автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Синтез моделей выбора технологических решений на основе двухэтапных мажоритарных схем

На правах рукописи

и

' - I «

БУГАЕВ Юрий Владимирович

СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ ВЫБОРА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ДВУХЭТАПНЫХ МАЖОРИТАРНЫХ СХЕМ

Специальность 05 13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж 2005

Работа выполнена на кафедре "Математическое

моделирование информационных и технологических систем"

Воронежской государственной технологической академии (ВГТА).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Орел Евгений Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Антюшин Виктор Федорович,

доктор физико-математических наук, профессор Меньших Валерий Владимирович

Ведущая организация: Московский государственный

институт радиотехники, электроники и автоматики (Технический университет)

Защита диссертации состоится " 10 " марта 2005 г. в_час.

на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном учреждении Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19, а. 30 (конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан "_9_" февраля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Самойлов В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Высокий уровень капиталовложений, необходимых при создании высокотехнологичных производств требует эффективного использования средств, которое в первую очередь достигается за счет оптимизации структуры и параметров таких производств на основе применения новых информационных технологий, математического моделирования, системного анализа и поддержки принятия решений на базе современной вычислительной техники.

Особое место в этом комплексе задач занимают проблемы выбора и принятия решений, потребность в разрешении которых возникает на всем протяжении жизненного цикла любой системы. При этом процесс решения происходит в условиях ограничений, обусловленных спецификой исследуемой системы: сложность математической модели, большое число альтернативных вариантов, наличие конфликтующих критериев качества, неопределенность исходной информации. В этих условиях главную роль должны сыграть модели и методы выбора, основанные на последних достижениях математического моделирования, векторной оптимизации и поддержки принятия решений.

Наиболее серьезным препятствием на этом пути является плохая согласованность между методами, используемыми на отдельных этапах решения общей задачи выбора, а также отсутствие теоретического обоснования и подробной методики решения многих частных задач, возникающих на нижних уровнях иерархии - таких как выявление реально конфликтующих критериев, определение границ каждого критерия на множестве Парето, оптимальное упорядочение узлов сети на множестве параметров скалярных сверток критериев и т.п. Кроме того, многие существующие модели и методы недостаточно эффективны для решения сложных оптимизационных задач, либо слабо обоснованы и опираются в основном на эвристику. Вследствие этого возникают вопросы, связанные с разработкой единой методологии решения задач разных типов и уровней иерархии с позиций системного подхода, теоретическим обоснованием реализующих ее моделей и алгоритмов, модификацией существующих, а также разработка новых методов и соответствующих программных продуктов.

Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетной НИР № г/р 01960007318 по теме № 1.6.2 "Моделирование, выбор и принятие решений в структурно-параметрическом представлении функционирования многоцелевых систем применительно к теории конфликта" (№ г/р 01.2001.16818).

Целью исследований является разработка методологии и научных основ, а также создание конкретных моделей выбора, обеспечивающих построение инструментальных средств в виде математического и программного обеспечения автоматизированных систем поддержки принятия решений при проектировании и оптимизации функционирования технологических систем.

Поставленная цель достигается посредством решения следующих задач.

1. Исследование и разработка моделей и методологии, позволяющих с единых позиций рассмотреть задачи непрерывной и дискретной векторной оптимизации и сужения множества эффективных альтернатив, как составные части единой задачи выбора.

2. Теоретическое обоснование метода экстраполяции экспертных оценок (МОЭО), исследование вопросов существования и единственности решения задачи параметрического синтеза модели выбора и сходимости соответствующих итерационных процедур; разработка на этой основе конкретных методов синтеза моделей выбора.

3. Анализ различных условий применения МЭЭО в проектировании и оптимизации функционирования технологических систем (ТС); разработка на этой основе системы моделей выбора, соответствующих различным шкалам оценивания альтернатив, индивидуальной или групповой экспертизе, механизмам выбора, применяемым в построенных моделях.

4. Обоснование и разработка новых эффективных методов аппроксимации множества неулучшаемах решений задач дискретной и непрерывной многокритериальной оптимизации в структурном и параметрическом синтезе ТС.

5. Разработка методов декомпозиции моделей ТС сложной структуры, содержащих разветвления и циклы технологических потоков, позволяющих использовать эффективные алгоритмы поиска множества неулучшаемых технологических решений.

6. Создание программного обеспечения, реализующего модели и методы решения задач выбора.

7. Проведение вычислительных экспериментов и апробация программного обеспечения на решении практически значимых задач проектирования и оптимизации функционирования ТС.

Методы исследования. Выполненные исследования базируются на использовании аппарата теории графов, математического программирования, теории выбора и принятия решений, теории вероятностей и математической статистики. Общей методологической основой является системный подход.

На защиту выносятся

1. Методология и фундаментальные научные основы синтеза моделей выбора технологических решений.

2. Разработанные новые модели, численные схемы и алгоритмы выбора, непрерывной и дискретной векторной оптимизации для решения задач проектирования и оптимизации функционирования ТС.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Создана единая методология, объединяющая способы решения задач, возникающих на различных этапах и уровнях иерархии оптимизационного моделирования технологических систем.

2. Проведены теоретическое обоснование, разработка и исследование моделей выбора, расширяющих возможности известных аналогов за счет использования лингвистической и числовой шкал экспертного оценивания.

3. Выделен новый класс численных методов непрерывной и дискретной оптимизации - алгоритмы циклического выбора (АЦВ), получено общее необходимое и достаточное условие корректности отсева неудовлетворительных решений для всех процедур данного класса; на основе найденного условия разработаны три варианта АЦВ непрерывной оптимизации, использующие более эффективные механизмы выбора по сравнению с известными аналогами; доказана их сходимость по Хаусдорфу в пространствах оценок и решений.

4. Получено обобщение принципа оптимальности Беллмана на случай бинарного отношения предпочтения на множестве

векторных оценок; на его основе разработаны два алгоритма поиска на графах произвольного вида всего множества путей, недоминируемых по отношению предпочтения.

5. Получены новые достаточные условия непрерывности Парето-оптимальных решений по параметрам свертки критериев; по сравнению с известными результатами, данные условия обладают меньшей жесткостью и большей универсальностью, т.к. применимы к различным сверткам и предусматривают случаи однозначных и многозначных отображений множества параметров на множество оценок.

6. Разработаны два метода параметризации непрерывной векторной оптимизационной задачи для произвольных вариантов логических сверток; первый использует сеть на ранее не применявшемся множестве параметров, и, вследствие этого, адаптируется к погрешностям оценок границ множества Парето; второй метод отличается возможностью быстрого упорядочения множества сгенерированных весов сверток для произвольного числа критериев и узлов сети, что дает сокращение количества итераций за счет рационального подбора начальных приближений при решении каждой скалярной задачи.

7. Предложено новое, более общее, определение конфликта случайных величин; получено его необходимое и достачное условие при нормальном распределении величин.

8. Доказана NР-полнота задачи оптимальной фильтрации произвольного конечного множества точек; выделена задача фильтрации частного вида, не являющейся NP-полной, для которой разработан эффективный алгоритм точного решения.

Практическая значимость работы состоит в построении комплекса инструментальных средств на основе новых моделей, численных схем и алгоритмов выбора, непрерывной и дискретной многокритериальной оптимизации. С помощью разработанного программного обеспечения решен ряд практически важных задач лесной, деревообрабатывающей и пищевой промышленности. Достоверность и полнота результатов подтверждена их практической реализацией на примере оптимизации функционирования кристаллизационного отделения производства сахара на АООТ "Сахарный завод "Балашовский". Результаты исследований вне-

дрены в учебный процесс Воронежской государственной технологической академии, Воронежской государственной лесотехнической академии, Орловского государственного технического университета, Орловского коммерческого института.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на Всероссийских научных конференциях "Информационные технологии и системы" - Воронеж, 1995, 1999; "Комплексная продуктивность лесов и организация многоцелевого лесопользования" - Воронеж, 1995; "Физико-химические основы пищевых и химических производств" - Воронеж, 1996; "Повышение эффективности методов и средств обработки информации*' - Тамбов, 2000; "Теория конфликта и ее приложения" - Воронеж, 2000;

- на конференциях "Математическое и машинное моделирование" - Воронеж, 1988; "Актуальные проблемы информационного мониторинга" - Воронеж, 1998; "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения" - Воронеж. 1998. 1999,2000.

на отчетных научно-технических конференциях ВГТА.

Публикации. Основное содержание работы изложено в 43 публикациях, из них 10- в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, девяти глав, заключения, списка литературы из 361 наименований, двух приложений. Основной текст изложен на 288 страницах. Работа содержит 16 таблиц, 12 рисунков. Объем приложений - 19 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, поставлены задачи исследования; указаны научная новизна, положения, выносимые на защиту, практическая значимость, апробация и число публикаций; дана краткая аннотация работы.

В первой главе отмечено, что предметом исследований являются системы и задачи, соответствующие тезису: объективные модели - субъективные решения. Анализируются три основных

подхода к решению задач многокритериальной оптимизации для таких систем:

- скалярно-оптимизационный с обобщенным критерием;

- применение человеко-машинных процедур;

- использование мажоритарных схем.

Отдельно рассматриваются процедуры коллективного выбора (голосования) и выбора в условиях нечеткости.

Делается вывод о преимуществе двухэтапной мажоритарной схемы (МС). На ее первом этапе строится множество неулучшае-мых оценок. На втором - с помощью неформальных процедур, предусматривающих в общем случае возможность коллективного выбора и выбора в условиях нечеткости, осуществляется отбор подходящих вариантов, которые в дальнейшем передаются ЛПР для окончательного выбора.

Основу предлагаемой методологии составляет рассмотрение этих задач в комплексе в рамках единой проблемы. В частности, требования к результатам первого этапа, должны быть направлены па повышение эффективности выполнения второго этапа.

Поскольку решение задачи выбора обычно проходит при наличии большого числа альтернатив, соответствующие процедуры должны давать возможность существенного, на несколько порядков, сокращения исходного набора. Поэтому предлагается в качестве основного средства выбора использовать модели, построенные методом экстраполяции экспертных оценок (МЭЭО), специально разработанного для решения подобных задач. В этом методе на основе экспертного сравнения альтернатив из некоторой небольшой обучающей выборки строится система равенств и неравенств, описывающая область возможных значений вектора коэффициентов функции полезности (ФП).

Однако МЭЭО, во-первых, нуждается в модификации, направленной на расширение его возможностей, во-вторых, требует теоретического обоснования основных положений, т.к. существующие его варианты опирались, в основном, на эвристику. Кроме того, применение ММЭО предъявляет ряд требований к методам, реализующим первый этап МС. Отсюда возникает необходимость их доработки.

На основании проведенного анализа и сделанных выводов формулируется цель, и ставятся задачи исследований.

Во второй главе анализируются условия, выполнение которых делает возможным применение МЭЭО к построению моделей выбора, а также указываются основные типы синтезируемых моделей.

Определение 2.1. Моделью выбора назовем математическую модель, описывающую процесс выбора из некоторой исходной конечной совокупности альтернатив X.

Применение МЭЭО предлагает выполнение ряда аксиом, которым должна удовлетворять исследуемая система.

1. Аксиома парнодоминантности.

2. Аксиома детерминированности. Оценке подлежит только текущее состояние альтернативы без анализа возможных вариантов последствий выбора.

3. Аксиома достаточности. Каждый вариант характеризуется вектором х, компоненты которого содержат всю достаточную информацию об альтернативе.

4. Аксиома целостности выбора.

5.Аксиома существования ФП, линейной по коэффициентам:

где - известные функции векторного аргумента л*; Ь! - неизвестные параметры,

Согласно определению ФП, альтернатива х не хуже альтер -нативы у тогда и только тогда, когда

Таблица 1

№ модели Характер экспертизы Механизм выбора

Шкала Индивид. / Групп.

1 Порядковая Индивид. Скалярно-оптимиз.

2 Лингвистич. -/-

3 Порядковая Групповая

4 Лингвистич. -/- -/-

5 Числовая -1-

6 Порядковая Индивид. Блокировка

7 Лингвистич. -/-

Разнообразие моделей выбора определяется особенностями оцениваемых альтернатив, условиями экспертизы, возможностями экспертов и другими факторами. Основные типы моделей, рассматриваемых в работе, приведены в таблице 1. Модели 2, 4, 5, 7 являются принципиально новыми, остальные - более совершенными версиями известных.

Далее во второй главе предлагается итерационный алгоритм нахождения точечных оценок коэффициентов ФП при индивидуальной экспертизе на порядковой шкале (модель 1). Суть алгоритма заключается в следующем. Каждая г-я итерация состоит в

экспертном сравнении пары альтернатив и выборе

лучшей из них по полезности. В результате сравнения, на основании определения ФП, формируется неравенство

которое разбивает множество весов на два подмножества. Знак неравенства определяется тем, что. с точки зрения эксперта, альтернатива не хуже, чем Пересечение этих подмножеств, когда (х, у) пробегает набор всех пар х, уе X определяет -мерный выпуклый многогранник

Координаты любой его точки могут служить коэффициентами ФП, упорядочивающей множество X адекватно экспертизе т.е. являются решением задачи идентификации ФП.

Положив строим последовательность много-

гранников каждый из которых образуется по формуле

Пара подбирается так, чтобы гиперплоскость = О

проходила через внутренность текущего многогранника. В силу конечности X, это определяет сходимость алгоритма, его работа заканчивается, когда подходящая пара не найдена.

Далее во второй главе рассматриваются два метода построения области допустимых значений коэффициентов ФП при индивидуальной экспертизе на лингвистической шкале (модель 2). Ее использование предполагает, что эксперт в состоянии для каждой предъявленной пары (х, у) не только констатировать факт превос-

ходства одной альтернативы над другой, но и охарактеризовать степень этого превосходства в лингвистической форме словами ''большое превосходство", "малое превосходство" и т д

Таким образом, пары выборки разбиваются на классы различной силы превосходства Тем самым в пространстве оценок полезности вводится некая мера расстояния между альтерната вами Применение такого подхода позволит построить более жесткую по сравнению с (3) систему неравенств, и, следовательно, повысить точность оценки

В следующем разделе предлагается метод нахождения приближенной точечной оценки вектора когда условие окончания построения многогранника В еще не выполнилось В соответствии с принципом устойчивости, оценка Ь вектора Ь выбирается из условия

(4)

где - случайные точки, равномерно распределенные в

Доказывается, что выполнение соотношения (4) максимизирует вероятность того, что при условии равновероятного расположения новых граней в случае продолжения экспертизы, останет ся внутри многогранника Предлагается итерационный алгоритм поиска по условию (4), доказывается его сходимость

В заключение второй главы приводится пример использования МЭЭО в маркетинговых исследованиях при оценке конкурентоспособности товара

В третьей главе рассматриваются статистические методы построения скалярно-оптимизационных моделей выбора при коллективной экспертизе (модели 3 4)

В общем случае каждый вариант упорядочивания обучающей выборки из т альтернатив или набора ее отдельных подмножеств на порядковой или лингвистической шкале порождает

систему линейных неравенств С^ ' 1 > 0 в пространстве полезно-

стей альтернатив и

с{!)гь>о, г=1,2,

(5)

в пространстве коэффициентов. Здесь Ъ - регрессионная матрица выборки с элементами матрица, определяющая

структуру неравенств (например, при ранжировании на порядковой шкале ее элементы равны +1 или -1). Если предположить, что экспертные оценки полезности альтернатив случайны и имеют совместную плотность - вектор параметров

распределения, то по результатам экспертизы можно составить

функцию правдоподобия

7 I

И]!

(6)

где п - число экспертов; пг - число экспертов, выбравших г-й вариант упорядочивания; - вероятность этого варианта,

РГФ)= Ог = {/еЕт сН>0}.

(7)

А-

Приняв допущение, что оценки независимы, нормально рас-

пределены и, вследствие одинаковой компетентности экспертов, имеют одинаковую дисперсию О", получаем, что

математическое ожидание полезности альтернативы выборки. С помощью замены

переменных можно исключить параметр понизить кратность интеграла (7), а также свести область интегрирования к мерному параллелепипеду. Автором разработана программа максимизации функции (6) и идентификации ФП, в которой для вычисления интегралов (7) используется прямая степень квадратурной формулы Гаусса. Программа успешно решает данную задачу при

В работе показано, что необходимым условием существования конечных ММП-оценок коэффициентов ФП и параметра а является противоречивость мнений экспертов и, как следствие, пустота области 0 = Г\0Г. Достаточное условие единственности этих оценок определяется следующим утверждением.

Терема 3.3. Если при экспертном сравнении непересекающихся пар альтернатив

1) экспертные оценки независимы и распределены нормально;

2) существует конечная точка максимума функции правдоподобия;

3) гапк(С7) = к, где к - число коэффициентов ФП,

то ММП-оценка вектора коэффициентов ФП и ст единственна.

Далее в главе 3 рассматривается построение модели 5 при групповой экспертизе на числовой шкале (шкале отношений).

Эксперименты показали, что, в отличие от случая оценки какой-либо величины объективными методами (например, измерительным прибором), каждый эксперт, в соответствие со своими предпочтениями, может выбрать собственный диапазон варьирования оценки полезности альтернатив. В этих условиях в работе предлагаются два способа поиска оценок коэффициентов ФП.

