автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Статистическое моделирование в физической газодинамике

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Московский физико-технический институт.

(>га од

22 СЕ»т' РГ6 ол

*• • vl.ll На правах рукописи _ -

2 2 СЕН

Хлопков Юрий Иванович

УДК 530.1

Статистическое моделирование в фюлческой газодинамике

специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук по специальностям механика и физика)

Аэторефер.г

диссертации на соискание учет ой степени докгора физико-математических наук.

Москва-1998

Работа выполнена в Московском физико-техническом ш¡статуте

Официальные оппоненты -

чл. корр. РАН

доктор физико-математических наук, профессор В.Е

аук, профе(

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Толстых

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Алферов

Ведущая организация

Центральный Институт Авиационного Моторостроения им. П. И. Баранова

Защита состоится (И октября 1 '>98 г. в_

на заседании диссертационного совета Д 063.91.04 по присуждению ученой степени доктора наук в МФТИ (141700, Московская областть, г. Долгопрудный, Институтский переулок 9, МФТИ).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале МФТИ.

Автореферат разослан ^ ^__ 1998 г.

Ученый секретарь диссергаци иного совета к. ф.-м. н.' | С.М. Коршуна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аетуадьноаълемы

Большое научное и прикладное значение, которое и настоящее время имеет физическая газодинамика, объясняется практической важностью решения широкого круга задач, связанных с иерсисктнгамн освоения космоса, развитием вакуумных технологий, лазерной техники и других отраслей научно-технического прогресса.

Многие залачн физической газодинамики приводят к необходимости решения наиболее сложных уравнений математической физики, таких гак кинетические уравнения тина Польцмаш с начальными и краевыми условиями

Сложная недпиеГшлч структура этих уравнении деллег иемвдюленмм з пслпь^зсикм большинстве елучле". их игалигоческое ре.чкмие, поз!ому ¡/¡грлнчс.с;;;* едннсгпеянмп способом решения таких задач язя«егея •шеяегшоо решение. Построение оПосковаипыч чнеденчмч а.'1!'Ор!(ТМО!! ДЛЯ ^ СШеШИ 'ч31х ур.ЗИ! НИИ ЛВЛЯеГСЯ важной и агггуашиоч задачей. Фшчческлд И'перпрегацня урмнеинч Болылкша ыосиг вергагассшыЗ характер. Осшвшчтясь т э»ом, с начала 60-х голов к чиелгияому решению задач для урапюиня «ояьимжм началось применение статистического кэделяровзиип с использованием, гак называемой Л'-частичноЙ модели га:«, например, схема «счепшк врсмеш!», которую предложил Бйрд В 70-х гола* были предложены моменгио-статастяческие к столь, решения задач сплошных сред. Настоящая работа «освящена обоснованию методов решения кинетических ур^инеипП, разнит:«» статистических методе» моделирования течений рагргжеппого газа и сплошной среды.

Цеяыо работал лвляюгея разработ а л иссяедорл.ие ст атипических методов решения кинеткчсскях уравнений и нч приложение к решению различных ?адпч механики гшрс:«:е1.»ыч газоа и мечапики сплошных сред;

(!),

уравнений Эйлера п Папье-Сюгсеа

метода получения "точных численных решений", используемых в качестве эталонных,

- метода обоснования соогветствк I статистических процедур решению кинетического уравнения,

- учет внутренней физико-химической структуры газа,

- решение кинетических уравнений в области малых чисел Кнудссна и внедрение в сплошную среду,

инженерные методы расчета аэродинамических характеристик для реальных гиперзвуковых аппаратов при всех режимах обтекания от сщюшнсх'редного до свободном олекулярного

Выбор решаемых задач определялся практической значимостью современной аэродинамики:

- установление граничных условий для решения уравнений Навье-Стокса и Больцмана (условия скольжения, учет испарения и конденсации, внутренних свойств молекул,...)

- расчет полей и аэродинамических характеристик при обтекании двумерных и трехмерных тел в переходном режиме и сплошной среде,

расчет аэродинамических характеристик реальных компоновок в широком диапазоне чисел Рейиольдса при помощи инженерных методов.

Научная новизна и практическая ценность

На основе двух основных подходов к моделированию течений разреженного газа (моделированию "пробных" частиц и моделированию молекулярного ансамбля), а также на основе процедуры Улама-Неимаш разработаны оригинальные статистические методы решения кинетического уравнения Больцмана и его моделей. Гак разработаны ряд методов для решения линеаризованного уравнения больцмана, с помощью которых были решены задачи по установлению граничных условий при обтекании тел для уравнений Навье-Сюкса (скорости скольжения, слабое испарение и конденсация), исследовано броуновское движение в разреженном газе. Для решения нелинейных задач (около-, сверх- и гиперзвуковое обтекание простых тел при различных числа.. Рейиольдса) разработаны методы решения уравнений Больцмана и его моделей. Результаты методологического анализа методов, сконструированных на различных подходах, позволяют установить их общность, Разработана программа инженерного расчета реальных компоновок.

Практическое значение полученных результатов определяется общим методологическим подходом к разработке комплекса, численных методик и решением крупных прикладных задач в области практической аэродинамики. Полученные результаты вошли в ряд РДК и используются в учебном процессе для студентов и аспирантов МФТИ. Разработанные методики имеют общий характер и могут Сыть использованы в различных отраслях науки и техники.

Публикации и апробация работы

Работа докладывалась на ГУ, VI, IX Всесоюзных конференциях по молекулярной динамике н разреженным газам, на Всесоюзной конференции по методам Монте-Карло, па XIV Международной школе по моделям механики сплошных сред, ряде Бессоюзных школ и чтений, выставлялась на ВДНХ СССР, а также на XIII (Новосибирск), XIX • (Оксфорд), XX (Пекин) и XXI (Марсель) Международных симпозиумах по разрежет мм газам.

Результаты изложены в 50 статьях, 45 научно-технических отчетах ЦАГИ и 15 депонированных паучно-техннчессих отчета* МФТИ.

Результаты работы использованы при составлении РДК для МАП и МОМ, при разработке. ГОШ "Высота" для этих же министерств. Результаты работы также используются в учебном процессе МФТИ, вошли в курс лекций и учебные пособия.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, 8 глав и заключения.

В первой главе проводится анализ численных схем, использующихся в динамике разрежённых газов. В первом параграфе приводятся основные кинетические модели, такие как полное уравнения Больцмана (1), модельное уравнение Крука

= -Л (3),

где V - частота столкновений, /„ - равновесная функция распределения; эллипсоидальная модель Халвея,

аппроксимационпая .модель Шахова Е. М., основные подходы к построению статистических процедур. В §2 подчеркивается соответствие статистической процедуры пробных частик кинетическому уравнению, а в §3 рассматривается построение схем

моделирования течений ансамблем частиц исходя из итерационного метода решения уравнения Больцмаиа. Подобное общее рассмотрение несомненно ноле: ю при дальнейшем конструировании численных схем и опенках погрешности.

Глава П посвящена разработке численных методов решения линейных кинетических уравнении. Изложение методов дается в той хронологической последовательности в какой они разрабагывались авторами в зависимости от класса возникающих перед аэродинамиками задач. В §1 проводится исследование и совершенствование метода, ориентированного на вычисление коэффициентов переноса, в котором впервые в динамике разреженных газов Власовым В.И., Гореловым СЛ. и Коганом М.Н. был применен метод выделения главной части

1 = <р«1 (4).

В работе проведен анализ детерминистической и вероятностной погрешностей этого метода, установлен оптимальный размер фазового пространства, соответствие количества фаювых ячеек и траекторий частиц.

Метод усовершенствован для применения к различным видам молекул и апробирован на задаче о вычислении коэффициентов переноса.

В §2 известная статистическая процедура Власова В.И. модернизируется для решения линейных задач. Функция распределения .молекул представляется 15 ьиде равновесной с малой добавкой, которая плохо ухватывается стандартной процедурой Таким образом происходит выделение и аналитический учет глашюй части, а вероятностный вычислительный процесс строится для параметров, слабо отклоняющихся от равновесия. Метод апробируется на решении за/пч о теплопередаче и показывает свою эффективность для решения линейных задач динамики разреженных газов.

В §3 впервые в ДРГ' применен метод Монте-Карло непосредственно к решению кинетического уравнения. Кинетическое уравнение берется в линеаризованной форме

которое для молекул в виде твердых сфер можно сиеста к интегральному типа Фредгольма II рода с ятю выраженным ядром. К подобному уравнению применяется »ппестая статистическая процедура Улама-Неймана. Построенный таким образом метод позволяет обходиться без разбиения фазового пространства на ячейки, что существенно облегчает ею анализ, уменьшает потребную память и расширяет возможности его использования для сложных задач.

Глава III посвящена разработке методов решения нелинейных задач ДРГ и в частности модельных уравнений.

В §1 разрабатывается метод решения линейных и нелинейных задач ДРГ на основе модельных кинетических уравнений с упрошенным интегралом столкновений (3). Суть метода заключаетеч в следующем. Модельное уравнение в кинетической форме (3) предполагает, что молекулы после столкновения имеют равноьесную функцию распределения

поэтому при построении траектории пробной частицы нет необходимости хранить информацию о функции распределение -выбор скоростей пробной частицы после столкновения соответствует равновесной функции с макропарак лрамн, соответствующими данной точке физического пространства. Метод о казался достаточно универсальным. В ¡араграфе проведено исследование его применения для линейных и нелинейных задач ДРГ.

В §2 предлагается метод решения моделт.т -го уравнения при помощи моделирования ансамблем части. Оригинальный способ подсчета частоты столкновений позволяет уменьшить число частиц и ячейке вплоть до 1. Более того подобный подход позволяет в численной процедуре не меняя алгоритма перейти ог моделирования ансамблем частиц к моделированию ;ри помощь пробной частицы. В §3 предлагается схема второго порядка точности А/ ~.ипа схемы Эйлера с пересчетом

/""'3 = /" + Г = /" + Г"'7

где J• интеграл столкновений. Подобный подход позволяет реализовать существенно более быструю процедуру установления решения (Рис. 1).

Глава IV посвящена разработке методов моделирования течений при малых числах Кп, где применение описанных выше вычислительных процедур становится затруднительным из-за необходимости мельчить расчетную сетку и угрожающего возрастания объема вычислений. В этой связи рассматривается несколько подходов описания течения.

В §1 предлагается статистический подход моделирования течений сплошной среды на основе лаграижева описания течений газа. Газ представляется набором частиц, наделенных некоторым рядом признаков, характеризующих состояние среды. Например, частицы обладают точечным объемом, постоянной массой, зависящими от физических координат скоростями и, внутренними признаками, например, внутренней энергией. Траектории частиц, вообще говоря, описываются как в лагранжевом подходе дифференциальными уравнениями движения, а силы, действующие на частицы, определяются распределением давления и напряжений в поле течения, которые определяются осреднением по совокупности частиц в физических ячейках в каждый момент времени. Метод апробирован на решении задачи о течении Куэтта и теплопередачи между двумя параллельными бесконечными пластинами.

