автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и исследование метода сетевого оператора в задаче синтеза системы управления спуском космического аппарата

На правах рукописи

Шмалько Елизавета Юрьевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА СЕТЕВОГО ОПЕРАТОРА В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СПУСКОМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ио3463274

Москва 2009

003463274

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный руководитель: д.т.н., проф. Дивеев А.И.

Официальные оппоненты:

д.т.н., проф. Афанасьев В.Н. д.ф.-м.н., проф. Дикусар В.В.

Ведущая организация:

Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева (ГКНПЦ им. М.В. Хруничева)

Защита диссертации состоится « ß» мртд 2009 года J6 часов ДОмин. на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 в ВЦ им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан « iS » ßßBPrf/l ß 2009 г.

Ученый секретарь Совета по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки и внедрения в практику универсального метода синтеза систем управления сложными объектами.

В настоящей работе ставится задача синтеза системы управления. Задача синтеза состоит в том, чтобы для любого момента времени найти оптимальный закон управления в виде функции от состояния объекта, действующий по принципу обратной связи. Методов и подходов для решения задачи синтеза системы управления сегодня известно не очень много. Большинство известных подходов используют специальные свойства объектов и функционалов. Дм произвольных функционалов и нелинейных объектов эффективного метода решения задачи синтеза управления, в общем случае, не известно. Это обстоятельство обуславливает актуальность настоящей работы.

Рассматриваемая в работе задача синтеза системы управления спуском космического аппарата в качестве критерия оптимальности использует функционал максимума перегрузки. Такой функционал имеет сложный нелинейный вид, а так как объект управления также нелинеен, то для решения задачи синтеза управления в данном случае не могут быть использованы известные методы. В работе при решении поставленной задачи используется подход на основе новых результатов в области алгоритмизации, метода генетического программирования и сетевого оператора.

Предметом исследования является задача синтеза системы управления спуском космического аппарата.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного вычислительного метода синтеза системы автоматического управления сложным нелинейным объектом. Для достижения поставлешюй цели было осуществлено решение следующих задач:

- обзор существующих методов и подходов решения поставленной задачи синтеза оптимального управления;

- исследование математической модели спуска космического аппарата;

- разработка и исследование численного метода решения задачи оптимального управления;

- разработка и исследование метода сетевого оператора для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления спуском космического аппарата;

- разработка программного обеспечения для реализации методов оптимального управления и синтеза, проведение вычислительного эксперимента.

Методологической основой исследования послужили научные труды и практические результаты, сформулированные в исследованиях российских и зарубежных ученых в области теории управления, системного анализа, методах оптимального управления, теории графов, теории алгоритмов.

Новизна научных результатов диссертационной работы состоит в разработке и формализации метода синтеза системы управления нелинейным объектом, его применение и исследование его возможностей для решения задачи управления сложным техническим объектом. В свою очередь для решения задачи оптимального управления разработан новый эффективный численный метод на основе аппроксимации кривыми Безье. Основные положения и выводы, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при дальнейшем развитии теории управления нелинейными объектами.

Практическая значимость исследования состоит в том, что на основании разработанных алгоритмов создан программный комплекс для синтеза систем управления. Разработанный в диссертации метод синтеза управления может быть использован при проектировании, анализе и эксплуатации различных систем сложных

технических объектов. Работоспособность и эффективность метода подтверждена решением сложной технической задачи синтеза оптимального управления спуском космического аппарата. Кроме того, результаты исследования могут быть включены в учебные курсы по синтезу систем управления сложными динамическими объектами.

Апробация результатов исследования, подтверждается докладами на следующих научных конференциях и международных симпозиумах: «Надежность и качество 2007» (г. Пенза), «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика 2007» (г. Рязань), «Научной сессии МИФИ-2008» (г. Москва), «Интеллектуальные системы» (INTELS'2008) (г. Нижний Новгород). По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численный метод решения задачи построения программного оптимального управления на основе аппроксимации кривыми Безье.

2. Метод синтеза системы управления на основе сетевого оператора. Метод поиска решения основан на генетическом алгоритме с представлением функциональных зависимостей в виде сетевого оператора.

3. Решение задачи синтеза системы управления спуском космического аппарата на основе разработанного метода и программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов.

По теме диссертации опубликовано 7 научных трудов, общим объемом 35 пл., в том числе 3 работы [3, 6, 7] в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, объемом 23 п.л. В совместных статьях автору принадлежит 50%.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы - 134 страницы, включая 50 иллюстраций и 6 таблиц. Список литературы содержит 122 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы предмет, цель и задачи исследования, методы исследования, новизна научных результатов и их практическая значимость, приведены данные о структуре и объеме диссертации.

В первом разделе приведена общая постановка задачи и обоснована необходимость разработки метода решения задачи синтеза управления для нелинейных объектов и произвольных функционалов.

Математическая модель объекта управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

х = Г(х,и), (1.1)

где х = [х]...х„]Г - вектор состояния системы, и = \щ...и„^ - вектор управления, хе

" е и £ Я"', V_ ограниченное множество.

Задано начальное состояние объекта управления

ж(0)=[*,°...*«Г. (1.2)

Заданы функционалы, определяющие критерии качества управления '/ _

Ji=Gi[x[tf))+ _[г,(ж(/),и(/))Л, , = 1 ,М, (1.3)

о

где - длительность процесса управления.

Необходимо синтезировать систему управления в виде

и = е(*,ч), (1.4)

где g(-) - искомая структура управления, q =[r/j...i//j]7' - вектор параметров системы

управления, - ограниченное множество.

Решением рассматриваемой задачи (1.1) - (1.4) является множество Парето в пространстве функционалов (1.3). Каждая точка множества Парето представляет собой математическое выражение (1.4) со значением вектора параметров Ч. Конкретная система управления определяется как одно из решений на множестве Парето, выбираемое по дополнительным критериям.

Задача синтеза оптимального управления на протяжении многих лет является одной из ключевых проблем теории управления. Выделившись в отдельную область науки еще в середине 50-х годов 20-ого столетия, математическая теория оптимального управления аккумулировала в себе основные достижения классического вариационного исчисления, принципа максимума JI.C. Поитрягииа, численных методов оптимизации. Большинство известных подходов к решению проблем управления космическими аппаратами связаны с построением программных управлений, оптимальных по различным критериям, но не решающих проблему синтеза в общей постановке. Анализ этих подходов применительно к проблеме управления спуском космического аппарата обусловил необходимость построения общего метода синтеза оптимальных систем управления, которые используют информацию о поведении объекта. Кроме того, в последнее время все большую важность приобретает вопрос о создании так называемой «физической теории управления», определяемую A.A. Красовским как «теорию управления, которая базируется на фундаменте физических законов, учете ресурсов и приоритетах реального мира)». Такой принципиально новый подход к проблеме поиска общих объективных законов управления обусловил необходимость построения общего метода синтеза оптимальных систем управления, которые используют информацию о поведении объекта.

Первым шагом в решении поставленной задачи синтеза управления, как функции координат пространства состояния объекта и = и(х), стало создание Р. Беллманом метода динамического программирования. Согласно данному методу структура оптимального управления определяется путем решения уравнения Беллмана дня непрерывных детерминированных систем, которое является достаточным условием минимума функционала (1.3). Уравнение Беллмана представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, решение которого в общем случае ведет к значительным и часто непреодолимым трудностям вычислительного характера.

Наиболее известным и исследованным случаем решения задачи синтеза оптимального управления является задача, решенная для линейных систем с квадратичным функционалом. Метод называется аналитическим конструированием оптимальных регуляторов (АКОР), основанный A.M. Летовым и Р. Калманом, а затем получивший свое развитие в работах A.A. Красовского, М.М. Атанса и П. Фалба, В.Н. Афанасьева и других ученых. Методы теории АКОР хорошо формализованы. Своей практической завершенности данный подход достиг только для линейных стационарных объектов и квадратичных оптимизирующих функционалов, путем сведения задачи к решению нелинейных алгебраических уравнений Рикатти.

