автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.15, диссертация на тему:Разработка и исследование новых способовдиагностики слоевых процессовгазодинамики и теплообмена в шахтныхметаллургических печах методомматематического моделирования

На правах рукописи

Титов Игорь Анатольевич

Разработка и исследование новых способов диагностики слоевых процессов газодинамики и теплообмена в шахтных металлургических печах методом математического моделирования

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделированпг и математических методой п научных

исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степей» кандидата технических паук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре руднотермическнх процессов Московского государственного института стали и сплавов (Технологического университета)

Научный руководитель:

доктор технических цаук, профессор В. А. Доброскок

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В. П. Чистов кандидат физико-математических наук К. В. Скороваров

Ведущее предприятие:

ДО "Северсталь" (Череповецкий металлургический комбинат)

шш диссертационного совета Д.053.08.07 в Московском государственном институте стали и сплавов (Технологическом университете) по адресу: 117936, г. Москва, Ленинский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института стали и сплавов (Технологического упиверсите-

г. в

Автореферат разослан

»

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент

Е. А. Калашников

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы значительно возросли требования, предъявляемые к уровню математического описания физико-химических процессов в доменной печи.

Применение методов математического моделирования в доменном производстве предполагает построение математической модели процессов в печи, определение параметров модели на основании экспериментальных данных, решение уравнений модели п получепие таким образом информации о явлениях происходящих в печи, что необходимо как для научпых исследований, так п для решения прикладных технологических задач. Существующие в настоящее время математические модели процессов в доменной печи часто содержат допущения в" описании физики процессор которые значительно снижают точность получаемых результатов. Раздельное описание различных фпзнко-химических процессов, без учета взаимодействия между ними, также не всегда является корректным, и снижает практическую и научную ценность таких моделей.

Другая трудность, возникающая при использовании математических методов в паучной и; особенно, в промышленной практике, состоит в необходимости решить уравнения модели достаточно быстро, надежно, па вычислительной технике с ограниченными ресурсами (персональный компьютер).

Таким образом актуальной является задача построения математических моделей, адекватно описывающих физико-химические процессы в доменной печи, с учетом их таимоезязи, и задача разработки устойчивых вычислительных алгоритмов, позволяющих решать такие задачи быстро и с высокой точностью. Цель работы.

- Построение математической модели газоднпампкп п теплообмена доменной печи и исследование корректпости постановки задачи.

- Разработка оптимального метода решения системы уравнений газодинамики и теплообмена доменной печи.

- Адаптация данпых, получаемых при зондцровапнп домеппой печп к требованиям, предъявляемым математической моделью.

Научная новизна.

- Предложена новая математическая модель газодинамики и тенлооб-

мена доменной печи, учитывающая взаимосвязь между этими процессами.

- Проведено исследование корректности постановки краевой задачи для системы уравнений газодинамики н теплообмена доменной печи.

- Разработал алгоритм решения системы уравнении газодинамики и теплообмена доменной 1К>тш.

- Предложен новый метод математической обработки сигналов автоматической зоыдовой сканирующей системы.

Практическая значимость работы. Разработан алгоритм и написана программа для решения системы уравнений газодинамики и теплообмена в доменной печи. Предложенные методы позволили решить задачу на персональном компьютере. Проведено решение задачи для доменной печп N5 АО "Северсталь". Разработанные программы могут использоваться в научных исследованиях, в учебном процессе, для решения практических задач доменных цехов.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались на Школе домешцпков в 1997 году в городе Череповце. Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 5 научных работах, приведенных в ¿писке публикаций. Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глан, заключения и списка литературы. Работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит 2 таблицы и 21 рисунок. Список цитируемой литературы содержит 106 наименований.

Благодараости. Пользуясь случаем, хотелось бы выразить свою благодарность родителям, без их моральной и материальной поддержки эта работа не была бы завершена; С. В. Ротину за многочисленные и плодотворные научные консультации при подготовке диссертационной работы; •Е. А; Моисееву за предоставленные материалы по новым методам решения сеточных уравнений.

Особенности математического моделирования процессов в доменных печах

На пути реализации математических моделей доменного процесса встает ряд трудностей. Существует проблема построения адекватной математической модели для описания процессов в объеме доменной печи. В

доменной печи одновременно происходят загрузка и движение шихтовЬгх материалов от колошника вниз, подача и движение газа через слой, сыпучих шихтовых материалов, теплообмеп между газом и шихтой, плавление агломерата и окатышей, целый ряд экзотермических и эндотермических реакций практически во всех зонах печи, выпуск жпдкпх продуктов плавки. Каждый- из этих процессов требует построения достаточно сложной математической модели для своего описания. При построении каждой моделп используются сноп допущения и приближения. Возникают сложности п с проверкой адекватности построенных моделей реальным процессам, так как пс все параметры удается физически измерить. Кроме того все эти физико-химические процессы, сложные сами tío себе, очень тесно взаимосвязаны.

