автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Стохастический анализ систем массового обслуживания с движущимися объектами

РГ6 од

Московский ррясна Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена 'Трудового Красного Знамени государственный технический университет им. Н.Э.Баумана

На правах рукописи ■ ТНК 519.248:6

Гаджиев Асаф Гаджи оглы

СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов ненаучных исследованиях

01.01.05 - Теория вероятностей и математртес-кая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте кибернетики Академии Наук Азербайджанской Республики

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Д.Соловьев доктор физико-иатеыатических наук, профессор В.А.Каштанов доктор технических наук, профессор О.Н.Тескин

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится В июня 1993 года в И час. 00 иин. на заседании Специализированного Совета по защите докторских диссертаций Д 053.15.12 при Московском государстЕ нном техническом университете им.№.Э.Баумана по адресу; 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

С диссертацией ыоано ознакомитвся в библиотеке университета. Просим Ваш отзыв на.автореферат, заверенный печатью учреадения, направлять в одной экземпляре по указанному выше адресу.

Автореферат разослан____ 1993г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, кандидат технических наук, доцент

;

Заказ 2/6 . Тира« 100 акз. Подписано к печати 1993г.

Ти.ография ЫГТУ ;им.Н.Э.Баумана. Объем п.л.

А.Р.Цицин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми.

В последние годы интерес к задачам теории массового обслуживания стимулировался потребностями применения результатов этой теория к вакным практическим задачам. В этом направлении представляет интерес исследование математических моделей систем с движущимися объектами. Такие модели возникают ггри сборке сложных технических агрегатов, при создании мультипроцессорных, информационно-вычислительных систем, в транспортных объектах, гри функционировании сетей связи, профилактическом обслуживании систем и т.д.

Попытка формализовать'системы с движущимися объектами приводит к определению новых математических моделей и методов исследования, учитывающих -специфику указанных объектов и адекватно отражающих их поведение. В рамки математических моделей движущихся частиц укладывается достаточно большой класс систем •лассового обслуживания с движущимися объектами, что позволяет их исследовать с единой позиции. Поэтому представляет интерес построение и исследование математических мо.целэй движущихся частиц, описывающих поведение систем массовог^ обслуживания с движущимися объектами, в этом направлении важным является исследование задач управления такими системами с целью выработки правил, минимизирующих выбранный показатель эффективности. Такие задачи являются новыми и в литературе исследованы недостаточно.

Многие практически интересные модели этих систем не поддаются исследованию аналитическими методами. Поэтому в настоящее время в связи с широким использованием компьютеров наряду с аналитическими методами исследований успешно применяются методы моделиования таких систем на ЭВМ, которые позволяют численно рассчитывать значения интересующих характеристик. Однако для определения точности полученных численных значений и принятия обоснованных выводов необходимо провести статистическую обработку полученных данных. Это в свою очередь приводит к необходимости разработки новых статистических методов обработки полученных данных моделирования, т.к. специфика этих объектов такова, что

воспользоваться известными методами статистической обработки данных не всегда удается. Поэтому исследование систем' массового обслуживания с движущимися объектами разделяется на следующие этапы:

1. Построение математических' моделей движущихся частиц, описывавших поведение указанных систем.

2. Аналитически методы исследования,

3. Моделирование сложных систем на компьютерах.

4. Разработка новых статистические методов обработки данных моделирования, учитывающих специфику этих систем.

Комплексное применение указанных вше направлений для исследования задач математической теории массового обслуживания является эффективным орудием • для исследователей и дает как правило хорошие результаты.

Настоящая диссертация посачщена построению и исследованию математических моделей систем массового . обслуживания с . движущимися объектами, включает исследования как аналитического характера, так и методом моделирования на ЭВМ и разработку статистических методов анализа.данных моделирования.

Цель работы.

Целью настоящей диссертации является разработка с единой позиции методов исследования стохастических систем массового обслуживания с движущимися объектами, которые вкличают:

- разработку теоретических основ управления системами с движущимися объектами;

- введение управления типа олдериэк моментов начала обслуживания д, ж систем массового обслуживания с движущимися объектами; описание класса систем массового обслуживания, для которых целесообразно вводить такие задерзки и нахождение оптиплъной функции, I минимизирующей выбранный показатель эффективности;

- исследование- основных характеристик слокных систем массового обслуживания с даяущимис л объектами выбор оптимального количества приборов, минимизирующего среднее время ожидания требования в системе; ,

- разработку методов моделирования широкого класса систем

>

!

