автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория периодически управляемых систем с распределенными параметрами и ее приложения

#

Ьвский Государственный институт электроники и математики (Технический университет)

/

На правах рукописи

Германович Олег Пантелеймонович

ТЕОРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННОМ ПАРАМЕТРАМ! 11 ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

( 05.13.01 - Управление в технических системах )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Саикт-Петербург 19!»

Работа выполнена в Северо-Западном гаочноы подитехничебкоы институте (СЗПИ).

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

В.Р.Носов

доктор технических-наук, старший научный сотрудник Л.М.Пустыльников

доктор технических наук, профессор Г.А.Дидук

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт регионаш ных информационных и управляющих систем "Петрокоыета"

Зашита состоится ц^Лу&А 199&Г. в__ час. ка засед;

нии диссертационного совета Д 063.68.05 в Московском Государствен» институте электроники и математики С Москва, Б. Трехсвятительский пе| 3/12).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Госу дарственного института электроники и математики.

Автореферат разослан " " _199 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.Е.Бузникс

1.Актуальность темы диссертации.

На протяжении последних нескольких десятилетий внимание специалистов различных областей науки и техники привлекают явления, системы и устройства, параметры которых периодически изменяются во времени..

Несмотря на многочисленные препятствия, связанные как с существенными пробелами в теории управленя такими объектами, так и с проблемами их практической реализации, интерес к параметрическим системам не угасает, а прогресс в отдельных.отраслях технологий каждый раз дает новый толчок к развитию и совершенствованию систем с Периодически изменяющимися параметрами.

Неиссякающнй интерес к параметрическим системам сгязан, в первую очередь, с тёму- что применение периодического воздействия на параметры системы существенно расширяет ее функциональные возможности и связано, как правило, с появлением дополнительных свойств у таких технических систем, что открывает новые перспективы управления ими. Кроме того существует значительное число естественно-научных объектов и явлений, которые постоянно находятся в условиях периодических воздействий на их характеристики и свойства и потому по существу представляют собой системы с периодически изменяющимися во времени параметрами.

Таким образом, применение периодических воздействий, как с целью управления техническими характеристиками систем и устройств, так и для цели расширения их функциональных возможностей, остается перспективным направлением практики построения современных технических систем различного назначения, а изучение параметрических явлений в технических устройствах - актуальное направление теории управления.

Особое место в рамках указанного направления занимают линейные параметрические колебательные системы с распределенными параметрами (ЛПКС РП).Такие системы, обладая ярко выраженными свойствами избира-

тельности по форме и чувствительности к фазе сигнала на входе устрой* тва, допускают простое и эффективное управление параметрами, обеслеч! .вая перестройку и адаптацию системы под заданный селектируемый сигна; По совокупности возможностей ЛПКС ИГ обеспечивают оптимальное решен; задач селекции сигналов сложной формы и перспективны к применению системах, используемых в радиовидении и интроскопии (радиолокашоннс поверхностном зондировании). Область наиболее рационального использс вания ЛПКС с РП - дециметровый и сантиметровый диапазон длин волн, кс торый в условиях разумной аппаратурной реализации в настоящее вре», недоступен для цифровых методов обработки сигналов.

ЛПКС с РП интенсивно изучались специалистами в области ралиофиз1 ки и теории управления на протяжении 70-х - начала 80-х годов. Достг точно, например, указать работы таких представителей Горьковской ико; радиофизиков как Островский Л.А., Кабанов Д.А., Степанов Н.С., Веснш. кий А.И. и др., которым принадлежат большинство опубликованных в зтс области исследований и основные полученные результаты. Характерно, чч публикации этого периода посвящены, как правило, описанию фигичесго особенностей процессов, протекающих в таких устройствах, описанию хг рактера преобразования спектра гармонических колебаний, устойчивости условий возникновения автоколебаний, получаемых на основе изучен! весьма простых математических моделей, доступных для исследования этот период, а также прикладным вопросам, а именно: изучению еозмо* ности практического применения ЛПКС с РП в качестве управляемых лину задержки, аттенюаторов, модуляторов СВЧ колебаний и преобразовател« гармонических колебаний в импульсное.

Незавершенность теории ЛПКС с РП, определенные трудности практь ческой реализации и, как следствие, невостребованность практикой нг копленных результатов исследований привели к тому, что с середины 80-

годов объем исследований по теории и практическому применению ЛПКС с РП существенно сократился. Следует особо подчеркнуть, что среди причин, которые послужили препятствием широкому использованию на практике ЛПКС с РП, одной из главных является отсутствие содержательной теории таких устройств. Здесь в первую очередь необходимо отметить нерешенность вопросов устойчивости, регулирования и реализации устойчивых режимов, вопросов реализации и управления собственны?-! и вынужденным резонансом в ЛПКС с РП.

Анализ этого этапа развития теории и практического применения ЛПКС с РП показывает, что среди причин сложившегося положения первостепенной является неразработанность теории математических моделей ЛПКС с РП - теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.

В этой связи радикальным средством решения прикладных задач теории ЛПКС РП следует считать построение содержательной законченной теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа (ЛП ДРУ НТ), которые служат математическим описанием процессов, протекающих в ЛПКС с РП.

До настоящего времени не существовало законченной содержательной теории ЛП ДРУ НТ. Известные немногочисленные работы в этой области рассматривали лишь отдельные частные наиболее простые случаи.

Цель представленной диссертационной работы восполнить указанный пробел.

Теория Флоке ЛП ДРУ НТ, разработанная в представленной диссертации не только позволяет решить основные задачи теории ЛПКС РП, но также полезна при решении ряда естественнонаучных проблем (биология, медицина), описываемых ЛП ДРУ НТ. В этой связи значимость развитой в диссертационной работе теории Флоке ЛП ДРУ НТ выходит за рамки указан-

- б -

ных выше прикладных задач.

2.Цель работы/

Цель диссертационной работы - построение содержательной теор математических моделей ЛПКС с РП - теории линейных периодических ди ференциально-разностных уравнений нейтрального типа и ее применение решению вопросов устойчивости и реализации управления собственным вынужденным резонансом в ЛПКС с РП.

3.Научная новизна результатов, полученных в диссертации.

В представленной диссертации рассмотрены линейные параметричесн колебательные системы с распределенными параметрами, построенные базе одномерных волновых систем с параметрическими условиями на граь це и их математические модели - скалярные -линейные периодические др ференциально-разностные уравнения нейтрального типа с конечным 4hcj постоянных сосредоточенных запаздываний рационально соизмеримых с г риодом коэффициентов.

Впервые построена содержательная теория скалярных линейных nepi дических дифференциально-разностных уравнений"нейтрального типа с i нечным числом постоянных запаздываний, рационально соизмеримых с пе[ одом коэффициентов.

Поставлены и впервые решены следующие проблемы:

- предложен метод решения проблемы существования решений Флоке скалярного ЛП ДРУ НТ с конечным числом постоянных сосредоточ< ных запаздываний рационально соизмеримых с периодом козффиц» тов, опирающийся на применение техники теории сингулярных в мущений;

- построена теория Флоке для упомянутого .выше класса ЛП ДРУ НТ именно:

1.сформулированы достаточные условия существования решений Ф

ке (невырожденный случай) и получены их асимптотические представления;

2.сформулированы условия существования решений Флоке. (вырожденный случай);

3.построено семейство решений Флоке (невырожденный случай), предложен и реализован способ пополнения указанного семейства;

4.доказаны минимальность и базисность пополненного семейства решений Флоке в гильбертовых пространствах H(0,-с) и Соболева С.Л. W9(0,t);

5. поставлена и решена задача на собственные значения. Построено семейство периодических собственных функций и получены их асимптотические представления. Доказаны минимальность и базисность системы периодических собственных функций в гильбертовом пространстве L2Î0.T).

