автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование газодинамики струй ВЧ-плазмы при пониженных давлениях

На правах рукописи

ШБМАХИН АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИКИ СТРУЙ ВЧ-ПЛАЗМЫ ПРИ ПОНИЖЕННЫХ ДАВЛЕНИЯХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ДЕК 2012

Казань - 2012

005056726

005056726

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Желтухин Виктор Семенович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Копысов Сергей Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Зарипов Шамиль Хузеевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.

М. В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится « 13 » декабря 2012 г. в 17:00 часов в ауд. 218 второго учебного корпуса на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 в ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан « 12 » ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.081.21, д.ф.-м.н., профессор

Задворнов О.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Актуальной задачей инновационного развития промышленности и проведения качественных изменений в современном индустриальном цикле является повышение надежности, долговечности изделий органической и неорганической природы и получение качественно новых свойств. Одним из эффективных способов усовершенствования характеристик материалов является их обработка в струе плазмы высокочастотного (ВЧ) разряда пониженного давления.

Плазма ВЧ-разрядов пониженного давления (Р — 13.3 — 133 Па) с продувом газа применяется для модификации наноструктуры различных материалов, таких как сталь, титан, полиэтилен, кожа, мех и до.. Плазма, создаваемая данным видом разряда, обладает следующими свойствами: степень ионизации Ю-7 - Ю-4, концентрация электронов пе = 1015 -1019 м-3, электронная температура Те -—1 — 4 эВ, температура атомов и ионов в плазменном сгустке Та — 0.2 — 0.3 эВ, в плазменной струе Та = 0.03 - 0.07 эВ.

За последние десятилетия накоплены обширные экспериментальные данные о свойствах плазмы ВЧ-разрядов пониженного давления, результатах взаимодействия ее с различными материалами, созданы математические модели, учитывающие электродинамику и плазмодинамику ВЧ-разрядов. Однако, параметры течения ВЧ-плазмы получены эмпирическим путем в лабораторных условиях для ограниченного набора параметров разрядов и плазмотронов, а существующие математические модели ВЧ-плазмы пониженного давления, не учитывают газодинамику потока струи и тем самым не позволяют адекватно описать процесс обработки материалов.

Для более эффективного и качественного выбора конструктивных решений при создании струйных ВЧ-плазменных установок и проектирования технологических процессов с использованием струйных ВЧ-разрядов пониженного давления необходимо создание математической модели течения ВЧ-плазмы, с помощью которой можно проводить исследования закономерностей формирования характеристик потока плазмы, а следовательно и параметров плазменной обработки путем теоретических расчетов, что уменьшит затраты на проведение большого количества дорогостоящих и трудоемких экспериментов.

Течение плазмы в диапазоне давлений Р = 13.3 —133 Па при расходе газа С = 0 — 0.24 г/с происходит в переходном режиме между течением сплошной среды и свободно-молекулярным потоком, так как число Кнуд-сена Кп для несущего газа находится в диапазоне 8 -Ю-3 < Кп <7-Ю-2. Для таких течений модели сплошной среды типа уравнений Навье-Стокса не применимы. В связи с этим, задача моделирования газодинамики струй

ВЧ-ллазмы пониженного давления является актуальной.

Диссертационная работа направлена на решение задачи математического моделирования газодинамики струй ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме при числе Кнудсена Кп для несущего газа 8 -10"3 < Кп <7- Ю-2.

В диссертации изложены работы автора в период с 2009 по 2012 г.г. по созданию математической модели, разработке численного метода и комплекса программ расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы при пониженных давлениях.

Работа выполнена в Казанском федеральном университете при финансовой поддержке грантов РФФИ 11-01-00864-а, 12-01-31458 мол-а и Минобрнауки РФ по госконтрактам № 14.132.21.1420 и № 14.740.11.0080.

Целью работы является разработка математической модели, численного метода и комплекса программ для расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме в диапазоне чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-10~2.

Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

1. Анализ и обобщение литературных данных по существующим методам расчета разреженных течений газа и плазмы;

2. Постановка задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в диапазоне чисел Кнудсена для несущего газа 8 -Ю-3 < Кп <710-2;

3. Разработка численного метода решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме;

4. Разработка комплекса программ расчета струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме;

5. Проведение численных экспериментов по расчету характеристик невозмущенной струи ВЧ-плазмы пониженного давления и при обтекании твёрдого тела струёй ВЧ-плазмы пониженного давления;

6. Разработка рекомендаций по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые разработана математическая модель двухкомпонентного струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме течения для чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-10-2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана для течения несущего газа и модель сплошной среды для течения газа заряженных частиц;

2. Разработан численный метод решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для расчета характеристик течения нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных

частиц;

3. В результате численных экспериментов обнаружен эффект зоны перегрева по периметру струи на выходе из плазмотрона, который подтвержден экспериментальными исследованиями, то есть разработавшая методика расчета и модель имеют предсказательный характер;

4. Выявлены основные закономерности течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании твердого тела.

Практическая значимость работы.

Разработан программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом. Программный комплекс позволяет на основании заданных параметров вакуумной камеры и плазмо-образующего газа (конфигурация и размеры вакуумной камеры, молекулярные характеристики газа, начальное давление в камере, параметры потока на входе: расход газа, температура и скорость несущего газа, электронная концентрация и электронная температура) рассчитывать газодинамические характеристики струй ВЧ-плазмы пониженного давления: распределение скорости, давления и температуры несущего газа, конце-трации электронов и электронной температуры. В результате численного моделирования сформулированы рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы пониженного давления.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается сравнением результатов математического моделирования с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных методов и программ на решениях модельных задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математическая модель двухкомпонентного струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в диапазоне чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-10~2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана течения несущего газа и модель сплошной среды для течения газа заряженных частиц;

2. Численный метод расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для расчета характеристик потока нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных частиц;

3. Программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом;

4. Закономерности струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании образца, в том числе эффект

образования зоны перегрева по периферии струи около входного отверстия вакуумной камеры;

5. Рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы пониженного давления;

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы обсуждались на XXXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2010 г.), Международной конференции «XII Харитоновские чтения «Проблемы физики высоких плотностей энергий» (Саров, 2010 г.), VIII и IX Всероссийских конференциях «Сеточные методы для краевых задач и приложения».. (Казань, 2010 г. и 2012 г.), XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 2011 г.), Международной конференции «Физика высокочастотных разрядов» (Казань, 2011 г.), XIV Международной Израильской конференции по плазме и её приложениям (14th Israel Conference on Plasma Science and its Applications) (Израиль, 2012 г.), Международной конференции «XIV Харитоновские чтения «Мощная импульсная электрофизика» (Саров, 2012 г.), IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях «NPNJ'2012» (г. Алушта, 2012 г.), XVI Международной конференции по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2012) (Казань, 2012 г.).

Г1о результатам диссертации автором опубликовано 14 работ, в том числе 3 в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертации и 1 зарегистрированная программа для ЭВМ.

Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах состоит в постановке цели и задач исследований, в создании математической модели струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления, численного метода, разработке комплекса программ расчета характеристик потока ВЧ-плазмы, обобщении полученных результатов и формулировке научных выводов. Вклад автора является решающим на всех стадиях работы.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

В ней содержится 107 страниц печатного текста, приводится 33 рисунка и 1 таблица. Список литературы содержит 158 работ.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, формулируется её цель и задачи, проводится краткий анализ литературных данных, формулируется научная новизна, практическая значимость работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе проводится расширенный обзор существующих маг

тематических моделей ВЧ-плазмы, обзор численных методов и пакетов прикладных программ решения задач газо- и плазмодннамики.

Анализ литературных данных показал, что газодинамические модели, охватывающие часть диапазона переходного режима течения газа характеризуются 3 подходами: модели уравнений Навье-Стокса в первом приближении, модели уравнений Навье-Стокса с введенной второй вязкостью и кинетические модели, основанные на уравнении Больцмана. Первые два подхода успешно применяются для моделирования течений газа в приближении сплошной среды и захватывают часть диапазона переходного режима течения (Кп < Ю-2). Третий подход, в основном, применяется для свободно-молекулярного режима течения газа [Кп >1).