Другая трудпость связана с задачей идентификации параметров математических моделей. Традиционные методы решения этого вопроса связаны с решением обратной задачи, Даже в случае одномерного прибли-. женпя это представляет значительные трудности. В случае же дпух- плц трехмерного приближения сложность решения обратпой задачи возрастает значительно больше, чем для решения прямой задачи.

Если предполагается использование построенных математических моделей в промышленном производстве, то необходимо позаботиться также о том, чтобы задача решалась с приемлемой точностью и в то же время с достаточной скоростью. Как правило представляет интерес следующая задача: изменяется технологический режим работы печи (схема загрузки шихтовых материалов, подачи дутья и т.п.). Персонал, работающий на печи, интересует, как измелится при этом положение зоны плавления, распределение массовых скоростей п давлений газа, распределение температур шихты и газа. Причем задача должна быть решена за 2-4 часа. Точность решения, которую можно получить при использовании одномерных моделей, в последнее время перестала удовлетворять возросшим техническим требованиям. Таким образом, встает задача ре-шепия системы (как правило нелинейной) дифференциальных уравнений в частных производных в двух или трехмерной области со сложной геометрической формой за ограниченное время.

Как уже отмечалось, d домепной печи одновременно происходит целый ряд физико-химических процессов. Зачастую для описания разных явлений используются различные математпче< ие моделп (модель газодинамики, модель теплообмена, модель загрузки и движения шихтовых

материалов, модель массообмена). Но все эти процессы взаимосвязаны. Так, например, химические реакции, протекающие в печи, сопровождаются выделением н поглощением тепла, но в свою очередь, скорость их протекания зависит от распределения температур. Распределение температур шихтовых материалов определяет положение зоны плавления н распределение порозностп шихты. А от распределения порочности зависит вся газодинамика доменной печи. Теплообмен же между газом и шихтовыми материалами непосредственно зависит от массовой скорости газа. Таким образом, использование отдельных моделей для описания различных процессов далеко не всегда является корректным. То есть задача математического описания физико-химических процессов в доменной печи является комплексной п требует корректного решения всей системы уравнений совместно.

Можно выделить следующие подходы к решению поставленной проблемы:

- Решение общей задачи описания процессов в доменной печп путем совместного решения систем уравнений, описывающих разные физико-химические эффекты,

- Построение итерационного метода для решения общей системы с учетом вида взаимодействия между различными процессами (вида передаточных функций),

- Определение как можно большего количества параметров путем прямых измерений на печи.

Ключевым звеном в реализации этой схемы является решение уравнений газодинамики и теплообмена. В уравнениях газодинамики доменной печи участвует плотность газа, которая зависит от температуры. А эффекты распространения тепла зависят от величин массовых скоростей газа. Кроме того; при численном решении уравнений газодинамики и теплообмена возникает ряд особенностей, требующих специального рассмотрения.

Для определения распределения шихтовых материалов в сухой части доменной печи часто используются математические модели загрузки, шихты. Однако, существующие в настоящее время модели не обладают достато ной точностью. В работе использовались данные, полученные в результате прямых измерении с помощью сканирующей зондопой системы. Эта методика позволяет определить положение шихтовых матерна-

лов в сухой части доменной печп с высокой точностью. Производилась математическая обработка сигналов зондовой системы для идентификации слоев кокса и агломерата. Идентификация четких границ слоев необходима при использовании данных в модели газодинамики и теплообмена.

Область применения математических моделей газодинамики и теплообмена

Диагностика текущего состояния доменного процесса. Диагностика текущего состояния газодинамики и теплообмена доменного процесса основана на решении прямой задачи относительно таких важпей-шнх технологических показателей как форма « положение зоны плавления, поля порозпостп шихтовых материалов, поля давлений н массовых скоростей газа, поля температур газа п шихтовых материалов. Диагностическая система удовлетворяет требованиям технологического персонала, если диагностика проводится не реже, чем одип раз в б - 8 часов (время расчета модели, разработанной в диссертации, 2-4 часа для персонального компьютера среднего класса). Интервал диагностики в 6 - 8 часов связан с инерционностью доменного процесса, когда переходные процессы по каналам теплового состояния длятся 8-12 часов, а транспортное запаздывание по каналам "изменение массы кокса — изменение теплового состояния" составляет 4-6 часов. Осесимметрпчный характер задачи (решаемой как правило в плоскости расположения радиальных измерительных зопдовых систем) не позволяет производить диагностику нарушений работы печп, связанных с окружной неравномерностью. Стационарная постановка задачи пе позволяет производить уверенную диагностику в условиях интенсивных переходных процессов, и в этом случае задача вынужденно решается как квазпетациопарная. Этп обстоятельства определяют ограничения прпменёппя дапного класса моделей для целей диагностики. Опыт промышленного применения указывает па папболылую эффективность применения дапного класса моделей для диагностики установившегося технологического режима прп отсутствии окружной неравномерности. Система диагностики пе включает в себя какие-либо формализованные рекомендации на управляющие воздействия.

Разработка новых технологических режимов доменной плавки.

Применение данного класса моделей для разработки новых технологических режимов доменной плавки основано на вариации в узкой области входных возмущений (управляющих воздействий) процесса и наблюдении реакции объекта. Модель позволяет воспроизвести ряд режимов, исследование которых на объекте практически невозможно (например, аварийные ситуации, предельные газодинамические режимы). Узкая область вариации входных воздействий обусловлена нелинейным характером объекта, когда реакция доменной печи начинает существенно зависеть от величины и формы входного возмущения, п когда адекватность модели в предельных режимах начинает снижаться. Для адаптации модели к предельным режимам необходима се новая идентификация.

Физический смысл ограничений при применешш данного класса моделей заключается п том, что используемые общефизические уравнения газодинамики и теплообмена не отражают собственно механизма явления, и адекватность модели реальному процессу носит параметрический, характер. В этой связи данный класс моделей невозможно использовать для разработки полых металлургических процессов. Наибольший эффект получен при использовании модели как инженерного инструмента для параметрической оптимизации технологических режимов, когда, наприМер,, были подобраны и реализованы на доменной печи N5 АО "Северсталь" системы утилизации (загрузки) коксовой мелочи в замен высококачественного кокса.

Применение в системах нечеткого управления с моделью процесса. Распределенная модель газодинамики и теплообмена может применяться в системе автоматизированного управления с моделью процесса при условии формализации управляющих воздействий и выдачи их технологическому персоналу о качестве рекомендаций. Сложный характер полей параметров, характеризующих внутреннее состояние объекта, отсутствие однозначно определенных эталонных полей (задания на управление) приводят к необходимости использовать принципы нечетких систем, управления, а сами поля параметров, распределенные в пространстве печи, представлять в виде нечетких множеств. При этом в качестве эталонного множества А выбирается технологический режим, показавший в сходных условиях наилучшие технико-экономические показатели (режим может извлекаться пз базы данных, накопленной за длительный период эксплуатации доменной печи). Текущий технологический режим

представляется множеством В. Операции пересечения множеств А п В {А П В) и операцпп объединения Л и В представляются технологическому персоналу в графическом виде как диаграммы Венна. Результаты операций объединения п пересечения множеств А п В следует трактовать как частично упорядоченное множество С, используемое для выработки управляющего воздействия по расчетной либо логической схеме. В последнем случае рекомендации на управляющее воздействие могут носить в частности нечеткий характер и вырабатываться на основе экспертных оценок опытных технологов либо здравого смысла ("снизить расход дутья вследствие разрушения зоны плавления в правом секторе", "загрузить агломератом периферийные зоны из-за вероятного развития пристеночного потока газов", "достигнуты паплучшпе показатели плавки: поддерживать данный режим" п т.д.). В настоящее время принципы печеткого управления доменной плавкой с моделью процесса находятся в МИСпС в стадии разработки и не имеют прямого промышленного опробования.

Применение и обучающих системах и тренажерах. В МИСпС накоплен опыт по применению математических моделей данного класса в учебном процессе в качестве обучающих программ и тренажеров. Математическая модель сопровождается специальным сервисным обеспечением, которое формирует задание (выбор технологического режима с заданными технико-экономическими показателями, выбор и расчет управляющих воздействий и др.), а также регистрирует результаты выполнения задания. Большинство заданий носит характер небольшого исследования доменного процесса на его математической модели с использованием элементов теории- управления и теории нечетких множеств. Следует отметить, что наибольший обучающий эффект достигнут с применением именно распределенных моделей по сравнению с моделями сосредоточенных каналов управления с приведенной к выходу аддитивной помехой, роль которых свелась в последние годы к изучению динамики п передаточных функций каналов управления и помех, а также к изучению статистических свойств случайных возмущений процесса.

Применение п экспертных системах управления доменным процессом. Экспертная система управления доменным процессом воплощает в настоящее время высший уровень автоматизированного управления доменной плавкой п поглощает в себя все вышеперечисленные обла-

сти применения распределенных моделей газодинамики ц теплообмена. Математическая модель данного класса служит для выполнения различных функций экспертной системы, из которых наиболее перспективными представляются нечеткая диагностика с применением логических функций принадлежности и система нечеткого управления процессом. При интегрировании модели в экспертную сцстему.ее возможности расширяются за счет использования баз и банков данных, баз знаний, банков экспертных оценок, а также за счет использования моделей другого класса, в частности динамических и моделей массосбмена; моделей замкнутых автоматизированных систем управления (регулирования) и др. Встроенные в экспертную систему тренажеры и обучающие программы на основе р аенр еде ленных моделей расширяют свои возможности за счет пополнения баз и банков данных в ходе эксплуатации объекта. Целесообразным является использование данных нормальной эксплуатации доменной печи для периодической параметрической идентификации модели и ввода в систему соответствующих программ-идентификаторов.

Решение уравнений газодинамики и теплообмена

Рассмотрим систему уравнений, описывающую газодинамику и теплообмен в доменной печи. .Предполагается, что режим плавки установился, и физические процессы в объеме печи описываются стационарными уравнениями.

Система уравнений газодинамики, применительно к доменной печи, представляет собой уравнение неразрывности:

.liv«?,) = F (1)

и уравнение Эгона и векторном виде:

-gradO>) = (/i+/2|<2,|)G, (2)

(G¡ - массовая скорость газа, F - функция источника' газа, р - давление газа, Па). Коэффициенты /ь/г в уравнении Эгона (2) имеют вид:

(фАу^р

h = (3)

(/i - коэффициент динамической вязкости газа, Па • с; р ~ плотность газа, £'- порозпость шихты; ф - фактор формы частпц шихты; d - эффективный диаметр частиц шихты, м).

Система уравнений, описывающая теплообмен в доменной печи имеет вид;

cg(Ô„ grad(i,)) - div(k„ grad(t,)) + a{ts - t,) = Q,, (4)

c,(G„ grad(i,)) - div(k,grad(t.)) + a(t, -1,) = Q, (5)

(индекс g соответствует газу, s — шихтовым материалам; с - теплоемкость, —-¡-г; к - коэффпцпент теплопроводности, G - массовая скорость, Q - функция источника тепла, i - температура, К) Коэффпцпент а представляет собой

<t>d

(h3, - коэффициент теплообмена между газом и шихтой, Необходимо заметить, что уравнения (4), (5) записаны как уравнения конвективного теплообмена с добавленным членом, описывающим теплообмеп между газом и шихтовыми материаламп.

Перейдем к цилиндрической системе координат. Предполагается осе-симметричность распределения материалов и источников в объеме печи. Тогда = 0, = 0, J^ = 0 т.е.. задача решается в двумерном приближении. Таким образом уравнения (1), (2), (4), (5) прдннмагот вид:

- grad(p) = - фг + = (/, + h\G9\)Gg, (7)

dtg ^ dt. ( д , dtg 1, dt, д , dt,\ . , л . ч

dt, dt, fd.dt.l dt. d.dtA

Gsres~+Gs!cs~-+ + -к,-] + = Q,. (9)

Система уравнений (6), (7), (8), (9) решается в области В 6 Л2. Граничные условия задаются следующим образом. Для р:

С1р = рь на

+ сз| = Л На дЮ2 (10)

на дБ = и сШг, где дО\ — часть границы, соответствующая колошнику и фурмам, 3£>2 — остальная часть границы. Для V.

I = Ц на 9Г>з,

па а04 (И)

па сШ = дDzU8D^, где ¿Шз — часть границы, соответстлующая колошнику для уравнения (9) и боковой стенке шахты для (8), с?£>4 — остальная часть границы. Уравнения (8), (9) представляют собой сингулярно возму-' щёнпые стационарные уравнения конвекции-теплопроводности. Под термином "сингулярно возмущенное" пошшается малость члена, описывающего теплопроводность по сравнению с конвективным членом. Такое задание граничных условий как (11) позволяет избежать появления в решениях пограничных слоев, характерных для уравпепий этого типа. На ¿Шз условия задаются, как если бы решалась задача Кошп для "чистой коквекцпа" (к — 0), а па дОц — как продолжение решения этой задачи Кошп на границу области, необходимое чтобы формально поставить условия на всей границе для стационарного уравнения теплопроводности. Исследуем корректность постановки задачи (б), (7), (8), (9), (10), (И). Выражение (7) допускает аналитическое обращение. Из физических соображений параметры /] > 0 и Д > 0. Тогда из (7):

~ I _ 1б"»*(р)1

1''"ГГЖГ

откуда

1п I -/)

Теперь, подставляя (12) снопа в (7) получаем

_2 Ёгас1(р)

г . аз)

Обозначим

, dp dp, 2 " Or' dz> Ь +

После подстановки (13) в (6), (7), (8), (9), (10), (11) получаем систему из трех квазилинейных уравнений эллиптпческото тала.

Показано, что 3р* — решение задачи (6), (7), (8),-(9), (10), (11) оно принадлежит W^ (D) и не зависит от гладкости границы. Из свойства ограниченности п строгой монотонности оператора.задачи следует единственность решения р*.

Кроме того имеет место следующая

Теорема. Задача (6), (7), (8), (9), (10), (11) устойчива по линейному приближению d решении р' G У, если

vraimax|grad(p*)| < М = const, (14)

при этом возмущения связаны неравенством:

с передаточной конст&втой

Для численного решения системы уравнений (6), (7),' (8), (9), (10), (11) предложен следующий алгоритм. Линеаризуем уравнение (7) по методу Ньютона. Пусть 3Gj — хорошее приближение к решению,

G^G'+iG, (15)

— итерационный процесс. Раскладывая но формуле Тейлора, получаем:

Gj+1 =

-gradQ>)

Из (6), (8), (9), (16) следует:

-^(лткГ^Ч <16)

8 ^др д др _ р

дт дт dz dz г дг ' * '

_ 81. п ди (6 81, 1 &1. д ди\

где к — —^ [¿<|' Коэффициенты .Л,/г зависят от плотности газа р (3), которая определяется пз уравнения состояния, как р — р{р,1д). Таким образом1 к — к(р, п (17), (18), (19)'— система, нелинейных (квази-

линейпых) дифференциальных уравнений л частных производных эллиптического типа.

Доменная печь является объектом с достаточно сложной геометрической формой. Поэтому построение аппрокспмационной схемы требует некоторых усилий. Предложено воспользоваться методом конечных разностей, а для избежания трудностей, связанных с аппроксимацией границы области и использованием неравномерных сеток — преобразованием Области.

Физическая область О преобразуется в вычислительную область О : [О, X] X [О, У]; Л € Й2; Х,У < 1. Область О состоит нз подобластей прямоугольной (горн, расдар, колошник) и трапецеидальной (заплечики, шахта) формы. Преобразование области имеет виц для прямоугольных подобластей:

С = а »г,

7 = «2*. (20) для пеирямоугольиых подобластей:

а\ + а^г'

г/ = а2г. (21)

Преобразованная система уравнений (17), (18), (19) с граничными условиями (Ю), (11) в области П имеет вид:

Аи = / в П,

а0и = /0 на 50, . (22)

■ 'Теплоемкость и тсппопроношшсть с, к также замсат от р н но в данной метели зта зависимость не уматывалась.

где А — нелинейный оператор задачи, ао — оператор граппчпых условий, и € Н, / 6 Т, /о € й- Здесь Н, 7 II б — гильбертовы пространства с областями определения элементов в ПидО, П и дП соответственно.

Для системы урашгний (22) н П строится консервативная кон< тио-разностная апнроксимацпонная схема второго порядка точности:

Лл(ил) = /л

па5Пл. (23)

где Лл — разпостный оператор задачи, а§ — оператор граничных условий, иЛ 6 Ик, /Л £ Л, /о 6 бл. Здесь Пл — мнолсество внутренних узловых точек области й, а дИ^ — множество узловых точек, на которых аппроксимируются граничные условия задачи, "Кь, Ти и О?, — пространства сеточных функций с областями определения элементов в О^ С) ЗПл, П/, и сЮ/, соответственно.

Для аппроксимации первых пропзводгтых всюду, кроме щ п щ п конвективных частях уравнений теплообмена использовались центральные разности, для вторых производных предложены аппроксимации:

з_ др

дх ду

д др

Н ~ 2Л ¥г2Л )

Для грапптшых условий Неймана 'применялась аппроксимация2:

др ду

У 2/г

Особое внимание надо уделить аппроксимации копвектпппых члепов в сингулярно возмущенных стационарных уравнениях конвекщш-тешю-проводпости, т.е. щ и Используется аппроксимация: -

^ V ~ 1 Нтг^1 + + 0(Л2), <?< < 0 1 ]

'В граничных условиях (10), (11) необходимо учитывать поток по нормали к Гранине физической области £>, что создаёт дополнительные технические трудности в непрямоугольных подобластях.

Выбор такого представления обусловлен следующими соображениями. Применение центральных разностей приводит к схеме второго порядка точности, но при сеточных числах Рейнольдса Яс = йсИ/к 1 появля-ютря колебания решения нефизического характера. Использование разностей против потока позволяет получить неосциллирующее решение, по ведет к снижению точности разностной схемы до 0{К) и появлению дополнительной искусственной диффузии порядка 0.5ДД". Следовательно, для получения достаточно точного решения при пспользованпп разностей против потока вытекает условие 0.5/?с <С 1, которое является очень жестким. Таким образом, в данном случае эти схемы неприемлемы. Четырехточечное представление (24) свободно от указанных недостатков. Выражение (24) является модификацией схемы центральных разностей. Параметр Ь определяет степень модификации. Выбор различных параметров 6 аозволяет получить разностные схемы с необходимыми свойствами.

Для решения системы нелинейных уравнений (23). используется метод Ньютона. Начальное приближение Кр выбирается как последнее значение с предыдущей итерации по 6а (15). Для первой итерации по Сг, зна: чение «о берется произвольное. Строится итерационный процесс:

1 «г+1=«*+««*

где 6ин находится из решения системы линейных алгебраических уравнений: .

; . (25)

Далее для простоты введем обозначения: для матрицы Якоби I = для векторов: и = 5и\ Ь = -Ал(и£) + об В/, 6 е Я*, / € det 3 ф О, N = 3(Ме * Ыу)% где Л/я — число узлов сетки по осп г, Иу — по оси 2. Тогда (25) запишется в виде:

/« = 6. (26)

Решение системы линейных алгебраических уравнений (25) является ключевым звеном в численном решении всей задачи газодинамики и теплообмена. Итерационные методы решения нелилейных систем требуют многократного решения системы (26) и затраты времени на решение задачи определяются именно эффективностью метода решения линейной

системы (26). Затраты оперативной памяти компьютера также определяются требованиями алгоритма решения линейной системы (хранение элементов J, элементов предобуславливагощей матрицы, векторов v, Ь и вспомогательных векторов).

Матрица J системы (26) представляет собой пезнакоопределепную, песимметрпчяую матрицу ленточной структуры (блочно-пятидиагональ-ную):

/ц /12 /13 0

/21 Jn ^23 ^24.

«Л«—2 /¡1-1 /¿¡+1 /(1+2

0 • .

/лш-з ¿мм-1 Лш

где М = N1}, подматрицы Зц имеют размерность /Ух х Их, диагональные блоки представляют собой трпиадцатцдпагопальпые подматрицы, блоки /,¡-(.1 — девятшшатопальпые подматрицы, блоки /,,±2 — Дпа-' гопальные подматрицы.

В данной работе используются итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием предобусла-вливахяцих матриц. Предобуславливагощей матрицей называется матрица К, такая что после умножения системы (26) получаемая система

К~х3\) = К~1Ъ

(27)

решается'более легко, например К~11« I пли собственные числа К.~х.7 кластеризуются.

Использовались алгоритмы построения предобуславливателя, основанные па методе неполного разложения матрицы па треугольные множители. Обозначим NZ(A) множество пар индексов [¿,7] (1 < ¿,< Лг), такое, что Ац ф 0. Метод предполагает

О =ЬБи - Н

(28)

здесь матрица £> диагональная, Ь — ншкняя и V — верхняя треугольная, Я — матричная ошибка неполной факторизации; Ь, В, 0, Л €

г

\

К=1 К=1Ш(0) К=1Ш(1)

3.71 • Ю-4 7.54 • Ю-2 0.11

3.75 • 10'2 1.57 1.38

Сбп<12 9.73 • 10е 46.08 32.58

Таблица 1: Свойства матриц К 3

Элементы £>, Ь п V выражаются формулами:

•-1 . _ . ¿а = аа - Ц кк йы ¿кк, *=1

= | («я-(j,i)eNZ(J),

" I 0,

й.. = | (>,Л е ягу),

4 1 0, (¿,7)^^(7),

1Н= иц — 1, 1 < г < Л. В качестве предобуславливающей матрицы в (27) берется

К = 1Ьи.

Таким образом формулы (29) определяют метод 1Ш(0). При этом матрица ¿+¿+¿7 имеет такую же структуру как и матрица 7. Для получения алгоритма 1Ы1(1) используется следующая операция. Из (28) определяется Я и множество ненулевых элементов Дальше по формулам (29) переопределяются матрицы Ь, Ь, V па множестве NZ{A)\JNZ{R). Если необходимо дальнейшее усложнение алгоритма операция повторяется п получается метод с q большим на едпппцу. Для рассматриваемой задачи 1Ьи(0) требует дополнительно ЗЗА'' операции умножения на итерацию, а 1Ш(1) —

Проведено исследование свойств тестовых матриц Л"-1./, меньшей размерности (600 х 600). Для нахождения собственных чнсел матриц применялся <311 алгоритм. Полученные результаты приведены в таблице 1.

