автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Непараметрическое оценивание нелинейных функционалов

РГ6 од

Министерство науки, высшей шкоды и технической политики / 3 МАИ 1393 Российской Федерации

Сибирский ордена Трудового Красного Знамени физико-техническии институт им. В.Д. Кузнецова

при Томском ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового

Красного Знамени государственном университете имени В.В.Куйбышева

На правах рукописи

РШШН Валерий Иванович

УДК 619.281

НЕПАРАМЕГРИЧВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моде дарования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1993

Работа выполнена в Сибирской ордена Трудового Красного Знамен» физико-техническом институте им. В.Д. Кузнецова при Томском ордена Октябрьской Революции И ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.В. Куйбышева.

Чаучный руководитель

кандидат технических наук.

доцент

Кошкин Г.М.

Официальные оппоненты:

¿едущая организация

доктор физико-математических

наук.

профессор

Терпугов А.Ф..

кандидат, физико-математических

наук.

с.н.с.

Шумилов Б,М.

Институт проблем управления

Защита состоится "

.1993 г. в

часов на заседании специализированного Совета Д 063.53.0$ Томского ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.В. Куйбышева С6340Ш. Томск, пр. Ленина. 36).

с диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Тсмского государственного университета.

Автореферат разослан

1993 Г.

Ученый секретарь сиециалшпгованного Совета, лн ни дат фиэикп-математич^гтсих тук ,

доиепт.

6) А.

/

Ь.К.'Гривоженко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Широкий класс статистически! задач решается с привлечением оценок различных функционалов от распределений. Проблема качественного оценивания функционале® в условиях априорной неопределенности в настоящее время становится особенно актуальной. Актуальность данного направления вытекает из того, что все чаще на практике приходится работать в условиях очень скудной априорной информации - полная априорная определенность является экзотикой применительно к практическим задачам. Использование параметрического подхода в таких условиях зачастую не дает хороших результатов - при явном отличии истинного распределения от предполагаемого проверка корректности многих выводов (таких, например, как доверительное оценивание или проверка гипотез). полученных в рамках принятой параметрической модели, перерастает в сложную проблему. В таких случаях разумно отказаться от стандартной процедуры конкретизации модели и применять непараметрические методы.

Необходимость непараметрического оценивания функционалов все чаще проявляется как в задачах анализа статистических данных: - при оценивании выборочных характеристик измеряемых случайных величин. . в задачах оценки функций параметров, в задачах проверки гипотез , при фильтрации процессов, при обнаружении и выделении сигналов, в распознавания образов и др., • так и в задачах статистического синтезу адаптивных систем, подверженных случайным воздействиям: при идентификации. в управлении объектами и технологическими процессами, в задачах адаптации, при синтезе систем массового обслуживания и сетей ЭВМ. в задачах функционального шкалирования.

Данная диссертационная работа, посвященная- оцениванию функционалов в условиях непараметрической неопределенности, имеет непосредственное отношение ко всем вышеперечисленнш приложениям математической статистики.

Цель работы. Целью работы является разработка и исследование процедуры получения сходящихся в среднеквадратичном оценок нелинейных функционалов в условиях непараметрической априорное неопределенности1).

) везде далее такие процедуры называются СК-процедурами

Методика исследований. В работе ипользуются метода теории вероятностей и математической статистики, функционального и математического анализа. а также методы статистического моделирования на ЭВМ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложена и исследована СК-процедура оценивания функционала

Н(?(*)) - н(г'®'С2).г'Г',сг).....^-'оп]. СП

где Н:I?**1—>(?* - заданная функция; Г,В>С5Г) - Г(5?);

Р'7СЯ) £ —--;-;----С2)

. Ил 3* - зт

»X, "хг . . . -вХт

- смешанная производная порядка ц»1 ■ Сг.,* . ■» г^) функции распределения Сф.р. ) Г(г) исходной выборки Хп в некоторой фиксированной точке г« (?".