со сложной структурой взаимодействия приборов;

- разработку универсальных статистических методов обработки регрессионных данных, когда с увеличением числа наблюдений монет расти число неизвестных параметров (оценивание неизвестных параметров, построение доверительных полос);

- использование разработанных методов для анализа результатов моделирования сложных систем массового обслуживания с движущимися объектами и на основе их принятие соответствующих решений;

- использование математических моделей движущихся частиц и разработанных методов статистического анализа данных в различных приложениях.

Методы исследования.

Для анализа систем массового обслуживания с двияувимися объектами используется методы теории случайных процессов,' результаты теории экстремальных задач, методы ■ имштационного и статистического моделирования, функционального анализа, точечных процессов, теории восстановления.

Научная новизна.

В работе получены следующие новые результ^'н:

- построены математические модели движущихся частиц, описывающие поведение . широкого класса систем массового обслуживания с движущимися объектами; ;разработаны теоретические основы.управления такими моделями в некотором классе;

- описан класс систем массового обслуживания с движущимися объектами, для которых введение задержек начала обслуживания уменьшает среднее время ожидания требования до начала обслуживания; найдена оптимальная функция задержки, минимизирующая среднее время опадания требования до начала обслуживания;

- для модели движения частиц по кольцу без обгона, доказан инвариантный характер случайного блуждания отдельно взятой частицы; найдены рекуррентные уравнения для нахождения распределения расстояния между движущимися частицами;

- для модели двиаения частиц по кольцу с меняющимися ско-ростямй, найдено оптимальное число частиц, минимизирующее среднее время ожидания частицы в выбранной точке кольца; построена

диаграмма установившихся режимов движения частиц;

- предложен метод моделирования ' поведения систем частиц, движущихся по кольцу, со слогшой структурой взаимодействия, который экономит компьютерные ресурсы;

• обнаружен эффект срыва движения в моделях с большим количеством двивдих я частиц. В результате этого эффекта сделан еывод о нецелесообразности планирования транспортных систем с большими количеством движущихся единиц;

- предложен метод обработки результатов моделирования, под-' чинегегах регрессионной зависимости;

- для регрессионных моделей с растущим числом неизвестных параметров и неизвестными дисперсиями найдены условия, при которых оценки наименьших квадратов, М-оценки обладают свойства-ии несмещенности и состоятельности;

-г предложен универсальный метод построения доверительной полосы для неизвестной функции в регрессионных (линейных, нелинейных и обобщенных) моделях. В отличие от ранее известных методов, предложенный подход не использует оценки неизвес ных дисперсий. 11а численном примере показано преимущество предложенного подхода по сравнению с ранее известными методами.

Разработанные в работе модели и методы были использованы при организации движения поездов метро и определении длительности работы различных агрегатов на Гянджинском приборостроительном заводе, а таете могут быть попользованы при анализе стохастических моделей транспорта, те-рии управления запасами, при статистической обработщ данных в технике и др. Материалы диссертации могут быть использованы в курсе лекций по теории массового обслуживания и математической статистике.

Практическая ценность.

Диссертационная работа имеет прикладную ориентацию. Разработан единый подход для исследования систем с движущимися объектами; которые используются в приложениях.

Обнаружен эффект срыва движения в системах с большим количеством движущихся частиц. Этот эффект позволил сделать вывод о нецелесообразности планирования транспортных систем с большим коли чеством движущихся единиц и был использован в метрополитене.'

А

Разработаны я доведены до вычислительных алгоритмов универсальные программа статистической обработки данных. Использование этих программ позволяет исследовать широкий класс задач, экономить компьютерные ресурсы и снизить затраты на проведение експершентальннх исследований.

Разработанные программы использовались на практике для определения времени шзни слонных технических агрегатов.

• Апробация работы. 1

Результаты работы были долокены:

- на семинарах кафедры "Т&ория вероятностей" механико-математического факультета я кафедры "Математическая статистика" факультета ВМиК МГУ им. М.Р.Ломоносова;

- на семинаре отдела "Теория вероятностей" МИАН им. В. А. СтеклоЕа;■ ' •

- на обтеинститутских семинарах Института кибернетики я Института математики и механики АН Азербайджана;

- на семинара "Многомершй статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" Научного СоЕэта РАН "Оптимальное планирование и управление народным хоачйством" в ЮТ РАН; . ■

- на совместном семинаре "Прикладные вопросы теории вероятностей" кафедр "Высшая математика" и "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э.Баумана;

- на III Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981);

- на Всесоюзном симпозиуме по предельным теоремам теории вероятностей (Фергана, 1983);

- на Международной конференции Общества им. Бернулли "стохастические процессы и их приложения" ("Stochastic processes and their applications", Sweden, Goteborg, 1984);

- на семинарах Высшего Технического университета г.Сток! гольм, Чалмерсского университета г. Гетеборг, университета г.Лунд - Швеция, 1984;

- на Международной конференции ИМИ "Стохастические диф(£е-ренциальные системы" (IFIP "Stochastic, differential systems", Baku, 1984); .

