автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Решение задачи синтеза системы управления методом вариационного генетического программирования

На правах рукописи

Ибадулла Сабит Ибадуллаулы

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ВАРИАЦИОННОГО ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

05.13.01 — Системный анализ, управления и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 МАЙ 2015

Москва-2015

005568408

005568408

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Российский университет дружбы народов» на кафедре кибернетики и мехатроники инженерного факультета.

Научный руководитель: Дивеев Асхат Ибрагимович, доктор технических

наук, профессор, заведующий сектором Проблем кибернетики, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр имени А.А. Дородницына Российской академии наук

Официальные оппоненты: Никульчев Евгений Витальевич, доктор

технических наук (05.13.01), профессор, проректор по научной работе

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования Московский

технологический институт МТИ

Демидова Лилия Анатольевна, доктор технических наук (05.13.01), профессор, кафедры вычислительной и прикладной математики Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Рязанский государственный радиотехнический университет

Ведущая организация «Московский Государственный Технический

Университет имени Н.Э. Баумана», кафедра РК-6 Системы автоматизированного проектирования (САПР).

Защита состоится в^» 0^) 2015 года в '/^часов инут на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при ФГБУН Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на официальном сайте ВЦ им. A.A. Дородницына РАН (http:// www.ccas.ru).

Автореферат разослан 2015г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена решению задачи синтеза системы управления. В райках математической формулировки задача синтеза управления состоит в нахождении многомерной функции, определяющей по значениям компонент вектора состояния объекта управления такие значения компонент вектора управляшя, которые обеспечивают достижение цели управления при оптимальном значении критерия качества управления.

С позиции технической формулировки задача синтеза системы управления заключается в создании блока управления, работающего на основе реализации принципа обратной связи. Блок управления должен получать с датчиков сигналы, по которым возможно определение состояния объекта управления, и вырабатывать сигналы, по которым создаются управляющие воздействия, обеспечивающие объектом достижение цели управления с минимальным значением некоторого показателя качества.

В задачах синтеза управления необходимо найти обратную связь, которая обеспечивает выработку управляющего внешнего сигнала по состоянию объекта, при этом объект перемещается в заданное целевое состояние, т.е. решается задача достижения цели управления, а величина некоторой оценки качества движения объекта в пространстве состояний принимает минимально возможное значение.

Основным способом решения задачи управления, обеспечивающего достижение цели с минимизацией критерия качества, сегодня является оптимальное программное управление. Задача оптимального управления также включает цель управления и критерий качества управления, который необходимо минимизировать. В отличие от задачи синтеза управления в задаче оптимального управления для объекта строго заданы начальные условия, или они находятся в процессе решения задачи из условий трансверсальности. В результате решения задачи оптимального управления находят управление как функцию времени, т.е. функцию, не зависящую от состояния объекта управления. При реализации такого управления на реальном объекте, как правило, в начале определяют с помощью моделирования оптимальную траекторию движения объекта в пространстве состояний, а затем с помощью систем регулирования обеспечивают движение объекта в окрестности заданной оптимальной траектории.

В отличие от программного управления, реализуемого в результате решения задачи оптимального управления, в задаче синтеза системы управления начальные условия заданы ни одной точкой в пространстве состояний, а в виде области или множества точек в пространстве состояний. Полученная в результате решения задачи синтеза синтезирующая функция обеспечивает оптимальное перемещение объекта управления из любого начального состояния из данного множества в терминальное целевое состояние. Если начальные условия в задачах оптимального управления и синтеза управления совпадают, то полученная синтезирующая функция дает те же значения управления во времени, что и оптимальное программное управление, полученное в результате решения задачи

V

оптимального управления. В этом смысле решение задачи синтеза управления эквивалентно решению множества задач оптимального управления.

Диссертация посвящена решению задачи синтеза системы управления численным методом вариационного генетического программирования.

Математические методы решения задачи синтеза управления делятся на два подкласса. Это методы, основанные на использовании аналитических подходов к решению задачи синтеза и, непосредственно, численные методы, ориентированные на машинном поиске решения без предварительных аналитических преобразований.

