Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний

Тимонин, Владимир Иванович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний

доктора физико-математических наук: Тимонин, Владимир Иванович
город: Москва
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний»

Автореферат диссертации по теме "Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний"

На правах рукописи УДК 519.718

ТИМОНИН Владимир Иванович

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ СОКРАЩЕНИЯ ОБЪЕМОВ И ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ

Специальность

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана.

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ,

профессор, доктор технических наук Карташов Г.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Каштанов В.А. доктор физико-математических наук, профессор Зубов Н.В.

Ведущая организация: ФГУП 22 ЦНИИИ Министерства обороны РФ

Защита диссертации состоится « £ » 2005 г. в

£ i час. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Автореферат разослан« » 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор Воскобоев В.Ф.

Волков И.К.

Подписано к печати ВО Ю О? Объем 2 пл. Тираж 100 экз. Заказ 327

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана

2006- *

Общая характеристика проблемы

Актуальность проблемы. Испытания технических изделий являются основным средством определения показателей их надежности. По некоторым оценкам, расходы на них в СССР доходили до 10% от стоимости изделий, что в масштабах страны составляло десятки миллиардов рублей. С развитием техники требования к ее надежности постоянно росли. В настоящее время многие изделия должны с высокой вероятностью безотказно работать длительное время, исчисляемое годами, а то и десятилетиями. В этих условиях традиционные статистические методы оценивания показателей надежности оказались неприменимы из-за того, что они требуют длительных испытаний выборок больших объемов. В связи с этим в теории надежности чрезвычайно актуальной стала проблема ускоренных испытаний. Решение этой проблемы может быть осуществлено разными способами: использованием методов прогнозирования или распознавания образов, знанием физики отказов, анализом информации по изделиям-аналогам и др. В данной диссертации рассматриваются только методы, когда сокращение длительности испытаний достигается ужесточением (форсированием) режимов.

Проблеме форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. Среди отечественных авторов отметим работы Кордонского Я.Б., Перроте А.И., Карташова Г.Д., Седякина Н.И., Пешеса.Л.Я. Из иностранных авторов - Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

К настоящему времени удалось получить ответы на многие вопросы, возникающие при проведении форсированных испытаний. Определены условия, которым должен удовлетворять форсированный режим, способы экстраполяции результатов форсированных испытаний к нормальным условиям, продолжительность (коэффициент ускорения) испытаний. Достаточно полно разработаны программы предварительных исследований, на стадии которых проверяются (или устанавливаются) различные предпосылки методов форсированных испытаний. Решена проблема инвариантности, что позволяет распространить результаты предварительных исследований на любые партии данных изделий. Созданы соответствующие нормативно- техническая документация и программное обеспечение.

Вместе с тем, несмотря на свои очевидные преимущества, форсированные испытания еще не получили достаточно широкого распространения. Дело в том, что для их реализации вначале необходимо проведение так называемых предварительных исследований, на стадии

которых определяются основные характеристики форсированных испытаний:

- выбираются форсированные режимы (нагрузки);

- определяются методы пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

- проверяются различные модели расходования ресурса;

- обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

Проблема заключается в том, что современные методы предварительных исследований (их основными компонентами являются предварительные испытания и соответствующее статистическое и программное обеспечение) часто являются основным препятствием для применения форсированных испытаний.

Причины этого перечислены ниже,

А. Производство выпускает изделия отдельными партиями, которые имеют (или могут иметь) различные распределения наработок до отказа (проблема нестабильности процесса производства). На практике предварительные испытания всегда проводят на изделиях одной партии. Возникает вопрос, какого рода информация, связывающая поведение изделий в различных режимах, должна быть получена по их результатам, чтобы ее можно было распространить на другие партии аналогичных изделий? Как проводить предварительные испытания для определения этой информации (если вид ее установлен) и обработать полученные данные?

Ответ на эти вопросы был дан Г. Д. Карташовым. Он показал, что неизменяемыми (инвариантными) для любых партий являются функции связи между наработками до отказа (или между изменением технических параметров) одного и того же изделия в разных режимах. Однако, в силу разрушающего характера испытаний, у одного изделия можно получить только одну из этих наработок и поэтому классические методы неприменимы для определения этих функций. Для решения этой проблемы Карташовым Г.Д. были разработаны специальные модели проведения предварительных испытаний, которые в дальнейшем будем называть моделями первого типа. Однако методы обработки их результатов, основанные на применении стандартных процедур статистического анализа, требуют проведения длительных испытаний одной из выборок изделий в нормальном режиме, что часто и делает предварительные исследования неприемлемыми по продолжительности и стоимости.

Б. Предварительные испытания проводят также для установления зависимостей между функциями распределения наработок до отказа в различных режимах. Обычно считают, что вид функции распределения известен, а ее" параметры, зависят от уровней форсирующих факторов (или, 2 , . .

сокращенно, уровня нагрузки). Если процесс производства можно считать стабильным, то предварительные испытания проводят по обычной регрессионной схеме. Такие модели испытаний будем называть моделями второго типа. Известен ряд зависимостей (Аррениуса, Эйринга, степенная и др.) параметров распределений наработок до отказа от температуры, влажности и других факторов, позволяющих экстраполировать результаты испытаний в нескольких форсированных режимах на нормальный режим. Однако в этом случае нередко для части ступеней испытаний подходит одно распределение, для остальных - другое. В таких случаях проблема экстраполяции становится неразрешимой, так как о виде распределения наработок в нормальном режиме невозможно сделать никаких предположений. В связи с этим остро встают вопросы достоверности результатов предварительных исследований при использовании параметрических регрессионных моделей.

В. Общей проблемой любых испытаний является ограниченность объемов статистического материала. При использовании обеих моделей в подавляющем большинстве случаев анализ данных основан на применении асимптотических методов оценивания и проверки гипотез. Некритическое применение асимптотических методов для выборок малых (и даже средних) объемов часто приводит к совершенно неудовлетворительным результатам (см. обзор автора [1] и сноску на стр. 18).

В основе перечисленных выше проблем лежит недостаточная разработанность статистических методов обработки результатов предварительных испытаний: нет непараметрических методов проверки соотношений между функциями распределения неоднородных независимых выборок (полных и цензурированных) (п. Б); проведение испытаний в нормальном режиме (п. А) вызвано отсутствием методов проверки однородности выборок, не являющихся независимыми; не разработаны численные методы определения точных (для выборок любых объемов) распределений статистик, применяющихся для анализа получаемых данных (п. В).

По мере развития техники значение указанных проблем будет только возрастать. Поэтому не будет преувеличением сказать, что широкое внедрение форсированных испытаний сводится к сокращению продолжительности (а, значит, к уменьшению стоимости) и повышению достоверности предварительных исследований.

Поскольку для современных изделий чрезвычайно важное значение имеет оперативное определение показателей надежности (на их основе рассчитывается кратность резервирования, длительность времени между профилактиками, решаются вопросы о модификации или разработке новых изделий и т.д.), а форсированные испытания являются одним из основных инструментов решения этой задачи, то разработка новых моделей и

методов, позволяющих существенно сократить объемы и продолжительность, повысить достоверность результатов их главной исследовательской части - предварительных испытаний - является крупной научно-технической проблемой, имеющей важное прикладное значение.

Решению именно этой проблемы и посвящена данная диссертация на примере изделий радиоэлектроники.

Целью работы является развитие существующих и разработка новых моделей и методов статистического анализа результатов предварительных испытаний, применимых к выборкам любых объемов и позволяющих уменьшить продолжительность испытаний, минимизировать применение нормального режима, перейти к непараметрическим методам экстраполяции результатов испытаний.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. В моделях испытаний 1-ого типа провести анализ структуры составляющих их режимов и определить характер информации о распределении наработок в нормальном режиме, содержащейся в результатах испытаний в переменных режимах.

2. Разработать новые непараметрические методы анализа данных в моделях испытаний 1-ого типа, позволяющие решать поставленные задачи и использующие результаты испытаний только в переменных режимах (учитывая специфический характер этих данных -цензурированность, зависимость и т.п.).

3. Для моделей испытаний 2-ого типа разработать модели регрессии, которые не требуют знания законов распределения наработок в различных режимах предварительных испытаний.

4. Разработать точные и асимптотические методы оценки параметров этих моделей по результатам предварительных испытаний для полных и цензурированных выборок.

5. Создать соответствующее программное обеспечение.

6. Провести анализ точности предложенных процедур методами статистического моделирования.

7. Апробировать и реализовать результаты работы в производстве и нормативно - технической документации.

Объектами применения разработанных методов могут быть любые изделия, хотя в диссертации они апробированы на различных изделиях радиоэлектроники. В принципе методы могут использоваться в любых областях науки и техники.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Доказана принципиальная возможность определения связей между ненаблюдаемыми одновременно параметрами (наработками до отказа одного и того же изделия в различных режимах) по результатам испытаний одной выборки в переменном режиме. Эти функции связи будут инвариантны для любых партий аналогичных изделий.

2. Впервые получены методы проверки справедливости моделей расходования ресурса (Пальмгрена - Майнера, Седякина и др) по испытаниям одной выборки в переменном режиме.

3. Впервые поставлена и решена задача проверки адекватности моделей связи между функциями распределения наработок в различных режимах, не требующие знания типа этих функций.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны математические модели, связывающие между собой ненаблюдаемые одновременно наработки в различных режимах и позволяющие определять функции связи между ними по результатам испытаний одной выборки в переменном режиме.

2. Предложен новый класс непараметрических критериев проверки адекватности используемых функций связи между ненаблюдаемыми одновременно наработками по зависимым и цензурированным выборкам, применение которых позволяет на 30%- 40% сократить продолжительность и объем предварительных исследований.

3. Разработаны оригинальные алгоритмы вычисления точных распределений статистик предложенных критериев для любых объемов полных и цензурированных выборок, что позволяет численно получать точечные и интервальные оценки параметров функций связи.

4. Предложен новый класс непараметрических критериев проверки адекватности моделей связи между распределениями наработок до отказа в различных режимах.

5. Разработаны оригинальные алгоритмы вычисления точных распределений статистик предложенных критериев для любых объемов полных и цензурированных выборок, что позволяет численно получать точечные и интервальные параметров моделей и повысить достоверность и точность форсированных испытаний.

6. В рамках экспоненциальной модели для широкого класса функций пересчета получены достаточные условия оптимальности (по средней продолжительности) предварительных испытаний в зависимости от порядка чередования составляющих их режимов.

7. Проведено обширное статистическое моделирование для проверки полученных результатов.

8. Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы.

Методы исследования. В диссертации использованы методы: вероятностно - статистические, асимптотические, функционального анализа, численные, моделирования.

Апробация результатов исследования.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Математические методы в технике» МГУ им. М.В. Ломоносова, Всесоюзной научно-технической конференции «Применение статистических методов в производстве и управлении» (Пермь, 1984), I-ом Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей (Ташкент, 1986), Международном симпозиуме «Надежность» (Магдебург, 1990), И-ой Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994), Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2001, 2003,2004 гг.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена корректностью математической постановки и решения рассматриваемых задач, выбором общей модели функционирования технических систем, апробированием методов на широком классе изделий радиоэлектроники, совпадением частных результатов диссертации с выводами других авторов. Кроме того, для проверки точности предлагаемых методов проводилось обширное статистическое моделирование.

- НИР «Мороз - 6» - «Разработка комплекса государственных военных стандартов «КСОТ», «КСКК». Аппаратура, приборы, устройства и оборудование военного назначения. Общие технические требования, методы контроля и испытаний», ФГУП 22 ЦНИИ МО РФ, 1996... 1998гг.;

- НИР «Климат 7» «Разработка комплекса государственных военных стандартов «КСОТ», «КСКК». Изделия электронной техники, квантовой электроники и электротехнические. Общие технические требования, методы контроля и испытаний», ФГУП 22 ЦНИИ МО РФ, 1997г.;

- НИР «Салон - 3» «Разработка основных принципов и методов ускоренных испытаний на надежность (ускоренной оценки надежности) радиоэлектронной аппаратуры военного назначения», ФГУП 22 ЦНИИ МОРФ, 1990г.;

- НИР «Сверлило - 22» «Исследование технического состояния средств единой системы государственного опознавания «Пароль» с целью продления их эксплуатации сверх установленных в нормативно-6

технической документации ресурсов и сроков службы», ФГУП 22 ЦНИИ МОРФ, 2004...2006 гг.

