автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.13, диссертация на тему:Статистическая динамика систем синхронизации

РГБ ОД

На правах рукописи

- Я 0! шок

(.л М.л!

"УДК 621.396

Сизых Вадим Виталиевич

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ СИНХРОНИЗАЦИИ

Специальность: 05.12.13 — Системы и устройства радиотехники и связи V

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России

Научный консультант

Лауреат Государственной премии,

Заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор Б.И.Шаггарин

Официальные оппоненты!

Лауреат Государственной премии,

Заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор В.И.Тихонов

Доктор технических наук, профессор В.А.Ходаковский Доктор технических наук, профессор А.И.Логвин

Ведущая организация - НИЭМИ ПК Концерн "Антей"

Защита состоится " " ин>нл_ 1998 г. в "_"час.

на заседании диссертационного совета Д 072.05.03 в Московском государственном техническом университете гражданской авиации (МГТУ ГА) по адресу: 125838, Москва, Кронштадский бульвар, д.20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ ГА. Автореферат разослан "Л&-"__1998 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ

ДИССЕРТАЦИОННОГО СОВЕТА Д 072.05.03 Кандидат технических наук,

доцент А.С.Попов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы синхронизации, в -частности, ФАП, являются неотъемлемой частью практически любого радиотехнического устройства. Круг задач, решаемых системами синхронизации, весьма обширен: слежение за несущей частотой принимаемого сигнала, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов, посимвольная (тактовая) синхронизация.

На качество работы систем синхронизации сильное влияние могут оказывать помехи, как естественные, так и создаваемые искусственно. Поэтому современный анализ систем синхронизации невозможен без их учета.

Системы синхронизации — существенно нелинейные системы с множеством устойчивых состояний равновесия, поэтому учет нелинейности характеристик весьма важен при изучении их функционирования, особенно при наличии помех, когда процессы протекающие в системе определяюся именно ее нелинейными свойствами.

Основными вероятностными характеристиками систем синхронизации, используемыми на практике, являются плотности распределения вероятностей вектора переменных состояния системы, моменты распределения сигнала рассогласования и его производной. Математическое ожидание производной сигнала рассогласования получило название частотной характеристики ФАП. Как и для любой следящей системы, для ФАП важным моментом является анализ срыва слежения. Явление срыва слежения может оказать существенное влияние на работоспособность ФАП, приводит к резкому увеличению ошибок по частоте и по фазе. Это особенно важно в доплеровских и фазовых системах.

Основы теории исследования статистических характеристик ФАП с использованием их марковских моделей заложили Р.Л.Стратонович и В.И.Тихонов. Значимый вклад в теорию синхронизации при наличии шумов внесли Б.И.Шахтарин, В.А.Ходаковский, В.Линдсей, А.Витерби, Дж.Холмс, Р.Таусворт, В.Н.Кулешов, В.Д.Разевиг, Н.Н.Удалов, М.И.Жодзижский, В.Д.Шалфеев, В.Н.Белых, В.В.Шахгильдян и другие.

К настоящему времени детально исследованы все вышеперечисленные задачи анализа ФАП первого порядка при совместном и раздельном действии широкополосных и узкополосных помех.

Анализ систем второго порядка наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью решения многомерных уравнений Колмогорова и Понтрягина, описывающих основные вероятностью характеристики систем. Основное число работ, посвященных анализу систем второго порядка при наличии помех, ограничивается рассмотрением установившегося режима работы ФАП, при этом используются различные приближенные методы, погрешности и области применимости которых исследованы недостаточно полно. Вместе с тем динамические характеристики ФАП не менее важны, чем их статистические характеристики.

Анализ работы систем синхронизации второго порядка при совместном воздействии широкополосных случайных и узкополосных детерминированных помех в настоящее время отсутствует.

В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященной методам анализа статистической динамики систем синхронизации при действии помех, представляется актуальной.

Цели и задачи диссертации.

Основная проблема, рассматриваемая в диссертационной работе, заключается в совершенствовании имеющихся и разработке новых эффективных методов аналитического описания и численного моделирования процессов в системах синхронизации при действии помех.

Основная цель работы - разработка эффективных численных алгоритмов расчетов статистических характеристик системы ФАП в переходном режиме, позволяющих проводить анализ влияния помех на ее функционирование и допускающих обобщение на системы более высокого порядка, чем второй.

Основные задачи работы:

— построение корректных математических моделей систем синхронизации;

- создание эффективных алгоритмов вычисления плотностей распределения вероятностей для ФАП с интегрирующим и пропорционально интегрирующим фильтрами в переходном режиме и вычисление основных вероятностных характеристик системы;

- построение эффективных численных алгоритмов анализа срыва слежения для ФАП с интегрирующим и пропорционально интегрирующим фильтрами (среднее время до срыва сленсения, вероятность срыва слежения);

- анализ действия широкополосных и узкополосных помех на ФАП;

- проверка погрешностей и областей применимости имеющихся и полученных приближенных выражений для основных вероятностных характеристик ФАП;

- обобщение полученных результатов на системы с математическими моделями, аналогичными моделям ФАП, например, систему слежения за задержкой;

- разработка методов анализа "тонкой" структуры сигнала ошибки в цифровых стохастических системах с конечным числом состояний (исследование спектра сигнала ошибки).

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы методы теории вероятностей, в частности, теории марковских процессов и стохастических дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики, в частности численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, стохастических дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, матричный анализ.

Разработанные численные методы ориентированы на применение вычислительной техники, не превышающей по вычислительным возможностям персональные ЭВМ.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

- получены строгие математические процедуры перехода от уравнений ФАП в форме Ланжевена к уравнениям ФАП в форме стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито;

- разработаны эффективные численные алгоритмы анализа переходного режима и срыва слежения в ФАП с пропорционально интегрирующим, вырожденным пропорционально интегрирующим и интегрирующим фильтрами и в системе слежения за задержкой псевдошумового сигнала при наличии помех с использованием проекционных методов;

- развит метод суммарной аппроксимации применительно к решению прямого уравнения Колмогорова для одного класса марковских случайных процессов, на основе которого проанализированы вероятностные характеристики сигнала рассогласования в переходном режиме н срыв слежения в ФАП с интегрирующим фильтром и статистические характеристики сигнала рассогласования для нескольких систем с моделями третьего порядка;

- на основе разработанных численных методов создано программное обеспечение для анализа помехоустойчивости ФАП при действии широкополосных и узкополосных помех;

- предложен метод анализа тонкой структуры цифровых систем, описываемых полумарковскими моделями с конечным числом состояний;

- получен ряд новых результатов по статистическим характеристикам систем синхронизации в переходном режиме, характеристикам срыва слежения под действием помех.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации численные методы исследования вероятностных характеристик систем синхронизации позволяют изучать характеристики непрерывных, цифровых и дискретных систем в широком диапазоне их параметров и входных сигналов, оптимизировать и проводить оценку их помехозащищенности. Полученные результаты можно использовать для исследования статистической динамики не только систем фазовой автоподстройки частоты, но и других систем радиоавтоматики, например системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала. С помощью разработанных алгоритмов и программы можно исследовать процессы захвата сигналов ФАП с поиском по ■частоте, анализировать динамику систем при совместном воздействия на них широкополосных и узкополосных помех, например, скользящих. Предложенные в диссертации методы, алгоритмы и программы можно использовать в

НИОКР для исследования помехозащищенности систем синхронизации.

Реализация и внедрение результатов. Результаты диссертации использованы в 5 научно-исследовательских работах: НИР "Тор", "Нижегородец", проводимых в научно-исследовательском электромеханическом институте; НИР "Исследование фазовых автоматических систем при наличии помех", проводимой в МГТУ им. Н.Э.Баумана, НИР "Актуальные проблемы создания специальных устройств", проводимой в МГТУ им.Н.Э.Баумана в рамках направления "Технические университеты" Программы "Университеты России", раздел 2.6."Фундаментальные проблемы создания спецтехники "; НИР "Открытие" , проводимой в Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России, по которым опубликовано б отчетов.

Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Минского радиотехнического института и Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана. Часть материалов диссертации используется в учебном процессе Пензенского государственного технического университета и Института криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России. Внедрение результатов подтверждено актами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзной школе-семинаре "Автоколебательные системы и усилители в радиопередающих устройствах" (Симферополь, 1988; Пенза, 1990), Всесоюзно-координационном совещании "Низкочастотные шумы в полупроводниковых приборах и устройствах" (Черноголовка, 1991), научных сессиях РНТОЭРиС (Москва, 1991, 1993, 1998), Российской научно-технической конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытания сложных технических систем" (Калуга, 1993), Российской научно-технической конференции "Проблемы управления производством, создание прогрессивных технологий, конструкций и систем в условиях рынка" (Калуга, 1995), Межведомственной конференции "Научно-техническое и информационное обеспечение деятельности спецслужб" (Москва, 1996), научных

семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете, Московском государственном техническом университете им Н.Э.Баумана, Московском энергетическом институте, в ИКСИ Академии ФСБ России.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 работы, в том числе тезисов докладов — 4, отчетов по НИР - б, статей и учебных пособий 22.

Положения, выносимые на защиту.

Методы формального построения математических моделей ФАП в форме систем стохастических дифференциальных уравнений Иго, исходя из уравнений ФАП п-го порядка в форме Лая-жевена.

Методы и алгоритмы анализа статистической динамики ФАП и систем слежения за задержкой псевдошумового сигнала при действии широкополосных и узкополосных помех, основанные на проекционном и модифицированном проекционном методах с использованием базисов из многочленов Эрмита и функций Хартли и алгоритма оценки младшего собственного значения производящего оператора прямого уравнения Колмогорова.

Методы и алгоритмы анализа статистической динамики ФАП при воздействии широкополосных и узкополосных помех, основанные на предложенном варианте метода суммарной аппроксимации применительно к одному классу систем стохастических дифференциальных уравнений.

Процедура анализа спектральных характеристик стохастических цифровых систем тактовой синхронизации, описываемых полумарковскими моделями с конечным числом состояний.

Программные реализации предложенных методов и результаты расчетов основных статистических характеристик переходного и установившегося режимов рассматриваемых систем синхронизации при действии широкополосных и узкополосных помех.

Результаты анализа статистической динамики и срыва слежения в системах синхронизации второго порядка под действием помех.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, введения, заключения, приложений. Она изложена на

364 страницах, из котороых 95 страниц рисунков. Список литературы 1&7 наименований. Основные теоретические положения диссертации сформулированы в виде лемм и теорем.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы и ее практическая значимость. Сформулированы цели и задачи исследования, дан краткий обзор работ в области исследования статистических характеристик систем синхронизации.

Первая глава посвящена построению математических моделей непрерывных и дискретных систем ФАП в форме стохастических дифференциальных и разностных уравнений.

В первом параграфе для непрерывной системы ФАП рассмотрена модель в виде дифференциального уравнения n-го порядка в форме Ланжевена, операторная форма записи которого имеет вид

oR(a)x(t) = aR(ar)6c(i) - Q(<r)i2[sinx + -^(t)], (1)

.A

где er — оператор дифференцирования, 0(f) - фаза управляемого генератора, 0c(t) — фаза входного сигнала, x{t) = вс — ö(t) — сигнал рассогласования, Q(o) — А0ст + /Цст"1-1 -f ... + Ат, R((t) = Boor71"1 + Вхап-г + ... + В„_1( т ^ п - 1; n0(i) = nc(t)cosö(i) — n,(i)sm0(t), nc(t) и n,(t) — независимые белые нормальные шумы с односторонней спектральной плотностью No, Si - полоса синхронизации системы, А - среднеквадратичное значение входного сигнала

Показано, что дифференциальное уравнение (1) имеет нормальную форму

<iX „, . rdQ,

-=• = AX-Cho(in,t)+V

dt

dt

(2)

где X = ®2,..., xn]T, x(t) = x„(t),

A =

-В^Вг -B^B2 -B^B3 10 0 0 10

0

0

0

-B0 'Bn-x 0 0

С = [<?!,Са>...,С„]т, с,- = В-1 - ВкС^, Сп =-- /ю/Дь

V = [о, О,..., 0,1]т, Ло(х, г) = + По(*)М]-

Принято допущение, что система дифференциальных уравнений (2) понимается в форме Стратоновича.

Для анализа (2) в случае, когда фаза (возможно, и амплитуда) входного сигнала является марковским случайным процессом, доказана

Лемма 1. Пусть марковский процесс Ф(() = [у г ), <,32 М, ■•■, ¥>*(*)]Т задан стохастическим дифференциальным уравнением

<*у2$ = Р(Ф, г)Л + В-(Ф, 1)<1у2\и

а условный марковский процесс Ъ{р) — . . ,.гп(£)]т

задан дифференциальным уравнением

=Р(Ф,+ В(Ф,Ъ,+ -гп)й112ши-

- - г„)сг1/2ад24],

где Р(Ф, (), Р(Ф, 2>,Ь) и В(Ф, Ъ, Ь) — непрерывные векторные функции размерности куЛ, пх1 и пх1 соответственно, ЩФ, ^ — непрерывно дифференцируемая матричная функция кх1, С — вектор т» X 1, и>1г и и?2£ — независимые стандартные винеровские процессы, У1 = [гк,V2t, — вектор независимых стандартных винеровских процессов. Тогда процессы Z(t) и Ф(4) эквивалентны процессам Ъ и Ф, заданным стохастическими дифференциальными уравнениями

ф/н=|м<м)+\ ЕЕ

I

+ Е ' * -

={/т(Ф, г, г) + ьт{ф, г, фь(Ф, «)+

+ \ Е Е ¿~ МФ.«К (Ф, г)] г„-(Ф, 0+

д

г

+ ьт(Ф, г, о ^ + <7тА*.

3=1

С использованием леммы 1 найдено, что решению системы стохастических дифференциальных уравнений в форме Страто-новича (2) можно сопоставить эквивалентный марковский случайный процесс, заданный системой стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито

Показано, что лемма позволяет получить уравнения ФАП для случаев, когда фаза случайного процесса является марковским случайным процессом. Аналогичный результат имеет место и при марковской амплитуде входного сигнала.

Во втором параграфе рассмотрены модели импульсной ФАП, цифровой ФАП с регулярной дискретизацией и цифровой ФАП с нерегулярной дискретизацией.

При построении модели импульсной ФАП приняты стандартные допущения о замене реальных управляющих импульсов на последовательность дельта-функций и о приближенном вычислении матричной экспоненты от системной матрицы. Аналогично первому разделу, но оперируя с ядром уравнения Колмогорова-Чепмена, построен эквивалентный дискретный марковский случайный процесс, описывающий динамику ФАП.

При построении моделей цифровых ФАП с регулярной дискретизацией принимается допущение о фильтрующих свойствах петли ФАП на кратных частотах, а для случая неравномерной

<*Х = АХ — СЩГ) + V—~ '<£+

гшскр етиз ации - о независимости шума в моменты взятия отсчетов.

Показано, что при указанных допущениях все три рассмотренных системы можно описать системой стохастических разностных уравнений вида

У(к + 1) = У (к) + АУ(к) - С(и пуп(к) - п(к)/А) + УДш*, где У = [у1,у2,...,у„]т, уп{к) = х{к),

~~В0 гВ1 -В^Вг —В0 гВз .. —В0 1Вп~ 1 0"

1 0 0 0 0

А = 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0.

С = [СЬС2,...,С„]т. С, = Во1 - , С„ = Ло/Во,

V — [0,0,..., 0,1]т, коэффициенты Л;, определяются параметрами ФАП и коэффициентами передаточной функции цифрового фильтра, пересчитанными относительно записи передаточной функции через оператор I) разности вперед

п—1 п—1

Я(Л +1) = Л(Р) = в<£>п-1"1 = £ В,(1> +1)"-

-1-1.

¿=о

п-1

«=0

п-1

<?(£> + 1) = <Э(0) - + = А^"-

1=1 ¿=о

Таким образом, построены математические модели непрерывных и дискретных (цифровых) ФАП в достаточно общей и единообразной форме.