2. Предложена и исследована СК-процедура оценивания функционала, непрерывного в равномерной метрике:

— »(г,в,Ся).Р,г.,(Я).. .^.'ог)). (3)

если max sup F J (Й) - F J (Й)| —О. j-О.» ' г 1 1 "

3. Показано, что при определенных условиях регулярности.

накладываемых на FCs?). скорость сходимости СКО предлагаемых опенок может быть как угодно близкой к 1/Ь, где п - объем выборки Показана асимптотическая нормальность предложенных оценок.

4. Решена задача оптимизации предложенных процедур в условиях слабоэависимой выборки с равномерно сильным перемешиванием.

6. Исследованы алгоритмы, реализующие СК-процедуры оценивания Функционалов (Пи (3) на основе использования ядерных оценок ф.р. и ее л[юизводных: получены асимптотически оптимальные значения параметров размытости и скорости сходимости . СКО предложенных оценок и'нулп.

Нраьтаческпя центу». результатов исследований. Предложенные »!К-гг>оиедури могут б'/гь шшьзогш« в качестве инструмента при теоретическом исследоиачии статистических процедур и алгоритмов, з тлк:««; в роячичгал системах. сляпанных с обработкой технических, ■Hio.r'rvwv.Kiv: и других тжоперем-.чгпльных данных. Гаиработанпое ¡!',v.-!fi.--MMi!_>e и'.'чтеч'чше p.'1'ioTH вюдаччю p ОФЛП С'Ш'. Результаты •> .tvn* игн'ш-р/'Н.чил. n x^<з,чс.р;горш« и госйряжстны? т>>м.их ООТИ.

Апробацид работы. Основные положения диссертации

докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Теория адалтивныг систем и ее применения" С Ленинград, 1983 ). на республиканской конференции молодых ученых по актуальным проблемам физики ( Ереван, 1985 ), на V и VI Всесоюзных школах-семинарах по непараметрическим и робастным методам в математической статистике С Томск, 1986. Иркутск, 1989 ). на IX Всесоюзной конференции по теории кодирования и передаче информации ( Одесса, 1988 ), на XI Всесоюзном совещании по проблемам управления С Ташкент. 1989 ). на республиканской научно-технической школе-салинаре "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭВМ" СОдесса. 1990 ). республиканских научных конференциях по математическому обеспечению анализа данных и моделирования С Минск. 1990. 1992 ). на Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991 3 , а также на беминарах СФТИ и кафедры теоретической кибернетики ТГУ.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 17 печатных работ.

Структура работы и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав. заключения. списка использованной литературы. приложения с документами. подтверждающими' практическое использование результатов, исследований. Содержание работы изложено на 173 странице машинописного текста, иллюстрировано рисунками и 6 таблицами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, устанавливается круг вопросов, рассмотренных в диссертации, проводится обзор известных работ данного направления.

.В первой главе разрабатывается и исследуется СК-процедура оценивания функционалов типа С1) по выборке зависимых случайных величин с равномерно сильный перемешиванием.

- в §1.1 показано широкое использование функционалов (2) при решении различных задач математической статистики С теория надежности и массовое обслуживание, проверка гипотез-, оценивание кривой регрессии и др. ). Формулируется постановка задачи.

- в §1.2 вводятся обозначения и определения, необходимые для решения поставленной задачи. На протяжении всей работы:

< з?(п рт> - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин, удовлетворявших условию равномерно сильного перемешивания (РСП) с ф.р. Г(2). В качестве оценок ф.р. и ее производных Г'^Чг) рассмотриваются оценки ядерного типа

Выбор ядерных оценок (<1) типа Розенблатта-Парзена обусловлен следующими обстоятельствами: использование таких оценок обеспечивает эффективность теоретического анализа полученных на их основе статистических процедур и алгоритмов; ячерные оценки просты и удобны в практическом применении, имеют возможность модификации (выбор формы ядра, параметра размытости и др. ).