1. В классе линейных несмещенных статистических оценок Доказано, что вектор эффективных оценок вычисляется по формуле

Ь°=НгТ2)~]гТЖ¥е, п

где Ъ- как и раньше, регрессионная матрица; У- матрица экс-

1 Т I

пертных оценок размера

т

2. Поиск ММП-оценок в предположении, что результаты экспертизы (элементы У) независимы и нормально распределены. Доказано, что в этом случае имеет место выражение

где - вектор масштабных коэффициентов результатов экспертизы, индивидуальных для каждого эксперта. Его оценка представляет собой собственный вектор матрицы соответствующий максимальному собственному значению.

Также исследованы асимптотические свойства полеченных оценок. Доказано, что при и сильной регулярности мат-

рицы найденные ММП-оценки строго состоятельны, а, следо-

вательно - асимптотически нормальны.

В заключение третьей главы приводится пример использования модели 5 для описания свойств смесей и поиска оптимальной рецептуры многокомпонентных напитков.

В четвертой главе рассматриваются модели выбора, основанные на механизме блокировки (модели 6, 7). Пусть В - множество допустимых векторов коэффициентов ФП. На множестве альтернатив вводится бинарное отношение ЩВ):

(8)

Теорема 4.1. Отношение Я(В) асимметрично и транзитивно. На основании построенного отношения вводится функция

выбора основанная на механизме блокировки:

| УуеХ {у,х)£11}.

Асимметричное, транзитивное отношение (качественный

порядок) определяет класс ФВ, обладающих следующими свойствами :

- выбор не пуст;

- ФВ обладает фундаментальными свойствами наследования (Ы), отбрасывания (О), согласия (С).

Теорема 4.2. Пусть на альтернативе х б X достигается максимум истинной ФП. Тогда х сохраняется в выборе С (X).

Влияние на выбор более жестких ограничений, в частности, порожденных применением лингвистической шкалы, определяется следующими утверждениями.

Теорема 4.3. Пусть В\. В-> с Л , В\ с В2 - два множества с непустой относительной внутренностью, а - бинарные от-

ношения на множестве X, порожденные В\ и В2, соответственно,

согласно (8). Тогда С^' (X) с С^- (X), а из строгого включения

следует строгое же включение Теорема 4.4. Для сужения выбора при использовании лин-

гвистической шкалы необходимо, чтобы в обучающей выборке были хотя бы две пары альтернатив из различных классов силы превосходства.

Далее рассматриваются вопросы определения набора базисных функций /и для построения нелинейной ФП. Показано, что удовлетворительный выбор может быть получен при таком наборе /и, когда образ множества Xв пространстве значений базисных функций принадлежит выпуклой поверхности.

В пятой главе описывается новый класс численных методов решения задач первого этапа МС - алгоритмы циклического выбора. Также предлагаются два метода этого класса для поиска технологических маршрутов ТС, оптимальных по отношению предпочтения.

Определение 5.1. Алгоритмом циклического выбора (АЦВ) будем называть метод многокритериальной оптимизации, представляющий собой совокупность двух процедур, работающих поочередно: генератора и функции выбора (ФВ). Генератор на

каждой итерации порождает набор точек , а ФВ осуществляет отбор в некотором смысле лучших из них по правилу:

Пусть X - конечное множество возможных решений. Предложенная схема корректна и эффективна (с точки зрения вычислительной сложности), если выполнены следующие условия.

1. Ассоциативность выбора:

2. Результативность генерации: С(Х) С []2.

3. Эффективность перебора:

В работе показано, что соотношение (9) имеет место в том и только в том случае, когда ФВ обладает свойствами наследования и отбрасывания. Названными свойствами обладают ФВ, основанные на механизмах доминирования и блокировки по отношению качественного порядка (частный случай - отношение Парето), а также механизме совокупно-экстремального выбора и выбора К

альтернатив, 1учши\ по скалярному критерию Таким образом, класс АЦВ существенно шире набора известных последовательных методов в которых, главным образом, используется выбор по Парето

Структуру 1 С, не содержащей разветвлений и циклов материальных потоков, можно описать в виде ациклического графа с заданными на его дугах векторными весами, а проблему выбора технологического маршрута свести к поиску пути на графе

Пусть каждая дуга [н, V] графа О = (V, Е) с п вершинами снабжена векторным весом А [г/, V], вес произвольного пути равен сумме весов составляющих дуг, и на множестве весов дуг и путей задано бинарное отношение предпочтения Я Сделаем следующие предположения

1 Граф не содержит кратных

2 Вес тюбого контура доминируется нулевым вектором

3 Отношение Я гранзитивно, асимметрично и не зависит от смещения Последнее свойство означает, что для любой пары (л, )) и вектора а отношения хЯу и {х + а) К (у ^ а) эквиваленты

Обозначим - множество векторных весов возмож-

ных путей из начальной вершины (источника) \ в вершину V, - список вершин графа, предшествующих вершине Для поиска путей из \ в /, недоминируемых по отношению Я (Я-оптимальных путей) предлагается следующий алгоритм 5 1, принадлежащий классу и являющийся обобщением на векюр-ный случай известного ^алгоритма Форда-Беллмана

Корректность алгоритма доказывает следующая теорема

Теорема 5.1. Ьсли граф О и бинарное отношение Я удовлетворяют предположениям 1 - 3, то множество решений полученных алгоритмом 5 1, совпадает с множеством Я-оптимальных путей графа

Более простой алгоритм, содержащий на один цикл меньше, чем алгоритм 5.1, разработан для поиска Я-оптимальных путей в бесконтурном графе. Его корректность также строго доказана.

В заключение главы приводится пример использования одного из алгоритмов в моделировании раскроя лесоматериалов.

В шестой главе рассматривается возможность применения описанных алгоритмов для моделирования ТС большой размерности и сложной структуры.

Теоретическая оценка вычислительной сложности алгоритмов, описанных в пятой главе, показывает, что она примерно в 2

|С(Л')| раз превосходит сложность скалярных прототипов. Таким образом, при поиске оптимальных путей на графах большой размерности затраты вычислительных ресурсов могут быть очень большими. Подобный недостаток может быть преодолен посредством усиления избирательности выбора на каждой итерации.

В главе 3 было показано, что отношение Я(Б), построенное согласно (8), обладает свойствами асимметричности и транзитивности. Если выбрать линейную ФП, то Я(Б) будет обладать свойством независимости от смещения. Следовательно, для Я(Б) полностью выполнится предположение 3 теоремы 5.1. Таким образом, для усиления отсева необходимо организовать обучающую выборку нехудших альтернатив (путей), например, посредством применения алгоритма линейной свертки со случайными весами. Далее надо провести экспертное ранжирование полученного набора альтернатив и применить модель выбора № 6 или 7.

Существует много ТС, структура которых состоит не только из цепочки последовательно выполняемых операций, но и содержит разветвления и возвраты технологических потоков. Оптимальное решение, соответственно, содержит в своем составе разветвление и/или контур. Согласно известному принципу оптимальности Беллмана, каждый участок оптимальной траектории также оптимален. В работе дается обобщение этого принципа на случай бинарного отношения предпочтения на множестве векторных оценок.

Теорема 6.1. Пусть на ребрах графа заданы векторные веса, а на множестве весов определено отношение предпочтения Я, обладающее свойствами асимметричности, транзитивности и не-

зависимости от смещения. Тогда каждый участок R-оптимальной траектории также R-оптимален.

Это означает, что при разбиении всей траектории на фрагменты, эффективность отдельных участков является необходимым условием эффективности интегрального решения. Предлагается метод построения оптимальных технологических маршрутов ТС произвольной структуры, состоящий из следующих шагов.

1. Декомпозиция графовой модели. Предлагается разбить граф, описывающий структуру такой ТС, на ациклические подграфы с целью решения локальных задач оптимизации на этих подграфах и формирования интегральных решений. Границами полученных подграфов служат вершины разветвления и возврата материальных потоков.

2. Поиск множества эффективных путей на подграфах и формирование интегральных решений - объединение найденных путей с учетом связей и ограничений, обеспечивающих целостность ТС. В соответствие с обобщенным принципом оптимальности Беллмана, именно среди композиционных вариантов надо искать оптимальные маршруты.

Предлагаемые модели и алгоритмы были апробированы на примере оптимизации функционирования кристаллизационного отделения производства сахара-песка на АООТ "Сахарный завод "Балашовский". По результатам решения задачи получен акт о внедрении.

В седьмой главе рассматривается возможность применения АЦВ для поиска эффективных решений задачи непрерывной многокритериальной оптимизации:

min | xeD}, (10)

где у(.г) - вектор-функция, определяющая отображение

Численные методы построения множества неулучшаемых решений можно разбить на две группы. Процедуры первой группы осуществляют поочередный поиск отдельных точек, как решений вспомогательных скалярных задач. Методы второй группы обеспечивают аппроксимацию множества нехудших оценок в целом. АЦВ относятся ко второй группе. Проигрывая по точно-

сти методам первой группы, они лучше приспособлены для решения сложных задач с негладкими, многоэкстремальными и даже разрывными критериями.

Изложенные в главе 5 условия корректности применения АЦВ, в случае непрерывных задач изменяются. В частности, показано, что результативность генерации необходимо заменить условием сходимости по Хаусдорфу в пространстве решений или в пространстве оценок.

Далее исследуется сходимость различных АЦВ, отличающихся механизмом выбора на итерациях. Сделаем допущения, что множество решений D ограничено и удовлетворяет условию:

критериальные функции непрерывны, а генератор допускает для любого подмножества . с непустой внутренностью сущест-

вование такого номера п = п(А), что из п сгенерированных точек, по крайней мере, одна принадлежитА.

Обозначим: Vn с V- множество оценок, построенное генератором за л итераций;

Gy(x) = {/ е D j (y(t),y(x)) e Par} - верхний срез отношения Парето в точке х е D при критериях у,{х)\

d[A,B] = suv{p{a,B) |яе А}- отклонение множества А от множества В;

h [А, Л] - шах { d [А,В\, d [В, А] } - расстояние Хаусдорфа между множествами А и 5;

Р{А), S(A) (Ру(В), Sy(B)) - совокупность точек Парето и Слейтера множества А с V (множества В с D при критериях

Сходимость АЦВ в пространстве оценок определяется следующим утверждением.

Теорема 7.1. Пусть множество D критериальные функции и генератор обладают указанными выше свойствами. Тогда при использовании ATTR с вьтбопом по Папето

1° для любой точки zeP(V) p(z,P(Vn))-> 0 при л-»со;

2° если P(V) замкнуто, то d[P{V\P{Vn)] -> 0;

31) если, кроме того, ¡гйС^Дл;) * 0 для любого хеО, тако-

Также доказано, что при условии инъективности отображения у, аналогичная теорема 7.2 справедлива для пространства решений, а выполнение условия приведенных теорем определяется следующим утверждением.

Теорема 7.4. Пусть множество О и генератор обладают указанными выше свойствами. Тогда для того, чтобы для любого достаточно, чтобы

этим свойством обладали все точки множества

либо оно было пустым.

Далее рассматриваются алгоритмы, использующие более жесткий выбор на итерациях поиска. Первый, алгоритм 7.2, реализует механизм блокировки по бинарному отношению, верхний срез которого задается системой линейных нера-

венств

где А - некоторая прямоугольная матрица, которая может быть построена на основании априорных предположений, а также в результате применения МЭЭО. Поскольку данное отношение является отношением Парето в пространстве новых критериев связанных со старыми линейным преобразованием то схо-

димость алгоритма 7.2 определяется теоремой 7.1, применяемой к пространству критериев

Частный случай этого метода (алгоритм 7.3) строится на от-

ношении предпочтения Я вида:

Показано, что для него условия теорем 7.1 и 7.2 мо-

гут быть заменены требованием равномерной регулярности множества Парето. Тогда при любом а е [0, с), где с - константа ре-

гулярности, имеет место сходимость по Хаусдорфу.

Второй метод (алгоритм 7.4) использует совокупно-экстремальный выбор, т.е. отбирает точки, доставляющие минимум, по крайней мере, одной из функций некоторого набора

критериев g/. Данная ФВ также обладает свойствами H и О, а, следовательно, может быть использована на итерациях АЦВ. Обозначим

- множество точек, доставляющих минимум хотя бы одной из функций набора. Алгоритм 7.4 отбирает множество

Теорема 7.7. Пусть выполнено условие (11) и g, непрерывны. Тогда, при использовании алгоритма 7.4, d [T(Vn), T(V)] -> О, когда п —> со. Если, кроме того, минимум каждой функции достигается в единственной точке на

Функции gi могут быть следующих видов:

g[( р, у) = max X,у, + У] + /; g\(р, v) = тах А + у + г, I , ! К.

7 J (13)

El ( Р, jO = тах (у, - X, ) + р£ у + /;

yeV; X е Л; Р > 0. Если множество весов X конечно, то множество T(V), порожденное функциями g\, образует сеть на Р( V).

Алгоритм 7.4 сохраняет все достоинства методов второй группы и работает при негладких и многоэкстремальных критериях. По сравнению с традиционным использованием сверток (13) в методах первой группы, алгоритм 7.4 позволяет определять точки текущего минимума всех функций набора за один

просмотр сгенерированного множества что делает его значительно более экономным.

В восьмой главе исследуется применение методов первой группы для построения набора паретовских точек задачи (10). Известные численные методы основаны на весьма общих до-

пущениях о характере задачи. В силу этого, при заданном показателе е густоты сети на множестве Парето (максимальное расстояние между соседними узлами), они генерируют набор точек излишне большой мощности, что приводит к трате лишнего времени на оптимизацию. Преодоление этой проблемы возможно двумя способами:

- разумно ужесточить условия, и/или выбрать другое множество параметров, и за счет этого добиться уменьшения числа точек;

- если уменьшить число точек нельзя, то следует так упорядочить элементы сети параметров, чтобы расстояние между двумя соседними элементами последовательности было мало; тогда, при оптимизации скалярной свертки с очередным в качестве начального приближения надо брать результат предыдущего шага; число итераций при поиске каждой точки может сократиться.

В работе рассмотрены оба подхода. Опишем сначала второй.

Пусть Ь - непрерывное множество изменения параметров сверток. Часто в качестве Ь используется множество Л, задаваемое соотношением (2), а также более узкое множество

где а/, Рг - некоторые числа, зависящие от диапазона изменения критериев задачи.

Обозначим -сеть параметров,

(14)

где определяется допустимой погрешностью аппроксима-

ции. В общем случае упорядочение элементов Л^ - задача большой вычислительной сложности. Пусть - конечная сеть, координаты узлов которой кратны величине натуральное. При подходящем соотношении между множество может быть использовано в качестве

Обозначим / = р + т - 1 и К~ (К\,К.2,—,К.т_\), К\<К1<...< Кт_\ - некоторое сочетание из 1 объектов по (т - 1). Предлагается следующий способ получения набора весов

¿[Ь, Л5]<5

К0= 0; X,- ={КгК1А-\)1р, I ~ 1,..., т-\\

Теорема 8.1. Если К пробегает множество всех С™ ' сочетаний, то X, полученное по формулам (15), пробегает все множество Л(1 //>).

Известен метод (алгоритм 8.1), генерирующий сочетания К в лексикографическом порядке. Взяв его за основу, построим процедуру, позволяющую быстро получать упорядоченную последовательность элементов А{И) - алгоритм 8.2.

Определение 8.1. Последовательность векторов

12 к - I к к-II

,х ,...,х ,... назовем т-гладкои, если тах|х, -х, |<х для

I

всех к.

Обозначим С(А.|,...Д5) - список от-мерных векторов X, у которых первые л координат фиксированы и равны соответственно X ],...Д Назовем его списком л-го уровня. При использовании алгоритма 8.1 и формул (15) формируется список нижнего, (ш - 2)-го уровня, который содержит {т - 2) фиксированных компонент, а Хт_\ и Хт одновременно изменяются так, что постоянно соблюдается условие А.^ =1. Для получения Ь-

гладкой последовательности всех векторов X е Л(/?) С Л предлагается формировать списки (т - 2)-го уровня в соответствии с указанным правилом, а списки уровня строить по

рекуррентной формуле

Итоговый список нулевого уровня получается по формуле

Здесь символ " | " означает операцию слияния списков; С - список, полученный из О изменением порядка следования элементов

на обратный; G -С . если в (16)-(17) он стоит на четном месте и С = С , если на нечетном; Х^ - максимальное значение Х^ .

Теорема 8.2. Пусть список G векторов X образован с помощью формул (15) - (17), а сочетания К получены посредством алгоритма 8.1. Тогда элементы G образуют И-гладкую последовательность.

При модификации, выраженной в замене переменных, алгоритм 8.2 может строить И-гладкую последовательность также на

В обоих случаях свойство построенной сети определяется след)ющим утверждением.

Теорема 8.4. Если при заданном 5 выбрать И <--8, то

любая точка будет удалена от ближайшего узла

не более, чем на 8, в метрике Чебышева.

Следовательно, А{И) можно использовать в качестве Л^.

Очевидно, упорядочение множества А(Н) даст положительный эффект лишь в том случае, когда отображение или хотя бы непрерывно, т.е. когда малое варьирование параметра Х & А приводит к малому изменению координат оптимальной точки по аргументу или по функционалу. Исследуем условия непрерывности таких отображений при произвольной структуре множества параметров L и любой из применяемых сверток критериев: линейной

и логических (13) при

Определение 8.2. Будем говорить, что функция _Ддг) векторного аргумента возрастает по отношению " < " (" < "), если для любых и, V, таких, что и1 < для всех г (и1 < V, для всех г и и I < 1 > I хотя бы для одного у) выполняется^) <Дг).