- на IV Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. (Вильнюс, 1985);

- на Всемирном конгрессе Общества им. Бернудли (Ташкент, 1986);

- на XIII Европейской конференции статистиков (European meeting of statistic ans, Berlin, 1988);

- на Международной конференции Общества им. Бернулли "Стохастические процессы и их приложения" ("Stochastic processes and their applications", USA, Wisconsin - Madison, 1989);

- на Международной конференции COSHEX - 89 (Conference "Stochastic methods in experimental sciences", Poland - Wroclaw, 1989).

- на семинарах университета г. Мюнхен, университета г. Кассел, Технического университета г. Брауншвайг, ФраЯ университета Зап. Берлина - ФРГ, 1991 г.;

- на Мендународной конференции "Общие линейные модели и статистическое моделирование - 92" (GLIM and Statistical modelling - 92, Munich, Germany, 1992).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, списка литературы из 161 наименования, трех таблиц, и 12 рисунков. Общий объем диссертации состав лет 240 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Изложим основные результаты диссертации.

Во введении указано место настоящей работы в общей проблематике развития теории массового обслуживания, приведен озбор результатов близких к тематике исследований в диссертации. Кратко изложено содержание работы, приведены основные результаты подученные в диссертации.

. В главе 1 изучается системы, для которых задана последовательность 0<t,<t2<...<*п... -моментов начала

обслуживания,

r>l-tl-tl_1, 1=2,3,...: VV

Предполагается, что • • •% одинаково распределенные

случайные величины (с.в.) с функцией распределения (ф.р.) F(x). На обслуживание поступает стационарный поток требований, не зависящий от моментов t{. Обслуживание устроено так, что в момент времени t{ мгновенно обслуживаются все требования, поступившие в интервале [ti ,ti).

С цельп уменьшения среднего времени от-дания требования вводится управление» которое заключается в расширении интервалов между обслуживанияга, для чего от последовательности t1,t2,...,tn,... пэреходим ' к последовательности t*,t*,...,t*, для которой выполнено

< = = v*V

где giG - классу неотрицательных измеримых функций. Частный случай такого вида управления впервые введен в С11. Обозначим g), о2(g) -соответственно среднее и дисперсию времени ожидания требования до начала обслуживаниг с системе с функцией управления g(z), ^

Erf

UJg)=$ (s)-ma), с— — , ' 2Et)

где î) - с.в, с ф.р. F(x), Ei) - математическое ожидание с.в. т).

Назовем обслуживание с ф.р. F(x) улучшаемым, если '3g?(7 такая,

что

Mp(g)<0.

Оказывается, для того, чтобы обслуживание с ф.р. F(xj было' улучшаемым необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка хд<с, что F(xQ)>0. (теорема 1.1).

Пусть g(x) оптимальная функция, минимизирующая kF(g). Тогда (теорема 1.2) оптимальная функция имеет вид

1. Ignall Е.,Kolesar P. Operating characteristics of a simple shuttle under local dispatching rules //Oper. Res. -1972.- V.20. -N.6.-P.1077-1088.

8(х)=(с1-х)*,

где с, - единственное решение уравнения • •

' I

с!= Т (х-с. )2тх)-

■ I, '

Из теорем 1.1 I' 1.2 следуют результаты излоаенные в £2,33. Введенное управление уменьшат такав дисперсию времени ожидания (теорема 1,3), т.е. если то имеет место соотношение

о2Гс,; < о2ГС2; < аг(0).

где

а аг(с~х).

Возникает вопрос, какие же системы обслуживания улучшаемы сильнее, т.е. для каких систем

11,(0) У2(0)

Оказывается что, если

то

1+/EFT

НЛО) VJO)

—--------- > —— (замечание 1.1);

•У в,) *Jg2) где к - коэф' щиент вариах^и.

Пример 1.1. Пусть 1(х)-1-е'х, хЮ, В атом случав численные расчеты дают ИГОМ; аг(0)=1; kf=2; ё(х)=(0,901-х)+; c(=0,90i; аг=0,691; W=0,901.

2. Ross S.M. Average delay in queues with non-stationary Poisson arrivals //J.Appl.Probab.-1978.-V.15.-P.6Û2-609.

3. Nesrell G.F. Control ,oI pairing of vehicles on a public transportation Route, Two Vehicles, One control point //Transp. Sci.-1974.-V.8.-N.4.-P.¿4&-2B4.

