автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Релаксационные подходы в задачах математического моделирования электрических цепей методами декомпозиции

На правах рукописи

Ляшев Владимир Александрович

Релаксационные подходы в задачах математического моделирования электрических цепей и систем методами декомпозиции

Специальность 05 13 18- Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ТАГАНРОГ-2007

003070959

Работа выполнена на кафедре Теоретических основ радиотехники Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Балим Г М

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Сухинов А И

кандидат технических наук, Нечес И О

Ведущая организация.

Южно-российский государственный технический университет (г Новочеркасск)

Зашита состоится « 25 » мая 2007 г в 14 20 часов на заседании Диссертационного совета Д 212 208 22 при Южном федеральном университете по адресу 347928, Таганрог, пер Некрасовский 44, ауд Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге.

Автореферат разослан « 24 » апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

А Н Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие и совершенствование современных технических устройств и систем, снижение сроков их проектирования требует разработки эффективных методов математического моделирования этих устройств для анализа и оптимизации их характеристик

В течение двух последних десятилетий сформировался «классический» набор процедур, на котором базируется алгоритмическое обеспечение программ математического моделирования электрических цепей и систем. Он включает в себя неявные жестко-устойчивые методы алгебраизации обыкновенных дифференциальных уравнений, ньютоновские итерации для решения нелинейных алгебраических уравнений и "прямые" методы гауссовского типа для решения систем линейных уравнений Программы подобного типа позволяют проводить моделирование цепей, описываемых системами уравнений порядка нескольких тысяч, что не обеспечивает насущных потребностей при решении задач автоматизации проектирования и анализа технических устройств Несмотря на многочисленные и в целом небезуспешные попытки модернизации алгоритмического обеспечения, базирующего на «классическом» подходе, к настоящему времени не удалось существенно расширить'возможности программ автоматизированного анализа цепей, сделать их достаточно эффективными при моделировании таких компонентов как сверхбольшие интегральные схемы, а также при натурно-численном моделировании и моделировании систем, в которых учитываются процессы различной физической природы и их взаимосвязь между собой, будем их называть смешанными или междисциплинарными системами

Надежда на существенный прогресс в области схемного моделирования крупномасштабных электронных цепей возникла в начале 80-х годов с появлением программ, базирующихся на методах релаксации, позволяющих реализовать структурную декомпозицию анализируемой цепи, что отражено в работах Г. Крона, А Ньютона, А Санджиованни-Винцентелли, А. Рули и др По сравнению со своими предшественниками, программы этого типа позволили в 10-100 раз сократить затраты процессорного времени при обработке систем, насчитывающих до нескольких сотен уравнений и увеличить предельную размерность анализируемых систем на два порядка Кроме того, структурная декомпозиция модели дает возможность проводить независимую (последовательную или параллельную) обработку отдельных фрагментов, что открывает дополнительные возможности для реализации релаксационных методов на многопроцессорных системах, как показано в работах Дж Ортеги и К Ванга Бурное развитие сетевых технологий и построение систем кластеров с распределенной памятью способствует развитию методов структурной декомпозиции модели, распараллеливанию алгоритмов

Основным недостатком, сдерживающим широкое применение релаксационных методов, является их медленная сходимость, а также ограниченность класса цепей, в котором выполняются условия такой сходимости Попытки решения крайне актуальной задачи улучшения сходимости релаксационных методов в известных

работах Дж Уайта и А Санджиованни-Винцентелли сводятся к выбору оптимальной стратегии разбиения исходной модели на фрагменты и определения порядка обработки подсхем, минимизирующего число итераций Но такой подход существенно ограничен в своих возможностях, так как задача «подстраивается» под алгоритм, а не алгоритм под задачу В работах В Дмитриева-Здорова и Б Клаассена был впервые предложен иной подход, который заключался в построении нового класса модифицированных и многоуровневых релаксационных алгоритмов, использующих принцип переобуславливания итерационных матриц, что позволяло расширить область применимости релаксационных алгоритмов Идея переобуславливания матриц получила большое распространение в последние годы Благодаря развитию вычислительной техники, появился целый класс ускоренных итерационных методов, которые подробно изложены в работах Р. Баррета и Ю Саада

Одной из областей применения релаксационных методов является методология модульного рассмотрения задачи моделирования систем С одной стороны, модульный принцип построения современных устройств способствует тому, что можно выполнять их моделирование, учитывая такую особенность и существенно снизить трудоемкость временного анализа, с другой стороны, модульный подход позволяет реализовать цифро-аналоговое моделирование, сопрягать различные моделирующие программы между собой, а также с аппаратными моделями для совместного анализа отдельных частей системы в едином цикле моделирования. В рамках модульного подхода трудно найти альтернативу релаксационным методам, что делает крайне актуальными задачи прогноза устойчивости методов релаксации и разработки модифицированных релаксационных методов, устойчивость и сходимость которых можно будет гарантировать на этапе, предшествующем моделированию