Пусть ф(Х,у) - произвольная функция, определенная и непрерывная на произведении £хК и при любом X возрастающая по отношению " < " на V (очевидно, что рассматриваемые сверт-

ки обладают этим свойством). Обозначим Y (Х)сУ- множество

глобальных минимумов функции ф(Х,у). Как известно, если

*

ф(Л,у) обладает упомянутым свойством, то Y (X) включено в множество слабо-эффективных оценок. Достаточным условием

О *

оптимальности по Парето точки у е Y (X) является равенство

у0 =argmm{o)(»| >• е Г*(Л.)}, (18)

где (üOO-любая функция, возрастающая по отношению " <

Определим на V ФВ (?(•), которая на каждом предъявлении

*

Y (X) осуществляет выбор единственной Парето-оптимальной точки. Например, выбор может быть реализован посредством соотношения (18) и некоторых дополнительных условий, если (18)

недостаточно для однозначной идентификации. Таким образом,

*

можно построить отображение f. L->V, уи{Х) - C(Y (X)), которое каждому X е L ставит в соответствие единственную точку * _

Х(А,)е F (А.) П Р(У)- Непрерывность отображения х определяется следующей теоремой.

Теорема 8.5. Пусть V<zEm- компакт, а функция ср(Х,у)

определена и непрерывна на произведении LxV и при любом X возрастает по отношению " < " на V. Тогда %(Х) непрерывно в ,0

точке/. , если

{1(X°)} = Y*(X°){)[P(V)}- 09)

На основании теоремы 8.5 были определены специальные условия непрерывности для линейной и логических сверток.

Исследование непрерывности х(X) в случае нарушения (19) потребует рассмотрения ФВ со специальными свойствами.

Определение 8.3. Будем говорить, что ФВ С(*) непрерывна на предъявлении X, если для любых множеств А, В сХ и любого г > 0 найдется такое 8 > 0, что из h [А, В] < 8 следует h[C{A),C{B)}<t.

Теорема 8.6. Пусть выполнены следующие условия:

1 Множество V замкнуто и ограниченно

2 гр(Х,)) при любом А. возрастает по отношению "< " на V

3 При любом Leb ФВ С(») непрерывна на предъявлении

Y (к) и обладас! свойством отбрасывания

* ^

4 Многозначное отображение Y (к) П [^(I7)] непрерывно по Хаусдорфу при } = кй

Тогда х(Х) непрерывно при к - к0

Рассчофим логические свертки (13) при ß = 0 Представим

и\ в >инфицированном виде ф(/, i) = ) ) = тах£Дг ), где

i

выражение ^(Л,,, у,), определяющее конкретную формулу из (13), наювем моделью свертки Каждая модель определяет отображение ц P(V) —> Л , в определенном смысле, обратное %(А,), и обладающее следующим свойством если к = q()), то для всех i значение сД, 1,) постоянно и равно ф(с/()), у) Например, для

Ф (Л,i) = £^'(0 )) имеем

Ч,Ь) = У,—

т

{ \

v J

Из теоремы 8 5 вытекает условие непрерывности отображение х для логических сверток

Теорема 8.9. Пусть V замкнуто и ф(А,, у) - любая из сверток £¿(0,1 >) Тогда огображение % непрерывно в любой точке Л° £</(/>(К))

Для уменьшения числа точек, аппроксимирующих множество Парето, рассматрим множество весов к, заданное условием

1 = 1 = \кеЕ"' | 0<а<А., <р, / = 1. т\ гтпА,, = а|

Основной особенностью такой параметризации является возможность независимого варьирования каждого коэффициента к, при фиксированных остальных компонентах весовых векторов

Пус1ь л" е Г- произвольный весовой вектор и е - показатель густоты сети

Теорема 8.10. Пусть множество V замкнуто и для отображения х : Г -» V условие (19) справедливо для всех X лежащих в

5-окрестности Х^ при некотором 5 > 0. Пусть м' = . логическая свертка ф(X, у) убывает по Х-, и для любого / выполняется неравенство

^(Л?, и-,-) < о(Л.°,< -6, иу) - (20)

Пусть также для любого X в точке у~х{Х) справедливы условия

Тогда существует вес X, отличающийся от X одной коорди-

<е.

натой (= Х® ±5), что

Для свертки ф(Х, у) = , возрастающей по Хь неравен-

ства (20), (21) надо заменить на противоположные.

Выполнения неравенств (20) можно добиться в любом случае за счет одновременного увеличения или уменьшения координат весов. Опишем алгоритм построения сети, соответствующей условию (21). В нем 8 - шаг изменения координат весовых векторов X на Г, который, вообще говоря, зависит от текущего X (т.е. имеет иной смысл, чем в (14)).

Пусть для всех /=1, ... ,т значения критериев удовлетворяют неравенству 0 < а < у, < Ь, а весов - а < X, < (3. Пусть задано

некоторое £. Тогда для свертки ^^(0,у)при согласованности диапазонов весов и критериев, которое выражается равенством Ь - а = Р - а, условие (21) выполняется при постоянном значении Ь-ф-а)/к, где к - наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству

к (22)

г

I 2

При использовании сверток и £>(0, у), условие со-

гласованности диапазонов имеет вид Ьа = а |3. Зафиксируем все координаты вектора X, кроме одной - X,-. Тогда соотношение (21) при переменном шаге 5 = 8(А.) будет выполняться при следующих значениях X,

гдек- минимальное целое, удовлетворяющее неравенству

'"(а/р) 1п(1 -е/Ь) '

Например, при а = а = 0.5; (3= Ь- 1; £ = 0.1 имеем:

То есть, получим следующий набор весовых коэффициентов:

л? = 1; Х\ = 0.905724; X." = 0.820336;...; Х^ = 0.552045; х] = 0.5 .

Таким образом, построена одномерная сеть на отрезке [а, ß]. Для построения сети на всем множестве Г необходимо наложить полученную одномерную сеть на (т - 1)-мерные грани куба

[а, ß]'", для которых min X, - а, в соответствии с найденными значениями X't по каждой координате. Несложно убедиться, что

»г ,1 л\ т I т I

число узлов сети равно N = (к + 1) -к , где к определяется (22) или (23). в зависимости от используемой свертки.

Описанные в работе методы, как и практически все известные алгоритмы аппроксимации множества Парето, основанные на скаляризации, используют ограничительную оценку эффективного множества в виде w-мерного куба [>'{Tlin;>']rnax]x --•

х[уГ;уГЬ которая может быть весьма грубой, поскольку P(V) часто заполняет незначительную часть куба. Следовательно, при параметризации большая доля решений будет дублироваться, что приведет к напрасной грате машинного времени.

к = 1 > In0.5/in0.9 = 6.58; Ц =(0.5)jn.

Поэтому в работе предложен алгоритм построения сети параметров, который, используя свойство множества Г, адаптируется к истинным границам множества Парето и сводит дублирование к минимуму. В этом методе процессы построения сети параметров и оптимизация сформированных сверток происходит параллельно. Если при очередном значении А. не находится новая паретовская точка, порядок варьирования компонент весовых векторов изменяется.

В девятой главе описывается методика реализации первого этапа МС, содержащая четыре фазы: зондирование, локализация, оптимизация, фильтрация.

Назначение зондирования состоит в анализе структуры множества Парето на основании расчетов, проводимых на наборе

приближенно эффективных точек, найденных посредством АЦВ с паретовским выбором. В состав фазы, в частности входят следующие задачи.

1. Вычисление диапазона изменения каждого критерия на множестве Парето и оценка константы регулярности каждой альтернативы. Эти данные позволят на стадии локализации сформировать дополнительные ограничения, а на стадии оптимизации - определить параметры сети, аппроксимирующей множество Парето.

2. Выделение критериев, реально конфликтующих на множестве эффективных точек. Одним из методов решения этой задачи является статистический анализ набора

Пусть Р(А/В) - условная вероятность события А при условии

В.

Определение 9.1. Пусть возрастание случайных величин желательно для ЛПР. Тогда между случайными величинами X и

У наблюдается конфликт. если для любой паоы независимых реализаций (А"], У{) и (Х2,У2) случайного вектора (X К) выполняется соотношение

Р [(X, < х2)/(г, < У2)] < Р [(X, < Х2)/()2 < Г,)]

Теорема 9.1. Две случайных нормально распределенных величины конфликтуют тогда и только тогда, когда их парный коэффициент корреляции строго отрицателен.

Для выявления конфликта при числе критериев больше двух предлагается более сложный метод, связанный с проверкой наличия выпуклой зависимости между несколькими критериями.

На фазе локализации происходит исключение неконфликтующих критериев, сужение множества Б путем наложения критериальных ограничений в соответствие с мнением ЛПР о допустимых худших значениях каждого критерия, либо переходом к новым критериям связанных со старыми линейным

преобразованием д = Ау. Матрица А определяет верхний срез отношения предпочтения в соответствии с (12).

На фазе оптимизации происходит непосредственное построение конечного набора точек, аппроксимирующего множество Парето. При этом АЦВ рекомендуется применять в случае сложной структуры критериев (например, негладкость или мно-гоэкстремальность) или области допустимых решений (например, невыггуклость или многосвязность) или, наконец, при наличии большой вычислительной погрешности (например, при использовании имитации для вычисления параметров моделируемой системы). Для достижения приемлемой точности следует применять АЦВ с достаточно большим числом реализаций, и наиболее подходящим будет алгоритм с совокупно-экстремальным выбором,

При благоприятных условиях более оправдано применение поточечных методов, поскольку они лучше по точности и достаточно экономичны.

После выполнения фазы оптимизации возможно получение совпадающих или очень близких точек в пространстве критериев. Это весьма затрудняет построение обучающей выборки для экспертизы на втором этапе МС. Значит, после нахождения аппроксимирующего набора эффективных точек, может возникнуть необходимость его фильтрации.

В работе доказано, что в общем случае к задаче оптимальной фильтрации, т.е. построения набора максимально удаленных друг от друга точек, полиномиально сводится NР-полная задача нахождения максимального независимого множества графа. Значит, задача фильтрации также является ЫР-полнои и, по всей видимости, не имеет эффективного алгоритма точного решения. Для того, чтобы все же решить эту задачу, предлагаются следующие способы

- при небольшой мощности исходного набора эффективных точек задача может быть решена точно с использованием известных методов построения максимального независимого множества на графе, например, с помощью алгоритма Брона-Кэрбоша, относящегося к классу алгоритмов с возвратом;

- при наличии только двух критериев задачи векторной оптимизации, точная оптимальная фильтрация, как доказано в работе, может быть произведена упрощенным вариантом алгоритма Брона-Кэрбоша (без обратного хода) сложности 0( Щ')',

- при большой мощности набора и числе критериев больше двух предлагается приближенный алгоритм фильтрации сложности 0( Примененная в нем эвристика имеет математическое обоснование, а эффективность подтверждена многочисленными вычислительными экспериментами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана единая методология, позволяющая совместно решать проблемы построения набора эффективных точек задачи многокритериальной оптимизации и выбора на построенном множестве, вследствие чего повышается качество решения.

2. Проведены теоретические исследования по обоснованию моделей выбора, корректности методов их построения на основе экстраполяции экспертных оценок, условиям существования и единственности получаемых решений, свойствам статистических оценок, сходимости применяемых итерационных процедур.

3. Предложена система из семи моделей, позволяющих проводить выбор при различных сочетаниях следующих факторов:

- порядковая, числовая и лингвистическая шкала оценивания альтернатив;

- индивидуальная и групповая экспертиза;

- механизм выбора: скалярно-оптимзационный и блокировки.

4. Теоретически обоснованы и разработаны три метода непрерывной векторной оптимизации - алгоритмы циклического выбора, обладающие большей эффективностью, чем известные алгоритмы аналогичного типа, реализующие отбор вариантов по Парето.

5. Получено обобщение принципа оптимальности Беллмана на случай бинарного отношения предпочтения на множестве век-

торных оценок. С его помощью разработаны и теоретически обоснованы два алгоритма поиска на графах неулучшаемых путей, позволяющих точно решать задачи структурно-параметрической оптимизации ТС, не содержащих разветвлений и циклов.

6. Разработана четырехэтапная методика аппроксимации множества Парето, позволяющая эффективно решить задачу при различных условиях.

7. Найдены достаточные условия непрерывности Парето-отимальных решений по параметрам свертки критериев, которые позволили теоретически обосновать два эффективных метода аппроксимации множества Парето. Эффективность первого алгоритма обусловлена меньшим, чем у аналогов количеством узлов, необходимых для достижения заданной точности аппроксимации, а также наличием средств адаптации к погрешности оценки границ множества неулучшаемых точек. Второй метод позволяет быстро упорядочить набор параметров свертки критериев и уменьшить время оптимизации за счет рационального подбора начальных приближений при решении каждой скалярной задачи.

8. Доказана теорема о необходимом и достаточном условии конфликта двух случайных величин, позволяющая выявить пары конфликтующих критериев по имеющемуся множеству их реализаций и повысить эффективность методов решения оптимизационной задачи за счет исключения неконфликтующих критериев.

9. Доказана КР-полнота задачи оптимальной фильтрации произвольного конечного множества; создан эффективный приближенный метод фильтрации точек множества Парето, необходимость которого обоснована данной теоремой.

10. Предложены модификации известных численных методов непрерывной оптимизации, повышающие их эффективность и надежность.

11. Создан метод декомпозиции графовых моделей ТС сложной структуры, позволяющий использовать для их оптимизации эффективные алгоритмы поиска нехудших путей на графах. Также разработан метод синтеза интегральных решений из полученных фрагментов.

12. Разработано программное обеспечение, реализующее построенные модели и численные методы.

13. Достоверность и полнота результатов исследований подтверждена численными экспериментами, а также их реализацией на примерах решения практически-значимых задач лесной, деревообрабатывающей, пищевой промышленности, и маркетинговых исследований в машиностроительной отрасли. Результаты решения задачи оптимизации функционирования кристаллизационного отделения производства сахара внедрены на АООТ "Сахарный завод "Балашовский". Элементы разработанного программного обеспечения внедрены в учебный процесс четырех ВУЗов РФ.

Основные публикации по теме диссертации (в скобках отмечен личный вклад автора).

Список работ, опубликованных в ведущих научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Математическое моделирование процесса оптимального раскроя пиловочного сырья [Текст] / В. С. Петровский, Буй Зинь, Ю. В. Бугаев. Т. И. Сомова // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 1982. № 6. С. 117-119. (Разработка алгоритма оптимизации).

2. Бугаев, Ю. В. Математическая модель раскроя лесоматериалов, максимизирующая количество комплектов продукции [Текст] / Ю. В. Бугаев, С. Ю. Кузнецов // Деревообрабатывающая промышленность. 1990. № 12. С. 20 21 (Построение модели раскроя).

3. Бугаев, Ю. В. О влиянии длины раскраиваемых пиломатериалов на распределение протяженности бездефектных участков [Текст] / Ю. В. Бугаев, С. Ю. Кузнецов // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 1992. № 3. С. 83-86. (Построение и анализ модели процесса раскроя).

4. Бугаев, Ю. В. Имитационная модель прогнозирования характеристик продукции раскроя при глубокой переработке древесины [Текст] / Ю. В. Бугаев // Изв. ВУЗов. Лесной журнал 1997. №4. С. 115-119.

5. Бугаев, Ю. В. Применение прямого обобщения скалярных алгоритмов в векторной оптимизации на графах [Текст] /10. В. Бугаев // Дискретная математика. Т. 13. Вып. 3. 2001. С. 110 -124.

6. Бугаев, Ю. В. Применение векторной оптимизации на графах для моделирования раскроя лесоматериалов [Текст] / Ю В.

B. Бугаев // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 2001. № 3. С. 84 - 87.

7. Перелыгин, В. М. Построение модели свойств многокомпонентной смеси по результатам экспертного оценивания альтернатив [Текст] / В. М. Перелыгин, Ю. В. Бугаев, Т. В. Мастюкова // Изв. ВУЗов. Пищевая технология. 2001. № 1. С. 57 -59. (Разработка метода обработки экспертных оценок).

8. Бугаев, Ю. В. Алгоритм бисекции в экстраполяции экспертных оценок [Текст] / Ю. В. Бугаев // Экономика и математические методы. 2002. Т. 38. № 3. С. 121 - 125.

9. Бугаев, Ю. В. Экстраполяция экспертных оценок в оптимизации технологических систем [Текст] / Ю. В. Бугаев // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 90 -96.

10. Бугаев, Ю. В. Построение сети на множестве Парето [Текст] / Ю. В. Бугаев // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. 2004. № 1.С. 82-87.

Монографии, брошюры

11. САПР. Типовые структуры базовых программно-методических комплексов оценки проектных вариантов поточных линий [Текст] / В. В. Сысоев, М. С. Чирко, Ю. В. Бугаев и др. М: Госстандарт СССР ВНИИНМАШ, 1987. 92 с. (Разработка алгоритмов и программного обеспечения).

12. Модели выбора недоминируемых вариантов в численных схемах многокритериальной оптимизации [Текст] / С. В. Белокуров, Ю. В. Бугаев, С. А. Максина и др. Воронеж: изд-во "Научная книга", 2005. 199 с. (Создание методологии и доказательство основных утверждений).

