автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Непараметрическое оценивание функционалов от распределений случайных последовательностей

ВВЕДЕНИЕ

1 ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

1.1 Актуальность развития методов условного непараметрического оценивания

1.2 Условные и характеризационные функционалы. Дополненные функционалы.

1.3 Оцениваемость функционалов. Функционалы с особенностями

1.4 Выводы

2 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИЙ СТАТИСТИК

2.1 Введение. Постановка задачи.

2.2 Сходимость по распределению первых моментов функций статистик.

2.2.1 Простейший случай.

2.2.2 Сходимость к стандартным распределениям

2.3 Сходимость в среднеквадратическом оценки подстановки

2.4 Моменты отклонений оценки подстановки, ее СКО, смещение и дисперсия.

2.4.1 Простейший случай (моменты отклонений) ' 1 У /

2.4.2 Простейший случай (СКО, смещение и дисперсия)

2.4.3 Случай зависимости функции от п

2.4.4 Случай стационарной точки I функции Н{1)

2.4.5 Смешанные моменты отклонений оценок подстановок

2.5 Кусочно-гладкая аппроксимация оценки подстановки, ее сходимость в среднеквадратическом.

2.6 Моменты отклонений кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки, ее СКО.

2.7 Проблема оптимизации кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки по минимуму СКО

2.8 Сходимость по распределению кусочно-гладкой аппроксимации оценки подстановки

2.9 Простые иллюстративные примеры: случай параметрического оценивания.

2.10 Выводы.

3 НЕПАРАМБТРИЧЕСКИЕ ЯДЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ

3.1 Построение оценок базовых и характеризационных функционалов

3.2 Вспомогательные результаты для ядерных оценок модификаций базовых функционалов.

3.3 Вспомогательные результаты для оценок производных модификаций базовых функционалов.

3.4 Сходимость в среднеквадратическом оценок базовых функционалов и их производных.

3.4.1 Сходимость ковариационной матрицы.

3.4.2 Сходимость смещения.

3.4.3 Улучшение скорости сходимости среднеква-дратических ошибок.

3.4.4 Скорость сходимости ковариационной матрицы оптимальных улучшенных оценок

3.4.5 Сходимость оценок производных базовых функционалов

3.5 Сходимость по распределению оптимальных оценок базовых функционалов и их производных.

3.6 Сходимость функций от оценок базовых функционалов

3.7 Сходимость оценок характеризационных функционалов

3.7.1 Слабая сходимость.

3.7.2 Поточечная сходимость в среднеквадратиче-ском.

3.7.3 Равномерная сходимость в среднеквадратиче-ском.

3.8 Совместное асимптотическое распределение оценок характеризационных функционалов.

3.9 Преимущества предлагаемой методики непараметрического оценивания.

3.10 Выводы.

4 МОДИФИКАЦИИ ОЦЕНОК ФУНКЦИОНАЛОВ

4.1 Рекуррентные аналоги непараметрических оценок базовых функционалов.

4.2 Синтез ядерных оценок с улучшенной скоростью сходимости

4.2.1 Обсуждение проблемы: улучшенные оценки Аи В-типов.

4.2.2 Две оценки А-типа: полиномиальной схемы и локальной аппроксимации.

4.3 Метод обобщенного "складного ножа" (ОСН)

4.3.1 Проблема устранения смещения оценок

4.3.2 Синтез основной процедуры.

4.3.3 Упрощенные модификации.

4.3.4 Асимптотическая нормальность.

4.4 Применения метода ОСН.

4.4.1 Статистики аддитивной структуры

4.4.2 Оценки ОСН А-типа для функционалов

4.5 Мультипликативно-степенной метод (МСМ) устранения смещения.

4.6 Улучшенная неотрицательная ядерная МСМ-оценка В-типа для плотности.

4.7 Сравнение рекуррентных оценок с нерекуррентными

4.7.1 Асимптотическая относительная эффективность

4.7.2 Моделирование.

4.8 Сравнение оценок А-типа между собой и с обычными оценками

4.8.1 Теоретическое сравнение.

4.8.2 Моделирование.

4.9 Сравнение двух типов улучшенных ядерных оценок плотности.

4.10 Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности

4.10.1 Постановка задачи.

4.10.2 Обозначения.

4.10.3 Структура оценок и их асимптотические свойства

4.10.4 Адаптивная оценка.

4.10.5 Примеры

4.11 Выводы.

5 ОЦЕНКИ КОНКРЕТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

5.1 Примеры оценивания конкретных функционалов

5.2 Оценивание произведения плотностей

5.3 Ядерная оценка функции регрессии.

5.3.1 Асимптотическая нормальность.

5.3.2 Сходимость первых моментов.

5.3.3 Кусочно-гладкая аппроксимация.

5.4 Новая оценка регрессии.

5.5 Оценивание логарифмической производной плотности

5.5.1 Сходимость в среднеквадратическом улучшенных оценок производной плотности.

5.5.2 Слабая сходимость улучшенных оценок логарифмической производной плотности.

5.6 Усеченная оценка логарифмической частной производной плотности.

5.7 Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности

5.7.1 Постановка задачи.

5.7.2 Синтез оценок.

5.7.3 Вспомогательные результаты.

5.7.4 Сходимость в среднеквадратическом.

5.7.5 Асимптотическая нормальность.

5.7.6 Статистическое моделирование.

5.7.7 Обсуждение результатов.

5.8 Выводы.

6 ОЦЕНИВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СЛАБОЗАВИСИМЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

6.1 Условия слабой зависимости.

6.1.1 Понятие слабой зависимости

6.1.2 Соотношения между различными коэффициентами слабой зависимости.

6.1.3 Примеры последовательностей с перемешиванием

6.2 Сходимость оценок функционалов в среднеквадрати-ческом.:.

6.3 Асимптотическая нормальность оценок функционалов

6.4 Рекуррентное оценивание плотности и регрессии по слабозависимой выборке

6.4.1 Сходимость в среднеквадратическом.

6.4.2 Асимптотическая нормальность.

6.4.3 Оценивание регрессии.

6.5 Оценивание условной функции распределения и функционалов для марковских процессов.

6.6 Оценивание градиента логарифма плотности

6.7 Оценивание логарифмической производной плотности с помошью кусочно-гладких аппроксимаций для с.п. последовательностей.

6.7.1 Введение.

6.7.2 Ядерные оценки плотности распределения и ее производной для случайной выборки.

6.7.3 Свойства ядерной оценки плотности дляп. последовательностей.

6.7.4 Свойства ядерной оценки производной плотности дляп. последовательностей

6.7.5 Сходимость четвертых моментов ядерной оценки плотности и ее производной дляп. последовательностей

6.7.6 Свойства ядерной оценки логарифмической производной плотности распределения дляп. последовательностей.

6.8 Выводы.

7 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

7.1 Применение непараметрических оценок регрессии, функции чувствительности, остаточной дисперсии при идентификации стохастических объектов

7.1.1 Регрессионная модель.

7.1.2 Идентификация в широком смысле.

7.1.3 Моделирование.

7.2 Управление выходными параметрами объекта

7.2.1 Синтез алгоритмов.

7.2.2 Пример

7.2.3 Моделирование

7.3 Обнаружение детерминированного сигнала на фоне аддитивной помехи.

7.4 Рекуррентный алгоритм обучения в задачах классификации

7.4.1 Дискретный случай

7.4.2 Непрерывный случай.

7.5 Непараметрические алгоритмы идентификации и управления для случайных процессов.

7.5.1 Аналоговые алгоритмы.

7.5.2 Аналого-дискретные алгоритмы.

7.6 Непараметрическая идентификация авторегрессий

7.6.1 Постановка задачи.

7.6.2 Сходимость в среднеквадратическом.

7.6.3 Сходимость с вероятностью 1.

7.6.4 ПАВМ для процессов авторегрессии.

7.7 Выводы.

Традиционно многие задачи, связанные с обработкой статистических данных, решаются в предположении существования достаточной информации об изучаемых объектах, процессах, явлениях и о свойствах действующих на них возмущений. Так, например, при решении задачи идентификации стохастических объектов обычно считается, что наряду с критерием качества задана их структура (линейная или нелинейная) с точностью до параметров, которые и подлежат определению, и, кроме того, считается известным характер взаимодействия помехи с объектом (аддитивный или мультипликативный).

Что касается вероятностных характеристик возмущений (функций распределения, спектральных плотностей), то предполагается, что они известны либо полностью, либо с точностью до конечного набора неизвестных параметров (случай параметрической априорной неопределенности). Для довольно широкого класса систем, работающих в условиях параметрической неопределенности, разработаны алгоритмы эффективного оценивания неизвестных параметров по наблюдениям входа и выхода объектов с привлечением, как правило, классических методов наименьших квадратов, максимального правдоподобия и метода моментов [173, 174, 227]. Параметрический подход позволяет построить эффективные процедуры в задачах фильтрации, интерполяции, прогноза и проверки гипотез. При этом рекуррентные формы алгоритмов, например, типа стохастической аппроксимации, являются наиболее популярными [231].

В настоящее время при решении задач, связанных с повышением эффективности производства, разработкой новых методов поиска полезных ископаемых, установлением космической радиосвязи, обнаружением радио- и гидролокационных сигналов на фоне помех, совершенствованием диагностики заболеваний, все чаще приходится иметь дело с объектами, структура которых и характеристики возмущений практически не известны. При этом доступная нам априорная информация о распределениях помех носит настолько неопределенный характер (например, класс "всех непрерывных функций распределения"), что для построения математической модели явлений нет оснований воспользоваться тем или иным параметрическим семейством распределений. Таким образом, можно сказать, что основная тенденция развития современной статистической науки заключается в создании математических методов обработки наблюдений при более реалистических, чем классические, предположениях и выражается в стремлении отойти как от параметрических предположений, так и от предположений о независимости наблюдений, которые являются неестественными для многих реальных ситуаций. В этом случае говорят о непараметрической априорной неопределенности.

Проблема решения классических задач обработки сигналов и идентификации систем, получивших широкое распространение в системах радио-и гидролокации, при разработке современных автоматизированных систем управления производством и т.д. приобретает особую актуальность в рамках широких условий априорной неопределенности, которую дают непараметрические ограничения. Непараметрическое описание моделей физических явлений оказывается более адекватным реально протекающим процессам и охватывает существенно более широкий круг явлений. Так, например [216], в процессе производства конвертерной стали происходят сложные физико-химические реакции. Отсутствие адекватной модели этих явлений может привести к неудачному управлению конвертером, связанному с выбросом металла.

Достаточно точное построение параметрической информационной модели конвертерного производства связано с необходимостью проведения большого числа дорогостоящих экспериментов, которые приходится к тому же совмещать с процессом безостановочного производства металла. В таких условиях построение непараметрических моделей иногда удается провести с затратами меньшего времени и средств [173]. Отметим, что в ряде случаев параметрические информационные модели нельзя построить в принципе. Например, такая ситуация имеет место в гидролокации, где полезный сигнал, содержащий информацию о структуре объектов без шумов и реверберации никогда не наблюдается, и, следовательно, данные для построения оценочной модели объектов отсутствуют. Поэтому особый интерес представляют задачи оценивания характеристик полезных сигналов и задачи из теории решений, которые приходится решать в условиях непараметрической априорной неопределенности. Задачи такого рода естественно рассматривать с точки зрения непараметрической статистики -одного из интенсивно развиваемых в настоящее время разделов математической статистики. В задачах непараметрической статистики априорная информация о распределениях выборочных наблюдений носит довольно неопределенный характер. Например, это могут быть сведения о конечности их моментов, ограниченности области возможных значений случайной величины, о том, что производные функции распределения до некоторого порядка существуют, непрерывны и т.п. Следовательно, аппарат непараметрической статистики избавляет исследователя от необходимости иметь априорную параметрическую информацию, а работа со стационарными процессами существенно расширяет область возможных приложений, включая в нее, в частности, большой класс устойчивых динамических моделей сигналов.