Помимо решения основной задачи - построения теории Флоке указанного выше класса ЛИ ДРУ HT - и в ходе ее решения в диссертации

- предложен и описан новый метод решения задач теории сингулярных возмущений - модифицированный метод регуляризации, предназначенный для решения задач типа

s4P(s)u=A(t,e)u u(0)=u°,

где P(s) - полином, Р(0)*0, A(t,s) - матрица n>n, полином степени m относительно s. Эффективность предложенного модифицированного метода регуляризации продемонстрирована на примере решения задачи существования решений Флоке у ЛП ДРУ HT (случай q>l,i7te q - кратность предельного мультипликатора) .

4.Практическая ценность, полученных результатов.

Предложенный в диссертационной работе метод и развитая на его основе теория Флоке Ж ДРУ НТ позволяют

- проанализировать в пространстве параметров устойчивость ЛПКС РП, описываемых ЛП ДРУ НТ,

- осуществить построение, диаграмм устойчивости в пространстве параметров, использовать их для управления характеристиками ЛПКС с РП и реализации режимов вынужденного резонанса.

Разработанная автором диссертации теория Флоке ЛП ДРУ НТ использована для синтеза параметрического фазового детектора по заданной амплитудно-фазовой характеристике.

Построенная в диссертационной работе теория Флоке ЛП ДРУ НТ может быть с успехом использована при изучении процессов в биологических объектах, а также при решении других естественнонаучных задач, связанных с описанием волновых процессов в системах с периодическими параметрами.

5. Апробация работы.•

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе,1987г.), на 7 Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989г.), на Украинской республиканской конференции "Моделирование и устойчивость систем" (Киев, 1990, 1992, 1995г.), на Уральской региональной конференции "Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988г.). на семинаре кафедры теоретической кибернетики ЛГУ (руководитель В.А, Якубович) Ленинград, 1985г., на семинаре кафедры механики Свердловского государственного университета (руководитель С.Н.Шиманов) Свердловск., 1988г., на семинаре Института математики АН УССР (руководител]

А.Н. Шарковский) Киев,1986г.. на семинаре "Дифференциальные уравнения" ЛГПУ им.А.И.Герцена (руководитель Н.М.Матвеев) Ленинград, 1986-1991гг.. на семинаре Московского энергетического института (руководитель С.А.Ломов) Москва, 1992г.

6. Публикации.

Основные результаты проведенных автором научных исследований, опубликованы в 16 работах и монографии "Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения" изд. ЛГУ 1986г.

7.Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и двух разделов. Первый раздел содержит две главы, заключение и указатель литературы из 17 наименований. Второй раздел диссертации состоит из вводных замечаний, 6 глав, 3 приложений, заключения и указателя литературы, содержащего 118 наименований. Всего диссертация содержит 265 страниц текста, включая 2 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко описана структура диссертации, содержание и значимость ее разделов.

Раздел 1. Прикладные задачи теории управления линейными параметрическими колебательными системами с распределенными параметрами (ЛПКС с РП).

Глава 1.1 ЛПКС с РП и перспективы их использования в решении задач современных радиотехнических систем.

В этой главе первоначально перечисляются наиболее характерные свойства ЛПКС с РП, представляющие значительный прикладной интерес, и указана область частот, в которой наиболее перспективно применение их.

Обсуждается возможность построения оптимального фазоизмерителя на нове ЛПКС с РП б СВЧ диапазоне. ЛПКС с РП, построенные на базе од мерных волноеых систем (ОВС), позволяют осуществить фазовый детек при малых аппаратурных затратах. Такие фазовые измерители описываю линейными периодическими дифференциально-разностными уравнениями не рапьного типа. В главе приведены основные соотношения спектральной ории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений не рального типа, поясняющие принцип работы параметрического фазоизме теля. Введено понятие и сформулированы условия, обеспечивающие рег зацию параметрического резонанса в ЛПКС с РП, построенной на базе С Показано, что при выполнении условия параметрического резонанса ЛШ-РП обладает свойстеом избирательности по форме, а ее фазоселектш свойства проявляются в том случае, если частота измеряемого сигналг равна или кратна частоте накачки ын. Показано, что практическая рег зация режима параметрического резонанса может быть осуществлена на нове выбора "рабочей точки" на диаграмме устойчивости в пространс параметров. Выведено соотношение, которое при реализации режима ш метрического резонанса и условия «с=к<»>н, к=1,2... является амшшг но-фазовой характеристикой (АФХ) фазового детектора, построенной основе ОВС. Кратко обсуждаются вопросы синтеза АФХ фазового детект( которые более подробно изложены в работе автора £71.

Рассмотрены вопросы применения ЛПКС с РП в устройствах селе: сигналов с большой базой. Показано, что по совокупности возможно ЛПКС с РП представляют собой оптимальное решение задач управления лекцией сигналов сложной формы и потому перспективны для применен приемных устройствах систем радиовидения интроскопии.

Глава 1.2. МКС с РП. Вопросы практической реализации, состоите теории, проблемы и пути их решения.

Глава посвящена формулировке ключевой проблемы, решение которой препятствует практической реализации и применению на практике ЛПКС с РП, осуществляемых на базе ОВС с периодическими условиями на границе. В главе обсуждаются пути практического построения ЛПКС с РП. Показано, что применение ОВС для целей организации ЛПКС с РП наиболее перспективно, поскольку, с одной стороны, технологически просто и, с другой стороны, обеспечивает наименьшие аппаратурные затраты. Приведена классификация и дан сопоставительный анализ отдельных классов ЛПКС с РП. построенных на основе ОВС. Кратко рассмотрены основные трудности практической реализации ЛПКС с РП и пути их преодоления. Дан обзор истории развития теории и практической реализации ЛПКС с РП на протяжении 70-х и начала 80-х годов. Подробно обсуждается состояние теории ЛПКС с РП. На основе анализа истории развития теории ЛПКС с РП и ее состояния на конец 80-х годов, а также состояния теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа (ЛП ДРУ НТ) - математических моделей ЛПКС с РП - делается заключение о том. что неразработанность и незавершенность спектральной теории линейных обыкновенных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами - основная причина пробела в практическом применении ЛПКС с РП.

В заключении главы 1.2 дается обзор состояния теории ЛП ДРУ НТ на начало 80-х годов. Формулируются основные ключевые вопросы теории ЛП ДРУ НТ, являющиеся предметом рассмотрения в диссертации.

Раздел 2. Линейные периодические дифференциально-разностные уравнения нейтрального типа и их приложения.

В разделе излагается теория Флоке линейного скалярного периодического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа с конечным числом постоянных запаздываний рационально соизмеримых с периодом коэффициентов. В начале раздела дан краткий обзор состояния теории ЛП ДРУ НТ на начало 80-х годов; сформулированы задачи, решению которых посвящены отдельные главы раздела 2.

Глава 2.1 Вводные замечания.

В вводных замечаниях описана схема метода решения проблемы существования решений Флоке (РФ) линейного периодического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа и ее принципиальные моменты. Изложение иллюстрируется на примере ЛП ДРУ НТ с одним запаздыванием X рационально соизмеримым с периодом коэффициентов и постоянными коэффициентами при производных. Обобщения метода на случаи конечного числа отклонений рационально соизмеримых с периодом коэффициентов приведено в приложении 3.

Общая схема метода заключается в следующем. Рассматривается система, называемая в дальнейшем порожденной, образованная путем присоединения к исходному ЛП ДРУ НТ п-1 уравнения, которые получаются из исходного заменой в нем I на 1+кт, где к=1,п-1. Справедливо

Утверждение 1.

Кавдое решение Флоке исходного ЛП ДРУ НТ с мультипликатором р является одновременно решением Флоке порожденной системы и,обратно, компоненты вектор-решения Флоке порожденной системы с мультипли-

катором р, для которых выполнено условие

гкСи-г^-Ос-и-с) к=Т7п (1)

являются решениями Флоке исходного ЛП ДРУ НТ.

На основании утверждения 1 в дальнейшем вместо исходного ДП дру НТ при осуществлении поиска РФ изучается другой объект, а именно: порожденная система обыкновенных дифференциальных уравнений

А(р)£=Ви,р)2 (2)

При р=рпр, где рпр корни уравнения йе1А(р)=0 (3)

порожденная система вырождается. Поэтому при рассмотрении (2) выделяется два случая:

- вырожденный, рассмотренный в приложении 1 и соответствующий случаю р=рпр. и

- невырожденный, соответствующий случаю р*рпр.