Во всех этих работах автор принимал личное участие, которое состояло в разработке и обосновании программ предварительных экспериментов, методов и алгоритмов обработки их результатов, интерпретации полученных результатов.

Полученные результаты использовались:

- при разработке нормативно- технических документов (НТД):

РМ В. 22.42.83 - 87 (руководящий материал). Основные принципы и методы ускоренных испытаний на надежность радиоэлектронной аппаратуры военного назначения./ Г.Д. Карташов, Л.Г. Ветров, В.И. Тимонин и др. - М.: Минобороны СССР, 1987. - 261с.;

РМ 22.31.144 - 90 (руководящий материал). Ускоренная оценка надежности радиоэлектронной аппаратуры военного назначения: В 6 томах. / Г.Д. Карташов, В.И. Тимонин, В.Н. Белов и др. -М.: Минобороны СССР, 1990.-976с;

РД В 319.01.11-98 Аппаратура, приборы, устройства и оборудование военного назначения. Типовые методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность./ Г.Д. Карташов, В.И. Тимонин, В.Н. Белов и др.- М.: Минобороны РФ, 2000.-95с.

Данные нормативные документы разработаны в развитие и обеспечение требований и рекомендаций ГОСТ Р В 20.57.304 и регламентируют методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность изделий радиоэлектроники военного назначения. Эти методики были апробированы на широком круге изделий при участии более сотни организаций (в рамках НИР «Салон - 3»). В результате применения разработанных методов удается сократить длительность испытаний в 2,5 - 6 раз;

- в курсе лекций Политехнического музея (г. Москва) для специалистов по надежности, а также в учебных курсах по дополнительным главам математической статистики и многомерному статистическому анализу в МГТУ им. Н.Э.Баумана. Они используются студентами при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Результаты работы внедрены в 22 ЦНИИИ Минобороны России (г. Мытищи), что подтверждается соответствующим актом.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 (из них 13 написаны без соавторов) научных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 128 наименований. Текст изложен на 240 страницах и включает 29 таблиц и 33 рисунка.

Работа выполнена при научной консультации доктора технических наук, профессора, заслуженного деятеля науки РФ Карташова Г Д, которому автор выражает благодарность за внимание к работе и взаимные обсуждения и замечания, во многом способствовавшие ее улучшению.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулирована ее цель, определены научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе определяются основные понятия и вводятся обозначения, используемые в работе. Дан краткий обзор существующих методов проведения форсированных испытаний и обработки их результатов. Приводятся наиболее часто используемые модели расходования ресурса (Пальмгрена - Майнера, Седякина, Пешеса-Степановой) и регрессионные модели (Кокса, Аррениуса, Эйринга и другие). Сформулированы основные задачи, решаемые в диссертации.

Изделие в теории надежности характеризуется режимом работы (нормальным г0 или форсированным £,), набором конструктивных параметров со0, технических параметров Х = Х(ю0 ,1,е), а также моментом отказа ,б), I> 0, ее Е, (Е-множество режимов

функционирования изделия), ю0 = ш(0) - значение со в момент изготовления. Уточним, что под конструктивными параметрами со=(<в,,...,соп,...) понимают набор параметров, характеризующих внутреннюю физико-химическую структуру изделия, его размеры и тому подобное. В дальнейшем не потребуется знания реального содержания параметров со, необходимо лишь постулирование их существования.

В теории форсированных испытаний основой для решения проблемы ненаблюдаемых одновременно наработок =^(со0,е0 ) и %ч =% (со0,е,) является принцип инвариантности (ПИ), который утверждает, что производство не может изменить функции Х=Х(га0 Д,е), Е,=с(га0,е), хотя может изменять от изделия к изделию конструктивные параметры со0, а также их распределение для различных партий. Этот принцип был предложен Г.Д. Карташовым. Он показал, что если принцип инвариантности выполняется, то на изделиях одной партии можно так провести эксперимент по определению функций связи между ненаблюдаемыми одновременно наработками , что полученные функции пересчета £0= ) останутся неизменными и для изделий других партий.

Планы таких экспериментов в качестве необходимого элемента предусматривают испытания выборки изделий в переменном режиме е(0, который в простейшем случае имеет вид

,0<г<т,

?(t) ' е., т, <t ' (1)

где момент переключения xi изделия в режим 8. является случайной величиной с некоторым распределением G(t).

Результатом таких испытаний являются п пар наработок ( 6|, ), где 0),©2 -наработки i -ого изделия в режимах s0,s» соответственно. Заметим, что 82 =0, если изделие откажет до момента т,, то есть <л1. Еще одна выборка объема m испытывается в постоянном режиме е0. Обозначим их моменты отказов Vj ,v2,..., vm. Пусть F0(t)- функция распределения наработок до отказа в режиме е0.

Для таких экспериментов будет справедлив следующий основной результат теории форсированных испытаний. Пусть наработки связаны соотношением

Н0:$0=Ф№.) • (2)

Обозначим через г), =0j + ср(02)- прогнозируемую наработку в режиме е0 i -ого изделия первой выборки, i = 1, п. Тогда для того, чтобы выполнялось (2), необходимо и достаточно, чтобы выборки v=(v! ,v2,...,vm ) и л=('П1»'П2»—»Лп) были извлечены из одной генеральной совокупности Ф с функцией распределения Fo(t). Однородность этих выборок можно проверить одним из стандартных критериев - Смирнова, Реньи и другими.

Приведенная структура испытаний, с различными вариациями, присутствует в любых частных методиках. Таким образом, необходимым элементом всей методологии предварительных исследований является наличие опорной выборки v,,V2,...,vm.Ee получение требует длительных дорогостоящих испытаний, что и является главной проблемой этих исследований. Ее решению посвящена вторая глава диссертации, где доказана принципиальная возможность не проводить испытаний в режиме s0, а ограничиться лишь испытаниями в режиме s (t).

Далее в первой главе для моделей испытаний 2-ого типа рассматриваются существующие методы определения связей между маргинальными функциями распределения F0(t), F» (t) наработок до отказа в режимах е0 и s,. В этом случае не проводят испытаний в переменном г и нормальном е0 режимах, а оценку F0(t) осуществляют экстраполяцией

данных с форсированных ступеней е, ,. ,е, согласно той или иной выбранной регрессионной модели. Как уже упоминалось выше, для таких испытаний остро встают вопросы достоверности прогноза из-за вариабельности распределений наработок в зависимости от режима. Один из возможных методов решения этой проблемы представлен в третьей главе диссертации, где разработаны свободные от распределения методы анализа подобных данных, позволяющие экстраполировать результаты испытаний на условия режима е0 для некоторых моделей регрессии. Эти методы являются точными для любых объемов выборок.

Далее в первой главе диссертации сформулирована задача сокращения длительности предварительных испытаний в зависимости от порядка чередования режимов, составляющих переменный режим еО). Решение этой задачи дается в четвертой главе, в которой показано, что для широкого класса функций пересчета существует оптимальное в смысле средней продолжительности испытаний чередование режимов, если

Во второй главе среди всех видов предварительных испытаний е(1) выделен класс так называемых динамических, для которого доказана возможность оценок функций связи без проведения испытаний в режиме £0. При использовании одного форсированного режима е, они проводятся следующим образом.

Образцы изделий в количестве N = 2п, разбитые случайным образом на п пар, испытываются в переменном режиме ? следующим образом: вся выборка начинает испытываться в режиме е0 и, при отказе одного из образцов ¡-ой пары, оставшийся годным образец переключается в е». Результатом испытаний являются п пар наработок (9',, 9^), где 0|,92 -времена функционирования I -ой пары в режимах £0,е* соответственно. Обозначим, какиранее, т], =8] ч-ср^).

Пусть (Ъ>\, £,2)" наработки до отказа в режиме е0 образцов 1 -ой пары. Тогда 0| =тт(^{,^2) и, при справедливости (2), т^ = тах(£,',, Обозначим ©=(в[,...,0")- выборку из минимумов;

0=(е',П1,е?,Т12»-)в!,>Т1п)-Объединенную выборку; ц(г) Д (г) - количество элементов выборок 0,0, меньших I. Заметим, что выборки 0,0 зависимы, в частности Р(0{<Г11) = 1. Рассматривая © как прогрессивно цензурированную выборку из совокупности Ф, определим оценки функции надежности Р0(1:) по каждой выборке 0 соответственно как

Ц(1) 1

па———-),1<иО)<п-1

]=1 2п-2'}+2

О, ц(Ч)=п

Оценка Р0 (1) называется оценкой Каплана - Мейера функции надежности по цензурированным данным.

Для проверки (2) предлагается критерий типа Колмогорова -Смирнова со статистикой

Р„ (I)

4 1 Р8а)-Рч(1)| (3)

Т„ =тах

' [Рч0)]2 + [1-Рч(0]2 Доказывается состоятельность данного критерия, разработан метод вычисления точного распределения статистики Тп, работающий для выборок объема до 4000 пар единиц. Показано, что предельное распределение нормированной статистики (3) есть стандартное распределение Колмогорова. В частности, справедлива

Теорема 1. Вероятность Р(ТП<Ь) равна величине япп, которую можно получить повторным применением соотношения

ям =Кн -2(1. • А)-ху(Ь), п>;>.)>о

1 1+] ' l+J '

с начальными и граничными условиями яо,о =Хо,о(Ь). к,,-1=0, 1 = 1,п.

Здесь

(4)

(2п — г — у)2 + (г + у)

По-

к=I

2п — 2к + 2

2 п

<к, 1<п

(«-у)2

• < /г, г = п

' (« ~ У)2 + (и + /)2

0, в противном случае,

Без ограничения общности можно считать, что Р0 (I) = 1 -1, 0 < \ < 1. Для предельного распределения статистики (3) справедлива теорема. Теорема 2. Предельное распределение (3) при условии (2) дается выражением

1ЛтР(2<</пТп <Ь) = Р(|У(1|<Ь, 0<1<1) = 1-2£(-1)к+1е"2к ь ,

П-МО ]

где У (I) - непрерывный гауссовский процесс с ЕУ(Ч) = 0, 2 2

ЕУ(8)-УЮ= -=--Г ,0<8<1<1.

На основе статистики Тп можно численно строить точные доверительные множества для параметрических функций связи ). В простейшем линейном случае £,0 = К доверительный интервал Лу уровня у для коэффициента ускорения К определяется согласно

Следствие 1. Точный доверительный интервал Ду=(Кн,Кв) имеет

вид

Кн = пип(К|тсп„ (К)<у), Кв =тах(К|каа (К)<у),

где лп п (К) получено согласно (4) при Ь=ТП (К).

В диссертации рассмотрен также случай определения функций связи в том случае, если испытания в с проводятся по сокращенной программе, когда испытания прекращаются после наступления [Х-2п]-ого отказа (О<< 1). Для таких данных предложено применять статистику типа Реньи, которая имеет вид

т-р^) |

= шах 5.(0 = шах -2-^^-1, (5)

где и(А.) = -

' л/Г^Х + Л/Х'

Для статистики (5) доказаны теоремы о ее точном и предельном распределениях при условии (2).

Теорема 3. Вероятность •Р„(ЛА2 < И) равна величине п^, которую можно получить повторным применением соотношения

{ 2сЧМ + 1) ^

711^-1--ГП-+ п

1 + Л ^

с начальными и граничными условиями

Яоо = Хоо(Ао),я,н =0П = 1,п.

Хц(А0),п>1>]>0

ЯИ =ям-1 'г ■Х11(А0),121<п

Здесь Ху(Ао) =

1,(и)бА0

А0=

1 + .К

2п т^+тг^х

2п Т^+ТГ1!

