автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Решение обратной геодезической задачи на расстояния, близкие к предельным

Введение

Глава!. Совершенствование алгоритма решения главных геодезических задач на большие расстояния

1.1 Анализ алгоритмов решения обратной геодезической задачи на большие расстояния

1.2 Алгоритм Бесселя в изложении В. П Морозова и необходимость его совфшшсгвоваиия

Выводы по главе

Глава 2. Условия применения алгоритма Бесселя для решения обратной геодезической задачи на расстояния, близкие к предельный

2.1 Исследование корректности алгоритма Бесселя

2.2 Исследование области в окрестности агаттодной точки, в которой возникает неопределенность решения обратной геодезической задачи по способу Бесселя

2.3 Общие закономерности в расгфеделении точек окончания пучка граничных геодезических шш вдоль аппроксимирукшдей кривой

Выводы по главе

ГлаваЗ. Построение геодезической линии с использованием пространственной системы координат

3.1 Алгоритм построения геодезической линии путем проектирования средних точек пространственных хорд по нормалям к поверхности элшшсоида

3.2 Контроль построения геодезической линии

3.3 Алгоритм точного сближения промежуточной точки с ближайшей точкой геодезической линии

3.4 Уклонение нормали к поверхности, проходящей через середину пространственной хорды от нормали к поверхности в ближайшей точке геодезической линии 9()

Выводы по главе

Глава 4. Решение обратной геодезической задача на расстояния, близкие к предельным

4.1 Особые случаи решения обратной геодезической задачи на большие расстояния

4.2 Исследование точности алгоритма решения обратной геодезической задачи ш расстояния, близкие к предельным, предложенного

В. П Морозовым

4.3 Алгоритм решения обратной геодезической задачи на любые расстояния с помощью промежуточной точки

Вывода по главе 4 Заключение Приложения: а) Таблица б) Таблица в) Программа (^-Ьачю) решения обратной геодезической задачи на любые расстояния

Актуальность проблемы. На Генералшой ассамблее Международного союза геодезии и геофизики, состоявшейся в Риме в 1954 году; проблема больших расстояний, впоследствии получившая название антиподной, была названа одной из важнейших. Направления ее решения обсуждались на заседании рабочей группы Международной ассоциации геодезистов в Торонто [40], [50], на котором было принято соответсгоукжцее постановление [41]. В 1955 году английский геодезист Г.Ф. Рейнсфорд в статье: "Длинные геодезические линии на эллипсоиде" [46] сформулировал необходимые требования к точности решения обратной геодезической задачи на большие расстояния и на конкретных примерах показал, что во всех существующих алгоритмах возникает неопределенность решения, когда разность долгот исходных точек близка к 18(Я. Между тем до настоящего времени строгого способа решения антиподной проблемы не найдено.

Наиболее распространенной и изящной в представлении формул отечественной версией способа Бесселя является алгоритм, предложенный ЕШМорозовым [26], [27], [28], который часто используют в качестве эталона для оценки точности других способов [23]. Однако даже в этом алгоритме, при максимально возможной для полусфероида длине геодезической линии количество членов разложения в интегральных формулах связи оказывается недостаточным.

Традиционно алгоритмы решения прямой и обратной геодезических задач рассматриваются авторами обособленно. Поскольку в основе их лежат одинаковые исходные формулы, то естественно предположить* что достоверным контролем качества работы алгоритмов является однозначное соответствие результатов решения обратной геодезической задачи по данным, полученным из решения прямой геодезической задачи. Тем не менее в указанном выше алгоритме такого соответствия не достигается, особенно для предельно больших длин линий, начальные азимуты которых близки к 90° (270°), Кроме того, применение неитерационной формулы для вычисления сферического расстояния в алгоритме прямой геодезической задами [27] приводит к ошибкам в конечном результате даже для средних расстояний при решении обратной геодезической задачи по данным, полученным из решения прямой. Поэтому алгоритм В. П Морозова требует совершенствования с учетом вышеизложенных недостатков. Тем не менее даже в усовершенствованном алгоритме при расположении конечной точки геодезической линии в пределах антиподной области сходимость итерационного процесса отсутствует.

Детальное исследование окрестности антиподной точки, выполненное на основе численного моделирования, позволило установить, что границы области, в которой возникает неопределенность решения обратной геодезической задачи по способу Бесселя, с высокой точностью можно аппроксимировать с помощью кривой: удлиненной циклоиды Максимальная площадь, покрываемая двумя смежными арками циклоиды, симметрично расположенными относительно антиподной точки, составляет для эллипсоида Красовского приблизительно

12000 км2.