Существенное продвижение в решении нелинейной теории АКОР было достигнуто в работах A.A. Красовского и его учеников по неклассическим функционалам обобщенной работы. Суть данного подхода состоит в приведении уравнения Беллмана к линейному виду в частных производных, что позволяет разработать ряд приближенных методов его решения. В литературе имеются другие частные результаты по нелинейной теории АКОР, однако, в целом, проблема синтеза оптимальных регуляторов в своем практическом применении еще далека от разрешения.

Сегодня достаточно большое внимание уделяется развитию методов синтеза адаптивных систем управления ( Дж. Траксел, В.А. Якубович и др.). Общепринятый

подход к синтезу адаптивных систем состоит в том, что в процессе синтеза сначала находят уравнения регулятора объекта с использованием какого-либо метода теории управления, а затем алгоритм настройки его параметров. Применяемые сегодня методы адаптивного управления можно разделить на два основных направления - замена исходной нелинейной модели на приближенную линейную и использование нелинейных канонических форм.

Первый подход, замена исходной нелинейной модели упрощенной линейной или выделение в модели объекта линейной и нелинейной частей, широко применяется на практике. Подход позволяет использовать традиционные формализованные методы управления линейными объектами, основанные на использование эталонной модели (Ортега Р., Дата А.), или применение методов теории абсолютной устойчивости (Кристич М., Каннелакопулос И., Котокович П.). Ограничение по применению данного подхода состоит в необходимости оценивать степень ухудшения качества системы управления при замене упрощенной линейной модели объекта исходной нелинейной, а эта задача редко обосновывается аналитически, так как в общем случае сопоставима по сложности с построением самого регулятора.

Суть второго подхода состоит в том, что путем нелинейного преобразования в пространстве состояний некоторые нелинейные объекты можно привести к канонической форме со скалярным выходом (output-feedback canonical form), в которой все функции зависят только от измеряемых величин. Методы на основе канонических форм применимы для ограниченного класса нелинейных объектов. Для канонических форм были разработаны итеративные процедуры синтеза стабилизирующего управления с применением метода функций Ляпунова, получившие название «обход интегратора» (И. Канеллакопулос, П. Кокотович, А. Исидори, Р.Марино, П. Томеи). Помимо сложности решения задачи синтеза на основе канонических форм, остается нерешенной проблема чувствительности синтезируемых алгоритмов к неизбежному отличию исходных нелинейных моделей объектов от используемых для построения регуляторов данного типа упрощенных моделей. Сами условия существования нелинейного преобразования реальных моделей в канонические формы являются непростыми и их проверку осуществить так же непросто.

В данной диссертационной работе рассматривается задача спуска космического аппарата в атмосфере Земли. Исследованию проблемы управления движением космического аппарата при входе в атмосферу и спуске его на поверхность Земли посвящено множество работ российских и зарубежных авторов (Охоцимский Д.Е., Бухаркина А.И., Власов А.Г., Вингрув Р., Дау П. и др.). В виду отсутствия общих методов синтеза управления нелинейными динамическими объектами на практике сегодня применяют подход, который состоит из двух этапов. На первом этапе любым из известных методов оптимального управление находится оптимальное управление в виде функции времени и'(1)- По найденному оптимальному управлению строится оптимальная траектория x*(t). На втором этапе строится система управления, которая обеспечивает стабилизацию поведения системы вблизи оптимальной траектории. При построении системы стабилизации, как правило, математическая модель объекта линеаризуется в окрестности оптимальной траектории, поэтому используют стандартные методы синтеза регуляторов для линейных систем. Однако такие системы формально не являются оптимальными.

Во втором разделе рассматриваются современные методы решения задачи синтеза управления.

Сейчас большое внимание ученых и разработчиков занимает новый метод -аналитическое конструирование агрегированных регуляторов (АКАР), сформулированному А.А. Колесниковым в контексте синергетической теории управления. Метод базируется на принципе инвариантных многообразий, описывающих

состояние исходной динамической системы, которое удовлетворяет технической цели управления. Задача сшгтеза регулятора в методе АКАР решается в два этапа. Сначала в зависимости от физической сути задачи строят инвариантное многообразие размерность которого меньше размерности исходной системы. Затем из системы дифференциальных уравнений Тф + ф = 0 для агрегированных переменных находят управление и(ф(х}), которое переводит систему из начального состояния *(0) в окрестность заданного инвариантного многообразия 0(х) = О. Несмотря на обоснованность данного подхода, открытой остается проблема выбора инвариантных многообразий, поэтому метод АКАР успешно применяется в основном для задач стабилизации, где форма инвариантного многообразия очевидна. К тому же, при решении нелинейного уравнения, описывающего связь управления с агрегированными переменными, необходимо учитывать ограничения на управление.

Современные системы управления космическими аппаратами используют бортовые вычислительные машины для реализации различных алгоритмов расчета управляющего воздействия. Это обстоятельство позволяет применять в управлении любой вид регулирования, не ограничиваясь только классом линейных или адаптивных регуляторов. В данном случае синтез структуры управления представляет собой создание алгоритма для вычислительной машины с учетом динамических свойств исполнительных устройств.

В настоящей работе для разработки эффективного вычислительного метода синтеза системы управления используются последние достижения в области алгоритмизации. Наиболее важным результатом последних лет в этом направлении является создание метода генетического программирования (Koza J.R.), которое позволяет получить с помощью вычислительной машины аналитические решения различных математических задач. В генетическом программировании для универсального описания математического выражения и его кодировки используется польская запись программного кода, которая представляет собой строку символов, описывающих операторы и операнды. Польская запись является промежуточным кодом, к которому преобразуют трансляторы исходные тексты программ при их переводе в машюшые команды. Для строк польской записи Дж. Коза разработал генетические операции скрещивания и мутации. Новый разработанный метод явился развитием генетического алгоритма (Davis Lawrence, Goldberg D.E., Holland J.H.), позволив реализовывать на вычислительной машине любые функциональные зависимости.

Методы генетического программирования, основанные на использовании струюуры данных в виде строк польской записи, обладают существенными недостатками, связанными с работой с динамической памятью и лексическим анализом строк, что приводит к значительным вычислительным затратам. Для повышения эффективности вычислительных алгоритмов в работе используется метод сетевого оператора, разработанный А.И. Дивеевым, позволяющий в наиболее удобной для поиска на компьютере форме представлять функциональные зависимости. Основная идея метода сетевого оператора [5] состоит в том, что он позволяет описывать произвольные математические выражения и представлять их в ЭВМ с помощью целочисленной матрицы.

В третьем разделе приводится математическая постановка практической задачи синтеза системы управления спуском космического аппарата, проводится анализ параметров модели объекта управления (влияние параметров атмосферы, зависимость от начального угла входа), позволивший получить основные зависимости и выявить основные проблемы, связанные с решением задачи.

Математическая модель объекта представляет собой систему дифференциальных уравнений четвертого порядка.

(Ьс\

<а

(3.2)

= Х4. (3.3)

ТШ х4^х2+х4е У >,

л [х\^,г

(3.4)

где XI, X] - координаты центра масс космического аппарата в геоцентрической ортогональной системе координат, х2, — компоненты скорости космического

аппарата, х = [*] ...х4\Г е Я", " - управление, "С11, т - масса космического аппарата, £Го - ускорение свободного падения на поверхности Земли, И2 - радиус Земли, - площадь поверхности сопротивления, р0 - плотность атмосферы на поверхности

Земли, Д. - коэффициент разреженности.

Создание управляющих сил осуществляется за счет изменения направления подъемной силы аппарата при развороте аппарата по крену вокруг вектора скорости. При этом космический аппарат балансирует на некотором номинальном угле атаки.

Для системы (3.1) - (3.4) заданы начальные условия:

дг,(0) = 0, дг2(0) = К0созА), *3(0) = + дг4(о) = ^¡пД,, (3.5)

где У0 - модуль начальной скорости, /*о - начальная высота, Ро - начальный угол наклона траектории.