)п(1^<Ь)

О,

4п д/п (1-Х)

па-к=1

¡ = ] = 0;

2п-1-]

2п - 2к - 2

2п

0< .¡<1<п-1 1*0

с^п) =

VI 20-1) п-1

1 = П.

^ = 1, п.

Предельное распределение (5) дается теоремой. Теорема 4. При л —> да и выполнении (2) распределение статистики (5) сходится к стандартному распределению Реньи

1ш1Рп(1^<ь)=Ц11)=-5;

(-1)1

ехр<-

(21+ 1)2

(6)

я ,=1 21 + 1 ■ [ 8Ь"

В диссертации табулированы точные квантили статистики (3) для п < 4000 и статистики (5) для значений X = 0,7; 0,8 для тех же п. Показано, что сходимость к предельному распределению чрезвычайно медленная. Разница между точными и предельными вероятностями даже при п - 4000 для квантилей различных уровней составляет от 0,0005 до 0,007. Отсюда следует, что использование предельных вероятностей приводит к значительному увеличению вероятности ошибки первого рода.

В работе также проведена оценка точности восстановления линейных зависимостей по таким цензурированным данным методом статистического моделирования. На рис.1 показана типичная гистограмма оценок коэффициента ускорения к. Распределение к имеет асимметричный вид, однако эмпирическое среднее к лишь незначительно отличается от действительного значения к.

В таблице 1 приведено отношение р= % для различных пар (п,X),

/ Ко

полученных по методу Монте-Карло. Моделировались п пар )

одинаково распределенных случайных величин,, по которым вычислялись

Рис 1. Гистограмма оценки коэффициента ускорения при Ехр (д), ц=0,0001; n=30, X = 0,75,k0=5, k=5,21,s2=3,25. п векторов (в,, у,) , где 0, у, = (тах(^|,^2)_т1п(^î.^2 ))/k0, к0- заданное число. Случайные величины Çj моделировались по экспоненциальному закону с параметром ц = По таким данным оценивался коэффициент ускорения к по формуле k = argminR^(k). Значения к определялось как среднее по

пятистам реализациям оценок к для каждого набора (n, X ) - к = —£ к,.

Таблица 1.

Значения отношения р= к/к0

N ко N X ко

X 3 4 5 3 4 5

0,7 1,1313 1,1312 1,0912 0,7 1,0710 1,0644 1,0391

20 0,80 1,0950 1,1285 1,0921 0,8 1,0383 1,0393 1,0502

0,9 1,0982 1,1419 1,0987 56 0,8 1,0210 1,0293 1,0325

1 1,1097 1,1097 1,0820 0,9 1,0349 1,0308 1,0403

0,75 1,0774 1,0778 1,0895 0,9 1,0420 1,0065 1,0341

0,80 1,0929 1,0754 1,0707 1 1,0337 1,0203 1,0134

30 0,90 1,0267 1,0502 1,0572 0,7 1,0529 1,0421 1,0596

1 1,0826 1,0746 1,0262 0,8 1,0349 1,0459 1,0500

0,75 1,0296 1,0717 1,0400 60 0,8 1,0259 1,0228 1,0423

40 0,80 1,0484 1,0486 1,0259 0,9 1,0290 1,0391 0,9995

0,90 1,0076 1,0508 1,0161 0,9 1,0343 1,0064 1,0304

1 1,0310 1,0245 1,0228 1 1,0143 1,0043 0,9937

Анализ результатов моделирования показал, что при п > 20 оценка к имеет незначительное положительное смещение, которое постепенно уменьшается при увеличении г. При небольших объемах выборок п 14

смещение оценки к более значительно, поэтому следует применять поправочные коэффициенты, также рассчитываемые по методу Монте-Карло.

Во многих задачах (анализ регрессионных зависимостей, проверка автомодельности форсированных режимов и другие) требуется сравнение наработок в нескольких режимах. В диссертации подробно рассмотрен случай двух режимов - ei .

Базовая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом.

Обозначим ~ наработки до отказа в режимах ei, с?

соответственно. Предположим, что справедлива система равенств

Н0:^=ф1(^),^=ф2(^) (7)

где cpi (х), <р2 (х)_ известные функции.

Соотношения (7) можно проверить, используя предыдущие результаты. В диссертации разработана, однако, другая организация испытаний, дающая выигрыш во времени их проведения.

Пусть выборка объема N = Зп разбита на п троек. Обозначим (£¡,^2 - наработки до отказа в режиме е0 образцов i-ой тройки. Испытания начинаются в режиме е0 и, при отказе образца в i-ой тройке, два оставшихся годным образца переключаются: один - в ei, второй - в zi. Результатом испытаний являются п троек (8|, 62,63) наработок соответственно в е0 ,ei ,el (очевидно, что 0j = min (£¡,^2 ))• Как и при проверке (2), в случае справедливости (7), объединенная выборка Q из величин (0| ,г|( ,т, ), где ri, =9} +(р1(02 ), т, =0', +<р2 (63), извлечена из совокупности с функцией распределения F0 (х).

Пусть © = (0],..., 9" ). Обозначим p(t),X(t) - количество элементов выборок ©,Q соответственно, меньших t. При таком проведении испытаний оценками функции надежности по выборкам ©,Q будут статистики

Ре W =

1, n(t)=0

Iii!) 1 Ш

ТТ/-1 \ 1. Т> ,VW

J=1

О, n(t)=n . Для проверки однородности 0, Q предлагается статистика

Т_ =шах

(Р, Ш

|Рв(1)-Р,(г)|. (8)

• 1-3(Рч(г)Г(1-Рч0)

Теорема 5 Вероятности Р(Т„ <Ь) при условии (7) равны величине л^2п(Ь), которую можно получить повторным применением соотношения

Я|-и(ь)-х(ту <ь) ,если] = 0,1 = 1,п,

+ ^ если 2. =

>/3(2-1-3 + 1)"

Яц(Ь) =

1+1 1+1

' х(ту < Ь} для других \,у, 0<'1^п,0<)<И-2,

где

Т-. =

Зп(Зп-М) Зп- 1-1

(Зп)3 -3(Зп-1-+ ^ 2 Зп

Зп(2п-3) 2п~)

_(3п)3-3(2п-3).(п + 3)2 Зп 9

п 1-

¿=и Зп-Зк + З

, если 1 < п,

если 1 = п,

и х(Ту < Ь) - индикатор события (Ту < Ь).

Этот метод, как и в случае одного форсированного режима, позволяет вычислять точные распределения практически для любых объемов выборок п.

Предельное распределение статистики (8) дается следующей теоремой.

Теорема 6. Предельное распределение статистики За/лТд является стандартным распределением Колмогорова-Смирнова

НтР(Зл/пТ,5 < Ь) = Р^ир| Я, (1)|<Ь) = 1-2|;(-1)к+1 ехр(-2к2112),

где Я, (I) - нормальный случайный процесс с £11,0) = О,

ЕЯ1(,).К|(0 = —---£4-

(1-з)3 +82(3-2З) (1-03+12(3-21)

При испытаниях в двух режимах е! в качестве функций пересчета на практике чаще всего применяют линейную функцию £0= =К(£0,е,)^, (после соответствующей параметризации), для которой справедлива одна из трех регрессионных моделей (подразумевается е>е0):

A. Экспоненциальная - #(£0,£„)=ехр(Л(£,.-Е0));

Б. Степенная - К(*„,&.)= (Ю)

/ ео

B. Линейная - К(е0,е»)= 1 + А (е,-£0).

Тогда, например, для экспоненциальной модели точечная ) и

интервальная [А[(е0,е1), К{е0,е1) ] оценка уровня у для К(е0,е!) имеют вид

¿(Е0,е1) = аг8гшп Т'(К"а2)), <1(1,2) =

£» — еп

£(е0,е1) = (к| Яш,п (Тп (к"(!,2) ))<г); К(е0,е')=тах (к| *т>п (Т> (к"(1'2) ))<Г).

Методом Монте-Карло проводится сравнение метода двоек и метода троек при анализе регрессионных зависимостей коэффициентов ускорения (для экспоненциальной, степенной регрессии). Показано, что практически без потерь в точности, метод троек дает 10-15% выигрыш для среднего времени проведения испытаний.

Как и в случае одного форсированного режима, в диссертации для случая цензурированных данных предложена статистика типа Реньи вида

„з \ X

к^ = шах

¥(Р,(0)». Ра0)

, . х2(3-2х) где \у(х) =

(1-х)3 +х2(3-2х)

Для распределений (точного и асимптотического) этой статистики справедливы теоремы, аналогичные доказанным для Я2 .

В третьей главе рассматривается вопрос оценки показателей надежности по результатам испытаний в стационарных форсированных режимах. Основной задачей в этом случае становится определение функций связи между маргинальными распределениями Ро(0, Р. (I) наработок до отказа с,0(со), Е,»(со). Испытания в е0 не проводятся и оценку Р0(1) осуществляют экстраполяцией данных с форсированных ступеней гх,...,б, согласно той или иной выбранной регрессионной модели. По данной проблеме существует огромное количество публикаций (см. например, обзор автора в списке литературы №1). Как отмечалось в первой главе, статистические выводы в такой схеме очень сильно зависят от типа распределения наработок до отказа в форсированных и нормальном режимах В диссертации предлагаются непараметрические методы определения связей между Р0 (I) и Р,(1)

Рассмотрим вначале случай двух режимов испытаний <

б I . Пусть соответственно Р (I), О (г) - функции распределения наработок до отказа в этих режимах. В диссертации анализируются 4 вида возможных соотношений между Р, О

Н,: Р=ск, к>1 - фиксированное число,

Н2:1-0 = (1~Р)К, (11)

Н3:Р= а-Ок' +(1-а)-Ок2,

Н4: 1 - С =а-(1-Р)к' +(1-а)-(1-Р)к2,0<а< 1, к,>1, к2>1.

Каждая из моделей описывает различный характер результатов испытаний, причем Н3, Н4 занимают «промежуточное» положение между Н|, Н2. Все они относятся к классу так называемых моделей Лемана, хотя Н2 больше известна как модель Кокса. Параметры к, кь к2 характеризуют неоднородность (степень различия ) выборок. Модели Нз, Н4 применяют в том случае, если наблюдаются два доминирующих процесса деградации, по разному реагирующие на изменение режима.

Уточним, что вопросы оценивания параметров к,а в модели Кокса широко исследовались многими авторами. Эти вопросы подробно изложены в обзорной монографии'. В ней отмечается, что работы в этой области дают только нормальную аппроксимацию при построении

'Кокс Д, Оукс Н. Анализ данных типа времени жизни - М.' Финансы и статистика, 1990 - 184с.

доверительных множеств и проверок гипотез для этих параметров, основанную на использовании асимптотических свойств функции отношения правдоподобия (или частного отношения правдоподобия). Там же показано, что для небольших и даже средних объемов выборок результаты могут быть совершенно неудовлетворительными. Предлагаемые методы лишены этих недостатков Кроме того, методы позволяют проверить адекватность самих моделей (11).

Обозначим ^, = (£,1 ), л = (г|1 ,...,г|п ) - моменты отказов в

режимах £¡,,8? соответственно; Рт ^),СП (I) - эмпирические функции распределения выборок Е,,ц • Для проверки (11) предлагаются четыре статистики, котогрые являются аналогами статистики однородности Смирнова применительно к данным гипотезам

|рт-(Оп)к| |(1-Рт)к-(1-Оп)| Б]» шах-—-——,82 = тах-!-—-_ ,

» 1+ц гр (1-г,_р) < 1+ц (1-г)р(1-(1-г)'-р)

84=тах|1-(Зт -а(1-Р)к| - (1 - а ) (1 - Р)кз I, (12)

I 1 1

83=шах|Рт -абп1 — (1 — а)Сг^21

I 1 |

Здесь ц = к2р,р=п/,3=1-V 2(1) = —— (т Рт+п(Сп)к) -/п /к т+п

объединенная оценка функции распределения в режиме г\ .

