автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Синтез систем управления для неопределенных объектов на основе второго метода Ляпунова

. о

О С

ОД

\ I мюп 1999 На правах рукописи

^ /2 ^

БОЛДЫРЕВ ИГОРЬ АЛЕКСАНДРОВИЧ

СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА

Специальность 05.13.01 "Управление в технических системах"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Воронеж - 1999

Работа выполнена па кафедре технической кибернетики и автомагического регулироиаиия Воронежского государ стенного университета )1 кафедре иысшсй математики Воронежской государственной технолог и чес кой ака дси и и

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Г.И. Лолгачсв

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

академик МАИ С.Л. 11с овальный, кандидат технических наук, доцент В.И. Дорофеев

Ведущая организация: АО "Автоматика"

Защи та состоится 199У г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 063.90.02 [1о])онежской государственной технологической академии н ауд. 30 по адресу: 391017, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ш'ТА

Автореферат разослан

1099 г.

Ученый егкретррь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

В.М. Самойлов

РОССК !5С1(ЛЯ 1СУДЛРСТЗКШ1АЯ - 9 _

БИБЛИОТЕКА

О! ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. К числу основных проблем современной теории управления относится разработка новых методов получения алгоритмов управления для неопределённых объектов, параметры которых известим с точностью до интервалов, внутри которых они могут находиться.

В ходе её решения образовалось несколько основных направлений. Системы автоматического управления с переменной структурой (СПС), работающие и скользящем режиме, оказались по многих случаях малочувствительны к возмущающим воздействиям и к вариациям динамических.свойств обьекта. Режим скольжения достигается тем, что на объект подаётся разрывное управление, удерживающее его в пространстве состояния на гиперплоскости переключения. С ПС могут быть использованы тогда, когда сравнительно частое переключе-1мч: управляющей неличпнм не окалывает негативного воздействия, например, при управлении ллектричсскими приводами с использованием мощной полупроводниковой техники. Но применение СПС ограничено в тех случаях, когда исполнительный механизм из-за конструктивных особенностей неспособен работать п режиме быстрого изменения своего состояния, и от частого переключения может выйти из строя, нарушив, тем самым, нормальный ход управляемого процесса.

Поэтому, дальнейшим шагом стало изучение бинарных систем управления (БСУ). БСУ избавились от недостатков СПС, и с их помощью появилась возможность получать непрерывные алгоритмы, но это потребовало знания высших производных, что затруднительно при практической реализации.

Ещё один подход основан' па получении алгоритмов автоматического управления, устойчивых при бесконечно больших коэффициентах усиления. Но применение такого метода ограничивается возможностями его технической реализации, так как возрастает влияние помех, к тому же значения коэффициентов усиления зависят от конечных ограничений па иеличипу управления.

Параллельно стали развиваться адаптивные системы (АС), меняющие свою внутреннюю структуру и позволяющие изменяться параметрам объекта в очень широких пределах. Но применение (АС) невозможно в тех случаях, когда в новой сложившейся ситуации нет времени на адаптацию.

В настоящее время при управлении аппаратами, работающими в различных агрессивных средах под радиационным и термическим воздействием потребовались алгоритмы, не нуждающиеся во времени на адаптацию, не допускающие быстрых колебапий управляющей величины, имеющие невысокую размерность и не требующие знания высших производных. Всё это ещё в середине тридцатых годов было представлено в работах ГГонтрягина Л.С., Андронова A.A. в виде проблемы поиска алгоритмов имеющих постоянные настройки, но позволяющих задавать параметры объекта с точностью до интервалов, внутри которых они находятся, такие алгоритмы полупили название грубых или робастиых.

Целью работы является разработка и обоснование метода синтеза робастных алгоритмов управления для неопределённых объектов на основе второго метода Ляпунова.

Методы исследования. В диссертационной работе систематически используются попятил й методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, математического анализа, теории устойчивости и теории автоматического управления.

Научная иовизпа. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:

1. Найден новый способ построения функций Ляпунова, применимый как в линейном так и в нелинейном случаях, причем, в линейном случае, в сравнении с другими аналогичными методами, наблюдается заметный численный выигрыш, то есть при его использовании необходимо решать системы значительно меньшем размерности.

2. Доказана теорема, дающая возможность при помощи функций Ляпунова получать робастные алгоритмы управления для неопределённых линейных объектов, устойчивость таких объектов под воздействием нового управления устанавливается при помощи функций Ляпунова. Приводимая в работе теорема позволяет накладывать на функции Ляпунова мепее жёсткие требования, чем это делалось ранее.

3. Предлагается новая методика получения робастпых алгоритмов управления для неопределённых объектов на основе второго метода Ляпунова при наличии внешних возмущающих воздействий.

4. Доказана теорема, позволяющая точно определять максимальное количество гиперплоскостей управления, которое необходимо задавать, при использовании новой методики синтеза робастнйх алго-

-е -

ритмов управления.

5. На основе полученных результатов, приводимых в диссертационной работе, предложен необходимый и достаточный критерий определения границ устойчивости для параметров объекта.

Теоретическая и практическая ценность работы. В диссертационной работе предложен ионий алгоритм синтеза функций Ляпунова, который в сравнении с аналогичными методами, в линейном случае даёт значительный численный выигрыш, а в нелинейном, для некоторых примеров, оказывается более аффективным, чем все другие ему подобные алгоритмы. Нопый критерий определения границ устойчивости параметров объекта позволяет нам точно указать диапазон их изменения. При помощи новой методики построения робастпых алгоритмов управления для объектов с неопределенными параметрами можно заранее задавать желаемые свойства эамкпутой системы автоматического управления. Это даёт нам право утверждать, что идеи и методы, изложенные в работе могут найти дальнейшее применение в теории управления. Попал методика построения алгоритмов управления даёт нам возможность решать целый класс задач, связанных с управлением объектами, параметры которых точно неизвестны, 'гадкого рода объекты являются типичными. Предлагаемый в работе подход позволяет при помощи ЭВМ автоматизировать получение новых алгоритмов управления с заранее заданными свойствами замкнутой системы. Изложенные п этой работе результаты, использованы и внедрены в системе автоматизированного управлепия процессом полимеризации эмульсионного каучука в контурах стабилизации температуры реакции полимеризации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXII научной конференции Воропежской государственной технологической академии ( Воронеж, 1993), XXXIV научной конференции Воропежской государственной технологической академии ( Воронеж, 1994), Вороиежской вссепней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Понтрягипские чтения, Воропеж, 1998), научных семинарах кафедры высшей математики и кафедры автоматизированных систем управления Воронежской государственной технологической академии, кафедры технической кибернетики н автоматического регулирования Воропежского госупи-верептета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах [1-8].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 133 наименований и приложения. Материал диссертации изложен па 120 страницах, работа содержит 54 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов, кратко изложено содержание диссертации.