Течение ВЧ-плазмы пониженного давления осуществляется в переходном режиме при числах Кнудсена для несущего газа 8 -Ю-3 < Кп <7-10-2, для которого модели типа уравнений Навье-Стокса не применимы, поэтому требуется разработка, модели струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

Проведен обзор численных методов, основанных на гипотезе сплошной среды и методов прямого статистического моделирования для задач расчета переходного режима течения. Установлено, что для расчета течения газа в переходном режиме исследователями успешно применяется метод ПСМ Г.Бёрда и его можно использовать в качестве основы для создания численного метода расчета течения ВЧ-плазмы. пониженного давления.

Обзор существующих пакетов прикладных программ для расчета гаг зодинамики показал, что большинство пакетов ориентировано на расчеты задач в приближении сплошной среды; отсутствует возможность существенной доработки программных модулей в виду коммерческой закрытости исходного кода, а при наличии возможности написания определенных пользовательских функций (например UDF-модулей в пакете Fluent) в пакетах нет готовых решений для статистического моделирования задач газодинамики в трёхмерной постановке.

На основании проведенного анализа пакетов прикладных программ для решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления выбран пакет OpenFOAM. Пакет OpenFOAM является открытой интегрируемой платформой, распространяемой по лицензии GNU GPL (с возможностью распространять и модифицировать). Рабочим языком кода является язык ООП С++, поэтому он обладает1 максимальными возможностями для модификации и создания новых моделей, используя многие наработанные библиотеки. В нём есть библиотека классов для статистического моделирования (DSMC) и библиотеки для решения задач механики сплошных сред. Универсальность языка С--Н-, а также открытость и свободнораспростроняемость пакета дают ему неоспоримые плюсы для выбора в качестве базы для создания программного комплек-

са для моделирования газодинамики струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

Вторая глава посвящена построению двухкомпонентной математической модели струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в диапазоне чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-Ю-2 для несущего газа.

Плазма ВЧ-разряда при давлениях плазмообразующего газа от 13.3 до 133 Па, расходе газа до 0.25 г/с, мощности, вкладываемой в разряд от 0.5 до 5 кВт, частоте генератора от 1.76 до 13.56 МГц имеет ряд свойств, существенно отличающих ее от других видов газовых разрядов. В частности, струя высокочастотных разрядов пониженного давления представляет собой не поток рекомбинирующей плазмы, а разряд, поддерживаемый между плазмотроном и колпаком вакуумной камеры.

При пониженном давлении ВЧ-плазма термически неравновесна, степень термической неравновесности в = Те/Та = 10 - 100, где Те - электронная, Та - газовая температуры.

Анализ и оценка характерных масштабов элементарных процессов в плазме показали, что в струе ВЧ-плазмы пониженного давления число Кнудсена Кп для нейтрального газа 8 -10"3 < Кп <7-10~2, для газа ионов и электронов 5 -10 "4 < Кп <5-10_3. Это означает, что течение несущего газа происходит в переходном режиме, в то время как течение заряженных частиц удовлетворяет гипотезе сплошности. Число Рейнольдса в струе ВЧ-плазмы при рассматриваемых параметрах течения 2 < Re < 700, что соответствует ламинарному потоку.

При построении модели пренебрежем процессами прилипания электронов, возбуждения атомов, объемной рекомбинацией, образованием многозарядных ионов, эффектом Холла, проскальзыванием ионов, градиентом электронного давления, потерями энергии на излучение, влиянием заряженных частиц на характер и структуру течения. Предположим, что основным механизмом рождения заряженных частиц является ударная ионизация, среда является изотропной, не гиротропной, электрическое поле в сопутствующей системе координат совпадает с полем в лабораторной системе координат, температура ионов совпадает с температурой нейтральных атомов.

Пусть струя ВЧ-плазмы пониженного давления вытекает в цилиндрическую вакуумную камеру радиусом R„k и длиной Lvk через выходное отверстие плазмотрона радиусом Rrk, которое расположено на базовой плите (рис.1.). Для границ области течения введем следующие индексные обозначения: входное отверстие вакуумной камеры - inlet, выходное - outlet, образец - body, остальные стенки вакуумной камеры - walls.

При указанных выше предположениях модель струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления описывается системой, состоящей из:

1) уравнения Больцмана для функции распределения нейтральных атомов /(с, г, <) по скоростям:

Рис. 1. Принципиальная схема плазменной установки.

Дс,Г,0) = /о(с,г),

F =--grad Wt,

та

2) уравнений неразрывности и сохранения энергии для электронного

газа:

- (Д^гас! пе - уапе) = цпе, (2)

дТе Л ' 5, _ \ СрРе"^ + ¿IV I Лegrad Те - -кьпеТеУе I +

3

+ -кв6^тге (Те - Та) = аЕ2 - (3)

Здесь /(с, г, ¿) - функция распределения плотности частиц нейтральной компоненты плазмы в фазовом пространстве, с и г — вектора скоростей и координат соответственно, /о - максвелловская функция распределения по скоростям, 5(/) - интеграл столкновений, Г - приведенная сила. действующая на нейтральные атомы в процессе упругих соударений с электронами, Игт - энергия, передаваемая нейтральным атомам электронами в процессе упругих соударений, пе - концентрация электронов, V,, -

вектор скорости электронов, Da - коэффициент амбиполярной диффузии, Vi - частота ионизации, \е - коэффициент теплопроводности электронного газа, ср - теплоёмкость электронного газа, кв - постоянная Больцмана, - потенциал ионизации, i/c - частота упругих столкновений электронов с атомами и ионами, а - проводимость плазмы, <5 = 2те/та,тпа - масса атома, тпе масса электрона.

Коэффициенты Da, Щ, Ае в уравнениях являются функциями электронной температуры Те,

va(r,¿)=/ c/(c,r,í)clc, (4)

J-00

ti e2i/

ve = va - (£>a/ne)grad ne, a =- Д c ,

me (i% + w2)

Граничные условия для уравнения (1) устанавливаются при реализации численной схемы методом ПСМ Г.Бёрда [G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows, 496 е.]. Уравнения (2)-(3) дополняются следующими граничными и начальными условиями:

nÁ outlet — О,

7,«lwalls = 0; «e|body = °> nelt=0 = Пе0 (5)

^ (6)

Таким образом, математическая модель струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления является комбинированной: течение несущего газа описывается уравнением Больцмана (1), течение электронного газа - уравнениями (2)-(3).

В третьей главе описан численный метод решения задачи расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы при пониженных давлениях и описан программный комплекс для расчета характеристик потока ВЧ-плазмы. Уравнение Больцмана решается с помощью метода ПСМ, а уравнения диффузии и электронной теплопроводности - методом конечных объемов (МКО).

Одним из ведущих инструментов для численного решения прикладных задач динамики разреженного газа является группа методов прямого статистического моделирования. Метод ПСМ Г.Бёрда успешно применяется для широкого класса задач, в том числе и для расчета течения газа

TI — т

Jeimlet — ^CínUt' ^el walls = Ttrom,

J«l outlet

¿m

дп

= 0,

body

^elt=0 —

в переходном режиме. Метод Г.Бёрда основан на расщеплении уравнения Больцмана по процессам. В методе производится разбиение расчетной области по ячейкам в которых происходят процессы столкновения и передачи энергии, а размер ячейки подбирается в зависимости от длины свободного пробега. Метод Г.Бёрда хорошо описывает газодинамические процессы в переходном режиме для течения нейтральных разреженных газов.

Поток плазмы отличается от потока нейтрального газа наличием распределенного по объему источника тепла, так как в результате упругих столкновений электронов с атомами и ионами происходит нагрев тяжелых частиц. Частота упругих столкновений, при которых происходит обмен энергией между частицами плазмы, в ВЧ-разряде пониженного давления ис ~ Ю10-1011 Гц. В упругих столкновениях электроны передают атомам энергию

Ес = ^кв5испе(Те - Та) (7)

Удельную мощность распределенного источника тепла можно записать в виде

Шт = 1Ес<1У<И, (8)

где с{У - элемент объёма.

В связи с этим применение метода Г.Бёрда для решения задачи моделирования потока ВЧ-плазмы пониженного давления требует его модификации, учитывающей наличие распределенного источника тепла и согласования с моделью сплошной среды для электронного газа.

Для решения системы (1)-(4) строится двухступенчатый итерационный процесс. В начале модифицированным методом ПСМ Г.Бёрда находится решение задачи (1), из которой определяются у0 и Та. Эти значения используются далее для решения краевых задач (2), (5) и (3), (6) методом конечных объёмов. Далее из подсистем (2) и (3) находятся пе и Те, которые используются в задаче (1) на следующем шаге итерационного процесса. Процесс продолжается до достижения сходимости, которая оценивалась отношением последовательных приближений.