Список работ, опубликованных в сборниках статей и депонированные статьи

13. Бугаев, Ю. В. Систематика моделей раскроя лесоматериалов в технологии переработки древесины [Текст] / Ю. В. Бугаев, В. С. Петровский // Технология и оборудование деревообр. производств: межвуз. сб. науч. тр. Л., 1987. Вып. 16. С. 14 - 19. (Создание структуры системы моделей).

14. Бугаев, Ю. В. Вероятностная оценка спецификационного выхода сортиментов при раскрое хлыстов [Текст] / Ю. В. Бугаев,

C. Ю. Кузнецов // Деп. в ВНИШЭИлеспроме № 2524. Опубл. в

БУ ВИНИТИ № 11 1989 9 с (Создание метода оценки специ-фикационного выхода)

15 Бугаев, Ю В О методах построения равномерной сети Парето-оптимальных решений задачи векторной оптимизации [Текст] / Ю В Бугаев // Выбор и принятие решений в САПР межвуз сб науч тр Воронеж ВПИ, 1989 С 111-116

16 Бугаев, Ю В Косвенный метод анализа экстремальных свойств параметров недетерминированных систем [Текст] / Ю В Бугаев // Математическое моделирование в САПР и АСУ межвуз сб науч тр Воронеж ВТИ. 1991 С 66-68

17 Бугаев, Ю В Метод отбора эффективных схем при оптимизации раскроя лесоматериалов [Текст] / Ю В ВуаеВ // Технология и оборудование деревообр проиводств межвуз сб науч тр СПб,1992 Вып21 С 19-24

18 Бугаев, Ю В Построение процедур принятия решения методом экстраполяции экспертных оценок [Текст] / Ю В Бугаев, С В Белокуров // Математическое моделирование технологических систем межвуз сб науч тр Воронеж ВГТА, 1997 Вып 2 С 150-155 (Разработка процедур принятия решении)

19 Бугаев, Ю В К вопросу о вероятностном конфтикге [Текст]/Ю В Бугаев//Информационные технологии и и системы науч издание МАИ Воронежское отд Воронеж, 1998 Вып 2 ( 115-119

20 Бугаев, Ю В Векторный вариант алгоритма Форда-Беллмана [Текст] / Ю В Бугаев, В В Сысоев // Искусственный интеллект в технич системах сб науч тр М ГосИФТП, 1999 Вып 19 С 33 - 41 (Разработка алгоритма и доказательство ею корректности)

21 Бугаев, Ю В Эффективный алгоритм структурной оптимизации технологических систем [Текст] / Ю В Бугаев В В Сысоев, С В Чикунов // Нелинейные явления в открытых системах сб науч тр М ГосИФТП, 1999 Вып 10 С 77-86 (Обоснование алгоритма)

22 Бугаев, Ю В Алгоритм поиска оптимальных путей в бесконтурном графе [Текст] / Ю В Бугаев, С В Чикунов // Математическое моделирование технологических систем межвуз сб науч тр Воронеж ВГТА, 1999 Вып 3 С 58-61 (Разработка алгоритма)

23. Сысоев, В. В. Экстраполяция нечетких экспертных оценок [Текст] / В. В. Сысоев, Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Искусственный интеллект в технических системах: сб. науч. тр. М: ГосИФТП, 2000. Вып. 21. С. 13 - 19. (Доказательство основных утверждений).

24. Бугаев, Ю. В. Об одном методе отбора эффективных решений на итерациях поиска [Текст] / Ю. В. Бугаев // Матема-тич. моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2000. Вып. 4. С. 211 - 215.

25. Сысоев, В. В. Построение модели выбора по результатам группового экспертного оценивания альтернатив на шкале отношений [Текст] / В. В. Сысоев, Ю. В. Бугаев // Искусственный интеллект в технических системах: сб. науч. тр. М.: ГосИФТП,

2001. Вып. 22. С. 55 - 66. (Доказательство основных утверждений).

26. Бугаев, Ю. В. Поиск робастой точечной оценки параметров функции полезности [Текст] / Ю. В. Бугаев // Информационные технологии и системы: науч. издание. Воронеж: ВГТА, 2001. Вып. 4. С. 42-45.

27. Математическая модель ресурсного взаимодействия молочнокислых бактерий и дрожжей в жидкой ржаной закваске [Текст] / О. А. Лукинова, Н. М. Дерканосова, Н. Д. Писаренко, 10. В. Бугаев // Математическое моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА,

2002. Вып. 5. С. 116-119. (Разработка метода оптимизации).

28. Бугаев, Ю. В. Конечная аппроксимация множества Паре-то [Текст] / Ю. В. Бугаев, О. Л. Полушина // Математическое моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2003. Вып. 6. С. 160 - 162. (Создание принципа параметризации множества Парето).

Подписано в печать ¡9 С. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная.

1 арнитура Тайме. Ризография. Уел печ. л. 2,0. Тирах 100 экз. Заказ -5/ Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА)

Адрес академии и участка оперативной полиграфии:

05.1Z - 05.13

u «fi* tc 3

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ВЫБОР И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ- 13 РОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Модели и методы многокритериальной оптимиза- 13 ции, выбора и принятия решений.

1.2. Коллективный выбор

1.3. Нечеткость в задачах выбора

1.4. Метод экстраполяции экспертных оценок

1.5. Особенности решения дискретных задач поэтапного 49 выбора в технологических системах

1.6. Поиск неулучшаемых решений задач непрерывной 60 многокритериальной оптимизации в моделировании технологических систем.

1.7. Выводы. Цель и задачи исследования.

ГЛАВА 2. МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ

ОЦЕНОК. ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ВЫБОР. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ПО ВЕКТОРУ

2.1. Предпосылки построения системы моделей выбора 80 на основе МЭЭО.

2.2. Экспертиза на порядковой шкале. Алгоритм бисек

2.3. Экспертиза на лингвистической шкале

2.4. Приближенное нахождение сильной оценки коэффи- 91 циентов ФП

2.5. Получение случайных точек на множестве допусти- 98 мых оценок

2.6. Пример использования МЭЭО в маркетинговых ис- 100 следованиях

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ПО ВЕКТОРУ. КОЛЛЕК- 107 ТИВНЫЙ ВЫБОР

3.1. Групповая экспертиза на порядковой и лингвистиче- 107 ской шкалах

3.2. Вопросы существования и единственности решения

3.3. Групповая экспертиза на шкале отношений

3.4. Асимптотические свойства ММП-оценок коэффициентов.

3.5. Применение МЭЭО для моделирования свойств мно- 129 гокомпонентной смеси

Выводы по главе

ГЛАВА 4. МЕТОД ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ЭКСПЕРТНЫХ 134 ОЦЕНОК. ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ПО КОНУСУ

4.1. Модель выбора на основе экстраполяции по конусу

4.2. Экстраполяция по конусу на лингвистической шкале

4.3. Применение экстраполяции по конусу для получения 138 точечных оценок коэффициентов ФП.

4.4. Нелинейная функция полезности 141 Выводы по главе

ГЛАВА 5. ПОЭТАПНЫЙ ВЫБОР В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ 144 СИСТЕМАХ

5.1. Алгоритмы циклического выбора в дискретной оптимизации

5.2. Векторный вариант алгоритма Форда-Беллмана

5.3. Поиск эффективных путей в бесконтурном графе

5.4. Применение векторной оптимизации на графах для 157 моделирования раскроя лесоматериалов.

Выводы по главе

ГЛАВА 6. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ПОЭТАПНОГО 163 ВЫБОРА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТС БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ И СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

6.1. Обсуждение возможностей алгоритмов поиска R- 163 оптимальных путей

6.2. Вычислительные эксперименты по проверке алго- 167 ритмов поэтапного выбора

6.3. Системная модель многокритериального поэтапного 170 выбора решений в ТС сложной структуры

6.4. Модели декомпозиции графа и синтеза интегральных решений

6.5. Поэтапный выбор при оптимизации функционирова- 184 ния кристаллизационного отделения в производстве сахара

Выводы по главе

ГЛАВА 7. АЛГОРИТМЫ ЦИКЛИЧЕСКОГО ВЫБОРА В 195 НЕПРЕРЫВНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

7.1. Выбор по Парето

7.2. Ужесточение выбора. Регулярный случай.

7.3. Применение совокупно-экстремального выбора 212 Выводы по главе

ГЛАВА 8. МЕТОДЫ СКАЛЯРИЗАЦИИ В НЕПРЕРЫВНОЙ 218 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

8.1. Построение и упорядочение множества параметров

8.2. Свойство множества Л(/г)

8.3. Универсальные условия непрерывности эффектив- ^33 ных решений по параметру

8.4. Условия непрерывности для логических сверток ^

8.5. Свойства сети на множестве Г

8.6. Построение сети на множестве Г

Выводы по главе

ГЛАВА 9. ОПИСАНИЕ МЕТОДИКИ ПОИСКА МНОЖЕСТ- 256 ВА НЕУЛУЧШАЕМЫХ АЛЬТЕРНАТИВ

9.1. Зондирование и локализация

9.2. Оптимизация

9.3. Фильтрация множества Парето. Точное решение за

9.4. Фильтрация множества Парето. Приближенное ре- 281 шение задачи

Выводы по главе

Актуальность проблемы. Высокий уровень капиталовложений, необходимых при создании высокотехнологичных производств, требует эффективного использования средств, которое в первую очередь достигается за счет оптимизации структуры и параметров таких производств на основе применения новых информационных технологий (ИТ), и математического моделирования на базе современной вычислительной техники.

Особое место в этом комплексе задач занимают проблемы выбора и принятия решений, потребность в разрешении которых возникает на всем протяжении жизненного цикла любой, сколько-нибудь сложной системы. При этом процесс решения происходит в условиях ограничений, обусловленных спецификой функционирования системы: сложность математической модели, большое число рассматриваемых альтернативных вариантов, наличие вектора конфликтующих критериев, значительная неопределенность исходной информации. В этих условиях решающую роль должны сыграть модели и методы поддержки принятия решений, основанные на последних достижениях математического моделирования, векторной оптимизации и теории принятия решений.

Однако, многие существующие модели и методы недостаточно эффективны для решения столь сложных задач. Серьезным препятствием является также слабая связь между отдельными этапами решения общей задачи выбора. Вследствие этого возникают проблемные вопросы, связанные с разработкой единой методологии с позиций системного подхода, теоретическим обоснованием реализующих ее моделей и алгоритмов, модификацией существующих, а также разработкой новых методов и соответствующих программных продуктов.

Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетной НИР, № госрегистрации 01960007318 по теме № 1.6.2 "Моделирование, выбор и принятие решений в структурно-параметрическом представлении функционирования многоцелевых систем применительно к теории конфликта" (№ г/р 01.2001.16818).

Целью исследований является разработка методологии и научных основ, а также создание конкретных моделей выбора, обеспечивающих построение инструментальных средств в виде математического и программного обеспечения автоматизированных систем поддержки принятия решений при проектировании и оптимизации функционирования технологических систем.

Поставленная цель достигается посредством решения следующих задач.

1. Исследование и разработка моделей и методологии, позволяющих с единых позиций рассмотреть задачи непрерывной и дискретной векторной оптимизации и сужения множества эффективных альтернатив, как составные части единой задачи выбора.

2. Теоретическое обоснование метода экстраполяции экспертных оценок (МЭЭО), исследование вопросов существования и единственности решения задачи параметрического синтеза модели выбора и сходимости соответствующих итерационных процедур; разработка на этой основе конкретных методов синтеза моделей выбора.

3. Анализ различных условий применения МЭЭО в проектировании и оптимизации функционирования технологических систем (ТС); разработка на этой основе системы моделей выбора, соответствующих различным шкалам оценивания альтернатив, индивидуальной или групповой экспертизе, механизмам выбора, применяемым в построенных моделях.

4. Обоснование и разработка новых эффективных методов аппроксимации множества неулучшаемах решений задач дискретной и непрерывной многокритериальной оптимизации в структурном и параметрическом синтезе ТС.

5. Разработка методов декомпозиции моделей ТС сложной структуры, содержащих разветвления и циклы технологических потоков, позволяющих использовать эффективные алгоритмы поиска множества неулучшаемых технологических решений.

6. Создание программного обеспечения, реализующего модели и методы решения задач выбора.

7. Проведение вычислительных экспериментов и апробация программного обеспечения на решении практически значимых задач проектирования и оптимизации функционирования ТС.

Методы исследования. Выполненные исследования базируются на использовании аппарата теории графов, математического программирования, теории выбора и принятия решений, теории вероятностей и математической статистики. Общей методологической основой является системный подход.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Создана единая методология, объединяющая способы решения задач, возникающих на различных этапах и уровнях иерархии оптимизационного моделирования технологических систем.

2. Проведены теоретическое обоснование, разработка и исследование моделей выбора, расширяющих возможности известных аналогов за счет использования лингвистической и числовой шкал экспертного оценивания.

3. Выделен новый класс численных методов непрерывной и дискретной оптимизации - алгоритмы циклического выбора (АЦВ), получено общее необходимое и достаточное условие корректности отсева неудовлетворительных решений для всех процедур данного класса; на основе найденного условия разработаны три варианта АЦВ непрерывной оптимизации, использующие более эффективные механизмы выбора по сравнению с известными аналогами; доказана их сходимость по Хаусдорфу в пространствах оценок и решений.

4. Получено обобщение принципа оптимальности Беллмана на случай бинарного отношения предпочтения на множестве векторных оценок; на его основе разработаны два алгоритма поиска на графах произвольного вида всего множества путей, недоминируемых по отношению предпочтения.

5. Получены новые достаточные условия непрерывности Парето-оптимальных решений по параметрам свертки критериев; по сравнению с известными результатами, данные условия обладают меньшей жесткостью и большей универсальностью, т.к. применимы к различным сверткам и предусматривают случаи однозначных и многозначных отображений множества параметров на множество оценок.

6. Разработаны два метода параметризации непрерывной векторной оптимизационной задачи для произвольных вариантов логических сверток; первый использует сеть на ранее не применявшемся множестве параметров, и, вследствие этого, адаптируется к погрешностям оценок границ множества Парето; второй метод отличается возможностью быстрого упорядочения множества сгенерированных весов сверток для произвольного числа критериев и узлов сети, что дает сокращение количества итераций за счет рационального подбора начальных приближений при решении каждой скалярной задачи.

7. Предложено новое, более общее, определение конфликта случайных величин; получено его необходимое и достаточное условие при нормальном распределении величин.

8. Доказана М'-полнота задачи оптимальной фильтрации произвольного конечного множества точек; выделена задача фильтрации частного вида, не являющаяся М'-полной, для которой разработан эффективный алгоритм точного решения.

На защиту выносятся

1. Методология и фундаментальные научные основы синтеза моделей выбора технологических решений.

2. Разработанные новые модели, методы и алгоритмы выбора, непрерывной и дискретной многокритериальной оптимизации для решения задач проектирования и оптимизации функционирования ТС.

Практическая значимость работы состоит в построении комплекса инструментальных средств на основе новых моделей, численных схем и алгоритмов выбора, непрерывной и дискретной многокритериальной оптимизации. С помощью разработанного программного обеспечения решен ряд практически важных задач лесной, деревообрабатывающей и пищевой промышленности. Достоверность и полнота результатов исследований подтверждена их практической реализацией на примере оптимизации функционирования кристаллизационного отделения производства сахара на АООТ "Сахарный завод "Балашовский". Результаты исследований внедрены в учебный процесс Воронежской государственной технологической академии, Воронежской государственной лесо-технической академии, Орловского государственного технического университета, Орловского коммерческого института.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались

- на Всероссийских научных конференциях "Информационные технологии и системы - Воронеж, 1995, 1999; "Комплексная продуктивность лесов и организация многоцелевого (многопродуктового) лесопользования" - Воронеж, 1995; "Физико-химические основы пищевых и химических производств" - Воронеж, 1996; "Повышение эффективности методов и средств обработки информации" - Тамбов, 2000, "Теория конфликта и ее приложения" - Воронеж, 2000, 2004;

- на конференциях "Математическое и машинное моделирование" — Воронеж, 1988; "Актуальные проблемы информационного мониторинга" -Воронеж, 1998; "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения" - Воронеж, 1998, 1999, 2000.

- на отчетных научно-технических конференциях ВГТА.

Публикации. Основное содержание работы изложено в 43 публикациях, из них 10 - в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, девяти глав, заключения, списка литературы из 361 наименований

Выводы по главе

1. Разработана методика конечной аппроксимации множества Парето-оптимальных оценок, содержащая фазы зондирования, локализации, оптимизации, фильтрации, и позволяющая максимально эффективно решить задачу при различных условиях.

2. Доказана теорема о необходимом и достаточном условии конфликта случайных величин, позволяющая выявить пары конфликтующих критериев по имеющемуся множеству их реализаций.

3. Предложена схема решения задачи сужения области допустимых решений (локализации), включающая известные алгоритмы наложения критериальных ограничений, а также новый алгоритм выявления набора конфликтующих критериев.

4. Предложены модификации известных численных методов оптимизации:

- алгоритма штрафных функций;

- метода обобщенного нелинейного программирования, повышающие их точность, быстродействие и надежность.

5. Разработана методика решения задачи фазы оптимизации, адаптирующаяся к различным условиям.

6. Исследована возможность точного решения задачи оптимальной фильтрации конечного набора Парето-оптимальных точек. Доказано, что в общем случае данная задача является ./УР-полной.

7. Определены условия применения к точному решению задачи фильтрации частного вида однопроходного варианта алгоритма Брона-Кэрбоша.

8. Теоретически разработана стратегия эффективного поиска приближенного решения задачи фильтрации.

9. Создан эффективный приближенный алгоритм фильтрации, преимущества которого перед прочими алгоритмами показано на тестовых примерах.

10. Достоверность и полнота результатов исследований подтверждена их практической реализацией на примерах оптимизации технологического режима прессования древесно-стружечных плит и оптимального массового раскроя хлыстов на пиловочник.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана единая методология, позволяющая совместно решать проблемы построения набора эффективных точек задачи многокритериальной оптимизации и выбора на построенном множестве, вследствие чего повышается качество решения.

2. Проведены теоретические исследования по обоснованию моделей выбора, корректности методов их построения на основе экстраполяции экспертных оценок, условиям существования и единственности получаемых решений, свойствам статистических оценок, сходимости применяемых итерационных процедур.

3. Предложена система из семи моделей, позволяющих проводить выбор при различных сочетаниях следующих факторов:

- порядковая, числовая и лингвистическая шкала оценивания альтернатив;

- индивидуальная и групповая экспертиза;

- механизм выбора: скалярно-оптимзационный и блокировки.

4. Теоретически обоснованы и разработаны три метода непрерывной векторной оптимизации - алгоритмы циклического выбора, обладающие большей эффективностью, чем известные алгоритмы аналогичного типа, реализующие отбор вариантов по Парето.

5. Получено обобщение принципа оптимальности Беллмана на случай бинарного отношения предпочтения на множестве векторных оценок. С его помощью разработаны и теоретически обоснованы два алгоритма поиска на графах неулучшаемых путей, позволяющих точно решать задачи структурно-параметрической оптимизации ТС, не содержащих разветвлений и циклов.

6. Разработана четырехэтапная методика аппроксимации множества Парето, позволяющая эффективно решить задачу при различных условиях.

7. Найдены достаточные условия непрерывности Парето-оптимальных решений по параметрам свертки критериев, которые позволили теоретически обосновать два эффективных метода аппроксимации множества Парето. Эффективность первого алгоритма обусловлена меньшим, чем у аналогов количеством узлов, необходимых для достижения заданной точности аппроксимации, а также наличием средств адаптации к погрешности оценки границ множества неулучшаемых точек. Второй метод позволяет быстро упорядочить набор параметров свертки критериев и уменьшить время оптимизации за счет рационального подбора начальных приближений при решении каждой скалярной задачи.

8. Доказана теорема о необходимом и достаточном условии конфликта двух случайных величин, позволяющая выявить пары конфликтующих критериев по имеющемуся множеству их реализаций и повысить эффективность методов решения оптимизационной задачи за счет исключения неконфликтующих критериев.

9. Доказана М'-полнота задачи оптимальной фильтрации произвольного конечного множества; создан эффективный приближенный метод фильтрации точек множества Парето, необходимость которого обоснована данной теоремой.

10. Предложены модификации известных численных методов непрерывной оптимизации, повышающие их эффективность и надежность.

11. Создан метод декомпозиции графовых моделей ТС сложной структуры, позволяющий использовать для их оптимизации эффективные алгоритмы поиска нехудших путей на графах. Также разработан метод синтеза интегральных решений из полученных фрагментов.

12. Разработано программное обеспечение, реализующее построенные модели и численные методы.

13. Достоверность и полнота результатов исследований подтверждена численными экспериментами, а также их реализацией на примерах решения практически-значимых задач лесной, деревообрабатывающей, пищевой промышленности, и маркетинговых исследований в машиностроительной отрасли. Результаты решения задачи оптимизации функционирования кристаллизационного отделения производства сахара внедрены на АООТ "Сахарный завод "Балашовский". Элементы разработанного программного обеспечения внедрены в учебный процесс четырех ВУЗов РФ.

1. Айзерман, М. А. Выбор вариантов: основы теории Текст. / М. А. Айзерман, Ф. Т. Алескеров. М.: Наука, 1990. 240с.

2. Айзерман, М. А. Некоторые аспекты общей теории выбора лучших вариантов Текст. / М. А. Айзерман, А. В. Малишевский // Авт. и телемех. 1981. №2. С. 65-82.

3. Айзерман, М. А. Функциональные локальные операторы в теории голосования I III Текст. / М. А. Айзерман, Ф. Т. Алескеров // Авт. и телемех. 1984 № 5. С. 78 - 88; № 6. С. 105 - 114; № 7. С. 108 - 120.

4. Алескеров, Ф. Т. Интервальный выбор и его разложение Текст. / Ф. Т. Алескеров //Авт. и телемех. 1980. № 6. С. 129 134.

5. Алескеров, Ф. Т. Процедуры голосования в пространстве функций выбора: немонотонный случай Текст. / Ф. Т. Алескеров, Д. Дуган // Авт. и телемех. 1994. № 6. С. 115 134.

6. Алескеров, Ф. Т. О степени манипулируемости правил коллективного выбора Текст. / Ф. Т. Алескеров, Э. Курбанов // Авт. и телемех. 1998. № 10. С. 134- 146.

7. Андерсон, Т. Введение в многомерный статистический анализ Текст. / Т. Андерсон / Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. 500 с.

8. Анич, И. Метод "Электра" и проблема ацикличности отношений альтернатив Текст. / И. Анич, О. И. Ларичев // Авт. и телемех. 1996. № 8. С. 108-118.

9. Анохин, А. М. Методы определения коэффициентов важности критериев Текст. / А. М. Анохин, В. А. Глотов, В. В. Павельев //Авт. и телемех. 1997. №8. С. 3-35.

10. Ю.Анохин, А. М. Комплексное оценивание: принцип бинарности и его приложения Текст. / А. М. Анохин, В. А. Глотов, В. В. Павельев. М.: Ин-т проблем управления РАН, 1994. 212 с.

11. Арсланов, М. 3. Многокритериальное^ и согласованность в активных системах Текст. / М. 3. Арсланов // Авт. и телемех. 1997. № 2. С. 162 -168.

12. Арсланов, М. 3. Скаляризация задачи построения множества оптимальных по Слейтеру решений Текст. / М. 3. Арсланов // Авт. и телемех. 1997. №8. С. 138- 144.

13. Аспарухова, И. Метод компромиссного решения многокритериальных задач с линейными частными критериями Текст. / И. Аспарухова // Эконом, и матем. методы. 1977. Т. 13. № 8. С. 389 390.

14. Автоматизированное проектирование цифровых устройств Текст. / С. С. Бадулин, Ю. М. Барнаулов, В.А. Бердышев и др. М.: Радио и связь, 1981. 240с.

15. Барышников, Ю. М. О математическом ожидании числа недоминируемых по бинарному отношению вариантов Текст. / 10. М. Барышников // Авт. и телемех. 1985. № 6. С. 111-116.

16. Батищев, Д. И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач. Уч. пособие. Текст. / Д. И. Батищев. Воронеж: ВГТУ, 1995. 69 с.

17. Батищев, Д. И. Решение многокритериальных задач с помощью генетических алгоритмов Текст. / Д. И. Батищев, С. А. Исаев // Матер. Все-росс. научно-практ. конф. "Компьютерная геометрия и графика". Н.Новгород: НГТУ, 1998. С. 100- 101.

18. Батищев, Д. И. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений Текст. / Д. И. Батищев, Д. Е. Шапошников. Н.- Новгород: ИПФ РАН, 1994. 92 с.

19. Беллман, Р. Динамическое программирование Текст. / Р. Беллман. М.: Изд-во иностр. литературы, 1960. 400 с.

20. Белов, Ю. А. Декомпозиция задачи выбора Текст. / Ю. А. Белов, С. В. Шафранский // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1990. № 2. С. 173 — 177.

21. Беиайюн, Р. Линейное программирование при многих критериях: метод ограничений Текст. / Р. Бенайюн, О. И. Ларичев, Ф. Монтгольфе // Авт. и телемех. 1971. № 8. С. 108 114.

22. Берж, К. Теория графов и ее применение Текст. / К. Берж / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 264 с.

23. Березовский, Б. А. Бинарные отношения в векторной оптимизации Текст. / Б. А. Березовский, В. И. Борзенко, Л. М. Кемпнер. М.: Наука, 1981. 149 с.

24. Березовский, Б. А. Многокритериальная оптимизация: математические аспекты Текст. / Б. А. Березовский, Ю. М. Барышников, В. И. Борзенко В.И. М.: Наука, 1989. 126 с.

25. Бешелев, С. Д. Экспертные оценки Текст. / С. Д. Бешелев, Ф. Г. Гуревич. М.: Наука, 1973. 79 с.

26. Благуш, П. Факторный анализ с обобщениями Текст. / П. Благуш / Пер. с чешек. М.: Финансы и статистика, 1989. 248 с.

27. Блачев, Р. Н. Особенности процедуры бинарной агрегации многокритериальных экспертных оценок Текст. / Р. Н. Блачев // Авт. и телемех., 1997. №5. С. 126-132.

28. Болынев, Л.Н. Таблицы математической статистики Текст. / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. М.: ВЦ АН СССР, 1968. 474 с.

29. Бондаренко, Ю. В. Математические модели и методы организации ориентационной поддержки экономического выбора индивидуума в сфере личного потребления продуктов питания Текст. // Дисс.канд. физ.-мат. наук. Воронеж: ВГУ, 1998. 205 с.

30. Борисов, А. Н. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ: Информационное, математическое и программное обеспечение

31. Текст. /А. Н Борисов, Э. Р. Вилюмс, Л. Я. Сукур. Рига: Зинатне, 1986. 195 с.

32. Борисов, А. Н. Методы интерактивной оценки решений Текст. / А. Н. Борисов, А. С. Левченков. Рига: Зинатне, 1982. 139 с.

33. Борисов, А. Н. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной Текст. /А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, О. А. Крумберг. Рига: Зинатне, 1982. 256 с.

34. Борисов, А. Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений Текст. / А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, Г. В. Меркурьев. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.

35. Борисов, А. Н. Использование нечеткой информации в экспертных системах Текст. / А. Н. Борисов, В. И. Глушков // Новости искусственного интеллекта. 1991. Вып. 3. С. 13 -41.

36. Борисов, А. Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования Текст. / А. И. Борисов, О. А. Крумберг, И. П. Федоров. Рига: Зинатне, 1990. 184 с.

37. Борисов, В. И. Проблемы векторной оптимизации Текст. / В. И. Борисов // Иссл. операций: методологические аспекты. М.: Наука, 1972. С. 12-34.

38. Бояринов, А. И. Методы оптимизации в химической технологии Текст. / А. И. Бояринов, В. В. Кафаров. М.: Химия, 1975. 576с.

39. Бритавский, Г. М. Метод "ветвей и границ" для оптимизации параметров структуры автоматических линий Текст. / Г. М. Бритавский, Б. И. Юхименко // Кибернетика. 1976. №2. С. 102-104.

40. Брук, В. М. К оценке эффективности многокритериальных систем Текст. / В. М. Брук, В. М. Николаев // Изв. АН СССР. Технич. кибернет., 1979. №4. С. 45-57.

41. Бугаев, 10. В. Систематика моделей раскроя лесоматериалов в технологии переработки древесины Текст. / Ю. В. Бугаев, В. С. Петровский // Технология и оборудование деревообр. Производств: межвуз. сб. Л.: ЛЛТА.1. Вып. 16. 1987. С. 14-19.

42. Бугаев, Ю. В. Вычислительные процедуры векторной оптимизации раскроя древесины Текст. / Ю. В. Бугаев // Математическое и машинное моделирование. Материалы научной конференции. Воронеж: ВТИ, 1988. С. 103.

43. Бугаев, Ю. В. Вероятностная оценка спецификационного выхода сортиментов при раскрое хлыстов Текст. / Бугаев Ю.В., Кузнецов С.Ю. // Деп. в ВНИПИЭИлеспроме № 2524. Опубл. в БУ ВИНИТИ. № 11. 1989. 9 с.

44. Бугаев, Ю. В. О методах построения равномерной сети Парето-оптимальных решений задачи векторной оптимизации Текст. / Ю. В. Бугаев // Выбор и принятие решений в САПР: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВПИ, 1989. С. 111-116.

45. Бугаев, Ю. В. Математическая модель раскроя лесоматериалов, максимизирующая количество комплектов продукции Текст. / Ю. В. Бугаев, С. Ю. Кузнецов // Деревообр. Промышленность. 1990. № 12. С. 20 21.

46. Бугаев, Ю. В. Косвенный метод анализа экстремальных свойств параметров недетерминированных систем Текст. / Ю. В. Бугаев // Математическое моделирование в САПР и АСУ: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВТИ, 1991. С. 66-68.

47. Бугаев, Ю. В. О влиянии длины раскраиваемых пиломатериалов на распределение протяженности бездефектных участков Текст. / Ю. В. Бугаев, С. Ю. Кузнецов // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 1992. № 3. С. 83 86.

48. Бугаев, Ю. В. Метод отбора эффективных схем при оптимизации раскроя лесоматериалов Текст. / Ю. В. Бугаев // Технология и оборудование деревообр. производств: межвуз. сб. С-Пб.: ЛТА, 1992. Вып. 21. С. 19 -24.

49. Бугаев, Ю. В. Построение процедур принятия решения методом экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев, С. В. Белокуров // Математическое моделирование технологических систем: сб. научн. тр. Воронеж: ВГТА, 1997. Вып. 2. С. 150 155.

50. Бугаев, Ю. В. Имитационная модель прогнозирования характеристик продукции раскроя при глубокой переработке древесины Текст. / Ю. В. Бугаев // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 1997. № 4. С. 115 119.

51. Бугаев, Ю. В. К вопросу о вероятностном конфликте Текст. / Ю. В. Бугаев // Информационные технологии и системы. МАИ, Воронежское отд. Воронеж: ВГТА, 1998. Вып 2. С. 144 145.

52. Бугаев, Ю. В. Поиск Л-оптимальных путей на графах Текст. / Ю. В. Бугаев, С. В. Чикунов // Понтрягинские чтения IX: тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1998. С. 35.

53. Бугаев, 10. В. Векторный вариант алгоритма Форда-Беллмана Текст. / 10. В. Бугаев, В. В. Сысоев // Искусственный интеллект в технич. системах: сб. науч. тр. М.: ГосИФТП, 1999. Вып. 19. С. 33-41.

54. Бугаев, Ю.В. Метод максимума правдоподобия при экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения. Воронеж: ВГУ, 1999. С. 47.

55. Бугаев, 10. В. Эффективный алгоритм структурной оптимизации технологических систем Текст. / Ю. В. Бугаев, В. В. Сысоев, С. В. Чикунов // Нелинейные явления в открытых системах: сб. научн. тр. М.: ГосИФТП,1999. Вы. 10. С. 77-86.

56. Бугаев, Ю. В. Алгоритм поиска оптимальных путей в бесконтурном графе Текст. / 10. В. Бугаев, С. В. Чикунов // Математическое моделирование технологических систем: сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 1999. Вып. 3. С. 58-61.

57. Бугаев, Ю. В. Апостериорные модели выбора в оптимизации технологических систем Текст. / Ю. В. Бугаев // Информационные технологии и системы. III Всерос. конф. Воронеж: ВГТА, 1999. С. 185 186.

58. Бугаев, Ю. В. Экстраполяция экспертных оценок на порядковой и лингвистической шкалах Текст. / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения. Воронеж: ВГУ,2000. С. 25.

59. Бугаев, Ю.В. Вопросы существования и единственности в методе максимума правдоподобия при экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев // Теория конфликта и ее приложения. I Всерос. науч.-техн. конф. Воронех: ВГТА, 2000. С. 63 64.

60. Бугаев, Ю.В. Об одном методе отбора эффективных решений на итерациях поиска Текст. // Математич. моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2000. Вып. 4. С. 211-215.

61. Бугаев, Ю.В. Применение прямого обобщения скалярных алгоритмов в векторной оптимизации на графах Текст. / Ю. В. Бугаев // Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 3. С. 110- 124.

62. Бугаев, Ю. В. Применение векторной оптимизации на графах для моделирования раскроя лесоматериалов Текст. / Ю. В. Бугаев // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 2001. № 3. С. 84 87.

63. Бугаев, Ю. В. Поиск робастой точечной оценки параметров функции полезности Текст. / Ю. В. Бугаев // Информационные технологии и системы: науч. издание. Воронеж: ВГТА, 2001. Вып. 4. С. 42 45.

64. Бугаев, Ю. В. Алгоритм бисекции в экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев // Экономика и математические методы. 2002. т. 38, №3. С. 121-125.

65. Бугаев, Ю. В. Конечная аппроксимация множества Парето Текст. / Ю. В. Бугаев, О. Л. Полушина // Математическое моделирование информационных и технологич. систем: сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2003. Вып. 6. С. 160- 162.

66. Бугаев, Ю. В. Экстраполяция экспертных оценок в оптимизации технологических систем Текст. / Ю. В. Бугаев // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003, № 3. С. 90 -96.

67. Бугаев, Ю. В. Построение сети на множестве Парето Текст. / Ю. В. Бугаев // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. 2004. №1. С. 82 87.

68. Бурков, В. Н. Большие системы: моделирование организационных механизмов Текст. / В. Н. Бурков. М.: Наука, 1989. 354 с.

69. Буянов, Б. Б. Об одном методе принятия решений при векторном критерии Текст. / Б. Б. Буянов, В. М. Озерной // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1974. № 3. С. 80 84.

