязи между методами обобщенного критерия и целевого программирования: если а-* е X является решением задачи (17), то существует ли метрика р такая, что х" является решением задачи (18), и наоборот, если х* е X - решение задачи (18), то существует ли аддитивная свертка, что х* - решение задачи (17)? В диссертационной работе доказана следующая

Теорема 3. Пусть х* - решение задачи (17) для некоторого вектора весов

------Р

W = (wl,...,wp)T, т.е. х* = arg max j2wifi(x), тогда дм всякого целого т х* является решением задачи (18) с метрикой

Р&Чп*), Я*0)) = (Е - Л(*°)Г)1/т- (21)

1=1

Показано, что теорема о существовании адаптивной свертки для метрики верна только в частном случае и основана па теореме Карлнна. В случае метрики со значением т — 1 (расстояние Хеммннга) аддитивная свертка всегда

существует. Приведен пример, показывающий, что решение, минимизирующее некоторую метрику, не всегда максимизирует аддитивную свертку.

На основе приведенных теоретических исследований разработаны алгоритмы для решения задач со многими целевыми функциями, которые учитывают эффект их взаимодействия при агрегировании.

В четвертой главе рассмотрено применение методов, представленных в диссертации, для повышения обоснованности принимаемых решений в области кредитования физических и юридических лиц. Важной отличительной особенностью внешней среды предприятия является наличие рыночной неопределенности, обусловленной ее неконтролируемыми факторами.

В качестве средства разработки применяется среда визуального программирования Borland Delphi 10 Lite. Разработанный программный комплекс включает два программных модуля — "Многокритериальный выбор в сфере банковского кредитования" п "Определение типов взаимодействия целевых функций".

К основным функциональным возможностям программного комплекса относятся: реализация арифметических операций над нечеткими числами н определение коэффициентов и типа взаимодействия между целевыми функциями; подсчет показателей бухгалтерской отчетности для предприятий; формирование обобщенной оценки для каждого предприятия (физического лица); реализация механизма выбора банком предприятия для кредитования; подсчет значений критериев качества для банков; реализация механизма выбора физическим лицом банка для вложения денежных средств.

На рпс. представлена экранная форма, на основе которой вычисляются коэффициенты п тип взаимодействия между целевыми функциями:

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Основные результаты работы

1. Предложен комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решению проблемы многокритериальное™ и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций, методы с использованием коэффициентов важності! целевых функций, метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению.

2. На основании подхода к определению взаимодействия целевых функций в многоцелевых (четких и нечетких) задачах, основанного на вычислении угла между соответствующими им градиентами, введен коэффициент взаимодействия, который позволяет определять тип взаимодействия конкретных целевых функций (кооперация, конфликт и независимость). Предложен метод решения задач линейной многоцелевой оптимизации, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

3. В рамках метода целевого программирования найдены условия взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето.

4. Предложены новые методы для решения многоцелевых задач оптимизации, учитывающие взаимосвязь критериев н особенности использования функций агрегирования при переходе к скалярному критерию.

5. Разработан программный комплекс, включающий модуль для определения типа взаимодействия между целевыми функциями в четких и нечетких линейных задачах, а также проблемно-ориентированную составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

Основные публикации по теме диссертации

1. Мелькумова Е. М. Одни из подходов к решению задач» многокритериальной оптимизации // Нести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е. М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - №2. - С. 39-42.

2. Мелькумова Е. М. Многокритериальная оптимизации на основе меры зависимости целевых функций іI Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки / Е. М. Мелькумова. - Тула : ТулГУ, 2011. - выпуск №1. - С. 177-187.

3. Мелькумова Е. М. О некоторых подходах к решению многокритериальных задач // Вести. Воронеж, гос. технич. ун-та / Е. М. Мелькумова. - Воронеж : ВГТУ, 2011. - том 7, №7. - С. 122-127.

4. Аристова Е. М. Об одном подходе к анализу задач многокритериальной оптимизации / Е. М. Аристова. Т. М. Леденева // Журнал "Системы управления н информационные технологии11 Воронеж, гос. технич. ун-та. - Воронеж : ВГТУ, 2012. - №1(47). - С. 11-14.

5. Мелькумова Е. М. О некоторых подходах к решению задач нечетко-го математического программирования // Сб. тр. Междунар. конф. "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики"/ Е. М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2009. - С. 44-48.