Так как термин "непараметрический" исторически приобрел многозначный, а в связи с этим и несколько расплывчатый характер, воспользуемся конкретизацией понятий, связанных с этим термином, в соответствии с монографией Ф.П.Тарасенко [212].

Непараметрическая задача — это статистическая задача, определенная на таких классах распределений, среди которых хотя бы один не сводится к параметрическому семейству функций.

Непараметрическая задача оценивания неизвестных распределений — это задача нахождения процедуры, с помощью которой можно оценивать распределения из довольно широкого класса (например, класса всех непрерывных функций распределения или класса распределений, имеющих ряд производных и т.д.).

Иными словами, главная особенность непараметрических задач состоит в том, что класс распределений не характеризуется конечным числом действительных параметров. Несмотря на "бедность" исходной информации, непараметрические процедуры во многих случаях ненамного проигрывают в эффективности параметрическим, если оба типа процедур строятся по данным, соответствующим известной параметрической модели, и намного выигрывают в эффективности, если выбранная параметрическая модель не описывает наблюдаемые данные. Иногда непараметрические процедуры являются асимптотически оптимальными. Следует обратить внимание также и на то, что при решении целого класса задач нелинейной обработки сигналов непараметрические процедуры дают более обозримые результаты, чем параметрические рекуррентные процедуры, связанные с решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [196] или разложением в ряды.

Широкий круг таких задач математической статистики, как оценивание распределений вероятностей и их характеристик, выделение сигналов на фоне помех, а также проверка гипотез и обнаружение разладок, может быть интерпретирован на языке "оценивания" некоторых функционалов от распределений вероятностей наблюдений [211]. Такие функционалы в условиях непараметрической неопределенности являются, как правило, не-оцениваемыми по терминологии, введенной [304], что усложняет исследование статистических свойств их непараметрических оценок по сравнению со случаем оцениваемых функционалов (см. раздел 1.3).

В настоящей работе вводятся и изучаются класс функционалов от условных распределений, класс характеризационных и дополненных функционалов. Эти функционалы в условиях непараметрической неопределенности также являются неоцениваемыми, причем при исследовании статистических свойств их непараметрических оценок возникают дополнительные трудности, связанные с потенциальной возможностью оценок принимать неограниченные значения.

Выделение класса статистик, представляющих собой функционалы от оценок распределений, имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционным рассмотрением. Идея метода функционалов была предложена Р.Мизесом [296]; класс интегральных функционалов, который описывает числовые характеристики распределений, изучался в [57]. Результаты по исследованию непараметрических оценок функции регрессии и нелинейных функционалов плотностей распределений и их производных имеются в [304], условных и характеризационных функционалов — в [69]. Литературу по этим вопросам можно найти в [57, 304, 69].

Функциональные представления позволяют упростить задачу конструирования статистик. Форма функционала определяется априорной информацией о задаче, а статистика получается путем замены распределения на его оценку в изучаемом функционале. При этом под термином распределение мы подразумеваем наряду с функциями распределения также плотности вероятностей, их производные, спектральные плотности и т.п. Представление статистик в виде функционалов от эмпирических распределений упрощает и исследование сложных статистик, так как их структура имеет специфическую форму в виде известного функционала от эмпирического распределения. Таким образом, задача исследования статистик распадается на две части: анализ функциональной зависимости от распределений и анализ сходимости эмпирических распределений к истинным.

Наиболее интенсивно в настоящее время изучается важная для практических приложений непараметрйческая оценка регрессии, рассматриваемая как функционал от условного распределения. Однако, при решении разнообразных задач в условиях непараметрической неопределенности необходимо иметь достаточно хорошие оценки и для таких характеристик условных распределений, как остаточная дисперсия, функция чувствительности, апостериорное среднее и др. Конечно, в каждом частном случае можно предложить конкретные оценки и исследовать их свойства. По-видимому, это не самый лучший вариант. В то же время функциональный подход дает возможность путем решения более общей задачи получать конкретные оценки с известными свойствами.

Функциональный подход оказывается наиболее эффективным в таких задачах обработки сигналов, как фильтрация, интерполяция и прогноз. В классической постановке в этих задачах предполагается заданным частично наблюдаемый случайный процесс с наблюдаемой и ненаблюдаемой компонентами. Требуется дать оценку ненаблюдаемой компоненты по реализациям наблюдаемой компоненты. Для решения этих задач в рамках параметрических моделей необходимо знать распределение совместного частично наблюдаемого процесса. Однако, ввиду ненаблюдаемости одной из компонент это распределение восстановить невозможно. Примером такой ситуации может служить задача космической связи, когда модель сигнала 5 внеземных источников нам полностью не известна, и его можно наблюдать только на фоне помех ./V, обусловленных влиянием атмосферы и приемных устройств. В этом случае при естественных предположениях о модели наблюдения сигнала и непараметрических ограничениях на 5 удается сконструировать непараметрическую оценку для 5, близкую по своим свойствам к оптимальной при известном распределении (5, ТУ). Особенность подхода к построению оценок в таких задачах состоит в том, что все оценки полезного сигнала, сделанные на основе наблюдений сигнала, выражаются в виде функционалов от распределений наблюдений.

Отметим, что с привлечением функционального подхода эффективно решаются задачи восстановления плотностей распределения, их производных, отношений производных и т.п. для шумов регрессионных процессов с неизвестными параметрами, чему посвящен цикл работ [31 ]—[36], [276], [279], выполненных совместно с В.А.Васильевым.

Приведем более подробную библиографию, непосредственно примыкающую к предметной области исследований данной работы. Исследуемая методика оценивания различных функционалов опирается на использование известных непараметрических оценок плотности ядерного типа, т.е. оценок вида где .,ХП — случайная выборка объема п, К (и) — ядро оценки (обычно это некоторая плотность вероятностей), hn — "параметр размытости". Валено подчеркнуть, что повышенный интерес к непараметрическим оценкам такого рода определяется следующими факторами: их ориентированностью на работу в условиях, когда неизвестная истинная плотность, подлежащая восстановлению, по каким-либо причинам не может быть параметризована; простотой их структуры, а также положительным опытом применения на практике [75, 161].

За последние 40 лет было опубликовано много работ, где изучались свойства оценок ядерного типа (см., например, обзор работ иностранных авторов [233], и поэтому мы ограничимся наиболее важными, с нашей точки зрения. Класс ядерных оценок был впервые введен М.Розенблаттом [312], изучался Э.Парзеном [301] и Э.А.Надарая [177]. Многомерные оценки плотностей исследовались В.Мерфи [299] и В.А.Епанечниковым [73], условных плотностей — М.Розенблаттом [314, 315], условных функций распределения — Г.М.Кошкиным, В.А.Симахиным, Ф.П.Тарасенко [152].

Непараметрическая оценка одного из простейших (но самого важного для практических приложений) функционалов от условных распределений — регрессии — была предложена независимо друг от друга Э.А.Надарая [177] и Г.Ватсоном [336]. П.Бхаттачария [241], а позднее Е.Шустер [324] предложили оценки производных плотностей. Во всех этих работах исследования в основном касаются асимптотических свойств оценок ядерного типа (иногда их называют оценками типа Розенблатта-Парзена). а также вопросов сходимости к истинным кривым, нормальности предельных распределений оценок, проблемы выбора оптимального ядра и "параметра размытости".

В то же время имеется довольно мало работ по непараметрическому оцениванию функционалов от условных распределений. По указанной тематике первые публикации появились только с начала 70-х годов. Здесь можно указать на пионерные работы В.Д.Конакова [93, 272] и других авторов [62], [98]-[100], [103, 158, 57].

Известные к настоящему времени монографии и книги, посвященные изучению статистик ядерного типа, имеют дело с оценками плотности [55, 84, 181, 304, 326, 330], регрессии [75, 85, 181, 175, 304], функционалов от безусловных плотностей [57, 304]. Некоторые вопросы, связанные с конкретными применениями ядерных оценок, можно найти в [1, 224].

Большое внимание в диссертации уделяется построению и исследованию различных модификаций непараметрических ядерных оценок функционалов, удовлетворяющих определенным запросам практики . Например, рекуррентные аналоги этих оценок экономят память ПК, оценки А- и В-типов имеют улучшенную скорость сходимости среднеквадратических отклонений (СКО) и т.д. Изучаются вопросы слабой зависимости выборочных наблюдений и ее влияние на асимптотические свойства оценок.

Это позволяет распространить методы непараметрического оценивания на стационарные процессы и решить тем самым многие практически важные задачи обработки сигналов.

В работе принята тройная нумерация формул, теорем, лемм, рисунков и таблиц: первое число — номер главы, второе — номер раздела, третье — формулы, теоремы, леммы и т.д. в пределах раздела.

Часть результатов получена совместно с Ф.П.Тарасенко, Ю.Г.Дмитриевым, В.И.Рюмкиным, А.В.Китаевой, В.А.Васильевым, В.А.Ваалем. Автор признателен И.Л.Фукс и В.И.Рюмкину за участие в реализации некоторых алгоритмов на ПК. Всем, помогавшим в работе над диссертацией, автор приносит искреннюю благодарность.

Диссертационная ¡забота выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Сибирского физико-технического института при Томском государственном университете в рамках госбюджетных тем:

Оптимизация измерительных и связных информационных систем" (координационный план АН СССР на 1971-1975 гг., проблема ТК-22, № гос. регистрации 70005304);

Адаптивные, обучаемые и самообучающиеся'системы" (координационный план АН СССР на 1976-1980 гг. по комплексной проблеме "Кибернетика", шифр 1.12.1.2, № гос. регистрации 78017018);

Разработка непараметрических и устойчивых к неадекватностям моделей статистических процедур" (1981-1985 гг., шифр "Функционал-Р", № гос. регистрации 73024024); в рамках хоздоговорной темы

Создание системы алгоритмов и программ для статистической обработки экспериментальных данных" (1974-1976 гг., шифр "Статистика", № гос. регистрации 74063880). по базовому финансированию Министерства общего и профессионального образования (МОПО) в рамках тем:

Стохастическое моделирование систем обработки информации, классификации и селекции" в 1991-1995 г.г. (шифр "Модель" №4-13-91);

Математическое моделирование систем управления, обработки и передачи информации" в 1996--1998 г.г. (шифр "Система" №4-4-96Ф)

Часть исследований выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Томского государственного университета по базовому финансированию МОПО в рамках темы

Разработка и исследование математических моделей и программной поддержки статистической обработки разнотипных данных" в 1994-1999 гг. (шифр № 1.38.96Ф), а также по программам, поддержанных: грантом Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) №95-01-00289 "Непараметрические и робастные методы обнаружения зависимостей, классификации и селекции" (1995-1996 г.г., руководитель Та-расенко Ф.П.); грантом РФФИ, Томской обладминистрации и Республики Алтай № 98-07-03194 "Разработка методов, алгоритмов и инструментальных геоинформационных средств для экологического мониторинга природно-территориальных комплексов" (1998-2000 г.г., руководитель Костюк Ю.Л.); грантом РФФИ №98-01-00296 "Непараметрическое оценивание функционалов от распределений по зависимым выборкам" (1998-2000 г.г., руководитель Кошкин Г.М.).