Наибольшую сложность и интерес представляет невырожденный случай. Однако последний может иметь эффективное разрешение при р-рпр=б<1. Действительно, в этом случае система (2). во-первых, допускает приведение к виду

{1е1А(р)£=Я(р)Ви,р)г, (2*)

где А(р) - присоединенная к А(р) матрица и. во-вторых, является сингулярно возмущенной системой, что позволяет для построения РФ применить аппарат теории сингулярных возмущений. В работе используется один из наиболее эффективных методов теории сингулярных возмущений -метод регуляризации.

Принципиальным моментом в развиваемой теории сингулярных возмущений является требование рациональной соизмеримости запаздываний с периодом коэффициентов. Указанное ограничение связано с техникой, применяемой для решения поставленной задачи.

Глава 2.2. Достаточные условия существования решений Флоке линейного периодического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа.

В главе 2.2. дано подробное описание техники, реализующей схем: метода, изложенного в главе 2.1. При этом в ходе построения РФ ЛП ДР1 : НГ не только сформулированы достаточные условия существования РФ : указан источник возникновения этих условий, но также описана процеду ра, позволяющая построить асимптотические выражения для РФ. получить явном виде представления нулевого порядка для мультипликаторов и соот ватствующих им решений Флоке.

В главе 2.2. показано, что в невырожденном случае при выполнени по меньшей мере достаточных условий существует счетное множество нуль тишшкаторов и соответствующих им решений Флоке ЛП ДРУ НТ . а рпр корни уравнения Ае1А(р)=0 - являются' предельными точками множеств мультипликаторов.

Результаты главы 2.2. дают возможность в дальнейшем перейти изучению свойств счетного семейства решений Флоке, к изучению возмог ности использования его для описания произвольного решения ЛП ДРУ НТ исследования его свойств.

В главе проанализированы и подробно обсуждены особенности пост; новки задачи, связанные с необходимостью реализации специальных треб' ваний, предъявляемых к решению, а именно:

- необходимость выполнения условия (1) для компонент вектор-реш шш приведенной порожденной системы (2*);

- необходимость обеспечить возможность представления решения .. - форме, удобной для построения решений типа Флоке.

Эти особенности рассмотренной задачи во многом предопределили выб метода регуляризация не только как одного из эффективных методов те

рии сингулярных возмущений, но и как наиболее пригодного при разрешении специальных требований, предъявляемых к решению.

Наконец, в главе подробно изучены особенности приведенной порожденной системы, своим происхождением обязанные характеру ее построения и вытекающими из этого особенностями матриц коэффициентов приведенной порожденной системы.

В главе большое внимание уделено описанию подходов к решению перечисленных выше проблем, носящих специальный характер. При этом внимание акцентируется на закономерностях общего характера. В связи с большим количеством рассматриваемых в главе вопросов , имеющих принципиальное значение для дальнейшего и с целью достижения наибольшей наглядности описания важных моментов техника построения РФ ЛП ДРУ НТ продемонстрирована на примере ЛП ДРУ НТ с одним запаздыванием т=(т/п)Т, рационально соизмеримым с периодом коэффициентов и постоянными коэффициентами при производной. В приложении 3 эти результаты обобщены на более общий случай.

Таким образом, следуя схеме методики, описанной в главе 2.1. последовательно для невырожденного случая осуществляется построение решений Флоке, вычисляются приближения нулевого порядка,- определяются достаточные условия существования решений Флоке ЛП ДРУ НТ с одним запаздыванием рационально соизмеримым с периодом коэффициентов т=тТ/п и постоянными коэффициентами- при производной.

В соответствии с утверждением 1. сформулирована задача Коши для приведенной порожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2*). Уравнение (3) в изучаемом случае представляет собой полино-'мом степени т. Предметом исследования в главе 2.2. является невырожденный случай, а именно: р*рпр. Поскольку при р-рпр< 1 система (2*) -сингулярно возмущенная, постольку для решения задачи Коши, как отмеча-

лось выше, выбран метод регуляризации, а решение ищется в форме регу-ляризованного асимптотического ряда."Следуя методу регуляризации - решение задачи строится в так называемом пространстве безрезонансных решений. Произвол в выборе начальных условий при этом используется для получения представления решения в форме Флоке.

В силу построений матрицы' системы (2*) обладают особенностями -являются квази обобщенно циклическими (квази обобщенно циклическими -в работе принято называть такие обобщенно циклические матрицы, элементы которых являются функциями I и при этом аргумент каждой последующей строки квази обобщенно циклической матрицы отличается от аргумента предшествующей строки на т). В силу указанного свойства матриц системы (2*) спектр предельного оператора содержит только одно единственное ненулевое значение Х1 (I). а при построении собственных векторов 1^(1;) к=1,п предельного оператора возникает произвол, который используется, позволяя обеспечить выполнение условия (1) для компонент вектор - решения системы (2*).

В главе 2.2. в ходе последовательного применения метода регуляризации найдено решение задачи Коши системы (2*) в форме асимптотического ряда, которое аналитически зависит от параметра £=сЗе1Л(р)< 1.

Решение задачи Коши 2(1) системы (2*) является решением типа Флоке этой системы в том и только в том случае, если существуют нетривиальные решения уравнения

гст)-рг(О) (4)

Уравнение (4) - характеристическое уравнение и служит для вычисления тех значений р (или е), для которых решения задачи Коши система (2*) являются решениями Флоке.

Согласно метода регуляризации, построенный регуляризованный ряд является решением задачи Кош, представленным в виде формального

.симптотического ряда, по меньшей мере, в том случае, когда выполнено •словие стабильности спектра предельного оператора, а именно:

1*1 (ЮрО.уьеСО.ТЗ (5)

[оэтому (5) служит достаточным условием существования решений Флоке у ;истемы (2*).

В главе 2.2. подробно описано построение нулевого приближения к юшению задачи Коши, приведены выражения для нулевого приближения, [оследние использованы для вычисления приближенных решений (5) нулево-"о порядка.Показано, что множество решений характеристического уравне-шя - счетно, множество мультипликаторов {рг} решений Флоке ЛП ДРУ НТ меют р°р з=ГГт своими предельными точками, рг - асимптотически проеме корни характеристического уравнения.

Основным результатом главы 2.2. является доказательство теоремы: Теорема 1.

Пусть 1Я-! (1) |>0 юе[0.Т1. тогда существует счетное множество ре-зений типа Флоке {гк(Ш дифференциально-разностного уравнения нейт-)ального типа

а£(1;)+Р2:(ъ+т)=р(1;)г( , (6)

где а.р - постоянные, сф*0. ри).ц(Ъ)еСР(Т), т=(т/п)Т. т,п -целые и точкой обозначено дифференцирование по аргументу, таких что

гк(1;)=2£и)+0(1/|к|).

р*-Й+0(1/|к|).

где рх - мультипликатор решения Флоке гЦи) и

р° = (-а/р)п; п ехрзгкз&п/т - к-асимлтотические представления решений Флоке ЛП ДРУ НТ (6) и юс мультипликаторов соответственно.

В заключительной части главы рассмотрено сопрякенное ЛП ДРУ НТ.

Показано, что мультипликаторы р и р* сопряженных уравнений связак между собой соотношением

Р=Р* П

Глава 2.3. Построение специальной биортогональной системы. Мини ыальность системы решений Флоке линейного периодичес кого дифференциально-разностного уравнения нейтраль ного типа

Глава 2.3. посвящена изучению свойств семейства РФ ЛП ДРУ НТ Рассматривается невырожденный случай (р*рпр) и полагаются выполненным достаточные условия существования РФ.