С. Мелькумова Е.М. Управление риском портфельных инвестиций // Сб. тр. Мсждунар. конф. / Е. М. Mr.ii,купона. - Пжоткк : ИГУ, 2009. - том №2. - С. 313-318.

7. Мелькумова Е.М. О некоторых подходах к решению задач многоцелевого нечеткого программирования /. Со. тр. Междупар. науч. ніколи "Системное моделирование социально-экономических процесові)" имени академика С.С. Шаталина / Е. М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2009. - С. 428-432.

в. Мелькумова Е.М. О нечетком подходе, к формированию фондового портфеля / Е.М. Мелькумова. Б. Л. Семенов /'/ Тр. Всеросс. конф. "Интеллектуальные информационные системы". - Воронеж : ВГТУ. 2009. - С. 42-44.

9. Мелькунова Е.М. Некоторые подходы к решению многокритериальных задач оптимизации с использованием аппарата нечетких множеств // Сб. матер. Междупар. пауч. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики1'/ Е.М. Мелькумова. - Тула : ТулГу, 2009. - С. 344347.

10. Мелькумова Е.М. Методы построения функции принадлежности // Вести. Воронеж, гос. унта. Сер. Системный анализ и ин4>ормацноцные технологии / Е.М. Мелькумова. - Воронеж : ІІзд-во Воронеж, гос. ун-та. 2010. - .\-'2. - С. 13-18.

11. Мелькумова Е.М. О решении некоторых задач нечеткого математического программирования .'/ Вести. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е.М. Мелькумова. - Во>юпсж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та. 2010. - №2. - С. 19-24.

12. Мелькумова Е. М. Лингвистическая модель оценочной системы // Тез. докл. Воронеж, матем. школы им. С.Г. КреГша . Е. М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та. 2010. - С. 101-102.

13. Мелькумова Е. М. Метод выбора лучшей альтернативы ирн отсутствии информации о предпочтениях на множестве критериев // Матер. Мсждунар. научно-практич. конф. "Повышение жизнеспособности нации: проективность ин теллекта"/ Е. М. Мелькумова. - Хабаровск : Изд-во ТОГУ, 2010. - С. 70-74.

14. Мелькумова Е.М. Правило простого большинства для решения задач линейной многокритериальной оптимизации // Сб. тр. Мсждунар. конф. "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики п механики"/ Е. М. Мель кумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та,

2010. - С. 242-24.3.

15. Мелькумова Е. М. Правило Борда дія решения задачи линейной многокритериальной оптимизации // Сб. матер. Междупар. науч. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики"/ Е. М. Мелькумова. - Тула : ТулГу. 2010. - С. 257-259.

16. Мелькумова Е.М. Принятие решений на основе нечеткого описания состояния системы н исходов //' Вестн. факульт. Прикладной матем.. ивформ. и механики / Е.М. Мелькумова. - Х< 8. -Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - Л>8. - С. 258-263.

17. Мелькумова Е.М. Некоторые правила группового выбора для решения задачи линейной многокритериальной оптимизации // Матер. Воронеж, зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы"/ Е.М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та

2011. - С. 217-218.

18. Мелькумова Е. М. Решение задачи многокритериальной оптимизации с помощью учета коэффициентов важности целевых функций // Сб. тр. Меж.-(унар. конф. "Актуальные проблемы прикладной математики, ипііюрматикн и механики"/ Е.М. Мелькумова. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та. 2011. - С. 205-209.

Работы Xі 1-4 опубликовали в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 11.05.12. Формат 60«84 '/¡6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 493.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полнграфического центра Воронежского государственного университета. 394000. Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение.

Глава 1 Основные понятия и определения.

1.1 Основные понятия теории принятия решений.

1.2 Методы решения задач векторной оптимизации, основанные на свертывании (скаляризации) критериев.

1.3 Основные определения и характеристики нечетких множеств.

1.4 Цели и задачи исследования.

Глава 2 Модели и методы решения многоцелевых задач, учитывающие взаимодействие целевых функций.

2.1 Анализ взаимодействия целевых функций в четкой задаче.

2.2 Определение коэффициентов взаимодействия нечетких целевых функций.

Глава 3 Скаляризация векторного критерия.

3.1 Операции агрегирования для многоцелевых задач.