Целью настоящей работы является разработка методов синтеза непараметрических процедур оценивания различных статистических характеристик, выражаемых в виде функционалов, имеющих некоторые особенности, анализ асимптотических свойств получаемых при этом оценок, решение конкретных прикладных задач математической статистики, в которых используются предлагаемые непараметрические процедуры.

Методы исследования.

На основе всестороннего анализа известных методов теории статистического оценивания и обобщения метода функционалов (Р.Мизес, 1947), поставлена и решена задача синтеза непараметрических оценок функционалов с особенностями. Анализ свойств полученных алгоритмов проводился с помощью аппарата вычислительной математики, теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, причем в основном использовались предельные теоремы и непараметрические методы и факты с учетом особенностей оцениваемых функционалов, когда неприменимы классические методы асимптотического исследования алгоритмов. При рассмотрении иллюстративных примеров использовалось имитационное моделирование на ПК.

Научная новизна.

1. Доказаны общие теоремы, позволяющие изучать сходимости по распределению, в среднеквадратическом и с вероятностью 1, находить моменты отклонений оценок подстановок, их усеченных и кусочно-гладких аппроксимаций.

2. Введены классы базовых и условных функционалов, характериза-ционных и дополненных функционалов, а также класс функционалов с особенностями, которые охватывают статистические характеристики, используемые при решении задач идентификации, прогнозирования, управления, нелинейной фильтрации.

3. Разработаны два подхода к непараметрическому оцениванию функционалов, имеющих особенности: на базе усеченных модификаций и с использованием кусочно-гладких аппроксимаций непараметричсских оценок подстановок. Доказаны теоремы, позволяющие изучать сходимости по распределению, в среднеквадратическом и с вероятностью 1 непараметрических оценок функционалов с особенностями, находить главные части их СКО и моментов отклонений.

4. Построены и исследованы модификации непараметрических оценок функционалов, удовлетворяющие определенным потребностям практики: рекуррентные, А- и В-типов, имеющие улучшенную скорость сходимости СКО.

5. Изучено влияние слабой зависимости выборочных наблюдений на асимптотические свойства предложенных алгоритмов.

6. Поставлены и решены новые задачи непараметрической идентификации как для статических, так и динамических стохастических объектов.

Практическая ценность.

Предложенные в диссертации алгоритмы разработаны с учетом существующих потребностей практики и позволяют в условиях непараметрической априорной неопределенности решать задачи технической кибернетики (идентификации, управления, распознавания образов), геофизики, космической связи, когда применение параметрических процедур малоэффективно.

Внедрение результатов работы.

Программное обеспечение ряда процедур статистической обработки данных включено в Отраслевой фонд алгоритмов и программ СССР.

Материалы исследований в настоящее время используются в учебном процессе при чтении следующих курсов лекций:

Математические методы страхового и банковского дела", "Прогнозирование социально-экономического развития" для студентов по специальности 061800 "Математические методы и исследование операций в экономике" в Томском государственном университете;

Прикладная статистика", "Математические модели социологии" для студентов по специальности 020300 "Социология" в Томском государственном университете;

Моделирование социально-экономических процессов" для студентов по специальности 060900 "Экономика и управление аграрным производством" в Томском государственном университете;

Теория вероятностей", "Случайные процессы и математическая ста-тР1стика" для студентов по специальности 210100 "Управление и информатика в технических системах" в Томском университете систем управления и радиоэлектроники;

Прикладной статистический анализ" для магистров по специальности 510212 "Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности" в Томском политехническом университете.

В 1991-1996 гг. материалы диссертации использовались в учебном процессе при чтении следующих курсов лекций:

Математические модели социологии", "Анализ временных рядов", "Дополнительные главы математической статистики" для студентов по специальности 0102 "Прикладная математика" в Томском государственном университете.

С 1975 г. и по настоящее время материалы исследований также используются студентами и аспирантами ФПМК Томского государственного университета при выполнении курсовых, дипломных работ и кандидатских диссертаций.

На защиту автором выносятся следующие основные положения.

1. Общие теоремы сходимостей по распределению, в среднеквадратиче-ском и с вероятностью 1 для оценок подстановок, их усеченных модификаций и кусочно-гладких аппроксимаций, сходимости их моментов отклонений любых порядков.

2. Непараметрические ядерные оценки функционалов с особенностями (условных, характеризационных, дополненных) и результаты исследований их асимптотических свойств (сходимость по распределению, в среднеквадратическом, с вероятностью 1, сходимость моментов порядка к > 2).

3. Общие подходы к устранения смещения оценок (обобщенный "складной нож", мультипликативно-степенной метод), синтезированные на их основе непараметрические оценки функционалов А- и В-типов с улучшенной скоростью сходимости СКО.

4. Рекуррентные модификации непараметрических оценок функционалов и результаты исследований их асимптотических свойств.

5. Результаты исследований асимптотических свойств непараметрических оценок функционалов по слабозависимым наблюдениям.

6. Результаты исследований по идентификации и прогнозированию динамических систем.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических форумах:

IV, V, VI научных конференциях Западно-Сибирского региона МВ и ССО РСФСР по математике и механике (Томск, 1974, 1976, 1977).

II Всесоюзной школе-семинаре по технике адаптивных систем (Новокузнецк, 1976)

II-VII Всесоюзных школах-семинарах по непараметрическим и робаст-ным методам статистики в кибернетике (Шушенское, 1977, Дивногорск, 1981, Томск, 1983, Шушенское, 1985, Томск, 1987, Иркутск, 1991)

ЛТП, IX, X Международных симпозиумах по непараметрическим и ро-бастным методам в кибернетике (Красноярск, 1995, 1997, 1999)

VII, IX, XI Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Минск, 1977, Ереван, 1983, Ташкент, 1989)

IX Всесоюзной школе-семинаре по статистической гидроакустике (Геленджик, 1978)

X Всесоюзном симпозиуме "Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей" (Сухуми, 1978)

УИ-1Х Всесоюзных конференциях по теории кодирования и передачи информации (Вильнюс, 1978, Куйбышев, 1981, Одесса, 1988)

X Всесоюзной школе-семинаре по адаптивным системам (Красноярск, 1979) выездной сессии ЦП НТО РЭС им. А.С.Попова на тему "Теория и методы построения радиосистем в условиях априорной неопределенности" (Одесса, 1979)

V Всесоюзном совещании по статистическим методам в процессах управления (Алма-Ата, 1981)

Всесоюзном симпозиуме " Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях" (Вильнюс, 1982)

Всесоюзной конференции "Измерения и контроль при автоматизации производственных процессов" (Барнаул, 1982)

Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения" (Ленинград, 1983)

VI Международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, 1984) II Симпозиуме ИФАК по стохастическому управлению (Вильнюс, 1986) I Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986)

Региональной научно-технической конференции "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств" (Новосибирск, 1988)

Республиканском научно-техническом семинаре "Современные вероятностные методы исследования информационно-вычислительных систем" (Гродно, 1988)

Всесоюзном совещании "Анализ временных рядов и его применение в экономике" (Львов, 1988)

Всесоюзной научно-технической конференции "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Туапсе, 1989)

Республиканской научно-технической школе-семинаре "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ" (Одесса, 1990)

Всесоюзной научно-технической конференции с международным участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, 1990)

Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990)

Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация сигналов" (Новосибирск, 1991)

Украинской республиканской школе-семинаре "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей" (Черкассы, 1991)

Республиканской научной школе-семинаре "Компьютерный анализ данных и моделирование" (Минск, 1992)

III Международной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1994)

Международном семинаре "Предельные теоремы и смежные вопросы" (Омск, 1995)

II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996)

Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997)

Сибирской научно-практической конференции "Наука, образование, производство: Интеграция и новые технологии" (Анжеро-Судженск, 1997) Пятой Международной научной конференции "Компьютерный анализ данных и моделирование" (Минск, Беларусь, 1998)

Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и промышленной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (1908-1989) (Новосибирск, 1998) Совместной сессии 6-го Пражского симпозиума по асимптотической статистике и 13-ой Пражской конференции по теории информации, статистическим решающим функциям и случайным процессам (Прага, Чехия, 1998) Юбилейной научной конференции Сибирского физико-технического института им. академика В.Д.Кузнецова при Томском государственном университете (Томск, 1998)

Юбилейной межрегиональной научной конференции "Исследования по анализу и алгебре", посвященной 50-летию механико-математического факультета ТГУ (Томск, 1998)

Третьем Корейско-Российском международном научно-техническом симпозиуме (Новосибирск, 1999)

Международной конференции по проблемам управления (Москва, 1999) Международном семинаре "Стохастические системы управления" Дрезденского технического ун-та и НИИ АЭМ при ТУСУР (Томск, 1999)

По результатам выполненных исследований опубликовано 2 монографии [57], [69] и 98 печатных работ [8], [20], [22]-[25], [31]—[38], [53], [56], [70], [80], [87]-[90], [96]-[158], [252], [253], [274] [284]. Структура диссертации.

Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы и приложения, включающего доказательства результатов некоторых разделов, а также документы об использовании результатов диссертации в учебном процессе.

7.7 Выводы

В данной главе на основе результатов предыдущих глав решаются задачи идентификации, управления и прогноза в стохастических объектах, обнаружения и классификации сигналов в условиях непараметрической априорной неопределенности.

1. В разд. 7.1 показывается, как при решении одной из задач идентификации в широком смысле (определение степени связи между изменениями входных и выходных переменных) для сложных объектов применяются непараметрические оценки функции чувствительности. Строится критерий, выделяющий входы, изменение значений которых не приводит к изменению значений определенного выхода. Для таких критериев необходимо уметь вычислять функционалы типа остаточной дисперсии. Показывается, что предложенные рекуррентные непараметрические оценки остаточной дисперсии легко реализуются на ПК, в то время как традиционные методы вычисления остаточной дисперсии в многомерном случае весьма трудоемки [200, с.318].

2. В разд. 7.2 и 7.5 построены непараметрические дискретные, аналоговые и аналого-дискретные алгоритмы, которые являются адаптивными в том смысле, что с ростом объема выборки (поступление новых наблюдений) или времени наблюдения реализаций входных и выходных переменных объекта, их качество улучшается (СКО уменьшается); на основании накопленной об объекте информации они позволяют находить такие значения управляемых входов, которые приведут к значениям выходов, близким к заданным.

3. В разд. 7.3 и 7.4 при непараметрической априорной неопределенности изучаются алгоритмы обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной помехи и рекуррентный алгоритм обучения в задачах классификации, в том числе и построенный по распределениям с непрерывным временем для непараметрического распознавания стохастических сигналов. Работоспособность большинства предложенных в главе процедур и алгоритмов проверялась с помощью статистического моделирования.

4. В последнем разделе рассмотрена задача построения вероятностных моделей процессов авторегрессионного типа, которая подразумевает оценивание неизвестных параметров процессов и построение на основе этих оценок одношаговых прогнозов наблюдений, а также восстановление предельной плотности распределения ошибок прогнозирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с намеченными направлениями исследований в диссертационной работе последовательно реализована программа выбора актуальной для приложений проблематики исследуемых задач, синтеза при их решении реализуемых на практике алгоритмов, исследования их теоретических свойств в асимптотике, проверки их работоспособности с помощью статистического моделирования.