Угол наклона траектории является важным параметром, влияющим на точность приземления и критерии качества управления. Реально начальный угол /?о не может быть известен абсолютно точно. Поэтому считаем, что начальный угол принадлежит ограниченному диапазону.

ра<р0<р^, (3.6)

где /?ц, Рц - нижнее и верхнее ограничение, которое определяет коридор входа в атмосферу.

Цель управления описывается следующими функционалами:

(3.7)

/2=

(3.8)

Функционал (3.7) описывает максимальное значение перегрузки в процессе посадки, функционал (3.8) описывает выполнение терминального условия, обеспечивающего попадание космического аппарата в точку посадки.

Необходимо с помощью ограниченного управления

гГ<«<«+ (3.9)

обеспечить при достижении заданной высоты Н/ попадание в точку, проекция которой на поверхность Земли находится на заданном расстоянии от проекции точки входа

(3.8), при этом минимизировать максимальную перегрузку (3.7), возникающую в процессе посадки.

Управление ищется как функция координат пространства состояния

и = <р(х, ч) (3.10)

где - искомое математическое выражение, которое представляет собой

однозначное непрерывное отображение, К"хКр—> К', " - вектор искомых

параметров, с'е

В четвертом разделе приведено описание разработанного численного метода решения задачи оптимального управления на основе аппроксимации кривыми Безье.

Для решения задачи (3.1)-(3.10) цель управления (3.7), (3.8) запишем в виде функционала

I

ап^

*4 '/

ч

► пип,

(4.1)

где в - весовой коэффициент,'/ - время управления, определяемое из соотношения если т/*12(') + *зМ =Я/+Д2

если 1>1+

(4.2)

Разработанный метод позволяет быстро и гарантированно находить оптимальный закон управления «*(г), доставляющий минимум критерию качества, при этом, не привлекая больших вычислительных мощностей. Уменьшение нагрузки на вычислительные мощности достигается путем использования для вычислений на каждой итерации не большого количества дискретных точек "('у), У = 0,М, а значительно меньшего количества управляющих точек, определяемых параметрами <?,-, ¡ = 0,Ы, где Ы«М.

Управляющие точки (<7;>',) равномерно распределены на интервале ['о,'/], где 'о и '/ — начальная и конечная границы интервала соответственно. Для того, чтобы равномерно распределить управляющие точки по интересующему нас интервалу, положим

Для каждого набора управляющих точек строим кривую Безье. Кривая Безье - это параметрическая кривая, задаваемая выражением

I

/=о

Ч

(4.3)

где <?/ - оптимизируемые параметры, определяющие положения управляющих точек, (

ВР

- базисные функции кривой Безье, или функции Бернштейна, ¡ = 0,Ы,

N

(4.4)

(лГ| т —

где N - степень полинома, / - порядковый номер управляющей точки.

Для вычисления функций Бернштейна (4.4) используем рекуррентные соотношения

= 0.

№

[^ЩНЙ'-" й

1,1,

(4.5)

во

, если / = 1

По кривой Безье у(1) определяем закон управления и~, если и(/) = '{и+, если _у(г)>н+; иначе

(4.6)

где и+ и и~ - верхняя и нижняя граница управления соответственно.

Оптимальное управление ищем путем нахождения оптимальных значений параметров ч = [91...дд,определяющих вид функции управления у(1) в соответствии с соотношениями (4.3) - (4.5).

Для поиска оптимальных значений параметров ц = используем метод

нелинейного программирования нулевого порядка Хука-Дживса с ускоряющим одномерным поиском методом золотого сечения.

Задаем случайно начальное значение вектора параметров q0 = ... ^ ]Г

=г(«+-«-]+«-,

где £ — случайная равномерно распределенная в диапазоне ¡0,1) величина.

Вычисляем значение функционала, определяющего качество управления, для вектора параметров q0.

Находим в окрестности q0 другое значение вектора параметров ql которое дает меньшее значение функционала

9,°+ 8/. если )<-/°

9<

д", иначе где - величина приращения.

д? -5,-, если А [«г,1...«/.,,,0 -8,- <7,°+1...4| <-/° ,

Если q1 = то уменьшаем величины <5; =8,12. При выполнении условия < £, где е - малая заданная величина, процесс вычисления останавливаем. Решаем задачу одномерной оптимизации

пипК(1-//)ч°+/Ч,1

М

методом золотого сечения. Находим оптимальное значение параметра Де[о,//+] > где > 1. Находим новое значение вектора параметров

ч^и-д^+д,1

и повторяем вычисления.

Вычислительный эксперимент проводился при следующих параметрах модели:

т = 5000 кг, м/с2, Дг =6371 103Л(, Б = 3,5 .»Д р0 =1,22 кг / м3,

Л = 1,35-Ю-4, 0 = 1О~5, Н/ =10000 м, I/ =1450000*, ,+ =30о с, N = 32.

Максимальное значение перегрузки при оптимальном управлении составило

величину /'тах = 8,053 ед. максимальный промах относительно заданной

терминальной точки составил 26313,и. На рис. 4.1 и 4.2 приведены значения перегрузки, соответственно при неоптимальном и оптимальном управлениях. На рис. 4.3 и 4.4 приведены значения неоптимального и оптимального управления соответственно, а также неоптимальные и оптимальные значения вектора параметров.

Рис. 4.1. Значение перегрузки при неоптимальном управлении

Рис. 4.2. Значение перегрузки при оптимальном управлении И

Рис. 4.3. Неоптимальные управление и[{] и вектор параметров Ч II

■" ■ ■ • « " „ п ; • ; « ■■ • ■ 1, " \ «¿1 . ! Ж' ! N

: ■ ■V

\ -\ ■ : ; : : ! .! ! 1

О 60 100 150 ЛЯ 250 ЭШ

Рис. 4.4. Оптимальные управление и(/) и вектор параметров Ч.

В пятом разделе описан новый метод синтеза системы управления на базе сетевого оператора. Изложены теоретические основы метода, представлен разработанный алгоритм, изложены принципы построения базисного решения, приведены методики вычислительного эксперимента и его результаты.

Для разработки метода синтеза оптимального управления космическим аппаратом на этапе посадки в атмосфере необходимо:

• выбрать эффективную с вычислительной точки зрения структуру для представления функциональных зависимостей;

• обеспечить возможность выбора оптимальных значений параметров в каждой функциональной зависимости;

• обеспечить возможность построения множества Парето оптимальных решений с помощью генетического алгоритма.

Для реализации вычислительных алгоритмов в работе используем метод сетевого оператора [5], позволяющий в наиболее удобной для поиска на компьютере форме представлять функциональные зависимости.

Сетевой оператор представляет собой ориентированный граф, который описывает некоторое математическое выражение.

Для описания математических выражений в удобном для использования в вычислительной машине виде введем в рассмотрение несколько конечных упорядоченных множеств, из элементов которых состоит формула.

Множество переменных - это упорядоченное множество символов, вместо которых

в процессе вычисления могут подставляться числа из множества вещественных чисел R', V = (vj.....vP),vi&R\i = \J. (5.1)

Множество параметров - это упорядоченное множество чисел, не меняющихся в процессе вычислений,

С = (с1,...,сд), Cj = const, i = \J}. (5.2)

Множество унарных операций - это упорядоченное множество функций или однозначных отображений, заданных на числовом множестве,

Ox=[p\(z),p2[z),...,pw[z)), (5.3)

где P/(z): R'-^R1, Vzer', ByeRi^>y = Pi(z)y / = рр.

Множество бинарных операций - это упорядоченное множество функций двух аргументов или однозначных отображений декартового произведения пары одинаковых числовых множеств в одно такое же числовое множество,

о 2=Ш*'.ЛХ2М-,ХгМ), (5.4)

где Zi(z'X) ■ R'xRtR'—R', W,z'e R1, Эуе Ri =>y = *,(z',z'); / = Ц7.

Бинарные операции должны обладать свойствами коммутативности, ассоциативности и иметь единичный элемент.

