автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Статистические методы оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем в задачах планирования деятельности предприятия

На правах рукописи

> I о и«

БАСКАКОВ РОМАН АНАТОЛЬЕВИЧ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ КОНТРОЛЕМ В ЗАДАЧАХ ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

05.13.14 - Системы обработки информации и управления

А втореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Красноярск - 2000

Работа выполнена на кафедре "Автоматизированной обработки информации" Красноярского государственного технического университета.

Научные руководитель: доктор технических наук,

Михайленко С.А. Научный консультант: кандидат технических наук,

Соколов М. И. Официальные оппоненты: доктор технических наук.

профессор Демиденко Н.Д., кандидат технических наук, доцент Красноштанов А.П.

Ведущая организация: ОАО "Красноярскэнерго".

Защита состоится 29 нюня 2000 г. в !с< часов на заседании диссертационного совета Д.064.54.01 Красноярского государственного технического университета по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Кирснского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим высылать но адресу: г. Красноярск. \л. Киренского. 26. ученому секретарю Диссертационного совета.

Автореферат разослан« ¿7 » м.1я 2000 г.

Уче;;ыи секретарь диссертационного созега.

л.т.и . профессор

ЫаМаАО. ММ. О

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Задача совершенствования системы управления экономикой на базе экономико-математических методов является одной из главнейших практических и научных проблем современного этапа развития общества. В настоящее время экономические расчеты опираются, как правило, на аппарат линейного программирования, разработанный в 40-х годах и не учитывающий ряд важных особенностей экономических объектов. В задачах планирования и прогнозирования такой особенностью является неполная информация о параметрах планирования. Для решения данных задач в условиях неполной информации, перспективным является использование методов имитационного моделирования и стохастического программирования.

Цель работы: Разработать математические и информационные средства для оптимизации функционирования предприятия с позиций линейных динамических систем с дискретным контролем в условиях неполной информации. Применить полученные результаты в задаче распределения нагрузки в энергосистеме.

Цель достигается путём решения следующих задач:

1. Сформулировать постановку задачи оптимизации линейной динамической системы с дискретным контролем, описывающей функционирование предприятия с учетом присущих ему финансовых механизмов деятельности и запаздываний в системе.

2. На основе аппарата имитационного моделирования и стохастического программирования разработать метод оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем в условиях неполной информации.

3. Создать информационные средства прогнозирования деятельности предприятия.

4. Решить проблему оптимизации нагрузки в энергосистеме при неполной информации.

Научная новизна диссертации состоит в разработке и исследовании методов оптимизации особого класса линейных ди-

намических систем с дискретным контролем при неполной информации, возникающих в задачах планирования и прогнозирования на предприятии.В частности:

• С позиций линейных динамических систем разработана математическая модель функционирования предприятия, учитывающая временные запаздывания и основные компоненты работы предприятия: закупка сырья, выпуск продукции, ее хранение, воспроизводство фондов, деятельность персонала, финансовые взаимоотношение предприятия с дебиторами, кредиторами и фискальными органами, различные стратегии маркетинга.

• Предложен модифицированный метод стохастического квазиградиента, обеспечивающий двухэтапное планирование деятельности предприятия.

• Разработан и исследован статистический метод оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем, основанный на декомпозиции исходной задачи и принципах имитации систем.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке методических, алгоритмических и программных средств оптимизации и оценки решения статистических линейных динамических систем с дискретным контролем, ориентированных на реализацию проблемы планирования и прогнозирования на предприятиях при неполной информации.

Научные результаты диссертационной работы могут быть использованы в задачах планирования и прогнозирования на предприятии в условиях, когда процесс функционирования предприятия описывается линейной динамической системой, в том числе, когда параметры планирования частично неопределенны.

Методы исследования^ Для решения поставленных задач были использованы аппарат линейного и стохастического программирования, теоремы лагранжевой двойственности, метод имитационного моделирования.

Автор защищает:

1. Линейную динамическую модель функционирования предприятия, описывающую основные компоненты и механизмы финансово-хозяйственной деятельности предприятия.

2. Метод оптимизации линейных динамических систем с использованием принципов декомпозиции и верхней оценки дуальной функции; результаты его сравнения с методом Данцига-Вольфе.

3. Имитационную модель оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем при неполной информации о параметрах планирования, обеспечивающую решение задачи прогнозирования результатов работы предприятия.

4. Модифицированный метод стохастического квазиградиента в задаче двухэтапного планирования на предприятии.

5. Программные средства, реализующие методику статистического оценивания решений линейных динамических систем; результаты их применения при оптимизации распределения нагрузке в энергосистеме на примере ОАО "Красноярскэнерго".

Реализация результатов работы. Разработанные методы оптимизации статистических линейных динамических систем и программное обеспечение внедрено в ОАО "Красноярскэнерго" для использования в работе по планированию работы предприятий энергосистемы.

Апробация работы. Основные положения диссертации представлялись и докладывались на региональных, Всероссийских и Международных конференциях: Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)" (г. Красноярск, 1999); первом Всероссийском симпозиуме "Стратегическое планирование и развитие предприятий" (г. Москва, 2000); региональной конференции "Образование XXI века: инновационные технологии, диагности

ка и управление в условиях информатизации и гуманизации" (г. Красноярск, 2000).

Публикации. Результаты проведенных теоретических и экспериментальных исследований опубликованы в б печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии (71 наименование), содержит 109 страниц машинописного теста, иллюстрируется 6 рисунками.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены цель и задачи исследования, выделены основные положения работы, имеющие новизну и практическую значимость.

