автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Схемы эволюции по параметру при решении спектральных задач квантовой механики

объединенный институт ядерных исследовании

На правах рукописи УДК 519.6, 530.145, 539.19

Соломатин Евгений Борисович

схемы эволюции по параметру при решении спектральных задач квантовой механики.

Специальность 05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Дубна 1996

Работа выполнена в Институте Химической Физики Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук И.Д. Родионов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В.М. Головизнин кандидат физико-математических наук И.В. Амирханов

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Вычислительный Центр РАН, Москва.

Защита диссертации состоится " п 1996 года

в " часов на заседании Диссертационного Совета

Д047.01.04 при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ, г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан " ^ " о^Ф-Я 1995 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета

кандидат физико-математических наук

З.М. Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Математические модели многих физических явлений и процессов часто сводятся к краевым спектральным задачам с параметром (физическим или искуственно введенным) для линейных и нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и их систем. При этом на языке функционального анализа их можно сформулировать как нахождение семейства решений х(а) на отрезке [осд.о^] для функционального уравнения вида:

F(x,а)=0, (1)

где хеХ, F:Xxictg,aj]->Y - дифференцируемый нелинейный оператор, X.Y - функциональные пространства, х - собственные значения и собственные функции, а - физический параметр.

Специфика таких задач определяется необходимостью изучать поведение решения на широкой области параметров, диапазон изменения которых, например, давления или температуры при расчете свойств вещества, может включать несколько порядков, что фактически требует проведения многовариантных расчетов.

Это, с одной стороны, усложняет задачу исследователя и предъявляет жесткие требования к эффективности алгоритмов. С другой стороны, именно специфика постановки, связанная с решением совокупности близких по значениям параметра однотипных задач, позволяет преодолевать указанную проблему в рамках общей идеи продолжения по физическому параметру.

Данный подход получил развитие в работах отечественных и зарубежных авторов: М.К. Гавурина, Д.Ф, Давиденко, В.А. Амбарцумяна, A.A. Дородницына, С.Г. Михлина, Р.П. Федоренко, Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина, Р. Беллмана, Дне. Одена, В. Рейнболдта, Дж. Ортеги, А. Уокера, Е. Аллоговера и ряда других. Среди конкретных приложений выделяются цикл исследований Е.П. Жидкова и И.В. Пузынина с соавторами по разработке непрерывного аналога метода Ньютона (НАШ) для решения широкого круга задач квантовой механики, работы группы A.A. Абрамова и Б.Н. Конюховой, посвященные решению многопараметрических несамосопряженных краевых задач теории оболочек.

Несмотря на кажущуюся простоту общей идеи, на практике остается недостаточно проработанным широкий круг вопросов.

связанных с проблемой конкретной реализации. При этом эффективность обычно достигается лишь на пути создания специализированных алгоритмов, ориентированных на решение узких классов задач.

В работах И.Д. Родионова была предложена концепция метода эволюции параметра (МЭП), позволяющего в рамках общей идеи продолжения реализовать алгоритмы со следующими свойствами:

-экономичность (в смысле использования вычислительных ресурсов), достигаемая за счет оригинальной схемы эволюции и ■ процедуры понижения размерности,

-устойчивость и релаксация ошибок в процессе расчета эволюционной кривой,

-порядок точности О(Зо^) по параметру при затратах, эквивалентных Ньютоновским итерациям.

Актуальность диссертации определяется необходимостью доведения общей концепции МЭП до конечных схем и алгоритмов применительно к конкретным классам краевых спектральных задач квантовой механики. Применение МЭП позволяет максимально учитывать их специфику при сохранении единого подхода к решению. Целью и задачей исследования является: -разработка на основе МЭП, обоснование и реализация схем эволюции при решении краевых спектральных задач с параметром для линейных ОДУ второго порядка, систем таких ОДУ с линейным и нелинейным вхождением собственных значений в краевые условия, некоторых типов систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

-построение конкретных алгоритмов эволюции по физическим и иску'ственно введенным параметрам при решении задачи на связанные состояния для одномерного уравнения Шредингера, изучении расщепления уровней атома во внешнем электрическом поле Г (задача Штарка), расчетах по моделям самосогласованного поля типа Хартри и Хартри-Фока-Слэтера (ХФС).