Сетевой оператор представляет собой ориентированный граф без циклов с определенными свойствами. Значения переменных и параметров связаны с узлами-источниками графа. Результаты вычислений математических выражений помещаются в узлах-стоках. На дугах графа заданы номера унарных операций. В узлах графа заданы номера бинарных операций.

При построении сетевого оператора необходимо математическое выражение записать с помощью унарных и бинарных операций. Внешней операцией должна быть бинарная. Аргументом унарной операции должна являться либо бинарная операция, либо элемент из множества переменных или констант. Аргументами бинарной операции должны быть только унарные операции, причем эти унарные операции, не могут иметь в качестве аргументов одну и ту же переменную или один и тот же параметр.

Сетевой оператор в машинной реализации представляется в виде целочисленной матрицы сетевого оператора. На диагонали матрицы сетевого оператора расположены номера бинарных операций, а остальные элементы либо нули, либо номера унарных операций, причем при замене диагональных элементов на нули, а ненулевых

недиагональных элементов на единицы получаем матрицу смежности графа сетевого оператора.

Для выполнения формальных вычислений введем в рассмотрение целочисленные векторы:

- вектор номеров узлов входных переменных Ь =\Ь\...Ьр]Т, где 6/ - номер узла-источника в сетевом операторе, с которым связана переменная V,-, 1 = 1 ,Р;

- вектор номеров узлов параметров » = [5]...5Я]Г, где -Г/ - номер узла-источника в сетевом операторе, с которым связан параметр с,-, = 1, Д;

- вектор номеров узлов выходных переменных (1 =[¿1 ...с1^\т, где (¡-, - номер узла сетевого оператора, который соответствует выходной переменной Ух, / = 1 ,М.

Верхний треугольный вид матрицы сетевого оператора уменьшает число циклов при вычислении результата математического выражения по сетевому оператору.

Для вычислений по матрице сетевого оператора и хранения промежуточных

результатов введем вектор узлов г = .. .г^]7", размерность 6 которого равна

количеству узлов сетевого оператора. Зададим начальные значения вектору узлов. Если

узел является источником, то в качестве начального = ... значения

возьмем соответствующий элемент из множеств переменных или параметров. Остальные значения вектора узлов должны быть равны единичному элементу бинарной операции, с которой связан соответствующий узел.

Для вычисления формулы по матрице Ч* сетевого оператора используем следующий алгоритм:

Шаг 0. Задана матрица сетевого оператора в верхнем треугольном виде = , у/у =0, если '</, /',/ = 1,0, Определены векторы номеров узлов входных переменных Ь=[б]...Ь^]г, параметров в =[,?].. и вектор номеров узлов выходных переменных У = Ь\-Уь\Т ■

Шаг 1. Задаем начальные значения вектора узлов

если /=¿¿9 к = \,Р с}, если 1 = j = l,R , I =1,0, (5.5)

еу/ц > если /гГ0, Хуи[<!уи,г) = г

где ¿к - единичный элемент для бинарной операции ^, 'о - множество номеров узлов-источников или номеров нулевых столбцов матрицы Ч* сетевого оператора. Шаг 2. 1=1. Шаг 3. у = « + 1.

-».о (*М)

Шаг 4. Если Уц * 0, то ^ = ^ '>, р^ Ц''

Шаг 5. У = ] +1. Если / ^ 6, то переходим на шаг 4.

Шаг 6. 1=1 + 1. Если ' < 6 > то переходим на шаг 3, иначе завершаем вычисления.

При построении генетического алгоритма для решения задачи синтеза управления используем принцип базисного решения. Данный принцип заключается в том, что задается одно базисное решение в виде сетевого оператора, описывающего

математическое выражение (3.10). Множество возможных решений определяется множеством вариаций базисного решения.

В работе представлены и исследованы различные подходы для определения базисного решения.

На основе анализа физических свойств задачи базисное решение можно построить с помощью траектории в геофизическом пространстве. Вообще говоря, при решении задач управления подобного типа, где управление осуществляется движением механического объекта в пространстве, для выбора базисного решения можно использовать предложенную далее методику [6].

Для построения базисного решения соединим на плоскости Я} начальную (¿О.Я0) и терминальную точки прямой линией

Я-Я0 _ ¿-¿о (5б)

Я/-Я0

где

Н = ^х 12+х32-й, *3 '

(5.7)

(5.8)

На вход системы управления подаем отклонения от траектории (5.6) по положению >'1 и по углу у 2.

У\ =

Нп

Яу/Яо-1

гаг^—+1 |.

у2 =атс1ё

(Х1Х2+Х^Х^Х1+ХЗ

К2(х2Х3-Х^)

-ап^

*3

Таким образом, базисное управление можно записать в виде:

и+,еслиг> м-, если г < м- , 2, иначе

где

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

2 = 91У1+9гУ2. где Ч\, Я2 - компоненты вектора искомых параметров.

Выражение (5.12) определяет вид базисного сетевого оператора. Кроме того, на основании (5.12) можно задать и любую другую комбинацию переменных У\, У2 и параметров <7/, где / = 1 -Р.

Основная цель работы генетического алгоритма состоит во внесении таких изменений (вариаций) в матрицу сетевого оператора базисного решения, чтобы на выходе получился сетевой оператор, представляющий формулу искомого оптимального управления (3.10).

Внесение изменений в матрицу сетевого оператора базисного решения осуществляем путем последовательного внесения в нее малых вариаций одного из перечисленных типов: замена унарной операции на дуге графа; замена бинарной операции в узле графа; добавление дуги; удаление дуги, т.е. используем вариации, которые не влияют на размерность сетевого оператора.

Каждая вариация изменяет граф сетевого оператора, сохраняя его свойства.

Все вариации формально могут быть описаны целочисленным вектором вариаций из четырех компонент лу = [и1; и>2 и*з щ]Т, где - номер вариации, и'2 - номер строки матрицы сетевого оператора, и'з - номер столбца матрицы сетевого оператора, и'4 - номер бинарной или унарной операции, в зависимости от номера вариации.

При реализации генетического алгоритма на основе принципа базисного решения в качестве хромосомы используем упорядоченный набор векторов вариаций.

Для того, чтобы обеспечить достаточную вариабельность решений при малой длине хромосомы необходимо периодически изменять базисное решение. Базисное решение изменяем после нескольких поколений, или эпох, которые являются основными циклами генетического алгоритма. При смене эпохи базисное решение заменяется наилучшим найденным решением, при этом в популяции необходимо создать тождественную хромосому, состоящую из векторов вариаций, не меняющих решение.

Для решения задачи (3.1) - (3.10) на основе сетевого оператора необходимо определить конструктивные множества (5.1) - (5.4). Затем установить размерность сетевого оператора, определить множество вариаций и выбрать базисные решения. После этого можно построить генетический алгоритм для поиска решений.

На первом этапе алгоритма генерируем множество возможных решений -популяцию хромосом. Каждая хромосома состоит из двух частей.

Первая часть влияет на структуру системы управления и представляет собой

упорядоченное множество векторов вариаций = (те1,.••>«'''), где = и,'2 Ц у^

— вектор вариаций, (= 1, г . Вторая часть хромосомы влияет на значения параметров системы управления и представляет собой битовую строку, закодированную кодом Грея, й=(.....^), где ^ е {0,1}, у = цу.

Первоначально создаем популяцию из Я хромосом, состоящих из двух частей, структурной и параметрической. Для каждой хромосомы вычисляем значения функций приспособленности, которые соответствуют функционалам (3.7), (3.8).

Для определения приспособленности хромосомы введем условное множество

Парето. Пусть = [^...У^вектор значений функционалов для хромосомы Л. Отношение Парето > J Л2 справедливо, если выполняются условия > ,

Условное множество Парето Рс представляет собой совокупность возможных решений или хромосом \ < к< Н, для которых не существует хромосом, более

лучших в смысле отношения Парето.

Чтобы построить условное множество Парето на популяции хромосом, введем характеристику - расстояние от текущей хромосомы до условного множества Парето

, н

Л* = ЪКк , (5.13)

А=1

где

д (0, иначе

В качестве функции приспособленности для оценки решения используем расстояние до условного множества Парето.

