автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Робастное и непараметрическое оценивание характеристик случайных последовательностей

На правах рукописи

Китаева Анна Владимировна

РОБАСТНОЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

05.13.01-«Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 5 МАР 2010

Томск-2010

003494534

Работа выполнена в Томском политехническом университете и Томском государственном университете

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Кошкин Геннадий Михайлович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт

Защита состоится:

22 апреля 2010 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться:

В научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34.

Автореферат разослан: «_5_ » марта 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор Кориков Анатолий- Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Шумилов Борис Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Якупов Рафаэль Тимирович

доктор технических наук, профессор

В. И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия прошлого века началось интенсивное развитие и применение непараметрических и робаст-ных методов обработки данных. Это вызвано, с одной стороны, необходимостью управления сложными, не поддающимися параметрическому описанию экономическими и социальными структурами, а также техническими объектами, для которых важна, к примеру, устойчивость применяемых методов к сбоям и помехам в работе регистрирующей аппаратуры; с другой стороны, развитием вычислительной техники, позволяющей реализовывать трудоемкие алгоритмы.

В диссертации получил дальнейшее развитие на основе идей локальной полиномиальной аппроксимации, заложенных Cleveland W.S., Stone C.J., Катковником В.Я. и развитых впоследствии Fan J., Gijbels I., Ruppert D., Wand M.P., непараметрический подход к оцениванию функционалов от условных распределений (условных функционалов) и их производных, разработанный Кошкиным Г.М. на основе ядерных оценок подстановки типа Надарая-Ватсона.

Подход на основе функций от функционалов от совместного либо условного распределения (базовых функционалов) и их производных позволяет, с одной стороны, разбить анализ статистических свойств оценок на два этапа: 1) исследование свойств оценок базовых функционалов и 2) исследование свойств интересующей нас оценки на основе теорем сходимости (Кошкин Г.М.); с другой стороны, позволяет подходить с единых позиций к идентификации исследуемой системы в широком смысле, а именно, единообразно оценивать наряду с функцией регрессии условную дисперсию, функции чувствительности и другие характеристики. Функциональный подход оказывается эффективным в та-

ких задачах обработки данных, как фильтрация, интерполяция и прогноз (Добровидов A.B.), в задачах восстановления плотностей распределения вероятностей, их производных, отношений производных и т.п. для шумов регрессионных моделей (Васильев В.А.).

Методы непараметрического ядерного оценивания, в том числе и рекуррентные, применены к оцениванию функции интенсивности пуассо-новских потоков событий. Пуассоновские процессы служат адекватной моделью многих реально протекающих процессов. В настоящее время с их помощью моделируются, к примеру, поступление сообщений в сетях связи, потоки задач в сетях ЭВМ, приход клиентов в страховых компаниях или банках, поступление нервных импульсов на нейроны в нейрофизиологии, потоки частиц в физических экспериментах. Это объясняет большое количество работ, посвященных различным подходам к оцениванию интенсивности неоднородных пуассоновских процессов (Helmers R., Mangku I.W. & Zitikis R.; Kutoyants Yu.A., Leemis L.M., Nason G.P., Reynaud-Bouret Р., Timcovä J., Терпугов А.Ф.). Исследуемые в работе статистики аналогичны по структуре ядерным оценкам плотности и их специфика заключается в том, что объем выборки является случайной величиной.

Наряду с непараметрическими оценками условных функционалов, имеющими локальный характер, в работе исследованы асимптотические свойства параметрических оценок медианного типа моделей временных рядов, позволяющие единообразно описывать поведение системы на всем интересующем промежутке времени. В этих моделях входные переменные, в отличие от рассматриваемых в работе задач непараметрического оценивания условных функционалов, являются детерминированными (предполагается, что тренды разлагаются по некоторой произвольно фиксированной системе функций, и наблюдения производятся на

заданном интервале в равноотстоящие моменты времени). Стремление повысить точность результатов в условиях априорной неопределенности шумов приводит к развитию устойчивых (робастных) методов, которые, как правило, дают достаточно хорошие результаты при «основном» распределении и катастрофически не теряют точность оценивания при некоторых отклонениях реального распределения от гипотетического (Hampel F., Huber P.J., Tukey J.W., Шевляков Г.Л., Шуленин В.П., Шу-рыгин A.M.). Робастные процедуры, можно считать, занимают промежуточное положение между классическими параметрическими и непараметрическими методами по степени исходной определенности модели. В данной работе рассматриваются оценки параметров регрессионных и авторегрессионных моделей, основанные на норме Ц (Basset G.W. & Koenker R., Bloomfield P. & Stieger W.), т.е. оценки медианного типа, устойчивые по эффективности в сравнении с оценками метода наименьших квадратов (ОМНК). Построение оценок параметров регрессии на разностях наблюдений (следуя идеям Hodges J.L. & Lehmann E.L.) позволяет получить существенно более точные, в сравнении с традиционными медианными (оценками метода наименьших модулей - ОМНМ), результаты в случае гауссовских шумов.

Построению математических моделей и исследованию вероятностных характеристик работы фондов социального страхования в последние годы посвящен ряд работ, в которых идеи классической модели страхования применяются с учетом особенности работы таких фондов (Вальц О.В., Гарайшина И.Р., Змеев O.A., Лившиц К.И., Назаров A.A.). В работе проведена оптимизация управлением капиталом фонда в асимптотике, когда модель определяется тремя входными статистическими параметрами (не считая параметров управления): интенсивностью пуас-соновского потока страховых выплат, средним и дисперсией их распре-

деления, которые могут быть оценены предложенными методами.

Целью работы является построение и исследование процедур

- оценивания параметров полиномиальных трендов временных рядов на заданном интервале, работоспособных в случае неопределенности помех наблюдений, устойчивых по эффективности к аномальным выбросам наблюдений (робастное оценивание);

- локального полиномиального оценивания функционалов от условных распределений и их производных, работоспособных в условиях сильной изменчивости регрессионной зависимости и невозможности ее единообразного описания на исследуемом интервале (непараметрическое оценивание).

Методы исследований. Исследование предложенных методов оценивания и оптимизация проводились с использованием аппарата теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений, имитационного моделирования.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что в ней

- исследованы асимптотические свойства оценок со знаковой меточной функцией, в том числе построенных на разностях и отношениях наблюдений первого и второго порядков;

- рассмотрены подходы к оцениванию функционалов от условных распределений и их производных, позволяющие с единых позиций подходить к локальной идентификации стохастических систем, например, класс введенных функционалов позволяет с единых позиций описать систему характеристик производственных функций;

- локальные непараметрические алгоритмы, предложенные в работе,

позволяют решать задачи идентификации, управления и т.д. при зависимых наблюдениях в случае, когда применение параметрических методов неэффективно;

- исследованы асимптотические свойства непараметрических оценок функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса, построенных по единственной реализации процесса на интервале фиксированной длины;

- решены задачи оптимального управления капиталом фонда социального страхования в асимптотической модели, и найдено распределение вероятностей величины капитала фонда в случае, когда выплаты по социальным программам образуют пуассоновский поток.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- робастные параметрические оценки, предложенные в работе, дают существенный выигрыш в точности оценивания по сравнению с классическими методами в случае присутствия аномальных ошибок в наблюдениях и дают высокую точность в гауссовском случае в сравнении с традиционными медианными оценками - ОМНМ;

- предложенные рекуррентные процедуры дают возможность производить вычисления в режиме реального времени, что особенно важно при необходимости обрабатывать большие массивы быстро поступающей информации и выдавать результат в любой требуемый момент. Такая ситуация возникает, например, при текущем анализе финансового рынка;

-решена задача идентификации в широком смысле нелинейной гете-роскедастической авторегрессии произвольного порядка, и полученные результаты применены для прогнозирования цен акций;

- на основе предложенных медианных оценок разработан комплект

программ для устойчивого последовательного оценивания параметров квадратичного тренда среднего.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

1. Показана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность оценок медианного типа параметров тренда положения (масштаба), построенных на разностях (отношениях) наблюдений первого и второго порядков.

2. Предложены и исследованы оценки медианного типа параметра устойчивого процесса авторегрессии в том числе и при наличии аддитивной помехи наблюдения. Показана сильная состоятельность оценок. В случае авторегрессионного процесса, наблюдаемого без помех, показана асимптотическая нормальность оценок.

3. Исследована сходимость в среднеквадратичном локальных оценок подстановки функционалов от условных распределений и их производных для многомерных зависимых наблюдений. Предложены рекуррентные модификации оценок, масштабированные по каждой компоненте многомерного вектора наблюдений.

4. Исследована условная сходимость в среднеквадратичном локальных оценок полиномиальной аппроксимации функционалов от условных распределений и их производных.

5. Показана сходимость в среднеквадратичном непараметрических оценок ядерного типа функции интенсивности неоднородного пуассо-новского процесса.

6. Предложены критерии оптимизации деятельности некоммерческого страхового фонда, и решены задачи оптимального управления капиталом фонда в асимптотическом приближении.

Достоверность и обоснованность результатов подтверждается строгими математическими выкладками. Работоспособность предложенных методов оценивания подтверждается имитационным моделированием и численными примерами, в том числе с использованием реальных данных.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 52 работы, из них 14 опубликованы в изданиях, определенных перечнем ВАК РФ для опубликования основных научных результатов докторских диссертаций по специальности «Системный анализ, управление и обработка информации».

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные её результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, школах-семинарах:

VI и VII Всесоюзной школе-семинаре по непараметрическим и роба-стным методам статистики в кибернетике (Томск, 1987; Иркутск, 1991); IX Всесоюзной конференции по теории кодирования и передачи информации (Одесса, 1988); Всесоюзной научно-технической конференции «Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов» (Киев, 1988); III Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Гродно, 1988); Всесоюзном совещании «Анализ временных рядов и его применение в экономике (Львов, 1988); XI Всесоюзном научно-техническом семинаре в секции «Теория информации» ЦП ВНТО РЭС им. A.C. Попова (Ульяновск, 1989); III Международной научно-технической конференции "Иденти-

фикация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1994); Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997); IX Международном симпозиуме по непараметрическим и робастным методам в кибернетике (Красноярск, 1997); III Сибирском конгрессе по прикладной и промышленной математике, посвященном памяти C.JI. Соболева (Новосибирск, 1998); The Joint Session of Prague Symposium on Asymptotic Statistics & Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Functions and Random Processes (Prague, 1998); The Fifth International Conference «Computer Data Analysis and Modeling» (Minsk, 1998); The 5th and The 6th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology (Tomsk, Russia, 2001; Novosibirsk, Russia, 2002); 9th IFAC Workshop "Adaptation and Learning in Control and Signal Processing" & 3d IFAC Workshop "Periodic Control Systems" (Saint Petersburg, Russia, 2007); VI Международной научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2007); VI Международной научно-практической конференции "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2008); VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2009); на семинарах Томского госуниверситета и Томского политехнического университета.

Реализация и внедрение результатов. Работа, связанная с робастным оцениванием, выполнялась в соответствии с госбюджетной темой «Разработка и исследование математического и программного обеспечения автоматических и автоматизированных систем обработки информации, управления и проектирования», входящей в план Си-

бирского физико-технического института (СФТИ) при Томском государственном университете (ТГУ) в соответствии с координационным планом НИР АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика» на 1986-90 г.г., а также с хоздоговорными темами, выполнявшимися СФТИ в 1987-89 г.г. Комплект программ, позволяющий последовательно оценивать параметры квадратичного тренда, был использован при обработке данных телеметрических измерений в автоматизированной системе управления сложными динамическими объектами, а также был передан в отраслевой фонд алгоритмов и программ Минвуза СССР (№М88112 от 21.06.1988).

Работа, связанная с непараметрическим оцениванием, выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ ТГУ по базовому финансированию МОПО в рамках темы «Разработка и исследование математических моделей и программной поддержки статистической обработки разнотипных данных» в 1994-99 г.г. и СФТИ по заданию Федерального агентства по образованию в рамках темы «Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации» в 2006-2008 г.г., а также по программам, поддержанным: грантом РФФИ № 95-01-00289 «Непараметрические и робастные методы обнаружения зависимостей, классификации и селекции» (1995-96 г.г.); грантом РФФИ № 98-0100296 «Непараметрическое оценивание функционалов от распределений по зависимым выборкам» (1998-2000 г.г.); проектом РФФИ № 0908-00595 «Идентификация и управление в стохастических системах в условиях неопределенности характеристик объектов и возмущений» (2009-2011 г.г.).

Материалы диссертации использовались в учебном процессе в

Томском государственном и политехническом университетах при подготовке курсов по вероятностным и статистическим дисциплинам.

Личный вклад соискателя. В список положений, выносимых на защиту, включены результаты, в которых вклад соискателя является основным.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, содержащего 354 наименования, и приложения. Содержание работы изложено на 319 страницах, иллюстрировано 18 рисунками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор работ по непараметрическому и робастно-му параметрическому оцениванию, относящихся к теме исследования, в их взаимосвязи и историческом развитии. Приведены краткие характеристика и содержание работы.

В первой главе рассматриваются оценки параметров трендов случайного процесса вида х, = f1 + glut, где функции и gt допускают параметрическое представление, и, - помехи наблюдения.

В разделах 1.1-1.6 наблюдения {.*,,; = за процессом {*,} производятся в равноотстоящие друг от друга моменты времени на интервале [0,1], {«,} - независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью вероятностей р(-). Функции трендов сдвига

5 т

/(•) = Еа^Л-) и масштаба g(■) = exp £а,срД-)

разлагаются по за-

данным системам непрерывных ортонормированных на отрезке [0,1] функций. Доказана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность, найдены ковариационные матрицы асимптотического распределения всех рассматриваемых оценок. В разделах 1.1-1.4 предполагается, что 1.

В разделе 1.1 рассматриваются простые медианные оценки, полученные по взвешенному МНМ. Оптимальные (в смысле асимптотической точности оценивания) оценки являются асимптотически некоррелированными, и их асимптотические дисперсии совпадают с дисперсией выборочной медианы шумов (в гауссовском случае эффективность составляет 2/к ~ 0.64).

В разделе 1.2 исследованы медианные оценки, построенные на разностях выборочных значений. Оценки а{2) = & = 1,.у) параметров

а = {ак, к = определяются системой уравнений | =

' N Г ; ; \

',ОТ = 1,5

= 0.

В силу дискретности знаковой функции, равенство ||а<2) | = 0 может не достигаться ни при каких значениях вектора ат . В этом случае в каче-

стве решения берется любое значение, доставляющее ^

, где

а - евклидова норма вектора а.

Теорема 1.3. Пусть плотность распределения вероятностей р(-) непрерывна на всей числовой прямой, весовые функции Ьп{-,-) непрерывны на квадрате [0.1;0.1], Ьт{х,у) = -Ьт(у,х), матрица

1 1 _

J (лУ)[V* (х) - у* (y]dxdy, j,k = l,s

\о о

не вырождена, система

11 ».1 «О _

уравнений ^Ь.(х,у) J J р(х + v) p(v)dvdtdxdy = 0,7 = 1,5

0 0 О -ЛО

имеет единственное решение Да(2) = (о}2' — а,,...,а*2>-а,) = 0 . Тогда

оценки ат сильно состоятельны, и вектор \[NAa{2> распределен асимптотически нормально с нулевым средним и матрицей ковариаций

,(<* V2 ( mi _Л

C = A\p2(u)du B^Wlb^y^x^dxdydz^'^^U,

-^V-« У Vooo

ft i _-s

P= J (x, [ч/4 (дг) - \|/Л obcify, y, A: = 1, j .

Vo о у

Показано, что наилучшую асимптотическую точность оценивания обеспечивают £>t (лг,>>) = (л:) — (у). При этом оценки асимптотически не коррелированны, и их асимптотические дисперсии совпадают с дисперсией ранговых оценок параметра положения с весовой функцией Вилкоксона. В гауссовском случае эффективность оптимальных оценок составляет З/л ~ 0.955, т.е. в 1.5 раза выше, чем оптимальных простых медианных оценок. Нижняя граница асимптотической эффективности, равная 0.072, достигается на плотности параболического вида.

В разделах 1.3, 1.4 рассмотрены оценки параметра при старшем члене квадратичного тренда (v|/0 = l,v|/, = х-1/2,у2 = х2 - x + 1/б), построенные на разностях наблюдений второго порядка: центральных -(xjtk + Xj_k - 2xi) и общего вида - (хм + xj_k - хп, ~ ). Оценки соответственно находятся из уравнений [м = ](w-l)/2[):

*=1 Ji=k+1

о Л- к2

хм + -2х,-2а2 -jp

= 0,

и ( к I

¿Л v'tf ^ Sgn

•*•/+*+ xi-k хм xi~i 2a2(l))

k2-l2 N2

(3)

-0, (4)

]с[ - целая часть числа с, /(•) и /(•,•) - некоторые весовые функции, заданные на [0;0.5] и [0,0.5;0,0.5] соответственно.