В первой главе приведен обзор основных понятий и моделей математической теории управления экономикой и построена математическая модель функционирования предприятия с позиции линейных динамических систем.

Дается описание простейшего однопродуктового элемента экономики с учетом запаздываний, предлагается процедура объединения отдельных элементов экономики. Синтез модели осуществляется путем последовательного добавления в рассматриваемую модель различных компонент и аспектов деятельности предприятия и построения оператора планирования, который после каждой модификации остается линейным. К полученному в результате объединения однопродуктовых элементов многопродуктовому элементу добавляется описание складов входных и выходных продуктов. Вводится в рассмотрение строительный элемент с учетом различных временных запаздываний. Далее описываются процессы сбыта готовой продукции и закупки сырьевых продуктов. В описании учитывается, что предприятие может производить закупки и реализовывать продукцию различными способами. Каждый / - ый способ реализации продукции, также как и каждый / - ый способ закупки продукции, отличается от других временным интервалом между моментом оплаты и параметров, иаыа'ИЧикис ицениважге-

моментом поступления продукции и ценой за единицу продукции. Трудовые ресурсы (0 рассматриваются на множестве профессий. Описывается процесс выплаты заработной платы и отчисления на социальные нужды на предприятии. При этом учитывается, что

выплата заработной платы за каждый период Т^ происходит не

моментально, а в течение некоторого интервала времени АТ^. Описывается процесс взаимодействия предприятия с финансовыми институтами. Одним из таких институтов является банк. Учитывается, что банк начисляет проценты на средний остаток на текущем

счете с некоторой периодичностью ТБ по формуле • 5(/)й?/, где 5(/) - остаток на счету предприятия в /-Г

момент Л Вторым рассматриваемым финансовым институтом является кредитное учреждение. Описывается функционирование кредитной линии, предоставляемой предприятию. Кредитное учреж-

~ т1 С

денис начисляет с некоторой периодичностью 1 проценты за

I

пользование кредитом по формуле • , где С(7) -

1-Тс

задолженность предприятия перед кредитным учреждением в момент /. При этом ограничивается максимальная сумма кредита Стах. Вводится дополнительное условие полной оплаты всей суммы кредита и процентов по нему к моменту окончания планирования. Введем следующие обозначения: " интервал планирования; у(^) - вектор производимых предприятием продуктов; У(/) - вектор мощностей; х + {() и х (/) - вектора продуктов на складе входной и выходной продукции; сумма, поступающая по кредитной линии предприятию в момент/; +(/) - вектор цен при закупке входных продуктов / - ым способом в момент РУ-'(0 - век

тор цен при реализации выходных продуктов i - ым способом в момент - вектор удельной стоимости трудовых затрат;

w~(t) - количество выходных продуктов, реализуемых / - ым способом в момент t, и т™' (/) - соответствующее запаздывание; vv+(0 - количество входных продуктов, закупаемых i - ым способом в момент t, (t) - соответствующее запаздывание; j3(t,TL,ATL) = 1, если te(t0 + k-TL,t0+k-TL +ЛTL] ,к-целое и к> 0,и j3(t,TL,ÁTL) =0иначе, y(t,T) = ]■ Т ([х] -

целая часть х). А^ , А^ , Ах'+, Ах' - матрицы удельных сырьевых затрат на мощность, на персонал, на обслуживание входного и выходного склада, R^ , R^, Rx,+ ,RX' - матрицы удельных трудовых затрат на мощность, на персонал, на обслуживание входного и

выходного склада, и ï?(t) - вектор постоянных затрат,

(Aav(i)V = X tfi (0 ■ V,(t + т^(0), (BP(t))r =

/=1

Î ьп m С + (0), (Ra40)r = ï iri (0 • vf (/ + T%L (0), /=1 /•=i

(RPp(t))r = ¿ (/ + T?;L (t)), (ÂKv(/)); = v,. (/ + rf ),

/=1

и - удельные прямые сырьевые затраты продукта /" и

трудовые затраты г - ой специальности на выпуск продукта /,

b■,■(() и - удельные фондообразующие затраты продукта /'

и трудовые затраты г - ой специальности на единичный прирост i -ой мощности. Оператор планирования В для полученной таким образом модели предприятия выглядит следующим образом: пр»ррямм11рр|плппп ппп рпг.рмптрипаемай гпгтрмЬ' Дпя-тнттт»7ТН Ч'Л-

B{t) ■ V(t) + A1 (O • i+ (t) + Л*>+ (O • x+(O + Л л ~(O. x"(O

+ £0 ' Œ wr (0 - v(0 + x~ (/) ) + x+ (0, 1=1

(E - TL(t))l+ (t) = Ra(t) ■ v(t) + Z°(/) + (/) • + Rv(t) ■ F(t) + Rx'+ (0 • x + (0 + Rx~(0 • x~(i),

m

Sit) = S (í + «Г (0), *Г (' + (0)) -1=1

íiPrit+T^mwüt+T^m-i=1

ÊMh^i "f '^гда +

ДГ r{tjL)-TL

ñ(t Ts

P{ j f } i d\t)-S{z)dr-Cs{t),

Ы y(t,Ts)-Ts

Bit Tc ATC)

C(t) = cJ(o + ESLILLA j dc{t).C(T)dr,

AT r(t,Tc)-Tc

V{t) 2: 0 ,(e,^(0) < "max ,x~ax(0 >x~(t)> x~in(0 , x+max(t)>x+(t)> x+m.m (t), C(t0 ) = C0,C(tj)=0, 0 < krv(t) < V(t), 0 < C(t) < Cmax , v(/) > 0 , L+ (O > O,

S(t) > O ,wf(t) > O, ^-(/)>0.