Научная новизна. В работе предложен и обоснован ряд новых, в том числе обобщенных, схем эволюции в рамках МЭП для решения указанных выше классов краевых спектральных задач. Развиваемый подход получил методическую завершенность и доведен до специализированных экономичных алгоритмов, ориентированных на' современные вычислительные средства, включая параллельные архитектуры. В том числе:

Для задачи на связанные состояния (являющейся "пробным камнем" для МЭП) наряду со схемами эволюции построены

оригинальные алгоритмы: отделения спектра, расчета уровня с заданным номером, расчета участка спектра, заданного диапазоном номеров или граничными значениями энергии.

Для задачи Штарка на общей методической основе разработаны новые алгоритмы расчета как в постановке задачи рассеяния, так и задачи на квазистационарные состояния.

Для нелинейных самосогласованных задач на основе МЭП построены высокоточные эволюционные и итерационные схемы на равномерных и квазиравномерных сетках, обоснована устойчивость и релаксирующие свойства базовых и обобщенных схем МЭП со сходимостью 0(5а4) и 0(5а2) по параметру. Разработан алгоритм расчета по моделям Хартри и ХФС с трудоемкостью СИЮ, где N -число точек по пространственной переменной. Эволюция по ряду параметров в модели ХФС в рамках МЭП проведена впервые.

Результаты ряда проведенных расчетов являются новыми.

Практическая значимость. Теоретические результаты могут быть использованы при построении новых классов схем эволюционного и итерационного типа. Эффективность развитых схем и реализованных алгоритмов подтверждена практикой расчетов, имеющих прикладное значение, в том числе:

Для задачи Штарка на основе схем МЭП получены диаграммы расщепления уровней, вычислена их энергия и ширина в диапазоне поля Г, превосходящем пределы применимости теории возмущений. Результаты расчетов перекрывают опубликованные данные.

Для моделей Хартри и ХФС показана возможность проведения массовых расчетов с перестройкой электронных конфигураций и сменой параметра в процессе эволюции. Рассчитана зависимость спектра, чисел заполнения, химического потенциала и других характеристик от температуры, радиуса и заряда ядра.

Полученные данные и накопленный опыт являются теоретическим заделом для расчетов межмолекулярных взаимодействий при интерпретации эксперимента по рассеянию молекулярных пучков.

Алгоритмические средства, развиваемые в рамках МЭП, допускают эффективную реализацию на современных параллельных архитектурах. Это особенно актуально при решении систем ОДУ, в том числе нелинейных самосогласованных задач, для которых схемы МЭП реализованы на многопроцессорной транспьютерной системе. Интерфейс разработанного комплекса программ позволяет проводить исследование моделируемых процессов в режиме диалога, допускающем смену параметра в процессе эволюции.

Таким образом, развиваемый подход показал себя как

надежный инструмент вычислительного эксперимента.

Методика исследований. В основе работы лежат численные методы решения спектральных задач математической физики, теория итерационных процессов, математического анализа, методы решения нелинейных уравнений. Практическая реализация ориентирована на применение персональных ЭВМ, параллельных архитектур и разработку комплексов прикладных программ.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на всесоюзных совещаниях "Физико-химические свойства вещества" (Ужгород, 1988, Иркутск, 1990), межвузовской конференции "Вычислительная физика и математическое моделирование" (Волгоград, 1988), на всесоюзном совещании "Молекулярно-пучковые исследования" (Алма-Ата, 1990), всесоюзном семинаре "Прикладные проблемы моделирования и оптимизации" (Славское, 1991), на всесоюзных конференциях "Транспьютерные системы и их применение" (Звенигород, 1991, Домодедово, 1992), на международной конференции "Новые информационные технологии в науке, технике, медицине" (Гурзуф, 1994), конференции "Вычислительные сети-95" (Крым, 1995). Кроме того, работа обсуждалась на семинарах под руководством д.ф.-м.н. Ю.А. Шмыглевского (ВЦ РАН), под руководством д.ф.-м.н. Ф.И. Далидчика (ИХФ РАН), под руководством д.ф.-м.н. A.A. Абрамова (ВЦ РАН), на семинаре ЛВТА ОИЯИ под руководством д.ф.-м.н. Е.П. Жидкова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 149 наименований. Работа содержит страниц, включая 22 рисунка и 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых вопросов, формулируются цели исследований, новизна и практическая ценность результатов, а также кратко изложено содержание диссертации по главам.