Во второй главе рассмотрены различные методы анализа статистической динамики непрерывной ФАП второго порядка на основе ее марковской модели. Использована математическая модель непрерывной ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром в виде

¿у = -ВоЧуВ! + (1 - аВ{)Н{х)]дЛ, + - аВг)сЬ4,

<Ь — \у - аН(х))(к +

^ЦснЬюг,

где h(x) = sin ж — ß, ß - нормированная к полосе синхронизации частотная расстройка между несущей частотой внешнего сигнала и номинальной частотой управляемого генератора, Bq1, а, В\ -параметры передаточной функции пропорционально интегрирующего фильтра F(s) — (ß^rts+l)/+1), г - отношение сигнал шум в линеаризованной системе первого порядка г = АА2 /NqCL.

Разработаны три способа решения прямого уравнения Колмогорова для ПРВ марковского случайного процесса (xt,yt).

Первый способ основан на применении проекционного метода с базисом из функций Хартли и многочленов Эрмита для решения прямого уравнения Колмогорова относительно ПРВ переменных состояния системы Wxy(x,y;t)

— = В^~[(В1У + (1 - аВ,Щх))Ш] - ~[(у - aft(s)№

4-К ^ + d"W Л-К d'W (4>

+ ЛЦ-ГГ + Л22" ri V + a » >

ах1 ду2 их су

где W = Wxy{x,y,t), = а2/г, #12 = 2В0а(1 - аВх)/г, К22 = B^l-aBtf/r.

Для дифференциального уравнения в частных производных (4) рассмотрена задача с начальным условием Wxv(x,y; 0) = Wo{x, у) и условием периодичности Wxv(x+2ir, у, £) = Wxv(x, у\t) по переменной х. По переменной у ставятся естественные граничные условия lim WxV{x,y\ t) = 0.

|»|-»оо

Для решения поставленной задачи для уравнения (4) использовано разложение функции Wxy(x,y,t) в ряд по многочленам Эрмита (ряд Эдакворта)

W (х vi) - 1 c-fa-m(01a/a*'(t) V Ша (у~тЩ

г(5)

где Hjb(z) — многочлен Эрмита, Hfc(z) = (-1)*ег

Ho(z) = 1, H^z) = z, Hj(z) = г2 - 1, H3(z) == г3 - 3z и т.д.,

коэффициенты Сь(я, t) определяются по формуле

1 f°°

Ck(x,t) = -щ J^ W(x, у; t)Hit(x) dx.

На коэффициенты С\накладываются условия периодичности по переменной х.

В разложении (Б) имеется два свободных параметра весовой функции скалярного произведения тп(1) и сг(1). Предложено выбирать их так, чтобы они были равны истинным математическому ожиданию ту(1) и среднеквадратичному отклонению <ту(1) случайного процесса При этом удается записать в замкнутой форме дифференциальные уравнения

= -В^Вгт^) + Во\ 1 - аВг)Р--В^(1-аВ1)х ! д{х)С0{х,1)ах,

= -В^ВцтуЦ) - - аВг) х £ д{х)Сх(х, I)

К22 "4(0'

Коэффициенты С* (ж; £) ищутся в виде разложения по • функциям Хартли

оо

71= — ОО

Это дает возможность увеличить быстродействие численного метода за счет сокращения операций в правых частях получаемых дифференциальных уравнений по сравнению с использованием базиса из комплексных экспонент, с другой стороны, полученная система уравнений имеет симметричный вид по сравнению с использованием стандартного тригонометрического базиса.

С использованием принципа ортогональности невязки решения задачи (4) к системе базисных функций, в качестве которых выбраны многочлены Эрмита и функции Хартли, найдена система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения ПРВ \Уху(х, у, £) по базису Эрмита-Хартли, которую необходимо рассматривать совместно с уравнениями относительно тпу(£) и <ту(4).

При анализе установившегося режима полагалось m = 0 и а = ао/л/г, что совпадает с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением случайного процесса у* в установившемся ренегате в случае ФАП с интегрирующим фильтром. Полученная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения ПРВ Wxy(x,y;t) по функциям базиса решалась методом матричной прогонки.

Второй метод решения уравнения Колмогорова для ФАП и пропорционально-интегрирующим фильтром основан на комбинации проекционного метода с базисом из функций Хартли и сеточного метода. Этот метод является более устойчивым, чем первый, и позволяет проводить анализ ФАП в широком диапазоне параметров системы.

Решение поставленной задачи для уравнения (4) искалось в виде разложения

оо

wxv(x,y,t)~ Е Ck(y;t)czs(kx),

оо

гае cas г - функция Хартли, Ck{y\t) - функции, подлежащие определению п обладающие свойством

lim Ck(y,t) = 0.

|у|—»со

Используя условие ортогональности невязки решения (4) к функциям базиса Хартли, найдена система дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения

^ = kJ^- + В^Шу - (1 - аВг)РПЬ

- k*KtlCk + ^(l - В,а)~{Сг_к - CL(t+1))+

A D

+ (у + а* (3*)кС-к - - С*_0 - kKl2~±,

которая решалась явным по Ск и неявным по Ci, i ф к для к-го уравнения двухслойным сеточным методом с использованием формул прогонки.

Третий метод основан на развитом в главе методом суммарной аппроксимации лля одного класса систем стохастических дифференциальных уравнений. Метод применяется для решения уравнения Крамерса-Тихонова, является экономичным и позволяет анализировать статистическую динамику ФАП с интегрирующим фильтром в широком диапазоне ее параметров. Основное теоретическое содержание метода составляет

Теорема 1. Пусть случайный процесс X' удовлетворяет системе стохастических дифференциальных уравнений

(1x1 = в! (жь х2к, • • •, , + ¿>1 («1, х1У,..., , ¿)йгуи, ¿х2 = а2(х\*+&',х2> х*а",... *)Л+

dxn = an(a:ik+Ai, t)dt+

bn(x ik+At,4fc+Ai,.. .,xn,t)dwnU

Xk{to) = xl, к - S^n,

а марковский случайный процесс Z* определяется системой стохастических дифференциальных уравнений (в форме Ито)

dZ = A(Z)Ä + B(Z)dW«, Z(fb) = Z°,

где Z = [zuz2,...,zn]T, A(Z) = [a1(Z)>a3(Z),... ,an(Z)]T, B(Z) = diag(b1(Z),b2(Z),...,bn(Z)).

функции A(Z) и B(Z) удовлетворяют условию роста

1/2

K(X)| + |Ь*(ХЖ К ! 1 '

и условию Липшица

|«*(Х)-а*(г) «CL||X-Z||, |6fc(X)-6fc(Z)^L||X-Z||.

Кроме того

E{(z£)a}<oo, Щ(х°к)*}<сх>.

Тогда

Е | вир (4 - х{)21 ^ - х%)2} + ДШ2,

1/е[о,т1 J

гае Д£ - шаг сйтки Мг,М2 < со.

Применение доказанной леммы к уравнениям ФАП с интегрирующим фильтром (при а = 0) позволило заменить при Д< —* 0 решение уравнения Крамерса-Тижонова

д\Уху{х,у\г) ' 2 д .

ЗИ^у;*) | ар

Эх г ду2

с начальным условием №ху{х,у, 0) = Шху(х,у), естественным граничным условием по переменной у и условием периодичности по переменной х на цепочку двух уравнений: прямого уравнения Колмогорова

- «о|{[у + %)№,»;«)}+

| а*дЩх,у,1) (6)

г ду2

с начальным условием и{х, у,Н) — \Уту{х,у\ £ц) и естественным граничным условием по переменной у и уравнения переноса

-м-= —д^—' (<)

с начальным условием = И(х,у;1к+1) и условием

периодичности по переменной х: Шху(х,у;$ = 1¥^у(х + 2тг, у; £).

Таким образом, для решения уравнения Крамерса-Тихонова разработан экономичный метод.

На рис. 1 приведены результаты расчета плотностей распределения вероятностей переменных состояния ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром в переходном режиме при

1Л

оя

ОБ

0.4

Ш

ОВ

МО —

4

24

V

\

«Л

3.0

2Л

1Л

ОЛ

НС -ЖЛ О «Д * -15 -ио -а5 ОЛ 05 1Я Ч

Рис. 1. ПРВ переменных состояния для ПИФ в переходном режиме при ¡3 — 0, а — л/Щ ~ 0,5, а — 0,1, Ьх = 1, г = 4.