Пример 1.2. Пусть т)1=1+х1-х1_1, где х{,х2,...,хп,...- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения

Численные расчеты дают:

П(0)=0,583; ог(0)=0,160; кг= \\ в(х)=(0,577-х)+; а2=0,156; Щ=0,577. ' . ,

При сравнении систем на улучшаемость получаем, что так как /Г-' =1,4 > —Ъ.— кО,82в;

то

1Г,(0) Уг(0)

^ -ю—

V

В реальных задачах, увеличивая интервал между двумя мсмен-ми, начала обслуживания мы уменьшаем на такую' же величину интервал между следующими моментами начала обстукивания. Поэтому естественным продолжением развития предыдущей модели является модель, в которой управляемая последовательность зтроится следующим образом: Пусть £},£г,...,£п,... независимые эдинаково распределенные случайные величины, которые определяют тоследогательность первоначальных интервалов менду обслуживани-ши, ££,=<!,, Д£,=<*2.

Тогда обслуживание в описанной модели улучшаемо тогда и олько тогда, когда

Dzf=d2>0. (теорема 1.10)

Оптимальная функция g(x) имеет вид'

gCxMd^x)*. (теорема 1.9)

"четный случай такой модели исследован моделированием в С43.

В качестве примера в диссертации рассмотрены с.в. £t, с функцией распределения

í(x)-l-e"a, хХ). ■

Численные расчеты дают

■Ц(0)=1; аг(0)=1; ~&(х)=(1- х)+; »=0,5; о2=0,

т.е. выигрыш в средне:: времени ожидания составляет 502.

Далее в главе 1 изучается движение S частиц по И равноудаленным точкам окружности, расстояние между точками на окружности равно- 1. В дискретные моменты времени каждая частица можот совершить скачок по направлению движения на единицу с вероятностью гь, где А-расстояние до следующей частицы. Обгон запрещен.

Показано, что существует стационарное распределение расстояния между частицами и найдены рекуррентные уравнения для его нахоадения (теорема 1.11).

Доказано (теорема 1.12), что в стационарном режиме отдельно рассматриваемая частица совершает случайное блуждание с некоторыми параметрами. Этот результат можн- трактовать следующим образом: если одну частицу сделать видимей, а остальные невидимыми, то видимая 'истица совер. jst случайное блуждание. Приведен пример 1.6 демонстрирующий'полученные результаты.

§ 1.4 главы 1 посвящен исследованию предельного случая движения частиц по кольцу, .когда S-ф, (N-S)-w. Здесь также установлен инвариантный характер случайного блуждания отдельно взятой частицы (теорема 1.13) и найден вид предельного стационарного распределения расстояния между частшями, который совпадает с аналогичным распределением при движении частиц по

4. ignall E.,Kolesar P.! Optimal dispatching oí an Infinite Capacity Shuttle. Control at a Single Termlnal/VOper. lies.-1974. -V.22.- N. 5.-P.1008-1024.

прямой С53.

В глава 2 исследуется движение частиц по кольцу, когда частицы могут менять скорости движения.

Рассматривается детерминированная модель, когда частицы ■ могут двигаться либо со скоростью V1, либо со скоростью У2 (У,<Уг).

Движение происходит по следующему закону. Пусть р{ 4 -расстояние от частицы I до частицы 1+1 по направлению движения в момент времени t, У1 (-скорость 1-ой частицы в момент времени t.

Задаются величины <3(, <32 <(£,.). Если р{(4=<3,, то У1^=У,! если

Р1 то г=У2- Если р1 ^увеличивается, то в момент

времени когда р1 =Я2, имеем У1 г=Уг. Если и р( { -

убывает, то в момент времени 4**, когда р( *«. = , имеем

У{ I** . Другими словами, когда расстояние , мевду' частицами

определяется значениями из интервала 0,), то скорость .

частицы не меняется. Скорость частицы меняется липь на концах интервала «3(, Ч2). Назовем, состояние сгстемк в момент времени f простейшим, если

.....

Если в некоторый момент времени t0 выполнено

.....

тогда

"«о

и такой режим движения назовем абсолютно установившимся режимом 1 (сокращенно аур1).

Если в некоторый момент времени ^ выполнено

5. Беляев Ю.К. Об упрощенной модели движения без обгона //Изв. АН СССР, Техническая кибернетика.-19б9.-ЫЗ.-С. 17-21.

тогда

и такой режим движения назовем абсолютно установившимся режимом 2 (сокращенно аур2).