Условимся называть расстояния в пределах полусфероида, при которых, окончания геодезических линий расположены на границе антиподной области -граничными, внутри нее - близкими к предельным, а на параллели антиподной точки - предельными. Антиподной точкой, согласно [37], будем называть точку встречи прямой линии, проходящей через начальную точку и центр эллипсоида, с противоположной частью поверхности эллипсоида Кроме того, введем понятие встречных геодезических линий: это две пары предельных по длине геодезических линий, исходящих из начальной точки с азимутами А и 18С9-Ах> 180° + Ах и

360° - А1. Точки встречи этих линий расположены на параллели антиподной точки назовем ее атипараллелию, так же, как в [37]) симметрично относительно меридиана этой точки.

Для того чтобы выявить причину неопределенности решения обратной геодезической задачи, алгоритм Бесселя был подвергнут проверке на корректность. Оказалось, что неустойчивость итерационного процесса зависит от вычислительной погрешности современных ЭВМ Особенно сильно эффект влияния ошибок округления ЭВМ проявляется при использовании предельно малых значений аргументов в тригонометрических функциях. Поэтому определяемые в ходе итераций величины теряют большое количество верных знаков, что приводит к снижению скорости сходимости итеращюнного процесса при расположении конечной точки геодезической линии на границе антиподной области и к полному отсутствию сходимости, когда конечная точка расположена в пределах самой области или на антипараллели. Иногда ошибки округления приводят к парадоксальным ситуациям, когда значение сферической долготы становится большим 180°.

Между тем алгоритм решения прямой геодезической задами одасоначно позволяет достичь граничных, близких к предельным и предельных расстояний Решим прямую геодезическую задачу по способу Бесселя на такое расстояние, при котором не возникает трудностей, а затем - на расстояние вполовину меньшее. Из полученной таким образом промежуточной точки, расположенной в середине геодезической линии, решим две обратные геодезические задачи с исходными начальной и конечной точками. Очевидно, суммарное расстояние, начальный и конечный азимуты исходной геодезической линии, полученные из решения двух обратных геодезических задач, будут точно совпадать с тоответсшующими величинами, полученными из предварительного решения прямой геодезической задачи. Кроме того, разность азимутов в промежуточной точке на исходные начальную и конечную точки будет точно равна 180 0 .Такую же схему вычислений можно применить и для расстоянии, близких к предельным. Основная проблема в этом случае будет заключаться в выборе промежуточной точки.

В курсах сфероидической геодезии [16], [17], [20], [22] приводится способ построения геодезической линии путем проектирования средних точек пространственных хорд по нормалям к поверхности. В настоящей работе был проведен эксперимент, в результате которого оказалось, что нормаль к поверхности, проходящая через середину пространственной хорды, не совпадает с нормалью к поверхности, проходящей через ближайшую точку геодезической линии. Следовательно, линия, образовавшая в результате такого построения, не является геодезической. Более того при расстояниях, близких к предельным средняя точка пространственной хорды, соединяющей исходные точки не поверхности эллипсоида, настолько близко расположена к центру эллипсоида, что в итерационных формулах преобразования пространственньк прямоугольных координат этой точки в геодезические эллипсоидальные координаты возникает неопределенность, приводящая к отсутствию сходимости итеращюнного процесса. Таким образом, подтверждается факт существования антиподной области и для пространственных хорд , границы которой более подробно были исследованы в [38].

Том не менее, в ходе выполнения эксперимента, удалось создать алгоритм точного сближения промежуточной точки (точки пересечения нормали к поверхности, проходящей через середину пространственной хорды с самой поверхностью) и ближайшей точки, принадлежащей геодезической линии. Суть этого алгоритма сводится к минимизации суммарного расстояния и угла излома двух примычных геодезических линий, соединяющихся в промежуточной точке. Движение к геодезической линии осуществляется по биссектрисе угла излома в промежуточной точке на расстояние (назовем его шагом движения), зависящее от величины самого угла излома При пересечении геодезической линии меняется ориентировка угла излома, а суммарное расстояние примычных геодезических линий увеличивается. В этом случае шаг движения уменьшается вдвое, а направление движения изменяется на противоположное. Действуя подобным образом, можно с высокой точностью достичь совмещения промежуточной точки с точкой, принадлежащей геодезической линии.