3.2 Алгоритмы агрегирования для разных типов целей.

3.3 Установление взаимосвязи между методами аддитивной свертки и метрики.

Глава 4 Прикладная задача и организация вычислительного эксперимента.

4.1 Многокритериальный выбор в сфере банковского кредитования.

4.2 Описание программных модулей.

При моделировании процессов принятия решений наиболее значимыми факторами, которые с необходимостью должны учитываться в моделях, являются неопределенность и многокритериальность, причем в некоторых исследованиях отмечается, что многокритериальность является следствием неопределенности (невозможно выбрать единый критерий (или цель) для характеристики оптимального решения). Неопределенность имеет разные интерпретации и обусловлена не только влиянием внешней среды, но и характеристиками исходной информации о ситуации принятия решений. И если первый из перечисленных источников неопределенности учитывается с помощью теории вероятностей и математической статистики, то второй — с помощью аппарата нечеткой математики.

Обобщения детерминированных моделей принятия решений в форме задач математического программирования в условиях неопределенности строятся путем представления коэффициентов целевых функций и/или ограничений нечеткими числами, что позволяет формализовать приближенные знания о той информации, которая необходима для принятия решений. Проявлением неопределенности является и наличие многих целей, которые характеризуют оптимальность решения с различных позиций. Это приводит к тому, что вместо скалярного критерия рассматривается векторный, компонентами которого являются нечеткие целевые функции. Разработка подходов к решению задач многокритериальной нечеткой оптимизации является актуальной проблемой моделирования сложных систем и процессов.

Модели оптимизационных задач в условиях неопределенности рассматривались в работах R. Fuller, С. Carlsson, Е. Canestrelli, D. Dubois, F. Herrera, H.J. Zimmermann, Jl. Заде, С. А. Орловского, Р. Штойера, В.В. Подиновского, A.B. Язенина и др. Однако, не в полной мере, в этих работах учитывались такие аспекты, как взаимодействие целевых функций, выбор стратегии агрегирования при переходе от векторного критерия к скалярному, взаимосвязь получаемых оптимальных решений с теми, которые могут быть получены на основе различных принципов выбора. В связи с этим диссертационная работа, посвященная разработке новых подходов к решению задач нечеткого математического программирования со многими целевыми функциями, является актуальной.

Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений Воронежского государственного университета "Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках".

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке моделей и методов для решения задач математического, в частности, линейного многоцелевого программирования с учетом типа взаимодействия между целевыми функциями (критериями), характеризующими оптимальность решения.

Для достижения цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ подходов к решению задач векторной оптимизации в детерминированном случае и в условиях неопределенности.

2. Разработка подходов к оценке взаимодействия нечетких целевых функций и способам учета этой оценки при решении задач нечеткого линейного программирования.

3. Разработка методов формирования обобщенного критерия (целевой функции) на основе операций агрегирования и исследование взаимосвязи получаемых оптимальных решений со свойством Парето-оптимальности.

4. Разработка и апробация программного обеспечения, реализующего предложенные алгоритмы и подходы к решению задач многокритериального выбора.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы исследования операций, теории принятия решений, теории нечетких множеств и нечеткой арифметики, теории графов. При написании программного обеспечения использовалась технология модульного программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- коэффициент взаимодействия нечетких линейных целевых функций в форме нечеткого Ы1-числа, позволяющий структурировать множество целевых функций и на этой основе определить подходы к решению проблемы многокритериал ьности;

- комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решению проблемы многокритериальное™ и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций; методы с использованием коэффициентов важности целевых функций; метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению;

- теорема о Парето-оптимальности решения, максимизирующего обобщенный критерий, полученный на основе порядковых операций взвешенного агрегирования, которая обосновывает использование операций данного типа для решения задач векторной оптимизации или многокритериального выбора;

- теорема о взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето;