Пусть Я - число движущихся частиц фиксировано. Вели в некоторый момент времь.ш % можно так занумеровать частицы, что

то такое состояние будем называть смешанным состоянием типа (Лд,*2) и обозначать С(к^,кг), где к^+кг=3. Для каждого 5 обозначим ) - множество, состоящее из двух состояний.

Представляет интерес изучение различных ренинов движения в указанной системе. Оказывается, что если система стартует из простейшего состояния, то установившиеся режимы движения системы определяются соотношениями между Б, <),, 02 следующим образом (теорема 2.1):

Эt такое, что система достигает

(аур 1)**13-\)Я^г>1

такое, что система достигает

(аур

3* такое, что

1 1 г г (к^1)Я Нк -

1)Чг<1

На обслуживание в указанную систему поступает простейший потог требований, не зависящий от движения частиц. Временем ожидания требования считается время,прошедшее с момента поступления требования в систему до прихода в указанный пункт ближайшей частицы.

Максимальное.число частиц, при котором возможно движение всех частиц со' скоростью назовем числом насыщения, а указанный режим движения! насыщенным режимом движения.

12

Представляет интерес изучение вопроса выбора такого режима движения, для которого выбранный показатель эффективности, а в данном случае среднее время ожидания требования принимает минимальное значение. Среди указанных режимов движения оптимальным в этом смысле является насыщенный режим движения.

Близкой к практике является стохастическая модель, когда в некоторые случайные моменты времени t1,tг,происходит переключение скорости какой-либр частицы с У2 на Такие переключения назовэм задержками. В детерминированной модели, как было указано выше, насыщенный режим движения является оптимальным. В стоха.тической модель ■ этот режим является оптимальным. Оказываеюя, для стохастической модели оптимальное число частиц определяется следующим образом. *

Пусть -н.о.р.с.в.

Если выполнено условие 3. в.

I V«, М

+1

тогда

50ПТ- = г д- ■•■{ , (теорема 2.4)

где -обозначает целую часть А.

Более сложные системы, когда движение , происходит с некоторым ускорением, изучались в 5 2.3 гласи 2 , моделированием их поведения на ЭВМ.

Непосредственное моделирование на компьютере стохастических систем с движущимися приборами требует значительных компьютерных ресурсов т.к. указанные системы издают сложную структуру. Однако, при моделировании был использован подход, который экономит компьютерные ресурсы. Суть его заключается в том, что при моделировании система наблюдается лишь з моменты изменения скоростей, т.к. в промежутках между ними она ведет себя как детерминированная система.

Моделированием установлено, что если в системе возникают помехи (задержки), то насыщать систему (увеличивать число движущихся частиц) нецелесообразно, т.к. при этом возникают срывы движения - групповые скопления движущихся частиц, что уменшает выбранный показатель эффективности. Этот эффект был использован при организации движения поездов метрополитена.

Для некоторых систем методом моделирования их работы численно было получено оптимальное количество движущихся частиц и' среднее время ожидания требования до обслуживания.

При моделировании систем возникает задача о точности полученных результатов. Для этого , ныобходимо • провести статистическую обработку полученных данных. Одним из подходов в этом направлении является то, что можно исследуюмую характеристику представить в виде регрессионной схемы с заданным количеством неизвестных параметров.

В § 2.4 главы 2 рассматривается регрессионная модель с конечным числом неизвестных параметров. Предполагается, что в каждой точке имеется ровно одно наблюдениз, а ошибки наблюдений являются независимыми случайными величинами с разными, неизвестными, но ограниченными дисперсиями. Несмотря на большое количество работ по изучению регрессионных моделей вопросы построения доверительных полос для таких схем изучены недостаточно. Некоторые подходы предложены в С63. В § 2.4 предложен метод построения доверительной полосы для неизвестной функции в линейной регрессионной модели в указанных ■ выше предположениях. Этот метод основан на построении асимптотически несмещенных и состоятельных оценок элементов ковариационной матрицы вектора уклонений. Предлагаются явные выражения для таких оценок, которые являются состоятельными и асимптотически несмещенными (теорема 2.6), и 'зыглядят следующим образом. Пусть в результате моделирования наблюдаются величины

m

yi= Y. ejW+6f j' 1

6. Wu С.F. Jacknife, bootstap and other resampling methods In reqresslon analysis //Ann.Statist.-1986.-V.14.-N.4.-P.1261-1350.

которые определяют линейную регрессионную модель,

у=га+е

где

е=(е1,82,...,еп)^

£е{=0, Ее^-ао* - неизвестны,

- неизвестные параметры,

- н.с.в. - ошибки наблюдений,

- система линейно независимых ограниченных функций,

Л

9 - оценка наименьших квадратов (о.н.к.)