Кроме того, функции, аргументы которых зависят от запаздываний, должны быть заданы на соответствующих доплановых и послеплановых периодах. В качестве критерия качества в данной работе выбрано максимальное увеличение денежных средств на счету предприятия к концу периода планирования:

S(t\) —> max

Таким образом, в рамках предложенной модели, задача планирования на предприятии свелась к задаче оптимизации линейной динамической системы.

Во второй главе обосновывается эффективность перехода к дискретному времени для решения полученной в первой главе задачи оптимизации линейной динамической системы. После этого преобразования задача оптимизации принимает вид следующей задачи линейного программирования.

с • х —> min,

A-x-b,A'-x = b',D-x>d{, х еХ, где х(0= {v(/), >vf (Г)(/), (/) w+p(t),V{t),l+{t),

x~(t),x+(t) ,C{t) ,S(t)}, i = +1,/q + 2,...,([, А - матрица,

соответствующая строкам оператора планирования, описывающим баланс материальных и трудовых ресурсов в каждый момент времени /е[Г0+1, А' - матрица ограничений-равенств нашей

задачи, соответствующая строкам, описывающим баланс материальных и трудовых ресурсов в каждый момент времени / 0 [¿О +1,] и денежных ресурсов во все рассматриваемые моменты времени; D - матрица ограничений-неравенств, соответствующая строкам, описываемым соотношения между мощностью и выпуском при t 6 [/q + 1, /j ].

Матрицы А' и D имеют специальную структуру, вследствие чего полученную задачу линейного программирования можно свести к следующему виду:

с ■ х —> min,

A-x-b, х, е А7,, х2 е Х2 , х3 е Хъ , х4 el4,

где х,= {v(/),F(/)}, х2 = {vT>~{t)T,w+j{t)T, L+(l)T,

C(t), S(t)},x3= {x~{t)},xA= {x+{t)T}, i= = Up,

t = t0 +1 ,tQ + 2

Для произвольного X введем функцию Лагранжа L(x,Ä) :

Ь(х,Л)=с-х- Л-(А-х-Ь), и дуальную функцию со(Л) = min{Z,(x Д)} = Л-Ь + min{(c - Л -_А) ■х} = Л- Ь +

x,eX,,i = \Ä х, еХ, ,/ = 1,4

4

min{ (с к ~ Л ■ Afc )-Х/с}. Из последнего выражения видно, что

к=1

хк еХк

вычисление дуальной функции разлагается в решение четырех независимых вспомогательных задач (5], 52, S3 , S4) вида:

ск • хк -> min,

хкеХк, где ск = ск -Л-Ак. Теоремы лагранжевой двойственности позволяет установить, что значение дуальной функции со(Л) не превосходит оптимума основной задачи, а ее максимум совпадает со значением оптимума основной задачи. Задача поиска максимума дуальной функции (дуальная задача) решается с помощью алгоритма субградиента. Суб-

4

градиент дуальной функции равен у = Ь — ^ Акхк (например

к=1

М.Мину). На каждой итерации этого алгоритма полученное значение дуальной функции является нижней оценкой оптимума с ■ х * исходной задачи. Для получения верхней оценки предложена следующая процедура:

Проверим условие А ■ х^ = b , если оно выполнено, то процедура преобразования не требуется. Иначе, найдем индекс /mjn,

такой что для любого / : Iс,- . (Л. )|<| с,-(Л^ )|. Далее найдем

'mm

множество индексов /', такое что V/ е /', /' б / = {l,...,yVx} и А А

, где N - количество столбцов матрицы А, выполняется условие С; . (AS ')/а и . =С:(А> ')!а .■, = Z(j). Тогда

'min ./'min ' J'

-(к) ~(к)

получим вектор хК ' = 7Г(хК ') следующим образом: компоненты вектора xv '

для которых / £ /' примем равными соответствующим компонентам вектора а в качестве остальных компонент возьмем любые компоненты X,-, удовлетворяющие условиям

^ А/ ■ Xj. Доказывается, что х^ —> х *. iei/I'

Выбор шага в методе субградиента осуществляется с помощью комбинации метода релаксации и метода расходящегося ряда. Данный метод показал хорошие результаты на практике. Далее предложенный метод субградиента сравнивается с методом Данцига-Вольфе. Основными недостатками метода Данцига-Вольфе по сравнению с предложенным методом при реализации на ЭВМ являются:

а) необходимость хранить в памяти ЭВМ все полученные на предыдущих итерациях значения х s ;

б) на каждом шаге процедура выбора нового значения Я^ сопряжена с решением задачи линейного программирования, размерность которой возрастает с числом итераций.

В третьей главе рассматриваются и решаются задачи оптимизации и анализа решения линейных динамических систем с дискретным контролем, при неполной информации о параметрах системы. Обосновывается значимость такой постановки задачи для более адекватного описания экономических объектов.