- структура программного комплекса, включающая модуль для определения типа взаимодействия целевых функций в многоцелевых задачах четкого и нечеткого линейного программирования, а также проблемно-ориентированную составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием выбранного математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость исследования заключается в возможности формирования моделей и методов принятия решений в условиях неопределенности, которая проявляется в необходимости учитывать множество критериев, характеризующих оптимальность выбираемых решений, а также в использовании приближенной информации о параметрах модели. Подходы, предложенные в диссертации, позволяют повысить обоснованность принимаемых решений в прикладных задачах экономики, техники, проектирования и других областях.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Воронежский государственный университет" при чтении спецкурсов, выполнении выпускных квалификационных работ. Банком ОАО "Альфа-Банк" (Воронеж) признана целесообразность использования предложенной в диссертации методики для оптимизации процедур кредитования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета и следующих конференциях различного уровня: Международная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (Воронеж, 2009-2011 гг.); Международная конференция (Ижевск, 2009 г.); Международная научная школа "Системное моделирование социально-экономических процессов" имени академика С. С. Шаталина (Вологда, 2009 г.); Всероссийская конференция "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 2009 г.); Международная научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2009-2010 гг.); Воронежская математическая школа им. С. Г. Крейна (Воронеж, 2010 г.); Международная научно-практическая конференция "Повышение жизнеспособности нации: продуктивность интеллекта" (Хабаровск, 2010 г.); Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 18 научных работ ( [27,62-78]), в том числе 4 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, выполненных в соавторстве: в [27] предложен подход для анализа взаимодействия целевых функций в задаче линейного программирования; а в [65] — метод решения задачи о формировании инвестиционного портфеля при нечетких оценках.

Основные результаты диссертационного исследования:

1. Предложен комплекс методов для решения задач линейного программирования с четкими и нечеткими целевыми функциями, отличающийся альтернативными подходами к решению проблемы многокритериальности и включающий: методы, учитывающие коэффициенты взаимодействия целевых функций, методы с использованием коэффициентов важности целевых функций, метод, основанный на модифицированном принципе приближения по всем критериям к идеальному решению.

2. На основании подхода к определению взаимодействия целевых функций в многоцелевых (четких и нечетких) задачах, основанного на вычислении угла между соответствующими им градиентами, введен коэффициент взаимодействия, который позволяет определять тип взаимодействия конкретных целевых функций (кооперация, конфликт и независимость). Предложен метод решения задач линейной многоцелевой оптимизации, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

3. В рамках метода целевого программирования найдены условия взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето.

4. Предложены новые методы для решения многоцелевых задач оптимизации, учитывающие взаимосвязь критериев и особенности использования функций агрегирования при переходе к скалярному критерию.

5. Разработан программный комплекс, включающий модуль для определения типа взаимодействия между целевыми функциями в четких и нечетких линейных задачах, а также проблемно-ориентированную составляющую для решения задачи многокритериального выбора в сфере банковского кредитования.

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, профессору Леденевой Татьяне Михайловне за ценные замечания и поддержку.

Заключение

1. Baykasoglu A. A review and classification of fuzzy mathematical programs

2. A. Baykasoglu // Journal of Inteligent and Fuzzy Systems. -2008. -pp. 205-209.

3. Canestrelli E. Stability in possibilistic quadratic programming /

4. E. Canestrelli, S. Giove, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 1996. -no. 82. - pp. 51 - 56.

5. Carlsson C. Multiple Criteria Decision Making: The Case for Interdependence/ C. Carlsson, R. Fuller // Computers and Operations Research. -no. 22. 1995. - pp. 251-260.

6. Carlsson C. On interactive fuzzy numbers / C. Carlsson, R. Fuller // Fuzzy

7. Sets and Systems. no. 143. - 2004. - pp. 355-369.

8. Carlsson C. Fuzzy reasoning in decision making and optimization / C. Carlsson, R. Fuller. Heidelberg: PhysicalNew York, 2002. - 338 p.

9. Delgado M. Fuzzy cardinality based evaluation of quantified sentences /

10. M. Delgado., M. Martin, D. Sanchez, M. A. Vila. Int. J. Approx. Reason., 2000. - vol. 23. - pp. 23-66.

11. Delgado M. Fuzzy Association Rules: General Model and Applications /

12. M. Delgado., M. Martin, D. Sanchez, M. A. Vila. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2003. - vol.11. - pp. 214-225.

13. Dubois D. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications / D. Dubois,

14. H. Prade. Academic Press : New York, 1980. - 283 p.

15. Fuller R. On product -sum of triangular fuzzy numbers // Fuzzy Sets and

16. Systems. № 41. - 1991. - pp. 83-87.

17. Fuller R. Fuzzy reasoning for solving fuzzy mathematical programming problems / R. Fuller, H. J. Zimmermann // Fuzzy sets and systems. no. 60. -pp. 121-133.