\г

вектора е=(е1,е2,...,в1п)1,. £^=шё-ене-е)Г,

/Т (в-8).

ковариационная матрица вектора

матрица плана эксперимента.

Обозначим 1/=Хб,

Л.1

0...

при И

Ф^Ф,^)

Ся - матрица с элементами см, к,1=Т7й; Оказывается (теорема 2.6), что выл

то элементы сьг матрицы '

являются несмещенными и.состоятельными оценками мат, _цы Основываясь на оценки элементов матрицы Ся строится квадратичная

1-1

форма

(б-в)т-с~1-(е-в)

которая, как показано (лвьма 2.3) имеет асимптотически

хи-квадрат распределение. Обозначим ае^(я) -квантиль уровня f>0 распределения хи-квадрат с т - степенью свободы.

есть эллипсоид . доверия и границы доверительной полосы определяются как

Inf /<6,х) и sup /(8,Х)

еу(6) ег(6) /

Случай гауссовских ошибок наблюдений исследован в С7].

Специфика систем обслуживания с движущимися приборами такова, что предложенным в 6 2.4 методом обработки данных не всегда удается воспользоваться. Например, когда овибки наблюдений коррелированы, или если число наизвэстнух параметров растет с ростом числа наблюдений. Поэтому для полного изучения исследуемых систем необходимо разрабатывать более, универсальные методы обработки данных.

Глава 3 посвящена разработке новых статистических методов обработки данных моделирования. Основное внимание здесь уделяется изучению регрессионных (как линейных, так и нелинейных) зависимостей, в которых число неизвестных параметров Mosel расти с ростом числа наблюдений. Такие модели привлекают внимание многих исследователей С8,9] и используются, когда для аппроксимации неизвестной функции заранее неизвестно количество членов ралокения в ряд. Поэтому представляет интерес изучение задачи выбора такого количества членов разложения, когда полученная оценка обладает требуемыми свойствами, например, несмещенностью и др. . Такие вопросы изучаются в главе 3.

Б 5 3.1 главы исследуются линейные регресионные модели с некоррелированными ошибками наблюдений. Основное внимание уделено свойствам о.н.к. и оцениванию элементов ковариационной

7. Беляев Ю.К. Гадаиев А.Г. Статистическая обработка данных // Изв.АН СССР, Техн.киберн. -1979.-ЛИ. -С.87-97.

8.Г::рко В. Я. Введение в общий статистический анализ // Теор. вер.примен. -1987.-V.32.- Вып.-. -С.252-265.

9.Portnoy S.Asymptotic behavior of M-estimators of p-regression parameters when p/n is large. I Consistency //Ann. Stat.-1984, V.12.-P.1298-1309.

Тогда

матрицы вектора остатков, которая далее используется для построения доверительной полосы. Регрессионные модели в этой главе исследуются в предположениях, что в каждой точка имеется ровно одно наблюдение и число неизвестных параметров и зависит от числа наблюдений И и может расти с ростом последних.

В 5 3.1 главы 3 показано, что если

О, при И—» Ш,

Г Л 1

гг

где Х1Ш<Х2Ш<....<ХиШ - собственные числа патрицы

то о.н.к. является несмещенной и состоятельной оценкой "вектора неизвестных параметров (теорема 3.1).

Опираясь на этот результат, показано, что при разложении функции по ортогональным многочленам Чебышева первого рода, о.н.к. обладает указанными свойствами. Приведен пример выбора числа наизвестных параметров для которого о.н.к. является состоятельной (примет* (3.1)). Пусть .

ож*тё-8)(в-в)г /Т (8-6),

ковариационная матрица вектора

- матрица с элементами

окг=(у-у)Г1кг(у-у),

"кг

А

О,

Л

сы Если

4

ХТХ

1%

А - матраца с элементами ^,1,,/=Т71; -1

п /¡¡Г

элементы матрицы Ся, - О щи И—•

то

(с*Гсы>

^ —-0, при V—»03

В 5 3.2 главы 3 результаты § 3.1 обещаются для случая регрессионных моделей с коррелированными ошибками пблюдений. Здесь исследуются также свойства о.н.к. и строятся асимптотически несмещенные состоятельные оценки элементов ковариационной матрицы вектора остатков.