Корректность данного алгоритма быта проверена решением обратной геодезической задачи для таких длин линий, при которых применение алгоритма Бесселя не вызывает затруднений. В ходе дальнейших исследований обнаружилось^ что для расстояний, близких к предельным применение этого алгоритма возможно, если промежуточную точку точного сближения получить с помощью алгоритма грубого сближения. В его основе лежит тот же принцип минимизации суммарного расстояния и угла излома двух примычных геодезических линий, соединяющихся в точке грубого сближения, положение которой задается сдвигом (изменением коорд инат) конечной точки таким образом, чтобы она располагалась за пределами антиподной области в соответствующей четверти, в которой проходит искомая геодезическая линия.

Безусловно, решение антиподной проблемы затрагивает в большей степени теоретические вопросы сфероидической геодезии. Однако ее практическое применение возможно в шедующих случаях

- при изучении некоторых геодинамических явлений в случае размещения обсерваторий вблизи диаметрально противоположных точек планеты;

- при объединении региональных геодезических сетей в единую мировую сеть;

- при решении высокоточных морских и воздушных навигжщонных задач;

- при подготовке полетных заданий для ракет стратегического назначения;

- при использовании программных продуктов для персонального компьютера в случаях возникновения неопределенности решения, вызванной вычислительной погрешностью ЭВМ

Цель исследований. Разработка методики решения обратной геодезической задачи на любые расстояния.

Методика исследований. Основные положения диссертации базируются на теоретических разработках и экспериментальных исследованиях Эксперимешальные исследования выполнены численным моделированием. Дифференциальный анализ формул позволил однозначно оценить достоверность результатов решения задачи различными авторами. Научная новизна работы

1. Разработан метод решения обратной геодезической задачи на любые расстояния с помощью промежуточной точки.

2. Усовершенствован алгоритм решения главных геодезических задач по способу Бесселя в трех направлениях

- получены члены разложения повышенной точности в интегральных формулах связи;

- в прямой геодезической задаче применена итерационная формула;

- в прямой и обратной геодезических задачах используются единые коэффициенты разложения.

3. Определены условия, при которых возможно однозначное соответствие результатов решения обратной геодезической задачи по данным, полученным из решения прямой геодезической задачи.

4. Установлена причина неустойчивости итерационного процесса при решении обратной геодезической задачи по способу Бесселя на расстояния, близкие к предельным.

5. Аппроксимирована граница области в окрестности антиподной точки, в которой возникает неопределенность решения обратной геодезической задачи по способу Бесселя. Выявлены общие закономерности в распределении точек окончания пучков граничных геодезических линий вдоль аппроксимирующей кривой.

6. Установлено, что для каждого начального азимута существует две пары равных по длине предельных геодезических линии, точки встречи которых расположены на аншпараллели симметрично относительно меридиана антиподной точки (первая пара: Ах, 18СР - А]; вторая пара; 360° - А}, 18СР + Ах).

7. Установлено, что нормаль к поверхности, проходящая через середину пространственной хорды, Не совпадает с нормалью в ближайшей точке геодезической линии. Доказано, что линия, построенная путем проеюирования средних точек деления пространственных хорд по нормалям к поверхности, не является геодезической.

Практическая ценность работы по результатам выполненных исследований впервые разработан алгоритм и программное обеспечение, позволяющие решить обратную геодезическую задачу на любые расстояния.

Апробация работы. Основные разделы диссертации доложены в докладе на ннучно-пракаической конференции Филиала Военно-инженерного университета, 7 состоявшейся 20 апреля 1999 года, а так же на заседании геодезической секции Географического общества, состоявшемся 12 мая 1999 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в пяти научных работах

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы Содержание изложено на 121 странице машинописного текста, иллюстрировано 22 таблицами и 24 рисунками. Список литературы включает 50 наименований, из них 15 на иностранном языке.

Выводы по главе 4

1. В приближенной формуле (4.9), используемой в алгоритме [28] для вычисления разности долгот, отброшены члены порядка б5 и выше, которые вызывают ошибку в вычисленном значении б порядка Ю"10. В этой же формуле произведена замена, б на б, что вызывает дополнительную ошибку; влияющую на точность вычисления азимутов и расстояний при решении обратной геодезической задачи на расстояния, близкие к предельным.

2. Ошибка в значении геодезичесжого азимута, вычисленная по дафффенциапьным форматам (4.40) и (4.41) точно совпадает с ошибкой в .значении азимута, вычисленного по алгоритму [28]. С увеличением азимута и с приближением расстояний к предельному величина ошибки резко возрастает и может достигать нескольких градусов. При азимутах больших 80° и расстояниях, близких к предельным применение данного алгоритма [28] невозможно.