При изучении свойств семейства РФ ЛП ДРУ НТ существенную роль иг рает выбор подходящего функционального пространства, в котором целесо образно проводить исследование свойств семейства. В этой связи перво начально на основе рассмотрения формулы Грина показано, что подходящи функциональным пространством для изучения свойств семейства РФ ЛП ДР НТ является гильбертово пространство H(t0, t0+x)=C®L2 (t0. t0+t) со скалярным произведением

ts-r _

<(x¡.1í (t)). (хг,Х2 {t))>=x¡T2 +/ Xj (t)X2(t)flt. (8

¿i

где (x,X(t)) - элемент пространства H(t0,t0+t), xeC, X(t)eL2 (t0, t0+T) в котором и выполняется в,, дальнейшем изучение свойств семейства реше ний Флоке ЛП ДРУ НТ.

Наряду с семейством решений Флоке и присоединенных к ним функци {zi.(t)}, где z«. 3 (t)=a3zk (t,pK)/3p¿., 3=0,^-1, qk)l - кратность pk корня характеристического уравнения, zk(t,pk) - решение Флоке ЛП ДР НТ, рк - соответствующий ему мультипликатор, рассматривается семейств .функций Íyíc.з(t)}, представляющих собой конструкцию из решений флоке присоединенных к ним фркций сопряженного ЛП ДРУ НТ. В гильбертово

пространстве Н{10,10+г) с помощью указанных упорядоченных совокупное- ' тей подсистем функций организуются последовательности элементов гильбертова пространства Н(ЦД0+т) {г*.,} и (У^}.

Доказана следующая .!

Теорема 2.

Пусть выполнены условия теоремы 1., тогда последовательности элементов {2к;)} и {Ук:)} гильбертова пространства Н(Ц,г0+т) образуют в НЯо.Ц+т) биортогональную систему, то-есть

{1 К = т. 1 = 3 ®

(9) |

О а остальных случаях

Следствие 1.

Последовательность элементов гильбертова пространства

НиоЛо+т) минимальна в ^-к).

В силу тесной связи пространства Н(10Д0-+т) с гильбертовым пространством С.Л.Соболева У4иоДо+1:5 из теоремы 2. следует Следствие 2.

Упорядоченная последовательность решений Флоке и присоединенных к ним функций минимальна в гильбертовом пространстве С.Л. Собо-

лева 14 ^о- -

, Помимо семейства решений Флоке' и присоединенных к ним функций {^..¡(Ш в главе 2.3. -рассмотрена также последовательность функций } (Ш.где

5»0 л

•и обозначено

Ьг = (1/г!) 11тМг [ (р-рк /а(рк) ] /ар];},

р^рк

рк - мультипликатор РФ 2ки.рх) - ноль кратности q функции.

to+T

Q(p)s(Lz.y). Lz=0 - ЛП ДРУ HT , (u. v)=/u( t)v( t)dt.

ta ^

Показано, что последовательность функций {zk>j(t)} минимальна в гильбертовом пространстве С.Л.Соболева Wg[t0,t0+fJ.

Глава 2.4. Базисность системы решений Флоке линейного периодического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа в.гильбертовом пространстве

Вопрос о полноте и базиснодти семейства РФ ЛП ДРУ НТ в подходящем функциональном пространстве относится к категории наиболее слабо изученных разделов теории ЛП ДРУ НТ. В известных работах исследования существенным образом опирались на специальную структуру изучаемых уравнений, а вопрос о базисности семейства РФ не изучался.

В главе 2.4. исследуются свойства полноты и базисности семейства решений Флоке и присоединенных к ним функций ЛП ДРУ,Ж в гильбертовом пространстве С.Л.Соболева [t0.t0+tl. а также свойства последовательностей элементов гильбертова пространства H(t0,t0+t). построенных на базе упомянутых решений Флоке и присоединенных к ним функций. Предложен алгоритм построения в указанных выше гильбертовых пространствах упорядоченных последовательностей из элементов, сконструированных на основе РФ ЛП ДРУ НТ и присоединенных к ним функций, которые образуют базис Рисса в этих пространствах. Алгоритм существенным образом опирается на полученные в диссертации асимптотические представления для РФ ЛП ДРУ НТ. Построения, демонстрирующие эффективность предлагаемого алгоритма, выполняются для семейства РФ ЛП ДРУ НТ (6).

В главе 2.4. доказано, что существует решение Флоке z°(t) уравнения (6), не входящее в семейство решений Флоке ЛП ДРУ НТ izk (t,pk), построенное ранее в главе 2.2. Дано пояснение происхождению решения Флоке z°(t) и предложен алгоритм его построения.

С помощью элемента Z0 пространства H(t0, t0+t), который построен

на-базе РФ z°(t), осуществлено пополнение множества Доказано,

что семейство Е: Z° U {ZK>3} - минимально в гильбертовом пространстве H(tQ,t0+T).

На основе применения асимптотического представления решения Флоке Ж ДРУ НТ (6)

zk(t)=z°{t) + 0(l/¡k|) и, учитывая, что семейство Е0: {(1,0)UСО,t))tez - базис Рисса в гильбертовом пространстве H(t0.t0+T), доказана

Теорема 3.

Минимальная в гильбертовом пространстве H(t0,t0+t) последовательность Е: 2° U {Zk j} квадратично близка в метрике H(t0,t0+t) к базису Рисса Е0.

Откуда следует

Следствие 3.

Минимальная последовательность Е: Z° U {Zk-J} базис в H(to,t0+t), эквивалентный ортонормированному.

Рассмотрена последовательность функций {zk,3(t)> - минимальная в w2110.t0+t] В главе 2.4. осуществлено ее пополнение функцией z°(t), построенной на базе z°(t). Показано,' что вновь образованное семейство Е4: z°(t) Uífü jít)} - минимально в гильбертовом пространстве Wj [t0, t0+t].

Рассмотрено асимптотическое представление 3 (t) zk(t)=z2(t)+0(l/kz)

Произведено, используя теорему Рассела, пополнение множества íz°K(t)} keZ функцией z°(t) и доказано, что пополненное семейство функций Е2: zg(t) l) lz£(t)} является базисом Рисса в Vi* [t0. t0+t]. Доказана

Теорема 4.

Минимальная последовательность Е^ z°(t) U{z"ki 3 (t)} квадратично

близка в метрике гильбертова пространства 14и0Л0+т] к базису Рис< Е2: г°0(1) и

Откуда следует Следствие 4.

Семейство Е1: г.0 (V _ 3 (Ш образует базис в гильбертово» пространстве £ Ц•^+т3. эквивалентный ортонормированному.

Глава 2.5. Задача на собственные значения. Постановка задачи.

Собственные функции, собственные значения и их асимптотическое поведение при к - Базисность и полнота системы собственных функций Задача на собственные значения для ЛП ДРУ НТ имеет большой прш ладной интерес, поскольку собственные колебания и волны в пространс твенно однородных волновых системах определяются на основе изучения решения задачи на собственные значения для ДРУ НТ. Длительное вре! отсутствие регулярных методов решения ЛП ДРУ НТ создавало значителып трудности на пути решения прикладных задач теории волновых систем параметрическими условиями на границе, не позволяло изучать собстве! ные колебания ("динамические" моды) в них, служило тормозом развит! теории и практики ЛПКС с РП.

В главе 2.5. сформулирована и решена задача на собственные знач< ния для ЛП ДРУ НТ. Описан алгоритм решения задачи, существенным обр; зом опирающийся на методику построения решений ЛП ДРУ НТ, описанную главах 2.2.-2.4.

В главе получены асимптотические представления для собствены функций и собственных значений задачи. Доказана базисность семейсп собственных функций в гильбертовом пространстве Ь2 (О, Т). Алгоритм р: шения задачи на собственные значения, имеющий общий характер, реалиэ ван на примере ЛП ДРУ НТ (6), описывающего свободные колебания и вол;

I ОВС без потерь с параметрическими условиями на границе.

Большое внимание в главе уделено обсуждению постановки задачи на юбственные значения. В работе принята следующая формулировка задачи ¡а собственные значения:

собственной функцией линейного дифференциального оператора I, за-*анного дифференциальным выражением Ь и областью определения Б(Ь), называется нетривиальное решение г(1Д) уравнения

1г=Х1г, (11)

где 1 - заданное линейное дифференциальное выражение, а ЪёС собственное значение оператора и соответствующее собственной функции гад)£0(и.