В первой гладе предлагается новый метод построения функций Ляпунова.

Для уравнения

§-№>, С)

и при условии

Д0) = 0, (2)

где x,f(x) С Rn, функция Ляпунова берётся в виде криволинейного интеграла

i

Vi = J(Df(x),i)dr, (3)

о

матрица D G RnXn- положителыю-определена, поэтому

Vi = -(Dj(x)J{x)) (4)

заведомо не больше нуля. Таким образом, в соответствии со вторым методом Ляпунова, если (3) положительно-определена, то система (1) устойчива. Условия положительной определённости (3) имеют вид:

gradVi = D/(x), (Df{а), х) > 0. (5)

В общем случае взять интеграл (3) невозможно, но применяя формулу интегрирования по частям, приходим к следующему:

1

= - /[(АЛ», Да» + (Dx, ~f(x))}dT = (/(в), Dx). (6) о *

Окончательно рекомендуется брать функцию Ляпунова в виде:

*

И', = (х, 1х) + J(Df( х), *)*-. (7)

о

Иди в виде:

\У^(х,Ьх) +(/(*), Пх), (8)

Ь € ЛпХп, (х, Ех) - положительно-определённая квадратичная форма.

Хорошо проверенным критерием оценки метода и полученной с его помощью функции Ляпунова является следующее требование: до-с'1 аточные условия, полученные с помощью этой функции в нелинейном случае, должны быть и необходимыми в линейно и случае.

Если задаться отрицательно-определённой квадратичной формой И7, то функция Ляпунова V, удовлетворяющая уравнению V =.W,ъ линейном случае, по теореме Ляпунова, будет положительпо-определепа тогда и только тогда, когда исследуемая линейная система устойчива, а это означает, что условия положительной определённости V будут совпадать с условиями Р&уза-Гурвица.

Таким образом, методы построения функции Ляпунова по заданной производной, в линейном случае являются необходимыми и достаточными, что говорит за их дальнейшее использование.

Рассмотрим применение изложенного выше метода для линейной системы

х = -Ах, (9)

х 6 Я", А € Л"*". Исходя из того, что

V-(Шх,х) = -(ВАх,Ах), (10)

где Б 6 ПпАп, при выполнении условия

{О А) = (.ОА)т, (11)

функция Ляпунова примет следующий вид:

I

V = J{ИАх, х)с1т = ^{ОАх, ж), о

Если матрица £> - положительно-определена, то в этом случае из (10) видно, что V - всегда отрицательно-определена. Вследствии одной из теорем Ляпунова, при заранее заданной отрицательно-определённой производпой функции Ляпунова (10), если система (9) устойчива, то фулкция (12), а следовательно и матрица О А положительно-определена и единственна, а так как А - уже известна и невырожденна, то отсюда следует что О определяется однозначно.

Матрицу О - рекомендуется брать "в следующем виде:

/ ¿п ¿ш ¿1» \

—¿\% ¿52 ... ¿1П \-dlr, -(1.3п ... (1пп/

(13)

Тогда при ¿ц > 0 (»' = 1, п), матрица П положительно-определена и может быть представлена как сумма кососимметрическоц н диагональной 2Э — В а + Ик, которые обладают следующими свойствами: Эк — П4 — ОЦ. Элементы матрицы И определяются из усло-

вия (11). Учитывая всё сказанное, приходим к уравнениям Ляпунова относительно элементов матрицы О к4.

+- ЛгВк = АтВа - ПЛА. (14)

Если собственные значения матрицы А подчинены условию Л; Ф —А), то система (14) имеет единственное решение:

ЛОО

Вк = / (ел 1АГП&М - <2>1|АеА,)Л. (15)

./о

Использование матрицы О в виде (13) весьма эффективно, так как для её поиска необходимо решить систему из уравнений

и неизвестных, тогда как при использовании в подобных слу-

чаях других аналогичных методов, приходится иметь дело с системами размерности "{уна . Такой значительный численный выигрыш достигается из-за того, что 1?к имеет п("з~1) неизвестных параметров, а элементы матрицы должны удовлетворять условиям ¿ц > 0 (» = 1,г») и могут быть заданы заранее.

Во второй главе приводится тестовый пример, позволяющий судить об эффективности нового метода получения функций Ляпунова в нелинейном случае.

- А -

В третьей главе обосновывается возможность получения алгоритма управления на основе второго метода Ляпунова. Рассмотрим линейную систему

х = Ах + Ви, (16) .

х G R", AG Rnxn, В 6 НпКт, и 6 Rm. Пусть параметры матрицы А неизвестны, но имеют следующие ограничения: aymir» ^ aij ^ а^тох.

В качестве функции Ляпунова берём положительно-определённую квадратичную форму

V=i(x,Mx), (17)

где М 6 Rnxn.

Производная по временя от функции (17) в силу линейной системы (16) будет иметь вид:

V = (Ах, Мх) 4 (Мх, Ви) = (МТАх, г) + (ВТМх, и) =

= (Lx,x) + (Sx,u), (18)

где L = МТА, S = ВТМ. Таким образом V = (Lx,x) + (Sx,u). Необходимо подобрать таяое управление и - чтобы (—V) было бы положительно-определённым.

Теорема 1. Если -{Lx,x)\sr=o > 0) то при и = -KSx (К — const) найдётся талое К > 0, при которой (—V) положительно определен а на всём пространстве.

Четвёртая глава является обоснованием результатов предыду-

щей. Рассматривается линейная система автоматического управления

х = Ах + Вщ (19)

где зб К", А £ Лпх", В 6 Я"*"*, и £ Ит.

Параметры матрицы А неизвестны, но имеют следующие ограничения:

(20)

При выполнении условия

гапд(Р) = п, Р = (В, АВ, А*В.....А"~1 В), (21)

систему (19) можно привести к блочному виду f ¿1 = ЛцХ1 +

•S (22)

{ Xj - AnXi + Ai^Xi BiU,

где x, € ха e Rm, Ли 6 A» G R("-n)Xm,

A2i 6 «»"<("-•"), 6 Rm*(.»-™)t Bi £ Д"*т, и E лт.