Определение 1.2.1. Последовательность н а ь(п)

положительных вещественных чисел ь« Кк. ь« если она

удовлетворяет соответвенно условиям

♦ —к^ТГ.) - "»(»• ♦ 1-е - О-

"-»•» пЬ 4 ' п п

Определение 1.2.2. Функция г® N,(5?). если г (г) абсолютно

пт (VI .

непрерывна на I? и имеет непрерывную производную г (я) порядка

* (V)

г в точке я; N,(7), если ге Н,(я) и *ир1г (*)!< в< у< ■

ге N„0?™), г® ес/м г(й) удовлетворяет

соответственно условиям N„0?X г« Ы'Сг) при любых Г?™.

Определение 1.2.3. Ядро К(и)е Ц, если К (и) измеримо по

Ьорелю. причем Х1К(и)1аи<о>: КСи)^ если К(и)е Ц.зирИКхОк®.

К/а У I.,. если КГ (и,)« Ц: . если Кг (и, > I.*,

Определение 1.2.4.

КСиУт 1т , ,ЕСЛИ

Ун и

пм.ТГТ 1(-отс»>.

^ >*у Ки>2, „.если

К («, > 1Щ „

' о , .)■

Определение 1.2.5. Ядро К(и> Л, если К (и) абсолютно непрерывно из К*. К (и) ■ К (-и). | К(и)1и -I :

Кшг и. есл:1 К (и> У У.. К' £ Л п Ц : К* - К П Ц.

На практике часто приходится иметь дело

5

последовательности! наблюдений, которые получены из стационарных последовательностей из класса Звчр:

Определение 1.2.6. Последовательность { г(п)>еБеЧр, р-о. если для ее коэффициента перемешивания *>,(р) 11] справедливо

(РХ

- в §1.3 приводятся и доказывается утверждения и леммы, носящие вспомогательный характер. Имеют место

Лемма 1.3.5. Пусть ь« К0: *ир|К0(и)| < К"УСи>1-*.

I

если г> 1. Пусть, кроме того, г« М0Сй. Тогда для всех и « 2.3...

вдгн!*»..

Н.дп<Г> «дмг > г -1>дп(г>

5 п>) ы

ЧН )

Лемма 1.3.6. Пусть {2(п) Эед^. Р >1; ь«= й;п . Тогда в условиях леммы 1.3.5

л , пЬ

- в §1.4 исследуются асимптотические •свойства векторной статистики еп ■ [ Г^5' (г)... • .Р^-Чя)}.

В рассмотрение вводится неограниченно возрастающая числовая последовательность <1п , определяемая равенством

А- »гь V

/ , .аГтвдмГ >

) 1 1

Следующая теорема устанавливает асимптотическую нормальность сп.

Теорема 1.4.1. Пусть '

1. { гС"»« 8ечр. Р> 1. причем М'Сй. а >

2. Ядерные функции таковы, что ячр|ко(о)| < <»; дш К0(а) - О';

и ■

к'о)* к. к'^'о> I]. г»>'\; 11м К'и) - 0. ^ I i * Iй I

3. Параметры размытости удовлетворяют условиям

ь0« К0; »V5 если

^ V

Тогда СпСг) - тСг)) (-> 3; И ).

*

где

*

О

,0«в, < ».

- в §1.5 наюдятся условия корректного использования метода лршой подстановки при оценивании функционала (1). Достаточные условия для того, тгобы отображение НгИ"1 —»й1. определявшее функционал Н {?№)]. допускало корректное использование пржюго метода подстановки, даются в пл.1-4 теоремы 1.5.3.

Положим: С„(7) в («.„,00.. ■ .«..„С*)). 4,00 = Г'^'.С»)

«»<*> »Я,») - [ .....твСя) ]. т1в») - ЧГ'У ОО.

