автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стохастическая оптимизация в задаче размещения на сетях Петри

Введение.

Глава 1. Математические модели задачи размещения на сетях Петри.

1.1. Обзор математических моделей задачи размещения.

1.2. Математическая модель задачи размещения на раскрашенных сетях Петри.

1.3. Математическая модель задачи размещения на нагруженных сетях.

1.4. Оптимизация в задаче размещения на сетях Петри.

1.5. Математические модели для определения параметров задачи размещения.

Выводы.

Глава 2. Алгоритмизация математической модели задачи размещения.

2.1. Алгоритм распределения ресурсов.

2.2. Эволюционный алгоритм оптимизации.

2.3. Алгоритм стохастической оптимизации.

2.4. Алгоритм размещения и оптимизации.

Выводы.

Глава 3. Применение разработанных математических моделей и алгоритмов к задаче расписания.

3.1. Задача расписания как задача размещения.

3.2. Формирование целевой функции в задаче расписания

3.3. Проведение и анализ результатов эксперимента. 114 Выводы.

Актуальность работы. Одно из важных направлений современной науки и техники связано с исследованием операций. Эта область охватывает широкий спектр задач.

Важнейшей задачей исследования операций является размещение требований с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения. В терминах задачи размещения можно сформулировать и задачу составления расписания с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, которая имеет следующие характеристики.

Для размещения любого требования необходимо одновременное использование по крайней мере одной единицы каждого ресурса (например, ресурсов типа A, G, L). При размещении каждое требование имеет длительность - целое число элементарных моментов времени, которые группируются в отрезки и составляют все дискретное ограниченное время. Размещение, как правило, производится в одни и те же моменты времени для нескольких требований в зависимости от доступности ресурсов. Целевая функция системы учитывает различные количественные характеристики ресурсов и требований. Существует большое количество вариантов размещения с соответствующими значениями целевой функции.

Здесь важно разработать алгоритмы оптимизации. Данные алгоритмы, в частности, рассматриваются в теории расписаний. Теория расписаний использует характерный для исследования операций модельный подход к анализу реальных процессов. Модели теории расписаний отражают специфику ситуации. Разнообразие моделей, степень их общности и универсальности постепенно увеличиваются, охватывая все более широкие сферы их приложения.

При заданном расписании должны соблюдаться все условия и ограничения, вытекающие из постановки рассматриваемой задачи, т.е. расписание должно быть допустимым. Построение допустимого расписания часто является далеко не тривиальной задачей. Если речь идет о построении наилучшего, в некотором смысле оптимального расписания, особенно при оперативном построении, то сложность задачи существенно возрастает. Если существует несколько допустимых расписаний, то естественно стремление построить наилучшее из них. В связи с этим возникает вопрос оценки качества расписания. Здесь важным понятием является критерий оптимальности (целевая функция).

Среди задач теории расписаний можно выделить полиномиально разрешимые и NP-трудные. Для любой полиномиально разрешимой задачи известен по крайней мере один эффективный алгоритм ее решения, т.е. алгоритм, трудоемкость (число выполняемых элементарных операций, время решения) которого ограничена сверху некоторым полиномом от длины записи исходной информации, закодированной в бинарном алфавите. Для NP-труд-ных задач такие алгоритмы неизвестны и, по всей видимости, их не существует. Наиболее приемлемы для решения таких задач алгоритмы, дающие достаточно близкое к оптимальному расписание. Основная сложность разработки такого алгоритма - выбор хороших эвристических правил (приоритетов, правил предпочтения и т.п.), причем эвристические правила, приемлемые при одном условии задачи, могут оказаться абсолютно непригодными при других условиях.