18. Kaliszewski I. Soft computing for complex multiple criteria decision making

19. I. Kaliszewski. Inc.: Springer Science+Business Media, 2006. - 164 p.

20. Lazarevic S. P. Hybrid Fuzzy linear Programming Approach for Multi Criteria Decision Making Problems / S. P. Lazarevic, A. Abraham // International Journal of Neural, Parallel and Scientific Computations. -2003. -vol.11. pp. 53-68.

21. Lin С. C. A weighted max min model for fuzzy goal programming / С. C. Lin

22. Fuzzy Sets and Systems, 2004. pp. 407-420.

23. Liu X. The solution equivalence of minimax disparity and minimum varianceproblems for OWA operators // International Journal of Approximate Reasoning 45, 2007. - pp. 68-81.

24. Rotach V. An expert estimate and optimization of control algorithms underconditions of incomplete information on the object model / V. Rotach, K. A. Grishin // Teploenergetica, 2003. no. 10. - pp. 2-8.

25. Torra V. Modeling Decisions: Information Fusion and Aggregation Operators

26. V. Torra, Y. Narukawa. Springer : Berlin, 2007. - 284 p.

27. Winterfeldt D., Fischer G.W. Multiattribute utility theory: Models andacsessment procedures. Utility, probability and human decision making // D. Winterfeldt, G.W. Fischer. Amsterdam : Reidel, 1975. - 152 p.

28. Yager R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 1988. pp. 183-190.

29. Yazenin A. V. Fuzzy and stochastic programming / A. V. Yazenin // Fuzzy

30. Sets and Systems. 1987. - no. 22. - pp. 171-180.

31. Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility / L. A. Zadeh

32. Fuzzy Sets and Systems. 1978. no. 1. - pp. 3-28.

33. Zimmermann H. J. Fuzzy mathematical programming / H.-J. Zimmermann

34. Comput. Oper. Res. 1983. no. 10. - pp. 291-298.

35. Zimmermann H.-J. Applications of fuzzy set theory to mathematical programming / H. J. Zimmermann // Information Sciences. 1985. - no. 36. -pp. 29-58.

36. Аббакумов В. JI. Бизнес анализ информации. Статистические методы

37. В. JI. Аббакумов. М. : Экономика, 2009. - 194 с.

38. Азарнова Т. В. Линейное программирование: элементы теории,алгоритмы и примеры. Учебное пособие / Т. В. Азарнова, И. Л. Каширина, Г. Д. Чернышова. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 2001. - 62 с.

39. Азарнова T.B. Методы оптимизации: элементы теории, алгоритмыи примеры. Учебное пособие / Т. В. Азарнова, И.Л. Каширина, Г. Д. Чернышова. Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2001. - 101 с.

40. Андрейчиков А. В. Анализ, синтез, планирование решений в экономике /

41. А. В. Андрейчиков, О. Н. Андрейчикова. М. : Финансы и статистика, 2000. - 368 с.

42. Аристова Е. М. Об одном подходе к анализу задач многокритериальнойоптимизации / Е. М. Аристова, Т. М. Леденева // Журнал "Системы управления и информационные технологии" Воронеж, гос. технич. ун-та. Воронеж : ВГТУ, 2012. - №1(47). - С. 11-14.

43. Афонин А. Ю. Оперативный и интеллектуальный анализ данных /

44. А. Ю. Афонин, П. П. Макарычев. Пенза : ПГУ, 2010. - 142 с.

45. Ашманов С. А. Линейное программирование / С. А. Ашманов. М. :1. Наука, 1981. 304 с.

46. Баева Н. Б. Основы теории и вычислительные схемы векторнойоптимизации. Учебное пособие / Н. Б. Баева, Ю.В. Бондаренко. -Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2003. 86 с.

47. Бабинцев B.C. Выбор решений по многим критериям, упорядоченнымпо важности / В. С. Бабинцев, В. В. Подиновский, В. Г. Шорин. М. : 1977. - 44 с.

48. Батищев Д. И. Задачи и методы векторной оптимизации. Учебноепособие / Д. И. Батищев. Горький : ГГУ, 1979. - 92 с.