Проблема использования метода генетического программирования для решения задачи синтеза системы управления заключается в наличии жестких требований, которые выдвигаются к возможным решениям, это выполнение краевых условий, описывающих цель управления, минимизация критерия качества, и выполнение, как правило, неформального требования по обеспечению устойчивости замкнутой системы управления. При экспериментальном исследовании метода генетического программирования было установлено, что подавляющее большинство элементов во множестве случайно сгенерированных возможных решений не удовлетворяют заданным требованиям, поэтому поиск решения и должен осуществляться на достаточно большом множестве. Вторым недостатком генетического программирования является процесс декодирования искомой функции по строке записи. Для получения математического выражения из кода польской записи необходимо наличие лексического анализатора, который переводит коды символов в коды соответствующих функций. Третьим недостатком метода генетического программирования является сложность выполнения операции скрещивания, которая осуществляется только в точках, где символы описывают функции с одинаковым количеством аргументов, а выполнение операции скрещивания осуществляют с помощью сложного алгоритма обмена подстрок разной длины.

Для усовершенствования метода генетического программирования с целью его применения к решению задачи синтеза управления в 2006 году профессором А.И. Дивеевым из Вычислительного центра им. A.A. Дородницына Российской академии наук был разработан метод сетевого оператора. Метод позволяет представлять математические выражения в виде ориентированного графа и записывать этот граф в память вычислительной машины в форме целочисленной матрицы. Существенными преимуществами метода сетевого оператора являются использование при поиске принципа малых вариаций базисного решения.

Диссертационная работа посвящена решению задачи синтеза системы управления динамическим объектом новым вычислительным методом вариационного генетического программирования. Применяемый новый метод вариационного генетического программирования построен на основе заимствования идей из двух известных методов символьной регрессии, метода генетического программирования и метода сетевого оператора. Из метода генетического программирования заимствована структура данных для описания математического выражения. Данная структура расширяет класс используемых

функций по сравнению с методом сетевого оператора, так как позволяет включить в математическое выражение функции с любым числом аргументов, некоммутативные и не ассоциативные функции. Из метода сетевого оператора заимствован поисковый генетический алгоритм, построенный на основе принципа малых вариаций базисного решения. Применение данного алгоритма в методе генетического программирования сужает пространство поиска и повышает его эффективность для сложных задач синтеза за счет удачного выбора базисного решения. Использование в методе генетического программирования принципа малых вариаций базисного решения объясняет название метода вариационного генетического программирования.

Сегодня решение задачи синтеза управления необходимо для создания автоматических роботизированных устройств, мобильных роботов, беспилотных летательных аппаратов и др. Существующие методы синтеза систем управления, построенные на основе методов сетевого оператора и генетического программирования, используют ограниченный набор функций и требуют больших вычислительных ресурсов.

Применение нового эффективного вычислительного метода для решения задач синтеза управления сегодня востребовано современным этапом развития технологий и еще не было реализовано. Этим объясняется актуальность темы диссертационной работы.

Объею- исследования

Объектом исследования является система управления мобильным роботом, модель которого описывается системой ОДУ.

Положения, выносимые на защиту

1) Решение задачи синтеза системы управления относительно новым вычислительным методом вариационного генетического программирования, построенным на основе методов сетевого оператора и генетического программирования.

2) Вычислительный эволюционный алгоритм, использующий принцип малых вариаций базисного решения для метода генетического программирования.

3) Решение задачи синтеза системы управления мобильным роботом с помощью метода вариационного генетического программирования.

4) Комплекс программ, реализующий вычислительный метод для решения задачи синтеза системы управления мобильным роботом.

Цель и задачи диссертационной работы

Цель диссертационного исследования заключается в применении нового вычислительного метода вариационного генетического программирования для решения задачи синтеза системы управления.

Для достижения поставленной цели в диссертации необходимо решить следующие задачи:

1. разработать алгоритм решения задачи синтеза управления вычислительным методом вариационного генетического программирования, построенным на основе методов сетевого оператора и генетического программирования;

2. разработать эволюционный алгоритм поиска оптимального решения на основе принципа малых вариаций базисного решения в методе генетического программирования;

3. решить задачу синтеза системы управления мобильным роботом с помощью метода вариационного генетического программирования.

Научная новизна диссертационной работы определяется решением задачи синтеза системы управления вычислительным методом вариационного генетического программирования.

Теоретическая значимость работы заключается в анализе работоспособности алгоритма для поиска решения задачи синтеза системы управления, построенного на основе принципа малых вариаций базисного решения в методе генетического программирования.

Практическая значимость работы заключается в том, что применяемый новый вычислительный метод предназначен для решения задачи синтеза систем управления, и в диссертационной работе новый метод применен для решения задачи синтеза системы управления мобильным роботом.