Теорема 1.8. Пусть плотность распределения вероятностей р(-) непрерывна на всей числовой прямой, функция /(•,•) ограничена, и /(х,у) = -/(у,х). Тогда при N со а сходится почти наверное к а2, и случайная величина л/77(¿2(о) ~а2) имеет асимптотическое нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией, равной

0.25

1/2 1/2

Г2/«

\-2

J /Я*,У)[ 1-2maxO,у)](х2 -y2)dxdy Jр](v)dv

J V-00 )

1,2.x) min(>-,j;)

J | f{x-z,y-z)dzdy +

ш(х/2,у/2)

P\ (') ~ свертка функции

xj jp(n)dn- jp(n)dn p(x)dx^

-<»[_-o0 X J 0

(x+D/2 min[(I+>)/2,(l+i)/2]

x/2 max(x>2,y/2) -]2

+ | J f(x-z,y-z)dzdy

max(2x-l,0) тах(дг,.у)

00

P(), P(x) = jpl(x + v)p(y)dv.

Для /(х) = л;" максимальное значение эффективности в случае гаус-совского распределения («0.78) достигается при а я 1.34. Зафиксировав индекс к (или I) в (4) и рассматривая оценку а2, полученную при О <1 <М из уравнения

£ f{k!N) £ sgn[xi+k + -xM-2«2* -/2)/iV2l = 0,

удается достичь достаточно высокой асимптотической эффективности (и 0.92) при и = lim II N а 0.16 для гауссовского распределения.

N->00

В разделе 1.5 считается, что /, = 0, и рассматриваются оценки параметров тренда масштаба распределения, аналогичные оптимальным оценкам разделов 1.1, 1.2, 1.4. Соответствующие эффективности в гаус-

совском случае составляют 4к~1а~02е~щ и 0.466, где ст0 определяется из 1

условия <т0-1 Jexp(-x2oö2I2)dxl~j2n =0.25; 6тг~2 « 0.608; приблизи-

о

тельно0.5при f(x) = 1-х им »0.17.

В разделе 1.6 рассмотрены простые медианные оценки и оценки, использующие разности наблюдений первого порядка, в случае одновременного тренда параметра сдвига и масштаба.

В разделе 1.7 считается, что g, = 1, а и, представляет собой стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и заданной ковариационной функцией ст2р(-). Исследованы оценки

_ 1

1){а«\ ¿ = 0,*}: JVm(i/r)sgn

о

г г

dt - 0, m = 0,s,

xsgn

*('.) -xtf2) -1 af' [xv„ (r, IT)- Wk (t2 IT)]

dt^dtj =0,m = l,s,

i / А

3) ä2 (при i|/0 = дг-1/2, \j/2 =x2-x + \/6):0<l<T/2, J f(s!t)x

Т~1

X | Бел+ 5) + х(1 -я)-х(1 + 1)-х(1-1)-2а2(*2-12)/Т2]= 0.

Асимптотические дисперсии оценок равны соответственно: 1) а2С,;

2)2ст2С2; 3) —

1/2 1-х Г т.гО,!-.)')

+2С,

(у+*)12

й тах[и,(у-.г)/2) тах(м,(><-ы)/2)

й = й(х,у) = тъх\тсап(\.12,у + 2и,у-2и),и\, С, = |агс8т[р(м)//]с/и. При

—ао

р(и) = е~а'"',а > 0 асимптотические эффективности оценок равны:

Л"1

1) 2/тс/1п2 « 0.92; 2)

2 |агсзтл:/;с££с

V о

я 0.987; 3) наибольшую точ-

ность оценивания (« 0.97) дает весовая функция /{х) = \ — х (из набора /(х) = х,/(х) = \-х,/(х) = 1) при значении и ~ 0.17 .

В случае выборки из смеси гауссовских распределений: р(-) = = (1-8)^(0,о^+еЛ^О.а^.ст? « , что соответствует наличию аномальных ошибок, появляющихся с вероятностью 8, точность рассмотренных оценок в сравнении с ОМНК может быть неограниченно велика.

В разделе 1.8 показано, что в соответствии с критерием согласия с пятипроцентным уровнем значимости теоретические выводы для оценок, рассмотренных в разделах 1.1, 1.2, 1.4, подтверждаются, начиная с объемов выборок соответственно N « 30, N = 10, N«25.

Во второй главе предложены оценки медианного типа параметра стационарного авторегрессионного процесса (АРП) первого порядка

xf+l = p.t +ei+1, где {e,.} - независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью вероятностей р(-). Структура доказательств аналогична доказательству соответствующих теорем первой главы, но при этом существенно используется марковость АРП. В разделах 2.1,2.2 рассмотрен случай АРП, наблюдаемого без помех. В разделе 2.1 исследована оценка, определяемая уравнением

ЛГ-1 N-i i=i j=\

Теорема 2.1. Пусть весовая функция ср(-) неотрицательна и ограничена, плотность распределения вероятностей непрерывна в нуле,

00

р(х) = р(-х), р(0) * 0 , и существует . Тогда оценка р, схо-

-ее

дится почти наверное к р. Если дополнительно существует

оо

ст2 = jx2p(x)dx, то случайная величина \[n (р, -р) имеет асимптота-

-оо

ческое нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией,

-2

равной 0.25(l-р2)р'2(0)сГ2 lim Y рМф('М/)

Z<pOV4

Показано, что максимальная точность оценивания достигается при ф(1) = 1, фО) = 0,7 ^1.В случае р(-) = Л^0,а2) асимптотическая эффективность оптимальной оценки р, составляет 2/к.

В разделе 2.2 исследована обобщенная медианная оценка р2:

ЛГ-1 /=1

Найдена дисперсия асимптотического распределения оценки р2

/16, где - плотность распределения

АРП в стационарном режиме. Заметим, что сильная состоятельность оценки р2 не требует существования среднего значения процесса {х,},

а асимптотическая нормальность - дисперсии процесса {х,}. В гауссов-

скомслучае £)(рмж)/1)(р2) = 4/л2.

В разделах 2.3, 2.4 рассмотрен случай АРП, наблюдаемого с аддитивной помехой: гп = хп + г|„. Предложены оценки, определяемые уравнениями:

N

5Х28®1(г,-р,2м) = 0, (5)

ыг

N

Е^^-Д^-р^м))^«- (6)

Показана сильная состоятельность и найдены дисперсии асимптотического распределения оценок р3 и р4. Оценка р3 не дает принципиального выигрыша в точности оценивания при с0 = стл / а »1. Этот недостаток можно преодолеть внесением наблюдений в (5) под знаковую функцию, как это сделано в (6). При р(-) = 7У(0,а2) , плотности распределения помехи рц(-) = Л^О,«^) асимптотическая дисперсия £>(р4) = о^со), в то время как для обычной оценки р, полученной из

N

уравнения = дисперсия £)(р) = 0(сто).

/=3

В разделе 2.5 обобщенные медианные оценки применены для оценивания коэффициентов линейного тренда параметра АРП. Определены

локальные (т.е. имеющие место в некоторой окрестности истинного значения параметров) асимптотические свойства оценок.

В третьей главе рассматриваются ядерные оценки нормированной функции интенсивности пуассоновского процесса и вопросы оптимизации деятельности фонда социального страхования, в котором страховые выплаты моделируются пуассоновским процессом.

Оценивание интенсивности Х(-) проведено по единственной реализации процесса на интервале фиксированной длины [0,!Г]. Усреднение в (7) необходимо вести по совместному распределению моментов наступления событий и количества событий N на интервале [0,Г].

В разделе 3.1 показана сходимость в среднеквадратичном статистики

1=1

ь

к нормированной интенсивности

Л(/)/Л(0, Т), где Л(д,6) =

а

/¡д, - параметр размытости, К(-) - функция-ядро. Показано, что скорость сходимости совпадает с обычной скоростью сходимости ядерных оценок плотности вероятностей при й( = /г,-1 < г < 0. Асимптотические результаты получены в схеме серий при неограниченном возрастании интенсивности на рассматриваемом интервале.

В разделе 3.2 исследована сходимость в среднеквадратичном рекуррентной оценки нормированной интенсивности:

М "I

В (8) в отличие от (7) параметр размытости Ъ, подбирается для каждого наблюдения, что и позволяет находить оценку рекуррентно.

Теорема 3.3. Пусть ядро К(-) - финитная и ограниченная функция,

оо оо ао

причем \к(и)<1и = \, ^К(и)итс1и < М, \к\х)хтсЬс<М Ут = 1,2,...;

—00 -00 -00

Х(-) непрерывна в точке ¿е (О, Т), А(1,Т) Ф 0; монотонная последова-

тельность чисел Ап 4 0, пИп со, и

ЁнУО,:

< СИ™ Ути, где С -

некоторая константа. Тогда статистика (8) сходится в среднеквадратичном (в предложенной схеме серий) к Я(г)/Л(0,Г).

В разделе 3.3 рассмотрены задачи оптимизации управления капиталом фондов социального страхования в диффузионной аппроксимации.

В разделе 3.3.1 решена задача стабилизации работы фонда в смысле минимизации дисперсии капитала фонда £(/) при фиксированной вероятности неплатежеспособности для линейного релейного (т.е., выплаты по социальным программам начинаются только при £(/) > 50) управления капиталом.

В разделе 3.3.2 решена задача минимизации дисперсии скорости изменения капитала фонда с(5) при фиксированной вероятности выделения средств на социальные программы щ при релейном нелинейном управлении капиталом. Оптимальная скорость выделения средств на социальные программы при требовании непрерывности управления

с\*) = а2Ъс(1 + у1)у^ 1ё(су0-\5-80))[1 + у0Хё(су^\*-50))У, при

Бп > 5 > 50, где 0 < у0 < (1-л,) ' - единственный положительный корень уравнения у(1 + у2)(ап^у+ л/2) + у2 = л, (1 — тс,) 1;

с = (с0 -й1Х.)(а2Я,) '; Х,а„а2 - входные статистические параметры,

с0 - заданный детерминированный параметр управления. Капитал фонда не может превышать величины 5И = 50 + у0с~' (аг^у0 +71/2).

Оптимальная скорость выделения средств на социальные программы

Бт > 5 > 50. Максимальная величина капитала фонда = Б0 + +1.5я,с"'(1-я1)"1. Как и в случае непрерывного управления, при стремлении капитала к Бт скорость выделения денег на социальные программы начинает неограниченно возрастать. Отказ от непрерывности управления позволяет уменьшить дисперсию с(5) при фиксированной

вероятности Я], при этом зависимость с*(5) от щ имеет более простой вид. Непрерывность с (в) нарушается только при 5 — 5о, где происходит скачок величины (с0 -я,А,)(1 + 2/я1)/3 . Критический уровень капитала, при принижении которого прекращаются выплаты по социальным программам =-0.5(1п(1-я,) + 1па0)/с , а0 - вероятность разорения.

В разделе 3.3.3 аналогичная задача поставлена для релейного управления капиталом при наличии гистерезиса. Эта задача решена при некоторых упрощающих предположениях.

В разделах 3.3.1, 3.3.2, 3.3.3, считая процесс изменения капитала фонда диффузионным процессом, мы не конкретизировали распределение страховых выплат, полагая известными только два первых момента этого распределения. Этого было достаточно, чтобы определить основную характеристику системы - стационарное распределение вероятностей капитала. В разделе 3.3.4 найдено точное распределение капитала при релейном управление капиталом и экспоненциально распределен-

в общем случае

при

ных страховых выплатах и выплатах по социальным программам, образующим пуассоновский поток.

В четвертой главе рассмотрены оценки условных функционалов и их производных, а также многомерной функции интенсивности, построенные по независимым наблюдениям. Введены функции

J(x) = Q({b(x)}, {iw>(;c)}) = tf({e(*)}, {а('Л(*)}), j = (9)

где хеХ"; Q{t): R<m+Vs R1, H(t): Älm+,)(s+1) Ä1 - заданные функции, а внутренние функционалы, являющиеся аргументами функций #(•) и Q(-), определены следующим образом:

оо

Ь?» (х) = Ь, (х) = а, (х)/ р(х) = а, (х)/ aJ+1 (х) = Jg, (y)f(y \ x)dy, b\ij){x) =

-00

= b(x) = b^\x) = (^'(x),...,^1^*)), i = Ü

Ч,0Л(х) = a,(x) = ]gi(y)f(y^)dy, °:,J)(x) = i = U+T,

i OXj

«<0J,W = «(x) = («, (JC)), a<lj)(*) = W) ,7 =

~ известные скалярные функции, причем gJ4l s /(•,•) - неизвестная плотность распределения наблюдаемого случайного вектора Z = (X, Y) е Rm+1, р(-) - плотность распределения вектора X, f(y\x) = f (■*> У) I Р(х) ~ условная плотность распределения.

В рамках модели (9) можно описать функцию регрессии, функции чувствительности по входам, показывающие степень связи между изменениями входных и выходных характеристик объекта, условную дисперсию (функцию волатильности) и т.п. Заметим, что в приложениях в

основном приходится сталкиваться с функциями от условных функционалов и их производных 2(х) .

Оценивание функций J(x) проводится методом подстановки, т. е. путем замены в (9) неизвестных функционалов а(1у)(х) (или Ь(гЛ (х)) их ядерными оценками

а?\х) = (пК"У^{У,)К™{(х-Х1)1},п), /" = 0,1 , (10)

м

где = (X,,¥,), I = 1,и - (от+1)-мерная случайная выборка, параметры

т

размытости Ип1о, К(0у)(м) = К(м) = ]^[АГ(м1.) - ш-мерное мультипли-

1=1

кативное ядро, К"» = , а?\х) = ^ОО^&ОО*-•£5-ц(>'))- В свою очередь оценки условных функционалов ¿(х): = )//,„) )//,„)

|_ '=1

= а„(х)[р„(х)]-' = (х)[а(<;/»„(*)]"', Ь„(х) = (Ья1(х),...,Ь„(х)).

Свойства таких оценок определяются отдельно свойствами статистик подстановки и преобразования Я(-) (или £)(•) )•

В разделе 4.1.1 изучена сходимость в среднеквадратичном оценок подстановки условных функционалов и их производных.

Наряду с главной частью среднеквадратичной ошибки (СКО) оценок (10), определен порядок скорости сходимости четвертых начальных и центральных моментов оценок, что необходимо для применения теорем сходимости.

Использование знакопеременных ядер позволяет повысить скорость

сходимости смещения оценок (10), но, с другой стороны, приводит к трудностям интерпретации результатов (например, получается, что оценка плотности не обладает свойствами плотности) и к неустойчивости оценок условных функционалов, что порождает проблемы при нахождении СКО оценок подстановки. Рассматриваемые в следующем параграфе оценки условных функционалов построены с использованием ядер-плотностей и также дают улучшенную скорость сходимости смещения.

В разделе 4.1.2 в одномерном случае (т = 1) изучены оценки, удовлетворяющие критерию

t(g, W - V «У (- x)iK ((* - Н К А'

м К 'Ч)

аj и аслужат оценками bj(x) и ¿! (л:) соответственно. Найдена условная (при условии X, = х1,...,Х11 = хп) асимптотическая СКО оценок 6.J и а'11, и определен порядок сходимости их условных четвертых моментов. Вычисление условных характеристик снимает проблему нахождения мажорирующей последовательности (см. условие 2 теоремы 5.3).

Рассмотрено также поведение асимптотических условных смещения и дисперсии оценок в общем случае (полиномиальная локальная аппроксимация условных функционалов):

tisjtthi^iXi-xf) К{{Х-Х,)1К)^ min. (11) М V У

Здесь а'^/t! служит оценкой производной k-то порядка (к < р) bf\x).

Обозначим М =

jxUJK(x)dx, i, j = 0, р

, матрицы Ua. - такие же,

как и матрица М, за исключением (к +1 )-ого столбца, который заменен

на столбец (\,и,...,ир^.

