автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Синтез моделей индивидуального выбора на основе избыточности экспертной информации

09-6 11

На правах рукописи

ЧЕРНЯЕВА СВЕТЛАНА НИКОЛАЕВНА

СИНТЕЗ МОДЕЛЕЙ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВЫБОРА НА ОСНОВЕ ИЗБЫТОЧНОСТИ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук

Воронеж: - 2009

Работа выполнена на кафедре информационных технологий моделирования и управления Воронежской государственной технологической академии.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Бугаев Юрий Владимирович (Воронежская государственная технологическая академия)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сайко Дмитрий Сергеевич

(Воронежская государственная технологическая академия)

доктор физико-математических наук, профессор

Меньших Валерий Владимирович

(Воронежский институт МВД РФ)

Ведущая организация: Воронежский государственный университет, г. Воронеж

Защита состоится «12» ноября 2009 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» по адресу: 394017, г. Воронеж, проспект Революции, д. 19.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии. Автореферат разослан «12» октября 2009 г. Автореферат размещен на официальном сайте ВГТА www.vgta.vrn.ru «12 » октября 2009 года.

Ученый секретарь /1

диссертационного совета ¿¿^^^-^^-к.т.н., доц. И.А. Хаустов

г1 о г: от; гас ударс I Н ПI II ш

____2ООН •

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблемы выбора и принятия решений занимают особое место в комплексе задач, решение которых направлено на повышение эффективности современых технологий. В стандартной постановке, принятой в теории выбора, задача принятия решений заключается в отборе из множества заданных альтернатив одного или нескольких вариантов, наиболее предпочтительных с точки зрения лица, принимающего решение (ЛПР). Однако, при решении данной задачи в процессе проектирования и оптимизации функционирования технических и технологических систем, мощность исходного множества альтернатив может быть слишком велика для того, чтобы ЛПР смог непосредственно к этому набору применить какой-либо механизм выбора оптимального варианта. Так, например, число нехудших вариантов технологического процесса изготовления интегральных схем в полупроводниковом и микроэлектронном производстве сравнимо с 106.

Разработке эффективных процедур выбора посвящены работы К. Эрроу, А. К. Сена, Б. Руа, П. С. Фишберна, Л. А. Заде, Т. Саати, С. В. Емельянова, О. И. Ларичева, В. В. Подинов-ского и др. Среди этих процедур следует выделить метод экстраполяции экспертных оценок (МЭЭО), разработанный в ВГТА коллективом во главе с В. В. Сысоевым и имеющий ряд преимуществ перед прочими методами. В частности, он даёт возможность существенного, на несколько порядков, сокращения исходного набора вариантов.

При построении моделей выбора на основе экспертных оценок к свойствам последних предъявляется ряд требований. Одним из важнейших свойств является транзитивность, которая, тем не менее, часто нарушается при многократном сравнении альтернатив. Следовательно, процедура выбора должна содержать механизм обнаружения и исправления противоречий в предпочтениях экспертов, который, как правило, основан на использовании избыточной информации, содержащейся в экспертных оценках. Однако, в МЭЭО такой механизм отсутствует.

В связи с этим задача разработки и исследования процедур, позволяющих осуществлять выбор в условиях большой мощности набора исходных вариантов и при этом находить и исправлять возникающие противоречия в экспертных предпочтениях, является актуальной. Исследованиям в рамках данной фундаментальной проблемы посвящена настоящая работа.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с направлением госбюджетной НИР «Математическое и компьютерное моделирование в задачах проектирования и оптимизации функционирования информационных и технологических систем» (№ госрегистрации 01.2006.06298), а также грантов: РФФИ 06 - 07 - 89189-а по теме «Разработка информационных технологий выбора на необозримом для ЛПР множестве альтернатив» и Рособразования НК-15 П(1) по теме «Разработка открытых информационных систем перерабатывающих производств».

Целью исследований является исследование и разработка моделей выбора, устойчивых к ошибкам экспертного оценивания и обеспечивающих построение инструментальных средств в виде математического и программного обеспечения автоматизированных систем поддержки принятия решений целевого назначения.

Поставленная цель достигается посредством решения следующих задач.

1. Исследование условий, при которых использование МЭЭО приводит к сужению исходного множества альтернатив, недоминируемых по Парето, с целью создания эффективной мажоритарной схемы выбора оптимальных решений.

2. Разработка и исследование моделей поведения эксперта, приводящего к совершению ошибок оценивания альтернатив.

3. Теоретическое обоснование новых вариантов МЭЭО, позволяющих корректировать ошибки экспертного оценивания, обусловленных нетранзитивностью предпочтений и разработка на их основе моделей и алгоритмов выбора.

4. Разработка программного продукта, реализующего модели и алгоритмы выбора на основе новых вариантов МЭЭО.

5. Проведение вычислительных экспериментов и практическая реализация результатов исследования в производственных условиях

Методы исследования. Выполненные исследования базируются на использовании аппарата выпуклого анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории выбора и принятия решений. Общей методологической основой является системный подход.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Доказано, что необходимыми условиями сужения набора Парето-оптимальных альтернатив посредством МЭЭО являются непустота относительной внутренности множества коэффициентов обобщенного критерия и строгое включение этого множества в стандартный (к - 1)-симплекс А/(.

2. Доказано, что отношение экспертного предпочтения в методе экстраполяции по конусу может быть представлено как отношение Парето на линейных критериальных функциях.

3. Разработаны и исследованы модели поведения эксперта, которое приводит к совершению ошибок оценивания при сравнении альтернатив на порядковой шкале в традиционном МЭЭО и при заполнении матрицы парных сравнений, применяемой в методе анализа иерархий (МАИ).

4. Получены ММП-оценки параметров распределения экспертных оценок, представленных в виде матрицы парных сравнений альтернатив обучающей выборки и доказана несмещенность статистической оценки вектора коэффициентов функции обобщенного критерия.

Практическая значимость работы состоит в построении прграммного комплекса на основе новых моделей, численных схем и алгоритмов.