Методология и методы исследования, используемые в диссертационной работе, основываются на программной реализации используемого для решения поставленной задачи метода вариационного генетического программирования и подтверждении результатов на основе моделировании полученной в результате синтеза системы управления.

Предметом исследования диссертационной работы является применение нового вычислительного метода вариационного генетического программирования для решения задачи синтеза системы управления.

Публикация

Основные положения исследования отражены в 9 публикациях автора, из которых 3 работы, опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК РФ. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях.

Апробация результатов

Основные положения исследования докладывались и обсуждались

- на международном симпозиуме «Надежность и качество» в г. Пензе в 2014 г.;

- труды одиннадцатого международного симпозиума «Интеллектуальные системы- INTELS'2014» в г. Москве в 2014 г.,

а также на семинарах кафедры «Кибернетики и мехатроники» в Российском университете дружбы народов (РУДН), на заседании кафедры РК6 "Системы автоматизированного проектирования" (САПР) в «Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана», и в отделе «Нелинейного анализа и проблем безопасности» в Вычислительном центре им. A.A. Дородныцана Российской академии наук (ВЦ РАН).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Диссертация содержит 88 страниц текста из 127, включает 30 рисунков, 2 таблицы. Список литературы содержит 63 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы предмет, цель и задачи исследования, методы исследования, новизна научных результатов и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертации.

В первой главе диссертационной работы рассмотрена формальная постановка задачи синтеза системы управления. Приведен обзор известных вычислительных методов синтеза систем управления. Представлено краткое описание метода сетевого оператора и используемого в нем принципа малых вариаций базисного решения.

В работе рассматривается задача синтеза системы управления. В задаче задана математическая модель объекта управления в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения должны описывать динамику объекта управления и включать в правые части дифференциальных уравнений ограниченный по величине вектор управления. Для модели объекта управления задана область начальных условий. Задан в виде функционала критерий качества управления. Заданы в форме многообразия терминальные условия, к которым управление должно привести объект за конечное время. Необходимо найти управление в виде системы нелинейных уравнений, описывающих функциональную зависимость значения вектора управления от значений вектора состояния объекта управления.

Задана математическая модель объекта управления

x = f(x,u), (1)

где х - вектор состояния объекта управления, xeR", х = [х, ... х„]Г, и -вектор управления, ueUcR™, u = [«, ... umY, U - замкнутое ограниченное множество, т<п, f(x,u): R"xR™ ->R", f(x,u)= [/¡(x,u) ... /„(x,u)]r.

Задана область начальных значений

Xo£R\ (2)

где Х„ - замкнутое ограниченное множество. Заданы терминальные условия

й(хУ=о,г=й, (3)

где 1<п, 1{<1\ I* - заданное предельное время процесса управления, 0 < Г* < со. Задан функционал качества

V

./= |/0(х,и)Л->тт, (4)

о

где величина 1/ определяется выполнением условия (3), функция /0(х,и)

ограничена снизу, /¡,(х,и): Я'хК" —>К'.

Необходимо найти управление в виде

и = Ь(х), (5)

где функция Ь(х): Я" -» Я'", Ь(х) = [Л,(х) ... Ип (х)]г, обеспечивает для частного решения х(г,х°) замкнутой системы дифференциальных уравнений х = вычисленного для начального значения из заданной области (2), х(о) = х°еХ0, следующие свойства:

а) выполняются терминальные условия (3), т.е. такое, что

й(х(^,х°))=0, / = й;

б) выполняются ограничения на управление ь(х(/,х°))е и, 0 < / < ^;

в) значение функционала (4), вычисленного для полученного решения, принимает минимальную величину

}/0(х(г,х");Ь(х(г,х0)))л = тт}/0(х(/,х')и«)л, (6)

О пК г о

где х(?, х°) - решение системы уравнений х = Г(х,и(/)) для тех же начальных условий х(о)=х°еХ0 и управления и(/)е1), которое подобрано так, чтобы решение в момент Су < , то же удовлетворяет терминальным условиям (3) 0>,(х(/мхо))= О, ¡ = 1,1, при этом tf не обязательно равно 7(.