Возьмём за функцию Ляпунова положительно-определённую квадратичную форму

+ + CjaaJ.iCjx, + С3аа)), (23)

где Z>, G /г<"-,п) *(»-"•), Ct е Rmx(n-m)i ^ g

В силу (19) производная от (23) будет иметь вид:

V = (I>iXi,(AuXi + А12Х2))+

+((<?i Au + C2A2I)xi,(CIXI + С2х2))+

+ ((CiAl2+C2Ail)x2i(CiXl+C2X2))+

+((<71a1 + Ci*J),CaB,u). (24)

Используя V в виде (24) и теорему 1, получаем новое управление в следующем виде:

ч = -KB^C-^iCim + Car/,), (25)

где К — const >0.

Что даёт нам новое управление с точки зрения независимости за: мкнутой системы от параметров управляемого объекта ? Сама функция (23) - положительно-определена, цоэтому если (24) отрицательно-определена, то объект, под воздействием управления (25), будет устойчивым. Запишем новое управление (25) в производную V (24), получим

V = (DiXi,(AnXi + /li2xa))+

+ {(СхАи + С3Аи)хи (С1Я1 + Сах3))+

■+((CU13 + CiAnfaiiCiXi +C2x2))~

-JCÍCm -f C2x 3)'. (26)

В этом случае условие теоремы 1 примет вид:

V|(ol-l+ca-í)»e = (0ia¡i,Un —ЛиС^'С,)«!) < 0. (27)

В условии (27) отсутствуют блоки Ац и А22, что говорит о том, что система (22), а следовательно и (19) под воздействием управления (25) устойчивы при любых параметрах заключённых в блоках Ац и А за, в качестве этих параметров в случае реального объекта автоматического управления могут быть коэффициенты усиления, время заналдмвапия и так далее.

Всё сказанное говорит за то, что новое управление правомерно считать робастпым.

В пятой главе изложен метод синтеза робастпых алгоритмов по новой методике, но при наличии внешних возмущающих воздействий и неполной информации о векторе состояния объекта. Для системы

( х={А + АА)х + В{и + Н0Щ + /(£)), { У=Сх,

где х е Rn, у € Rk, А £ Rnxn, ДА € Rnxn, В € Я"*1, С € Д*Хп, и € R1, f(t) € Rl, uj е Rkl, Но € Rixkl. Требуется найти управление щ - обеспечивающее асимптотическую устойчивость системы (28).

Система (28) описывает лилейный объект параметры которого постоянны, но точно неизвестны. Роль неопределённости в системе (28) играет матрица ДА, сама матрица неизвестна, но известны границы, внутри которых заключены её значения

^ Лa¡j Aaijmar• (29)

Такое представление объекта управления вполне актуально, так как во многих случаях большинство параметров могут быть постоянными или медленно меняющимися неизвестными величинами, в этом случае пзвестпы лишь границы, внутри которых они заключены.

Если на объект воздействует неопределённое возмущающее воздействие f(t), то оно может быть представлено в виде полинома 1-Й

(28

степени с неопределёнными коэффициентами, такой полином подчинён системе линейных дифференциальных уравнений

dz dl

= Pz,

где

Р-

'О 10 О 0 1

(30)

(31)

,0 0 0

Причём J(i) = Zi - является первой координатой вектора z, где dim(z) = I, а матрица Р - имеет размерность (1x1).

Система уравнений (30) описывает целый класс полиномов, поэтому для любой функции f{t) - найдётся соответствующий полином i-й степени, который наиболее точно, среди полиномов l-ii степени, апроксимирует данную функцию, если эта точность будет недостаточна, то её можно увеличить за счёт увеличения степени /.

Таким образом, рассматривая внешнее возмущающее воздействие как полином 1-й степени, а само »яешиее возмущение и I его производных как новые, дополнительные переменные, являющиеся координатами вектора z, систему (28) можпо представить в виде

f х= (Л + A/l)z + В(и0 + Д0щ) + В(21 - zi),

z = Рг, (32)

у = Сх,

где и = «о - zi, u0 = üx, R € Rl*n, *i = f(t). . Для системы (32) строим наблюдатель

х = Ах'+ Вьо + Кi(y -у) + ЯгЩ,

3-Pz + Ki(y- y) + H2ui, (33)

У = Сх,

где Ih € Я"**1, Я» £ R'*ki, Кх £ R"*k, К2 £ Rlxk.

Вычитая из системы (32) систему (33) и объединяя полученную в результате вычитания разность с наблюдателем (33), получаем систему

r i'l = Anil ■+ 01 <3 + {BHo - //i)«i + AA(d + x), e2 = (—KjC)t1 + Pij-JItu i, г = Kx{Ctx) + (A 4- BR)x + i/i«1, (У-У) = Ci,

где Аи = (А- К\С), 31 = (17|0), В\ 6 Я"*', = х - 2, £3 = г - г.

Если при ДЛ = 0 система (34) управляема и наблюдаема, то при помощи матриц Кз, Я, для системы (34) можно задать любые наперёд заданные собственные значения. Новая, расширенная система (34) зависит от £ и х. Таким образом, если решение системы (34) под воздействием управления и^ асимптотически устойчиво, то в силу х = < ■+ х, решение системы (28) тоже асимптотически устойчиво.

Пусть т) = (е1|(3|а)г, тогда система (34) в новом базисе примет

вид _ _ _

п= Ап+ Нщ + ДЛп,

, ^ (35) (У ~ У) = Стп

I

где А, Д/4, Я, С - являются более обобщённой формой записи параметров системы (34) в виде (35).

Окончательно постановка задачи выглядит следующим образом: необходимо найти управление U|, при котором система (35), а следовательно и система (28) устойчивы.

В качестве функции Ляпунова берём положительно-определённую квадратичную форму

V =l-{v,DAr,). .(36)

Производная от функции (36) в силу системы (35) будет иметь

вид:

V = (DAr), (A + AA)i)) + (НТВАг},щ). (37)

Переформулируем теорему 1 для данного конкретного случая. Теорема 2. Если -(ВАг},(А + AA)r])\TlrD-jTj=0 > 0, то при щ =

-КНТВЛг] (К = const) найдётся такое К > 0, при которой (-V) положительно-определена, на всей нространстпс.