Естественным обобщением линейных • регрессионных моделей являются нелинейные. В § 3.3 главы 3 изучаются нелинейные регрессионные модели при следующих предположениях. Пусть

нелинейная регрессионнаяя зависимость, где

т)(х,9); ^б'?-; 8вГ'%в) " непрерывные, по (х,е) и

ограниченные функции. хеХ, 9€в - компакт,

матрица с элементами

дТ)(Х.,в)

уе)

числа

матрицы

0<\,(6К\_(еК____(б) - собственные

1с т

I, В(г) - шар радиуса г>0 с центром в точке 9 , где

;—г „

— истинное значение параметр? 6. Для нахождения о.н.к. предложен итерационный процесс

е„(з+1) (ел(з)) =е„(з) +/у е( з)) • дп(е( з)),

где ¿уе)=-

Пусть

~7Г

(уб^у-Т^Х^).

й^е^г^; р(9)=и(6)-в;

т(г) = - пах зир

; р=1, , ,т В(г)

Оказывается, что если ЗН такое, что

дия(8)

тлУГт' ка i n _ n -_ - \ r j —, о г—» O,

tfU^e))3 л2(.уе)) tJ —+ я* y|r о г —► o,

ЖХ,(0))4 lJ

t(r)=-H¿ü <1.

тогда существует случайная величина 9у(о) такая, что

-6W(S)| -£-0 при S—» О,

т.е. итерационный процесс сходится (теорема 3.9).

Далее в условиях теореш ■ 3.9 доказывается /ТТ состоятельность с.в. 0;.(ю), которая и является о.н.к. (теорема 3.11). Аналогичные свойства о.н.к. при некоторых условиях, накладываемых на ошибки наблюдений исследованы в (10,11).

Для сличая, koi да ошибки,наблюдений являются независимыми случайными величинами показано, что для случайной величины р* выполнено

■ЛГ р** mo.^Q"))

где £(8*) - некоторая неизвестная матрица (теорема 3.12), элементы которой мс?ут быть оценены. § 3.4 главы 3 посвящен исследованию свойств Ü - оценок, частным случаеа которых являются о.н.к. ПЬстроена итерационна? процедура для вычисления Н - оценок, доказана сходимость по вероятности этой итерационной процедуры (теорема 3.14). В 5.3.5 главы 3 предложен подход для оценивания элементов ковариационной матрицы вектора остатков. Найдены явные выражений для оценок элементов ковариационной матрицы вектора остатков, которые при некоторых условиях, накладываемых на собственные числа информационной матрицы являются аскмтотически несмещенными ч состоятельными

10.Jenrlch R.I. Asyraptotlc propertles of non-linear least squares e3tlmators // Ann.Kath.Statlst.-1969.-V.40.-P.633-643.

11.Pazraan A. Dlstrlbution of the weighted l.s.e. In nonllnear modela wlth 3ynmetrlcal errors // Academia Praha, Kybernetika.-

1Э88. -V.24.-N. 6.-P.413-427.

оценками. В 5 3.6 главы 3 исследуются обобщенные регрессионные модели, где с каждым набором, наблюдений определяется семейство вероятностных мер. Близкие модели были исследованы в I121. Для таких моделей через собственные числа информационной матрицы установлены свойства о.н.к., найдены состоятельные и асимптотически несмещенные оценки элементов ковариационной матрицы вектора остатков.

В главе 4, используя статистические методы, разработанные в главе 3, проведена статистическая обработка результатов моделирования систем, описанных в главе 2. Приведены деа примера построения доверительной полосы.. В примере 1 предполагается, что 'среднее время ожидания при t-<o имеет асимптотически гауссовское распределение. В качестве оценки дисперсии берется выборочная дисперсия и строится, доверительная полоса. В примере 2 использованы результаты главы 3. Показано, что предложенный подход для полученных данных дает более узкую доверительную полосу по сравнению со стандартным методом построения доверительной полосы [13], когда предполагается, что с ростом числа .наблюдений исследуемая величина , имеет асимптотически гауссовское распределение. Приведены примеры использования полученных результатов в разных областях практики, имеются акты о внедрении (см.приложение).

Заключение. В диссертации ' разработаны метода и приемы, позволяющие с единой позиции изучить поведение широкого класса систем массового обслуживания с движущимися приборами и управление такими системами.

Установлено, что построение и исследование математических моделей движущихся частиц является эффективным подходом для изучения систем массового обслуживания с движущимися приборами.

Разработаны теоретические'основы управления системами с движущимися приборами в классе задержек, которые включают:

• - описание класса систем, для которых целесообразно вводить

12. Малютов М.Б. Нижние границы для средней длительности последовательно планируемого эксперимента // Изв. вузов. Математика. -1983.-N.11.-C.19-41.

13. Крамер Г. Математичемкие методы статистики. - М.:Мир.1975. -648 с. .