Во второй главе приведен исследуемый вычислительный метод вариационного генетического программирования для синтеза системы управления. Приведено описание метода генетического программирования. Описаны малые вариации структуры данных, используемой в методе генетического программирования, Описан эволюционный генетический алгоритм для решения задачи синтеза системы управления методом вариационного генетического программирования. Приведен сравнительный пример решения задачи синтеза системы управления для объекта, описываемого математической моделью «хищник-жертва» методами генетического программирования и вариационного генетического программирования.

Методы, на основе идей которых был создан метод вариационного генетического программирования, представлены на рис. 1.

8

Как видно из рис. 1 метод вариационного генетического программирования [11,14] относится к эволюционным методам поиска решения. Основными источниками для создания метода вариационного генетического программирования являются метод генетического программирования и метод сетевого оператора.

Вычислительные методы I

^ г

Точные решения Приближенные решения

Эволюционные алгоритмы

Рис. 1. Источники создания метода вариационного генетического программирования

На рис. 1 использованы следующие обозначения: PSO — алгоритм «роя -частиц» (particle swarm optimization), ГА — генетический алгоритм, ГТ1 -генетическое программирование, ГЭ - метод грамматической эволюции, АЛ — метод аналитического программирования, СО — метод сетевого оператора, ВАП -метод вариационного аналитического программирования, ВБР - принцип малых вариаций базисного решения, ВАП — метод вариационного аналитического программирования, ВГЭ - метод вариационной грамматической эволюции, ВГП — метод вариационного генетического программирования

Метод вариационного генетического программирования использует принцип малых вариаций базисного решения, который успешно применялся для решения различных задач синтеза управления в методе сетевого оператора.

Принцип малых вариаций базисного решения задает множество возможных решений в виде множества упорядоченных наборов вариаций одного возможного решения, называемого базисным.

G(S0)={W„...,W„}, (7)

где S„ - код записи базисного решения,

S0=(S01,.(8)

50/ = [у,0,1 5,°' - количество аргументов функции, - номер функции,

¡ = \,Ьа, Ьа - длина кода записи базисного решения, ¿„ < , Ь^ - заданная предельно возможная длина записи, - упорядоченный набор вариаций,

^^'•'„.„лу''),/ = ГЯ, (9)

тм1"' - код описания малой вариации,

... ¡ = Щ, ] = (10)

/ - длина набора вариаций, V - размерность вектора кода описания вариации.

Принцип малых вариаций базисного решения предполагает построение любого возможного решения в виде вариаций базисного решения

= ^ о Бц, (11)

(12)

Длина / набора малых вариаций определяет максимальное количество вариаций между кодом возможного решения из множества (7) и кодом базисного решения, поэтому величина I играет роль расстояния между базисным решением и элементом множества (7) возможных решений. В результате, если базисное решение подобрано разработчиком достаточно удачно, то величина I должна быть небольшой. При выполнении поиска оптимального решения и замене при поиске базисного решения на наилучшее возможное решение величину / целесообразно уменьшать по мере улучшения оценок наилучших возможных решений.

Малая вариация кода базисного решения должна обеспечивать малое изменение кода записи математического выражения, и при этом после каждой малой вариации код записи должен соответствовать правильному математическому выражению.

В методе вариационного генетического программирования используем пять малых вариаций записей кодов:

0 — изменение значения второй компоненты вектора кода элемента;

1 - удаление кода элемента с единичным значением первой компоненты;

2 — вставка в заданную позицию кода элемента с единичным значением первой компоненты;

3 - увеличение значения первой компоненты кода элемента на единицу и добавление после измененного элемента кода с нулевым значением первой компоненты;

4 - уменьшение значения первой компоненты кода элемента на единицу и удаление начинающегося со следующего элемента подвыражения.

Для представления малой вариации в вычислительных алгоритмах используем вектор из трех компонент

= м>2 (13)

где IV, - номер вариации, и>2 - номер варьируемого элемента или позиция для вставки нового элемента, м>3 - значение второй компоненты.

Для сравнения методов генетического программирования и вариационного генетического программирования в задаче синтеза системы управления рассмотрим следующую задачу синтеза управления. Задана модель объекта управления

х, = х, -х:х2 + ах]и, х2 =х2 +х,х2 -Ьх2и, х, = (х, -I)2 + (х2 -I)2- (14)

Задано множество начальных значений

х0 ={с,(о)6[гг,*г] ,х2(о)с[х-,х;1х,(о)=о}. (15)

Заданы ограничения на управление

и' <и<и*.