В диссертации разработаны методы вычисления точных распределений статистик (12) при выполнении (11). Доказано, что предельное распределение нормированных в], Бг есть стандартное распределение Колмогорова - Смирнова. На основе полученных результатов определены точные и асимптотические доверительные границы для показателя неоднородности к. В частности, справедлива

Теорема 7. Вероятность Р(8] < Ь) равна величине тстп (Ь), которую можно получить повторным применением соотношени

(И) = (*,_, + я ._1_).х (Ь), 0<1<т, 0<]<п, (13)

с начальными и граничными условиями тс0 0 = 1, 7Г1 =тс„|_] = 0.

Здесь

Xi,j (h) =

1, если

m n

l + tl(z» -Z,j) О, в противном случае.

; z, j — - (i + n• ( —). ' m + n

Метод позволяет рассчитывать вероятности практически для любых объемов выборок, встречающихся в реальных испытаниях (расчеты проводились для m,n ~ 10000).

Предельное распределение Sj дается следующей теоремой. Теорема 8. Если справедливо Н,, то при m,n -» оо, m/n —> р > 0

limP(S,(k)<h)=P(sup

-<h)=K(h), l+^tl-k°(l-tk°)

где Х(0 - непрерывный гауссовский процесс с ЕХ(€)=0, ЕХ(з) Х(1)=,

= + -М-1:), 0<э<с< 1; К(Ь) = 1(-1)! ехр(-212Ь2) - функция

-со

распределения Колмогорова-Смирнова.

Для статистики Бг справедлиы аналогичные теоремы о ее точном и асимптотическом распределениях.

Статистика 83 требует более сложных алгоритмов для расчета точных распределений. Справедлива

Теорема 9. Вероятность Р(5\<И) равна величине т

ятп(Ь)- И^т.пС1)) где можно получить повторным

у=0

применением соотношения

Х?(А)

(14)

(к, - l)v + (г - v)(Är2 -1) Yi + j с начальными и граничными условиями

я2о(Ь) = 1, 7i^0(h) = 0, v>0, тс^(Ь) = 0, n^ChJ^OVi.j.v. Здесь

х„С>>-

т \п \п

<h,

0, в противном случае.

При испытаниях в двух режимах si чаще всего на практике применяют (после соответствующей параметризации) одна из трех регрессионных моделей :

A. Экспоненциальная - £(е0,е, )=exp(/j(s»-s0));

Б. Степенная- *(е0,е.)= f*/ )А\ (15)

/ ео

B. Линейная - к(г0,г, )= 1 + А ( £, -£0).

Тогда, например, для экспоненциальной модели точечная £(е0,е!) и интервальная [£(е0,е1) , к (s0,si) ] оценки для k(e.0,zl) имеют вид

f2-f1

к(s0,ei) = arg min S, ( ), d{ 1,2) = ~k{s0,sl) = min

£» — E0

(k|7im>n (S,(kda2>))<y);

k(4,z\) = max (k| 7tm>n (S, (kd(1<2) ))<y).

Аналогичные соотношения справедливы и для моделей Б., В. Если исследуется модель Н2, то параметр к является коэффициентом пропорциональности между интенсивностями отказов в £, ,s2 , то есть X2(t) = kX, (t). В этом случае легко рассчитываются непараметрические

оценки функции риска A0 (t)= {X. 0 (x)dx (оценка Нельсона) и функции

надежности Р0 (t) :

1 d(t) 1 - t ~ \ A0(t)=p-I —i-т; P0(t) = exp -H0(t) . k(e0,e,) m+l-j

Здесь d (t)- количество элементов выборки |, меньших t.

В диссертации рассматривается также вопрос об анализе соотношений Н] ,Н2 по цензурированным данным.

Обозначим Г] , г2 - количество отказавших изделий в режимах Е» ,е2 (соответственно на испытания были поставлены m, п изделий). Для проверки Н, ,Н2 в диссертации предложено использовать статистику типа Реньи вида

_ (l-X)m TKk=J—:--?Pax

|Fm(x)-(Gn(x))k

<p(Z(t))<x l - Z(t) + n((Z(t))

Z(t))

где ф(х) =-jL-, 0<x<1; +Тг)/т + Т1у

1+ иГк1"ко-vi /(.m + n)

1 + ц(х1-"0 -x)

Преимущество (16) заключается в том, что ее предельное распределение не зависит от глубины цензурирования X.

Теорема 10. При m,n—юо, m/n р>0 предельное распределение

статистики ТХк не зависит от параметров Я, к и совпадает с распределением Реньи

lim Pn(T>k<h)=L(h)=^f: MUxpi--(2l + 1)2l

% ,=i 2i +1

Точные распределения (16) можно вычислить согласно приводимой ниже теореме.

Теорема 11. Вероятность Р(Тяк <Ь) равна величине ятп(Ь), которая может быть вычислена повторным применением соотношения

<•1-4 I ik jk

t„(h)= Я; , :--+ 71; , ,--

IjV ; I ik + j 'J-1 ik + j

(17)

с начальными и граничными условиями

= 1, тсч,(Ь) = 0, тт1_1(Ь> = 0, 1 = 0^; ) =

О ил [1, если (У) 6 А0 Здесь Ь>0, Хц =1

[0, если (у) € А0

Множество А0 состоит из пар целых чисел (¡, ¡ = 0,т; ] = 0, п, для которых справедливо хотя бы одно из условий I..

а)

>к t,=

in""1 + jk

(ш + n)n

k-1'

б)

l+^-t.i)

<un

1-Я,

V x

л/т •

i-WC-tJ

<ь

С помощью этого метода были рассчитаны точные распределения статистики (16) для объемов выборок т,п до 10000 единиц.

Статистики 8Ь Б2 чувствительны к любым отклонениям от моделей Нь Н2 в результатах испытаний (во всяком случае, при достаточно больших объемах выборок). Это обстоятельство, однако, приводит к тому, что для конкретного типа отклонений от Нь Н2 можно предложить оценки, обладающие большей точностью, чем оценки, основанные на Б:, Бг

Пусть справедлива модель Н, при некотором значении к = к0 Н,: Р(х)=(С(х))к° (18)

Обозначим V = (Vу(т+п)) -вариационный ряд из объединенных

Г1,если = '

выборок Е,г). Введем величины ?.,= < К V, = Угк, ¡=

[0,еслиу(0 =Лк] к=1

кп V

Рассмотрим статистику А(к0)= £ 1-2—-

1,т + п.

- . Доказано, что она

я ^+^0-1); м

является статистикой локально наиболее мощного критерия проверки (18) против альтернатив вида (18) при к *к0.

Утверждение 1. При справедливости (18) статистика к0У;

Л(к0)= £ >=1

имеет параметры: Е(Л(к0 ) = т,

1+У,(к0-1),

Б(Л(к0)) = } |к0тп(1 - и (1 - у) )""' (1 - ик° (1 - ук° ^ ик° ук°<Му. о о

Интегральное выражение для дисперсии неудобно для применения, поэтому в диссертации получено рекуррентное соотношение для вычисления дисперсии. Пусть От п - дисперсия статистики при объемах

выборок ш, п.

Утверждение 2. При Н, дисперсия От п удовлетворяет следующему рекуррентному соотношению:

.. к0ш . п , кошп

к0т + п к0т + п (к0т+пг

Тогда, используя нормальное приближение, оценка параметра к находится из условия:

Ьщпип^Ы. (19)

Методом Монте-Карло проведено сравнение оценок по двум статистикам - Л и Для небольших объемов выборок (порядка 20-25 единиц) оценка (19) имеет на 15-20% меньшее смещение по сравнению с оценкой, основанной на минимизации в ,.

Рассмотренные выше методы испытаний в двух режимах не позволяют проверить (хотя бы графически) адекватность используемых регрессионных моделей. Кроме того, если форсированные режимы являются многофакторными (температура + влага + механические воздействия и другие факторы), то для экстраполирования результатов на нормальные условия необходимы испытания более чем в двух режимах.. В диссертации рассмотрен общий случай испытаний на q ступенях

£1 ,£2 ,...,£ч ■

Обозначим = ( ) ~ времена отказов в режиме е',; Е0 (0,

Р| (0, ..., Рч(1) - функции

распределения отказов в Ер, £»,£» ,-..,£». Анализируются соотношения вида

Н4 : (1)= Р,к'(1)= ... =Р,к< (1);

Н5:1-Р0(1) = (1-Р,(1))к' .¡=1,ч. (20)

Здесь к, > 1 ~ фиксированные числа.

Для проверки Н4 , Н5 при фиксированных к, вводятся многовыборочные аналоги критериев однородности Кифера-Гихмана :

Б4= тах[£ п, (^'(О-Рф)2 ], в3= шах[1 п, (Р,"' ТО-Р(О)2 ], (21)

¡=1

14 _ к

где Р(г) = — X П1 (Р, ) - объединенная оценка Р0 (I) при условии

N ,=1

(20); Р, (I)=1 - Р, (г), Р (г) = 1 - Р (е), N = £ п,.

Для статистик (21) разработан метод вычислений их точных распределений, причем последовательность вычислений организована так, что может быть представлена я вложенными циклами.

Теорема 12. Вероятность Р (84 < Ь) при справедливости (20) равна величине лП)>П2, (Ь) , которая может быть определена повторным

применением соотношения

I. | , (Ь) = ¡! "VI 12 У2 'ч УЯ ,

где ^„¡2 (Ь) =

0, )2>Ъ

(22)

3=1 п!

1 2 4 N^1

с начальными и фаничными условиями.

*о,о, ,о (Ь) = 1, 71ч,1г, ,1(|(Ь)=Л 11>_,1 ;1ч(Ь) = ... = Л|ь,2; (Ь)= 0 .

Для 85 справедлива аналогичная обратная итерационная процедура с соответствующими изменениями для х,ь;2 (Ь).

В диссертации также исследуется вопрос, какие изменения вносятся в алгоритм (22) в случае использования других статистик для проверки (20). В частности, если времена отказов на крайних по жесткости режимах не перекрываются, следует пользоваться статистиками, попарно сравнивающими функции распределения на соседних ступенях, например

Б6= тах тах|р,к' -Р+'Н-

1£><Я-1 II I

Так же, как и в случае испытаний в двух режимах, проверку Н4, Н5 можно осуществить и по цензурированным данным, когда на каждой ступени наблюдаются только первые г, отказов, причем используются те же статистики 84> 85, Бб. В диссертации описываются методы получения точечных и интервальных оценок к (е0) для некоторых наиболее распространенных многофакторных моделей.

В четвертой главе диссертации рассматривается вопрос об оптимизации времени проведения испытаний в переменном режиме е с точки зрения порядка следования составляющих его режимов. На практике возможны два варианта переменного режима - е^ = (е0,е«.),е2 =(е,,е0), которые равноценны с точки зрения порядка определения функций связи £о=Ф(5*)- ® диссертации, в дополнение к тому, что обоснована ненужность опорного режима е0, показано, что для большинства используемых функций ср(£.) режим е, является оптимальным в смысле средней продолжительности испытаний в том случае, если в е0 наработки до отказа распределены по экспоненциальному закону. Кроме того, предположение экспоненциальности позволяет осуществить значительное цензурирование испытаний, если переключение режимов осуществлять согласно программному принципу (он описан ниже).

Пусть п изделий ставятся на испытания, которые продолжаются до момента £(г) наступления г-го отказа, переключение режима происходит в момент (г }, Г1 < г < п . Без ограничения общности пока будем считать,

что плотность равна ^) = е"1, 1>0.

Продолжительность испытаний в режимах Е1,б2 равна

соответственно:

Т, = £(ч) + Ф(£(Г)-£(,)), Т2 = ф(£(ч)) +§{г)где 5,=фй0)-обратная функция к функции связи ср(1).

Обозначим У,= , У2 = ^ Пусть ц(г) = г-ф(г). Тогда

справедливы теоремы, связывающие продолжительность испытаний с параметрами гх ,г, п и видом ф (I).