Предполагается, что планирование работы предприятия в рамках предложенной модели происходит при полной информации, в то время как задача прогнозирования оценок статистических характеристик оптимума функции цели решается в условиях, когда известны только вид распределения параметров системы. Предложенная методика также применима, если имеется конечная выборка из параметров задачи. Для решения задачи используется метод имитационного моделирования. На основе анализа полученной в результате вычислительного эксперимента выборки решений оценивается математическое ожидание, дисперсия оптимума функции цели, определяется ее доверительный интервал. Далее с позиций метода стохастического квазиградиента [Ю. М. Ермольев] решается двухэтапная задача стохастического ^ Uo<-U< &h

1=с(в2эт'5)- Л*- А«2эт+1,ь,02эт'*) - ¡йо * -Д*- ОР(С2эт+\,[ьв2эт-°) - О[р(1ь02эт-*) -

/}2 *• ЭР^2эт +иьв2эт>*) - ]л'2 *■ &2р{1х,в1эт'*) + /¿22 *

,2эт —2эт

где I - момент, когда определяется коррекция х плана

хЪт и далее производство функционирует в соответствии с исправленным планом (х +х ); а - недостающая информация о параметрах задачи, поступающая в конце первого этапа, и генерируемая на ^ -ом шаге алгоритма стохастического квазиградиента; А{Р'эт + 1,/1,#2эт) - матрица, составленная из строк матрицы Л(в~эт) основной задачи, описывающих баланс материальных и трудовых ресурсов в моменты +1,^];

рР^-эт + . матрица, составленная из строк матри-

, п2эт ч

цы А (и ) основной задачи, описывающих соотношения между мощностью и выпуском в моменты / е [р"эт +1,/^];

) - матрица, составленная из строк матрицы

А' (0^эт) основной задачи, описывающих баланс материальных ресурсов в моменты / > /]; (¡2эт + 1,/],#2э"!''у) - составленная из строк матрицы А'{в^эт) основной задачи, описывающих баланс денежных средств в моменты +1,^];

П'2Р^\,в2эт,!:) - матрица, составленная из строк матрицы

основной задачи, описывающих баланс материальных ресурсов в моменты / > ^; Л *,

¡Л\ * , /л[ * , /¿2 *, Р'2 * " соответствУюЩие строкам этих матриц оптимальные двойственные переменные;

¿¿о* - °п™-

мальные двойственные переменные, соответствующие другим ограничениям исходной задачи.

На каждом шаге алгоритма стохастического квазиградиента

для имеющегося значения х решается задача второго этапа с помощью метода субградиента, описанного в главе 2. В процессе

решения одновременно определяется вектор Л * . Остальные оптимальные двойственные переменные находятся из условий Куна-Такера и решения двойственной задачи второго этапа. Описывается процедура проектирования полученного на каждом шаге вектора

на множество допустимых решений. В качестве теста на остановку используется предложенная Ю. М. Ермольевым процедура: вычисления прекращаются, после того как значение

1 5

1 v /Y-1 эт,к п2эт,к\ ,

— ¿и J \х ) ' оценка функции цели рассматриваемой

s к=О

задачи станет меньше какой-то заранее заданной величины.

В четвертой главе приводится описание программных средств, реализующих метод имитационного моделирования при оценивании статистических характеристик целевой функции и решения задачи оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем при неполной информации об их параметрах.

Программное обеспечение реализовано в среде визуального программирования Visual Basic 6.0 и представляет собой диалоговый пакет программ для работы в операционной среде Windows 3.11 или Windows 95 на компьютерах типа 486 DX4 или Pentium с объемом оперативной памяти не менее 8Mb.

Функциональные возможности информационной подсистемы: создание выборки решений и значений оптимума целевой функции задачи оптимизации линейных динамических систем, соответствующих заданному закону распределения их ¿--л/У)С>^/

характеристик оптимального решения и функции цели, включая доверительное оценивание.

Данное программное обеспечение адаптировано для решения задачи прогнозирования результатов работы предприятий энергосистемы (ОАО "Красноярскэнерго").

В пятой главе рассматривается задача планирования распределения нагрузки в энергосистеме. Предлагается математическая модель функционирования энергосистемы при заданном графике потребления электроэнергии. Электроэнергия производится тремя типами предприятий: гидроэлектростанцией (ГЭС), теплоэлектростанциями (ТЭС) и блокстанциями (БС). Производимая каждым типом этих предприятий электроэнергия имеет ограничения сверху и снизу. Кроме этого электроэнергия может закупаться у внешних поставщиков. Помимо указанных ограничений, вводится ограничение на среднюю на всем интервале планирования мощность ГЭС, а также условие баланса между, производимой, покупаемой, потребляемой и теряемой электроэнергией на всем интервале планирования: (1-<уг(0 )-Pr(t) + (1 -coT(t))-PT(t) + (\-coB(t))- PE(t) + Pn0K{t) = N(t) + q(t), где Pr{t), PT(t) , Pjçit), Pn0K(t) - средняя мощность ГЭС, ТЭС, БС и покупаемой электроэнергии с момента / - 1 до момента t; (Dp(/) ,cûj{î) ,(û£(t) - средняя доля электроэнергии, производимая ГЭС, ТЭС и БС соответственно, и расходуемая на собственный нужды с момента t - 1 до момента N(t) и q(t) - средняя мощность потребляемой электроэнергии и ее расход на транспорт по сетям соответственно. Целью задачи является минимизация стоимости электроэнергии, производимой энергосистемой и закупаемой у внешних поставщиков, определяемого выражением на всем интервале планирования:

£[ cr(t)-pr(t)+ cT{l)-PT(l)+ CB{t)-PE(t) + t=t0+1

пок

(t)-Pn0K(/)]-> min,

где сг(1), Су(0, с £ , спок(1) - стоимость единицы электроэнергии, произведенной ГЭС, ТЭС, БС и закупаемой у внешних поставщиков с момента г - 1 до момента /. Также как и для предложенной в главе 1 модели предприятия, для решения данной задачи при полной информации был использован метод поиска оптимума дуальной функции с помощью алгоритма субградиента и декомпозиции, рассмотренный в главе 2. На рис. 1 представлена зависимость верхней и нижней оценок дуальной функции для данной задачи от номера итерации. Для вычисления оптимума целевой функции с точностью 0,01% требовалось в среднем 272 итерации.