Постановка задачи. Математическое моделирование есть процесс оперирования созданной по исходным физическим параметрам моделью, обеспечивающий получение данных о поведении интересующего объекта [71]. Математическое моделирование означает выполнение трех основных этапов:

1) разработка математической модели задачи размещения, сопоставимой с ресурсами и требованиями, и методов построения такой модели;

2) разработка методов решения соответствующей математической задачи и их реализация в программах для ЭВМ;

3) проведение в рамках принятой модели серии расчетов на ЭВМ, а также последующая обработка и анализ ее результатов .

Цель и задачи исследования. Целью работы является создание математического аппарата, позволяющего решать задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения и несколькими типами ресурсов. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

1) разработка математической модели задачи;

2) создание алгоритма на основе данной модели; программная его реализация;

3) применение полученного формального аппарата к решению конкретной задачи - составлению расписания учебных занятий в вузе;

4) формирование целевой функции;

5) анализ полученных результатов.

Методы исследований базируются на применении основных положений теории математического моделирования, элементов теории алгоритмов, теории сетей Петри и их расширений, теории расписаний, психологии, педагогики, физиологии и гигиены труда.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Получены математические модели задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и несколькими типами ресурсов на основе раскрашенных и нагруженных сетей Петри.

2. Получена математическая модель оптимизации размещения.

3. Разработаны алгоритмы решения задачи размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и оптимизации размещения.

4. Разработанные математические модели и алгоритмы применены к задаче расписания.

5. Сформирована целевая функция расписания на базе основных требований.

6. Разработана база данных, учитывающая основные требования.

Достоверность полученных результатов подтверждается практическим использованием компьютерной программы при решении задачи расписания.

Практическая ценность работы заключается в создании методики для решения задачи расписания.

Реализация и внедрение результатов работы осуществлены при составлении расписания учебных занятий в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные положения работы и ее результаты докладывались и обсуждались на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000" (г. Москва, 2000 г.), Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике" (г. Чебоксары, 1996, 1998, 2000 гг.), Всероссийских научно-технических конференциях "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем" (г. Чебоксары, 1999, 2001 гг.), на итоговых научных конференциях в Чувашском госуниверситете, на научных семинарах кафедр компьютерных технологий Чувашского госуниверситета, прикладной математики Мордовского государственного университета, теоретической кибернетики Казанского государственного университета (2001 г).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 17 научных трудов.

На защиту выносятся следующие вопросы:

- математические модели задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и несколькими типами ресурсов;

- алгоритмы решения задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и несколькими типами ресурсов;

- алгоритм стохастической оптимизации;

- пакет программ на основе разработанных алгоритмов.

Структура и объем работы. Работа содержит введение, 3 главы, заключение, список использованной литературы, приложение. Объем работы - 180 страниц. Работа выполнена в рамках проекта № 98-01-03287 "Имитационное моделирование сложных систем", поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований. W

В первой главе рассматриваются вопросы моделирования задачи размещения. Приведены существующие методы решения данной задачи, их достоинства и недостатки. В качестве математического аппарата для моделирования предлагается выбрать сети Петри и их расширения [47,58,59,67,73,81,91,94,95,105,110, 122]. Приведены примеры сетей Петри.

Получена математическая модель решения задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и несколькими типами ресурсов на основе раскрашенных сетей Петри. Она позволяет объединить модель системы как базы данных и алгоритм размещения. Используемый аппарат сетей Петри позволяет проводить анализ модели.

Разработана также математическая модель решения задачи размещения с помощью нагруженных сетей. Эта модель позволяет учитывать различные требования, предъявляемые к моделируемой системе. Получена модель оптимизации размещения на основе раскрашенных сетей Петри.

Во второй главе проведена алгоритмизация для решения на ЭВМ задачи размещения с нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, и несколькими типами ресурсов.

Предложен эволюционный алгоритм оптимизации и алгоритм стохастической оптимизации, а также алгоритм размещения и оптимизации. Проведена оценка сложности алгоритмов.