§2 посвящен разработке методики моделирования течений сплошной среды на основе некоторой известной информации о функции распределения молекул. Так, если рассматривать невязкие течения, то в кинетическом уравнении функция распределения имеет равновесный вид и интеграл столкновений обран :ется в нуль. Такая же ситуация наблюдается и при рассмотрении вязких течений с той разницей, что функция распределения представляет собой навье-стоксовую функцию распре целения молекул по скоростям. В принципе, для максвелловских молекул можно рассматривать функцию распредели ия в момоггном виде, интегралы столкновений в этом случае, выражаются через макропараметры, от функции распределения. Как и в предыдуашх случаях, процесс эволюции частиц расщепляется но времени на релаксацию, в течения «споро*, по усреднению частиц в ячейках определяются макропараметры, характеризующие заданную функцию распределения и перенос, в течении которого происходит обмен информацией между ячейками физического пространства. Апробация метода также проведена на решении одномерной задачи о течении и теплопередаче между параллельными пластинами.

§3 посвяшен моделированию течений невязкого газа с учетом внутренних свойств газа, в частности учетом врашательных степеней • свободы рассматриваемых молекул. В качестве апробации метода были решены задачи формирования ударной волны перед движущимся поршнем (Рис.2), а также о течении в сопле Лаваля (Рис.3).

Глава V посвящена применению предложенных в главе II методов для исследования слабовозмушенных течений разреженного газа, таких как определение граничных условий для уравнений пограничного слоя на поверхности тел при обгекалии с гиперзвуковыми скоростями, движение мелких частиц в газе, броуновское движение.

В §1 решается задача об определении скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. Рассматривается слой Кнудсена, в котором методом §1 гл. II решается лннейлое уравнение Больамана. На поверхности пластины предполагается диффузное отражение, а на верхней границе навье-стоксовская фу кция распределения с неизвестной скоростью. В процессе решения по установлению градиента скорости определяется неизвестная скоро«., потока в пограничном слое и профиль скорости в области решения. Коэффициент скольжения получился равным 1.103. Проведенный через несколько лет Дж. Смолдереном, Дж. Вендгом и М. Рейнольдсом эксперимент показал соответствие полученного результата экспериментальному значению в одноатомном газе с потенциалом взаи; одействия соответст. /ющему твердым сферам. На рис.4 представлен диапазон профг тей скоростей в слое Кнудсена для двух крайних потенциалов взаимодействия (максаелловские молекулы - твердые сферы).

В §2 рассматривается • явление слабого испарения (конденсации) на плоской поверхности. Так же как и в предыдущем случае рассматривается слой Кнудсена, где на поверхности, помимо уеловпч петгротекшшя с диффузным отражением, задается пото*. испаренных (конденсируемых) частиц. На верхней границе задается невозмущениая функция распределения. Слзбовог'мущенное течение моделируется методом предложенным в §-3 гл. I. В результате решения получены профили добавок к равновесной плотности и теынераг че и определены коэффициентом скольжения.

В §§ 3 и 4 исследуется медленное движение сферы в разреженном газе на основе решения линеар зомнного уравнения Больцмана методом, описанным в §3 гл. II. Постановка задачи, как-обычно, заключается в выделении области течения порядка нескольких качибров сферы. На внешней границе задается

слабовозмущенная функция распределения со скоростью набегающего потока стремящейся к нулю, а на поверхности сферы -соответствующий закон отражения моле..ул. Течение моделируется пробными частицами, траектории которых строятся в соответствии с ядром интегрального уравнения. В §3 для различных параметров разреженности среда вычисляется коэффициент сопротивления сферы

который в свободномолекулярном течении равняется соответствующему свободномолекулярому значению, а при приближении к силошносредному режиму стремится к известному стоксову пределу (Рис.5). В §■) полученные оезультаты используются для исследования броуновского движения в разреженном raie При выводе формул для коэффициента диффузии и среднего смещения частиц обычно зависимость между сопротивлением и скоростью движения берут из закон,! Стокса. Используя полученные в предыдущем параграфе результаты, представляется зависимость коэффициента диффузии в зависимости от разреженности среды и законов отражения молекул от поверхности. Результаты сравниваются с известными опытами Мшишкена (Рис.6),

Глава VI посвяи'гна расчету и анализу аэродинамических характеристик ряда простых тел в сверх- и гиперзвуковом потоке разреженного газа при различных параметрах обтекания. Исследуются характеристики бесконечных клина и цилиндра, сферы и конуса под нулевым углом arai л. Расчет проводится методом, предложенным в §1 гл. III, решения модельного кинетического уравнения. Полученные результаты сопоставляются с имеющимися в литературе расчетными и экспериментальными данными и анализируется общая кар.ина поведения аэродинамических характеристик в широком диапазоне чисел Не.

В §§ 1 и 2 излагается постановка задачи обтекания плоских и осесимметрпчных тел. Обсуждаются особенности метода в том и другом случаях, обезразмерпваннс уравнений и выбор характерных параметров, постановка граничных условий. Анализируется характер и порядки погрешностей. В частности, рассматриваются два подхода к построению расчетной сетки в осссимметричном случае: представление поля течения в виде сегмента с зеркально отражающими стенками (процесс моделирования в этом случае строится также как и в плоском случае) и переход в цилиндрические

координаты (в этом случае траектории частиц носят криволинейный характер). Однако и в том и в другом случае погрешность вычисления параметров нолей течения при приближении к осевой линии резко возрастает и достигает 15-20%, тогда как точность интегральных характеристик составляет 1 -3%.

С помощью описанного метода получены результаты обтекания клина при различных числах Кп , М , /„, к и углах раствора а (Рис.7).

При гиперзвуковых скоростях определяется угол раствора, при котором- наблюдается превышение сопротивления над свободномолекулярным значением. Приводятся характерные картины полей течения в окрестности клина.

Полученные результаты сопоставляются с результатами расчетов других авторов и эксперимента дгч широкого диапазона чисел Re. Представлены графики поведения С/ от числа Re от свободно молекулярного до невнжих i еченни. В этих же параграфах проводится расчет и анализ ииге.каиия бесконечного цилиндра разреженным газом. Получен«.! данкчз о коэффициенте сопротивления и тепловом потеке row диапазоне чисел Кп.

На основе сопоставления с д.чшшмн, имеющимися в современной литературе анаш(зируе1<\! общее поведение С,. Приводятся расчетные данные 6 ноия--: течения в окресттюсти цилиндра.

" Приведен расчет и анализ хярлегеристик обтекаш.л сферы • (Рис.8).

На основе сопоставления, результат в данных расчетов с имеющимися решениями кинетических уравнений и уравнений Навье-Стокса, а также экспериментальными дат.ыми, делается попытка установить основные закономерности поведения С, во всем диапазоне течений от свободном о л е кул я р н о г о до сплошной среды.

И, наконец, заключение §2 данной главы посвящено расчет; и анализу характеристик обтекания конуса под нулевым углом атаки. В частности, исследуется зависимость сопротивления конуса от полуугла раствора конуса. Опред лено, что превышение С„ а переходном режиме над свободгтомолекулярным значением начиналось яри полуугле раствора конуса меньшем 10°. По имеющимся в литературе расчетным и экспериментальным данным анализируется поведение Сг во всем диапазоне переходного течения (Рнс.9). Приводятся результаты полей течений в окрестности конуса Все эта результата, кроме своего физического значения для понимания аэродинамических явлений, шрзют большую

практическую роль при создании инженерных методов расчета реальных летательных аппаратов и были использованы в главе VII.

На примере модельной задачи равномерно испаряющей сЛере в §3 рассматривается случай влияния испарения с поверхности на изменение сопротивления при обтекании в переходном режиме. Устанавливается эффект падения сопротивления испаряющей сферы в переходном режиме, что позже было подтверждено в эксперименте Ю.В. Никольского (Рис.8).

Гл. VII, как уже было замечено, посвящена приложению .полученных в гл. ¡-VI результа эв для решения задач практической аэродинамики. Общие закономерности поведения аэродинамических характеристик в зависимости от различных параметров обтекания, полученные для простых тел, позволяют разработать инженерную методику расчета сложных тел и в том числе реальных аппаратов на основе гипотезы локальности.

В §1 излагаются с\ть локальной методики расчета аэродинамических характеристик во всем диапазоне чисел На и ее совершенствование, в том числе и в соответствии с данными настоящей работы. Рассматривается возможность определения локальных давлений и трени' на различных элементах летательного аппарата в случаях свободномолекулярного обтекания, сплошной среды и переходного режима. В частности, методика распространяется на обтекание невыпуклых тел на основе аэродинамического затенения.

В §2 описывается метод задания поверхности различных тел, а том числе и сложных, соответствующих заданиям компоновок реальных гиперззуковых летательных аппаратов. Суть метода состоит в построении элементарных треугольных площадок, позволяющих легко определять их геометрические параметры такие как площадь элемента ч его нормаль к поверхности

с 1 ' . 0»*Ь)

5 = 7 ч х Ь, л = — --, 4 ,.|||Ь|

где а и Ьобразующие вектора элемента поверхности. Подобное задание поверхности позволяет легко восстанавливать поверхность по чертежам, а также допускает ее уточнение, например, с иомошыо интерполяционного многочлена Латранжа. На рисунках 10 , И и 12 представлены формы задания различных компоновок воздушно-космических систем.

Отработка методики .пределения аэродинамических характеристик и результаты расчета гиперзвуконых летательных

аппаратов излагаются в §3. Апробация методики и программы расчета проводилась на схеме иолуконуса с крыльями совместно с . экспериментом в вакуумной аэродинамической трубе ВАТ-1 ЦАГИ. Проанализированы возможности метода, источники погрешности и области применения. В частности, в свободномолекулярном случае для выпуклых тел метод дает точный результат, в невязком случае методика работает по схеме "модифицированного Ныотона", а в промежуточной области разброс интегральных аэродинамических характеристик лежит в 10-15% "коридоре" разброса от имеющихся экспериментальных значений.

Приводятся результаты расчета аэродинамических характеристик описанных выше ВКС по локальной методике, суть которой определяется эмпирическими формулами, учитывающими изменение числа Рейнольдса, формы тела, граничных условий

/'о =Р.. +1рА2~а„)-р„]р, 12

р, =2схГИ0125 + 0.078)]и0,м)

т„ = 3 7-/2(К+ 688 ехр(0.072Я- 0.000016Ла Д'"1

Получены сопротивления, подъемная сила и моментные характеристики аппаратов во всем диапазоне режимов полета. На рис. 13, 14 и 15 представлены сопротивление, подъемная сила и момент для аппарата «Буран» во всем диапазоне чисел Рейнольдса и по всем углам атаки от - 90° до 90°. Полученные результаты находятся в удовлетворительном соответствии с крайними пределами по числам Ке\ _ точными расчетами по свободномолекулярной теории и расчетами на основе полных уравнений невязкой жидкости.