Теорема 4.2. Пусть функция 6Дх), ] = 1, б имеет непрерывные производные до р + 2-го порядка включительно, плотность р(-) непрерывно дифференцируема в точке х, р(х) * 0, К( ) - ядро-плотность, за-

оо

данное на компакте, |и2*+1ЛТ(и)</и = 0, к = 0,р, функция ср;. (х) =

-со

оо

= ^ё}2(у)/(у\х)с1у-Ь^{х) непрерывна точке х, р-к - нечетно,

-СО

р>к^ 1, 1та(й„+1/(ий„2*+1)) = 0. Тогда при «-»оо СКО :

«'(&«(*))=Н"

-00

В разделе 4.2 рассмотрена сходимость в среднеквадратичном рекуррентных аналогов оценок раздела 4.1. В разделе 4.2.1 рекуррентные оценки функционалов а^\х) построены с векторным параметром размытости

, Г = 0,1.

т

Здесь К(°л (г/ / /г())) = К (г/ / \Г)) = ]""[ /С (и,. / \ ) - ти-мерное мультиплика-

тивное ядро, масштабированное по каждой компоненте,

к<1» = = К{щ )...K(UM )К{1) (к , )...К{ит), Кт(и,)

oUj auj

последовательности чисел hnkl 0 V£ = 1,/я.

В качестве полурекуррентных, поскольку только числитель и знаменатель оцениваются рекуррентно, оценок подстановки условных функционалов Ь(х) в точке х рассмотрены статистики

SñtfsWKftx-Jr,)/^) в м

4-(12)

1

Рп (х) ~~ рекуррентная ядерная оценка многомерной плотности.

Заметим, что оценки (12) можно записать в виде Ъп[х) =

i-i

что удобно в задачах прогнозирования, поскольку (д;) -

ошибка прогноза на и-ом шаге.

В разделе 4.2.2 найдена асимптотическая условная СКО рекуррентных аналогов оценок (11): йЛя+1) = á.j„ +(п + \) 1 K.([Xn+¡-*)/й„+|)х

»(gjiY^-K^S^Vj/hn+], где V„=[(X„-x)k =

S. ^{tX^-xf1'1 К({Х-х)1Ъ,)1к,, »J = l,p + lj, и матрица

$„+l~l также пересчитывается рекуррентно.

В разделе 4.3 исследуются устойчивые оценки ядерного типа многомерной функции интенсивности отказов, входящей в класс дополненных функционалов (по терминологии Кошкина Г.М.). Аналитиче-

ские результаты проиллюстрированы статистическим моделированием.

Локальное оценивание условных функционалов и их производных на основе полиномиальной аппроксимации улучшает скорость сходимости смещения и позволяет находить оценки производных условных функционалов любого порядка естественным образом.

В пятой главе рассмотрены непараметрические оценки условных функционалов и их производных для строго стационарных наблюдений, удовлетворяющих условию сильного перемешивания (с. п.).

В разделе 5.1 найдена главная часть СКО и порядок сходимости четвертых моментов оценок (10) для многомерных с. п. наблюдений

Z, = (Xj, Y,), 1 = \,п с коэффициентом с.п. а(г) удовлетворяющим ус-

оо

ловию J[a(T)]Adr < со для некоторого числа I е (0,0.5).

о

В разделе 5.2 аналогичные результаты получены для рекуррентных

оценок a^(x) = n-i±g(Y,)K^((x-Xl)/hl)/hr. Пусть fw^(z,p) -

/=i

2{т +1) -мерная плотность распределения выборочных величин

со оо

(ZPZ1+T),яГ(*)= \\g;{y)\f(x,y)dy, Г,= JujK(u)du.

—<0 -00

Теорема 5.2. Пусть симметричное нормированное ограниченное яд-

ОО 00

ро К(-) удовлетворяет условиям < со, J|«vAT(m)|c/w < оо

—оо -со

у, _ 10)7 ^ функция al.rj){-) и все ее частные производные v-

J [const Ф 0, j = v

го порядка непрерывны и ограничены на Rm, функции а\*(-), af""(•)

ограничены на Rm и непрерывны в точке х, функция а,2+(-) ограничена и

непрерывна в точке х, функция |д21 g,(v)g, (д) | ./¡(1+l)(*,v,y,q)dvdq ог-

раничена на Я2, для монотонно не возрастающей последовательности

Смещение оценок локальной полиномиальной аппроксимации а'р ведет себя по отношению к степени полинома р так же (дает улучшенную скорость сходимости), как смещение оценок Ь]п {х) по отношению к параметру V (скорость сходимости в среднеквадратичном рекуррентных и обычных оценок подстановки для зависимых и независимых наблюдений одинакова).

В разделе 5.3 рассмотрены оценки раздела 4.1.2 а) и в случае

с. п. наблюдений: найдены главные части смещений и дисперсий асимптотических распределений.

Порядок скорости сходимости оптимальных непараметрических оценок функционалов а(г/) (х), г = 0,1 для с. п. наблюдений, равный

2\ [т + 2(у + г)\ ', при больших V, как и для независимых наблюдений,

приближается к обычному порядку скорости сходимости параметрических оценок.

В разделе 5.4 приведены теоремы сходимости, позволяющие находить СКО оценок подстановки и их кусочно-гладких аппроксимаций, а также результаты, связанные с оптимальным выбором параметров размытости, и СКО соответствующих оптимальных оценок.

В разделе 5.5 даны примеры применения ядерных оценок, результа-

Ъ„: 1ип (й„ + 1/(ий;+2г )) = 0 и пх £ Ь] = + о) для 0 = V,т + 2г.

о

{ 00 Л1"-1

ты моделирования и численных расчетов. С помощью оценок подстановки и их кусочно-гладких аппроксимаций, в том числе и рекуррентных, проводится непараметрическая идентификация двухфакторной производственной функции. Рассмотрена непараметрическая идентификация в широком смысле процесса нелинейной гетероскедастической авторегрессии второго порядка с применением к задаче прогнозирования и обработки реальных данных на цены акций.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в работе.

В приложении представлены документы, подтверждающие практическое использование результатов исследований.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методы и результаты исследования асимптотических свойств оценок медианного типа параметров тренда положения (масштаба), построенных на разностях (отношениях) наблюдений первого и второго порядков.

2. Результаты исследования асимптотических свойств оценок медианного типа параметра устойчивого процесса авторегрессии при отсутствии и при наличии аддитивной помехи наблюдения.

3. Методы построения и нахождения главных частей асимптотических среднеквадратичных ошибок локальных оценок ядерного типа функционалов от условных распределений и их производных.

4. Метод исследования сходимости в среднеквадратичном локальных ядерных оценок функции интенсивности неоднородного пуассонов-ского процесса.

5. Критерии и результаты оптимального управления капиталом некоммерческого страхового фонда в асимптотической модели, зависящей

от среднего, дисперсии величины страховых выплат и интенсивности пуассоновского потока, управляющего выплатами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях по перечню ВАК РФ

1. Китаева A.B. Медианные оценки параметров квадратичного тренда временного ряда//Автометрия. 1990. № 1. С. 87-90.

2. Китаева A.B. Медианная оценка параметра квадратичного тренда среднего // Деп. в ВИНИТИ редколлегией журнала «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика» 26 мая 1988 № 4101-88. 15 с.

3. Китаева A.B. Рекуррентное оценивание функции интенсивности пуассоновского процесса // Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 312. № 5. С. 5-10.

4. Китаева A.B. Устойчивое оценивание одновременного тренда среднего и дисперсии случайного сигнала // Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 313. № 5. С. 5-9.

5. Китаева A.B. Локальные полиномиальные оценки условных функционалов и их производных по независимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 5. С. 6-10.

6. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности // Автоматика и телемеханика. 1997. № 5. С. 202-214.

7. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Рекуррентное непараметрическое оценивание функций от функционалов многомерной плотности и их производных // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. С. 48-67.

8. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Полурекуррентные ядерные оценки базовых функционалов по независимым наблюдениям // Известия Том-

ского политехнического университета. 2008. Т. 312. № 2. С. 8-12.

9. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Ядерные оценки базовых функционалов по зависимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. 2009. Т. 314. № 2. С. 26-31.

10. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Полурекуррентная непараметрическая идентификация в широком смысле нелинейной гетероскедастиче-ской авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 2010. № 2. С. 92-111.

11. Китаева A.B., Кошкин Г.М., Пивен И.Г. Непараметрическая идентификация в экономических системах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15. Вып.4. С. 588-612.

12. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Сильно состоятельная и асимптотически нормальная оценка параметра авторегрессии первого порядка с бесконечной дисперсией // Вестник Томского государственного университета. Декабрь 2003. № 280. С. 185-187.

13. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного университета. Март 2006. № 290. С. 167-168.

14. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Модель фонда социального страхования при релейном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах и выплатах по социальным программам // Вестник Томского государственного университета. Декабрь 2006. №293. С. 35-38.

Публикации в других изданиях

15. Китаева A.B. Оценки медианного типа для коэффициентов тренда временного ряда // Поиск сигнала в многоканальных системах: сб. статей. Томск: Изд-во Томского университета, 1987. Вып. 2. С. 89-98.

16. Китаева A.B. Оценки медианного типа для коэффициентов ли-

нейной регрессионной модели // Материалы 6-ой Всесоюзной школы по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике. Томск. 1987. Часть 1. С. 188-191.

17.Китаева A.B. Медианные оценки параметров тренда среднего га-уссовских процессов, основанные на разностях первого и второго порядков // Тезисы докладов III Всесоюзной конференции «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов». Гродно. 1988. Часть 1. С. 46-48.

18. Китаева A.B. Робастные оценки параметров авторегрессии, примененные в случае линейного тренда параметров модели // Статистический анализ и обработка экспериментальных данных: межвузовский сборник научных трудов. Новосибирск: НЭ'ГИ, 1988. С. 67-73.

19. Китаева A.B. Медианные оценки параметров тренда масштаба // Оптимизация систем управления и фильтрации. М. 1988. Деп. в ВИНИТИ 30 декабря 1988 № 9225-В88. С. 85-93.

20. Китаева A.B. Оценки медианного типа параметров авторегрессии, наблюдаемой с аддитивной помехой // Тезисы докладов XI Всесоюзного научно-технического семинара секции «Теория информации» ЦП ВНТО РЭС им. A.C. Попова. Ульяновск. 1989. Часть 1. С. 42-43.

21. Китаева A.B. Оптимизация деятельности фонда социального страхования // Обработка данных и управление в сложных системах: сборник статей. Томск: Изд-во Томского университета, 2005. Вып. 7. С. 131-134.

22. Китаева A.B. Управление капиталом фонда социального страхования при наличии гистерезиса // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 18. С. 297-302.

23. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое непараметрическое оценивание функции интенсивности // Информатика и процессы управле-

ния: межвузовский сборник научных статей / Отв. ред. А.И. Рубан. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1996. С. 85-93.

24. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Среднеквадратическая сходимость непараметрической оценки функции от функционалов плотности и их производных // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2007. № 23. С. 309-314.

25. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание производственной функции и ее характеристик // Материалы VI Международной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2007). Томск: Изд-во Томского университета, 2007. Часть 1. С. 120-124.

26. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функций от условных моментов по многомерным наблюдениям с сильным перемешиванием // Труды 8-й Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». М.: Институт проблем управления им В.А. Трапезникова, 2009. С. 1001-1018.

27. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Рекуррентные непараметрические оценки локальной линейной аппроксимации условных функционалов // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2009). Часть 1. Томск: Изд-во Томского университета, 2009. С. 47-51.

28. Китаева A.B., Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Непараметрическое оценивание условных функционалов по зависимым наблюдениям // Третий Сибирский конгресс по прикладной и промышленной математике, посвященный памяти С.Л.Соболева (1908-1989). Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1998. Часть IV. С. 97-98.

29. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Медианные оценки параметров тренда среднего гауссовского процесса // Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции «Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов». Киев: КИИГА, 1988. С. 139-140.

30. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Непараметрическое оценивание нормированной интенсивности пуассоновского процесса по наблюдениям на заданном интервале // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. №19. С. 169-172.

31. Кошкин Г.М., Китаева А.В. Оценивание отношений функций в условиях непараметрической неопределенности // Тезисы докладов 3-й Международной научно-технической конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов». Новосибирск. 1994. С. 20-22.

32. Anna Kitayeva. Mean-square convergence of a kernel type estimate of the intensity function of an inhomogeneous Poisson process // The Second International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» (PCI'2008). Proceedings. Baku, Azerbaijan. 2008. Vol. III. P. 149-152.

33. Kitayeva A.V., Koshkin G.M. Continuous-Discrete Nonparametric Kernel Algorithms for Identifying and Control // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 2. С. 488-490.

34. Kitayeva A.V., Koshkin G.M. Semi-recursive kernel estimation of function of density functional and their derivatives // 9th IF AC Workshop «Adaptation and Learning in Control and Signal Processing» & 3d IFAC Workshop «Periodic Control» (ALCOSP'07/PSYCO'07). Saint Petersburg, Russia. 2007. IP ACS Electronic Library at http://lib.physcon.ru/.

35. Anna Kitayeva and Gennady Koshkin. Semi-recursive kernel estimation of the production function and its characteristics // The Second lnterna-

tional Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» (PCI'2008). Proceedings. Baku, Azerbaijan. 2008. Vol. III. P. 145-148.

36.Kitaeva A.V., Koshkin G.M., Piven I.G. Nonparametric algorithms of identification of nonlinear multivariate autoregression processes // The 6th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology (KORUS-2002). Materials. Novosibirsk: Novosibirsk State Technical University, 2002. Vol..3. P. 173.

37. Kitaeva A.V., Koshkin G.M., Piven I.G., Ryumkin V.I. Nonparametric identification of dynamic systems // Материалы научно-практического семинара «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления». Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. С. 97-100.

38. Kitaeva A.V., Koshkin G.M., Piven I.G., Ryumkin V.I. On nonparametric kernel identification of nonlinear autoregression process // The 5th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology (KORUS-2001). Proceedings. Tomsk: Tomsk Polytechnic University, 2001. Vol. 2. P. 208-211.

39. Kitayeva A.V., Koshkin G.M., Ryumkin V.I. Nonparametric estimation of regression curves from dependent observations // Proceedings of the Fifth International Conference «Computer Data Analysis and Modeling». Vol. 1: A-M / Editing by Prof. S.A. Aivazyan and Prof. Yu.S. Kharin. Minsk: BSU, 1998. P. 139-144.

40. Kitayeva A.V., Koshkin G.M., Ryumkin V.I. Nonparametric estimation of conditional functional from dependent observations // Proceedings of the Joint Session of Prague Symposium on Asymptotic Statistics & Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Functions and Random Processes (Prague Stochastics'98) / Editors: Marie Huskova, Petr La-chout, Jan Amos Visek. Prague: Union of Czech Mathematicians and Physicists, 1998. Vol. l.P. 295-300.