Заключение

Результаты исследований, выполненных автором в диссертационной работе, позволяют сформулировать следующие основные положения, которые выносятся на защиту,

1) Для однозначного соответствия результатов решения обратной геодезической задачи по данным, полученным из решения прямой геодезической задачи, необходимо: использовать члены разложения в интегральных формулах связи с точностью до еь; применять в прямой и обратной геодезических задачах единые коэффициенты разложения; в прямой геодезической задаче сферическое расстояние вычислять по итфащюнной формуле; при программировании на ЭВМ в режиме представления чисел с двойной точностью устанавливать значение критерия прекращения итфаций не менее £ < 1 * 10-15; для расстоянии, близких к предельным, удерживать в координатах конечной точки (в секундах после запятой) не менее семи верных значащих цифр для азимутов, близких к 90 0, и не менее пяти для других азимутов.

2) Причина неустойчивости итерационного процесса при решении обратной геодезической задачи по способу Бесселя на расстояния, близкие к предельным, -вычислительная погрешность ЭВМ при использовании предельно малых значений аргументов в тригонометрических функциях. Граница области в окрестности акшподной точки, в которой возникает неопределенность решения обратной геодезической задачи по способу Бесселя, аппроксимируется кривой - удлиненной циклоидой. Распределение точек окончания пучка граничных геодезических линий вдоль аппроксимирующей кривой однообразно для любой широты начальной точки и зависит от значения начального азимута геодезической линии. Предельные

121 по длине геодезичесжие линии заканчиваются на антипарашгели. Для каждого начального азимута существует две пары равных по длине предельных геодезических линий, точки встречи которых симметрично расположены ошосжгельно меридиана антиподной точки (первая пара :А}, 18(У - \ вторая пара: 360° - А}, 18СР + Ах).

3) Нормаль к поверхности, проходящая через середину пространственной хорды, не совпадает с нормалью в блюкайшей точке геодезической линии. Линия, построенная путем проектирования средних точек деления пространственных хорд по нормалям к поверхности, не является геодезической.

4) Алгоритм решения обратной геодезической задачи на любые расстояния с помощью промежуточной точки состоит из следующих этапов: 1) выбор способа решения задачи в зависимости от количества приближений: если их число не превышает 2500, то используется обычный алгоритм Бесселя, если превышает, то выполняются следующие этапы решения задачи; 2) сдвиг конечной исходной точки за пределы "опасной циклоиды", в зависимости от знаков разности долгот и широт исходных точек в соотвегствутошую четверть; 3) грубое сближение и перенос начальной точки грубого сближения в точку шединения примычных геодезических линий с мршимальным суммарным расстоянием; 4) точное сближение и совмещение промежуточной точки с ближайшей точкой геодезической линии.

1. Амосов А,А, Дубинсжий Ю.А, Копченова НВ. ЕЬмислительные методы для инженеров. М, Высшая школа, 1994.

2. Багратуни Г. В. Курс сффоидической гшдезии, М, Геодезиздат, 1962.

3. Бессель Ф.В. Избранные геодезические сочинения. М, Издательство геодезической литературы, 1961.

4. Беспалов НА Новые нелогарифмические формулы для решения некоторых задач сфероидической геодезии. Изв. вузов, N2, 1966.

5. Беспалов НА Формулы для решения обратной геодезической задачи на любые расстояния. Изв. вузов, N 1, 1969.

6. Беспалов НА,, Шшоншиков А И О решении на ЭВМ обрашой и прямой геодезических задач на большие расстояния. Геодезия и картография, N10, 1973.

7. Беспалов НА Новые предложения по применению дробно-ращганалнных приближений в сффоидической геодезии. Изв. вузов, N 3, 1980,

8. Беспалов НА Метода решения задач сфероидичесой геодезии. М, Недра,1980.

9. Буткевич А В. Исследования по решению вычислительных задач сфероидической геодезии. М, Недра, 1964.

10. Ведданов В.А,Чернов В.Н Определение составляющих уклонения отвесных линий на акватории Мирового океана. СПб., Межвузовский сборник научных трудов, 1993.

11. ЕкжовскийВВ. Практическая геодезия. СП5., 1911.

12. Ганьшин В.Н Об одном псевдосвойстве геодезической линии. Изв. вузов, Геодезия и аэрофотосъемка, N 2, 1988.

13. Ганьшин ВН Формулы для решения геодезических задач на произвольные расстояния по геодезической .линии. Геодезия и картография, N 9, 1964.

14. Даскалова М Сравнение некоторых формул для решения обратной гшдезической задачи при больших расстояниях. Изв. вузов, N 3, 1980.

15. Еремеев В.Ф. Способ решения обратной геодезической задачи на большие расстояния путем вычисления координат средней точки геодезической линии. Труды ЦНИИГАиК, вью. 121,1957.