В приложениях линейное дифференциальное выражение 1 равно как и область определения й(Ь) возникают естественным образом в ходе постановки задачи, отвечая при этом физическому содержанию, обычно вкладываемому в понятие "собственная функция". При этом множитель Л в такой постановке задачи - собственное значение(коэффициент передачи), соответствующее указанной собственной функции.

В связи с изложенным выше в главе 2.5. применительно к ЛП ДРУ НТ (6) при описании собственных колебаний и волн в ОВС с параметрическими условиями на границе, используется следующая формулировка задачи на собственные значения.

Собственной функцией линейного периодического дифференциально-разностного оператора нейтрального типа называется нетривиальное решение г(ЬД) уравнения

оса)+в2а+г)-р(1)га)-да)2(1+-с)=

=лга,2Ь)=А(с1га)+с22а+-с)), аг)

удовлетворяющее условию

га+Т.Х) « г(Ь,Л), (13)

где а.р,С! и с2 е С. т=тТ/п. рШ,яи)еСР(Т). Доказана

Теорема 5.

Пусть р£р*1 б=6, ш-1 и выполнены условия теоремы 1.. тогда сущес вует счетное множество собственных функций (гк(1;Лк)} - непрерш дифференцируемых Т периодических решений уравнения (12) и счетное и жество соответствующих им собственных значений {Хк} таких, что 2к(1Д1с)=.^(гД1с)+0(1/|к1) = Х°+0(1/|к|).

где кеЪ, г£ц,ХК) = ехр32якит и Х* - асимптотические представления £ шений задачи (12),(13) нулевого порядка.

В главе 2.5. на основе рассмотрения соответсвтвующей (12), (1 сопряженной задачи на собственные значения, построения ее собствен* значений и собственных функций, а также использования асимптотичес* представлений для собственных функций задачи (12),(13) доказана Теорема 6.

Последовательность собственных функций {2к(1,Хх)> задг (12),(13) - базис гильбертова пространства Ь2(О.Т)(базис Бари). Глава 2.6. Особенности параметрического резонанса систем, - описываемых периодическими дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа Теория устойчивости является центральным разделом теории ЛПКС РП. При изучении изучении" параметрических колебательных систем асии тотическая устойчивость их является, по меньшей мере, условием их р ботоспособности. Традиционный подход к изучению устойчивости сии состоит в переходе к пространству параметров системы и рассмотрев проблемы устойчивости в этом пространстве.

Развитая в главах 2.2.-2.5. теория Флоке ЛП ДРУ НТ с конечг числом постоянных, сосредоточенных запаздываний, рационально соизмер

ых с периодом коэффициентов позволяет перевести рассмотрение проблемы остойчивости ЛП1СС с РП. описываемых вышеупомянутыми ЛП ДРУ НТ, в плос-;ость изучения поведения систем в пространстве параметров и применить шя исследования устойчивости линейных систем со счетным числом степе-[ей свободы фундаментальные результаты теории параметрического резо-[анса линейных систем с конечным числом степеней свободы. При этом [редполагается выполненным необходимое условие устойчивости систем, шсываемых ЛП ДРУ НТ. а именно:

|р£р|<1 для любого з=0.т-1 (14)

Поскольку, как показано в главах 2.2-2.5. и приложении 3, ЛП ДРУ ГГ с конечным числом постоянных сосредоточенных отклонений рационально оизмеримых с периодом коэффициентов можно соотнести эквивалентную ему ;истему обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэф-ициентаыи. а семейство решений Флоке ЛП ДРУ НТ указанного класса образует базис в и0, г0+-с]. то можно построить содержательную теорию ;араметрического резонанса в ее традиционной постановке и воспользо-¡аться результатами теории параметрического резонанса систем с конечным числом степеней свободы.

В главе 2.6. развит аналитико-численный метод построения границ он динамической неустойчивости для неконсервативных систем, описывав-, их ЛП ДРУ НТ с конечным <шслом постоянных сосредоточенных запаздыва-ий рационально соизмеримых с периодом коэффициентов. Эффективность :етода продемонстрирована на примере ЛП ДРУ НТ (6), встречающегося в риложениях. Подробно рассмотрены вопросы организации вычислительной роцедуры построения границ зон динамической неустойчивости.

Глава 2.7. Волнк в длинной линии с параметрическими условиями I границе

В главе 2.7. теория Флоке ЛП ДРУ НТ, развитая в главах 2.2-2.6. применена к исследованию конкретной ЛПКС с РП, построенной на одноро; ной ОВС с параметрическими условиями 1-го порядка на одной из границ.

Основное внимание уделено вопросам обеспечения устойчивости и р< ализации режима вынужденного параметрического резонанса. Построены д аграммы устойчивости, приведены выражения для волн тока и напряжения линии в форме ряда по решениям Флоке соответствующего ЛП ДРУ НТ.

Особое внимание в главе уделено вопросу реализации режима выну! денного параметрического резонанса в ЛПКС с РП. Дано определение реж1 ма вынужденного параметрического резонанса. Описано использование да аграмм.устойчивости для реализации режима вынужденного параметрическс го резонанса.

Приложение 1. Условия существования решений Флоке ЛП ДРУ НТ. (вырожденный случай)

В приложении 1 исследован вырожденный случай (р=рир) для ЛП Д! НТ с конечным числом постоянных сосредоточенных запаздываний, рацис нально соизмеримых с периодом коэффициентов. Приведены достаточные ус ловия существования решений Флоке с р=р"Р.

Приложение 2. О свойствах функций Рк Ш и <СкЬр,Ь3>

В приложении 2 рассматриваются свойства выражений, встречающихс при построении решений Флоке ЛП ДРУ НТ. Доказывается их т - периода1 ность.

Приложение 3. Достаточные условия существования решений Флоке ЛП ДРУ НТ (невырожденный случай, конечное число отклонений рационально соизмеримых с периодом коэффициентов)

Изложенные в главе 2.2. результаты обобщаются на случай ЛП ДРУ НТ

вида

сШи.г^/сИ, = т.г^. (15)

где

I а5г(г+т3). (16)

иьлъ)= ТЪ-Щга+Хъ). (17)

п>1, а^ес, ао-ац^О. Ьр(г) - т периодическая непрерывная функция ^ Т^Т/ГЦ, Т0=О, Шд.П^ М.

В соответствии с утверждением 1. решение вопроса о существовании РФ у ЛП ДРУ НТ (15) выполняется на основе рассмотрения эквивалентной задачи для приведенной порокденной системы (2*) с условием (1). Рассматриваются поочередно два случая:

1. рпр - простой корень уравнения (3) (д=1),

2. рпр - ц кратный корень уравнения (3) ^>1).

В приложении 3. подробно изучаются свойства матриц системы (2*). втекающие из процедуры их построения и условия (3) и показано, что в общем случае спектр предельного оператора А(рпр)В((;,рпр) содержит только одно единственное ненулевое собственное значение (С). а условие IX! и)¡>0 для любого ге [0,Т] является достаточным условием сущест- : вования РФ у ЛП ДРУ НТ (15).

Для случая использование стандартной процедуры метода регуля- . ризации позволяет выполнить необходимые вычисления и построить решение

задачи Коши для системы (2*) в форме регуляризованного асимптотического ряда. Составлено (случай q=l) характеристическое уравнение для мультипликатора р и вычислено его нулевое приближение, найдены в явной форме приближения нулевого порядка к РФ ЛП ДРУ НТ (15) (случай q=l).

Для случая q=l доказана

Теорема 7.

Пусть | Ct) | >0 для любого te[0,T], тогда существует счетное множество РФ {zr-s(t)} ЛП ДРУ НТ (15) таких, что

Zr.s(t) = z°.s(t) + 0(i/|rj),

Pr.s = + 0(l/|r|). где reZ, zr s (t) и pr.s - решение Флоке ЛП ДРУ НГ (15) и соответствующий ему мультипликатор, s(t) - приближение нулевого порядка к РФ. р°р - предельный мультипликатор-корень уравнения (3).