Подписано к печати 19.02.2010. Формат 60x84/16. Бумага «Снегурочка»

Печать XEROX. Усл. печ. л. 20,09. Уч.-изд. л. 1,89. _Заказ 216-10. Тираж 100 экз._

ISO 9001

Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008

ИЗДАТЕЛЬСТВО Р»^ ТПУ . 634050, г. Томск, гр. Ленина, 30 Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru

Введение

Глава 1. Медианные оценки параметров трендов положения и масштаба распределения

1.1 Простые медианные оценки параметров 37 тренда положения

1.2 Медианные оценки параметров тренда 46 положения, основанные на разностях наблюдений первого порядка

1.3 Медианная оценка параметра квадратичного 56 тренда положения, основанная на центральных разностях наблюдений второго порядка

1.4 Медианная оценка параметра квадратичного 65 тренда положения, основанная на разностях наблюдений второго порядка общего вида

1.5 Медианные оценки параметров тренда 76 масштаба

1.6 Медианные оценки параметров 82 одновременного тренда положения и масштаба

1.6.1 Простые медианные оценки

1.6.2 Медианные оценки, построенные на разностях и отношениях наблюдений первого порядка

1.7 Медианные оценки параметров тренда 96 среднего гауссовских процессов

1.7.1. Простые медианные оценки

1.7.2. Оценки, построенные на разностях 100 наблюдений первого порядка

1.7.3. Оценка, построенная на разностях 102 наблюдений второго порядка

1.8 Численное моделирование и описание 105 комплекта программ для последовательного нахождения устойчивых оценок параметров квадратичного тренда положения

1.9 Результаты

Глава 2. Оценки медианного типа параметров авторегрессии первого порядка

2.1 Медианная оценка параметра устойчивого 110 процесса авторегрессии

2.2 Обобщенная медианная оценка параметра 117 устойчивого процесса авторегрессии

2.3 Медианная оценка параметра устойчивого 123 процесса авторегрессии при наличии аддитивной помехи наблюдения

2.4 Обобщенная медианная оценка параметра 130 устойчивого процесса авторегрессии при наличии аддитивной помехи наблюдения

2.5 Обобщенные медианные оценки 134 коэффициентов линейного тренда параметра устойчивого процесса авторегрессии

2.6 Результаты

Глава 3. Оценивание интенсивности неоднородного пуассоновского процесса и оптимизация деятельности некоммерческого страхового фонда

3.1 Непараметрическое оценивание 141 интенсивности пуассоновского процесса по наблюдениям на заданном интервале

3.2 Рекуррентное непараметрическое 149 оценивание интенсивности пуассоновского процесса по наблюдениям на заданном интервале

3.3 Оптимизация деятельности фонда 158 социального страхования

3.3.1 Оптимальное линейное релейное управление 158 капиталом фонда

3.3.2 Оптимальное релейное управление 161 капиталом фонда в общем случае

3.3.3 Оптимальное релейное управление 165 капиталом фонда при наличии гистерезиса

3.3.4 Модель фонда социального страхования при релейном управление капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах и выплатах по социальным программам

3.4 Результаты

Глава 4. Ядерное оценивание функций от функционалов от условных плотностей распределений и их производных по независимым наблюдениям

4.1 Простые ядерные оценки условных 179 функционалов и их производных

4.1.1 Оценки подстановки условных 182 функционалов

4.1.2 Оценки условных функционалов, 192 основанные на полиномиальной аппроксимации

4.2 Рекуррентные оценки условных 211 функционалов

4.2.1 Полурекуррентные оценки подстановки 211 условных функционалов

4.2.2 Рекуррентные оценки условных 218 функционалов, основанные на полиномиальной аппроксимации

4.3 Устойчивое с улучшенной скоростью 225 сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности

4.4 Результаты

Глава 5. Ядерное оценивание функций от функционалов от условных плотностей распределений и их производных по зависимым наблюдениям

5.1 Оценки подстановки, построенные по 241 зависимым наблюдениям

5.2 Рекуррентные оценки подстановки, 252 построенные по зависимым наблюдениям

5.3 Оценки условных функционалов, 261 основанные на полиномиальной аппроксимации, построенные по зависимым наблюдениям

5.4 Среднеквадратическое отклонение оценок 267 подстановки и их кусочно-гладких аппроксимаций

5.5 Примеры и моделирование

5.6 Результаты 289 Заключение 290 Литература 295 Приложение

Проблемы исследования временных рядов возникают в самых разнообразных областях науки и техники в связи с задачами прогнозирования, управления, необходимостью сжатого формального описания структуры изучаемого процесса и др. (см., например, [338, 174, 196, 212]). Наиболее популярными моделями временных рядов, для анализа которых разработан сильный математический аппарат, являются регрессионные модели, где временная изменчивость сосредоточена в систематической составляющей (R-модели), и стационарные случайные процессы, в которых зависимость от времени проявляется в случайной компоненте. В последнем случае рассматриваются обычно модели авторегрессии-скользящего среднего (АРСС или ARMA). В последнее время широкое распространение при описании временных рядов в экономике получили такие нелинейные модели, как авторегрессионная модель условной гетероскедастичности (ARCH), введенная Р. Энглем, и разнообразные обобщения, например, обобщенная авторегрессионная модель условной гетероскедастичности (GARCH), неоднородная авторегрессионная модель условной гетероскедастичности (HARCH), условная гетероскедастическая авторегрессионная нелинейная модель (CHARN) [333, 144, 153, 161, 199].

В случае, когда неизвестные функции в моделях допускают параметрическое представление, задача идентификации объекта связана с оцениванием параметров разложения трендов по некоторой системе функций, зависящих от времени. Классические параметрические процедуры обычно ориентированы на конкретные виды распределений. Наиболее популярный метод — метод наименьших квадратов (МНК), развитый в начале 19-го века в работах Лежандра и Гаусса, оптимален в случае гауссовского распределения. Достоинством оценок МНК (ОМНК) является также их линейная структура. Однако ОМНК теряют свои оптимальные свойства и могут давать очень плохие результаты при наличии в наблюдениях выбросов, порожденных распределениями с «длинными хвостами», например, Лапласа, Коши [245, 239].

Желание повысить точность получаемых результатов в случае, когда приходится работать в условиях недостаточной априорной определенности, приводит к развитию устойчивых (робастных) методов, которые, как правило, дают достаточно точные результаты при «основном» распределении шумов и катастрофически не теряют точность оценивания при некоторых отклонениях реального распределения от гипотетического. Термин «робастность» был введен Дж. Боксом в 1953 году. Первое систематическое изложение теории робастных оценок было сделано П. Хьюбером [233, 135]. Первоначально концепции робастности (минимаксная [233], качественная робастность [222]) разрабатывались для случая независимых одинаково распределенных наблюдений. В дальнейшем они были распространены на случай оценивания параметров временных рядов [281].

Заметим, что между тремя основными классами робастных оценок, введенных П. Хьюбером: М-оценками (оценки типа максимального правдоподобия), R-оценками (ранговые оценки) и L-оценками (оценки, построенные на порядковых статистиках), существует тесная связь [238, 244, 246, 247]. Выборочную медиану Me - «старейшую, наиболее робастную и простейшую» оценку параметра сдвига распределения [42] можно рассматривать одновременно как М, R и L-оценку. Me обеспечивает минимум максимального смещения, вызванного асимметричными загрязнениями, и является удобной начальной точкой для итеративно вычисляемых устойчивых оценок [235]. Исследования распределения и моментов Me начинаются с гауссовского случая в работах [230, 298]; в [171, 177, 178, 324] эти исследования продолжены, в том числе и для выборок, подчиняющихся другим законам распределения; асимптотические свойства Me в рамках общей теории выборочных квантилей можно найти, например, в [262, 263]. Следует также отметить статью Колмогорова А.Н. [100], вышедшую в 1931 году, где показана асимптотическая нормальность и устойчивость (робастность) Me.

Заметим, что Me обладает свойством минимизировать норму Ц отклонений выборочных значений, т. е. является оценкой метода наименьших модулей (МНМ). Как пишет П. Хьюбер [235], «можно надеяться, что . для регрессии роль медианы возьмет на себя Ц -регрессия». Для регрессионной модели различные робастные процедуры, основанные на медиане, рассматривались, например, в [146, 310, 325]. В 1978 году Бассет Г. и Конкер Р. [152] показали состоятельность и асимптотическую нормальность оценок МНМ (OMHM) регрессии. Асимптотическим свойствам OMHM линейной регрессии и процедурам статистического вывода, основанным на норме Z,, посвящены, например, работы [263, 288].

МНМ считают старейшей из робастных процедур (он стал применяться раньше МНК). В середине 18-го века ОМНМ была предложена Босковичем [198]. В конце 18-го - 19-ом веке с МНМ работали Лаплас, Гаусс, Эджворт [209, 332]. После работы Эджворта в 1887 году МНМ не привлекал серьезного внимания специалистов, что было вызвано, видимо, в основном вычислительными трудностями. Интерес к МНМ возродился с появлением в 1955 году работы [175], где проблема нахождения OMHM была сведена к задаче линейного программирования. В настоящее время создано много эффективных алгоритмов для нахождения ОМНМ [261, 167, 159,160, 189, 217, 291].

В конце 20-го — начале 21-го веков, подход, основанный на норме Z,, по-прежнему привлекает внимание исследователей: в 1983 и 1985 годах вышли две монографии [160, 33] (последняя, посвященная вопросам непараметрического оценивания, в 1988 году переведена на русский язык). В 1987 году в Швейцарии состоялась первая международная конференция по статистическому анализу, основанному на норме , далее аналогичные конференции прошли в 1992, 1997 и 2002 годах [193-195].

В данной работе изучаются асимптотические свойства оценок медианного типа параметров регрессионных и авторегрессионных моделей, устойчивых к «загрязнению» наблюдений.

Робастные процедуры, можно сказать, занимают промежуточное положение между классическими параметрическими и непараметрическими методами по степени исходной определенности модели. В случае априорной неопределенности можно воспользоваться непараметрическими методами, которые обеспечивают более широкий подход к задаче. Непараметрические методы требуют только самых общих предположений о восстанавливаемых зависимостях, например, непрерывности, дифференцируемое™ и т. п. Непараметрические подходы, в частности, могут быть использованы для уточнения параметрической модели. Однако, в некоторых случаях построение параметрической модели не только нецелесообразно, поскольку может быть связано с существенными затратами, но и невозможно в принципе [114,108]. Следует обратить внимание также и на то, что при решении целого класса задач нелинейной обработки сигналов непараметрические процедуры дают более обозримые результаты, чем параметрические рекуррентные процедуры, связанные с решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или разложением плотности распределения в ряды [108, 126].

Ценность непараметрического подхода возрастает при усложнении модели, например, когда неизвестные функции зависят не от фиксированных переменных, выше трактуемых нами как время (трендовые модели), а от, вообще говоря, случайных входных характеристик. В этом случае для идентификации модели можно применять подходы, основанные на оценках подстановки функций от некоторых базовых функционалов, где в качестве элементов подстановки берутся непараметрические ядерные оценки [38]. Подход на основе функций от функционалов от совместного либо условного распределения (базовых функционалов) и их производных позволяет, с одной стороны, разбить анализ статистических свойств оценок на два этапа: 1) исследование свойств оценок базовых функционалов и 2) исследование свойств интересующей нас оценки на основе теорем сходимости [18]; с другой стороны, позволяет подходить с единых позиций к идентификации исследуемой системы в широком смысле [128, 137], а именно, оценивать наряду с функцией регрессии, к примеру, также условную дисперсию и функции чувствительности. Идея выделения класса статистик, представляющих собой функционалы от оценок распределения, принадлежит Р. Мизесу [289]. Оценки числовых характеристик распределений как интегральных функционалов от оценок распределений изучались в [35]. Множество работ посвящено исследованию непараметрических оценок регрессии как функционала от условного распределения. Результаты исследования нелинейных функционалов от плотностей распределений и их производных есть в [299, 38, 35]. Функциональный подход оказывается весьма эффективным в таких задачах обработки сигнала, как фильтрация, интерполяция и прогноз [108, 40], в задачах восстановления плотностей распределения, их производных, отношений производных и т.п. для шумов регрессионных процессов [19-22, 265].

Локальное оценивание (сглаживание) является одним из широко распространенных и хорошо зарекомендовавших себя методов статистического оценивания, позволяющих преодолеть недостатки полиномиальной глобальной аппроксимации [205]. Сглаживание имеет длинную историю — в 19-ом веке непараметрические методы использовались как одно из основных средств эмпирического анализа данных — в 1857 году немецкий экономист Эрнст Энгель открыл свой закон (закон Энгеля), построив регрессограмму [223]. Однако впоследствии непараметрический подход был мало востребован, и в первой половине

20-го века статистики уделяли основное внимание параметрическим методам, видимо, по причине вычислительной простоты и математического удобства. Интенсивное исследование и использование методов сглаживания началось в последние десятилетия прошлого века с развитием вычислительной техники и осознанием необходимости привлечения более гибких статистических методов исследования зависимостей, особенно при анализе экономических данных.

В данной работе рассматриваются оценки, принадлежащие к широкому классу процедур сглаживания (оценивание кривой в точке, используя взвешенные наблюдения, лежащие в некой ее окрестности), представимые в виде г(*)=2уя/(*)}% (I) 1 где Ягш(х) - некоторые веса, которые, вообще говоря, могут зависеть от всего набора регрессоров / = 1,«}. Степень влияния усредняемых значений (в частности, возможно их количество) регулируется весами, которые, как правило, зависят от некоторого параметра сглаживания. На практике именно выбор сглаживающего параметра оказывает решающее влияние на качество процедуры оценивания. Заметим, что сглаживание сплайнами в асимптотическом смысле также может быть представлено в виде (1) [223]. Из (1) нетрудно видеть, что, при выполнении условия нормировки на весы [ — У]1УП1(х) = 11, У(х) можно рассматривать как решение

V» -1 ) оптимизационной задачи взвешенного МНК

-¿^(^-Пх^^тт.

Естественным подходом к выбору весов в (1) является описание последовательности весов с помощью некоторой функции плотности вероятностей К(-), в которой коэффициент масштаба играет роль сглаживающего параметра. Такие оценки называют оценками ядерного типа, а функцию К(-) - ядром. Если мы возьмем нН Н 1 ** у веса в виде И/П1(х) =—=—\ ' , где рп(х) = ~У]К

РЛХ) пК <=1 ч К ядерная оценка плотности вероятностей Розенблатта-Парзена [305, 297], то получим классическую оценку функции регрессии — оценку Надарая-Ватсона [115, 347], которая, с одной стороны, соответствует локальной аппроксимации константой, в том смысле, что получается из критерия а с другой стороны, может рассматриваться как оценка подстановки, полученная на

Класс ядерных оценок был введен М. Розенблаттом [305] и изучался Э. Парзеном [297] и Э.А. Надарая [115-118], хотя основные принципы ядерного оценивания были независимо предложены Фиксом И. и Ходжесом Дж. [210] еще в 1951 году и Акаки X. [141] в 1954 году. Многомерные оценки плотностей исследовались В. Мерфи [290] и B.A. Епанечниковым [43], условных плотностей — Розенблаттом [307, 308], условных функций распределения - Г.М. Кошкиным, B.A. Симахиным, Ф.П. Тарасенко [35]. Ядерная оценка регрессии была предложена Э.А. Надарая [115] и независимо Г. Ватсоном [347]; П. Бхаттачария [155] и Е. Шустер [318] рассматривали оценки производных плотностей. В этих работах в основном исследуются различные типы сходимости оценок и проблемы выбора оптимальных (в асимптотике) ядер и параметров сглаживания. Функционалы от условных распределений (условные функционалы) изучались в работах В.Д. Конакова [99, 264] и других авторов [36, 102, 103-105, 35]. За последнее время вышло несколько монографий по ядерному оцениванию [110, 344, 33].

В настоящей работе изучается сходимость в среднеквадратическом 1) оценок условных функционалов типа Надарая-Ватсона и их производных в рамках оценок подстановки базовых функционалов от совместных распределений и их производных (оценок подстановки) и 2) оценки условных функционалов и их производных, основанные на линейной локальной аппроксимации.

Оценки линейной локальной аппроксимации (OJIJIA) являются естественным обобщением, следующим из представления (2): причем b здесь оценивает производную функции регрессии в точке х. Метод локальной полиномиальной аппроксимации функции регрессии систематически изучался сначала Stone C.J. [334] и Cleveland W.S. [179], затем Fan J. [200, 201], Fan J. и

2) функционалов вида Jg(>>)/(у, x)dy. R

Gijbels 1. [203], Ruppert D. и Wand M. P. [316]. Сравнение двух методов для регрессии: локальной аппроксимации константой и линейной локальной аппроксимации можно найти, например, в [226, 200, 205].

Идеи ядерного оценивания находят естественное применение при оценивании функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса. Пуассоновский процесс принадлежит к семейству марковских процессов с непрерывным временем и является простейшим примером процессов размножения-гибели (процесс чистого размножения). Отметим также, что пуассоновский процесс является одним из наиболее известных процессов Леви, столь популярных в финансовом анализе.

Пуассоновские процессы с переменной интенсивностью (неоднородные) служат адекватной моделью многих реально протекающих процессов. В настоящее время с их помощью моделируются, к примеру, поступление сообщений в сетях связи, потоки задач в сетях ЭВМ, приход клиентов в страховых компаниях или банках, поступление нервных импульсов на нейроны в нейрофизиологии, потоки частиц в физических экспериментах и т. п. Многочисленные примеры могут быть найдены, в частности, в [190, 250, 328].

Это объясняет достаточно большое количество работ, посвященных различным подходам к оцениванию интенсивности неоднородных пуассоновских процессов. В [273] рассмотрены байесовский, наименьшего расстояния, максимального правдоподобия критерии, в обзоре [294], делающем ударение на оценках максимального правдоподобия, подчеркиваются недостатки этих оценок, связанные со сложностью их структуры и неустойчивостью вычислительных процедур. В работах [273, 227,228, 301] предложены различные непараметрические методы.

Целью работы является построение и исследование процедур оценивания параметров полиномиальных трендов временных рядов на заданном интервале, работоспособных в случае неопределенности помех наблюдений, устойчивых по эффективности к аномальным выбросам наблюдений (робастное оценивание); локального полиномиального оценивания функционалов от условных распределений и их производных, работоспособных в условиях сильной изменчивости регрессионной зависимости и невозможности ее единообразного описания на исследуемом интервале (непараметрическое оценивание).