Рис 1. Сходимость алгоритма субградиента

Номер итерации

■ ■ - • -Вержйя оценка дуальной функции -Нижняя оценка дуальной функции

Постановка задачи прогнозирования оценок статистических характеристик оптимума целевой функции и оптимизации предложенной модели энергосистемы совпадает с постановками задачи исследования линейных динамических систем, описанных в главе 3. Считается, что все параметры задачи распределены нормально с заданными математическим ожиданием и дисперсией. Вычислительные эксперименты по имитационному моделированию проводились при различных значениях среднеквадратичных отклонений параметров (М - математическое ожидание рассматриваемого параметра, с!еу = 0,05М; 0,15М). Зависимость

выборочного среднего для полученной на каждой имитации выборки от номера имитации представлена на рисунке 2.

Рис 2. Результаты экспериментов

п в>

5

Ф •• • |

О. Ч*

о '

4600000 -I-■-'-■-.-.-■----------

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 Номер имитации

.....с)еу=5%-йеч=\Ь% -с1е\/=0%

Приводится детальное описание процедур вычисления оптимальных двойственных множителей и проектирования на множество допустимых решений.

Основные результаты и выводы

1. Предложена линейная динамическая модель функционирования предприятия, описывающая наиболее полно основные механизмы финансово-хозяйственной деятельности предприятия: закупка сырья, выпуск и хранение продукции, воспроизводство фондов, оборот трудовых ресурсов, различные маркетинговые стратегии, использование инвестиций и кредитной линии, финансовые взаимоотношения с фискальными органами.

2. Разработана и исследована методика имитационного моделирования для оценивания статистических характеристик условий оптимума целевой функции и решения задачи оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем

при неполной информации о параметрах планирования деятельности предприятия.

2. Разработан модифицированный метод стохастического квазиградиента, позволяющий осуществить декомпозицию линейных динамических систем с дискретным контролем, в задаче дпухэтлп-ного планирования деятельности предприятия.

3. Создано программное обеспечение, реализующее статистические методы оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем и обладающее свойствами адаптации к условиям решения широкого класса задач.

4. Сформулирована и решена задача оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме в условиях неопределенности относительно ее технологических и экономических параметров.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. P.A. Баскаков. Оптимизация структуры платежей при продаже в рассрочку автомобилей с учетом финансовых рисков.// Моделирование процессов управления и обработки информации. Междуведомственный сборник научных трудов. - Москва: МФТИ, 1996. - с. 17-21.

2. P.A. Баскаков. Оптимизация финансового планирования при санации предприятия.//Информатика и системы управления./отв. ред. А.Н. Ловчиков, Б.П. Соустин. - Красноярск: КГТУ, 1998. - с. 24-26.

3. P.A. Баскаков. Оптимизация финансового планирования на предприятии методами стохастического программирования.//Тезисы докладов международной конференции. "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)." - Красноярск: КГУ, 1999.-е. 32-33.

4. P.A. Баскаков. Оптимизация финансового и хозяйственного планирования на предприятии.// Информатика и системы управления./отв. ред. А.Н. Ловчиков, Б.П. Соустин. - Красноярск: КГТУ, 1999.-е. 18-26.

5. P.A. Баскаков. Методы оптимизации в экономических моделях ! предприятий, имеющих линейное описание, при неопределенности j параметров.// Тезисы докладов первого Всероссийского симпозиу- i ма «Стратегическое планирование и развитие предприятий.» - Москва: ЦЭМИ РАН, 2000. - с. 22 -23 j

6. P.A. Баскаков. Методы оптимизации в экономических моделях i предприятий, имеющих линейное описание, при неопределенности параметров.// Тезисы докладов конференции "Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в ус- ; ловнях информатизации и гуманизации." - Красноярск: КГПУ, 2000.-е. 19-21.

Введение

ГЛАВА 1. Построение математической модели функционирования предприятия

1.1. Основные понятия математической теории управления экономикой

1.2. Описание простейшего однопродуктового элемента экономики

1.3. Математическое описание модели функционирования предприятия

Выводы

ГЛАВА 2. Численные методы решения задачи планирования деятельности предприятия #

2.1. Преобразование исходной задачи к задаче линейного программирования с дискретным временем

2.2. Вычисление дуальной функции с помощью лагранжева ослабления соединенных ограничений

2.3. Решение дуальной задачи с помощью алгоритма субградиента

2.4. Сравнение с методов Данцига-Вольфе

Выводы

ГЛАВА 3. Решение задач оптимизации и анализа решения линейных динамических систем при неполной информации

3.1. Задача экономического планирования в терминах и понятиях стохастического программирования

3.2. Оценка решения задачи прогнозирования методами имитационного моделирования

3.3. Решение задачи двухэтапного планирования при неполной информации методами стохастического программирования

Выводы

ГЛАВА 4. Структура программного обеспечения для статистической оценки решения линейных динамических систем при неполной информации

4.1. Программное обеспечение и его функциональные возможности

4.2. Структура программного обеспечения 81 4.2. Краткое описание блоков, входящих в состав программного обеспечения

Выводы

ГЛАВА 5. Оптимизация распределения нагрузки в энергосистеме

5.1. Постановка и алгоритм решения детерминированной задачи

5.2. Решение задачи прогнозирования результатов работы энергосистемы при неполной информации

5.3. Решение задачи планирования распределения нагрузки в энергосистеме при неполной информации

Выводы

Задача совершенствования системы управления экономикой на базе экономико-математических методов является одной из главнейших практических и научных проблем современного этапа развития общества. В настоящее время экономические расчеты опираются, как правило, на аппарат линейного программирования, разработанный в 40-х годах и не учитывающий ряд важных особенностей экономических объектов. В задачах планирования и прогнозирования такой особенностью является неполная информация о параметрах планирования.