Другими слонами если будет выполнено условие теоремы 2, которое значительно слабее требования положительной определённости (—V) па всём пространстве состояния, то при

u, = -KHTDAt], (38)

начипая с некоторого К > 0 "система (35) будет устойчива под воздействием управления «i . Коэффициенты матрицы II подбираются так, чтобы исключить из iii все неизвестные переменные. Управление и i - является линейным, представлякнцим из себя семейство линейно-независимых гиперплоскостей. Чем больше этих гиперплоскостей, тем меньше размерность множества их пересечения, и тем более эффективен новый алгоритм управления. Вообще, при решении конкретной практической задачи хотелось бы знать их (гиперплоскостей) максимальное количество, положим это число и сформулируем теорему:

Теорема 3. fcj - максимально, когда, равно dim(Y) + dim(U).

Используя новую функцию Ляпунова, возможно полностью определять границы, внутри которых параметры системы могут изменяться, а система будет оставаться устойчивой. Возьмём функцию Ляпунова в следующем виде:

V=^(T¡,D(A+¿a)n). (39)

Матрица D аналитически зависит от параметров матрицы ЛА, то есть можпо найти функциональную зависимость следующего вида: D — F(AA). Накладывал на матрицу D(A + ДА) требование положительной определённости и используя критерий Сильвестра, получаем систему неравенств, из которой и определяются границы изменения для параметров матрицы А А, при которых исходная система устойчива.

В приложении рассмотрен пример практического применения изложенной в работе методики, при помощи которой был получен алгоритм управления процессом стабилизации температуры реакции полимеризации эмульсионного каучука изменением расхода хладоагента в рубашку реактора.

В терминах передаточной функции задача выглядит следующим образом:

Ка6е~тр

W(p)

(40)

Т06Р + 1

Параметры объекта: Kaf = 0.2 градусов на тонн в час, T„g — 18 мин. и т = 6 мип. На вход подаётся управление и, а регулируемая величина - у. Новый алгоритм управления должен позволять параметрамI объекта изменяться в следующих пределах: Тоб± 20%, т ± 20%, Коб ± 50%. Ограничена на управление: 0 < и < 40. Возмущающее воздействие: J(t) = ±6. Задание, которое необходимо выдерживать Уж =4, е~тр - является звеном запаздывания и, при решепии такого рода задач, заменяется разложением в ряд Паде. В данном случае используем разложение первого порядка

1 _ 12 __

Затем перейдём к переменным пространства состояния

%i = х3 4- 6| и,

¿2 = -ajXi - diXj + (bo - aibi)u,

У = хи

(41)

(42)

где <ц = (f +

о2

Toff г

А, = Лп — Mi

01 ТоЯ > ~ Т0в'

Учитывая постоянное во времени внешнее возмущение, система (42) примет следующий вид:

xi = xi + bi{u + г), х2 = ~a2Xi - oi®2 + (bo ~ Oi&i)(" + я),

z = 0, 2/ = 3i.

Для системы (43) строим наблюдатель

zi = Si + &1И0 + I<i(xi - Xi) + hiUy,

= -a3ST - aiSJ + (bo - aiMuo 4- -^(^i - 5T) + hjUi,

z = ifa^i - ii) + h3ui,

y = xi,

(43)

(45)

где u = uo — z, uo = rjX] + Г2Х2. Вычтем из системы (43) систему (44), а полученную разность объединим с системой (44), получим

e'i = е2 -f biia - K\t\ -Ыщ,

€3 = -О2С1 - Ojt2 + 00 _ _ -

fЭ = ~K3c 1 - Лз«1, x{ = X2 + ¿1 Uo + + hiUi,

xi = —diXi — aiSj + (bo - ai&i)«o + K-it 1 + /t2"i,

Z = /iVl + Лз«1,

где £3 = z — z. Нет необходимости требовать чтобы J стремилось к нулю, поэтому из системы (45) изымается последнее уравнение и она принимает следующий вид:

t'i = с2 + 61С3 - К1С1 - hiUi, £3 = —a3ei — aitj +■ (b0 — albi)e3 — Kit 1 — h 2ttt,

е'з = -K3ti - h.3ut, ST = + bi u0 + K\i\ + hiU\, k ict = —a^zl - ai«2 -f (fro - a)ti)«0 + KjCi + h2ui.

Если нулевое решение обобщённой системы (46) устойчиво, то устойчиво пулевое решение и системы (42). Поэтому далее будем искать управление для системы (46), дающее устойчивость нулевого решения для системы (46) и (42). Полагаем и0 = rixl + г 2X2.

Исходя из требований, предъявляемых к новому алгоритму управления, параметры rj (i = 172) и Kj (j — ТТЗ) подбираются так, чтобы характеристические корны системы (46) были бы заведомо левее мнимой оси и равнялись заранее определенным значениям.

Параметры hi (1 = 1,3), входящие в унравление «г, имеют такие значения, при которых из щ исключаются все неизвестные переменные. Первые три уравнения системы (45) являются моделью управляемого объекта, сам алгоритм управления имеет вид:

г = 0.57(у- у, -xi) -0.18жГ~ 1.855J,

xi = 0.062(у — ух ~ £Г) - 0.18ST - 0.93i5,

z = 4.68(j/ — у,— 57) — 0.0435J + 0.095SJ,

и = —19.96x1 - 67.52хз - z.

Система (47) является частью системы (45), из которой изымаются первые три уравнения, заменяющие собой реальный объект управления.

Новый регулятор сравнивался с уже используемым для управления этим процессом ПИД-регулятором. Исходя из противоречащих друг другу требований качества переходного процесса и малой чувствительности замкнутой системы к изменениям параметров объекта, ПИД-регулятор оставался одним из наиболее эффективных, среди прочих.

Новый регулятор имел одинаковое с ПИД-регулятором качество переходного процесса, но позволял управлять объектом при значительно больших отклонениях параметров от их первоначальных значений.

ВЫВОДЫ

Результаты проведенного исследования могут быть представлены в виде следующих выводов:

1. В настоящей работе приведен н обоснован новый метод сип-теза функций Ляпунова для линейпых и нелинейных дифференциальных уравнений. Возможность дальнейшего применения этого метода подтверждается на конкретном примере нелинейного уравнения. В линейном случае данный метод позволяет получать необходимое и достаточное условие устойчивости и даёт заметный числеппый выигрыш, то есть при его использовании необходимо решать системы значительно меньшей размерности, что является одним из основных критериев, подтверждающих его эффективность.

2. Доказана теорема, дающая возможность получать робастпые алгоритмы для линейпых систем автоматического управления с неопределёнными параметрами.

3. Сформулирована и доказала теорема, при помощи которой можно точно определить максимальное количество управляющих гиперплоскостей, которое возможно при использовании новой предлагаемой методики.