Выделим по главам основные результаты диссертации с указанием и оценкой их научной новизны и практической ценности.

1. Введен класс функционалов от условных распределений, класс ха-рактеризационных функционалов, класс дополненных функционалов, которые, как правило, представляют собой отношения некоторых величин или функций, что позволяет объединить их в класс функционалов с особенностями, неоцениваемых в условиях непараметрической неопределенности по терминологии работы [304]. Показано, что при исследовании статистических свойств оценок функционалов с особенностями, например, сходимости в среднеквадратическом, приходится преодолевать дополнительные трудности, связанные с возможной неограниченностью оценок таких функционалов.

Функциональный подход, состоящий в выделении класса статистик, представляющих собой функционалы от оценок распределений, имеет следующие преимущества по сравнению с традиционным рассмотрением: он позволяет упростить задачу конструирования статистик, так как форма функционала определяется априорной информацией о задаче, а статистика получается путем замены распределения на его оценку в изучаемом функционале. он упрощает исследование сложных статистик, так как их структура имеет специфическую форму в виде известного функционала от эмпирического распределения. В этом случае задача исследования статистик распадается на две части: анализ функциональной зависимости от распределений и анализ сходимости эмпирических распределений к истинным.

Введение класса функционалов с особенностями позволяет с единых позиций исследовать вероятностные характеристики, задаваемые в виде кривых (линия регрессии, остаточная дисперсия, функция чувствительности), различные расстояния между плотностями распределений (Кульбак-Лейблер, Бхаттачария, Хи-квадрат), многие классические статистические характеристики (коэффициенты асимметрии и эксцесса, дисперсионные отношения, выборочные коэффициенты корреляции).

2. В главе 2 сформулированы и доказаны общие теоремы, позволяющие находить в асимптотическом случае моментные характеристики функций от статистик в следующих двух постановках:

П1) как моменты предельного распределения оценки, т.е. среднее, дисперсия, СКО и т.д. в условиях слабой сходимости;

П2) как пределы, к которым сходятся сами моменты оценок (обычная сходимость).

Показано, что в общем случае нахождение моментов функций от статистик в условиях обычной сходимости, в отличие от слабой, требует знания определенных мажорантных последовательностей, причем для функционалов с особенностями выписывание таких мажорант становится принципиально невозможным. Рассмотренный в диссертации класс кусочно-гладких аппроксимаций функций от статистик, даже имеющих особенности, уже не требует нахождения мажорант, причем для таких аппроксимаций можно находить главный вклад их моментов отклонений.

Установлено, что оценка кусочно-гладкой аппроксимации для случая р = 1 можно получить методом регуляризации А.Н.Тихонова из минимума некоторого сглаживающегося функционала. Обсуждена проблема оптимизации кусочно-гладких аппроксимаций по минимуму СКО, выяснено при каких условиях СКО кусочно-гладкой аппроксимации будет меньше СКО оценки подстановки.

3. С помощью введенной оценки функции обладающей некоторыми свойствами и плотности, и функции распределения, построены непараметрические оценки базовых функционалов и их производных, которые перед обычными оценками подстановок имеют следующие преимущества: они просты и удобны для исследований, имеют обычно меньшие дисперсию и смещение, сходятся в среднеквадратическом и распределены асимптотически нормально при менее ограничительных условиях. Показана сходимость оценок базовых функционалов и их производных в постановках как слабой, так и обычной сходимостей. Эти результаты затем используются при исследовании свойств оценок характеризационных функционалов, для которых найдены скорости сходимости в среднеквадратическом, т.е. указаны порядок сходимости при п —> оо и константа сходимости.

Найдены предельные распределения характеризационных функционалов; так доказано, что совместное предельное распределение ядерных оценок базовых функционалов и функций от них в конечном числе попарно различных точек является асимптотически нормальным с диагональной ковариационной матрицей, т. е. корреляция между оценками, вычисленными по одной и той же выборке, с ростом объема выборки стремится к нулю. Это позволяет решать различные прикладные задачи математической статистики, например, такие, какэ построение критериев согласия, синтез процедур обнаружения сигналов и др.

4. В главе 4 предложены рекуррентные аналоги непараметрических оценок функционалов, которые обладают следующими преимуществами перед обычными: они легко реализуются на ПК, экономят при этом машинную память и на каждом такте работы процедуры дают готовый результат. Выяснено, что рекуррентные оценки распределены асимптотически нормально, сходятся в среднеквадратическом к истинным значениям функционалов и незначительно проигрывают в смысле СКО обычным оценкам; это подтверждается и статистическим моделированием.

Скорость сходимости СКО рассмотренных в главе 3 непараметрических ядерных оценок функционалов к своим истинным значениям медленнее обычной скорости сходимости п~1 параметрических оценок, что особенно сказывается, когда размерность пространства R/ велика, так как с ростом I оптимальная скорость сходимости, равная n~2i//('+2l/+2r)? падает. Предлагаются улучшенные ядерные оценки функционалов двух типов:

А-тип, когда ядро К {и) нормировано на 1, но может принимать отрицательные значения;

B-тип, когда ядро К (и) принимает неотрицательные значения, но является при этом ненормированным на 1.

Оценки полиномиальной схемы, локальной аппроксимации, обобщенного "складного ножа" относятся к А-типу, оценки мультипликативно-степенного метода — к B-типу. Показано, что эти оценки теоретически могут иметь скорость п~1 параметрических оценок.

Изучены некоторые общие свойства предложенных процедур ОСН и МСМ (устранение смещения, асимптотическая нормальность, СКО). Высокая эффективность оценок ОСН объясняется наличием связи между процедурой ОСН и U-статистиками, которые имеют минимальную дисперсию в классе несмещенных оценок. Показано, что известная процедура устранения смещения оценок jackknife ("складной нож") является частным случаем процедуры ОСН. Применение методов ОСН и МСМ к непараметрическим оценкам ядерного типа позволяет получать оценки с улучшенной скоростью сходимости с помощью простейших манипуляций с выборкой.

Однако при построении оценок ОСЫ и МСМ объем вычислительных операций примерно в 2 раза больше, чем для обычных; аналогичная картина наблюдается и для методов полиномиальной схемы, локальной аппроксимации, мультипликативно-степенного метода, где объем вычислительных операций увеличивается за счет усложнения ядер.

Проведенное теоретическое сравнение оценок между собой с помошью АОЭ, показало, что в определенных условиях оценки ОСН и МСМ эффективнее оценок полиномиальной схемы и локальной аппроксимации. Результаты статистического моделирования подтверждают теоретические выводы.

На базе метода коррелированных процессов предложена модификация непараметрических ядерных оценок функционалов плотности, учитывающая дополнительную информацию, выражаемую функционалами от условных и безусловных плотностей. В задачах управления такие оценки могут применяться при непараметрической идентификации модели объекта (например, вычислении регрессии) с использованием параметрического описания некоторых вероятностных характеристик объекта. Синтезированы оптимальные в смысле минимума дисперсии оценки функционалов в условиях слабой сходимости. Приводится адаптивная оценка, которая асимптотически эквивалентна оптимальной. На примерах оценивания плотности, регрессии и условной производящей функции моментов с учетом знания вероятностных характеристик условных и безусловных плотностей проиллюстрировано влияние дополнительной информации на точностные свойства оценок.

5. В главе 5 на конкретных примерах оценивания произведения плотностей и функции регрессии показано применение результатов глав 2-4. Для функции регрессии выявлены преимущества кусочно-гладкой аппроксимации перед обычными оценками подстановки. Например, для кусочно-гладкой аппроксимации можно находить главную часть СКО, если ядра знакопеременные, а зависимая переменная не ограничена; к тому же в случае зависимых наблюдений достаточно проверить выполнение простых условий о скорости сходимости четвертых моментов отклонений числителя и знаменателя обычной оценки регрессии.

Предложена и исследована новая оценка регрессии, построенная по схеме МСМ, преимущество которой по сравнению с известными состоит в том, что ее знаменатель принимает только положительные значения, а сама оценка имеет улучшенную скорость сходимости СКО.

Как пример оценивания характеризационного функционала рассмотрена логарифмическая производная плотности. Введены три улучшенные по скорости сходимости их СКО ядерные оценки логарифмической производной плотности: когда числитель и знаменатель оценки имеют одинаковые порядки сходимости их оптимальных СКО; когда оптимальная СКО числителя оценки сходится к нулю медленнее оптимальной СКО знаменателя; когда оптимальная СКО числителя оценки сходится к нулю быстрее оптимальной СКО знаменателя.

Для всех этих трех случаев для оценок находятся главные части асимптотических СКО в условиях слабой сходимости. Также предложена и исследована усеченная оценка логарифмической частной производной плотности, для которой находится главная часть асимптотической СКО в условиях обычной сходимости.

Как пример оценивания дополненного функционала рассмотрена функция интенсивности отказов. Введены улучшенные по скорости сходимости их СКО кусочно-гладкие аппроксимации ядерных оценок функции интенсивности отказов, для которых находятся главные части асимптотических СКО. Показаны преимущества кусочно-гладких аппроксимаций перед оценками подстановки; это проиллюстрировано и с помощью статистического моделирования.

6. Использованное на протяжении глав 1-5 предположение о независимости наблюдений, по которым строятся непараметрические процедуры, на практике довольно часто не выполняется и является существенным ограничением. Актуальность исследований главы 6 в значительной степени обусловлена отказом от этого ограничения. Рассматриваются слабозависимые последовательности с.п. и р.с.п., для которых получен ряд результатов общего характера, которые могут использоваться при решении задач фильтрации, идентификации, управления, прогноза для динамических объектов.

Основной вопрос, который решается при этом, заключается в том, чтобы выяснить, каким условиям должны удовлетворять слабозависимые последовательности, чтобы непараметрические оценки функционалов имели те же асимптотические свойства относительно СКО и асимптотической нормальности, что и для независимых последовательностей. Ответы можно найти в разд. 6.2-6.4. Эти результаты применяются при изучении простых оценок переходных функций распределения и функционалов от них для стационарного марковского процесса, удовлетворяющего условию Де-блина. Показывается, что последовательность, полученная из такого процесса, удовлетворяет условию р.с.п., что позволяет сформулировать теорему об асимптотических свойствах предложенных оценок.

Разработанный аппарат непараметрического оценивания для зависимых процессов используется также при нахождении предельного распределения оценки градиента логарифма плотности, часто встречающающегося во многих алгоритмах оптимальной обработки сигналов.

В последнем разделе главы 6 решается важная задача восстановления логарифмической производной п.р. по наблюдениям, удовлетворяющим некоторым условиям с.п. Выбор такого типа зависимости обусловлен тем, что при определенных условиях в системах, описываемых динамическими моделями авторегрессионного типа, наблюдаемый процесс обладает свойством с.п. Для устойчивых кусочно-гладких аппроксимаций оценок логарифмической производной плотности в условиях обычной сходимости находятся главные части СКО с улучшенной скоростью сходимости . Решение задач такого сорта для оценок подстановок и их усеченных модификаций для с.п. последовательностей, как правило, либо невозможно, либо наталкивается на большие математические трудности. Результаты раздела могут применяться при решении задач нелинейной непараметрической фильтрации в динамических системах авторегрессионного типа.

7. В главе 7 на основе результатов предыдущих глав решаются задачи идентификации, управления и прогноза в стохастических объектах, обнаружения и классификации сигналов в условиях непараметрической априорной неопределенности.

