автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Теоретические основы моделирования объектов и процессов проектирования в строительстве

РГБ ОД

ЯКОВЛЕВ Вячеслав Фёдорович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

Специальность 05Л5Л2. Системы автоматизации проектирования / строительства /

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

дсктсря технических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Московском Государственном строительном университете.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Геммерлинг Г.А.

доктор физико-математических наук.профессор Самохин А.Б.

доктор технических наук, профессор Шрейбер А.К.

Ведущая организация: Государственное предприятие -Центр программных средств массового применения в строительстве /ГПЦПС/, Минстрой РФ.

Защита состоится "^ " <МЯ11%, 1997 г. в " часов на заседании диссертационного совета Д 053.II.II при Московском Государственном строительном университете /МГСУ/ по адресу: Москва, ул. Трифоновская, д. 57, ауд. 201.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке университета.

диссертационного совет;

Автореферат разослан

Ученый секретарь

совет;

ОБЩАЯ - ХАРАКТЕРИСТИКА.. РАБОТЫ_______________________________________________________

Актуальность исследования. Глубокие кризисные процессы, характерные для современного политического и социально-экономического состояния российского общества, существенным образом затронули строительную науку в самой её основе - теряется системотехническое видение строительства как одной из наиболее информационно ёмких отраслей инвестиционного комплекса. В то время как развитые страны мира в последнее десятилетие создают мощную информационную инфраструктуру и осуществляют формирование единого информационного пространства на базе передовых компьютерных технологий, Россия, чтобы не оказаться в стороне и не довольствоваться в лучшем случае ролью пользователя по отношению к некоторым, часто устаревшим разработкам, должна с максимальной полнотой и эффективностью мобилизовать свой имеющийся огромный интеллектуальный и научный потенциал. Не исключено, что при этом пересмотру подвергнутся многие традиционные естественнонаучные концепции, методологические принципы и приёмы исследований, включая, в частности, философские и математические основы системного анализа.

Уже сейчас ясно, и это неоднократно подчёркивалось научной школой академика А.А.Русакова, что строительно-инвестиционный комплекс в целом и любую его часть следует рассматривать как динамическую систем,образованную многочисленными переменными в пространстве и во времени функционально- производственными связями, которые эффективно реализуются в каждый момент

времени лишь на основе системотехнического формирования и обработки огромного количества разнородной и многоуровневой информации. Иными словами, строительный комплекс в модельном представлении есть иерархическая гиперсистема с переменной структурой, состоящая из взаимосодействующих подсистем переменного состава с переменными /информационными/ связями.

Одной из указанных подсистем'является проектная деятельность как совокупность последовательных творческих актов системного проектирования, определяющих "движение" в широком смысле проектируемых объектов в специальных "мыслимых пространствах" в результате порождения и синтеза проектных решений. В деятельности подобного рода важен анализ системы иерархических моделей проектируемого объекта, "глубина" модельного проникновения, взаимодействие проектных решений в пространствах различных уровней. Однако именно здесь возникают сложные теоретико-модельные проблемы, на решение которых направлена настоящая диссертационная работа. Суть этих проблем в следующем.

Теоретико-множественная системная концепция на традиционном для современных системных исследований уровне строгости либо просто ограничена классом понятий наивной теории множеств, либо без критического анализа ориентирована на одну из известных аксиоматических теоретико-множественных конструкций /чаще всего на ЛТ - теорию множеств Цермело-Френкеля/. В этом плане исследовательская стратегия, построенная на убеждении, что "все продукты точного мышления могут быть основаны на теории множеств", имеет целью лишь "максимальное сближение" и "обеспечение согласованности" /У.Р.Эшби, Исследования по общей теории систем, 1969/ предлагаемых методов с теоретико-множественными методами и техникой. Однако в классических теориях множеств /в

частности, в / все предметы рассматриваются как множества, не постулируется существование "никаких более примитивных объектов", "наш мир" представляется "как состоящий из всех множеств, которые могут быть получены путём последовательных процессов собирания, начиная с пустого множества" /П.Д.Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, 1969/, не существует бесконечно убывающих по отношению принадлежности последовательностей множеств - все такие последовательности оканчиваются на /единственном/ пустом множестве. Следовательно, теоретико-множественная системная концепция, предусматривающая использование понятия "множество" для представления собственно системы,как совокупности элементов членения исследуемого объекта, самих элементов членения, элементов элементов членения и т.д., во избежание парадоксов должна строиться с учетом ограничительных особенностей используемой аксиоматической теории множеств. В частности, это означает, что так как семантика такой теории относится к фиксированному универсуму /например, универсуму фон Неймана, достаточному и удобному для целей "чистой" математики/, то и запас средств представления системных объектов должен быть ограничен этим универсумом. Причем в целях "максимального сближения" и "обеспечения согласованности" теоретико- множественные свойства средств представления должны быть интерпретируемы соответствующими свойствами системных объектов в принятом аспекте исследований. Последнее, однако, возможно не всегда. Не исключено, например, что в зависимости от направления исследований или состояния знаний на данный момент времени процедура последовательных членений приведёт к различным принципиально неделимым компонентам исходного объекта. Эти компоненты,

- в -

образующие в совокупности "атомарный" уровень описания системы, при точном соблюдении принципа иерархичности не получают удовлетворительного теоретико-множественного представления в пределах тех понятий, которыми располагают классические аксиоматические теории множеств, - в универсумах этих теорий нет объектов, лишенных теоретико-множественной структуры.

Таким образом, в системном анализе возникают проблемы, объединяющие широкий круг задач, в которых "первичные" элементы должны быть строго индивидуально представлены, а их совокупность включена в специальный универсум для последующего изучения иерархии исследуемого объекта в целом и "минимальных" отношений, представляющих взаимодействие "простейших" объектов системы. При этом понятие системы как организованного целого призвано отразить объективную иерархию, наблюдаемую в реальных объектах. Эта иерархия прослеживается, например, при сравнении химического соединения с совокупностью образующих его физических объектов - минимальные структуры, отражающие химический вид движения, определяются на молекулярном уровне; при изучении живой материи минимальные отношения возникают на клеточном уровне; на множестве символов алфавита как на множестве неделимых объектов может быть построена иерархическая конструкция алгебраических структур от алгебры строк с операцией приписывания в качестве минимальной структуры до обобщенных алгебр языка;проектные решения, соответствующие микро- и макропроектированию, образуют естественную иерархию проектной деятельности.

Исследования в этой области актуальны, поскольку позволяют, создать общие логико-математические основания для моделирования иерархических систем любой сложности /глубины/, обеспе-

чить системное проектирование объектов строительства единой теоретико-моделъной~базой ,"~точно" указать" иерархикГситуацион-"" ных пространств для представления процессов проектирования, уточнить, в частности, отношение системного анализа к математике .

Цель диссертации - разработать теоретические основы построения иерархических моделей любой глубины для объектов и процессов в автоматизированном проектировании как составной части системотехники строительства на базе современных достижений логики и математической теории систем.

Задачи исследования:

1. Выявить особенности теоретико-множественных пред -ставлений произвольных иерархических систем с переменной структурой как динамических моделей строительных объектов и процессов в системном макро- и микропроектировании, и показать принципиальную ограниченность традиционных теоретико-множественных аксиоматических конструкций для моделирования подобного рода систем.

2. Сформулировать аксиомы расширенной теории классов, допускающей существование, кроме несобственных классов и множеств, праэлементов - объектов, лишенных структуры.

3. Построить и изучить специализированный универсум для адекватного представления иерархических систем с минимальными структурами; показать , что могут быть получены, хотя бы в принципе, оценки "сложности" моделей при анализе процессов макро- и микропроектирования в строительстве.

4. Разработать математические /алгебраические/ средства сравнения традиционных /"стандартных"/ и расширенных /"нестандартных"/ методов построения математических моделей для строительного проектирования.

5. Показать теоретически неограниченную возможность применения в строительном проектировании идей и методов современного нестандартного анализа для локального /"в точке"/ микромоделирования процессов и решений "предшествующего уровня" для проектных задач, сформулированных в терминах действительных и гипердействительных чисел.