70. Вайнштейн, М. А. О последовательностях функций вида ЛХ{х) + ВД) Текст. / М. А. Вайнштейн, М. А. Крейнес // ДАН АН СССР. 1960. Т. 15. №4. С. 123- 128.

71. Васильев, В. Н. Исследование и разработка средств автоматического учета хлыстов и бревен для АСУТП первичной обработки древесины в поперечных потоках Текст. / В. В. Васильев // Дисс. канд. техн. наук. Красноярск, 1979. 215 с.

72. Васильев, Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. М.: Наука, 1986. 213 с.

73. Величко, Д. А. Методы многокритериального поиска оптимальных вариантов состава оборудования и технологии для производственных линий (на примере полупроводникового производства) Текст. / Д. А. Величко // Дисс. канд. техн. наук. Воронеж: ВТИ, 1983. 219с.

74. Венгерова, И. В. К вопросу об эффективности метода ветвей и границ Текст. / И. В. Венгерова, Ю. Ю. Финкельштейн // Экономика и математические методы. 1975. Вып. 1. С. 186- 193.

75. Венгерова, И. В. Об эффективности метода ветвей и границ Текст. / И. В. Венгерова, Ю. Ю. Финкельштейн // Вычислительная техника в машиностроении. Минск: Институт технической кибернетики АН БССР, 1973. №Ю. С. 18-19.

76. Вентцель, Е. С. Исследование операций. Текст. / Е. С. Вентцель. М.: Сов. радио, 1972. 551с.

77. Вермишев, Ю. X. Методы автоматического поиска решений при проектировании сложных технических систем Текст. / Ю. X. Вермишев М.: Радио и связь, 1982. 152 с.

78. Виноградская, Т. М. Среднее значение числа неподчиненных решений в многокритериальных задачах Текст. / Т. М. Виноградская // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. № 2. С. 36 38.

79. Виноградская, Т. М. Точная верхняя оценка числа неподчиненных решений в многокритериальных задачах Текст. / Т. М. Виноградская, М. Г. Гафт // Автоматика и телемеханика. 1974. № 9. С. 111 118.

80. Воевода, Д. Н. Об оптимальных кусочно-линейных моделях профиля хлыстов Текст. / Д. Н. Воевода, Л. М. Китайник, Ю. Н. Перельмутер // Лесн. пром-сть. 1977. № 3. С. 8 11.

81. Волошин, 3. С. Автоматизация сахарного производства Текст. / 3. С. Волошин, Л. П. Макаренко, П. В. Яцковский. М.: Агропромиздат, 1990. 271 с.

82. Вольский, В. И. Сравнительный анализ процедур голосования Текст. / В. И. Вольский, 3. М. Лезина // Авт. и телемех. 1992. № 2. С. 3 29.

83. Вопросы изучения экономических аспектов конкурентоспособности Текст. / Под. ред. А. И. Кириллова. Приложение к БИКИ. 1984. № 12. М.: Изд-во ВНИКИ МВЭС РФ. 218 с.

84. Гаврилов, А. Н. Автоматизация технической подготовки производства Текст. / А. Н. Гаврилов, С. В. Скородумов. М.: Знание, 1976. 64 с.

85. Галиев, Ш. И. Численное решение некоторых минимаксных задач Текст. / Ш. И. Галиев // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1988. Т. 28. №7. С. 1000- 1011.

86. Галиев, Ш. И. Направление убывания для минимаксных задач Текст. / Ш. И. Галиев // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1993. Т. 33. № 1. С. 32-35.

87. Галиев, Ш. И. Нахождение приближенных решений минимаксных задач Текст. / Ш. И. Галиев // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1997. Т. 37. № 10. С. 1439 1448.

88. Гафт, М. Г. Выделение множества неподчиненных решений и их оценок в задачах принятия решений при векторном критерии Текст. / М. Г. Гафт, В. М. Озерной // Авт. и телемех. 1973. № 11. С. 85 94.

89. Гафт, М. Г. Методология поиска решения в дискретных множествах Текст. / М. Г. Гафт, В. М. Озерной // Многокритериальные задачи. М.: Наука, 1978. С. 15-46.

90. Геминтерн, В. И. Методы оптимального проектирования Текст. / В. И. Геминтерн, Б. М. Каган. М.: Энергия, 1980. 160 с.

91. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций Текст. / Ю. Б. Гермейер. М.: Наука, 1971. 383 с.

92. Гермейер, Ю. Б. Методологические и математические основы исследования операций и теории игр Текст. / Ю. Б. Гермейер. М.: ВЦ МГУ, 1967. 212 с.

93. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами Текст. / Ю. Б. Гермейер. М.: Наука, 1976. 327 с.

94. Глотов, В. А. Векторная стратификация Текст. / В. А. Глотов, В. В. Павельев. М.: Наука, 1984. 94 с.

95. Глотов, В.А. Координатно-модульные отношения Текст. / В. А. Глотов // Авт. и телемех. 1984. № 2. С. 99 104.

96. Гольдштейн, Е. Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации Текст. / Е. Г. Гольдштейн, Н. В. Третьяков. М.: Наука, 1989. 400 с.

97. Гуткин, Л. С. О синтезе систем по безусловному критерию предпочтения Текст. / Л. С. Гуткин // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1972. №8. С. 190- 197.

98. Гуткин, Л. С. О применении метода крайних точек при синтезе по векторному критерию. I, II Текст. / Л. С. Гуткин // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1973. № 4. с. 178 183; № 5. с. 138 - 144.

99. Гуткин, Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества Текст. / Л. С. Гуткин. М.: Сов. радио, 1975.214 с.

100. Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи Текст. / М. Гэри, Д. Джонсон Д. / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 416 с.

101. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии Текст. / Е. 3. Демиденко. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.

102. Демьянов, В. Ф. Минимакс: дифференцируемость по направлениям Текст. / В. Ф. Демиденко. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 288 с.

103. Демьянов, В. Ф. Недифференцируемая оптимизация Текст. / В. Ф. Демьянов, Л. В. Васильев. М.: Наука, 1981. 384 с.

104. Демьянов, В. Ф. Введение в минимакс Текст. / В. Ф. Демьянов, В. Л. Малоземов. М.: Наука, 1972. 368 с.

105. Десятов, Д. Б. Метод экстраполяции экспертных оценок качествана основе принципа максимального правдоподобия Текст. / Д. Б. Десятов,

106. B. В. Сысоев, М. С. Чирко // Надежность и контроль качества. 1984. № 12.1. C. 12-15.

107. Десятов, Д. Б. Принятие решений на основе экспертных оценок с использованием метода максимального правдоподобия Текст. / Д. Б. Десятов, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Автоматизация проектирования производственных систем. Воронеж: ВПИ, 1984. С. 32-36.

108. Десятов, Д. Б. Синтез информационных технологий анализа функционирования стохастических технологических систем Текст. / Д. Б. Десятов//Дисс . доктора технич. наук. Воронеж: ВГТА, 1997. 346 с.

109. Десятов, Д. Б. Автоматизированная система экстраполяции экспертных оценок качества проектных вариантов EXTRA Текст. / Д. Б. Десятов, В. В. Сысоев // Инф. листок, № 223-93. Воронеж: ЦНТИ, 1993. 3 с.

110. Десятов, Д.Б. Сравнительный анализ методов экстраполяции экспертных оценок Текст. / Д. Б. Десятов, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Автоматизация технической подготовки производства. Минск: ИКАНБССР, 1985. С. 141 146.

111. Дружинин, В. В. Системотехника Текст. / В. В. Дружинин, Д. С. Конторов. М.: Радио и связь, 1985. 200 с.

112. Дубов, Ю. А. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем Текст. / Ю. А. Дубов, С. Н. Травкин, В. В. Якимец. М.: Наука, 1986. 296 с.

113. Дымков, М. П. Метод решения общей многокритериальной задачи линейного программирования Текст. / М. П. Дымков // Проблемы управления и оптимизации. Минск, 1976. С. 147- 157.

114. Дэйвисон, М. Многомерное шкалирование Текст. / М. Дейвисон / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1988. 254 с.

115. Евтушенко, Ю. Г. Методы численного решения многокритери-альнах задач Текст. / Ю. Г. Евтушенко, М. А. Потапов // ДАН СССР, 1986.1. Т. 291. № I.e. 25-29.

116. Евтушенко, Ю. Г. Численные методы решения многокритериальных задач Текст. / Ю. Г. Евтушенко, М. А. Потапов // Кибернетика и выч. техника. М.: Наука, 1987. Вып. 3. С. 209 218.

117. Емеличев, В. А. Лексикографические оптимумы многокритериальных задач Текст. / В. А. Емеличев, Э. Гирлих, О. А. Янушкевич // Дискр. анал. и иссл. опер. Сер. 1. 1997, № 2. С. 3 17.

118. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов Текст. / В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов. М.: Наука, 1990. 384 с.

119. Емельянов, С. В. Методы исследования сложных систем. Логика рационального выбора Текст. / С. В. Емельянов, Э. Л. Наппельбаум // Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 8. С. 5 101.

120. Емельянов, С. В. Модели и методы векторной оптимизации Текст. / С. В. Емельянов, В. И. Борисов, А. А. Малевич // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 5. С. 386-448.

121. Емельянов, С. В. Многокритериальные методы принятия решений Текст. / С. В. Емельянов, О. И. Ларичев. М: Знание, 1985. 32 с.

122. Ерешко, Ф. И. Оптимизация линейной формы на эффективном множестве Текст. / Ф. И. Ерешко, А. С. Злобин // Численные методы нелин. программированияя. Тезисы докл. II Всесоюзного семинара. Харьков: Изв. Харьк. ун-та, 1976. С. 167 170.

123. Ермаков, С. М О сравнении некоторых процедур случайного поиска глобального экстремума Текст. / С. М. Ермаков, Л. А. Жиглявский, М. В. Кондратович // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1989. Т. 29. №2. С. 163 170.

124. Ермаков, С. М. Курс статистического моделирования Текст. / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. М.: Наука, 1976. 320с.

125. Жадан, В. С. Метод модифицированной функции Лагранжа для задачи многокритериальной оптимизации Текст. / В. С. Жадан // Журн.вычислит, математики и матем. физики. 1988. Т. 28. № 11. С. 1603 1616.

126. Жадан, В. С. Метод возможных направлений для решения задач выпуклой многокритериальной оптимизации Текст. / В. С. Жадан, В. И. Кушнирчук // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1987. Т. 27. № 6. С. 829 838.

127. Жаке-Лагрез, Э. Применение размытых отношений при оценке предпочтительности распределенных величин Текст. / Э. Жаке-Лагрез // Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений. М.: Статистика, 1979. С. 168 183.

128. Заде, Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений Текст. / Л. А. Заде // Математика сегодня. М.: Знание, 1974. С. 5-49.

129. Заде, Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений Текст. / Л. А. Заде. М.: Мир, 1976.165 с.

130. Зильберман, M. М. Интерпретация таблиц объемов круглых лесоматериалов ГОСТ 270844 функцией двух переменных Текст. / M. М. Зильберман, М. А. Попов // Автоматизация и механизация деревообр. пр-в: сб. научн. тр. Л.: ЛЛТА, 1968. С. 84 88.

131. Иванин, В. М. Об одной оценке математического ожидания числа элементов множества Парето Текст. / В. М. Иванин // Кибернетика. 1975. № 3. С. 145- 147.

132. Илюнин, О. К. Функциональные операторы большинства в теории голосования Текст. / О. К. Илюнин, Б. В. Попов, Л. И. Элькин // Авт. и телемех. 1988. № 7. С. 137 145.

133. Исаев, С. А. Разработка и исследование генетических алгоритмов для принятия решений на основе многокритериальных нелинейных моделей Текст. / С. А. Исаев // Автореф. канд. техн. наук. Н.-Новгород: НГУ, 2000. 16 с.

134. Каплинский, А. И. Построение рандомизированных алгоритмов оптимизации Текст. /А. И. Каплинский, А. Е. Лимарев, Г. Д. Чернышова // Проблемы случайного поиска. Воронеж: ВГУ, 1980. Вып. 8. С. 63 91.

135. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании и экономики Текст. / С. Карлин / Пер. с англ. М.: Мир, 1964. 838 с.

136. Карманов, В. Г. Математическое программирование Текст. / В. Г. Карманов. М.: Наука, 1986. 288 с.

137. Катулев, А. Н. Современный синтез критериев в задачах принятия решений Текст. / А. Н. Катулев, В. Н. Михно, Л. С. Виленкин. М.: Радио и связь, 1992. 120 с.

138. Кемени, Дж. Кибернетическое моделирование: некоторые приложения Текст. / Дж. Кемени, Дж. Снелл / Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1972. 192 с.

139. Кини Р. Л. Принятие решений при многих критериях: замещения и предпочтения Текст. / Р. Л. Кини, X. Райфа / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

140. Кини Р. Л. Функции полезности многомерных альтернатив Текст. / Р. Л. Кини // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Пер. с англ. М.: Мир, 1976. С. 59 79.

141. Китаев, H. H Групповые экспертные оценки Текст. / H. Н. Кита-ев. М.: Знание, 1975. 64 с.

142. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ. Ч. 2. Получисленные алгоритмы Текст. / Д. Кнут / Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 724 с.

143. Козерацкая, Л. Н. Задачи векторной оптимизации: устойчивость в пространстве решений и в пространстве альтернатив Текст. / Л. Н. Козерацкая // Кибернекика и системы, анализ. 1994. № 6. С. 122-143

144. Ko3Îh, Т. В. Про оцшки потуженност1 повно! множини альтернатив для деяких двукритер1альних задач на графах Текст. / Т.В. Козш // Докл. АН Укр. 1993, № 10. С. 108 111.

145. Корбут, А. А. Об эффективности комбинаторных методов в дискретном программировании Текст. / А. А. Корбут, И. X. Сигал, Ю. Ю. Финкелыитейн // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н. Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. С. 283 310.

146. Корнилов, Р. В. Расчет комплексов оборудования микроэлектроники Текст. / Р. В. Корнилов, В. П. Сандеров. М: Радио и связь, 1979. 148 с.

147. Коробейников, В. И. Комбинированный алгоритм векторной оптимизации Текст. / В. И. Коробейников, О. Л. Полушина // Математическое моделирование информационных и технологических систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2000. Вып. 4. С. 334 335.

148. Корячко, В. П. Теоретические основы САПР: Учебник для вузов Текст. / В. П. Корячко, В. М. Курейчик, И. П. Норенков. М.: Энергоатомиз-дат, 1987. 400с.

149. Кофман, А. Введение в прикладную комбинаторику Текст. / А. Кофман / Пер. с франц. М.: Наука, 1975. 479 с.

150. Кофман, А. Методы и модели исследования операций Текст. / А. Кофман, А. Анри-Лабордер // Пер. с франц. М.: Мир, 1977. 432 с.

151. Кравцов, М. К. Неразрешимость задач векторной дискретной оптимизации в классе алгоритмов линейной свертки критериев Текст. / М. К. Кравцов // Дискр. матем. 1996. Т. 8. № 2. С. 89 96.

152. Кравчук, А. Ф. Автоматизация ВА периодического и непрерывного действия Текст. / А. Ф. Кравчук. М.: ЦНИИТЭИпищепром, 1981. 32 с.

153. Краснощеков, П. С. Математические модели в исследовании операций Текст. / П. С. Краснощеков. М.: Наука, 1984. 314 с.

154. Краснощеков, П. С. Последовательное агрегирование в задачах внутреннего проектирования технических систем Текст. / П. С. Краснощеков, В. В. Морозов, В. В. Федоров // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1978. №5. С. 57-64.

155. Краснощеков, П.С. Декомпозиция в задачах проектирования

156. Текст. / П. С. Краснощеков, В. В. Морозов, В. В. Федоров // Изв. АН СССР. Технич. кибернет. 1979. № 2. С. 7 17.

157. Кристофидес, Р. Теория графов. Алгоритмический подход Текст. / Р. Кристофидес / Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 432 с.

158. Кузьмик, П. К. САПР. Системы автоматизированного проектирования. Кн.5: Автоматизация функционального проектирования Текст. / П. К. Кузьмик, В. Б. Маничев. М.: Высш. шк., 1986. 141 с.

159. Кузьмин, В. Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений Текст. / В. Б. Кузьмин. М: Наука, 1982. 168 с.

160. Кузюрин, Н. Н. Задача линейного булева программирования и некоторые комбинаторные приемы Текст. / Н. Н. Кузюрин // Компьютер и задачи выбора. М.: Наука, 1989. С. 189-208.

161. Кукса, А. И. О методе оценки количества условно-оптимальных траекторий дискретного сепарабельного динамического программирования Текст. / А. И. Кукса, Н. 3. Шор // Кибернетика. 1972. № 6. С. 37 44.

162. Ламбен Ж.-Ж. Стратегический маркетинг. Европейская перспектива Текст. / Ж.-Ж. Ламбер / Пер. с франц. С-Пб: Наука, 1996. 218 с.

163. Ларичев, О. И. Анализ процессов принятия человеком решений при альтернативах, имеющих оценку по многим критериям Текст. / О. И. Ларичев//Авт. и телемех. 1981. № 8. С. 131 141.

164. Ларичев, О. И. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ Текст. / О. И. Ларичев, Е. В. Мошкевич. М.: Наука, 1996. 208 с.

165. Ларичев, О. И. Методы многокритериальной оценки альтернатив Текст. / О. И. Ларичев // Тр. ВНИИСИ, 1978. Вып. 5. С. 5 30.