Задан критерий качества

J = Xг{cf) —> ГП1Л ,

где ^ - заданная положительная величина.

Необходимо найти управление в виде функции и = й(х,,х2,х3). Заменяем множество начальных значений множеством точек начальных значений

Х0 = {х,(0)е(х; + j&xl:у = ОД),г = 1,2,х,(0) = о} , (16)

х* - х~

где к{ +1 - заданное число точек начальных значений, Дх, = -1———, / = 1,2.

К

Заменяем критерий качества суммой критериев, вычисленных для каждого начального значения

1=0 у=о 2-/

где хи = х," + /Дх,, / = 0,А,, х2 / =х~+ ]Ах2, / = 0,кг.

Задачу решаем методами генетического программирования и вариационного генетического программирования.

Для метода вариационного генетического программирования задаем базисное решение в форме тривиального соотношения

"=<71*1 +<72*2+<7З*3'

где =1, дг =1, =1.

Во время вычислительного эксперимента параметры модели имели следующие значения: а = 0,4, Ь = 0,2, = 12, х[ = 0,5, х,+ = 0,6, х2 = 0,7, х\ = 0,8, кх= 2, кг = 2. Шаг интегрирования составлял 0,005с.

Для обоих методов были заданы одинаковые параметры генетического алгоритма: число возможных решений в начальном множестве 256, число поколений 128, число возможных скрещиваний в одном поколении 128, вероятность мутации 0,7, длина записи составляла 32 двухкомпонентных вектора.

Для метода вариационного генетического программирования при получении каждого решения использовалось 8 вариаций базисного решения.

При синтезе получаемые управления ограничивались согласно соотношению

О, если и <0 и = 1, если? > 1 -и — иначе

Метод генетического программирования получил следующее решение _ (Ад2х2 -соя(х,), если |соз(х,)-Адгхг\<¡собСх,) - 1 [лг3 — соз(х,), иначе

и —

где

В =

А\ч3. если \[в <q2+q3~q2q, [—<7, — иначе

х2-min^,,*,}, если |тт{д3, х2}- х2| < ¡min{<^3,х,| х, -min{<7, ,х,}, иначе

qt =7,11670, q2 =1039893, q} =1,75122.

х, — mm

если

Метод вариационного генетического программирования получил следующее решение:

где <7 = 3,23022.

Вычисления выполнялись на компьютере с процессором Intel(R) Соге(ТМ) i7-2640MCPU @ 2.80GHz 2.80 GHz. Процесс поиска для методов вариационного генетического программирования составил 5 мин. Поиск решения методом генетического программирования составил более 35 мин.

Критерий качества хД/у) при всех начальных значениях в системе управления, полученной методом вариационного генетического программирования, имеет меньшее значение, чем критерий для системы управления, полученной методом генетического программирования.

В третьей главе приведен пример решения задачи синтеза системы управления движением мобильного робота с учетом пространственных ограничений. Приведен анализ эффективности разработанного метода. Представлено на основе моделирования исследование полученной в результате синтеза системы управления.

Согласно задаче управление должно обеспечить перемещение мобильного робота в заданное терминальное состояние из различных начальных условий, причем в процессе движения мобильный робот не должен нарушить заданные фазовые ограничения своими габаритными размерами. Для робота известны его габаритные размеры и координаты углов, определяющих ограничивающие области.

На рис. 2 приведена схема управления и геометрические параметры мобильного робота.

и =sgn

Оз. л)

Рис. 2 Схема управления мобильным роботом

Мобильный робот имеет две компоненты вектора управления, первая компонента определяет скорость движения мобильного робота, вторая компонента управления определяет угол направления движения робота. Критерием качества управления является время перемещения робота в терминальное состояние.

Рассмотрим математическую формулировку рассматриваемой задачи синтеза системы управления.

Математическая модель объекта управления имеет следующий вид:

х = и, со^в), (18)

¿ = (19)

¿ = ^1ап(и2), (20)

где х, у - координаты центра масс мобильного робота, 0 - угол направления вектора скорости, Ьь - обобщенный габаритный параметр мобильного робота.

На рис. 2, х , у., /' = 1,4, обозначают координаты углов области, определяющей габариты мобильного робота, х,, у, -координаты переднего левого угла, хг, у, -координаты заднего левого угла, х,, у, -координаты заднего правого угла, х4, у, -координаты переднего правого угла.

