автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория и приложения демографических потенциалов

¿7/

□□3 169133 На правах рукописи

Эдиев Далхат Мурадинович

ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

05.13.18 - «математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ»

Москва-2008

003169133

Работа выполнена на кафедре математики

Карачаево-Черкесской государственной технологической академии

Научный консультант доктор физико-математических наук, академик РАН Петров Александр Александрович

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук, профессор Васин Александр Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор Нахушев Адам Маремович доктор экономических наук, профессор Ермаков Сергей Петрович

Ведущая организация. Кафедра народонаселения, экономический факультет

Московского государственного университета им. МВ Ломоносова

Защита состоится « 5 » Ш-Р&Л_2008 г в часов

на заседании диссертационного совета Д 002 017.04 в Вычислительном Центре им А А Дородницына РАН (119333, г Москва, ул. Вавилова, д 40)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. А.А Дородницына РАН

Автореферат разослан «_ К » 2008 г

Ученый секретарь >

диссертационного совета д ф.-м н.

Новикова Н.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

При исследовании систем со сложной структурой плодотворно изучение скрытых возможностей, заложенного в их внутренней структуре потенциала (от греч чистая возможность, скрытая ста). Ярким примером тому является потенциальная энергия механической системы, скрытая в ее пространственной структуре. Плодотворным оказывается такой подход и при исследовании биологических, социальных и экономических систем1, которые сложны по своей структуре2,3. Не случайно термин «потенциал» в различных трактовках получил широкое распространение в моделях биологических, социальных и экономических наук. Начиная с середины XIX - начала XX веков, в научный оборот были введены различные «потенциалы», отражающие разные аспекты демографической системы. Несмотря на множество работ, концепции потенциальной демографии (капитализированная стоимость У. Фарра, репродуктивный потенциал Р Фишера, потенциал роста П. Венсана, популяционная инерция Н Кейфитца, жизненный потенциал и трудовой потенциал Л Херша и др ) не были обобщены на случай меняющихся во времени показателей рождаемости и смертности Известные попытки обобщения репродуктивного потенциала (П Самуэльсон, Я. Ким, Ш Тулджапуркар и др) опирались на модели специального вида, не были адекватны классической интерпретации концепции или содержали ошибки Обобщение потенциала роста (популяционной инерции) на общий случай не было предложено, а известные оценки для специального случая асимптотически стационарного населения оказались ошибочны в условиях изменения среднего возраста деторождения. Не была так же решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая уже давно4.

Это обуславливает актуальность настоящей работы по разработке общего подхода к понятиям потенциальной демографии, обобщения их на случай популяционной модели общего вида; актуальность работы так же обусловлена большим интересом к разработке новых методов демографического анализа и моделирования Этот интерес особенно велик в связи с последним развитием демографической ситуации в России и большим интересом к проблемам народонаселения в мире.

Целью работы является разработка теории демографических потенциалов, отражающих вклад человека в демографические, экономические, экологические и прочие процессы, с учётом последействия,

' Петров A.A., Шананин А А Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста // Математическое моделирование - 2002 - Т 14, № 7 - С 27-52

2 Петров А А , И Г Поспелов, Шананин А. А Опыт математического моделирования экономики -М Энергоатомиэдат, 1996 -544 с

3 Иванилов Ю П Математические модели в экономике / Ю П Иванилов, А.В Лотов, под ред НН Моисеева-М Наука, 1979 - 304 с

4 Пирожков С И. Демографические процессы и возрастная структура населения - М. Статистика, 1976 - 136 с

реализующегося через его потомков, для динамических популяционных моделей общего вида и приложений к задачам теоретической и прикладной математической демографии, тесно связанным с проблематикой потенциальной демографии.

Для решения поставленной цели решаются следующие задачи-

1) разработка, исследование свойств и областей приложения демографических потенциалов на основе вклада в отдалённое потомство в рамках традиционной популяционной модели, с переменным, вообще говоря, режимом воспроизводства,

2) обобщение понятия репродуктивного потенциала (Р А Фишер) на случай произвольной динамики показателей воспроизводства,

3) разработка единого аксиоматического подхода к различным понятиям потенциальной демографии (демографический потенциал, репродуктивный потенциал, жизненный потенциал и др.);

4) разработка концепции демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции,

5) разработка концепции демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста,

6) разработка операторной популяционной модели общего вида и концепции демографического потенциала и исследование их свойств с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертипьности;

7) обобщение и разработка понятия потенциала роста (П Венсан, Н. Кейфитц) на основе понятия демографического потенциала на случай популяционной модели общего вида;

8) разработка, обобщение и исследование свойств понятий потенциальной демографии в узком смысле (капитализированная стоимость будущих доходов, жизненный потенциал, трудовой потенциал; У. Фарр, Л Херш) на основе единого аксиоматического подхода1

- разработка, исследование свойств и областей приложения приведенного жизненного потенциала на основе вклада в формирование человеко-лет, которые будут прожиты изучаемым населением,

разработка, исследование свойств и областей приложения конъюнктурных потенциалов на основе вклада в формирование доходов компаний,

- разработка, исследование свойств и областей приложения ресурсных потенциалов на основе вклада в расходование дефицитного ресурса,

- разработка, исследование свойств и областей приложения экологических потенциалов на основе вклада в истощение и загрязнение окружающей среды,

- разработка, исследование свойств и областей приложения трудовых потенциалов на основе вклада в формирование трудовых ресурсов общества,

- разработка, исследование свойств и областей приложения экономических

потенциалов на основе вклада в превышение производства над потреблением общества,

9) разработка приложений к спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей,

I (^разработка теории монотонной сходимости возрастных структур

населения и теории монотонных показателей инстабильности, обобщение известных результатов на случай популяционной модели общего вида,

II разработка приложений аппарата демографических потенциалов к задачам математической и прикладной демографии,

12)разработка приложений к составлению индексов для мониторинга демографических и миграционных процессов,

13)разработка приложений к демографическому прогнозированию,

14)разработка приложений к ретроспективному демографическому оцениванию,

15)разработка агрегированных популяционных моделей на основе результатов теории демографических потенциалов,

16)апробация разработанных моделей и методов на примере анализа реальных демографических процессов

Объектом исследования является народонаселение Предметом

исследования являются математические модели популяционной динамики

Научная новизна работы заключается в том, что:

1) предложена и разработана для дискретных и непрерывных популяционных моделей общего вида концепция демографического потенциала, отражающего относительный вклад в отдаленное потомство населения,

2) предложен аксиоматический подход к разработке различных понятий потенциальной демографии,

3) разработана концепция демографического потенциала для неоднородных нестабильных и открытых населений, для операторной популяционной модели общего вида, с учетом динамики, в тч сезонной, показателей воспроизводства, а также для популяционной модели с переменными, отличными от возраста,

4) исследованы вопросы устойчивости демографических потенциалов, исследовано свойство эргодичности как применительно к предложенной автором популяционной модели общего вида в операторной форме (без традиционных ограничений типа постоянства и неотрицательности показателей воспроизводства), так и применительно к модели динамики демографических потенциалов, установлено важное свойство эквивалентности между эргодичностью популяционной модели и модели динамики демографических потенциалов,

5) исследованы свойства демографических потенциалов, включая устойчивость к отклонениям реальных показателей воспроизводства населения от модельных;

6) предложена концепция генеалогической диаграммы, указана связь между числом генеалогических линий и величиной демографического потенциала населения,

7) дано обобщение репродуктивного потенциала (Р.А. Фишер) на общий случай популяционной модели;

8) получены важные обобщения результата Фишера относительно динамики репродуктивного потенциала популяции, связывающие эту динамику с мальтузианским параметром (коэффициентом Лотки) популяции;

9) дано обобщение потенциала роста (ПВенсан, НКейфитц) на общий случай популяционной модели, предложены новые методы оценивания потенциала роста;

10) опровергнуто выдвинутое в литературе предположение об уникальности монотонного показателя инстабильности возрастной структуры населения, предложенного в работах американских исследователей (Ш.Тулджапуркар, Р Шоен, Я.Ким), показаны существование и нерасширяемость широкого класса подобных показателей, включающего как частные случаи показатели, предложенные в указанных американских работах и в работах отечественных демографов (А М. Рубинов, Н.Е. Чистякова); теория монотонных показателей сближения возрастных структур развита на случай нескольких реальных населений, а также на случай переменного режима воспроизводства,

11) предложены агрегированные индексы для демографического мониторинга на основе демографических потенциалов;

12) разработаны агрегированные популяционные модели, адекватные роли изменения возрастной структуры реального населения, предложенные популяционные модели апробированы в задачах демографического прогнозирования и ретроспективного оценивания;

13) получены новые результаты по спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей, указывающие на связь спектра модели со структурой демографических потенциалов,

14) развита теория экономико-демографических и иных приведенных потенциалов, обобщающих и улучшающих известные результаты по теории экономической стоимости человеко-лет получателя дохода (У. Фарр) и жизненного потенциала (Л. Херш), введены понятия приведённого жизненного потенциала, экономико-демографических потенциалов (конъюнктурный, трудовой, экономический), ресурсных потенциалов (в т.ч экологического);

15)проведён анализ демографических процессов и перспектив демографической политики в РФ с использованием разработанных моделей,

16)дана ретроспективная оценка по косвенным данным миграции в США на основе разработанных моделей.

Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании режимов воспроизводства, мониторинге реальных населений, демографическом прогнозировании, косвенном и ретроспективном демографическом оценивании, разработке и контроле демографической политики, анализе смертности, миграции, старения населения, экономическом анализе и принятии маркетинговых решений, проведении экономической политики Результаты, касающиеся свойств полученных в работе потенциалов, полезны в теоретическом плане и позволяют обосновывать пригодность этих величин для прикладных исследований

Для решения поставленной научной проблемы используются методы математического моделирования, математической демографии, математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории матриц. Разработанные методы апробированы на данных по населению России, США, Швеции, Японии, Франции и ряда других стран.

Достоверность полученных результатов обеспечивается-

1) всесторонним обсуждением содержательной стороны разрабатываемых величин, их адекватности изучаемым явлениям,

2) широким использованием математического аппарата и математико-демографического моделирования при разработке предлагаемых концепций, строгостью математических выкладок,

3) глубоким исследованием и обсуждением свойств полученных величин и следствий полученных теоретических результатов;

4) соответствием и непротиворечивостью получаемых результатов имеющимся выводам относительно демографических процессов в РФ, а также в других рассмотренных примерах

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

1) трижды - на научном семинаре отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН (Москва, 2004,2004,2005),

2) на демографической секции Центрального Дома Ученых РАН (Москва, 2004),

3) на научном семинаре «Моделирование популяционных процессов» Института проблем управления РАН (Москва, 2005),

4) трижды - на научном семинаре Венского института демографии Австрийской Академии Наук (Вена, 2005,2006,2007),

5) на международном научном семинаре «Postponement of Childbeanng in Europe» Венского Института Демографии Австрийской Академии Наук (Вена, 2005),

6) на международном научном семинаре «Demographic-macroeconomic modeling» института Макса Планка демографических исследований (Росток, Германия, 2000),

7) на международном научном семинаре "Mortality in countries of the former USSR Fifteen years after break-up change or continuity?", Киев, Институт демографии и социальных исследований HAH Украины (Киев, 2006),

8) на межвузовском научном семинаре НИИ Прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Карачаево-Черкесской государственной технологической академии и Адыгейского государственного университета (Черкесск, 2002),

9) неоднократно - в департаменте анализа переписной информации Университета Штата Айова (Эймс, США, 2000),

10)дважды - на научном семинаре НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (Нальчик, 1999,2004),

11)многократно - на научных семинарах кафедр Математики и Прикладной математики и информатики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии (Черкесск, 1997-2008 гг),

12)на научном семинаре в НПО "МедСоцЭконИнформ" Минздрава РФ (Москва, 1997),

13)дважды - на научном семинаре кафедры Математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ им М В Ломоносова (Москва, 1998,1999),

14)в отделении демографии НИИ проблем социально-экономической статистики Госкомстата РФ (Москва, 1997),

15)трижды - на научных семинарах в МФТИ, кафедры МОУ ФУПМ, биофизики ФФХБ (Долгопрудный, 1996,1997),

16)на международной конференции «Миграция и развитие» (Пятые Валентеевскис чтения), Москва, МГУ им М В. Ломоносова, 2007,

17)на международной конференции ORM2007, Москва, ВЦ РАН, МГУ им М В Ломоносова, 2007,

18)на междунар конфер IV Валентеевские чтения «Политика народонаселения настоящее и будущее», Москва, МГУ им М В Ломоносова, 2005,

19)на 50-й научно-технической конференции Таганрогского государственного радиотехнического университета, Таганрог, 2004,

20)на международной конференции «Миграция, социальные и межкультурные аспекты устойчивого развития», государственный университет управления, ЮНЕСКО, УВКБ ООН, Международная организация по миграции, Федеральная миграционная служба МВД Российской Федерации, Москва, 2004,

21)на российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2004,

22)на III Всероссийских Межвузовских чтениях "Математические и статистические методы в экономике и естествознании", Ростовский государственный экономический университет "РИНХ", Росгов-на-Дону, 2001,

23)на II Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», секция «Экономико-математическое моделирование», Кисловодский институт экономики и права, Кисловодск, 1998,

24)на региональной научно-практической конференции «Северный Кавказ на пороге XXI века», Институт экономики и управления, Пятигорск, 1998,

25)на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", Кабардино-Балкарский Научный Центр РАН, НИИ Прикладной Математики и Автоматизации, Нальчик, 1996,

26)на международном научном симпозиуме "Экономика и право - стратегии 3000", секция "Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодский институт экономики и права, Кисловодск, 1996,

27)на XXXIX Юбилейной научной конференции Московского физико-технического института "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики", секция управления организационными и техническими системами, МФТИ, Москва, 1996

По теме диссертации выполнялась научно-исследовательская работа,

поддержанная грантами.

1) стажировка в университете штата Айова США по фанту Бюро образовательных и культурных программ США по теме: «Исследование демографической истории США на основе метода демографических потенциалов» (2000 г),

2) госбюджетная НИР Министерства образования РФ по теме- «Разработка модели демографического потенциала и ее приложений» (2002-2003 гг.);

3) фант фонда Мак-Артуров № 02-73284 по теме: «Демофафические потери депортированных народов СССР» (2002-2003 гг.),

4) руководитель фанта РФФИ № 05-06-80432 по теме: «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения», соисполнитель - ст преп КЧГТА Тебуев Дж Б (2005-2006 гг),

5) поддержка Российского консорциума экономических исследований -финансирование доступа к базе данных западных научных публикаций ДБТОЯ (2000-2007 гг.),

6) поддержка фонда Организации Объединенных Наций в области народонаселения - финансирование членства в Международном Союзе по Научному Изучению Народонаселения, ЮББР (2005-2009 гг.).

Положения, выносимые на защиту:

1 Концепция демофафического потенциала предложена и разработана для модели однородного населения с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности.

2. Разработан единый аксиоматический подход к понятиям потенциальной демофафии

3 Разработана концепция демофафического потенциала для модели неоднородного населения с учетом мифации

4 Разработана концепция демофафического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста

5 Разработаны операторная популяционная модель общего вида и концепция демофафического потенциала с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без офаничения неотрицательности показателей фертильности

6 Исследованы свойства демофафических потенциалов

7. Обобщена концепция репродуктивного потенциала (Р Фишер) на случай

популяционной модели с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности 8 Обобщен результат Р А. Фишера относительно динамики

репродуктивного потенциала. 9. Обобщено понятие потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц), разработаны методы его оценивания.

10 Получены общие результаты по эргодическому свойству линейных популяционных моделей, а также по спектральным свойствам популяционных моделей.