Показывается, как при решении одной из задач идентификации в широком смысле (определение степени связи между изменениями входных и выходных переменных) для сложных объектов применяются непараметрические оценки функции чувствительности. Строится критерий, выделяющий входы, изменение значений которых не приводит к изменению значений определенного выхода. Для таких критериев необходимо уметь вычислять функционалы типа остаточной дисперсии. Показывается, что предложенные рекуррентные непараметрические оценки остаточной дисперсии легко реализуются на ПК, в то время как традиционные методы вычисления остаточной дисперсии в многомерном случае весьма трудоемки.

Построены непараметрические дискретные, аналоговые и аналого-дискретные алгоритмы, которые являются адаптивными в том смысле, что с ростом объема выборки (поступление новых наблюдений) или времени наблюдения реализаций входных и выходных переменных объекта, их качество улучшается (СКО уменьшается); на основании накопленной об объекте информации они позволяют находить такие значения управляемых входов, которые приведут к значениям выходов, близким к заданным.

При непараметрической априорной неопределенности изучаются алгоритмы обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной помехи и рекуррентный алгоритм обучения в задачах классификации, в том числе и построенный по распределениям с непрерывным временем для непараметрического распознавания стохастических сигналов. Работоспособность большинства предложенных в главе процедур и алгоритмов проверяется с помощью статистического моделирования.

Рассмотрена задача построения вероятностных моделей процессов авторегрессионного типа, которая подразумевает оценивание неизвестных параметров процессов и построение на основе этих оценок одношаговых прогнозов наблюдений, а также восстановление предельной плотности распределения ошибок прогнозирования.

1. Айвазян CA., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. М.: Статистика, 1974. - 240 с.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. М.: Финансы и статистика, 1983. 471 с.

3. Алексеев В.Г. Об оценке плотности вероятностей и ее производных // Математические заметки. 1972. Т.12. № 5. С. 621-626.

4. Алексеев В.Г. О статистических оценках некоторых функционалов от плотности вероятности // Теория вероятн. и матем. статистика. Киев: Вища школа, 1976, вып. 15, с. 3-9.

5. Алексеев В.Г. Об оценках точек экстремума и перегиба плотности вероятности // Теория случайных процессов. Киев: Наукова думка, 1984. Вып.12. С.3-5.

6. Алексеев В.Г. О непараметрических оценках кривых и поверхностей регрессии // Автоматика и телемеханика. 1988. № 7. С.81-87.

7. Апраушева H.H., Конаков В.Д. Использование непараметрических оценок в регрессионном анализе // Заводск. лаб. 1973. № 5. С.556-569.

8. Барзилович Е.Ю., Беляев Ю.К., Каштанов В.А. и др. Вопросы математической теории надежности. М.: Радио и связь, 1983. 376 с.

9. Бессонов A.A., Свердлов Л.З. Методы статистического анализа погрешностей устройств автоматики. Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1974. 143 с.

10. И. Бернштейн С.Н. Распространение предельной теоремы теории верлоятностен на суммы зависимых величин // Успехи матем. наук. 1944. Вып. 10. С.65-114.

11. Билингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 352 с.

12. Болдин М.В. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т.27. Вып. 4.1. С.805-810.

13. Болдин М.В. Проверка гипотез в схемах авторегрессии критериями Колмогорова и и/2 // Докл. АН СССР. 1983. Т.273. № 1. С.19-22.

14. Болынев Л.П., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.1. М.: Наука, 1965. 464 с.

15. Борисов В.З., Конев В.В. О последовательном оценивании параметров дискретных процессов // Автоматика и телемеханика. 1977. № 10. С.53-64.

16. Боровков A.A. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984. 472 с.

17. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 432 с.

18. Боровков A.A. Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Изд-во Института математики. 1997. 772 с.

19. Булдаков D.M., Кошкин Г.М. О рекуррентных оценках плотности вероятности и линии регрессии // Пробл. передачи информ. 1977. Т.13. Вып.1. С.58 66.

20. Булинский A.B. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: Изд-во МГУ. 1989.

21. Вааль В.А., Китаева A.B., Кошкин Г.М. Доверительное непараметрическое оценивание функции интенсивности // Межд. конф. "Все-сибирские чтения по математике и механике". Тезисы докл. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.1. С.120.

22. Вааль В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функции интенсивности отказов и ее производной // Изв. вузов. Физика. 1999. N 3. С.141-146.

23. Вальд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры. М.: Наука, 1987. С.300-522.

24. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979. 448 с.

25. Васильев В.А. Об оценивании распределения возмущений процесса авторегрессии // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986. Вып.Ю. С.9-24.

26. Васильев В.А. Об идентификации динамических систем авторегрессионного типа // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С.107-119.

27. Васильев В.А., Конев В.В. Об оценивании закона распределения возмущений процесса авторегрессии // Proc. Fourth Int. Vilnius Conf. on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. Vilnius, 1985. Part 1. P.119-120.

28. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Об оценивании многомерной плотности распределения и ее производных по зависимым наблюдениям / / Тезисы докл. Межд. семинара "Предельные теоремы и смежные вопросы". Омск: Изд-во ОмГУ. 1995. С.16-18.

29. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание предельной плотности распределения и ее производных по наблюдениям с ослабевающей зависимостью // Пробл. передачи информ. 1997. Т.33. Вып.2. С.66-80.

30. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Оценивание функций от плотности распределения по зависимым наблюдениям // Пробл. передачи информ. 1997. Т.ЗЗ. Вып.4. С.45-60.

31. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическая идентификация авторегрессий // Теория вероятностей и ее применения. 1998. Т.43. Вып.З. С.577-588.

32. Васильев В.А., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание отношений производных многомерной плотности распределения по зависимым наблюдениям // Сибирский математический журнал. 2000. Т.41. № 2. С. 312-330.

33. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 576 с.

34. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983. 416 с.

35. Веретенников А.Ю. Об оценках скорости перемешивания для стохастических дифференциальных уравнений // Теория вероят. и ее примен. 1987. Т. 32. Вып. 2. С. 299-308.

36. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. М.: Энергия, 1979. 320 с.

37. Воробейчиков С.Э., Конев B.B. О последовательной идентификации стохастических систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 4. С.176-182.

38. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. М.: Наука, 1971. -375 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

40. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физмат лит, 1971. 470 с.

41. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1966. 655 с.

42. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. 567 с.

43. Гринвуд П.Е., Ширяев А.Н. О равномерной слабой сходимости се-мимартингалов с применениями к оцениванию параметра в авторегрессионной модели первого порядка // Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука. 1989. С. 40-48.

44. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 400 с.

45. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

46. Гринвуд П.Е., Ширяев А.Н. О равномерной слабой сходимости се-мимартингалов с применениями к оцениванию параметра в авторегрессионной модели первого порядка // Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука. 1989. С. 40 48.

47. Гунько С.С., Кошкин Г.М. Устойчивое оценивание коэффициента изменчивости выборки // Межд. конф. "Всесибирские чтения по математике и механике". Тезисы докл. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.1. С.122-124.

48. Давыдов Ю.А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами // Теория вероятностей и ее применения. 1968. Т. XIII. Вып.4. С.730-737.

49. Деврой Л., Дьерфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. М.: Мир, 1988. 408 с.

50. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М. Использование дополнительной информации при непараметрическом оценивании функционалов плотности // Автоматика и телемеханика. 1987. № 10. С. 47-59.

51. Дмитриев Ю.Г., Кошкин Г.М., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П., Шу-ленин В.П. Непараметрическое оценивание функционалов по стационарным выборкам. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1974. 93 с.

52. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной информации // Томск: Изд-во Том. ун-та. 1988. 196 с.

53. Добровидов A.B. Самообучающийся алгоритм асимптотически оптимальной фильтрации случайных сигналов с неизвестным априорным распределением // Проблемы управления и теории информации. 1971. Т. 1. № 2. С. 163-176.

54. Добровидов A.B. Об одном алгоритме непараметрической оценки случайного многомерного сигнала // Автоматика и телемеханика. 1971. № 2. С. 88-99.

55. Добровидов A.B. Непараметрическая оценка оптимального байесовского риска в задачах фильтрации случайных сигналов // Автоматика и телемеханика. 1971. № 10. С. 51-56.

56. Добровидов A.B. Подход к задачам принятия решений в условиях статистической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1976. № 5. С. 90-95.

57. Добровидов A.B. Непараметрические методы нелинейной фильтрации стационарных случайных последовательностей // Автоматика и телемеханика. 1983. № 6. С. 85-98.

58. Добровидов A.B. Асимптотически е-оптимальная непараметрическая процедура нелинейной фильтрации стационарных последовательностей с неизвестными статистическими характеристиками // Автоматика и телемеханика. 1984. № 12. С. 40-49.

59. Добровидов A.B. Определение вероятностных характеристик ненаблюдаемого случайного сигнала // Докл. 3 Всес. совещания по статистическим методам в управлении. 1973.

60. Добровидов A.B. Непараметрические приближения конечномерных распределений строго стационарных эргодических последовательностей // Докл. 4 Всес. совещания по статистическим методам теории управления. 1978.

61. Добровидов A.B. Непараметрический метод прогноза ненаблюдаемой компоненты марковской случайной последовательности //5 Всес. совещание по статистическим методам в процессах управления. Тезисы докл. Алма-Ата. 1981. С. 108-110.

62. Добровидов A.B. Непараметрические методы фильтрации и экстраполяции случайных последовательностей // Докл. 5 Всес. школы-семинара по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике. 1985. Ч. 1. С. 119-129.

63. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание сигналов. М.: Наука. Физмат лит. 1997. 336 с.

64. Добровидов A.B., Кошкин Г.М. Нелинейная непараметрическая фильтрация в динамических системах // Межд. конф. по проблемам управления. (29 июня 2 июля 1999 г.). Тезисы докл. в трех томах. Т.1. 1999. М.: Фонд "Проблемы управления. С.280-281.

65. Дуб Дж. Д. Вероятностные процессы. М.: Ин. лит-ра, 1976. 605 с.

66. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 512 с.

67. Епанечников В.А. Непараметрическая оценка многомерной плотности // Теория вероят. и ее примен. 1969. Т. 14. Вып. 1. С. 156-162.

68. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

69. Живоглядов В.П., Медведев A.B. Непараметрические алгоритмы адаптации. Фрунзе: Илим, 1974. 134 с.

70. Заварин А.Н. О вероятностных моментах непараметрической оценки функции регрессии // Автоматика и телемеханика. 1985. № 4. С. 5768.

71. Заварин А.Н. Использование априорной информации в непараметрических оценках функции регрессии // Автоматика и телемеханика. 1985. № 5. С. 79-85.

72. Заварин А.Н. О моментах некоторых непараметрических оценок / Ред. ж. Электронное моделирование. Киев, 1985. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 11.11.85, № 7845-В.

73. Зияева З.Т. О задаче оптимизации в оценке плотности вероятности // Изв. АН Узб. ССР. 1973. № 1. С. 30-35.

74. Змеева E.E., Кошкин Г.М. Устойчивое непараметрическое оценивание регрессии // Современные проблемы компьютерного анализаданных и моделирования. Сб. науч. ст. Минск: Изд-во Б ГУ. 1993. С.30-34.

75. Ибрагимов И.А. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. № 4. С. 711-714.

76. Ибрагимов И.А. Некоторые предельные теоремы для стационарных процессов // Теория вероят. и ее примен. 1962. Т. 7. Вып. 4. С. 361392.

77. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

78. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. 1979. 528 с.

79. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М.: Наука. 1985. 336 с.