Процесс последовательного нахождения решений х(а) при изменении параметра далее обозначается термином "эволюция" (по параметру). Вычислительная схема, реализующая этот процесс, носит название "схема эволюции". параметр а -

"параметр эволюции".

Первая глава диссертации посвящена изложению базовых схем эволюции на основе МЭП. В ней развиты практические алгоритмы для решения нескольких классов краевых спектральных задач с параметром для линейных ОДУ второго порядка, систем таких ОДУ с нелинейным вхождением собственных значений в краевые условия, нелинейных самосогласованных задач.

В § 1.1 дана постановка основных задач, проведен обзор литературы и сравнительный анализ методов продолжения (МП).

В § 1.2 сформулирована концепция МЭП. ориентированная на задачи с физическим параметром, включающая:

1. Выбор параметра, по которому проводится эволюция (если решение зависит от нескольких параметров);

2. Процедуру понижения размерности вектора эволюцио-нируемых переменных х(а) путем выделения существенно нелинейных компонент и формулировки эволюционной задачи относительно нового вектора г(а) меньшей размерности ;

3. Алгоритм эволюции выделенных компонент на основе схемы

х1+1= х1 + Мх^с^)-Зс^ + 0 (5а2), (2)

где оператор эволюции (ОЭ) Ых^сс^ определяется выражением:

Ых,,а,) = - / ^ + Л Т , ^нПхл.а,) (3)

11 Ь Зх ] I эа ■> 1 11

При вычислении ОЭ (3) одновременно вычисляется добавка

5х1 = -[Г^(х1,а1)]"1-Г(х1,а1) , (4)

что позволяет без существенных дополнительных затрат уточнить значение х1 методом Ньютона:

х1 = х1 + Зх^х»^) + 0(5а4) (5).

4. Методику вычисления на каждом шаге эволюции полного вектора решения х(а) по найденным компонентам г(а).

Схема МЭП (2) является:

-явной;

-одношаговой;

-экономичной (имеет порядок точности 0(5а4) при затратах, эквивалентных Ньютоновской итерации);

-обладает свойством релаксации ошибок (начальных данных и случайно внесенных) до некоторого уровня, определяемого шагом по параметру и дискретизацией по пространственной переменной;

Особо отмечено, что для рассматриваемых в работе классов

задач оператор эволюции (3) выводится в явном виде, либо находится из интегрального уравнения, структура которого допускает решение за 0(Ы) операций, где N - число точек по пространству.

Приведено доказательство теоремы сходимости МЭП, обоснован порядок точности и релаксирунщие свойства ОЭ.

В конце параграфа проведено сравнение МЭП с наиболее известными в литературе подходами: НАМИ, квазилинеаризацией и др., показано его место среди МП, достоинства и недостатки.

В § 1.3-1.5 подробно рассмотрены базовые схемы МЭП для решения классов краевых спектральных задач с параметром, соответствующих: линейным ОДУ второго порядка, системам таких ОДУ, нелинейным самосогласованным задачам. В соответствии с концепцией МЭП в каждом случае обосновано выделение нелинейной компоненты г(а), приведёна методика вычисления х(а), отмечены особенности эволюции. В ряде случаев достаточно вычислять собственные функции (СФ) с меньшей, чем собственные значения (СЗ), точностью, например 0(За2) для СФ и 0(ба4) для СЗ. Рассмотрена оптимальная последовательность действий при реализации соответствующих схем эволюции.

Глава 2 посвящена разработке и обоснованию алгоритма решения задачи на связанные состояния для одномерного уравнения Шредингера. Примером естественного физического параметра является орбитальное квантовое число.

Данная задача является "пробным камнем" для тестирования МЭП и сравнительной оценки его свойств. Кроме того, вычисление собственных значений и собственных функций является одной из основных "операций" при расчете свойств вещества на основе моделей самосогласованного поля и использование здесь схем на основе МЭП придает методическую цельность и завершенность всему подходу.

В § 2.1 приведена постановка задачи. В зависимости от конкретных приложений может потребоваться: I) Определить полное число N уровней (для короткодействующих потенциалов), либо найти количество уровней N. лежащих ниже заданного числа Е , 2) При фиксированных значениях параметров найти энергию уровня с заданным номером п з N. 3) Найти участок спектра, заданный диапазоном номеров или граничными значениями энергии, 4) .Провести эволюцию уровня с заданным номером по выбранному параметру.

В § 2.2 предложен базовый алгоритм расчета сеточных собственных функций на основе встречной дифференциальной

прогонки. В § 2.3 изложены алгоритмы решения соответствующих задач 1-4 из § 2.1. При этом эффективно использована идея вытеснения связанных состояний в сплошной спектр по мере уменьшения глубины потенциала, совмещенная с приемом введения внутренней параметризации. В § 2.4 приведено сравнительное тестирование алгоритмов МЭП для аналитически и сеточно заданных потенциалов. Результаты представлены значительным числом рисунков и таблиц. В заключительной части главы (§ 2.5) на основе опыта многочисленных расчетов сформулированы практические рекомендации по контролю точности, сходимости и процедуре уточнения полученных результатов.

Глава 3 посвящена расчетам эффекта Штарка для атома водорода. Интерес к теоретическому исследованию данного явления - сдвига и расшепления уровней энергии Е атомов во внешнем электрическом поле Е - связан с расширением круга приложений и новыми экспериментами. Требуется вычислить зависимость энергии уровней Е(П в достаточно широком диапазоне, превосходящем пределы применимости теории возмущений.

После разделения переменных в параболических координатах задача сводится к системе двух уравнений,

+ и^.Е^.О-Г (*) = 0.

,, 1 (Б)

где (31 - константа разделения переменных, Е - энергия уровня, Пр п2, п - параболические квантовые числа. Краевая спектральная задача для системы (6) определяется заданием граничных условий для собственных функций. При этом имеется два подхода, соответствующих разным физическим постановкам и отличающихся типом граничного условия на Гп „(т?): задача на квази-

"2

стационарные состояния и задача рассеяния электрона на ядре атома в присутствии электрического поля Г. Оба подхода характеризуются нелинейным вхождением Е и в граничные условия.

В первом случае асимптотика _(т)) на бесконечности

соответствует расходящейся волне, а Е является комплексным числом Е=Е0~1• Г/2, где Е0 - центр уровня, - Г - его ширина.

Во втором случае изучается резонансная структура фазы рассеяния, Гп на бесконечности имеет вид стоячей волны,

а представляющие физический интерес значения Е0 и Г определяются в окрестности резонансных точек из Брейт-

Вигнеровской параметризации.

В § 3.3 проведен краткий анализ некоторых подходов к решению задачи Штарка, выделена роль прямых численных расчетов.

В § 3.3 содержится вывод основных формул для получения ОЭ (3) в явном виде, оценена трудоемкость алгоритма, рассмотрены оптимальная схема эволюции по параметру F, методика расчетов для обеих физических постановок. Приведены диаграммы расщепления ряда уровней на подуровни, рассчитана зависимость Eq(F), Г(П и ßj(F). Например, приведенные таблицы данных для всех подуровней 4-го уровня включают диапазон изменения Г(П более, чем 15 порядков. Для 10-го и 25-уровней проведен расчет в более широком диапазоне, чем имеется в литературе, получены значения для ßj(F), отсутствующие ранее. Показано, что используемые схемы позволяют вести эволюцию с одинарной точностью даже в условиях исчезающе малых абсолютных значений ГС F) (~Ю-15), сохраняя относительную погрешность на уровне ЮТ6

В главе 4 рассмотрены схемы эволюции при решении нелинейных самосогласованных задач, возникающих в моделях Хартри и Хартри-Фока-Слетера (ХФС).