При q=l prs - мультипликаторы РФ zrs(t) ЛП ДРУ НТ (15) - асимптотически простые корни характеристического уравнения. При этом множество всех мультипликаторов образует m " цепочек" (ш порядок полиноме detA(p)). Каждая s-ая "цепочка" (s=T7m) содержит счетное множество мультипликаторов, имеющих р£р своей предельной точкой.

При q>l возникают затруднения принципиального характера при осуществлении стандартной процедуры метода регуляризации. В приложении 3. показано, что при q>l применение метода регуляризации в его стандартном варианте позволяет построить лишь тривиальное решение.

На основе детального изучения особенностей иерархии уравнений организуемой по методу регуляризации для вычисления коэффициентов регуляризованного асимптотического ряда был предложен новый модифицированный метод регуляризации, позволяющий строить решения задачи Коши да систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

£чР(£)2:=А(Ь>Е)-2, (18)

г Р(е) - полином, Р(0У0 и полином степени т относительно е.

Сущность метода состоит во введении в рассмотрение новых дополни-иьных функций р,Г(1) г=1,ч-1 и построении на их основе нере-аяризирутощих переменных 1,1, г г=1,ч-1. Вновь введенные неизвестные нкции однозначно определяются из условия ортогональности правых час-й первых ч-1 уравнений иерархии, составленной для вычисления коэффи-ентов регуляризованного асимптотического ряда, к элементам ядра опе-,т-ора сопряженного к расширенному предельному оператору. Показано, о система уравнений, составленная для вычисления ц.г(и г=1,ч-1, од-1Вначно разрешима. Предложенный метод в своих построениях не опирает-[ и не использует специальную структуру матриц, входящих уравнение .8) и потому носит общий характер.

Применение модифицированного метода регуляризации позволило для иучая ч>1 осуществить однозначную разрешимость иерархии уравнений, вставляемой для вычисления коэффициентов регуляризованного асимптоти-еского ряда, и построить нетривиальное решение задачи Коши для (18) в лассе безрезонансных решений. В приложении 3 рассмотрен пример ис-ользования модифицированного метода регуляризации (я=4). На основе рименения модифицированного метода регуляризации вычислены коэффици-нты регуляризованного асимптотического ряда, найдено характеристичес-;ое уравнение для вычисления нулевого приближения к рпр - ч кратно-(у корню уравнения (3). Рассмотрена процедура построения приближений гулевого порядка к решениям Флоке и присоединенным к ним функциям.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Предложен и описан метод решения проблемы существования решен Флоке у линейного периодического дифференциально-разностного уравнен нейтрального типа с конечным числом постоянных сосредоточенных запа дываний рационально соизмеримых с периодом коэффициентов.

2. Применение метода позволило сформулировать достаточные услов: существования решений Флоке у ЛП ДРУ НТ указанного класса и построй асимптотические представления для РФ и их мультипликаторов.

3.Применение метода позволило построить семейство решений Фло; (невырожденный случай).

4. На основе изучения особенностей построенного семейства РФ пре, ложен и реализован способ пополнения указанного семейства РФ, доказа! минимальность и базисность пополненного семейства в гильбертов] пространствах Н(0,х) и С.Л.Соболева 14[0,т].

5. Поставлена и решена для ЛП ДРУ НТ задача на собственные знач! ния. Применение метода позволило построить семейство периодичесга собственных Функций, получить их асимптотические представления, дою зать минимальность и базисность системы собственных функций в гильбе; товом пространстве 1^(0, Т).

По совокупности полученных результатов

построена содержательная теория Флоке скалярных линейных периода ческих дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с коне1 ным числом постоянных сосредоточенных запаздываний рационально соизм! римых с периодом коэффициентов.

На основе применения теории Флоке ЛП ДРУ НТ упомянутого класса

6. Предложен аналитико-численный подход к построению диаграмм у« тойчивости в пространстве параметров для ЛПКС с РП, описываемых ЛП Д1

HI с конечным числом постоянных сосредоточенных запаздываний рационально соизмеримых с периодом коэффициентов.

7.Сформулировано определение вынужденного параметрического„резонанса в ЛПКС и указан механизм его реализации. '

8.Применение аналитике-численного подхода позволило на практике реализовать режим параметрического резонанса у параметрического фазового детектора и решить задачу синтеза его по заданной амплитудно-фазовой характеристике.

В ходе построения теории Флоке упомянутого выше класса ЛП ДРУ НТ

9.Предложен новый метод решения задач теории сингулярных возмущений - модифицированный метод регуляризации, предназначенный для решения задачи Коши систем для систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

sqP(s)Z=A(t,e)-Z, Z(0)=Z°,

где P(s)- полином, Р(0)*0 и A(t,s) - полином степени п относительно е. Эффективность модифицированного метода регуляризации продемонстрирована на примере решения задачи существования РФ у ЛП ДРУ НТ(случай q>l, где q - кратность предельного мультипликатора - корня уравнения detA(p)=0).

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1.Германович О.П., Малинин С.И. Об асимптотическом представлении решения ДРУ НТ с периодическими коэффициентами при к Деп. ВИНИТИ, М2482-81ДЕП., 27.05.81г.

2.Германович О.П., Малинин С.И. Асимптотическое поведение решения Флоке ДРУ НТ с периодическими коэффициентами при к -* Деп. ВИНИТИ, Ы2481-81ДЕП., 27.05.81г.

3.Германович 0.П., Малинин С.И. 0 полноте решений Флоке ДРУ НТ периодическими коэффициентами. Деп. ВИНИТИ. К2480-81ДЕП.. 27.05.81г.

4.Германович 0. П., Малинин С.И. К построению асимптотических pi шений Флоке порядка е для ДРУ НТ с периодическими коэффициентами. Де: ВИНИТИ, К247Э-81ДЕП., 27.05.81г.

5. Германович 0. П... Малинин С. И. Свободные колебания в длинной л нии без потерь с параметрическими условиями на границе. Деп. ВИНИТ: М5130-81ДЕП., 09.11.81г.

6.Германович 0. П., Прусс Е.Ш. Многоканальные параметрическ фильтры с дискретным управлением (обзор). Зарубежная техника связ: сер. Радиосвязь, радиовещание и телевидение. Экспресс-информация, N 1982г. ■

7. Германович 0. П. , Кацан И.Ф. Синтез амплитудно-фазовой характ ристики параметрического избирательного фильтра. Межвузовский сборни Д., СЗПИ, 1983г., с. 88.

8.Германович 0. П. Достаточные условия существования решений Фло уравнений нейтрального типа. Сибирский математический журнал, т.27,К 1986г., с. 42.

9;Германович О.П. Линейные периодические уравнения нейтрально типа и их приложения, изд. ЛГУ, 1986г. 107с.

Ю.Германович О.П. Полнота и базисность системы решений Флоке л нейного периодического уравнения нейтрального типа. Тезисы доклад Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-диффере вдальных уравнений. Душанбе. 1987г. ,ч. 1. с. 90.

И.Германович О.П., Ивашэчкина Г.М. Минимальность системы решен Флоке линейных периодических уравнений нейтрального типа. Межвузовск сборник "Дифференциальные уравнения с частными производными", Ж им. А. И. Герцена, 1988г. с. 120.

12.Авдонин С.А.. Германович О.П. О базисности семейства решений >локе линейного периодического уравнения нейтрального типа. Тезисы цокладов 7 Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциаль-тах уравнений", Рига, 1989г., с.З-.

13.Германович О.П. Устойчивость и резонанс систем, описываемых ли- ■ яейными периодическими уравнениями нейтрального типа. Тезисы докладов иколы-семинара "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов". Киев май 1990г.

14.Баирова Н.К., Германович О.П. Достаточные условия существования решения Флоке дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа. Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов". Киев,- май 1992г.

15.Ваирова Н.К., Германович О.П. Достаточные условия существования решений Флоке ДРУ HT с одним запаздыванием. Сборник статей "Качественная теория сложных систем" изд. ЛГПУ им. А. И. Герцена. 1992г., с. 6.

16.Авдонин С.А., Германович О.П. Basic Property of Floquet Solution of Linear Periodic Equation of Neutral Type. IPRT Preprlnt N33-94. august 1994.