В третьей главе рассматривается применение разработанных алгоритмов для решения задачи расписания. Разработаны методические и организационные требования к расписанию учебных занятий и условия для самостоятельной работы студентов. Сформирована целевая функция для решения задачи расписания, которая является нелинейной функцией, принимающей дискретные значения.

Разработан пакет программ для решения задачи расписания. Результаты его работы показали вычислительную эффективность предлагаемых алгоритмов. Производительность программы такова, что за час на компьютере Pentium-MMX-200 можно составить расписание для 20 групп, причем нерасставленных занятий при соответствующем подборе приоритетов остается менее 1% для 500 ч занятий. Разработана база данных для задачи расписания. Проведен расчет на ЭВМ. Оценена сложность разработанных алгоритмов.

В приложении приводится разработка базы данных, текст пакета программ для решения задачи расписания, фрагмент исходных сведений для составления расписания, акт внедрения разработанной программы.

Выводы

1. Обобщены психолого-педагогические требования к расписанию учебных занятий в высшем учебном заведении.

2. Составлены методические требования к расписанию учебных занятий. Рассмотрены организационные требования и условия для обеспечения самостоятельной работы студентов. На основе данных требований разработана целевая функция расписания учебных занятий.

3. На основе полученных ранее алгоритмов разработан пакет программ по составлению расписания учебных занятий с учетом целевой функции расписания. Производительность пакета программ составляет в среднем 1 ч для расписания из 20 групп. Нерасставленных занятий при соответствующем подборе приоритетов остается менее 1% для 500 ч занятий.

4. Разработана база данных для составления расписания учебных занятий, учитывающая психолого-педагогические требования.

5. Анализ результатов составления расписания показал, что время работы программы имеет квадратичную зависимость от количества групп. Для сравнения результатов работы программы было спроектировано идеальное расписание, учитывающее психолого-педагогические требования к учебному процессу. Сравнение целевых функций показало, что идеальное расписание отличается от реального на 20-30%.

Заключение

В диссертации на основе изучения математического аппарата сетей Петри разработаны математические модели и алгоритмы для решения задачи размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения. Показано, что задачу расписания можно свести к задаче размещения.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Исследована возможность моделирования задачи размещения на сетях Петри. Разработаны математические модели задачи размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, на основе раскрашенных и нагруженных сетей. Эти модели позволяют учитывать различные требования, предъявляемые к размещению.

2. Получена математическая модель оптимизации в задаче размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, на основе которой предложен эволюционный алгоритм оптимизации.

3. Разработан алгоритм распределения ресурсов в задаче размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения, который основан на математической модели, использующей раскрашенные сети Петри.

4. Предложен алгоритм стохастической оптимизации в задаче размещения с несколькими типами ресурсов и нелинейной целевой функцией, принимающей дискретные значения. Алгоритм позволяет избежать зацикливаний в местных экстремумах целевой функции.

5. Обобщены психолого-педагогические требования к расписанию учебных занятий в вузе. На их основе составлены основные требования к расписанию учебных занятий. Получено аналитическое выражение целевой функции расписания учебных занятий.

6. На основе полученных алгоритмов разработан пакет программ по составлению расписания учебных занятий. Производительность пакета программ на компьютере Pentium-MMX-200 -в среднем 1 ч для расписания из 20 групп, причем неразмещенных занятий при соответствующем подборе приоритетов остается менее 1% для 500 ч занятий.

7. Разработана база данных для составления расписания учебных занятий, учитывающая основные требования к расписанию.

8. Анализ результатов составления расписания показал, что время работы программы имеет квадратичную зависимость от количества групп. Для сравнения результатов было спроектировано идеальное расписание, учитывающее основные требования к учебному процессу. Сравнение целевых функций показало, что идеальное расписание отличается от реального на 20-30%.

1. Абрамов М.С., Зеленова Н.М. Умственная работоспособность первокурсников и пути ее повышения // Науч. организация труда и управления в высшем учеб. заведении: Сб. науч. тр. / Ташкент, гос. ун-т. Ташкент, 1980. С. 13-18.