4. Весь теоретический материал представлен в виде алгоритма синтеза робастного управления для неопределённых лилейных систем при неполной информации о состоянии объекта и наличии внешних возмущающих воздействий. Предлагаемая в работе методика прошла

практическую апробацию и подтверждена при помощи численных и практических экспериментов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Болдырев И.Л. Моделирование и управление объектами с переменной структурой па. основе второго метода Ляпунова. // Тез. докл. XXXII научи. конф. ВГТЛ - Воронеж, 1993. - С. 41.

2. Болдырев И.А. Построение функции Ляпунова по заранее заданной знакоопрсдслёиной производной отой функции. // Тез, докл. XXXIV паучн. конф. ВГ'ГА - Воронеж, 1994. - С. 287.

3. Болдырев И.А., Лозгачёв Г.И. Функции Ляпунова и один алгоритм их возможного синтеза // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз, сб. науч. тр. - Воронеж, 1995. - С. 101-104.

4. Болдырев И.А., Лоэгачёв Г.й. Синтез управления для неопределённых объектов на основе функций Ляпунова. - Воронеж, 1998. -9 с. - Дсп. в ВИНИТИ 22.0-1.98.,N 1225 - В 98.

5. Болдырев И.А., Лозгачёв Г.И. Синтез помехоустойчивого управления для неопределённых объектов на основе функций Ляпунова. -Воронеж, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.04.98.,N 1226 - В 98.

6. Болдырев H.A., Лозгачёв Г.И. Синтез систем управления для неопределённых объектов с помощью функций Ляпунова. // Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. Воронеж, весен, математ. школы, 3-9 мая 1998 г. - Воронеж, 1998. - С. 33.

7. Болдырев H.A., Лозгачёв Г.й. Синтез управления для интервальных объектов на оспове функций Ляпунова // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. - Воронеж, 1998. - С. 169-177.

8. Болдырев И. А., Лозгачёв Г.й. Синтез систем управления вынужденным движением для интервальных объектов на основе функций Ляпунова//Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. - Воронеж, 1998. - С. 140-150.

Введение.

Глава 1. Основные направления и методы получения робастных алгоритмов управления.

1.1. Методы построения управления с априорным заданием корней характеристического полинома замкнутой системы.

1.2. Методы синтеза обратной связи при помощи аппарата функций Ляпунова.

Глава 2. Синтез робастного управления для неопределенных линейных интервальных динамических систем.

2.1. Общий подход при построении алгоритмов управления интервальными линейными объектами на основе второго метода Ляпунова.

2.2. Управление линейными интервальными объектами с использованием всех координат вектора состояния.

2.3. Синтез алгоритмов управления для линейных интервальных динамических систем при неполной информации о векторе пространства состояния и наличии внешних возмущающих воздействий.

Глава 3. Анализ промышленного процесса получения каучука как объекта автоматического управления.

3.1. Общее описание технологии процесса.

3.2. Идентификация каналов управления.

3.3. Анализ свойств алгоритма, необходимого для управления промышленным процессом получения синтетического каучука.

Глава 4. Робастное управление промышленным объектом и сопоставление результатов управления.

4.1. Допустимое упрощение первичной модели.

4.2. Синтез наблюдателя.

4.3. Синтез закона управления на основе второго метода Ляпунова.

4.4. Поиск оптимальных значений параметров настройки для ПИД-алгоритма и алгоритма, полученного на основе второго метода Ляпунова.

4.5. Сравнительный анализ робастной устойчивости ПИД-алгоритма и алгоритма управления, полученного на основе второго метода Ляпунова.

Актуальность темы. К числу основных проблем современной теории управления относится разработка новых методов синтеза алгоритмов управления для объектов, параметры которых неопределенны, но содержатся внутри известных интервалов.

В ходе решения этой проблемы образовалось несколько основных направлений.

Системы автоматического управления с переменной структурой (СПС) [34,38,39,80,87], работающие в скользящем режиме, были разработаны одними из первых. Они оказались во многих случаях малочувствительны к возмущающим воздействиям и к вариациям динамических свойств объекта. Режим скольжения достигается тем, что на объект подается разрывное управление, удерживающее его в пространстве состояния на гиперплоскости переключения. СПС могут быть использованы тогда, когда сравнительно частое переключение управляющей величины не оказывает негативного воздействия, например, при управлении электрическими приводами с использованием мощной полупроводниковой техники. Но применение СПС бывает ограничено возможностями исполнительных механизмов, которые из-за конструктивных особенностей от частого переключения выходят из строя, нарушая, тем самым, нормальный ход управляемого процесса.

Другим направлением стало изучение бинарных систем управления (БСУ) [37,41]. БСУ избавились от недостатков СПС, и с их помощью появилась возможность получать алгоритмы с непрерывным управляющим воздействием на исполнительное устройство. Но для БСУ понадобилась информация о высших производных регулируемой величины, что на практике не всегда выполнимо.

Еще один подход основан на получении алгоритмов автоматического управления, устойчивых при бесконечно больших коэффициентах усиления [67,68,69,70,71]. Но применение такого метода ограничивается возможностями его технической реализации, так как возрастает влияние помех, к тому же значения коэффициентов усиления зависят от конечных ограничений на величину управления.

Параллельно стали развиваться адаптивные системы (АС) [32,54,73,77,89,94,95], позволяющие изменяться параметрам объекта в очень широких пределах. Но применение АС невозможно в тех случаях, когда в новой сложившейся ситуации нет времени на адаптацию.

В настоящее время при управлении аппаратами, работающими в различных агрессивных средах под радиационным и термическим воздействием, потребовались алгоритмы, не нуждающиеся во времени на адаптацию, не допускающие быстрых колебаний управляющей величины, имеющие невысокую размерность и не требующие знания высших производных.

В середине тридцатых годов прошлого столетия в работах A.A. Андронова, JI.C. Понтрягина [4] была дана характеристика систем, сохраняющих устойчивость при малых изменениях параметров и, в связи с этим, получивших название "грубые". Дальнейшие исследования, проводимые в этом русле, сформировались в самостоятельное научное направление, изучающее так называемые "робастные" алгоритмы, особенности проектирования которых позволяют заведомо задавать возможные изменения динамических свойств объекта управления. Математическая модель объекта управления в этом случае представляет собой совокупность линейных дифференциальных уравнений с постоянными, но неопределенными параметрами, о которых известно лишь их возможное максимальное и минимальное значения. Подобное описание процессов и объектов управления, обладая якобы линейной структурой, благодаря неопределенности параметров, способно достаточно эффективно учитывать различного рода нелинейные характеристики и имеет в научной литературе аббревиатуру ЛИДС, что означает линейные интервальные динамические системы. Именно робастные алгоритмы автоматического управления способны удовлетворить требованиям современной науки и техники.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с одним из основных научных направлений Воронежского государственного университета - "Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках".