значении параметров г = 4, /3 = 0, ао = 0,5, а = 0,1, В1 = 1. В начальный момент времени ПРВ принималась равной \\гху(х, у; 0) = ё(у)/2ж. Из анализа результатов расчета сделан вывод о гом, что при малых значениях с*о существенную роль играют нелинейные эффекты, выражающиеся в том, что часть траекторий случайного процесса (г', у4) концентрируется около траекторий детерминированной системы, разделяющей область притяжения фокуса на две полуплоскости. Это хорошо видно из рис. 2, где приведены результаты расчетов многомерной ПРВ переменных состояния системы в переходном режиме при значениях параметров г = 4, ао = 0,25, а = 0,1, /3 = 0,2, Вх = 1. Начальное условие \¥Хц{х,у\ 0) = 6(у — 0, Ъ)/2ж выбрано таким образом, чтобы можно было наблюдать процесс захвата частоты внешнего сигнала.

На рис. 3 приведены сплошными линями приведены результаты расчетов частотных характеристик ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром при различных значениях отношения сигнал/шум. На рис. 3 ,а штриховыми линиями отмечены результаты расчетов ■частотной характеристики для системы первого порядка. Кривая Р^ - частотная характеристика детерминированной ФАП первого порядка, кривая - наклонная асимптота частотной характеристики.

/М

1= 30 ^ в4-

5ч 1 ^ 2

4 ' ~~ 3

а) б)

Рис. 3. Частотная характеристика ФАП с ПИФ при а = 1,0, а0 = (а) и ог0 = 0,15( 5).

Указанным методам посвящены три параграфа главы.

В третьем и четвертом параграфах рассмотрены два приближенных способа анализа статистических характеристик ФАП: метод усреднения и метод кумулянтов.

Для метода кумулянтов в нормальном приближении получены дифференциальные уравнения относительно первых и вторых моментов распределения вектора состояния системы п-го порядка в замкнутой форме. Выведены простые алгебраические уравнения относительно математического ожидания и дисперсии сигнала фазовой ошибки

С использованием метода усреднения найдены приближенные выражения для частотной характеристики ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром при малых значениях параметров а0= а, ¡3. Результаты расчетов изображены на рис. 3,6 штриховыми линиями. Поскольку метод усреднения является асимптотическим, его точность возрастает с уменьшением указанных параметров, это подтверждают и приведенные расчеты.

X

zTT

0 • гТ, - US

31

1

0.70 0,00 -oao

S1

Ряс. 4. Скачок фазы в ФАП с ПИФ при г = 2, «о = 0,25, а = 0,5, Bi = 1.

Третья глава посвящена анализу срыва слежения в ФАП второго порядка.

Срыв слежения в ФАП может приводить к нежелательному эффекту аномального шума, что иллюстрируется результатами численного моделирования на рис. 4, где изображены зависимости от времени переменных состояния системы (3) при значениях параметров г = 2, о0 = 0,25, ß — 0, а = 0,5, Bi — 1. Перескок фазы на 2тг приводит к скачкообразному увеличению второй переменной состояния. При этом выражение для формы импульса грубо можно записать в виде

y(t) = 2жа1^^-ехр{-а*(Ь1 + (1 - аВг)/а)}. а

Для вычисления вероятностных характеристик срыва слежения предложено решать прямое уравнение Колмогорова относительно плотности меры Fxy(r,t), связанной с распределением координат марковских траекторий с обрывом на границах заданной области. Для решения поставленной краевой задачи используется два метода.

Первый метод представляет собой комбинацию проекционного метода и метода прямых. Он позволяет вычислить вероятность срыва слежения и среднее время до срыва слежения в ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром, когда граница области является регулярной. В этом случае на границе задаются нулевые граничные условия.

Искомая вероятность Q(t) срыва слежения за время [0;t] вычисляется через решение поставленной краевой задачи следующим образом

я со

Q(t) = 1 - P(t) = 1 -J J Wxv(x,y\ t) dydx,

—» oo

где x = ±e - поглощающие границы.

Среднее время слежения Тс для удобства численных расчетов вычислялось из решения дифференциального уравнения

Т(0) = 0. Л dt х '

При этом Тс = lim ZYt).

t—»00

Как и во второй главе решение поставленной задачи искалось в виде разложения (5), где функции С7*(ж;<) удовлетворяют условию Cfc(±s;t) = 0, а функции т — m(t), а — a(t), определяющие вид весовой функции разложения Эяжворта, могут быть выбраны относительно произвольно. Значения границы s обычно выбирается равным тг или 2я\

Уравнения относительно функций Ск, как и в главе 2, имеют вид

дСк dt

- - + кВо1 - a cos a: j С* + {ah(x) - m}

+ ^ - {m' + B^Bim + 1 - оВ^М*)} CW

_ vs,+_ vm^D {^+в.- * - £}

0a;

Параметры весовой функции в разложении (4) выбирались равными моментам плотности TVxV

в оо

m. = m»(i) = J J yWxv(x,y-,t)dydx;

— • —oo J oo

<r? = al(t) = J J (y - m,)2WIS(z, j/; t) dydx.

Относптельно функций т» и о* получены обыкновенные дифференциальные уравнения

¿т,

ИГ

-т,<Э' - Во1В1771, + <г.

дх дх

<,

1Г

я

- Во1(1 - аВ^Р J Цх) Со(х; 1) Лх;

-4«.V- 'в;'в,..я+^кгя[2ЭМ-2М

К + в;'п,т.} ^д - - &| „. Р-

8

В0-1(1-аБ1) I А(г) С,

Для анализа срыва слежения граничная задача для полученной системы уравнений решалась метод прямых.

Второй метод - метод суммарной аппроксимации, используется для решения краевой задачи с нерегулярными краевыми условиями для уравнения Крамерса-Тихонова.

Уравнения в частных производных имеют тот же вид, что и во второй главе, только для уравнения (6) рассматривались нулевые условия, а для уравнения (7) рассматривалась задача Копш.

Эффективность методов существенно повышена за счет приема, заключающегося в оценке в процессе численного решения младшего собственного значения производящего оператора прямого уравнения Колмогорова и использовании этой оценки для аппроксимации решения.

Для этого было показано, что при относительно больших значениях среднего времени до срыва слежения распределение вероятности Р(<) времени нахождения траектории движения системы в заданной области, начиная с некоторого значения аргумента { = <0. приближенно является условным экспоненциальным.

Рис. 5. Среднее время до срыва Рве. 6. Среднее время до срыва слежения при в — 2тг. слежения при з — -к и в = 2я\

С использованием этого допущения показано, что, зная иэ численного решения значение (¿(Ьо), вероятность срыва слежения при 4 > ¿о можно вычислить по формуле

<?(*) = 1 - (1 - Оо)еА-«4-*»\ а среднее время до срыва слежения

Тс = Т(4о)+(1-до){(о-~},

где Ло - младшее собственное значение производящего оператора прямого уравнения Колмогорова.

Опенку Ло в ходе численного решения можно получить различными способами, например, по формуле А0 = 1п[

Некоторые результаты расчетов, проведенных разработанными методами, приведены на рис. 5 , где изображена зависимость среднего времени до срыва слежения от параметров а и а при фиксировнном значении р = г(1 + аа^2)/(В\ + а2а^ 2), р = 4, з = 27Г. Интересно отметить, что кривые имеют характерный минимум.

На рис. 6, изображены результаты расчетов среднего времени до срыва слежения при р = 1 (кривые 3,4) и р = 2 (кривые 1,2) при двух порогах 7Г (кривые 2,4) и 2т (кривые 1,3),

Р 0,8 0,6 0,4

0Л о

ГЙ X............ «<„«ЦО!

Л, -в../// и

/// !

и /

.ил/» VI .11 НШ1

10

Рис. 7. Осциллограммы срывов Рис. 8. Вероятность срыва

слежения. слежения.

а — 0,1, Р = 0. Штриховыми линиями на рисунке отмечены результаты расчетов по приближенной формуле Шахтарияа. Из рисунка видно, что определенной области изменения параметра ао значения среднего времени достижения порогов тг и 2тг близки. Это явление, наблюдаемое и в эксперименте (см. рис. 7), известно как группирование срывов, т.е. скачок фазы осуществляется на величины 4л-, бтг и т.д. При этом аномальный шум становится значительно интенсивнее. На рис. 8 изображено распределение вероятности срыва слежения при р ~ 1, (3 — 0, а = 0,1, Вх = 1 и различных значениях а0. Крестиками показаны данные расчета для системы первого порядка (слева) и вырожденной системы первого порядка (когда отношение сигнал/шум равно г/а).