Теорема 1.5.Э. Пусть <йСп>« ЗвЧ|>. р >1. причем Г« Н* (я>.

«>',*»■ Пусть, кроме того,

ьов I • если г, > 3:

' I») . _

2. И. К Си) - 0; На К о) - О, »."ТГТГ^Г:

и -*-<ъ | и | -»т а*

II) <Г>

К к,Ж; К (и> 1Л_Т в;

> > I

3. Н(г) » Н(*0.....г,) - вешественная функция, которая в

некоторой окрестности Ое(Г) непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные по аргументам й* ;

4. Для любых исходных выборок Хп функции , |НСС„)| • мажорируются последовательностью С,^. где С,.»-> 0 .

Тогда полученная методом подстановки оценка НССп) сходится

к Н(П при п —в среднеквадратичном,. Асимптотически

минимальная среднеквадратическая ошибка (СКО) ) при этом

есть *(!«!-»,)

г л* г Г5757-*

ИНК,,) » Е[ НСС^) - Н(Т) ] а [„] .

- в §1.6 вводится в ■рассмотрение и исследуется процедура усечения больших значений статистики Н(£„(к)): _ •

Н(СП) . если |н(Сп)| < С<£ ! г

. ^дпШСС,,^,,. если [нссп>| > . порождающая класс Усу(н; "усеченных" функционалов, не равных исходному НСГОО). но сходящемуся к нему в среднеквадратичном.

Следугдая теорема дает условия, при которых ОСС,,)^-^*. в(*).

Теорема 1.6.1. Пусть элементы выборки X „ взяты из

последовательности слабозависим ta случайных величин { яСп) >« Seqp,P>l. причем F« N*(sô; =к > rJk+i. j-"57ï; t-ТХ

Пусть, креме того.

1. ha« h« *;Г). i > о;

i

2. Ни K0(a >0; Им f(u Г' k "cu?1-0. J- l.r. -1;

u-»-«> |u|-»a>1 kl 3 _ _

,r> - ,i> km ,-m-

« V; « o> z,.^;

3. H(2) - H(zD,... )- вещественная функция, которая s некоторой окрестности Oe(ï) нелрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные по аргументам z^.причем » > н.(?) >0;

4- б(Сп)е ЯевСн). где

""jrg^i'yl Ve,lî! 9 " ^г^ТТ- W

Тогда усеченная оценка G (cn)s 5ctf(H) сходится к H(-f) при п в среднеквадратичном. При этом асимптотически минимальная CKÛ WG (Сп ) равна

WG(C„ J в е( Gttn ) - НО? • ) ) -»(l«!"*, ) (l*!"1', ) *«»уш-«» Klv^-»)

( , ( 4*C«J-» ( . f <«> Ч

a

Где R

- не зависяяая рт ядерны? функций константа,

а-i ir>

Îe-i с г I

(a: к *а)аа.

в,

|Г > •»

аа +

>V >

f К)

Оптимальные значения параметров размытости при этом есть -

<f*v_-i I

а.

т fitew.-i XfcOi ^«¡(¡n 1 lUiccw.b'fF'Îstjj'n

(2»г ПСа-уО H.Cf Ь. (ar.-i)(e-wri> Hj

где «в {«! . , " ^ г«-

44 14

Эффективность предложенной схемы усеченного оценивания подтверждена результатами проведенного на ЗШ .моделирования.