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является разработка и практическая апробация робастных алгоритмов управления для неопределенных объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи: изучить основные направления получения робастных алгоритмов управления и выбрать из них наиболее перспективное; на основе выбранного направления, предложить и обосновать метод синтеза робастных алгоритмов управления; рассмотреть в качестве многоканального объекта автоматического управления реальный технологический процесс, показав универсальность применения робастного алгоритма управления на производстве; на примере рассмотренного технологического процесса обосновать практическую целесообразность, предлагаемого в работе, метода синтеза робастных алгоритмов управления.

Методы исследования. В диссертационной работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, математического анализа, теории устойчивости и теории автоматического управления.

Научная новизна. В диссертации получены и выносятся на защиту следующие, отнесенные автором к разряду новых, результаты: обоснован подход, применимый при построении функций Ляпунова для линейных систем, сводящийся, в сравнении с известным, к матричным уравнениям меньшей размерности; выявлена зависимость, дающая возможность исключать неизвестные переменные и позволяющая использовать второй метод Ляпунова для получения реализуемых алгоритмов управления по выходу; получен метод синтеза робастных алгоритмов управления, основанный на применении теории наблюдателей и аппарата функций Ляпунова; разработан метод, позволяющий на основе функций Ляпунова (синтезированных в соответствии с изложенным в работе подходом) получать необходимые и достаточные условия устойчивости для ЛИДС.

Практическая значимость и результаты внедрения. Практическая ценность работы, по мнению автора, заключается в следующем: на основе предложенного метода разработана методика синтеза робастных алгоритмов управления; использование робастных алгоритмов, полученных по предлагаемой методике, позволяет сделать управляемый процесс устойчивым к различного рода возмущающим воздействиям, к изменениям условий эксплуатации и режима работы объекта управления; изложенная в работе методика синтеза робастных алгоритмов может быть применена для автоматизации большинства объектов промышленного процесса получения каучука; практические разработки диссертационной работы, ориентированные на нефтехимическую промышленность, имеют широкую направленность и могут быть использованы во многих других отраслях производства.

Излагаемые в работе результаты были внедрены на Воронежском ОАО "Воронежсинтезкаучук" в системах автоматизированного управления процессом полимеризации эмульсионного каучука в контурах стабилизации температуры реакции полимеризации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах. В том числе: на семинарах кафедры "Высшая математика" (ВГТА, 1998, 1999), кафедры "Автоматизированные системы управления" (ВГТА, 1999), а также кафедры "Технической кибернетики и автоматического регулирования" (ВГУ, 1997, 2001); на XXXII научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1993); XXXIV научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1994); Международной научной конференции "Современные методы в теории краевых задач" (Понтрягинские чтения, Воронеж, ВГУ, 1998); XXXVIII отчетной научной конференции (Воронеж, ВГТА, 1999); Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, ВГУ, 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка из 111 наименований и двух приложений. Материал диссертации изложен на 114 страницах; работа содержит 10 рисунков.

Выводы четвертой главы:

1) предлагаемый в работе метод синтеза робастных алгоритмов управления для неопределенных объектов, полученный на основе второго метода Ляпунова и наблюдателей Луенбергера, может быть использован в системе автоматизированного управления процессом полимеризации каучука, что подтверждено результатами внедрения и анализом, приведенным в данной главе;

2) предложенный в работе алгоритм, предназначенный для стабилизации температуры реакции полимеризации каучука, при прочих равных условиях превосходит по уровню робастной устойчивости, используемый в данном случае на практике, ПИД-алгоритм как минимум в 1.4 раза, что позволяет считать новый алгоритм и метод его получения приемлемыми для практического применения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для достижения цели работы были поставлены конкретные задачи, результаты решения которых имеют, по мнению автора, как общую, так и самостоятельную практическую и научную ценность:

1) Приведенный в работе обзор современных направлений и методов получения робастных алгоритмов управления позволил выбрать наиболее эффективный, с точки зрения теоретической и практической значимости, путь для научного поиска.

2) Предложенная методика синтеза робастных алгоритмов управления, основанная на теории наблюдателей и втором методе Ляпунова, является результатом объединения двух выбранных наиболее эффективных направлений и открывает широкие теоретические возможности в решении поставленной задачи.

3) Изложенный в работе анализ технологического процесса получения каучука, с точки зрения теории автоматического управления, имеет практическую ценность, так как показывает реальную востребованность предлагаемого метода синтеза робастных алгоритмов управления.

4) Проведенное, на примере одного из объектов нефтехимического производства, сравнение, предложенного алгоритма управления, показало его превосходство в робастной устойчивости по отношению к, уже используемому на практике, ПИД-регулятору как минимум в 1.4 раза, что подтверждает научную и практическую важность приводимых результатов и эффективность применения предлагаемой методики для автоматизации объектов нефтехимического производства.

115

Итак, главный смысл проделанной работы заключается в получении универсального метода синтеза робастных алгоритмов управления для неопределенных объектов и его практической апробации.

По мнению автора, к важным научным результатам, полученным в ходе диссертационного исследования, следует отнести методику синтеза функций Ляпунова, а также необходимое и достаточное условие устойчивости для линейных интервальных динамических систем.

Данная диссертационная работа может служить отправным пунктом для проведения последующих научных изысканий в области функций Ляпунова, в разработке необходимых и достаточных условий устойчивости для линейных и нелинейных систем и в получении новых методов синтеза робастных алгоритмов управления.

1. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. 3-е изд., -М.: Наука, 1966,- 450 с.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления/Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 450 с.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. - 424 с.

4. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы//Докл. АН СССР.- 1937. Т.14., N5. - С. 247-251.

5. Барбашин А.Е. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.-224 с.

6. Барбашин А.Е. Функции Ляпунова . М.: Наука, 1970. - 240 с.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 387 с.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1954. - 250 с.

9. Бернацкий Ф.И., Пащенко Ф.Ф. Синтез робастных алгоритмов управления технологическими объектами//Автоматика и теле- механика. -1991.- N12.-С. 150-163.

10. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. - 768 с.