49. Башмаков А. И. Интеллектуальные информационные технологии /

50. А. И. Башмаков, И. А. Башмаков. М. : МГТУ им. Баумана, 2005. -304 с.

51. Белкин А. Р. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимацииинформации / А. Р. Белкин, М. Ш. Левин. М. : Наука, 1990. - 157 с.

52. Борисов А. Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примерыиспользования / А. Н. Борисов, О. А. Крумберг, И.П. Федоров. Рига : Зинатне, 1990. - 184 с.

53. Борисов А. Н. Обработка нечеткой информации в системах принятиярешений / А.Н. Борисов, A.B. Алексеев, Г.В. Меркурьева. М. : Радио и связь, 1989. - 304 с.

54. Брахман Т.Р. Многокритериальность и выбор альтернативы в технике /

55. Т. Р. Брахман. М. : Радио и связь, 1984. - 288 с.

56. Вальд А. Последовательный анализ / А. Вальд. М. : Физмат-гиз, 1960.162 с.

57. Величко С. В. Синтез функций выбора на итерациях поиска в численныхмоделях многокритериальной оптимизации / С. В. Величко, С. В. Белокуров, Д. Е. Соловей. Воронеж : 2004. - 125 с.

58. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. Сборник переводов.1. М. : Мир, 1976. 228 с.

59. Горюнов Ю. Ю. Теория и методы принятия решений / Ю. Ю. Горюнов,

60. Т. Ю. Горюнова, Д. В. Дружинин. Пенза : РГУИТП, 2010. - 50 с.

61. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложение к представлению знанийв информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. М. : Радио и Связь, 1990. -288 с.

62. Екатеринославский Ю. Ю. Управленческие ситуации: анализ и решения

63. Ю. Ю. Екатеринославский. М. : Экономика, 1988. - 191 с.

64. Елтаренко Е.А. Оценка и выбор решений по многим критериям /

65. Е. А. Елтаренко. М. : МИФИ, 1995. - 112 с.

66. Елтаренко Е.А. Технология оценки объектов по многим критериям срасчетом ошибок результатов / Е.А. Елтаренко, Г.В. Антюфеев // Информационные технологии, 2002. №3.- С. 49-55.

67. Емеличев В. А. Лекции по теории графов / В. А. Емеличев,

68. О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. М. : Наука, 1990. -383 с.

69. Емельянов C.B. Многокритериальные методы принятия решений /

70. С. В. Емельянов, О. И. Ларичев. М. : Знание, 1985. - 32 с.

71. Еремин И. И. Теория линейной оптимизации / И. И. Еремин.

72. Екатеринбург, 1999. 312 с.

73. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение кпринятию приближенных решений / Л. Заде. М. : Мир, 1976. - 165 с.

74. Зайченко Ю. П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация /

75. Ю. П. Зайченко. Киев : Выща Школа, 1991. - 191 с.

76. Иванилов Ю. П. Математические модели в экономике / Ю. П. Иванилов,

77. А. В. Лотов. М. : Наука, 1979. - 303 с.

78. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов.

79. М. : Физматлит, 2000. 263 с.

80. Катулев А.Н. Современный синтез критериев в задачах принятиярешений / А.Н. Катулев, В.Н. Михно, Л.С. Виленчик. М. : Радио и связь, 1992. - 120 с.

81. Кини Р. Л. Принятие решений при многих критериях: предпочтения изамещения / Р. Л. Кини, X. Райфа. М. : Радио и связь, 1981. - 559 с.

82. Конышева Л.К. Основы теории нечетких множеств / Л. К. Конышева,

83. Д.М. Назаров. Спб : Питер, 2011. - 188 с.

84. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. М. :

85. Радио и связь, 1982. 432 с.

86. Кочетков В. В. Индивидуально психологические проблемы принятиярешения / В. В. Кочетков, И. Г. Скотникова. М. : Наука, 1993. - 294 с.

87. Леденева Т. М. Модели и методы принятия решений / Т. М. Леденева.

88. Воронеж : ВГТУ, 2004. 189 с.

89. Леденева Т. М. Обработка нечеткой информации / Т. М. Леденева.

90. Воронеж : ВГУ, 2006. 233 с.

91. Леденева Т. М. Основы нечеткого моделирования в среде MatLab: учеб.пособие / Т. М. Леденева, Д. С. Татаркин, А. С. Тарасова. Воронеж : ЛОП ВГУ, 2006. - 51 с.