166. Ларичев, О. И. Наука и искусство принятия решений Текст. / О. И.Ларичев. М.: Наука, 1979. 200 с.

167. Ларичев, О. И. Объективные модели и субъективные решения

168. Текст. / О. И. Ларичев. М.: Наука, 1987. 144 с.

169. Ларичев, О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений многокритериальных задач математического программирования Текст. / О. И. Ларичев, О. А. Поляков // Экономика и мат. методы, 1980. Вып. 1. Т. 16. С. 127- 145.

170. Ларичев, О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник Текст. / О. И. Ларичев. М.: Логос, 2000. 296 с.

171. Ларичев, О. И. Выявление экспертных знаний Текст. / О. И. Ларичев, А. И. Мечитов, Е. М. Мошкович. М.: Наука, 1989. 128 с.

172. Лезина, 3. М. Манипулирование выбором вариантов. Теория агенды Текст. / 3. М. Лезина // Авт. и телемех. 1985. № 4. С. 5 29.

173. Леман Э. Теория точечного оценивания Текст. / Э. Леман / Пер. с англ. М.: Наука, 1991. 443 с.

174. Липский В. Комбинаторика для программистов Текст. / В. Лип-ский / Пер. с польск. М.: Мир, 1988. 213 с.

175. Литвак, Б. Г. Экспертная информация. Методы получения и анализа Текст. / Б. Г. Литвак. М.: Радио и связь, 1982. 184 с.

176. Льюс, Р. Д. Игры и решения Текст. / Р. Д. Льюс, X. Райфа / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. литературы, 1961. 642 с.

177. Магрупов, Т. М. Графы, сети, алгоритмы и их приложения Текст. / Т. М. Магрупов, Ф. Б. Абуталиев. Ташкент: Фан, 1990. 120 с.

178. Макаров, И. М. Теория выбора и принятия решений Текст. /И. М. Макаров, Т. М. Виноградская, А. А. Рубчинский. М.: Наука, 1982. 328 с.

179. Маркин, Б. Г. Проблема группового выбора Текст. / Б. Г. Маркин. М.: Наука, 1974. 254 с.

180. Маркин, Д. А. О равномерной оценке множества, слабоэффективных точек в многоэкстремальных многокритериальных задачах оптимизации Текст. / Д. А. Маркин, Р. Г. Стронгин // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1993. Т. 33. № 2. С. 195 -205.

181. Мастюкова, Т. В. Совершенствование процессов и технологии изготовления многокомпонентных напитков на основе растительного сырья Текст. / Т. В. Мастюкова // Дисс. .канд. техн. наук. Воронеж: ВГТА, 1998. 191 с.

182. Мастюкова, Т. В. Моделирование оптимальных свойств многокомпонентных напитков Текст. / Т. В. Мастюкова, Ю. В. Бугаев // Физико-химические основы пищевых и химич. пр-в. Всерос. научно-практич. конф. Воронеж: ВГТА, 1996. С. 73.

183. Меламед, И. И. Теория и алгоритмы решения многокритериальных задач комбинаторной оптимизации Текст. / И. И. Меламед, И. X. Сигал. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1996. 51 с.

184. Меркурьев, В. В. Семейство сверток векторного критерия для нахождения точек множества Парето Текст. /В. В. Меркурьев, M. А Молдавский // Авт. и телемех. 1979. № 1. С. 110-121.

185. Миллер, Г. Магическое число семь плюс или минус два. О некоторых пределах нашей способности перерабатывать информацию Текст. / Г. Миллер // Инженерная психология. М.: Прогресс, 1964. С. 192 225.

186. Миркин, Б. Г. Анализ качественных признаков и структур Текст. / Б. Г. Миркин. М.: Статистика, 1980. 319 с.

187. Михалевич, В. С. Алгоритмы последовательного анализа и отсеивания вариантов в задачах дискретной оптимизации Текст. / В. С. Михалевич, В. JI. Волкович, А. Ф. Волошин // Кибернетика. 1980. № 3. С. 1685.

188. Михалевич, В. С. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем Текст. / В. С. Михалевич, В. Л. Волкович. М.: Наука, 1982. 286 с.

189. Михалевич, В. С. О некоторых математических и эвристических особенностях процесса проектирования сложных систем Текст. / В. С. Михалевич, В. Л. Волкович // УСиМ, 1976, № 3. С. 3 9.

190. Михалевич, В. С. Методы невыпуклой оптимизации Текст. / В. С. Михалевич, А. М. Гупал, В. И. Норкин. М.: Наука, 1987. 278 с.

191. Моисеев, Н. Н. Неформальные процедуры и автоматизация проектирования Текст. / Н. Н. Моисеев. М.: Знание, 1979. 64 с.

192. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа Текст. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1981. 487 с.

193. Молдавский, М. А. Оценки равномерности параметризации множества Парето Текст. / М. А. Молдавский // Автоматизация проектирования в машиностроении: сб. науч. тр. Горький: ГГУ, 1978. С. 176 184.

194. Молодцов, Д. А. Регуляризация множества Парето Текст. / Д. А. Молодцов Д. А. // Журн. вычислит, математики и матем. Физики. 1978. Т. 18. №3. С. 597-602.

195. Молодцов, Д. А. Аппроксимация игр двух лиц с передачей информации Текст. / Д. А. Молодцов, В. В. Федоров // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1973. Т. 13. № 6. С. 1469 1484.

196. Морозов, В. В. Об аппроксимации множества Парето с заданной точностью в многокритериальных задачах Текст. / В. В. Морозов // Системы: матем. методы описания, САПР и управление. Калинин, 1989. С. 4 9.

197. Нейман, Д. Теория игр и экономическое поведение Текст. / Д. Нейман, О. Моргенштерн / Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 707 с.

198. Нефедов, В. Н. Об аппроксимации множества Парето Текст. / В. Н. Нефедов // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1984. Т. 24. №7. С. 993- 1007.

199. Никитин, Б. Е. К вопросу о выявлении предпочтений ЛПР на лингвистической шкале Текст. / Б. Е. Никитин, Ю. В. Бугаев // Теория конфликта и ее приложения. I Всерос. науч.-техн. конф. Воронех: ВГТА, 2000. С. 23 24.

200. Ногин, В. Д. Относительная важность критериев и ее применение в многокритериальной оптимизации Текст. / В. Д. Ногин // Дисс.д-ра физ.-мат. наук. С.-Пб.: С-Пб гос. техн. ун-т, 1995. 212 с.

201. Ногин, В. Д. Использование набора количественной информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений Текст. / В. Д. Ногин, И. В. Толстых // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 2000. Т. 40. № 11. С. 1593 1601.

202. Норенков, И. П. Системы автоматизированного проектирования электронной и вычислительной аппаратуры / И. П. Норенков, В. Б. Маничев. М.: Высш. школа, 1983. 272 с.

203. Нэш, Д. Безкоалиционные игры Текст. / Д. Нэш // Матричные игры / Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1961. С. 206 221.

204. Организация планирования и управления предприятиями электронной промышленности Текст. / Под ред. П. М. Стуколова. М.: Высш. шк., 1986. 237 с.

205. Орлов, А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях Текст. / А. И. Орлов. М.: Наука, 1979. 296 с.

206. Орлов, А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные Текст. / А. И. Орлов. М.: Знание, 1980. 64 с.

207. Орлов, А. И. Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях Текст. / А. И. Орлов, Г. В. Рыданова, М.: ВЦ АН СССР, 1986. С. 61 -71.

208. Орлов, А. И. Статистика объектов нечисловой природы (Обзор) Текст. / А. И. Орлов // Заводская лаборатория. 1990. Т. 56. № 3. С. 76 83.

209. Орлов, А. И. Часто ли распределение результатов наблюденийявляется нормальным? Текст. / А. И. Орлов // Заводская лаборатория,.1991. Т. 57. №7. С. 64-66.

210. Орлов, В. А. Теория графов и комбинаторика Текст. / В. А. Орлов. Томск: Томск, политехи, инст-т, 1988. 95 с.

211. Панкова, Л. А. Организация экспертиз и анализ экспертной информации Текст. / Л. А. Панкова, А. М. Петровский, Н. В. Шнейдерман. М.: Наука, 1984. 120 с.

212. Перевозчиков, А. Г. О полунепрерывности паретовских принципов оптимальности Текст. / А. Г. Перевозчиков // Вестн. МГУ. Сер. 15. Выч. математика и кибернет. 1983. № 3. С. 48 50.

213. Перегудов, Ф. И. Введение в системный анализ: учебн. пособие для вузов Текст. / Ф. И. Перегудов, Ф. П. Тарасенко. М.: Высш. шк., 1989. 367 с.

214. Перелыгин, В. М. О расчете равновесных свойств растворов Текст. / В. М. Перелыгин // Вестник ВГТА. Воронеж: ВГТА, 1997. № 1. С. 80 84.

215. Перелыгин, В. М. Прогнозирование органолептических свойств многокомпонентных напитков Текст. / В. М. Перелыгин, Т. В. Мастюкова, Ю. В. Бугаев // Информационные технологии и системы. Материалы Всерос. конф. Воронеж: ВГУ, 1995.

216. Перелыгин, В. М. Построение модели свойств многокомпонентной смеси по результатам экспертного оценивания альтернатив Текст. / В. М. Перелыгин, Ю. В. Бугаев, Т. В. Мастюкова // Изв. ВУЗов. Пищевая технология. 2001. № 1. С. 57 59.

217. Петровский, В. С. Математическое моделирование процесса оптимального раскроя пиловочного сырья Текст. / В. С. Петровский, Буй Зинь, Ю. В. Бугаев // Изв. ВУЗов. Лесной журнал. 1982. № 6. С. 117 119.

218. Петровский, В. С. Оптимальная раскряжевка лесоматериалов Текст. / В. С. Петровский. М.: Лесн. пром-сть, 1998. 288 с.

219. Пижурин, А. А. Исследование процессов деревообработки Текст. / А. А. Пижурин, М. С. Розенблит. М.: Лесн. пром-сть, 1984. 323 с.

220. Подиновский, В. В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности критериев в многокритериальных задачах Текст. / В. В. Подиновский // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н. Н. Моисеева. М.: Наука, 1979. С. 117 145.

221. Подиновский, В. В. Методы многокритериальной оптимизации. Эффективные планы Текст. / В. В. Подиновский. М.: Наука. 1971. Вып. 1. С. 74-92.

222. Подиновский, В. В. Оптимизация по последовательно применяемым критериям Текст. / В. В. Подиновский, В. М. Гаврилов. М.: Сов. радио, 1975. 192 с.

223. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями Текст. / В. В. Подиновский // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1975. Т. 15. № 2. С. 330 394.

224. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериями Текст. / В. В. Подиновский // Авт. и теле-мех. 1976. № 11. С. 118-127.

225. Подиновский, В. В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений. Порядковые или ординальные коэффициенты важности Текст. / В. В. Подиновский // Авт. и телемех. 1978. № 10. С. 130 -141.

226. Подиновский, В. В. Количественная важность критериев Текст. / В. В. Подиновский // Авт. и телемех. 2000. № 5. С 110 133.

227. Подиновский, В. В. Применение процедуры максимизации основного локального критерия для решения задач теории векторной оптимизации Текст. / В. В. Подиновский // Управляемые системы. 1970. Вып. 6. С. 17-22.

228. Подиновский, В. В. Лексикографические задачи линейного программирования Текст. / В. В. Подиновский // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1972. Т. 12. № 6. С. 568 571.

229. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст. / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин. М.: Наука, 1982. 256 с.

230. Полищук, JT. И. Об обобщенных критериях с коэффициентами важности в задачах векторной оптимизации Текст. / Л. И. Полищук // Авт. и телемех. 1982. № 3. С. 55 60.

231. Попов, Б. В. Функциональные локальные операторы неполного и непустого выбора вариантов Текст. / Б. В. Попов, Л. И. Элькин // Авт. и телемех. 1969. № 9. С. 168 175.

232. Попов, Н. М. Об аппроксимации множества Парето методом сверток Текст. / Н. М. Попов // Вестник МГУ. Вычислит, матем. и кибернет. 1982. №2. С. 35-41.

233. Попов, Н. М. Приближенное решение многокритериальных задач с функциональными ограничениями Текст. / Н. М. Попов // Журн. вычислит. математики и матем. физики. 1986. Т. 26. № 10. С. 1468 1481.

234. Попов, Н. М. Двухуровневые схемы глобального и многокритериального поиска Текст. / Н. М. Попов // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1991. Т. 31. № 10. С. 1461 1475.

235. Пустыльник, Е. И. Использование линейной модели для экстраполяции экспертных оценок Текст. / Е. И. Пустыльник, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Автоматизация проектирования. М.: МДНТП, 1981. С. 46 50.

236. Пустыльник, Е. И. Об одном методе экстраполяции экспертных оценок Текст. / Е. И. Пустыльник, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Экономика и математические методы. 1983. Вып. 4. С. 716 717.

237. Пшеничный, Б. П. Численные методы в экстремальных задачах Текст. / Б. П. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М.: Наука, 1975. 320 с.

238. Райхман, Э. П. Экспертные методы в оценке качества товаров

239. Текст. / Э. П. Райхман, Г. Г. Азгальдов. М.: Экономика, 1974. 151 с.

240. Растригин, Л. А. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации Текст. / Л. А. Растригин, Я. Ю. Эйдук // Автоматика и телемеханика. 1985. № 1. С. 5 -25.

241. Раушенбах, Г. В. Экспертные оценки в медицине. Научный обзор Текст. / Г. В Раушенбах, О. В. Филиппов. М.: ВНИИММЕИ Минздрава СССР, 1983.80 с.

242. Рейнгольд, Э. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика Текст. / Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельт, Н. Део / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 480 с.

243. Руа, Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев (метод ЭЛЕКТРА) Текст. / Б. Руа // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Пер. с франц. М.: Мир, 1976. С. 80 107.

244. Руа, Б. Проблемы и методы принятия решений в задачах со многими целевыми функциями Текст. / Б. Руа // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Пер. с франц. М.: Мир, 1976. С. 20-58.

245. Саати, Т. Аналитическое планирование организации систем Текст. / Т. Саати, К. Керне / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1991. 223 с.

246. САПР. Типовые структуры базовых программно-методических комплексов оценки проектных вариантов поточных линий Текст. / В. В. Сысоев, М. С. Чирко, Ю. В. Бугаев и др. М.: Госстандарт СССР ВНИИН-МАШ, 1987. 92 с.

247. Сапронов, А. Р. Технология сахарного производства Текст. / А. Р. Сапронов. М.: Колос, 1999. 495 с.

248. Сергиенко, И. В. О некоторых направлениях в развитии методов дискретной оптимизации и их программного обеспечения Текст. / И. В. Сергиенко//Кибернетика. 1982. №6. С. 45-53.

249. Сергиенко, И. В. Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации Текст. / И. В. Сергиенко, Т. Т. Лебедева, В. А. Рощин.

250. Киев: Наукова думка, 1980. 273 с.

251. Сидельников, Ю. Т. Теория и организация экспертного прогнозирования Текст. / Ю. Т. Сидельников. М.: ИМЭМО АН СССР, 1990. 196 с.

252. Смирнов, M. М. О логической свертке вектора критериев Текст. / M. М. Смирнов // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1996. Т. 36. №5. С. 62-74.

253. Соболь, И. М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями Текст. / И. М. Соболь, Р. Б. Статников. М.: Наука, 1981. 110 с.

254. Современное состояние теории исследования операций Текст. / Под ред. H.H. Моисеева. М.: Наука, 1979. 464 с.

255. Справочник по специальным функциям Текст. / Под ред. М. Абрамовича. М.: Наука, 1979. 832 с.

256. Статистические методы анализа экспертных оценок Текст. / Под. ред. Ю. Ю. Тюрина и Д. А. Френкеля. М.: Наука, 1977. 384 с.

257. Статников, Р. Б. Решение многокритериальных задач проектирования машин на основе исследования пространства параметров Текст. / Р. Б. Статников // Многокритериальные задачи принятия решений. М.: Машиностроение, 1978. С. 148 155.

258. Сухарев, А. Г. Об оптимальных методах решения многокритериальных задач Текст. / А. Г. Сухарев // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982. №3. С. 67-73.

259. Сухарев, А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа Текст. / А. Г. Сухарев. М.: Наука, 1989. 299 с.

260. Сысоев, В. В. Экстраполяция нечетких экспертных оценок Текст. / В. В. Сысоев, Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Искусственный интеллект в технических системах. М.: ГосИФТП, 2000. Вып. 21. С. 13 19.

261. Сысоев, В. В. Построение модели выбора по результатам группового экспертного оценивания альтернатив на шкале отношений Текст. /

262. В. В. Сысоев, 10. В. Бугаев // Искусственный интеллект в технических системах. М.: ГосИФТП, 2001. Вып. 22. С. 55 66.

263. Сысоев, В. В. Автоматизированное проектирование линий и комплектов оборудования полупроводникового и микроэлектронного производства Текст. / В. В. Сысоев. М.: Радио и связь, 1982. 120 с.

264. Сысоев, В. В. Конфликт. Сотрудничество. Независимость. Системное взаимодействие в структурно-параметрическом представлении Текст. / В. В. Сысоев. М.: МАЭП, 1999. 151 с.

265. Сысоев, В. В. Построение моделей принятия проектных решений по ранее проведенным экспертизам Текст. / В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Автоматизация проектирования технологии и оборудования электронной промышленности. Воронеж: ВПИ, 1982. С. 71 74.