11. Бейкер Дж., Грейве-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.-280 с.

12. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин С.К. Оценки возмущений устойчивых матриц//Автоматика и телемеханика. 1998. - N4. - С. 15-24.

13. Болдырев И.А. Моделирование и управление объектами с переменной структурой на основе второго метода Ляпунова//Тез. докл. XXXII научн. конф. ВГТА Воронеж, 1993. - С. 41.

14. Болдырев И.А. Построение регуляторов для линейных интервальных динамических систем//Нелинейный анализ и функ-ционально-дифференциальные уравнения: Тез. докл. Воронеж. Международная научная конференция 15-20 мая 2000 г. Воронеж, 2000. - С. 33.

15. Болдырев И.А. Построение функции Ляпунова по заранее заданной знакоопределенной производной этой функции//Тез. докл. XXXIV научн. конф. ВГТА Воронеж, 1994. - С. 287.

16. Болдырев И.А. Синтез систем автоматического управления на основе второго метода Ляпунова//Тез. докл. XXXVIII научн. конф. ВГТА -Воронеж, 2000. Ч. 2. - С. 230.

17. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Синтез помехоустойчивого управления для неопределенных объектов на основе функций Ляпунова. Воронеж, 1998. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.04.98.,N 1226 - В 98.

18. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Синтез систем управления вынужденным движением для интервальных объектов на основе функций Ляпу-нова/Юптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1998. - С. 140- 150.

19. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Синтез систем управления для неопределенных объектов с помощью функций Ляпунова//Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. Воронеж, весен, математ. школы, 3-9 мая 1998 г. Воронеж, 1998. - С. 33.

20. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Синтез управления для интервальных объектов на основе функций Ляпунова//Оптимизация и моделированиев автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1998. -С. 169-177.

21. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Синтез управления для неопределенных объектов на основе функций Ляпунова. Воронеж, 1998. - 9 с. -Деп. в ВИНИТИ 22.04.98.,N 1225 - В 98.

22. Болдырев И.А., Лозгачев Г.И. Функции Ляпунова и один алгоритм их возможного синтеза/Юптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 1995. - С. 101-104.

23. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. -М.: Наука, 1977. 320 с.

24. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. - 352 с.

25. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. -М.: Наука, 1979. 336 с.

26. Воронов A.A. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. М.: Наука, 1987. - 312 с.

27. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, часть 1, 1965; часть 2, 1969. 396 с.

28. Гайдук А.Р. К исследованию устойчивости линейных си-стем//Автоматика и телемеханика. 1998. - N3. - С. 153-160.

29. Гайдук А.Р. Синтез робастных систем управления с запаздывани-ем//Автоматика и телемеханика. 1997. - N1. - С.90-99.

30. Гайдук А.Р. Синтез систем управления при слабо обусловленной полноте объектов//Автоматика и телемеханика. 1997. - N4. - С. 133-143.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

32. Громыко В.Д., Санковский Е.А. Самонастраивающиеся системы с моделью. М.: Энергия, 1974. - 80 с.

33. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. - 350 с.

34. ДАнжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез. М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

35. Деруссо П., Рой Ч., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Мир, 1970. - 620 с.

36. Джури Э.И. Робастность дискретных систем//Автоматика и телемеханика. 1990. - N5. - С. 3-28.

37. Емельянов C.B. Бинарные системы автоматического управления. М.: МНИИПУ, 1984. - (Бинарные динамические системы/Под ред. C.B. Емельянова. Вып. 1), 314 с.

38. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

39. Емельянов C.B. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970.- 592 с.

40. Емельянов C.B. Коровин С.К. Асимптотические наблюдатели для класса нелинейных динамических объектов//Доклады АН СССР. 1990. -т. 313, N5.

41. Емельянов C.B. Коровин С.К. Бинарные системы управления нестационарными процессами с применением адаптивных и мультипликативных обратных связей. М.: МНИИПУ, 1983. - (Бинарные динамические системы, вып. 2).

42. Емельянов C.B. Коровин С.К. Новые типы обратных связей и их применение в замкнутых системах: (Итоги науки и техники. Техн. кибернетика, т.15). М.: ВИНИТИ, 1982, С. 145-216.

43. Емельянов C.B, Коровин C.K. Об асимптотических свойствах наблюдателей состояния для неопределенных систем с выделенной правой нестационарной частью//Доклады АН СССР. 1990. - т.311, N4.

44. Емельянов С.В. Коровин С.К. Применение новых типов обратных связей в задачах управления нестационарными динамическими системами. (Итоги науки и техники. Техн. кибернетика, т. 16 ). М.: ВИНИТИ, 1983, С. 70-155.

45. Емельянов С.В. Коровин С.К. Стабилизация многомерных неопределенных объектов по выходу//Доклады АН СССР. 1990. - т. 311, N 5.

46. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Алгоритмическая процедура синтеза многосвязных систем с интервальными характеристическими полиномами. М., 1989. 12 с. Деп. в ВИНИТИ N 7505- В89.

47. Захаров A.B., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей//ДАН СССР. 1988. Т. 299. N2,

48. Калман Р., Фалб П., Арбиб. Очерки по математической теории систем. М.: Мир. - 1971. - 400 с.

49. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. - 300 с.

50. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 650 с.

51. Коган М.М. Решение обратных задач минимаксного и минимакс-но-робастного управлений//Автоматика и телемеханика. 1998. - N3. - С. 87-97.

52. Корноушенко Е.К., Парамонова Г.Г. Поиск неисправных компонент в линейных системах с учетом погрешностей идентификации//АиТ. 1988. N7.

53. Коровин С.К., Нерсисян A.JI. Управление по выходу линейными неопределенными объектами. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1990.-N1.-C. 67-73.

54. Костюк В.И. Беспоисковые градиентные самонастраивающиеся системы. Киев: Техника, 1969. - 275 с.

55. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. - 184 с.

56. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. - 400 с.

57. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

58. Куракин К.И. Аналитический метод синтеза линейных систем автоматического управления при наличии помех//Автоматика и телемеханика. 1958. - т. XIX, N5.

59. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Мир, 1967.- 184 с.

60. Лозгачев Г.И. К вопросу об устойчивости систем автоматического регулирования с переменной структурой//Автоматика и телемеханика. -1979. -N1. С. 19-25.

61. Лозгачев Г.И. Построение дифференцирующих устройств на основе метода функций Ляпунова. ВГУ, 1987. Деп. ВИНИТИ 06.11.87, N 7796-В87.