Часть работы, связанная с робастным оцениванием, выполнялась в соответствии с госбюджетной темой «Разработка и исследование математического и программного обеспечения автоматических и автоматизированных систем обработки информации, управления и проектирования», входящей в план Сибирского физико-технического института при Томском государственном университете в соответствии с координационным планом НИР АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика» на 1986-90г.г., а также с хоздоговорными темами «Анализ» и «Жуляны», выполнявшимися для одного из предприятий г. Омска.

Часть работы, связанной с непараметрическим оцениванием, выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Томского государственного университета по базовому финансированию МОПО в рамках темы «Разработка и исследование математических моделей и программной поддержки статистической обработки разнотипных данных» в 1994-99 г.г. и Сибирского физико-технического института по заданию Федерального агенства по образованию в рамках темы «Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации» в 2006-2008 г.г., а также по программам, поддержанным: грантом РФФИ № 95-01-00289 «Непараметрические и робастные методы обнаружения зависимостей, классификации и селекции» (1995-96г.г., руководитель Тарасенко Ф.П.); грантом РФФИ, Томской обладминистрации и Республики Алтай № 98-0703194 «Разработка методов, алгоритмов и инструментальных геоинформационных средств для экологического мониторинга природно-территориальных комплексов» (1998-2000г.г., руководитель Костюк Ю.Л.); грантом РФФИ № 98-01-00296 «Непараметрическое оценивание функционалов от распределений по зависимым выборкам» (1998-2000г.г., руководитель Кошкин Г.М.); проектом РФФИ № 09-08-00595 «Идентификация и управление в стохастических системах в условиях неопределенности характеристик объектов и возмущений» (2009-2011г.г., руководитель Добровидов A.B.).

Методы исследований

Исследование характеристик предложенных методов оценивания проводились с использованием аппарата теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, вариационного исчисления. Применимость полученных результатов подтверждена имитационным моделированием и расчетами с использованием реальных данных.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что в ней

- исследованы асимптотические свойства оценок со знаковой меточной функцией, в том числе построенных на разностях и отношениях наблюдений первого и второго порядков;

- рассмотрены подходы к оцениванию функционалов от условных распределений и их производных, позволяющие с единых позиций подходить к локальной идентификации стохастических систем, например, класс введенных функционалов позволяет с единых позиций описать систему характеристик производственных функций;

- локальные непараметрические алгоритмы, предложенные в работе, позволяют решать задачи идентификации, управления и т.д. при зависимых наблюдениях в случае, когда применение параметрических методов неэффективно; исследованы асимптотические свойства непараметрических оценок функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса, построенных по единственной реализации процесса на интервале фиксированной длины; решены задачи оптимального управления капиталом фонда социального страхования в асимптотической модели, и найдено распределение вероятностей величины капитала фонда в случае, когда выплаты по социальным программам образуют пуассоновский поток.

Практическая ценность работы заключается в следующем: робастные параметрические оценки, предложенные в работе, дают существенный выигрыш в точности оценивания по сравнению с классическими методами в случае присутствия аномальных ошибок в наблюдениях и дают высокую точность в гауссовском случае в сравнении с традиционными медианными оценками — ОМНМ; предложенные рекуррентные процедуры дают возможность производить вычисления в режиме реального времени, что особенно важно при необходимости обрабатывать большие массивы быстро поступающей информации и выдавать результат в любой требуемый момент. Такая ситуация возникает, например, при текущем анализе финансового рынка;

-решена задача идентификации в широком смысле нелинейной гетероскедастической авторегрессии произвольного порядка, и полученные результаты применены для прогнозирования цен акций;

- совместное использование оценок §§ 1.1, 1.2, 1.4 позволяет последовательно оценивать параметры квадратичного тренда, решая каждый раз только одно трансцендентное уравнение, что привлекательно в вычислительном плане. На этой основе разработан комплект программ, который был передан предприятию-заказчику по хоздоговорным темам «Анализ» и «Жуляны», а также в отраслевой фонд алгоритмов и программ Минвуза СССР (инв. № М88112 от 21 июня 1988 г.) и ГосФАП СССР.

Основные научные результаты, полученные в работе и защищаемые автором, состоят в следующем:

1. Показана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность оценок медианного типа параметров тренда положения (масштаба), построенных на разностях (отношениях) наблюдений первого и второго порядков.

2. Предложены и исследованы оценки медианного типа параметра устойчивого процесса авторегрессии в том числе и при наличии аддитивной помехи наблюдения. Показана сильная состоятельность оценок. В случае авторегрессионного процесса, наблюдаемого без помех, показана асимптотическая нормальность оценок.

3. Исследована сходимость в среднеквадратичном локальных оценок подстановки функционалов от условных распределений и их производных для многомерных зависимых наблюдений. Предложены рекуррентные модификации оценок, масштабированные по каждой компоненте многомерного вектора наблюдений.

4. Исследована условная сходимость в среднеквадратичном локальных оценок полиномиальной аппроксимации функционалов от условных распределений и их производных.

5. Показана сходимость в среднеквадратичном непараметрических оценок ядерного типа функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса.

6. Предложены критерии оптимизации деятельности некоммерческого страхового фонда, и решены задачи оптимального управления капиталом фонда в асимптотическом приближении.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Первые две главы посвящены робастному параметрическому оцениванию. В первой главе рассматриваются оценки параметров тренда случайного процесса вида

2. Результаты исследования асимптотических свойств оценок медианного типа параметра устойчивого процесса авторегрессии при отсутствии и при наличии аддитивной помехи наблюдения.

3. Методы построения и нахождения главных частей асимптотических среднеквадратичных ошибок локальных оценок ядерного типа функционалов от условных распределений и их производных.

4. Метод исследования сходимости в среднеквадратичном локальных ядерных оценок функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса.

5. Критерии и результаты оптимального управления капиталом некоммерческого страхового фонда в асимптотической модели, зависящей от среднего, дисперсии величины страховых выплат и интенсивности пуассоновского потока, управляющего выплатами.

Глава 1. Медианные оценки параметров трендов положения и масштаба распределения

1.1 Простые медианные оценки параметров тренда

Заключение

В данной работе получил дальнейшее развитие непараметрический подход к оцениванию функционалов от условных распределений (условных функционалов) и их производных, заложенный в работах Васильева В.А., Добровидова A.B., Кошкина Г.М. [18, 38]. Полученные результаты позволяют, в частности, во-первых, с единых позиций подходить к оцениванию производных любого порядка и, во-вторых, достигать улучшенной скорости сходимости смещения оценок, не прибегая к знакопеременным ядрам, использование которых приводит к неустойчивости оценок условных функционалов и, как следствие, порождает проблемы при нахождении СКО оценок. Вышеуказанные проблемы решаются в [38] при помощи достаточно сложных методов регуляризации (например, кусочно-гладкая аппроксимация (5.5.17), где вводятся дополнительные параметры т > 0,р > 0,последовательность8nv). Более того, для оценок условных функционалов, основанных на локальной полиномиальной аппроксимации, предложено вычислять условные смещения и ковариации, что снимает проблему нахождения мажорирующей последовательности (см. условие 2 теоремы 5.3).

Методы непараметрического ядерного оценивания, в том числе и рекуррентные, получают дальнейшее развитие в применении к оцениванию функций интенсивности пуассоновских потоков событий. Применение оценок ядерного типа для оценивания функции интенсивности нестационарного пуассоновского процесса является вполне естественным. Напомним, что впервые оценки ядерного типа были применены Розенблаттом для оценивания функции плотности распределения. Для того, чтобы оценить интенсивность следует рассматривать статистики и

S =У—К -в рекуррентном случае, т.е. умножить статистики (3.1.1) и (3.2.1) на rth V h, t1 количество событий на рассматриваемом интервале. В данной работе рассматриваются оценки нормированной интенсивности Х(/)/Л(0,Г), обладающей свойствами плотности вероятностей на [О,Г]. Статистики (3.1.1) и (3.2.1) аналогичны по структуре ядерным оценкам плотности и их специфика заключается в том, что объем выборки является случайной величиной.

Наряду с непараметрическими оценками условных функционалов, имеющих локальный характер, в работе исследованы асимптотические свойства параметрических оценок медианного типа моделей временных рядов, позволяющие единообразно описывать поведение исследуемой системы на всем интересующим нас промежутке времени. В этих моделях входные переменные, в отличие от рассмотренных здесь непараметрических задач оценивания условных функционалов, являются детерминированными (предполагается, что тренды разлагаются по некоторой произвольно фиксированной системе ортонормированных функций, и наблюдения осуществляются в равноотстоящие моменты времени). Оценивание медианы позволяет получить устойчивые по эффективности оценки в сравнении с оценками среднего. Построение медианных оценок с использованием разностей наблюдений позволяет получить существенно более точные, в сравнении с традиционными медианными (оценками метода наименьших модулей), результаты в случае гауссовских шумов. Этот факт, по-видимому, объясняется тем, что, к примеру, по выборке / = 1,«| объема п можно построить п{п—1)/2 различных разностей - х}} наблюдений (аналогично эффекту оценки Ходжеса-Лемана).

Математическому моделированию некоммерческих страховых фондов уделяется недостаточно внимания. Автору не известны работы по оптимизации деятельности таких фондов. В данной работе оптимизация управлением капиталом выполнена для моделей фондов социального страхования, рассмотренных в одной из пионерских работ [52], где найдены только вероятностные характеристики работы фонда в диффузионной асимптотике при релейном и релейном с гистерезисом детерминированном управлении расходов на социальные программы. Точные результаты в [52] получены при независимых экспоненциально распределенных выплатах по страховым случаям в случае детерминированного' управления расходами средств на социальные программы.

В настоящей работе представлены следующие основные результаты:

1. Исследованы асимптотические свойства оценок медианного типа параметров тренда положения и масштаба, построенных на разностях и отношениях наблюдений первого и второго порядков: показана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность оценок, найдены параметры асимптотических распределений. Проведена оптимизация по весовым функциям в целях повышения точности оценивания.

Теоретические исследования сопровождаются статистическим моделированием, показывающим применимость полученных результатов, начиная с практически любых объемов выборок. Также создан комплект программ, позволяющий последовательно оценивать параметры квадратичного тренда, решая каждый раз только одно трансцендентное уравнение.

Предложенные оценки являются робастными: они дают существенный выигрыш в точности оценивания по сравнению с ОМНК в случае наличия аномальных ошибок наблюдений. В случае гауссовского распределения шумов асимптотическая эффективность предложенных оценок положения превышает 90%.

2. Предложены оценки медианного типа параметра устойчивого процесса авторегрессии как при отсутствии, так и при наличии аддитивной помехи наблюдения. Показана сильная состоятельность оценок, найдены асимптотические средние и дисперсии оценок. В случае наблюдаемого авторегрессионного процесса показана асимптотическая нормальность оценок. Рассмотрены также медианные оценки коэффициентов линейного тренда параметра авторегрессии.

Предложенные обобщенные медианные оценки устойчивы к аномальным выбросам аддитивной помехи наблюдений и при низкой относительной асимптотической эффективности в гауссовском случае (около 41%) могут давать неограниченный выигрыш в точности оценивания при «загрязненных» наблюдениях по сравнению с оценками типа Юла-Уокера.

3. Предложен подход к оцениванию функционалов от условных распределений и их производных, позволяющий с единых позиций подходить к идентификации стохастических систем в широком смысле и решать задачи идентификации, управления и т.д. в условиях параметрической априорной неопределенности, когда применение параметрических методов неэффективно. Исследована сходимость в среднеквадратическом оценок подстановки функционалов от условных распределений и их производных для многомерных наблюдений в случае случайной выборки и слабой зависимости выборочных значений.

Исследованы рекуррентные модификации оценок, в том числе масштабированные по каждой компоненте многомерного вектора наблюдений.

Рассмотрены оценки функционалов от условных распределений и их производных, в том числе и рекуррентные, построенные по методу линейной локальной аппроксимации. Найдены главные части условных асимптотических СКО и ковариаций оценок. Определен порядок сходимости условных четвертых центральных моментов и четвертых моментов отклонений оценок, что позволяет, привлекая теоремы сходимости [18], находить условные главные части асимптотических СКО оценок подстановки, построенных на основе данных оценок. В случае слабой зависимости найдены главные части асимптотических смещений и дисперсий.

Порядок сходимости оптимальных оценок подстановки можно сделать сколь угодно близким к 1\и (и - объем выборки) путем выбора соответствующего знакопеременного ядра. Для оценок локальной полиномиальной аппроксимации аналогичный эффект достигается путем повышения степени аппроксимирующего полинома.

Рассмотрены примеры применения ядерных оценок подстановки и их кусочно-гладких аппроксимаций, в том числе и рекуррентных, к непараметрической идентификации двухфакторной производственной функции. Проведено сравнение рекуррентных оценок регрессии с простыми при помощи статистического моделирования. Рассмотрена непараметрическая идентификация в широком смысле процесса нелинейной гетероскедастической авторегрессии второго порядка с применением к задаче прогнозирования и обработки реальных данных.

4. Рассмотрены оценки подстановки многомерной функции интенсивности отказов и их кусочно-гладкие аппроксимации, позволяющие решить проблемы неустойчивости оценок подстановки и связанные с этим трудности при нахождении асимптотической СКО этих оценок. Аналитические результаты проиллюстрированы статистическим моделированием.

5. Исследована сходимость в среднеквадратическом непараметрических оценок ядерного типа, функции интенсивности неоднородного пуассоновского процесса, в том числе и рекуррентных по числу наблюдений, на временном интервале фиксированной длины, построенных по единственной реализации процесса.

Асимптотические результаты получены в схеме серий при неограниченном возрастании интенсивности на рассматриваемом интервале. Для не рекуррентных оценок при степенных параметрах размытости определена главная часть среднеквадратической ошибки оценки.

6. Поставлены и решены задачи оптимизации деятельности фонда социального страхования в диффузионном приближении работы фонда при различных (детерминированных) моделях расходования средств на социальные программы. Полученные результаты позволяют стабилизировать работу фонда социального страхования в смысле минимизации асимптотической дисперсии капитала (или скорости ее изменения) при фиксированной вероятности разорения (или выделения средств на социальные программы).

Также найдено распределение капитала фонда (основная характеристика работы фонда) в случае, когда выплаты по социальным программам осуществляются при превышении капиталом фонда некоторого порогового значения в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток, и величины выплат - независимые экспоненциально распределенные случайные величины.

В заключение автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору ТГУ А.Ф. Терпугову за внимание и консультации в процессе работы.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979. -832 с.

2. Алексеев В.Г. О непараметрических оценках кривых и поверхностей регрессии // Автоматика и телемеханика. 1988. — № 7. — С. 81-87.

3. Андерсен Т. Введение в многомерный статистический анализ. — М.: Физматгиз, 1963. — 500 с.

4. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1976. — 758 с.

5. Апраушева H.H., Конаков В.Д. Использование непараметрических оценок в регрессионном анализе // Заводская лаб. — 1973. — № 5. С. 556-569.

6. Балтрунас Й.И., Рудзкене В.Ю. Нелинейные стохастические процессы авторегрессии // Тр. АН ЛитССР. Сер.Б. 1984. - Т. 3 (142). - С. 81-90.

7. Балтрунас И.Й., Рудзкене В.Ю. Регулярность процесса нелинейной авторегрессии // Тр. АН ЛитССР. Сер. Б. 1986. - Т. 2 (153). - С. 118-122.

8. Билингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977. 352 с.

9. Бокс Дж. Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974.-Вып. 1 -406 с.

10. Бокс Дж. Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974.-Вып. 2- 197 с.

11. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. - 432с.

12. Боровков A.A. Математическая статистика. — Новосибирск: Наука, 1997. — 772 с.

13. Булдаков В.М., Кошкин Г.М. О рекуррентных оценках плотности вероятностей и линии регрессии // Проблемы передачи информации. — 1977. Т. 13. — С. 41-48.

14. Вааль В.А., Китаева A.B., Кошкин Г.М. Доверительное непараметрическое оценивание функции интенсивности // Межд. конф. "Всесибирские чтения по математике и механике". Тезисы докл. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1997. — Т. 1. — С. 120.

15. Вальц О.В., Змеев O.A. Диффузионная аппроксимация модели фонда социального страхования с релейно-гистерезисным управлением капитала // Известия вузов. Физика. 2004. - № 2. - С. 26-31.