2. Агаджанян Н.А., Нечаева Л.А., Данилов Н.В. и др. Активный образ жизни и здоровье студента. Ташкент: Медицина, 1988. 341 с.

3. Архангельский С. И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы: Учеб.-метод, пособие. М.: Высш. шк., 1980. 368 с.

4. Архангельский С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе. М.: Высшая школа, 1976. 200 с.

5. Архангельский С.И. Теоретические основы научной организации учебного процесса. М.: Знание, 1975. 42 с.

6. Баткина И.Б. О гигиене умственного труда студентов // Педагогика высшей школы. Воронеж, 1974. С. 128.

7. Бачериков Н.Е., Воронцов М.П., Добромиль Э.И. Психогигиена умственного труда учащейся молодежи. Киев: Здоровья, 1988. 168 с.

8. Белоусов А.3., Саркисянц Э.Э., Доскин В.А и др. Социально-гигиеническая характеристика труда и быта студентов разных вузов // Состояние здоровья и работоспособность студентов вузов: Сб. науч. тр. / I Моск. мед. ин-т. М., 1974. С.92-106.

9. Васильев В. В., Кузьмук В. В. Сети Петри, параллельные алгоритмы и модели мультипроцессорных систем. Киев: Наук, думка, 1990. 216 с.

10. Ю.Вахания Н. Н. Построение сокращенного дерева вариантовдля общей задачи теории расписаний // Дискретная математика. 1990. Т. 2, вып. 3. С. 10 20.

11. Бахания Н. Н., Шафранский В. В. Алгоритмы решения обобщенных задач теории расписаний // Сообщения по прикладной математике / ВЦ РАН. М., 1991. С. 1 4б.

12. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. 2-е изд. М.: Наука, 1988. 208 с.

13. Вергасов В. М. Активизация мыслительной деятельности студента в высшей школе. Киев: Вища школа, 1979. 215 с.

14. Верхола А.П. Дидактические основы оптимизации процесса обучения дисциплинам вуза: Автореф. дис. . д-ра пед. наук / Киев. гос. пед. ин-т., Киев, 1989. 49 с.

15. Вяльдин М.В. Планирование учебного процесса на основе современных психолого-педагогических требований и информационного подхода как средство повышения эффективности обучения физике в средней школе / Моск. гос. пед. ин-т. М., 1987.

16. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М., 1985. 509 с.

17. Грибков В.А. Методика восстановления умственной и физической работоспособности студентов средствами физической культуры в процессе учебно-трудовой деятельности: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Всерос. НИИ физкультуры и спорта. М., 1995. 25 с.

18. Гуснин С. Ю., Омельянов Г. А. Минимизация в инженерных расчетах на ЭВМ: Бека-програм. М., 1981.

19. Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации: Учеб. пособие. М.: Сов. радио, 1980. 270 с.

20. Десрочерс А. А., Ал-Джар Р. Й. Приложения сетей Петри в производственных системах: Моделирование, управление ианализ производительности / Ин-т электрич. и электрон, техники. Нью-Йорк, 1995. 270 с.

21. Димитриев А.П. Стохастическая оптимизация в задаче размещения на сетях Петри. Саранск: Средневолжское матем. общество, 2001, препринт № 36. 12 с.

22. Димитриев А.П., Александров В.Н. Один из методов оптимального управления групповой нагрузкой с широтно-импульсным регулированием мощности // Наука, образование, культура: Материалы 30-й студ. науч. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С. 108.

23. Димитриев А.П., ЖелтоЕ В. П. Графовая модель стационарных состояний химических реакций // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1999. С. 107 ПО.

24. Димитриев А.П., Желтов В.П. Математическая модель расписания учебных занятий // ИТЭЭ: Материалы II Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1998. С. 235-237.