Рс={(\¥*,8*),1<*<Я :Л*=о}. (5.14)

Хромосомы, имеющие нулевое расстояние, принадлежат условному множеству Парето.

(WA2

Для репродукции хромосом в популяции случайно отбираем пару jw^.s'11) и sa2 ). Определяем вероятность скрещивания по условию

il + W"! 1 + уЛА21

= max-j—'—¡-,—4-1 (5.15)

Il+Л'1' 1 + Ла2 J' 1

где у е. [О,l) - параметр скрещивания.

Обмениваем части хромосом и получаем четыре новых хромосомы—потомка: (w"+1,sW+1), (w"+2,s"+2(, где сохраняем структурные части родителей,

Wff+l=WAl> W/i+2=W/'2. и (ww+3,sH+3), (ww+4,s//+4), где изменяются и структурная и параметрическая части.

Для новых хромосом с заданной вероятностью Рт выполняем операцию мутации. Для мутации хромосомы случайно выбираем элементы в струюурной и параметрической частях и заменяем их на новые, случайно сгенерированные.

Вычисляем значения функционалов для новых хромосом. Осуществляем проверку включения новой хромосомы в популяцию. Вычисляем расстояние до условного множества Парето для новой хромосомы . В популяции находим хромосому с

наибольшим расстоянием = тах{лА,/г = 1,//} > где V " номер наихудшей

хромосомы в популяции. Если расстояние до условного множества Парето у наихудшей хромосомы больше, чем у новой хромосомы > л"+| > то заменяем наихудшую хромосому на новую \уЛ+ = w"+'. sA+ = s"+1 > 1^/54.

Пересчитываем заново расстояния до условного множества Парето по формуле (5.13) для всех хромосом в популяции и повторяем операции отбора родителей, скрещивания и мутации.

Алгоритм завершает свою работу после прохождения заданного числа поколений. Результатом работы алгоритма является условное множество Парето, построенное на конечной популяции хромосом. Алгоритм также может завершить свою работу, если условное множество Парето не изменяется на протяжении заданного количества поколений. Выбор конкретного решения осуществляется на основании дополнительных критериев или на основании экспертного анализа полученных решений.

Вычислительный эксперимент проводился при тех же параметрах модели, что и для решения задачи оптимального управления. Начальный угол входа точно не был известен

и поэтому, он выбирался из диапазона (3.6), где = -0,085 рад, /¡q = -0,09 рад. Для реализации вычислений были определены следующие множества: множество унарных операций

Ol=[pi{z),p3(z),p4{z),ps{z),ps(z),p9{z),pla{z),pl4{z),pi5(z)},

где

Pi(*) = z, Рз (*) = "*, P4(Z)=PioM-1/R,

Psiz

—, если |z| > £ „ zi \ , где£ = 10-7 ,

™,еслиЫ<£

1+е

. . Г], если 2 > О,

Рд\2) = 6(2), где 0(г) - функция Хевисайда, 0(2) = ■!

[О, если 2 < О,

/1 . ГI, если2>0,

Рю(2) = ГДе =

[-1, если г<0,

Р14и) = 23,

множество бинарных операций

02 = + =/-7'}.

Множество переменных имело следующий вид: У = [У1,У2), где У[, >"2 вычислялись из соотношений (5.9), (5.10). Множество параметров содержало четыре параметра С = (<71,<72>9з>94) ■ Для увеличения числа параметров базисное решение было модифицировано и имело следующий вид ^ ~ Чг[ч\У\ + Ч2У2) ~Чц[ч\У\ + Я2У2).

Векторы номеров узлов входных переменных, параметров и выходных переменных имели следующие значения: Ь=|1,2]г, в = ¡3,4,5,6]г, <1 = [1б]Т.

При синтезе использовались следующие параметры генетического алгоритма: размер начальной популяции 512; число пар, отбираемых для скрещивания в одном поколении 256; число поколений 127; число поколений между эпохами 16; длина хромосомы 12; размерность матрицы сетевого оператора 16; параметр для скрещивания 0,4; вероятность мутации 0,8.

В результате синтеза была получена Парето-область (рис.5.1), являющаяся решением поставленной задачи. В таблице 5.1 представлены значения функционалов (3.7) и (3.8), определяющие полученное множество Парето.

__Таблица 5.1.

А>ед-я •/2, м

7,999274964 25,94089319

7,997622506 165,8786695

7,996670258 384,5775085

7,994186528 451,047627

7,992438382 595,4433004

7,991468201 816,1181808

7,985293168 887,4421348

7,977366284 891,8490394

7,968619679 1220,027666

7,966361225 2537,325314

7,954134774 3063,004451

7,952536446 4067,107054

едц

7.995 7.99 7,935 7.93 7,975 7,97 7,965 7,96 7,955

10ОО 2 000 3 000 4 000

Рис. 5.1. Парето-область решения задачи

Экспертно выбрали одно решение, для которого = 7,95 Выбранное на множестве Парето управление имеет следующий вид:

и~, если г<и~ и+, если г > и+ , г, иначе

3063 м.

где

<¡4) ) чт

•^П

У1-[1*Ч2)У2*П+Я4~ПЧ*

9194

I

где ^ =3,96875, =2,765625 , д3 =0,421875, =2.

Л-(1 + 92^2+

91 + 94-91 94

9194

Выражение для переменной я описывается следующей матрицей сетевого

оператора:

Ч» =

000000100000 0000

000000310000 0000

000000300050 0000

000000010000 0000

000000000100 4000

000000500001 0000

000000001010 0000

00000001 1030 0000

000000001 100000 о

000000000100100 14 000000000001004 о 000000000000100 0 000000000000 0100 000000000000 0010 000000000000 0001 000000000000 0000

Управление было получено при начальном угле Ра =-0,09. На рис. 5.2 и 5.3 приведены графики перегрузки и управления. Из представленных графиков видно, что структура управления сохранилась и имеет такой же вид, как и при полученном оптимальном программном управлении.

■Л.ед.я

f "N i ....Li.

......i.....!....... : : ........;......!...... ■ i / i / ........ i .......Г : "í...... ....... i .....M .....1.....\ ...... : ! i : .......i......i...... : i 1 ;

i rj : 1 .....;.....:../.. : ; i ! ; : i ..J j..... : :

i V .....:.....T..... : i

: J -......... ; : i г .....;....... : : : ; .......\......|....... X .....:.....i..... ,.....i.....

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 200

Рис. 5.2. Значение перегрузки при синтезированном управлении и

...... .......i..... ....... -I...... ...... ......i.....

...... ....... ..... ....... ••••i....... i ........ ....... ....

\ 1 ;

...... _4 ....... ...... ...... ..... ....... ...... ..... i .....i....... ......i...... i.., ....... ....... ....... ......

Рис. 5.3. Значение управления при синтезированном управлении

Дня сравнительного анализа чувствительности к изменению начальных условий синтезированной системы управления и программного управления проводилось моделирование при вариации начального угла наклона траектория ßo. Результаты моделирования приведены на рис. 5.4 и 5.5. Сплошной линией на рисунках указаны изменения функционалов для синтезированного управления, а пунктирной линией - для программного. Как видно из рисунков синтезированное управление при вариации начальных условий сохраняет лучшие значения обоих функционалов, чем программное.

Рис. 5.4. Влияние значения начального угла входа космического аппарата на перегрузку J)

Рис. 5.5. Влияние значения начального угла входа космического аппарата на точность попадания Jj

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан численный метод решения задачи оптимального управления, на основе аппроксимации управления с помощью кривых Безье. Метод позволяет уменьшить количество оптимизируемых параметров за счет использования опорных точек вместо точек дискретизации. На основе разработанного метода получено приближенное оптимальное программное управление спуском космического аппарата.

2. На основе метода сетевого оператора и генетического программирования разработан алгоритм для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления спуском космического аппарата. Алгоритм позволяет одновременно искать решения для структурного и параметрического синтеза системы управления.