16. Вальц О.В., Змеев O.A. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и случайными расходами на социальные программы// Вестник Томского гос. ун-та. 2004. - № 284. - С. 37-41.

17. Васильев В.А. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений стационарных последовательностей. — М.: Наука, 2004.-512 с.

18. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Об оценивании многомерной плотности распределения и ее производных по зависимым наблюдениям // В кн.: Предельные теоремы и смежные вопросы. Тез. докл. международного семинара. Омск: Изд-во ОМГУ, 1995. -С. 16-18.

19. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание предельной плотности распределения и ее производных по наблюдениям с ослабевающей зависимостью // Проблемы передачи информации. 1997. - Т. 33. - Вып. 2. - С. 66-80.

20. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание функций от плотности распределения по зависимым наблюдениям // Проблемы передачи информации. — 1997. — Т. 33. Вып. 4. - С. 45-60.

21. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание отношений производных многомерной плотности распределения по зависимым наблюдениям // Сибирский математический журнал. 2000. - Т. 41. - № 2. - С.280-298.

22. Волконский В.А., Розанов Ю.А. Предельные теоремы для случайных функций // Теория вероятностей и ее применения. 1959. - № 4. - С. 178-197.

23. Гаек Я. Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука, 1971. - 375 с.

24. Галайко Я.В., Назаров A.A. Исследование числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде Российской Федерации при нестационарном входящем потоке // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - № 280. - С. 103-109.

25. Гарайшина И.Р., Назаров A.A. Исследование математической модели изменения страхового капитала Пенсионного фонда // Вестник Томского гос. ун-та. — 2003. — №280.-С. 109-112.

26. Гарайшина И.Р., Назаров A.A. Исследование математической модели процесса изменения страхового капитала Пенсионного фонда при стационарном пуассоновском входящем потоке страховых взносов. // Известия вузов. Физика. — 2004. — № 2. — С.44-54.

27. Гарайшина И.Р., Назаров A.A. Исследование математической модели процесса изменения накопленного капитала пенсионного фонда при нестационарномпуассоновском входящем потоке // Вестник Томского гос. ун-та. — 2004. — № 284. — С. 35-37.

28. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 447 с.

29. Головченко В.Б. Прогнозирование временных рядов по разнородной информации. -Новосибирск: Наука, 1999. — 88 с.

30. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: -Наука, 1971.-1108 с.

31. Давыдов Ю.А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами // Теория вероятностей и ее применения. — 1968. — Т. XIII. — Вып. 4. С. 730-737.

32. Деврой Л., Дьерфи JI. Непараметрическое оценивание плотности. М.: Мир, 1988. -408 с.

33. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 10. - С. 47-59.

34. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А. и др. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1974. — 93 с.

35. Добровидов A.B. Подход к задачам принятия решений в условиях статистической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 5. - С. 90-95.

36. Добровидов A.B. О скорости сходимости непараметрических оценок фильтрации в динамических системах авторегрессионного типа // Автоматика и телемеханика. -2003. -№ 1.-С. 56-73.

37. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание сигналов. — М.: Наука. Физматлит, 1997. 336 с.

38. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание логарифмической производной плотности для последовательностей с сильным перемешиванием // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 9. — С. 63-88.

39. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Нелинейная непараметрическая фильтрация в динамических системах // Тез. докл. — М.: Фонд «Проблемы управления». — 1999. — С.280-281.

40. Дуб Дж. Вероятностные процессы. — М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1956. 605 с.

41. Дэйвид Г. Порядковые статистики. — М.: Наука, 1979. — 335с.

42. Епанечников В.А. Непараметрическая оценка многомерной плотности // Теория вероятностей и ее применения. 1969. — Т. 14. — Вып. 1. — С. 156—162.

43. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. -М.: Наука, 1987.-320 с.

44. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.-528 с.

45. Идрисов Ф.Ф. Рандомизированные временные ряды. Томск: Изд-во ТГПУ, 2004. — 325 с.

46. Зайцев В.Ф. Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям: приложения в механике, точные решения. — М.: Физматлит, 1993. — 464 с.

47. Змеев O.A. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник Томского гос. ун-та. — 2003. -№280.-С. 130-135.

48. Змеев O.A. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Известия вузов. Физика. — 2003. № 3. - С. 83-87.

49. Змеев O.A. Математическая модель фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Известия вузов. Физика. 2003. - № 3. - С. 88-93.

50. Змеев O.A. Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук. -Томск. — 2005. — 352 с.

51. Катко вник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука, 1985.-336 с.

52. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976. -736с.

53. Китаева A.B. Оценки медианного типа для коэффициентов тренда временного ряда. Поиск сигнала в многоканальных системах. — Томск: Изд-во Томского ун-та. — 1987. — Вып. 2. С. 89-98.

54. Китаева A.B. Оценки медианного типа для коэффициентов линейной регрессионной модели // Материалы 6-ой всесоюзной школы по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике. — Томск, 1987. — Часть 1. — С. 188—191.

55. Китаева A.B. Медианная оценка параметра квадратичного тренда среднего. Москва. — 1988. - Рукопись представлена редколлегией журнала «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика». - Деп. в ВИНИТИ 26 мая 1988 № 4101-88. - 15 с.

56. Китаева A.B. Робастные оценки параметров авторегрессии, примененные в случае линейного тренда параметров модели // Статистический анализ и обработка экспериментальных данных. Межвуз. сб. научн. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1988. -С. 67-73.

57. Китаева A.B. Медианные оценки параметров тренда масштаба // Оптимизация систем управления и фильтрации. М. - 1988. - Деп. в ВИНИТИ 30 декабря 1988, № 9225-В88.-С. 85-93.

58. Китаева A.B. Оценка медианного типа параметров квадратичного тренда среднего, основанная на разностях второго порядка // Тезисы докладов 2-ой конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, 1988. — С. 73—75.

59. Китаева A.B. Оценки медианного типа параметров авторегрессии, наблюдаемой с аддитивной помехой // Тезисы докладов XI Всесоюзного н.-т. семинара секции «Теория информации» ЦП ВНТО РЭС им. A.C. Попова. Ульяновск, 1989. - Часть 1. — С. 42-43.

60. Китаева A.B. Оценка параметров гиперболического тренда интенсивности пуассоновского потока // Материалы Республиканской н.-т. школы-семинара «Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ». — Одесса, 1990. — С. 57—58.

61. Китаева A.B. Медианные оценки параметров квадратичного тренда временного ряда // Автометрия. 1990. -№ 1. - С. 87-89.

62. Китаева А.В.Оптимизация деятельности фонда социального страхования // Обработка данных и управление в сложных системах. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2005. — Вып.7. — С. 131-134.

63. Китаева A.B.У правление капиталом фонда социального страхования при наличии гистерезиса // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. — 2006. — № 18. С. 297-302.

64. Китаева A.B. Устойчивое оценивание одновременного тренда среднего и дисперсии случайного сигнала // Известия Томского политехнического университета. — 2008. — Т. 313.-№5.-С. 5-9.

65. Китаева A.B. Рекуррентное оценивание функции интенсивности пуассоновского процесса // Известия Томского политехнического университета. — 2008. — Т. 312. — №5.-С. 5-10.

66. Китаева A.B. Локальные полиномиальные оценки условных функционалов и их производных по независимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. 2009. - Т. 314. - № 5. - С. 6-10.

67. Китаева A.B., Перкальскис C.B. Оценки параметров тренда при асимметричном распределении шумов наблюдений // Тезисы докладов Республиканской научной конференции «Математическое и программное обеспечение анализа данных». — Минск, 1990.-С. 112.

68. Китаева A.B., Колупаев М.В. Медианные оценки параметров тренда // Тезисы докладов Восьмой Международной конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (ФАМ1 2009). Красноярск, 2009. - С. 59-60.

69. Китаева A.B., Колупаев М.В. Медианные оценки параметров тренда // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. — Новосибирск: НГУ, 2009. — С. 209—210.

70. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности // Автоматика и телемеханика. 1997. - № 5. - С. 202-214.

71. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое непараметрическое оценивание функции интенсивности // Информатика и процессы управления. Межвуз. сб. научн. статей / Отв. Ред. А.И. Рубан. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1996. - С. 85-93.

72. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Среднеквадратическая сходимость непараметрической оценки функции от функционалов плотности и их производных // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2007. - № 23 - С. 309-314.

73. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Полурекуррентные ядерные оценки базовых функционалов по независимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. 2008. - Т. 312. - № 2. - С. 8-12.

74. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Рекуррентное непараметрическое оценивание функций от функционалов многомерной плотности и их производных // Автоматика и телемеханика. 2009. - № 3. - С. 48-67.

75. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Ядерные оценки базовых функционалов по зависимым наблюдениям // Известия Томского политехнического университета. — 2009. Т. 314. — № 2. - С. 26-31.

76. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Полурекуррентная непараметрическая идентификация в широком смысле нелинейной гетероскедастической авторегрессии // Автоматика и телемеханика. 2010. - № 2. - С. 92-111.

77. Китаева A.B., Кошкин Г.М., Пивен И.Г. Непараметрическая идентификация в экономических системах // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. Т. 15. - Вып. 4. - С. 588-612.

78. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Медианные оценки параметров линейного тренда пуассоновского потока // Тезисы докладов Зональной н.-т. конференции «Математическое моделирование в инженерной практике». — Ижевск, 1988. — С. 10.

79. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Оценивание параметра тренда пуассоновского потока // Тезисы докладов VI Белорусской школы-семинара по теории массового обслуживания «Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ». Минск, 1990. -С. 49.

80. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Взвешанное относительно медианы среднее // Тезисыдокладов Всесоюзной н.-т. конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов». — Новосибирск, 1991. С. 81.

81. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Непараметрическое оценивание нормированной интенсивности пуассоновского процесса по наблюдениям на заданном интервале // Вестник Томского гос. ун-та. Приложение. 2006. - № 19. — С. 169-172.

82. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Сильно состоятельная и асимптотически нормальная оценка параметра авторегрессии первого порядка с бесконечной дисперсией // Вестник Томского государственного ун-та. 2003. - № 280. - С. 185-187.

83. Китаева A.B., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного ун-та. 2006. - № 290. - С. 167—168.

84. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 240 с.

85. Кендалл M., Стьюарт Дж. Статистические методы и связи. — М.: Наука, 1973. — 900 с.

86. Коиаков В.Д. Непараметрическое оценивание условных и частных моментов II Теория вероятностей и ее применения. — 1973. — Т. 18. Вып. 2. - С. 440-442.

87. Колмогоров А.Н. Метод медианы в теории ошибок. М.: Мат. Сб. — 1931. Т. 38. — № 3/4. - С. 47-50.

88. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 542 с.

89. Кошкин Г.М. Об одном подходе к исследованию функционалов от условных распределений при статистической неопределенности // Автоматика и телемеханика. — 1978,-№8.-С. 53-65.

90. Кошкин Г.М. О непараметрическом оценивании условных функционалов // Докл. VII Всесоюзная конф. по теории кодирования и передачи информации. М.-Вильнюс: Наука, 1978. -Ч. 6. - С. 50-53.

91. Кошкин Г.М. О равномерной сходимости в среднеквадратическом функционалов от условных распределений // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1979. - Вып. 5. - С. 39-52.

92. Кошкин Г.М., Чаусова JI.H. О различных модификациях непараметрических оценок функционалов плотности // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. — Новосибирск: Наука, 1982. — С. 98—109.

93. Кошкин Г.М. Асимптотические свойства функций от статистик и их применения к непараметрическому оцениванию // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 3. — С. 82-97.

94. Кошкин Г.М. Моменты отклонений оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сиб. мат. журн. 1999. - Т. 40. - № 3. - С. 605-618.

95. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов от распределений случайных последовательностей. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук. -Томск. 2000. - 400 с.

96. Кошкин Г.М., Пивен И.Г. Непараметрическая идентификация стохастических объектов. — Хабаровск: Дальневосточное отделение РАН, 2009. 339 с.

97. Кошкин Г.М., Фукс ИЛ. Применение непараметрической оценки функции чувствительности при идентификации стохастических процессов // Тезисы докл. V

98. Всесоюзного совещания по статистическим методам в процессах управления. — М.: Наука, 1981. С. 235-237.

99. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: — Мир, 1975.

100. Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: Ин. лит-ра, 1962. 720 с.

101. Маленво М. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика, 1975. — Вып.1. — 423 с.

102. Надарая Э.А. Об оценке регрессии // Теория вероятностей и ее применения. — 1964. -Т. 19.-Вып. 1.-С. 147-149.

103. Надарая Э.А. Непараметрические оценки кривой регрессии // Тр. ВЦ АН ГССР. — Тбилиси: Мецниереба, 1965. № 5:1 - С. 56-68.

104. Надарая Э.А. Об интегральной среднеквадратической ошибке некоторых непараметрических оценок плотности вероятностей // Теория вероятностей и ее применения.- 1974.-Т. 19.-Вып. 1. С. 131-139.

105. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. — Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1983. 194 с.

106. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1991. — 158 с.

107. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2004.-228 с.

108. Пащенко Ф.Ф. Функция чувствительности и ее применение при выборе оптимальной модели // Системы управления. М.: Наука, 1973. - С. 72-78.

109. Пенская М.Я. Об устойчивом оценивании функции параметра // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1990. — С. 44—55.

110. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.-798 с.

111. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 750 с.

112. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1979. -496 с.

113. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1988. — 174 с.

114. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. - 119 с.

115. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. — 547 с.

116. Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962. — 500 с.

117. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1976.-292 с.

118. Ульянов И.С. Регрессионный анализ некоторых показателей инвестиционной деятельности // Вопросы статистики. — 1999. № 6. — С. 84-88.

119. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Наука, 1966. 800 с.

120. Хеттманспергер Т. Статистические выводы, основанные на рангах. — М.: Финансы и статистика, 1987. — 334 с.

121. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984. — 304 с.

122. Цыбаков А.Б. О выборе ширины окна в ядерной непараметрической регрессии // Теория вероятностей и ее применения. — 1987. — Т. 32. Вып. 1. — С. 153—159.

123. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. — М.: Мир, 1975. — 683 с.

124. Adichie J.N. Estimation of regression parameters based on rank tests // Ann. Math. Statist. 1967. - V. 38. - P. 894-904.

125. Ahmad J.A., Lin P.E. Nonparametric sequential estimation of a multiple regression function // Bull. Math. Statist. 1976. - V. 17. - № 1-2. - P. 63-75.

126. Akahira M. Asymptotic theory for estimation of location in nonregular cases // Rep. Stat. Appl. Res. Union Jap. Sci. Eng. 1975. - V. 22. - P. 8-26, P. 99-115.

127. Akaike H. An approximation to the density function // Ann. Inst. Statist. Math. 1954. -V. 6. - P. 127-32.

128. Akaike H. Time series and control through parametric models // In: Applied time series analysis.-New-York, 1978.-P. 1-23.

129. An H.Z., Chen Z.G. On convergence of LAD estimates in autoregression with infinite variance // J. Mult. Statist. 1982. - V. 12. - P. 335-345.

130. Andersen T.G., Bollerslev T. ARCH and GARCH Models // In: S. Kotz, C.B. Read, D.L. Banks (editors). Encyclopedia of Statistical Sciences.Vol. II. N. Y.: John Wiley and Sons, 1998.-P. 6-16.

131. Andersen T.G., Bollerslev Т., Diebold F.X. Parametric and nonparametric Volatility Measurement // In: ATt-Sahalia Y. and Hansen L.P (editors). Handbook of Financial Econometrics. Amsterdam, North Holland, 2009. - P. 67-138.

132. Andrews D. W. A robust method for multiple linear regression // Technometrics. 1974. -V. 16.-P. 523-531.

133. Aneiros-Pérez G., Vilar-Fernández J.M. Local polynomial estimation in partial linear regression models under dependence // Computational Statistics & Data Analysis. 2008. — V. 52. - P. 2757-2777.

134. Armstrong R. A., Frome e. L., Kung D. S. A revised simplex algorithm for the absolute diviation curve fitting problem // Commun. Stat. Ser. B. 1979. - V. 8. - P. 175-185.

135. Atkinson A.C., Koopman S.J., Shephard N. Detecting shocks: outliers and breaks in time series // Journal of Econometrics. 1997. - V. 80. - P. 387-422.

136. Banon G. Sur un estimateur non parametrique de la densite de probabilite // Rev. Statist, appl. 1976. - V. 24. - №. 4. - P. 61-73.

137. Bartlett M.S. P Statistical Estimation of Density Function // Indian. J. Statist. 1963. -V. A25. - № 3. - P. 245-254.