Разработанные модели и алгоритмы были применены для решения задачи оптимизации функционирования кристаллизационного отделения в производстве сахара на АООТ "Сахарный завод "Бапашовский".

Результаты исследований внедрены в учебный процесс Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль 2007 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007 г.), а также на отчетных научно-технических конференциях ВГТА.

Публикации. Основное содержание работы изложено в 5 публикациях, из них 2 - в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, личное участие соискателя состоит в следующем:

- [1] - доказательство теорем 2 и 3;

- [2] - разработка метода получения статистических

оценок;

- [3] - разработка отношений предпочтений, выявляющих и исправляющих нетранзитивность экспертного оценивания;

- [4] - разработка алгоритма обнаружения и исправления нетранзитивных предпочтений экспертов.

- [5] - корректировка алгоритма, численные примеры.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 99 наименований и двух приложений. Основной текст изложен на 80 страницах без списка литературы. Работа содержит 15 таблиц, б рисунков. Объем приложений - 11 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе приведен обзор литературных источников, описывающих традиционные модели выбора. Показана необходимость синтеза новых моделей индивидуального выбора для исправления ошибок экспертов с привлечением избыточной информации, сформулированы задачи исследования.

Во второй главе предлагается синтез новой модели выбора на основе традиционного метода экстраполяции экспертных оценок.

Исходной предпосылкой для применения МЭЭО является допущение о наличии функции обобщенного критерия (ОК)

Дх) = 1б„/„(х) = йг/(х), (1)

где(У> - известные функции; Ъи - неизвестные параметры (веса), и - 1 к- количество критериев.

На основе экспертного сравнения альтернатив из обучающей выборки строится система неравенств вида:

X К [/„ (X) - Л 0/)] = Ьт[/{х) - /(у)] > 0, (2)

описывающая, при дополнительном условии

Ье{аеЕк\сЧЬО-,У}Гаи=\} = Лк, (3)

множество В возможных значений вектора Ь коэффициентов функции ОК (1), которое представляет собой (к - 1)-мерный выпуклый многогранник или стандартный (к - 1)-симплекс.

ОК субъективно оценивается экспертом на интуитивном уровне, причем при оценивании вносятся ошибки, вследствие которых могут возникать нетранзитивность и противоречивость в предпочтениях.

После определения множества В для организации сужения исходного набора альтернатив строится бинарное отношение Л(В) вида

, л ivZ.eS Ьт/(х)>Ьг/(у)

(Ь ) /(х) > (6 ) /ОО

которое называется отношением, порождаемым множеством В.

В результате исследований по улучшению МЭЭО, проведённых ранее, была доказана теорема об условиях строгой и нестрогой вложенности двух выборов, основанных на механиз-

ме блокировки по отношению Я(В). Получено следствие из этой теоремы, которое определяет необходимые условия сужения множества Парето посредством МЭЭО.

Следствие. Пусть В - множество векторов коэффициентов ОК с непустой относительной внутренностью, a R(B) - порожденное им отношение. Тогда из CR<B> (.X) с Р(Х), где Р{Х) - множество Парето набора X, следует В с Ак.

Здесь CR<B> («) - функция выбора, основанная на механизме блокировки по отношению R(B).

Для сужения набора Парето-оптимальных альтернатив необходимо чтобы множество В имело непустую относительную внутренность и было строго включено в симплекс Л*.

Кроме того, нами доказана теорема 1, которая указывает простой способ проверки непустоты относительной внутренности множества допустимых коэффициентов.

Пусть матрица А состоит из элементов, представляющих собой разницу между сравниваемыми альтернативами по каждому критерию, а,/= fj{x') - fjiy'y, к- количество критериев. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Относительная внутренность многогранника, координаты вершин которого представляют собой строки матрицы А сравнения альтернатив, будет не пуста тогда и только тогда, когда rank А = к.

Так как для организации сужения необходимо проанализировать все возможные пары из X, решая каждый раз задачу линейного программирования, то нами предложен более эффективный алгоритм попарного сравнения альтернатив - представить отношение предпочтения как отношение Парето на некотором наборе новых критериальных функций. Возможность такого представления доказана в следующей теореме.

Теорема 2. Отношение R(B) можно представить в следующем виде

(б'У№)-/(у))>0 (bJ)T(f(x)-f(y))> о.

где Ъ' - базисные точки системы (2) - (3).

Таким образом, после нахождения набора базисных точек строится система новых критериальных функций r,(x) = (b')T f(x), на которых ищется множество Парето. Поиск множества базисных точек можно искать известными алгоритмами.

Наиболее часто причиной возникновения нетранзитивности является использование эвристики типа «денежный насос», когда экспертом игнорируется малая разница между значениями важных критериев. Модель поведения эксперта, соответствующего этой эвристике, представим в виде:

l.\ L1 L2

А<В, В<С, АУС где символ "-<" - означает "лучше по предпочтению"; L \ -правило предпочтения по неглавным критериям {q\,...,qn}\Vw, Угл - множество главных критериев; L2 -правило предпочтения по группе главных критериев.

Введем на множестве альтернатив обучающей выборки отношение предпочтения которое объясняется поведением эксперта, соответствующим эвристике типа «денежный насос»:

(у, z) 6 & <=> V/ у, > zи 3 j: yj > zj. (5)

Допустим, экспертам в результате сравнений удалось получить численное значение порога которое можно трактовать как малую величину. Тогда среди сравниваемых пар альтернатив отношению (5) будут принадлежать те пары, для которых выполнится условие £,minmax ■ Здесь

Iminmax = min max fepj), (6)

zPyyP

где p - порядковый номер сравниваемой пары, £Pj~fj(zF) - fj(У).

Таким образом, отношению (5) принадлежат пары альтернатив, соответствующие ошибочному превосходству одной альтернативы над другой. Истинное превосходство в смысле

соответствующих значений ОК будем описывать отношением

которое используется для построения области допустимых значений коэффициентов ОК.

Совокупность соотношений (7) для всех подходящих пар обучающей выборки при дополнительном условии (3) определяет область допустимых векторов коэффициентов ОК.

Приводятся численные примеры, иллюстрирующие работу данного метода.