- в §1.7 исследуются интегральные характеристики "усеченнойг оценки 0(Еп > 5»р(н). С целью получения оптимальности -в среднем"

рассмотрена следующая оптимизационная задача:

иски: = |е[ - нс?^аг-► пап

Теорема 1.7.1. Если выполнены все условия теоремы 1.6.1, n^>1 '> г.+г. ртг., функция н(2>НСг„, .. ■

».11 <г '

):??**на множестве Ф - и т<ге К**1 : \z.-F ' 5? )|<е,

___

^о, * > непрерывна и имеет непрерывные первые и вторые производные по всем аргументам и, кроме того, существуют интегралы

-Ян.С?^)^ : А - ¿ {[н/ГЧ^^]

Тсгда усеченная оценка вСГ^), определяемая соотношениями (Ы и (£) . сходится в среднеквадратичном к нсо во всех точках г« 1?" при п—►<». Оптимальное иско при эта/ -тшеделяется выражением

IV -I 2 1(+.и »

> » ■

(4] [*

Jct-i

2 Со-». Ук,

* i

2Ca-w,

Вторая глава посвящена дальнейшему развитию предложенной в первой главе процедуры оценивания нелинейных функционалов, её ойобшению и распространению на .пространство функционалов, непрерывных в равномерной метрике. В данной главе разработана и, исследована процедура СК-оценивания функционалов типа (2) по выборке зависимых случайных величин из класса Seqp. рЧ.

- в §2.1 показывается широкое применение функционалов О), непрерывные в равномерной метрике в различных теоретических и прикладных исследованиях. К этому классу функционалов относятся, например, функционалы интегрального типа

Jj.. jrfr'3'Cs?),F"V (я).....F'VesoJdFes?), статистика к' и

многие другие. . '

- Z _ вводятся необходимые -понятия. обозначения,

определения: F**' * [р - С*>„,.. , P. X p^R"-* R*. *>,«= N* (R" )} -

s. ft-мерное ¿г/нкциональноо пространство. Элемент пространства Г*** подставляет собой вещяственнозначную функцию с нормой |рГ - max. sup |р СО )| •

I = г. ■ |Т 1

Определение 2.2.3. ? « »p (s?).. если существует такой ограниченный линейный оператор L?. что для любого оо з ¿>о. при котором из неравенства следует неравенство

1 Jfj+ri - - LjjP | « «|р|.

)-fCi)| ,.

Для любого V* *Р (х) обозначим с* ) - Um -, '

т —>о т

где рх 5 (0.0, .pj* Г1.0, .0)

такая вектор-функция из

F . у которой не равна нулю только ая компонента.

»i.tijÄ Um ---M---

TJ— °l TJ

Все обозначения и определения $ 1.2 остаются в силе, -в §2.3 получены вспомогательные результаты:

Лемма 2.3.1. Пусть h« Я0: *ир|К0Си)| < k'/i' («> Lt\

i

Если при этом г« М0СЮ. то тогда для всех я » 2.3....

Лемма 2. 3.2. Пусть <я(" Seqp. р > 1: *>в Если при этом справедливы условия леммы 2.3.1. то тогда

I Е(Со»J - | . 7)

Iii

й Лемма 2.3.3. Пусть h« К а> К:

llmKoCu>0: Um К uVO. J- « .rt-1

|u| -К» i

и -+-00

F" N*(R): <y» a-r -0 .

-я-г.

r (I!

„Й)-Г Й) .) н Ja К fer/g?M +*[* r)

Тогда

EntC •

Лемма_<L.3J>_. Пусть выборка

X„

осуществлена d?

fC)f>» H*CR); а элементы ядерных оценок удовлетворяют условия*

itt <г>'

h* supIK,,е.. )!<«-: lim |K„(u )|»0; К К: К «У- L,, in'l.

РСП-последовательности < , р>1: при этом

Я

В этих условиях для матрицы ковариаций

9Ctn) - | со>СЧп<я).^Су>= Г' |

статистики

v> Ct0n.t,„... .¿„J- f"1

справедливо соотношение

«О о

и» а„В«п).

n —*СО

s М. О < |е ist,y)I < j

о е. (Я,?)

-в §2.4 приведено с доказательством обобщение теоремы J из 12 ] на случаи непрерывного функционала от многомерной в екторной статистики <«.,„.... t.n) Е ¿*п« Г**1 . Обозначим:

- векторная функция; F"'« т„ 4 Etn -математическое ожидание ее оценки.