138. Basset G.W., Koenker R. Asymptotic theory of least absolute error // J. Amer. Statist. Assoc. 1978. - V. 73. -. 618-622.

139. Bauwens L., Laurent S., Rombouts J.V.K. Multivariate GARCH Models: A Survey // Journal of Applied Econometrics. 2006. - V. 21. - P. 79-110.

140. Beck A., Ben-Tal A. On the solution of the Tikhonov regularization of the total least squares // SIAM J. Optim. 2006. - V. 17 (1). - P. 98-118.

141. Bhattachaiya P.K. Estimation of a probability density function and its derivatives // Sankhya. Indian. J. Statist. 1967. - V. A29. - P. 373-382.

142. Bhattacharya R.N., Lee C. Ergodicity of nonlinear first order autoregressive models // J. Theoret. Probab. 1995. - V. 8. - P. 207-219.

143. Bickel P. J. One-step Huber estimation in the linear model // J. Amer. Stat. Assoc. -1975.-V. 70.-P. 428-434.

144. Bickel P. J., Li B. Regularization in Statistics // Sociedad de Estadística e Investigación Operativa Test. 2006. - Vol. 15. - No. 2. - P. 271-344.

145. Bloomfield P., Stieger W. Least absolute deviation curve-fitting // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1980. - V. 1. - P. 290-300.

146. Bloomfield P., Stieger W. Least absolute deviations: theory, applications and algorithms. Boston: Birkhauser, 1983. - 338 p.

147. Bollerslev T., Engle R.F., Nelson D.B. ARCH Models. In: Engle R.F and McFadden D. (eds.). Handbook of Econometrics. — V. IV. — Amsterdam, North-Holland, 1994. — P. 2959-3038.

148. Bosq D. Non-parametric statistics for stochastic processes. Lecture Notes in Statistics. V. 110. -N. Y.: Springer-Verlag, 1996. 184 p.

149. Bosq D., Cheze-Payaud N. Optimal Asymptotic Quadratic Error of Nonparametric Regression Function Estimates for a Continuous-Time Process from Sampled-Data // Statistics. 1999. - V. 32. - P. 229-247.

150. Bowman A. W., Azzalini A. Applied smoothing techniques for data analysis. Oxford Statistical Science Series. V. 8. London: Oxford University Press, 1997. - 193 p.

151. Box G.E.P. Non normality and test on variances // Biometrica. — 1953. — V. 40. — P. 318-354.

152. Bradley R., Bryc W. Multilinear forms and measures of dependence between random variables // J. Multivar. Anal. 1985. - V. 16. - № 3. - P. 335-367.

153. Brennan J.J., Seiford L.M. Linear programming and LI regression // Comput. Statist, and Data Anal. 1987. - V. 5. - P. 263-276.

154. Brooks M.M., Marron J.S. Asymptotic optimality of the least-squares cross-validation bandwidth for kernel estimates of intensity functions // Stochastic Process Appl. — 1991. — V. 38. — №. l.-P. 157-165.

155. Bustos O.H., Yohai V.J. Robust estimation for ARMA models // J. Amer. Statist. Assoc. 1986.-V. 81.-P. 155-169.

156. Bustos O.H., Fraiman R., Yohai V.J. Asymptotic behavior of the estimates based on resudial autocovariances for ARMA models. In: Robust and nonlinear time series analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. P. 26-49.

157. Cadwell J. H. The distributions of quantiles of small samples // Biometrika. 1952. -V. 39.-P. 207-211.

158. Cai Z., Masry E. Nonparametric estimation of additive nonlinear ARX time series: local linear fitting and projections // Econometric Theory. 2000. — V. 16. - P. 465-501.

159. Carrol R.J. On sequensional density estimation // Z. Wahrsch.Verw. Gebriete. — 1976. -V. 36.-P. 137-151.

160. Chan N.H. Time Series: Applications to Finance. N. Y.: John Wiley and Sons, 2002. -203 p.

161. Charnes A., Cooper W.W., Ferguson R.O. Optimal estimation of executive compensation by linear programming // Manage. Sci. 1955. - V. l.-P. 138.

162. Chen G., Choi Y.K., Zhou Y. Nonparametric estimation of structural change points in volatility models for time series // Journal of Econometrics. 2005. - V. 126. - P. 79-114.

163. Chy J.T. On the distribution of the sample median // Ann. Math. Stat. 1955. - V. 26. -P. 112-116.

164. Chy J.T., Hotelling H. The moments of the sample median // Ann. Math. Stat. 1955. — V. 26. - P. 593-606.

165. Cleveland W.S. Robust locally weighted regression and smoothing scatterplots // J. Amer. Statist. Assoc. 1979. - V. 74. - P. 829-836.

166. Collomb G. Nonparametric Regression: an Up-To-Date Bibliography // Statistics. — 1985. -V. 16. — № 2. — P. 112-116.

167. Collomb G. Estimation non paramétrique de la regression par la metode du noyau: Thèse Docteur Ingenieur. — Toulouse: Univ. Paul-Sabatier, 1976. 194 p.

168. Collomb G., Hardie W. Strong convergence rates in robust non parametric time series analysis and prediction: kernel regression estimation for dependent observations // Stochastic Process. Appl. 1986. - V. 23 (1). - P. 77-89.

169. Dahyot R., Wilson S. Robust Scale Estimation for the Generalized Gaussian Probability Density Function // MetodoloSki zvezki. 2006. - Vol. 3. - №. 1. - P. 21-37.

170. Delecroix M., Rosa A.C. Nonparametric estimation of a regression function and its derivatives under an ergodic hypothesis // J. Nonparametric Statist. — 1996. — V. 6. — P. 367-382.

171. Daley D.J., Vere-Jones D. An Introduction to the Theory of Point Processes. N.Y.: Springer, 2003. - 464 p.

172. Degiannakis S., Xekalaki E. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) Models: A Review // Quality Technology and Quantitative Management. — 2004. — V. 1. — P. 271-324.

173. Denby R. Martin R.D. Robust estimation of the first autoregressive parameter // J. Amer. Statist. Assoc. 1979. - V. 74. - P. 140-146.

174. Devroye L., Wagner T.J. On the L{ convergence of kernel estimates of regression functions with applications in discrimination // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1980. — V. 51. -P. 15-25.

175. Dielman T.E. Least absolute value estimation in regression models: An annotated bibliography // Commun. Statist. 1985. - V. 13. - P. 513-541.

176. Diggle P.J. Statistical Analysis of Spatial Point Patterns. London: Academic Press, 1983.- 148 p.

177. Diggle P.J. A kernel method for smoothing point process data // Appl. Statist. — 1985. -V. 34.-P. 138—47.

178. Diggle P.J., Marron J.S. Equivalence of smoothing parameter selectors in density and intensity estimation // J. Amer. Statist. Assoc. 1988. - V. 83. - P. 793-800.

179. Dodge Y. Ll-norm based data analysis // Comput. Statist, and Data Anal. 1987. - V. 5.- P. 239-253.

180. Dodge Y. (editor). Statistical data analysis based on the Ll-norm and related methods. -IMS, 1997.-498 p.

181. Dodge Y. (editor). Statistical data analysis based on the Ll-norm and related methods. -Birkhauser, 2002. 454 p.

182. Econometric analysis of financial and economic time series. Advances in econometrics. V. 20, Part A. Amsterdam: Elsevier, 2006. - 380 p.

183. Econometric analysis of financial and economic time series. Advances in econometrics. V. 20, Part B. Amsterdam: Elsevier, 2006. - 352 p.

184. Eisenhart C. Boscovitch and the combination of observations. In: Roger Joseph Boscovitch. -N. Y.: Fordham University Press, 1961. P. 200-212.

185. Engle R.F. New Frontiers for ARCH Models // Journal of Applied Econometrics. 2002. -V. 17.-P. 425^146.

186. Fan J. Design-adaptive nonparametric regression // J. Amer. Statist. Assoc. — 1992. — V. 87. № 420. - P. 998-1004.

187. Fan J. Local linear regression smoothers and their minimax effciency // Ann. Statist. — 1993.-V. 21.-P. 196-216.

188. Fan J., Gasser T., Gijbels I., Brockmann M. Engel J. Local polynomial regression: optimal kernels and asymptotic minimax efficiency // Ann. Inst. Statist. Math. 1997. -V. 49 —№ 1. —P. 79-99.

189. Fan J., Gijbels I. Variable bandwidth and local linear regression smoothers // Ann. Statist.- 1992. V. 20. - P. 2008-2036.

190. Fan J., Gijbels I. Data- driven bandwidth selection in local polynomial fitting: variable bandwidth and spatial adaptation // J. Roy. Statist. Soc. 1995. - V. 57. - № 2. -P. 371-394.

191. Fan J., Gijbels I. Local Polynomial Modeling and Its Applications. — London: Chapmen and Hall, 1996.-341 p.

192. Fan J., Masry E. Multivariate regression estimation with errors-in-variables: asymptotic normality for mixing processes // J. Multivariate anal. 1992. - V. 43. - P. 237-271.

193. Fan J., Yao Q. Efficient estimation of conditional variance functions in stochastic regression // Biometrika. 1998. - V. 85. - P. 645-660.

194. Fan J. Yao Q. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods. — N. Y.: Springer-Verlag, 2003. 577 p.

195. Farebrother R.W. The historical development of the LI and Loo estimation procedures, 1793-1930. In: Statistical Data Analysis Based on the Ll-Norm and Related Methods. -Amsterdam, North-Holland, 1987. P. 37-64.

196. Fix E., Hodges J.L. Discriminatory analysis non-parametric discrimination: consistency properties // Report No. 4. — Project no. 21-29-004. - USAF School of Aviation Medicine, Randolph Field, Texas. - 1951.

197. Francisco-Fernández M., Vilar-Fernández J.M. 2001. Local polynomial regression estimation with correlated errors // Comm. Statist. Theory Methods V. 30. - P. 1271-1293.

198. Franses P.H., D. van Dijk. Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. -Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000. 280 p.

199. Franses P.H., Kloek T., Lucas A. Outlier robust analysis of longrun marketing effects for weekly scanning data // Journal of Econometrics. 1999. - V. 89. - P. 293-315.

200. Franses P.H., van Dijk D., Lucas A. Short patches of outliers, ARCH and volatility modeling // Applied Financial Economics. 2004. - V. 14. - P. 221-231.

201. Gasser T., Müller H.G. Kernel Estimation of Regression Functions // Lect. Notes Math. — 1979.-V. 757.-P. 23-68.

202. Gentle J.E. Least absolute value estimation: An introduction // Commun. Stat. Ser. B -1977. — V. 6.-P. 313-328.

203. Gentle J.E., Narula S.C., Sposito V.A. Algorithms for unconstrained LI linear regression. In: Statistical Data Analysis Based on the Ll-Norm and Related Methods. Amsterdam, North-Holland, 1987.-P. 83-94.

204. Golub G, Hansen P., O'Leary D. Tikhonov regularization and total least squares // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1999. - V 21. - № 1. p. 185-194.

205. Grebiicki W., Pawlak M. Necessary and sufficient consistency conditions for recursive kernel regression estimate // J. Multivariate Anal. 1987. - V. 23. - P. 67-76.

206. Gross S., Steiger W.L. Least absolute deviation estimates in autoregression with infinite variance // Journal of Applied Prob. 1979. - V. 16. - P. 104-116.

207. Hall P., Lahiri S. N., Truong Y. K. On bandwidth choice for density estimation with dependent data // Ann. Stat. 1995. - V. 23. - № 6. - P. 2241-2263.

208. Hampel F. A general qualitative definition of robustness // Ann. Math. Stat. 1971. -V. 42.-P. 1887-1896.

209. Hardle W. Applied Nonparametric Regression. Cambridge University Press, 1992. -333 p.

210. Hardle W., Tsybakov A., Yang L. Nonparametric vector autoregression // Journal of Statistical Planning and Inference. 1998. - V. 68. - P. 221-245.

211. Hardle W., Miiller M., Sperlich S., Werwatz A. Nonparametric and semiparametric models. Springer, 2004. - 299 p.

212. Hastie T.J. and Loader C. Local regression: automatic kernel carpentry (with discussion) // Statist. Sci. 1993. - V. 8. - P. 120-143.

213. Helmers R., Mangku I.W., Zitikis R. Statistical properties of a kernel type estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process // J. Multivariate Anal. 2005. - V. 92. — P. 1-23.

214. Helmers R., Zitikis R. On estimation of Poisson intensity functions // Ann. Inst. Statist. Math. 1999. - V. 51(2). - P. 265-280.

215. Hodges J.L., Lehmann E.L. Estimates of location based on rank tests // Ann. Math. Statist. 1963. - V. 34 - P. 598-611.

216. Hojo T. Distribution of the median, quantiles and interquantile distance in samples from normal population // Biometrika. 1931. - V. 23. - P. 315-360.

217. Hoyland A. Robustness of the Hodges-Lehmann estimates for shift // Ann. Math. Statist.- 1965. V. 36 - P. 174-196.

218. Huang J.Z., Yang L. Identification of non-linear additive autoregressive models // J. R. Statist. Soc. 2004. - V. 66. - Part 2. - P. 463-477.

219. Huber P.J. Robust estimation of location parameter // Ann. Math. Stat. 1964. - V. 35. — P. 73-101.

220. Huber P.J. Robust regression: Asymptotics, conjectures and Monte Carlo // Ann. Statist.1973. V. 1-P. 799-821.

221. Huber P.J. The place of LI norm in robust estimation// Comput. Statist, and Data Anal. -1987.-V. 5.-P.255-262.

222. Huber P.J. Robustness: Where are we now? // Student. 1995. - V. 1. - № 2. - P. 75-86.

223. Hubert M., Pison G., Struyf A. Theory and applications of recent robust methods. — Birkhauser, 2004. 400 p.

224. Huskova M., Jureckova S. Second order asymptotic relations of M-estimators and L-estimators in two-sample location model // J. Stat. Planning Infer. —1981. — V. 5. — P. 309-328.

225. Jaeckel L.A. Estimating regression coefficients by minimizing the dispersion of the residuals // Ann. Math. Stat. 1972. - V. 42 - P. 1020-1030.

226. Jang L., Hardle W., Nielsen J.P. Nonparametric autoregression with multiplicative volatility and additive mean // Journal of Time Series Analysis. — 1999. V. 20. —№ 5. — P. 579-602.

227. Jenkins G.M. Practical experience with modeling and forecasting time series. In: Forecasting / Edited by O.D. Anderson. - Amsterdam, North Holland, 1979. — P. 43-166.

228. Jones M.C., Heungsun Park, Key-Il Shin, Vines S.K., Seok-Oh Jeong. Relative error prediction via kernel regression smoothers // J. Statist. Planning and Inference. — 2008. -V. 138.-P. 2887-2898.

229. Jureckova J. Nonparametric estimate of regression coefficients // Ann. Math. Stat. -1971.-V. 42-P. 1328-1338.

230. Jureckova J. Asymptotic relations of M estimates and R estimates in linear regression model // Ann. Statist. 1977. - V. 5 - P. 464-472.

231. Jureckova J. Tail behavior of location estimates // Ann. Stat. 1981. - V. 9. - P. 573-585.

232. Jureckova J. Asymptotic behaviour of M estimates of location in nonregular case // Statist, and Decisions. 1983. - V.l - P. 323-340.

233. Jureckova J. M, R and L estimators. In: Handbook of statistics. Amsterdam, North Holland, 1984. - P. 463-485.

234. Jureckova J., Picek J. Robust statistical methods with R. CRC Press, 2006. - 197 p.

235. Kallenberg O. Random Measures. — Berlin: Akademie-Verlag, 1983. 187 p.

236. Karr A.F. Point Processes and their Statistical Inference. N.Y.: Dekker, 1991. - 490 p.

237. Kingman J.F.C. Poisson processes. Oxford Studies in Probability, 1993. - 112 p.

238. Kitayeva A.V., Koshkin G.M. Continuous-Discrete Nonparametric Kernel Algorithms for Identifying and Control // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. Т. 9. - Вып. 2. - С. 488-490.

239. Kitayeva A. Koshkin G. Semi-recursive kernel estimation of the production function and its characteristics // The Second International Conference "Problems of Cybernetics and Informatics" (PCI'2008). Proceedings. 2008. - Vol. III. - P. 145-148.

240. Koenker R. LI computation: An interior monologue. In: LI-Statistical Procedures and Related Topics. IMS Lecture Notes Monograph Series. Vol. 31. — Hayward, California, 1997.-P. 15-32.