VIII глава посвящена совершенствованию метода прямого статистического моделирования невязких сверхзвуковых течений и исследованшо с помощью этого метода явления влияния теплоподвода на аэродинамические характеристики обтекаемою тела.

В §§ 1 и 2 излагается структура совершенсгаовашш алгоритма, предложенного в IV главе метода. Игпледуется его консервативность, точность и возможность его применения к сложныь. задачам обтекания.

В §3 рассматривается постановка задач сверхзвукового обтекания затупленных тел при наличии подвода энергии в поток перед телом. Подтвержден эффект падения сопротивления тела. Полученные результаты позволяют надеяться, что метод, в силу

своей консервативности, может быть эффективно крименен к задачам сложной конфигурации и сложной физической природы (перенос излучения, энергоподвод, исла, лше, конденсация, горение н др.), где применение существующих газодинамических методов затруднено или не налажено.

Заключение

I. Проведено обоснование общего численного подхода к моделированию течений разр ленного газа на осаове прямою статистического моделирования при помощи пробных частиц, эволюции ансамбля и решения кинетических уравнений по процедуре Улама-Неймана. Показана возможность статистического моделирования течений сплошной среды.

1. Исследованы возможности метода выделения главной части (Власова, Горелова, Когана) для решения линейных задач ДРГ, использования различных потенциалов взаимодействия (пробные частицы).

2. Разработана численная процедура, распространяющая метод Власова на класс лик иных задач ДРГ (пробные частицы).

3. Предложен метод решения линеаризованного уравнения Больцмана, использующий общую процедуру Улама-Неймана.

4. На основе моделирования траекторий "пробных" частиц разработан метод решения модельного кинегическогб уравнения для решения нелинейных задач обтекания и переходном режиме.

5. Для моделирования многомерных течений при помощи "ансамбля" разработан метод решения модельного кинетического уравнения к уравнения Больцмана. Предложена процедура, позволяющая сократить вр.;мя установления решения. Показана связь методов моделирован;.я при помощи "пробных" частиц и при помощи "ансамбля".

6. Показана возможность и эффективность использования прямого статистического моделирования в сплошной среде.

II. С помощью разработанных методик решены ряд задач, имеющих научное и прикладное значение.

1. Определен коэффициент скольжения в слое Кнудсена для молекул в виде тверды сфер, величина которого была впоследствии подтверждена экспериментом.

2. Решена задача о слабом испарении (конденсации) в слое Кнудсена.

3. На основе решения уравнения Больцмана рассчитана зависимость сопротивления медленно движущейся сферы от разреженности среды и приложение этих результатов к исследованию броуновского движения в разреженном газе.

4. Проведено систематическое исследование широкого класса простых тел в сверх- и гиперзвуковом потоке разреженного газа, исследована зависимость поведения различных классов тел от параметров набегающего потока (Ке, к, 1„,М,...), что было использовано в том числе и при создании инженерных методик.

5. Установлен эффект падения сопротивления обтекаемых тел в разреженном газе при сильном испарении с поверхности тела н при подводе мощного энергетического излучения в поток перед телом в сплошной среде, что также подтверждается экспериментами.

6. Разработана инженерная методика и составлена программа, позволяющая получать аэродинамические характеристики реальных воздушно-космических систем на всех высотах и ппи любой ориентации аппарата.

Основные результаты опубликованы в работах:

!. Хлопков ГО.Й. Вычисление коэффициентов переноса и скорости

• скольжения для молекул в виде твердых сфер. Изв. АН СССР, МЖГ,К2,1971.

2. Хлопков Ю.И., Власов В.И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. ЖВМ и МФ АН СССР, N4,1973.

3. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ. 1973, т.4, N4.

4. Хлопков Ю.И. Решение линеаризованного уравнение Больцмана. ЖВМ и МФ АН СССР, N 5,1973.

5. Хлопков Ю.И. Численные методы решения кинетических уравнений. Премия МОС НТО, МОС ВОИР, 1973.

6. Коровкин О Н., Хлопков Ю.И. Решение задач о слое Кнудсена с медлеь ;он конденсацией (испарением) на поверхности. Изв. АН СССР, ШОГ, N4, 1974.

7. Хлопков Ю.И. Методы решения кткглческого уравнения Больцмана. Диссертация на соискание уч. степ. к. ф.-м. п., МФТИ, 1974.

8. Хлопков Ю.И. Клин в потоке разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т.7, N4, 1976.

9. Хлопков Ю.И. Сопротивление сферы 1 потоке разреженного газа малой скорости. Ученые зап. ЦАГИт.б, N5, 1975.

10. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа. Сб. ВЦ АН СССР, М., N.3,1977.

11. Хлопков Ю.И. О броуновском движении в разреженном газе. ДАН СССР,т. 222, N 3, 1975.

12. Горелов С.Л., Хлопков Ю.И. Методы решения линейного уравнения Больцмана. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

13. Горелов С.Л., Хлопков Ю.И. Решение линейных задач динамики разреженных газов. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

14. Хлопков Ю.И. Расчет обтекания клина в потоке разреженного газа. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

15. Горелов СЛ., Макашев Н.К., Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретические и экспернм'нтачьиые исследования аэродинамики разреженных газов. Премия Ленинского Комсомола, 1975.

16. Хлопков Ю.И. Обтекание осесимметричных тел гиперзвуковым потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т.9, N 4, 1978.

17. Ерофеев А.И., Омелик АН, Хлопков Ю.И. Численное и экспериментальное моделирование аэродинамических характеристик на больших высотах. Премия за лучшую работу ЦАГИ, 1978.

18. Закиров М.А, Омелик А.И., Хлопков Ю.Г Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик простых тел а птерзвукоеом свободномолекулярном потоке. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

19. Хлопков Ю.И. Мл од решения задач газодинамики при малых числах Кнудееиа. V! Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

20. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания сферы при сверх 1. гиперзвуковых скоростях. Изв АН СССР, МЖГ, К 3, 1981.

21. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания конуса в переходном режиме под нулевым углом агаки. Изь АН СССР, МЖГ, N 4, 1981.

22. Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ х-рактернстик летательных аппаратов в свободномолекулярном режиме. Труды ЦАГИ, вып. 2111, 1981.

23. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения задач газовой динамики. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

24. Khlopkov Yu.I. Monte-Carlo procedure for the solution of rerefied gas dynamics problems. XIII Inter. Simp.on RGD, VI, N-Y, Lond. 1988.

25. Серов В.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование, метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

26. Кравчук A.C., Серов В.В., Хлопков Ю.И. Возможности методов прямого статистического моделирования. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

27. Горелов С.Л., Ерофеев А.И., Хлопков Ю.И. Численное моделирование аэродинамических процессов на больших высотах. Гагаринские чтения М.Н. 1987.

28. Коган М.Н., Кравчук A.C., Хлопков Ю.И. Метод "релаксация-перенос" для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности. Ученые зап. ЦАГИ N2, 1988.

29. Кравчук A.C., Хлопков Ю.И. Моделирование течений разреженного газа с помощью функции распределения. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск 1987.

30. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Инженерная методика расчета на ЭВМ аэродинамических характеристик тел сложной реформы при полете в переходном режиме. Междуведомств, сборник. Изд. МФТИ, 1988. .

31. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания сферы потоком малой плотности с учетом испарения и конденсации с поверхности. Ученые зап. ЦАГИ, N 5,1989.

32. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Сферические частицы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

33. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Влияние испарения (конде! jaunn) на аэродинамическое сопротивление сферы. XV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных сред», 1989.

34. Khlopkov Yu.I. The Problems of Nonstationary Aerodynamics with Effects of Reynolds Numbers. Proceedings Of the Fourth China-Russian

Symposium on Aerodynamics, Chinese Aeronautical Establishment, Beijing, 1995.

35. Gorelov S.L., Khlopkov Yu.I. DSMC Method for the Linearized Boltzmanir Equation. Proceedings of (he 19lh International Symposium of the Rarefied Gas Dynamics, volume 2, Oxford, 1995

36. Еремеев E.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование инженерной методики расчета аэродинамических характеристик тел сложной реформы в переходном режиме. Матер. ХХХШ научной конференции, МФТИ, М„ 28 ноября 1988. ВИНИТИ.

37. Khlopkov Yu.I., Nicolskyi VU.V. Theoretical and experemental investigations of supersonic low density flow over the sphere with surface condensation and evaporation. TsAGI Journal, N.-Y. N3 1994.

38. Khlopkov Yu.I., Kravchuk A.S. Simulation of rarefied gas flow and of a contnuum. Proc. of XVII Inter. Symp. on RGD, V. I, Aachen, 1990.

39. Khlopkov Yu.I.,, Yegorov I.V., Nico!sky: V.S. Viscous Hypersonic Flow for Various Aeropliysical Models. Proceedings of the XIX Inter. Symp. on RGD, Oxford University Press, 1995.

40. Горелов СЛ., Жарой В.А., Хлопков Ю.И. Решение уравнения Релея с использованием методов машинной аналитики. ЖВМ и МФ,Т38,.№4, 1998.

4.. Хлопков Ю.И., Горелов C.J1. Методы Мои re-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. Учебное пособие. МФТИ, М„ 1989.

42. Хлопков Ю.И,, i орелов СЛ. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло). Учебное пособие, МФТИ, М„ 1995.

43. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Klilopkov Yu.I. About thin bodies in a hypersonic flow of rarefied gas. Proc. of tlir 20"' Internationa! Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing. China, 1997

44. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Khlopkov Yu.I. The kinetic approaches to the turbulence description. Proc. of the 20л Intemutir ml Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

45. Gorelo\ S.L,. Tiarov V.A ..Khlopkov Yu.I. The velocities distribution function for particles in a space «Debris». Proc. of the 20Ul International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

46. Voronieh I. V., Moiseev M.M., Popov V.V., Khlopkov Yu.I. Direct Simulation Monts-Carlo of Inviscid Flows Method and Examples. Proc. of 21s' International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

47. Klilopkov Yu.I., Kuzyakin D.V Monte-Carlo Network Machine. Its application in problems of direct numerical modeling (aerodynamic

problems). Proc. of 2Is* International Symposium on Rarefied Gas . Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

48. Klilopkov Yn. I., Voronich I. V., Popov V.V. Kinetic representations • in simulation of continuum (low. Proc. of 5" Russian-Chinese

Symposium o Aerodynamics and Flight Dynamics. Zliukovsky, May 1427,1997. Central Aerohydrodynamic Institute, TsAGI. p. 61.