Теорема 13. Если функция ц^) = 1-ф(1) имеет непрерывную возрастающую производную р.' (0> 0,1 > 0 то при любом соотношении между Г|, г из ЕУ, > ЕУ2 следует, что ЕТ, < ЕТ2.

В связи с тем, что для некоторых применяемых функций пересчета (например ф(0=к1а) условие ц'0)>0 не выполняется, в диссертации приведены достаточные условия выполнимости условия ЕТ1 < ЕТ2 для более широкого класса функций. Пусть теперь Ехр ( Х0). Теорема 14. Пусть выполняются условия

- непрерывна и возрастает при X > О;

- г0 - корень уравнения ц' (г) = 0;

- существует такая точка 8 о > ^, что справедливо неравенство

|р(10)|<ц'(8о)-[(ЕУ,-ЕУ2)-5о]. Тогда:

1 .Если ri < г - Г|, то из EVi > EV2 следует, что ЕТ, < ЕТ2;

2. Если г, > г - n , Uo - корень Р| (t) = Р2 (t), где Р, (t) - функции надежности

V,, to < u0, то из EVi > EV2 следует, что ETi <ЕТ2;

Показано, что этим условиям удовлетворяют многие функции пересчета. Например, при Я0<10"3 для выполнения третьего условия теоремы требуется, чтобы а < 0,99, если ф (t)= ta.

Кроме изложенных результатов, для линейного случая <j>(t)= kt, приведены выражения для средних продолжительностей испытаний в режимах е i, е 2 и дисперсий оценок коэффициентов ускорения, позволяющие определить выигрыш от применения оптимального режима испытаний.

В пятой главе кратко описан программный комплекс, реализующий разработанные в диссертации методы. Комплекс программ написан на языке «Delphi», версия 6 0, и занимает 5 мегабайт памяти. Он состоит из трех модулей, каждый из которых решает конкретную задачу.

- оценивание функций связи по данным эксперимента;

- вычисление точных распределений применяемых статистик;

- моделирование распределения оценок коэффициентов ускорения для имеющихся объемов выборок.

Созданный комплекс программ позволяет не только оценивать функции пересчета, но и методами статистического моделирования определять, какая из предлагаемых процедур является более предпочтительной по точности оценивания (например, использовать метод двоек или троек), какие минимальные объемы выборок требуются, какой может быть глубина цензурирования испытаний.

В качестве примера на рисунке 2 показаны гистограммы оценок к в

(

модели Лемана Н], полученные минимизацией статистики в, (случай а) и центрированной статистики А(к) (случай б). Объемы выборок равны 50 единицам, действительное значение к = 2. Эмпирические средние по 500 реализациям равны соответственно к = 2,07 и к = 2,04. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что для оценки к применимы обе статистики, однако точность оценивания в случае б) выше.

Для иллюстрации возможностей вычисления точных распределений предложенных статистик в таблице 2 приведены вероятности <Ь) для выборок равного объема. В качестве аргумента Ь взяты квантили предельного распределения уровней 0,9; 0,95; 0,99. Значения вероятностей показаны с тремя значащими цифрами после запятой (без округления). Для двух квантилей (при к = 1,5) вероятности даны с четырьмя значащими цифрами для оценки разности между их точными и асимптотическими значениями.

Таблица 2

Точные вероятности Р^ < Ь) для выборок равного объема N

N к =1,5 к=2

Ь =1,225 Ь=1,36 Ь =1,63 И= 1,225 Ь = 1,36 11=1,63

30 0,909 0,956 0,987 0,914 0,940 0,982

35 0,908 0,952 0,986 0,909 0,947 0,990

40 0,926 0,950 0,989 0,912 0,952 0,989

45 0,921 0,961 0,988 0,915 0,954 0,988

50 0,916 0,958 0,989 0,917 0,955 0,988

100 0,913 0,956 0,990 0,915 0,956 0,989

1000 0,9055 0,9531 0,991 0,906 0,953 0,991

2000 0,9042 0,9525 0,991 0,905 0,953 0,991

3000 0,9036 0,9521 0,990 0,904 0,952 0,990

5000 0,9019 0,9517 0,990 0,902 0,952 0,990

7500 0,9015 0,9515 0,990 0,902 0,952 0,990

10000 0,9012 0,9514 0,990 0,901 0,952 0,990

ОО 0,9000 0,9505 0,9901 0,9000 0,9505 0,9901

Также в главе приведены примеры отработки предложенных методов при создании методик форсированных испытаний различных изделий радиоэлектроники: универсальных вторичных источников питания (УВИЛ), блоков цифровой аппаратуры типа ОАБ-90, блоков терморегулирования спецназначения, химических источников тока и других.

В таблице 3 приведены результаты обработки некоторых из этих экспериментов. Расчеты проведены на разработанном программном комплексе. Данные по форсированным испытаниям пружин взяты из монографии, приведенной в сноске на стр. 18. Остальные результаты получены в ходе работ, проводившихся в рамках НИР, перечисленных в начале реферата. В таблице применены сокращения: ТЭН - трубчатый нагревательный элемент; ЖКИ - жидкокристаллический индикатор.

Таблица 3

Результаты предварительных испытаний изделий РЭА

Нормальный Форсированный Метод Коэффиц.

Изделие режим режим ускорен.

УВИП Т = 25°С, Цикл:-15°+60°С Т = 70 0 С, Цикл:-60°+80°С «двоек » 4,8

ОАБ-90 То = 25°С, Т, = 50°С, «двоек » 2,51

УВИП В Т0 = 80°С Т„ =100° С Т»2 =120° С Парамет рич. 2,7 6,6

ИС 518хА1 То = 70°С Т,= 100° с «двоек » 2,9

ЖКИ Т0 = 22 иС Т.= 70° С «двоек » 3,8

U0 = 850 и,)=900

Пружины (У 2) / мм и»2=950 (УУ 2) /мм Модель Кокса к= 1,7

ТЭН Т0 = 923°К Т.= 1295° К Модель Лемана к = 2,1

Источники Ro= 120 ом Я. = 70 ом «троек» к= 6,8

тока

Фильтр РА4101М Т0 =30° С Т, =60° С Т2 = 90°С «двоек» к, = 2,4 к2= 6,81

Транзистор МП16Б Т0 =70° С Т=90°С Парамет рич. к=2,14

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработаны новые методы анализа результатов испытаний в переменных режимах, позволяющие существенно сократить объемы и продолжительность предварительных исследований:

- предложены новые функционалы (статистики типа Колмогорова -Смирнова и Реньи) проверки адекватности используемых функций связи между наработками до отказа в различных режимах по зависимым и цензурированным выборкам;

- для повышения достоверности результатов анализа разработаны численные алгоритмы вычисления точных распределений этих функционалов для объемов выборок до 3000 - 4000 единиц;

- получены предельные распределения функционалов для выборок больших объемов;

- проведено обширное статистическое моделирование для проверки точности предложенных методов.

2. Разработаны новые методы анализа результатов испытаний в двух стационарных режимах, позволяющие существенно повысить достоверность предварительных исследований:

- предложены новые функционалы (статистики типа Колмогорова -Смирнова и Реньи) проверки степенных моделей Лемана между функциями распределения (функциями надежности) наработок до отказа в различных режимах по полным и цензурированным выборкам;

- для повышения достоверности результатов анализа разработаны численные алгоритмы вычисления точных распределений этих функционалов для объемов выборок до 10000 единиц;

- получены предельные распределения функционалов для выборок больших объемов;

- проведено обширное статистическое моделирование для проверки точности предложенных методов.

3. При испытаниях в нескольких стационарных режимах для проверки степенных моделей Лемана предложены аналогичные функционалы, для которых разработаны методы вычислений их точных распределений для полных и цензурированных справа данных.

4. Получены достаточные условия оптимальности (по средней продолжительности) испытаний в переменном режиме, в зависимости от порядка чередования составляющих его режимов.

5. Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы.

Публикации по теме диссертации:

1. Тимонин В.И. Математические методы в теории ускоренных испытаний // Зарубежная радиоэлектроника. - 1981. - № 1. — С. 51-57.

2. Тимонин В.И. О распределении модифицированной статистики Смирнова в задаче о двух выборках // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. -1981. -№ 347. -С.10-18.

3. Тимонин В.И. Об одной задаче проверки гипотез в теории форсированных испытаний // Применение теории вероятностей и математической статистики (Вильнюс). - 1981.- №4. - С. 81-85.

4. Тимонин В.И. Об одном локально наиболее мощном ранговом критерии // Вероятностные процессы и их приложения. - М.: МИЭМ, 1983. - С.74-80.

5. Тимонин В.И. Точные распределения статистик Смирнова для одного класса альтернатив для полных и цензурированных данных // Теория вероятностей и ее применение.-1983.- Т.28, №4. - С.758-760.

6. Тимонин В.И. О точных распределениях некоторых ранговых критериев // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. - 1983. - № 396. - С.25-33.

7. Тимонин В И Об одной задаче теории надежности // Применение статистических методов в производстве и управлении: Тезисы, докладов Всесоюзной конференции. - Пермь, 1984. - С.191-192.

8. Тимонин В.И. Точные распределения ранговых статистик для цензурированных данных в испытаниях с переменной нагрузкой // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. - 1985. - № 428. - С.48-54.

9. Тимонин В.И, Черномордик О М. Метод вычисления точного распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана // Теория вероятностей и ее применение.- 1985.- Т.30, №3. - С.572-573.

10. Тимонин В.И. Проверка лемановских гипотез в задаче о двух выборках // 1-ый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей: Тезисы докл. - Ташкент, 1986.- Т.1. -С 186.

11. Тимонин В.И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия. // Теория вероятностей и ее применение,-1987,- Т.32, №4. - С.790-792.

12. Тимонин В.И., Будовская Л.М. Таблицы точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. -1987.-№473.-С.22-29.

13. РМ В. 22.42.83 - 87 (руководящий материал). Основные принципы и методы ускоренных испытаний на надежность радиоэлектронной аппаратуры военного назначения / Г.Д. Карташов, Л Г. Ветров, В.И. Тимонин и др. - М.: Минобороны СССР, 1987. - 261с.

14. Тимонин В.И., Воробьева В.Д. О вычислении распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана //Математическая статистика и ее применение. - Пермь, 1988. - С.77-81.

15. Планирование предварительных испытаний для экспоненциальной наработки на отказ / В.И. Тимонин, Г.Д. Карташов, В.Н. Баскаков, И.К. Яров // Стандарты и качество. Приложение Надежность и контроль качества. - 1993. - № 10. - С.33-37.

16. Тимонин В.И. Распределение статистик типа а>2 при альтернативах Лемана // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. - Пермь: Перм. ун-т, 1993.- С.24-28.

17. Тимонин В.И., Карташов Г.Д., Яров И.К. Об оптимальности проведения предварительных испытаний в экспоненциальном случае

// Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. -1994. - № 2. - С.4-9.

18. Тимонин В.И., Богомолова Т.Е. Оптимальное оценивание коэффициентов пересчета при экспоненциальной наработке на отказ // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Тезисы докладов П-ой Международной конференции МГТУ им. Н.Э.Баумана. - М., 1994. - Т.1.-С.78-80.

19. Тимонин В.И., Богомолова Т.Е. Планирование предварительных испытаний в экспоненциальном случае при нелинейных функциях связи // Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. -1996,- № 1.-C.33-39.

20. Программный комплекс для форсированных испытаний РДВ 319.01.11-2000 / В.И. Тимонин, O.A. Бархатова, Г.Д. Карташов, И.В. Шабанин. // Надежность и контроль качества: Труды международного симпозиума - Пенза, 2000. - С. 270-271.

21. РД В 319.01.11-98 Аппаратура, приборы, устройства и оборудование военного назначения. Типовые методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность / Г.Д. Карташов, В.И. Тимонин, O.A. Бархатова и др.- М.: Минобороны РФ, 2000.-95с.

22. Тимонин В.И. Применение оценок Каплана - Мейера для оптимизации проведения предварительных исследований // Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза, 2003.- С.267-270.

23. Тимонин В.И. Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2004. - № 1. - С. 23-33.