11 Дано исчерпывающее решение проблемы разработки монотонных показателей сходимости возрастных структур. Исправлены, улучшены и обобщены известные результаты.

12.Предложены и разработаны приведенные демографические потенциалы в развитие и обобщение капитализированной стоимости У Фарра и потенциала Л. Херша.

13.Рассмотрены приложения к оцениванию параметров, сравнительному анализу воспроизводства населения, моделированию демографического перехода и динамики численности и иных линейных показателей населения.

М.Предложена и разработана агрегированная популяционная модель,

апробированная на реальных данных 15.На основе построенных моделей проведен анализ истории и перспектив воспроизводства населения России.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 работах, в т ч. в двух монографиях, семи статьях в реферируемых российских журналах из списка ВАК, четырех статьях в зарубежных реферируемых журналах, пяти статьях в других зарубежных изданиях.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух частей, пятнадцати глав, списка литературы из двухсот восьмидесяти девяти наименований и двух приложений. Объем работы - 318 страниц без списка литературы и приложений, в т.ч 19 таблиц и 58 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение дает обоснование актуальности темы, дает общее представление о концепции демографического потенциала, формулирует объект, предмет, цели и задачи исследования, характеризует новизну и дает краткий обзор работы, содержит благодарности.

На микроуровне потенциал определяется как нечто присущее отдельному человеку. Для разработки демографического потенциала как меры вклада в демографические процессы, предлагается определение:

Пусть — численность потомства особи/популяции 'а'к моменту времени I Тогда демографические потенциалы са определяются так, что

Обоснование корректности определению дается на основе т.н. свойства эргодичности. Учет возможностей, потенциально заложенных в ожидаемом потомстве важен и в ряде экономических, экологических, военно-политических и др задач. Эти задачи так же предлагается решать на основе разработки специальных показателей, отражающих вклад людей с учетом, как их собственной роли, так и роли их ожидаемого в будущем потомства.

На макроуровне разработку демографического потенциала предлагается проводить на основе исследования агрегированных показателей, динамика которых удовлетворяет некоторым наперед заданным аксиоматическим требованиям в отсутствие внешних воздействий, нарушающих режим воспроизводства населения. В такой постановке концепция демографического потенциала родственна концепции энергии в физике если нет процессов, не учтенных в модели динамики системы, если она замкнута, ее общая энергия должна быть постоянной Демографический потенциал тоже можно подобрать так, чтобы он был постоянен, если воспроизводство населения идет согласно построенной модели Оба подхода - основанные как на моделях микроуровня, так и на аксиоматических требованиях на макроуровне - приводят к одним и тем же показателям

Первая часть посвящена литературному обзору, разработке теоретических основ концепции демографических потенциалов и исследованию их свойств

Первая глава содержит краткое введение в традиционные однополые математико-демографические модели воспроизводства популяции, дает обзор научной литературы и анализ результатов, предшествовавших настоящей работе. При постоянных коэффициентах рождаемости и дожития традиционная дискретная однополая популяционная модель имеет вид-

где компоненты вектора п(/) есть численности отдельных возрастных групп, а Ь - матрица Лесли, содержащая показатели рождаемости и вероятности дожития к концу элементарного интервала времени. При обычных на практике условиях, модель (1) обладает эргодическим свойством, возрастная структура асимптотически стабилизируется, а динамика численности населения асимптотически экспоненциальная с коэффициентом прироста за год Я (коэффициент Лотки, мальтузианский параметр), таким, что:

те х, ,Р0, ~ индекс возраста, вероятность дожить с рождения до возраста х и коэффициент рождаемости в возрасте х.

В непрерывной модели используют функцию плотности численности населения от возраста х, /-*)=«(*,/), в момент времени г. Здесь и далее

п(г+1) = 1л(/),

(2)

(3)

X

будем придерживаться соглашения, что вторая переменная, как правило, -это переменная времени, если она отделена от первой переменной (возраста) запятой, то она соответствует моменту рождения человека, а при отделении точкой с запятой - текущему моменту времени. Соответственно, вместо дискретных наборов показателей смертности и рождаемости используют функции дожития /(*) и рождаемости /(*). Первая функция соответствует вероятности дожития с рождения до возраста х, а функция рождаемости задает интенсивность рождения детей в возрасте х Коэффициент Лотки р непрерывной модели, связанный с дискретным коэффициентом прироста соотношением Я = ер, удовлетворяет уравнению Эйлера-Лотки•

//(*)/(*>-"& = 1. (4)

к

Понятие стабильного населения и экспоненциальная асимптотика популяционной динамики осмыслены только в контексте постоянных по времени показателей смертности и рождаемости Для моделей с переменными показателями воспроизводства имеет место т н. слабое свойство эргодичности, заключающееся в том, что всякие два населения, независимо от начальных условий, асимптотически сходятся по своей структуре, если следуют одному и тому же режиму воспроизводства.

Репродуктивный потенциал (Р. Фишер)

Понятие репродуктивного потенциала (reproductive value), введенное известным генетиком и статистиком P.A. Фишером5,6, является наиболее ранней попыткой разработать специальную величину, адекватную демографическим возможностям, скрытым в возрастной структуре населения. Лотка пришел к сходной концепции, хотя и не предлагал математического ее выражения. Опираясь на финансовые аналогии, в качестве репродуктивного потенциала человека возраста * Фишер ввел суммарную текущую стоимость его будущих «выплат по долгу» (рождений), используя в качестве дисконтирующего фактора коэффициент Лотки (4).

v(*b~i>M/Me-p4>, (5)

где v(x) - репродуктивный потенциал человека возраста х.

Фишер показал важное свойство репродуктивного потенциала:

Äp, (6)

Vdt w

00

где \n(x,i)v(x)dx - суммарный репродуктивный потенциал населения в

о

момент времени t. Ввиду связи между репродуктивным потенциалом и асимптотикой популяционной модели, это понятие получило широкое

5 Fisher R.A The genetical theory of natural selection - New-York Dover Publications, 1930

6 Fisher R.A The actuanal treatment of official birth records // Eugenics Review -1927 - Vol 19 - P 103-108

применение в эволюционных теориях. В то же время, на основе (6) не были построены приемлемые агрегированные модели популяционной динамики, поскольку соответствующие модели оказались неадекватными в краткосрочном и среднесрочном плане. Дискретная теория репродуктивного потенциала была развита П. Лесли. Ряд работ был посвящен исследованию зависимости репродуктивного потенциала от возраста, от уровней рождаемости и смертности, обобщению концепции на модели, в которых популяция подразделяется на подклассы не обязательно по возрасту, но и, возможно, по другим характеристикам

Серьезным фактором, ограничивающим применение репродуктивного потенциала, явилось то, что концепция разработана только в рамках модели с постоянным режимом воспроизводства. В общем случае экспоненциальной асимптотики нет, и финансовые аналогии Фишера теряют смысл.

Интересные попытки обобщения концепции были предложены известным экономистом П.А Самуэльсоном Он рассмотрел неклассические модели двуполой популяции7,8, а также модели с внешним ограничением на размер эволюционной ниши, занимаемой популяцией9. В первом случае обобщение оказалось чересчур формально, поскольку использованное предположение об отсутствии возраста, как и предложенная двуполая модель не адекватны реальным процессам воспроизводства. Во втором случае, когда асимптотическая численность не зависит от начальных условий, Самуэльсон предложил две модельные ситуации Когда начальная численность популяции гораздо меньше емкости среды, а темп прироста популяции достаточно мал, он предлагает выражение для «начального» (тсф1еЩ) репродуктивного потенциала населения-

здесь нижний индекс соответствует номеру возрастной группы, верхний индекс «О» применяется к начальным условиям, А - асимптотический коэффициент роста населения при фиксированных исходных значениях показателей воспроизводства, a n(t,) - общая численность населения в момент времени Т. Обобщение (7) совпадает с потенциалом Фишера, рассчитанным в предположении постоянства исходных показателей воспроизводства Когда предположение о малости исходного масштаба

7 Samuelson Р A Generalizing Fisher's 'reproductive value' Linear differential and difference equations of 'dilute' biological systems // Proceedings of National Academy of Sciences of USA. - 1977 - Vol 74, №11 -P 5189-5192

8 Samuelson P A Generalizing Fisher's "reproductive value" Nonlinear, homogeneous, biparental systems // Proceedings of National Academy of Sciences of USA- 1977 - Vol 74, №12 - P 5772-5775

9 Samuelson P A Generalizing Fisher's "reproductive value" "Incipient" and "penultimate" reproductive-value functions when environment limits growth, linear approximations for nonlinear Mendelian mating models//Proceedings of National Academy of Sciences of USA - 1978 - Vol 75, № 12-P 6327-6331

(7)

населения неверно, Самуэльсон предложил ввести «пред-асимптотические» (penultimate) репродуктивные потенциалы

Модель Самуэльсона представляет только частный случай популяционной динамики, а демографический смысл, вкладываемый в соотношения (8), не согласуется с демографической интерпретацией репродуктивных потенциалов Фишера. Обобщения Самуэльсона опираются на относительную роль начальных условий в устойчивости асимптотической динамики, а не в структуре асимптотической численности Помимо неадекватности классической интерпретации, обобщения, предложенные Самуэльсоном, в явном виде опираются на абсолютные показатели численности популяции в бесконечно далеком будущем. Неопределенность, присущая знаниям о будущей популяционной динамике, исключает такой подход на практике.

Другое обобщение, совпадающее, с точностью до множителя, с обобщением, излагаемым в настоящей работе, было предложено американскими исследователями Тулджапуркаром и Ли10,11 независимо от автора настоящей работы, но несколько позднее. Они изучали дискретную модель, в которой матрицы Лесли испытывают малые стохастические возмущения относительно математических ожиданий, не зависящих от времени, и рассмотрели динамику числа потомков:

w(t,,)-JJr{t + \ + (9)

j

где w(t,i) - численность потомства [в бесконечно далеком будущем - Д Э.] организма типа / в момент времени t, Л"Д/+1) - число организмов типа j, производимых к моменту времени /+1 организмом типа г в момент времени t. Заметим, что выражение (9) некорректно, поскольку численность потомства будет бесконечна, если только не рассматривается модель асимптотически сокращающегося или стационарного населения, причем, в последнем случае - в рамках модели Тулджапуркара-Ли - асимптотическое значение численности потомства всякого конечного населения равна нулю вследствие случайного вымирания населения с вероятностью 1. Кроме того, попытка моделирования абсолютного значения численности потомства в бесконечно далеком будущем должна быть признана несостоятельной. Выражение (9) было использовано для обобщения понятия репродуктивного потенциала:

y(t). W(<) . Xr(/ + l)v(/ + l) (10)

vw ш |xrc+i)v(/+ii U }

где элементами векторов v(f), w(/) и матрицы х(/) являются репродуктивные потенциалы, «численности» потомств и показатели воспроизводства в

10 Tuljapurkar S, Lee R. Demographic Uncertainty and the Stable Equivalent Population // Mathematical and Computer Modelling - 1997 - Vol 26, №6 -C 39-56

11 Tuljapurkar Sh., Caswell H Structured-population Models in Marine, Terrestrial and Freshwater Systems - New York Springer, Chapman and Hall, 1997 - 656 p

few

(8)

зависимости от типа организма Несмотря на некорректность (9), выражение (10) корректно и, с точностью до множителя, совпадает с обобщением концепции Фишера, предлагаемым в диссертации на основе понятия демографического потенциала Недостатком обобщения является то, что оно применимо только к дискретной популяционной модели

Ким и Сайке12 эмпирически исследовали свойство эргодичности и так же подошли к обобщению репродуктивного потенциала Ким13 аналитически исследовала модель (2) с переменной матрицей L и изучала произведения-

м(г,г) = L(/)L(/-1) L(r + l)L(z-), t<i (11)

При этом,

М(г,/) = M(r + 1,/)Цг). (12)

Элементы первого столбца w0(r,/) матрицы (11) даются уравнением

V

™о(мЬ£>;(г + ./К(г + У + 1>'), (13)

где tp1 {r + j)= Р„(г)р,(г +1) (t + j-\)Pj(г+j)F,(т + j) - ожидаемое число рождений в возрасте j у человека из младшей возрастной группы в момент времени г Выражение (13) не применимо для r>t-X, и Ким предлагает специальные начальные условия, гарантирующие (13) для всех т i t К сожалению, демографическое содержание этих условий искусственно смертность у всех доживающих до момента t равняется нулю, равно как и рождаемость у всех когорт, родившихся после этого момента. При таких начальных условиях обобщение репродуктивного потенциала теряет смысл, поскольку все потомства равны нулю после момента времени t + X Далее

Ким вводит показатели роста g(r,<)= , делает вывод (нуждающийся

|w0(r+l,/|

в обосновании) о существовании hm(g(r,/)-g(r))=0 для некоторой функции g(r), не зависящей от t и предлагает декомпозицию произведения (11).

M(r,i) = [ngw]h0(/)fr(r), (14)

где f(r) - вектор обобщенных (по Ким) репродуктивных потенциалов:

f(r)=W,(r+i> /?>+-&+J-о} (15)

Однако, декомпозиция (14) и обобщение (15) неправомерны даже в рассмотренном классе дискретных моделей со специальными начальными условиями, поскольку в (14) игнорирована зависимость g(r,/) от /, в тч. при г близких к t (см. верхний предел индекса произведения в (14)).

12 Kim YI, Sykes Z An experimental study of weak ergodicity in human populations // Theoretical Population Biology - 1978 -№10 -P 150-172

" Kim YI Dynamics of populations with changing vital rates Generalizations of the stable population theory // Theoretical Population Biology -1987 -№31 -P 306-322

Потенциал роста, популяционная инерция (П. Венсан, Н. Кейфитц)

Потенциал роста был предложен французским демографом П. Венсаном14, хотя идея концепции прослеживается в работах Дублина, Лотки и Фишера Потенциалом роста называется аккумулированное за период стабилизации отклонение динамики численности населения с постоянным режимом воспроизводства от динамики стабильного населения. Случай стационарной асимптотики был исследован Ж. Буржуа-Пиша, который предложил ряд зависимостей, в т.ч.:

(1б)

"¡/М/Мф

б(х)= -. ео = //(*)& - ожидаемая продолжительность жизни при

о г

рождении Он рассмотрел важный случай стабильною исходного населения, согласованного не с асимптотическим, а с иным режимом воспроизводства'

П = е0б]е-'"С(*)&, (17)

о

Ь - общий коэф. рождаемости (число рождений за единицу времени, деленное на численность населения), р - коэф Лотки до изменения режима воспроизводства.