Для решения уравнения Больцмана в качестве основной расчетной единицы выбран элементарный объём, содержащий 1014 атомов газа (ме-зочастица). Считается, что в мезочастице все атомы обладают одинаковыми характеристиками, то есть мезочастица представляет весь ансамбль атомов выбранного элементарного объема.

Для решения уравнения (1) в работе используется модифицированный подход Г.Бёрда, включающий в себя расчет скоростей с учётом распределенного источника энергии, удельной мощностью (8).

В связи с тем, что МКО является интегро-интерполяционным методом, расчетная сетка в методе МКО совмещена с разбиением по ячейкам расчетной области в методе ПСМ.

Нелинейные краевые задачи в (2)-(6) линеаризуются методом сноса нелинейности на предыдущий слой . Полученные в результате линейные дифференциальные уравнения дискретизуются с помощью метода конечных объемов.

Для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления разработан программный комплекс, который позволяет найти простраственные распределения v„, Ра, Та,пе,Те в заданной ЗО-геометрии вакуумной камеры как для невозмущенной струи, так и для струи с образцом.

Комплекс программ написан на языке ООП С++ в среде OpenFOAM (использует библиотеки DSMC и FVM) и работает под управлением ОС Linux.

Программный комплекс состоит из следующих компонент:

— Модуль (bash-скрипт) для моделирования различных замкнутых ЗБ-геометрий цилиндрической вакуумной камеры и различных расположений цилиндрического образца внутри вакуумной камеры для последующей генерации сетки утилитой blockMesh,

— Модуль (case-пакет в нотации OpenFoam), подготавливающий краевые и начальные условия для проведения расчетов пакетом программ для решения системы (1)-(4),

— Пакет программ, работающий под ОС Linux, позволяющий рассчитывать основные характеристики потока ВЧ-плазмы в вакуумной камере пониженного давления в заданной ЗБ-геометрии.

Программный комплекс позволяет на основании заданных параметров вакуумной камеры и плазмообразующего газа (конфигурация и размеры вакуумной камеры, молекулярные характеристики газа, начальное давление в камере, параметры потока на входе: расход газа, температура и скорость несущего газа, электронная концентрация и электронная температура) рассчитывать газодинамические характеристики струй ВЧ-плазмы пониженного давления: распределение скорости, давления и температуры несущего газа, концетрации электронов и электронной темпера^ туры как для невозмущенной струи, так и при наличии в струе образца.

При расчетах с помощью программного комплекса используется технология MPI для передачи данных при распараллеливании вычислений по ячейкам расчетной области. Технология позволяет ускорить расчеты в два и более раза в зависимости от числа используемых ядер вычислительного кластера с общей оперативной памятью.

В четвертой главе представлены результаты расчетов характеристик струй ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенного потока и струи с образцом при различных режимах течения плазмы. Расчеты про-

Рис. 2. Распределение электронной температуры Те и электронной концентрации пе в продольном сечении невозмущенной струи (Я^ —- 0.012 м, Л^ = 0.2 м, = 0.5 м, в = 0.08 г/с, ТМе, = 400 К, = 350 м/с, пейЛ1 = 1018 1/м3, Те>м = 11600 К).

водились для потока нейтральных атомов с учетом модельного распределенного источника тепла и для потока ВЧ-плазмы.

Для проверки работоспособности комплекса и влияния распределенного источника тепла на. характеристики струи плазмы проведены численные расчеты с модельными распределениями Т,.(х, у, г) и пе(х,у,г).

Расчет проводился для модели вакуумной камеры радиусом = 0.1 + 0.3 м, радиусом входного отверстия Я^ = 0.005 -г- 0.02 м и длиной камеры ЬУк = 0.2 -г 0.6 м.

Предполагается, что через входное отверстие вакуумной камеры втекает поток плазмы аргона с давлением на входе в диапазоне Р^ы = 35 -=- 165 Па, температурой Т,п;ег = 300 Ч- 700 К, скоростью потока Ума - 300 + 1000 м/с и электронной температурой Те — 10000 + 40000 К. Расход газа составлял С ~ 0.02 - 0.24 г/с, степень ионизации в камере Д„ = 10~7—Ю-4, начальное давление в камере Ро = 3.5-г 16.5 Па. Обрабатываемое изделие моделировалось цилиндром размерами Иь = 0.01 4- 0.06 м, Ьь — 0.01 0.06 м, который располагался по центру потока на расстоянии Ьц — 0.03 -г 0.3 м от входного отверстия. Плоскость образца перпендикулярна потоку.

Расчеты показали, что время установления течения до стационарного состояния при данных условиях составляло Ю-2 с.

В результате численных расчетов установлены основные закономерности струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

Расчёты показали, что концентрация электронов пе убывает вдоль струи (рис. 2.) с 1018 до 1014, а Те распределена практически равномерно

1-Г-0Д1 Ш

2- -одаш з.. •+1.0.14 га

4-*-С2п 9«—'0231Г б-'- а;зт

Рис. 3. Радиальное распределение модуля скорости V в поперечном сечении струи при наличии образца. Образец располагался на расстоянии Ьц, = 0.2 м от входного отверстия (Ягк = 0.012 м, Я^ = 0.2 м, Ььк = 0.5 м, в = 0.24 г/с, = 500 К,

Цп!е, = 1000 и/с).

по камере и резко убывает у стенок вакуумной камеры.

В невозмущенной струе профиль поперечного сечения скорости имеет колоколообразную форму, причем с удалением от входного отверстия высота «колокола» (значение скорости по оси потока) уменьшается, а основание увеличивается, то есть струя расширяется.

Из рис. 3. йидно, что в модели с образцом скорость убывает при приближении потока газа к телу, а далее вокруг тела становится заметно больше, чем в области столкновения потока с плоскостью образца (кривые 4, 5), что соответствует экспериментальной картине движения газа.

Профили давления в невозмущенной струе - колоколообразные, за исключением профиля в начале струи. На входе вокруг струи создается зона разрежения. Это вызвано, по видимому, эффектом «подсоса» окружающего газа в струю. Давление выравнивается на небольшом удалении (около 0.05 м) от входного отверстия.

При помещении в струю образца (рис. 4.), давление на удалении 0.05 4- 0.15 м от входного отверстия сначала падает (кривые 2, 3), затем при подходе газа к образцу - нарастает (кривая 4), что связано с торможением потока. За образцом создается область пониженного давления, а затем оно выравнивается, как и в модели без образца.

В результате численных экспериментов обнаружен эффект перегрева струи по периферии. Из рис. 5. видно, что максимальное значение температуры создается на периферии струи, а минимум температуры достигается в центре (кривые 1, 2). Температура в поперечном сечении быстро

Рис. 4. Радиальное распределите давления Р в поперечном сечении струи при наличии образца. Образец располагался ка расстоянии Ьа = 0.2 м от входного отверстия (Д.к = 0.012 м, П1к = 0.2 м, = 0.5 м, С? = 0.24 г/с, Т{пШ = 500 К, Умн = 1000 м/с).

Рис. 5. Радиальное распределение температуры Та в поперечном сечении струи при наличии образца. Образец располагался на расстоянии = 0.2 м от входного отверстия (Яг,, = 0.012 м, Л^ = 0.2 м, = 0.5 м, в = 0.24 г/с, ТМс1 = 500 К, УШе1 = 1000

м/с).

спадает при удалении от струи.

Профили температуры становятся колоколообразными на расстоянии 0.15 м от входного отверстия вакуумной камеры, потом плавно уменьшаются с удалением от струи, при этом выравнивание температуры в поперечном сечении не происходит. Эффект нагрева газа по периферии струи вызван, по-видимому, резким торможением молекул струи газа при столкновении с неподвижным газом в камере.

На основании проведенных расчетов разработаны рекомендации по выбору зоны равномерной обработки изделий в струе ВЧ-плазмы пониженного давления. В частности, для равномерной обработки рекомендуется устанавливать расход газа не более 0.2 г/с и изделие размещать на расстоянии не менее 10 см от выходного отверстия плазмотрона.

Установленные закономерности струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, разработанная методика расчета и модель имеют предсказательный характер.