При расчетах атомов данные модели сводятся, после разделения переменных, к нелинейной спектральной задаче для системы ОДУ относительно одноэлектронных волновых функций (ВФ)

|?(г)={01(г) ,1/»2 (г), .. , (г)>, ( г - пространственная

переменная, k=nl, п - радиальное, 1 - орбитальное квантовые числа) вида:

^k+[2(Ek-U(r,E,i&(r),a))-l(l + l)/r2]^k(r)=0> retO;R] (7)

dr к = 1,2,.., К

где Ек=Еп] - энергии уровней, Е = <Ек>- вектор собственных чисел, с условиями нормировки для $к<г) и граничными условиями при г=0 и r=R.

Нелинейность в задачу вносится самосогласованным потенциалом Ufr), который нелинейно зависит от энергий <Ек>, химического потенциала д и интегрально от [i/»k(r)l2. Ufr) содержит три компоненты.

и(г)=Укул(г)+иобм(г)+иион(г) (8)

где уКуЛ(г) - кулоновская центрально-симметричная часть, выражающаяся интегрально через волновые функции, U0ÖM(r) -обменный потенциал, иИОн(г)=_Q/R ~ ио1шая Добавка.

В приближении Хартри обменное взаимодействие игнорируется

и иобм(г)=0. В модели ХФС при Т=0 и0бм( г 5 имеет вид иобм(г)=[|-р(г)](где р(г) - электронная плотность), а при Т>0 используются различные аппроксимации. Ионная добавка используется при расчете иона с зарядом 0.

Интерес представляет как вычисление фиксированной электронной конфигурации, так и расчет в рамках модели среднего атома, в котором электроны находятся на всевозможных уровнях с вероятностями равными фермиевским статистическим весам.

Таким образом, структура самосогласованного потенциала является существенно нелинейной. При этом нелинейность задачи (7), определяется компонентой г=( {Ек>, 1НШ, которая и выбрана в качестве вектора эволюционируемых переменных. Этим достигается не только понижение размерности эволюционной задачи, но и переход к более плавным функциям пространственной переменной и параметра, так как волновые функции являются осциллирующими, а самосогласованный потенциал иш монотонным.

В задачу явно входят физические параметры: радиус атомной ячейки - И, заряд ядра - Ъ, заряд иона - 0, температура - Т. В соответствии с концепцией ШП ищется зависимость энергий уровней, чисел заполнения и других характеристик от данных параметров.

В параграфе 4.2 основное внимание уделено формулировке практических алгоритмов и схем эволюции по Я,Т,2. При этом в § 4.2.1-4.2.2 проведен вывод интегральных уравнений Фредгольма, определяющих оператор эволюции в (3), для произвольного параметра. Получены явные формулы для И и г. В 4.2.3 сформулирована конструктивная последовательность действий, позволяющая для рассматриваемого класса задач в явном или неявном виде получить оператор эволюции, обоснованы релаксирующие свойства схемы МЭП путем явного вывода двумя независимыми спрособами уравнений для релаксирующей добавки (4). в § 4.2.4 предложен рекуррентный алгоритм решения интегральных уравнений, полученных в § 4.2.2, за ОШ операций, и схема сквозного расчета при прохождении окрестностей особых точек.

Параграф 4.2.5 содержит концепцию обобщенной схемы МЭП, применяемой, когда прямое решение полных интегральных уравнений в процессе эволюции и на этапах Ньютоновского уточнения может оказаться невыгодным. Например, в некоторых ситуациях в рамках сохранения заданной точности допустимо

разбиение рассчитываемого спектра состояний на две группы, одна из которых мало чувствительна к изменению параметра в данном интервале, и проведение эволюции с "замораживанием" значений из данной группы. Это снижает размерность решаемой системы. В ряде случаев эффективно использование простых итераций для расчета производной по параметру отдельных компонент. В этих и других случаях оператор эволюции находится приближенно, что на функциональном уровне означает использование обобщенной схемы вида:

х1+1 = х1 - В71[Г(х1,а1)/5а + 5Г/аа(х1,а1) ]-5а , (9)

где В1 является приближением к [ЭГ^дх! из формулы (3). Такая схема имеет смысл, если вычисление проводится по

рекуррентной формуле типа В^1=Р(В[1), за 0(N) операций. При этом уменьшение скорости сходимости компенсируется существенным сокращением трудоемкости.