266. Сысоев, В. В. Принятие решений в многокритериальных задачах Текст. / В. В. Сысоев, А. А. Кадет. Деп. в ВИНИТИ. 1982. № 416 82 с.

267. Сысоев, В. В. Системное моделирование многоцелевых объектов

268. Текст. / В. В. Сысоев // Методы анализа и оптимизации сложных систем. М.:ИФГП РАН, 1993. С. 80-88.

269. Сысоев, В. В. Структурные и алгоритмические модели автоматизированного проектирования производства изделий электронной техники Текст. / В. В. Сысоев. Воронеж: ВТИ, 1993. 207 с.

270. Тангян, А. С. Построение аддитивной функции Текст. / А. С. Тангян // ДАН АН СССР. 1981. Т. 260. № 3. С. 539 543.

271. Трофимов, С. В. Оптимизация весовых коэффициентов в алгоритмах распознавания с представительными наборами Текст. / С. В. Трофимов // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1987. Т. 27. № 8. С. 1266- 1276.

272. Тюрин, Ю. Т. Анализ нечисловой информации (Обзор) Текст. / Ю. Т. Тюрин, В. Г. Литвак, А. Н. Орлов // Заводская лаборатория. 1980. Т. 46. № 10. С. 931-935.

273. Тюрин, Ю. Т. Анализ нечисловой информации Текст. / Ю. Т. Тюрин, В. Г. Литвак, А. И. Орлов. // Перепринт. Научный совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1981. 80 с.

274. Уилкс, С. С. Математическая статистика Текст. / С. С. Уилкс / Пер. с англ. М.: Наука, 1967. 632 с.

275. Умрихина, Е. В. Задача представления матричных сверток обобщенными аддитивными свертками при формировании комплексных оценок Текст. / Е. В. Умрихина // Авт. и телемех. 1987. № 11. С. 161 171.

276. Федоров, В. В. Теория оптимального эксперимента Текст. / В. В. Федоров. М.: Наука, 1971. 312 с.

277. Федоров, В. В. Численные методы максимина Текст. / В. В. Федоров. М.: Наука, 1979. 280 с.

278. Фишберн, П. С. Методы оценки аддитивных ценностей Текст. / П. С. Фишберн // Статистическое измерение качественных признаков. М.: Статистика, 1972. С. 8 34.

279. Фишберн, П. С. Многомерные функции полезности в теории ожидаемой полезности Текст. / П. С. Фишберн // Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений / Пер. с англ. М.: Мир, 1979. С. 11-25.

280. Фишберн, П. С. Обобщенная независимость по полезности и некоторые смежные вопросы Текст. / П. С. Фишберн, Р. Кини // Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений / Пер. с англ. М.: Мир, 1979. С. 26-44.

281. Фишберн, П. С. Теория полезности для принятия решений Текст. / П. С. Фишберн / Пер. с англ. М.: Наука, 1978. 352 с.

282. Форсайт, Д. Э. Машинные методы математических вычислений Текст. / Д. Э. Форсайт, М. Малькольм, Д. Моулер / Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 279 с.

283. Фурсов, В. М. Исследование работы утфелемешалок-кристаллизаторов Текст. / В. М. Фурсов // Пищевая пром-ть. Серия 11. Сахарная промышленность. М.: ЦНИИТЭИпищепром, 1979. Вып. 5. С. 9 11.

284. Хартман, К. Планирование экспериментов в исследовании технологических процессов Текст. / К. Хартман, Э. Лецкий, В. Шеффер / Пер. с нем. М.: Мир, 1977. 552 с.

285. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование Текст. / Д. Химмельблау. М: Мир, 1975. 400 с.

286. Цветков, В. Д. Система автоматизации проектирования технологических процессов Текст. / В. Д. Цветков. М.: Машиностроение, 1972. 240 с.

287. Цветков, В. Д. Системно-структурное моделирование и автоматизация технологической подготовки производства Текст. / В. Д. Цветков. М.: Энергия, 1975. 137 с.

288. Черных, О. Л. Аппроксимация Парето-оболочки выпуклого множества многогранными множествами Текст. / О. Л. Черных // Журн.вычислит, математики и матем. физики. 1995. Т. 35. № 8. С. 1285 1294.

289. Чернышева, Г. Д. Вероятностная модификация "жадных" алгоритмов комбинаторной оптимизации Текст. / Г. Д. Чернышева // Высокие технологии в технике и медицине. Воронеж: ВГТУ, 1994. С. 47 50.

290. Чикунов, С. В. Система алгоритмов решения задач поэтапного выбора Текст. / С. В. Чикунов, Ю. В. Бугаев // Теория конфликта и ее приложения. Материалы I Всероссийской научно-технической конференции. Воронеж: ВГТА, РАИИ, ВО МАИ, 2000. С. 13 15.

291. Чичинадзе, В. К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации: Метод ^-преобразования Текст. / В. К. Чичинадзе. М.: Наука, 1983. 242 с.

292. Шаракшанэ, А. С. Сложные системы. Учеб. Пособие для вузов Текст. / А. С. Шаракшанэ, И. Г. Железнов, В. А. Ивницкий. М.: Высш. шк., 1977. 247 с.

293. Шестова, И. А. Вероятностный алгоритм решения задачи о покрытии Текст. / И. А. Шестова // Информац. технологии и системы. Научное издание. Воронеж: ВГТА, 2001. Вып. 4. С. 187- 191.

294. Шмерлинг, Д. С. Экспертные оценки. Методы и применеие (обзор) Текст. / Д. С. Шмерлинг, С. А. Дубровский, Т. Д. Аржанова // Статистические методы анализа экспертных оценок. М.: Наука, 1977. С. 290 322.

295. Шокин, Ю. И. Интервальный анализ Текст. / 10. И. Шокин. Новосибирск: Наука, 1981. 112с.

296. Шоломов, Л. А. Логические методы исследования дискретных моделей выбора Текст. / Л. А. Шоломов. М.: Наука, 1989. 288 с.

297. Шрейдер, Ю. А. Равенство, сходство, порядок Текст. / Ю. А. Шрейдер. М.: Наука, 1978. 254 с.

298. Штойер, Р. М. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения Текст. / Р. М. Штойер / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. 504 с.

299. Щеглов, А. Ю. Метод многокритериальной оптимизации сложных систем с экспертным заданием гипотетического идеального вектора качества Текст. / А. Ю. Щеглов // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 1994. Т. 37. №5. С. 23-25.

300. Эйдук, Я. Ю. Векторно-релаксационные алгоритмы поиска компромиссного решения Текст. / Я. Ю. Эйдук // Методы и системы принятия решений. Рига: Рижский политехи, ин-т, 1981. С. 109 116.

301. Юдин, Д. Б. Математическое программирование в порядковых шкалах Текст. / Д. Б. Юдин // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1982. № 2. С. 3-16.

302. Юдин, Д. Б. Вычислительные методы многокритериальной оптимизации Текст. / Д. Б. Юдин // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1983. № 4. С.З- 16.

303. Юдин, Д. Б. Методы обобщенного выпуклого программирования и оценки их трудоемкости Текст. / Д. Б. Юдин // ДАН СССР. 1983. Т. 272. № 1.С. 40-43.

304. Юдин, Д. Б. Линейное программирование в порядковых шкалах Текст. / Д. Б. Юдин, Э. В. Цой // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1984. № 1. С. 15-19.

305. Юдин, Д. Б. Задача обобщенного выпуклого программирования с линейными предпочтениями Текст. / Д. Б. Юдин, Э. В. Цой // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1985. № 1. С. 34-41.

306. Юдин, Д. Б. Модели обобщенного математического программирования Текст. / Д. Б. Юдин, Э. В. Цой // Изв. АН СССР. Техн. кибернет.,1987. № l.C. 24-37.

307. Юдин, Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений Текст. / Д. Б. Юдин. М.: Наука, 1989. 316 с.

308. Юттлер, А. Линейная модель с несколькими целевыми функциями Текст. / А. Юттлер // Эконом, и матем. методы. 1967. Т. 3. № 3. С. 356 -361.

309. Юшматов, С. В. Метод нахождения весов, не требующий полной матрица попарных сравнений Текст. / С. В. Юшматов // Авт. и телемех., 1990. №2. С. 186- 189.

310. Arrow, R. J. Rational choice functions and ordering Текст. / R. J. Arrow//Econometrica. 1959. V. 26. P. 121 127.

311. Barbera, S. Manipulation of social decision functions Текст. / S. Barbera // J. econ. theory. 1977. V. 15. P. 266 278.

312. Bector, С. B. Generalized concavity and anality in multiobjective nonsmooth programming Текст. / С. В. Bector, D. Bhatia, P. Jain // Util. math., 1993. V. 48. P. 71-78.

313. Blair, D. H. Impossibility theorems without collective rationality Текст. /D. H. Blair, G. Bordes, J. S. Kelly //J. econ. theory. 1976. V. 13. P. 361 -379.

314. Borwein, J. Proper efficient points for maximization with respect to cones Текст. / J. Borwein // SIAM J. Control and Optimiz. 1977. V. 15. № 1. P. 57 63.

315. Bowman, V. J. On the relationship of the Tchebysheff norm and the efficient frontier of multiple-criteria objectives Текст. / V. J. Bowman // Lectures notes in tcon. and math. syst. 1976. V. 130. P. 76 86.

316. Bredly, G. H. A note on the shape of the Pareto optimal surface Текст. / G. H. Bredly, M. Shubik // J. Econ. Theory. 1974. V. 8, № 4. P. 530 -538.

317. Charnes, A. Management models and industrial applications of linearprogramming Текст. / A. Charnes, W. Cooper. N.Y.: Wiley, 1961. 284 p.

318. Chen, G. Y. Existence and continuity of solutions for vector optimization Текст. / G. Y. Chen, B. D. Craven // J. optimiz. theory and appl. 1994. V. 81. №3. P. 459-468.

319. Churchmen, C. W. An approximate measure of value Текст. / С. W. Churchmen, R. Ackoff// Oper. res. 1954. № 2. P. 172 181.

320. Cogger, К. O. Eigenweight vectors and least-distance in pairwise weght ratios Текст. / К. О. Cogger, P. L. Yu // J. optimiz. theory and appl. 1985. V. 46. P. 483-491.

321. Cohon, J. L. Multiobjective Programming and Planning Текст. / J. L. Cohon. N. Y.: Academic Press, 1978. 312 p.

322. Despotis, D. K. A review of the UTA multicriteria method and some improvements Текст. / D. K. Despotis, D. Z. Yannaconoluos // Found, comput. and desic. sci. 1990. V. 15. № 2. P. 63 76.

323. Dong Cao. An interactive multiple criteria decision making algorithm for the planification of agro-socio-economic systems Текст. / Dong Cao, M. Installe // 11th IFAC world congr. "Autom. contr. serv. manking". Tallinn, 1990. P. 139- 144.

324. Ecker, J. G. Generating all maximal efficient laces for multiple objective linear programs Текст. / J. G. Ecker, N. S. Hegner, L. E. Konada // JOTA. 1980. V. 30. №3. P. 353-381.

325. Ferejohn, J. A. Weak path independence Текст. / J. A. Ferejohn, D. Grether // J. econ. theory. 1977. V. 14. P. 19 31.

326. Fishburn, P. G. Paradoxes of voting Текст. / P. G. Fishburn // Amer. political science review. 1974. V. 68. P. 537 546.

327. Fishburn, P. G. Condorset social choice functions Текст. / P. G. Fishburn // SIAMJ. Appl. math. 1997. V. 33. P. 68 96.

328. Gardenfors, P. Manipulation of social choice functions Текст. / P. Gardenfors // J. econ. theory. 1976. V. 13. P. 217 228.

329. Gawrych-Zukowski, A. Polyoptimierungsproblema mit nicht konvexen Zielmengen Текст. / A. Gawrych-Zukowski, J. Kotovski, J. Utasiewiez // Wiss. Z. Techn. Univers. Dresden. 1980. № 2. S. 427 429.

330. Gearhart, W. B. Compromise solutions and estimation of the noninferior set Текст. / W. B. Gearhart // JOTA. 1979. V. 28. № 1. P. 29 47.

331. Geoffrion, A. M. Proper efficiency and the theory of vector maximization Текст. / A. M. Geoffrion // J. math. anal, and apl. 1968, V. 22. № 3. P. 618 -630.

332. Geoffrion, A. M. Solving bicriterion mathematical programming Текст. / A. M. Geoffrion // Oper. research. 1967. V. 15. № 1. P. 39 54.

333. Geoffrion, A. M. Strictly concave parametric programming. I, II Текст. / A. M. Geoffrion // Man. sci. 1966. V. 13. P. 244 253, 350 - 370.

334. Geoffrion, A. M. An interactive approach for multicriterion optimization, with an application to the operation of an Acadtmic Departament Текст. / A. M. Geoffrion, J. S. Dyer, A. Feinberg // Manag. science. 1972. V. 19. № 4. P. 357-368.

335. Gibbard, A. Manipulation of voting schemes, general result Текст. / A. Gibbard // Econometrica. 1973. V. 41. P. 587 601.

336. Giesy, D. P Calculation of Pareto-optimal solutions to multiple-objective problems using threshold-of-acceptability constraints Текст. / D. P. Giesy // IEEE trans, automat, contr. 1978. V. AC-23. P. 1114 1115.

337. Holland, J. H. Adaptation in natural and artificial systems Текст. / J. H. Holland // Univers. of Michigan, press ann. probl. 1975. 214 p.

338. Ivanchev, D. Multicriteria optimum path problems Текст. / D. Iv-anchev, D. Kudros//Yugosl. j. oper. res. 1995. V. 5. № 1. P. 79-93.

339. Krantz, D. H. Conjoint measurement the Luce Tukey axiomatization and sonec extension Текст. / D. H. Krantz // J. math. Psychology. 1964. № 2. P. 248-277.

340. Lin, J. G. Three methods for determining Pareto-optimal solutions ofmultiple-objective problems Текст. / J. G. Lin // Directions in large-scale systems. N.Y., London: Plenum press, 1976. P. 117-138.

341. Lin, J. G. Proper equality constraints and maximization of index vectors Текст. / J. G. Lin // JOTA. 1976. V. 20. № 2. P. 215 244.

342. Maeda, T. Constraint qualification in multiobjective optimizations problems Текст. / Т. Maeda // J. optimiz. theory and appl. 1994. V. 80. № 3. P. 483-501.

343. Maskin, E. A theorems of utilitarianism Текст. / E. A. Maskin // Review economic studies. 1978. V. 46. P. 93 96.

344. May, К. O. A set of independent, necessary and sufficient conditions for simple majority decision Текст. / К. О. May // Econometrica. 1953. V. 21. P. 172- 173.

345. Nogin, V. D. Relative impotance of criteria: a quantitative approach Текст. / V. D. Nogin // J. of multi-criteria decision anal. 1997. V. 6. P. 355- 363.

346. Peleg, B. Consistent voting systems Текст. / В. Peleg // Econometrica. 1978. V. 46. P. 153-161.

347. Plott, С. B. Path independence, rationality and social choice Текст. / С. В. Plott // Econometrica. 1973. V. 41. № 6. P. 1075 1091.

348. Podinovski, V. V. Criteria importance theory Текст. / V. V. Podi-novski // Math, social sciences. 1994. V. 27. P. 237 252.

349. Saaty, T. Eigenweigh an logarithmic lease squares Текст. / Т. Saaty // Eur. j. oper. res. 1990. V. 48. № 1. P. 156- 160.

350. Satterthwaite, M. A. Strategy-proofness and Arrow's conditions: existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions Текст. / M. A. Satterthwaite // J. econ. theory. 1975. V. 10. P. 187 217.

351. Sen, A. K. Choice functions and revealed preference Текст. / A. K. Sen // Rev. econ. studies. 1971. V. 38. P. 307-317.

352. Sen, A. K. Social choice theory: A re-examination Текст. / A. K. Sen //Econometrica. 1977. V. 45. № 1. P. 121 127.

353. Steuer, R. E. An interactive weighted Tchebycheff procedure for multiple objectives programming Текст. / R. E. Steuer, E.-U. Choo // Math, progr. 1983. V. 26. № l.P. 326-344.

354. Suzuki, G. Procurement and allocation of naval electronic equipment Текст. / G. Suzuki //Naval res. logistics. 1957, V. 4. P. 1 7.

355. Travain, M. C. On Lagrang-Kuhn-Tucker multipliers for Pareto optimization problems Текст. / M. C. Travain // Numer. func. anal, and optimiz. 1994. V. 15. №5. P. 689-693.

356. Wei, Т. H. The algebraic foundations of ranking theory Текст. / Т. H. Wei // Thes. Cambridge. 1952. P. 15 17.

357. Young, H. P. An axiomatization of Borda's rule Текст. / H. P. Young // J. econ. theory. 1974. V. 9. P. 43 52.

358. Yu, P. L. The set of all non-dominated solutions in linear cases a multicriteria simplex-method Текст. / P. L. Yu, M. Zeleny // J. math. anal, and appl. 1975. V. 40. №2. P. 430-468.

359. Zeleny, M. Linear multiobjective programming Текст. / M. Zeleny. N.Y., Berlin: Springer-verlag, 1974. 288 p.

360. Zions, S. An interactive programming method for solving the multiple Текст. / S. Zions, J. Wallenius // Manag. science. 1976. V. 22. № 6. P. 652 -663.