25. Димитриев А.П., Желтов В.П. Моделирование дискретных динамических систем с неоднородными топологическими единицами // Тр.Академии электротехн.наук Чувашской Республики.№ 1. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. С. 81-84.

26. Димитриев А.П., Желтов В.П. Оптимизация на сетях Петри // Математические модели и их приложения:Сб.науч.тр. Вып. 2. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та,2000. С. 95 98.

27. Димитриев А.П., Желтов В.П. Применение генетических алгоритмов в задаче дискретной оптимизации //На рубеже тысячелетий: Итоги и перспективы: Тр. молодых ученых и спец. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 2000. С.143.

28. Димитриев А.П., Желтов В.П. Раскрашенная сеть Петри для оценки значения функции нескольких переменных / Материалы междунар. конф. студ. и асп. по фундаментальным наукам "Ломоносов". Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 2000. С. 155 156.

29. Димитриев А.П., Желтов В.П., Желтова Л.В., Покалев С.С. Математические модели перестраиваемых структур // Информ. технологии в электротехнике и электроэнергетике: Тез. докл. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С. 145-147.

30. Димитриев А.П., Малышев А.В. Возможности системы Matlab по исследованию нечетких множеств // На рубеже тысячелетий: Итоги и перспективы: Тр. молодых ученых и спец. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 2000. С.142.

31. Димитриев А.П., Малышев А.В., Желтов В.П. Применение нечетких множеств в дискретной оптимизации // Информ. технологии в электротехнике и электроэнергетике: Материалы III Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. С. 381 382.

32. Димитриев А.П., Павлов М.Ю., Желтов В.П. Алгоритм определения хроматического числа графа // Наука, образование, культура: Материалы 30-й студ. науч. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С. 110.

33. Димитриев А.П., Тихонов С. В., Желтов В. П. Составление расписания: Проблемы и качество // Наука, просвещение, цивилизация: Материалы 32-й студ. науч.конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1998. С. 133-134.

34. Димитриев А.П., Тогузов С.А., Желтов В.П. Алгоритм выделения цикла из графа // Наука, образование, культура: Материалы 30-й студ. науч. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С. 109.

35. Егоров Э.В., Димитриев А.П., Желтов В.П. Представление графа в виде графического изображения // Наука, образование, культура: Материалы 30-й студ. науч. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С.111.

36. Желтов В. П., Желтова Я. В. Моделирование систем и дискретные математические модели: Текст лекций/ Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1995. 124 с.

37. Желтов В.П., Малышев А.В., Димитриев А.П. Математическое моделирование расписания учебных занятий // Математические модели и их приложения: Сб. науч. тр. Вып. 3. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. С. 83-89.

38. Желтова Л.В., Желтов В.П., Димитриев А.П., Покалев С.С. Моделирование и анализ производственной системы с использованием сетей Петри. Чебоксары, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 10.06.99, № 1888-В99.

39. Желтова Jl.В., Желтов В.П., Димитриев А.П., Покалев С.С. Сети Петри как средство моделирования и анализа производственных систем. Чебоксары, 1999. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 10.06.99, № 1890-В99.

40. Желтова Л.В., Желтов В.П., Покалев С.С., Димитриев А.П. Математические модели прогнозирования поведения экономических систем. Чебоксары, 2000. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 24.02.00, № 491-ВО0.

41. Жуков Н.В. Управление учебно-воспитательным процессом с помощью средств вычислительной техники: Автореф. дис. . канд. пед. наук // АПН СССР НИИ общ. педагогики. М., 1989. 19 с.

42. Зуев Е. А. Язык программирования Turbo Pascal 6.0 М.: УНИТЕХ, 1992. 298 с. (Мир Turbo Pascal. Вып. 1).

43. Иванов Н. Н. Неэкспоненциальные временные стохастические сети Петри с ограниченной предысторией // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 145 156.