Теорема 2.4.1. Пусть v j • D,s :

П -•J-!;;!., г . I.2.... ;

2) 11« 4„-=ог[ц„йГ (jOl - UjCK.fJ. №|в (Я.у)|<® ;

л —f 00 « ■

3) u. |t - т| . 0;

г -»<» . г - ■

4) fCz) - J(z0.... .z,)^ фр (тп) - вещественный ^ункиионал. который в' некоторой окрестности точки т„

имеет непрерывные первые и вторые производные Фреше;

6) для всевозможных значений выборки Хп последовательности

функционалов |ь)п|. j»Ctn мажорируются последовательностью С,^, где С, .у - неотрицательные постоданые.

Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины !((?„Сх )) выражаются формулами"

E»(in). *Cfr)+ ©(-^i)-

ova'*)- ir efi»]' 1>e>0-

ГДЙ avi * )[», Cr„ ? >}}

в £2-5 вводится в рассмотрение класс усеченных*

«

функционалов 3 (»). определяемый с подовью процедуры 'г -г

\ »со.

если |'сГ„)[ < С^

(»а„)). если |»сС„)| > с/„ .

Следующая теорема дает ответ на вопрос о том. каковы должны быть величины си у. при которых усеченный функционал »^С?) сходится к *(т) в. среднеквадратичном.

Теорема 2.5.1. Пусть элементы выборки хп взяты из генеральной совокупности .слабозависимых случайных величин { хп>е !3ечр.р> 1, причем Г«Н*СГО: «к > г^+1. J- 0,«{ к- 1.т. Пусть, кроме того.

1ьов Но; )» если Р, > 3:

(<\-гы*> О» 1 _

Си) К Си) -0. Л- 1.гк. - 1; —— ш ' _ ' _

к* 1,я; I* 1.1».

<Г>

К о>» К: *(а>

3. *р*С*) для любой функции 1 из "окрестности" Г. Если при этих условиях > ггс Л(*). где

Г | I 1 a,<,,

с' з гь I Т I ■0) г / г * " - -7Т -

то тогда 5сС„) »(г) при п—»» . Асимптотически

оптимальная .СКО КУ(1п) при этом определяется выражением

- е( *ап> - 9СТ ) ] а [-¿-г(я:)

С«»!"«.) »<•<-»>

,[».(?>[».сг^сг.у)}}] ,1В1" .с?)])'"""

где у - константа, не зависящая от ядерных функций:

* •

Го. г-у ,

я, - [(а: К '«ЯП: «г (я.у) - ,

• J , • ГГк 'СП)]« 4

л1» ; »«)

'Оптимальные значения параметров размытости при этом равны:

к

Ь)" са,.-1 )(<*-«, > «га

2Са~».>«* (2)} п

Следующая теорема устанавливает ' предельный закон распределения статистики ?(Гп)е ЗсуС»).

Теорема 2.5.2. В условиях теоремы 2.5.1

У(СП) - ЗГС?) } (-> N,0«,:

где и, - £ ^«^(г). цг - ».Стп>».(гп)|ег (й.у-)|

■ Третья глава посвящена получению оптимальной формы ядерных функций, доставляющих минимальное в асимптотике значение СКО оценок вССп)е *сйСн) и УсуС!).

- в §3.1 обосновывается задача поиска оптимальной фориы ядерных функций и делается краткий обзор работ соответствующей направленности. Показано, что искомое многомерное ядро является решением следующей оптимизационной задачи

И'--™

1С*-»

+ №1П

К (п)

при ограничениях ' • ' ",."•,

' и» К„Си >«0; 1Хт [(ц)° 41 ' к",Си))«0. и -♦-а» ' Iй | __•

к» ,% , • ; ъ« I,т.

»Ги)* К: гз_г,в

- в §3.2 осуществлено решение (7) для случайной выборки Хп.