Методологические и теоретические основы исследования: системотехника строительства, основы системных исследований, математическая логика и теория моделей, аксиоматические теории множеств /классов/, методы универсальных и обобщенных алгебр, нестандартный анализ.

Объект исследования: системное строительное проектирование как вид деятельности, в которой реализуются мыслимые "движения" объекта проектирования в специальных "пространствах ситуаций", обусловленные процессами принятия локальных и глобальных проектных решений.

Предмет исследования: методы теории моделей иерархических систем с переменной структурой - логико-математические основания, аксиоматика, объемлющий универсум, системотехнические и информационные особенности иерархических представлений объектов и процессов автоматизированного проектирова-

ния в строительстве.

Научная новизна пыноснг/ых на защиту положений:

- концепция моделирования объектов и процессов строительного проектирования как динамических систем с переменными составом и информационными связями;

- теоретические основы построения моделей любой "глубины" для иерархических строительных систем с переменной структурой; анализ причин несоответствия логико-математических оснований современной "чистой" математики идеологии иерархического моделирования систем с непустыми минимальными структурами, отражающими свойства объектов микропроектирования и микропроектные решения в строительстве;

- механизм обобщенных алгебр, устанавливающий связи между различными фрагментами расширенной теории классов и классической математики при моделировании строительных объектов и процессов;

- аксиоматическая теория классов с праэлементами как математическая основа расширенной теоретико-множественной системной концепции в строительстве;

- методы иерархического моделирования в нестандартных пространствах как основа микромодельных представлений в системном строительном проектировании, позволяющая изучать локальные /"в точке"/ особенности поведения новых систем, не наблюдаемых в стандартных моделях.

Практическая значимость работы. Совокупность методов и результатов, представленных в диссертации, позволяют на единой теоретической основе строить и исследовать самые разнооб-

разные иерархические модели с постоянными и переменными горизонтальными и вертикальными информационными связями, типичные для представления объектов и процессов проектирования, задач'управления строительством, технологическими процессами и предприятиями стройиндустрии. В междисциплинарном теоретико-системном плане предложенный в работе математический аппарат допускает конструкцию "шкалы" множеств, вмещающей в себя все возможные уровни описания реальных систем, начиная с "атомарного", и позволяющей оценивать, по крайней мере частично, "сложность" моделей с помощью натуральных чисел.

Для динамических систем, переменные состояния элементов которых могут быть описаны действительными числами, - задачи механики сплошных сред при расчётах строительных конструкций в процессе проектирования, проблемы несущей способности и разрушения действующих сооружений, задачи управления технологическими процессами и пр. - сформулированный в работе метод "математического микроскопа" позволяет изучать локальные поведения первоначально не наблюдаемых систем "нижнего" уровня. Представляется, что в перспективе этот метод окажется основным при проектировании строительных материалов с заданными свойствами на базе атомно-молекулярных моделей.

Предложенная в диссертации расширенная системная концепция в целом существенно дополняет теоретические основания системотехники в строительном проектировании, а в прикладном плане может служить единой идеологией при создании баз знаний и модельного обеспечения компьютерных технологий в системном строительном проектировании. Это показало экспериментальное внедрение результатов исследований в Научно-исследовательском Центре ФАПСИ РФ, в Центре программных средств массового приме-

нения в строительстве /Ш ЦПС/ Минстроя РФ, в дипломном проектировании МГСУ и в других организациях.

Апробация и внедрение результатов исследований. Теоретические результаты исследований по созданию комплексов математических моделей систем с переменными структурам для реальных объектов проектирования, управления строительством и технологическими процессами основаны на практике конструкторских и научных разработок автора: система моделей для расчёта на прочность за пределами текучести узлов установок для гнутья труб большого диаметра /ВДНХ, 1961 г., Серебряная медаль/; динамическое моделирование процессов роста гранул как объектов переменного состава и структуры в тарельчатых грануляторах для производства лёгких заполнителей бетона /МИСИ, 1966 г./; предложения по комплексу задач АСУТП типовых предприятий строй-индустрии /НИИОУС, 1977 г., научное руководство/; методика оптимального оперативного управления производством и распределением сборного железобетона в системе Главстроя или управления стройиндустрией /НИИОУС, 1978 г., научное руководство/; экспериментальное внедрение системы оптимального оперативного управления производством и распределением сборного железобетона /НИИОУС, 1978 г., научное руководство/; целесообразность и очередность разработок АСУТП с учетом перспектив развития технологий и новейших достижений современной науки и техники /НИ ИОУС, 1978 г., научное руководство/.

Конкретные результаты исследований докладывались на: 5-ом Международном конгрессе по применений вычислительной техники в строительстве /Веймар, 1969 г./, 1-ой Всесоюзной конференции по автоматизации проектирования /Москва, 1973 г./, 4-ой

Всесоюзной конференции по АСУ /Киев, 1975 г./, 25-ой научно-технической конференции МИСИ /Москва, 1976 г./, заседаниях школы-сиглпозиума "Системология: системные и междисциплинарные исследования" /СМИ-84, Львов, Ворохта, 1984 г./, заседаниях научных семинаров секции "Системотехника строительства" Научного- совета по кибернетике АН СССР и РАН /1982 - 1993 г./, заседаниях секции "Строительство" РИА /1992 - 1996 г.г./.

Методологические, математические и философские проблемы настоящих исследований неоднократно обсуждались на научных семинарах Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований /ВШИСИ/ АН СССР, в секторе неклассических логик Института философии АН СССР. Результатами этих обсуждений являются публикации автора в академических изданиях - Сборниках трудов ВШИСИ, Ежегодниках АН СССР, Докладах АН СССР и РАН.

Научные исследования по теме диссертации были поддержаны грантом Международного научного фонда /1993 г./, в настоящее время эти исследования поддерживаются Российским фондом фундаментальных исследований РАН /РФФИ, 1997 г./.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 31 научных работ суммарным объемом 12 печатных листов.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, содержащего основные результаты и выводы, и списка литературы, включающего 98 наименований. Полный объем - 222 страниц машинописного текста.

- 13 -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность проблемы, предлагаются общие подходы к её решению.

Первая глава ограничена рамками классической теории множеств и посвящена разработке достаточно общих приемов построения иерархической системы теоретико-множественных представлений произвольного динамического объекта, типичного для математической теории систем.

Пусть 3 - множество имен элементов членения исследуемого целого на некотором уровне его описания, X - множество имен потенциальных состояний объектов из - бинарное отношение такое, что & V тогда и только тогда, когда х есть имя возможного состояния объекта I . Тогда = Vе А ^ - множество

состояний объекта 0 , семейство (X.). « - разбиение множест-/

<> и 6 ^

ва V . Пара (V, (X.). ) названа моделью системы 3 на данном

* ъ £ о

уровне описания. Поведение системы на этом уровне может быть представлено процессом изменения конфигураций

ЦП X. Множество /в работе часто используется теоретико-множественная символика и терминология Н.Бурбаки/ представляет мгновенное состояние системы 3 и окружающей среды, если в 3 включены граничные элементы, определяющие входы и выходы исследуемого объекта. Предполагается, что процесс изменения конфигураций обусловлен индивидуальными действиями элементов системы - локальным изменением собственного состояния под действием некоторых сигналов. Предполагается также, что природа циркулирующих в системе сигналов одна - элементы обмениваются между собой информацией о собственном текущем состоянии; реализация этого обмена происходит без задержки во времени по некоторым идеальным каналам связей, не искажающим информацию. Множеством глобальных возмущений названа совокупность 0.=

, где Д а и -первая координатная

- М -

функция отношения V . Для Ц множоство •З V ость со-

вокупность тех сигналов, которые потенциально могут быть восприняты элементом в качестве входных воздействий, но не обязательно

все воспринимаются одновременно. Очевидно, всегда , и на

вход элемента I 6 ^ . при конфигурации \ & Р подаётся сигнал |<^>ПРефлексивное бинарное отношение | е-5 0 «3 - отношение /мгновенной/ информационной связанности, информационная структура, возникающая в системе при возмущении и конфигурации ^ьР', К»ер} - множество всех возможных информационных структур.