При перспективном и оперативном планировании работы промышленного предприятия возникает необходимость в учете ряда случайных факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким факторам относятся спрос, который не всегда может быть предсказан, непредусмотренные нарушения графика поступления сырья, энергии, рабочей силы, случайные сбои, неисправности и аварии оборудования. С переходом страны к экономике с доминированием рыночных механизмов, значимость эффективного финансового и хозяйственного планирования ещё более возрасла, поскольку вследствие развития конкуренции предприятия далее не могут пользоваться при планировании готовыми шаблонами. Они вынуждены быстро реагировать на изменяющуюся обстановку на рынке и корректировать план своей работы. Кроме того, возросла значимость финансового планирования, так как правильное финансовое планирование позволяет значительно повысить эффективность работы предприятия. При этом особое значение в оптимизации планирования принадлежит современным математическим и информационным средствам.

Для решения задач планирования и прогнозирования результатов работы предприятия в условиях неполной информации, перспективным является использование методов имитационного моделирования и стохастического программирования.

В предлагаемой работе разрабатывается и исследуется линейная динамическая модель функционирования предприятия, которая учитывает основные составляющие его работы: закупка сырья, выпуск продукции, ее

I • I хранение, воспроизводство фондов, деятельность персонала, финансовые потоки и другое. Обосновывается возможность декомпозиции полученной задачи оптимизации и предлагается метод ее решения при неполной информации о некоторых параметрах. При решении задачи прогнозирования результатов работы предприятия используется метод имитационного моделирования, поиск оптимального плана осуществляется с помощью модифицированного метода стохастического квазиградиента.

Цель исследований: Разработать математические и информационные средства для оптимизации функционирования предприятия с позиций линейных динамических систем с дискретным контролем в условиях неполной информации. Применить полученные результаты в задаче распределения нагрузки в энергосистеме.

Цель достигается путём решения следующих задач:

1. Сформулировать постановку задачи оптимизации линейной динамической системы с дискретным контролем, описывающей функционирование предприятия с учетом присущих ему финансовых механизмов деятельности и запаздываний в системе.

2. На основе аппарата имитационного моделирования и стохастического программирования разработать метод оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем в условиях неполной информации.

3. Создать информационные средства прогнозирования деятельности предприятия.

4. Решить проблему оптимизации нагрузки в энергосистеме при неполной информации.

Научная новизна диссертации состоит в разработке и исследовании методов оптимизации особого класса линейных динамических систем с дискретным контролем при неполной информации, возникающих в задачах планирования и прогнозирования на предприятии. В частности: • С позиций линейных динамических систем разработана математическая модель функционирования предприятия, учитывающая временные запаздывания и основные компоненты работы предприятия: закупка ! сырья, выпуск продукции, ее хранение, воспроизводство фондов, деятельность персонала, финансовые взаимоотношение предприятия с дебиторами, кредиторами и фискальными органами, различные стратегии маркетинга.

• Предложен модифицированный алгоритм стохастического квазиградиента, обеспечивающий двухэтапное планирование деятельности предприятия.

• Разработан и исследован статистический метод оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем, основанный на декомпозиции исходной задачи и принципах имитации систем.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке методических, алгоритмических и программных средств оптимизации и оценки решения статистических линейных динамических систем с дискретным контролем, ориентированных на реализацию проблемы планирования и прогнозирования на предприятиях при неполной информации.

Полученные научные результаты рекомендуется использовать в задачах планирования и прогнозирования на предприятии в условиях, когда процесс функционирования предприятия описывается линейной динамической системой, в том числе, когда параметры планирования частично неопределенны.

Их эффективность и практическая значимость подтверждаются результатами оптимизации распределения нагрузке в ОАО "Красноярскэнерго".

Методы исследования. При выполнении работы использованы: аппарат линейного и стохастического программирования, теоремы лагранжевой двойственности, метод имитационного моделирования.

Автор защищает:

1. Линейную динамическую модель функционирования предприятия, описывающую основные компоненты и механизмы финансово-хозяйственной деятельности предприятия. I

2. Метод оптимизации линейных динамических систем с использованием принципов декомпозиции и верхней оценки дуальной функции; результаты его сравнения с методом Данцига-Вольфе.

3. Имитационную модель оптимизации статистических линейных динамических систем с дискретным контролем при неполной информации о параметрах планирования, обеспечивающую решение задачи прогнозирования результатов работы предприятия.

4. Модифицированный алгоритм стохастического квазиградиента в задаче двухэтапного планирования на предприятии.

5. Программные средства, реализующие методику статистического оценивания решений линейных динамических систем; результаты их применения при оптимизации распределения нагрузке в энергосистеме на примере ОАО "Красноярскэнерго".

Апробация работы. Основные положения диссертации представлялись и докладывались на региональных, Всероссийских и Международных конференциях: Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)" (г. Красноярск, 1999); первом Всероссийском симпозиуме "Стратегическое планирование и развитие предприятий" (г. Москва, 2000); региональной конференции "Образование XXI века: инновационные технологии, диагностика и управление в условиях информатизации и гуманизации" (г. Красноярск, 2000).

Публикации. Результаты теоретических, экспериментальных и прикладных исследований опубликованы в 6 печатных работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы (71 наименование), содержит 109 страниц машинописного текста, иллюстрируется 6 рисунками.