Кейфитц15, опираясь на связь репродуктивного потенциала и популяционной асимптотики, вывел выражение для популяционной инерции•

ц - асимптотический средний возраст деторождения. С учетом (5), это выражение преобразуется в (16) Для случая, когда рождаемость мгновенно сокращается до уровня простого воспроизводства, без смены возрастной структуры рождаемости, Кейфитц получил упрощенную формулу'

П = (19)

МО

где все показатели, кроме ц, характеризуют население до изменения рождаемости; ^ = |/(х)/(х)&. Ряд работ был посвящен обобщению

результатов Кейфитца Андреев и Пи]

потенциалы Фишера и предложили величину, которая может быть сведена к

Андреев и Пирожков16, исследуя потенциал роста, использовали

14 Vincent Р Potentiel d'accroissement d'une population stable // Journal de la Société de Statistique de Parts. -1945 - № 86 - P 16-29

" KeyfitzN On the momentum ofPopulatmn Growth //Demography -1971 -№8 -P 71-80

16 Андреев H M, Пирожков С И О потенциале демографического роста // Население и окружающая среда. - M. 1975

стабильному эквиваленту Кейфитца 0. Для случая стабильной, но не обязательно стационарной асимптотики, они предложили обобщение, эквивалентное предложенному французской и американской школами Ъ.-Я

П = , (20)

где г, - темп прироста численности населения в году г = 1,2,

В рамках теории демографических потенциалов удается обобщить понятие потенциала роста, в т.ч. на не нашедший отражения в литературе случай с переменным режимом воспроизводства В одном важном случае полученные обобщения позволяют исправить ошибку, допущенную в предшествующих исследованиях. А именно, вопреки устоявшемуся мнению о том, что изменение среднего возраста деторождения не приводит к популяционной инерции17, с 26°, инерция в этом случае так же наблюдается

Капитализированная стоимость доходов (У. Фарр), жизненный потенциал (Л. Хсрш)

По-видимому, первым, кто исследовал проблему экономического оценивания жизни человека, был У Фарр, который предложил концепцию капитализированной стоимости способности получать доход как ожидаемую текущую стоимость будущих доходов человека18:

' (21)

г - темп дисконтирования, а - интенсивность получения дохода в возрасте у лет Другой способ был предложен Л Хершем19 и привлек большое внимание в отечественной литературе Он ввел понятие жизненного потенциала как ожидаемое число лет, которое человек проживет до смерти,

ш

№

или в составе определенной группы (скажем, ота£*дой2а лет)

АМ-Щ*. (22)

(23)

Включая в расчет трудоспособные возрасты, получают трудовой потенциал С учетом различной ценности возрастов с точки зрения проводимого анализа, годы жизни в (22) и (23) взвешивают специальной функцией*

4*) = ]|(24)

17 Li N, Tuljapurkar Sh. Population Momentum for Gradual Demographic Transitions II Population Studies. - 1999 - Vol 53, № 2 - P 255-262

18 Vital statistics, a memorial volume of selections from the reports and writings of William Farr / N Humphreys (ed)- London Sanitary Institute, 1885

" Hersch L De la demography actuelle a la demography potentielle - Geneva, 1944

где р{у) - весовая функция, отражающая степень участия в экономической или иной деятельности. Сходные подходы применялись в медико-демографических исследованиях при разработке индексов DALY, отражающих ожидаемое число человеко-лет жизни с учетом дожития и качества жизни в различных возрастах.

Два недостатка описанных показателей приводят к некорректности выводов, получаемых для населения в целом. Во-первых, в жизненный потенциал с одинаковым весом включаются годы жизни, относящиеся к разным моментам времени, что недопустимо, если эффект от одного и того же явления, относящегося к различным моментам времени, различен. Этот недостаток устранен в индексе DALY и капитализированной стоимости за счет дисконтирования Во-вторых, в капитализированной стоимости и в жизненном потенциале не берутся в расчет годы жизни детей, которые родятся в будущем.

Для устранения этих недостатков, в диссертации предложен класс приведенных потенциалов. При этом решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая давно4 Удалось так же выявить существование ранее не исследованных смешанных потенциалов, которые, обладая свойствами приведенных потенциалов, отражают еще и вклад в асимптотическую численность

Теории показателей инстабильности и монотонной сходимости

К традиционной потенциальной демографии примыкает тематика показателей инстабильности (в отечественной литературе) и монотонной сходимости (в американской литературе). Тулджапуркар 0 ввел монотонную меру сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного населения на основе расстояния Куллбака-Лейблера:

*(0=£р,«1"ША). (25)

х

где p,\t)= у^ " Доли возрастных групп в репродуктивном потенциале

населения, звездочкой здесь и далее помечены показатели стабильного эквивалентного населения. Позже это расстояние было исследовано Шоеном и Ким21, которые рассмотрели так же непрерывную постановку и высказали ошибочное предположение об уникальности этого показателя как монотонной меры сходимости к стабильному населению.

В отечественной литературе сходная тематика развивалась независимо, в рамках теории показателей инстабильности Модифицировав показагель Пирожкова, Рубинов и Чистякова22 ввели показатель

20 Tuljapurkar S D Why use population entropy' It determines the rate of convergence // Journal of Mathematical Biology - 1982 -№13 -P 325-337

21 Schoen R., Kim Y J Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics // Demography -1991 -№28 -P 455-466

22 Рубинов A M, Чистякова RE Возрастная структура и потенциал роста населения // Демографические процессы и их закономерности I Ред А Г Волков -М Мысль, 1986-С 38-52

-Щ—й = 2|л(0-Рх|, (26)

отметив монотонность как его отличительную черту.

Таким образом, теория монотонных показателей инстабильности получила (независимое) фрагментарное развитие в американской и отечественной традициях, в рамках каждой из которых было предложено по одному (предположительно, уникальному) показателю В обоих случаях рассматривались только модели с постоянными показателями воспроизводства. Недостатком показателя (25), не получившим отражения в литературе, является его чувствительность к вариации оценок параметров модели Наконец, логически вытекающая из постановки проблемы задача разработки монотонных показателей близости возрастных структур реальных населений не была решена. Попытка такого решения была неудачно предпринята Шоеном и Ким, отметившими, что куллбаковское расстояние между реальными населениями свойством монотонности не обладает21.

Разработка теории демографических потенциалов показала, что предложенные ранее показатели являются частными случаями обширного класса, который состоит из сумм (интегралов) функций уклонений от стабильности в отдельных возрастах, взвешенных демографическими потенциалами Это указывает на то, что близость концепций потенциальной демографии и теории монотонной сходимости теснее, чем предполагалось ранее Упомянутый класс - при обычных на практике условиях - не может быть расширен. В рамках этого класса удается выделить монотонные (в т.ч. робастные) показатели сближения возрастных структур двух и более реальных популяций, в т.ч. в случае переменного режима воспроизводства В то время, как демографические потенциалы являются аналогами энергии (см. выше), показатели инстабильности - аналоги физической энтропии, динамика которой указывает на степень неравновесности системы.

Во второй главе рассматривается концепция демографического потенциала в рамках традиционной однородной однополой модели замкнутого (в отношении миграции) населения Сначала рассматривается дискретная модель Лесли воспроизводства населения Можно выделить следующие три важнейших свойства, которые можно положить в основу при аксиоматической разработке концепции демографического потенциала. 1° Непрерывность Демографический потенциал является непрерывной функцией возраста человека Для дискретных моделей это условие излишне 2 .Аддитивность Потенциал группы, состоящей из подгрупп с непересекающимися потомствами, равен сумме потенциалов этих подгрупп. 3°. Преемственность Это условие касается динамики суммарного потенциала замкнутого населения и зависит от особенностей модели и целей анализа. В качестве общего требования можно положить независимость динамики суммарного потенциала от текущей структуры населения:

сЫ'КМ. М'Щ-1))=8[с(1-\)1 (27)

где с(/,л0(/),л2(/), - общий потенциал в момент времени / при

заданном значении потенциала в предшествующий момент времени, а я() -некоторая функция, вид которой определяет тип потенциала. Из условия аддитивности следует, что для линейной популяционной модели функция #() должна быть однородной первого порядка, т.е, (27) можно уточнить:

сЫ'Ы')> .»,№(/-1))=* с(/-1), (28)

с коэффициентом К, не зависящим от начальных условий

В рамках классической дискретной популяционной модели (2) с постоянными показателями воспроизводства асимптотика популяционной динамики экспоненциальная, и демографический потенциал можно искать в форме аддитивного индекса с экспоненциальной динамикой-

К0=уЧ<) (29)

(30)

где к(<) - потенциал населения в момент времени /; V - вектор возрастных коэффициентов потенциала; х - коэффициент Лотки, равный Перронову собственному значению матрицы Лесли, см. (3). Из (2), (29), (30) имеем для произвольного вектора п(<). а.утп(/)=>^к(/)=к(г+1)=утп(/+1)=утЬп(/). Тогда вектор повозрастных потенциалов есть левый собственный вектор матрицы Лесли, соответствующий коэффициенту Лотки, ьту = Ху, он с точностью до множителя совпадает с вектором репродуктивных потенциалов, при этом:

V, (31)

Для модели с переменными показателями рождаемости и смертности n(/+0=L(/>.(/), (32)

когда экспоненциальная асимптотика, финансовые аналогии Фишера и условие (30) теряют смысл, рассмотрено наиболее простое условие преемственности - постоянство демографического потенциала, - и показано

c(r)=L(/)Tc(<+l), (33)

Можно показать*

— «*/

«.(') = ^('Ы' + О+^'кЛ' + О. * = Сж(/)- О,* > X, (34)

т е, потенциал человека есть сумма потенциала его детей, которые родятся в течение предстоящего периода и его же потенциала к концу периода

В рамках непрерывной модели воспроизводства общего вида показана эквивалентность аксиоматического подхода к разработке демографического потенциала и подхода на микроуровне, на основе вклада в отдаленное потомство. В условиях постоянных во времени рождаемости и смертности, на основе конструктивного определения (1), имеем:

с(х,г) = + Д,/)+c(0,r + х)/(х)А+0(Д), (35)

где c(x,t) - потенциал человека возраста х, родившегося в момент t Отсюда:

^ = + (36)

Из (36), с учетом требования 1т с(*,/)= о, имеем

Ф.0=+уНУ=(37)

Из (37) видно, что возрастная структура потенциала не зависит от времени

(38)

Для структуры потенциала по возрастам для людей-современников имеем.

(1е{ ( \ гх 00

Потенциал (39) идентичен репродуктивному потенциалу Фишера, ср. (5) Выражения (37) и (38) эквивалентны следующему:

Ф.О-Ш/Шо.'+уУ/у, (40)

т е., потенциал всякого человека есть сумма потенциалов его ожидаемых в будущем детей Соотношение (39) можно переписать как:

vM = J||/Mv(0У^Чу, (41)

что также отражает то, что репродуктивный потенциал родителя есть сумма (дисконтированных) потенциалов его будущих детей. Относительно устойчива структура ожидаемого будущего демографического потенциала

младенца «(*,/) = *(*,/)/(*,/) Для случая постоянного режима воспроизводства "М^'Ы-КуУ"'^. (42)

Учитывая (31), легко получить дискретные аналоги (38) и (42).

= (43)

Аг у=х

«* =7" • (44)

0 у=х

В общем случае переменных показателей рождаемости и смертности

с(х,>) + Л,,)+ Ф,< + *)/(*.,)л + 0(д), (45)

8х дх

Из (46) с учетом условия /ни с(х, ()=о получим1

Выписав (47) для младенцев, получим аналог уравнения Лотки.

со

с(о,*)=|/(у,/)/(у,/)с(о,/+>>)ф. (48)

о

Далее рассмотрен аксиоматический подход с условием преемственности в виде постоянства потенциала применительно к общему случаю модели с переменными показателями воспроизводства и показано, что аксиоматическим требованиям удовлетворяет только потенциал (47).

Для модели простого режима воспроизводства демографический потенциал с точностью до постоянного множителя равняется числу генеалогических линий населения, определенных особым образом Аппарат количества генеалогических линий обсуждается в контексте теории демографического потенциала во второй главе

В заключение второй главы даются обобщения понятий репродуктивного потенциала Фишера и потенциала роста Венсана-Кейфитца. В качестве обобщения потенциала Фишера предлагается отношение потенциалов (47) к потенциалу младенца-современника (48):

Интерпретация репродуктивных потенциалов, данная Фишером может быть заменена аналогичной общей интерпретацией для (49) Имеем из (49), (47)

здесь суммируются ожидаемые в будущем числа рождений, дисконтированные пропорционально изменению потенциала младенца.

В работе показано, что в общем случае результат Фишера (6) является хорошей аппроксимацией, а в одном классе моделей может быть обобщен как точный темп прироста обобщенного репродуктивного потенциала равен коэффициенту Лотки реальных когорт, если последний постоянен, т.е. если

//(х.МмУ'-А.! (51)

о

при некотором р. Это условие не предполагает постоянства коэффициента Лотки синтетических когорт, удовлетворяющего уравнению

^1(х,г-х)/{х,1-х)е'^сЫ = \ для момента времени I. Рассмотренный случай

о

является важным, поскольку показатели синтетических когорт весьма изменчивы, а показатели реальных когорт, напротив, более постоянны

Для обобщения потенциала роста (инерции) населения использовано то, что средний потенциал стабильного населения не зависит от времени, а суммарные потенциалы реального и эквивалентного ему стабильного населений равны. Показано, что в классическом случае постоянного режима воспроизводства потенциал роста равен

¡¡{хУ^сЫ

Для асимптотически стационарного населения (52) сводится к результату Буржуа-Пиша и Кейфитца. Можно получить так же обобщение потенциала роста на случай произвольного режима воспроизводства:

(53)

с (г)

где с* (г) - средний потенциал асимптотически эквивалентного населения, принятого в качестве стандарта Соотношение (53) указывает на важную роль изменения среднего возраста деторождения для потенциала роста, поскольку средний демографический потенциал населения обратно пропорционален среднему возрасту деторождения. Эта роль оказалась неучтенной в известных работах по теории потенциала роста, поскольку они игнорировали связи между численностями различных поколений. В то же время, эти связи отражены в демографических потенциалах, поскольку, например, суммарные потенциалы поколения родителей и их детей равны

Ограничения однородности и замкнутости снимаются в третьей главе. В случае открытого неоднородного населения сначала рассматривается население из к групп, которые не перемешиваются, но дети представителей одних групп могут относиться к другим группам. При этом:

-.(О.'ЬЙ'.М ЛМ ф + уЦ>,' = П, (54)

о

где (у, /) - интенсивность рождения детей группы] у родителей группы /

Для асимптотически стабильного населения доказана разрешимость системы интегральных уравнений (54), в условиях, когда матрица нетто-

коэффициентов воспроизводства ип (о)=^ (у) /„ОМ^ неразложима (в

противном случае отдельные подгруппы населения будут перемешиваться только между собой, изолируясь от остальной части населения). Рассмотрены так же специальные случаи, когда решение (54) может быть упрощено

В диссертации та же рассмотрен случай перемешивающихся групп. когда люди могут переходить из одной группы в другую (это удобная модель при включении в анализ брачного состояния, числа уже рожденных детей, уровня доходов и т д) Пусть *,,(*,/) - интенсивность перехода из /-й группы в 7-ю в возрасте х для когорты родившихся в момент времени / Прежде всего, следует учесть эти переходы в функциях дожития, домножив функции

дожития ;-й группы на е (ниже предполагается, что это уже

сделано). При этом расчет потенциалов сводится к решению аналога (54).

во ¡с _

1 = 1.*. (55)

О 7=]

Для модели с учетом порядка рождения расчеты можно вести по формулам

+ , = 1>2, , (56)

где V*,, - аналог потенциала Фишера в модели неоднородного населения для человека возрастной группы, у которого уже родилось I детей (обоих полов), я. - асимптотический коэффициент роста населения, подбираемый так, чтобы потенциал у00 был равен единице, /х1 - возрастные коэффициенты рождаемости с учетом порядка рождения, ^, - то же самое, но с поправкой на младенческую смертность и долю девочек среди новорожденных В работе приводится пример расчета для населения США.

В математической биологии получили распространение модели воспроизводства, в которых вместо/помимо возраста используются иные переменные (рост, масса тела, стадия развития организма и проч.) Применение концепции демографического потенциала в рамках таких моделей проиллюстрировано на примере стадийной модели Левковича

В заключение главы формулируется непрерывная популяционная модель общего вида Модель строится в операторной форме, на основе введения оператора ,1, ставящего в соответствие плотности численности населения п,(х), лге[о,да), в момент времени / плотность численности п,+,(х) в момент времени / + т:

(57)

Здесь и далее переменную возраста * будем опускать, если это не вызовет разночтений. Функции плотности численности населения будем считать элементами пространства Л2(о,^). Вводится оператор передвижки

'С

X

(58)

0,х<т или /(аг-т)=0

Оператор передвижки линеен и ограничен, его норма не превышает единицы Он не является компактным. Если функция дожития непрерывна при *>о, то оператор передвижки непрерывен Если функция дожития еще и финитна, то Зк<со ,р*=йр=о (59)

Если функция дожития не является финитной, но 1т /(дг)=0, то

/ил =/да Ь.Р = 0, (60)

Вводится так же оператор рождаемости такой, что:

(61)

На основе анализа примеров, положено, что оператор рождаемости линеен, ограничен, и компактен, отсюда, он так же и непрерывен.