В отлитие от симметричного знакоопределенного случая, итерационное решение несимметричных задач представляет собой незавершенную проблему, что, в частности, вызывает необходимость проведения численных экспериментов для выбора наилучшего метода. Используемые в работе алгоритмы относятся к классу методов подпространств Крылова. Общая схема построения алгоритмов для системы (26) выглядит следующим образом. Итерационная процедура начинается с выбора вектора начального приближения vo.ii вычисления начальной невязки го = Ь—Jvq. На m-oü итерации строится подпространство Крылова

Кт{т0, J) = span{r0, Jr0,..., /-4}

и вычисляется вектор коррекции zm из условия минимизации невязки в некоторой норме || • || :

zm = arg min ||Ь - J(t>m_i + гт)Ц

пли по методу Галеркнпа, т.е. из условия ортогональности вектора невязки некоторому m-мерному подпространству

Гт -L Sm.

Тогда t»,n = um_i + гт. Конкретный вид каждого метода определяется выбором базиса в Кт или Sm. Применялись методы GMRES, ORTOMIN, CGS, BI-CGSTAB, BI-CGSTAB-P.

Для определения свойств сходимости методов проведена серия численных экспериментов с тестовыми матрицами J, размерности (900 х 900). Использовались предобуславлшзатели ILU(0), ILU(l) и методы без пре-добуславливания. Критерием остановки итераций выбран:

imi* < ю-9||г0||2.

Результаты приведены в таблице 2.

Для численных экспериментов были взяты данные по доменной печи N5 АО "Северсталь". Использовалась расчетная сетка 40 х 120. При проведении численных экспериментов удалось добиться увеличения скорости сходимости итераций по Gg (15), введением параметра нижней релаксации w:

g;+1 = g; +ыбб, (зо)

вМЕЕв СвБ ВЬ-ССБТАВ ВЬСвБТАВ-Р ОКГОМШ

К=1 00 6186 00 оо со

К=1ьи(0) 46 24 22 21 32

Й=1Ш(1) 21 18 16 16 24

Таблица 2: Число итераций при использовании различных иредобусла-вливателей

О < и < 1- Как показали численные эксперименты, итерационный процесс (30) может сходиться очень медленно, или дана расходиться при неудачном выборе и>. Для автоматического выбора параметра ш используется следующий метод.

ВозиМеи произвольный набор параметров {и>1,... где £ [0,2] V к = 1,...,!. Для каждого и>ь вычисляется вектор невязки г (аЗависимость нормы вектора невязки от "и, ||г(и^)||2 интерполируется полиномом степени / — 1. Затем находится значение ш при котором достигается тш || г (о;) ||2. Это значение и выбирается в качестве параметра релаксации для текущего итерационного шага. Результаты численных экспериментов показали, что предлагаемый метод позволяет увеличить скорость сходимости итерационного процесса в 1.5 - 2.0 раза по сравнению с выбором и) "вручную".

Считалось, что итерационный процесс сошелся, если относительная ошибка по <5,: е(<5„) < 0.5 • 10"4. Использованные в работе высокоэффективные численные методы позволили решить задачу на маломощном персональном компьютере Репйиш с тактовой частотой 100 Мгц и с ограниченным объемом оперативной памяти.

Результаты моделирования представлены на рис. 1 (Р - избыточное давление; и>(Зг - реальная массовая скорость газа, хибд = п рис. 2 (линии слева — изотермы газа, справа — шихты). Для задания коэффициентов в уравнении Эгона (3) использовались данные, полученные при зондировании сканирующей зондовой системой. Другие параметры в уравнениях (1), (2), (4), (5) и граничных условиях (10), (11) задавались из справочных и экспериментальных данных, из расчетов по одномерным математическим моделям газодинамики, теплообмена, массообмена и движения шихтовых материалов в доменной печи.

Распределение давления и массопых скоростей газа в доменной печи № 5 АО "Северсталь"

.8,94 .8,06

10,71

рис. 1

Распределение температур газа и шихты в доменной печи № 5 АО "Северсталь"

1..К 1„К

рис. 2

Математическая обработка сигналов автоматической зондовой сканирующей системы

Для корректного решения задачи газодинамики п теплообмена в доменной печи необходимо с достаточно высокой точностью задать структуру распределения шихтовых материалов в объеме печп.

В результате измерений сканирующей зондовой системы получается пабор сигналов {/,j(xy)},=i)...N;j=i,...A/; xij 6 D\ D 6 R2; /,у e [0,10], снятых в области измерения D. В случае, если

• fij > щ, считается, что в точке г,у находится кокс,

» fij < щ — агломерат,

здесь щ — опорное значение сигнала.