80. Кендалл М., Стьюарт Дж. Статистические выводы и связи. М.: Наука. 1973. 899 с.

81. Китаева A.B., Кошкин Г.М. Устойчивое с улучшенной скоростью сходимости непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности // Автоматика и телемеханика. 1997. № 5. С. 202214.

82. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука. 1974. 120 с.

83. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с. - 120 с.

84. Конаков В.Д. Непараметрическое оценивание условных и частных моментов // Теория вероят. и ее примен. 1973. Т.18. Вып.2. С.440-442.

85. Конев В.В. Последовательные оценки параметров стохастических динамических систем. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1985. 268 с.

86. Корноухов В.Е., Миненко С.И., Рукосуев Ю.А. Обучение ЭВМ с целью идентификации личности по папиллярным узорам // Адаптивные системы и их приложения. Новосибирск: Наука, 1978. С.168-176.

87. Кошкин Г.М. Об одном подходе к оцениванию переходной функции распределения и моментов для некоторых марковских процессов //

88. Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып 4. С.116-121.

89. Кошкин Г.М. Об устранении смещения некоторых оценок // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып 4. С.110-115.

90. Кошкин Г.М. О возможности применения рекуррентных непараметрических оценок для стабилизации выхода объекта // Материалы VII Всес. совещания по проблемам управления. Минск: Изд-во Ин-та технической кибернетики, 1977. Кн.З. С.33-34.

91. Кошкин Г.М. Об одном подходе к исследованию функционалов от условных распределений при статистической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 1978. № 8. С.53-65.

92. Кошкин Г.М. О непараметрическом оценивании условных функционалов // Докл. VII Всес. конф. по теории: кодирования и передачи информации. М.:-Вильнюс: Наука, 1978. 4.6. С.50-53.

93. Кошкин Г.М. О возможности применения непараметрических оценок в задачах обнаружения и классификации // Труды IX Всес. школы-семинара по статист, гидроакустике. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1978. С.127-128.

94. Кошкин Г.М. Об равномерной сходимости в среднеквадратическом функционалов от условных распределений // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1979. Вып 5. С.39-52.

95. Кошкин Г.М. Об одном обобщении известной процедуры устранения смещения оценок // Стохастические системы управления. Новосибирск: Наука, 1979. С.63-71.

96. Кошкин Г.М. Модифицированная ближайшего соседа оценка плотности распределения // Тезисы докл. VIII Всес. конф. по теории кодирования и передачи информации. М.:-Куйбышев: 1981. 4.4. С.79-81.

97. Кошкин Г.М. Применение метода обобщенного "складного ножа" к непараметрическим оценкам функционалов плотности // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981. Вып 7. С.102-113.

98. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание плотности стационарного процесса // Тезисы докл. Всес. симпозиума "Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях". Д.: 1982. 4.4. С.108-112.

99. Кошкин Г.М. Непараметрическое восстановление регрессионной зависимости стахастических процессов по непрерывным реализациям // Тезисы докл. Всес. конф. "Измерения и контроль при автоматизации производственных процессов". Барнаул: 1983. Т.2. С.163-164.

100. Кошкин Г.М. Непараметрическое распознавание случайных процессов с непрерывным временем // Тезисы докл. и сообщений Всес. конф. "Теория адаптивных систем и ее применения". M.-JI. 1983. С.189-190.

101. Кошкин Г.М. Непараметрическое алгоритмы идентификации и управления для случайных процессов с непрерывным временем / / Тезисы докл. IX Всес. совещания по проблемам управления. М: Наука, 1983. С.149.

102. Кошкин Г.М. Метод устранения смещения оценок с применением к парзеновским приближениям плотности //VI Международный симпозиум по теории информации. Тезисы докладов. М.:-Ташкент: 1984. 4.1. С. 100 102.

103. Кошкин Г.М. Сравнение интегральных среднеквадратических ошибок двух улучшенных ядерных оценок плотности// Материалы V Всес. школы-семинара по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике. Красноярск: 1985. 4.2.

104. Кошкин Г.М. Метод устранения смещения оценок //I Всемирный Конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли. Тезисы. М.: Наука. Т.1. 1986. С.91

105. Кошкин Г.М. Об одном методе устранения смещения оценок // Теория вероят. и ее примен. 1987. Т.32. Вып. 1. С.147-149.

106. Кошкин Г.М. О среднем и дисперсии функций от статистик // Матер. 6-й Всес. школы-семинара по непараметрическим и робастным методам статистики в кибернетике. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. 4.1. С.221 227.

107. Кошкин Г.М. Непараметрическое распознавание стохастических сигналов // Тезисы докл. региональной научно-технической конф. "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств". Новосибирск: НПО "СНИИМ". 1988. 4.1. С.81-82.

108. Кошкин Г.М. Улучшенная неотрицательная ядерная оценка плотности // Теория вероят. и ее примен. 1988. Т.33. Вып. 4. С.817-822.

109. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание расстояний между распределениями //IX Всес. конф. по теории кодирования и передачи информации. Тезисы докл. Одесса: ВИНИТИ. 1988. 4.2. С.127-130.

110. Кошкин Г.М. Непараметрическое распознавание непрерывно-дискретных процессов // Всес. научно-техническая конф. "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей". Тезисы докл. Харьков: ХИРЭ. 1989. С.48.

111. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание многомерной функции интенсивности // Республиканская научно-техническая школа-семинар "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ". Тезисы докл. Одесса: 1990. 4.2. С.77-83.

112. Кошкин Г.М. Асимптотические свойства функций от статистик и их применения к непараметрическому оцениванию // Автоматика и телемеханика. 1990. № 3. С.82-97.

113. Кошкин Г.М. Новая непараметрическая оценка регрессии // Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике. Материалы VII Всес. семинара. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. 4.1. С.265-267.

114. Кошкин Г.М. Комбинированная оценка регрессии // Тезисы докл. Республиканской научной конф. "Математическое и программное обеспечение анализа данных". Минск: Изд-во БГУ, 1990. С.32.

115. Кошкин Г.М. Оценивание функционалов расстояний между плотностями распределений // Пробл. передачи информ. 1991. Т.27. Вып.З. С.66 72.

116. Кошкин Г.М. Многомерный критерий согласия // Украинская республиканская школа-семинар "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей". Тезисы докл. Черкассы: 1991. С.75.

117. Кошкин Г.М. Об одной модификации ядерной оценки функции регрессии // Республиканская научная школа-семинар "Компьютерный анализ данных и моделирование". Минск: 1992. С.28.

118. Кошкин Г.М. Устойчивое оценивание отношений случайных функций по экспериментальным данным // Изв. вузов. Физика. 1993. № 10. С.137-145.

119. Кошкин Г.М. О двух типах непараметрических оценок плотности распределения // Изв. вузов. Физика. 1995. № 9. С.31-38.

120. Кошкин Г.М. Оценивание статистических характеристик по экспериментальным данным методами подстановки и регуляризации. / Ред. ж. Известия вузов. Физика. Томск, 1996. 23 с. Деп. в ВИНИТИ. 20.06.96, N2040-B96.

121. Кошкин Г.М. Оценивание статистических характеристик по экспериментальным данным методами подстановки и регуляризации. // Изв. вузов. Физика. 1997. № 1. С.128.

122. Кошкин Г.М. О моментах отклонений оценок подстановок // Материалы 9 Межд. симпозиума по непараметрическим и робастным методам в кибернетике, 5-11 октября 1977 г., Красноярск: Изд-во Сибирской Аэрокосмической академии. 1997.

123. Кошкин Г.М. О моментах отклонений устойчивых оценок // Материалы 9 Межд. симпозиума по непараметрическим и робастным методам в кибернетике, 5-11 октября 1977 г., Красноярск: Изд-во Сибирской Аэрокосмической академии. 1997.

124. Кошкин Г.М. Непараметрическое оценивание функционалов в моделях страхования жизни // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т.4. Вып.З. С.362-363.

125. Кошкин Г.М. Моменты отклонений оценки подстановки и ее кусочно-гладких аппроксимаций // Сибирский математический журнал. 1999. Т.40. № 3. С.605-618.

126. Кошкин Г.М., Китаева A.B. Оценивание отношений функций в условиях непараметрической неопределенности // Тезисы докл. III Межд. научно-технической конф. "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов". Новосибирск: 1994. С.20-22.

127. Кошкин Г.М., Китаева A.B. Устойчивое непараметрическое оценивание функции интенсивности // Информатика и процессы управления: Межвузовский сб. научных статей / Отв. Ред. А.И. Рубан. Красноярск: Изд-во КГТУ. 1996. С.85-93.

128. Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Непараметрическое оценивание логарифмической производной плотности // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. Вып 11. С.107-113.

129. Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Построение улучшенных ядерных оценок логарифмической производной плотности. ГосФАП, № М8154 от 10 октября 1988 г.

130. Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Непараметрические критерии для регрессионной задачи проверки гипотез в условиях статистической неопределенности //IX Всес. конф. по теории кодирования и передачи информации. Тезисы докл. Одесса: ВИНИТИ. 1988. 4.2. С. 107-110.

131. Кошкин Г.М., Ркшкин В.И. Построение улучшенных неотрицательных ядерных оценок плотности. ГосФАП, № М89056 от 29 мая 1989 г.

132. Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Непараметрическое оценивание логарифмического градиента плотности //XI Всес. совещание по проблемам управления. Тезисы докл. М.: 1989. С.92-93.

133. Кошкин Г.М., Рюмкин В.И. Асимптотические свойства ядерных оценок логарифмической производной плотности / Ред. ж. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. М., 1989. 25 с. - Деп. в ВИНИТИ. 26.05.89, N3488 В89.

134. Кошкин P.M., Рюмкпн В.И. Асимптотические свойства ядерных оценок логарифмической производной плотности // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 3. С.223.

135. Кошкин P.M., Рюмкин В.И. Улучшенные ядерные оценки логарифмической производной плотности // Межвуз. сб. науч. тр. "Методы и средства статистического анализа". Новосибирск: Изд-во НЭТИ. 1990. С.41-49.

136. Кошкин P.M., Симахин В.А., Тарасенко Ф.П. Об одной оценке функции распределения и линии регрессии по зависимой выборке // Материалы IV научной конф. по математике и механике. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. Кн.1. С.135-136.

137. Кошкин Г.М., Тараеенко Ф.П. Об одном критерии согласия для слабозависимой выборки // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып 4. С.29-41.

138. Кошкин Г.М., Тараеенко Ф.П. Рекуррентное оценивание плотности вероятностей и линии регрессии по зависимой выборке // Матем. статистика и ее приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. Вып 4. С.122-138.

139. Кошкин P.M., Титенкова JI.B. Непараметрическое оценивание нетто-премий при полном страховании жизни // Межд. конф. "Всесибир-ские чтения по математике и механике". Тезисы докл. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. Т.1. С.131-132.

140. Кошкин Г.М., Фукс И.Л. Применение непараметрической оценки функции чувствительности при идентификации стохастических процессов // Тезисы докл. V Всес. совещания по статистическим методам в процессах управления. М: Наука, 1981. С.235-237.

141. Кошкин Г.М., Чаусова Л.Н. Об различных модификациях непараметрических оценок функционалов плотности // Адаптация и обучение в системах управления и принятия решений. Новосибирск: Наука, 1982. С.98 109.

142. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.648 с.

143. Кушнир А.Ф. Асимптотически оптимальные критерии для регрессионной задачи проверки гипотез // Теория вероят. и ее применен. 1968. Т.13. Вып.4. С.682-700.