92. Липсиц И. В. Экономика без тайн / И. В. Липсиц. М. : Дело ЛТД, Вита1. Пресс, 2008. 352 с.

93. Мелькумова Е. М. Управление риском портфельных инвестиций // Сб.тр. Междунар. конф. (31 августа 5 сентября 2009 г., г. Ижевск) / Е. М. Мелькумова. - Ижевск : ИГУ, 2009. - том №2. - С. 313-318.

94. Мелькумова Е. М. О нечетком подходе к формированию фондовогопортфеля / Е. М. Мелькумова, Б. А. Семенов // Тр. Всеросс. конф. "Интеллектуальные информационные системы" (18 19 июня 2009 г., г. Воронеж). - Воронеж : ВГТУ, 2009. - С. 42-44.

95. Мелькумова Е.М. Один из подходов к решению задачимногокритериальной оптимизации // Вестн. Воронеж, гос. унта. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е.М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. -№2. - С. 39-42.

96. Мелькумова Е.М. Методы построения функции принадлежности/ Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е. М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - №2. - С. 13-18.

97. Мелькумова Е.М. О решении некоторых задач нечеткогоматематического программирования / / Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии / Е. М. Мелькумова. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. -№2. - С. 19-24.

98. Мелькумова Е.М. Лингвистическая модель оценочной системы // Тез.докл. Воронеж, матем. школы им. С.Г. Крейна / Е. М. Мелькумова. -Воронеж : Изд-во Воронеж, ун-та, 2010. С. 101-102.

99. Мелькумова Е.М. Метод выбора лучшей альтернативы при отсутствииинформации о предпочтениях на множестве критериев // Матер.

100. Междунар. научно-практич. конф. "Повышение жизнеспособности нации: продуктивность интеллекта" (15 мая 2010 г., г. Хабаровск) / Е. М. Мелькумова. Хабаровск : ТОГУ, 2010. - С. 70-74.

101. Мелькумова Е. М. Принятие решений на основе нечеткого описаниясостояния системы и исходов // Вестн. факульт. Прикладной матем., информ. и механики / Е. М. Мелькумова. № 8. - Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2010. - №8. - С. 258-263.

102. Мелькумова Е. М. Многокритериальная оптимизация на основе мерызависимости целевых функций // Известия Тульского гос. ун-та. Сер. Естественные науки / Е. М. Мелькумова. Тула : ТулГУ, 2011. -выпуск №1. - С. 177-187.

103. Мелькумова Е. М. О некоторых подходах к решениюмногокритериальных задач // Вестн. Воронеж, гос. технич. унта / Е.М. Мелькумова. Воронеж : ВГТУ, 2011. - том 7, №7. -С. 122-127.

104. Миркин Б. Г. Графы и гены / Б. Г. Миркин, С. Н. Родин. М. : Наука,1. Физматлит, 1977. 237 с.

105. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа /

106. H.H. Моисеев. М. : Наука, 1981. - 488 с.

107. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик,

108. П. Мюллер. М. : Мир, 1990. - 206 с.

109. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта

110. Под ред. Д. А. Поспелова. М. : Наука, Физматлит, 1986. - 311 с.

111. Нит А. Линейное программирование / А. Нит. М. : МГУ, 1978. - 199 с.

112. Ногин В. Д. Основы теории оптимизации / В. Д. Ногин,

113. И.О. Протодьяконов, И.И. Евлампиев. М. : Высшая школа, 1986. - 383 с.

114. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде /

115. В. Д. Ногин. М. : Физматлит, 2002. - 175 с.

116. Носова С. С. Экономическая теория / С. С. Носова. М. : Владос, 1999.187 с.

117. Ope О. Теория графов / О. Ope. M. : Наука, 1968. - 336 с.

118. Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные / А. И. Орлов.1. М. : Знание, 1980. 63 с.

119. Орлов А. И. Теория принятия решений / А. И. Орлов. М. : Экзамен,2006. 573 с.

120. Орлов А. И. Принятие решений. Теория и методы разработкиуправленческих решений / А. И. Орлов. М. : Март, 2005. - 496 с.

121. Орлов А. И. Прикладная статистика / А. И. Орлов. М. : Экзамен, 2004.656 с.

122. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходнойинформации / С. А. Орловский. М. : Наука, 1981. - 206 с.

123. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат. М. :

124. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 798 с.

125. Петровский A.B. Теория принятия решений / A.B. Петровский. М. :1. Академия, 2009. 399 с.

126. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев /

127. B. В. Подиновский. М. : Физматлит, 2007. - 64 с.

128. Подиновский В. В. Оптимизация по последовательно применяемымкритериям / В. В. Подиновский, В.М. Гаврилов. М. : Советское радио, 1975. - 192 с.

129. Подиновский В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальныхзадач / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982. - 250 с.

130. Райфа Г. Анализ решений: Введение в проблему выбора в условияхнеопределенности / Г. Райфа. М. : Наука, 1977. - 406 с.

131. Рабинович Я. И. Принцип гарантированного результата в задачах поискаэкстремума / Я. И. Рабинович. М. : ВЦ АН СССР, 1989. - 20 с.

132. Роберте Ф.С. Дискретные математические модели с приложениямик социальным биологическим и экологическим задачам / Ф. С. Роберте. М. : Наука, 1986. - 494 с.

133. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерениянечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 81 с.

134. Рыков А. С. Системный анализ: модели и методы принятия решений ипоисковой оптимизации / А. С. Рыков. М. : МИСиС, 2009. - 607 с.

135. Саати Т. J1. Принятие решений при зависимостях и обратных связях /

136. Т. JI. Саати. М. : Либроком, 2009. - 357 с.

137. Семенов Б.А. О взаимодействии целей в многокритериальных задачах

138. Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Управление большими системами: сб. тр. VI Всерос. шк. сем. молодых ученых, Ижевск, 31 авг. - 5 сент. 2009 г. - Ижевск : Информ. издат. центр "Бон Анца", 2009. - Т.2.1. C. 12-14.

139. Сергиенко И. В. Математические модели и методы решения задачдискретной оптимизации / И. В. Сергиенко. Киев : Наукова думка, 1988. - 471 с.

140. Сергиенко И. В. Приближенные методы решения дискретных задачоптимизации / И. В. Сергиенко, Т. Т. Лебедева, В. А. Рощин. Киев : Наукова думка, 1980. - 272 с.

141. Соболь И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многимикритериями / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. М. : Наука, 1981. -106 с.

142. Стрекаловский А. С. Биматричные игры и билинейное программирование / А. С. Стрекаловский, А. В. Орлов. М. : Физматлит, 2007. -223 с.

143. Теория выбора принятия решений. Учебное пособие / Под ред.

144. И. М. Макарова и др.. М. : Наука, Физмалит, 1982. - 327 с.

145. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности

146. Р. И. Трухаев. М. : Наука, 1981. - 257 с.

147. Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие /

148. Л. П. Турунтаев. Томск, 2007. - 197 с.

149. Уткин Л. В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации / Л. В. Уткин. Спб : Наука, 2007. - 400 с.

150. Фатхутдинов P.A. Управленческие решения / P.A. Фатхутдинов. М. :1. Инфра-М, 2005. 298 с.

151. Фатхутдинов P.A. Разработка управленческих решений /

152. Р. А. Фатхутдинов. М. : Интел-Синтез, 1998. - 271 с.

153. Фишберн П. Теория полезности для принятия решения / П. Фишберн.1. М. : Наука, 1978. 352 с.

154. Хемди А. Теория игр и принятие решений / А. Хемди. М. : Вильяме,2007. 549 с.

155. Хоменюк В. В. Элементы теории многоцелевой оптимизации /

156. В. В. Хоменюк. М. : Наука, 1983. - 124 с.

157. Черноруцкий В. В. Методы принятия решений / В. В. Черноруцкий.

158. Спб : БХВ-Петербург, 2005. 408 с.

159. Черноруцкий В. В. Методы оптимизации и принятия решений/

160. В. В. Черноруцкий. Спб : Лань, 2001. - 384 с.

161. Шевченко В. Н. Линейное и целочисленное программирование /

162. В.Н. Шевченко. Горький : ГГУ, 1976. - 69 с.

163. Шмойлова P.A. Теория статистики / P.A. Шмойлова. М. : Финансы истатистика, 2006. 416 с.

164. Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами Marlab /

165. С. Д. Штовба. М. : Горячая линия-Телеком, 2007. - 288 с.

166. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления,