автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Статистические модели обработки результатов форсированных испытаний при сложной структуре данных

На правах рукописи

ЕРМОЛАЕВА Мария Андреевна

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ ПРИ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЕ ДАННЫХ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

2 О ФЕВ 2014

Москва-2014

005545258

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Тимонин Владимир Иванович

Дикусар Василий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН», главный научный сотрудник

Баскаков Валерий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное бюджетное научное учреждение «Институт макроэкономических исследований», заведующий лаборатории страхования и пенсионного обеспечения

Ведущая организация:

федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт системного анализа Российской академии наук»

Защита состоится « 2014 г. В ^час. 00 мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.1^1.15 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: Москва, Рубцовская наб., 2/18, ауд. 1006л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан « /Л> (pe£pff/1<J 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

A.B. Аттетков

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования. Проведение испытаний на надежность является основным способом определения показателей надежности изделия, при этом испытываемое изделие должно безотказно работать довольно продолжительное время. В связи с этим оценка показателей надежности традиционными статистическими методами, требующая длительных испытаний больших объемов выборок изделий, ведет к большим временным и материальным затратам. По этой причине в 60-ых годах прошлого столетия стало развиваться направление, связанное с проведением ускоренных испытаний, позволяющих определять показатели надежности в сжатые сроки. Такой эффект достигается применением более жестких условий функционирования изделий в процессе испытаний - форсированных режимов испытаний. Идеи ускоренных испытаний во многом были взяты из методов проведения усталостных испытаний материалов, в которых были сформулированы основные принципы, используемые в теории форсированных испытаний различных изделий (принцип Пальмгрена-Майнера, переменные режимы испытаний и др.)

Проблемам форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. Среди отечественных авторов отметим работы Х.Б. Кордонского, А.И. Перроте, Г.Д. Карташова, Н.М. Седякина, Л.Я. Пешеса. Из иностранных авторов - Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

При проведении испытаний сложных изделий в виду многообразия физико-химических процессов, протекающих в них, в большинстве случаев невозможно теоретически обосновать существование каких-либо закономерностей, связывающих между собой наработки до отказа этих изделий в разных режимах. Тогда необходимы предварительные испытания и исследования, которые различаются для случая стабильного и нестабильного производства. Во время их проведения: -выбираются форсированные режимы;

-определяются функции пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

-проверяются различные модели расходования ресурса; -обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

Степень разработанности. Для случая нестабильного производства общая методология проведения предварительных исследований была разработана Г.Д. Карташовым (Г.Д. Карташов; 1981). Предложенные им методы проведения предварительных испытаний позволяли решить перечисленные выше задачи, однако требовали испытаний двух выборок - одной в переменном режиме, другой -в нормальном режиме, что влекло за собой большие временные и материальные затраты. В ряде случаев применение оценок Каплана-Мейера позволяет исключить испытания изделий в нормальном режиме в комплексе предварительных исследований, что приводит к снижению стоимости и продолжительности их проведения (В.И. Тимонин; 2004). Вместе с тем, эти результаты применимы не для всех видов предварительных исследований.

Для стабильного производства основной задачей является установление связей между законами распределения наработок до отказа в различных режимах. Различные модели определения этих зависимостей рассмотрены в работе Nelson Wayne (1990). Однако большинство из них требуют знание вида закона распределения наработок до отказа, что на практике, как правило, неизвестно. Исключением является применение непараметрической модели Кокса (Д. Кокс, Д. Оукс; 1988). Однако существующие методы проверки адекватности модели Кокса, основанные на адаптации к рассматриваемой проблеме критерия отношения правдоподобия (N. Balakrishnan, C.R. Rao; 2004), применимы только для больших объемов выборок, что часто приводит к неверной интерпретации результатов испытаний.

Для нестабильного производства в диссертации обобщены результаты В.И.Тимонина на значительно более широкий класс предварительных испытаний, что в значительной степени позволяет сократить их объем и продолжительность. Для стабильного производства предложены методы, позволяющие проверить адекватность модели Кокса и простроить на их основе оценки функций связи. Важно отметить, что предложенные в данной работе методы не требуют знания вида распределения наработок до отказа, которые практически всегда неизвестны. Таким образом, решаемые в диссертации задачи являются важными и актуальными для проведения форсированных испытаний.

Цель работы - разработка новых методов предварительных испытаний и соответствующих статистических моделей для обработки их результатов, которые должны обеспечить, во-первых, существенное снижение их времени проведения и стоимости и, во-вторых, независимость выводов от вида распределения наработок до отказа.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка непараметрических методов проверки адекватности модели Кокса для результатов испытаний в постоянных режимах, а также основанных на них методов оценки параметров этой модели, применимые для выборок любых объемов.

2. Разработка новых процедур проведения испытаний в переменном режиме и статистического аппарата для обработки их результатов, применимых для выборок любых объемов.

3. Методами статистического моделирования обосновать состоятельность предложенных методов.

4. Разработка программного комплекса, реализующего разработанные алгоритмы.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались методы теории вероятностей и математической статистики, функционального анализа и вычислительной математики, а также методы математического моделирования.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается

сравнением результатов, полученных в диссертационной работе, с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как содержательным образом, так и методами математического моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту.

1. Получен новый непараметрический критерий, позволяющий устанавливать связи между функциями распределения наработок в нескольких форсированных режимах, являющийся обобщением критерия Кифера-Гихмана.

2. Получен новый непараметрический критерий типа Колмогорова-Смирнова, позволяющий устанавливать связи между наработками до отказа изделий в форсированном и нормальном режимах.

3. Разработано программное обеспечение, позволяющее вычислять точные и асимптотические распределения статистик, предложенных в диссертации.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной направленностью, а полученные результаты могут быть использованы при оптимизации проведения предварительных испытаний, повышения достоверности оценок показателей надежности за счет применения непараметрических методов анализа их результатов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2009, 2010); Международных конференциях «Акустооптиче-ские и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2009, 2011); 65-ой научной сессии, посвященной Дшо радио (Москва, 2010); Международной научной конференции «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе 5 статей в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации, и материалах трех международных конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 98 страницах, содержит 14 иллюстраций и 6 таблиц. Библиография включает 84 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и теоретическая и практическая значимость полученных результатов, их достоверность, основные

положения, выносимые на защиту, а также приведены данные о структуре и объеме диссертационной работе.

В первой главе дан краткий обзор существующих методов обработки результатов форсированных испытаний. Рассмотрена часто используемая модель анализа результатов испытаний — модель Кокса, которая имеет следующий вид

Л(г,х,р) = Л0(/)^(х,р) (1)

где Л0 (/) - базовая функция интенсивности отказов, р - вектор неизвестных параметров, х - вектор известных переменных, определяющих «жесткость» режима испытаний.

Для проверки адекватности данной модели рассмотрены наиболее известные критерии Хосмера и Лемешева, а также Гроннесби и Боргана. Все эти методы являются разновидностями критерия отнощения правдоподобия и строго могут быть использованы только для больших объемов выборок. Кроме того, для получения конкретных статистик критериев адекватности необходимо задавать альтернативные гипотезы к гипотезе Кокса, которые, как правило, неизвестны на практике.

Для определения функциональных связей между наработками до отказа изделий в нормальном режиме е0 и наработками в форсированных режимах рассмотрены существующие способы проведения испытаний в переменном режиме и методы анализа их результатов. Детально рассмотрен классический метод проведения предварительных испытаний (Г.Д. Карташов; 1981) и их улучшенные варианты: методы «двоек» и «троек» (В.И. Тимонин; 2004).

Вторая глава посвящена исследованию проблемы непараметрического анализа связей между показателями надежности устройств при их функционировании в различных условиях.

Обозначим =(£/>• - наработки до отказа в режиме е', ^ ~ (/),

/ = 1,...,<3';У = 1,...,и(; и = где и, - объем /-ой выборки. Основная проверяемая

(=1

гипотеза имеет вид:

(') = ■■• = <'(')• (2) Для проверки гипотезы (2) предлагается использовать статистику:

Т* =шах—-р-. (3)

Здесь - эмпирическая функция распределения /-ой выборки;

к01=\/к,; Ф =

(•1

2 Т/2

¿¿/р,/?1-1»' (1 - Р») (1 - Р* )2 (1 - 2 р,)

Для вычисления точных распределений статистики (3) разработан метод, являющийся специализацией метода вычисления вероятностей невыхода траектории случайного блуждания из некоторого множества.

Пусть у = (у1,■■-,/„), У1 <Уj = \,...,п-1 - объединенный вариационный ряд компонентов векторов / = 1.....д. Пусть гу = /, если у]- элемент /-й

выборки. Обозначим г = (г,,...,гл). Для определения точных распределений воспользуемся ^-мерной моделью случайного блуждания: частица двигается по ц-мерному массиву ячеек П = |а,1(^|0 </у <«,,./ = 1...<7|, выходя на первом шаге из а0г 0 и передвигаясь из ячейки а , ^ , в ячейку и на /-ом шаге,

I

у/ = у), %(А) - индикатор события А. Блуждание оканчивается в ячейке

„ _ .

Определим множество

0' =

где

■м Обозначим

7 = ''„'¡-л

я

=1

•1

. \

ь_

п,

} )

+ ...+

• Л1»

I», 5>

№

1-

.1 \\2 к. У»/ >

1-

ч*Л

О-2Р.)

¿Ар-

^ к

' л

\2-2t,

=<•..', + ¿А 7-

I- л

/ / /■ . \ С . \ 1 п!) \

\ ЬгА !-а) IV )

1А

л2

9-1

Теорема 1. Вероятность Р(Г42<Л) равна величине „ (й), которую

можно определить повторным применением соотношения

(А) = Ы,..,, (А)'А, + - + (4)

№

с начальными и граничными условиями: яг0___0(Л) = 1, =... = я'ог.,о-1

Здесь

Г1. со,, , <пл

' [ 0, в противном случае,

Разработанный метод позволяет вычислять вероятности для значительных объемов выборок. Табулированные точные вероятности Р(тк2 <й) для случая трех выборок одинакового объема представлены в табл. 1.

Таблица 1.

Значения точных вероятностей статистики Г/, при А =2

Объем выборки, л, к, = к2= к, = 1 А:, =1, к2 =1.5, к, = 2 Л, =1, *г=1,А,=2

100 0.88896 0.89632 0.89468

200 0.88893 0.89055 0.88945

300 0.88690 0.88809 0.88724

400 0.88559 0.88672 0.88594

500 0.88544 0.88579 0.88497

600 0.88370 0.88503 0.88437

V

Асимптотическое распределение статистики 7определялось методами теории слабой сходимости вероятностных мер в метрических пространствах. Рассмотрены эмпирические случайные процессы: = 0,1],

Ч 2

У' (/)= £ и, ^ (/) - . Процесс У„' (?) имеет вид

/«1

ы\ V М

Теорема 2. Эмпирический случайный процесс У„' (/) слабо сходится при и, —>оо, «,/«—»Р, >0 к распределению непрерывного процесса

¿л/л^Л') ' где МО - нормальный случайный процесс

<-1 V /

с характеристиками £(>■, (/)) = 0, Е[у, (.*)>>, (/)) = к^ ■ Л*0' (1 - ), 0 < 5 < / < 1. Введем следующие обозначения:

IV» V » а "Г2

ФД')= (1-2Д) ;

ф.,«>(0 = 2(1 - А(1 - ); (0 = Г + ;

г = г(/)=//Г.(0; Ч') = М,))\

Теорема 3. Математическое ожидание и функция ковариации процесса У'(/) имеют вид:

и" (>) - г ■ (1 -,)(,-1) - (ф. 0)^31- Ф,, (,));

Доказано, что процесс

у(/(г)) + /(г)[ф(/(г))^г-ф,(/(г))1

(Т)= > Г'(,(г))

имеет среднее значение вида Е\У' (г) = (<7 - 1)г(1 - г) и функцию ковариации вида соу(ж*(.у),Ж,(г)) = 2.52(д-1)(1-г)2, 0<£<г<1. Эти характеристики равны соответствующим характеристикам суммы квадратов (д -1) броуновских мостов. Теоретически обосновано, что для больших объемов выборок в качестве приближенного асимптотического распределения целесообразно использовать распределение Кифера-Гихмана, являющееся распределением супремума суммы квадратов (д -1) броуновских мостов. Его функция распределения имеет вид:

Л ® „9-3 -А,

с(А)=-т—ГТ—Р-Ег----

г| ^ Ь2)^ -

2

2

где й>0, - .у-ый положительный нуль функции Бесселя 3 (г).

2

На рис. 1 показаны графики зависимости точных вероятностей пщ „2 „ (й) от и, и А для случая трех выборок одинакового объема (горизонтальная прямая соответствует значению (?(Л)).

Статистика использована для оценки неизвестных значений к, по результатам испытаний; в качестве оценок к, выбирались значения, минимизирующие Тк2.

С целью определения точности предлагаемого метода оценивания было проведено статистическое моделирование.

50 100 150 200 250 300 350 450 550 n, kl=l, k2=l,5, k3=2, h=2 — kl=l, k2=l, k3=2, h=2 ---G(h)

Рис. 1. Значения Р(Ткг <h) и G(h)npK q=3, h=2

Алгоритм моделирования для случая трех выборок включает в себя следующие шаги:

1) фиксируются значения кх = 1, к2,кг;

2) моделируются 3 выборки по и, элементов в каждой (здесь представлены результаты моделирования для Fг = 1 - е~'~х, Ft = F2' = Ff', Я = 0.001);

3) определяются значения к,, минимизирующие значение Ткг.

но 120 1 юа

I 80 J

— Л щ V

1

'М

0.8 1,0 1.2 1А 1.6 1.8 2.0 2.2 Кг

а)

1

1,0 17 1,4 1.6 1.8 2,0 2.2

кг

В)

1,2 1,4 1.6 1,8 2,0 2,2 2.4 2.6 2.8 кз

г)

Рис. 2. Гистограмма оценок к2, для трехвыборочного случая с параметрами: а) и, = п2 =п} =50, к2 =1.5, кг = 1.504, S2 = 0.082; б) и, = пг = щ =50, к3 = 2, ¿3 =2.068, S2 =0.141; в) я, = п2 = «3 = 100Д2 = 1.5,к2 = 1.531, S2 = 0.048; г) «, = ^ = «3=100, = 2,£j = 2.042,S2 = 0.083

Пункты 2-3 повторяются 500 раз. По полученным значениям оценок строится их гистограмма и вычисляются среднее и дисперсия 52 выборки.

Третья глава посвящена определению корреляционных или функциональных связей между наработками изделия в нескольких режимах.

Пусть наработки одного и того же изделия в режимах

£0,е'„.соответственно связаны соотношением

= (5)

где х),...,<ртА(х) - некоторые функции. В дальнейшем для упрощения обозначений (без ограничения общности) рассматривается один форсированный режим, с функцией пересчета

Испытания в переменном режиме ё(1) проводятся следующим образом. Изделия в количестве N = разбитые случайным образом на п групп по т изделий, начинают испытываться в режиме е0, и, при первом отказе изделия в группе, оставшиеся (/и-1) изделия переключаются в форсированный режим с,. Пусть - теоретические наработки до отказа в режиме £0 изделий г -ой группы. Обозначим в'а,9',1,...,в',{т_п - реальные времена работы изделий / -ой группы в режимах е0,е., тогда в'в = • При соблюдении некоторых слабых

ограничений (Г.Д. Карташов; 1981) на распределение наработок при справедливости гипотезы (5) величины т}[ = ^ + =в'й будут совпадать с наработками Назовем прогнозными наработками изделия в нормальном режиме.

Обозначим через (} = (0'о,п1,—,п1т-п>—>во>т1"1—>п"т-») объединенную выборку из наработок изделий, 0 = (#„',...,- выборку из минимумов по каждой группе. Тогда при справедливости (5) функцию надежности Р0(() можно оценить по выборкам 2 и 0 как:

и, (0=о.

ре (0 = П| 1--11 - 4 (0 -- й

0,4(0 = И'

0=1-^. (6) тп у '

где «^(О^гСО -К0ЛИЧеств0 элементов выборок © и <2 соответственно, меньших /. Оценка Р0 (г) называется оценкой Каплана-Мейера функции Р0 (0 по цензури-рованным данным. Для проверки (5) предлагается статистика вида

Г=1Ял/л

шах-

ш

(7)

Статистика (7) является аналогом статистики Н.В. Смирнова (1939) применительно к рассматриваемой проблеме.

Чтобы вычислить точные распределения статистики Ттп, введем модель

У-1

случайного блуждания. Пусть А = {аЛ, / = 1 +

т-1

,...,«; 7 = 0,...«(/и-1) - дву-

мерный массив ячеек. Частица на первом шаге выходит из ячейки и на I-

ом шаге переходит из в ячейку где IV, - количество

элементов выборки 0 на последних тп-1+1 местах элементов объединенного вариационного ряда (). На тп-ом шаге она заканчивает блуждание в ячейке а0 0.

Теорема 4. Вероятность Р{Тт11 < И) равна величине л"00, которую можно получить повторным применением соотношения 1, если / = и, у = п(т -1);

\m-i- )

т(п-г) _

-:—г лм,1

тп-1-J у

j = 1 ,п(т -1). Здесь Хн =

О, ^ел

х9, 0</<«-1,0<7<(от-1)(/-1);

(„-о, =1. я,Лт.1)+1 =0, / = 0, п, ] - индикатор массива Д,, где Д, = {аи}, чьи

^ тп — г — ]

с начальными и граничными условиями лп (Л)_1)я = 1, л;Лт_1М =0, / = 0, п, ] = 0, [1, ^еД,;

индексы /,_/ удовлетворяют условиям: 1./ = 0,; = 0;

[ (тп) -т(тп-1-]) (/ + 7) если 1</<«-1, 0<7<(ш-1)/;

| г тп({т-\)п-

ЗАт^п--—------—п--

[ (тп) -т((т-1)п-7) (л + 7)

тп-1—]

тп

-п

*=1

1-

I и(и-* + 1)_

<А ,

(ш-1)/7-7

тп

<И\, / = «, 0<7' < (ю - 1)и.

Для предельного распределения статистики (7) справедлива теорема. Теорема 5. Предельным распределением случайной величины Ттп является стандартное распределение Колмогорова-Смирнова

<х}—^г+к(х)= Е (-О е •

В табл. 2 рассчитаны вероятности точного распределения Ттп для значения й=1.36, которое является квантилем уровня 0.9506 асимптотического распределения Колмогорова-Смирнова.

Таблица 2.

Точные вероятности для квантиля Ь=136_

Количество групп, п Количество элементов в группе, т

2 3 4 5 7 8

50 0.94631 0.90212 0.84697 0.78989 0.68676 0.64479

500 0.95434 0.95319 0.95199 0.94962 0.93830 0.92859

5 000 0.95201 0.95178 0.95166 0.95160 0.95152 0.95151

50 000 0.95102 0.95095 0.95093 0.95091 0.95090 0.95089

100 000 0.95087 0.95083 0.95081 0.95080 0.95080 0.95079

На рис. 3 графически проиллюстрирована сходимость точных вероятностей к асимптотическому значению для /?= 1.36.

Рис. 3. Сходимость точных вероятностей к их асимптотическому значению

В работе проведено статистическое моделирование с целью определения свойств оценок функций связи между наработками до отказа изделий в нормальном и форсированных режимах.

Рассмотрим случай линейной зависимости между наработками = к£,,, где к - заданный коэффициент ускорения. Моделировались пт случайных величин ¡,...,4'т), I = 1,распределенные по экспоненциальному закону (с параметром

2 = 0.0001). Определялись исходные данные ^ = и в= - ' ° ,

для ^ Ф в'а. В качестве оценки к выбиралось значение, минимизирующее статистику Ттп, т.е. к = &г%т\п(Ттп). Процедура повторялась 500 раз, а затем вычислялись среднее значение и дисперсия для к (табл. 3). По полученным данным строилась гистограмма полученных оценок для различных наборов параметров моделирования к, т (рис. 4).

Таблица 3.

Результаты моделирования для экспоненциального распределения __Д = 0.0001, тУ=120_

Коэфф. ускорения Количество изделий в группе

т=2 т=3 т=4 т=5

к 52 к 52 к 52 к Я2

2.0 1.9459 0.2422 1.9197 0.3403 1.9406 0.4645 1.8932 0.4539

3.0 2.8847 0.6336 2.8221 0.7258 2.8692 0.9820 2.9396 1.3257

4.0 3.9332 1.1496 3.8885 1.4913 3.7954 1.6037 3.8352 2.0607

5.0 4.9199 1.7441 4.8431 2.1848 4.8157 2.8820 4.7865 3.0519

6.0 5.8590 2.2538 5.6978 3.2491 5.8304 3.6422 5.6946 4.4305

Результаты вычислительного эксперимента показывают, что при фиксированном общем объеме выборки N = тп точность оценки коэффициента ускорения снижается при увеличении объема групп т.

0,5 1,0 1.5 2.0 2,5 3.0 3.5 0.5 1.0 1,5 2.0 2,5 3,0 3,5 4,0

к к

а) б)

Рис. 4. Сравнение точности методов для к=2 а) т = 2,к =1.95, 52 = 0.24; б) /л = 3, ¿=1.92, Я2 =0.34

В этом случае предлагается модификация проведения испытаний, заключающаяся в следующем: изделия группы переключаются в форсированный режим после отказа г -ого (г > 1) изделия. При этом условии значительно усложняется статистический аппарат обработки результатов испытаний, так как оценка Капла-на-Мейера будет зависеть от порядка следования отказов в нормальном и форсированном режимах. По этой причине в диссертации рассматривались условные распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова, проверяющих основную гипотезу

Я0 = (8)

Пусть - теоретические наработки у'-го изделия из /-ой группы в нормальном режиме, / = 1,...«; 7=1,...т. Обозначим - момент отказа г-ого

изделия /-ой группы в режиме е0, в',г+1,...,в',т - наработки неотказавших в еа изделий /-ой группы в форсированном режиме е,. Пусть

Л 'г+1= + 'т= + кв[т, ; = 1 ,п - прогнозируемые наработки в

нормальном режиме этих изделий ¿-ой группы.

Аналогично случаю г = 1 при справедливости гипотезы (8) функцию надежности Р0(г) можно оценить двумя способами: стандартной оценкой Рч(х) по объединенной выборке Q из реальных и прогнозируемых наработок и с помощью оценки Каплана-Мейера Р0(х) по реальным наработкам (выборка 0)

тп

где й2({) - количество элементов выборки Q, меньших /;

Ш =

-d.it)

тп - и, тп

т-щ-(т-г)

р

9=1

с/, (/) = 0; 1<аГ, (г)<м,;

Р* 1

/ / ч И.<^(/)<И„„

у у ' 0<р<и-1;

0,

Разработан метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова Т = тахр(/>,(;с),/>(.*)), где р(х,у) - некоторая функция, определяющая расстояние между х,у.

Пусть г, - время г-ого отказа изделия в / -ой группе (момент переключения в форсированный режим) г = 1.....п; г, <г2 <...<г„; н,. - количество отказов элементов из выборки 0, меньших или равных г,. Обозначим П1( - множество перестановок, у которых одинаковое количество отказов и, из множества © до момента г,., / = 1,и. Здесь и = (и,,м2,...,и„), г <их<иг<...<и„= пг , и:>1-г.

Теорема 6. Условная вероятность Р(7,</г|Пц) при заданном и = (м,,«2,...,м„) равна величине ягпг„,„,_,), которую можно получить повторным соотношением

•1-и

тп — / — 7 + 1

- (/-!)■ (т -г)-1 + \

тп-1- у' + 1

%0,аиеАу'

0,(j = -l){J((i = vt-l)г^((k-l)(m-r) + l<j<k(m-r)))■,

/ч Г1,

Здесь = к,и1с <1 <иы,и0 = 0, = •< - индикатор множества

[0, я,у £ Л;

л=Ц е л <Л); ^=1 ^=П^;

=

1, ^ < V,; 1--

1

,с! * п-г; Я(<5?) = 5 при и5<с1< ^ = 1, и — 1;

тп-с1+ 1 - А(с?)• (от - г) 0, с1 = пг.

Проанализированы различные возможные виды функции р(х,у), определяющие статистику Т. Методом Монте-Карло установлено, что наиболее приемлемым видом статистики Т является статистика

С = т ах Лет-г-П)« ^ГЛЧ 'ОКЧI

(9)

Заметим, что при г = 1 статистика (9) совпадает с (7).

Аналогично случаю г = 1 методом Монте-Карло исследованы свойства оценок к и получены гистограммы их распределения (рис. 5).

юс

90 80

'I 70

| ю

I 50 | 40 § 30 20

к.............................

1Г г IV................................. ............................. А 1 \ 1

<"4

140

I 120 \

5 100 " 80 1.................

1 «о 40 20 0 Р л ч

1.4 1.6 1 8 2,0 2.2 2.4 2.6 2.8

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2,2 2.4 2.6 2.8

а) _ б)

Рис. 5. Гистограммы оценок к при к = 2, т = 5, и = 300 а) г = 3, к= 2.0264, 52 = 0.2231; б) г = 4, к =2.0468, 52 =0.2274

Исследование показало, что предложенный метод дает приемлемую точность оценки при п > 40, а гистограммы показывают хорошие статистические свойства полученных оценок.