17.Германович О.П., Катков В.Ф.. Павловский В.Ф. Математическое моделирование ритмообразующих систем головного мозга. Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 1995г.

18.Авдонин С.А., Германович О.П. Базиснссгь семейства решений Флоке линейного периодического уравнения нейтрального типа в гильбертовом пространстве. Сибирский математический журнал, т.36, N5, 1995г., с. 992.

p tí з и дну X 1—; -

(решение от ! J.

Присуди \ уч^л^о C'íGy.ei-:':-_____

ÏV-, « Л, -i' Va

.л

: <г//л * *

* 1 / /с-ХС^ V

Северо-западный заочный политехнический институт

На правах рукописи

Германович О.П.

ТЕОРИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ЕЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ

специальность 05.13.01 - "Управление в технических системах'

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр

Введение ................................................... 6

Раздел 1. Прикладные задачи теории управления линейными параметрическими колебательными системами с распределенными параметрами (ЛПКС РП)................... $

1.1. ЛПКС с РП и перспективы их использования в решении задач современных радиотехнических систем .. 8

1.1.1. Фазовый детектор на основе линейной параметрической колебательной системы с распределенными параметрами................................... 8

1.1.2. ЛПКС с РП в устройствах селекции сигналов с большой базой и их применение в МКСС, радиоуправлении, радиовидении и интроскопии........../3

1.2. ЛПКС с РП. Вопросы практической реализации, состояние теории, проблемы и пути их решения........ 18

1.2.1. Пути практической реализации ЛПКС с РП. Способы построения, методы управления. Проблемы и пути их решения...............................

1.2.2. ЛПКС с РП и их математические модели. Состояние теории ЛПКС с РП. Развитие теории линейных периодических дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа - основа решения при-

кладных задач................................. ^

1.3. Заключение...................................... &

Указатель литературы.......................— 3/

Раздел 2. Линейные периодические дифференциально- разностные

уравнения нейтрального типа и их приложения....... 33

2.1. Вводные замечания............................... 38

2.2. Достаточные условия существования решений Флоке

линейного периодического дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа____ **9

2.2.1. Собственные значения и собственные вектора предельного оператора.........................

2.2.2. Расширение оператора Ь£*- с помощью спектра предельного оператора.^ Формальное построение решения в форме ряда......................,... €1

2.2.3. Пространство безрезонансных решений........... 62.

2.2.4. Условия однозначной разрешимости в классе безрезонансных решений. Решение задачи Коши...

2.2.5. Решения Флоке. Характеристическое уравнение.

Построение нулевого приближения............... 78

2.2.6. Свойства семейства решений Флоке сопряженной

краевой задачи................................ ЬЧ

2.3. Построение специальной биортогональной системы. Минимальность системы решений Флоке ЛП ДРУ НТ... SZ

2.4. Базисность системы решений Флоке ЛП ДРУ НТ

в гильбертовом пространстве..................... "3

2.5. Задача на собственные значения. Постановка -задачи.Собственные функции, собственные значения и их асимптотическое поведение при К-» со. Полнота и базисность системы собственных функций........

2.6. Особенности параметрического резонанса систем, описываемых линейными периодическими дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа.

2.7. Волны в длинной линии с параметрическими условиями на границе.................................. /?<2

2.8. Заключение......................................

Приложение 1. Условия существования решений Флоке у ЛП ДРУ НТ (вырожденный случай)..........................

Приложение 2. О свойствах функций Рк(1;) и

<скь1,ь5Р> ....................... ($3

Приложение 3. Достаточные условия существования решений Флоке ЛП ДРУ НТ (невырожденный случай, конечное число отклонений рационально соизмеримых с периодом коэффициентов)........¿яг.

Указатель литературы.................................

Введение

Среди многочисленных разделов теории управления одним из перспективных и быстроразвивающихся является направление, в котором для целей управления используются периодические воздействия.

Практическое осуществление такого рода воздействий технически легко реализуемо, расширяет функциональные возможности управления, при современном уровне развития техники и технологии позволяет, с одной стороны, достичь высокой стабильности параметров сигнала управления и, с другой стороны, обеспечить необходимое и разнообразное регулирование управляемого объекта.

Особое место в рамках этого направления занимает управление линейными параметрическими колебательными системами с распределенными параметрами ( СВЧ-диапазона ).

Настоящая работа состоит из двух разделов.В первом разделе рассматриваются в основном те прикладные задачи,эффективное решение, которых возможно на основе применения линейных параметрических колебательных систем (ЛПКС) СВЧ диапазона. Такие устройства организуются, например, на основе одномерных волновых систем (ОВС) с параметрическими условиями на границе, что является одной из практических реализаций их. Процессы в ЛПКС с распределенными параметрами, в том числе и в организованных на основе ОВС с параметрическими условиями на границе, описываются линейными периодическими дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа (ЛП ДРУ НТ ).

Вполне естественно, что прогресс как в теории, так и в практической реализации упомянутых устройств может быть достигнут только при наличии достаточно глубоко разработанной и содержательной теории ЛП ДРУ НТ. Вместе с тем долгие годы теория ЛП ДРУ НТ практически была не-

разработана, в ней имелись многочисленные и существенные пробелы, что исключало возможность построения содержательной теории таких уравнений и, следовательно, теории управления ЛПКС с распределенными параметрами. Большая практическая значимость теории ЛП ДРУ НТ для решения прикладных задач, связанных с применением ЛПКС с распределенными параметрами и, следовательно, важность разработки достаточно полной и содержательной теории ЛП ДРУ НТ, предопределили то внимание и место, которое уделено в данной работе развитию содержательной теории ЛП ДРУ НТ, нацеленной на решение прикладных задач. Теории Флоке ЛП ДРУ НТ посвящен второй (основной) раздел настоящей работы.

РАЗДЕЛ 1. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. ЛПКС с РП и перспективы их использования в решении задач современных радиотехнических систем

Линейные параметрические колебательные системы обладают ярко выраженным свойством избирательности по форме и чувствительности к фазе сигнала на входе устройства. В области СВЧ частот (выше 1 Ггц), где им нет альтернативы, эти свойства ЛПКС находят применение при создании на их основе фазовых детекторов и избирательных фильтров в системах, где осуществляется селекция сигналов по форме. При этом управляющее воздействие (сигнал накачки) посредством изменения параметров сигнала накачки позволяет обеспечивать регулирование характеристик устройств (крутизна и линейность амплитудно-частотной характеристики фазового детектора) и осуществлять режим резонанса.

Остановимся подробнее на указанных применениях ЛПКС с распределенными параметрами.

1.1.1. Фазовый детектор на основе линейной параметрической колебательной системы с распределенными параметрами

Фазовые радиотехнические системы находят широкое применение. Причина их популярности обусловлена возможностью получения высокой точности пространственных измерений при относительно малых аппаратурных затратах. Процесс развития таких систем сдерживается отсутствием прос-

того фазового измерителя, способного работать при малых отношениях сигнал-шум. Как показано в С 1 ], оптимальное измерение фазы сигнала в этих условиях должно основываться на корреляционном анализе сигналов. Вместе с тем, фазоизмерители, построенные на основе применения широко распространенных в настоящее время типов фазовых детекторов (ФД), работают по алгоритмам существенно- отличным от оптимального [1,2]. Вследствие этого такие фазоизмерители работоспособны только при больших отношениях сигнал-шум. Оптимальный фазоизмеритель может быть построен и на основе использования методов цифровой схемотехники. Однако такое возможно только на частотах порядка нескольких десятков мегагерц. . Попытка построения таких ФД на более высоких частотах неизбежно приводит к значительным аппаратурным затратам. Это объясняется тем, что частотный диапазон цифрового фазоизмерителя ограничен. Несомненный интерес представляют параметрические аналоговые избирательные фильтры, на основе которых может быть реализован фазовый измеритель, лишенный указанных выше недостатков [9]. О наличии у линейной параметрической колебательной системы (ЛПКС) фйзоселективных свойств известно давно. Достаточно напомнить, что уже в [3], при рассмотрении параметрических избирательных (параметрически регенерированных) систем отмечается, , что "____интенсивность вынужденных колебаний в таких системах

сильно зависит от разности фаз между внешней ЭДС и изменением параметра. ..". Несмотря на это, в связи с серьезными трудностями, возникшими при практической реализации ЛПКС, фазоселективные свойства их длительное время не находили применения. Широкое использование современной интегральной микросхемотехники и успехи в создании и практической реализации селективных параметрических устройств на базе одномерных волновых систем (ОВС) позволяют преодолеть вышеупомянутые трудности. В этой связи закономерен возврат к вопросам связанным с использованием

ЛПКС и, в частности, к детальному изучению их фазоселективных свойств.