Как у линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве, у существует сопряженный линейный ограниченный

оператор такой, что для любых /i,cei2(o,oo) выполняется равенство1

(tLn,c)={n„L'c). (62)

Отсюда получается уравнение динамики функции потенциала с(*) на основе аксиомы о постоянстве суммарного демографического потенциала-

c(l + т)= (n,t,, c,tT)=(, In, ,с,+т)= {n,„L'c,„)= C(t)=(n,, с,) (63)

для любых i, п,. Отсюда, верно уравнение динамики вектора потенциала

с,+.=1^с>+т (64)

r L' может быть представлен так же, как и оператор воспроизводства.

(65)

где справа стоят операторы, сопряженные к операторам рождаемости и передвижки, обладающие такими же свойствами.

Определение. Модель (57) обладает эргодическим свойством, если существует такая функция п', такая, что для всякого начального населения п

\ш-)Tr,Ltn = cm^ (66)

при некотором конечном действительном а; г(т) - спектральный радиус ,L.

Показан ряд результатов, которые завершаются теоремами. Теорема. Популяционная модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда максимальным по модулю собственным значением оператора ,£ является положительное действительное число, и ему соответствует только одна (с точностью до множителя) собственная функция, которая не ортогональна ни одной собственной функции сопряженного оператора, соответствующей тому же самому собственному

значению. Причем, в (66) а ^ ° \ (67)

Теорема. Модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает модель (64).

Оценка (67) отражает фундаментальное свойство потенциала -пропорциональность асимптотической численности населения. Для классической популяционной модели условие неортогональности л1 и с1 верно всегда, из-за чего, ранее к этому условию не обращались. Это условие равносильно существованию нетривиального демографического потенциала

В четвертой главе рассматриваются приведенные потенциалы, которые отражают не отдаленные перспективы воспроизводства, а вклад ныне живущего населения и его потомства в экономические, экологические и иные исследуемые процессы В частности, приведенный жизненный потенциал рассчитывается как общее число будущих человеко-лет, приведенных (методом дисконтирования) к текущему или иному моменту времени Если норма дисконта больше коэффициента Лотки, либо равна ему, приведенные потенциалы сводятся к чисто демографическому потенциалу, что подчёркивает его «фундаментальность» Для приведенного жизненного

потенциала аксиому преемственности можно сформулировать так1 3° Приведенный жизненный потенциал замкнутой группы удовлетворяет.

"(^-ЖчЬ-И'И'-'^, (68)

'1

//(/) - суммарный приведенный жизненный потенциал, а ЛГ(/) - численность населения в момент времени /; г - сила дисконта, предполагаемая больше коэффициента Лотки. Может представлять также интерес приведение не к фиксированному начальному, а к текущему моменту времени1

//('2 К"2 -ИиУ"1 = (69)

<1

или, что равносильно, Я(г2)~ = .

'1

Аналогия между демографическим потенциалом и физической энергией уместна и для приведенных потенциалов, но с поправкой на то, что население не может считаться замкнутым с точки зрения его недемографической роли. Выражения справа в (68) и (69), аналогичны работе физической системы, уменьшающей ее энергию

Разработка аксиоматического подхода указала на существование смешанных демографических потенциалов, которые являются линейной комбинацией приведенного и чисто демографического потенциалов. Поскольку суммарный демографический потенциал замкнутого населения (в абсолютных единицах) неизменен, то сумма приведенного потенциала (68) и демографического потенциала с произвольным весом будет удовлетворять той же аксиоме преемственности, что и приведенный демографический потенциал Эти же соображения указывают, что необходимо еще одно условие для однозначного определения приведенных потенциалов:

4°. (Условие исчерпаемости). Приведенный жизненный потенциал (68) всякой замкнутой группы асимптотически равен нулю,

1,т Я(<)=0, (70)

Для потенциала (69) условие исчерпаемости имеет вид 1т =0 (71)

Г-»оо

Физическая аналогия аксиомы, асимптотически, демографическая система

расходует весь свой потенциал на «совершение работы».

Потенциалы (68) однополого, однородного, замкнутого населения равны:

АМ = ]|(72)

Для потенциалов (69) соотношение (72) следует заменить на следующее:

В случае асимптотически стабильного населения потенциалы не зависят от времени и могут быть получены в явной форме

"¡¡(уУгф

А(0)=-г--(74)

I-¡¡ШЬ'У^Ф

о

рЬУ'^ф (75)

В диссертации получены выражения для потенциалов двуполого населения, приведенные потенциалы разработаны для неоднородного открытого населения, исследованы условия разрешимости соответствующих систем, дается обзор областей приложения приведенных потенциалов, вводится понятие половозрастной потенциальной пирамиды

В пятой главе рассмотрены свойства потенциалов. Сначала рассматриваются общие свойства демографического потенциала Дается обобщение классического результата (6), который равносилен следующему.

ф.г+Д^ф.гУ'^ (76)

Для населения с переменным режимом воспроизводства соотношение (76) неверно, но потенциал младенца «колеблется» около аналога (76):

ф,< + д) = с(/>-'к'>д+й(/,Д), Ле[а,4 (77)

где г(/,д)- некоторая функция, принимающая и неотрицательные, неположительные значения. Если динамика демографических показателей слабая, то й(/,Д) можно считать небольшим по модулю. Причем, при любом режиме воспроизводства равенство (76) точное, по крайней мере, для одного значения Де(а,й>). Для населения с постоянными показателями воспроизводства к(г2)= а для населения с показателями

воспроизводства, близкими к постоянным, 188 , где р -

эффективный истинный коэффициент естественного прироста населения за некоторый период, включающий [/^г]. Можно использовать в качестве характеристики воспроизводства населения на отрезке [Мг] величину

ЧчУ]

ЛМ С7Т)

что есть обобщение коэффициента Лотки на случай переменного режима воспроизводства, которое может оказаться эффективнее применения уравнения Эйлера-Лотки (4), поскольку его решения неустойчивы.

В диссертации так же даются оценки сверху и снизу для потенциалов, исследуются другие вопросы динамики потенциалов, рассмотрены потенциалы стабильного населения.

В диссертации рассмотрены вопросы устойчивости демографических потенциалов к вариации параметров модели Показано свойство эргодичности для динамики потенциалов, гарантирующее, что реальная структура потенциалов будет определяться развитием режима воспроизводства только в некотором ближайшем будущем

В случае режима воспроизводства, постоянного при кТ приводится несколько лемм и теорема, которые, при обычных на практике условиях,

гарантируют существование (Ьтод\{х,/) = = /(у)е,

причём, сходимость равномерная по х при д-е[о,<у] и не хуже экспоненциальной Расчеты указывают на быструю сходимость потенциалов даже при сильных и нереальных на практике возмущениях потенциалов после т. Причина в том, что для стабилизации потенциалов играет роль выравнивание возрастных структур в фертильных и младших возрастах, что происходит быстрее, чем стабилизация всей возрастной структуры Компенсаторные процессы, сопровождающие нарушения режима воспроизводства, так же способствуют большей устойчивости потенциалов

В диссертации так же показано, что в случае переменного режима воспроизводства динамике демографических потенциалов присуще свойство, аналогичное свойству слабой эргодичности популяционной модели В силу (47), рассмотрение динамики потенциалов сводится к исследованию динамики потенциала младенца Пусть даны два населения, динамика потенциала младенца в которых описывается соотношениями

С1 (0,/) = ]/(у,/)/(у,ф' (0.' + у№. (78)

О

с2(0,/) = ]/(>-,(79)

о

верхний индекс нумерует населения Тогда существует положительный

= (80) — с2 (0,/) У

что равносильно свойству (слабой) эргодичности для динамики потенциалов

В работе исследованы свойства приведенных демографических

потенциалов. Даются результаты по динамике приведенных потенциалов, по

их значению для стабильного населения, по устойчивости к вариации

параметров модели, исследованы вопросы эргодичности.

В шестой главе рассмотрена модель воспроизводства

демографического потенциала, основанная на постулированных структуре

возрастных коэффициентов и динамике демографического потенциала-

У(г+1) = АУ(/). (78)

Здесь параметр Я (коэффициент воспроизводства) является не расчетной

величиной, а входным параметром модели Из (78) можно показать:

«.,(! +1)=£ Л^-Р^ п.М. (79)

у0 )

где Р, =п„,(' + 1)/Пх(0 - обычные коэффициенты передвижки Из (79)

Р;[=я^--Р1^=Ь»£1д1 (80)

V,, V» Ьг

<1еГ у ^

где Дх =и,-и„,, = - числа живущих таблицы дожития. Получен

общий результат: коэффициент Л. является одним из корней векового уравнения матрицы воспроизводства, а для остальных собственных чисел ц'

2>Л/Г"=0. (81)

1-0

Соотношение (81) позволяет дать содержательное толкование т н. моделям с внутренней динамикой, в которых все матрицы Лесли имеют один и то же набор репродуктивных потенциалов, и отсутствует смертность. Они привлекли теоретический интерес, но не получили содержательной интерпретации Между тем, они соответствуют динамике, вытекающей из априорно заданной динамики демографического потенциала с фиксированными возрастными коэффициентами, причем, предположение об отсутствии смертности излишне. Опираясь на (81), также показан результат-Теорема. (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала) Пусть заданы возрастная структура = О^Х демографических потенциалов и числа живущих х = 0,Х. Тогда существует круг Л = {я |Л| < Л"1"} такой, что режим воспроизводства обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу Указанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности

В диссертации рассмотрены следствия теоремы, показана причина неустойчивости некоторых известных моделей.

Удобно переписать (81) через потенциалы и, ^ :

»'сА

<82)

Теорема. (Об условиях эргодичности в модели воспроизводства демографического потенциала). Структура ожидаемых будущих относительных потенциалов младенца и,, х = 0,Х, однозначно определяет соотношения между собственными числами матрицы воспроизводства и то, обладает ли модель воспроизводства свойством эргодичности

В диссертации даются явные выражения, связывающие между собой собственные значения и значения демографических потенциалов.

В диссертации так же получены непрерывные аналоги (80)-(82) и других выражений, полученных в дискретном случае:

г Цдг) сь

Спектральные свойства непрерывной модели исследованы в рамках операторной модели (57) Показано, что все собственные значения ер оператора воспроизводства, помимо главного, удовлетворяют уравнению:

1/иМ*)е-р1& = 0, (85)

о

которое является аналогом дискретного соотношения (81). В непрерывном случае верны результаты, аналогичные приведенным выше

Седьмая глава посвящена теории монотонных показателей стабилизации Имеет место

Теорема. Следующее расстояние в рамках дискретной популяционной модели с постоянными показателями монотонно убывает к нулю при / -> (звездочкой помечены показатели стабильного населения).

X

где - функция уклонений, выпуклая как функция первого аргумента и

равная нулю при равенстве аргументов между собой.

Куллбаковское расстояние (25) и показатель Рубинова-Чистяковой (26) могут быть сведены к виду (86), но не исчерпывают множества расстояний вида (86), в работе дается обширный выбор примеров таких расстояний Расстояние (25) оказывается неустойчивым к ошибкам в параметрах модели.

Для практически важного случая двух реальных населений имеет место Теорема. Расстояние между структурами двух асимптотически эквивалентных населений с одинаковым режимом воспроизводства

монотонно сходится к нулю, если функция уклонений выпукла как функция двух переменных и равна нулю при их равенстве между собой

Функция расстояния (25) не удовлетворяет условию (87), что объясняет неудачную попытку его применения в литературе к реальным населениям.

Результаты по монотонным мерам сходимости возрастных структур нескольких населений, имеющих одинаковый режим воспроизводства, можно усилить, включив в рассмотрение более двух таких населений. При этом функция уклонений будет характеризовать разброс, наблюдаемый в анализируемой группе населений, и должна будет удовлетворять условию выпуклости как функция нескольких аргументов.

Теория так же развита на случай модели с переменным режимом воспроизводства, характерный для реальных населений Имеет место Теорема. Пусть функция уклонений выпуклая, однородная и равная нулю при равенстве аргументов между собой Тогда расстояния вида

где индексы 1, 2 нумеруют населения, и,(г) - ожидаемый демографический потенциал младенца по достижении возраста х (переменная времени соответствует моменту рождения), монотонно убывают к нулю при г->®.

Как и в случае постоянного режима воспроизводства, результат можно усилить, включив в рассмотрение более двух реальных населений. Примеры расстояний вида (88).

#) пЦ,) с1

где С1, с2 суммарные потенциалы сравниваемых населений;

(89)

(90)

ДЖМ = ЕМ') »0

(91)

где к- некоторое число, не меньше единицы,

с' с2 )\с1п1Ь)У В диссертации теория монотонной сходимости рассмотрена так же в рамках непрерывной популяционной модели, для которой получены аналоги приведенных выше результатов. Так же обсуждаются области практических приложений разработанных показателей, с иллюстрацией на конкретных примерах анализа расово-этнических различий режимов воспроизводства населения США и на примере косвенного оценивания исторических показателей воспроизводства некоторых депортированных народов СССР.

В диссертации доказано, что при некоторых, обычных на практике, условиях, построенный класс монотонных показателей не может быть расширен, т.е. полученные результаты дают исчерпывающее решение проблеме разработки обоснованных показателей конвергенции возрастных структур.

Во второй части рассматриваются приложения к различным задачам теоретической и прикладной демографии. В восьмой главе обсуждаются приложения к анализу статистики движения населения и демографическому мониторингу. Приложения иллюстрируются на данных по населению России, США, европейских стран, депортированных народов СССР.

Девятая глава посвящена обсуждению прогностической значимости демографического потенциала, приложениям к оцениванию потенциала роста Для среднего репродуктивного потенциала стабильного населения, фигурирующего в оценках потенциала роста, предложена линейная агрегированная модель.

у'(/)=£1г г(/)+ае е0(/) + с!0, (92)

где г(г)=А.(/)-х - коэффициент Лотки (в % годовых); е0(/) - ожидаемая

продолжительность жизни при рождении, dr, de, d0 - параметры модели Модель апробирована по многолетним рядам данных из базы данных по смертности университета Беркли23. Так же разработана интервальная модель среднего потенциала стабильного населения.

На основе моделей девятой главы, в десятой главе приводится метод исследования кризисных аномалий в возрастной структуре смертности

Одиннадцатая глава посвящена методам оценивания мальтузианского параметра по динамике демографического потенциала, апробированным на реальных примерах и в вычислительных экспериментах

В двенадцатой главе разработаны агрегированные популяционные модели В частности, показана эффективность следующих моделей.

exti 1/и{1 + г(т))Л I

Vo

c'(/) = dr r№ + dc e0(f) + d0,

К = K0 n(i+rt),

'-'о

<7+1-с/ =а (c,-c*)+b (с,-с,_,), ^

с, =dr r,+de e0,+d0,

'■i

В тринадцатой главе рассмотрены приложения концепции демографического потенциала и модели популяционной динамики (94) к исследованию динамики населения России в 20 веке и перспектив на 21 век.

В четырнадцатой главе проведен анализ оптимальных стратегий восстановления демографических потерь на примере России, дан обзор возможностей оценивания результативности демографической политики

В пятнадцатой главе предлагается агрегированная модель популяционной динамики с учетом миграции, а также метод ретроспективных расчетов, использованный для оценивания исторической динамики миграции и нелегальной иммиграции в США.