Основные результаты диссертационной работы

1.Для предварительных испытаний в нескольких постоянных режимах предложена статистика типа Кифера-Гихмана, которая позволяет проверить адекватность модели Кокса-Лемана для нескольких форсированных режимов. Для этой цели получены точные и асимптотические распределения этой статистики при справедливости модели Кокса-Лемана. Разработан метод оценки параметров степенной модели Кокса-Лемана, основанный на минимизации статистики типа Кифера-Гихмана. Методами статистического моделирования показана состоятельность этих оценок.

2. Для предварительных испытаний в переменных режимах получен метод оценивания функций пересчета с форсированных режимов на нормальный режим, позволяющий не проводить в ходе исследования испытания в постоянном режиме. Это существенно снижает продолжительность и стоимость этих испытаний. Для реализации полученного метода оценивания функций пересчета предложена статистика типа Смирнова, основанная на применении оценки Каплана-Мейера функции надежности. Получены точные и асимптотические распределения этой статистики.

3. Методами статистического моделирования показана состоятельность оценок функций пересчета, основанных на минимизации этой статистики. Предложен метод планирования предварительных испытаний в том случае, если известен диапазон возможных значений коэффициента ускорения испытаний.

Основные результаты диссертации отражены в работах:

1. Ермолаева М.А. Непараметрический анализ зависимости между распределениями наработок до отказа изделий и устройств в разных условиях эксплуатации // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. М., 2009. Вып. 3. С. 227-230.

2. Тимонин В. И., Ермолаева М.А. Оценки Каплана-Мейера в статистиках типа Колмогорова-Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15, №7. С. 18-26 (0,56 пл./0,35 п.л.).

3. Ермолаева М.А. Непараметрическая оценка зависимости коэффициента пропорциональности в модели кокса от фактора нагрузки // Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях: Сборник трудов международной научной конференции. М., 2010. С. 100-105.

4. Ермолаева М.А., Тимонин В.И. Новый метод определения коэффициентов ускорения форсированных испытаний радиоэлектронной аппаратуры // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Научная сессия, посвященная дню радио. М., 2010. Вып. 65. С. 57-59.

5. Ермолаева М.А., Тимонин В.И. Анализ цензурированных данных в испытаниях с переменной нагрузкой И Труды Российского научно-технического обще-

ства радиотехники, электроники и связи имени A.C. Попова. Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации. М., 2011. Вып. 4. С. 114-116.

6. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Многовыборочный аналог критерия Смирнова проверок степенных гипотез Лемана // Электромагнитные волны и электронные системы. 2011. Т.16, №11. С. 6-11 (0,38 п.л./0,25 пл.).

7. Ермолаева М.А. Исследование минимаксных оценок параметров модели Кокса-Лемана методами статистического моделирования // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2012. №7. С. 67-70.

8. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Точные распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова, применяемых для анализа остаточной надежности резервированных систем // Электромагнитные волны и электронные системы. 2012. Т.17, №10. С. 66-72 (0,31 п.л./0,18 п.л.).

9. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Оценка параметра степенной модели Лемана-Кокса методом минимизации функционалов типа Колмогорова-Смирнова и Сэвиджа // Наука и образование. Электрон, журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. № 7. DOI: 10.7463/0712.0410885. Режим доступа: http://technomag.edu.ru/doc/410885.html (0,5 п.л./0,26 п.л.).

Подписано к печати: 07.02.2014 Объём: 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 258 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, ул. Бауманская, д. 33, стр. 1 +7(495)979-98-99, www.reglet.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

На правах рукописи

04201456403

ЕРМОЛАЕВА Мария Андреевна

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ ПРИ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЕ ДАННЫХ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (информатика, машиностроение)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент

Тимонин Владимир Иванович

Москва - 2014

Оглавление

Стр.

Введение...........................................................................................................................3

Глава 1. Модели теории форсированных испытаний................................................10

1.1. Модель Кокса.......................................................................................................10

1.2. Оценка параметров модели Кокса и проверка ее адекватности.....................11

1.3. Модели форсированных испытаний в переменном режиме...........................18

Глава 2. Статистический анализ модели Кокса в форсированных испытаниях.....22

2.1. Постановка задачи...............................................................................................23

2.2. Точные распределения статистики Тк2 при справедливости проверяемой гипотезы.......................................................................................................................26

2.3. Асимптотическое распределение Тк2 при справедливости проверяемой гипотезы.......................................................................................................................30

2.4. Оценивание параметров степенной модели.....................................................38

2.5. Оценки параметров ¡3 регрессии к = от факторов нагружения..........40

Глава 3. Статистический анализ результатов испытаний с переменной нагрузкой ..........................................................................................................................................44

3.1. Постановка задачи...............................................................................................44

3.2. Точные распределения Ттп.................................................................................46

3.3. Асимптотическое распределение Ттп................................................................52

3.3.1. Интегральные представления для моментов функций Рв (?) и .....52

3.3.2. Асимптотические разложения для моментов функций Рв (/) и ....64

3.3.3. Асимптотическое распределение статистики Ттп......................................69

3.4. Анализ точности оценки коэффициента ускорения методом Монте-Карло 71

3.5. Обобщение порядка проведения испытаний с переменной нагрузкой. Анализ результатов....................................................................................................77

Выводы и заключение...................................................................................................88

Литература......................................................................................................................90

Введение

Актуальность проблемы. В период «холодной войны» противоборствующие стороны активно наращивали военные мощности, совершенствуя и создавая все более сокрушительное и эффективное вооружение. Однако в гонке за количеством чаще всего в первую очередь страдало качество, обе стороны несли колоссальные убытки из-за частого отказа техники. Тогда и была впервые озвучена проблема определения показателей и критериев надежности.