При построении фазового измерителя с использованием ФД на основе ЛПКС алгоритм фазовых измерений полностью соответствует оптимальному [9,10]. Отметим, что реализация ЛПКС возможна практически во всем диапазоне частот доступном современной элементной базе при малых аппаратурных затратах. Особый интерес при этом представляют ФД на основе ЛПКС СВЧ диапазона.

Амплитудно-фазовая характеристика параметрического фильтра в режиме резонанса

Рассматриваются ЛПКС на базе ОВС, представляющие собой линейные системы с распределенными параметрами. Полагается, что, по меньшей мере, один из параметров системы изменяется во времени по периодическому закону с частотой накачки а)„ - задаваемой местным источником, вследствие чего по периодическому закону с частотой а^ изменяется частота собственных колебаний ЛПКС. Известно, что указанные системы описываются линейными периодическими дифференциально-разностными уравнениями нейтрального типа. ЛПКС при выполнении условия параметрического резонанса,' которое сформулировано ниже, обладают избирательностью по форме, а их фазоселективные свойства проявляются при этом в том случае, если частота измеряемого сигнала (ос равна или кратна частоте накачки (% В дальнейшем это условие будем полагать выполненным.

Пусть на ЛПКС воздействует произвольный периодический сигнал с частотой о)с. По условию период накачки Тн, равен или кратен периоду сигнала Тс, поэтому для представления сигнала на полуоси времени можно воспользоваться его разложением на интервале длиною Тн.

Пусть Ь - линейный дифференциальный оператор, описывающий ЛПКС,

(Ук ({;)}, где к=1,2,3...- совокупность собственных функций оператора Ь, удовлетворяющих условию периодичности на [О, Тн], {Хк} - совокупность собственных значений соответствующих им, (гк(Ш - множество собственных функций оператора Ь*- сопряженного к Ь, тогда, если ивхШ - входной сигнал, такой что ивх (Ъ+Тс )=ивх Ш, то для любого ^[0,оо) справедливо представление

ивхт=2:(ивх,гк)Укш, (1.1)

К

где

Тн

(ивх. 2кМ1/Тн)/ивх(з)гк(8)(1з. о

(Ук 1л)= {

К- 3 10 к?]

(В общем случае, как показано в разделе 2, семейство собственных функций оператора Ь образует биортогопальную систему с семейством функций, построенных на основе собственных функций сопряженного оператора I* в соответствии с формулой (2.162).) Если ЛПКС асимптотически устойчива, то в установившемся режиме сигнал на выходе ЛПКС ивых(1;) будет иметь вид

ивых (Ъ)~1(1Л,к) (ивх Zь)Yк(t) (1.2)

к

Пусть для некоторого к=я (ивх.2д)*0, тогда асимптотически устойчи вый режим ЛПКС, при котором

0<|ХчЛк|<5« 1 для любого

(1.3)

называется режимом параметрического ч -резонанса. Отличительной чертой используемого ниже вида параметрического резонанса является то, что вещественная величина и существует одно и только одно для которого условие (1.3)- выполняется. Будем полагать, что ш -частота собственных колебаний ЛПКС представлена так

со2 (Ь)=о)2+е(р(Ь),

где

<р(Ь+Ти)=ч>(Ь), /срСОсПЮ, (1/Тн)/фги)сП=1

о 0

Множество {£,ш}- диаграмма устойчивости [4]-представляет собой совокупность настроек ЛПКС; допустимыми из них являются те, для которых выполняется условие асимптотической устойчивости ЛПКС. Реализация режима q - резонанса осуществляется на основе соответствующего выбора {£,о)}- "рабочей точки"- в области устойчивости (рис.1). Если выполнено условие (1.3), то сигнал на выходе ЛПКС с высокой степенью точности повторяет амплитуда выходного сигнала в режиме резонанса зави-

сит от фазы измеряемого сигнала относительно опорного сигнала - накачки. Эта зависимость

йлГ __

Рч (Фс) = (1 /Хч) (ивх, ) = (1/2Жкч)/ивх (0)с ) (ш^) йШн г (1.4)

о

- амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) ЛПКС. Вид АФХ зависит от формы сигнала накачки ф(Ю и его амплитуды е; путем управления формой сигнала накачки и его амплитудой можно в определенных пределах изменять АФХ. Задача анализа АФХ при заданных входном сигнале и накачке сводится к вычислению интеграла (1.4),а задача синтеза АФХ для извест-

ного входного сигнала - к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с разностным ядром.Вопросы анализа и синтеза параметрического фазового детектора подробно рассмотрены в [10].

1.1.2. ЛПКС в устройствах селекции сигналов с большой базой и их применение в МКСС, радиоуправлении, радиовидении и интроскопии

Развитие за последние два десятилетия многоканальных систем связи с ортогональным разделением сигналов, рост требований к радиоаппаратуре, вызванный необходимостью повышения точности радионавигационных систем и их помехоустойчивости, стабильности частоты генераторов, а также необходимостью расширения функциональных возможностей радиоаппаратуры и т.п., предопределяют круг задач, которые стоят перед современной радиотехникой.

Непрерывный рост требований к радиотехническим системам передачи информации,расширение области их применения неизбежно приводит к необходимости использования в каналах связи сложных сигналов, отличных от традиционных гармонических или импульсных колебаний. При этом естественно возникает задача создания избирательных фильтров, обеспечивающих эффективное разделение таких сигналов. Эта задача может иметь успешное разрешение на основе применения устройств с периодическими параметрами. Внедрение и широкое применение в радиоаппаратуре устройств с периодическими параметрами( в том числе параметрических аналоговых избирательных фильтров )- одно из перспективных средств решения задачи эффективного разделения сложных сигналов. Это одна из причин, по которой системы и устройства с периодическими параметрами вообще, а линейные параметрические колебательные системы с распределенными параметрами- в

особенности-перспективная область радиотехники.

Одним из возможных применений параметрических избирательных фильтров являются многоканальные системы связи (МКСС). В последние годы наметился постоянно растущий интерес к использованию в МКСС ортогональных и квазиортогональных сигналов.

Одним из главных этапов в последовательности преобразований сигналов в МКСС является разделение, селекция канальных сигналов. В связи со значительным ростом требований к МКСС в последние годы в системах передачи информации, как правило, применяются широкополосные сигналы. Это вызвано тем, что широкополосные сигналы, как отмечается многими авторами, позволяют улучшить использование полосы частот в случае неполной загрузки каналов, создать сравнительно дешевые,- простые и удобные в эксплоатации системы связи, повысить устойчивость систем по отношению к сосредоточенным по спектру и импульсным помехам, обеспечить скрытность связи, затрудняющую радиоразведку и радиопротиводействие.

Это обстоятельство и послужило причиной тому, что в последние годы широкое распространение получила концепция широкополосной связи.

Согласно этой концепции для передачи каждого канального сигнала используется вся полоса частот, отводимая для данной МКСС, так что, в отличие от обычных (узкополосных) систем связи, использующих сигналы с базой В ( В-произведение ширины спектра на длительность сигнала ), близкой к единице, или, во всяком случае, мало отличающейся от базы сообщения, т.е.

В=Р-Т^С-ТС «1,

(где Г и Т - соответственно ширина спектра и длительность сигнала, а £

и Тс- ширина спектра и длительность сообщения ), в широкополосных системах, используются сигналы, для которых

В»1

Эффективная селекция сигналов с большой базой В (т. е. сигналов, имеющих и относ