Определение 3.2.1. К(и> если

удовлетворяет следующим условия!:

(7)

КС")

К

1. КСи) имеет компактный носитель (а.ь). -» < а < ь < •»«>:

2. К(и)я N СхЭ для каждого х« 1а.ь):

** о> <»

3. выполняются граничные условия гладкости К ЦЖ $>>.0

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.6.1 при следующих дополнительных ограничениях 1. Хп случайная выборка;

2-С* ()•

Тогда оптимальная форма многомерного ядра, минимизирующего асимптотическое значение СКО оценок всс^ > ) и ' Эе;вС?) определяется следующим образом:

«"-'(а). П К"~>(и).

где К""'(и) - )

I »о

- полином степени «-3 с коэффициентами

п- сосуда:»

если •-«♦I четно; . 0, если « -«и нечетно .

- в §3.3 найдена оптимальная форма ядра в случае зависимых наблюдений выборки Хп. Основной результат содержит

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.6.1 и. кроме того, для коэффициента взаимосвязи г, элементов выборки Х„ справедливо неравенство

у, » гОо|(к'г«'(и)] «ш.

Тогда оптимальное ядро, минимизирующее асимптотическое значение СКО оценок 0(Гп > Рс 9(н) и У> '<.ч, в(?). является

полиномом и определяется следующими соотношениям.

«С'-'«-'• Й-

где к"(..> - - ¿[(«Г" « ].

коэффициенты

/И

•К. -Р

являются ретениши системы

Е к«1

ъ

»Ц^-к >1 * *ат

- Р

»(»е^Чс^ >1 + *Рй,ь-Л )+Г

т

ЕЕ

к =0 ^ =0

ар

Приведены оптимальные ядра, полученные из решения при различных значениях параметра ыа1.

Четвертая глава посвяшена различным приложения* предложенной в „ предыдущих главах методики СК-оценивания. Рассмотрены применения в задачах оценки расстояний между распознавания близких гипотез, статистического

ее

возможности распределениями анализа СМО.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Развит подход к оцениванию нелинейных функционалов (1) в условиях лепараметрической неопределенности: предложенные оценки расширяют возможности традиционных ядерных приближений как по точности восстановления; так и удобному способу практической реализации.

I- Предложены у исследованы алгоритмы СК-оценивания функционалов типа (10 по слабозависимой выборке.

3. Представлена • процедура получения сходящихся в среднеквадратичном оценок непрерывных в равномерной метрике .функционалов (3) по стационарной выборке.

4. Исследованы алгоритмы, реализующие СК-оценивание функционалов (3) на основе использования ядерных оценок ф.р. и ее производных; получены асимптотически оптимальные ' значения параметров размытости и скорости сходимости СКО предложенных опенок к нулю.

6. Показана асимптотическая нормальность полученных оценок.

6. Решена задача поиска оптимального, ядра, используемого в предложенных процедурах.

7. С дела: ю сравнение предложенных процедур оценивания, с уже известными; иокззаш ее универсальность и инвариантность при

f?

использовании в различных конкретных ситуациях.

8. Рассмотрены возможности примейения методики СК-оценивания в различных задачах математической статистики: как в теоретических, так и практических приложениях.

Литература

1. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и сташиюрно вязанные величины. - М. : Наука. 1965. - 524 с.

2. Кошкин Г.М. Об одном методе устранения смещения оценок // Теория вероятностей и ее примен. - 1987. - Т. 32. - Выл. 1.

С.147-149.

Перечень научных работ, • в которых опубликованы основные результаты диссертации

1. Кошкин Г.М.. Ршкин В.И. Асимптотические свойства ядерных • оценок логарифмической производной плотности // Ред. ж. Изв. АН

СССР. Техн. кибернет. -М.,1989.- - 25 с. - Деп. в ВИНИТИ, -N3488-B89. .