Проведение испытаний на надежность является основным способом определения показателей надежности изделия, при этом испытываемое изделие должно безотказно работать довольно продолжительное время. В связи с этим оценка показателей надежности традиционными статистическими методами [1, 2], требующая длительных испытаний больших объемов выборок изделий, ведет к большим временным и материальным затратам. В условиях жесткой конкурентной борьбы сокращение времени с момента разработки изделия до вывода его на рынок - основная задача производителей. Таким образом, в 60-ых годах стало развиваться направление, связанное с проведением ускоренных испытаний, позволяющих определять показатели надежности в сжатые сроки. Чаще всего под ускоренными испытаниями понимается такой способ их проведения, при котором ускоряются процессы, приводящие к отказам изделия. Такой эффект достигается применением более жестких условий функционирования изделий в процессе испытаний - форсированных режимов испытаний. В дальнейшем под ускоренными испытаниями будут пониматься именно испытания в форсированных режимах - форсированные испытания. Многие идеи ускоренных испытаний были взяты из методов проведения усталостных испытаний материалов, в которых были сформулированы многие принципы, используемые в теории форсированных испытаний различных изделий (принцип Пальмгрена-Майнера [3], переменные режимы испытаний [4] и пр.)

Проблемам форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. В частности, решению вопросов, связанных с их проведением, полностью или частично посвящены монографии [510]. Среди отечественных авторов отметим работы X. Б. Кордонского, А.И. Перроте, Г. Д. Карташова, Н.М. Седякина, Л .Я. Пешеса. Из иностранных авторов -Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

При проведении испытаний сложных изделий в виду многообразия физико-химических процессов, протекающих в них, в большинстве случаев невозможно теоретически обосновать существование каких-либо закономерностей, связывающих между собой наработки до отказа этих изделий в разных режимах. Тогда необходимы предварительные испытания и исследования. Во время их проведения [11]:

-выбираются форсированные режимы;

-определяются функции пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

-проверяются различные модели расходования ресурса; -обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

Общая методология. проведения предварительных исследований была разработана Г.Д. Карташовым [12]. Предложенные им методы проведения предварительных испытаний позволяли решить перечисленные выше задачи, однако требовали больших временных и материальных затрат.

В работах В.И. Тимонина [13, 14] было показано, что применение оценок Каплана-Мейера позволяет исключить испытания изделий в нормальном режиме в комплексе предварительных исследований. Это существенным образом снижает стоимость их проведения.

Однако в его работах рассматривались не все возможные варианты этих исследований. В настоящей диссертации его результаты обобщены на значительно более широкий класс предварительных испытаний, что в значительной степени позволяет сократить их объем и продолжительность. Важно

отметить, что предложенные в данной работе методы не уступают в точности ранее используемым, а в ряде случаев и превосходят их. Кроме того, они не требуют знания вида распределения наработок до отказа, которые практически всегда неизвестны. По этой причине новые методы более предпочтительны для применения на практике. Таким образом, решаемые в диссертации задачи являются важными и актуальными для проведения форсированных испытаний.

Постановка задачи. Решение основных проблем предварительных испытаний связано с решением двух задач:

1. Определение функциональных связей между распределениями наработок до отказа в нескольких режимах;

2. Определение корреляционных или функциональных связей между наработками изделия в нескольких режимах.

Отметим, что эти две задачи существенно различаются [15]. В первой необходимо установить зависимость между функциями распределения наработками в различных режимах. Во второй рассматриваются наработки до отказа одного и того же изделия в различных режимах эксплуатации, и требуется установить зависимость между компонентами случайного вектора, состоящего из этих наработок.

Во второй главе диссертации решается задача установления зависимости между функциями распределения наработок до отказа изделий в различных режимах. Обычно для ее решения проводят испытания в нескольких постоянных форсированных режимах, после чего стандартными регрессионными методами осуществляют экстраполяцию результатов к условиям нормального режима. В этом случае подавляющее большинство существующих методов требует знания вида распределения наработок до отказа, а также его неизменности во всем диапазоне используемых режимов. В диссертации аналогичная задача решается в рамках степенных моделей Кокса-Лемана [16], которые не требуют знания вида функции распределения наработок до отказа.

Таким образом, для решения первой проблемы необходимо:

1. Разработать модели регрессии, которые не требуют знания законов распределения наработок в различных режимах.

2. Разработать статистические методы проверки адекватности предложенных моделей.

3. Разработать статистические методы проверки гипотез о значениях параметров моделей и их оценки по результатам испытаний.

4. Создать программное обеспечение.