На рис. З.а представлены результаты измерений, полученные 2 октября 1992 года на доменной печи N5 АО "Северсталь". Черным цветом обозначен агломерат, серым — кокс. Результаты измерений указывают на слоевую структуру шихтовых материалов с размытыми границами слоев' кокса п агломерата. Идентификация смесей кокса и агломерата представляет трудность из-за нелинейной характеристики датчика вида шихтовых материалов. Предложено использовать математическую модель формирования слоев кокса и агломерата в доменной печп без образования зон их перемешивания. Для выделения четких границ слоев было предложено воспользоваться методом наименьших квадратов. Сформулируем метод следующим образом. Пусть

3/ € Li(D) : Vi = 1,... jV; V; = 1,... М f(xt}) = /у;

Строится многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения

Рш = Е cm(D) (31)

t=i

такой, что

ll/-fi»||il(D,= EetvJ ' —► min . ' (32) II t=l e,,t=l,...m

Математическая обработка результатов измерений автоматической зондовой сканирующей системы

Результаты измерения

Я в $ 1

8

(о

1) §

8

и «

а.

* е 3 1

о §

х ь

0

01 я

и и га

а.

2

1 г э Радиус шахты, м рис. З.а

Результаты обработки

0 12 3 Радиус шахты, м рис. З.Ь

л

5

При минимизации полученного функционала находятся коэффициенты Ск, которые п определяют многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения Рт. Далее в качестве обработанного сигнала используются значения построеппого многочлена в точках {х^},! = 1,... /V; ] = 1,... М. Для практической реализации метода область измерений В была диффеоморфно преобразована в область П : [—1,1] X [—1,1]; Л е К2. В качестве системы базисных функций в (31), (32) использовались

многочлепы Чебышева 7*(П), ортогональные па 12.

Результаты обработки представлены на рис. З.Ь (при т ~ 200). Чер-пым цветом обозначен агломерат, серым — кокс. На рисунке четко просматриваются слои кокса, агломерата п зоны выброса кокса к стенкам шахты. Полученные результаты использовались при математическом моделировании процессов газодинамики п теплообмена в доменной печи N5 АО "Северсталь".

Общие выводы

1. Предложена п разработана математическая модель газодинамики и теплообмена доменной печи. Проведено исследование системы уравнений модели. Показано существование п единственность решения уравнений газодинамики и теплообмена. Доказана условная устойчивость решения и сформулированы условия устойчивости, исходя из свойств оператора задачи. Сформулирована необходимость задания граничных условий особым образом для уравнений теплообмена.

2. Разработан и реализован метод совместного численного решения системы уравнений газодинамики и теплообмена доменной печп. Разработана техника построения конечно-разностной аппроксимационной схемы и преобразования области. Исследованы особенности дискретизации сингулярно возмущенных уравнений конвекции-теплопроводности.

3. Разработана схема линеаризации системы алгебраических уравнений, возникающих при конечно-разностной аппроксимации. Проведен сравнительный анализ нескольких итерационных алгоритмов, прягод-ных для решения систем линейных алгебраических уравнений с не-знакоопределенной несимметричной матрицей. Проведено исследование свойств предобусловленных магрпц и показана эффективность использования П,и-предобуславлнвателен в данном случае.

4. Разработал и реализован для промышленных условии метод математической обработки сигналов автоматической зондоной сканирующей системы для использования этих данных в модели газодинамики и те-нлробмена.

5. Распределенная математическая модель газодинамики и теплообмена реализована для промышленного применения в условиях АО "Северсталь" . Проведено тестирование программ па данных, полученных с доменной печп N5 АО "Северсталь". Разработанная программная система позволяет решать задачу с высокой точностью и эффективностью па персональном компьютере среднего класса.

Список публикаций по содержанию дис-сьргации

[1] Доброскок В. А., Титов И. А., Кузьмин Д. А. Математическая модель газодинамики доменной печи. - Известия высших учебных заведений. Черпая металлургия, N0.5, 1996. с.75,76

[2] Доврискак В. А., Титов И. А., Пронина Н. В. О иыборе, параметров для ускорения сходимости итерационного процесса.. - Известия высших учебных заведений. Черная металлургия, N0.7, 1996. с.83,84 •

[3] доброскок В. А., Титов И. А., Загитов Р. Э. Математическая обработка результатов измерений структуры шихтовых материалов в доменной печи. - Известия высших учебных заведений. Черная металлургия, N0.1, 1997. с.73,74

[4] доброскок в. А., Титов и. А. Математическое моделирование процессов газораспределение в доменных печах. - Известия высших учебных заведений. Черная металлургия, N0.5, 1997. с.13-15

[5] Доброскок В. А., Титов И. А. О решении уравнении теплообмена доменной печп. - Известия высших учебных заведений. Черная металлургия, N0.9, 1997. с.73,74