Рассмотрен случай использования нелинейного фильтра в пепи ФАП, ограничивающего частоту сигнала рассогласования. Показано, что при специальном выборе нелинейности возможно получение существенного выигрыша в среднем времени до срыва слежения.

В четвертой главе рассматриваются некоторые специфические вопросы анализа систем синхронизации: Показано, что разработанные во второй и третьей главах диссертации методы являются достаточно универсальными, с их использованием может быть решен ряд задач исследования статистических характеристик систем синхронизации при действии широкополосных и узкополосных помех.

В первом параграфе рассмотрено совместное действие случайных широкополосных и детерминированных узкополосных помех на ФАП. Рассмотрена математическая модель ФАП с интегрирующим фильтром в форме стохастических дифференциальных уравнений

dy - — «о[У + 4х) + £п sin (At i + <pn{t))]dt + \j^aldwt) ^

dx = ydt,

где en - относительная интенсивность помехи, — нормированная к полосе синхронизации расстройка между номинальной частотой управляемого генератора и частотой помехи, (fn(t) - фаза помехи, возможно, меняющаяся во времени.

При решении прямого уравнения Колмогорова для данной системы уравнений как для нахождения ПРВ переменных состояния ФАП, так и для анализа срыва слежения использовался метод суммарной аппроксимации, изложенный в главах 2 и 3. Помимо этого проводилось численное решение системы стохастических дифференциальных уравнений (8). С использованием указанных методов получены основные вероятностные характеристики, описывающие ФАП: ПРВ и моменты переменных состояния системы в переходном режиме, среднее время и вероятность срыва слежения. Расчеты проводились для двух типов узкополосных помех: гармонической помехи с постоянной частотой (ipa = const) и скользящей помехи (,<ра = jt).

Некоторые результаты расчетов изображены на рисунках. На рис. 9 изображены зависимости математических ожиданий и среднекадратичных отклонений сигнала рассогласования и его производной (частоты) при двух вариантах действия гармонической помехи: помеха в полосе захвата системы Се — О,2, @п = 0,2, <Ри — к¡2, а = 0,5, /3 = 0, г — 4) и помеха вне полосы захвата системы (е = 1, 0а — 3, <рв = тг/2, а — 0,5, /3 = 0, г — 4). Результаты расчетов, в частности, показали, что при частоте помехи, равной разности между полосой захвата и интенсивности помехи, происходит резкое уменьшение среднего времени до срыва слежения.

O.i

о -0.2 -0.4

»Л.

ог

о

I

tfty 0.01 о -a,os, - о,щ

¿4 42 ai а

/ V / \

ч , / > \

<?м

W\M /WW

м— i

» • * t

3¡

г

my 0,05 0

- ?,Л5

-aja

П.2 0,1 a

iiii

!

*м VI

/WVV

С

Рис. 9. Математические ожидания тх, ту и среднеквадратичные значения аТх ау сигнала рассогласования и его производной при воздействии гармонической помехи в полосе захвата (а) и вне полосы захвата (б) ФАП в переходном режиме.

На рис. 10 изображены аналогичные зависимости для скользящей помехи, когда частота помехи ш„ изменяется по линейному закону ш„ — /3„ + 7(£ — ¿о). При расчетах принималось е„ = 0,4, рп = -2, 7 = 0,2, <р = 0, а0 = 0,5, г — 4, ¡3 = 0. Скользящая помеха начинала действовать в момент времени ¿о = 40. Результаты расчетов показали, что в момент прохождения скользящей помехи через полосу захвата ФАП возникают переходные процессы идентичные переходным процессам, наблюдаемым при захвате сигнала ФАП, находящейся под действием только широкополосного шума.

Во втором параграфе главы рассматривается статистическая динамика систем ФАП с поиском по частоте на фоне ши-

±

»

я

1М 11*

/— V V

ш *«*

»4

тш • I

* I А Л

^-- **

и

Рис. 10. Математические ожидания тх, ту и среднеквадратичные значения ох, сту сигнала рассогласования и ею производной при воздействии скользящей помехи с частотой а;„.

рокополосных шумов. Анализ проводится с использованием методов, развитых во второй и третьей главах, и численного решения соответствующих стохастических дифференциальных уравнений. Вычислено среднее время слежения за сигналом с линейной частотной модуляцией при различных параметрах системы и сигнала.

Третий параграф обобщает методы, используемые при анализе ФАП, для анализа системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала. Исследуются две системы ССЗ: с квадраторами и с опережающим и запаздывающим стробированием в кольце тактовой синхронизации. Показано, что при ряде допущений математические модели ССЗ с точностью до обозначений

имеют тот же вид, что и уравнения ФАП. Модели двух рассматриваемые схемы ССЗ различаются лишь видом нелинейности дискриминатора.

Получены основные статистические характеристики ССЗ в переходном режиме, проведен анализ срыва слежения. На рис. 11 изображены зависимости среднего времени до срыва слежения в ССЗ с пропорционально интегрирующим фильтром при г = 10, числе тактов М = 12, при различных значениях параметров фильтра ао и а.

Т. 10 10 10 10 10

10 0 0,1 02 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 а

Рис. 11. Среднее время до срыва слежения в ССЗ с ПИФ.

Четвертый параграф посвящен исследованияю статистической динамики ФАП с интегрирующим филтром, на вход которой поступает сигнал сс случайной частотной модуляцией нормальным случайным процессом с экспоненциальной корреляционной функцией. Модель ФАП имеет вид

¿у = -во[У + в(х)]<И + у^а^ич; <Ь = (у + 0 + г)<и, ¿г = —/«<Й + ег<2и()

где и VII — независмые стандартные винеровские случайные процессы.

г о~0 Д5

( N \

к

; / \

:1,0 _/2,0

" —' /

: «ч*

<^=•10

Для анализа переходного режима в данной системе был использован метод суммарной аппроксимации. Были проанализированы ПРВ и моменты вектора переменных состояния в переходном и установившейся режимах.

В пятой главе изучаются статистические характеристики дискретных и цифровых систем синхронизации.

В первом параграфе исследуются спектральные характеристики сигнала рассогласования для цифровых систем тактовой синхронизации при действии шума.

Разработанный метод анализа применим к системам синхронизации, математическая модель которых представляет собой полумарковскую цепь с конечным числом состояний.

Основное теоретическое содержание параграфа составляет Теорема 2. Пусть вложенная цепь Маркова полумарковской цепи равна П, распределение вероятности дискретного времени п перехода между состояниями равпа Р(п), тогда

(А) матрица переходных вероятностей D(íí) полумарковской цепи за п шагов равна

D(n) = pJ¿?(ra+n)I+

1 m—О

Е Е Е пр(т+- (*+р)Ш

сю

где </(р) — ^ Р(р + т + 1) — вероятность того, что за р

то=0

шагов не произойдет перехода из состояния в состояние, Рг — ¿»(в)

, и (я) — производящая функция

«=1

Е тР(т)

т—0

ds

распределения P(n); N(n) = г-мерная

г=0

свертка распределения Р(п).

(Б) Производящая матрица распределения D(n) равна

п=0

-Pp\T^~sTp- (i-sy I+nFW (1_в)3 /•

где I = 1,..., 1), В(з) = (I- 0&П)~*.

С использованием теоремы 2 найдено, что если состояниям полумарковской цепи приписаны координаты X = [хх, Х2,..., Хк]т, то энергетический спектр случайного процесса хк может быть найден по формуле

Бх{ш) = ХтО0[Г(е,'ш) + Р(е,и,)]-1Х - ХтО0Х,

где Во - матрица стационарного распределения вероятностей полумарковской цепи.

Рассмотрены цифровые системы тактовой синхронизации с бинарным квантованием, - построенные по схемам Кессны и Леви с фильтрам со сбросом и с фильтром без сброса, по схеме Осатаки и Отавы с модифицированным фильтром с зоной нечувствительности, по схеме Холмса. Показано, что эти схемы можно описать указанной в теореме 2 моделью. Найдены зависимости энергетических спектров фазовых ошибок для указанных схем при различных значениях параметров схем, входного сигнала и шума.