Обобщенная схема (9) обладает основными свойствами МЭП, в том числе релаксацией ошибки. Соответствующее утверждение, а также сверхлинейная сходимость схемы (9) доказаны.

В § 4.2.6 разработана структура расчета, соответствующая обобщенной схеме эволюции по температуре Т. Обозначения: 1-индекс текущего значения параметра Т, к - номер волновой функции. Этапы:

1 - Решение уравнения Шредингера при заданном потенциале и1,

найденного в результате шага эволюции, либо итерации. Вычисление собственных значений и волновых функций.

2 - Решение интегрального уравнения для ОЭ ( при ЗТ = О под

аи1/ат подразумевается Ньютоновская добавка ). Производные чисел заполнения а^/ЭТ считаем заданными и берем с предыдущего шага при эволюции, либо с предыдущей итерации при Ньютоновском уточнении.

3 - Вычисление ЭЕк/ЗТ по заданному ди/дТ

4 - Расчет нового значения потенциала при следующем значении

параметра Т = Т1+1, либо Ньютоновское уточнение при . Расчет дИ^/дТ, либо при Ньютоновском уточнении.

5 - Переход к следующему значению параметра.

5 - Переход к очередному Ньютоновскому уточнению. При этом на этапах 2-4 подразумевается расчет соответствующих Ньютоновских добавок.

4+1

Л-1

В самосогласованных задачах решение каждого из К "уравнений Шредингера (УШ) и 2К+1 интегральных уравнений (ИУ) можно находить независимо. Поэтому схемы МЭП допускают

эффективное распараллеливание. алгоритма на одном шаге эволюции

а=а< —> УШ,

Структура параллельного по параметру а имеет вид:

1

I I I

и1

■> УШо Ч

УШ* ушк ->

ИУ«

иуД Ч

иу;

ИУ.

2К+1

ди

За ЗЕк

а=а1+1

Т*

I I

_ J

расчет оператора эволюции + шаг по схеме МЭП + уочнение

В § 4.3 рассмотрены особенности соответствующей программной реализации на многопроцессорной транспьютерной системе на базе платы ТМВ08, даны оценки повышения производительности.

Результаты расчетов атомов с использованием различных моделей содержатся в § 4.4 и § 4.5.

В § 4.4 проведен расчет на основе моделей Хартри и ХФС при нулевой температуре, рассмотрены результаты эволюции по радиусу и заряду ядра с перестройкой конфигурации. В § 4.4.1 проведено тестирование Ньютоновской сходимости и оценена относительная погрешность вычисления ОЭ для данных случаев на

различных сетках по параметру и пространственной переменной. Показан процесс сходимости схемы МЭП в широком диапазоне значений И при расчете возбужденного атома гелия. В § 4.4.2 рассмотрены результаты использования схемы эволюции по И при расчете криптона. В § 4.4.3 проведена эволюция по Б из области сильного сжатия (Й~1) в область нормальных физических условий при расчете ксенона. Расчет показал, что уже при Б порядка 13 а.е. спектр энергий практически не меняется. В этой области значение Б можно зафиксировать и перейти к эволюции по заряду ядра (по "номеру" элемента). Именно это и сделано в § 4.4.4, где проведена эволюция от ксенона (г=54) к радону (2=86). Используемая схема позволяет отслеживать перестройку электронной конфигурации.

В § 4.5 представлены результаты расчетов по модели среднего атома с температурой на основе обобщенной схемы (9).

В § 4.5.1 проведена эволюция по Я для гелия при Т=0.2 а.е. Рассчитана зависимость спектра, химического потенциала и чисел заполнения. Проведено сравнение моделей Хартри и ХФС. Отмечено, что при росте И возбужденные состояния начинают играть все большую роль.

В § 4.5.2 на основе МЭП проведено изучение атома криптона. Реализована эволюция по Б и Т. К базовой конфигурации добавлено три возбужденных состояния и проведен расчет до точки 11=9.2. Затем параметр И "заморожен", добавлено еще одно возбужденное состояние и проведена эволюция по температуре. С ростом Т происходит постепенное изменение конфигурации. При этом вклад высоколежащих уровней сопоставим с вкладом возбужденных состояний. Влияние температуры отражает динамика изменений чйсел заполнения. Отметим, что модели Хартри и ХФС дали практически одинаковые результаты для глубоких уровней.