Таким образом, изучению подлежит некоторое целостное образова-1

кие о , состояние которого в дашши момент определяется не только суммативней характеристикой <= V состояний всех элементов

но и схемой их информационного взаимодействия \ ° ^ , зависящей от { и <}, /в частности, при = Л"1 справедливо {"'1,- А и "система" распадается на совокупность информационно изолированных элементов/. В теоретико-множественном аспекте возможны два взаимно дополняющих пути построения дальнейших исследований. Первый путь заключается е фиксации начального уровня описания с последующим усложнением исходной модели (V , (X „ ) для изучения поведения объ-

о ' ОС 66 3„

екта во времени. При этом множество ^>о-Зои Х0 рассматривается в качестве исходных неделимых объектов (б!. 5 6 3 =» s:L</£,) и строится

Л ^ ЛЛ А

суперструктура 3 = и 3, , где Б, = Й и чтСв) Тогда ¡3, л л 'к Мы. ь ь 3

, Рб 3 и т.д., и можно, по крайней мэре частично, просле дить за усложнением появляющихся теоретико-множественных конструкций Основание Й 0 суперструктуры подлежит расширению при введении новы понятий, возникающих, например, при построении модели системы управления исходным объектом. Эти вопросы обсуждаются в настоящей главе. Второй путь связан с отказом от неделимости исходных объектов; ему посвящены следующие главы работы.

- 1Ь -

1-1

Бинарное отношение <= 3*У для (е-Р и <],& одно-

значно определяет информационную структуру ( ^ е- системы в

целом, глобальное состояние-'(44 3 >.«=■_У _системы_в дан-■ ный момент, совокупность источников информации и

входной сигнал для каждого элемента I3 . Таким

образом, отношение * "V достаточно полно отражает сочетание

условий и обстоятельств, создающих определенную мгновенную обстановку в системе, и может быть названо ситуацией /в смысле Д.А.Поспелова/, возникающей в системе в данный момент времени; тогда У = -^(з^суН^Рл£(,<=.С^*!»!- множество возможных ситуаций. Множество У , рассматриваемое как объединение семейства частично упорядоченных по включению непересекающихся булевых.,алгебр -«^."'Ы ^ = •£],)} относительно операций объединения и пересечения, названо пространством ситуаций для данного уровня описания системы. - '

Элементарное поведение системы в пространстве ситуаций может быть представлено следующим образом. Сужение ситуации у на од-

ноэлементное множество с 3 назовем входной буквой, соответствующей этой ситуации и элементу I системы 3 . Тогда Я = "^[(З^Ки-Зл^бУлй-^А^)} - входной алфавит системы в целом. Как видно, семейство (^¿¿у > где = , -

разбиение Л ; семейство , где $

- покрытие Я ; каждое Л ^ - разбиение ситуации ^ и для фиксированных ^ £ У и <- £ 3 справедливо Я «^»Л^^ . Семейство функций ^'• ^ч яля позволяет очевидным образом пред-

ставить процесс изменения конфигураций в системе. Предполагается, однако, что эти функции заранее не определены, а их формирование происходит в результате деятельности некоторой новой, ранее не обнаруженной системы, представляющей поведение управляющей части исходного целого. В простейшем случае пусть - множество имен элементов такой системы, в которой каждый объект осуществляет выбор

- 1С? -

конкретной пары (а.ас.) с-П. * X • в качестве локального управления в данный момент для некоторого I е 3 . Если уи; 3 - биекция и (Л^Ц) , то Л'^Д- множество состояний объек-

та ^ , а (Л^Л^^/С-)^»^ - модель исходного целого на

новом уровне описания. Можно заметить, что построение этой модели связано с расширением основания суперструктуры . Видимой на новом уровне движение системы представляется процессом изменения конфигураций ч> б Г - Л„ Сл^ДС) , или состояний 3,>

Для фиксированной ситуации ^ У системы О множество локальных управлений определится в виде и

и глобальным управлением для системы 3 в целом естественно назвать любой объект 5 б ^ такей, что ^ = для некоторо-

го г^ . Следовательно, не любач конфигурация у £ гх системы ^ будет реализовывать управление системой 3 в целом, а лишь такая, для которой выполнено условие У л = у <: ). Тогда

с*{ъ\(з^(^УкЪа^.а.^ а.%ъ = дд)= =^ I с-л}) (з {) (у У а. е Р* ■?*{• с. Аа)}

- множество глобальных управлений для системы 3 ; "а -^-.С-.Л^ инъективно из А ^ в "V и ^ - » С* - та единственная конфигурация из V , в которую переходит система 0 из ситуации ^ под воздействием управления В . Действие глобального возмущения <^,6 Q приводит к возникновению новой ситуации Ь.Б е У и процесс повторяется. Бри этом пространство ситуаций получает представление •У с-С)^еСл.^ГьЦ.)} в терминах глобальных возмущений и

управлений.

На данном уровне описания могут быть сформулированы разнообразные задачи управления и целесообразного поведения системы. В работе показана, в частности, процедура сведения подобного рода задач в пространстве ситуаций к известной модели Д.Мариио /по Р.Венерики/.

Аксиоматический подход к построению математических моделей на_ строгой логической^основе позволяет представить систе- .

мы произвольной природы и любой сложности в терминах обобщенных-глобальных понятий: конфигурация, информационная структура, ситуация. Легко видеть, что стандартные задачи исследования операций,традиционно применяемые для поиска оптимальных управленческих или проектных решений, формулируются на основе неформального использования указанного подхода: если, например, в качестве имён состояний конечного числа элементов приняты действительные числа, то построенное выше пространство конфигураций для такой подсистемы изоморфно обычному конечномерному векторному пространству.

Формализация логико-математических процедур построения моделей является необходимым этапом в создании фрагментов искусственного интеллекта, использования, в частности, методов логического программирования и языка Пролог.

Пространство конфигураций или, что то же, множество глобальных состояний, является совокупностью внешних /видимых/ характеристик строительной системы в целом в каждый момент времени. Такие характеристики не отражают внутренний механизм системы - взаимозависимость или /мгновенную/ схему обмена информацией между элементами. Переход к понятию "ситуация" позволяет ликвидировать этот пробел и представить "движение" строительной системы в обобщённом смысле: процесс перехода от одной ситуации к другой может быть вызван как изменениями глобальных состояний системы, так и изменениями её информационной структуры. Это особенно важно при моделировании задач САПР в строительстве - в пространстве ситуаций проектировщик

- 1В -

способен мысленным взором окинуть всё многообразие возможных "траекторий" проектируемого строительного объекта и тем самым определить правильное направление поиска подходящих проектных решений. Представление множества глобальных управлений в вице допустимых управлений для каждой ситуации является существенным ограничением при выборе■стратегий проектирования и управления. Так как выбор конкретной стратегии влечёт появление недостижимых ситуаций, то при построении систем строительного проектирования, в частности, автоматизированных, должно быть предусмотрено возможное изменение их структуры, рассчитанное на различные стратегии. При этом существование структур булевых алгебр на множестве ситуаций открывает возможность использования мощных методов теории вероятностей и математической статистики при моделировании задач проектирования и управления в строительстве.

Вторач глава посвящена подробному исследованию, отмеченной

" л

выше тенденции расширения основания суперструктуры в при построении иерархических моделей строительных систем.

Пусть (V, (Х-^ 3 ) - представленная в терминах предыдущей главы модельсистеглы на некотором уровне описания. Фиксированное глобальное возмущение с^е 0. индуцирует эквивалентность

^ 3*3 такую, что и для любой конфигурации { & г справедливо К £ X • ^.

Пусть {|с:Х*Х - некоторое отношение эквивалентности на множестве имён состояний элементов из *3 .¿¡Х^Х/Д - соответствующее каноническое отображение. Если "к: 3-*3/К - каноническое отображение, ассоциированное с отношением К , то'к©?,— -{(С^хХ^^^У^клС^а^«^\ - сюрьекция изЗ*Х на

1-1 >

Пара ({«УЛ , СХ. м ) , где ^»З/К , КШ> для некоторого £ 0 , X . = (,к®П<.Ц , является фактор-представлением

4.