Основные результаты диссертации:

1. Впервые разработана математическая модель двухкомпонентного струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме течения для чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-10~2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана для течения несущего газа и модель сплошной среды для газа заряженных частиц;

2. Разработан численный метод решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделирова-ни для расчета характеристик потока нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных частиц;

3. Разработан программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом. Программный комплекс позволяет на основании заданных параметров вакуумной камеры и плазмо-образующего газа (конфигурация и размеры вакуумной камеры, молекулярные характеристики газа, начальное давление в камере, параметры потока на входе: расход газа, температура и скорость несущего газа, электронная концентрация и электронная температура) рассчитывать газодинамические характеристики струй ВЧ-плазмы пониженного давления: распределение скорости, давления и температуры несущего газа, концет-рации электронов и электронной температуры;

4. В результате проведенных численных экспериментов выявлены закономерности течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании твердого тела, в том числе обнаружен эффект зоны перегрева газа по периметру струи на выходе из плазмотрона, который подтвержден экспериментальными исследованиями, то есть разработан-

ная методика расчета и модель имеют предсказательный характер;

5. Даны рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в струе ВЧ-плазмы пониженного давления, обеспечивающие равномерность воздействия плазмы на поверхность изделия.

Основные публикации автора по теме диссертации

Научные статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованные ВАК РФ

1. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. Расчет газодинамики струй ВЧ-плазмы пониженного давления // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ,-матем. науки. — 2011. — Т.153, кн. 4. - С. 135-142.

2. A.A. Хубатхузин, И.Ш. Абдуллин, Э.Б. Гатина, B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. Формирование нано структурированиях покрытий на поверхности титановых сплавов с помощью ВЧ-плазмы пониженного давления // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - № 14. - С. 37-41.

3. A.A. Хубатхузин, И.Ш. Абдуллин, Э.Б. Гатина, B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. Создание наноструктурированных покрытий на изделиях развитой геометрической формы // Вестник Казанского технологического университета. — 2012. — № 14. — С. 43-48.

Научные статьи и материалы научных конференций

4. А.Ю. Шемахин. Моделирование газодинамики струйного ВЧ разряда пониженного давления в открытой среде CSC-Elmer //' Обозр. прикл. и пром. мат. — 2011 г. — Т. 18, № 2. — С. 53-54.

5. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. О моделировании потоков газа в ВЧ плазме пониженного давления // Тр. междунар. конф. «XII Ха-ритоновские тематические научные чтения». 19 23 апреля 2010 г.

- Сэров, 2010. - С. 247-249.

6. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. К расчету газодинамики струй ВЧ плазмы пониженного давления: краткий обзор // Матер. VIII Всерос. конф. «Сеточ. методы для краевых задач и приложения», — Казань, 1-5 октября 2010 г. - С. 205-209.

7. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин, Е.М. Кацевман. Моделирование газодинамики струйного ВЧ разряда пониженного давления с помощью свободного программного обеспечения // Матер, междунар. конф. «Физика высокочастотных разрядов», — Казань: КГТУ, 2011,

- С. 86-87.

8. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. О моделировании потоков ВЧ плазмы пониженного давления // Матер. XXXVII Междунар. (Звенйгор.) коиф. по физ. плазмы и УТС, 8-12 февраля 2010 г., — Звенигород 2010. - С. 153.

9. A.Yu. Shemakhin, V.S. Jeltoukhin. Calculation of gas dynamics flows of high frequency plasma in low pressure and solve of flow around body problem. // Матер. Междунар. конф. 14th Israel Conference on Plasma Science and its Applications, 28 февраля, 2012 г., — Израиль, Реховог, 2012 - С. 42.

10. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. Расчет газодинамики струй ВЧ плазмы пониженного давления в вакуумной камере с образцом // Тр. междунар. конф. «XIV Харитоновские тематические научные чтения». 12 16 мая 2012 г. Саров, 2012. С. 195 204.

11. B.C. Желтухин, А.Ю. Шемахин. Расчет потоков ВЧ-плазмы пониженного давления с применением методов прямого моделирования" // Матер. IX Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях, 25-31 мая 2012 г., г. Алушта, Украина, С. 196 - 197.

12. V. Zheltukhin, A. Shemakhin. Simulation of RF plasma streams at low pressure // Труды VIII международной конференции PPPT-7, Минск 2012 г. С. 283 - 286.

13. V.S. Zheltukhin, A.Yu. Shemakhin. Calculation of gas dynamics of radio frequency plasma flows at low pressure and solving specimen circumfluence problem // Труды XVI международной конференции по методам аэрофизических исследований ICMAR-2012, Казань, 2012 г., с. 292.

Программа для ЭВМ

14. А.Ю. Шемахин, B.C. Желтухин. PIGSolver - Программа для расчета основных характеристик течения частично-ионизованного газа низкого давления [Электронный ресурс]:— Электрон, дан. и прогр. — Казань: ООО «SpaceLAB КФУ», 2012. — 1 электрон, опт. Диск (DVDROM): Систем, требования: ПК Intel (х64); Linux Debian Mint 10. -№ гос. регистрации 0321203662.

Отпечатано в полном соответствии с предоставленным оригинал-макетом

Подписано в печать 09.11.2012. Форм. 60 х 84 1/16. Гарнитура «Тайме». Печать ризографическая. Печ. л. 1. Тираж 120. Заказ 357.

Лаборатория оперативной полиграфии Издательства КФУ 420045, Казань, Кр. Позиция, 2а Тел. 233-72-12

Введение.

Глава 1. Математические модели, численные методы и пакеты прикладных программ решения задач газо- и плазмодинамики

1.1 Математические модели ВЧ-плазмы

1.1.1 Модели ВЧ-разрядов.

1.1.2 Модели течения разреженных потоков газа и плазмы

1.2 Численные методы решения задач газо- и плазмодинамики

1.2.1 Метод прямого статистического моделирования (ПСМ)

1.2.2 Численные методы решения задач механики сплошной среды.

1.3 Пакеты прикладных программ, используемые для расчета течений газа.

1.4 Задачи диссертации.

Глава 2. Математическая модель струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

2.1 Общая система уравнений ВЧ-плазмы.

2.2 Оценка основных параметров ВЧ-плазмы пониженного давления

2.3 Математическая модель струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления с продувом газа

Глава 3. Численный метод и программный комплекс для расчета основных характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

3.1 Численный метод расчета основных характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления

3.2 Описание алгоритма и программного комплекса для расчета основных характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

Глава 4. Результаты расчетов струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

4.1 Роль и место численного экспериментирования в моделировании ВЧ-плазмы.

4.2 Расчет основных характеристик течения ВЧ-плазмы пониженного давления.

4.2.1 Концентрация электронов

4.2.2 Электронная температура

4.2.3 Давление несущего газа.

4.2.4 Скорость несущего газа.

4.2.5 Температура несущего газа и эффект перегрева в некоторых режимах течения.

Актуальной задачей инновационного развития промышленности и проведения качественных изменений в современном индустриальном цикле является повышение надежности, долговечности изделий из материалов органической и неорганической природы и придание им качественно новых свойств. Одним из эффективным способов усовершенствования характеристик материалов является их обработка в струе плазмы высокочастотного (ВЧ) разряда пониженного давления [1].

Плазма ВЧ-разрядов пониженного давления (р = 13.3 — 133 Па) с продувом газа применяется для модификации поверхностей различных материалов, таких как сталь, титан, полиэтилен, кожа, мех и др. [1-6,45].

Плазма, создаваемая данным видом разряда, обладает следующими свойствами: степень ионизации Ю-4 — Ю-7, концентрация электронов пе = 1015 — 1019 м-3, электронная температура Те = 1 — 4 эВ, температура атомов и ионов в плазменном сгустке Та = 0.2 — 0.3 эВ, в плазменной струе Та = 0.03 - 0.07 эВ.

За последние десятилетия накоплены обширные экспериментальные данные о свойствах плазмы ВЧ-разрядов пониженного давления, результатах взаимодействия ее с различными материалами, созданы математические модели, учитывающие электродинамику и плазмодинамику ВЧ-разрядов [1,2]. Однако, параметры течения ВЧ-плазмы получены эмпирическим путем в лабораторных условиях для ограниченного набора параметров разрядов и плазмотронов, а существующие математические модели ВЧ-плазмы пониженного давления, не учитывают адекватно газодинамику потока струи и тем самым не рассматривают всю картину технологического процесса обработки материалов.

Для более эффективного и качественного выбора конструктивных решений при создании струйных ВЧ-установок и проектирования технологических процессов с использованием струйных ВЧ-разрядов пониженного давления необходимо создание математической модели течения ВЧ-плазмы, с помощью которой можно проводить исследования закономерностей формирования характеристик потока плазмы, а следовательно и параметров плазменной обработки путем теоретических расчетов, что уменьшает затраты на проведение большого количества дорогостоящих и трудоемких экспериментов. В связи с этим, задача моделирования газодинамики струй ВЧ-плазмы пониженного давления является актуальной.