24. Карташов Г.Д., Тимонин В.И. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний изделий радиоэлектроники // Электромагнитные волны и электронные системы-2004 -Т. 9, № 6. - С. 51-60.

25. Тимонин В.И. Аналоги двухвыборочных статистик Реньи для проверки гипотез Лемана // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2004. - № 4. - С. 3-10.

"î ■I

! I

i i

I f!

9 19378

РНБ Русский фонд

2006-4 17463

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Тимонин, Владимир Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ.

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

1.2. ПРОБЛЕМА ИНВАРИАНТНОСТИ.

1.3. МЕТОДЫ ПРОВЕДЕНИЯ ФОРСИРОВАННЫХ ИСПЫТАНИЙ.

1.3.1. Метод равных вероятностей

1.3.2. Методы доламывания и ступенчатых нагружений.

1.3.3. Регрессионные методы.

1.4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.4.1. Проблема ненаблюдаемых одновременно параметров

1.4.2. Методы предварительных исследований.

ГЛАВА 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ В ПЕРЕМЕННОМ

РЕЖИМЕ

2.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ С ОДНИМ ФОРСИРОВАННЫМ РЕЖИМОМ.

2.1.1. Анализ структуры динамических испытаний и постановка задачи.

2.1.2. Распределение статистики Т2п.

2.1.3. Цензурирование испытаний и статистики типа Реньи

2.1.4. Оценивание функций пересчета по изменению технических параметров

2.2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ С ДВУМЯ ФОРСИРОВАННЫМИ РЕЖИМАМИ

2.2.1. Задачи испытаний в нескольких режимах и методы их проведения

2.2.2. Точные распределения базовой статистики

2.2.3. Асимптотическое распределение базовой статистики

2.2.4. Оценка зависимостей в испытаниях с переменной нагрузкой.

2.2.5. Цензурирование испытаний и статистики типа Реньи.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ.

3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИССЛЕДУЕМЫЕ МОДЕЛИ.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Исследуемые модели для двух форсированных режимов

3.2. ИСПЫТАНИЯ С ДВУМЯ ФОРСИРОВАННЫМИ РЕЖИМАМИ

3.2.1. Анализ однопараметрических моделей

3.2.2. Анализ двухпараметрических моделей

3.3. ИСПЫТАНИЯ В ТРЕХ И БОЛЕЕ ФОРСИРОВАННЫХ

РЕЖИМАХ.

3.4. АНАЛИЗ ЦЕНЗУРИРОВАННЫХ ДАННЫХ И СТАТИСТИКИ ТИПА РЕНЬИ

3.5. ОЦЕНКА НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОЙ СТАТИСТИКИ

3.6. ОЦЕНКА ЗАВИСИМОСТЕЙ В ИСПЫТАНИЯХ С ПОСТОЯННОЙ НАГРУЗКОЙ

ГЛАВА 4. ПРОВЕДЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НАРАБОТКЕ В НОРМАЛЬНОМ РЕЖИМЕ.

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

4.2. ПРОГРАММНЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ -ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ СВЯЗИ.

4.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ -ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ СВЯЗИ.

4.4. ПРОГРАММНЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИСПЫТАНИЯ -НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ СВЯЗИ.

ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

5.1. МЕТОДИКИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ИЗДЕЛИЙ РЭА.

5.1.1. Предварительные испытания блоков аналоговой аппаратуры.

5.1.2. Предварительные испытания блоков цифровой аппаратуры.

5.1.3. Предварительные испытания опорных источников питания.

5.1.4. Предварительные испытания интегральных микросхем

5.1.5. Форсированные испытания пружин

5.1.6. Форсированные испытания химических источников тока

5.1.7. Предварительные испытания транзисторов МП 16Б.

5.1.8. Предварительные испытания блоков РА

5.1.9. Исследование зависимости пробивного напряжения конденсаторов от температуры эксплуатации.

5.2. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС «ФОРИС»

ВЫВОДЫ.

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Тимонин, Владимир Иванович

Актуальность проблемы. Испытания технических изделий являются основным средством определения показателей их надежности. По некоторым оценкам, расходы на них в СССР доходили до 10% от стоимости изделий, что в масштабах страны составляло миллиарды рублей. С развитием техники требования к ее надежности постоянно росли. В настоящее время многие изделия должны с высокой вероятностью безотказно работать длительное время, исчисляемое годами, а то и десятилетиями. В этих условиях традиционные статистические методы оценивания показателей надежности оказались неприменимы из-за того, что они требуют длительных испытаний выборок больших объемов. В связи с этим в теории надежности чрезвычайно актуальной стала проблема ускоренных испытаний. Решение этой проблемы может быть осуществлено разными способами: использованием методов прогнозирования или распознавания образов, знанием физики отказов, анализом информации по изделиям-аналогам и др. В данной диссертации рассматриваются только методы, когда сокращение длительности испытаний достигается ужесточением (форсированием) режимов.

Проблеме форсированных испытаний посвящено большое количество публикаций как у нас в стране, так и за рубежом. В частности, решению вопросов, связанных с их проведением, полностью или частично посвящены монографии [1-7]. Среди отечественных авторов отметим работы Кордонского, Перроте, Карташова, Седякина, Пешеса. Из иностранных авторов - Д. Кокса, В. Нельсона, Н. Сингпурваллу, Д. Хана, Ф. Прошана, Н. Манн.

К настоящему времени удалось получить ответы на многие вопросы, возникающие при проведении форсированных испытаний. Определены условия, которым должен удовлетворять форсированный режим, способы пересчета результатов форсированных испытаний к нормальным условиям, продолжительность (коэффициент ускорения) испытаний. Решена проблема инвариантности, что позволяет распространить результаты предварительных исследований на другие партии [8,9]. Достаточно полно разработаны программы предварительных исследований, на стадии которых проверяются (или устанавливаются) различные предпосылки методов форсированных испытаний [10,11]. Созданы соответствующие нормативно- техническая документация и программное обеспечение.

- выбираются форсированные режимы;

-определяются функции пересчета результатов форсированных испытаний на нормальный режим;

- проверяются различные модели расходования ресурса;

-обосновывается возможность применения полученных результатов для новых партий исследуемых изделий.

К сожалению, современные методы предварительных исследований (их основными компонентами являются предварительные испытания и соответствующее статистическое и программное обеспечение) часто становятся главной причиной отказа от использования форсированных испытаний. Они требуют проведения испытаний выборок больших объемов, причем в течение времени, для которого необходимо определить показатели надежности в нормальном режиме, а оно нередко исчисляется несколькими годами (подробно эти методы описаны в [10]). Это приводит не только к очень высокой стоимости предварительных испытаний, но и делает получаемые результаты морально устаревшими. Кроме того, частое использование параметрических моделей пересчета результатов форсированных испытаний к нормальным условиям приводит к снижению достоверности получаемых оценок показателей надежности. По мере развития техники эти проблемы будут только усиливаться. Поэтому не будет преувеличением сказать, что широкое внедрение форсированных испытаний сводится к сокращению продолжительности и уменьшению стоимости, а также к повышению достоверности предварительных исследований.

Таким образом, в работе решается задача сокращения продолжительности и стоимости, а также повышения достоверности результатов предварительных испытаний, являющаяся крупной научно-технической проблемой и необходимым условием широкого применения методов форсированных испытаний на практике.

Основными объектами применения разработанных методов являлись различные изделия радиоэлектроники - отрасли, определяющей развитие научно-технического прогресса в последние десятилетия. Вместе с тем их вполне можно использовать и для анализа данных по испытаниям любых других изделий, а также в областях науки и техники, где требуются продвинутые методы статистического анализа.

Постановка задачи. Комплекс решаемых в работе задач связан с двумя ключевыми проблемами предварительных испытаний: а) определению корреляционных или функциональных связей между наработками изделия в двух (или более) режимах; б) определению функциональных связей между распределениями наработок до отказа в двух (или более) режимах.

Уточним, что между ними есть принципиальные различия. В первом случае речь идет об установлении стохастических связей между компонентами случайного вектора, состоящего из наработок до отказа одного и того изделия в различных режимах. Во втором - об определении зависимостей между функциями распределения наработок в различных режимах.

Для решения первой проблемы неприменимы классические методы математической статистики, когда исходным материалом для анализа являются векторы, между компонентами которых необходимо определить существующие связи. Дело в том, что у одного изделия невозможно измерить вектор из наработок в различных режимах (после измерения одной из них изделие разрушается или необратимо меняет свои начальные свойства). Возникает так называемая проблема ненаблюдаемых одновременно параметров, для решения которой в работах Г.Д. Карташова [9 - 12] были разработаны и обоснованы:

- специальные модели, связывающие между собой наработки изделия в различных режимах;

- способы проведения испытаний по определению связей между этими наработками;

- методы статистической обработки результатов этих испытаний.

Суть предложенного Г.Д. Карташовым метода заключалась (в простейшем варианте) в проведении испытаний двух выборок изделий в нормальном и переменном режимах. Не вдаваясь в излишнюю детализацию, подчеркнем, что в переменном режиме изделия испытываются как в нормальном, так и в форсированном режимах. Требуемые функции связи между наработками определяют затем сравнением результатов испытаний этих двух выборок. При очень слабых ограничениях на распределения наработок Г.Д. Карташов доказал, что определяемые таким методом связи между наработками остаются неизменными для любых партий данных изделий.

Работы Г.Д.Карташова стали основой существующих в настоящее время методов проведения предварительных испытаний и обработки их данных. Вместе с тем необходимость проведения испытаний в постоянном нормальном режиме стала, как уже упоминалось выше, главным препятствием для широкого внедрения форсированных испытаний в практику.

Основной причиной необходимости использования нормального режима является недостаточная разработанность методов обработки результатов предварительных испытаний. Вторая и четвертая главы диссертации посвящены разработке новых, значительно более экономичных моделей проведения таких экспериментов, позволяющих ограничиться использованием только переменного режима. Для этого потребовалось:

- провести анализ информации о распределении наработок в нормальном режиме, содержащейся в результатах испытаний в переменных режимах;

- разработать новые непараметрические методы анализа данных в этих моделях, позволяющие решать поставленные задачи по результатам испытаний только в переменных режимах (учитывая специфический характер этих данных - цензурированность, зависимость и т.п.). Методы должны быть пригодны для выборок любых объемов;

- определить оптимальную структуру переменных режимов в смысле минимизации средней продолжительности предварительных испытаний;

-. создать соответствующее программное обеспечение;

- апробировать и реализовать результаты работы в производстве и нормативно - технической документации.

Для решения второй проблемы обычно проводят испытания в нескольких постоянных форсированных режимах, после чего стандартными регрессионными методами осуществляют экстраполяцию результатов к условиям нормального режима. В этом случае подавляющее большинство существующих методов требует знания вида распределения наработок до отказа, а также его неизменности во всем диапазоне используемых режимов (по этому поводу см., например, обзоры [15, 16, 17] или монографию [4]). Кроме того, сложность используемых моделей заставляет применять в расчетах приближенные или асимптотические выражения, что в условиях постоянного недостатка статистического материала приводит к значительным ошибкам при прогнозе показателей надежности. Те же недостатки присущи и непараметрическим методам анализа данных. Их обзор с примерами приложений дан в монографии [18]. Авторы отмечают, что для небольших и даже средних объемов выборок результаты могут быть совершенно неудовлетворительными.

В третьем разделе диссертации разработаны регрессионные методы анализа результатов предварительных испытаний, не требующие знания вида распределения наработок до отказа. Для этого потребовалось:

- исследовать существующие модели связи между функциями распределения и выделить среди них класс моделей, позволяющих оценивать свои параметры свободными от распределения методами;

- разработать точные статистические методы оценки этих параметров по результатам (полным и цензурированным) предварительных испытаний;

- провести анализ точности предложенных процедур методами статистического моделирования;

- апробировать и реализовать результаты работы в производстве и нормативно - технической документации.

Научная новизна работы заключается в том, что:

2. Впервые получены методы проверки справедливости моделей расходования ресурса (Пальмгрена - Майнера, Седякина и др.) по испытаниям одной выборки в переменном режиме.