49. Gusarova K.Yu., Klilopkov Yul. Videofilm «Tlie critical regimes of flight at high angle of attack».. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 149,

50. Klilopkov Yu. I. Monte-Carlo methods in CFD. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Munn er 6, (1997). p. 189.

го

Формирование ударной волны

-точное решение

+ о дашая работа

\

г Т,

IL>-

о о о

-0-С-

\

И» 1.0

Р=05

г-i

05 ХР Ob 07 **OS QÇ X/L

Рис. г.

s

Cj

4

i

■N

N

(I

IR

t. c.

CD $

Я

4

\ К

ч

\

\

X

V

>3

<3

—Ц

о

_<С> Ó

<\J

•q>

"•Q О

¡'t^. 5, Сопротивление медленно дшисущеися сферы н разреженном

газе.

Рис. 7. Поле плотности в окрестности клипа (А/. ¿»5, Кп - ос, »1,1),

Рис. 8. Зависимость сопротивлении сферы от различных параметров обтекания (5 с М. а 25. 10"'5^510*, 001 * < I'), • -лоиия на поверхности: нспрстеканне, полная конденсация, 0СШр^и,; 3 15 (собранна теоретических, расчетных и экспериментальных данных).

Pi. л. 9. Обтлжвии» кону J?.. Зависимость С от разяи^иьк naeastsipoa обтекания.

F^tc. 10.1><>*ччрня поперхнос! и Ii SC С rana «Ьзр.ш»

híc, П. BííG "Зи-ргкя - Byjam"

Рис. 12. Перспективный гиперзвуновой летательный аппарат

-Se=0 2- —

AlstfM

Pise. 13. Сопротивление BKC типа "%рая".

Aiprva

Рис, 14. Подъемная сила ВКС типа "Бутан*

--Ке=0.01

Рис. 15.' Мг БНС типа "Буран".

Введение.

Глава I

Основные уравнения и подходы к решению задач ДРГ.

§1. Основные уравнения ДРГ.

§2. Основные подходы к построению статистических алгоритмов.

§3. Связь стационарного статистического моделирования с решением уравнения.

§4. Построение метода прямого статистического моделирования.

Глава II

Разработка численных методов решения линейных кинетических уравнений.

§1. Совершенствование методов ВГК (Власова,

Горелова, Когана).

§2. Модификация метода Власова для решения линейных задач.

§3. Метод решения линеаризованного уравнения Больцмана.

Глава III

Методы решения нелинейных задач динамики разреженных газов.

§1. Метод решения модельного уравнения, основанный на стационарном моделировании.

§2. Возможности схемы расщепления для решения кинетических уравнений.

§3. Повышение скорости сходимости метода.

Глава IV

Моделирование течений сплошной среды.

§1. Процедура Монте-Карло для моделирования течений разреженного газа и сплошной среды.

§2. Моментный метод «релаксация - перенос» для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности среды.

§3. Моделирование течений невязкого идеального газа.

Глава V

Исследование слабо возмущенных течений разреженного газа.

§1. Определение скорости скольжения.

§2. Решение задачи о слабом испарении (конденсации) с плоской поверхности.•••••••••.,.

§3. Медленное движение сферы в разреженном газе.

§4. Коэффициент диффузии и среднее смещение смещение броуновской частицы в разреженном газе.

Глава VI

Исследование обтекания различных тел в переходном режиме.

§1. Обтекание плоских тел.

§2. Обтекание осесимметричных тел.

§3. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое сопротивление сферы при сверхзвуковом обтекании.

§4. Пространственное обтекание.

Глава VII

Определение аэродинамических характеристик ВКС.

§1. Гипотеза локальности и ее развитие.

§2. Методика описания поверхности.

§3. Инженерная методика расчета аэродинамических характеристик летательных аппаратов.

Глава VIII

Сверхзвуковое обтекание затупленных тел с энергоподводом.

§1. Основы метода.

§2. Численная схема.

§3. Алгоритмы и се.тки.

Большое научное и прикладное значение, которое в настоящее время имеет динамика разреженных газов (ДРГ), объясняется практической важностью решения широкого круга задач, связанных с современным этапом освоения космоса, развитием вакуумной технологии, лазерной техники и других отраслей научно-технического прогресса. Методы, развитые в динамике разреженных газов, широко применяются для решения задач, не связанных с разреженностью среды - теории гомогенных и гетерогенных процессов, теории испарений и адсорбционных процессов, неравновесных течений, обоснования и установления граничных условий и коэффициентов переноса в механике сплошных сред. Необходимость качественного и количественного анализа явлений динамики разреженных газов, сложность и многомерность уравнений, с которыми приходится иметь дело, стимулировали развитие эффективных и оригинальных численных методов. Особенности физических явлений, с которыми приходится иметь дело в ДРГ и уравнений, описывающих эти явления (это, в основном, уравнения Больцмана и Навье-Стокса), накладывают на разрабатываемые методы целый ряд требований:

- обоснованность вычислительной процедуры и точность получаемого решения с возможностью его использования в качестве эталонного,

- возможность эффективного моделирования сложных течений разреженных газов, таких как обтекание пространственных тел во всех диапазонах переходного режима от свободномолекулярного до сплошной среды и учет физических и химических особенностей свойств газов.

В соответствии с основными требованиями существующие методы можно объединить в группы по степени их обоснованности и связи с кинетическими уравнениями и по возможности моделирования сложных явлений.

К первой группе можно отнести, в первую очередь, регулярные методы - классические конечно-разностные квадратурные подходы; полурегулярные методы - с использованием методов Монте-Карло для вычисления интегралов столкновения; и, наконец, статистические процедуры типа Улама-Неймана для решения кинетических уравнений. Во вторую группу можно выделить методы непосредственного статистического моделирования реальных течений. Необходимо отметить, что подобное разделение методов, в большой мере, является условным, между многими из них установлена связь и основным в классификации на наш взгляд является все-таки эффективность при решении сложных задач.

Краткую ретроспективу развития методов можно представить следующим образом. В монографии [1] представлены основные вычислительные методы в динамике разреженных газов, разработанные до середины 60-х годов. Анализ более поздних методов приведен в обзорном докладе[2], подробное описание основных подходов статистического моделирования представлено в сборнике и монографиях [3,4,5]. Описание регулярных и полурегулярных методов дано в [6].

Как уже отмечалось, по степени обоснованности вычислительной процедуры в первую очередь следует упомянуть регулярные методы. В общем, их суть заключается в аппроксимации функции распределения значениями в точках фазового пространства и дальнейшего решения разностных уравнений. Кроме естественного требования к умению хранить и оперировать с большим объемом информации, существенные трудности вызывает разностная аппроксимация интегралов столкновений. Поэтому в ряде случаев естественным этапом развития методов явилось использование процедур Монте-Карло при вычислении интегралов столкновений. Для уравнения Больцмана этими методами был получен ряд эталонных решений, в основном, для пространственно-однородных и одномерных течений, например, [7,8] и двумерных задач [9-11]. Возможности методов существенно расширяются при решении модельных кинетических уравнений [12-19]. Замена интеграла столкновений некоторым упрощенным выражением во многих случаях позволяет построить вычислительную процедуру интеграла столкновений на уровне макропараметров, что значительно увеличивает эффективность применяемых методов.

Сложная многомерная структура кинетических уравнений, с одной стороны, и избыток информации, которую несет в себе функция распределения, с другой, стимулировали применение и развитие статистических процедур для решения задач динамики разреженных газов. Первое применение статистических методов связывалось с непосредственным моделированием течений газов [20-25]. Сразу отразим, что методы статистического моделирования оказались наиболее эффективными в динамике разреженных газов. Кроме упомянутых выше причин, это объясняется еще и статистической природой кинетических уравнений. Среди методов прямого статистического моделирования можно выделить два подхода: метод стационарного прямого моделирования [20-22] и метод нестационарного прямого моделирования [23-25]. Поскольку данная работа, в основном, посвящена статистическим методам, опишем кратко суть упомянутых подходов.

И в том и в другом методе в области течения выбирается некоторый объем, на границах которого обычным способом задается вид функции распределения и закон взаимодействия газа с поверхностью. Расчетная область разбивается на ячейки, в каждой из которых функция распределения моделируется некоторым количеством частиц. Размеры ячеек выбираются из условия постоянства функции распределения по объему ячейки. Эволюция частиц разделяется во времени на малые промежутки длительности At, выбираемые из условия t«X, где | и Л характерные скорость и длина свободного пробега молекул. Основное отличие рассматриваемых процедур заключается в том, что в случае нестационарного моделирования осуществляется одновременное слежение за всем ансамблем частиц. Это позволяет строить траектории частиц с учетом меняющейся во времени частоты столкновений - и приводит к некоторому процессу установления. В случае стационарного моделирования слежение осуществляется за отдельными, так называемыми, пробными частицами, что приводит к необходимости знания функции распределения полевых частиц и, соответственно, к некоторому итерационному процессу. И тот и другой подходы допускают ряд принципиальных модификаций, существенно повышающих их эффективность и позволяющих их успешное использование не только в одномерных случаях, но и для решения двухмерных и даже трехмерных задач.

Непосредственное моделирование течений газа, вообще говоря, является универсальным инструментом исследования не только в области разреженного газа, но и, как показывается в настоящей работе, в механике сплошных сред. Однако одно из достоинств прямого моделирования - решение задач без обращения к уравнению - часто является и основным недостатком метода. Отсутствие прямой связи с описывающим процесс уравнением вызывает вполне объяснимое недоверие к получаемым результатам и затрудняет систематический подход к повышению эффективности методов. По этой причине известный методологический и практический интерес представляют работы по обоснованию и установлению соответствия статистических процедур управляющему уравнению. Известная статистическая процедура Улама-Неймана для решения интегральных уравнений и широко применяемая в теории излучений [26-29] для кинетических уравнений непосредственно применима лишь в случае линеаризованного кинетического уравнения [30]. В нелинейном случае в [31,32] была предложена модификация процедуры Улама-Неймана, основанная на теории ветвящихся процессов. Однако практическая реализация этого метода, связанная с большим количеством вычислений, оказалась затруднительной. Построение же стандартной процедуры Улама-Неймана для нелинейного уравнения требует искусственной линеаризации уравнения, что приводит к итеративному процессу, запоминанию информации о предыдущей итерации и, соответственно, разбиения фазового пространства на ячейки, что является дополнительным источником погрешности и не является необходимым в методах [33,34].

Построенная таким образом процедура соответствует методу стационарного статистического моделирования, что было использовано при составлении и обосновании методов [33,34]. Несколько сложнее обстоит дело с обоснованием метода нестационарного моделирования. Установление его связи с решением кинетических уравнений посвящены работы [2,5].

В практической реализации, все-таки, предпочтение отдается статистическим методам. Именно ими были решены большинство наиболее сложных и практически важных задач.