Одним из параметров, определяющих характер течения газа является число Кнудсена. Число Кнудсена Кп находится в диапазоне 8- Ю-3 < Кп < 7 • Ю-2. При этом числа Кнудсена для электронного газа 103 < Кп < Ю-1, для газа ионов 5 • 1СГ4 < Кп < 5 • Ю-3. Поэтому в диапазоне давлении р = 13.3 — 133 Па при расходе газа С = 0 — 0.25 г/с течение нейтрального газа происходит в переходном режиме между течением сплошной среды и свободно-молекулярным потоком.

Квазинейтральная плазма характеризуется коллективным взаимодействием заряженных частиц. При разделении заряженных частиц возникают большие силы, которые заставляют электроны и ионы диффундировать в парах. То есть в квазинейтральной плазме средние скорости электронов и ионов равны, поэтому для оценки характера течения заряженной компоненты плазмы целесообразно использовать число Кнудсена для ионов. Таким образом специфической особенностью течения плазмы ВЧ-разряда пониженного давления является сочетание переходного режима для нейтральной компоненты и режима сплошной среды для заряженной компоненты.

Анализ литературных данных показал, что газодинамические модели, захватывающие часть диапазона переходного режима течения газа характеризуются 3 подходами: модели уравнений Навье-Стокса в первом приближении [7], модели уравнений Навье-Стокса с введенной второй вязкостью [8] и статистические модели Монте-Карло, основанные на уравнении

Больцмана [9]. Первые два подхода к моделированию течений газа успешно применяются для режима сплошной среды и захватывают часть диапазона переходного режима течения (Кп < Ю-2), Третий подход в основном применяется для свободно-молекулярного режима течения газа (Кп > 1).

Для моделирования газодинамики потоков низкотемпературной плазмы обычно применяют модель сплошной среды, однако в диапазоне давлений р — 13.3 — 133 Па, данная модель не применима, так как не рассчитана на ее использование для переходного режима течения.

Поскольку характеристики течения определяются в основном температурой, давлением и скоростью несущего газа, то условимся называть режим течения ВЧ-плазмы переходным, также как режим течения несущего газа.

Как сказано выше, течение ВЧ-плазмы пониженного давления осуществляется в переходном режиме. Для течения нейтрального газа впере-ходном режиме не существует устоявшихся моделей типа уравнений Навье-Стокса, а для применения статистических методов для моделирования газодинамики ВЧ-плазмы в переходном режиме требуется разработка новой специальной модели.

В последние десятилетия, в виду роста производительности вычислительной техники стало возможным для многих пространственных моделей течения газов, применение методов прямого статистического моделирования (ПСМ), требующих в виду своей специфики немалого количества вычислительных ресурсов, в том чсиле метода ПСМ Г. Бёрда [9]. Появилась возможность получения существенно новых результатов для течений газовых потоков в переходном режиме, в том числе и частично-ионизованных газов. В связи с этим стало возможным моделировать течение ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме.

Диссертационная работа направлена на решение задачи математического моделирования газодинамики струй ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме при числе Кнудсена Кп для несущего газа 8 -КГ3 < Кп <7-10~2.

В диссертации изложены работы автора в период с 2009 по 2012 г.г. по созданию математической модели, разработке численного метода и комплекса программ расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы при пониженных давлениях.

Работа выполнена в Казанском федеральном университете при финансовой поддержке грантов РФФИ 11-01-00864-а, 12-01-31458 мол-а и Ми-нобрнауки РФ по госконтрактам № 14.132.21.1420 и № 14.740.11.0080.

Целью работы является разработка математической модели, численного метода и комплекса программ для расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме в диапазоне чисел Кнудсена 8 -103 < Кп <7-Ю-2;

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Анализ и обобщение литературных данных по существующим методам расчета разреженных течений газа и плазмы;

2. Постановка задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в диапазоне чисел Кнудсена для несущего газа 8 -Ю"3 < Кп <7-10-2;

3. Разработка численного метода решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме;

4. Разработка комплекса программ расчета струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме;

5. Проведение численных экспериментов по расчету характеристик невозмущенной струи ВЧ-плазмы пониженного давления и при обтекании твёрдого тела струёй ВЧ-плазмы пониженного давления;

6. Разработка рекомендаций по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы. Научная новизна:

1. Впервые разработана математическая модель струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме течения для чисел Кнудсена 8 -Ю-3 < Кп <7-10~2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана для течения несущего газа и модель сплошной среды для течения газа заряженных частиц;

2. Разработан численный метод решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для расчета характеристик течения нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных частиц;

3. В результате численных экспериментов обнаружен эффект зоны перегрева по периметру струи на выходе из плазмотрона, который подтвержден экспериментальными исследованиями, то есть разработанная методика расчета и модель имеют предсказательный характер;

4. Выявлены основные закономерности течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании твердого тела. Практическая значимость работы:

Разработан программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом. Программный комплекс позволяет на основании заданных параметров вакуумной камеры и плазмообразующего газа (конфигурация и размеры вакуумной камеры, молекулярные характеристики газа, начальное давление в камере, параметры потока на входе: расход газа, температура и скорость несущего газа, электронная концентрация и электронная температура) рассчитывать газодинамические характеристики струй ВЧ-плазмы пониженного давления: распределение скорости, давления и температуры несущего газа, концетрации электронов и электронной температуры. В результате численного моделирования сформулированы рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы пониженного давления.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается сравнением результатов математического моделирования с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных методов и программ на решениях модельных задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель двухкомпонентного струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в диапазоне чисел Кнудсена 8 -103 < Кп <7-Ю-2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана течения несущего газа и модель сплошной среды для течения газа заряженных частиц;

2. Численный метод расчета характеристик струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для расчета характеристик потока нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных частиц;

3. Программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом;

4. Закономерности струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании образца, в том числе эффект образования зоны перегрева по периферии струи около входного отверстия вакуумной камеры;

5. Рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в потоке ВЧ-плазмы пониженного давления. Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на: на XXXVII Звенигородской конференции по по физике плазмы и У ТС (Звенигород, 8-12 февраля 2010 г.), Международной конференции XII Ха-ритоновские чтения «Проблемы физики высоких плотностей энергий» (Са-ров, 19-23 апреля 2010 г.), VIII и IX Всероссийских конференциях «Сеточные методы для краевых задач и приложения», (Казань, 1-5 октября 2010 г. и 17 - 24 сентября 2012 г.), XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 1-8 мая 2011 г.), Международной конференции «Физика высокочастотных разрядов» (Казань, 5-8 апреля 2011 г.), Мой Международной Израильской конференции по плазме и её приложениям (14th Israel Conference on Plasma Science and its Applications) (Израиль, 28 февраля, 2012 г.), Международной конференции XIV Харитоновские чтения «Мощная импульсная электрофизика» (Саров, 12-16 мая 2012 г.), Девятой Международной конференции по Неравновесным процессам в соплах и струях «NPNJ'2012» (г. Алушта, 25-31 мая 2012 г.), XVI Международной конференции по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2012) (Казань, 20-26 августа 2012 г.).

Личный вклад. В работах опубликованных в соавторстве вклад соавторов заключается в следующем: Желтухин B.C. - обсуждение постановки задачи, Абдуллин И.Ш. - обсуждение результатов моделирования, Ху-батхузин A.A., Гатина Э.Б. - проведение экспериментальных исследований, Кацевман Е.М. - обсуждение вопросов разработки программ в операционной системе Линукс. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Личный вклад автора в опубликованных в соавторстве работах состоит в постановке цели и задач исследований, в создании математической модели струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления, разработке комплекса программ расчета характеристик потока ВЧ-плазмы, обобщении полученных результатов и формулировке научных выводов. Вклад автора является решающим на всех стадиях работы.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 печатных изданиях [10-23], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [10-12] и 1 зарегистрированная программа для ЭВМ [23].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 107 страниц с 33 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 158 наименований.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Впервые разработана математическая модель двухкомпонентного струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме течения для чисел Кнудсена 8 -103 < Кп <7-1(Г2, сочетающая кинетическую модель на основе уравнения Больцмана для течения несущего газа и модель сплошной среды для газа заряженных частиц;

2. Разработан численный метод решения задачи моделирования струйного течения ВЧ-плазмы пониженного давления в переходном режиме на основе соединения метода прямого статистического моделировани для расчета характеристик потока нейтральных атомов и метода конечных объемов для расчета характеристик потока заряженных частиц;

3. Разработан программный комплекс для расчета основных газодинамических параметров потока ВЧ-плазмы пониженного давления для невозмущенной струи и струи с образцом. Программный комплекс позволяет на основании заданных параметров вакуумной камеры и плаз-мообразующего газа (конфигурация и размеры вакуумной камеры, молекулярные характеристики газа, начальное давление в камере, параметры потока на входе: расход газа, температура и скорость несущего газа, электронная концентрация и электронная температура) рассчитывать газодинамические характеристики струй ВЧ-плазмы пониженного давления: распределение скорости, давления и температуры несущего газа, концетрации электронов и электронной температуры;

4. В результате проведенных численных экспериментов выявлены закономерности течения ВЧ-плазмы пониженного давления в свободном потоке и при обтекании твердого тела, в том числе обнаружен эффект зоны перегрева газа по периметру струи на выходе из плазмотрона, который подтвержден экспериментальными исследованиями, то есть разработанная методика расчета и модель имеют предсказательный характер;

5. Даны рекомендации по выбору параметров течения рабочего газа для обработки изделий в струе ВЧ-плазмы пониженного давления, обеспечивающие равномерность воздействия плазмы на поверхность изделия.

Заключение

1. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Кашапов Н.Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях:. Теория и практика применения.— Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2000. - 348 с.

2. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Абуталипова JI.H., Красина И.В. Высокочастотная плазменная обработка в динамическом вакууме капиллярно-пористых материалов: теория и практика применения.— Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2004. — 428 с.

3. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Сагбиев И.Р., Шаехов М.Ф. Модификация нанослоев в высокочастотной плазме пониженного давления. Казань: Изд-во Казан, гос. технол. ун-та, 2007. - 356 с.

4. Желтухин В.С.,Абдуллин И.Ш., Вознесенский Э.Ф., Красина И.В. Моделирование наноструктуры кожевенного материала на стадиях производства и при ВЧЕ-плазменной обработке.— Казань:Изд-во Казан. гос. технол. ун-та.- 2009,- 228 е.- ISBN 978-5-7882-0646-2

5. Сергеева Е.А., Желтухин B.C., Абдуллин И.Ш. Модификация синтетических волокнистых материалов и изделий неравновесной низкотемпературной плазмой: ч. 1. Теория, модели, методы,— Казань:Изд-во Казан, гос. технол. ун-та.- 2011.- 252 с.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с. (ISBN 5-7107-6327-6)

7. Абалакин И.В., Четверушкин Б.Н. Применение кинетически-согласованных разностных схем для моделирования течений умеренно разреженных газов // Матем. моделирование. 1992. - Т. 4, № И. -С. 19-35

8. Бёрд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. - 319 с.

9. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. Расчет газодинамики струй ВЧ-плазмы пониженного давления // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2011. - Т.153, кн. 4. - С. 135-142.

10. Хубатхузин А.А, Абдуллин И.Ш., Гатина Э.Б., Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. Создание наноструктурированных покрытий на изделиях развитой геометрической формы // Вестник Казанского технологического университета. — 2012. — № 14. — С. 43-48.

11. Шемахин А.Ю. Моделирование газодинамики струйного ВЧ разряда пониженного давления в открытой среде CSC-Elmer // Обозр. прикл. и пром. мат. 2011 г. - Т. 18, № 2. - С. 53-54.

12. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. О моделировании потоков газа в ВЧ плазме пониженного давления // Тр. междунар. конф. «XII Хари-тоновские тематические научные чтения». — 19-23 апреля 2010 г. — Саров, 2010. С. 247-249.

13. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. К расчету газодинамики струй ВЧ плазмы пониженного давления: краткий обзор // Матер. VIII Всерос. конф. «Сеточ. методы для краевых задач и приложения», — Казань, 1-5 октября 2010 г. С. 205-209.

14. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю., Кацевман Е.М. Моделирование газодинамики струйного ВЧ разряда пониженного давления с помощью свободного программного обеспечения // Матер, междунар. конф. «Физика высокочастотных разрядов», — Казань: КГТУ, 2011, — С. 86-87.

15. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. О моделировании потоков ВЧ плазмы пониженного давления // Матер. XXXVII Междунар. (Звенигор.) конф. по физ. плазмы и УТС, 8-12 февраля 2010 г., — Звенигород 2010. С. 153.

16. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. Расчет газодинамики струй ВЧ плазмы пониженного давления в вакуумной камере с образцом // Тр. междунар. конф. «XIV Харитоновские тематические научные чтения». — 12-16 мая 2012 г. Саров, 2012. - С. 197-201.

17. Желтухин B.C., Шемахин А.Ю. Расчет потоков ВЧ-плазмы пониженного давления с применением методов прямого моделирования" // Матер. IX Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях, 25-31 мая 2012 г., г. Алушта, Украина, С. 196 197.

18. Zheltukhin V., Shemakhin A. Simulation of RF plasma streams at low pressure // Труды VIII международной конференции PPPT-7, Минск 2012 г. С. 283 286.

19. Печатников Ю.М. Вероятностная модель течения разреженного газа // Инженерная физика. 2003. - №.2. - С.32-36

20. Печатников Ю.М. Современные модели и методы моделирования переходного течения разреженных газов // Журнал технической физики. 2003. - Вып. 12. - С.20-25

21. Печатников Ю.М. Современные методы расчета характеристик вакуумных агрегатов для среднего вакуума (Обзор) // Вак. техн. и технол.- 2002. Т. 12, № 4,- С. 227-234.

22. Печатников Ю.М. Физические явления и процессы переходного течения разреженного газа // Прикладная физика. 2004. - № 2. - С. 19-25.

23. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестн. АН СССР. 1979. - № 5. - С. 38-49.

24. Samarskii A.A. Numerical methods in plasma physics // Lect. Not. Phys.- 1979. Vol. 91. - P. 235-347.

25. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики: Сб. статей / Отв. ред. ак. А.Н.Тихонов — М.:Наука, 1982.- 534 с.

26. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент. — М.: Знание, 1983. 64 с.

27. С.И.Андреев, В.Я.Гольдин, Д.А.Гольдина и др. Импульсные излучающие разряды в инертных газах // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 226, № 5. С. 1045-1047.

28. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. — М.: Изд-во МГУ, 1993.- 152 с.

29. Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики с учетом теплопроводности. — М.: Изд-во МФТИ, 1996. — 212 с.

30. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.- 320 с.

31. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 518 с.

32. Дулов В.Г., Лукьянов Г.А. Газодинамика процессов истечения. М.: Наука, 1984. - 234 с.

33. Лукьянов Г.А. Сверхзвуковые струи плазмы. Л.: Машиностроение, 1985. - 264 с.

34. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Кудинов В.В. Физическая модель взаимодействия высокочастотной плазмы с твердыми телами в динамическом вакууме // Физ. и хим. обработки матер. 2003. № 4. С. 46-52.

35. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C. Физическая модель высокочастотной плазменной струйной обработки твердых тел // Вест. Казан, гос. тех-нол. ун-та. 2002. С. 96-105.

36. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Мекешкин-Абдуллин A.C. Обработка натуральной кожи ВЧ-плазмой пониженного давления // Кожевенно-обувная промышленность. — 2002. — №4. — С. 34-36.

37. Вурзель Ф.Б., Полак Л.С. Химические процессы в плазме и плазменной струе // Кинетика и термодинамика химических реакций в низкотемпературной плазме. М., 1965. - С. 100 - 117.

38. Л.С.Полак, А.А.Овсянников, Д.И.Словецкий и др. Теоретическая и прикладная плазмохимия — М.: Наука, 1975. — 304 с.

39. Очерки физики и химии низкотемпературной плазмы / Под ред.Л.С.Полака. М.: Наука, 1977. - 436 с.

40. Абдуллин И.Ш., Кашапов Н.Ф., Кудинов В.В. Обработка неорганических материалов неравновесной низкотемпературной плазмой перед нанесением покрытий // Перспективные материалы. — 2000. — № 3.- С. 88 -93.

41. Аброян И.Л., Андропов А.Н., Титов А.И. Физические основы электронной и ионной технологии: Учеб.пособие для спец. электрон, техн. вузов. М.: Высш. шк., 1984. - 320 е., ил.

42. Schottky W. Diffusion Theorie der Positiven Soule // Phys. Zheitschr. -1924. Bd. XXV. - S. 635 - 640.

43. Herein M., Brown S.C. Electrical breakdown of a gas between coaxial cylinders at microwave frequence // Phys. Rev. 1948. V. 74. - № 8. - P. 910 - 913.

44. Brown S.C., Donald A.D. Limits for the diffusion theory of a high frequency gas discharge breakdown // Phys. Rev. 1949. V. 76. - №11. P. 1629 - 1633.

45. Абдуллин И.III., Сальянов Ф.А. Расчет характеристик индукционного диффузионного разряда // Изв. Сиб. отд-ния АН СССР.

46. Сер.техн.наук. 1981. - Вып. 3, № 13. - С. 100 - 103.

47. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. - 832 е.,ил.

48. Годяк В.А., Ганна А.Х. О влиянии взаимовоздействия поля на пространственное распределение плазмы ВЧ разряда // Физика плазмы.- 1979. Т.5, вып.З. - С.670 - 677.

49. Thomson J.J. The electrodeless discharge through gases // Phyl. mag.1927. V. 4. - № 25. - P. 1128 - 1160.

50. Henriksen В.В., Keefer D.R., Clarson M.A. Electromagnetic field in electrodeless discharge //J. Appl. Phys. 1971. - V. 42. - №13. - P. 6460- 5464.

51. Сорокин JI.M., Шевченко В.З. Расчет электромагнитных полей в индукционном разряде // Физ. и хим. обработки материлов. 1975. - № 6. - С. 45 - 147.

52. Eckert H.U. Equation of the electrodeless ring discharge and their solution for the breakdown criterion // 4-th Intern. Conf. Ionisation Phenomena in

53. Gases. Amsterdam e.a. 1960. - V. 1. - P. 320 - 324.

54. Eckert H.U. Equation of the electrodeless ring discharge // J. Appl. Phys.- 1962. V. 33. - № 9. - P. 2780 - 2788.

55. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C. Математическое моделированиеплазмы индукционного диффузного разряда // Изв. Сиб. отд-ния АН

56. СССР. Сер. техн.наук. 1985. - Вып. 3, № 16. - С. 106 - 109.

57. Груздев В.А., Ровинский Р.Е., Соболев А.П. Приближенное решениезадачи о стационарном индуцированном высокочастотном разряде в замкнутом объеме // Журн. прикл. механики и техн. физ. 1968. -№3. - С.197 - 199.

58. Лупан Ю.А. Об одной возможности уточнения элементарной теории ВЧ разряда в воздухе // Журн. техн. физики. 1976. - Т.46, вып. III.- С. 2321 2326.

59. Romig M.F. Steady state solution of the radiofrequency discharge withflow // Phys. Fluids. 1960. V. 3. - № 3. - P. 129 - 133.

60. Ландау Л., Лифшиц E. Электродинамика сплошных сред. M.: Гостехиздат, 1957. 532 е., ил.

61. Сухоруков В.В. Математическое моделирование электромагнитныхполей в проводящих средах. М.: Энергия, 1975. - 150 е., ил.

62. Вычислительные методы в электродинамике. М.: Мир. 1977. - 485 е.,ил.

63. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 168 е. ил.

64. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. — М.:

65. Наука, 1985. — 336 е., ил.

66. Сошников В.Н., Трехов Е.С., Хошев И.М. Вихревой разряд при атмосферном давлении с продувом //Физика газоразрядной плазмы. Вып.1. — М.: Атомиздат, 1968. — С. 83 — 98.

67. Boulos M.I. Flow and temperature tied in the fire-ball of an inductivelycoupled plasma // IEEE Transactions of Plasma Science. V.PS-4. — № 1.1. P. 28. — C. 39.

68. Рыкалин H.H., Сорокин JI.M. Металлургические ВЧ плазмотроны:

69. Электро- и газодиамика. — М.: Наука, 1987. — 162 с.

70. Левитский С.М. Потенциал пространства и распыление электродов ввысокочастотном разряде // Журн. техн. физ. 1957. - Т.27, вып. 5.- С. 1001 1009.

71. Левитский С.М. Исследование потенциала зажигания высокочастотного разряда в газе в переходной области частот и давлений // Журн.техн. физ. 1957. - Т.27, вып. 5. - С. 970 - 977.

72. Ковалев A.C., Рахимов А.Т., Феоктистов В.А. Высокочастотный несамостоятельный разряд в газах // Физика плазмы. 1981. - Т. 7. вып.6. С. 1411 - 1418.

73. Яценко H.A. Связь постоянного потенциала плазмы с режимом горения высокочастотного емкостного разряда среднего давления //

74. Журн. техн. физ. 1981. - Т. 51, вып. 6. - С. 1195 - 1204.

75. Смирнов A.C. Приэлектродные слои в емкостном ВЧ разряде //

76. Журн. техн. физ. 1984. - Т. 54, вып. 1. - С. 61 - 65.

77. Велихов Е.Л., Ковалев A.C., Рахимов А.Т. Физические явления в газоразрядной плазме: Учеб. руководство. М.: Наука, 1987. - 160 е., ил.

78. Райзер Ю.П., Шнейдер М.Н. Структура приэлектродных слоев высокочастотного разряда и переход между двумя его формами // Физика плазмы. 1987. - Т. 13, вып. 4. - С. 471 - 479.

79. Райзер Ю.П., Шнейдер M.H. Высокочастотный разряд среднего давления между изолированными и оголенными электродами // Физикаплазмы. 1988. - Т. 14, вып. 2. - С. 226 - 232.

80. Турин A.A. Ускорение ионов в приэлектродном слое и энергобаланс

81. ВЧ разряда в магнитном поле // Тез. докл. Ill Всесоюз. конф. по физике газового разряда. Киев, 1986. - С. 92 - 94.

82. Graves D.B. Fluid models simulations of a 13.56 MHz RF-discharge: Timeand space dependence of rate of electron excitation //J. Appl. Phys. 1987. V. 62. - m. - P. 88 - 94.

83. Дресвин C.B. Основы теории и расчета высокочастотных плазмотронов. — JL: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1991. — 312 с.

84. Райзер Ю.П., Шнейдер М.Н., Яценко H.A. Высокочастотный емкостный разряд: Физика. Техника эксперимента. Приложения. М.: Изд-во

85. Моск. физ.- техн. ин-та; Наука.Физматлит, 1995

86. Belenguer Ph., Bouef J.P. Modélization des décharges radiofréquence. //

87. Rom. Rep. Phys. 1992. - Vol. 44. - No. 9-10. - P. 807-847.

88. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. — М.: Наука, 1982. — 320 с.

89. Физика и техника низкотемпературной плазмы //

90. С.В.Дресвин,А.В.Донской, В.И.Гольдфарб и др. — М.: Атомиздат. 1972. — 352 с.

91. Митчнер М., Кругер Ч. Частично-ионизованные газы. — М.: Мир,1976. — 496 с.

92. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C. Математическая модель высокочастотной плазменной струйной обработки твердых тел // Вест. Казан.гос. технол. ун-та. 2002. С. 273-279.

93. Желтухин B.C., Красина И.В. Математическое моделирование ВЧплазменной обработки материалов легкой промышленности при пониженных давле-ниях // Вестник Казан, гос. технол. ун-та. 2003. С. 268276.

94. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Мекешкин-Абдуллин A.C. Теоретическое исследование ВЧ-плазменной обработки капиллярно-пористыхматериалов легкой промышленности // Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических; науках / ТГУ,

95. Тамбов. 2001. - Вып. 13. - С. 22-23.

96. Желтухин B.C. Математическое моделирование высокочастотнойплазменно-струйной модификации поверхностей твердых тел // Исследования по прикл. мат.: Сб. науч. статей. — Вып. 21. — Казань:

97. Унипресс, 1999. С. 115-131.

98. Абдуллин И.Ш., Желтухин B.C., Кудинов В.В. Математическая модель высокочастотной плазменной обработки материалов в динамическом вакууме // Физ. и хим. обработки материалов. — 2003. — № 6. — С. 21-27.

99. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме // Вопросы теории плазмы. Вып.1 / Под ред. М.А.Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. - С. 183 - 272.

100. Биберман Л.Я., Воробьев B.C., Якупов И.Т. Кинетика неравновеснойнизкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1982. - 376 е., ил.

101. Райзер Ю.П. Физика газового разряда: Учеб. руководство. // М.: Наука, 1987. 592 е., ил.