3. На основе разработанного метода синтеза построена система управления спуском космического аппарата, работающая по координатам пространства состояний. С помощью моделирования показано, что синтезированная система управления в виде нелинейных обратных связей по координатам пространства состояния обеспечивает

управление близкое к результату, полученному с помощью оптимального управления как функции времени, вычисленного для той же задачи с помощью метода аппроксимации кривыми Безье. Синтезированное управление при вариации начальных значений сохраняет лучшие значения функционалов, чем оптимальное программное управление.

4. Разработан в среде Delphi 7 комплекс программ, реализующих алгоритмы для решения задачи оптимального управления методом кривых Безье и синтеза системы управления на основе генетического программирования с сетевым оператором.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дивеев А.И., Комаръ' Е.Ю., Северцев H.A., Софронова Е.А. Генетический алгоритм синтеза оптимального управления посадкой космического аппарата // Труды международного симпозиума Надежность и качество в 2-х томах/ под ред. Ю.К. Юркова. Пенза 21-31 мая 2007, изд-во ПГУ, Т. 1, С. 192-193.

2. Дивеев А.И., Комарь Е.Ю. Генетический алгоритм синтеза оптимального управления посадкой космического аппарата // Тезисы докладов 5-й Международной научно-технической конференции «К.Э. Циолковкий - 150 лет со дня рождения. Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика. ISBN 978-5-7722-0279-1. Рязань. 5-7 сентября 2007. РГРТУ, 2007. С.86-89.

3. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Метод аппроксимации кривыми Безье для решения задачи оптимального управления посадкой космического аппарата // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем/ Под редакцией члена корреспондента РАН Ю.С. Попкова. М.: ИСА РАН, КомКнига, 2007. Том 31(1). С. 8-13.

4. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Метод генетического программирования для синтеза оптимального управления спуском космического аппарата // Интеллектуальные системы: Труды Восьмого международного симпозиума (INTELS'2008) / под ред. К.А. Пупкова-М.: РУСАКИ, 2008. ISBN 978-5-933470332-9. С. 325-327.

5. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Метод генетического программирования для решения задачи оптимального управления. // Научная сессия МИФИ-2008. Том 10. Интеллектуальные системы и технологии. ISBN 978-5-7262-0883-1. С. 119-121.

6. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Многокритериальный структурно-параметрический синтез системы управления спуском космического аппарата на основе метода сетевого оператора // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия инженерные исследования. 2008. №4. С. 86-93.

7. Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю. Метод автоматического подбора формул для синтеза системы управления спуском космического аппарата // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем / Под редакцией члена корреспондента РАН Ю.С. Попкова. М.: ИСА РАН, КомКнига, 2008. Т 32(1) С. 7-15.

1 Примечание. Комарь - девичья фамилия автора диссертации Шмалько Е.Ю.

Подписано в печать 10.02.2009 г. Печать лазерная цифровая Тираж 100 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: (495) 785-00-38 www.autoref.webstolica.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Формальная постановка задачи синтеза.

1.2. Обзор существующих методов решения задачи синтеза.

1.3. Выводы.

2. СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ.

2.1. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов.

2.2. Метод генетического программирования.

2.3. Выводы.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА.

3.1. Построение математической модели спуском космического аппарата.

3.2. Расчет параметров модели влияния атмосферы на силы, действующие на спускаемый космический аппарат.

3.3. Исследование коридора входа в атмосферу.

3.4. Критерии качества управления.

3.5. Выводы.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОСАДКОЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА.

4.1. Метод аппроксимации управления кривыми Безье.

4.2. Вычислительный эксперимент и результаты.

4.3. Выводы.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ.

5.1. Метод сетевого оператора для решения задачи синтеза управления.

5.2. Выбор базисного решения.

5.3. Алгоритм синтеза.

5.4. Методики синтеза и вычислительный эксперимент.

5.5. Выводы.

Одним из важнейших направлений развития автоматики на современном этапе является разработка методов интеллектуальных технологий и соответствующих инструментальных средств для решения задач управления сложными нелинейными динамическими объектами. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки и внедрения в практику универсального метода синтеза систем управления сложными объектами.

Настоящая работа посвящена решению задачи синтеза оптимального закона управления космическим аппаратом при спуске со второй космической скоростью. Задача синтеза состоит в том, что для любого момента времени оптимальный закон управления ищется в виде функции от состояния объекта, действующей по принципу обратной связи.

Данная задача на протяжении многих лет является одной из ключевых проблем теории управления. Нужно заметить, что на сегодняшний день существует огромное количество методов решения задачи оптимального управления, учитывающих многочисленные нюансы данной области исследования. Традиционные методы оптимального управления (вариационное исчисление [5], [78] и др., принцип максимума Л.С. Понтрягина [65]) одновременно с большим количеством разработанных численных методов оптимального управления (см., например, [10], [56], [64], [72], [85], [113]) решают задачу оптимального управления как функции от времени. К тому же специфика существующих методов такова, что овладение их теоретическими основами еще не означает возможность решить с их помощью сложную техническую задачу, такую как задача управления спуском космического аппарата.

В настоящей работе ставится задача синтеза системы управления. Проблема синтеза состоит в построении функции u = u(x,?), называемой синтезируемой функцией и представляющей собой значение оптимального управления при условии, что в момент t система управления находится в точке х = х(/). Решение проблемы синтеза имеет особую актуальность именно в прикладных задачах, поскольку, имея синтезируемую функцию управления и(х,?), технически не составляет особой сложности реализовать ее в схеме с обратной связью, таким образом обеспечив оптимальных ход процесса. Тем более, что на сегодняшний день развитие техники достигло такого уровня, что воспроизвести управляющий сигнал любой сложности не составляет труда, главное, чтобы имелось математическое описание данного сигнала.

В отличие от задачи оптимального управления, методов решения задачи синтеза системы управления не очень много. Большинство известных подходов к решению задачи синтеза управления [7] - [9], [34], [46] - [52], [100] и др. основаны на использовании специальных свойств объектов и функционалов. Для произвольных функционалов и нелинейных объектов эффективного метода решения задачи синтеза управления в общем случае не известно. Это обстоятельство обуславливает актуальность настоящей работы.

Практический синтез управления осуществляется на основе двухэтапного подхода [14], [15]. Суть данного метода заключается в том, что на первом этапе строится программная траектория, как функция времени, на основе решения задачи оптимального управления. На втором этапе, строится система управления, которая обеспечивает стабилизацию объекта в окрестности полученной программной траектории. При решении задачи стабилизации часто осуществляется линеаризация математической модели объекта и используются стандартные методы синтеза регуляторов [54] для линейных систем. Такой подход не гарантирует получения оптимального управления и требует от регулятора обеспечение робастности системы управления на всем диапазоне изменения коэффициентов линеаризованной системы.

Рассматриваемая в работе задача синтеза системы управления спуском космического аппарата в качестве критерия оптимальности использует функционал максимума перегрузки. Такой функционал имеет сложный нелинейный вид и объект управления также нелинеен, поэтому для решения задачи синтеза в данном случае не могут быть использованы известные методы.

Исследованию проблемы управления движением космического аппарата при входе в атмосферу и спуске его на поверхность Земли посвящено множество работ как российских [11], [12], [58], [59], [72] так и зарубежных [99], [115], [117] авторов. В данных работах оптимальное управление космическим аппаратом ищется как функция времени. Задача синтеза системы управления спуском космического аппарата, то есть нахождения оптимального управления как функции координат пространства состояний, ранее не решалась, что определяет актуальность настоящей работы.

В настоящей работе напрямую решается задача синтеза системы управления спуском космического аппарата. В результате разработчик должен получить управление как функцию координат пространства состояний. Прямых аналитических методов решения данной задачи не существует. Решить данную задачу в общей постановке представилось возможным с появлением таких численных методов, как генетическое программирование [66], [87], [90], [93], [104]. При решении поставленной в работе задачи используется метод генетического программирования с сетевым оператором [21], [44], который позволяет описывать произвольные математические выражения и представлять их в компьютере с помощью целочисленной матрицы, что повышает эффективность алгоритма синтеза. На основании разработанного алгоритма создан программный комплекс для синтеза систем управления рассматриваемым объектом.

Таким образом, целью диссертационной работы является разработка эффективного вычислительного метода синтеза системы автоматического управления сложным нелинейным объектом. Для достижения поставленной цели было осуществлено решение следующих задач:

- обзор существующих методов и подходов решения поставленной задачи синтеза оптимального управления;

- исследование математической модели спуска космического аппарата с целью выработки первого приближения модели системы управления;

- разработка численного метода решения задачи на основе аппроксимации управления с помощью кривых Безье и его исследование;

- разработка и исследование метода сетевого оператора для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления спуском космического аппарата на основе анализа свойств модели посадки космического аппарата и последних достижений в области алгоритмизации;

- создание комплекса программ для численного решения рассматриваемой задачи и проведение экспериментального исследования задачи.

Предметом исследования является задача синтеза системы управления спуском космического аппарата.

Методологической и теоретической основой исследования послужили научные труды и практические результаты, сформулированные в исследованиях российских и зарубежных ученых в областях теории управления, системного анализа, методах оптимального управления, теории графов, теории алгоритмов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке и формализации метода синтеза системы управления нелинейным объектом, его применение и исследование его возможностей для решения задачи управления сложным техническим объектом. Разработанный на базе сетевого оператора метод синтеза управления включает в себя этап решения задачи оптимального управления. В свою очередь для решения задачи оптимального управления разработан новый эффективный численный метод на основе аппроксимации кривыми Безье. Основные положения и выводы, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при дальнейшем развитии теории управления нелинейными объектами.

Практическая значимость исследования состоит в том, что на основании разработанных алгоритмов создан программный комплекс для синтеза систем управления. Разработанный в диссертации метод синтеза управления может быть использован при проектировании, анализе и эксплуатации различных систем сложных технических объектов. Работоспособность и эффективность метода подтверждена решением сложной технической задачи синтеза оптимального управления спуском космического аппарата. Кроме того, результаты исследования могут быть включены в учебные курсы по синтезу систем управления сложными динамическими объектами.

Апробация результатов исследования, подтверждается докладами на следующих научных конференциях и международных симпозиумах: «Надежность и качество 2007» (г. Пенза), «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика 2007» (г. Рязань), «Научной сессии МИФИ-2008» (г. Москва), «Интеллектуальные системы» (INTELS'2008) (г. Нижний Новгород). По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ.

Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения и списка литературы.

5.5. Выводы

1) Разработаны и исследованы два подхода к построению базисного решения для реализации метода генетического алгоритма на базе сетевого оператора. Оба подхода исследованы для задачи спуска космического аппарата.

2) На основе принципа базисного решения и метода сетевого оператора разработан генетический алгоритм для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления. Алгоритм позволяет одновременно искать решения для структурного и параметрического синтеза системы управления.

3) На основе разработанного метода синтеза построена система управления спуском космического аппарата, работающая по координатам пространства состояний. Система управления обеспечивает достижение максимального значения перегрузки не более 7,9 g и точность попадания с погрешностью до 4 км.

4) На основе проведенного моделирования получена общая структура управления. Показано, что синтезированная система управления в виде нелинейных обратных связей по координатам пространства состояния обеспечивает управление близкое к результату, полученному с помощью оптимального управления как функции времени, вычисленного для той же задачи с помощью метода аппроксимации кривыми Безье.

5) Разработан в среде Delphi7 комплекс программ для реализации генетического алгоритма решения задачи синтеза системы управления на основе метода сетевого оператора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного научного исследования были получены следующие результаты:

1) Разработан численный метод решения задачи оптимального управления, на основе аппроксимации управления с помощью кривых Безье. Метод позволяет уменьшить количество оптимизируемых параметров за счет использования опорных точек вместо точек дискретизации.

2) На основе метода сетевого оператора разработан генетический алгоритм для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления спуском космического аппарата. Алгоритм позволяет одновременно искать решения для структурного и параметрического синтеза.

3) На основе разработанного метода синтеза построена система управления спуском космического аппарата, работающая по координатам пространства состояний. Система управления обеспечивает достижение максимального значения перегрузки не более 7,9 g и точность попадания с погрешностью до 4 км. На основе проведенного моделирования показано, что синтезированная система управления в виде нелинейных обратных связей по координатам пространства состояния обеспечивает управление близкое к результату, полученному с помощью оптимального управления как функции времени, вычисленного для той же задачи с помощью метода аппроксимации кривыми Безье.

4) Разработан в среде Delphi7 комплекс программ для реализации алгоритмов решения задачи оптимального управления методом кривых Безье и синтеза системы управления на основе генетического программирования сетевым оператором.

1. Алберг Дж., Нжъсон Э., УолшДж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.-318 с.

2. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г., Ярошевский В. А. Маневрирование космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1970. - 416с. Андреев Ю.Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // АиТ. -1982. №10. - С.5-46.

3. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации М.: Высшая школа, 2006 — 584с.

4. Атанс М., Фалб 77. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

5. Афанасьев В.Н. Оптимальные системы управления. Аналитическое конструирование: Учеб. пособие. М.: РУДН, 2007. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 1989.-614 с.

6. Беллман Р. Динамическое программирование М.: Мир, 1960. - 400 с. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс, 2002. — 824 с.

7. Величенко В.В. К задаче о минимуме максимальной перегрузки //

8. Космические исследования. 1972, X. Вып.5. - с.700-710.

9. Власов А.Г., Митрошин Э.И., Уколов И.С. Вопросы оптимизацииспуском космического аппарата в атмосфере // Космическиеисследования. 1969, №2, т.VII, - с. 179-189.

10. Волков ЕА. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

11. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем пограммного движения. // Вестник УДН, 1994. Сер. прикл. математика и информатика. №1. — с. 5-21.

12. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. — 352с.

13. Глазков А.Г., Ибрагимов КЗ., Климин А.В., Трунов Ю.В., Хазан М.А., Хитрик М.С., Ярошевский В.А. Управление космическим аппаратом при входе в атмосферу // Космические исследования. 1969, №2, т.VII. -с. 163-170.

14. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.

15. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Задача структурного синтеза системы автоматического управления // Вестник Российского университета дружбы народов Серия Инженерные исследования. 2007, № 1.-е. 4858.

16. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Метод сетевого оператора в задачах управления // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Инженерные исследования (информационные технологии и управление). 2007, № 4. - с. 107-119.

17. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Основы генетического программирования: Учебно-методическое пособие. М.: Изд-во РУДН, 2006.-47 с.

18. Дмитриевский А.А., Лысенко JI.H. Прикладные задачи теории оптимального управления движением беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 328 с.

19. Дружинина М.В., Никифоров В. О., Фрадков A.JJ. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и Телемеханика. 1996. №2. - с. 3-33.

20. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 223с.

21. Иванов Н.М., Мартынов А.И. Управление движением космического аппарата в атмосфере Марса. М.: Наука, 1977. - 134 с. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003 - 304 с.

22. Каханер Д., Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

23. Колесников АА. Основы синергетики управляемых систем: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. - 123 с.

24. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. М.: Едиториал УРСС/КомКнига, 2006. - 240 с.

25. Колесников А.А., Веселое Г.Е., Попов А.Н., и др. Синергетические методы управления сложными системами: механические и электромеханические системы. М.: Едиториал УРСС/КомКнига, 2006. - 304 с.

26. Красовский А.А. Проблемы физической теории управления. // Автоматика и телемеханика, 1990, №11.

27. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973.

28. Красовский А.А., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления технологическими процессами. — М.: Наука, 1977.

29. Лебедев А.А., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов М.: Машиностроение, 1974.

30. Jlemoe A.M. Синтез оптимальных систем // Оптимальные системы. Статистические методы: Труды II Международного конгресса ИФАК. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. I // Автоматика и телемеханика, 1960, №4.

31. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. II // Автоматика и телемеханика, 1960, №5.

32. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. III // Автоматика и телемеханика, 1960, №6.

33. Jlemoe A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. IV // Автоматика и телемеханика, 1961, №4.

34. Jlemoe A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. V // Автоматика и телемеханика, 1962, №11.

35. Летов A.M. Динамика полета и управление М.: Наука, 1969. — 360 с. Малышев В.В., Кибзун А.И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами - М.: Машиностроение, 1987. -303 с.

36. Методы классической и современной теории автоматического управления. В 5 томах. Том 4. Теория оптимизации систем автоматического управления / под ред. Егупова Н.Д., Пупкова К.А. — МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. 741 с.

37. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим аппаратом при входе в атмосферу — М.: Наука, 1975.-400 с.

38. Пантелеев А.В., Бортаковский А. С. Теория управления в примерах и задачах. -М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

39. Пенев Г.Д. Адаптивная стабилизация класса нелинейных и нестационарных динамических систем. Вопросы кибернетики: Адаптивные системы. М.: Научный совет по кибернетике АН СССР, 1976.-С. 93-99.

40. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов М.:Физматгиз, 1976.-384 с.

41. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. В 4 томах / под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967-1969.-2424 с.

42. Траксел Дж. Самонастраивающиеся системы (обзорный доклад) // Тр. II межд. Конгресса ИФАК «Дискретные и самонастраивающиеся системы». -М.: Наука, 1965, с. 240-251.

43. Тюкин И.Ю., Терехов В.А. Адаптация в нелинейных динамических системах. М.: Издательство ЛКИ, 2008. - 384 с.

44. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления М.: Наука, 1978. - 488 с.

45. Фелъдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. -М.: Наука, 1966.-624 с.

46. Феодосьев В.И. Основы техники ракетного полета. Изд. 2-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 496 с.

47. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304 с.

48. Фомин В.Н., Фрадков A.JI., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 447 с.

49. Фрадков A.JI. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. М.: Наука, 1990. - 448 с.

50. Элъсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука, 1969. - 424 с.

51. Якубович В.А. К теории адаптивных систем // ДАН СССР. — 1968. Т. 182. №3. с.518-521.

52. Astolfi A., Ortega R. Immersion and Invariance: a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. April 2003. Vol.48(4). P. 590-605.

53. Bastin G., Gevers M.R. Stable adaptive observers for nonlinear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1988. Vol.33(7). P. 650-658.

54. Bellman R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour. Princeton University Press, 1961.-255 P.

55. Bellman R., Kalaba R. Dynamic Programming and Modern Control Theory. -N.-Y.: Academic Press, 1965. 218 P.

56. Ben Coppin Artificial Intelligence Illuminated. Jones and Bartlett Publishers, 2004. - 739 P.

57. Bonnans J.F., Gilbert J.Ch., Lemarechal C., Sagastizabal C. Numerical Optimization. Theoretical and practical aspects. Berlin: Springer-Verlag, 2002. - 423 P.

58. Byrnes C.I., Isidori A. New results and examples in nonlinear feedback stabilization // Systems Contr. Lett. 1989. №12. P. 437-442.

59. Chong E.K.P., Zak S.H. An Introduction to Optimization. N.-Y.: Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, John Wiley & Sons, Inc., 1996.-409 P.

60. Darrell Whitley An Overview of Evolutionary Algorithms: Practical Issues and Common Pitfalls // Journal of Information and Software Technology. 2001. Vol.43.-P. 817-831.

61. Datta A., Ho M.-T. On modifying model reference adaptive control schemes for performance improvement // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. Vol.39(9). P.1977-1980.

62. Davis L. Handbook of Genetic Algorithms. N.-Y.: Van Nostrand Reinhold, 1991.-385 P.

63. Farouki R.T., Goodman T.N.T. On the optimal stability of the Bernstein basis // Mathematics of computation. 1996. Vol.65(216). P.1553-1566.

64. Farouki R.T., Rajan V.T. Algorithms for polynomials in Bernstein form// Computer Aided Geometric Design. 1988. Vol.5. P. 1-26.

65. Fogel D.B. Evolutionary Computation. Towards a New Philosophy of Machine Intelligence. Second Edition. IEEE Press, 2000. - 328 P.

66. Goldberg D. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Reading: Addison-Wesley, 1989. - 412 P.

67. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, 2002. - 453 P.

68. Holland J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor: The University of Michigan Press, 1975. - 96 P.

69. Intelligent Control Systems using Computational Intelligence Techniques / by A. E. Ruano. Institution of Engineering and Technology, 2005. -667P.

70. Ioannou P., Sun J. Robust Adaptive Control. New Jersey: Prentice-Hall, 1996.-848 P.

71. John V. Becker Entry Vehicles // Astronautics and Aerospace Engineering. 1963. Vol. 1(10). P.70-74.

72. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. Vol.5. P. 102-119.

73. Kannellakopoulos /., Kokotovic P.V., Morse A.S. Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1991. Vol.36. -P.1241-1253.

74. Karsenti L., Lamnabhi-Lagarrige F., Bastin G. Adaptive control of nonlinear systems with nonlinear parametrization // System and Control Letters. 1996. Vol.27.-P.87-97.

75. Kokotovic P.V., Sussman H.J. A positive real condition for global stabilization of nonlinear system. // System and Control Letters. 1989. Vol.13.-P. 125-133.

76. Koza J.R. Genetic Programming. MIT Press, 1998. - 609 P.

77. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. A new generation of adaptive controllers for linear systems. // Proc. 31st IEEE Conf. Dec. Control, Tucson, 1992. -P.3644-3651.

78. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. Wiley and Sons Inc., 1995. - 576 P.

79. Leandro Nunes De Castro, Fernando J. Von Zuben Recent Developments in Biologically Inspired Computing. IGI Publishing, 2005. - 456 P.

80. Loh W.H.T. Dynamics and Thermodynamics of Planetary Entry. — Englewood Gliffs, New Jersey: Prentice-Hall Inc. 1963.

81. Marino R. Adaptive observers for single output nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol.35(9). P.1054-1058.

82. Marino R., Tomei P. Global adaptive output-feedback control of nonlinear systems. Part I: linear parametrization // IEEE Transactions on Automatic Control. 1993. Vol.38(l). -P.17-32.

83. Marino R., Tomei P. Robust Adaptive State-Feedback Tracking for Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. Vol.43(l). P.84-89.

84. Narendra K. S., Lin Y.-H., Valavani L.S. Stable Adaptive Controller Design. Part II: Proof of Stability. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1980. Vol.3. -P.440-449.

85. Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization. -N.-Y.: Springer-Verlag, 1999.-651 P.

86. Ortega R. On Morse's new adaptive controller: parameter convergence and transient performance // IEEE Transactions on Automatic Control. 1993. Vol.38(8). P.l 191-1202.

87. P. Dow, D. Fields, F. Scammel Guidance and control. // Progress in Astronauties and Rocketry. 1961. Vol.8. -P.271.

88. P. J. Fleming, Robin C. Purshouse, Robert J. Lygoe Many-Objective Optimization: An Engineering Design Perspective. // EMO. 2005. — P. 1432.

89. R.C. Wingrove, Trajectory Control Problems in the Planetary Entry of Manned Vehicles // Proceedings of the AIAA Entry Technology Conference, Williamsburg and Hampton, Virginia. 1964. P. 22-23.

90. Tsinias J. Sufficient Lyapunov-like conditions for stabilization // Math. Contr. Signals Syst. 1989. Vol.2. P. 343-357.

91. Vincent Antony Kumar and Balasubramaniam P. Optimal control for linear singular system using genetic programming // Applied Mathematics and Computation. 2007. Vol.192 (1). P. 78-89.

92. William M. Spears Evolutionary Algorithms. The Role of Mutation and Recombination. Springer, 2000. - 220 P.

93. Zadeh L. On the definition of adaptivity // Proc. IEEE. 1963. Vol.51. P. 469-470.

94. Zakian V. Control Systems Design: A New Framework. London: Springer-Verlag, 2005. - 398 P.