Модернизация методов стационарного статистического моделирования, в основном, шла по пути сокращения оперативной памяти вычислительной машины. Так в работах [35,36] предлагается процедура построения траекторий не требующая запоминания функции распределения, основанная на том, что плотность вероятности скорости полевой молекулы равна нормированной на единицу искомой функции распределения. Другим направлением повышения эффективности методов является аппроксимация функции распределения полевых частиц с помощью некоторого количества моментов. Большие возможности по совершенствованию методов стационарного моделирования открывает использование модельных кинетических уравнений [33,34]. В этом случае реализация процедуры столкновений не требует знания функции распределения полевых частиц, поскольку пробная частица после столкновения приобретает скорость, соответствующую равновесной функции распределения.

Центральным местом в методе нестационарного статистического моделирования является процедура подсчета столкновений. Пара частиц выбирается для столкновения в соответствии с частотой столкновений молекул, вне зависимости от расстояния между ними в данной ячейке. Скорости частиц после столкновения выбираются в соответствии с законами взаимодействия молекул. Хотя эффективность метода зависит от довольно многих параметров схемы счета (установления, расщепления по времени, выхода на стационарный режим, шага по времени, сетки по пространству и т.д.) основные работы по совершенствованию метода посвящены улучшению процедуры столкновений и уменьшению статистической погрешности схемы, как основного момента, позволяющего уменьшить количество частиц в ячейках и, соответственно, уменьшить оперативную память вычислительной машины. Так в работе [37] была предложена модификация процедуры столкновений для масквелловских молекул, при которой результаты расчета практически не зависят от количества частиц в ячейке при их изменении от 40 до 6. (При обычных расчетах количество частиц в ячейках порядка 30). В работах [38-43] предложен метод, в котором на этапе столкновений подсистема модельных частиц в каждой ячейке рассматривается как ^частичная модель Каца. Моделирование столкновения сводится к статистической реализации эволюции модели Каца в течении времени АЬ Время столкновения в модели Каца рассчитывается в соответствии со статистикой столкновения в идеальном газе. Эта схема позволяет использовать существенно меньшее число частиц в ячейке и более мелкий шаг расчетной сетки. Анализ результатов расчета показал, что результаты расчета практически не зависят от количества частиц в ячейке вплоть до 2.

Как уже отмечалось, в практической реализации для задач динамики разреженных газов статистические методы оказались более эффективными по сравнению с регулярными и полурегулярными методами. Для задач обтекания, как наиболее существенных в аэродинамике, они впервые были успешно применены в [45] для получения аэродинамических характеристик различных, в том числе и сложных, тел, в свободномолекулярном и близком к свободномолекулярному потоках [46]. Разработанная более двух десятков лет назад методика в настоящее время доведена до стандартных программ и широко используется в соответствующих проектных и конструкторских организациях. Продвижение в область меньших Кп связано с резким увеличением вычислительных трудностей, обусловленных уменьшением длины пробега молекул и, соответственно, более мелким шагом по времени и пространству и, в случае прямого моделирования, увеличением количества частиц, моделирующих функцию распределения. В этом направлении с помощью статистических методов, основанных на стационарном и нестационарном подходах, в задачах обтекания удалось продвинуться до чисел Кп порядка 0,01 в плоском, осесимметричном [33,47-66] и даже в пространственном случаях [6770].

По всей видимости, применение статистического моделирования в традиционной форме для проникновения в область сплошной среды при современной вычислительной базе неэффективно. И поскольку современный этап развития техники все-таки требует получения данных во всей области переходного режима, то течения слабо разреженного газа требуют разработки соответствующих методов и способов решения. Представляют интерес методы, использующие информацию о функции распределения исходя из физических соображений, связанных со сплошностью среды. Одно из таких направлений - решение более высоких по порядку, чем уравнений Эйлера и Навье-Стокса моментных уравнений. Однако до сих пор остается открытым вопрос, окупается ли получаемым уточнением значительное усложнение соответствующих макроскопических уравнений и трудности постановки для них граничных условий.

Другое направление, связано с совместным решением на последовательных элементарных участках времени кинетического и сплошносредных уравнений, взаимно дополняя и уточняя друг друга. Однако на этом направлении к трудностям решения кинетических уравнений в полной мере добавляются трудности решения уравнений Навье-Стокса, чем объясняется применение метода лишь для одномерных задач [18].

Более эффективным представляется выделение в течении областей с различными физическими свойствами, описываемыми разными типами уравнений, решения которых сращиваются на границах областей. Такой прием широко применяется в механике сплошных сред [44], а в вычислительной газодинамике разреженного газа пока еще широкого распространения не получил и представляется единичными работами типа [71].

Также чрезвычайно интересным и требующим, на наш взгляд, своего дальнейшего развития является направление применения вычислительных приемов, развитых в динамике разреженных газов, в таких нетрадиционных областях применения, как вязкие и невязкие течения сплошной среды. В частности, это позволяет установить единую вычислительную процедуру независимо от разреженности среды. В этой связи представляют интерес методы, моделирующие сплошную среду ансамблем частиц [2,64-72,77], наделенных соответствующими признаками, совокупность которых характеризует рассматриваемую среду. Так, в методах [2,72] частицы представляют лагранжеву форму описания течения идеального газа, а в [74,75] сплошная среда моделируется молекулярной функцией распределения. Использование статистического подхода при описании сплошной среды с помощью ансамбля частиц, позволяет, вообще говоря, использовать опыт, накопленный в вычислительной газодинамике разреженного газа, с одной стороны, и установить единую процедуру расчета во всех режимах течений, с другой [76,77].

И, наконец, нельзя не отметить практически важное направление развития расчетных методов, основанных на гипотезе локальности [78-90].

Это приближенные полуэмпирические методы, интегрирующие в себе максимальный объем теоретических, расчетных и экспериментальных данных и позволяющие эффективно получать интегральные аэродинамические характеристики аппаратов на всех режимах течения.

Цель работы

Целью работы являются разработка и исследование численных методов решения кинетических уравнений и их приложение к решению различных задач механики разреженных газов и механики сплошных сред.

Разработка методов формулировалась исходя из основных методологических и практических требований к получаемым решениям кинетических уравнений. Так, на наш взгляд, современная методика численного решения кинетических уравнений должна состоять из следующего набора методов: метода получения "точных численных решений", используемых в качестве эталонных,

- метода обоснования соответствия статистических процедур решению кинетического уравнения,

- метода корреляции течений в переходном режиме с сплошносредными течениями,

- учет внутренней физико-химической структуры газа,

- решение кинетических уравнений в области малых чисел Кнудсена и внедрение в сплошную среду, инженерные методы расчета аэродинамических характеристик для реальных гиперзвуковых аппаратов при всех режимах обтекания от сплошносредного до свободномолекулярного,

- установление граничных условий для решения уравнений Навье-Стокса и Больцмана (условия скольжения, учет испарения и конденсации, внутренних свойств молекул,.)

- расчет полей течений и аэродинамических характеристик при обтекании двумерных и трехмерных тел в переходном режиме и сплошной среде, расчет аэродинамических характеристик реальных компоновок в широком диапазоне чисел Рейнольдса при помощи инженерных методов.

Научная новизна

На основе двух основных подходов к моделированию течений разреженного газа (моделированию "пробных" частиц и моделированию молекулярного ансамбля), а также на основе процедуры Улама-Неймана разработаны оригинальные статистические методы решения кинетического уравнения Больцмана и его моделей. Так разработаны ряд методов для решения линеаризованного уравнения Больцмана, с помощью которых были решены задачи по установлению граничных условий при обтекании тел для уравнений Навье-Стокса (скорости скольжения, слабое испарение и конденсация), исследовано броуновское движение в разреженном газе. Для решения нелинейных задач (около-, сверх- и гипер- звуковое обтекание простых тел при различных числах Рейнольдса) разработаны методы решения уравнений Больцмана и его моделей. Результаты методологического анализа методов, сконструированных на различных подходах, позволяют установить их общность. Разработана программа инженерного расчета реальных компоновок.

Практическое значение полученных результатов определяется общим методологическим подходом к разработке комплекса численных методик и решением крупных прикладных задач в области практической аэродинамики. Полученные результаты вошли в ряд РДК и используются в учебном процессе для студентов и аспирантов МФТИ. Разработанные методики имеют общий характер и могут быть использованы в различных отраслях науки и техники.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, 8 глав и заключения.

Основные результаты представлены в работах:

1. Хлопков Ю.И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. Изв. АН СССР, ]VDKT,N2,1971.

2. Хлопков Ю.И., Власов В.И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. ЖВМ и МФ АН СССР, N4,1973.

3. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ. 1973, т.4, N4.

4. Хлопков Ю.И. Решение линеаризованного уравнение Больцмана. ЖВМ и МФ АН СССР, N 5,1973.

5. Хлопков Ю.И. Численные методы решения кинетических уравнений. Премия МОС НТО, МОС ВОИР, 1973.

6. Коровкин О.Н., Хлопков Ю.И. Решение задач о слое Кнудсена с медленной конденсацией (испарением) на поверхности. Изв. АН СССР, МЖГ, N 4,1974.

7. Хлопков Ю.И. Методы решения кинетического уравнения Больцмана. Диссертация на соискание уч. степ. к. ф.-м. н., МФТИ, 1974. i

8. Хлопков Ю.И. Клин в потоке разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т. 7, N4, 1976.

9. Хлопков Ю.И. Сопротивление сфе^ы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые зап. ЦАГИ т. 6, N5,1975.

10. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа. Сб. ВЦ АН СССР, М., N.3,1977. 1

11. Хлопков Ю.И. О броуновском движении в разреженном газе. ДАН СССР, т. 222, N 3, 1975.

12. Горелов C.JL, Хлопков Ю.И. Методы решения линейного уравнения Больцмана. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

13. Горелов СЛ., Хлопков Ю.И. Решение линейных задач динамики разреженных газов. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

14. Хлопков Ю.И. Расчет обтекания клина в потоке разреженного газа. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

15. Горелов СЛ., Макашев Н.К., Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретические и экспериментальные исследования аэродинамики разреженных газов. Премия Ленинского Комсомола, 1975.

16. Хлопков Ю.И. Обтекание осесимметричных тел гиперзвуковым потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т.9, N 4,1978.

17. Ерофеев А.И., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Численное и экспериментальное моделирование аэродинамических характеристик на больших высотах. Премия за лучшую работу ЦАГИ, 1978.

18. Закиров М.А., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик простых тел в гиперзвуковом свободномолекулярном потоке. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

19. Хлопков Ю.И. Метод решения задач газодинамики при малых числах Кнудсена. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

20. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания сферы при сверх и гиперзвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, N 3,1981.

21. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания конуса в переходном режиме под нулевым углом атаки. Изв. АН СССР, МЖГ, N 4, 1981. 1

22. Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ характеристик летательных аппаратов в свободномолекулярном режиме. Труды ЦАГИ, вып. 2111,1981.

23. Хлопков Ю.И. Статистический мЬтод решения задач газовой динамики. VI Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, Новосибирск, 1979.

24. Khlopkov Yu.I. Monte-Carlo procedure for the solution of rarefied gas dynamics problems. ХШ Inter. Simp.on RGD, VI, N-Y, bond. 1988.

25. Серов B.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

26. Кравчук А.С., Серов В.В., Хлопков Ю.И. Возможности методов прямого статистического моделирования. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

27. Горелов С.Л., Ерофеев А.И., Хлопков Ю.И. Численное моделирование аэродинамических процессов на больших высотах. Гагаринские чтения М.Н. 1987.

28. Коган М.Н., Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Метод "релаксация-перенос" для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности. Ученые зап. ЦАГИ N2,1988.

29. Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Моделирование течений разреженного газа с помощью функции распределения. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

30. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Инженерная методика расчета на ЭВМ аэродинамических характеристик тел сложной реформы при полете в переходном режиме. Междуведомств, сборник. Изд. МФТИ, 1988.

31. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания сферы потоком малой плотности с учетом испарения и конденсации с поверхности. Ученые зап. ЦАГИ, N 5,1989.

32. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Сферические частицы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

33. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое сопротивление сферы. XV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных сред», 1989.

34. Khlopkov Yu.I. The Problems of Nonstationary Aerodynamics with Effects of Reynolds Numbers . Proceedings Of the Fourth China-Russian Symposium on Aerodynamics, Chinese Aeronautical Establishment, Beijing, 1995.

35. Gorelov S.L., Khlopkov Yu.I. DSMC Method for the Linearized Boltzmann Equation. Proceedings of the 19th International Symposium of the Rarefied Gas Dynamics, volume'2, Oxford, 1995

36. Еремеев E.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование инженерной методики расчета аэродинамическйх характеристик тел сложной реформы в переходном режиме. Матер. ХХХШ научной конференции, МФТИ, М., 28 ноября 1988. ВИНИТИ.

37. Khlopkov Yu.I., Nicolskyi Yu.V. Theoretical and experemental investigations of supersonic low density flow over the sphere with surface condensation and evaporation. TsAGI Journal, N.-Y. N3 1994.

38. Khlopkov Yu.I., Kravchuk A.S. Simulation of rarefied gas flow and of a contnuum. Proc. of XVII Inter. Symp. on RGD, V.l, Aachen, 1990.

39. Khlopkov Yu.I.,, Yegorov I.V., Nicolskyi V.S. Viscous Hypersonic Flow for Various Aerophysical Models. Proceedings of the XIX Inter. Symp. on RGD, Oxford University Press, 1995.

40. Горелов C.JI., Жаров B.A., Хлопков Ю.И. Решение уравнения Релея с использованием методов машинной аналитики. ЖВМ и МФ, Т 38, №4,1998.

41. Хлопков Ю.И., Горелов СЛ. Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. Учебное пособие. МФТИ, М., 1989.

42. Хлопков Ю.И., Горелов СЛ. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло). Учебное пособие. МФТИ, М., 1995.

43. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Khlopkov Yu.I. About thin bodies in a hypersonic flow of rarefied gas. Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

44. Gorelov S.L.,. Zharov V.A ., Khlopkov Yu.I. The kinetic approaches to the turbulence description. Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

45. Gorelov S.L.,. Zharov V.A Khlopkov Yu.I. The velocities distribution function for particles in a space «Debris». Proc. of the 20th International Symposium on RGD. Peking University Press, Beijing, China, 1997.

46. Voronich I. V., Moiseev M.M., Popov V.V., Khlopkov Yu.I. Direct Simulation Monte-Carlo of Inviscid Flows Method and Examples. Proc. of 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998. i

47. Khlopkov Yu.I., Kuzyakin D.V. Monte-Carlo Network Machine. Its application in problems of direct numerical modeling (aerodynamic problems). Proc. of 21st Internationa} Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

48. Khlopkov Yu. I., Voronich I. V., Popov V.V. Kinetic representations in simulation of continuum flow. ¿Proc. of 5th Russian-Chinese Symposium о Aerodynamics and Flight?Dynamics. Zhukovsky, May 1427,1997. Central Aerohydrodynamic Institute, TsAGI. p. 61.

49. Gusarova K.Yu., Khlopkov Yu.I. Videofilm «The critical regimes of flight at high angle of attack». Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 149.

50. Khlopkov Yu. I. Monte-Carlo methods in CFD. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 189.

Заключение

I. Проведено обоснование общего численного подхода к моделированию течений разреженного газа на основе прямого статистического моделирования при помощи пробных частиц, эволюции ансамбля и решения кинетических уравнений по процедуре Улама-Неймана. Показана возможность статистического моделирования течений сплошной среды.

1. Исследованы возможности метода выделения главной части (Власова, Горелова, Когана) для решения линейных задач ДРГ, использования различных потенциалов взаимодействия (пробные частицы).

2. Разработана численная процедура, распространяющая метод Власова на класс линейных задач ДРГ (пробные частицы).

3. Предложен метод решения ¿линеаризованного уравнения Больцмана, использующий общую процедуру Улама-Неймана.

4. На основе моделирования траекторий "пробных" частиц разработан метод решения модельного кинетического уравнения для решения нелинейных задач обтекания в переходном режиме.

5. Для моделирования многомерных течений при помощи "ансамбля" разработан метод решения модельного кинетического уравнения | и уравнения Больцмана. Предложена процедура, позволяющая сократить время установления решения. Показана связь методов моделирования при помощи "пробных" частиц и при помощи "ансамбля".

6. Показана возможность и эффективность использования прямого статистического моделирования в сплошной среде.

II. С помощью разработанных методик решены ряд задач, имеющих научное и прикладное значение.

1. Определен коэффициент скольжения в слое Кнудсена для молекул в виде твердых сфер, величина которого была впоследствии подтверждена экспериментом.

2. Решена задача о слабом испарении (конденсации) в слое Кнудсена.

3. На основе решения уравнения Больцмана рассчитана зависимость сопротивления медленно движущейся сферы от разреженности среды и приложение этих результатов к исследованию броуновского движения в разреженном газе.

4. Проведено систематическое исследование широкого класса простых тел в сверх- и гиперзвуковом потоке разреженного газа, исследована зависимость поведения различных классов тел от параметров набегающего потока (Яе, к, .), что было использовано в том числе и при создании инженерных методик.

5. Установлен эффект падения сопротивления обтекаемых тел в разреженном газе при сильном испарении с поверхности тела и при подводе мощного энергетического излучения в поток перед телом в сплошной среде, что также подтверждается экспериментами.

6. Разработана инженерная методика и составлена программа, позволяющая получать аэродинамические характеристики реальных воздушно-космических систем на всех высотах и при любой ориентации аппарата.

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа - М.: Наука, 1967.

2. Белоцерковский О.Н., Яницкий В.Е., Численные методы в динамике разреженного газа П Труды 1У Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа I АН СССР, ЦАГИ.- М., 1975 с.

3. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. Пер. с англ.-: Мир, 1969.

4. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1981.

5. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.- М: Наука, 1984.

6. Рыжов О.С. Численные методы в динамике разреженных газов, развитие и использование в Вычислительном центре АН СССР Численные методы в динамике разреженных газов. ВЦ АН СССР. -1977. -Вып.З.

7. Эндер М.А., Эндер А.Я. Об одном представлении уравнения Больцмана ДАН СССР. 1970.т.193 N 1 с.61-64.

8. Черемисин Ф.Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных? стационарных движений газа. ЖВМ и МФ, 1970, VI, N 3, с.654-665.

9. Черемисин Ф.Г. Развитие метода прямого численного решения уравнения Больцмана . В сб;. Численные мет. в динамике разреженных газов. АН СССР, ВЦ, н., 1973, вып.1 с 74-101.

10. Черемисин Ф.Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана. ДАН СССР. 1973, т.209, N 4, с. 811-814.

11. Щербак С. Л. О решении задачи обтекания полубесконечной пластины на основе уравнения Больцмана. Труды внеш. авиац. училища гражд. авиации. Л.1970, вып.45, с.96-109.

12. Шахов Е.Н. Поперечное обтекание пластины разреженным газом. Изв. АН, МЖГ, 1972, N6, С.107-113.

13. Ларина И.Н. Обтекание сферы разреженным газом. ПММ, 1969, т.ЗЗ, вып.5.

14. Ларина И.Н., Рыков В.А. Аэродинамика сферы, газирующей в потоке разреженного газа Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, N3, с.173-176.

15. Лимар Е.Ф. Численное исследование течения разреженного газа около цилиндра. В сб. Числ. мет. в дин. разр. газов АН СССР, ВЦ, М., 1975, вып.2 с.95-107.

16. Huang A.B. Hartley D.K. Kinetic Theory of the Sharp Leady Edge Problem in Supersonic Flow. Phys. Fluids. 1969, vol.12, N1, pp.96108.

17. Huang A.B. Huangs P.F. Supersonic Leading Edge Problem According to the Ellipsoidal Model. Phis. Fluids, 1970, vol 13, N2, pp.309-317.

18. Бишаев A.M., Рыков В.А. Решение стационарных задач кинетической теории газов, при умеренных и малых числах Кнудсена методом итераций.В сб. Числен, мет. в дин. раз. газов. АН СССР, ВЦ, М., 1975, вып.2, с.19-34.

19. Аристов В.В. Метод переменных сеток в пространстве скоростей в задаче о сильном скачке уплотнения. ЖВМ и МФ, 1977, т.17, N4, с.1081-1086.

20. Haviland J.K. Lavin M.D. Application of the Monte-Karlo Method to Heat Hauster in Rarefied of Gases. Phis. Fluids, 1962. v.s, N 11, pp 1399-1408.

21. Haviland J.K. Daferminafion of the Shock-Wave Thickinesses by the Monte-Karlo Method. In Rarefied Gas Dynamics, vol.l, n.y, Acad, press, 1969.

22. Haviland J.K. The Solution of two Molecular Flow Problems by the Monte-Karlo Method. In "Method in Computaional Physics." Advanced in Research and Applications, vol.4, Application in Hydrodynamics. N4, Acad. Press. 1965. ;

23. Bird G.A. The Velocity distribution Function within a Shock wave J.Fluid Mech., 1967, vol.30, part 3. f

24. Bird G.A. Shock-Wave Structure in Rigid Sphere Gas. In Rarefied Gas Dynamics, vol.1, N.-Y., Acaid. Press, 1965.

25. Bird G.A. Shock-Wave Structure in rigid Sphere Gas. In Rarefied Gas Dynamics, vol.l. N.-Y., Acad. Press, 1965.

26. Русский перевод в сб. "Вычислительные методы в динамике разреженных газов" М., Мир, 1969.

27. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М. Наука, 1985.

28. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М. Наука,1973.

29. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования М. Наука, 1976.

30. Марчук Г.И., Михайлов Г.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новье, Наука, 1976.

31. Хлопков Ю.И. Решение линеаризированного уравнения Больцмана ЖВМ МФ АН СССР, N5,1973.

32. Ермаков С.Н. Об аналоге схемы Неймана-Улама в нелинейном случае. ЖВМ и МФ, N3,1973.

33. Ермаков С.М., Нефедов . Об оценках суммы Неймана по методу Монте-Карло. ДАН СССР, 1972,202, N1, с.27-29.

34. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения приближенного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ. 1973, т.4, N4.0.108-113.

35. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С., Харитонова М.И.К вопросу о решении нелинейных уравнений динамики разреженного газа методом Монте-Карло. В сб. Численные методы механики сплошной Среды. СО АН СССР, ВЦ, Новосиб., 1971, т.2.

36. Власов В.И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов. ДАН СССР, 1966,т.167,Ж

37. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло потока тепла между параллельными пластинами в разреженном газе. Уч. зам. ЦАГИ, 1970., 1, N4,0.46-51.

38. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ, 1975, т. VI, N3, с.51-57. {

39. Яницкий В.Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации перевновленного газа. ЖВМ и МФ, 1973., т.13, N2, с.505-510.

40. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод "частиц в ячейках" для решения задач динамики разреженного газа 1,П.ЖВМиМФ, 1975,т.15,Ш,6. |

41. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженных газов. В кн. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М. Издательский отдел ЦАГИ, 1977, с.101-183.

42. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Прямое численное моделирование течений разреженного газа. В сб. Числен, мет. в дин. разреж. газов. АН СССР, ВЦ, М., 1977, вып.З, с.81-88.

43. Яницкий В.Е. Применение некоторых статистических моделей для численного решения уравнения Больцмана. Канд. диссертация, М., ВЦ АН СССР, 1974.

44. Яницкий В.Е. Применение процессов случайных блужданий. ЖВМ и МФ, N1,1974.

45. Сычев В.В. Асимптотическая теория отрывных течений. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1982

46. Перепухов В.А. Аэродинамические характеристики сферы и затупленного конуса в потоке сильноразреженного газа. ЖВМ и МФ, 1967. т.7, N2.

47. Перепухов В.А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа. В сб. Динамика разреж. газа и молекулярн. газовая динамика. Труды ЦАГИ, вып. 1411,1972.

48. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, N4, с. 106-112.

49. Горелов С.Л., Ерофеев А.И. Влияние внутренних степеней свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Изв. АН СССР, МЖГ, МЖГ, 1978, N6, с.151-156.

50. Власов В.И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Учен. Зап. ЦАГИ, 11971, т.2, N6, с.116-118.

51. Власов В.И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ, 1973, т.4, N1, с.17-24.

52. Власов В.И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. В пл. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов и молекулярной газовой динамике. М., Изд. отдел ЦАГИ, 1977, С.353-357.

53. Ерофеев А.И. О моделировании межмолекулярного взаимодействия при решении уравнений Больцмана методом Монте-Карло. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, N6, с. 171-174.

54. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Обтекание пластины потоком разреженного газа. В ин. Труды IV Всесоюзной конф. по динамике разр. газа и молекулярной газ. динамике. М., Изд. отдел ЦАГИ, 1977, с. 358-364.

55. Власов В.И., Ерофеев Л.И., Перепухов В.А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып.1974.М.с.40.

56. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С. Обтекание цилиндра потоком разреженного газа в переходном режиме. В СБ. Численные методы механики сплошной струи. СО АН СССР, ВЦ, Изв. 1974, т.5, N1, с.152-156.

57. Иванов М.С. Решение Осесимметричных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. В кн. Труды IV Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике М., отдел ЦАГИ, 1977, с. 388-391.

58. Григорьев Ю.Н., Иванов М.С. К решению задач аэродинамики разреженного газа методом Монте-Карло. В кн.

59. Прикладная аэродинамика космических аппаратов. Киев, Наукова Думка.

60. Хлопков Ю.И. Клин в потоке разреженного газа. Учен. Залиск. ЦАГИ т.7, N4,1976.

61. Хлопков Ю.И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые записки ЦАГИ т.6, N5, 1975.

62. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследованиях течений разреженного газа. Сб. ВЦ АН СССР, М., в.3, 1974.

63. Хлопков Ю.И. Обтекание осесимметричных тел гиперзвуковым потоком разреженного газа. Учен. зап. ЦАГИ т. 9, 1978.

64. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания сферы при сверх и гиперзвуковых скоростях. Изв. АН СССР, МЖГ, N3,1981.

65. Хлопков Ю.И. Характеристики обтекания конуса в переходном режиме под нулевым углом атаки. Изв. АН СССР, МЖГ, N, 1981.

66. Khlopkov Ju.I. Monte-Karlo procedure for the solution of rerefied gas dynamics problems.ХШ Inter.Simp.on RGD, VI, N-Y, Lond. 1988. 1

67. Серов B.B., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов Щ Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

68. Ерофеев А.И., Омелик А.Й., Хлопков Ю.И. Численное и экспериментальное моделирование аэродинамических характеристик на больших высотах. Конкурс на лучшую работу ЦАГИ, 1978.

69. Ерофеев А.И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Уч. зап. ЦАГИ, 1978, т.2, N5.

70. Кравчук А.С., Серов В.В., Хлопков Ю.И. Возможности методов прямого статистического моделирования. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М. 1990.

71. Горелов С.Л., Ерофеев А.И., Хлопков Ю.И. Численное моделирование аэродинамических процессов на больших высотах. Гагаринские чтения М.Н. 1987.

72. Горелов СЛ., Ерофеев А.И. Обтекание конуса двухатомным разреженным газом. Уч. зап. ЦАГИ, т. 15, N1,1984.

73. Хлопков Ю.И. Статистический метод решения задач газовой динамики. Труды VI Всесоюзной конференции по ДРГ, Новосибирск 1980.

74. Harlow F.H. A numercial method particles in cells for the solution on hydrodynamics problems.Fundamental method in hydrodynamics. vol3, Acad.Press, N-4, London, 1964.

75. Gentry R.A., Harlow F.H., Martin R.E. Computer experiments for molecular dynamics problems. Methods in Computational Phisics. Vol.4. Applications in Hydrodynamics. 1965.

76. Pullin D.J. Direct simulation methods for compressible Juviscied ideal-gas flow. J. of Comput. Phis, 1980, v.34, N2, p.231-244.

77. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетические алгоритмы для расчета газодинамических течений. ЖВМ и МФ, т. 25, N10,1985.

78. Khlopkov Ju.I. Monte-Karlo procedure for the solution of rerefied gas dynamics problems. ХП1 Int. Symp. on DRG, Novosibirsk, book of Abstract, v2,1982.

79. Коган M.H., Кравчук A.C., Хлопков Ю.И. Метод "релаксации-перенос" для решения динамики газа в широком диапазоне разрешенности сферы. Ученые зап. ЦАГИ N2,1988.

80. Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. М. Изд. ЛГУ, 1976.

81. Галкин B.C., Ерофеев А.И., ¡Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом разреженном газе. Труды ЦАГИ, вып. 1833,1977.

82. Бунимович А.И., Чистолин^в В.Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности. Труды ЦАГИ, вып. 1833,1977.

83. Закиров М.А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел. Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.

84. Басс В.П. Расчет обтекания потоком сильно разреженного газа с учетом с взаимодействия с поверхностью. Изв. АН СССР, МЖГ, N5,1978.

85. Ковтуненко В.Н., Камеко В.Ф., Яскевич Э.П. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов. Киев, Наукова Думка. 1977.

86. Баранцев Р.Г. Вариант локального метода для тонких тел в разреженномгазе. ЛГУ, N13,1982.

87. Баранцев Р.Г. Локальная теория передачи импульса и энергии на поверхность в разреженном газе. В сб. Математические модели, Аналитические и численные методы в теории переноса. Минск 1982.

88. Закиров М.А., Омелик А.И., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик простых тел в гиперзвуковом и свободномолекулярном потоке. VI Всезоюзн. конференция по ДРГ. Сб. Аннот. Новосиб. 1979.

89. Хлопков Ю.И. Методика и программа расчета на ЭВМ характеристик летательных аппаратов в свободномолекулярном режиме. Труды ЦАГИ, вып.2111,1981.

90. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Инженерная методика расчета на ЭВМ аэродинамических характеристик тел сложной реформы при полете в переходном режиме. Междуведомств, сборник. Изд. МФТИ, 1988.

91. Еремеев Е.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование инженерной методики расчета аэродинамических характеристик тел сложной реформы в переходном режиме. Матер. XXXIII научной конференц., МФТИ, М., 28 ноября 1988. ВИНИТИ.

92. Bhathnagar P.D., Gross Е.Р., Krook М.А. F Model for Collision Processes in Gases. "Phis.rev." 1954,94.j

93. Holway L.H. Rarefied Gas Dynamics. Fourth Symp. Acad. Press, 1965. j

94. Алферов В.И. и др. Математическое моделирование структуры ударного слоя около модели в аэродинамических трубах. Ж. Мат. Моделирование, Т.1, №9,1989.

95. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М., Наука, 1974.

96. Власов В.И., Горелов С.Л., Коган М.Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса. ДАН СССР, т. 176, N6,1968.

97. Горелов С.Л., Коган М.Н. Решение линейных задач динамики разреженного газа методом Монте-Карло. Изв. АН СССР, МЖГ, N 6,1967.

98. Хлопков Ю.И. Вычисление коэффициентов переноса и скорости скольжения для молекул в виде твердых сфер. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1971

99. Хлопков Ю.И. Методы решения кинетического уравнения Больцмана. Диссертация на соискание уч. степ. к. ф.-м. н., МФТИ, 1974.

100. Хлопков Ю.И., Власов В.И. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. ЖВМ и МФ АН СССР, N4,1973.

101. Серов В.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода прямого нестационарного моделирования. Междуведомственный сборник. Исследование нестационарного движения сплошной среды. Изд. МФТИ, 1987.

102. Серов В.В., Хлопков Ю.И. Совершенствование метода нестационарного прямого моделирования течения в динамике разреженного газа. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по ДРГ. Свердловск, 1987.

103. Перепухов В.А. Решение методом Монте-Карло модельного кинетического уравнения. Учен. зап. ЦАГИ, N 4,1973.

104. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений // Математическое моделирование. 1996. Т.8. № 8. С.17.

105. Кравчук А.С., Хлопков Ю.И. Моделирование течений разреженного газа с помощью функции распределения. Тезисы докладов IX Всесоюзной конференций по ДРГ. Свердловск, 1987.