В третьей главе предлагается метод нахождения точечных статистических оценок коэффициентов функции ОК.

По аналогии с известным методом анализа иерархий экспертами формируется матрица парных сравнений А, размером тхт (т - количество альтернатив), элементы которой вычисляются по формуле:

где V, - полезность г'-й альтернативы, оцененная экспертом.

Далее по элементам матрицы вычисляются оценки объективных полезностей альтернатив. Если значения V, не содержат ошибок, для элементов матрицы А выполняется условие согласованности:

и оценки полезности определяются точно, в противном случае они будут содержать погрешности, наличие которых может привести к нетранзитивности экспертных предпочтений.

Для вычисления оценок компонент вектора м> (м>, - объективная полезность г'-ой альтернативы) и других характеристик альтернатив на основе статистических методов будем интерпретировать матрицу парных сравнений как результат некоторого измерения со случайными ошибками.

В теории принятия решений принято рассматривать экс-

(V, 2) 6 /о Щу) > и (у, г)*

(7)

а у = аис ■ %, 1 < / < к <7 < т,

(9)

перта как особого рода прибор, с присущими ему метрологическими характеристиками. Рассматривая эксперта в таком ключе будем интерпретировать числа как реализации некоторых случайных величин с математическими ожиданиями:

M\üij\ — w< Iwj . (10)

При этом мы предполагаем, что ац = — ■ еу/, где е(> - ошибки

Wj

экспертного оценивания с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями.

Применим метод максимального правдоподобия (ММП) для оценки полезностей w,.

В ММП предполагается известным совместное распределение случайных исходов экспериментов. На наш взгляд наиболее разумным кажется допущение о логнормальном распределении ошибок. Поэтому для изложения ММП сделаем следующие допущения: ошибки экспертного оценивания независимы и распределены логнормально с одинаковыми дисперсиями. Тогда логарифм функции правдоподобия представляется следующей формулой:

-1 пЩ = С + т(т -1) \п(а) + -L V (Ä - Zj + z,)2 (11)

2ст

где z ~ логарифм вектора объективных полезностей z, = ln(w,-)> bij = 1п(а,;), С - некоторая константа.

В результате нами были получены ММП-оценки вектора z, объективных полезностей w, и дисперсии ошибок экспертного оценивания, представленные формулами (12), (13) и (14) соответственно:

z™" =-±-(В-ВТ)е (12)

2т

где В - матрица с элементами bip I - единичная матрица, е ~ вектор-столбец суммирования с элементами е, =1. Отсюда

' т

Щ

ммп

П'

М

Ylan

Kn=1 у

2т

(13)

(04)

Если объективные полезности альтернатив определяются значениями ОК, то методом максимального правдоподобия можно получить оценки для коэффициентов ОК. В общем случае для этого надо решить задачу условной нелинейной оптимизации. В том случае, когда ОК имеет экспоненциальный вид:

F(x) = exp (X buMx)) = ехр( bTf{x)), (15)

несложно получить явную формулу для ММП-оценок коэффициентов ОК:

ЪММП = _L .(фТф ф) -1 фТ щВ _ 57')б) ( ] 6)

2т

где Ф - матрица с элементами Фги =fu (xr); W-I-ее'- — .

т

Определим свойство найденных оценок. Предположим, что имеет место соотношение

B-BT = 2(zT е-е/) + (Е-ЕТ), (17)

где Е - матрица ошибок экспертного оценивания £у, являющихся независимыми случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями. Равенство (17) имеет место, если эксперт заполняет только наддиа-

Рис. 1. Алгоритм экстраполяции экспертных оценок при нетранзитивных предпочтениях

тональную часть матрицы парных сравнений (это обычная практика метода анализа иерархий). Пусть, кроме того, существует вектор Ъ истинных коэффициентов модели, для которого справедливо равенство:

г= УУФЪ.

Последнее представляет собой аналог допущения об адекватности уравнения регрессии, принятого в теореме Гаусса -Маркова.

Теорема 3. При сделанных допущениях оценка (16) является несмещенной, независимо от вида распределения е,у.

В четвертой главе приведено описание разработанного программного комплекса, структура взаимодействия модулей, реализующих алгоритм определения коэффициентов новых критериальных функций для сужения множества альтернатив посредством экстраполяции экспертных оценок при нетранзитивных предпочтениях, изображенный на рис. 1.

Рассмотрено практическое применение в промышленности разработанных методик и алгоритмов для решения задачи параметрической оптимизации двухпродуктового отделения в производстве сахара-песка на АООТ "Сахарный завод "Бала-шовский".

В заключении приведены основные выводы и результаты работы.

В приложениях приведены численные сравнения процедур решения задач выбора, материалы и разработки автора, свидетельствующие о практическом использовании результатов исследования и отражающие специфику решаемых задач.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

При выполнении диссертационного исследования получены следующие основные научные и практические результаты.

1. Получены необходимые условия сужения множества Па-рето-оптимальных альтернатив в мажоритарных схемах, использующих МЭЭО

2. Разработаны и исследованы модели поведения эксперта, приводящего к совершению ошибок оценивания альтернатив.

3. Проведено теоретическое обоснование новых вариантов МЭЭО, позволяющее корректировать ошибки экспертного оценивания, обусловленные нетранзитивностью предпочтений и на их основе разработаны модели индивидуального выбора при экспертизе на порядковой шкале, предусматривающие од-нокригериально-экстремизационный и парнодоминантный механизмы выбора.

4. Разработан статистический подход к получению оценок коэффициентов ОК на основе матрицы парных сравнений альтернатив, формируемой по правилам метода анализа иерархий.

5. Разработан программный продукт, который позволяет осуществлять индивидуальный выбор вариантов решений на основе экстраполяции экспертных оценок при нетранзитивных предпочтениях.

6. Проведены вычислительные эксперименты и практическая реализация результатов исследования в реальных производственных условиях, подтверждающие достоверность полученных результатов. Разработанные инструментальные средства в виде алгоритмов и программ внедрены в учебный процесс на кафедре ИТМиУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Черняева, С. Н. Сужение множества Парето с использованием экспертных оценок [Текст] / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин, С. Н. Черняева. - Вестник ВГУ № 2, серия: Физика, Математика, 2006.-с. 160-164.

2. Черняева, С. Н. Обработка матрицы парных сравнений методом максимального правдоподобия [Текст] / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин, С. Н. Черняева // Системы управления и информационные технологии. Воронеж, 2008. - с. 35 -38.

09-2 13 1 1

Статьи и материалы конференций

3. Черняева, С. Н. Модель выбора при нетранзитивных предпочтениях [Текст] / С. Н. Черняева, Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Материалы II междунар. науч. конф. "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" / Воронеж, 2007.-с. 43 -44.

4. Черняева, С. Н. Алгоритм построения модели выбора при нетранзитивных предпочтениях [Текст] / С. И. Черняева, Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Материалы XX междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-20) /Воронеж, 2007.-т.2-с. 139-141 .

5. Черняева, С. Н. Причины возникновения противоречий в МЭЭО и алгоритм их устранения [Текст] / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин, С. Н. Черняева. - Вестник ВГТА № 2, 2008. - с. 45 -49.

Подписано в печать 08.10.2009 г. Формат 60 х 84/16. Заказ № 3{?5" Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз.

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Отдел оперативной полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела оперативной полиграфии: 394000, Воронеж, пр. Революции, 19.

2008174390

Введение

ГЛАВА 1. Обзор традиционных моделей индивидуального выбора

1.1. Подходы к решению задач выбора

1.2. Применение мажоритарных схем для решения задач выбора

1.3. Процедуры решения задач выбора с привлечением экспертной информации

1.4. Выводы и задачи исследования

ГЛАВА 2. Синтез моделей выбора на основе метода экстраполяции экспертных оценок

2.1. Описание метода экстраполяции экспертных оценок

2.2. Условия сужения множества Парето в мажоритарных схемах, использующих МЭЭО

2.3. Построение модели выбора в условиях нетранзитивности экспертных предпочтений

2.4. Алгоритм экстраполяции экспертных оценок на порядковой шкале при нетранзитивных предпочтениях

2.4.1. Вводные положения

2.4.2. Анализ множества допустимых решений системы (2.14)

2.4.3. Проверка адекватности функции обобщенного критерия

2.4.4. Выявление неравенств системы, «повинных» в нарушении транзитивности

2.4.5. Описание алгоритма 68 Выводы по главе

ГЛАВА 3. Использование матриц парных сравнений в МЭЭО

3.1 Вывод статистических оценок

3.2. Исследование свойств полученных оценок

3.2.1. Существование оценки (3.12)

3.2.2. Параметры оценки (3.12) 86 Выводы по главе

ГЛАВА 4. Описание программного комплекса и практическая реализация моделей выбора 90 4.1. Структура специального программного обеспечения, реализующего МЭЭО при нетранзитивных предпочтениях 90 4.2 Практическая реализация результатов исследования: оптимизация функционирования кристаллизационного отделения в производстве сахара 95 4.3. Обсуждение результатов оптимизации 101 Выводы по главе 101 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 102 Библиографический список 103 Приложение 1. Сравнение процедур выбора 114 Приложение 2. Пример упорядочивания альтернатив с помощью МЭЭО 122 Приложение 3. Листинг главного модуля программы

Актуальность проблемы. Высокий уровень капиталовложений, необходимых при создании высокотехнологичных производств, требует эффективного использования средств, которое в первую очередь достигается за счет оптимизации структуры и параметров таких производств на основе применения новых информационных технологий, и математического моделирования на базе современной вычислительной техники.

Особое место в этом комплексе задач занимают проблемы выбора и принятия решений, потребность в разрешении которых возникает на всем протяжении жизненного цикла любой, сколько-нибудь сложной системы.

Когда альтернатив много (сотни и тысячи), внимание лица принимающего решения (ЛПР) не может сосредоточиться на каждой из них. В таких ситуациях возрастает необходимость в четких правилах выбора, в процедурах использования экспертов, в разработке совокупности правил, позволяющих проводить в жизнь непротиворечивую и последовательную политику. Во всем этом существует потребность и тогда, когда число альтернатив не велико (до 20).

В современной науке о принятии решений считается, что варианты принятия решений характеризуются различными показателями их привлекательности для ЛПР — критериями. В подавляющем большинстве задач выбора имеется достаточно много критериев оценок вариантов решений. Эти критерии могут быть зависимыми или независимыми. Зависимость между критериями приводит к появлению целостных образов альтернатив, которые имеют для каждого из участников выбора определенное смысловое содержание.

Как известно, в многокритериальной задаче поиск лучших решений производится в пределах множества Парето. Это множество недоминируемых решений может оказаться достаточно большим и малообозримым для ЛПР. В связи с этим возникает необходимость его сужения до обозримых для ЛПР пределов. Одним из путей преодоления указанной проблемы является применение метода экстраполяции экспертных оценок (МЭЭО), так как этот метод позволяет рассматривать не все множество альтернатив, а только его

часть (обучающую выборку). Результаты, полученные на основе обучающей выборки, затем экстраполируются на все множество альтернатив. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать этот метод.

Для сужения множества Парето применяются неформальные процедуры с использованием экспертной информации. Наиболее исследован так называемый парнодоминантный подход, при котором строится некоторое бинарное отношение R, более слабое, чем отношение Парето Par, а затем осуществляется выбор альтернатив, недоминируемых по этому отношению, т. е. применяется функция выбора согласно механизму блокировки.

Одним из важнейших свойств, которым должно обладать отношение предпочтения, является транзитивность: когда одно решение предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения, то при сравнении первого и третьего решения, здравомыслящий человек выберет первое решение. Если бы предпочтения не были транзитив-ны, вполне могло бы существовать множество решений, выбрать наилучшее из которых невозможно.

Выявлять и исправить нетранзитивность в суждениях эксперта можно при использовании избыточной информации. Однако не все существующие методы решения многокритериальных задач позволяют исправлять противоречия, возникающие в результате нерационального поведения экспертов. В связи с этим необходимо синтезировать модель выбора, которая позволила бы находить и исправлять возникающие противоречия с привлечением избыточной информации, полученной от экспертов.

Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетной НИР по теме «Математическое и компьютерное моделирование в задачах проектирования и оптимизации функционирования информационных и технических систем» (№ госрегистрации 01.2006.05298), а также грантов: РФФИ 06 - 07 -89189-а по теме «Разработка информационных технологий выбора на необозримом для ЛПР множестве альтернатив» и Рособразования НК-15 П(1) по теме «Разработка открытых информационных систем перера-батывающих производств».

Целью работы является исследование и разработка моделей индивидуального выбора, устойчивых к ошибкам экспертного оценивания и обеспечивающих построение инструментальных средств в виде математического и программного обеспечения автоматизированных систем поддержки принятия решений целевого назначения.

Поставленная цель достигается посредством решения следующих задач.

1. Исследование условий, при которых использование МЭЭО приводит к сужению исходного множества альтернатив, недоминируемых по Парето, с целью создания эффективной мажоритарной схемы выбора оптимальных решений.

2. Разработка и исследование моделей поведения эксперта, приводящего к совершению ошибок оценивания альтернатив.

3. Теоретическое обоснование новых вариантов МЭЭО, позволяющих корректировать ошибки экспертного оценивания, обусловленных нетранзитивностью предпочтений и разработка на их основе моделей и алгоритмов выбора.

4. Разработка программного продукта, реализующего модели и алгоритмы выбора на основе новых вариантов МЭЭО.

5. Проведение вычислительных экспериментов и практическая реализация результатов исследования в производственных условиях.

Методы исследования. Выполненные исследования базируются на использовании аппарата выпуклого анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории выбора и принятия решений. Общей методологической основой является системный подход.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Доказано, что необходимыми условиями сужения набора Парето-оптимальных альтернатив посредством МЭЭО являются непустота относительной внутренности множества коэффициентов обобщенного критерия и строгое включение этого множества в стандартный {к - 1)-симплекс Л*.

2. Доказано, что отношение экспертного предпочтения в методе экстраполяции по конусу может быть представлено как отношение Парето на линейных критериальных функциях.

3. Разработаны и исследованы модели поведения эксперта, которое приводит к совершению ошибок оценивания при сравнении альтернатив на порядковой шкале в традиционном МЭЭО и при заполнении матрицы парных сравнений, применяемой в методе анализа иерархий (МАИ).

4. Получены ММП-оценки параметров распределения экспертных оценок, представленных в виде матрицы парных сравнений альтернатив обучающей выборки, и доказана несмещенность статистической оценки вектора коэффициентов функции обобщенного критерия.

Практическая значимость работы состоит в построении комплекса инструментальных средств на основе новых моделей, численных схем и алгоритмов.

Разработанные модели и алгоритмы были применены для решения задачи оптимизации функционирования кристаллизационного отделения в производстве сахара на АООТ "Сахарный завод "Балашовский".

Результаты исследований внедрены в учебный процесс Воронежской государственной технологической академии.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Ярославль 2007 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007 г.), «Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых» (Воронеж 2009 г.), а также на отчетных научно-технических конференциях ВГТА.

Публикации. Основное содержание работы изложено в 6 публикациях, из них 2 - в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 100 наименований и трех приложений. Основной текст изложен на 102 страницах без списка литературы. Работа содержит 19 таблиц, 6 рисунков. Объем приложений - 29 страниц.

Выводы по главе

1. Построены инструментальные средства индивидуального выбора при нетранзитивных предпочтениях в виде программного комплекса "Extra-pol", инвариантного к предметной области.

2. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие возможность применения разработанных моделей, алгоритма и механизма индивидуального выбора для решения задач поиска лучшей альтернативы в случае нескольких критериев.

3. Достоверность и полнота результатов исследования подтверждается их практической реализацией на конкретном примере решения задачи параметрической оптимизации двухпродуктового отделения кристаллизации в производстве сахара-песка на АООТ "Сахарный завод "Балашовский".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении диссертационного исследования получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Получены необходимые условия сужения множества Парето-оптимальных альтернатив в мажоритарных схемах, использующих МЭЭО, что позволяет использовать метод экстраполяции в качестве эффективного механизма сужения множества Парето.

2. Разработаны и исследованы модели поведения эксперта, приводящего к совершению ошибок оценивания альтернатив. Данные модели послужили основой для построения новых вариантов МЭЭО.

3. Теоретически обоснованы два новых варианта МЭЭО, позволяющих корректировать ошибки экспертного оценивания, обусловленные нетранзитивностью предпочтений. Это расширяет область применения МЭЭО. На основе новых вариантов разработаны модели и алгоритмы индивидуального выбора при экспертизе на порядковой шкале, предусматривающие однокри-териально-экстремизационный и парнодоминантный механизмы выбора.

4. Разработан новый вариант МЭЭО, использующий явные статистические оценки коэффициентов экспоненциальной функции ОК, вычисляемые на основе матрицы парных сравнений альтернатив, формируемой по правилам метода анализа иерархий.

5. Разработан программный продукт, который позволяет осуществлять индивидуальный выбор вариантов решений на основе экстраполяции экспертных оценок при нетранзитивных предпочтениях.

6. Проведены вычислительные эксперименты и практическая реализация результатов исследования в реальных производственных условиях, подтверждающие достоверность разработанных моделей и алгоритмов, что позволяет применять МЭЭО для решения задач выбора.

1. Айзерман, М. А. Выбор вариантов: основы теории Текст. / М. А. Ай-зерман, Ф. Т. Алескеров.- М. : Наука, 1990. 240 с.

2. Айзерман, М. А. Некоторые аспекты общей теории выбора лучших вариантов Текст. / М. А. Айзерман, А. В. Малишевский // Авт. и телемех. 1981.-№2.- С. 65-82.

3. Айзерман, М. А. Функциональные локальные операторы в теории голосования I III Текст. / М. А. Айзерман, Ф. Т. Алескеров // Авт. и телемех. 1984.-№5. С. 78-88; №6. С. 105 - 114; № 7. С. 108- 120.