В приложениях к диссертации приведены результаты расчета

потенциалов для различных модельных режимов воспроизводства

23 The Berkeley mortality database - [Electronic resource] - Electronic data -University of California, Berkeley, 1998 -Modeaccess http//demogberkeley edu/wilmoth/mortality

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

Монографии:

1) ЭдиевДМ Демографические потенциалы• Теория и приложения М: МАКС Пресс, 2007 348 с.

2) Эдиев Д М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь: Изд-во СтГАУ «АГРУС»; Ставропольсервисшкола, 2003 -336 с.

Статьи в зарубежных реферируемых изданиях с индексом цитирования:

1) Ediev D М. On an extension of R.A. Fisher's result on the dynamics of the reproductive value. // Theoretical Population Biology, 72/4(2007)- 480-484.

2) Ediev, D M 2007 Book review: Robert Schoen (ed.): Dynamic Population Models II European Journal of Population, dot. 10.1007/sl0680-007-9140-8.

3) Ediev D.M. On monotonic convergence to stability II Demographic Research. 2003. Vol.8, Article 2. P. 31-60. http //www.demographic-research org/volumes/vol8/2/8-2 pdf

4) Ediev D.M Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001 Vol.4, Article 9. P. 289-336. httpV/www demographic-research org/volumes/vol4/9/4-9 pdf

Другие статьи в зарубежных изданиях:

1) Ediev D, D Coleman D, and S. Scherbov Migration as a Factor of Population Reproduction Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. European Demographic Research Papers 01/2007.57pp

2) Ediev D. M. Long-Term Effects of Childbearing Postponement. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. Working paper 09/2005.18 pp.

3) Ediev D. M Extension of Fisher's Result on Exponential Dynamics of the Reproductive Value to a Wide Class of Populations. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences Working paper 10/2005.10 pp.

4) Ediev D M. Principles of Aggregate Economic-Demographic Modeling Based on Demographic Potentials' Technique. Rostock: Max Planck Institute for Demographic Research, 2000. 17pp www demogr mpg.de/Papers/workshops/ws001011 htm

5) Ediev D.M. Age structure of Russian Mortality. Continuity of Change? Reflection of the crisis mortality structure in the average demographic potential dynamics // Mortality in countries of the former USSR. Fifteen years after breakup change or continuity? Киев, 2006 С 55-66.

Статьи в российских реферируемых изданиях из списка ВАК:

1) Эдиев Д М Концепция демографического потенциала и ее приложения // Математическое моделирование Т 15 (2003) № 12. С. 37-74. (Обзорная статья)

2) Эдиев Д М О роли среднего возраста родителя при рождении ребенка в

долгосрочной демографической динамике // Вопросы статистики. №11 (2006). С 23-31.

3) ЭдиевД.М. Об одной модели оценивания стратегий восстановления демографических потерь России // Математическое моделирование Т 17, №10(2005) С 113-126

4) ЭдиевДМ. О нерасширияемости одного класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион Естественные науки №1 (2005) С. 32-33.

5) ЭдиевД.М. О сравнении возрастных структур реальных населений // Вопросы статистики №10(2004). С. 16-27 (Обзорная статья)

6) Эдиев Д М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в квадратичной метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала И Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион Естественные науки №4 (2002). С 3-6.

7) ЭдиевДМ О монотонных мерах сходимости возрастной структуры населения к структуре асимптотически эквивалентного стабильного населения II Известия ТРТУ, №8,2004 С. 302-303

Другие статьи в российских изданиях:

1) ЭдиевД.М Приложение концепции демографического потенциала к анализу роли миграции в воспроизводстве населения // Материалы международной конференции «Миграция и развитие» (5-е Валентеевские чтения) Т. I. М МГУ им. М В Ломоносова, 2007. С. 282-284.

2) Эдиев Д М Лучше больше да раньше // Российская газета. Юг России. № 93 (4059), 4 05 06 С 10

3) ЭдиевДМ. Методика мониторинга демографических процессов с использованием результатов теории демографического потенциала // Сб. Демографический кризис как угроза региональному развитию России пути преодоления. М, 2006 С. 280-283

4) ЭдиевДМ Приложение концепции демографического потенциала к оцениванию коэффициента Лотки в системе мониторинга воспроизводства малочисленного населения // Политика народонаселения настоящее и будущее 4-е Валентеевские чтения Сб. докладов (Книга 2) М МАКС Пресс, 2005. С. 256-262

5) ЭдиевДМ. О моделировании оптимальных стратегий преодоления депопуляции России II Политика народонаселения настоящее и будущее 4-е Валентеевские чтения Сб. докладов. М МАКС Пресс, 2005. С. 46-51.

6) Эдиев Д М Об использовании концепции демографического потенциала в разработке многоуровневой системы мониторинга и контроля эффективности демографической политики II Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения Сб. докладов М.: МАКС Пресс, 2005. С. 51-54

7) Эдиев Д М Демографические потери депортированных народов СССР // Население и общество, №79,2004. С. 1-4

8) Эдиев Д M Демографические потери депортированных народов СССР II Делюскоп-уыкли. №147-148 (2004). Тема номера httpV/demoscope ruAveeklv/2004/0147/tema01 php

9) Эдиев ДМ. Об условиях нерасширимости класса монотонных мер сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения // Материалы междунар. российско-казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 311-316.

10)ЭдиевДМ. Международная миграция как фактор преодоления депопуляции России // В.А. Ионцев (га ред.) Науч. серия «Международная миграция населения: Россия и современный мир». Вып 11. Миграция и национальная безопасность. M : МАКС ПРЕСС, 2003. С 62-72

11)ЭдиевДМ Взаимосвязь между спектральными свойствами матрицы Лесли и возрастной структурой демографического потенциала II Электронный журнал "Исследовано в России", 74, 2002 г. С. 804-814. http //zhurnal аре relarn ru/articles/2002/074 pdf

12)Ediev D. M. Interrelations between the spectrum of Leslie matrix and the age pattern of demographic potentials // Электронный журнал "Исследовано в России", 74е, 2002 г. С 815-823. http //zhumal аре relam ru/articles/2002/074e pdf

13)Эдиев ДМ Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в куллбаковской метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала II Электронный журнал "Исследовано в России", 17, 2002 г. С 182-190. http //zhurnal аре relam.ni/articles/2002/017 pdf

14)ЭдиевДМ. Реконструкция показателей иммиграции в США с использованием модели демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 140, 2001 С. 1601-1618 httpV/zhurnai аре relarn ru/articles/2001/140 pdf

15)Ediev D M. Reconstruction of the US immigration history demographic potential approach // Электронный журнал "Исследовано в России", 140е, 2001. С. 1619-1635. http //zhurnal аре relarn ru/articles/2001/140e pdf

16)ЭдиевДМ. Агрегированное прогнозирование численности населения о использованием техники демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 38, 2001. С. 382-407 http //zhurnal аре relarn ru/articles/2001/038 pdf

17)Ediev D M. Aggregate population forecasting with the use of demographic potentials technique // Электронный журнал "Исследовано в России", 38е, 2001. С. 408-431. http7/zhurnal аре relarn ru/aiticles/2001/038e pdf

18)ЭдиевДМ Устойчивость экономико-демографических потенциалов к отклонениям режима воспроизводства населения от модельного // Специальная астрофизическая обсерватория РАН. Нижний Архыз, 1999. Препринт № 135Т. 4 с

19)Эдиев Д.М. Экономический потенциал региона (экономико-

демографический подход) // Сб. трудов международного научного симпозиума "Экономика и право - стратегии 3000" ТIV "Математическое моделирование и компьютерные технологии". -Кисловодский институт экономики и права Кисловодск, 1996. С 18-23

20)ЭдиевДМ. Экономический анализ демографической динамики // Междуведомственный сборник «Моделирование процессов управления и обработки информации» - Московский физико-технический институт. М, 1996 С 76-80.

Тезисы в материалах всероссийских и международных конференций:

1) Ediev D. М. Demographic losses of deported soviet peoples II European Population Challenges and Opportunities Сб. тезисов Европейской конференции по народонаселению, Варшава, 23-27 августа 2003. С. 177

2) Эдиев Д М. Динамика демографического потенциала России // Сборник тезисов докладов II Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии" TI "Экономико-математическое моделирование" Кисловодский институт экономики и права Кисловодск, 1998 С 100-101.

3) Эдиев Д.М Демографический потенциал // Сборник тезисов докладов международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", -Кабардино-Балкарский научный центр РАН, НИИ прикладной математики и автоматизации Нальчик, 1996. С. 109-110

Другие публикации в материалах конференций:

1) Эдиев Д М. Экономический потенциал Карачаево-Черкесской Республики // Сборник тезисов докладов региональной научно-практической конференции «Северный Кавказ на пороге XXI Века» Институт экономики и управления, научно-исследовательский центр "Кавказоведения". Пятигорск, 1998. С. 105-106

2) Эдиев Д М. Устойчивость экономико-демографических оценок // Сборник тезисов докладов XXXIX Юбилейной научной конференции Московского физико-технического института "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики". - М • МФТИ, 1996.

"Подписано в печать 11 03 2008г Формат 60х837Т1Г Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 2,09 Заказ 0206 Тираж 100 экз

Оригинал - макет подготовлен на множительно - полиграфическом участке КЧГТА

369000, г. Черкесск, ул Ставропольская, 36

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ.

Глава 1. Литературный обзор

1.1. введение в математико-демографические модели воспроизводства популяции

1.2. репродуктивный потенциал (Р. Фишер)

1.3. Потенциал роста, нопуляционная инерция (П. Венсан, Н. Кейфнтц)

1.4. Капитализированная стоимость будущих доходов (у. фарр) и жизненный потенциал (JI. Херш)

1.5. Работы по теории показателей ннстабильности (Ш. Тулджапуркар,И. Пирожков, A.M. Рубинов, Н.Е. Чистякова, р. Шоен, я. Ким)

1.6. Выводы и заключения к главе

Глава 2. Демографические потенциалы в классической модели замкнутого однородного однополого населения

2.1. Дискретная популяционная модель

2.2. Непрерывная популяционная модель

2.3. Генеалогические линии и генеалогическая диаграмма. Об интерпретации понятия демографического потенциала в условиях простого воспроизводства населения

2.4. Об обобщении репродуктивного потенциала P.A. Фишера

2.5. Демографический потенциал и потенциал роста. Об обобщении понятия потенциала роста Венсана-Кейфитца

Глава 3. Демографические потенциалы в произвольной модели воспроизводства населения

3.1. Модель открытого неоднородного населения без механического перемешивания

3.2. модель неоднородного открытого населения с механическим перемешиванием

3.3. Демографические потенциалы в моделях воспроизводства с неременными, отличными от возраста

3.4. Непрерывная модель воспроизводства населения общего вида

Глава 4. Экономико-демографические потенциалы. Приведенный жизненный потенциал

4.1. Приведенные демографические потенциалы. Приведенный жизненный потенциал

4.2. Экономико-демографические потенциалы

4.3. Ресурсный потенциал, эколого-демографический потенциал

4.4. Приведенные демографические потенциалы в модели неоднородного открытого населения

4.5. Половозрастная потенциальная пирамида

Глава 5. свойства демографических и приведенных демографических потенциалов 138 5.1. Свойства демографических потенциалов

5.1.1 Общие свойства.

5.1.2 Устойчивость демографических потенциалов.

5.1.2.1 Устойчивость к изменению параметров.

5.1.2.2 Эргодичность.

5.2. Свойства приведенных демографических потенциалов

Глава 6. Модель воспроизводства демографического потенциала. Приложения в спектральном анализе и теории эргодичности

6.1. Дискретная понуляционная модель

6.2. Непрерывная популяционная модель

Глава 7. Монотонные показатели сходимости возрастных структур

7.1. Дискретная популяционная модель

7.1.1. Показатели стабилизации возрастной структуры в условиях постоянного режима воспроизводства.

7.1.2. Показатели сближения возрастной структуры реальных населений в условиях постоянного режима воспроизводства.

7.1.3. Показатели сближения возрастной структуры реальных населений в условиях переменного режима воспроизводства.

7.2. Непрерывная популяционная модель

с(х,/) = с(л:;/ + л:) - (абсолютный) демографический потенциал человека возраста я:, родившегося в момент времени /, = + - (обобщенный) репродуктивный потенциал (потенциал

Фишера) человека возраста х, родившегося в момент времени /, = м(х;/ + х) - ожидаемый относительный потенциал младенца, родившегося в момент времени t, при достижении им возраста х,

- численность населения в момент времени t,

С(/) - суммарный демографический потенциал населения в момент времени

У^) - суммарный репродуктивный потенциал населения в момент времени /,

- число генеалогических линий генеалогической диаграммы населения в момент времени /,

О (г) - (обобщенный) потенциал роста возрастной структуры населения (потенциал Венсана, инерция Кейфитца) в момент времени /.

Введение

При исследовании систем со сложной структурой плодотворно изучение скрытых возможностей, заложенного в их внутренней структуре потенциала (от греч. чистая возможность, скрытая сила). Ярким примером тому является потенциальная энергия механической системы, скрытая в ее пространственной структуре. Плодотворным оказывается такой подход и при исследовании биологических, социальных и экономических систем [1], которые сложны по своей структуре [2, 3, 4, 5, 6]. Не случайно термин «потенциал» в различных трактовках получил широкое распространение в моделях биологических, социальных и экономических паук.

Начиная с середины XIX - начала XX веков, в научный оборот были введены различные «потенциалы», отражающие разные аспекты демографической системы (см. литературный обзор в главе 1). Несмотря на множество работ, концепции потенциальной демографии не были обобщены на случай меняющихся во времени повозрастных показателей рождаемости и смертности. Наибольший интерес привлекли концепции репродуктивного потенциала и потенциала роста. Однако, попытки обобщения этих концепций оказались неудачными, ввиду ограниченности использовавшихся моделей и ошибок в постановке и математической разработке. Не была так же решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая уже давно [7].

Это обуславливает актуальность настоящей работы по обобщению понятий потенциальной демографии для популяционных моделей общего вида. Автор работы в свое время пришел к концепции демографического потенциала [8, 9, 10, 11, 12, 13], близкой к концепции репродуктивного потенциала Р.А.Фишера. Разработка концепции изначально велась независимо, и удалось получить ряд новых результатов и обобщений, в т.ч. относящихся к другим концепциям потенциальной демографии.

К концепции демографического потенциала ведет несколько путей. С некоторой условностью можно определить потенциал на микроуровне, как нечто присущее отдельному человеку. В рамках традиционных популяционных моделей можно рассмотреть потенциалы среднего человека определённой возрастно-социалыюй группы, рассчитываемые исходя из целей анализа и принимаемых гипотез о популяционной динамике. Несмотря на многообразие целей исследования народонаселения и сложность демографических моделей, т.н. свойство эргодичности, характерное для демографических систем, позволяет сконструировать общий измеритель демографической ценности в случае, когда целью анализа является исследование перспектив роста населения. Это свойство гласит, что как бы ни отличались структуры двух групп населения, с течением времени различия будут стираться, если показатели воспроизводства в будущем будут одни и те же у обеих групп. Оно показано Лоткой [14] для асимптотически стабильного населения, а Коулом [15] и Лопесом [16] для населения с меняющимся во времени режимом воспроизводства. Доказательство можно найти у Артура [17, 18], см. так же работу Кохена [19].