Положение углов робота определяются с помощью соотношений

х,=х;сов(в)-у;зт(в),1=]А, (21)

У, = х; зт(0) + у]соз(б>), I- = 1,4, (22)

х,'=хсо5(б>)+>>5т(0)+4, (23)

у\ = -хзт(в)+усо5{е)+^-, (24)

=хсо$(0)+.узт(<?)-4, (25)

у\ =-Х5П1(0) + ^СО5(б') + ^-, (26)

х; ^со^+^т^)-/,, (27)

у\ = -х^т{в)+усо^в)-^-, (28)

х\=хсо^в)+у5т{в)+Ьь, (29)

у'А=-х5т(в)+усо^в)-^-. (30)

Заданы ограничения на значения управлений

Г-<щ<У\ (31)

и;<и2<и;, (32)

Задано множество начальных условий

1' Уол' ^о, 1 )> • • •' (*о м' Уо,м' @ам )}- (33)

Задано терминальное многообразие

х-х'=0, (34)

У-Ух=0, (35)

в—в} =0. (36)

где хг, у', в' - координаты терминального положения центра масс робота. Заданы пространственные ограничения в виде логических функций

((*, -*"<)«>М(*, -хй)>о)л ((у/-У")<°М(Уу -УЯ)>7 = 14 (37)

где _

ха'<хА^ = 14 (38)

<у"1, ] = \А,1 = ир, (39)

к - число ограничивающих областей или число препятствий.

Задача заключается в том, чтобы найти управление в форме функций от координат пространства состояний

щ=И&у,в), (40)

и^^у^). (41)

Управление (47), (48) должно обеспечивать перемещение робота из любого заданного в (40) начального состояния в терминальное положение (34) - (36), удовлетворяя при этом ограничениям (44) для всех углов робота за минимальное время

У, = ^ —> шт , (42)

где 1/ - время попадания центром масс робота в терминальное состояние (34) -(36).

Для решения задачи используем вариационный генетический алгоритм. Рассмотрим решение задачи при следующих значениях параметров: Ц, =4, У-=-5, Г+=5, и=-1, и+=1, кр=2, х" =-20, у"' = —2, х^ =-6, /'=2, У*1 =6, у*2 =-2, хл =20, у"' = 2.

Множество начальных значений имело следующий вид:

Х0 = {(- 8,-4,0), (8,-4,0), (- 8,4,0), (8,4,0)}. (43)

Терминальные условия имели значения: хг = 0, у{ =0, в' =0.

Множество аргументов включало следующие элементы

¥0=(х/-х,у/-у,в/-в,д,,д2,д}), (44)

где <7,, <72, д} - числовые параметры, которые также ищутся вместе со структурами функций (40), (41).

При решении задачи синтеза методом вариационного генетического программирования используем наборы функций с одним, двумя и тремя аргументами,

Р. =(Ло00=*, Л,(г) = 58п(г>\ А,2(?)=г\ ЛэМ = "*. Л<(2)=^(гШ>

Лю(г) = 5ёп(Д Лп(2) = со5(г), /112(2) = 5т(г), /¡13(г)=агс1ап(г), /1Л4{г)=г\

[5§п(г), иначе

1, если г > а - 1, если 2 < 0 , Зга'2 — 2г'а~', иначе

/и.(*)=

1, еслиг>а/2

-1, если к-аИ , /122(г) = г-23), Зга~2 — 4г3а'3, иначе

(45)

р2={/2.о(г,.г2)=г,+г2, /21(21,22) = 2122, /г1 ,г2) = тах^,,г2}, /2.6(г„г2)=5вп(г1 +22Хг,|+^2|), +г2)тах^,|,|г2|}), (46)

,22, если ^,<0 Г2з,

'г-, иначе [-г

если < г2 , иначе

/з,2(*Рг2>гз) =

г2, если г, < г2 23,если(2, >22)л(г, >г3), г,, если >г2)л (г, < г3)

л

з(г|'221гз)= ) 2

(47)

Задаем базисное решение в виде

и;, если и, <и~

и*, если и, > г/~ , / = 1,2,

«,, иначе

где

=Ч,(х/ -х)+д2(у -у),

Чх= 1. <72=1> ?з=1-В принятых для генетического программирования обозначениях с учетом номеров элементов во множествах (45)-(47), запись базисного решения имеет вид

8,=

Для учета ограничения используем функцию штрафа, которую добавляем к значению функционала (42).