4. Анич, И. Метод "Электра" и проблема ацикличности отношений альтернатив Текст. / И. Анич, О. И. Ларичев // Авт. и телемех,- 1996.- № 8.-С. 108-118.

5. Анохин, А. М. Методы определения коэффициентов важности критериев Текст. / А. М. Анохин, В. А. Глотов, В. В. Павельев //Авт. и телемех.-1997.-№8.- С. 3-35.

6. Батищее, Д. И. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений Текст. / Д. И. Батищев, Д. Е. Шапошников. Н. : Новгород : ИПФ РАН, 1994. 92 с.

7. Березовский, Б. А. Многокритериальная оптимизация: математические аспекты Текст. / Б. А. Березовский, Ю. М. Барышников, В. И. Борзен-ко.- М. : Наука, 1989. 126 с.

8. Березовский, Б. А. Задача наилучшего выбора Текст. / Б. А. Березовский, А. В. Гнедин. М. : Наука, 1984. - 196 с.

9. Борисов, А. Н. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ: Информационное, математическое и программное обеспечение Текст. /А. Н Борисов, Э. Р. Вшпомс, Л. Я. Сукур.- Рига: Зинатне, 1986. 195 с.

10. Бугаев, Ю. В. Экстраполяция экспертных оценок на порядковой и лингвистической шкалах Текст. / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин // Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения.- Воронеж : ВГУ, 2000. С. 25.

11. Бугаев, Ю. В. Вопросы существования и единственности в методе максимума правдоподобия при экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев // Теория конфликта и ее приложения. I Всерос. науч.-техн. конф. Воронеж: ВГТА, 2000.- С. 63 64.

12. Бугаев, Ю. В. Об одном методе отбора эффективных решений на итерациях поиска Текст. // Математич. моделирование информационных и технологич. систем: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж: ВГТА, 2000. - Вып. 4.-С. 211-215.

13. Бугаев, Ю. В. Применение прямого обобщения скалярных алгоритмов в векторной оптимизации на графах Текст. / Ю. В. Бугаев // Дискретная математика. 2001. - Т. 13. - Вып. 3. - С. 110 - 124.

14. Бугаев, Ю. В. Алгоритм бисекции в экстраполяции экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев // Экономика и математические методы. 2002.Т. 38, №3,- С. 121-125.

15. Бугаев, Ю. В. Сужение множества Парето с использованием экспертных оценок Текст. / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин, С. Н. Черняева // Вестник ВГУ. Серия: Физика, Математика. 2006.- № 2.- С. 160 - 164.

16. Бугаев, Ю. В. Синтез моделей выбора технологических решений на основе двухэтапных мажоритарных схем Текст. : дисс. д-ра. физ.-мат. Наук / Бугаев Ю.В. Воронеж, 2005. - 332 с.

17. Бугаев, Ю. В. Обработка матрицы парных сравнений методом максимального правдоподобия Текст. / Ю. В. Бугаев, Б. Е. Никитин, С. Н. Черняева // Системы управления и информационные технологии. Воронеж, 2008.-№3(33).-с. 35-38.

18. Випкас, Э. И. Решения: теория, информация, моделирование Текст. / Э. Й. Вилкас, Е. 3. Майменас. — М. : Радио и связь, 1981. 328 с.

19. Вольский, В. И. Сравнительный анализ процедур голосования Текст. /

20. В. И. Вольский, 3. М. Лезина // Авт. и телемех.- 1992.- № 2.- С. 3 29.

21. Гафт, М. Г. Выделение множества неподчиненных решений и их оценок в задачах принятия решений при векторном критерии Текст. / М. Г. Гафт, В. М. Озерной // Авт. и телемех.- 1973.- № 11.- С. 85 94.

22. Гафт, М. Г. Методология поиска решения в дискретных множествах Текст. / М. Г. Гафт, В. М. Озерной // Многокритериальные задачи.- М. : Наука, 1978. С. 15-46.

23. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций Текст. / Ю. Б. Гермейер.- М. : Наука, 1971. 383 с.

24. Гермейер, Ю. Б. Методологические и математические основы исследования операций и теории игр Текст. / Ю. Б. Гермейер.- М. : ВЦ МГУ, 1967.-212 с.

25. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами Текст. / Ю. Б. Гермейер.- М. : Наука, 1976. 327 с.

26. Глотов, В. А. Координатно-модульные отношения Текст. / В. А. Глотов // Авт. и телемех.- 1984.- № 2. С. 99 104.

27. Демиденко, Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии Текст. / Е. 3. Демиденко. М. : Финансы и статистика, 1981. - 302 с.

28. Десятое, Д. Б. Синтез информационных технологий анализа функционирования стохастических технологических систем Текст. : дисс. д-ра техн. наук / Д. Б. Десятов,- Воронеж : ВГТА, 1997. 346 с.

29. Джоффрион, А. Решение задач оптимизации при многих критериях на основе человеко-машинных процедур Текст. / А. Джоффрион, Дж. Дайер, Л. Файнбере // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М. : Мир, 1976. - С. 126 - 145.

30. Евтушенко, Ю. Г. Методы численного решения многокритериальнах задач Текст. / Ю. Г. Евтушенко, М. А. Потапов // ДАН СССР.- 1986.- Т. 291, № 1.С. 25-29.

31. Евтушенко, Ю. Г. Численные методы решения многокритериальныхзадач Текст. / Ю. Г. Евтушенко, М. А. Потапов // Кибернетика и выч. техника.- М. : Наука, 1987.- Вып. 3.- С. 209-218.

32. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации Текст. / Ю. Г. Евтушенко. М.: Наука, 1982.

33. Емельянов, С. В. Логика рационального выбора Текст. / В. J1. Наппель-баум // Техническая кибернетика.- М.: ВИНИТИ, 1977.- Т. 8.- С. 5 101.

34. Емельянов, С. В. Методы исследования сложных систем. Логика рационального выбора Текст. / С. В. Емельянов, Э. Л. Наппельбаум // Техническая кибернетика. М. : ВИНИТИ, 1977.- Т. 8.- С. 5 101.