исходной моделиг Очевидно , ~для~ фактор-представления могут быть ис------------

пользованы все результаты предыдущей главы. Однако, если и здесь видимым движением системы считать процесс изменения конфигураций

, то возникает определенная потеря информации об

исследуемом объекте: ^ = ('кв£))<{> для ^с-Р всюду определено на , но оно функционально тогда и только тогда, когда К=-

в этом случае множество > являющееся

объединением элементов покрытия конфигурации 4 прямоугольниками из элементов разбиений по гЧ и ь , дифункционально в и все конфигурации исходного уровня , вложенные в это множество, пе-г-«г реходят в единственную конфигурацию ^ системы . Иначе говоря, на уровне исходной модели существует более тонкая организация иссле-ч дуемого объекта, отражающая какие-то внутренние механизмы процессов, непосредственно не наблюдаемых на уровне фактор-представления. Не исключено, что исходная модель также является фактор-представлением, :к а 3 =^0/К0 цЛЯ некоторого множества и соответствующего отношения эквивалентности К0 . Формализация и этого шага приводит к теоретически неограниченной в обе стороны упорядоченной системе фактор-представлений, содержащей, в частности, убывающие по отношению

6 цепи вида .. .еЛ 6 I. 6 ¿^ ... . В классических аксиоматических теориях множеств такие цепи не допускаются - все они конечны и оканчиваются на единственном пустом множестве. Это приемлемо в "чистой" математике, но не соответствует тенденции расширения теоретико-множественных объектов указанной системы представлений: мощность множества 3 не меньше мощности множества , ибо существует каноническая инъекция ^ в 3 и т.д. К тому же, "атомарный" уровень описания может содержать имена объектов различной природы.- Следовательно, в математической теории систем удобно было бы иметь такую аксиомати-

- ¡¿и -

ческую теорию /классов/, свободную от наиболее очевидных парадоксов к допускающую, в частности, обоснование всей современной математики, в которой убывающие по отношению & цепи не обязательно оканчиваются на пустом множестве, предусматривается существование первичных элементов для представления имен исходных неделимых объектов, а свойство "быть множеством" ограничено сверху.

В настоящей главе такая теория /обозначаемая в диссертации символом МП / строится как расширение теории классов Л.Морса. Расширение достигается путем введения в язык теории классов дополнительного унарного предикатного символа так, чтобы интуитивная интерпретация предлагаемой системы аксиом допускала существование праэлементоз - целостных объектов, не имеющих теоретико-множественной структуры. Пусть Ц, (х} - унарный предикат " эс есть праэлемент", N С») - сокращение формулы (эсб/ х есть несобственный класс/,

МС31) - сокращение формулы т^С*-) л N(«0 / х. есть множество/. Аксиомы М И имеют вид:

1. Аксиома праэлементов: (Усс)(У^)( Ь1(гс.) у ).

2. Аксиома экстенсиональности:

3. Аксиома существования классов /схема/:

где - произвольная формула.

4. Аксиома бесконечности:

5. Аксиома регулярности:

здесь 2 - ф <™> 1Л-> (31)(-Ь&г).

6. Аксиома объединения двух классов:

7. Аксиома обобщенного объединения: .

(VccH Nix) => (VaKütlftexAifri) В. Аксиома степени:_____________________

9. Аксиома подстановки:

где U/tv (i^) читается как "класс ty однозначен".

10. Аксиома выбора /лемма Цорна/.

Из аксиом следует, что существует непустое множество праэлемен-тов S={oc| и единственная функция у , определенная на клас-

се ординалов Оп> , такая, что ~т

Тогда Н = ^ -универсум, состоящий9* только из

несобственных классов, а

И- S

- класс /всех/ множеств теории М U/ . Каждая убывающая по отношению принадлежности цепь конечна и оканчивается либо на ф , либо на праэлементе. Универсум Н в качестве собственной части содержит универсум фон Неймана и, следовательно, теоретико-множественный аспект традиционных общематематических конструкций оказывается /собственной/ частью расширенной теоретико-множественной системной концепции.

В настоящей главе подробно исследованы свойства универсума Н и выделены две конструкции с минимальными структурами - "стандартный" и "нестандартный" /по М.Девису/ универсумы. Стандартный универсум -

✓V

это суперструктура Н - U Ч (ы.) , где со - множество конечных

w леи d

ординалов; нестандартный универсум строится с помощью понятия ультрастепени Ё как алгебраической системы для языка L(c) . В диссертации это построение осуществлено следующим образом: рассматривается произвольное бесконечное множество , ультрафильтр 3- на 3 и два бинарных отношения

£ - -1 (ил,) I и ,16 Б^л (V;) ь с- Э Для канонического отображения 3 /£" и множества

«г и иа где

к 6 ^

индукцией по строится отображение У" с областью опреце-

, и ления 1с£<27 : . А

Г а ,

если ¡г-Д^ уже построено, то

I > - 1с< (тЛ: .¿Н"£)<М> )•

С И'Т 1 ^ Е С

Л

Нестандартным универсумом названо множество Л^СГ-'^О^ 2> ; отображение к■<£>■+№ биективно и выполнено условие транзи-

*"" ; '— Л I 1 г

тивности: Если " °УпеРстРУктУРа

с индивидами

Предложенной У.Р.Эшби "аксиоме упрощения" описания функциональных систем может быть придана точная математическая форма: переход от заданного /"начального"/ уровня описания к более высокому /"следующему", укрупненному, упрощенное/ можно осуществить 'с помощью некоторого отношения эквивалентности на множестве имён исходных объектов и соответствующего фактор-отображения; при этом, очевидно, теряется часть информации об объекте.

Теоретически неограниченный переход к фактор-представлениям может привести к появлению бесконечных убывающих по отношению принадлежности последовательностей, что противоречит аксиоматическим теоретико-множественным конструкциям "чистой" математики. Этот факт является серьёзным подтверждением широко распространенного мнения о том, что стандартная математика, источником идей которой являлось традиционное естествознание, может оказаться слишком "бедной" для междисциплинарных теоретико-системных ис-

следований. Подобные исследования необходимы при разработке модельного обеспечения задач системного строительного проектирования, где физико-химические, медико-биологические, социально-культурные и политические аспекты проекта желательно представить на единой формально-логической основе. Поэтому формальное описание проектируемых объектов или проектирующих комплексов с необходимостью должно располагать именами неделимых объектов, обусловленных целью исследования, уровнем описания или состоянием знаний на данный момент. К таким объектам могут быть отнесены элементы сборных конструкций, типовые узлы, типовые проекты, виды работ, строительные машины и механизмы, рабочие и бригады, прикладные программы и комплексы, автоматизированные рабочие места и системы проектирования. При строгом соблюдении принципа иерархичности различные имена неделимых объектов составляют "нижний" уровень описания так,что не существует иных объектов, принадлежащих элементам этого уровня. Классические теории множеств не располагают такой возможностью - в них аксиоматически утверждается, что нижний уровень состоит всего лишь из одного объекта - пустого множества. Предложенная в настоящей главе теория классов с праэле-ментами позволяет снять это несоответствие.

Третья глава посвящена функциональным свойствам обобщённых алгебр и языков первого порядка. Здесь предлагается теоретико-множественный и алгебраический механизм, позволяющий строить алгебру термов и кванторную алгебру формул языка первого порядка, минимального в том смысле, что навешивания кванторов на замкнутые формулы или по переменным, не входящим /свободно/ в данную формулу, не допускаются. С символами кванторов связываются бинарные операции из множества слов в множество формул, способные

точно описать обобщенную фактор-алгебру языка с соотлотстпующими конечными и бесконечными операциями.

В работе почти повсеместно п> -члешшо последовательности отождествлены с графиками соответствующих отображений. Это позволило все алгебраические определения и свойства представить в терминах отношений. В частности, пусть Л - произвольное множество и для каждого К ¿Я Л ~ ^ : л- -> Я } , где л- понимается также и в качестве конечного ординала. Для множества операторов XI и функции арнос-

. по. (*>}

ти 0. i £1 Л инъекгивное отображение Ue- П Л определяет

Wfctf.

на Я структуру £l -алгебры так, что для каждого cot Г} объект О(и>) , обозначаемый символом <-о , является -арной операци-

ей 60'. Л .Если и - однотипные £l -

алгебры с операциями (J^ и и^ соответственно, то {./? *Ь, О.} -П. -алгебра с операциями вида со = , где 0 ^ =

'■U^ii/fßl ^бСДлЬ^л^* «VY^.V1^ - каноническая биекция (Я«Б) ->

" » . - координатные функции произведения Я*2> .

Любое бинарное отношение G-«$><£> для каждого о) 6 XI индуциру-

п г п0-^ п " п п1 Г4*}

ет отношение Ц^л *с> , определенное равенством и^« о <U- >-

л tj>c-ü такое, что Если

G- - подалгебра алгебры , то со < «= C^'cJ^s С. j

если Р.,Ё>,С - однотипные алгебры и С-^ЯхЬ , Qs & »С ,

Таким образом, если "к i А fi> - гомоморфизм, то со,»^ «й»^

Л Ü

I Я. ¿со)

и "Vе Я v ; если t^^s А * ft - конгруэнция, то

О.М «.(и)

ty <= *■ Я - отношение эквивалентности, каноническое отображение 4<: Я /с^ - эпиморфизм на Г), -алгебру с операциями вида со»k.cj^ } и ^. * с^ ,

В том же аспекте в работе исследовано строение произвольных семейств обобщенных алгебр. Здесь под обобщенной операцией в непустом

- иь -

МНОЖОСТПО Я ПОИИМПОТСЛ ЛЮбОО ОТОбрОЖОНИв пина V'. Ф Л , гдо

'£> - { А - область определения опорг'.цпи V , Обобщенной

алгеброй позвана XI -алгебра, на которой задано некоторое число обобщенных операций. Такие алгебры однотипны, если сни однотипны как .О. -алгебры и имеют одинаковое число обобщенных операций. Бели Л и Вз - однотипные обобщенные алгебры, ^ и - области определения обобщенных операций У^ и Уд соответственно, тоУ~О^У^" 0 -обобщенная операция -»-Я*В> алгебры с областью определе-

ния'2Ч5Ц351,5а)(2,>с-,Э1л V О} • Отображение "к-. Д->Ь ин-

дуцирует отображение

сохраняет обобщенные операции, если 5 • При выпол-

нении этого условия из множества выделяется подмножество = , для которого 0 ^ ©,> »у ,

Отображение п- является гомоморфизмом обобщенных алгебр, если Иг- - гомоморфизм соответствующих Л -алгебр, сохраняет обобщенные операции и выполняются равенства Уг°^у-'Н.«У1. , эквивалентние условию "V* ^^ *= ^ для каждого У

В качестве примера, включающего также необходимые для дальнейшего результаты, в работе подробно исследованы теоретико-множественные свойства обобщенных булевых алгебр.

Частными видами .0. -алгебр являются £1 -алгебры строк и слов. Пусть X - бесконечное множество, такое, что ХПП-0. Множеством XI -строк над X названо множество ^(ЗХ^Х) ~ \JCC1UX). в работе предложено следующее построение алгебраической структуры на множестве строк. Для каждого ^с-Я оператором правого смещения строки вдоль ^ названо отображение (>1-л.)-*>1;

Операция приписывания получает определение: если и

(ХХиХ)^ , то = 6 (ПиХ)^^. Операция приписы-

вания вместе с операциями из П позволяет наделить множество строк структурой -П- -алгебры. Для этого каждому элементу из П. ставится

0.6а)

в соответствие отображение сл: ) такое, что

в . о I ЬьМ^

где И» I I; »1 , Ц - длина строки 4-ф . Эти операции всюду оп-

^ «/и)

ределены на¥(^Х)йМ и и^о^ ^ >П > ? 4

Наименьшая подалгебра алгебры V? (И} X) , содержащая мно-

жество X , - алгебра XI -слов над X . Всякий гомоморфизм алгебры в ДРУ1У» однотипную ей алгебру полностью определяется его сужением н.а X

Полученные в данной части диссертации результаты применяются далее для построения различных алгебр термов и формул языка первого порядка. Эти алгебры строятся над алфавитом Я = Хи2и иФ и1) Е^и

, 1 т V ' гг ""

и 1 ) ^ ч} , где а , £ - бесконечные множества свободных и связанных индивидных переменных соответственно, и Р^ - множества гъ -местных функциональных и предикатных символов соответственно, символы ^ , у и на интуитивном уровне понимаются как имена отрицания, конъюнкции и квантора существования соответственно. Представление алфавита в виде Л = X и £и XI при -О. = , ,

О.^ФиРиЫ, И.-Ф иРи^Рк.О. -ФиР ... показывает, что множество Т термов и множество Р формул языка первого порядка являются подмножествами алгебры слов ^(^(ХиЕ) , если результат навешивания квантора по переменной X е X на формулу <¡1 (он) , не содержащую связанную переменную г е 2 , определить в виде

где (г!«:)--^ ^ : Л/¡-{•ж} , а Рг:с - частичное отображение

ДяТ^Хи^) в себя. При этом множество Т7 вместе с множеством функциональных символов Ф = и Ф образуют алгебру термов -{Ч7 Ф} , порожденную множеством X . Любое отображение множества X в алгебру, однотипную алгебре термов, единственным образом продолжается до гомоморфизма. Множество формул получает индуктивное определение Г - и ,

где Р^Г » и чэ<Та(^)> - множество элементарных формул, для каждо-о эр ?е-р Г

го кьЫ Я ии<р>ид,<РкРли(и иЧ КР>. (и и Я

п--»!. и, I и, 0 л»*^**

—множество -кванторных формул.-Если в-каче стве алгебраических опера— ций на Р рассматривать только операции ^ и р , соответствующие логическим связкам, то | Р, ^ - наименьшая подалгебра -

алгебры с носителем , содержащая Рэ^ 0 в качест-

ве системы свободных образующих.

На основании принятых определений в настоящей главе разработан теоретико-множественный механизм построения обобщенной алгебры формул языка первого порядка. Процедура образования множества Р порождает индуктивное определение отношения эквивалентности ^ \ <=

с , являющегося конгруэнцией в алгебре Р * Р с операция-

ми ->Р*Р, Р*Р . В этом оп-

ределении с^ = Др ...,

Пусть к: Р - канонический эпиморфизм ^ •Ц > ^ \ на алгеб-

РУ I 1 с операциям ^ = 4с"1, к)

Эта алгебра дополняется обобщенной операцией следующим образом. Бинарные отношения

яс-2 1Х

являются соответственно частичным отображением из вЭДр)-^}

и частичной сюръекцией из , причем С^О^Р^'С^.

Если положитьа.)с-Р^} и определить обобщенную операцию У в алгебре ^соотношением V = С) • , то V'-Р^^ биективно. Тогда - наименьшая обобщенная алгебра

формул языка первого порядка, содержащая 'к-^ Р > в качестве системы свободных образующих.

Особенности строения расширенной теории классов с праэле-ментами, предложенной в предыдущей главе, можно изучить только на базе строго определённого формального языка, не допускающего разночтений. В свою очередь, формальный язык может быть истолкован как алгебраическая" конструкция, в которой логическим связкам соответствуют конечные алгебраические операции, а для кванторов вводятся бесконечные /обобщённые/ операции. Идея истолкования множества формул языка как универсальной алгебры восходит к работам А.Линденбаума и А.Тарского. В данной главе реализовано объединение этой идеи с обобщённо-алгебраическими идеями польской математической школы Е.Расёвой и Р.Сикорского /Е.Расёва, Р.Сикорский, Математика метаматематики, М., 1972 г./. Объектом исследования является язык логики предикатов /язык первого порядка/ - основное лингвистическое средство логического программирования и искусственного интеллекта.

Обобщённая алгебра языка первого порядка является примером иерархической системы в математической лингвистике, в котором "нижним" уровнем служит алгебра слов над точно определённым алфавитом с операцией приписывания в качестве минимальной структуры, а "верхним" /рабочим/ уровнем - обобщённая фактор-алгебра формул с конечными и бесконечными операциями, минимальная в том смысле, что кванторные операции не распространяются на замкнутые формулы.

Таким образом, теоретико-множественные и алгебраические свойства языка первого порядка, являющегося исходным для построения языков более высокого уровня, можно рассматривать как математическое основание лингвистического обеспечения модельных построений в системах автоматизированного проектирования в строительстве .

- i!U -

Четвертая глава посвящена установлению алгебраических связей

Л ^

между стандартным S и нестандартным V универсумами. Ллгебряичес-" кий аспект взаимодействия этих объектов в рамках-теории--М- пред— ставляет самостоятельный интерес, но может служить и в некоторой степени дополнительной тсоретлко-мюжественной интерпретацией оснований нестандартного анализа, включение которого в арсенал средств математической теории систем может оказаться полезным при построении локальных иерархических моделей любой глубины. Принципиальная возможность этого демонстрируется в настоящей глапе.

В работе предложен и подробно исследован следующий подход, по- '

л

казывающий, что алгебраическую связь между £ <=• Н и VCH , где Н - универсум теории И1Х , можно обнаружить на синтаксическом уровне. Пусть L - язык первого порядка с алфавитом *fl таким, что при л, j¿о 'Ф^, = ф . Из второй главы следует, что.все выражения теории МЫ /термы и формулы/, записанные без сокращений, суть элементы алгебры слов с областью операторов •{ IL, е, >

где - имена предикатных символов £ и — соответственно.

Предполагается, что объединение этой области с некоторым множеством Ф0 составляет множество -О. алфавита

л-X I) Z и XI . Пусть

- оценка языка L в некотором множестве У , по продолжению ^(Xu?) которой до гомоморфизма в алгебре слов строится гомоморфизм ir^' F/cj, -> Я 0 обобщенной алгебры ■{ F/^.^j^V} формул в /полную/ обобщенную двухэлементную булеву алгебру А0 при некоторой фиксированной интерпретации Яе П (йj . С каждой формулой

fc-P t

cL ь f- может быть связано отображение У —> /1 такое, что для

любой оценки ггД-k = . Пусть МЦ,' - расширение теории MU-за счет добавления множества У в качестве индивидных констант,.тег-Да L - перевод формулы с*. на язык теории MU.1 ,а

\ ( Дд-Х «oil -а 1 / =0 /, если Uf) «об истинно

в МИ/1 /в противном случае/ - истинностное значение форкулы <L .

Гомоморфизм ^ /интерпретация Я / может быть уточнен условием = •к"1 , где при «¿е- Р

[ 1(Д, если

Уо'.^в)*^^ - обобщенная операция в Л0 : У0 (х) = 1<-> 1 е а:,

"У0(ос") = 0<=> ос-^о^ . Из этих определений следует, что если рассматривать лишь транзитивные множества У , а кванторные формулы ограничить формулами вида ((}г)(2б'Ь,>.о1С21)1 где ^ - переменная или константа, то = | (А и

В настоящей главе язык 2 с ограниченными кванторами, в осталь

ном совпадающий с языком // , принят в качестве базового языка опиЛ

сания универсумов 2 и "V/ .

л.

При отождествлении Ф0 в 5 язык становится фрагментом

I л

языка теории М ^ , полученной из теории М И добавлением Б в качестве множества индивидных констант. Пусть й- 0 - стандартная интерпретация /та 3. /в Б и ;((}.). - семейство стандартных интерпретаций, где 3 - множество индексов, использованное в Главе 2.при построении нестандартного универсума; К - произведение интерпретаций . По предыдущему, если т^бСз'3)^ - оценка,

, то ) ^о

3

X«-

X

та-

ково, что при & Р справедливо ^ (т) = I) -((¿^СД и .

В таком случае ультрастепень Я стандартных интерпретаций определяется из условия коммутативности диаграммы

саУ ¿и

- канонический

( й /е)-"" •> изоморфизм и = /к • "к"

й. ? й. "хг

В тех же обозначениях для соответствующих сужений /Глава 2/ коммутативна диаграмма

- ах -

Г^Ск) » Г* ж ,

определяющая интерпретацию формул языка /, в "V'/ ,

Пусть язык Л отличается от Л лишь тем, что ^ ,

л л л

где Ф„ отождествлено с V ; й. - стандартная интерпретация /< в V и А , . Как и выше, для оценки V £ "V/ и ^ с- Р £ положим ^(С-'1)- || (д , где - гоыомор-физм, а символом II , |( обозначено истинностное значение соотпетст-вухлцей формулы в теории М1Х;' , полученной из теории НИ' добавлением множества V в качестве индивидных констант. В работе получено алгебраическое доказательство следующей теоремы: для любой сценки и с- I Х справедливо (УоО(л<-Р »> (М^) ^ , где симво-

. Л. . Л

лом V обозначено (Лй _ф и $ р д^ инъекции И 3-*-

■л л » л I

Н такой, что 1С*-) при аб Й . Для ^(х^)»^...,

отсюда следует теорема Лося /М.Девис, Прикладной нестандартный анализ, с. 54/

а для замкнутых формул - принцип Лейбница /принцип переноса/:

| Ц = 1 I «¿\ =■ 1 ( являющийся одним из основных инструментов нестандартного анализа - теоретико-модельного метода построения и исследования расширений математических структур в универсуме V „ При этом множество праэлементоз Зс Н играет роль удобного вместилища для объектов исходных структур при последующем исследовании их * -образов. В частности, если 1Я - множество действительных чисел и Е Б , то - нестандартное расширение К , множество гипердействительных чисел, являющееся неархимедовым упорядоченным полем. Кольцо РМ^гс&^йиЙи.Хк*)/* (эсии,)} конечных гипердействи-гельных чисел содержит в качестве собственных подмножеств множество 1Рч и множество бесконечно малых гипердействительных чисел ^ (о) «

- 32 -4. * )

= (х=Оу /идеал кольца Р /. Семейство

где + - монада действительного числа

«.¿гШ , является разбиением множества ; ассоциированное с этим разбиением фактор-множество ЙУ^Ь - ^ Р> , где Л^Н^^р 1 ^¿■Рдэс-^-^^о)} _ эквивалентность на Р и 10 - соответствующее каноническое отображение, вместе с отношением порядка и операциями сложения и умножения, индуцированными порядком и операциями на , изоморфно К. Если этот изоморфизм рассматривать в качестве инъекции *Гв, Р/Л,0»Р , то ^оЛЧ-

В настоящей главе в качестве примера разработана процедура построения иерархических систем моделей для таких процессов, где важна фиксация "локальных" /в точке/ внутренних эффектов, не наблюдаемых на данном уровне описания. Пусть множеством имен состояний элементов системы в представлении (У, 3) /Глава I/ являются дейст-

вительные числа. Как отмечалось /Глава 2/, не исключено, что это представление получено факторизацией /применением "аксиомы упрощения" У.Р.Эшби/ некоторой иной модели ("V" , , ^ ) так, что 3 =

и (н v

= 30/К 0 для принятого отношения эквивалентности К с3 Ор . Пусть множеством имен состояний элементов из является р , а множеством конфигураций системы - множество

Тогда, с одной стороны, при любом разность значений состоя-

ний любых двух эквивалентных по К0 элементов из !30 принадлежит , т.е. не выразима в действительных числах; тем же свойством, с другой стороны, обладает и разность значений состояний произвольного объекта I е и его представления К0<-{1^> в системе

О . Последняя разность определяет "относительное" поведение объекта .по отношению к К0<-М> с- ¡3 . Следовательно, в системе 3 представлены лишь "главные" движения системы 30 ..характеризующие её "глобальное" поведение; "локальные" же эффекты, определяемые

- ии -

этносителышм поведением подсистем вида К0<-{Ц> для-ьс-..^ ,

эказывлются не наблюдаемыми на уровне система

----------Для представления-относительного поведения.объектов, составляю-. _

Чих систему = при фиксированном '•> & У0 , предложен

прием "локального инфинитезимального микроскопа" /по К.Д.Стролну, З.А.Успенскому/. Здесь предполагается, что динамика относительного доведения системы ^¿О представляется процессом изменения конфигураций у е П х^ , где Х^^хгЖ. ,

1ля некоторого положительного £ с-¡\\(о). При этом не исключается, что элементы множества Э^ъ) получены, в свою очередь, с использованием аксиомы упрощения, т.е. допускается существование иной системы , (О , отличающейся от системы й.И) более детальным оплса-

01 .4.

шем объекта локального исследования, и некоторого отношения экзива-

¡ентности К == Ол4 (¿) О СО такого, что 3, = 3 И)/\< (О-01 01. 11 01 01.

3 предположении, что именами /относительных/ состояний элементов

!з (-0 являются гипердействительные числа из множества <£ Р ,

:ежцу системами и может быть установлена спязь, ана-

югичная указанной выше связи между системами 3 и Л . Иными ело-

„ 1

¡ами, инфинитезимальныи микроскоп с — -кратным увеличением, погашенный и направленный в /движущуюся/ точку & ^ , поз-юляет представлять и изучать на следующем уровне локальное поведе-ие первоначально не наблюдаемых подсистем теми же методами, которые спользовались для представления и изучения исходной систем в целом; роцедура представления "ещё более мелких деталей" аналогична яри со-тветствуюшем повышении кратности.

В универсуме расширенной теории классов выделяются две юти - стандартный универсум, содержащий, в частности, всю совокупить теоретико-множественных объектов, используемых в традиционной

математике /универсум фон Неймана/, и нестандартный универсум, содержащий теоретико-модельные расширения математических структур, не встречающиеся в обычной математике /например, "бесконечно малые числа"/.

Алгебраические структуры языка первого порядка, построенные в предыдущей главе, позволяют установить основные принципы взаимодействия стандартного и нестандартного универсумов. Включение последнего в арсенал средств математической теории систем открывает принципиальную возможность изучения иерархических строительных систем любой глубины.

Для динамических систем, множеством имён состояний элементов которых являются действительные или комплексные числа, предлагается совершенно новый инструмент исследования - "математический микроскоп" /инфинитезимальный, бесконечно малый/ с любой кратностью увеличения. Наблюдая непосредственно главные "движения" /проектные решения/ элементов строительной системы на заданном уровне описания, исследователь с помощью микроскопа может фиксировать и не видимые на этом уровне локальные /в "точке"/ эффекты, вызванные динамикой "внутренних" подсистем. Таким образом, привлечение расширенных моделей может вызвать интерес специалистов в традиционных для инженерно-строительного проектирования областях - сопртивлении материалов, теории упругости, материаловедении: приведенная в настоящей главе в •качестве примера двухуровневая модель механической системы позволяет по-новому взглянуть на механику разрушения и описать не только процессы распространения трещин в материале строительных конструкций, но и моменты их зарождения. В этом смысле расширенные многоуровневые модели следует рассматривать в ка-

честпе общей методологической базы, объединяющей макронроекти-

рование и микропроектирование строительных систем в единый понятийный" "комплекс;

ОСНОВНЫЕ ВЫЗСДи И РЕЗУЛЬТАТА

I. Проведенный анализ методов моделирования объектов и процессов проектирования в строительстве показал отсутствие общих логико-математических основ для мополироьания Иерархических строительных систем с переменной структурой, которые охватывают практически все классы строительных систем. В этой связи предложен общий алгоритм построения пространства ситуаций для произвольных систем с переменной структурой. Показано, что понятие "ситуация" как обобщённое состояние указанных систем однозначно определяет глобальное состояние системы в целом в каждый момент времени, локальные состояния каждого элемента системы и схему их информационного взаимодействия. Это обстоятельство позволяет представить "движение" объекта проектирования в строительстве, обусловленное изменениями его локальных состояний - локальными проектными решениями, - в специальном пространстве, а для систем строительного проектирования - сформулировать стратегии управления процессом проектирования.

Точно определённое пространство ситуаций содержит все возможные проектные решения и является формальным аналогом знакомого каждому проектировщику класса "мысленных образов" проектируемого объекта и "движения" последнего в результате интеллектуальной деятельности проектирующей системы. Изучение строения подобного рода пространств есть необходимый этап создания фрагмен-

тов искусственного интеллекта в строительном проектировании.

2. Показано, что возрастание степени подробности описания иерархической организованности любого строительного объекта сопровождается увеличением мощности множества неделимых элементов, т.е. расширением основания суперструктуры для последующего моделирования. Это означает, что неограниченное применение аксиомы упрощения Эшби приводит к появлению бесконечных убывающих по отношению принадлежности последовательностей непустых множеств. Последнее обстоятельство находится в явном противоречии с аксиоматикой классической теории множеств, предназначенной исключительно для целей "чистой" математики. Для снятия указанного противоречия в теоретико-системных целях построена расширенная теория классов, в которой интуитивная интерпретация предлагаемых аксиом допускает, кроме несобственных классов и множеств, существование праэлементов - непустых объектов, не являющихся множествами и не имеющих теоретико-множественной структуры. Эти объекты предназначены служить именами неделимых компонентов "нижнего" уровня описания строительной системы при многоуровневой "сборке" проектируемого комплекса или процесса на модельном языке. В практическом плане это означает, в частности, что в распоряжении системного проектировщика и инженера по знаниям САПР в строительстве возникает общий универсум для представления объекта строительного проектирования в его "мыслимой" динамике при естественном взаимодействии со структурами классической математики.

3. Развит для использования в строительном проектировании теоретико-множественный аппарат построения и исследования алгебры термов и различных алгебр формул языка первого порядка.

На этом основании построен базовый язык описания стандартного

/фон Неймана/ и нестандартного универсумов, показана существен-

—ность-для последнего ограниченности кванторов этого языка,-по-лучены явные модификации языка в предложенной теории классов с праэлементами. С помощью базового языка получает адекватное представление проблема многоуровневого логико-математического моделирования объектов строительного проектирования, что, в свою очередь, является необходимой предпосылкой использования в строительном проектировании методов логического программирования и, в частности, языка Пролог,

4. В пределах универсума теории классов с праэлементами проведено алгебраическое доказательство теоремы Лося и, как следствие, принципа Лейбница /принципа переноса/, устанавливающих взаимодействие стандартного и нестандартного универсумов как собственных частей универсума основной теории. Последнее означает, что в арсенал средств моделирования иерархических строительных систем полностью включается нестандартный анализ - новая версия математического анализа, основанная на доказательстве существования /А.Робинсон, 1960 г./ бесконечно малых гиперцействи-тельных чисел. В настоящее время эта версия находит широкое применение не только в теоретическом естествознании, но и в практических работах по математической экономике, поэтому строительный инженер-конструктор получает возможность использования новых

. аналитических методов в практике проектирования; в диссертации раскрывается алгебраическая сущность этих методов.

5. Для строительных динамических систем, состояния элементов которых описываются действительными числами /например, значениями координат/, предложен метод "математического микроскопа", позволяющий представить локальные эффекты /в "точке"/.

не наблюдаемые на уровне основной модели, в терминах бесконечно малых гипердействительных чисел. В качестве примера, имеющего и самостоятельное значение в расчетно-конструкторских строительных исследованиях и проектировании, предложен новый подход к модельному толкованию целостного процесса разрушения среды /нарушения сплошности/, включающего момент зарождения разрушения "в точке": разрушение рассматривается не как процедура "разрыва связей" между точками среды в окрестности данной точки, но как "выкалывание" самой точки среды. Последовательное и системное применение метода микроскопа устраняет понятийный и технический разрыв между приёмами макро- и микропроектирования в строительстве.

6. Использование полученных в диссертации результатов в строительных проектных организациях, использующих САПР, позволит целенаправленно управлять службой "инженер по знаниям" как необходимой частью интеллектуального взаимодействия между системным проектировщиком /инженером-системотехником/ и специалистом по чисто компьютерным технологиям. В этом плане технико-экономическая эффективность настоящей работы состоит в активном применении современной научной информации для интенсификации использования всех видов ресурсов проектной организации: интеллектуальных, трудовых, материальных, финансовых, энергетических, производственных. Значительный социально-экономический эффект можно ожидать в высшем образовании при условии интегрирования результатов настоящего исследования в систему подготовки инженеров-строителей и, в первую очередь, инженеров-проектировщиков. Последнее уже осуществляется кафедрой "САПР в строительстве" МГСУ.

7. Полученные результаты показали, что общенаучная теоретико-множественная системная концепция приобретает существенное расширение и применение в строительстве, будучи ориентированной на теорию классов с праэлементами. Эта теория позволяет на едином языке описывать структуры классической математики и их нестандартные расширения в теоретико-системном аспекте, открывая тем самым широкие перспективы следующих дальнейших исследований и применений в строительстве:

- разработка теории локальных пространств "нижнего" уровня строительных объектов, не наблюдаемых на уровне основной модели;

- разработка теории сравнения стратегий строительного проектирования;

- разработка идеологии моделирования "локальных переходов" в

системном проектировании на основе изучения интеллектуальной деятельности архитектора и инженера-строителя;

- определение принципов формирования открытых баз данных и баз знаний для моделей иерархических строительных систем нефиксированной "глубины";

- разработка идеологии строительного проектирования локальных свойств подсистем "нижнего" уровня любой "глубины" /в частности, свойств строительных материалов и конструкций/ на основе метода "математического микроскопа";

- изучение феномена потери информации при многоуровневом моделировании строительных систем на основе аксиомы упрщения У.Р. Эшби;

- построение теории сложности иерархических моделей строительных объектов и процессов в универсуме расширенной теории классов с праэлементами;

- изучение пределов машинной реализации расширенных математи-

ческих структур современного нестандартного анализа в условиях строительных САПР.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Яковлев В.Ф. О движении некоторых механических систем с переменными массами // Известия АН СССР, Механика и машиностроение, Л 5, 1963 г., с. 198-202.

2. Яковлев В.Ф. Характер движения гранулы в тарельчатом грануляторе // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура,

№ 4, 1966 г., с. I08-II3.

3. Яковлев В.Ф. Некоторые вопросы механики подобно изменяемого тела переменной массы // Известия ВУЗов, Математика,

& 5, 1966 г., с. 170-176.

4. Дзиковский Г.И., Яковлев В.Ф. Моделирование процесса' развития и размещения промышленных предприятий, обслуживающих строительные организации // Докл. на 5-ом Межцунар. конгр. по применению вычислительной техники в строительстве, Веймар, 1969 г., с. 133-138.

5. Яковлев В.Ф. и др. Выбор оптимальной технологии и организации производства закладных деталей для сборного железобетона // Сб. тр. МИСИ Организация и экономика строительства,

* I /71/, 1969 г., с. 197-208.

6. Волчанский P.A., Дзиковский Г.И., Нилова Э.С., Яковлев В.Ф. Экономико-математическое моделирование раззития и размещения предприятий капитального ремонта строительных машин // Известия ВУЗов, Строительство и архитектура, # 5, 1970 г., с. 158-164.

7. Яковлев В.Ф. и др. Рекомендации по планированию организации производства, закладных деталей. для._ сборного,железо-_______

бетона. М., МИСИ, ЦНИЛСЭС, 1971 г., 43 с.

8. Яковлев В.Ф.-и др. Рекомендации по разработке перспективных планов специализации, развития и размещения базы-' капитального ремонта строительных машин. М., УЖИ, ЦНИЛОЭС, 1971 г., 47 с.

9. Яковлев В.Ф. Теоретико-множественные основы построения имитационной модели проектирования // Тезисы сообщений 1-ой Всесоюзн. науч. конф. "Автоматизация проектирования как комплексная проблема совершенствования проектного цела в стране", М., 1973 г., с. 139-146. -

10. 1усаков A.A., Яковлев В.Ф. Кибернетическое моделирование при автоматизированном строительном проектировании // Реф. сб. Организация и методика строительного проектирования, М.,

Щ МША С С, 1973 г., й 12, с. 2-8.

11. Яковлев В.Ф. Системный метод оценки проектных решений // Реф. сб. Организация и методика строительного проектирования, М., ЦШПИЛСС, 1974 г., Ji I, с. 2-7.

12. Яковлев В.Ф., Ильин Н.И., Волынский А.Я., Мандельштам В.М. Программно-целевой принцип в автоматизации проектирования организации и технологии строительства // Реф. сб. Организация и методика строительного проектирования, М., ЦНИПИАСС, 1974 г., Jp 7, с. 2-6.

13. Нагинекая B.C., Яковлев В.Ф. Проектирование как процесс преобразования ситуаций. Формализованный подход. // Сб. тр. Высшей школы архитектуры и строительства, Веймар, 1977 г., с. 207-212.

14. Яковлев В.Ф. Ситуации в системах переменной структуры // -Сб. тр. МИСИ, 1978 г. , с. 149-156.

15. Апыхтин Н.Г., Яковлев В.Ф. О движении динамически управляемых систем с переменными массами // Прикладная математика и механика, АН СССР, том 44, № 3, i960 г., с. 427-433.

16. Быков А.С., Яковлев В.Ф. функциональная и организационная структура формирования АСУ ТП в промышленности строительных конструкций и деталей // Сб.тр. НИИОУС, M., 1982 г., с. 24-31.

17. Яковлев В.Ф., Дроздов В.М. Проблемы оптимизации при исследовании системы "стекло-полимер" // Сб. тр. НИИОУС, М., 1982 г., с. 68-80.

18. Яковлев В.Ф., Горюнов В.И. Элементы математической логики. Уч. пособие, МИСИ, 1983 г., с. 76-117.

19. Яковлев В.Ф., Пионтковский А.А. Алгебра структурных изменений в больших системах / Докл. на школе-симпозиуме "Си-стемология: системные и междисциплинарные исследования", Львов, Ворохта, 1984 г.

20. Яковлев В.Ф. Теоретико-множественный аспект в системных исследованиях // Системные исследования. Ежегодник АН СССР, М., Наука, 1987 г., с. 147-164.

21. Яковлев В.Ф. Механизм образования минимальной кван-торной алгебры языка первого порядка // СБ. тр. ВНИИСИ АН СССР, в. II, 1987 г., с. 4-13.

22. Яковлев В.Ф. Теория классов А. Морса с праэлемента-ми // Сб. тр. ВНИИСИ АН СССР, в. 17, 1988 г., с. 95-103.

23. Яковлев В.Ф. Принцип Лейбница для систем с минимальными структурами // Сб. тр. ВНИИСИ АН СССР, в. I, 1989 г., с. 122-132.

24. Яковлев В.Ф. Движение двухуровневой системы в пространстве конфигураций // Сб^ тр. В1Ш4СИ АН СССР,_в. . 7,__ 1990_г.______

с. 82-93о

25. ■ Яковлев В.Ф. Принцип системности и основания нестандартного анализа // Системные исследования. Ежегодник АН СССР, .VL, Наука, 1991 г., с. 109-123.

26. Яковлев В.Ф. Двухуровневое представление функциональной системы в гипердействительном пространстве // Доклады АН СССР, 1991 г., т. 317, Jé 3, с.600-601.

27. Яковлев В.Ф. Обобщенные состояния для систем с переменными структурами // Доклады АН СССР, 1991 г., т. 318, ¡i 1, с. 60-61.

28о Яковлев В.Ф. Расширенный универсум для систем с минимальными структурами // Доклады АН СССР, 1981 г., т. 319, й 1, с. 103-105о

29. Яковлев В.i. Принцип Зшби в иерархии представлений функциональных систем // Доклады АН РФ, 1994 г., т, 339, № 2, с. 176-177.

30. Яковлев В.Ф. Управляемое поведение систем с переменной структурой в пространстве обобщённых состояний // Доклады АН РФ, 1994 г., т. 339, №3, с. 314-315.