44. Кальнин С.М. Методика информационного проектирования учебного процесса: Автореф. дис. . канд. пед. наук. / Рос. гос. пед. ун-т. СПб., 1997. 18 с.

45. Киколов А. И. Обучение и здоровье: Метод, пособие для студ. и препод, вузов. М. : Высш.шк.,1985. 104 с.

46. Кишиневский М.А., Таубин А.Р., Цирлин Б.С. Сети Петри и анализ переключательных схем // Кибернетика. 1982. №4.

47. Климов Ю. С., Касаткин А. И., Мороз С. М. Программирование в среде Turbo Pascal 6.0: Справ, пособие. Минск: Вышэйш. шк., 1992. 158 с.

48. Кокотов С.П. Автоматический планировщик расписания. Благовещенск: Информационный отдел фирмы "Независимый коллектив программистов", 1997. Адрес e-mail: ykok@amur.net.ru.

49. Конвей Р. В., Максвелл В. А., Миллер J1. В. Теория расписаний: Пер. с англ. М.: Наука, 1975. 359 с.

50. Кононов И.Ф. Гигиена умственного труда учащихся / ЦНИИ сан. просвещения Минздрава СССР. М., 1973. 36 с.

51. Коробова И.Л. АРС пакет программ для составления расписания уроков // Компьютерные инструменты в образовании. СПб., 1998. № 5. С. 8 - 13.

52. Котов В.Е. Алгебра регулярных сетей Петри // Кибернетика. 1980. №5.

53. Котов В.Е. Сети Петри. М.: Наука, 1984. 160 с.

54. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Мир, 1982. 432 с.

55. Криволуцкая Н.В. Программы составления расписания занятий для образовательных учреждений. М.: Моск. ин-т повышения квалификации работников образования, 1999. Web-страница: http://ito.bitpro.ru/1999/IV/IVl9.html.

56. Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация: Методика написания, правила оформления и порядок защиты: Практ. пособие для аспирантов и соискателей ученой степени. 3-е изд., доп. М.: Ось-89, 1999. 208 с.

57. Кузьмук В. В. Применение модифицированных Е-сетей для построения параллельных алгоритмов // Докл. АН УССР. Сер.А. 1985. № 8. С. 65-68.

58. Кутанов А. Т., Юдицкий С. А. Комплекс моделей компьютеризированной системной инженерии: CASE-технологии // Автоматика и телемеханика. 1995. № 1. С. 174 187.

59. Лагоша Б. А., Петропавловская А. В. Комплекс моделей и методов оптимизации расписания занятий в вузе // Экономика и матем. методы. 1993. Т.29, вып.4. С.668 675.

60. Лейбович А.Н. Организационно-педагогические условия повышения эффективности календарного планирования учебного процесса в средних профтехучилищах: Автореф. дис. канд. пед. наук. Казань, 1987. 18 с.

61. Лескин А. А., Мальцев П. А., Спиридонов А. М. Сети Петри в моделировании и управлении. Л.: Наука, 1989. 133 с.

62. Логвинов И. И. Оптимизация структур учебных программ предметов естественно-научного цикла: Автореф. дис. . д-ра пед.наук / НИИ средств обучения и учебн.кн. М.,1992.37 с.

63. Мамедова P.M. Научно-педагогические основы составления учебного расписания в общеобразовательной школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Тбил. гос. ун-т. Тбилиси, 1987. 31 с.

64. О.Мартын Д.Н., Димитриев А.П., Желтов В.П. Представление ориентированного графа в алгебраической форме // Наука, образование, культура: Материалы 30-й студ. науч. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1996. С. 112.

65. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении / А.Н. Тихонов, В.Д. Кальнер, В.Б. Гласко. М. :Машиностроение,1990. 264 с.

66. Матрос Д.Ш. Оптимизация распределения учебного времени в средней общеобразовательной школе: Автореф. дис. . д-ра пед.наук / АПН СССР, НИИ теории и истории педагогики. М., 1991. 37 с.