В третьей главе рассматривается возможные пути решения второй проблемы. Для ее решения невозможно использовать классические методы математической статистики. На практике нельзя определить наработки до отказа у одного и того же изделия в различных режимах, поскольку после первого же тестирования оно либо оказывается неработоспособным, либо у него существенно меняются технические характеристики. Эта проблема называется проблемой «ненаблюдаемых одновременно» параметров, решение которой и составляет цель проведения предварительных исследований. На основе результатов Г. Д. Карташова [17] были разработаны основные методы проведения предварительных испытаний, решающие данную проблему. Вместе с тем ввиду отсутствия современного аппарата обработки результатов этих испытаний, их проведение требовало больших объемов выборок и временных затрат. В работах В.И. Тимонина было указано направление исследований решения этой проблемы и получены первые результаты.

Поэтому основными задачами диссертации для решения второй проблемы являются:

1. Модернизация применяемых моделей планирования и проведения предварительных исследований.

2. Разработка точных и асимптотических статистических методов обработки результатов этих экспериментов, пригодных для малых выборок.

3. Создание соответствующего программного обеспечения.

Цель работы. Таким образом, целью работы является разработка новых методов предварительных испытаний и соответствующих статистических

моделей для обработки их результатов, которые должны обеспечить, во-первых, существенное снижение их времени проведения и стоимости и, во-вторых, независимость выводов от вида распределения наработок до отказа.

Научная новизна. Для моделей с ненаблюдаемыми одновременно наработками в разных режимах предложены модифицированные методы проведения экспериментов, позволяющие существенно сократить продолжительность и объемы испытаний. Разработаны специальные методы непараметрического анализа результатов этих экспериментов, обобщающие существующие процедуры для случая зависимых и цензурированных данных.

Для проблемы определения связей между функциями распределения Т7,^),/7^),..., отказов в нескольких режимах рассмотрена и решена задача

статистической проверки моделей Лемана-Кокса для случая многих выборок, которые имеют вид Т7*1 (/) = ... = ^ (7). Получены новый непараметрический

критерий, позволяющий проводить анализ результатов форсированных испытаний, не предполагая известным закон распределения наработок до отказа.

Все разработанные методы являются точными, то есть применимы для выборок любых объемов. Получена общая итерационная процедура вычисления точных распределений статистик предложенных критериев, применимая для выборок больших объемов.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для предварительных испытаний в нескольких постоянных режимах предложена статистика типа Кифера-Гихмана, которая позволяет проверить адекватность модели Кокса-Лемана для нескольких форсированных режимов. Для этой цели получены точные и асимптотические распределения этой статистики при справедливости модели Кокса-Лемана. Разработан метод оценки параметров степенной модели Кокса-Лемана, основанный на минимизации статистики типа Кифера-Гихмана. Методами статистического моделирования показана состоятельность этих оценок.

2. Для предварительных испытаний в переменных режимах получен метод оценивания функций пересчета с форсированных режимов на нормальный режим, позволяющий не проводить в ходе исследования испытания в постоянном режиме. Это существенно снижает продолжительность и стоимость этих испытаний. Для реализации полученного метода оценивания функций пересчета предложена статистика типа Смирнова, основанная на применении оценки Каплана-Мейера функции надежности. Получены точные и асимптотические распределения этой статистики.

3. Методами статистического моделирования показана состоятельность оценок функций пересчета, основанных на минимизации этой статистики. Предложен метод планирования предварительных испытаний в том случае, если известен диапазон возможных значений коэффициента ускорения испытаний.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались методы теории вероятностей и математической статистики, функционального анализа и вычислительной математики, а также методы математического моделирования.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных в диссертационной работе, с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как содержательным образом, так и методами математического моделирования.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы связана с ее прикладной направленностью, а полученные результаты могут быть использованы при оптимизации проведения предварительных испытаний, повышения достоверности оценок показателей надежности за счет применения непараметрических методов анализа их результатов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2009, 2010); Международных

конференциях «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (Суздаль, 2009, 2011); 65-ой научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 2010); Международной научной конференции «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях» (Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 9 научных работах, в том числе 5 статей в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертации и материалах трех международных конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который, непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа изложена на 99 страницах, содержит 14 иллюстраций и 6 таблиц. Библиография включает 84 наименований.

Глава 1. Модели теории форсированных испытаний

1.1. Модель Кокса

По мере роста показателей надежности основным направлением развития теории их статистического оценивания стал анализ результатов ускоренных испытаний. (В. Нельсон [7], Г.Д. Карташов [12], Н. Сингпурвалла [21], В.А. Смагин [55]).

Вначале рассматривались параметрические модели (см. [22, 23, 79, 80]), затем в виду неустойчивости законов распределения наработок до отказа все больше внимания обращалось на непараметрические методы, в которых главная роль в западной литературе отведена анализу модели Кокса [16].

Рассмотрим модель пропорциональных рисков Кокса, которая обычно записывается в виде

Я(?,х,р)-Я0(/)^(х,р), (2.1)

где А0(/) - базовая функция интенсивности отказов, Р- вектор неизвестных параметров, х - вектор известных переменных, определяющих «жесткость» режима испытаний (факторов или ковариат). Вид функции (//(х,р) полагается

известным. Вместе с тем базовая функция интенсивности отказов А0(/)-

произвольна, что иногда приводит к тому, что модель Кокса называют полупараметрической.

Важной особенностью модели пропорциональных рисков является то, что базовая функция интенсивности отказов зависит от времени I х не зависят от времени. В случае, когда х зависят от времени, такая модель не удовлетворяет предположению пропорциональности рисков и называется расширенно