Основные результаты исследований, внесших существенный вклад в изучение статистических линейных динамических систем, возникающих в задачах управления предприятиям:

1. Предложена линейная динамическая модель функционирования предприятия, описывающая основные механизмы финансово-хозяйственной деятельности предприятия: закупка сырья, выпуск и хранение продукции, воспроизводство фондов, оборот трудовых ресурсов, различные маркетинговые стратегии, использование инвестиций и кредитной линии, финансовые взаимоотношения с фискальными органами.

2. Разработана и исследована методика имитационного моделирования для оценивания статистических характеристик оптимума целевой функции и решения задачи оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем при неполной информации о параметрах планирования деятельности предприятия.

3. Разработан модифицированный алгоритм стохастического квазиградиента, позволяющий осуществить декомпозицию линейных динамических систем с дискретным контролем, в задаче двухэтапного планирования деятельности предприятия.

4. Создано программное обеспечение, реализующее статистические методы оптимизации линейных динамических систем с дискретным контролем и обладающее свойствами адаптации к условиям решения широкого класса задач.

5. Сформулирована и решена задача оптимизации распределения нагрузки в энергосистеме в условиях неопределенности относительно ее технологических и экономических параметров. !

Заключение

Данная работа представляет собой комплексное исследование задач планирования и прогнозирования на предприятии. Разработаны алгоритмы оптимизации и анализа статистических линейных динамических систем с дискретным контролем, возникающих в задачах описания деятельности предприятия. Данные алгоритмы позволяют использовать декомпозицию системы, теоремы лагранжевой двойственности и свойства стохастического квазиградиента. Таким образом, данный метод сочетает в себе преимущества всех указанных выше методов и свойств.

1. Ю. H. Иванов, B.B. Токарев, А.П. Уздемир. Математическое описание элементов экономики. - М.:Физматлит,1994. - 416 с.

2. Роберт Н. Холт. Основы финансового менеджмента. Пер. с англ. М.:ДелоД 993. - 128 с.

3. З.П. Румянцева, И. А. Саломатина и др. Менеджмент организации. М. :Инфра-М, 1995. 432 с.

4. H.H. Моисеев. Математика управление - экономика. М.: Знание, 1970.-62 с.

5. В.А. Волконский. Принципы оптимального планирования М.: Экономика, 1973. 239 с.

6. К.А. Багриновский. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973.

7. Ю П. Иванилов, A.B. Лотов. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979. 303 с.

8. C.B. Дубовский, А.Н. Дюкалов, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, А.П. Уздемир, Ю.М. Фаткин. О построении оптимального экономического плана. // Автоматика и телемеханика. 1972. - № 8. - с.100 - 114.

9. В.И. Чарный. Функциональные методы решения линейных динамических задач. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № ll.-c.159- 167.

10. Е.С. Биргер, А.К. Пестряков. О численном отыскании допустимого плана развития экономики. // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 11. - с.102 -108.

11. И. П. Боглаев. Об устойчивости модели плановой экономической системы. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 9. - с.80 - 86.

12. А.Н. Дюкалов, Ю.Н. Иванов, В.Н. Мохов, П.П. Сычев. Оптимальный экономический план с учетом запаздываний. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 9. - с.80 - 86.

13. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.-293 с.1

14. С. Карлин. Математические методы в теории игр,программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 838 с.

15. И.П. Боглаев, Б. В. Савельев. О построении оптимального плана для экономической системы со складами продуктов. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 8. - с.48 - 56.

16. A.A. Первозванский. Математические методы в управлении производством. М.: Наука, 1975. 615 с.

17. КБ. Мироносецкий. Экономико-математические методы календарного планирования. Новосибирск: Наука, 1973. 140 с.

18. Ю.Н. Иванов. Формализованные схемы составления экономического плана. I. Постановка задачи экономического планирования. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 2. - с.93 -101.

19. С.И. Бирюков, А.Е. Илютович. Формализованные схемы составления экономического плана. Ш. Декомпозиционный алгоритм для задачи экономического планирования. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 4. - с. 113 - 126.

20. С.И. Бирюков, А.Е. Илютович. Формализованные схемы составления экономического плана. IV. Моделирование на ЭВМ схем экономического планирования. // Автоматика и телемеханика. -1978. № 5. - с.87 - 96.

21. А.Г. Михайлов, В.В. Токарев. Гарантированные оценки качества программного управления и управления с полной информацией в экономических системах. // Автоматика и телемеханика. 1978. -№ 1. - с.108 - 118.

22. Л.Л. Галкина, Л.Г. Плискин, Т.Г. Рзаев. Надежностное планирование в двухуровневых системах. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 9. - с.71 - 78.

23. А.Е. Илютович. О кусочно-непрерывных решениях линейных динамических задач экономического планирования. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 9. - с.79 - 87.

24. A.K. Пестряков. О декомпозиции линейных функциональных задач управления. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 10. -с. 119-129.

25. Ю.М. Волгин, Г.М. Островский, Б.В. Брандт. Об оптимизации дискретных процессов. // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 9. - с.61 - 67.

26. Г.Н. Разоренов. Декомпозируемость линейных динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 1. - с.12 - 16.

27. В.Е. Кривоножко, С.П. Чеботарев. О методе факторизации в задачах линейного динамического программирования. // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 7. - с.80 - 90.

28. Б. Муртаф. Современное линейное программирование. М.:МирД984. 224 с.

29. С.А. Ашманов. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. — 304 с.

30. B.C. Танаев. Декомпозиция и агрегирование в задачах математического программирования. Минск: Наука и техника, 1987.-180 с.

31. М. Мину. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.:Наука, 1990. 486 с.

32. А.Н. Сиротин. Анализ задач оптимального по вероятности программного управления линейной системой с дискретным временем. // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 7. - с.86 - 96.