67. Мурата Т. Сети Петри: Свойства, анализ, приложения // ТИИЭР. Т. 77. 198 9. № 4. С. 41 85.

68. Назипова Н.С. Организационные и дидактические условия оптимального управления процессом обучения на основе компьютеризации: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Казан, гос. пед. ин-т. Казань, 1993. 18 с.

69. Научная организация учебного процесса в высшей школе: Учеб.-метод, пособие / Ташк. ун-т. Ташкент, 1974. 94 с.

70. Нешков А.К. Педагогические условия организации учебного времени в системе деятельности первокурсников военного вуза: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Брян. гос. пед. ун-т. Брянск, 1999. 21 с.

71. Никонов В.В., Подгурский Ю.Е. Применение сетей Петри // Зарубеж. радиоэлектроника. 1986. № 11. С. 17-37.

72. Орловская JI.M. Процедуры моделирования учебного процесса в общеобразовательной школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Краснояр. гос. пед. ун-т. Красноярск, 1998. 20 с.

73. Педагогика и психология высшей школы: Учеб. пособие для вузов / Отв. ред. С.И. Самыгин. Ростов н/Д.: Феникс, 1998. 544 с.

74. Пискунов М.У. Организация учебного труда студентов. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1982. 142 с.

75. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем: Пер. с англ. М. : Мир, 1984. 264 с.

76. Поляков Д. Б., Круглов И. Ю. Программирование в среде Turbo Pascal (версия 5.5): Справ.-метод. пособие. М.: Изд-во Моск. авиац. ин-та, 1992. 576 с.

77. Попов В.Б. Оптимальное проектирование технологии образовательного процесса в условиях компьютеризации и дифференциации обучения: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 1994. 16 с.

78. Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации

79. И.В. Сергиенко, Т.Т. Лебедева, В.А. Рощин. Киев: Наук, думка, 1980. 276 с.

80. Прикладные нечеткие системы: Пер. с яп. / Асаи К., Вата-да Д., Иваи С. и др.; Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэ-но. М.: Мир, 1993. 368 с.

81. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

82. Прос Дж.-М., Ксай Кс. Сети Петри: Средство для разработки и управления производственными системами. Мец; Нью-Йорк, 1996. 200 с.

83. Работа в интегрированной среде программирования Turbo Pascal: Метод.указания к лаб.работам /Сост. Симаков А.Л. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1993. 60 с.

84. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: Теория и практика: Пер.с англ. М.: Мир, 1980. 476 с.

85. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2 кн.:Пер. с англ. М.:Мир, 1986. Кн. 1. 349 с.

86. Розенблюм Л.Я. Сети Петри // Техническая кибернетика. 1983. № 5. С. 12 40.

87. Рубина Т.Е. Применение метода замещений для решения задачи составления расписания учебных занятий. М.: МГТУ, 1999. Web-страница: http://ito.bitpro.ru/1999/IV/IV31.html.

88. Рубинштейн М.И. Оптимальная группировка взаимосвязанных объектов. М. : Наука, 1989. 168 с.

89. Руднев В. В. Словарные сети Петри // Автоматика и телемеханика. 1987. № 4. С. 102 108.

90. Рыжов В. А. Динамичные сети Петри / ВЦ АН СССР. М., 1988. 24 с.

91. Сердцев А.А. Расписание занятий 2.1. 1994. Адрес e-mail: aserdtsev@mail.ru .

92. Сивриков Б.Е. Оптимизация планирования учебного процессас применением персональны/. ЭВМ: Автореф. дис. . канд. пед.наук / Ин-т развития проф. образования.М., 1995.17 с.

93. Системы управления базами данный: Метод, указания к лаб. работам / Сост. В. J1. Гаврилов, Б. М. Калмыков, А. Н. Жир-нов. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1992. 28 с.

94. Смирнов А.Н. Построение и исследование математических моделей объемного календарного планирования: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / J1.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 11 с.