144. Лапко A.B., Медведев A.B., Николаев Г.А. и др. Адаптивные модели технологических объектов // Адаптивные модели технологических объектов. Новосибирск: Наука, 1978. С.143-158.

145. Левин Б.Р. Асимптотические оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов на фоне помех // Труды СФТИ. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1973. Вып.63. С.6-48.

146. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники // М. Сов. радио. 1975. Кн.2. 391 с.

147. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники // М. Сов. радио. 1976. Кн.З. 286 с.

148. Левит Б.Я. Условное оценивание линейных функционалов // Пробл. передачи информ. 1975. Т.Н. Вып.4. С.39-54.

149. Ле Кам Л. О некоторых асимптотических свойствах оценок максимального правдоподобия и соответствующих байесовских оценок //

150. Математика (сб. переводов). 1960. 4:2. С.69-119.

151. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. -408 с.

152. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.:1. Наука, 1974. 696 с.

153. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986. -512 с.

154. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Ин. лит-ра. 1962. 720 с.

155. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г. и др. Математический анализ. Киев: Вища школа. 1983. 4.1. 496 с.

156. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

157. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика,1975. Вып. 1. 423 с.

158. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика,1976. Вып. 2. 323 с.

159. Медведев A.B. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск: Наука, 1983. 176 с.

160. Муганцева Л.А. Проверка нормальности в схемах одномерной и многомерной регрессии // Теория вероят. и ее примен. 1977. Т.22. Вып. 3. С.603-614.

161. Надарая Э.А. Об оценке регрессии // Теория вероят. и ее примен. 1964. Т.19. Вып.1. С. 147-149.

162. Надарая Э.А. О непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии // Теория вероят. и ее применен. 1965. Т.10. Вып.1. С.199-203.

163. Надарая Э.А. Непараметрические оценки кривой регрессии // Тр. ВЦ АН ГССР. Тбилиси: Мецниереба, 1965. № 5:1. С. 56 68.

164. Надарая Э.А. Об интегральной среднеквадратической ошибке некоторых непараметрических оценок плотности вероятностей // Теория вероят. и ее примен. 1974. Т.19. Вып.1. С.131-139.

165. Надарая Э.А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та. 1983. 194 с.

166. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

167. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука. 1972. 304 с.

168. Нейман Дж. Два прорыва в теории статистических решений // Математика (сб. переводов). 1964. 8:2. С.113-132.

169. Немировский A.C., Цыпкин Я.З. Об оптимальных алгоритмах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 12. С.64-77.

170. Новак С.Ю., Утев С.А. Об асимптотике распределения отношения сумм случайных величин // Сиб. мат. журн. 1990. Т.31. № 5. С.92-101.

171. Новак С.Ю. О распределении отношения сумм случайных величин // Теория вероят. и ее примен. 1996. Т.41, вып.З. С.533-560.

172. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир. 1973. 322 с.

173. Пакшин П.В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1983. № 6. С.74-84.

174. Пащенко Ф.Ф. Функция чувствительности и ее применение при выборе оптимальной модели // Системы управления. М.: Наука, 1973. С.72-78.

175. Пенская М.Я. Об устойчивом оценивании функции параметра // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1990. С.44-55.

176. Пергамешциков С.М. Асимптотические свойства последовательного плана оценивания параметра авторегрессии первого порядка // Теория вероят. и ее применен. 1991. Т.36. Вып.1. С.42-53.

177. Прохоров 10.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.494 с.

178. Пугачев В.П. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. М.: Сов. радио, 1973.

179. Пугачев B.C. Статистическая теория обучающихся автоматических систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1967. № 6. С.26 42.

180. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. 496 с.

181. Пугачев B.C. Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. IYI.: Наука, 1985. 560 с.

182. Райбман Н.С. Что такое идентификация. М.: Наука, 1970. 119 с.

183. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Адаптивные модели в системах управления. М.: Сов. радио, 1966. 159 с.

184. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1975. 375 с.

185. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.:1. Наука, 1968. 547 с.

186. Раудис Ш.Ю. Оптимизация непараметрических алгоритмов классификации в задачах управления и контроля // Материалы VII Всес. совещания по проблемам управления. Минск: Изд-во Ин-та технической кибернетики, 1977. Кн.1. С.143-146.

187. Роббинс Г. Эмпирический байесов подход к статистике // Математика (сб. переводов). 1964. 8:2. С.133-140.

188. Роббинс Г. Эмпирический байесов подход к задачам теории статистических решений // Математика (сб. переводов). 1966. 10:5. С.122-140.

189. Розанов К).А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971. 986 с.

190. Рубан А.И., Сергеев B.JL Анализ непараметрических регрессионных оценок // Системы управления. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1975.1. Вып.1. С.85 95.

191. Сарманов О.В. Максимальный коэффициент корреляции (симметричный случай) // Докл. АН СССР. 1958. Т.120. № 4. С.715-718.

192. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука. 1968. 464 с.

193. Сергеев В.Л. Об использовании оценок локальной аппроксимации плотности вероятности // Автоматика и телемеханика. 1979. № 7. С.56 -61.

194. Сердюков В.А., Сердюкова А.Е. Функции чувствительности второго рода // Актуальные вопросы технической кибернетики. М.: Наука, 1972. С.94 98.

195. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966.

196. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика // Томск: Изд-во Том. ун-та, 1976. 292 с.

197. Тарасенко Ф.П., Шуленин В.П. Критерии согласия // Труды СФТИ. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. Вып.60. С.3-69.

198. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

199. Тихонов А.Н., Уфимцев М.В. Статистическая обработка результатов эксперимента. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 176 с.

200. Туркенич Д.И. Управление плавкой стали в конверторе. М.: Металлургия, 1972. 360 с.

201. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей в естествознании. М.: Знание, 1968. 48 с.

202. Тюрин Ю.Н. Об оценивании функций распределения // Теория ве-роят. и ее примен. 1970. Т.15. Вып.З. С.567-568.

203. Уаба Г. Оптимальное сглаживание оценок плотности // Классификация и кластер. М.: Мир, 1980. С.352-382.

204. Уилкс С. Математическая статистика // М.: Наука, 1967. 632 с.

205. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику // М.: Изд-во МГУ, 1994. 85 с.

206. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. T.l. М.: Мир, 1984. 528 с.

207. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. 624 с.

208. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. 368 с.

209. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 256 с.

210. Хазен Э.М. Восстановление компонент многомерного марковского процесса по наблюдениям других его компонент / / Проб л. управления и теории информ. 1978. Т.7. № 4. С.263-275.

211. Хартман К., Лецкий Э.К., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. 552 с.

212. Хэннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974. 575 с.

213. Цветков Э.И. Основы теории статистических решений. Л.: Энергия, 1979. - 286 с.

214. Цыбаков А.Б. О выборе ширины окна в ядерной непараметрической регрессии // Теория вероят. и ее примен. 1987. Т.32. Вып.1. С.153 159.

215. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 399 с.

216. Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука, 1972. 520 с.

217. Шапиро Е.И. Непараметрические оценки плотности вероятности в задачах обработки результатов наблюдений // Зарубежная радиоэлектроника. 1976. № 2. С.3-36.

218. Ширяев А.Н. Вероятность. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. 1989. 640 с.

219. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. М.: Мир. 1975. 683 с.

220. Abdul-Al K.J. Nonparametric recursive density estimation for uniform mixing condition // The Arabian J. for Science and Engineering. 1986. V.ll. № 3. P.308-314.

221. Ahmad J.A., Lin P.E. Nonparametric sequential estimation of a multiple regression function // Bull. Math. Statist. 1976. V.17. № 1-2. P.63-75.

222. Arvesen J.N. Jackknifing U-statistics // Ann. Math. Statist. 1969. V.40. № 6. P.2076-2100.

223. Banon G. Sur un estimateur non paramétrique de la densite de probabilité // Rev. statist, appl. 1976. T.24. № 4. P.61-73.

224. Bartlett M.S. Statistical estimation of density function // Sankhya. Indian. J. Statist. 1963. V.A25. № 3. P.245-254.

225. Bhattacharya P.K. Estimation of a probability density function and its derivatives // Sankhya. Indian. J. Statist. 1967. V.A29. P.373-382.

226. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. Itasca, Illinois: The Society of Actuaries, 1986. 624 p.

227. Bradley R., Bryc W. Multilinear forms and measures of dependence between random variables //J. Multivar. Anal. 198-5. V.16. № 3. P.335-367.

228. Bulinskii A.V. Limit theorems under weak dependence conditions // Probab. Theory and Math. Statist. Proceedings of the Fourth Vilnius Conf. V.l. Utrecht: VHU Sci. Press. The Netherlands. 1987. P.307-326.

229. Cacoullos T. Estimation of a multivariate density // Ann. Inst. Statist. Math. 1966. V.18. symbol242 2. P.179-189.

230. Castellana J.V., Leadbetter M.R. On smoothed probability density estimation for stationary processes // Stochastic Processes and Appl. 1986. V.21, № 2. P.179-193.

231. Collomb G. Estimation non paramétrique de la regression par la methode du noyau: Thèse Docteur Ingénieur. Toulouse: Univ. Paul-Sabatier, 1976.

232. Collomb G. Quelques propriétés de la méthode du noyau pour l'estimation non paramétrique de la regression en un point fixé // C. r. Acad. Sei. Paris. 1977. T.285. № 4. P.289-292.

233. Collomb G. Nonparainetric regression: an up-to-date bibliography // Seminarbor. Hmnboldt-Univ. Berlin. Sec. Math. 1983. № 51. P.32-49.

234. Delecroix M. Central limit theorems for density estimators of a </?-mixing process // Recent Developments in Statistics, 1977. Amsterdam: North Holland Publishing Co. P.409-414.

235. Deo C.M. A noli1 on empirical processes for strong mixing sequences // Ann. Prob. 1973. V.l. P.870-875.

236. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. On the use of a priori information in nonparametric regression estimation // Proceeding 2nd IFAC Symposium on Stochastic Control, Vilnius, May 19-23. 1986. Oxford e.a.: Pergamon Press. 1987. P.223-228.

237. Doukhan P., Ghindes M. Estimation de la transition de probabilité d'une chain de Markov Doeblin-recurrente. Etude du eas processus autoregressii general d'ordre 1 // Stochastic Processes and Appl. 1983. V.15. № 3. P.271 -293.

238. Doukhan P. Massart P., Rio E. Invariance principles for absolutely regular empirical processes // Ann. Inst. H. Poincare. Probab. et statist. 1995. T.31. № 2. P.393-427.

239. Durbin J. A note on the applications Quenouille's method of bias reduction to estimation of ratios // Biometrika. 1959. V.46. N° 3-4. P.477-480.

240. Farrel R.H. On the best obtainable asymptotic rates of convergency in estimation of a density function at a point // Ann. Statist. 1972. V.43. symbol242 1. P.170-180.

241. Fraser D.A.S. Nonparametric methods in statistics. N.-Y.: J. Wiley and Sons. 1957. 299 p.

242. Fukunaga K., Hostetler L.D. The estimation of the gradient of a density function , with applications in pattern recognition // IEEE Trans. Inform. Theory. 1975. V.IT-21. symbol242 1. P.32-40.

243. Fukunaga K., Hostetler L.D. Optimization of ^-nearest neighbor density estimates // IEEE Trans. Inform. Theory. 1975. V.IT-21. symbol242 3. P.320-326.