4. Все разработанные методы являются точными, то есть применимы для выборок любых объемов. Получена новая общая итерационная процедура вычисления точных распределений статистик предложенных критериев, применимая для выборок больших объемов (для двухвыборочных критериев объемы выборок могут составлять 10000 единиц и более).

Основные результаты, выносимые на защиту;

1. Для проверки однородности двух зависимых выборок, полученных по испытаниям в переменном режиме, разработаны обобщения критерия Колмогорова-Смирнова, основанные на применении оценок Каплана- -Мейера функций надежности. Получены точные и асимптотические распределения их статистик (вид статистик зависит от плана проведения предварительных испытаний).

2. Для статистической проверки степенных моделей Лемана при испытаниях в двух различных режимах обобщен критерий Колмогорова -Смирнова на случай неоднородных выборок (полных и цензурированных справа), получены точные и асимптотические распределения его статистики.

3. Для решения аналогичной задачи рассмотрено обобщение критерия Сэвиджа. Проведено сравнение критериев методом статистического моделирования, даны рекомендации по использованию их в различных ситуациях.

4. Для испытаний в нескольких режимах получены методы проверки моделей Лемана, основанные на обобщении статистик Кифера - Гихмана. Разработаны методы вычислений их точных распределений для полных и цензурированных справа данных.

5. Для случая экспоненциальной наработки до отказа в нормальном режиме получены достаточные условия оптимальности (по средней продолжительности) предварительных испытаний в зависимости от порядка чередования составляющих их режимов.

6. Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Математические методы в технике» МГУ им. М.В. Ломоносова, Всесоюзной научно-технической конференции «Применение статистических методов в производстве и управлении» (Пермь, 1984), 1-ом Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей (Ташкент, 1986), Международном симпозиуме «Надежность» (Магдебург, 1990), П-ой Международной конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994), Международном симпозиуме «Надежность и качество» (Пенза, 2001, 2003 гг.).

Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты позволяют сократить длительность и стоимость проведения предварительных испытаний, повысить достоверность оценок показателей надежности за счет применения непараметрических методов анализа их результатов.

Полученные результаты использовались в РДВ319.01.11-ХХ «Радиоэлектронная аппаратура и электрорадиоэлементы военного назначения. Типовые методики ускоренных испытаний на безотказность и долговечность»

Диссертация выполнялась в рамках нескольких НИР, проводившихся по решению правительства РФ, и предназначенных для разработки общих требований к надежности, методам испытаний и контроля изделий радиоэлектронной техники военного назначения: Перечень этих НИР, а также примеры анализа предварительных испытаний, проводившихся разработанными методами, приведены в пятом разделе диссертации.

Заключение диссертация на тему "Модели и методы сокращения объемов и продолжительности форсированных испытаний"

ВЫВОДЫ

Подведем итоги результатов работы, изложенные в диссертации, и рассмотрим, в какой мере была выполнена постановка задачи и достигнута цель исследования, сформулированная во введении.

Задача сокращения продолжительности и объемов предварительных исследований, а также повышения достоверности полученных при их проведении результатов, всегда являлась основной для форсированных испытаний. В диссертации решена основная проблема предварительных исследований - отпала необходимость проведения испытаний в постоянных (опорных) режимах в0. Разработаны точные численные методы определения интервальных границ для функций пересчета, основанные на предложенных автором статистиках. Аналогичные задачи решены для испытаний в постоянных режимах при определении функций связи между, законами распределения наработок до отказа. Для экспоненциальных наработок до отказа получены оптимальные по средней продолжительности программы испытаний с переменной нагрузкой. Разработано значительное программное обеспечение для реализации предложенных методов.

Вместе с тем остались открытыми ряд вопросов, связанных, с анализом данных испытаний в нескольких форсированных режимах (см. 3.2). Суть их состоит в следующем.

В диссертации не рассматриваются модификации статистик многовыборочных критериев однородности, которые имели бы предельное распределение, не зависящее от значений k=(ki,.,ks) - параметров моделей (3.4) - (3.7). Это является ее определенным недостатком, хотя, конечно, и использование предложенных статистик типа Ss(k) является состоятельной процедурой. Следует подчеркнуть, что даже если какая - либо модификация статистик однородности и имела бы предельное распределение, не зависящее от к, то на практике им нельзя было бы пользоваться - приемлемая разница между предельным и точным распределениями достигается при объемах выборок порядка нескольких сотен. Все сказанное в полной мере относится и к задаче анализа цензурированных данных в многовыборочном случае. Здесь распределения статистик зависят не только от к, но и от глубины цензурирования X.

В испытаниях с переменным режимом подробно исследованы только случаи использования одного или двух форсированных режимов. Вопрос использования более двух форсированных режимов также требует дополнительного рассмотрения.

В заключение перечислим основные результаты диссертации.

- получены предельные распределения функционалов для выборок больших объемов;

- проведено обширное статистическое моделирование для проверки точности предложенных методов.

- получены предельные распределения функционалов для выборок больших объемов;

- проведено обширное статистическое моделирование для проверки точности предложенных методов.

5. Создан комплекс программ, реализующих разработанные алгоритмы.

Библиография Тимонин, Владимир Иванович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Перроте А. И., Карташов Г. Д., Цветаев К. Р. Основы ускоренных испытаний радиоэлементов на надёжность. М.: Советское радио, 1968. -224с.

2. Пешее Л. Я., Степанова М. Д. Основы теории ускоренных испытаний на надёжность. Минск: Наука и техника, 1972. - 168с.

3. Bogdanoff J., Kozin F. Probabilistic Models of Cumulative Damage. N.-Y: Wiley, 1985.-342 p.

4. Mann N.R., Shafer R.E., Singpurwalla N.D. Methods for Statistical Analysis of Reliability and Life Data. N.-Y.: Wiley, 1974.- 522p.

5. Nelson W.J. Applied Life Data Analysis. N.-Y.: Wiley, 1982.- 397p.

6. Острийковский B.A. Многофакторные испытания на надежность. -М.: Энергия, 1978,- 150с.

7. Kalbfleisch J., Prentice R. The Statistical Analysis of Failure Life Data. -N.-Y.: Wiley, 1980.- 403 p.

8. Карташов Г. Д., Перроте А. И. О принципе «наследственности» в теории надёжности // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. -№5.-С. 17-20.

9. Карташов Г.Д. Об инвариантном решении проблемы переменного режима // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1986. - №4. - С. 78-83.

10. Карташов Г.Д. Основы теории форсированных испытаний. М.: Знание, 1977.-52 с.

11. Карташов Г.Д. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний. М.: Знание, 1980. - 51 с.

12. Карташов Г.Д. Установление связей между ненаблюдаемыми одновременно случайными величинами // Применение теории вероятностей и математической статистики (Вильнюс). 1981. - № 4.- С. 18-29.

13. Карташов Г.Д. Оценка совместного распределения одновременно ненаблюдаемых случайных величин // Сборник трудов ВНИИ системных исследований. 1989. - №1. - С. 50-58.

14. Карташов Г.Д. Эксперименты с ненаблюдаемыми одновременно параметрами в теории форсированных испытаний // Ускоренные методы испытаний на надежность технических систем: Сб. статей. М., ВНИИНМАШ, 1972. - С. 41-43.

15. Тимонин В.И. Математические методы в теории ускоренных испытаний // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - №1. - С.51-57

16. Каминский М. П. Статистические методы планирования и обработки результатов форсированных испытаний радиодеталей // Обзоры по электронной технике: Научн.-техн. сб. ЦНИИЭ (М). 1987 - Вып. 1(1252). -47с.

17. Воротинский В.А., Дадерко Н.К. Ускоренные испытания полупроводниковых приборов и ИС на надежность // Зарубежная радиоэлектроника. 1978. - №7. - С. 50-65.

18. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни. М.: Финансы и статистика, 1988. - 191с.

19. Карташов Г.Д. Форсированные испытания // Надежность технических систем: Справочник/ Ю.К. Беляев, В.В. Болотин, Р. Барлоу и др.- М.: Радио и связь, 1985. С. 418-430.

20. Карташов Г. Д. Форсированные испытания при нестабильном процессе производства // Известия АН СССР. Техническая кибернетика-1971.-№4.-С. 84-90.

21. Карташов Г. Д. Методы форсированных испытаний. М.: Знание,1979. - 43с.

22. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. - 524с.

23. Карташов Г.Д. Форсированные испытания при нестабильном процессе производства // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.- 1971. -№4.- С. 84-90.

24. Карташов Г.Д., Перроте А.И. О возможности форсированных испытаний при неустановившемся производстве // Электронная техника. Сер. 8. 1974. - Вып. 3.-С. 3-11.

25. Бархатова О.А., Карташов Г.Д. Форсированные испытания в случайном режиме // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1981. - № 347. - С. 6775.

26. Карташов Г. Д. Аддитивно-марковские модели расходования ресурса // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1974. - № 2. - С. 53-58.

27. Карташов Г.Д. Модели расходования ресурса изделий электронной техники // Обзоры по электронной технике. Сер.8. Электронная техника, 1977.-Вып. 1. - 76с.

28. Карташов Г. Д. Об одном обобщении принципа Седякина // Надёжность и контроль качества. 1986. - № 12. - С. 3-13.

29. Багдонавичюс В. Б. Статистическая проверка модели аддитивного накопления повреждений // Теория вероятностей и её применения. 1978. -т.23, № 2. - С. 403-408.

30. Багдонавичюс В. Статистическая проверка гипотез Седякина и Володина // Применение теории вероятностей и математической статистики (Вильнюс). 1983.-№5. - С. 96-104.

31. Corten Н. Т., Dolan Т. J. Cumulative Fatigue Damage // Proceeding International Conference on Fatigue. Berlin: Springer Verlag, 1956. - P. 235-246.

32. Карташов Г. Д. Физико-статистические принципы расходования ресурса изделий. // Электронная техника. Сер. 8. — 1976. № 6. - С. 7-17.

33. Miner М. A. Cumulative Damage in Fatigue // Transactions ASME. 1945. -V. 67 A., №3.-P. 159-164.

34. Пешее JI. Я., Степанова М. Д. Модели ускоренных испытаний // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. - № 3. - С. 38-43.

35. Седякин Н. М. Об одном физическом принципе надёжности // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1966. - № 3. - С. 80-87.

36. Справочник. Надежность и эффективность в технике. М.: Машиностроение, 1990.-Т. 10.-336с.

37. Sinnadurai F. N. Accelerated Aging of IMP ATT Diodes // Microelectronics and Reliability. 1981. - V. 21, № 2. - P. 209-219.

38. Sudo H., Nakano Y. Failure Rate Prediction of Optical Semiconductor Devices // Microelectronics and Reliability. 1985. - V. 25, № 3. - P. 525-540.

39. Kishimoto A., Koumoto K., Yanagida H. Mechanical and Dielectrical Failure of ВаТЮЗ Ceramics // Journal of Materials Science. 1989. - V. 24, № 2. - P. 698702.

40. Анализ надежности технических систем по цензурированным выборкам / В.М. Скрипник, А.Е. Назин, Ю.Г. Приходько, Ю.Н. Благовещенский -М.: Радио и связь, 1988.- 184 с.

41. Fleming Т., O'Fallon J., O'Brien P. Modified Kolmogorov Smirnov Test Procedures with Application to Arbitrarily Right-Censored Data // Biometrics. - 1980.- V. 36, № 4. - P. 607-625.

42. Singpurwalla N. Inference from Accelerated Life Tests Using Arrhenius Type Re-Parameterization // Technometrics. 1973. - V.15, №2. - P. 201-208.

43. Singpurwalla N. Inference from Accelerated Life Tests When Observations Are Obtained from Censored Samples // Technometrics. 1971. -V.13, № 1. -P. 92-99.

44. Kahn H. Least Squares Estimation for the Inverse Power Law for Accelerated Life Tests // Applied Statistics. 1979. - V.28, №1. - P. 40-46.