Цель работы состоит в разработке и исследовании нового класса релаксационных алгоритмов со стабилизацией, что позволит значительно улучшить устойчивость/сходимость известных релаксационных методов математического моделирования цепей при прочих равных условиях и прогнозировать устойчивость метода на этапе формирования уравнений

Для достижения обозначенной цели решаются следующие задачи

1 Разработать и исследовать способы ускорения релаксационных процедур для сшивания решений систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений, полученных в результате декомпозиции при математическом моделировании электрических цепей с недоступными блоками системной матрицы Такие задачи возникают в цепях, состоящих из многих блоков, часть из которых является «черными ящиками», для которых известны только отклики на заданные входные воздействия

2 Разработать методы повышения устойчивости (сходимости) релаксационных процедур математического моделирования цепей с фрагментарно представленной математической моделью Получить необходимые и достаточные условия устойчивости модифицированных релаксационных алгоритмов в терминах теории цепей

3 Получить необходимые и достаточные условия устойчивости математического моделирования на основе метода совместных релаксаций для анализа фрагментарно представленных математических моделей электрических цепей В частности, определить критическую задержку обмена данными между фрагментами декомпозированной цепи, при которой релаксационный процесс находится на грани устойчивости

4 Исследовать влияние релаксационного процесса на точность схемы численного дифференцирования, в частности получить оценки для локальных погрешностей релаксационных процедур и сравнить их с соответствующими оценками для прямых методов

В качестве методов исследования использовались методы теории цепей, численные методы и методы аппроксимации, матричное исчисление, функциональные ряды Тейлора

Научная новизна работы заключается в следующем

• предложена новая разновидность релаксационных процедур - стабилизированный релаксационный метод, что позволило расширить область устойчивости, а в большинстве случаев и увеличить скорость сходимости релаксационного процесса при моделировании декомпозированных систем, представленных набором взаимосвязанных «черных ящиков»,

• показана нецелесообразность использования схем численного дифференцирования высоких порядков при использовании релаксационных процедур,

• предложен способ прогноза устойчивости метода совместных релаксаций, использующий в качестве исходных данных только положительно определенные матрицы расщепления произвольного вида;

• сформулировано необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое определяется через максимальную задержку обмена данными между блоками в декомпозированной системе Приводится ряд оценок допустимой (критической)задержки

Практическая значимость работы. Предложенный стабилизированный релаксационный метод для сшивания решений систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений всегда устойчив и сходится к точному решению при любом положительном значении стабилизирующего параметра, что существенно увеличивает достоверность результатов, полученных с помощью релаксационных процедур С другой стороны, модификация релаксационного метода (его стабилизация) значительно расширили границы условий устойчивости релаксационного процесса

Изложенные в работе подходы расширяют условия применимости релаксационных методов, что существенно повышает их привлекательность при решении таких задач как моделирование смешанных систем и систем, содержащих реальный физический объект Обозначенные методы могут применяться для слабосвязанных систем, которые описываются блочной диагонально доминирующей матрицей большой размерности, и для анализа задач, описываемых дифференциальными уравнениями с задержкой (например, длинные линии) Еще одна важная область

применения - это сшивание современных промышленных пакетов моделирования, структура ядра которых является коммерческой тайной фирмы-производителя, но имеется интерфейс обмена данными между ядром и внешним программным окружением

Таким образом, разработана методология численного моделирования электрических цепей, состоящих из многих блоков, в том числе типа «черный ящик», основанная на модифицированной релаксационной процедуре (стабилизированный релаксационный метод) с повышенным запасом устойчивости и улучшенной сходимостью по сравнению с известными процедурами релаксационного типа Апробация результатов работы

Основные результаты обсуждались на следующих конференциях V, VI, VII Всероссийские научные конференции студентов и аспирантов техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления Таганрог, ТРТУ, 2000, 2002, 2004 г г , 5th IASTED International Conference Power and Energy Systems in Tampa, FL, November 19-22, 2001; 1-я Международная научно-практическая конференция Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы Новочеркасск, ЮРГТУ, ноябрь, 2001; 8-я Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Москва, МЭИ, март, 2002, Международная конференция "Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках", Таганрог ТРТУ, 2002, 2004 г г, Международная конференция "Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных задач", Таганрог ТРТУ, 2002, Международная научная конференция "Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты", Таганрог ТРТУ, 2003, Международный научно-практический семинар «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники», Шахты ЮРГУЭС, 2003; Международная конференция «Цифровые методы и технологии», Таганрог ТРТУ, 2005 А также были представлены в виде доклада на семинарах в Институте алгоритмов и научных вычислений, Санкт-Августин, Германия и в Кельнском университете, Германия Обсуждались на научных семинарах кафедр Теоретических основ радиотехники и Высшей математики ТРТУ и на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002-2006 г г

По теме диссертации опубликовано 16 работ, из них 3 в изданиях рекомендованных ВАК, 2 за рубежом, 8 тезисов докладов, остальные в местной печати Личный вклад автора.

Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии

В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке вычислительных экспериментов с привлечением релаксационных методов, адаптации релаксационного алгоритма к задаче (выбор стабилизирующих параметров), построении алгоритмов анализа и их реализация на ЭВМ

Внедрение результатов работы.

Основные результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении госбюджетных работ № 11170, № 1 1055 на кафедре ТОР ТРТУ, в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка» (х/д 44001, 44002) Часть результатов была получена в Фраунгоферском институте алгоритмов и научных вычислений (Санкт-Августин, Германия) и использована в проектах по численному моделированию электрических цепей и задач электромагнитной совместимости Результаты работы используется в учебном курсе «Математические основы моделирования радиотехнических цепей и сигналов», а также в ряде лабораторных работ по курсу «Основы теории цепей»

Основные положения и результаты, выносимы на защиту.

1 Метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов решения систем дифференциально-алгебраических уравнений с недоступными фрагментами системной матрицы

2 Выражения и соответствующие диаграммы, характеризующие область устойчивости стабилизированных релаксационных методов решения систем алгебраических уравнений (гарантированная устойчивость при любых положительных значениях стабилизирующих параметров) и систем дифференциально-алгебраических уравнений (необходимые и достаточные условия устойчивости)

3. Графики локальных погрешностей, характерных для стабилизированных релаксационных процедур

4 Метод совместных релаксаций для математического моделирования электрических цепей по частям, который является обобщением итерационного алгоритма «временной анализ» и позволяет выполнять моделирование в реальном времени, что актуально для задач, содержащих аппаратные модели

5 Методика и выражения оценки критической задержки как основного параметра, характеризующего устойчивость метода совместных релаксаций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации обоснована актуальность работы, сформулированы цель, задачи и методы исследования, кратко излагается содержание работы и основные результаты

В первой главе рассматривается идея модульного подхода к моделированию электрических цепей, которая заключается в разделении исходной задачи на несколько блоков, причем каждый из них анализируется независимо от других, но с учетом их поведения По отношению к исследуемому блоку цепи все остальные выступают в качестве «черных ящиков», для которых известны только входные воздействия и отклики Данная идея легко реализуется посредством релаксационных процедур (РП), классификация которых также приводится Отмечаются особенности РП, достоинства и недостатки

Выделена главная проблема - плохая устойчивость и медленная сходимость РП Обоснована невозможность использования известных способов ускорения РП полиномиального ускорения, градиентных методов и мультисеточных алгоритмов

Приводятся альтернативные методы улучшения (устойчивости/сходимости) РП оптимизация разбиения и упорядочения фрагментов, техника «временных окон», декомпозиция с перекрытием, многоуровневое обобщение релаксационных методов Но все они требуют адаптировать задачу под алгоритм, за исключением последних двух, которые трудно реализовать в рамках модульного подхода

Также рассматривается схемная интерпретация РП (схемы сшивания), которая наглядно демонстрирует сущность РП при модульном подходе, а также необходима при построении аппаратных моделей и их согласования с программой моделирования через цифро-аналоговый интерфейс

Вторая глава посвящена разработке и исследованию параметрической РП, адаптирующейся к частной задаче.

Если безынерционная линейная цепь описывается матричным уравнением АХ = В, Ае Е""", Х,Ве К" , то разделение задачи на несколько частей и реализация РП приводят к итерационной формуле

дХ**'+8Х*=В, (1)

где <2 е К"*" - матрица расщепления, Б е К*"" - дополняющая матрица такая, что А = <2 + БД - номер итерации Устойчивость и сходимость выражения (1) гарантируются условием, что спектральный радиус матрицы перехода = Д<2"18) < 1 Повышение устойчивости и ускорение сходимости (1) требует ||8||-»0, поэтому необходимо соответствующим образом модифицировать матрицу расщепления О В работе предлагается симметричное сшивание для минимизации нормы в Идею предложенного метода можно изложить на примере произвольного уравнения (Ух+У^рс = Ь В результате разделения неизвестное х разделяется на два неизвестных XI и х2 таких, что х^х^щх2 Тогда можно записать следующие преобразования и ввести стабилизирующий параметр а

¡Ух* + УЛ ¡(Г, + а)хх + (Г2 - а)х2 = Ь, ^ + а)х^ + (У2 - а)хк2 = Ь,

[У^ + У2х2 = