автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Теоретические и прикладные основы проектирования кривых, поверхностей и гиперповерхностей методом моноидальных преобразований

Р Г б 00

2 2 РЕ0 \№

ШШСТЕРСТВО НАУКИ, ЕНСШЕЯ ШКОЛУ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ , РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИ* ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОЛЪШЕЗШОСТИ

На правах рукописи УДК 515.2:513.75

НУШАХАНОВ Бвймахан Нуриаханович ,

ТЕОРЕТИЧЕСКИ И ПРШШДЕШЕ ОСКОШ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРИВИХ, ПОВЕРХНОСТЕН И ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ МЕТОДОМ МОНОЙДАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Специальность: 05.01.01. -Прикладная геометрия и инженерная графика

А в г о р в ф о р о т . диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

И

Москва - 1992

■ Работа выполнена на кафедра автоматики Челябинского ордона Трудового Красного .Знамени государственного аградшженериого

университета Научные консультант:

доктор технических наук, профессор В. И. Якунин доктор технич-зских наук, профессор Ф. Я. Изаков Официальные оппононти:

Почетный академик Академии транспорта Рсзссни, доктор технических паук, профессор И .В. Филиппов доктор технических наук, профессор В.Я. Волков

д ок тор фи з.-мат.наук, пр офе с с ор Е .Ф.Ф ормалев

Ведущая организация указана в решении специализированного совета.

Защита состоитса 1995 г. в час

на заседании снециализированного совэтаЗОР 063.51. ЦЦв Московском ордена Трудового Красного Знамени технологическом институте пищевой промшшнности.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные гер-ОовоЭ печатью, просим направить по адресу: 125080, Москва, А-80, Волоколамское шоссе, дом II, отдел ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МТИПП.

Автореферат разослан д"лЦ;1 <лМ-х 199/года

Ученый секретарь специализированного ; 7,

совета, канд. техн. наук, доцент / И.Н. АКИМОВА

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Одам из главных направлений ускорения научно-технического прогресса является широкая автоматизация технологических процессов на основе применения автоматизированных станков, робототохнпческих комплексов, вычи слито льгай техники, систем автоматизированного проектирования и технологической полготовки производства (САПР н АСТПП). ' Широкое внедрение па' основе создания

интегрированных систем проектирования, охватывающих все этапы от эскиза до технологии изготовления изделий, позволяет повысить производительность труда исследователей, конструкторов и технологов. Формирование геометрической и математической модели объектов и процессов, как начальный згап проектировайня, составляют основную задачу в САПР, так как его результата используются для решения множества задач последующих этапов исследования, проектирования, воспроизведения объектов иди упрашгашм процессам!. -

Обзор литературы, посвященной разработке теории и применении геометрических преобразований, показывает: а) достаточно полно исследованы расслояемш центральные кремоновы ииволщта 3-мэрного пространства и центральные кремоиовн инволюции. плоскости, задаваегж ■ сбоим центром н • инвариантной кривой; б) эти преобразования являются удобшм геометрическим к математическим средством для описания крлшх. и поверхностей, удовлетБорявдях наперед заданным требованиям; в) не разработана конструктивная теория лоиоидсиъиух -преобразований п-мерного пространства, которые являются нрэкоиозши преобразованиям с (п-1)-кратнымн бесконечно удаленными фундаментальны!,от точками (нецентральными нр-змоковш.га преобразованиям!), где и то2; г) требуется разработка новых эффективных ногодов аппроксимации, интерполяции и интерполяции со сглазайакием кривых, поверхностей и гиперповерхностей с использованием моноида лышх прообразовать.

Решэшю задач прикладной гоометрки па качественно новом научном уровне невозможно ооз розработш1 экономичных штодоб проектирования кризах, поверхностей , и гиперповерхностей. Поэтому создания' новых методов проектирования криви:-:, поверхностей гиперповерхностей на основе теории моноидальшх преобразований, позволяющих уменьшить количество составит«

частей обводов, расширить класс применяемых в науке 'и технике кривых, поверхностей и гиперповерхностей, повысить качество их проектирования, сократите трудозатраты конструкторов и технологов, расширять разработку новых технолога"! гоош^шского ыробктароЕШИЬ технических объектов и процессов ь составе САПР, яыттеп актуальной научно-технической:

ПрСбДОЫОЙ.

Кссл9доваз:я и разработки, составляло основу диссертацяодаой рсЗотн, бшюлцош в соответствии с отраслевой научно-технической прогрз:л:оЛ по разработке к совероонствозанию С/ЛР 11 ЛСТПП объектов судостроения, а также научно-технической программой О.СХ.71- на 1936-1990 гг., утЕврздошюй ГККГ 51 Госпланом СССР.

Даль работ». Разработка конструктивной тэорик конондзльшх преобразований, создание на ей'основе к внедрение современных_ автоматизированных методов проектирования кривых, поверхностей и гиперповерхностей, направленных. на сокращение трудозатрат и сроков проектирования объектов машшостроешш, ограниченных криволинейными поверхностями со слолашм законом образования, а также на расширенно видов гиперповерхностей, применяемых при идентификации по экспериментальным данным различных многофзкторных биологических объектов -управления в. технических системах сольского хозяйства.

Основные задачи исследованияг

1) разработка метода получения бимоноидальшх преобразований п-то порядка в т-мерном пространство, где 1Х>2 к порождаемых - биязршш отображением поверхностей с (гг-1 Нератной вер1лшой (ги-1 )-;лорного пространства;

2) определение принципов,. по :готорум' моделируются нейду т-мернниИ пространства!«!, где изоляционные бимоноидалънне преобразования п-го порядка .Т^,^1, рациональные преобразования Т1_1,Тт_п и взаимно (I, позначные соответствия '¡,х-п,т1-п '

3~) разработка алгоритма моделирования биданоидэльнше преобразований РдЛ^1 кезду двдкя иокоидалышми поверхностями в шн/ерном пространстве, гдо

4) разработка алгоритма моделирования котрачпнх уравнопкй б'.ггонсидзлыгу.х и рзсЕОналышх преобрэзопаннй, а такие ззагядао (1,и)-;шачлцх соответствий иэзду ш-кершьах пространствами, где >■■{>0;

5} разработка методов решения .обратных задач, сшпенных с

моделированием моноидальных преобразований;

6) разработка методов задания моноидалышх преобразовать парами соответственных геюмо триче сщц_элймоегоз;--

7) разработка приближенных и точных методов тгроектаровг.:п:я кривых, поверхностей и гиперповерхностей, удовлетворяю-.;'««: наперед заданным требованили, с использованием моноидальных преобразований плоскости, 3-меркого и многомерного пространства соответственно; • '

8) разработка прикладных алгоритмов и программ проектирования кривых, поверхностей и гиперповерхностей с применением моноидалышх преобразований;

Э) определение эффективности разработанных методов, математических моделей, методик, алгоритмов и программ; внедрение их в реальный процесс проектирования технических изделий в судо- а авиастроении, . а также в процессы моделирования и оптимизации многофакторных биологических, объектов в сельскохозяйственной отрасли.

Методика выполнения работы. В работе принят аналитический метод исследования. При расчете криволинейных объектов и многофакторных Процессов применялись ЭВМ ЕС 1036 и персональный компьютер IBM PO XT/AÎ. Все основные задачи решались аналитическим путем в прямоугольных, системах координат. При исследованиях применены отдельные положения теории, матриц, начертательной, аналитической, дафЯеренциальной, проективной, многомерной, алгебраической и компьютерной геометрии, теории планирования эксперимента; специальные разделы вычислительной математики и математического программирования, теории алгебраических кривых я поверхностей, теории алгоритмов, теории САПР» АСК и АСГПП судостроительного производства.

Информационной в теоретической базой исследований служили работы ученых-геометров прикладного направления: Ашика В.В., Бадаеве Ю.И., Вубенникова A.B., Бусыгина-В.А., ' Волкова В.Я., Валькова К. И,, Гвоздева П.В., Горелика А.Г.# Гумеиа И.О., Джапаридзе И.О., Зоаулевича Д.М., Иванова Г.С., Ковалева С.Н,, Колотова С.М., КораСельокого В. П., Котова И.И., Лихачева Л.И., Михайленко В.К., Мчедлишшли S.A..Надаарова K.M., НадолшногоВ.А., Найдшаа B.Ii.» Нйколаевского Й.К., Обуховой B.C., Осипова В.А..Павлова â.B.»П&рвюговой В.Н..Подгорного А.Л., Полозова B.C., Рыжова ÏÎ.H.» Скопаца 3./.., Согомояяяп К.А., Ствродетко Е.А., Отояиа Ю.Г., Тевлила A.M., ЗУ зова /.Д.,

Филиппова П.В., Фролова С.Л., Чэтверухкна Н.Ф., Якунина В.И. и их учеников, а также зарубежных ученых: Адамса Д.,Алберга Дл:., Безье П., Гардина "Л., Де Бора К., .Кастольто П., Коснара М., Кремона Л., Кунса С., Куштера Д., Принса М.Д., ПфаКо Г., Райзла Д., Роданрса Д., Сазерлевда А., Фокса А., Сорэсга А., Хартсхори Р., Хадсона X., Ходч,в 3. к Ер.

Научная новизна работа? заключается в следующем: ■ Г. Разработан метод получения ■ бимокоидалышх',, преобразований п-то порядка ¿Г1>'"г/ в гд-морном пространстве, гдз roZ п я©3, порозжазкшс бинарным отображением Еовергнозтей с (п-1)-кратно;! верзилой (до-1)-иерцсго пространства с поподыо лучей двух линейшх кожлокооз. Црокгячесхал регллзация мкгода вшкмдона для и=3 и т-4.

2. Определены прикципи, но которым моделируются ü ¡п-керном пространстве, . где . ¡;i>3, инволюционные б;п<юкоз;дадьшо преобразования n-го порядка ^.J^» рациональные преобразования Tj_j,Tj_Ji Ii Bcassio (I ,и)-знач1П.то соответствия Tj_n>Tj_п. Разработан алгоритм модоллрова.'Егя бишноадалыах. преобразований Рп, мезду двумя шнюидалышми поверхностями I к I1 в ш-морном пространстве. Практическая реализация алгоритма' выполнена для т=3 и ш=4.

3. Разработаны: а) принцип классификации геометрических преобразований з-мэрного пространства; б) методика построения графических моделей канонических дву-двузначных преобразований З-керюго пространства, расслаивающихся в пучка плоскостей на плоские квадратичные преобразования. *

4. Разработаны метода решения обратных задач в моделируемом пространстве: а) метод определения алгебраической поверхности к аппарата моделирования в m-мерном пространстве, где ш>3, по веданному бшшоэдальному преобразованию; б) метод определешм алгебраической поверхности в т-мерном пространстве, где гп>3, по заданным еппарзту. моделирования и колониальному преобразованию; в) метод определения аппарата моделирования в п-:,:ьрном пространства, гдо т^З, по заданному моноидальному гоеобразозанию; v) метод определения обратного моноидальиого преобразования в га-керном пространстве, гдЬ..ш>3, по залегшему прямому монсидмьаому преобразованию Тп. Практическая рзслйсоцая ттолоа вшемшека для а=3 и и=4.

5. На основе решения обратных" задач коиопдалышх пресбр&зозанхй разработаны: в) метод заданий монээдалг-зшх

преобразований в т-мерном пространстве, где ш>-3, прообразом и образом; б) метода задания моноидальннх преобразований "плоскости нарами соответствешнх, многиушльшков; . в-)—метода-задания моноидальшх преобразований 3-мерного пространства параш соответственных незашшутнх многогранников; г) алгоритм задания моноидальннх преобразована т-мерного пространства, где

параш соответственных незамкнутых гшермкогогранникоз.

6. Предложен способ задания кривых .уравнениями ионоидального преобразования плоскости и прообраза. Разработана методика- задания уравнений специальных моноидальннх кривых, удовлетворявших по форме заданнпм требованиям. Разработаны коксретнне математические модели специальных моноидальннх 1грпвых, удовлетворяющих по фоше задавши требованиям (выпуклая ил! согнутат, допускает точку перегиба). Разработаны метода коповдалыпк преобразовать для аппроксимации и интерполяции со сглашзением кранах,- задаваема* рацкональннш парамотричэсннми уравнениями и при необходимости удовлетворяющее по форме наперед залэтгом требованиям (выпуклая или вогнутая, допускает точку перегиба); предложен н&слокзнй (практически удобный) алгоритм сглаживания дискретно заданных одномерных ' обводов точек с использованием моноидальшх 1сривнх. ,

7. Разработаны метода точной замени дискретно заданной линии дугой моноидальной' кривой," задаваемой пятью и' шестью условиями. Получены-формула для-расчета коэффициентов уравнения моноидалыюй кривой по заданным пяти' или нести условия}.!. Определен характер влияния заданных условий (точек и касательных) на изменение форма проектируемой кр;пзоП.

8. Разработана- методика конструирования "и • сглаживания каркасных поверхностей по дискретно заданным направлящим -'или образующим кривим. с использование» мгновоншх моноидальшх преобразований плоскости,, задаваемых рациональными параметрическими уравнениям:, что отлпоот об 1 от известных методик- задания каркасных поверхностей.

9. Предложен способ задания поверхностей уравнениями моноидального преобразования : 3-иэрного пространства и прообраза. Разработана методика задания уравнений специальных могоидалышх поверхностей, удовлетворяющих по форме заданным требованиям. Разработаны метода моноидальшх преобразований для интерполяции, аппроксимации и интерполяции со сглаживанием поверхностей, задаваемых рациональными пзраметрическимн

уравнениями и при необходимости удовлетворяющее по форме наперед заданным требованиям. Разработан несложный (практически удобный) алгоритм сглакивения дискретно заданных двухмерных обводов точек с использованием цоноидалышх поверхностей. Разработан алгоритм аналитического описания поверхностей, еодзззэмых двумя сеыэйствзш моноидальшх кривых.

10. Разработана метода«» геометрического моделирования и составления плана экспериментов (как прямоугольная проекция дискретного точечного каркаса гиперповерхности отклика) с шшва&тшяй числом опытов дяя использования в, вдептивккации многофакторных объектов управления по экспериментальным данным.

11. Прэдлокэн способ задания гиперповерхностей в г.-керном пространстве, где , уравненж.ш моноидального преобразования т-мерного пространства и прообраза, разработана методика задания уравнений специальных ыоноидальных гиперповерхностей, удовлетворяющих по форме заданным требованиям. Разработаны конкретные математические модели .специальных моноидальшх гиперповерхностей, имеющих выпуклую геометрическую форму. Разработаны методы моноидальных преобразований для интерполяции, аппроксимации и интерполяции со сглаживанием гиперповерхностей, задаваемых рациональными параметрическими уравнениями и при необходимости удовлетворяющих по форме наперед заданным требованиям.

Практическая ценность работы заключается в создании математических моделей-, - методов, .. прикладных алгоритмов и программ проектирования кривых, поверхностей и гиперповерхностей, удовлетворяющие наперед заданным требованиям. Они позволяют расширить класс применяемых в науке и технике кривых и поверхностей, уменьшить количество отсеков судостроительных поверхностей (в 1,2...1,5 раза), повысить качество их проектирования, сократить сроют проектирования н трудозатраты исследователей, проектировщик© и технологов ш 20. ..ЗОй при решении соответствующих инженерных задач. Ш оейове зтих методов созданы: .а) оптимально гладкие геометрические форм: . объектов судостроения (яхтостроения); б) оптимально гладкие геометрические форма.объектов специально;1 морской техники для народного хозяйства: в) оптимальные технологические реапш обработки семян овощных культур (столовой свеклы, турнепса) лучами сверхвысоких 'частот (С'Л) нг основе их геометрических «одолей, позволпшяе повчеип

всхожесть и урожайность этих культур на G0...40S.

Реализация результатов работы. Полученные в работе ттритещпшго результата исследовании ь шде ' методов, математических моделей, методик, алгоритмов и пакетов прикладных программ реализованы в ЦЖЛ морского флота, üiiliti технологии судостроения, ШИ измерительной тсхшиг-: ПО ''Полет", НИИ механизации и элэктрийгкашга сельского хозяйства Сибирского отделения Российской Академии сельскохозяйственных наук (Сиб1МЭ СО РАСХН), ЦКБ "Балтсудопроект", на Санкт-Петербургском научно-производственном предпрягиг '""Терма", в Санкт-Петербургской компании "Трансбалт", в Киевском научно-производственном центре яхтостроения "Сэйлекс", на Московском заводе "Скорость" rat. A.C. Яковлева. Экономическая зф|юктпанссть от внедрения результатов исследований додтверздена акта?,га реализации.

Результаты работы внедрены такие в учебный процесс Челябинского агроиякенерного университета и учебный процесс подготовки аспирантов в ЦЮГЛ морского флота.

На защиту выносятся: положения, изложенные в п. "Научная новизна", а также программное обеспечение и результаты внедрения.

Апробация работц. Основнье результаты диссертационной работы доложены на республиканской конференции по прикладной геометрии и инженерной графике (Киев, 1976 г.); на научно-технических конференциях ДГМСН (Джамбул, 1979-1987 гг.); на межотраслевой научно-технической конференции "Опыт применения и перспективы развития систем автоматизации в проектировании, производстве и управления" (Москва, I9S6 г.); на заседании сафодры прикладной геометрии в МАИ (Москва, 1989 г.); на третьей международной . научно-технической 1 конференций • "Программное обеспечение ЭВМ" ■. (Тверь, .1990 г.); на лездународегом семинаре "Компьютеры и геометрическое мышление" . (Москва, 1991 г.); на всесоюзной конференции "Компьютерная, таометрия и графика в инженерном образовании" (Никний Новгород, [991 г.); на научно-технической ' конференции ЧГАУ (Челябинск, :ээг г.); на научной секции "Начертательная геометрия, -шкенерная графика и автоматизация проектирования" 'егашградского и Санкт-Петербургского Дома ученых (Ленинград, :939 г.; С-Петербург, ГЭ52 г.); на 242-м заседают Всесоюзного ¡емшара "Кибернетика графики" в МАИ (Москва, 1992 г.); на юждушродном научно-методическом свыиюре-вк ставке "Инфор-1ашюнные техногии в образовании и науке" (Рига, 1992 г.); на

ка.угшо-походачос1:оЯ коЕ&орошки СНГ "Прошлом« - гра&пчоскс 1ТОДГОТОъ:<япх-шрз: нопрергвность греческого образована:-] вакаитоя грау;п:о, хтзгагерши» технологи»: обучзпая" ('¿:нск 1533 г.).

^ХйЫД^Ш^Ь то''° З^ссзртмшп слуОлжоьако 33 каучш; роботи, е когорц. достаточно. полно освог;ош как теоретические так н 1Лл\н.;тдкне Еоярос:; кссдадозапкЛ.

Структуру к объо?.; рдбо?н. Дсссертецик состоит ' к

ВЮД31КЯ, ЕССЬТи! ГЛ32, ОСЙИХ ЗАВОДОВ Л СОллХ'ЧЗИПЛ, 'СЕЛСКО *яюльсог.а£Кз1 литератури ( 421 канонов л пряложэпий сохдркп Н&2 страниц кошакоикского текста, 60 рисунков, и 27 тао'яулд.

Во введении обоснована ектуодьаость проблонн офз^-улирокона цэдь я задачи кссладоюшш. Б обзоре даторатур проонелизкрованы работа ученых по конструктивной теория прилокению нелвноЯных гес«этр;'.чосккх (крокоыотзнх кокоидалыкх) преобразований. Излагаются нобш научны результаты, выносешо автором на защиту. Показана облает практического ' пржмонашш розультатов тооротичэски исследований.

Глава I посвяцена исследование коноидалышх прообразован!! 3-мерного пространства. - '

Профессором Ивановым Г.С. создана конструктивная теорл. централышх кремоновых инволюции плоскости и З-мерноп пространства. Б нашей кандидатской диссертации исследован! коноидальныо преобразования плоскости. -В • данной глав* разработано конструктивная теория моновдальнах преобразована З-м'.'риого пространства.

В данной часта работы излагается метод получеши шкшдэльпзх преобразовскй 3-мерного пространство, порозэдаоку; С;шрнк.\: оотбраззвивм слгебр&ичэсшас пгаэраошрхлостей п-г( иорздка 4-кзрного пространства с (Г1-1)-кратннмк верйша:.в лосрехствсм .дуче;: двух .¡шейных хоэшлексов (рис. 1.1.1). Г!р! ггох одно зспомогатолькоэ "проедороБВНйв слгеброглеско; годгряешэрошэЬтк я-го порядка Оп:

'Л Г. I <> и

осу^стп лйзтся г„осродст:-:с;.'. :;оыфсгедсшю1'о ;бтн5"пог'. -•--!т!осгра:^ст::он1;ого ир-.'сСрпзова'Шя Ь, оадышого нет]« шда

л1=а,^С, С-Т.П)

гдэ {,,/--£.,. 4, с ноеледувдга огобрамвнкчм точек г.гтч г поверх-

носп; :

I г,ГгД у1 Л,

,.т •'£ у * 1 ,3 ' " " ~

1 ^ и

>:=сик1-

(1.1.3)

(1.1.4)

етроздошшм дшайвил прообразованном р2: х'Я5 {=Г...3, в подфосзршитю Пд.

ПрзоОрэзование (1.1.2) удовлбст.оряет условиям получен' шноидзлыек ираоЗрагоьишй ГП,Т*: а) гшарповархчос^гь ; ьадачгси ураьнэшым (1.1.3); 0) здокодга А^, лгм, мщак А( р обротяэЛ для а.ц, одноврокешо по равпн нули.

В сЗцо». сл;уч5е ¿торе еспомогртолытоо ироецирэвии

ОСУЦЗСТВЛПТСЯ посродсгпок

лилейного

кошро^денаого'

гфослилстзикюго лросбшговшкя с} с последук.шд отоСракога.

А -ПО

гочек гклзриешрхности Бырсждеышм лшэйвкй преобразован:!! РГ1 з подпространство П3 (рис. 1.1.2). .

х1 . фп Ь

✓ Ч / ч / ч

✓ ч

-©

Рп

М С Но

ч

ч

0 М1^ Й

Рис.1.1.2. Обобщенная схема бинарного отображения поверхности . ФП=П4 для установления биыоноидального преобразования кезду З-моршши пространства:,!;! Пд=По

Пусть заданк в 4-мэрном пространстве

С'п, новырозденныэ лшеШс проецирувдие отображения и пум

отображается лучами линейных - ксьллэксс

Доказана теорема, ГС^П^ моновдальяая гиперповерхность преобразования Ь,ах гаюрповорхность Фп

р^а1, в бинарную иодоль ргсП3,ц2сП13. Тогда д:

установления бимонсидального преобразовать п-го иоряда Тд.Т.^1 иогду З-ьгаршмд пространствами П3 и П*3 необходимо .достаточно, чтобн каждой пара точек К ^ М1 с |х? одношач! соответствовала только одна точка К с с

СлеОскбиэ. Если лкпейкоэ преобразование Ь являет евтемор^пзмом гиперповерхности £> , линейное преобразование с явлздтся тсадестзошштл преобразованием ж отображения яиллмтсп отображениям? из вершины Б с ф то устшшвлизпдгс}

Б

Ч

Ч

гаволщкошше бимопоидалышэ преобразования п-го порядка Jn, J^ между 3-мерными пространствами П3 и П^.

Разработан аналитический способ . задания уравнений

моноидалшых 1феобразоватй фарм^-Ц и,-.um1 i-ид сосАЬ^йтаешю:

■ CII C2I CT9 Oon CI3 c23 CI4 c24

Ü L C3I KJíí c33 c34

согласно которому их

Л1

h Хп

«^(Xj.Xg.Xg)

A

(1.1.5)

V ' bci b12 ÖI3 bu"

h = Ь0 n b,5 b24

M - b3I b3G b34

4

^(Х^.Х*)

(I.I.G)

r;;o Xj. ,.л, I!3 h (I.I.I);

X^.. .Х^Ц - коорлштн 70'ПК 3—N!op»!cro пространства

i, ,1=1... 4 ;

Vi о

I .Д ,.l

^jCXj.Xo.Xy) - Правая чосгь урс.

шнушш

правая часть уршшдея (I.I.3).

Сгфэделзпи свсйсгй'1 разработюшх • кспоидадшкх NpocipaaoBfiiniii. Ошшппда инвариантами гсиоид.-льн:«. прообразован;!;! лвлдагся однсзи&пиостъ, н э щ, е pi s й i i о с т ь и сохранение лалра (»аира прообрися it образа рввши. iforai л Формах (I.I.5), (I.I.G) btaTjiaw öj; д Cjj лвляшсп ызтрпцсш йрозцгрзг.зяшг из течей Si^n-I 11 Ч'^-'гп! Sp) стгснгю, а,ц яг>;;:ится по средой гол'дестккшсго ирео^рзеованил, то разработанный лртиншн модел.фгамнл повзрхностей в вид;1; гопэидплыпх прообразовала Кфслдаотси до павзедюго в нач«р-тптелшЛ гесмогрпп npimrcœa двух изебрккеппй лу сьяыси.

Наследован:! прищппн, по которым моделируются модцу 3-, мэржми пространствами рандоналъжэ преобразования T-¡-_j,Tj_ri и взаимно (1,п)-значнне ' соответствия Tj_n,Tj_n в зависшосги

от тшелэдцваемпх требований к моделируемой гиперповерхности и аппарату gö бинарного отображения. Опрэделога те свойства. Исследован также алгоритм моделирования

]

бшонодцальных преобразований I^.P^ мозщу двумя моноидальн поверхностями в 3-ыорноы пространстве путем использова гшерсечэния Qn гиперповерхности Фп.

Предложенный принцип классификации геомотричес преобразований 3-мэрного пространства - учитывает: моделируемой гиперповерхности, задаваемой в 4-мер Пространстве; условия, налагаемые пе элементы матриц Оинар eö отображения; расположение картинных подпростран относительно моделируемой гиперповерхности.

Профзссором С.А. Фроловым разработаны способы квадратич го- праобразозашя чертежа применительно к решению за, начертательной геометрии. В работе это направление исследова получило дальнейшее развитие. Излагается методика построе: рациональных графических моделей канонических • дву-двузпач преобразований G-мерного пространства, рас слетающихся в пу плоскостей на плоские квадратичные преобразования. Она основ на последовательном примекзкиы теоремы Пифагора (к-l раза) : определении значения каздой координаты точки-образа по задан координатам точки-прообраза, где к количество слагаемых рассматриваемом уравнении квадратичного преобразован Построенные рациональнее графические модели канонических д двузначных преобразований . 3-шрного пространства расшир. квадратичные способы преобразования чертежа в начертатель; геометрии.

Теоретические результаты исследований подтвзрад коякретшаш примэрада.

Б главе 2 излагаются основы конструктивной тоо; ■ ыоноидалышх преобразований многомерного пространства.

Описывается метод получения бкмоноидальшх преобразова: п-го порядка Т , Тпх в д-ызрном пространстве (п>2 и ndZ).

Доказана яворам. Пусть заданы в (ям I)-мерном яространс моноидалькая гиперповерхность Ф , павыроадега ликзйьие преобразования L,ax, проецврущие отображения ррр2 пусть гшарпсверхность' ; Оп отображается лучами линей кампяоксоз ßjff1, '¡<<рЪ в бинарную модель ^сГ^.^сП^. Тогда , установления б;шоноядзльного преобразования n-го поря, "п'^п"1'- мё3ИУ й-мзршлда: пространства!.« Ц и П^ необходимо достаточно, чтобн кадкой паре точек К с н1 с jjg одиозна' соответствовала только одна точка Н с £>.. (рис. 2.1.1).

СлеОсглдие. ' Если лккейгоа преобразование I являз;

Ï3

автоморфизмом гиперповерхности 5>п, линейное преобразование ( является тондественным преобразованием к отображения Рр являются отображениями из вэршшш 5 с Фп, то устанавливаете инволюционные бимопоидалышэ преобразования п-го поряд ^ между к-мэршши пространствами Пи и П*.

Определенн принципы, го которым моделируются мокду т мерными пространствами рациональные преобразования Тг^.'Г^^ взаимно (1,п)-значше соответствия в зависимости

накладываемых требований ■ к моделируемой гиперповерхности аппарату еЭ бинарного отобразвшш {т>Л). Исследоьам такке алгоритм моделирования бимонокдалышх преобразований РП,Р между двумя коноидальныма гиперповерхностями; в м-мерн пространстве путей использования гипорсеченкя (} гиперговер кости Ф , где пН. ■ Выявлены .свойства разработанных про обр зований. / . •

Приведена конкретные примеры, подтверндащке получены теоретические результаты исследований.

В главе 3 рассматриваются теоретические ознобы решен обратных задач, связанных с моделированием моновдалышх прео разований.

Изложен метод определения алгебраической поверхности ашарата моделирования по заданному бимоноидалыга преобразованию Т^.Т^, решение которого вытекает из следующе принципа: I) заданное бишноидальное преобразование Г^, Т 'привязываем' к пространственной конструктивной • схе моделирования бишноидального преобразования Тп, Т* (главы I

2), то есть считаем равнозначными п Тп, Т^1 и У1 Аналитически это задается эквивалентностью уравнен;; опрздолтащих соответственно Т® и Гп, Т^1 и Тгп; 2) составля систему равнений, первая часть которой получено из ус-лов акгавалчнтности флрмуд преобразований Т® и Тп, ьгорая часть из условия зкыгйалантпссти формул преобразований Т® и Т*;

3) роюот эту сйстому уравнений, найдем когф^п^изнты уравненп поверхности 5 и алэкенты■матриц конструктив:;о го ашарата бинарного отображения. ; '

Аналогичны" ¡триицкп- попользован для разработки: I) мета определения алгебраической поверхности по заданным аппара ' моделирозщгкя и моноидальнрму преобразованию; 2) метод определения аппарата моделировании до заданному мс.ноидаиьнс ГфООбрПСОВйНИ».

В теория нолинвЯлп моноидалыпп преобразований одной из основах задач является определение обратного монопдалыюго преобразования ' 1ЛП по заданному прямому монопольному

щеео'разозасм Т_. Црздаагземай—-утспзашю.г

«циъ заключается п следующем: Г) известное шкщалыюе прообразоваш'з "прививаем* к пространственной

конструктивной схеме модэлировапля монопдалыюго преобразована т ¡глаг.и Т И 2), то есть считаем рэвкооначшд! мсваилалышо ^ообраосванп'я п V Аналитически ото задается яшипалент- • постыэ &рмул преобразований 1° и Тп> на основе чего составляем ечс^му уравнении; 2) репив еЭ, определяем яоеддаяин урашэнто прссбразущей гширяжерхнесга ©п г. элементов матриц конструктивного аппарата ео бинарного отображения в виде яяеЯвд лрео№аэашс& Ъ,а; 3) определяв: а) коэфрапинтн уравнения " вторичной прс-образуэдеП пшорпореряюоти Ф*п, чРчч^'аПся акёгпи ипззрпитом п-лэртгсворхпсста Оп в лшейнсм гозобразовшглп Г.; б) датршщ обратных »Киши/. преобразований Т,1 п а1; 4) по иавкзоти олементам Ф^.Ъ1 я а1 загаживаем искомое уравнение обратного мзет:далы;ого преобразования Т п, используя ошташй во второй глюа метод получения бшэиолдальпат преобразований.

исследования проводились о рассмотрением коифзтшх примеров.

Способы задзагя мопспдальшх преобразований списываются в глаое Л. Основное внамшие удзлзко нахсздешта прямого ¡•снопдальнего прзобрасовашш п-го порядка ?п по дискретно, заданным исходам дшвш. В случае необходимости определяется обратное монопдадьноо преобразовала Тхп по известному прямому

псеооразонпкта Тп (глава 3).

В теории нехгаейише иснопдалыж преобразований часто встречается" задача, при рвамшп которой требуется определять моноидплыке (алл рациональное) преобразование по заданный улав'летп!ям прссбрпза п образа. Метод роазпЕЯ этой задачи заключается п сл&дукдем: I) пусть в я-мерком пространство п 3ЦТ, где г&З, задаются образ 7* и прообраз I (сна являются коноидами); 2) ызнсэдалыюс прзобразование Тп переводит образ I1 з гоообраз .г° " (главы I к 2). По условию задачи

,преобразование Тп доллно преобразовать образ I в прообраз I, то есть I и 1° долгам быть равнозначна«". йнал-.тически это задается зквивалентностьи формул прообразов 1 и г ; 3) по этому условна составляем систему уравнений, рэгппг которую, определим

неизвестные коэффициенты уравнений моноидальяого преобразования TQ.

Излагаются разработанные метода оаданвя шнондбльши преобразований п-го порядка ?п плоскости I> где парам, соответственных ьшогоутолыш-соз.

Доказана теорэж. Ыаисидалъное преобразование n-го корядкг Т плоскости ilgsllg определяется заданием двух ссответстгоннн? невиполденшх многоугольников Uj-.-i.ij. ь ' количеств:

ьершш каждого из них к= п(ш-3)/2 + I..

Разработаны такта методы задания коноядалы-шх преобразований n-го порядка тп 3-шрного пространства Hgsirfj, где п>2, пзршв соотвзтствегетых кяогогршшнков.

Доказана теорем.а. ?.Ькоидалкюз преобразование n-го порлдкг Тп 3-ыорного пространства E-sIIg сцредедаэтся еаданизм двух соответствешшх шзгкготутцх ьшогогранникоз, количество ьврзкк которых ic=3n(n+I )/2+1.

Рассматривается алгоритм задания ьшпоидалыпа преобразований n-го порядка Тп в m-керпом пространстве, где пе4, парой соотвз тствзныых шзшсиутых гппзриюгограншков.

Если п=1 и п=1, то результаты исследований совпадают с теоретическим*.! положениями из аффинной гро;,;отрии.

В ßM2Se 5 получила развитие прикладная теория кривых л каркасных поверхностей с использование:,: шгавдальша преобразований (применительно к проектированию судостроительных кривых к поверхностей). •

Теории проектирования судов посвящены работа Макарова С.О., Крылова А.Н., Еуковского Н.Е., Павленко Г.Е., Секенова-Тян-Шаяского В.3., Новожилова В.В., Боклевского К.П., Поздютша B.I., Малалина Б.М., г/изпна И. 0. и других ученых.

Геометрическим моделированием судовых • обводов занимались Ашик В.В., Белкин Ю.В., Болотов Б.В., Вашэдчекко'А.К., Города М.М., Карпов A.B.', Ковалев В.А., Ковтуп В.Н., ДОзлшювскзя В. И., Рогачев 0. К., Филиппов П. 3. и др. В данной главе разработаш теоретические • основы методов геометрического ■проектирования судостроительных кривых п поверхностейНа ПЭВМ с использованием мокоидаяышх преобразований.

Теоретический чертеж корпуса судна - первый и главный чортэг: теоретической поверхности корабля , необходимый при ей проектировании, конструировании, постройке, сксплуагации и ремонте. Согласование обводов теоретического чертека корпуса

судна и обеспечение их плавности является слогшой и трудоемкой итерационно'* задачей определения криволинейной ®орш,

обеспечивающей аксллуптациошшо и мореходтшо качества суднс.

быть несжшюЯ:, универсальной, гибкой (возможность корректн-'

о

роЕкп. фзршз корпуса судна в соответствии с различиями требованиями в процессе проектирования и конструирования) и реализуемой на ПЭВМ.

Q инженерной. практике для математического описания Форш! судовой поверхности используется подсистема САПР судов "Форма", которая предусматривает разработку геометрии судовой поверхности с использованием лицензионной системы автоматизированного проекигровашш и постройки судов ФОРАН и модулей отечественной разработки, таких , как ПОВЕРХНОСТЬ и ГЕНФОР. Известно, что ошт сложны в практическом прикенегаш, требуют значктелы-шх трудозатрат для репения задач математического описания форш судовой поверхности.

Метода согласования обводов теоретического чертекз при подготовке корпусного производства, изложенные в работах Ашина В.В., Богданова A.A., Бараевой И.Б., Шбалова А.II. и др., требуют большого объёма предварительной графической работы (или применимы, если точечный каркас поверхности корпуса предварительно сглакен) и сложны в реализации на современных ГШ,!.

При проектировании, конструировании л воспроизведении обводов слокпнх технических форм часто требуется заменить дискретно заданный контур изделия непрерывной кривой, удовлетворяющей по форме заданным требованиям (выпуклая или. вогнутая, допускает одну точку перегиба и Др.). В связи .с этим разработана методика получения мояоидальных кривых, удовлетворяющее по форме заданным требованиям, с использованием конструктивных свойств моноидальных преобразований плоскости (см. раздел 5Л). Например, показано, что моноидальноя кривая I1:

XI = pII+Pl2XI+Pl3XIfPl4XI+pI5^I+Pl6XI+Pr7XI 1 . /

4 = PSI^Vpss^PZ^+PSS^PSG^PB?*!0 J

где pjj.. .р27 - постоянные коэффициенты, на интервале параметра OäCjsSl» имеет только выпуклую' дугу. На основе : этой методики разработаны математические модели специальных моноидальных кривых, удовлетворяющих по форш заданным требованиям (выпуклая или зогнутая, допускает точку перегиба), которые рекомендуется

(5.2.1)

использовать для аналитического описания дискретно заданных кривых, применяемых в технике.

В разделе Б. 2 излагается метод приближенной замены дискретно заданной линии простой дугой моноидалъной кривой, ■ который заключается в следуищем. Пусть проектируемая техническая кривая или одномерный обвод кривых ! (например выпуклый или вогнутый, может иметь точку перегиба) задается совокупностью дискретных точек, количество которых п. .Аппроксимирующую коиоидальную кривую I1 задаем уравнением моноидального преобразования Г, например, третьего порядка:

Xï = PlI+Pl2XI+Pl3X2+PlAX2+Pl5XI+Pl6XI4

Pj.-^X^+PjgXjK'+PjgXf+Pl

4 = ï)2I4"P22Xr+P23X2+P24XIX2+P25XI+P26X2+ 9 2 3 °

î,27Xï>:2+P28XIX2+P29XI+P2, Г

и гладкой дугой заранее фиксированного прообраза I:

Xg = u(Ij), . (5.2.2)

где Xj, xï; координаты точек аппроксимирующей моноидальноД

кривой '(образа) I , р-г(, р2{ - неизвестные коэффициенты, где

{-=1.. .10; Xj, Xg - координаты точек прообраза I ; ОгЗ^СГ;

Значения параметра Xj фиксируются пропорционально сумме длин

хорд от начальной до рассматриваемой точки контура. Например,,

прообраз задается уравнением X2=*''(I+xi в моноидальном

преобразовании Т особой точке прообраза (точка возврата, точка

разрыва, кратная и изолированная точка) соответствует особая

точка образа. Простая дуга прообраза, не шэнцая особых точек,

преобразуется в простую дугу образа, которая также на имеет

особых точек.

Формирование математической модели простой дуги кривой . заключается в определении коэффициентов уравнений .плоского моноидального преобразования Т (5.2.1), заданного парой плоских многоугольников, .вершины которых принадлежат соответственно прообразу ï и образу Z1 (глава 4), с учетом заданных дополнительных требований (критерия -прабликония. и др.). Ишшмиснруется сумма квадратов отклонений аппракси/ирушдэй функции (5.2.1) от заданных значений искомой функции. Для отыскания коэффициентов Pli' ?3£ Уравнений (5.2.1) используем необходимое условие минимума- функпиа многих переменных. Оно состоит в равенстве нулю частных производных по каждому параметру' р1г, р2{, где 1=1...ТО. В результате получаем две так называемые нормальные

cncserm с десятьэ лшейнихи алгебраическими уравнениями, реаип которые, епйдсм кскомке 20 pmwinrfr коэф^падонтов pj.-, p2j» где

C-I___I0i Если задано кош-ротное требование к форм?

шгрокагаирущеЯ крисой, то ' гйкск-зпдуетсч пснользсвпть wjciutnatnua кр^жет"—ежжкжк;-ь-реэде?:^-сгНЬ-

Пример onnpoKCiiHsiusx задспиой кривей но щюдлоз.элнс:,'/ методу гокпзал. что полученная геометрическая порма крзвоЯ (с:,!, р/с. 5.2.1) п точность зппрскет/ацчк удовлетворяют потребности-: криктктш, три участка обпода }ф:тнх земонеш одним уравнением гоаоидшйнсЯ кривой (кожяостпо дуг обвода кр;шух уменьшено з 3 рпзю. О тот метод сбесшчнгаот: кгаоляеико так пазш&едего услоаш прзктачностя, то есть однозначности !i;yincfjiii на рассмзтркш:-!гом участке; вчятшекке шиэдашдг. точек; выполнение зэдагаюго требования к 1тюр;<:-з шпроксшакрунцс-й кривой (выпуклая шш логяутоя, допускает точку перегиба); a&voiiy Сольппк участков дискретно кадзвлсХ .кгчйгвгчзской крлвоЗ при удсплэтсо-рлтслыгой для практага точности.

В разделе*. 5.3 излагается к$тод пркблкконяой замены дискретно заданной «жш просгсй дугой кэкоидашюД кривой с собллдз1Ш8и нктэрнэллцноннйх свойств в некоторых заданных коиструкторои точках, количество которых' 1<7г<Э.

Пример аналитического описания кривой по яроддо:теш;ому методу показал, что полученная геометрическая форма upncort и точность апчрлксшшщцп удовлетворяют потребностям практик:: ((¿лксироваии 6 точек), три участка обвода кршжх заменены одним, уравнением шнокдалыюЛ кривой (количество дуг обг.одз кривых умзиьяшс в 3 раза). Этот метод обеспечивает прзшущостза пр:1б.нт1>:;опного способа к способа' интерполяции кр:ших. п практически ценен своей универсальностью.

Разработан неслсжйт я практически удобпий' алгоритм сгла^зшшшя даснрэтно заданных одномерных обводов точек для. рэдотшя последующих кнетнбршх задач, осповатэдЗ на последовательном пршзвого5! из ¿ода шторполядкн со сгла:й1Вй1Я!9М кривых.

Геометрическому модвлпроваяяю кривых и поверхностей:, применяемых в 'технике,' посвяпеян работы - геометров Чвтверухгаа Н.Ф., Колотовэ С.М., Котова И.И., Джапаридзе И.С.,-Фролова С.А., Рыкова H.H., Шгхайленко В.2., Яавлово A.B., Подгорного Л.Л., 'илиппова П.В., Теплина А,IL, '¡Тванова Г'.С., Нййдааа В.М., Якунина В.Ii. и их учеников. В нашей работе

10 9 8 7 Б

5 <

3 2 1

xt=x2 10

г i 6 s

4

5

г i

1С

Ц*0.СКН (х-10)г

lj»0.399-OQ?9SX »0.00399X*

tj»(x-l0f IS50

w is го so o so eo 0)

lypobnanuc (5.£ l )

Tue 5.2.1 Пример оппроксипоции оБЬойо криЬыос

Qijtoû иепоиЗолЪпай RpuLoû : а) »оЗомпсяй обЬоВ isputwoc; 6j пол^ч en г» счй • ре»^л*>гоагт»

(разделы 5,4 и 5.5) излоаянн методы геометрического1 проектирования моноидалышх кривых. Кривые задаются уравнение),!

где w(t)= к0 + Hj/(t - К2); ' (5.4.4)

pjj...p2g - псстояшше коэффициенты; t - параметр; tJ{<ts;iK; к0=0; Kj=I,02; к2=-П; tu=-I;

Программная реализация этого метода-задания кривых на ПЭВМ IBM PC XT/AT позволила подучить удобное средство для автоматизированного формообразования, исследования : и проектировашя судостроительных ■ кривых в режиме -диалога. Рассмотрешше примеры показал!, что полученная геометрическая форма шпангоутов и точность аппроксимации удовлетворяют заданным требованиям.

В разделе. 5.5 излагается метод .точной замены дискретно заданной линии дугой моноидальной кривой, задаваемой шестью условиям! и имеющей парамзтричоскоэ уравнение

XI = Pll+Pl2t+Pl3t2+Pl4t3+Pl5u<t>+P3el,2<t)5 | (б Б j}

4 = P2I+P22i+P23i2+P24i3+P25t'(t ^Рйб"2 « > • J где v{t)» KQ + Kj/(i - к2); (5.5,2)

Pjj.. .Pgg- постоянные коэф&щиевти; i - переменный параметр';

tvzmk; kq=0; Kj-1,02; k2—II; tH»-I{ tK=»l. Для определения

неизвестных коэф$ицивнтов уравнения шюндалыюй кривой (5.6Л) ,

требуется задать весть'условия, чшгркшр, трех точек А, В, С д

трех производных г(tH)A if ¿)" и (*к) в.этах точках кривой.■'.

(рис.5.Б Л.. .Б.5.3). Получены формулы для расчета коэффициентов.

уравнения моноидальной кривой по заданным.. пята или вести'

условиям. . .. ., . . - -

По сравнению с известными кривыми, например, кривыми Безьо,

которые задаются четырьмя условиями, разработанные моноидалышо

кривые (сн. раздэлн 5.4 и . 5.5) ' имеют . но один шя два '

управляющих фориой параметра' - больше. Другими словами

количество' задшшых. условий, охватываемых за один .цикл

проектирования iqjimofl, . больиа в Г,2...1,5. раза, что

обеспечивает повниепиэ" качества и производительности труда при,

их проектировании, • а такге ушньяоше составных частей

■судостроительных обводов I) Г,2.., 1,5/.раза. .Выявленный характер

влияния заданных'условий (точэк и касателыш/.) на изменение •

Форш проектируемой кривой..поеволяет."логко улраштть формой

1м

^ и

Б ~

In

Puc. 5.5.i Пример заовмип моноиЗольпой кри

шестью усло^ипми-

оои

Рис. 5.5.2 UmcHcnue jjsopnw криЬой Ь папваЬлвни ЬсКГПО^сЬ 111 и I Гч

Г / ^^^^ - Та

ys ь

сЛ

РиС.5.5.^ Uîncnenue срорми моноиЗольпой npuboú

Ь иапроЬлспии Ьсг.торо Ir-,

технической кривой на экране графического дисплея ГОШ в режиме диалога. Частным случаем полученных моноидальных кривых

являются применяемые в инженерной практике кривые _Бпзьв_(л_

работе мсноидальЕне кривые исследуются как составляющие сплайна' из алгебраических кривых, задаваемых специальными рациональпими параметрическими уравнениями).

Разработанные проф. И.И. ' Котовым метод мгновенных преобразований для конструирования каркасных поверхностей 'на базе аффинных и проективных преобразований и проф. H.H. Рыковым каркасно-парамэтрический метод конструирования поверхностей развиты с использованием моноидальных преобразований (раздел Б.6). Излагается методика конструирования и сглаяивания каркасных поверхностей по дискретно заданным направляющим или образующим кривым с ислользоввнмеУл плоских мгновенных мопоидалышх преобразований третьего порг^дка, задаваемых рациональными уравнениями, что отличает ей от существупцих метода®. За счет улучшения качественных и количественных показателей кривых (сечоний) поверхности она обеспечивает: расширение класса применяемых в иниеиериой практике каркасных поверхностей; уменьшение составных частей судостроительных кривых и поверхностей в 1,2...1,5 раза; повышение производительности труда при их проектировании на 20...30%. На рис. 5.6.1,..5.6.3 приведена в качестве приора гладкая геометрическая Форма корпуса туристической яхты, получанная на экране ПЭЕМ по предлагаемой методике.

Таким образом, в главе изложены принципы формообразования, математические модели и метода аппроксимации, интерполяции и интерполяция со сглаживанием кривых « с использованием моноидальных преобразований. Материалы главы представляют тактический интерес при реальном проектировании судовых и других поверхностей.

В глава в развита прикладная теория поверхностей «»средством моноидальных преобразований.

При интерполировании функций двух переменных многочленом Та граниа, Ньютона, Эрмига, сплайн-функцией Гордона, Кунса и др. ¡конструированная поверхность точно проходит через, заданный ¡абор точек. Такой подход .целесообразно применять, если -очечный каркас поверхности изделия предварительно сглажен.

В разделах 6.1...6.3 обобщены принципы и' методы, [злокешше а разделах 5.1-5.3, для 3-мпрного пространства.

Гио. 5.6.2.

Проакцпя "лолуширо-га"

Геометрическое формообразование поверхностей методом монопдалыгах преобразований 3-мернсго пространства заключается в тем, что коделаруеаая поверхность задается шяидаяьикм

4 " рл+р;2хг+Р

и простым (не шэкзта» особых точек) отсеком заранее ^лксироваппого прообраза I = иОСрХг,),- (0.2.")'

где Х^- - координата точек шнондальной поверхнос..! I1; /=1...3;' р - нойзвэсшае» коэффициенты; т - количество слагаемых в каздом из уравнений еие-теш (3.2.1); Ху -координаты точек прообраза 1 (5.2.3); (КЗС,^!. Елелоння

Х^ и Хр фиксируютсянапример, пропорционально значетям координат х| и Хр. Прообраз задается, например, уравнением

Х2=1/(1+л1)2*1/(Г+Х1)2.

Форсированно Математической модели простого куска поверхности г1 заклкчазтея в определении коэффициентов уравнений пространствеш;ого моноидального преобразования Г (0.2.1) из условия его задания парой многогранников, вершины которкх принадлежат соответственно прообразу 1 и образу I1 (см. раздел 4.3), с учетом заданных дополнительных' требований. Приведены конкретные примеры.

В разделе 6.4 рассматривается нэтод точной .замена дискротно задашых поверхностей или их -частей просили кускам! непрерывных гдопоидальных поверхностей 7/.

. Разработан кослолннЯ (практически, удобный) .алгоритм сглакиванкя дискретно заданного двумерного обвода ¡точек для решети гоелвдувдих штяершх задач, осаозашшй на последовательном применении метода ипторполяпди со сглахйЕанкем поверхностей.

В различных алгоритмах автоматизированного моделирования н воспроизведения слояшк техгапоских форм гфигодпю^аая поверхность задается .двумя секейстЕгми' кривых. Излагается алгоритм формирования ма?0г.:атгчес;со1'1 модолп слокной тех'шчоской поверхности, когда исходные . два семейства , Игривых является мопог.да.п-шж! кргвеия, задававг^аи векторно-язрйкэтрхгчес^л".?-: • ураыюш:.»:.^:, которой отличается атта от •гзесстша олггориткэз (рас,дел 6.5). Этот олгор:гш реализуется для случаев,' когда:

а) составляющая обводз поьергасстей определяется сеткой 3x3 г.опоидалышх круизе; б) составляющая обвода поверхностей определяется сетаой 4x4 кояохд&лъшх кривых;

Таким образом, разрайотшшие прянцапы форлообрззовшшя, математические додан к метода ашроксиыации, интерполяции и ¡ятерполкщш со сглзхязепком поБзрглостей с использованием коно/далы-нх преобразована! позволяют расширят!) класс ¡¡рнывпябжх поверхиос гей, рэаать задачи проектирования поверхностей по даскрешш дагшм на более высоком научном уровне.

В г.-лЗе 7 кзло^зш основы тоерпи геометрического проегстарозашзя гиперповерхностей методом конеддалышх преобразований.

Рйзейте-э теория проэктирозашя ' гагорисверхностей, разработанной в грудах К.Е. Залы-юга, В.Я. Волкова, Н.С. Гулена, В.Ы. ПервшсоЕсй, И.О. Фштппова и др. , в даыгай главе углублено и расширено с использованием матеыатстеского аппарата мгаюздалышх преобразований. ■ „

Укекьзешо иатериалытх и трудовых затрат на проводеше многс^акторнш: оксшржсягсБ в науке и технике путем определения ыагр»а1у пдакш с машшлышн количзстбом экспериконтоз,. обеспсчйБ&хягяс получеши адекватной математической модели разллчних процессов, представляет научшй и практический .интерес. В разделе 7.1 математическая модс-ль . к-факторпзго процесса рассмотрена как гиперповерхность отклика в (к+1)-шргсч яространстао, а план экспериментов с ?г ошты.н -как 1ф»»юуго.ичая проекция па я-дернов подпространство , точечного каркаса -гктрповорхпзстз отклика, количество' точек • которого равно 'п. Известно гстодши ■ выбора и наилучшего раополокеяия -сИтаямадшо возможного числа точек в локально з.еследуекол области, прэдстовг.яидзЗ собой мдогограысп:. Однако . прк чкеле факторов больше пяти ооьаы катемакгзасгах внчисленяй. и иагшнноэ время рзечета очень бистро растут н содержание цетоднк уеложкявтея. Креме того, в агих методиках отсутствует ■ наглядность. Для устрашим указании недостатков предлагается методика геометрического моделирования -и ' составления плана экспериментов с, шншалшо возмэхшхд числом экспериментальных точек', достаточно полно ограничивайся! пссладуемуя локальную область пространства., Она использует элемента теории хватов и осяоваввэтся нз том, что гиперповерхность отклика формируется

т множества гиперсечений, то есть на геометрических свойствах криволинейных гиперповерхностей. Например, на рис.. 7.1 Л

Рис. 7.1 Л. Геометрическое -.тадехирозаниа плана экспериментов длл грёхфакторного процесса с тремя уровнями факторов представлена геометрическая модель плана эксперт,тентов для трехфакториого процесса с гремя уровнями факторов с II опытами (вегзями графа по вертикали).

Для исследования, оптимизации и автоматического управления различными многсфакторшгя! процессами иди объектами, например, в сельском хозяйстве, необходим их математические модели.

В разделах 7.2...7.6 обобщены припцпшг и метода, изложенные в главе 6 (разделы 6.1*. .6.4), для 4-мерного пространства. Геометрическое Формообразование гиперповерхностей методом ионоидальшх преобразований верного пространства заключается в тем, что моделируемая гиперповерхность задается моноидалызим преобразованием Т, например, третьего порядка, и простим (на шзщш особых точек) гшгеротсеком Заранее ФлксироЕаиого прообраза I. Приведены конкретные примеры»

Таким образом, излокеншв иришщш формообразований, математические модели и метода аппроксимации, одгвдадофШ и интерполяции со сглаживанием гиперповерхностей, с йспольйопанйей моновдвлышх преобразований представляют новую грань в Теории ■ проектирования гиперповерхностей. "

Б гладе В изложены: I) номпъигорная система "МОНОИД-!" для автоматизированного проектирования, конструировать и технологической подготовки производства корпусной RteepXiioSTii' судов :утасса яхт на ЛЗЬМ типа 1Л2 1С X?/Af; 2) кегдайкй прикладтшх программ "ШЮУЛ-Я* по автематизнровашю^/ форлпроватю матемаотхеасой ьедзла кривк, поверхностей ¡1 . гиперповерхностей мзтодс.м мошядолъеж преобразований па локальной сети HSB'i 131'- ГС! ХТ/АТ к ЕО 3Bl*-I03S (или только на m НЕ'Л; 3) результаты гаюдрзлп!. .

По результатам теоретичен«« кссхедоваи:й: а) созданы оптима.пы;о гладкло гоомстричссхпе фор.-ш объектов судостроения, в частаоск: яхтоотрозкзя; б) согданп еггглга^ько гладкие

-гзокётрическиэ формы объектов морской техники для народного хозяйства; в) определена математическая модель семифакторного процесса дыхания (в ночной период) огурца Московский тепличный" для автоматического управления температурным режимом теплиц, гюзЕоля'дая экономить электроэнерпш на обогрев тонлиц порядка на 14...16Ж и повысить продуктивность растений на 15.. .20"; г) определены оптимальные технологические ревдш стздулшда семян овоацтх ьультур (турнепса, столовой свеклы) энергией' сверхвысоких частот (СБЧ), позволяющие повысить всхожесть и урожайность этих культур на 30...402. Выполненные конкретные расчеты подтвердили на практике правильность полученных - теоретических пояэконнй ксследовзныя по матемьтпчзскоуу обеспеченна ьшшгаах методов проектирования кривых; поверхностей и гот-зргювзрхкостей посредством мэпепдалышх преобразований, их лрешдущестш перед щхшзняешли методе.;;:: и целесообразность прпмапокия' их в инженерной пракпшо. , ,

Результат;; исслзьосааий и разработки принята к ИСШЛЬЕОБЫШзЭ в ряде 1Г.Ш, КГ ц -предприятий.

Г; прияекееша: пскз^сш: тсблацм, текст основных rrpiiKj:a,v¡::i ирз-грс;-,".!, прп:.ч;ры ло.;;гстое;.:п исходных датт/. и акт внедрений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Д&шлшзнгшэ в доссгргациаиизй - работе теоретические н прикла^нно - изелгдеь&'ыя позволили полу чип. слодущсз повпо результаты: -

1. На основе анализа иаучинх исслйДОЕглпй ьо ¡/одолфовап.но не;л1не'н::х геометрических преобразований разработан. в (nt-I )-1:зрнсм пространстве прпнцга бпп-рпого отображения

'(с помедыо. луче!! двух лшгеЯчшс кочгглзксоз} поверхностей с (п-1)-кратной точкой в виде гео^зпшчеспсс преобразований ю-г.'зрпого пространства, гдо п>3. Этот лрквдзп пооволкл установить жйшэ закономерности поро.'-х.енил послойных б;17/оно-идгип«1)х и рациональных прообразе паппй, а токе» многозначных соответствий.

2. На оскоео.предложенных пространственных конструктивных схем бинарного отображения элементов (rm-I )~морного пространства разработан метод получения биглоловдалышх . преобразований п-мерного пространства, где и>3. Зтог метод позволяет получить различные ища бкмонопдалышх преобразований в зависимости от

свойств моделируемой ко:юртшостл и аппарата ей бкн.'.гяого огебропэдст. Псследолап:^ 'лгкалята. что ■Тундлмр-г.-пч т,.-,-. o.t.!«:iktí лртобрмсвге-з!»! удзлсш г. Сосксг.пт.чть

ч едюидольшо npccCpjsonain'jj отнм свойством отлпгател от центральных 1ф"ковогзг': прссбразоЕгсый.

3. 17л ос-лого иред.гомзнного пряшгпа класс'/. Г-.'кангп •!зл;п!оЛ;и; косметических преобразована получены кансшпеск':-. ,таг-диуопл!пыо грзобрпзогг.пля З-изрлзго прост;::;, /л на, роойл^слчтлося в пучке плоскостей на плссгпо квадратичные

ПрООираЗО;ЗЗШ!Л.

4. ipe,~,-oEe'íü методика яоглроодн;! роцисиальичх гр^г-тзсгак модемен канонических дву-днусла'нкгх гтр-;; с ü г о оое о; З-макнсго пространства, расслаигеигркг.я в пучке плоскостей т кппдраткчшо прообразована. lía основе итог методики полутоны новко рациональные графические -модели канонических дзу-двузначшх преобразований 3-мерного пространства, которые наряду с существуя^™ расширяют квадратичные способы преобразования чертежа в начертательной геометрии.

5. Разработан прннщш решения обратных задач, который позволил создать мотоды определения- алгебраической поверхности п аппарата её бинарного отображения по заданным элементам моиоидальных преобразований, a шешга: а) метод определения алгебраической поверхности и аппарата её бинарного отобрагения по заданному бжгонопдальнсму преобразованию; б) метод опроделош1Я алгебраической поверхности по задавшим аппзрату моделирования и моноидальному преобразованию; в) метод определения аппарата модэ/Пфовашя по заданному мопоидзлыюму преобразованию; г) метод' определения обратного моноидалыгаго преобразования по заданному прямому • моноидалкчому преобразованию.

6. На основе решения обратных задач моневдалышх преобразований разработаны: а) метода сада:шя нелкчгэйих мошидальвых преобразований плоскости и 3-мерного пространства парами гаогоугольнпкоз и многогранников соответственно;

б) алгоритм еаданш нелинейных шюплалышх преобразований in-мерного пространства парами соответственных незамкнутых-гшермяогограввтеов, где ш>4; в') метод задами бимсноидзлького прообразовать прообразом и образом. Примечание ónix методов с решения соотпетствутадих задач прикладной госметри-л позволяет определить математические модели моновдалышх кривых.

S2

'поверхностей ц гиперповерхностей по заданным дискретным датпшм.

7. Разработана методика получешга мокоидальных кривых, удовлетворяющее по форме заданным требованиям, с использование!,! . конструктивных свойств г.оноидальшх преобразований плоскости. Эти монондзлышз кривые, задаваемые параметрически,и ' уравнения,>.ш, рекомендуется использовать в проектировании технических кривых и их обводов. .

8. Разработаны методы аппроксимации к кнторс лц;ш со сглазина-нием кривых с использованием монспдалыих преобразований плоскости. Зти кетода•обеспечивают: расаарзние класса применяемых в технике кривых; улучшение качественных показателей проектируемой кривой по дискротнил данным.

9. Разработана! метода формообразования и точкой замени дискретно еадаадой дшаш дугой моноидальной кривой, задаваемой пятыо и шестью условиями, чтобы конструктор располагал достаточной свободой выбора фор;лы кривой при небольшой число управлявших параметров. Выявленный характер влияния заданных условий (точек и касательных)'на изменакие $ор;ли проектируемо! криво."! позволяет легко управлять формой технической кривой на ПЭВМ в реапке диалога. ' Эта преимущества обеспечивают значительное повышенно' производительности труда и качества проектирования судостроительных кршых и поверхностей. Частным случаем получениях молоидэлькых кривых являются применяемые в пнязкврной практике кривые Безье.

10. Разработана методика конструирования и сглахсваюш каркасных иозершостой по дкскретю заданнкм наяраэдэдии пли образующим кризш о 'использованием мгновенных мошид&шшх преобразований плоскости, что отличает её от известных методик задашя каркасных поверхностей. За счет улучяешзл качественных и количественных показателей деривкх (сечзкнй) поверхности данная ютцрда обесточивает; расацренио icsacca применяемых в инженерной прдетккз каркасных поверхностей; повншенпе '■'производительное';;} , труда и сокращение срока проектирования поверхностей корядод судов класса яхт. по сравнению с известными методами на 20.,,30S,

11. Разработана методика получения моноидалышх поверхностей, удовлетворяв^ по форма 'заданным требовашшм, с использованием конструктивных свойств моноидалышх преобразований 3-мерного пространства. Эти моноидалыше

поверхности, злдасго.'/эт псг.а^етх-пческкг.'л ураБ;'е?.;-:Л7.л, ргпхм-г-дуотся . лсшхг&сзать с проог.-ягрсчклг:» по^ог^Х'. с-оЛ —«дзуйто- 'гопидиоокру--п-э-^^^^^хэд-з^с»,-

12. Разработана мтгод:, алггрэкстсл'.ц;;:;. ^пор.^л^ г штерполяга-ш со поЕорхтгсхтс/. с ьс\;о.":;/;о:" г.ннопдальшх преоорвооветг!! П-;-гр:юго 1урсо;рано1П^. От;: обеспечивают: расп;:рэ;п:е класса пртжнлс!."!:-'. б техпп;:? посор::— постой; улучшение' 'качостгггпых пс:сззэтолоХ проектируемой поверхности по д^-ин.т.;.

13. Продлс^н алгоритм анслптичеопого . оппспг.'.н криволинейной копорхзосз;;, когда гсходкз дга сгуойс-гзи нрцлэ. являются тапоидалыг£.ш крккгл;,

пара;,ю гричое:сп'':;1 ураги-шнют.::.

К. Рос-рпСогона :.:&тодаса гсс;;;гр:-лгского кздо.-^х'аж состевлэппя ндоза о«с<я1<зржэнгоз с- :ззэдольпбм количества.! опытов ' (с использование;« теории графов), основанная на геометрических свойствах крпволпяейжл: гжерггсверхНостей. Она но требует слогам;: математических расчетов, обладает наглядностью и позволяет сократить число экспериментов до минимально возможного „ в исследуемой локальной области пространства, что способствует получению адекватной математической модели различных -мкогофакторных процессов с минимальными ■ материальными • и .трудовым! затратами, на проведение экспери- . кзптов.

15. Разработана методика получения конолдслыгах гиперповерхностей в й-мерном пространство, удовлетворяют по

форме заданный требованиям, с использованием конструктивных свойств коноидальннх: преобразований к-херного пространства, где к=4. Эта 1,:отод;а:з легко обобщается для к>4. Зти монспдалыпю гиперповерхности, зэдавооаке лараштркчзскпга урэшекияка, рекомендуется попользовать в кдспт»фясоц:51 (к-1 )-факторппх процессов по диегр-зтпим дэкннм.

16. Расработаш нзтода . штрохсшзздак, кптерполщс: г. 13ггерполяцви со сглэзотанпоч пиерпсЕорхяостей в к-керяом пространства с использсваш;?!.: . моксздолытнх врсофчг.овэгаД к-пордаго , ирострскствз, где к-4. Зги ьтотсз? сбослзчкво:пт:

рэсятфэяйа класса щтаоняемых в птпзрловортпостей;

уяучгшю? почостшшах показателей нрсеггпфуекой шзлрповорх-постл по дм:крс-:п?л! дгн:гп. Зти ''етоды легко обсЗдпктоя д."-К>4.

3<1

•17. Разработаны прикладные алгоритмы к программы, позволяйте реализовать полученные в работе методы аналитического описания кризах, поверхностей и гиперповерхностей на ЭБЫ, а именно: компьютерная система "МОКОйД-Т" по автоматизации процессов проектирования, конструирования и технологической подготовь корпусного производства судов класса яхт (с деревянными, металлическими и пластмассовыми корпуса,«,¡и) на ПЭВМ 1Ш РС/ХТ/ЛТ; комплекс прикладных программ "У0Н0ЭД-2" для автоматкзпрйзанного формирования математической модели кривых, поверхностей и гиперповерхностей методов моноадальвых преобразований на локальной сети ПЭВМ 1В2 РС Х?/ЛТ и ЕС ЭВМ 1036 (или только на ЕС ЭВ» ).

18. С использованием результатов исследований: а) созданы оптимально гладкие геометрические формы объектов судостроения, р частности яхтостроения; б) созданы оптимально гладкие геометрпчоскке формы объектов морской техники для народного хозяйства; в) определена' математическая модель семкфакторного процесса дыхания в ночной период огурца "Московский тепличный" по экспериментальным данным для управления (САУ) температурным режимом теплиц, позволяющая экономить электроэнергии на обогрев теплиц порядка на 14...16% и повысить продуктивность растений на 15.'..20%; г) определены оптимальные технологические режимы 3-факторного процесса стимуляции семян овощных культур (турнепса,столовой свеклы)" энергией сверхвысоких частот (СВЧ) на основе их геометрических моделей, позволяющие повысить всхожесть и урожайность этих культур на 30...40%. Результаты исследований и разработки переданы к использований в ряд НИИ, КБ и предприятий.

Совокупность выполненных автором теоретических исследований, прикладных разработок, технологических решений и практических рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, представляет собой решение актуальной научно-технической проблемы, имеющей важное народнохозяйственное значение, заключающееся в расширении класса функций и развитии методов, применяемых в проектировании кривых, поверхностей и гиперповерхностей. Это обеспечивает повышение производительности труда и снижение трудозатрат при проектировании, конструировании и технологической подготовке производства корпусной поверхности класса объектов судостроения, а также при

идентификации по эксперкмепталышм дашшм шюгрфэкторшх биологических объектов автоматического управлетш в технических системах сельского хозяйства.