На рис. 12 изображен вид энергетического спектра фазовой ошибки схемы Холмса при числе усредняемых отсчетов М — 12 и среднеквадратичном отклонении шума <тш = 8 и 2.

На рис. 13 изображен вид энергетического спектра фазовой ошибки схемы Осатаки и Отавы при длине регистра М = 8, относительной ширине зоны нечувствительности 0,1 и среднеквадратичном отклонении шума сгш = 8 и 2.

На рис. 14 изображен вид энергетического спектра фазовой ошибки схемы Кессны и Леви для фильтра со сбросом при длине регистра М — 12, длине регистра сброса N — 8 и среднеквадратичном отклонении шума сгш = 8 и 2.

На рис. 1Б изображен вид энергетического спектра фазовой ошибки схемы Кессны и Леви для фильтра без сброса при длине регистра N = 8 и среднеквадратичном отклонении шума <тт = 8 и 2.

Во втором параграфе главы рассмотрен анализ дискретных систем синхронизации, описанных моделями первой главы. Для

Рис. 12. Энергетический спектр фазовой ошибки в системе Холмса.

102 ю1 10° ю-1' 10"2-иг3 мг4-

1 / "ш = 8

| / 1 <Гщ = 2

|

0 зг/2 ж Зэг/2 с

Рис. 13. Энергетический спектр фазовой ошибки в системе Ос атаки и Отавы.

анализа используется метод кумулянтов в нормальном прибли-

ю2 ю1 10° Ю-1 10"2 Ю'3 10"4

= 2

а4 " N со

о

ш

т/Ч т ЗЯ-/2

Рис. 14. Энергетический спектр фазовой ошибки в системе Кессны и Леви с фильтром со сбросом.

102 101 10° Ю-1 10"2 Ю-3 10~4

а4 II

/1 = 8

О */2 т Зт/2 ы

Рис. 13. Энергетический спектр фазовой ошибки в системе Кессны и Леви с фильтром без сброса.

жении. Аналогично тому, как это было сделано для непрерывной системы, получены алгебраические уравнения относительно математического ожидания и дисперсии сигнала рассогласования. Данные метода усреднения проведены численным: моделированием системы.

Исследована зависимость статистических характеристик системы от ее параметров (шага дискретизации}. Проведено сравнение полученных результатов с данными для непрерывных систем.

Приложения содержат вспомогательные результаты и листинги разработанного программного обеспечения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложены строгие математические процедуры перехода ох уравнений ФАП в форме Ланжевена к уравнениям ФАП в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито.

2. Для дискретных и цифровых ФАП построены единообразные модели в форме стохастических разностных уравнений.

3. Предложен вариант проекционного метода решения прямого уравнения Колмогорова для ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром с использованием базиса Фурье-Хартли и адаптивным выбором параметров весовой функции.

4. Предложен вариант проекционного метода для решения прямого уравнения Колмогорова для ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром с использованием базиса из функций Хартли и финитных функций.

5. Предложен численный метод суммарной аппроксимации для решения уравнения Крамерса-Тихонова для ФАП с интегрирующим фильтром при анализе ПРВ переменных состояния в переходном режиме и анализе срыва слежения.

6. Предложен эффективный численный алгоритм аппроксимации среднего времени и вероятности срыва слежения, основанный на оценке младшего собственного значения производящего оператора прямого уравнения Колмогорова.

7. Проведено обобщение методов анализа ФАП для исследования системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала.

8. Проведено исследование статистических характеристик в переходном и установившемся режимах ФАП и системы слежения за задержкой псевдошумового сигнала с пропорционально интегрирующим и интегрирующим фильтрами.

9. Проведено исследование срыва слежения при совместном воздействии на ФАП случайных широкополосных и детерминированных узкополосных помех.

10. Проведено исследование ФАП с интегрирующим фильтром при слежении за сигналом, частота которого представляет собой нормальный марковский случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией.

11. Предложен метод анализа спектральных характеристик цифровых систем синхронизации, описываемых полумарковскими моделями с конечным числом состояний.

12. Получены простые выражения для анализа установившегося режима непрерывных и дискретных систем синхронизации методом кумулянтов в нормальном приближении.

13. Проверена точность и области применимости различных приближенных формул, используемых при анализе ФАП.

14. Предложен способ уменьшения вероятности срыва слежения в ФАП с интегрирующим фильтром.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Денисов Л.В., Сизых В.В., Шахтарин Б.И. Анализ автодина в режиме биений // Радиотехнические устройства и системы ГА. Сб. научных трудов,- М.: МИИГА. 1990. С.71-81.

2. Денисов Л.В., Сизых В.В., Шахтарин Б.И. Метод определения коэффициента преобразования автодина // Радиотехнические устройства и системы ГА. Сб. научных трудов,- М.: МИИГА. 1990. С.91-9Б.

3. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Статистическая динамика фазовых автоматических систем. Часть 1. Модели, системы первого порядка // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1991. Д*3. С. 63-87.

4. Шахтарин Б.И., Карминский A.M., Сизых В.В. Математическое моделирование текущего спектра сигнала, отраженного

от подстилающей поверхности / / Теория и практика разработки радиотехнических систем и устройств ГА.- МИИГА. 1991. - С. 7-17.

Б. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Денисов Л.В. Сигналы и устройства ближней радиолокации. Автодины. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1992.- 139 с.

6. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Статистические характеристики импульсно-фазовой автоматической подстройки частоты первого порядка // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1992. Л'»3. С. 94-114.

7. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б .Я. Применение метода усреднения для исследования стохастической системы синхронизации // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1992. № 4. С. 29-42.

8. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Статистическая динамика кусочно-линейной ФАП // Радиооборудование ЛА для решения задач ПАНХ. - М.: МИИГА. 1992. - С.107-117.

9. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б-Я. Статистические характеристики систем синхронизации второго порядка // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1993. X* 1. С. 3-16.

10. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Статистическая динамика нелинейных систем радиоавтоматнки. 4.2. Анализ и синтез непрерывных и дискретных систем второго порядка - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993- 172 с.

11. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Губанов Д.А. Сравнительные характеристики цифровых систем фазовой синхронизации. Тезисы доклада на 48 научной сессии РНТОЭРиС, посвященной дню радио,- М., 1993.

12. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Куряков А.И. Исследование помехоустойчивости автодина с частотной модуляцией // Оборонная техника. 1992. Х*7-8. С. 61-62

13. Куряков А.И., Сизых В.В. Структура выходного сигнала в доплеровском автодине с комбинированной частотной модуляцией // Оборонная техника. 1997. *»7-8. С. 62-65.

14. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Петрухина О.С. Статистическая динамика цифровых систем фазовой синхронизации // Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1993. К»2. - С. 3-14.

15. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Трешневская В.О. Анализ нелинейных стохастических систем синхронизации методом усреднения. Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Автоматизация исследований, проектирования и испытания сложных технических систем", Калуга, 1993.- С.27

16. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Трепшевская В.О. Исследование статистической динамики системы фазовой автоподстройки с пропорционально интегрирующим фильтром. Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Автоматизация исследований, проектирования и испытания сложных технических систем", Калуга, 1993.- С.29

17. Шахтарин Б.И., Стешенко В.Б., Сизых В.В. Моделирование цифровой фазовой автоматической системы // Сб. научных трудов. Теория и практика совершенствования радиоэлектронных систем ГА,- МГТУ ГА. 1995. - С. 38-48.

18. Сизых В.В., Трепшевская В.О. Анализ стационарного режима фазовой автоматической системы с пропорционально интегрирующим фильтром. Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Проблемы управления производством, создание прогрессивных технологий, конструкций, систем".- Калуга, 1995. - С.72.

19. Сизых В.В. Статистические характеристики ФАП с интегрирующим фильтром в переходном режиме // Сб. научных трудов. Совершенствование радиоэлектронных систем ГА и процессов их технической эксплуатации.- М.: МГТУ ГА. 1995.-С. 7-11.

20. Сизых В.В., Шахтарин Б.И. Об анализе ФАП п-го порядка методом кумулянтов в нормальном приближении // Сб. научных трудов. Совершенствование радиоэлектронных систем ГА и процессов их технической эксплуатации.- М.: МГТУ ГА. 1995,- С. 26-30.

21. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Трешневкая В.О. Статистические характеристики ФАП и интегрирующим фильтром в установившемся режиме // Сб. научных трудов. Совершенствование радиоэлектронных систем ГА и процессов их технической эксплуатации.- М.: МГТУ ГА. 1995.- С. 52-64.

22. Сизых В.В., Голубев C.B. Исседование статистических характеристик системы импулсяой фазовой автоподстройки частоты второго порядка // Сб. научных трудов. Совершенствование радиоэлектронных систем ГА и процессов их технической эксплуатации.- М.: МГТУ ГА. 1S95.- С. 78-89.

23. Сизых В.В., Стешенко В.Б., Шахтарин Б.И. Исследование динамических характеристик цифровых фазовых автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1996. Х*10. С. 111-119.

24. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Губанов Д.А., Голубев C.B. Хаотические колебания в системе синхронизации // Сб. научных трудов. Теория и практика применения и овершенствования радиоэлектронных систем ГА.- М.: МГТУ ГА. 1996.- С. 113-119.

25. Шахтарин Б.И., Трешневская В.О., Сизых В.В., Губанов Д.А. Функционирование ФАП при наличии сосредоточенной и распределенной по частоте помех // Сб. научных трудов. Теория и практика применения и овершенствования радиоэлектронных систем ГА.- U.: МГТУ ГА. 1996.- С. 16-28.

26. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Трешневская В.О. Статистические характеристики фазовой автоподстройки с интегрирующий фильтром // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. №7.- С. 839-844.

27. Сизых В.В., Шахтарин Б.И. Исследование статистических характеристик фазовой автоподстройки второго порядка // Радиотехника и электроника. 1998.

Соискатель

•V г

Федеральная служба безопасности Российской Федерации

Академия ФСБ России Институт криптографии, связи и информатики

С| ^ „ рЛ На правах рукописи

4 ^ 11

V1 . . ' ..

Сизых Вадим Витальевич

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМ СИНХРОНИЗАЦИИ

Специальность: 05.12.13 - Системы и устройства радиотехники и связи

Научный консультант: Лауреат Государственной премии СССР, Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Б.И.Шахтарин

Москва, 1998

Оглавление

Введение......................................................... 5

Глава 1. Математические модели ФАП...................... 21

1.1. Математическая модель классической непрерывной ФАП 21

1.1.1. Общая модель ФАП....................................................................21

1.1.2. Модель ФАП при широкополосном шуме на входе .. 29

1.1.3. Примеры моделей ФАП............................................................37

1.2. Модели импульсных и цифровых ФАП........................................44

1.2.1. Модель импульсной ФАП............................ 44

1.2.2. Модель цифровой ФАП с регулярной дискретизацией 50

1.2.3. Модель цифровой ФАП с неравномерной дискретизацией .................................................. 53

1.3. Выводы.................................................... 60

Глава 2. Статистические характеристики сигнала рассогласования в ФАП 2-го порядка в переходном и установившемся режимах.............................................. 61

2.1. Проекционный метод (базис из многочленов Эрмита и

функций Хартли) анализа ФАП с ПИФ................... 61

2.1.2. Анализ переходного режима......................... 62

2.1.2. Анализ ФАП в установившемся режиме............. 77

2.2. Метод, основанный на комбинации проекционного метода (базис из функций Хартли) и метода прямых (сеточного

метода..................................................... 83

2.3. Метод суммарной аппроксимации......................... 88

2.3.1. Использование метода суммарной аппроксимации для решения стохастических дифференциальных

Уравнений............................................ 88

2.3.2. Анализ статистических характеристик ФАП с ИФ

методом суммарной аппроксимации................. 108

2.4. Анализ статистических характеристик сигнала рассогласования методом усреднения.............................. 111

2.5. Анализ ФАП методом кумулянтов в нормальном приближении...................................................... 122

2.6. Обсуждение результатов расчетов......................... 133

2.6.1. Переходный режим.................................. 133

2.6.2. Статистические моменты сигнала рассогласования.. 140

2.7. Выводы.................................................... 144

Глава 3. Срыв слежения в системе ФАП второго порядка 190

3.1. Проекционный метод анализа срыва слежения в ФАП с

пропорционально интегрирующим фильтром.............. 192

3.2. Анализ срыва слежения в ФАП с интегрирующим фильтром методом суммарной аппроксимации................. 208

3.3. Обсуждение результатов расчета.......................... 214

3.3.1. Анализ срыва слежения в ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром........................... 214

3.3.2. Срыв слежения в ФАП с нелинейным фильтром---- 244

3.4. Выводы.................................................... 256

Глава 4. Некоторые вопросы анализа непрерывных систем

синхронизации.................................................. 263

4.1. Воздействие на ФАП широкополосных и узкополосных

помех...................................................... 263

4.2. Захват сигнала ФАП при поиске по частоте............... 288

4.3. Статистическая динамика системы слежения за задержкой

псевдошумового сигнала................................... 303

4.4. Слежение за сигналом с шумовой частотной модуляцией. 309

4.5. Выводы.................................................... 311

Глава 5. Некоторые вопросы анализа цифровых и

дискретных систем синхронизации........................... 316

5.1. Спектральные характеристики цифровой системы тактовой синхронизации......................................... 316

5.2. Исследование статистических характеристик дискретных

ФАП методом кумулянтов................................. 337

5.3. Выводы.................................................... 347

Заключение...................................................... 348

Список литературы............................................. 351

Приложения..................................................... 365

1. Основные соотношения дня функций Хартли............. 365

2. Листинги основных программ анализа статистических характеристик ФАП....................................... 367

Введение

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена вопросам анализа статистической динамики систем синхронизации. Системы синхронизации являются неотъемлемой частью практически любого радиотехнического устройства. Круг задач, решаемых системами синхронизации, весьма обширен: слежение за несущей частотой принимаемого сигнала, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов, посимвольная (тактовая) синхронизация и ряд других задач. Охватить все эти вопросы в одной работе невозможно. Поэтому основное внимание было уделено классической задаче - анализу процессов в системе фазовой автоподстройки частоты (ФАП) при воздействии на ее вход широкополосных помех. Это позволило разработать методы анализа стохастических ФАП, которые, как показано, могут успешно применяться для решения ряда практических задач анализа помехоустойчивости систем. Представляется, что полученные результаты могут быть обобщены и на более широкий круг задач исследования нелинейных систем радиоавтоматики при воздействии шумов.

В качестве объекта анализа в работе была использована математическая модель ФАП в форме стохастических дифференциальных (для непрерывных систем) и разностных (для дискретных систем) уравнений. Основной упор сделан на исследование непрерывных систем. Это обусловлено следующим. Дискретные (цифровые, дискретные и импульсные) ФАП находят все более широкое применение в радиотехнике благодаря совершенствованию элементной базы микроэлектроники и росту рабочих частот. Однако строгий анализ таких систем является достаточно сложной задачей, требующей значительных затрат времени при современном уровне развития общеупотребительной вычислительной техники. Поэтому во многих работах анализ такого рода систем

сводится к исследованию аналоговых систем-прототипов, которые проще для изучения. Помимо этого, аналоговые системы можно рассматривать как системы потенциальной достижимости для дискретных ФАП. С другой стороны, использование аналоговых устройств в высокочастотных блоках радиотехнических систем не имеет альтернативы.

Для исследования марковских моделей ФАП использовались методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории вероятностей. В работе использован комплексный подход к решению параболических дифференциальных уравнений с частными производными, когда при конструировании решения широко используется вероятностная структура этих уравнений. Это позволило разработать достаточно эффективные алгоритмы численного решения таких уравнений применительно к ФАП и близким к ней системам,

Анализ последствий действия помех (шумов) на системы синхронизации достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные характеристики системы. При этом вычисленные статистические моменты фазовой и частотной ошибок не дают полной информации о поведении ФАП. Поскольку ФАП — существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния. Особенностью ФАП по сравнения с рядом других (не фазовых) систем радиоавтоматики является существование множества устойчивых состояний равновесия, что еще более усложняет картину при действии шумов.