2. Кошкин Г.М.. Рюмкин В.И. То же. // Изв.АН СССР. Техн. кибернет. - 1991. -М 3. - С. 223.

3. Кошкин Г.М.. Ршкин В.И. Непараметрические критерии для регрессионной задачи проверки гипотез в условиях статистической неопределенности / Тезисы докладов Девятой всесоюзной конференции по теория кодирования и передачи информации. - Одесса: 190В. -С. 107-110.

4. Кошкин Г.М., Ршкин В.И. Непараметрическое обнаружение детерминированного сигнала // Тезисы дохлздов республиканской кон^ренииимолоднх ученых по актуальным проблемам физики / Изд-во АН Армянской ОСР. -Ереван. 1905. - С.22-23.

5. Кошкин Г.М.. Рюмкин В.И. Непараметрическое оцениспние логарифмического градиента плотности / xi всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. - Ташкент : IS.W

С.92-93.

6. Кошкин Г.М.. Рюмкин В.И. Иепараметрическое оцоцшпние логарифмической производной плотности /7 Мптрмгт'.ч-пкля статистика и ее приложения. - Томск: Томск. гос. ун-т. - ;О'Г/. • Вып. И. - С. 107-113.

7. Кошкин Г.М.. Ггмкин В.И. Оптимлл вне иеплрймотри'К" • не алгоритмы выделения сипмлов ня ifc>n-2 стяписнярной слп6доб||'Ч9к-и помехи / Математическое и nporpaeetcxt об^сп^итс un.wi.i ямшчл .

- Минек. Г.Ш. - С. И4.

8. Кошкин ГМ.. Ршкин В.И. Построение улучшенных неотрицательных ядерных оценок плотности // ОФАП СССР. - 1989. л М89056.

3. Кошкин Г.М., Ршкин В.И. Построение улучиенных ядсраьа оценок логарифмической производной плотности» - ОФАП СССР. - 1968, М 68154.

10. Кошкин Г.И., Ршкин В.И. Улучшенные ядерные оценки логари4мической производной плотности / Метода и средства статистического анализа. Межвузовский сборник научных трудов. -Новосибирск: 1990. - С. 41-49.

11. Ршкин В.И. Адаптивное обнаружение объектов в слоисто -неоднородных средах / Пятнадцатая всесоюзная школа-семинар по статистической гидроакустике. Тезисы докладов. - Владивосток: 1989. - G.62-64.

12. Ршкин В.И. Непараметрический критерий для гипотезы о сдвиге /У Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов. Тезисы докладов всесоюзной научно технической конференции. - Новосибирск. 1991. - С. 151.

13. Ршкин В.И. Непараметрическая процедура получения сходящихся в среднеквадратичном оценок одного класса функционалов У Непараметрические и робастные метода в кибернетике и шформатшсе. Материалы vil всесоюзного семинара. Часть и. -TOUCIC. 1990. - С.475-487.

14- Ршкин В.И. Ядерные оценки распределения длины требований для системы с дисциплиной разделения процессора. Респ. н.-т. школа-семинар "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЗВМ". - Одесса. 1990. - С. 207-212.

15. Ршкин В-И. Исследование сходимости в среднеквадратичном усеченных ядерных оценок функций от плотности и ее производных У У •Ред. Изв. АН СССР. Технич. кибернет. - М.. 1992. - 30 с. -Дел. в ВИНИТИ. М 1S73-B92.

16. Ршкин В.И. Построение сходящихся в среднеквадратичном оценок непрерывных в равномерной метрике функционалов У Компьютерный анализ данных и моделирование. Тезисы докладов республиканской научной школы-семинара. - Минск, 1992. - С.54.

17. Рюмкин В.И.. Трусов- B.C. Адаптивное обнаружение многоточечных объектов УУ .Теория адаптивных систем и ее применения: Всесоюзная конференция. Тезии^док.вацов и сообщений -Москва-Ленинград. 1963. - С. 194-195.