[О, если ДхДусО

, ¿ = й4, (48)

л-ЩахУ+Ы^-

иначе

где

Ау = тш(()Л -у,}(/' -я)}, / = П4.

(49)

(50)

С учетом множества точек начальных значений (43) и добавления критерия, определяющего попадание в терминальное состояние, критерии качества для задачи численного многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления мобильного робота имеют следующий вид:

^¿Г^ + Ел] > гпш,

(51)

гпт, (52)

где

t. если (х2(t) + /0) + О2(г)) ß <е _

* ^ , у = 1,4, (53)

> £

J

/ - заданная положительная величина.

В соотношениях (51) — (53) нижний индекс (...). а указывает на то,

что решения х(/), >>(/), #(?) дифференциальных уравнений (18) - (20) получены при начальных значениях х(0) = х^ ^ ^'(0) = yOJ, в(0) = 0О 7 > 1<у <4.

При расчетах были использованы параметры генетического алгоритма, приведенные в таблице 1.

Таблица 1. Параметры генетического алгоритма

Мощность множества возможных решений Я = 1024

Число поколений G = 256

Число попыток скрещиваний в одном поколении Я = 128

Число вариаций одного возможного решения / = 8

Максимальная длина записи кода для одного математического выражения |S| = 48

Число бит для кода целой части параметра с =4

Число бит для кода дробной части параметра d = 12

Число поколений между сменой базисного решения Еро = 24

Вероятность мутации />„=0,7

Параметр для определения вероятности скрещивания у = 0,4

Предельное время моделирования процесса управления составляло t* =15 с.

При смене базисного решения из множества Парето выбиралось возможное решение по критерию близости к утопической точке в пространстве нормированных функционалов. Для выбора номера возможного решения через каждые Еро поколений первоначально нормируем все значения функционалов для всех возможных решений (W:, у'), i = 0, //,

_ Л (О~4 -

Jk= *+ - , i = 0,H, к —1,2, (54)

Jk ~Jk

где Jk (i) - значение функционала Jt, к е {l,2}, для решения

Jt, J* - соответственно, минимальное и максимальное значения функционала Jt,

Л е {1,2}.

Далее находим решение с наименьшей нормой векторного функционала

J(/)=[J,(0 Л(')Г. /е{0,...,я}.

где

(56)

Возможное решение (w ,y' )

делаем новым базисным решением.

Вычисления выполнялись на компьютере с процессором Intel(R) Соге(ТМ) ¡7-2640М CPU @ 2.80GHz 2.80 GHz. Время вычисления составляло около 45 мин.

В результате синтеза было получено следующее решение

2, =(xf ~x)-q3t(xf-х) А = min^rctan(y^ - v) } + sgn(в^е - - х),

i У^)' . У"'

qx = 11,80249, q2 = 14,19629.

На рис. 3-7 приведены результаты моделирования полученной системы управления мобильным роботом.

Согласно траекториям движения центра масс, представленных на рис. 3, мобильный робот достигает терминального состояния из всех начальных значений. Траектории движения углов робота (см. рис 4-7) показывают, что

В = arctan

1-е

у-О )'

-\ef-t

1 + е

пространственные ограничения выполняются.

, У

Ух

Л

г

....... < )

....... f \

10 15 20

Рис. 3. Траектории движения центра Рис 4. Траектории движения левого масс мобильного робота переднего угла мобильного робота

Рис. 5. Траектории движения левого Рнс б Трае1сгории движения правого заднего угла мобильного робота заднего угла мобильного робота

-20 -15 -10 -в О 5 10 15 20

Рис.7. Траектории движения правого переднего угла мобильного робота

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

1. Решена задача синтеза системы управления с применением метода вариационного генетического программирования. Применяемый метод включает основные преимущества известных методов. Метод вариационного генетического программирования использует принцип малых вариаций базисного решения, заимствованный из метода сетевого оператора, и представление математического выражение в форме строки кодов элементов математического выражения.

2. Применен метод кодирования математических выражений в форме числовых двухкомпонентных векторов. Первый компонент вектора указывает на число аргументов кодируемой функции. Второй компонент вектора указывает на номер функции из заданного множества функций.

3. Использован метод поиска оптимального решения для задачи синтеза системы на основе принципа малых вариаций базисного решения. Определены малые вариации кода записи математического выражения. Применяемый метод вариационного генетического программирования использует четыре малых вариации кода.