-Репудктлти^-пплу'тттип- п рпбптд, мпгут Лить юттппкпгшнип п

дальнейших исследованиях, например, по разработке попах компьютернпх систем геометрического моделирования объектов и процессов, математические модели которых определяются по табличным пли экспэртаептэльнчм данным.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих научных трудах:

1. Нурмахапов Б.К. Алгоритм аналитического задания многозначшх, d частности кремоновых преобразований. Республ. конф. по прикладной геометрии и инженерной графике: Тез. дотсл. -Киев: Иаукова думка, 1976. -С. 59. '

2. . Нурмахапов Б.И. 'Задание крекснових преобразований плоскости применительно к конструировании Еыпуклшс контуров. Деп. в УкрНЙИНШ 26.01:77, ШО. -11с.

3. Нурмахапов Б.H. Некоторые вопросы аналитического метода задания 'кремоновых и рациональных преобразований пространства. Деп. в УкрНИИНГИ 26.01.77, №611. -lie.

4. Нурмахапов Б.Н." Последовательность определения уравнений обратных кремоновых преобразований посредством пространственного конструктивного аппарата. Деп. в ВИНИТИ 06.05.77, Ш822-77. -5с. '

5. Нурмахапов- Б.Н. Матричная модель кремоновых преобразований пространства //Прикладная геометрии и инженерная графика. РИ. Киев: Вща школа, 1978. -Вып. 2. -С. 40.

6. Юдицкий И.Н., Найдаи В.М., Нурмаханов Б.Н. Разработка кремоновых преобразований плоскости и 3-пространства применительно к конструированию обводов кривых" 'поверхностей //Прикладная ■ геометрия- и инженерная графика. -Киев: Буд1волыаж, 1978. -Еш. 26. -С. 32-33.

7. Нурмаханоз Б.Н. Принцип - аналитического зодашм инволщиотшх кремоновых преобразовашй плоскости //Прикладная геометрия и инженерная графика. -Киев: Буд1вольнпк, 1S79. -Вып. 27. -О. 71-72.

8. Нурмаханов Б.Н. Последовательность определения 1фемонового преобразования по заданному прообразу и ' образу //Присладная геометрия и ;шз:знсрная графика -Киев: Буд1вельяпк, 19?!. -Был. 31. -С. JI2-IJ3.

■ 9. Нурмаханов Б.Н. Oö одной методике конструирования . поверхности лопатки турбины //Вопросы мелиорации и гидротехничз с\ого строительства в условиях Казахстана: Сб. науч. тр. /ТИШСХ. -Ташкент, 1980. -Выл. ИЗ. -С. 156-158.

10. Нурмаханов Б.Н. Конструирование криволинейной водосливной поверхности плотины посредством матричной модели кромоыовых "преобразований //Вопросы рационального использовашы водных, ресурсов и: охраны их от загрязнения в условиях Казахстана: Сб. науч. тр. /ТЖмМСХ. -Ташкент, ISS3. -Йып. 129. -С. 163-164.

11. Нурмаханов Б.Н. . Методика . определения графических моделей квадратичных преобразований //"Прикладная геометрия и лшйнерная гр.афака. Киев :Буд1вольншс, 1982.-Выл. 33. -С. 47-49.

12. Нурмаханов Б.1Г, Теоретические основы способа квадратичных преобразований в. начертательной геометрии. Деп. в КазНЖ-Ш; 22.12.83, ,Ш5Ка-Д83.-9с.

13. Нурмаханов Б.Н. Способ приближенного проведения кривой через дискретный-контур посредством креыоноЕых преобразований. Деп. в КазШЖШ 25.01.346, ]и6Ша-Д84. -11с.

14. Нурмаханов .Б.Н. .Нелинейные геометрические преобразования и их систематизация. Дон. в КазНИШГЙ 24.11.83, .'п52ЭКа-ДБЗ. -8с.

' 15. Нурмаханов Б.Н. Разработка рациональных алгоритмов конструирования криволинейных поверхностей способом кремоновых преобразований: Отчет о НИР, (заключит.) /Даамбульск. П,Ш. -Ш> 01830037832, Инв. Ж)2340058580. -Дкаыбул,'1984. - 46 с.

15. Нурмаханов Б.Н. Способ бнрациональных преобразований . для наилучшей. замены кривей в инженерной геометрии: Программа ГосФАП, ШШЩ ;©0360000144 . 41., 1986.

17. Нурмаханов • Б.Н., Арапов Б.Н. Смешанный способ аппроксимации даскротно заданной функции посредством бнрациональных преобразований второго порядка. Деп. в ВИНИТИ

29.01.86, Л659-В. -4с. U

> . ■ . • - г ■■

18. Нурмаханов Б.Н., Нурмаганбетов Д.Ш. Моделирование . инволюционных квадратичных преобразований плоскости //Моделирование. задач науки и техники методами начертательной геометрии. -Алма-Ата: КазПТИ,; 1986. -С.,43-46.

19. Якунин В. И., Нурмаханов Б.Н., Арапов Б. Н. Аппроксимация дискретно заданной кривой с использованием бирационального преобразования второго порядка //Моделирование

задач науки и техники методами начертательной геометрии. -Ллмэ-Ата: КазПТИ,.1936. -С. 19-21.

_20. Нурмаханов Б.Н. Исслолопгстз и разработка ращтопплнтнх

алгоритмов анаттичзского онпсояая обводов кривых н поверхностей методом моиоидалышх преобразований: Отчет с Ш1? (проызкут.) /Дгамбулъск. ПО. • -ЛГР 018500-15933, №го. й]2370053719. -Джамбул, 1987. - 42 с.

21. Нурмаханов Б.Н., Бостонов У.Л. Алгоритм олредзлоятя двойках точек алгебраического преобразования второго и третьего порядков. Дэн. в ВКШТИ I0.C8.87, ,'557С2-В87. -Юс.

22. Нурмаханов Б.Н. Исследование к разработка ращкяшьшх алгоритмов аналитического описания обводов 'кри^их и поверхностей методом иэколд-^лызых преобразований: Отчет о Ш2? /ДтгатйЭульск. ГМСИ. ~Ш> 01СС-004593Э. Кнп. Я0208СЮ47Г<:4. -Джамбул, 1953. -35 с.

23. Бостаноз У.А., Нурмаханов Б.Н. Анаялтачесгжо моделирование сетчьтах поверхностей. Дел. в ВИНИТИ 18.03.83, ]52П6-В88. -12с.

24. Нурмаханов Б.Н., Кэдчров Б.К. Об одном способе геометрического моделирования криволинейных поверхностей технических форм. Деп. в ВИНИТИ 31.01.90, .КБ73-ВЭ0. -5с.

25. Нурмаханов Б.Н., Нурмаганбетов Д.Ш. Моделирование' инволюционных квадратичных преобразований плоскости. Деп. в ВИШИ. Л7923-В. -4с.

2Г>. Нурмаханов с'.Н. Пакет прикладных программ автоматизированного согласования дискретных данных и формирования математической модели ¡ершюлкнейшх объектов для повышения, объективности инкзнерной графики в САПР //Программное обеспечение САПР и автоматизированные системы управления технологическим: процессами: Тез. докл. 3-й" международн. научн. те гл. конф. '"Программное обеспеченно ЭВМ". -Тверь, ' 1990. С. 54-55.

21. Якунин В.И., Нурмаханов Б.К. Аппроксимация кривых1 катодом моноидалк-шх преобразований //Компьютерная гоометрия и графнеа в таенернсм образовании: ?Иэгерналн всесомзн. конф.. -Н'.гжшй Новгород, 1931. -С. 150.

28. Якуншт ЗЛТ., .Изаков Нурмаханов Б.Н. Теория и

ш«;т прикладякх црогралзл Теоквтркчоское .моделирование . кпогофркторяого объекта по - зкепернмэнталышм дашп.гм" //''р^юрмациощше технологии 'в образовании и науке: Нзторлал/

международного семинара-выставки. -Рига, 1992. -О. 72-73.

29. Нурмаханов Б.Н., Калинин A.A. Разработка комплекса алгоритмов и прикладных программ по формированию математической модели динамических поверхностей методом крешновых преобразований (на публ.)

30. Якунин В.И., Нурмаханов Б.Н., Извков Ф.Я. Автоматизированное проектирование криволинейной формы корпуса туристической яхты методом моноидальных преобразований //Проблемы графической подготовки инженера: Непрерывность графического образования, машинная графика, компьютерные технологии обучения: Материалы науч. метод, конф. СНГ. -Шнек, 1992. -0. 123.

31. Нурмаханов Б.Н. Ыоделирование гиперповерхностей ' многофакторных процессов с применением моноидальных

преобразований // Проблемы графической подготовки инженера: Непрерывность графического образования,- машинная графика, . компьютерные технологии обучения: Материалы науч. метод, конф. СНГ. -Минск, 1992. -С. 112.

32. Якунин В.И., Нурмаханов Б.Н. Комплекс прикладных программ по автоматизированному согласованию судовой поверхности методом моноидальных преобразований //Судостроение. -1992. -* 7.

33. Якунин В.И., Нурмаханов Б.Н. Комплекс прикладных программ для сглашвашя кривых и поверхностей методом моноидальных преобразований в геометрическом модуле САПР ЛА Изв. вузов. Авиационная техника; -1992. -яз. -с. I0I-I03.

1

О

Подписано t* />evamü Шf2.92 (Цш 60*9О, f/f6 Tu рале fOO лез. Заеаз rfesz ЧГАУ.