Идея заключается в том, что, хотя нельзя считать равноценными представителей различных возрастно-социальных групп, можно сопоставлять друг с другом ценности («потенциалы») двух одновременно сосуществующих групп населения с одинаковыми возрастно-социальной структурой и демографическими показателями. Если в основу понятия потенциала положить величину, являющуюся однородной функцией первого порядка (напр., аддитивной) относительно численностей подгрупп населения. В этом случае потенциалы вышеуказанных групп населения будут соотноситься как численности этих населений. Поскольку, согласно свойства эргодичности, возрастные структуры потомств популяций, следующих одному и тому же режиму воспроизводства, асимптотически одинаковы, демографические потенциалы исходных популяций можно соизмерить, используя асимптотику отношения численности их потомств. Таким образом, можно предложить следующее общее определение демографического потенциала, отражающего долгосрочный демографический эффект.

Пусть Ыа[}) - численность потомства особи/популяции 'а' к моменту времени Тогда демографические потенциалы са определяются так, что о

СЬ '->-^(0

Несмотря на простоту, определение весьма общее, и может использоваться в самых разных контекстах математической демографии и биологии, поскольку свойство эргодичности, лежащее в его основе, является одним из наиболее универсальных свойств популяционной динамики.

При учёте потомства может возникнуть проблема двойного счёта - его можно отнести как к потенциалу отца, так и к потенциалу матери, но делать и то, и другое разом нельзя, т.к. потомства будут учтены дважды. Эта проблема решается при использовании традиционных однополых моделей воспроизводства. При этом потенциал будущего потомства приписывается прародителю используемого в модели пола. Помимо отсутствия двойного счёта, этот подход обладает рядом преимуществ. Во-первых, однополые демографические модели развиты, обеспечены информационной базой, точны и широко используются на практике. Во-вторых, расчёт потенциалов наиболее прост в рамках однополых моделей, многие результаты могут быть получены аналитически. В-третьих, на основе оценок, полученных для однополых моделей, можно построить потенциалы, отвечающие самым различным целям анализа. В частности, можно построить потенциалы, учитывающие двуполую структуру населения. Учитывая отмеченные обстоятельства, разработка концепции демографического потенциала в настоящей работе ведется в рамках однополых моделей. Напомним в связи с этим, что однополость традиционной популяциоиной модели не предполагает игнорирования двуполости популяции. Хотя основой модели является модель воспроизводства «ведущего» пола (как правило, женского), на основе этой модели так же разрабатывается модель динамики численности другого пола - на основе соотношения полов при рождении, которое в человеческой популяции довольно стабильно.

Учет возможностей, потенциально заложенных в ожидаемом потомстве важен и в ряде экономических задач. Так, изучая рынок товаров для детей, следует учесть не только число сегодня живущих детей, но и предполагаемую численность новых поколений, которые, проходя через детские возраста, составят целевой сегмент компании. Необходимость учёта будущих потомков возникает и в других контекстах: экологических, социальных, военно-политических и прочих. Эти задачи так же предлагается решать на основе разработки специальных показателей, отражающих относительный вклад людей различного статуса, с учетом как их собственной роли, так и роли их ожидаемого в будущем потомства.

Альтернативный подход к разработке концепции демографического потенциала связан с анализом демографических процессов на макроуровне. При этом надо отметить, что из-за сложности демографической системы, при исследовании агрегированных демографических и связанных с ними экономических показателей необходимо учитывать внутренне присущую им динамику. Эта динамика обусловлена эффектом последействия, характерным для процесса воспроизводства населения: так, наблюдаемое число рождений зависит не только от сложившегося уровня рождаемости, но и от того, сколько было рождений примерно 25-30 лет тому назад и от показателей смертности и миграции за эти годы, поскольку эти факторы определяют численность родительских контингентов.

Отмеченная особенность приводит к неадекватности агрегированных популяционных моделей и сложности моделей, адекватных реальной структуре исследуемого населения. Традиционный подход к учету структурных особенностей демографических систем восходит к работам А. Лотки [14, 20] и заключается в анализе громоздких популяционных моделей, явно учитывающих возрастные особенности рождаемости и смертности. К примеру, т.н. модель передвижки, используемая в демографическом прогнозировании, описывает динамику примерно двухсот показателей численности и структуры населения на основе двухсот показателей смертности, тридцати показателей рождаемости и двухсот показателей миграции на каждый год прогноза. Агрегированные модели, быть может за исключением некогда популярных моделей с логистической динамикой [21, 22], не получили распространения в демографическом моделировании из-за неадекватности в долгосрочном плане динамике численности населения произвольной возрастной структуры.

Поэтому для целей анализа популяционной динамики полезно искать такие агрегированные показатели (демографические потенциалы), динамика которых достаточно проста, какой бы ни была структура населения по возрасту или иным показателям, интересующим исследователя (как только что было отмечено, численность населения для этих целей не подходит). В такой постановке концепция демографического потенциала родственна концепции энергии в физике: если нет процессов, не учтенных в модели динамики системы, если она замкнута, то ее общая энергия должна быть постоянной. Изменение энергии говорит о том, что изучаемая система испытывает взаимодействие с внешним миром. Демографический потенциал тоже можно подобрать так, чтобы он был постоянен, если воспроизводство населения идет согласно построенной модели. Это легко согласуется с ({), поскольку, общая асимптотическая относительная численность потомства всего населения не может зависеть от времени. Впрочем, в силу особенностей популяционной динамики, иногда удобней подбирать потенциал так, чтобы его динамика была отличной от константы.

Формально демографический потенциал на макроуровне можно определить как показатель, который удовлетворяет некоторым наперед заданным аксиоматическим требованиям в отсутствие внешних воздействий, нарушающих режим воспроизводства населения. Как показано в работе, оба подхода - основанные как на моделях микроуровня, так и на аксиоматических требованиях к потенциалу на макроуровне - приводят в итоге к одним и тем же показателям.

Концепция демографического потенциала оказалась плодотворной, и ее разработка привела к обобщениям концепций потенциальной демографии и ряду полезных агрегированных моделей популяционной динамики, показавших свою работоспособность на тестовых примерах и в практических приложениях. С единых позиций удалось подойти ко всем концепциям, составляющим потенциальную демографию, - т.е. решить вышеупомянутую задачу, давно еще выдвинутую в отечественной литературе.

В частности, удалось получить новые результаты по развитию и обобщению понятий потенциальной демографии [8, 10, 11, 13, 23, 24], по теории эргодичности демографических моделей [8, 10, 11, 25, 26, 27], по теории монотонной сходимости возрастных структур населений [10, 11, 13, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34], по теории демографического прогнозирования [8, 10, 11, 12, 26, 27], по спектральной теории популяционных моделей [10, 11, 26, 27], по теории демографической динамики в условиях изменения графика деторождения [10, 11, 13, 23, 35, 36]. Применение результатов разработки теории демографического потенциала сыграло ключевую роль в решении таких задач, как исследование истории и перспектив воспроизводства населения России [10, 11, 12], анализ оптимальных стратегий преодоления депопуляции населения России [10, 11, 37, 38, 39], исследование демографических потерь депортированных народов СССР [11, 40, 41, 42], реконструкция показателей иммиграции в США [10, 11, 43, 44], исследование расово-этнических особенностей воспроизводства населения США [10, 11, 30]. На основе теории демографического потенциала были предложены новые методы мониторинга последствий социально-экономических кризисов для смертности [11, 45], новые методы аиализа роли миграции как фактора воспроизводства и замещения населения, на основе чего разработана теория стабильного населения с учетом миграции [11, 46, 47], новые методы мониторинга воспроизводства населения, пригодные для целей демографической политики в условиях изменения уровня и возрастной структуры показателей воспроизводства [48, 49, 50], новые методы агрегированного демографического моделирования и прогнозирования [8, 10, 11, 12, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 51, 52, 53].

Таким образом, актуальность настоящей работы связана с необходимостью разработки общего подхода к понятиям потенциальной демографии, обобщения их па случай популяционной модели общего вида, без традиционно использовавшихся ограничений типа постоянства режима воспроизводства и замкнутости населения относительно миграции; обусловлена большим интересом к разработке новых методов демографического анализа и моделирования. Этот интерес особенно велик в связи с последним развитием демографической ситуации в России и большим интересом к проблемам народонаселения в мире.

Целью настоящей работы является разработка теории демографических потенциалов для динамических популяционных моделей общего вида и приложений к задачам теоретической и прикладной математической демографии, тесно связанным с проблематикой потенциальной демографии.

Для решения поставленной цели решаются следующие задачи:

1) разработка, исследование свойств и областей приложения демографических потенциалов на основе вклада в отдалённое потомство в рамках традиционной популяционной модели, с переменным, вообще говоря, режимом воспроизводства;

2) обобщение понятия репродуктивного потенциала (P.A. Фишер) на случай произвольной динамики показателей воспроизводства;

3) разработка единого аксиоматического подхода к различным понятиям потенциальной демографии (демографический потенциал, репродуктивный потенциал, жизненный потенциал и др.);

4) разработка концепции демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции;

5) разработка концепции демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста;

6) разработка операторной популяционной модели общего вида и концепции демографического потенциала и исследование их свойств с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности;

7) обобщение и разработка понятия потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц) на основе понятия демографического потенциала на случай популяционной модели общего вида;

8) разработка, обобщение и исследование свойств понятий потенциальной демографии в узком смысле (капитализированная стоимость будущих доходов, жизненный потенциал, трудовой потенциал; У. Фарр, JT Херш) на основе единого аксиоматического подхода:

- разработка, исследование свойств и областей приложения приведенного жизненного потенциала на основе вклада в формирование человеко-лет, которые будут прожиты изучаемым населением,

- разработка, исследование свойств и областей приложения конъюнктурных потенциалов на основе вклада в формирование доходов компаний,

- разработка, исследование свойств и областей приложения ресурсных потенциалов на основе вклада в расходование дефицитного ресурса,

- разработка, исследование свойств и областей приложения экологических потенциалов на основе вклада в истощение и загрязнение окружающей среды,

- разработка, исследование свойств и областей приложения трудовых потенциалов на основе вклада в формирование трудовых ресурсов общества,

- разработка, исследование свойств и областей приложения экономических потенциалов на основе вклада в превышение производства над потреблением общества;

9) разработка приложений к спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей;

I (^разработка теории монотонной сходимости возрастных структур населения и теории монотонных показателей инстабильности, обобщение известных результатов на случай популяционной модели общего вида;

II разработка приложений аппарата демографических потенциалов к задачам математической и прикладной демографии;

12)разработка приложений к составлению индексов для мониторинга демографических и миграционных процессов;

13)разработка приложений к демографическому прогнозированию;

14)разработка приложений к ретроспективному демографическому оцениванию;

15)разработка агрегированных популяционных моделей на основе результатов теории демографических потенциалов;

16)апробация разработанных моделей и методов на примере анализа реальных демографических процессов.

Объектом исследования является народонаселение.

Предметом исследования являются математические модели популяционной динамики.

Суть решаемой научной проблемы - разработка теории и приложений демографических потенциалов.

Для решения поставленной научной проблемы используются методы математического моделирования, математической демографии, математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории матриц.

Разработанные методы апробированы на данных по населению России, США, Швеции, Японии, Франции и ряда других стран. Результаты работы использовались и разрабатывались в исследовательских проектах при поддержке Бюро образовательных и культурных программ госдепартамента США (ЯБЕР 2000), Министерства образования РФ (госбюджетная НИР, 2002-2004гг.), фонда МакАртуров (грант 02-73284, 2002-2003гг.), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-06-80432, 2005-2006гг.) и Российского консорциума экономических исследований. Положения, выносимые на защиту:

- Концепция демографического потенциала предложена и разработана для модели однородного населения с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности.

- Разработан единый аксиоматический подход к понятиям потенциальной демографии.

- Разработана концепция демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции.

- Разработана концепция демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста.

- Разработаны операторная популяционная модель общего вида и концепция демографического потенциала с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности.

- Исследованы свойства демографических потенциалов.

- Обобщена концепция репродуктивного потенциала (Р. Фишер) на случай популяционной модели с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности.

- Обобщен результат P.A. Фишера относительно динамики репродуктивного потенциала.

- Обобщено понятие потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц), разработаны методы его оценивания.

- Получены общие результаты по эргодическому свойству линейных популяционных моделей, а также по спектральным свойствам популяционных моделей.

- Дано исчерпывающее решение проблемы разработки монотонных показателей сходимости возрастных структур. Исправлены, улучшены и обобщены известные результаты.

- Предложены и разработаны приведенные демографические потенциалы в развитие и обобщение капитализированной стоимости У. Фарра и потенциала JI. Херша.

- Рассмотрены приложения к оцениванию параметров, сравнительному анализу воспроизводства населения, моделированию демографического перехода и динамики численности и иных линейных показателей населения.

- Предложена и разработана агрегированная популяционная модель, апробированная на реальных данных.

- На основе построенных моделей проведен анализ истории и перспектив воспроизводства населения России.

Работа состоит из двух частей, списка литературы из двухсот восьмидесяти девяти наименований и двух приложений.

Первая часть посвящена литературному обзору, разработке теоретических основ концепции демографических потенциалов и исследованию их свойств. Первая глава содержит обзор научной литературы, анализ результатов, предшествовавших настоящей работе. Во второй главе рассматривается концепция демографического потенциала в рамках традиционной однородной однополой модели замкнутого (в отношении миграции) населения. Сначала рассматривается дискретная модель Лесли воспроизводства населения, в рамках которой реализуется аксиоматический подход к разработке концепции демографического потенциала. Далее рассматривается непрерывная модель воспроизводства общего вида, в рамках которой показана эквивалентность аксиоматического подхода к разработке концепции демографического потенциала и альтернативного подхода на микроуровне, на основе вклада в отдаленное потомство населения. Для моделей простого режима воспроизводства (при котором новорожденный - в среднем - будет иметь одного ребенка к концу своей жизни) демографический потенциал допускает простое и важное толкование. С точностью до постоянного множителя он равняется числу генеалогических линий населения, определенных особым образом. Аппарат количества генеалогических линий является новым и так же обсуждается в контексте теории демографического потенциала во второй главе. В заключение второй главы даются обобщения понятий репродуктивного потенциала Фишера и потенциала роста Венсана-Кейфитца. Ограничения однородности и замкнутости, наложенные во второй главе, снимаются в третьей главе.

Сначала рассматриваются модели воспроизводства открытого неоднородного населения, а также модели с переменными, отличными от возраста. Далее рассматривается операторная популяционная модель общего вида. В четвертой главе рассматривается концепция приведенных потенциалов, которые, в отличие от чисто демографического потенциала, отражают не отдаленные перспективы воспроизводства, а ожидаемый в будущем вклад ныне живущего населения и его потомства в экономические и иные исследуемые процессы. Эти потенциалы уточняют и обобщают понятия капитализированной стоимости У. Фарра и потенциала Л. Херша. В главе так же обсуждаются области приложений предлагаемых величин. В пятой главе рассмотрены свойства потенциалов. Рассмотрена важная связь динамики демографических потенциалов с мальтузианским параметром, дается обобщение классического результата Фишера относительно динамики суммарного репродуктивного потенциала. Исследована устойчивость потенциалов, включая свойство эргодичности, аналогичное свойству эргодичности популяционной модели. В шестой главе рассмотрена модель воспроизводства демографического потенциала, основанная на постулированной структуре возрастных коэффициентов и наперед заданной динамике демографического потенциала. Исследованы свойства модели, связь с традиционной постановкой популяционной модели. Получены новые общие результаты по спектральной теории и теории эргодичности популяционных моделей. Седьмая глава посвящена теории монотонных показателей стабилизации возрастной структуры, которая получила исчерпывающее развитие в рамках теории демографических потенциалов. Опровергнуто высказанное в литературе предположение об уникальности одного такого показателя. Показаны существование и нерасширяемость класса, включающего как частные случаи предложенные ранее показатели. Теория развита на не изученные случаи анализа двух и более реальных населений и для модели с переменным режимом воспроизводства.