244. Gasser T., Miiller H.-G. Kernel estimation of regression functions // Lect. Notes Math. 1979. V.757. P.23-68.

245. Gray H.L., Watkins T.A., Adams J.E. On the jackknife statistic, its extensions and its relation to e-transformations // Ann. Math. Statist. 1972. V.43. symbol242 1. P.l-30.

246. Gyorfi L. Strong consistent density estimate from ergodic sample //J. Multiv. Analysis. 1981. V.ll. № 1. P.81-84.

247. Gyorfi L. Recent results on nonparametric regression estimate and multiple classification // Problems of Control and Inform. Theory. 1981. V.10. № 1. P.43-52.

248. Gyorfi L., Hardle W., Sarda P., Vieu P. Nonparametric curve estimation from time series. Lecture Notes Math. Statist. N.Y.: Springer-Verlag, 1988. 128 p.

249. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distributions // Ann. Math. Statist. 1948. V.19. P.293-325.

250. Hoeffding W., Robbins H. The central limit theorem for dependent random variables // Duke Math. J. 1948. V.15. № 2. P.773-780.

251. Johns M.V. Non-parametric empirical Bayes procedures // Ann. Math. Statist. 1957. Y.228. № 3. P.649-669.

252. Konakov V.D. Asymptotic prorerties of some functions of nonparametric estimates of a density function // J. Multiv. Anal. 1973. V.3. № 4. P.454-468.

253. Konev V., Lai T.L. Estimators with prescribed precision in stochastic regression models // Sequential Analysis. 1995. V.14. № 3. P.179-192.

254. Konev V.V., Pergamenshicov S.M. On the duration of sequential estimation of parameters of stochastic processes in discrete time // Stochastics. 1986. V.18. P.133-154.

255. Koshkin G.M. Nonparametric Estimation in Life Insurance: Asymptotic Properties and Simulation // Математические модели и методы их исследования. Межд. конф. (18-24 августа 1999 г.). Тезисы докл. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та. 1999. С.229-230.

256. Koshkin G. М. On Estimation of Distribution Functionals in the Complex Models of Insurance under Uncertainty Conditions // Proceedings of the Conference CSIT (August 17-22, 1999 г.). Erevan: National Academy of Science of Armenia. P.138-142.

257. Koslikin G. Vasil'iev V. On identification of linear dynamic systems with an unknown distribution of the noises // Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control. Kobe, Japan, December 11-13, 1996. V.2. P.76- 83.

258. Koslikin G.M., Vasil'iev V.A. Nonparametric Estimation of Derivatives of a Multivariate Density from Dependent Observations // Mathematical Methods of Statistics. 1998. Vol. 7. N 4. New York: Allerton Press, Inc. P.361-400.

259. Kushner H.J. On the dynamical equations of conditional probability density functions, with applications to optimal stochastic control theory // J. Math. Anal. Appl. 1964. № 8. P.332 334 .

260. Ljung L., Soderstrom T. Theory and Practice of Recursive Identification. Cambridge, Massachusets: The MIT Press, 1983. 530 p.

261. Maitz C. Estimation of the k-th derivative of a distribution function // Ann. Statist. 1979. V.2. № 2. P.359-361.

262. Mantel N. Assumption free estimators using t/-statistics and a relationship to the jackknife method // Biometrics. 1967. V.23. № 3. P.567-571.

263. Masry E. Probability density estimation from sampled data // IEEE Trans. Inform. Theory. 1983. V.IT-29. № 5. P.696-709.

264. Masry E. Recursive probability density estimation for weakly dependent stationary processes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1986. V.IT-32. № 2. P.254-267.

265. Masry E. Almost sure convergence of recursive density estimators for stationary mixing processes // Statistics and Probability Letters. 1987. V.5. № 2. P.249-254.

266. Masry E. Nonparametric estimation of conditional probability densities and expectations of stationary processes: strong consistency and rates // Stochast. Process, and Appl. 1989. V. 32. № 1. P.109-127.

267. Masry E. Multivariate probability density deconvolution for stationary random processes // IEEE Trans, on Inform. Theory. 1991. V.37. № 4. P.1105—1115.

268. Masry E., Gyorfi L. Strong consistensy and rates for recursive probability density estimators of stationary processes //J. Multiv. Analysis. 1987. V.22. № 1. P.79-93.

269. Miller R.G.J. A trustworthy jackknife // Ann. Math. Statist. 1964. V.35. № 4. P.1549-1605.

270. Mises R. On the asymptotic distributions of differentiable statistical functions // Ann. Math. Statist. 1947. V.18. P.309 348.

271. Miiller H.-G., Gasser T. Optimal convergence properties of kernel estimates of derivatives of a density function // Lect. Notes Math. 1979. V.757. P.144-154.

272. Murthy V.K. Estimations of jumps, reliability and hazard rate // Ann. Statist. 1963, V. 36. № 3. P. 1032-1040.

273. Murthy V.K. Nonparametric estimation of multivariate densities with applications // Multiv. Analysis I. N.-Y.-London: Academic Press. 1966. P.43-56.

274. Nguen H.T. Density estimation in a continuous-time stationary Markov process // Ann. Statist. 1979. V.7. № 2. P.341-348.

275. Parzen E. On estimation of a probability density function and mode // Ann. Math. Statist. 1962. V.33. № 3. P.1065-1076.

276. Patnaik P.B. The non-central X and F distributions and their applications // Biometrika. 1949. V.36. № 3. P.202-232.

277. Pracasa Rao B.L.S. Non-parametric estimation for continuous time Markov process via delta-families // Pub. Inst. Stat. Univ. Paris. 1979. T.24. № 3-4.

278. Pracasa Rao B.L.S. Nonparametric functional estimation. Orlando: Academic Press, 1983. 523 p.

279. Press W.H., Flannary B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

280. Quenoille M.H. Notes on bias in estimation // Biometrika. 1956. V.43. № 3-4. P.353-360.

281. Rao J.N.K. The precision of Mickey's unbiased ratio estimator // Biometrika. 1967. V.54. № 1-2. P.321-324.

282. Rao T.J. On certain unbiased ratio estimators // Ann. Inst. Statist. Math. 1966. V.18. № 1. P.117-122.

283. Renyi A. On measures of dependance // Acta Math. Acad. Scien. Hung. 1959. T.10. № 3-4. P.441-451.

284. Robinson P.M. Nonparametric estimation from time series residuals // Cah. Cent. etud. rech. oper. 1986. V.28. № 1-3. P.197-202.

285. Rosenblatt M. A central limit theorem and a strong mixing condition // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1956. V.42. № 1. P.43-47.

286. Rosenblatt M. Remarks on some nonparametric estimates of a density function // Ann. Math. Statist. 1956. V.27. № 3. P.832-835.

287. Rosenblatt M. Independence and dependence // Proc. 4 Berkeley Sympos. Math. Statist, and Probability. Berkeley-Los Angeles: 1960. V.2. P.431-443.

288. Rosenblatt M. Conditional probability density and regression estimators // Multiv. Analysis II. N.-Y.: Academic Press. 1969. P.25-31.

289. Rosenblatt M. Density estimates and Markov sequences // Nonparametric Techniques in Statistical Inference. Cambridge: Univ. Press, 1970. P.199-213.

290. Rosenblatt M. Markov Processes, Structure and Asymptotic Behavior. Springer Verlag, 1971.

291. Rosenblatt M. Curve estimates // Ann. Math. Statist. 1971. V.42. № 6. P.1815 1842.

292. Roussas G.G. On some properties of nonparametric estimates of probability density functions // Bull. Soc. Math. Grice. 1968. № 1. P.2943.

293. Roussas G.G. Nonparametric estimation in Markov processes // Ann. Inst. Statist. Math. 1969. V.21. № 1. P.73-87.

294. Roussas G.G. Nonparametric estimation of the transition distribution function of a Markov processes // Ann. Math. Statist. 1969. V.40. № 4. P.1386 1400.

295. Rutherford J.R., Krutchkoff R.G. Some empirical Bayes techniques inpoint estimation // Biometrika. 1969. V.56. № 1. P.133-137 .

296. Samuel E. An empirical Bayes approach to the testing of certain parametric hypotheses // Arm. Math. Statist. 1963. V.34. № 4.

297. Schucany W.R., Sommers J.P. Improvement of kernel type density estimators // J. Amer. Math. Statist. Assoc. 1977. V.72. № 358. P.420-423.

298. Schuster E.F. Estimation of a probability density function and its derivatives // Ann. Math. Statist. 1969. V.40. № 4. P.1187-1195.

299. Schuster E.F. Joint asymptotic distribution of the estimated regression function at a finite number of distinct points // Ann. Math. Statist. 1972. V.43. .N'9 1. P.84 -88.

300. Silverman B.W. Density estimation for statistics and data analysis. London: Chapman and Hall, 1986.

301. Singh R.S . Nonparametric estimation of mixed partial derivatives of a multivariate density // J. Multiv. Analysis. 1976. V.6. № 1. P.lll-122.

302. Singh R.S. Applications of estimators of a density and its derivatives to certain statistical problems // J. R. Statist. Soc. B. 1977. V.39. № 3. P.357-363.

303. Stone C.J. Consistent nonparametric regression // Ann. Statist. 1977. V.5. № 4. P.595-645.

304. Tapia R.A., Thompson J.R. Nonparametric probability density estimation. Baltimore, Mariland: The Johns Hopkins University Press, 1985.

305. Terrel G.R., Scott D.W. On improving convergence rates for nonnegative kernel density estimators // Ann. Statist. 1980. V.8. P.1160-1163.

306. Tran L.T. Kernel density estimation of random fields // J. Multiv. Analysis. 1990. V.34. № 1. P.37-53.

307. Vasiliev V.A., Konev V.V. On identification of linear dynamic systems in the presence of multiplicative and additive noises in observation // Stochastic Contr.: Proc. 2-nd IFAC Symp., Vilnius, May 19 -23. 1986. Oxford e.a., 1987. P.87-91.

308. Wahba G. A polynomial algorithm for density estimation // Ann. Math. Statist. 1971. V.42. № 6. P.1870-1886.

309. Watson G.S. Smooth regression analysis // Sankhya. Indian J. Statist. 1964. V.A26. P.359-372.

310. Wolverton C.T., Wagner T.J. Asymptotically optimal discriminant functions for pattern classification // IEEE Trans, on Inform. Theory. 1969. V.IT-15. № 2. P.258-266.

311. Wolverton C.T., Wagner T.J. Recursive estimates of probability densities // IEEE Trans. Syst. Sci. and Cybernet. 1969. V.SSC-5. № 3. P.246-247.

312. Yamato H. Sequential estimation of a continuous probability density function and mode // Bull. Math. Statist. 1973. V.14. № 1-2. P.l-12.

313. УТВЕРЖДАЮ" Прорек^е^^щебной работе ТГУо °,>(.у»о«лль.1л /'•< t . 'Л ' Ш) / \про^ссуор свушкин A.C.2000 г.1. АКТо внедрении результатов диссертационной работы в учебный процесс

314. Указанные результаты включены в следующие курсы:

315. Прогнозирование социально-экономического развития, 5 курс ФПМК,

316. Математические модели страхового и банковского дела, 4 курс ФПМК,

317. Моделирование социально-экономических процессов, 5 курс МФСХ,

318. Математические модели социологии, 3 курс ФсФ.1. Декан ФПМК ТГУ, д.т.н.,профессор //■ А.М.Горцев