241. Koenker R., Bassett G. S. Regression quantiles // Econometrica. — 1978. — V. 46. — P. 33-50.

242. Koenker R., Bassett G. S. Tests of hypothesis and LI regression // Econometrica. — 1982. -V. 50.-P. 1577-1583.

243. Konakov V.D. Asymptotic properties of some functions of nonparametric estimates of a density function // J. Multiv. Anal. 1973. - V. 3. - № 4. - P. 454-468.

244. Koshkin G., Vasil'iev V. On identification of linear dynamic systems with an unknown distribution of the noises // Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control. — Kobe, Japan, December 11-13, 1996. V. 2. - P. 76-83.

245. Koshkin G.M., Vasil'iev V.A. An estimation of a multivariate density and its derivatives by weakly dependent observations // Proc. Steklov Math. Inst. «Statistics and Control of

246. Stochastic Processes». The Liptser Festschrift, 1995-1996. Yu.M. Kabanov, B.L. Rozovskii, A.N. Shiryaev, eds. World Scientific, Singapore e.a. P. 229-241.

247. Koshkin G.M., Vasil'iev V.A. Nonparametric estimation of derivatives of a multivariate density from dependent observations // Mathematical Methods of Statistics. — 1998. — V. 7. — №4.-P. 361^100.

248. Koshkin G. and Piven J. Nonparametric estimation of nonlinear autoregression // Russian-American Workshop "Studies of Socio-Natural Co-Evolution from Different Parts of the World" (September 2-5, 2002, Novosibirsk). Santa Fe Institute, CD-ROM.

249. Koul H.L. Asymptotic behaviour of a class of confidence regions based on ranks in regression // Ann. Math. Stat. 1971. - V. 42. - P. 466-476.

250. Krzyzak A. Global convergence of the recursive kernel estimates with applications in classification and nonlinear system estimation // IEEE Trans. Inform. Theory. 1992. — V. IT—38. - P. 1323-1338.

251. Krzyzak A., Pawlak M. Almost everywhere convergence of a recursive regression function estimate and classification // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1984. — V. IT—30. -P. 91-93.

252. Kutoyants Yu.A. Statistical Inference for Spatial Poisson Processes. Lecture Notes in Statistics. V. 134. -N.Y.: Springer, 1998. 276 p.

253. Lai'b N. Kernel estimates of the mean and the volatility functions in a nonlinear autoregressive model with ARCH errors // Journal of Statistical Planning and Inference. — 2005.-V. 134.-P. 116-139.

254. Lu Z.D., Cheng P. Distribution-free strong consistency for nonparametric kernel regression involving nonlinear time series // J. Statist. Plann. Inference. — 1997. — V. 1. — P. 67-86.

255. Marrón J. S. What does optimal bandwidth selection means for nonparametric regression estimation? // In: Statistical Data Analysis Based on the LI-Norm and Related Methods. Edited by Y. Dodge. North Holland, Amsterdam, 1987. - P. 379-391.

256. Marrón J. S. Automatic smoothing parameter selection, a survey // Empirical Econom. — 1989.-V. 13.-P. 187-208.

257. Masaroto G. Robust and consistent estimates of autoregressive-moving average parameters // Biometrika. 1987. - V. 74. - P. 791-797.

258. Martin R.D. Robust estimation of autoregressive models (with discussion) // In: Direction in Time Deries. Harvard: Inst. Math. Stat. Publ., 1980. - P. 228-262.

259. Martin R.D. Robust methods for time series // In: Applied Time Series Analysis II. -New-York: Academic Press.-1981. P.683-759.

260. Martin R.D., Johal V.J. Robustness in time series and estimating ARMA models // In: Handbook of Statistics.-Amsterdam, North-Holland, 1985.-V. 5.-P. 119-155.

261. Martin R.D., Simin T. Outlier-Resistant Estimates of Beta // Financial Analysts Journal. 2003. - V. 59 - № 5 - P. 56-69.

262. Masiy E. Probability density estimation from sampled data // IEEE Trans. Inf. Theory. — 1983. V. IT—29. - № 5. - P. 696-709.

263. Masry E. Multivariate Regression Estimation: Local Polynomial Fitting for Time Series // Stochastic Processes and Their Applications. — 1996. V. 65. — P. 81—101.

264. Masry E. Multivariate Local Polynomial regression for Time Series: Uniform Strong Consistency and Rates // Journal of Time Series Analysis. — 1996. V. 17. — P. 571-599.

265. Masry E., Fan J. Local polynomial estimation of regression functions for mixing processes // Scandinavian Journal of Statistics. Theory and Applications. 1997. - V. 24 (2). -P. 165-79.

266. Masry E., Tjostheim D. Nonparametric estimation and identification of nonlinear ARCH time series // Econometric Theory. 1995. - V. 11. - P. 258-289.

267. McKeen J.W., Schrader R.M. Small-sample properties of least absolute errors analysis of variance // In: Statistical data analysis based on the LI-norm and related methods. — Amsterdam, North-Holland, 1987. P. 277-288.

268. Mises R. On the asymptotic distributions of differentiable statistical functions // Ann. Math. Statist. 1947. - V. 18. - P. 309-348.

269. Murthy V.K. Nonparametric estimation of multivariable densities with applications // In: Multiv. Analysis I. -N.Y., London: Academic Press, 1966. — P. 43-56.

270. Narula S.C. The minimum sum of absolute errors regression // J. Qulity Tech. — 1987. — V. 19.-P. 37—45.

271. Neumann M.H., Kreiss J.-P. Regression-Type Inference in Nonparametric Autoregression // Ann. Statist. 1998. - V. 26. - № 4. - P. 1570-1613.

272. Nze P.A., Buhlmann P., Doukhan P. Weak Dependence beyond Mixing and Asymptotics for Nonparametric Regression // Ann. Stat. 2002. - V. 30. - № 2. - P. 397-430.

273. Ogata Y. Seismicity analysis through point-process modeling: a review // Pure Appl. Geophys. 1999. - V. 155. - P. 471-507.

274. Osborne M.R. The reduced gradient algorithm. In: Statistical Data Analysis Based on Li-Norm and Related Methods. Amsterdam, North-Holland. - 1987. - P. 95-107.

275. Pagan A., Ullah A. Nonparametric econometrics. Cambridge University Press, 1999. -424 p.

276. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962.-V. 33. — № 3. — P. 1065-1076.

277. Pracasa Rao B.L.S. Nonparametric functional estimation. Orlando: Academic Press, 1983.-523 p.

278. Renyi A. On measures of dependence // Acta Math. Acad. Scien. Hung. 1959. - V. 10. -№3-4.-P. 441-451.

279. Reynaud-Bouret P. Adaptive estimation of the intensity of inhomogeneous Poisson processes via concentration inequalities // Probab. Theory Relat. Fields. 2003. — V. 126. -P. 103-153.

280. Robinson P.M. Nonparametric Estimation from Time Series Residuals // Cah. Cent. etud. rech. oper. 1986. - V. 28. - № 1-3. - P. 197-202.

281. Robust Statistical Techniques in Image Understanding. Special Issue of Comput. Vision Image Understand. 2000. - Vol. 78. - 156 p.

282. Rosenblatt M. A central limit theorem and a strong mixing condition // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1956. - V. 42. - № 1. - P. 43^17.

283. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // Ann. Math. Statist. 1956. - V. 27. - № 3. - P. 832-837.

284. Rosenblatt M. Independence and Dependence // Proc. 4-th Berkley Sympos. Math. Statist, and Probability. Los Angeles: Bercley, 1960. - V. 2. - P. 431-433.

285. Rosenblatt M. Conditional Probability Density and Regression estimators // In: Multiv. Analysis II. -N.Y.: Academic Press, 1969. P. 25-31.

286. Rosenblatt M. Density estimates and Markov sequences // In: Nonparametric Techniques in Statistical Inference. Cambridge Univ. Press, 1970. - P. 199-210.

287. Rosenblatt M. Curve estimates// Ann. Math. Statist. 1971. - V. 42. - № 6. -P. 1815-1842.

288. Rousseuw P.J. Least medium of squares regression // J. Amer., Stat. Assoc. 1984. -V. 79.-P. 871-880.

289. Rousseeuw P. J., Leroy A. M. Robust regression and outlier detection. Wiley-IEEE, 2003. - 360 p.

290. Roussas G.G. Nonparametric regression estimation under mixing conditions // Stochastic Process. Appl. 1990. - V. 36 - P. 107-116.

291. Roussas G. G. Nonparametric functional estimation and related topics. Springer, 1991. - 708 p.

292. Roussas G. G., Tran L.T. Asymptotic normality of the recursive kernel regression estimate under dependence conditions // Ann. Statist. 1992. - V. 20. -№ 1. - P. 98-120.

293. Rudemo M. Empirical choice of histograms and kernel density estimators // Scand. J. Stat. Theory Appl. 1982. - V. 9. - P. 65-78.

294. Ruppert D., Wand M. P. Multivariate Locally Weighted Least Squares Regression // Ann. Statist. 1994.-V. 22.-№3.-P. 1346-1370.

295. Ruppert D., Wand M. P., Carrol R.J. Semiparametric regression. — Cambridge University Press, 2003.-386 p.

296. Schuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives// Ann. Math. Statist.- 1969.-V. 40.-№4.-P. 1187-1195.

297. Seifert B., Gasser T. Finite sample variance of local polynomials: analysis and solutions // J. Amer. Statist. Assoc. 1996. - V. 91. - P. 267-275.

298. Seneta E. The weighted median and multiple regression // Austral. J. Statist. 1983. -V. 25. - P. 370-377.

299. Sharpe W.F. Mean-Absolute-Deviation Characteristic Lines for Securities and Portfolios //Management Science. 1971.-V. 18. -№2. -P. B1-B13.

300. Shevlyakov G.L., Vilchevski N.O. Robustness in Data Analysis: Criteria and Methods. Modern Probability and Statistics Series. — Boston: Vsp International Science Publishers, 2002.-310 p.

301. Seung-Hoon Yoo. A robust estimation of hedonic price models: least absolute deviations estimation // Applied Economics Letters. 2001. - V. 8. - P. 55-58.

302. Siddique M.M. Approximation to the moment of the sample median // Ann. Math. Stat. -1962. — V. 33.-P. 157-163.

303. Sieger A. F. Robust regression using repeated medians // Biometrica. 1982. — V. 69. — P. 242-244.

304. Sima D., Van Huffel S., Golub G. Regularized total least squares based on quadratic eigenvalue problem solvers // BIT Numer. Math. 2004. - V.44. - P. 793-812.

305. Simar L., Wilson P.W. Statistical inference in nonparametric frontier models: the state of the art // Journal of Productivity Analysis. 2000. - № 13. - P. 49-78.

306. Snyder D.L., Miller M.I. Random Point Processes in Time and Space. — N.Y.: Springer, 1995.-495 p.

307. Srivastava R.C. Estimation of Probability Density Function based on Random Number of Observations with Applications// Int. Stat. Rev. 1973. - V. 41. - №1. - P. 77-86.

308. Statulevicius V. Limit theorems for dependent random variables under various regularity conditions // Proc. Int. Congr. Math. Vancuver. 1974. - V. 2. - № 1. - P. 173-181.

309. Stewart C.V. Robust Parameter Estimation in Computer Vision // SIAM Review. 1999. -V. 41.-№3.-P. 513-537.

310. Stigler S.M. Gauss and the invention of least squares // Ann. Stat. — 1981. V.9. -P 465-474.

311. Stock J.H., M.W. Watson. Introduction to Econometrics. N.Y.: Addison Wesley, 2003. -696 p.

312. Stone C.J. Consistent nonparametric regression // Ann. Statist. 1977. — V. 5. -P. 595-645.

313. Taylor L.D. Estimation by minimizing the sum of absolute errors // In: Frontiers in Econometrics. New-York: Academic Press. - 1973. - P. 169 — 190.

314. Tjostheim D. Non-Linear Time Series: a Selective Review // Scand. J. Statist. 1994. -V. 21.-P. 97-130.

315. Tjostheim D., Auestad B.H. Nonparametric identification of nonlinear time series: projections // Journal of the American Statistical Association. 1994. - V. 89. - № 428. — P.1398-1409.

316. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series. New York: John Wiley and Sons Inc., 2005.-637 p.

317. Tukey J.W. A survey of sampling from contaminated distribution // In: Contributions to Probability and Statistics. Stanford: Stanford Univ. Press, 1960. - P. 443-485.

318. Tuan P. D. On robust estimation of parameters for autoregressive moving average models // In: Robust and Nonlinear Time Series Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. -P. 273-286.

319. Van der Vaart. A simple derivation of the limiting distribution function of a sample quantile with increasing sample size // Stat. Neerlandica. — 1961. V. 15. — P. 239-242.

320. Vilar-Fernandez J.A., Vilar-Fernandez J.M. Recursive Estimation of Regression Functions by Local Polynomial Fitting // Ann. Inst. Statist. Math. 1988. - V. 50. -№4,-P. 729-754.

321. Walk H. Strong universal pointwise consistency of recursive kernel regression estimates// Ann. Inst. Statist. Math. 2001. - V. 53. - № 4. - P. 691-707.

322. Wand M.P., Jones M. C. Kernel Smoothing. London: Chapman & Hall, 1995. - 210 p.

323. Wang L., Liang H.-Y. Strong uniform convergence of the recursive regression estimator under -mixing conditions // Metrika. 2004. - V. 59. - P. 245-261.

324. Wang L., Yang L. Spline-backfitted kernel smoothing of nonlinear additive autoregression model // Ann. Statist. 2007. - V. 35. - № 6. - P. 2474-2503.

325. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sankhya. Indian J. Statist. 1964. - V.A26. -P. 359-372.

326. Wesolowsky G. A new descent algorithm for the least absolute value regression problem // Com. Stat. Simulation Comput. Ser. B. - 1981. - V. 10. - P. 479-491.

327. Wilcox R. R. Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing. — N. Y.: Academic Press, 2005. 588 p.

328. Wolverton C.T., Wagner T.J. Asymptotically optimal discriminant functions for pattern classification // IEEE Trans. 1969. - V. 1T-15. - № 2. - P. 258-266.

329. Wolverton C.T., Wagner T.J. Recursive estimates of probability densities // IEEE Trans. Syst. Sci. and Cybernet. 1969. - V. SSC-5. - № 3. - P. 246-247.

330. Yakowitz, S., Gyorfi, L., Kieffer, J. Strongly consistent nonparametric forecasting for stationary ergodic sequences // J. Multivariate Anal. 1999. - V. 71. - P. 24-41.

331. Yamato H. Sequential estimation of a continuous probability density function and mode // Bull. Math. Statist. 1973. - V.14. - No. 1-2. - P. 1-12.

332. Yang L., Hardle W., Nielsen J. P. Nonparametric autoregression with multiplicative volatility and additive mean // J. Time Ser. Anal. 1999. - Vol. 20. - №. 5. - P. 579-604.1. УТВЕРЖДАЮ"проф. А. С.ноября 2009 г.

333. Проректор 1Ю/МЧ'сбной работе ТГУ1. А. С. Ревушкино внедрении результатоврУ^Гдассертации Китаевой А,В.в учебный процесс ТГУ

334. Настоящим подтверждается, что результаты диссертации Китаевой А.В.

335. Декан факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ,д.т.н., профессор1. А.М. Горцев1. УТВЕРЖДАЮ"

336. Директор института «Кибернетический Центр»1. Тог1. АКТо внедрении результатов докторской диссертации Катаевой А. В.

337. Результаты диссертационной работы Китаевой А.В. «Робастное ипоследовательностей» внедрены в учебный процесс на факультете автоматики и вычислительной техники Института «Кибернетический центр» при Томском политехническом университете.

338. Результаты диссертационной работы Китаевой A.B. использовались в СФТИ при выполнении хоздоговорных тем «Анализ» и «Жуляны» для п/я В-8091 в период 1987-1989 г.г. В деле по темам «Анализ» и «Жуляны» имеются подтверждающие документы. Копии прилагаются.

339. Научный руководитель по темам «Анализ» и «Жуляны»,декан ФПМК, д.т.н., профессор1. Горцев А.М.

340. Еид уравнений, определяющих кедианнне оценки коэффициенте б ' тренда временных .рядов, построенных с использованием разностей каб~ людаекьх значений первого и второго порядков.

341. Форь-ульт для вычисления асимптотических, дисперсий предложен» ■ ньх оценок.- 1-.' I*• 3. Результаты исследоваЫ'Ш статистических свойств предложенных ¡1сценок. ;.;.* • . . .