62. Лозгачев Г.И. Построение систем регулирования с наблюдающим устройством, малочувствительным к изменению параметров объекта и внешним возмущениям. Воронеж: ВГУ, 1983. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.08.83, N4591.

63. Лозгачев Г.И. Построение систем регулирования с наблюдающим устройством, малочувствительным к изменениям параметров объекта. Дифференциальные уравнения и их приложения. Воронеж, 1985. - С. 96-108.

64. Лозгачев Г.И. Портнов М.М.Построение наблюдающих устройств с переменной структурой. Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1985. -N 2. С. 194-197.

65. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат. - 1951.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Физматгиз. - 1959.

67. Мееров М.В. Методы синтеза структур, эквивалентных самонастраивающимся системам для объектов с переменными параметрами. В кн.: Теория самонастраивающихся систем управления. М.: Наука. - 1969. -С. 181-188.

68. Мееров М.В. Синтез структур автоматического регулирования высокой точности. М.: Физматгиз. - 1959. - С. 62-66.

69. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967. - 423 с.

70. Мееров М.В. Системы автоматического управления, устойчивые при бесконечно больших коэффициентах усиления. Автоматика и телемеханика. - 1947. - т.8, N4. - С.225-243.

71. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М.: Наука. - 1965. - 384 с.

72. Молчанов А.П., Морозов М.В. Достаточные условия робастной устойчивости/УАвтоматика и телемеханика. 1997. - N1. - С. 100-107.

73. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное коор-динатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980. - 244 с.

74. Петров Ю.П. Устойчивость линейных систем при вариациях па-раметров//Автоматика и телемеханика. 1994. -N11. - С. 186-189.

75. Полоцкий В.Н. О максимальных ошибках асимптотических идентификаторов состояния//Автоматика и телемеханика. 1978. - N8

76. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем//Автоматика и телемеханика. -1990. N9. - С. 45-54.

77. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления/Б.Н. Петров, В.Ю. Рутковский, И.Н. Крутова, С.Д. Земляков. М.: Машиностроение, 1972. - 260 с.

78. Рапопорт Л.Б. Анализ робастной устойчивости линейных стационарных систем с помощью квадратичных функций Ляпунова, зависящих от параметра//Автоматика и телемеханика. 1998. - N8. - С. 146-153.

79. Руш Н., Абест Н., Лалуа Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. - 300 с.

80. Скользящие режимы в системах с асимптотическими наблюдателями состояний/В.И. Уткин, А.Г. Бондарев, С.А. Бондарев, Н.Е. Костылева Автоматика и телемеханика. - 1985. - N 6.

81. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Асимптотическое слежение за постоянным сигналом в системе с неопределенными параметра-ми//Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990.

82. Смагина Е.М., Дугарова И.В. К проблеме стабилизации многомерной системы с неопределенными параметрами//Х Всесоюз. совещ. по проблемам управления: Тез. докл. Кн. 1. М.: ИПУ, 1986.

83. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Синтез модального регулятора для системы с неопределенными параметрами. М., 1987. 37 с. Деп. в ВИНИТИ N 789-В87

84. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применения. М.: Машиностроение, 1972. - 552 с.

85. Теория автоматического управления/Н.А. Бабаков A.A. Воронов и др.; под. ред. А. А. Воронова М.: Высшая школа, 1977. - 302 с.

86. Теория показателей Ляпунова/Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноградов, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. М.: Наука, 1966. - 576 с.

87. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.-367 с.

88. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах/под ред. К.Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. - 253 с.

89. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

90. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения. -1978. Т.14, N11. - С. 2086-2088.

91. Хлебалин H.A. Аналитический метод синтеза регуляторов в условиях неопределенности параметров объекта//Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1981.

92. Хлебалин H.A. Построение интервальных полиномов с заданной областью расположения корней//Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1982.

93. Хлебалин H.А. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления//Аналитические методы синтеза регуляторов: Меж-вуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1988.

94. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. -М.: Наука, 1968.-400 с.

95. Цыпкин Я.З. Адаптивные алгоритмы оптимизации при априорной неопределенности//Автоматика и телемеханика. 1979. - N6. - С. 94108.

96. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970.-252 с.

97. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. - 478 с.

98. Честнов В.Н. Робастная устойчивость многомерных динамических систем с линейной зависимостью коэффициентов от одного интервального параметра//Автоматика и телемеханика. 1997. - N4. - С. 175180.

99. Шашихин В.Н. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием//Автоматика и телемеханика. 1997,- N12- С. 164-174.

100. Шостак Р.Я. О признаке условной определенности квадратичной формы и переменных, подчиненных линейным связям, и о достаточном признаке условного экстремума функций многих переменных//Успехи мат. наук. 1954. - Т.9, вып. 2.

101. Bialas S. A necessary and suffucuent condition for stability of interval matrices//Int. J. Contr. 1983. V. 37. N 4.

102. Chen Y.H. Decentralized robust output and estimated state-feedback controls for large-scale uncertain systems//lnt. J. Contr. 1987. - V. 46. N 6.126

103. Chen Y.H. Decentralized robust control systems design for large-scale uncertain systems//Int. J. Contr. -1988.-V. 47.N5.

104. Evans R.J., Xianya X. Robust regulator design//Int. J. Contr. 1985. V. 41.N2.

105. Galimidi A.R., Barmish B.R. The constrained Lyapunov problem and its application to robust output feedback stabilization//IEEE Transaction on Autom. Contr. 1986. - V. AC-31. N 5.

106. Hollot C.V. Bound ivariant Lyapunov functions: a means for enlarging the class of stabilizable uncertain systems//Int. J. Contr. 1987. - V. 46. N 1.

107. Kupmuller K. Uder die Dinamik der selbstatigen Verstarkungs-regler, ENT S, 1928, S. 456-467. Zeitschrift for Techn. Physik. 1928, 9, S. 469-472.

108. Lin H., Hollot C.V., Bartlett A.C. Stability of families of polynomials: deometric consideration in coefficient space//Int. J. Contr. -1987. V. 45. N 2.

109. Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbet systems via linear optimal regulator//Int. J. Contr. 1988. V. 47. N 1.

110. Wong W.-J., Chen C.-F. Robustness of perturbed large-scale systems with local constant state feedback//Int. J. Contr. 1989. - V. 50. N1.

111. Yeung K.S., Wong S.S. A simple proof of Kharitonov's theotem //IEEE Trans, on Automatic Control. 1987. - V. AC-32. N 9.127