Во второй части рассматриваются приложения к различным задачам теоретической и прикладной демографии. В восьмой главе обсуждаются приложения к задачам анализа статистики движения населения и демографического мониторинга. Предлагается способ конструирования демографического потенциала двуполого населения на основе результатов его разработки для однополых моделей. Девятая глава посвящена обсуждению прогностической значимости демографического потенциала населения, приложениям к оцениванию потенциала роста. На основе моделей, разработанных в девятой главе, в десятой главе приводится метод исследования аномалий в возрастной структуре смертности, вызванных влиянием социального кризиса. Одиннадцатая глава посвящена проблеме оценивания мальтузианского параметра (коэффициента Лотки) на основе динамики демографических потенциалов. В двенадцатой главе разрабатываются агрегированные популяционные модели, адекватные роли динамики структуры населения. С использованием разработанных моделей, проведено исследование демографической истории и перспектив населения России, описанию результатов которого посвящена тринадцатая глава. В четырнадцатой главе приводятся приложения к анализу возможностей и мониторингу эффективности демографической политики, которые иллюстрируются на примере России. В пятнадцатой главе агрегированная популяционная модель развивается на случай открытого населения и исследуются приложения к исторической реконструкции и ретроспективным расчетам популяционной динамики (на примере США).

В приложениях к работе приведены результаты расчета потенциалов для различных модельных режимов воспроизводства.

Автор выражает благодарность академику A.A. Петрову за внимание к работе и поддержку. В работе использованы материалы, полученные при поддержке Бюро образовательных и культурных программ госдепартамента США (программа RSEP 2000), Министерства образования РФ (госбюджетная

НИР, 2002-2004гг.), фонда МакАртуров (грант 02-73284, 2002-2003гг.), Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант 05-06-80432, 2005-2006гг.), отдела народонаселения ООН и Российского консорциума экономических исследований, автор выражает им свою признательность. Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, вычислительном центре РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, Московском Доме Ученых РАН, институте проблем управления РАН, Венском институте демографии Австрийской Академии Наук, институте Макса Планка демографических исследований (Росток, Германия), университете Штата Айова (США), НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, а также на различных российских и международных конференциях. Автор благодарен участникам этих семинаров и конференций за полезное обсуждение работы.

Часть I.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

1. Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста / А А.Петров, A.A. Шананин // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14, № 7. - С. 27-52.

2. Васин A.A. Теория игр и модели математической экономики / A.A. Васин,B.В. Морозов. М. : МАКС Пресс, 2005. - 271 с.

3. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии: учеб. пособие для университетов/ A.M. Нахушев-M. : Высшая школа, 1995. 301 с.

4. Васин A.A. Модели динамики коллективного поведения / A.A. Васин. М. : Изд-во МГУ, 1989. - 156 с.уПирожков С.И. Демографические процессы и возрастная структура населения / С.И. Пирожков. М. : Статистика, 1976. - 136 с.

5. Эдиев Д.М. Демографические и экономико-демографические потенциалы: дис. . канд. физ.-матем. наук / Эдиев Далхат Мурадинович ; науч. рук. Ю.П. Иванилов, В.Г. Жадап ; Московский физико-технический институт. М., 1997, 1999.-206 с.

6. Эдиев Д.М. Концепция демографического потенциала и ее приложения / Д.М. Эдиев // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15, № 12. - С. 3774.

7. Lotka A.J. Theorie Analytique des Associations Biologiques. Part II. Analyse Démographique avec Application Particulière a l'Espece Humanie. Actualities Scientifiques et Industrielles / A.J.Lotka. Paris : Hermann and Cie, 1939. - 780 c.

8. Coale A.J. How the age distribution of human population is determined / A.J. Coale. // Cold Spring Harbour Symposia on Quantitative Biology. New York : Cold Spring Harbour, 1957. - Т. XXXII. - C.83-90.

9. Lopez A. Problems in Stable Population Theory / A. Lopez. Princeton, N.J. : Office of Population Research, 1961.

10. Arthur W.B. Why a Population Converges to Stability / W.B.Arthur // American Mathematical Monthly. 1981. - T. 88, № 8. - C. 557-563.

11. Arthur W.B. The Ergodic Theorems of Demography: a Simple Proof / W.B.Arthur // Demography. 1982. - № 19. - C. 439-445.

12. Cohen J.E. Ergodic theorems in Demography / J.E. Cohen // Bulletin of the American Mathematical Society (new series). 1979. - Т. 1, № 2. - C. 275-295.

13. Эдиев Д.М. Экономический анализ демографической динамики / Д.М. Эдиев // Моделирование процессов управления и обработки информации : междуведомств, сб. / Московский физико-технический институт. М. : МФТИ, 1996.-С. 76-80.

14. Эдиев Д.М. О нерасширяемости класса монотонных мер сходимости , возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения / Д.М. Эдиев // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион : Естественные науки. 2005. - № 1. - С. 32-33.

15. Ediev D.M. Dynamic Population Models / D.M. Ediev // European Journal of Population. 2007. - 3 p. - Mode access : doi: 10.1007/sl0680-007-9140-8. -Book review : Dynamic Population Models / Robert Schoen (ed.). - Dordreht: Springer, 2007. - 252 p.

16. Эдиев Д.М. О роли среднего возраста матери при рождении ребенка в долгосрочной демографической динамике / Д.М. Эдиев // Вопросы статистики. 2006. - № 11. - С. 23-31.

17. Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР / Д.М. Эдиев. Ставрополь: Изд-во СтГАУ «АГРУС», Ставропольсервисшкола, 2003. - 336 с.

18. Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР / Д.М. Эдиев // Население и общество. 2004. - № 79. - С. 1-4.

19. Ediev D. Migration as a Factor of Population Reproduction / D. Ediev, D. Coleman, S. Scherbov // European Demographic Research Papers. 2007. - № 1.- Vienna : Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. 57 P

20. Keyfitz N. Applied mathematical demography / N. Keyfitz. New York, etc. : Springer, 1985.-435 p.

21. Баркалов Н.Б. Моделирование демографического перехода / Н.Б. Баркалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 79 с.

22. Староверов О.В. Азы математической демографии / О.В. Староверов. М. : Наука, 1997.- 158 с.

23. Боярский А.Я. Народонаселение и методы анализа населения / А.Я. Боярский. -М. : Статистика, 1975.

24. Preston S.H. Demography: Measuring and Modeling Population Processes / S.H Preston, P. Heuveline, M. Guillot. Oxford: Blackwell Publishers, 2001. - xv + 291 p.

25. Введение в демографию / Под ред. В.А. Ионцева и А.А. Саградова. М. : Теис, 2002.

26. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии / И.Г. Венецкий. -М. : Статистика, 1971.-296 с.

27. Медков В.М. Демография. Учебник / В.М. Медков. М. : ИНФРА-М, 2003.- 544 с.Демографические модели. Сб. статей / под. ред. и с предисл. Е.М.Андреева и А.Г. Волкова. М. : Статистика, 1977. - 182 с.

28. Иванилов Ю.П. О некоторых социально-демографических моделях / Ю.П. Иванилов, Е.М. Столярова // Методы оптимизации. Вып.4: Методы оптимизации и исследование операций. - Иркутск: Сибирский энергетический институт СО АН СССР, 1976. - С. 149-157.

29. Pollard J.H. Mathematical models for the growth of human populations / J.H. Pollard. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1973. - 186 p.

30. The concept of a stable population. Application to the study of countries with incomplete demographic statistics / United Nations. ST/SOA/Series A/39. New York : United Nations, 1968.

31. Whelpton P.K. Forecasts of the Population of the United States, 1945-1975 / P.K. Whelpton. Washington, D.C. : U.S. Government Printing Office, 1947.

32. Land K.C. Methods for National Population Forecasts: A Review / K.C. Land // Journal of the American Statistical Association. 1986. - Vol. 81, № 396.- P. 888-901.

33. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics / P.H. Leslie // Biometrika. 1945. - № XXXV. - P. 183-212.

34. Leslie P.H. Some Further Notes on the Use of Matrices in Population Mathematics / P.H. Leslie // Biometrika. 1948. - № XXXV. - P. 213-245.

35. Lopez A. Problems in Stable Population Theory / A. Lopez. Princeton, N.J. : Office of Population Research, 1961.

36. Parlett B. Ergodic properties of populations I: the one-sex model / B. Parlett // Theoretical Population Biology. 1970. - № 1. - P. 191-207.

37. Euler L. Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain / L. Euler // Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Letters.- 1760.-№ 16.-P. 144—164.

38. Dublin L.I. On the true rate of natural increase as exemplified by the population of the United States, 1920 / L.I. Dublin, A.J. Lotka // Journal of American Statistical Association. 1925. - № 20. - P. 305-39.

39. Lotka A.J. The stability of the normal age distribution / A.J. Lotka // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA). 1922. - № 8- P. 339345.

40. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. M., Наука, 1966. - 576 с.7 &Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. Пер. с англ. - М. : Мир, 1989.-655 с.

41. Keyfitz N. Age Distribution and Stable Equivalent / N. Keyfitz // Demography.- 1969.-№6.-P. 261-269.

42. Rogers A. Introduction to Multiregional Mathematical Demography / A. Rogers. -New York: Wiley, 1975.70Rogers A. Multiregional Demography / A. Rogers. Chichester, West Sussex: Wiley, 1995.

43. Schoen R. Modeling Multigroup Populations / R. Schoen. New York: Plenum Press, 1988.

44. Schoen R. Practical use of multistate population models / R. Schoen // Annual Review of Sociology. 1988. -№ 14. - P. 341-361.отSchoen R. Dynamic Population Models / R. Schoen. — Dordreht: Springer, 2006.-252 p.

45. Fisher R. A. The genetical theory of natural selection / R.A. Fisher. New-York : Dover Publications, 1930.

46. Fisher R.A. The actuarial treatment of official birth records / R.A, Fisher // Eugenics Review. 1927. - Vol. 19. - P. 103-108.

47. Lotka A.J. Correspondence between Alfred James Lotka and R. A. Fisher regarding the article 'the actuarial treatment of official birth records' by R. A. Fisher / A.J. Lotka // Eugenics Review. 1927. - Vol. 19. - P. 257-258.

48. Fisher R.A. Some Hopes of a Eugenist / R.A. Fisher // Eugenics Review. -1914.-Vol. 5.-P. 309-315.

49. Malthus Th.R. On The Principle of Population / Th.R. Malthus. London : J. Johnson, 1798.

50. Cole L.C. Dynamics of animal population growth / L.C. Cole // Public Health and Population Change: Current Research Issues / M.C. Sheps, J.C. Ridley (eds.). -Pittsburgh : University of Pittsburgh Press, 1965.

51. Espenshade T.J. The Stable Equivalent Population, Age Composition, and Fisher's Reproductive Value Function / T.J. Espenshade, G. Campbell // Demography. 1977. - № 14. - P. 77-86.

52. Keyfitz N. World Population: An Analysis of Vital Data / N. Keyfitz, W. Flieger Chicago : The University of Chicago Press, 1968.

53. Keyfitz N. World Population Growth and Aging: Demographic Trends in the Late Twentieth Century/ N. Keyfitz, W. Flieger. Chicago, London : The University of Chicago Press, 1990.

54. Goodman L.A. On the Age-Sex Composition of the Population That Would Result From Given Fertility and Mortality Conditions / L.A. Goodman // Demography. 1967. - № 4. - P. 423-441.

55. Keyfitz N. Introduction to the Mathematics of the Population / N. Keyfitz. -Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1968.

56. Keyfitz N. Applied Mathematical Demography / N. Keyfitz, H. Caswell. New York : Springer, 2005. - 558 p.

57. Caswell H. On the Equivalence of Maximizing Reproductive Value and Maximizing Fitness / H. Caswell // Ecology. 1980. - № 61,- P. 19-24.

58. Yodzis P. Concerning the sense in which maximizing fitness is equivalent to maximizing reproductive value / P. Yodzis // Ecology. — 1981. № 62 - P. 1681— 1682.

59. Caswell H. Reply to comments by Yodzis and Schaffer / H. Caswell // Ecology. 1981.- № 62.-P. 1685.

60. Charlsworth B. Evolution of age-structured populations / B. Charlsworth. 2nd ed. - Cambridge : Cambridge University Press, 1994. 306 p.

61. Engen S. Using reproductive value to estimate key parameters in density-independent age-structured populations / S. Engen, etc. // Journal of Theoretical Biology. 2007. - Vol. 244, № 2. - P. 308-317.

62. Caswell Н. Optimal life histories and the maximization of reproductive value: a general theorem of complex life cycles / H. Caswell // Ecology. 1982. - № 63. -P. 1218-1222.

63. Mangel M. Dynamic Modeling in Behavioral Ecology / M. Mangel, C.W. Clark. Princeton: Princeton University Press, 1988. 320 p.

64. McNamara J.M. State-dependent life-history equations / J.M. McNamara // Acta Biotheoretica. 1993. - Vol. 41, № 3. - P. 165-174.

65. Grafen A. Theory of Fisher's Reproductive Value / A. Grafen // Journal of Mathematical Biology. 2006. - № 53. - P. 15-60.

66. Grafen A. The formal Darwinism project: a mid-term report / A. Grafen // Journal of Evolutionary Biology. 2007. - № 20. - P. 1243-1254.

67. Rogers A. The multistate stable population model with immigration / A. Rogers // Population Studies. 1990. - Vol. 2, № 4. - P. 313-324.

68. Rogers A. The spatial reproductive value and the spatial momentum of zero population growth / A. Rogers, F. Willekens // Environment and Planning, A. -1978.-№ 10.-P. 503-518.

69. Samuelson P.A. Generalizing Fisher's 'reproductive value': Linear differential and difference equations of 'dilute' biological systems / P.A. Samuelson // Proceedings of National Academy of Sciences of USA. 1977. - Vol. 74, № 11-P. 5189-5192.

70. Samuelson, P.A. Generalizing Fisher's "reproductive value": Nonlinear, homogeneous, biparental systems / P.A. Samuelson // Proceedings of National Academy of Sciences of USA. 1977. - Vol. 74, № 12. - P. 5772-5775.

71. Tuljapurkar S. Demographic Uncertainty and the Stable Equivalent Population / S. Tuljapurkar, R. Lee // Mathematical and Computer Modelling. 1997. - Vol. 26, № 6.-C. 39-56.

72. Tuljapurkar Sh. Structured-population Models in Marine, Terrestrial and Freshwater Systems / Sh. Tuljapurkar, H. Caswell. New York: Springer, Chapman and Hall, 1997. - 656 p.

73. Tuljapurkar Sh. Population Dynamics in Variable Environments / Sh. Tuljapurkar. New York : Springer-Verlag, 1990.

74. Kim Y.I. An experimental study of weak ergodicity in human populations / Y.I. Kim, Z. Sykes // Theoretical Population Biology. 1978. - № 10. - P. 150-172.

75. Kim Y.I. Dynamics of populations with changing vital rates: Generalizations of the stable population theory / Y.I. Kim // Theoretical Population Biology. 1987. -№31.-P. 306-322.

76. Feller W. Introduction to Probability Theory and its Applications / W. Feller. -Vol. 1, 3rd ed. New York : Wiley, 1968.

77. Keyfitz N. On the momentum of Population Growth / N. Keyfitz // Demography. 1971. -№ 8. - P. 71-80.

78. Frejka T. Reflections on the Demographic Conditions Needed to Establish a U. S. Stationary Population Growth / T. Frejka // Population Studies. 1968. - № 22. -P. 379-397.