16. Закатов ПС. Курс высшей геодезии. М, Геодезиздат, 1950.

17. ЗдановичВ.Г. Высшая геодезия. М, Углетехиздаг, 1954.

18. Капцюг В.Б,, Чернов В.Н, Верещагин С.Г., Загоруйко В.Р., Харссон Б.Г. Результаты международного GPS- эксперимента на "Дуге Струве"7. Геодезия и картография, N11, 1996.

19. Карякин В. А Методы решения геодезических задач на эллипсоиде. М, Недра, 1990.

20. Кель НГ. Высшая геодезия и геодезические приборы Гос.горное изд., Летшфад-Москва-Нэвосибирск, 1932.

21. Кларк А Геодезия ( в переводе Витковского). СПб., 1890.

22. Крашвский Ф.Н Руководство по высшей геодезии. Геодезиздат, М, 1955.

23. Лапинт КА Решение обратной гетдезической задачи на большие расстояния. Геодезия и картография, N 9, 1984.

24. Машимов ММ Теоретическая геодезия. М, Нздра, 1991.

25. Медведев ПА Формулы с у:ауншенной сходимостью для решения главных геодезических задач. Геодезия и картография, N 1, 1985.

26. Морозов В.П Курс сффоидической геодезии. М, ВИА, 1967.

27. Морозов В.П Курс сффоидической геодезии. М, Недра, 1979.

28. Морозов В.П Особые случаи решения обратной геодезической задачи на большие расстояния. Изв.вузов, N 6, 1976.

29. Морозов В.П Анализ простейших способов изображения эллипсоида на шаре в свете применения их для решения геодезических задач. Изв.вузов, N 5, 1981.

30. Подшивалов В.П Прямой метод решения обратной геодезической задачи на любые расстояния. Геодезия, картография и аэрофотосъемка, N32, Львов, 1980.

31. Сорокин А И Таблицы для вычисления длины и азимута геодезической линии большой протяженности по методу Андуайе Ламберта Записки по гидрографии, N1, 1959.

32. СлудскийФ.А Лекции по высшей геодезии. М, 1891.

33. Урмаев НА Сффоидическая геодезия. М, РИО ВГС, 1955.

34. Чернов В. H Совершенствование алгоритма решения главных геодезических задач по способу Бесселя:. Изв. вузов, N2, 1999.

35. Чернов В.Н, Астапович А В. Решение обратной геодезической задачи на расстояния, близкие к предельным. Изв. вузов, N 2, 1999.

36. Andoyer H Formule donnant la longueur de la geodesique joignant deux points de fellipsoide donnes par leur coordonnées géographique. Bulletin geodesique, N 34, 1932.

37. Bowring B.R Solution for azimuth of the geodesic in near antipodal situations with, special reference to the behaviour of lines for which the azimuth is in the region of 90P. Bulletin geodesique, V 51, N1,1977.

38. Bowing B.R Hie antipodal normal section. Bulletin geodesique, V 52, N 3,1978.

39. Bowling B.R Formule for geodetic computations in height controlled space. Bulletin geodesique, V54,N2, 1980.

40. Dufour H M Calcul de grandes geodesiques sur Fellipsoide. Bulletin geodesique, N48, 1958.

41. Dupuy M Rapport D'evsluton des méthodes de calcul des longues lignes definies sur le spheroide terrestre. Bulletin geodesique, N 48,1958.

42. Ffeimert F.R Die Mathematischen und Physikalischen Theorien Der Höheren Geodäsie. I>uck und Verlag von Teubner, 1880. (Reprinted in 1962)

43. Jacobi K.Q. Vorlesungen über Dynamic. 1866.

44. Kaptug V.B., Chernov V,N, Harsson G.B., Vereschagin S.G., Zagorujko RZ. Struve's arc the meridian agrees with the first GPS-results, Zeitschrift fur Vermessungswesen, Heft 12, 121 Jahrgang, 1996.

45. Lambert W.D. The distance between two widely separated points on the surface of the earth. Journal of Washington Academy of science. V 32, N 5, 1942.

46. Rainsford H.R Long geodesies on the ellipsoid. Bulletin geodesique, V 37,1955.

47. Saito T. The computation of long geodesies on the ellipsoid by non-series expanding procedure. Bulletin geodesique, N 98, 1970.

48. Saito T. The computation of long geodesies on the ellipsoid through gaussian quadrature. Bull etin geodesique, V 53, N 2, 1979.

49. Sodano E. A Inverce computation for long lines a non-iterative method based an tiie true geodesic. Technical Report, N 7, 1950.

50. Sodano E.A Rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of very long geodesies. Bulletin geodesique, N 48, 1958