задерзки;

- нахождение явного вида оптимальной функции,>£1нииизируюаей выбранный показатель эффективности;

- определение оптимального числа приборов в системе.

Предложен подход для моделирования на компьютере поводешш

пмрокого класса систем с движущимися приборами, который экономит компьютерные ресурсы.

Предложен новый метод статистической обработки данных моделирования, подчиненных регрессионной зависимости, который прадполо(гает:

- диспррсии ошибок наблюдений неизвестные и разные;

- в каядой точке имеется одно наблюдение, что затрудняет оценить дисперсию;'

- число неизвестных параметров мояет расти с ростом числа наблюдений.

Предяозенный метод реализован в шде программы на компьютере " используется для определения точности данных моделирования.

Разработанные в диссертации теоретические полоне шш являются новым вкладом в развитие перспективного направления - анализа систем кассового обслуживания с движущимися приборами.

Математические модели движущихся частиц и методы статистического анализа данных, предложенные в диссертации являются универсальными и могут быть использованы в различных приложениях. Имеются акты об их применении в различных областях практики.

Основное содержание, диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Гадаиев А.Г. Минимизация среднего времени озидания в системах с рекуррентным обслуживанием // Вестнк. Сер.матем. мех.-1581.-ИЗ. - С.19-23.

2. Гадниэв А.Г. Системы с цикличностью моментов начала обслуживания // Теория массового обслуживания: Тр-цы семинара ВНИИ системных исследований.-М.,1981. - С.127-130.

3. Гаджиев А.Г. Простейшее управление системой связи //III Кекд.Вилнюсская конф.по теории вероятностей и матем.статистике.

- Вильнюс, 1981. - С.116-117.

' 4. Гадкиев А.Г. Процесс накопления, возникающий при блуждании двух частиц по замкнутому контуру // Труды Института кибернетики АН Азерб.ССР. Матем.киберн.и прикл..матем (Баку) -1983.- Был.6. - С.64-69.

5. Gadziev A.G. Construction oi a coniidence region ior linear function with unknown parameters. Preprint. -1984/17/ISSN 0347-2807, Chalmers univers.-Goteborg,Sweden, 15 p.

6. Гадкиев А.Г. Стратегия управления системами с циклическими моментами начала обслуживания //IV Меад.Вилнюсская конф. по теории вероятностей и матем.статистике. -Вилвнюс, - 1985.

- С.147-148.

7. Gadziev A.G. Control strategy for some queues //Stoch. proc.their.appl.-1985.-V.19.-N.1. -P.37-38.

8. Gadziev A.G. Delays minimizing the waiting time in systems with cyclic services //Scand.J.Statist.-1985.-N12. -P.301-307

9. Гаджиев- А.Г.' Управление системами -с икклдоескими моментами начала обслуживания //Изв.АН СССР, Техн. кибернетика. -1986.-N6. - С.183-186.

10. Gadziev A.G. Mathematical models of transportation //XVIII European meeting of Statist.Berlin. - Abstracts.-1988.

11. Gadziev A.G. Estimation of a covariated matrix "and properties of M-estimators in regression models //Intern.Conf. Stoch Methods Exper.Scl.-Wroclaw.-l989.-P.27-28.

12. Гаджиев А.Г. Об оценивании в линейных регрессионных моделях //Вестник МГУ. Сер.матем.мех. -1989.- N1. - С.8-13.

13. Гаджиев А.Г. Статистические оценки в линейных , регрессионных ¡»юдолях с зависимым ошибками наблюдения // Теор. вер. Пр~» I. -1989. -Т. 34. -Вып. 4. -С. 764-768. . '

14. Gadziev A.G. Regression models in data analysis' //2 nd. World Congress of Bernoulli Soc.Math.Stat.Probab.-1990.-Uppsala, Sweden.-P.204.

15. Gadziev A.G. Regression models with increasing number

of unknown parameters //Stoch.proc.tfteir.appl. -1990.-V.35. - P.194-195.

16. Гадаиев А.Г. Статистические оценки в регрессионных моделях //ДАН СССР.- 1990. -N2. - С.265-268.

17. Гадаиев А.Г. Оценивание и построение доверительных полос в регрессионных моделях //МеавузовскиЯ сб. научных трудов. Статистические методы. -Пермский университет. -1990.- С.142-150.

18. Гадаиев А,Г. О случайном блуждании частиц по кольцу //Матем.заметки. - 1990.- Т.47.Вып.6. - С.140-143.

19. Гадаиев А.Г. Управление системами массового обслуживания в классе задержек //ДАН СССР.- 1.'31,- T.317.-N3 - С.540-543.