35. Емельянов, С. В. Многокритериальные методы принятия решений Текст. / С. В. Емельянов, О. И. Ларичев.- М. : Знание, 1985. 32 с.

36. Жуковин, В. С. Модели и процедуры принятия решений Текст. / В. С. Жуковин. Тбилиси : Мешнереба, 1981. - 118 с.

37. Кеменн, Дж. Кибернетическое моделирование: некоторые приложения Текст. : пер. с англ. / Дж. Кемени, Дж. Снелл.- М.: Сов. радио, 1972. 192 с.

38. Кини Р. Л. Принятие решений при многих критериях: замещения и предпочтения Текст. : пер. с англ / Р. Л. Кини, X. Райфа.- М. : Радио и связь, 1981.-560 с.

39. Краснощекое, П. С. Математические модели в исследовании операций Текст. / П. С. Краснощеков.- М. : Наука, 1984. 314 с.

40. Краснощеков, П. С. Последовательное агрегирование в задачах внутреннего проектирования технических систем Текст. / П. С. Краснощеков, В. В. Морозов, В. В. Федоров // Изв. АН СССР. Технич. кибернет,-1978.-№5.- С. 57-64.

41. Краснощеков, 77. С. Декомпозиция в задачах проектирования Текст. / П. С. Краснощеков, В. В. Морозов, В. В. Федоров // Изв. АН СССР. Технич. кибернет.- 1979.- № 2.- С. 7 17.

42. Ларичев, О. И. Анализ процессов принятия человеком решений при альтернативах, имеющих оценку по многим критериям Текст. / О. И. Ларичев // Авт. и телемех.- 1981.- № 8.- С. 131 141.

43. Ларичев, О. И. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ Текст. / О. И. Ларичев, Е. В. Мошкевич.- М. : Наука, 1996. 208 с.

44. Ларичев, О. И. Методы многокритериальной оценки альтернатив Текст. / О. И. Ларичев // Тр. ВНИИСИ.- 1978,- Вып. 5. С. 5 30.

45. Ларичев, О. И. Наука и искусство принятия решений Текст. / О. И. Ларичев.- М. : Наука, 1979. 200 с.

46. Ларичев, О. И. Объективные модели и субъективные решения Текст. / О. И. Ларичев.- М. : Наука, 1987. 144 с.

47. Ларичев, О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений многокритериальных задач математического программирования Текст. / О. И. Ларичев, О. А. Поляков // Экономика и мат. Методы. 1980.- Вып. 1.Т. 16.- С. 127- 145.

48. Ларичев, О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах Текст. : учебник / О. И. Ларичев.- М. : Логос, 2000. 296 с.

49. Ларичев, О. И. Выявление экспертных знаний Текст. / О. И. Ларичев, А. И. Мечитов, Е. М. Мошкович.- М. : Наука, 1989.- 128 с.

50. Льюс, Р. Д. Игры и решения Текст. : пер. с англ. / Р. Д. Льюс, X. Райфа.- М. : Изд-во иностр. литературы, 1961. 642 с.

51. Макаров, И. М. Теория выбора и принятия решений Текст. / И. М. Макаров, Т. М. Виноградская, А. А. Рубчинский.- М. : Наука, 1982. -328 с.

52. Миллер, Г. Магическое число семь плюс или минус два. О некоторыхпределах нашей способности перерабатывать информацию Текст. / Г. Миллер // Инженерная психология,- М. : Прогресс, 1964.- С. 192 — 225.

53. Михалевич, В. С. Алгоритмы последовательного анализа и отсеивания вариантов в задачах дискретной оптимизации Текст. / В. С. Михалевич, В. JI. Волкович, А. Ф. Волошин // Кибернетика.- 1980.- № 3.- С. 76 85.

54. Михалевич, В. С. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем Текст. / В. С. Михалевич, В. JI. Волкович.- М. : Наука, 1982. 286 с.

55. Михалевич, В. С. О некоторых математических и эвристических особенностях процесса проектирования сложных систем Текст. / В. С. Михалевич, В. Л. Волкович // УСиМ, 1976, № 3. С. 3 9.

56. Михалевич, В. С. Методы невыпуклой оптимизации Текст. / В. С. Михалевич, А. М. Гупал, В. И. Норкин.- М. : Наука, 1987. 278 с.

57. Моисеев, Н. Н. Математические задачи системного анализа Текст. / Н. Н. Моисеев.- М. : Наука, 1981.-487 с.

58. Ногин, В. Д. Использование набора количественной информации об относительной важности критериев в процессе принятия решений Текст. / В. Д. Ногин, И. В. Толстых // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 2000.- Т. 40, № 11.- С. 1593 1601.

59. Орлов, А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях Текст. / А. И. Орлов.- М. : Наука, 1979. 296 с.

60. Орлов, А. И. Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях Текст. / А. И. Орлов, Г. В. Рыданова.-М. : ВЦ АН СССР, 1986.- С. 61-71.

61. Орлов, А. И. Часто ли распределение результатов наблюдений является нормальным? Текст. / А. И. Орлов // Заводская лаборатория.- 1991.Т. 57, №7.- С. 64-66.

62. Подгтовский, В. В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности критериев в многокритериальных задачах Текст. / В. В. Подиновский; под ред. Н. Н. Моисеева // Современное состояние теории исследования операций.- М. : Наука, 1979.- С. 117 145.

63. Подиновский, В. В. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач Текст. / В. В. Подиновский, В. Д. Ногин.- М. : Наука, 1982. 256 с.

64. Подиновский, В. В. Оптимизация по последовательно применяемым критериям Текст. / В. В. Подиновский, В. М. Гаврилов.- М. : Сов. радио,1975. 192 с.

65. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями Текст. / В. В. Подиновский // Журн. вычислит, математики и матем. физики.- 1975.- Т. 15, № 2- С. 330 394.

66. Подиновский, В. В. Многокритериальные задачи с упорядоченными по важности критериями Текст. / В. В. Подиновский // Авт. и телемех.1976.-№ П.-С. 118-127.