4. Решена задача синтеза системы управления мобильным роботом методом вариационного генетического программирования. Полученная в результате синтеза система управления является нелинейной и обеспечивает достижение мобильным роботом терминального состояния из всех заданных начальных значений. Моделирование показало, что траектории движения углов мобильного в процессе управления не нарушают пространственных фазовых ограничений.

5. Разработан программный комплекс, реализующий вычислительный метод для решения задачи синтеза системы управления мобильным роботом на основе вариационного генетического программирования. Программный комплекс апробирован на решении практических задач.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ:

1. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Решение задачи синтеза системы управления методом вариационного генетического программирования / С.И. Ибадулла, А.И. Дивеев, Е.А. Софронова // Современные проблемы науки и образования. -2013. -№ 6; URL: http://www.science-education.ru/1 13-11697.

2. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Синтез системы управления движением мобильного робота по пространственным траекториям методом вариационного генетического программирования / А.И. Дивеев, С.И. Ибадулла // Современные проблемы науки и образования. - 2014. — № 6; URL: www.science-education.ru/120-16489

3. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Сравнение методов генетического и вариационного генетического программирования на примере задачи синтеза управления для модели «Хищник-жертва» / С.И. Ибадулла, А.И. Дивеев, // Эл. научно-техн. изд. Наука и образование. Эл. № ФС 77 48211 Гос. per. № 0421200025 ISSN 1994-0408 #5 май, 2014 г. DOI 10.7463/ 0514.0709252.

Публикации в других изданиях:

1. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Численный метод вариационного генетического программирования для синтеза системы управления мобильного робота / С.И. Ибадулла, А.И. Дивеев, // Труды Международного симпозиума Надежность и качество ; под ред. Н.К. Юркова. - Пенза 26 мая-01 июня.-2014.-Т. 1.-С. 30-35.

2. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Метод вариационного генетического программирования для синтеза систем управления. / С.И. Ибадулла, А.И. Дивеев, // Труды одиннадцатого международного симпозиума Интеллектуальные системы INTELS'2014 под ред. К.А. Пупкова. - Москва. 30 июня - 04 июля. - 2014. - С. 74-77.

3. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Применение метода вариационного генетического программирования для решения задачи синтеза управления мобильного робота. / С.И. Ибадулла, А.И. Дивеев, // Труды VII международная научно-практическая конференция. «Инженерные системы— 2014». - Москва, 16-18 апреля 2014г./ под общ.ред. Н.К. Пономорева. - М.: РУДН, 2014,- С. 6-10.

4. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Применение метода вариационного генетического программирования для синтеза управления мобильным роботом. // Материалы школы-семинара молодых ученых. Фундаментальные проблемы системной безопасности: - Елецк, 20-22 ноября 2014 г. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014. - С. 88-93.

5. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Технология нечеткой логики. / С.И. Ибадулла, Н.Б. Конырбаев, // VIII международная заочная научно-

практическая конференция «Научная дискуссия: Вопросы технических наук» - Москва: - 04 апреля 2013. Изд. «Международный центр науки и образования» - 152 с.

6. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Актуальность применения интеллектуальной системы в управлении роботов / С.И. Ибадулла, Н.Б. Конырбаев, К. Дауренбеков // Сборник трудов международной научно-практической конференции, посвященной научно-педагогической деятельности академика А.Д. Тайманова «Современная математика: проблемы и приложения» -Алматы. 24-26 октября 2013 г.

7. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Синтез системы управления методом символьной регрессии / А.И. Дивеев, С.И. Ибадулла, Н.Б. Конырбаев, // Сборник трудов международной научно-практической конференции, посвященной научно-педагогической деятельности академика А.Д. Тайманова «Современная математика: проблемы и приложения» -Алматы. 24-26 октября 2013г.

8. Ибадулла Сабит Ибадуллаулы, Оптимальное решение задачи синтеза систем управления с помощью метода вариационного генетического программирования // Материалы традиционной V Республиканской научно-практической конференции «Образования. Наука. Инновация: Актуальные вопросы и его развитие» - Кызылорда. 29 ноябрь 2014г. - С. 337 - 341.

Заказ № 0430. Бумага офсетная. Подписано в печать 20.04.2015 г. Тираж 100 шт. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1,25 Отпечатано в типографии ООО «Аналитик» г. Москва, ул. Клары Цеткин, д.18, стр. 3 . Тел. 617-09-24