106. Khlopkov Yu.I., Kravchuk A.S. Simulation of rarefied gas flow and of a contnuum. Proc. of XVII Inter, Symp. on RGD, V.l, Aachen, 1990. !

107. Voronich I. V., Moiseev M.M., Popov V.V., Khlopkov Yu.I. Direct Simulation Monte-Carlo of Inviscid Flows Method and Examples. 21st International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Marseille (France) July 26-31 1998.

108. Хлопков Ю.И., Горелов C.JL Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. Учебное пособие. МФТИ, М., 1989.

109. Хлопков Ю.И., Горелов C.JI. Приложение методов статистического моделирования (Монте-Карло). Учебное пособие. МФТИ, М., 1995.

110. Абрамов A.A., Кравчук A.C., Подлубный B.B. Статистическое моделирование поверхностного выдува газа в набегающий поток // ЖВМиМФ. 1991. Т.31. № 12. С.1849.

111. Ш.Абрамов А. А., Кравчук А.С. Действие теплового импульса на поверхность в тангециальном потоке // Известия РАН. МЖГ. 1994. № 1. С. 139.

112. Khlopkov Yu. I. Monte-Carlo methods in CFD. Proc. of the Second Seminar on RRDPAE. Research Bulletin. Number 6, (1997). p. 189.

113. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Кинетическая теория течения газа, находящегося над твердой стенкой в поле градиента скорости. Изв. АН СССР, МЖГ, N 6,1968.

114. Reynolds М.А., Smoldern J.J., Wendt J.F. Velocity Profile Measurement in the Knudsen Layer for the Kramers prolem. IX International Rarefied Gas Dynamics Symposium, Gottingem, Germany, 1973.

115. Paul B. Compilation of Evaporation Coefficients. ARS Journal, vol. 32, N 9.

116. Liu C.Y., Sigimura T. Rarefied Gas Flow Over a Sphere at Low Mach Numbers. Rarefied Gas Dynamics, 6th Symposium, v 1.

117. Roger Willis. Sphere Drag at High Knudsen Number and Low Mach Number. Phys. Fluids, v. 9, N. 12,1966.

118. Cercignani C., Pagani C.D., Biassanini P. Flow of Rarefied Gas Past an Axisymmetric Body. Phys. Fluids- v. 11, N 7,1968.

119. Хлопков Ю.И. О броуновском движении в разреженном газе. ДАН СССР, т 222, N 3, 1975.

120. Эйнштейн А., Смолуховскйй И. Брауновское движение. ОНТИ, 1936. " I

121. Милликен Р. Электроны (+ -), протоны, фотоны, нейтроны и космические лучи. ГОНТИ, M.-JL, 1939.

122. Эпштейн П.С., В сб. Газовая динамика. М., 1950.

123. Хлопков Ю.И. Сопротивление сферы в потоке разреженного газа малой скорости. Ученые зап. ЦАГИ, т. 6, N 5, 1975.

124. Гусев В.Н., Коган М.Н., Перепухов В.А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. Ученые зап. ЦАГИ, т. 1, N 1, 1970.

125. Broadwell J.E., Rungaldier Н. Chock layer on cylinders, spheres and wedges in low density supersonic flow. Rept. 66-3320, 4-10, Dec. 1966, TRW System.

126. Vogenitz F.W., Bird G.A., Broadwell J.E., Rungaldier H. Theoretical and experimental study of rarefied supersonic flows about several simple shapes. AJAA Journal, v. 6, N. 12,1968.

127. Whitfield D. Drag on bodies in rarefied high-speed flow. A. Dissertation. The University of Tennessee, 1971.

128. Allegre J., Негре G., Taulman D. Measurement of pressure distribution, drag and lift of flat plates and wedges at Mach 8 in rarefied gas flow. RGD, 6th Symposium, vol. 1, Academ. Press. N. Y. and L., 1969

129. Хлопков Ю.И. Расчет обтекания клина в потоке разреженного газа. IV Всесоюзная конференция по ДРГ и молекулярной динамике, М., 1975.

130. Шахов Е.М., Осесимметричное течение разреженного газа около диска. Изв. АН СССР, МЖГ, N 5,1974.

131. Phillips W.M., Kuhlthau A.R. Transition regime sphere drag near free molecule limit. AJAA Journal, v. 9, N 7,1971.

132. Белоцерковский O.M., Булекбаев А., Голомазов M.M., Толстых А.И. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М.: ВЦ АН СССР, 400 Ц1967.

133. Павлов Б.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вкзкого газа. В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 4., М.: Изд-во МГУ, 197, с. 181-287.

134. Молодцов В.К. Численфш расчет гиперзвукового обтекания сферы с учетом граничных условий скольжения. Уч. зап. ЦАГИ, т. 10, N 1,1971, с. 122-126.

135. Kussoy M.J., Horstman С.С. Cone drag in rarefied hypersonic flow. AJAA Journal, v. 8, N 2, 1970, p. 3^5-320.

136. Закиров M.A., Омелик А.И. Измерение коэффициентов сопротивления тел простой ; формы в ускоренном свободномолекулярном потоке азота. Уч. зап. ЦАГИ, т. 5, N 4, 1974, с. 113-116. i

137. Сухнев В.А. Экспериментальное определение коэффициента сопротивления шара в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Изв. АН СССР. Механика, N 3, 1965, с. 172-175.

138. Potter J.L. The transitional rarefied-flow regime. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1967, p. 881-937.

139. Крылов A.A. Вклад давления и трения в сопротивление сферы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. В кн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9, JL, 1978, с. 215-223.

140. Phillips W.M., Kuhlthau A.R. Transition regime sphere drag near free molecule limit. AJAA Journal, v. 9, N 7,1971, p. 1434-1435.

141. Potter J.L., Miller J.T. Sphere drag and dynamic simulation in near-free-molecular flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 723-734.

142. Smoldern J.J., Wendt J.F., Navrau J., Bramlette T.T. Sphere and cone drag coefficients in hypersonic transitional flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 1, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 903-907.

143. Wegener P.P., Ashkenas H. Wind tunnel measurements of sphere drag at supersonic speeds and low Reynolds numbers. J. Fluid Mech., v. 10, N. 4,1961, p. 550-560.

144. Hadjimichalis K.S., Brundin C.L. The effect of wall temperature on sphere drag in hypersonic transition flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, Porz-Wahn. 1974, D13 11-D13/9.

145. Sims W.H. Experimental sphere drag results in the near-free molecule regime. In: Rarefied gas dynamics, v. 1, N.Y.-L.: Acad. Press, 1969, p. 751-756.

146. Aroesty J. Sphere drag in low-density superonic flow. In: Rarefied gas dynamics, v. 2, N.Y.-L.: Acad. Press, 1963, p. 261-277.

147. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Теоретическое и экспериментальное исследование обтекания сферы потоком малой плотности с учетом испарения и конденсации с поверхности. Ученые зап. ЦАГИ, N 5,1989.

148. Никольский Ю.В., Хлопков,Ю.И. Сферические частицы в сверхзвуковом потоке разреженного газа. Юбилейный сборник LXX-летия ЦАГИ, М.1990.

149. Никольский Ю.В., Хлопков Ю.И. Влияние испарения (конденсации) на аэродинамическое^ сопротивление сферы. XV Всесоюзная конференция «Актуальные вопросы физики аэродисперсных сред», 1989.

150. Khlopkov Yu.I., Nicolskyi Yu.V. Theoretical and experimental investigations of supersonic low density flow over the sphere with surface condensation and evaporation. TsAGI Journal, N.-Y., N 3,1994.

151. Михайлов B.B. Методика приближенного расчета давления на телах, обтекания совершенным газом при больших числах М. Отчет НИО-8 ЦАГИ, N 5679,1980.

152. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел, т. П, М., Наука, 1970.

153. Лебедев М.Г., Пчелкина Л.В., Сандомирская И.Д. Сверхзвуковое обтекание плоских затупленных тел. М., Изд. МГУ,1974.

154. Алферов В.Е. Особенности гиперзвукового обтекания моделей в аэродинамических трубах различного класса. Изв. АН СССР, МЖГ, №2,1986.

155. Галкин B.C., Ерофеев А.И., Толстых А.И. О приближенном методе аэродинамического расчета в разреженном газе. Труды ЦАГИ, вып. 2111, 1981.

156. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд-во иностр. л-ры, 1962.

157. Крюкова С.Г. Некоторые особенности обтекания затупленного полуконуса и полуконуса с крыльями в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 2111,1981.

158. Гусев В.Н., Крюкова С.Г. О несущих свойствах тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. Ученые зап. ЦАГИ, т. 4, N6,1973.

159. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Oxford University Press, 1994.

160. Георгиевский П.Ю., Левин B.A. Сверхзвуковое обтекание тела при подводе тепла перед ним // Труды МИАН, т. 186, 1989, С.197.

161. Георгиевский П.Ю., Левин В.А. Сверхзвуковое обтекание тела при наличии внешних источников тепловыделения // Письма в ЖТФ, т. 14, вып. 8,1988, с. 684. .

162. Численное исследование современных задач газовой динамики: Сб. науч. тр. // ред. О.М. Белоцерковский / М.: Наука, 1974.

163. Черный Г.Г. Газовая динамйка. М.: Наука, 1988.

164. Артемьев В.И., Бергельсон В.И. и др. Эффект «тепловой иглы» перед затупленным телом в сверхзвуковом потоке // Доклады АН СССР, т. 310, N1,1990, с. 47. |

165. Коровкин О.Н., Хлопков Ю.И. Решение задачи о слое Кнудсена с медленной конденсацией (испарением) на поверхности. Изв. АН СССР, МЖГ. №4,1974. |

166. Maslach G.J., Schaaf S.A. Cylinder Drag in the Transition from Continuum to Free Molecular Flow. Phys. Fluids, Vol. 6, №3. 1963.

167. Алферов В.И. и др. Исследование вихревых течений в окрестности треугольной пластины и конуса. Изв. АН СССР, МЖГ, N2,1968.

168. Ortloff C.R. Hypersonic low density transitional regime flow over conical vehicles. J. Astronautic. Sei., 1967, v. 16, № 2, p. 59.

169. Николаев B.C. Материалы к расчету сопротивления трения и теплопередачи различных тел при гиперзвуковых скоростях потока. Тр. ЦАГИ, 1964, вып. 937, 350 с.

170. Ерофеев А.И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа. Уч. зап. ЦАГИ, 1979, т. 10, № 6, с. 122.1. Рис. 2.1.

171. Длина ребра скоростной ячейки Ошибка вязкостиS Г- Ошибка теплопередачиS

172. V^o 0.4 \Yu 0.5 0.8 l/Ho 1.5-2 2 2.5 2.5 - 3 5 1.5-2 2.5 3 8-10J