67. Подиновский, В. В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений. Порядковые или ординальные коэффициенты важности Текст. / В. В. Подиновский // Авт. и телемех.- 1978.- № 10.- С. 130 — 141.

68. Подиновский, В. В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений Текст. / В. В. Подиновский // Многокритериальные задачи принятия решений.- М. : Машиностроение, 1978.-С. 48-92.

69. Подиновский, В. В. Методы многокритериальной оптимизации. Эффективные планы Текст. / В. В. Подиновский.- М. : Наука. 1971,- Вып. 1.-С. 74 92.

70. Пустылъник, Е. И. Об одном методе экстраполяции экспертных оценок Текст. / Е. И. Пустыльник, В. В. Сысоев, М. С. Чирко // Экономика и математические методы.- 1983.- Вып. 4.- С. 716 — 717

71. Руа, Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев (метод ЭЛЕКТРА) Текст. : пер. с франц. / Б. Руа // Вопросы анализа и процедуры принятия решений-. М. : Мир, 1976.- С. 80 — 107.

72. Руа, Б. Проблемы и методы принятия решений в задачах со многими целевыми функциями Текст. / Б. Руа // Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Пер. с франц. М.: Мир, 1976. С. 20 - 58.

73. Статистические методы анализа экспертных оценок Текст. / под. ред. Ю. Ю. Тюрина и Д. А. Френкеля,- М.: Наука, 1977. 384 с.

74. Сысоев, В. В. Структурные и алгоритмические модели автоматизированного проектирования производства изделий электронной техники Текст. / В. В. Сысоев.- Воронеж : ВТИ, 1993. 207 с.

75. Тюрин, Ю. Т. Анализ нечисловой информации (Обзор) Текст. / Ю. Т. Тюрин, В. Г. Литвак, А. Н. Орлов // Заводская лаборатория.- 1980.Т. 46, № 10.-С. 931-935.

76. Тюрин, Ю. Т. Анализ нечисловой информации Текст. / Ю. Т. Тюрин, В. Г. Литвак, А. И. Орлов // Перепринт. Научный совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика".- 1981.- 80 с.

77. Фишберн, 77. С. Теория полезности для принятия решений Текст. : пер. с англ. / П. С. Фишберн.- М. : Наука, 1978. 352 с.

78. Чикунов, С. В. Структурно-параметрический синтез моделей многокритериального поэтапного выбора решений в технологических системах Текст. : дис. канд. техн. наук. / С. В. Чикунов.- Воронеж, 2003. — 170 с.

79. Шмерлинг, Д. С. Экспертные оценки. Методы и применение Текст. : обзор. / Д. С. Шмерлинг, С. А. Дубровский, Т. Д. Аржанова // Статистические методы анализа экспертных оценок.- М. : Наука, 1977.- С. 290 — 322.

80. Шметтерер, Л. Введение в математическую статистику Текст. / Л. Шметтерер.- М. : Наука, 1976. 520 с.

81. Шокин, Ю. И. Интервальный анализ Текст. / Ю. И. Шокин.- Новосибирск : Наука, 1981. 112 с.

82. Шоломов, Л. А. Логические методы исследования дискретных моделей выбора Текст. / Л. А. Шоломов.- М. : Наука, 1989. 288 с.

83. Шрейдгр, Ю. А. Равенство, сходство, порядок Текст. / Ю. А. Шрей-дер.- М.: Наука, 1978. 254 с.

84. Штойер, Р. М. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения Текст. : пер. с англ. / Р. М. Штойер.- М. : Радио и связь, 1992.-504 с.

85. Юдин, Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений Текст. / Д. Б. Юдин. М. : Наука, 1989. 316 с.

86. Arrow, R. J. Rational choice functions and ordering Text. / R. J. Arrow 11 Econometrica.- 1959.- V. 26,- P. 121 127.

87. Cohort, J. L. Multiobjective Programming and Planning Text. / J. L. Co-hon.- N. Y. : Academic Press, 1978.- 312 p.

88. Fishburn, P. G. Paradoxes of voting Text. / P. G. Fishburn 11 Amer. political science review.- 1974.- V. 68.- P. 537 546.

89. Fishburn, P. G. Condorset social choice functions Text. / P. G. Fishburn // SI AM J. Appl. math.- 1997.- V. 33.- P. 68 96.

90. Geoffrion, A. M. Proper efficiency and the theory of vector maximization Text. / A. M. Geoffrion // J. math. anal, and apl.- 1968.- V. 22, № 3.- P. 618 630.

91. Karwan, M. N. On finding starting solutions for some specially structured linear programming problems Text. / M. N. Karwan // Working Paper № 445, School of Manadgment, State University of New York.- Buffalo, 1980.

92. Saaty, T. L. An eingenvalue allocation model for prioritization and planning Текст. / Т. L. Saaty // Energy Management and Policy Center, University of Pennsylvania.- 1972.

93. Saaty, Т. L. Multicriteria decision making. The analytic hierarchy process: planning, priority setting, resource allocation Text. / T. L. Saaty. University of Pittsburgh : RWS publications.- 1990.

94. Sen, A. K. Choice functions and revealed preference Text. / A. K. Sen 11 Rev. econ. studies.- 1971.- V. 38.-P. 307-317.

95. Sen, A. K. Social choice theory: A re-examination Text. / A. K. Sen // Econometrica.- 1977.- V. 45, № 1.- P. 121 127.

96. Tversky, A. Intransitivity of preferences Text. /А. Tversky // Psychological Review.- 1969, № 76.

97. Villareal, B. A branch and bound approach to interactive multicriteria integer linear programming Text. / B. Villareal, M. N. Karwan, S. Zoints // Paper presented at Joint National Meeting TIMS/ORSA : Washington, D. C.- 1980.

98. Zions, S. An interactive programming method for solving the multiple Text. / S. Zions, J. Wallenius // Manag. science.- 1976.- V. 22, № 6.- P. 652 663.

99. Zions, S. Multiple Criteris Decision Making for Discrete Alternatives with Ordinal Criteria Text. / S. Zions, // Worcing Paper № 299, School of Ma-nadgment. New York: State University of New York.- Buffalo, 1977.