45. Nelson W., Hahn G. Linear Estimation of a Regression Relationship from Censored Data // Technometrics. 1972. - V.14, №2.- P.235-244.

46. Nelson W., Hahn G. Linear Estimation of a Regression Relationship from Censored Data // Technometrics. 1973. - V. 15, №1. - P.37-49.

47. Справочник по прикладной статистике: В 2 т. / Под ред. Э. Ллойда и У. Ледермана. М.: Финансы и статистика. - 1989. - Т.1. - 307с., 1990. - Т.2. -341с.

48. Сархан А., Гринберг Б. Введение в теорию порядковых статистик. -М.: Статистика, 1970. 343 с.

49. Сох D. Regression Models and Life Tables // Journal Royal Statist. Society. - 1972. - V. B-34.- P. 187-220.

50. Lehman E. The Power of Rank Tests // Annals of Mathematical Statistics. 1953. - V. 24, №1.-P. 23-43.

51. Кендалл M., Стьюарт А. Теория распределений. М.:Наука, 1966.-588c.

52. Кендалл M., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-900 с.

53. Карташов Г.Д. Форсированные испытания аппаратуры // Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. 1985. - №1. -С. 18-24.

54. Карташов Г.Д. Форсированные испытания аппаратуры. М.: Знание, 1986.-54с.

55. Schreiber Н. U. Activation Energies for Different Electromigration Mechanisms in Aluminum // Solid-State Electronics. 1981. - V. 24, № 6. -P. 583-589.

56. Chan С. K. Temperature-Dependent Standard Deviation of Log (Failure Time) Distribution // IEEE Transactions on Reliability- 1991. V.40, № 2. -P. 157-160.

57. Rouhoff H. W. Accelerated Life Test Results on Submarine-Cable Transistors // IEEE Transactions on Reliability. 1975. - V. R22, № 4. - P. 226229.

58. Карташов Г.Д. Исследование проблемы инвариантности в теории надежности: Автореф. дисс. д.ф.-м.н. -М.: МИЭМ, 1975. 32с.

59. Evans J. W., Johnson R. A., Green D. W. Estimating Correlation Between Variables Under Destructive Testing, or How to Break the Same Board Twice // Technometrics. 1984. - V. 26, № 3. - P. 285-290.

60. Amorim S., Johnson R. A. Experimental Designs for Estimating the Correlation Between Two Destructively Tested Variables // Journal of American Statist. Association. 1986. ~ V.81, № 395. - P. 807-812.

61. Miller R., Nelson W. Optimum Simple Step-Stress Plans for Accelerated Life Tests // IEEE Transactions on Reliability. 1983. - V. R32, № 1. - P. 59-65.

62. Puri M., Sen P. Nonparametric Methods in Multivariate Analysis.- N.-Y.: Wiley, 1971.-48lp.

63. Schmoyer R. L. An Exact Distribution Free Analysis for Accelerated Life Testing at Several Level of a Single Stress // Technometrics.- 1986. V. 28, № 2. -P. 165-175.

64. Вопросы математической теории надежности. / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Каштанов и др.; Под редакцией Б.В. Гнеденко. М.: Радио и связь, 1983. - 376с.

65. Kaplan Е., Meier P. Nonparametric Estimation from Incomplete Observations // Journ. Americ. Statistic. Associat. 1958. - V.53. - P. 457-481.

66. Tsao C. An Extension of Massey's Distribution of the Maximum Deviation Between Two-Sample Cumulative Step Functions // Ann. Math. Statist. 1954. - V. 25, № 2. - P. 587-592.

67. Титчмарш E. Теория функций. M.: Наука, 1980. - 464с.

68. Де Брёйн Н. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. -247с.

69. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции М.:Наука, 1990-528с.

70. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. -352с.

71. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.-648с.

72. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.-Т. 1. - 500с.

73. Breslow N., Crowley J. A Large Sample Study of the Life Table and Product Limit Estimates under Random Censorship // Annals of statist.- 1974. -№2.-P. 437-453.

74. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: ГИФМЛ, 1961. -408с.

75. Doob J. Heuristic Approach to the Kolmogorov Smirnov Theorems // Ann. Math. Stat. - 1949. - V.20, № 3. - P. 393 -403.

76. Беляев Ю.К. Статистические методы обработки неполных данных о надежности изделий. М.: Знание, 1987. - 55 с.

77. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: ГИФМЛ, 1963.-500с.

78. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах,-М.: Финансы и статистика, 1987. 334с.

79. Puri М., Sen P. Nonparametric Methods in General Linear Models.-N.-Y.: Wiley, 1985.-399p.

80. Сотсков Б.С. Основы теории и расчета надежности элементов и устройств автоматики и вычислительной техники. М.: Высшая школа, 1970. -271с.

81. Надежность зарубежной элементной базы / А.А. Борисов, В.М. Горбачева, Г.Д. Карташов, С.Ф. Прытков // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. - №5.1. С. 34-53.

82. Shaked M., Singpurvalla N. D. Inference for Step-Stress Accelerated Life Test // Journal Statistical Plann. and Inference. 1983. - V. 7. - P. 295-396.

83. Savage R. Contributions to the Theory of Rank Order Statistics the Two - Sample Case // Ann. Math. Stat. - 1956. - V.27, № 3. - P. 590 -615.

84. Elandt-Johnson R., Johnson N. Survival Models and Data Analysis. -N-Y: Wiley, 1980.-403 p.

85. Massey F. The Distribution of the Maximum Deviation Between Two Sample Cumulative Step Functions // Ann. Math. Stat. 1951. - V.22, № 1.-P.125-128.

86. Ширяев A.H. Вероятность. -M.: Наука, 1989. 640c.

87. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.- 544с.

88. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. - 472с.

89. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев М.:Наука, 1971. -376 с.

90. Ширшев Л.Г. Ионизирующие излучения и электроника,- М.: Советское радио, 1969,- 192с.

91. Герцбах И. Б, Кордонский X. Модели отказов. М.: Советское радио, 1966. - 166 с.

92. Тимонин В.И., Воробьева В.Д. О вычислении распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана // Математическая статистика и ее применение. Пермь, 1988. - С.77-81.

93. Гихман И.И. Об одном непараметрическом критерии однородности К выборок. // Теория вероятностей и ее применение-1957. Т. 2, №2. -С.380-384.

94. Basu P. Censored Data // Handbook of Statistics / P.Krishnaiah, P. Sen, editors. N. - Y.: Elsevier Science Publishers, 1984. - Vol. 4, Chap.9. - P. 551 -578.

95. Тимонин В.И. Об одной задаче проверки гипотез в теории форсированных испытаний // Применение теории вероятностей и математической статистики (Вильнюс). 1981.- №4. - С. 81-85.

96. Тимонин В.И. Об одном локально наиболее мощном ранговом критерии // Вероятностные процессы и их приложения. М.: МИЭМ, 1983. -С.74-80.

97. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978.-560с.

98. Тимонин В.И., Шабанин И.В. Оптимальное оценивание коэффициентов связи между режимами непараметрическими методами // Надежность и контроль качества: Труды международного симпозиума. -Пенза, 2000. С. 267-270.

99. Doksam К., Yandell В. Tests for Exponentiality // Handbook of Statistics / P.Krishnaiah, P. Sen, editors. -N. Y.: Elsevier Science Publishers, 1984. - Vol. 4, Chap. 10.- P. 579 -611.

100. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965.-452с.

101. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. Санкт-Петербург, 2001. - 296 с.

102. Карташов Г. Д., Куликов В.В. Об оптимальном режиме предварительных исследований // Стандарты и качество. Приложение Надежность и контроль качества.- 1984.- №4.- С.38-44.

103. Благовещенский Ю. Н., Святодух И. В. Регрессионные модели для квантилей // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. -Пермь: ПТУ, 1996.-С. 133-146.

104. Смагин В. А. Физико-вероятностные модели прогнозирования надёжности изделий на основе форсированных испытаний // Надёжность и контроль качества. 1998. - № 4. - С. 15-23.

105. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под. ред. В. С. Королюка. Киев: Наукова думка, 1978. -582 с.

106. Тимонин В.И. Оценивание результатов ускоренных испытаний

107. Научно технический прогресс в машиностроении и проборостроении: Тез. докл. Всесоюзной НТК МГТУ им. Н.Э.Баумана. - М., 1980.- С.58.

108. Тимонин В.И. О распределении модифицированной статистики Смирнова в задаче о двух выборках // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1981. -№347.-С.10-18.

109. Тимонин В.И. Точные распределения статистик Смирнова для одного класса альтернатив для полных и цензурированных данных // Теория вероятностей и ее применение. 1983. - Т.28, №4. - С. 758-760.

110. Тимонин В.И. О точных распределениях некоторых ранговых критериев // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1983. - № 396. - С.25-33.

111. Тимонин В.И. Об одной задаче теории надежности // Применение статистических методов в производстве и управлении: Тез.докл. Всесоюзной конференции. Пермь, 1984. - С. 191-192.

112. Тимонин В.И. Точные распределения ранговых статистик для цензурированных данных в испытаниях с переменной нагрузкой // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1985. - № 428. - С.48-54.

113. Тимонин В.И., Черномордик О.М. Метод вычисления точного распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова при альтернативах Лемана // Теория вероятностей и ее применение.- 1985.- Т.30, №3. С.572-573.

114. Тимонин В.И. Проверка лемановских гипотез в задаче о двух выборках // 1-ый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей: Тезисы докладов Ташкент, 1986. - Т. 1. - С. 186.

115. Тимонин В.И. О предельном распределении статистики одного непараметрического критерия. // Теория вероятностей и ее применение. 1987. - Т.32, №4. - С.790-792.

116. Тимонин В.И., Будовская JI.M. Таблицы точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова // Труды МВТУ им. Н.Э.Баумана. 1987. - № 473. - С.22-29.

117. Планирование предварительных испытаний для экспоненциальной наработки на отказ / В.И. Тимонин, Г.Д. Карташов, В.Н. Баскаков, И.К. Яров // Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. 1993. - № 10. - С.33-37.

118. Тимонин В.И. Распределение статистик типа со2 при альтернативах Лемана // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь, 1993.- С.24-28.

119. Тимонин В.И., Карташов Г.Д., Яров И.К. Об оптимальности проведения предварительных испытаний в экспоненциальном случае // Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. -1994. № 2. - С.4-9.

120. Тимонин В.И., Богомолова Т.Е. Планирование предварительных испытаний в экспоненциальном случае при нелинейных функциях связи // Стандарты и качество. Приложение: Надежность и контроль качества. -1996.- № 1. С.33-39.

121. Программный комплекс для форсированных испытаний РДВ 319.01.11-2000 / В.И. Тимонин, О.А. Бархатова, Г.Д. Карташов, И.В. Шабанин // Надежность и контроль качество: Труды международного симпозиума. Пенза, 2000. - С. 270-271.

122. Тимонин В.И., Шабанин И.В. Оптимальное оценивание коэффициентов связи между режимами непараметрическими методами // Надежность и контроль качества: Труды международного симпозиума. -Пенза, 2000. С. 267-270.

123. Оценка сохраняемости технических изделий / В.И, Тимонин, А.А. Борисов, А.Д. Канчавели, Г.Д. Карташов // Надежность и качество 2001: Труды международного симпозиума Пенза, 2001. - С. 452.

124. Тимонин В.И. Применение оценок Каплана-Мейера для оптимизации проведения предварительных исследований // Надежность и качество: Труды международного симпозиума.- Пенза, 2003.- С. 194-198.

125. Тимонин В.И. Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2004. - № 1. - С. 23-33.

126. Карташов Г.Д., Тимонин В.И. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний изделий радиоэлектроники // Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. - Т. 9, № 6.-С. 51-60.

127. Тимонин В.И. Аналоги двухвыборочных статистик Реньи для проверки гипотез Лемана // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2004. - № 4. - С. 3-10.1. УТВЕРЖДАЮ"1. ВрИОлащшьника ФГУП1. России"1. SS I i

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00