102. Энгель А. Ионизованные газы. М.: Физматгиз, 1959. - 120 с.

103. Райзер Ю.П. Основы современной физики газоразрядных процессов.- М.: Наука, 1980. 416 е., ил.

104. Александров А.Ф., Богданкевич J1.C., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы / Под ред. А.А.Рухадзе. М.: Высш. шк. - 1988. -424 е., ил.

105. Туров Е.А. Материальные уравнения электродинамики. М.: Наука, 1983. - 130 с.

106. Грановский B.JI. Электрический ток в газе. Установившийся ток / Подред. Л.А.Сена и В.Е.Голанта. М.: Наука, 1971. - 544 е., ил.

107. Саттон Дж., Шерман А. Основы технической магнитной газодинамики. М.: Мир, 1968. - 492 с.

108. Сочнев А.Я. Расчет напряженности поля прямым методом. — Л.:

109. Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1985. — 162 е., ил.101.102.103.104.105,106,107,108,1091101111121. ИЗ114

110. Абдуллин И.Ш., Углов A.A., Хусаинов И.Г. Воздействие потока неравновесной низкотемпературной плазмы на германий и кремний // Физ.и химия обработки материалов. -1992. — № 6. — С. 82-85.

111. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики: В 2-х т. Т.

112. М.; JL: Гостехиздат, 1951. - 544 е., ил.

113. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.

114. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. — 592 с.

115. Норри Д., Де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. сангл. — М.: Мир, 1981. — 304 е., ил.

116. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 е., ил. Векторные поля на плоскости // Красносельский М.А., Перов А.И.,

117. Поволоцкий А.И., Забрейко П.П. — М.: Физматгиз, 1963. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1982. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. — М.: Изд-во1. Моск. ун-та, 1984. 200 с.

118. Математическое моделирование конвективного тепло-массообмена на основе уравнений Навье-Стокса / В.И.Полежаев, А.В.Бунэ, Н.А.Верезуб и др. М.: Наука, 1987. - 272 с.

119. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов J1.A. Численное моделирование процессов тепло-массообмена. — М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1984. 288 с.

120. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 152 с. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. 428 е., ил.

121. Пакет ANSYS электронный ресурс. Режим доступа: http://www.ansys.com/.

122. Пакет Elmer электронный ресурс. Режим доступа:http: / / www.csc.fi / english/pages/elmer.

123. Пакет SALOME электронный ресурс. Режим доступа:http: / / www.salome-platform.org/.

124. Пакет OPENFOAMэлектронный ресурс. Режим доступа:http://openfoam.com/.

125. Яницкий В.Е. Применение процессов случайных блужданий для моделирования свободномолекулярного движения газа. ЖВМиМФ, 1974, т.14,№ 1,с.259-262.

126. Марчук Г.И. Методы расщепления. — М.: Наука. Гл. ред. физ.мат.лит., 1988. 264 с.

127. Запрянов 3., Миносцев В.Б. Метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потокм газа // Изв. АН СССР. Сер. механ.и машиностр. — 1964. — № 5. — С. 20- 24.

128. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculations of time-dependent viscousincompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. — 1965. —

129. Vol. 8. 1965. - P. 2182-2189.

130. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптическихуравнений. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 352 с.

131. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие длявузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с.

132. Власов В.И., Залогин Г.Н., Кусов A.J1. К обоснованию плазмохимического способа получения углеродных наноструктур в потоке ВЧ-плазмотрона. — М.: Журнал Физико-химическая кинетика в газовойдинамике Т. 6, 2008.- с. 1 8.

133. Власов В.И., Залогин Г.Н., Кусов A.JI. Сублимация частиц углерода вплазменном потоке, генерируемом в высокочастотном индукционном плазмотроне. Журнал технической физики, 2007, т. 77, вып. 1. с. 30 -37.

134. Архипов А.С., Бишаев А.М. Численное моделирование в трехмерной постановке струи плазмы, выходящей в окружающее пространство изстационарного плазменного двигателя журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, № 3, с. 490 505.

135. Рычков А. Д. , Милошевич X., Шокина Н. Ю. Истечение из полузамкнутого объемаструи низкотемпературной плазмы, образовавшейся под воздействием электрического разряда. Физика горения и взрыва, 2005, № 3, с. 58-64

136. Bird G . A Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas

137. Flows.// Clarendon Press. Oxford. 1994.

138. Генич A . П . , Куликов С.В., Манелис Г.Б., Сериков ВВ., Яницкий В.Е. Приложение весовых схем статистического многокомпонентного газа к расчету моделирования структуры течений ударной волны.1. ЖВМиМФ, Т.26, Nol2, 1986.

139. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977,456 с.

140. Марчук Г.И., Яненко Н.Н. Решение многомерного кинетического уравнения методом расщепления. Докл. АН СССР, 1964, т. 157, No6, с.1291-1292.

141. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1966.

142. Богомолов С.В. О сходимости метода суммарной аппроксимации дляуравнения Больцмана Препринт ИПМ АН СССР, 184, М., 1979, 25 с.

143. Аристов В.В., Иванов М . С . , Черемисин Ф.Г. Решение задачи ободномерной теплопередаче в разреженном газе двумя методами. ЖВМиМФ, т.30, No4, 1990, с.623-626.

144. Nandu К. Heat transfer between parallel plates in continuum to freemolecular regime. Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ!, v.47, 1983, No364.

145. Bird G.A. Approach to translational equilibrimn in a rigid sphere gas.

146. Phys. Fluids, 13, v.6,NolO,pp.1518-1519.

147. Nandu K. Direct simulation scheme derived from the Boltzmann equation.- J. Phys. Soc. Japan, 1980, v.49, No5, pp.2042-2049.

148. Babovsky H. On a simulation scheme for Boltzmann equation. Math.

149. Meth. in Appl. Sci., 1986, V.8, pp.223-233.

150. Иванов M.C, Рогазинский СВ. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного гаЗа. Изд-во ВЦ АН1. СССР,Новосибирск, 1988.

151. Ерофеев А.И. Вращательная релаксации азота. Препринт No62, ЦА1. ГИ. 1992.

152. Koura К. Transient Couette flow of rarefied binary gas mixture. Phys.

153. Fluids, 1970,v.13,pp.1457-1466.

154. Nandu К . Analisis of the Couette flow by means of the new directsimulation metiiodt J.Phys.SocJapan, v.52, No5,1983, pp.1602-1608.

155. Ерофеев А.И., Перепухов В.А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа. Изв. АН СССР. МЖГ, 1976, No4, с. 106-112.

156. Ерофеев А.И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ, 1987, No5, с.77-83.

157. Николаев К В . Диссертация к.ф.-м н. ЦАГИ. 1991.

158. Bird G.A. Rarefied hypersonic flow past a slender sharp cone. In:

159. Rarefied Gas Dynamics. Proc. of the 13-th Int. Symp., v. 1, ed by O.M. Belotseikovskii, M.N. Kogan, C.S. Kutateladze, and A . К . Rebrov,

160. Plenum Press, N Y London, 1985, pp. 349-356.

161. Ерофеев А.И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа. Ученые записки ЦАГИ, 1979, No6, с. 122-127.

162. Иванов М.С, Рогазинский С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа. М: Матем. моделирование, 1989, том 1, № 7 с. 130 145.

163. К. Koura, Н. Matsumoto. Variable soft sphere molecular modelfor inversepowerlaw or LennardJones potential National Aerospace Laboratory, Chofu, Tokyo, Japan, Phys. Fluids A 3, 2459 (1991); http://dx.doi.Org/10.1063/l.858184 (7 pages)

164. Ермаков С.M., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. М.:

165. ФИЗМАТЛИТ, 1982. 296 с. 2-е изд.

166. Русаков C.B. Статистическое моделирование течений разреженногогаза с учетом внутренних степеней свободы молекул. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 125 с.

167. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Пер. с англ. под общ. ред. И.Г.Арамановича. — М.:

168. Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1974. — 832 с.

169. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы:

170. Учеб. пособие. — М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1987. — 600 с.

171. Фундаментальные и прикладные аспекты распыления твердых тел1. М.: Мир, 1989. 256 с.

172. Распыление твердых тел ионной бомбардировкой. Ч. 2. Физическоераспыление многоэлементных твердых тел. М.: Мир, 1986.

173. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.:1. Мир, 1986. — 320 е., ил.

174. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: Пер. с англ. — М.:1. Мир, 1984.

175. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих, пространственно неоднородных оснований. Издательство АСВ стран СНГ, 2002. 756 с.