Как и для любой следящей системы, для ФАП важным вопросом является анализ срыва слежения. Под срывом слежения в ФАП следовало бы понимать переход траектории движения из области притяжения одного устойчивого состояния равновесия в

область притяжения другого состояния равновесия. Однако решение задачи в такой постановке с использованием теории марковских процессов наталкивается на трудности, связанные с тем, что в этом случае необходимо рассматривать решение соответствующих уравнений на всей плоскости изменения переменных состояния, что с использованием численных методов возможно лишь для системы первого порядка. Поэтому под задачей анализа срыва слежения в ФАП обычно понимают задачу о достижении марковским случайным процессом, описывающим траекторию движения системы, заданной границы. Такой подход используется и в настоящей работе.

Следует отметить, что явление срыва слежения может оказать существенное влияние на работоспособность ФАП, приводит к резкому увеличению ошибок по частоте. Это особенно важно в доплеровских и фазовых системах. Важны на практике и знания о помехоустойчивости системы, когда на ее вход на фоне шумоподобной помехи воздействуют и узкополосные помехи, типа гармонической

Основы теории исследования статистических характеристик ФАП с использованием их марковских моделей заложили Р.Л.Стратонович [1,2] и В.И.Тихонов [3,4]. Значимый вклад в теорию синхронизации при наличии шумов внесли Б.И.Шахтарин, В.А.Ходаковский, В.Линдсей, А.Витерби, Дж.Холмс, Р.Таусворт, В.Н.Белых, М.И.Жодзижский, В.Н.Кулешов, В.Д.Разевиг, Н.Н.Удалов, В.Д.Шалфеев, В.В.Шахгильдян и другие.

Достаточно быстро были получены основные аналитические и численные результаты по исследованию влияния шумов на ФАП первого порядка. Это обусловлено тем, что прямое уравнение Колмогорова для ПРВ фазовой ошибки в стационарном режиме интегрируется аналитически (при синусоидальной нелинейности его решение - распределение Тихонова). При анализе срыва

слежения в ФАП первого порядка широко используется уравнение Понтрягина для моментов времени до срыва слежения, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. С точки зрения численных процедур уравнение Стратоновича-Тихонова (прямое уравнение Колмогорова для ФАП первого порядка) также является "хорошим" объектом.

К настоящему времени поведение ФАП первого порядка исследовано, по-видимому, в достаточном для практики объеме. Хотя даже для такой простой системы до сих пор не решен ряд задач. Например, практически отсутствуют аналитические результаты по переходному режиму, анализ которого сводится к исследованию собственных функций и собственных значений производящего оператора уравнения Старатоновича-Тихонова, как это сделано, для уравнения Матье.

С анализом стохастической ФАП второго порядка, методам исследования которой, в основном, посвящена данная работа, дело обстоит гораздо сложнее. Наверное, единственный точный аналитический результат был получен для ФАП с интегрирующим фильтром (ИФ) в [4]. Это - решение уравнения Крамерса-Тихонова (прямого уравнения Колмогорова для ФАП с ИФ) в стационарном режиме при нулевой начальной расстройке. Впервые это уравнение получил X.А.Крамере [5] для описания химических реакций и В.И.Тихонов [4] для ПРВ распределения фазовой ошибки и ее производной для ФАП с ИФ. Помимо этого, в [4] было получено приближенное решение уравнения Крамерса-Тихонова для большой постоянной времени интегрирующего фильтра в виде отрезка ряда Эджворта. Этот прием использовался в дальнейшем в ряде работ.

Можно выделить два направления в исследовании статистических характеристик ФАП как нелинейной системы. К первому направлению, в котором сосредоточено наибольшее число

работ, следует отнести процедуры исследования ФАП на основе приближенных аналитических методов. В основе этих методов лежит, обычно, выделение малого или большого параметра в уравнениях ФАП. Сюда следует отнести работы, посвященные методу усреднения: [2, 6- 17]; работы, посвященные анализу ФАП методами кумулянтов и статистической линеаризации [1824]; работы, использующие приближенное вычисление условных математических ожиданий [25-26].

Ко второму направлению можно отнести работы, посвященные анализу статистических характеристик ФАП с использованием численных методов решения уравнений Колмогорова и Пон-трягина [ 7,15,25, 27-35,37-40].

Среди работ, посвященных анализу статистической динамики ФАП следует выделить [14,30,35].

Необходимо отметить, что задача численного решения либо прямого уравнения Колмогорова, либо уравнения Понтрягина для ФАП второго порядка, не говоря уже о системах более высокого порядка, чрезвычайно сложна. Это обусловлено рядом причин. Во-первых, традиционно основное внимание ученых, занимающихся задачами численного решения уравнений математической физики уделяется приложениям уравнений в гидро-, газодинамике, атомной физике. Соответствующие уравнения имеют достаточно .существенные отличия от уравнений, рассматривав-, мых в теории статистического анализа ФАП. Самым близким к уравнению ФАП является уравнение многомерной диффузии, теория численного решения которого разработана достаточно детально [41-43].Различие между этими уравнениями заключается

в том, что основную роль в уравнениях для ФАП играют чле-

что

ны, отвечающие за процесс переноса,придает качественное свое-

I

образие этим уравнениям. При этом производящие операторы

соответствующих уравнений Колмогорова становятся несамосопряженными. Экономичные методы решения многомерных уравнений диффузии основаны, в большинстве случаев, на факторизации разностных операторов. Для корректной факторизации соответствующие элементарные операторы должны коммутировать. В случае ФАП такую факторизацию выполнить сложно. Далее, при анализе срыва слежения некоторые части границы области, в которой ищется решение,становятся нерегулярными. Это еще более затрудняет решение.

К настоящему времени предложено несколько способов борьбы с этими трудностями. В работе [30] предлагается использовать явные абсолютно устойчивые методы решения соответствующих уравнений, которые получены на основе аппроксимации марковского процесса цепью. Такой подход имеет тот недостаток, что шаги сетки по временной и пространственным переменным достаточно жестко связаны между собой. При этом для получения решения с гарантированной погрешностью необходимо очень тщательно выбирать параметры сетки. Достоинство метода заключается в его простом обобщении на системы более высокого порядка.

В работе [33] предлагается использовать экстраполяции решения уравнения Понтрягина для среднего времени до срыва слежения в ФАП с ИФ на нерегулярных частях границы. При этом остается открытым вопрос о приемлемости и точности такой аппроксимации. Данный метод не допускает обобщения на системы выше второго порядка. В [34] для решения уравнения Понтрягина для вероятности срыва слежения в ФАП с ИФ был использован явный разностный метод. При этом для повышения устойчивости метода, в полуплоскостях положительных и отрицательных частот использовались несимметричные разностные отношения, что, как показывает практика, действительно увеличивает устойчивость, но часто приводит к существенной потере

точности решения. К недостаткам метода можно отнести и то, что время счета по приведенному алгоритму прямо пропорционально среднему времени до срыва слежения, которое может быть достаточно велико. Вместе с тем, авторы получили, но не использовали результат, который мог бы существенно сократить время вычислений. Это касается отмеченной особенности в поведении вероятности нахождения траектории марковского процесса в рассматриваемой области в течение заданного времени, которая при относительно больших временах убывает экспоненциально.

В работах [7,15,35,38,39] для анализа ФАП использовался метод Галеркина на базе разложения, предложенного в [4]. Особенности применения этого метода подробно будут обсуждены ниже, отметим только, что метод обладает не очень высокой устойчивостью и его затруднительно применять при наличии нерегулярных частей границ.

В работах [44-49] рассмотрено влияние узкополосных и гармонических помех на ФАП. В них изучается воздействия гармонических помех на фоне широкополосного шума на систему первого порядка и воздействие детерминированных помех на ФАП второго порядка.

Работы [40,50-58] посвящены вопросам захвата сигнала с линейно меняющейся частотой, что достаточно важно для практики использования систем ФАП, напрмер, в спутниковой связи и радиолокации.

Из вышесказанного вытекает, что проблема построения эффективных численных процедур анализа статистической динамики ФАП, позволяющих исследовать различные режимы работы, является достаточно актуальной.

Основная проблема, рассматриваемая в диссертационной работе, заключается в совершенствовании имеющихся и разработке новых эффективных методов аналитического описания и

численного моделирования процессов в системах синхронизации при действии помех.

Основная цель работы - разработка эффективных численных алгоритмов расчетов статистических характеристик системы ФАП в переходном режиме, позволяющих проводить анализ влияния помех на ее функционирование и допускающих обобщение на системы более высокого порядка, чем второй.

Основные задачи работы:

- построение корректных математических моделей систе