33. В.Н. Бабиевский, М.Н. Мороз, А.М. Цирлин. Условия оптимальности для задач с вероятностными ограничениями и рандомизацией. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 1. -с.87 - 95.

34. В. В. Токарев. Гарантированный результат в задачах программного управления с возмущением, действующим на несколько контролируемых показателей. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 6. - с.105 -115.т !

35. B.K Шин. Использование методов декомпозиции при анализе иринтезе линейных систем. // Автоматика и телемеханика. 1982. -№ 10. - с.70 - 79.

36. И.Ф. Борецкий, В.Г. Кавлов. О единственности декомпозиции в линейной задаче оптимального управления с квадратичным критерием качества. // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 11. -с.10-15.

37. А.Я. Дубовицкий. Дискретный принцип максимума. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 10. - с.55 - 71.

38. В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 256 с.

39. Дж. Клейнен. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.1. Пер. с англ. -М.: Статистика, 1978. -221 с.

40. Дж. Клейнен. Статистические методы в имитационном моделировании. Вып.2. Пер. с англ. -М.: Статистика, 1978. -335 с.41 .B.C. Пугачев. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979. -495 с.

41. Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М.: Наука, 1987. 397 с.

42. Моделирование процессов обработки информации и управления. Междуведомственный сборник под редакцией A.A. Натан. М.: МФТИ, 1991.- 159 с.

43. A.B. Лапко. Имитационные модели неопределенных систем. Новосибирск: ВО «Наука», 1993. 112 с.

44. К.А. Багриновский, К.Е. Егорова. Имитационные системы в планировании экономических объектов. М.: Наука, 1980. 237 с.

45. А.П. Абрамов, Ю.В. Квантов. Имитационная модель регионального производства. // Автоматика и телемеханика. -1976. -№8.-с.119-129.1 i

46. С. А. Орловский. Проблемы принятия решений при нечеткойисходной информации М.: Наука, 1981. 206 с.

47. P.A. Шеннон. Имитационное моделирование систем искусство и наука. - Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 418 с.

48. Ю.Н. Павловский. Имитационные системы и модели. М.: Знание, 1990.-46 с.

49. Т.С. Сироткина, А.Н. Хорин. Статистическое моделирование и прогнозирование. М.:ВЗФЭИ, 1988. 76 с.

50. A.B. Лапко, С.В. Ченцов, С.И. Крохов, JI.A. Фельдман. Обучающие системы обработки информации и принятия решений. Новосибирск: Наука, 1996. 296 с.

51. Л.А. Растригин. Статические методы поиска. М.: Наука, 1968. -376 с.

52. Ю.М. Ермольев, Ф. Мирзоахмедов. Прямые методы стохастического программирования в задачах планирования запасами. // Кибернетика. 1976. - № 6. - с.74 -81.

53. Ю.М. Ермольев. Методы стохастического программирования. М.:Наука, 1976, 240 с.

54. Д.Б. Юдин. Задачи и методы стохастического программирования. М.:Советское радио, 1979. 392 с.

55. А.Н. Ширяев. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

56. Математические методы моделирования и системного анализа в условиях неполной информации. Сборник научных трудов под ред. Ю.М. Ермольева: Киев: ИК, 1991. -79 с.

57. В.А. Боднер, Н.Е. Роднищев, Е.П. Юриков. Метод проекции градиента в задачах оптимизации стохастических систем. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 9. - с.45 - 51.

58. Б.А. Власюк, A.A. Штенберг. Структурные свойства оптимальных линейных стохастических систем с запаздываниями в управлениях. // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 3. - с.65 -75.

59. С. Лукасик. Оптимальное планирование запасов в условиях стохастического спроса. // Автоматика и телемеханика. 1975. -№ 9. - с.108 - 114.

60. В.И. Иваненко. Неопределенность в стохастических системах управления. // Автоматика и телемеханика. 1985. - № 5. - с.50 -57.

61. Г.Л. Дегтярев. Оптимальное управление в системах с распределенными параметрами. // Автоматика и телемеханика. -1979.-№9.-с.59-65.

62. ЯЗ. Цыпкин. Адаптивные алгоритмы оптимизации при априорной неопределенности. // Автоматика и телемеханика. -1979.-№6.-с.94-105.

63. Ю.Г. Булычев, A.A. Манин. Аналитическое конструирование систем управления в условиях априорной неопределенности. // Автоматика и телемеханика. 1996. -№11.- с.74 - 83.

64. Ю.Ф. Казарионов, В.И. Фомин. Линейно-квадратичная задача стохастического управления. П. // Автоматика и телемеханика.1992. -№ 5. -с.74-81.

65. Ю.Ф. Казарионов, В.Н. Фомин. Линейно-квадратичная задача стохастического управления. Ш. // Автоматика и телемеханика.1993.-№5.-с.94-105.

66. В. В. Баранов. Модель и методы равномерно оптимального стохастического управления. // Автоматика и телемеханика. -1992. № 5. - с.42 - 51.

67. С.В. Шилъман. Стохастический квазиградиентный метод квадратичной оптимизации при зависимых наблюдениях. // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 12. - с.70 - 80.

68. A.M. Мейлахс. О стабилизации систем автоматического регулирования с неполной информацией. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 7. - с.74 - 81.

69. И.П. Боглаев. О поиске допустимого гарантированного плана в задаче программного управления с возмущениями. // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 7. - с. 107 - 114.

70. В.М. Кибардин. Декомпозиция по функциям в задачеминимизации. // Автоматика и телемеханика. 1979. - Л® 9. - с.66 -79.