В § 4.5.3 приведены заключительные замечания и практические рекомендации по эффективности применения МЭП в самосогласованных задачах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

I. На основе МЭП разработаны схемы эволюции для решения некоторых классов краевых спектральных задач с параметром. В их числе: линейные ОДУ второго порядка, системы таких ОДУ с линейным и нелинейным вхождением собственных значений, системы

нелинейных интегро-диффенциальных уравнений, возникающие в моделях самосогласованного поля.

2. Теоретически и практически обоснована сходимость и ре-лаксирующие свойства предложенных схем. Для всех рассматриваемых классов задач в явном виде получены выражения для оператора эволюции, а также релаксирукхцей и Ньютоновской добавок.

3. Для задачи на связанные состояния для уравнения Шредингера в рамках МЭП дополнительно построены алгоритмы: отделения спектра, расчета уровня с заданным номером, расчета участка спектра, заданного диапазоном номеров или граничными значениями энергии.

4. Проведен ряд практических расчетов, в том числе:

-найдены спектры связанных состояний и проведена их

эволюция по физическому и искуственному параметру для ряда аналитически и сеточно заданных потенциалов,

-получены данные по расщеплению уровней водородоподобных атомов в сильных электрических полях (эффект Штарка). Диапазон значений внешнего поля (Г), при которых вычислены центры и ширины квазистационарных состояний, получены диаграммы расщепления, перекрывает имеющийся в литераторе.

5. Для нелинейных самосогласованных задач разработан алгоритм эволюции по параметру с затратами ОСЫ), где N - число точек по пространственной переменной. В рамках модификации МЭП предложена обобщенная схема, эффективно примененная для проведения расчетов в модели ХФС с температурой.

Проведена эволюция энергетических спектров, химического потенциала и чисел заполнения для атомов гелия, ксенона, аргона, криптона по Я, Т, 2 для состояний с заданной конфигурацией на основе моделей Хартри и Хартри-Фока-Слетера, а также для случая ненулевой температуры в рамках приближения среднего атома.

Эволюция в МЭП по заряду ядра, а также эволюция по температуре для модели ХФС реализованы впервые. Показана возможность - проведения сквозных расчетов с отслеживанием перестройки электронных конфигураций.

6. Предложена схема распараллеливания МЭП для линейных и нелинейных систем уравнений. Алгоритмы реализованы на многопроцессорной транспьютерной системе.

7. Разработан комплекс прикладных программ с интерфейсом, позволящем вести исследования в режиме диалога и допускающем смену параметра в процессе эволюции.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Литвинцева С.П., Родионов И,Д., Соломатин Е.Б. Метод эволюции параметра в спектральных задачах математической физики. // Математическое моделирование. 1989. Т. I, N.12, С. 52-81.

2. Родионов И,Д., Соломатин Е.Б. Метод расчета эффекта Штарка для атома водорода. // Препринт ИПМат. АН СССР, 1989, N. 44, 32 с.

3. Родионов И.Д., Соломатин Е.Б. Численный расчет эффекта Штарка для атома водорода в полях произвольной силы. ■// Тезисы докладов межвузовской конференции "Вычислительная физика и математическое моделирование." // М., 1989.

4. Родионов И,Д., Соломатин Е.Б. Алгоритмы расчета связанных состояний для уравнения Шредингера с параметром. // Препринт ИПМат. АН СССР, 1990, N. 17, 30 с.

5. Книжников М.Ю., Родионов И.Д., Соломатин Е.Б. Параллельная реализация метода эволюции параметра для численного решения нелинейных систем типа Хартри-Фока-Слетера. // Тезисы докладов всесоюзной конференции "Транспьютерные системы и их применение". М., 1992.

6. Книжников М.Ю., Родионов И.Д., Соломатин Е.Б. Некоторые подходы к решению нелинейных самосогласованных задач методом эволюции параметра. // Препринт ИММ РАН, N. 15, 1993, 52 с.

7. Соломатин Е.Б. Кластерная организация вычислений при использовании транспьютерных систем для решения самосогласованных задач. // Тезисы докладов конференции

'Вычислительные сети." М., Г995.