79. Frejka T. The Future of Population Growth / T. Frejka. New York : John Wiley & Sons, 1973.

80. Frauenthal J.C. Birth Trajectory Under Changing Fertility Conditions / J.C. Frauenthal // Demography. 1975. - № 12. - P. 447^154.

81. Mitra S. Influence of instantaneous fertility decline to replacement level on population growth: an alternative model / S. Mitra // Demography. 1976. - № 13. -P. 513-519.

82. Mitra S. Models of birth trajectories with certain patterns of variation in vital rates / S. Mitra // Genus. 1987. - № 43. - P. 1-14.

83. Cerone P. On the effects of the generalized renewal integral equation model of population dynamics / P. Cerone // Genus. — 1996. № 52. - P. 53—70.

84. Li N. Population Momentum for Gradual Demographic Transitions / N. Li, Sh. Tuljapurkar // Population Studies. 1999. -Vol. 53, № 2.- P. 255-262.

85. Tuljapurkar Sh. Population momentum / Sh. Tuljapurkar, N. Li. Mountain View Research, 1997. - Electronic resource. - Mode access : http://www. mvr. org/Papers/momentum/momentum. html

86. Preston S.H. Population dynamics in an age of declining fertility / S.H. Preston, M. Guillot // Genus. 1997. - Vol. LIII, №> 3-4. - P. 15-31.

87. Goldstein J.R. Population Momentum for Gradual Demographic Transitions: An Alternative Approach / J.R. Goldstein // Demography. 2002. - Vol. 39, № 1. -P. 65-73.

88. Schoen R. Modeling Momentum in Gradual Demographic Transitions / R. Schoen, S.H. Jonsson // Demography. 2003. - Vol. 40, № 4. - P. 621-635.

89. Potter R.G. Population Momentum: A Wider Definition / R.G. Potter, O. Wolowyna, P.M. Kulkarni // Population Studies. 1997. - № 31. - P. 555-569.

90. Tognetti K. Some Extensions of the Keyfitz Momentum Relationship / K. Tognetti // Demography. 1976. - № 13. - P. 507-512.

91. Schoen R. Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics / R. Schoen, Y.J. Kim // Demography. 1991. - № 28. - P. 455-466.

92. Preston S.H. Age structure growth, attrition, and accession: a new synthesis / S.H. Preston, A.J. Coale // Population Index. 1982. - № 48. - P. 215-259.

93. Preston S.H. The relation between actual and intrinsic growth rates / S.H. Preston // Population Studies. 1986. - № 40. - P. 343-351.

94. Wachter K.W. Age group growth rates and population momentum / K.W. Wachter // Population Studies. 1988. - № 42. - P. 487-494.

95. Kim Y.J. Momentum and the growth-free segment of a population / Y.J. Kim, R. Schoen, P.S. Sarma // Demography. 1991. - № 28. - P. 159-173.

96. Kim Y.J. Population momentum expresses population aging / Y.J. Kim, R. Schoen // Demography. 1997. - № 34. - P. 421-427.

97. Пирожков С.И. Анализ возрастной структуры населения и закономерности ее формирования : дис. . канд. экон. наук / Сергей Иванович Пирожков; Киевский ин-т народного хозяйства. Киев, 1973.

98. Кваша А.Я. Проблемы экономико-демографического развития СССР / А.Я. Кваша. -М.: Статистика, 1974.

99. Андреев Е.М. О потенциале демографического роста / Е.М. Андреев, С.И. Пирожков // Население и окружающая среда. М., 1975.

100. Вишневский А.Г. Возрастная структура населения и ее изучение / А.Г. Вишневский //Вестник статистики. -№ 1. 1977 - С. 65-69.

101. Farr W. / Farr W. // Journal Stat. Soc. London, 1853.

102. Vital statistics, a memorial volume of selections from the reports and writings of William Farr/N. Humphreys (ed.) London: Sanitary Institute, 1885.

103. Vital statistics, a memorial volume of selections from the reports and writings of William Farr / N. Humphreys (ed.) Reprint. - London: Scarecrow Press, 1975.

104. Lotka A.J. Theoría analítica de las asociones biológicas / A.J. Lotka. Chile: Centro Latinoamricano de Demografía CELADE, 1969.

105. Lotka A.J. Analytical Theory of Biological Populations / A.J. Lotka. USA: Springer, 1998.

106. Урланис Б.Ц. Динамика и структура населения СССР.и США / Б.Ц. Урланис. -М., 1964.

107. Миловидов А.С. Годы жизни и годы труда / А.С. Миловидов. М., 1983.

108. Первушин А.С. Демографические аспекты рабочей силы в мире / А.С. Первушин.-М., 1984.

109. Ермаков С.П. Современные возможности интегральной оценки медико-демографических процессов / С.П. Ермаков М. : Институт Социально-политических Исследований РАН, 1996.

110. Kaplan R.M. The quality of well-being scale rationale for a single quality of life index / R.M. Kaplan, J.R Anderson // Quality of life: assessment and application / Eds. Walker S. R., Rosser R. London: MTP Press. - 1988. - P. 5177.

111. Kaplan R.M. Health status types of validity for an index of well being / R.M. Kaplan, et al. // Health services research. 1976. - № 11. - P. 478-507.

112. Bush J.W. Analysis of a tuberculin testing program using a health status index. / J.W. Bush, S. Fanshel, M.M. Chen // Social-economic planning sciences. 1972.- № 6. P. 49-69.

113. Lotka A.J. Note on Moving Equilibria / A.J. Lotka // Proceedings of the National academy of Sciences. 1921. -№ 7. - P. 168-172.

114. Lotka A.J. Elements of physical biology / A.J. Lotka. Baltimore : Williams and Wilkins, 1925. - Reprint,: ,Elements of mathematical biology. - New York : Dover Publications, Inc., 1956.

115. Haynie D. Biological Thermodynamics / D. Haynie. Cambridge : Cambridge University Press, 2001.

116. Zotin A. Thermodynamic Bases of Biological Processes / A. Zotin. Ney York : Walter de Gruyter, 1990.

117. Demetrius L. Demographic parameters and natural selection / L. Demetrius // Proceedings of Natural Academy of Sciences of USA. 1974. - № 71. - P. 46454647.

118. Demetrius L. Adaptedness and Fitness / L. Demetrius // American Naturalist. -1977.-№ 111.-P. 1163-1168.

119. Demetrius L. Adaptive value, entropy, and survivorship curves / L. Demetrius // Nature. 1978. - № 257. - P. 213-214.

120. Tuljapurkar S.D. Why use population entropy? It determines the rate of convergence / S.D. Tuljapurkar // Journal of Mathematical Biology. 1982. - № 13.-P. 325-337.

121. Goldshtein S. A nonequilibrium entropy for dynamical systems / S. Goldshtein, D. Penrose // Journal of Statistical Physics. 1981. - № 24. - P. 325-344.

122. Goldshtein S. Entropy increase in dynamical systems / S. Goldshtein // Israel Journal of Mathematics. 1981. - Vol. 38, № 3. - P. 241-256.

123. Kullback S. On information and Sufficiency / S. Kullback, R. Leibler // Ann. of Math. Stat. 1951. - № 22. - P. 79-86.ОП1Kullback S. Information theory and statistics / S. Kullback. New York : John Wiley, 1959. - Reprint. - New York : Dover, 1968.

124. Kim Y.J. On the intrinsic force of convergence to stability / Y.J. Kim, R. Schoen // Mathematical Population Studies. 1993. - Vol. 4, № 2. - P. 89-102.

125. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation / United Nations. -New York : United Nations, 1983.

126. Bongaarts J. On the Quantum and Tempo of Fertility / J. Bongaarts, G. Feeney // Population and Development Review. 1998. - Vol. 24, № 2. - P. 271-291.

127. Zeng Y. Adjusting Period Tempo Changes with an Extension of Ryder's Basic Translation Equation / Y. Zeng, K.C. Land // Demography. 2002. - Vol. 39, № 2. -P. 269-285.

128. Kohler H.P. Variance Effects in the Bongaarts-Feeney Formula / Kohler H.P., D. Philippov // Demography. 2001. - Vol. 38, № 1. - P. 1-16.

129. Sobotka T. Postponement of Childbearing and Low Fertility in Europe / T. Sobotka Amsterdam: Dutch University Press, 2004. - 298 p.

130. Ryder N.B. The Process of Demographic Translation / N.B. Ryder // Demography. 1964. - Vol. 1, № 1. - P. 74-82i

131. Hajnal J. The Analysis of Birth Statistics in the Light of the Recent International Recovery of the Birth Rate / J. Hajnal // Population Studies. 1947. — Vol. 1,№ 2.-P. 137-164.

132. Bhrolchain N. Period Paramount? A Critique to the Cohort Approach to Fertility / N. Bhrolchain // Population and Development Review. 1992. - Vol. 18, №4.-P. 599-629.

133. Bongaarts J. An Alternative to the One-Child Policy in China / J. Bongaarts, S. Greenhalh // Population and Development Review. 1985. - Vol. 11, № 4. - P. 585-617.

134. Zeng Y. The Impact of Urbanization and Delayed Childbearing on Population Growth in China / Y. Zeng, J. Vaupel // Population and Development Review. -Vol. 15, № 3. 1989. - P. 425-445.

135. Elizaga J.C. Métods para medir la fecundidad "actual" de una población / J.С. Elizaga // Proceedings of the World Population Conference, Rome, 1954. / United Nations. Vol. 4. - New York: United Nations, 1955. - P. 291-302.

136. Bourgeois-Pichat J.E. La mesure de la fécondité des populations humanies / J.E. Bourgeois-Pichat // Proceedings of the World Population Conference, Rome, 1954. / United Nations. Vol. 4. - New York: United Nations, 1955. - P. 249-259.

137. Vital statistics of the United States, 1991 / National Center for Health Statistics. Vol. I : Natality. - Washington: Public Health Service, 1995.

138. Lefkovitch L.P. The study of population growth in organisms grouped by stages / L.P. Lefkovitch//Biometrics. 1965.-№21.-P. 1-18.

139. Law R. Transient Dynamics of Populations with Age- and Size-Dependent Vital Rates / R. Law, M.T. Edley // Ecology. 1990. - Vol. 71, № 5. - P. 18631870.

140. Caswell H. Life cycle models for plants / H. Caswell // Lectures on Mathematics in the Life Sciences. 1986. - № 18. - P. 171-233.

141. Логофет Д.О. Математика модели Левковича: репродуктивный потенциал и асимптотические циклы / Д.О.Логофет, И.Н. Клочкова // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 10. - С. 116-126.

142. Логофет Д.О. Три источника и три составные части формализма популяции с дискретной стадийной и возрастной структурами / Д.О.Логофет // Математическое моделирование. 2002. -Т. 14, № 12. - С. 11-22.

143. Webb G.F. A semigroup proof of the Sharpe-Lotka theorem / G.F. Webb // Infinite-Dimensional Systems / F. Kappel, W. Schappacher, eds. // Lecture Notes in Math. № 1076. - Berlin : Springer-Verlag, 1984.

144. Nystrom P.H. Economic Principles of Consumption / P.H. Nystrom. New York, 1929.235Эченикэ B.X. США: демография и бизнес : научно-аналитический обзор / В.Х. Эченикэ. -М. : изд-во МГУ, 1993.

145. Первозванский А.А. Финансовый рынок: расчёт и риск / А.А. Первозванский, Т.Н. Первозванская. М. : Инфра-М, 1994. - 191 с.

146. Tuljapurkar Sh.D. Population dynamics in variable environments: Vol. 85 / Sh.D. Tuljapurkar. New York: Springer, 1990.

147. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полиа. Пер. с англ.-М. : ИЛ, 1948.

148. Statistical abstracts of the United States: 1993. Washington: The reference press, Inc., 1993.

149. Statistical abstracts of the United States: 1994. 4th edition. - Lanham, Maryland : BernanPress, 1994.

150. Ediev D. Migration as a Factor of Population Reproduction / D. Ediev, D. Coleman, S. Scherbov // European Demographic Research Papers. 2007. - № 1. - Vienna : Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. - 57P

151. International Data Base (IDB). Electronic resource. - Electronic data. - U.S. Bureau of the Census, 2003. - Mode access : http://www. census, gov/ipc/www/idbnew. html.

152. The Berkeley mortality database. Electronic resource. - Electronic data. -University of California, Berkeley, 1998. - Mode access : http://demog.berkeley. edu/wilmoth/mortality.

153. Shkolnikov V. Health Crisis in Russia / V. Shkolnikov, F. Mesle, J. Vallin // Population: An English Selection. 1996. -№ 8. - P. 123-190.

154. Vital statistics of the United States, 1991 / National Center for Health Statistics. Vol. I: Natality. - Washington: Public Health Service, 1995.

155. Денисенко М.Б. Потери населения / М.Б. Денисенко, Д.К. Шелестов // Народонаселение / Г.Г. Меликьян и др. М. : Большая Российская Энциклопедия, 1994. - С. 342-345.

156. Андреев Е.М. Население СССР: 1922-1991 / Е.М. Андреев, Л.Е. Дарский, Т.Л. Харькова. -М.: Наука, 1993.

157. Wheatcraft S.G. More Light on the Scale of Repression and Excess of Mortality in the Soviet Union in the 1930's / S.G. Wheatcraft. Soviet Studies. - 1990. -Vol. 32, №2.-P. 355-367.

158. Lorimer F. 1946). The population of the Soviet Union: history and prospects. Geneva: League of Nations.

159. Исупов B.A. Демографические катастрофы и кризисы в России в первой половине XX века / В.А. Исупов // Историко-демографические очерки. -Новосибирск: Сибирский хронограф, 2000.

160. Андреев Е.М. Оценивание потерь населения в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг. с использованием метода демографического баланса/ Е.М. Андреев, JI.E. Дарский, Т.Л. Харькова // Вестник Статистики. 1990. -№ 9. - С. 25-27.

161. Dyadkin I.G. Unnatural Death in the USSR. 1928-1954. / I.G. Dyadkin. New Brunswish, 1983.

162. Eason W.W. The Soviet Population Today / W.W. Eason // Foreign Affairs. -1959.-№37.-P. 601.

163. Timasheff N.S. The Postwar Population of the Soviet Union / N.S. Timasheff // The American Journal of Sociology. 1948. - Vol. 54, № 2. - P. 155.

164. Антонов А.И. Демографические процессы в России XXI века / А.И. Антонов, В.М. Мерков, В.Н. Архангельский. М. : ИД «Грааль», 2002. - 168 с.

165. Население России 2002. Десятый ежегодный демографический доклад / Центр демографии и экологии человека. М., 2004. - 192 с.

166. Lee R.D. Inverse projection and back projection: a critical appraisal and comparative results for England 1539-1871 / R.D. Lee // Population Studies. -1985.-Vol. 39, №2.-P. 233-248.

167. Wrigley E.A. The Population History of England, 1541-1871: A Reconciliation / E.A. Wrigley, R.S. Schofield. London : Edward Arnold, 1981. - 830 p.

168. Dublin L.I. Length of Life. A Study of the Life Table / L.I. Dublin, A.J. Lotka. New York: The Ronald Press Company, 1935.

169. Rao S.L.N. On Long-Term Mortality Trends in the United States, 1850-1968 / S.L.N. Rao // Demography. 1973. - № 10. - P. 405-419.

170. Haines M.R. Mortality in Nineteenth Century America: Estimates for New York and Pennsylvania Census Data, 1865 and 1900 / M.R. Haines // Demography. 1977.-№ 14.-P. 311-331.

171. Bennett M.T. American Immigration Policies. A History / M.T. Bennett // Washington, D.C. : Public Affairs Press, 1963. 362 p.

172. Stephenson G.M. A History of American Immigration. 1820-1924 / G.M. Stephenson. -2-nd ed. New York: Russel&Russel, 1964.