95. Смыкалов П.Ю. РЕКТОР программа для составления расписания уроков // Компьютерные инструменты в образовании. СПб., 1998. № 5. С. 3 - 7.

96. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М. : Наука, 1973. 312 с.

97. Сотсков Ю. Н., Струсевич В. А., Танаев В. С. Математические модели и методы календарного планирования: Учеб. пособие. Минск: Университетское, 1994. 232 с.

98. Стариченко Б.Е. Оптимизация школьного образовательного процесса средствами информационных технологий: Автореф. дис. . д-ра пед. наук / Урал. гос. пед. ун-т. Екатеринбург, 1999. 39 с.

99. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 325 с.

100. Таль А. А., Юдицкий С. А. Иерархия и параллелизм в сетях Петри: Сложные автоматные сети с параллелизмом // Автоматика и телемеханика. 1982. № 7.С. 113-123; № 9. С. 83-89.

101. Танаев В. С., Сотсков Ю. Н., Струсевич В. А. Теория расписаний: Многостадийные системы. М.: Наука, 1989. 328 с.

102. Танаев В. С., Шкурба В. В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975. 256 с.

103. Тихонычева М.Д. Учебный план вуза в контексте реформыгуманитарного образования: Автореф. дис. . канд. пед. наук / Гос. комитет ?Ф по высш. образованию. М., 1996. 24 с.

104. Трахтенберг И.М., Ратман С.М. Гигиена умственного труда студентов. Киев: Здороз'я, 1973. 172 с.

105. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984. 496 с.

106. Хан А.А., Хура Г.С., Сингх X., Нанда Н.К. Представление логических операций уравнениями состояний на основе сети Петри / ТИИЭР. Т.69. 1981. № 4. С.93-95.

107. Харыбина Т.Р. Математическая модель оптимизации учебного процесса на базе современных информационных технологий: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Рос. гос. пед. ун-т. СПб., 1994. 21 с.

108. Чучалин И. П., Ямпольский В. 3., Чудинов В. Н. и др. Модели управления учебным процессом вуза. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1992. 180 с.

109. Шахматова Т.С. Педагогическое проектирование воспитательно-образовательного процесса многопрофильной гимназии: Автореф. дис. . канд. пед.наук / Кемер. гос. ун-т, Новокузнецк, 1998. 19 с.

110. Шашков Р.Г., Димитриев А.П., Желтов В.П. Составление математической модели расписания при помощи сетей Петри // Наука, творчество, информация: Материалы 33-й науч. студ. конф. / Чуваш, ун-т. Чебоксары, 1999. С. 134 135.

111. Ширяев В. Д. Основы алгоритмизации. Учеб. пособие. Саранск, 1993. 171 с.

112. Шкурба В.В. Задача трех станков. М. : Наука, 1976. 96 с.

113. Яглом И.М. Булева структура и ее модели. М.: Сов. радио, 1980. 192 с.

114. Язык программирования Турбо Си: Метод, указания к лаб. работам / Сост. Б. М. Калмыков, В. J1. Гаврилов, А.П. Про-копьев. Чебоксары: Изд-во Чуваш.ун-та,1994 . 48 с.

115. Khodabandeh A. Introduction to Artifex and its Petri Nets.Chech, 1999.Html:http://Www.dsi. unimi. it/Users/Tesi/trompede/petri/nets/ARTIF.html.

116. Petri C. A. General net theory Proc. Jt. IBM Seminar, Univ. Newcastle Upon Tyne. Set. 1976.

117. Prade H. Using fuzzy set theory in scheduling problem: a case study // Fuzzy Sets and Systems. 1979. Vol.2. № 2. P. 153 165.

118. Simulation modeling and analysis / Averill M. Law, W. David Kelton. 2r"2 ed. p. cm. (McGraw-Hill series in industrial engineering and management science), 1991.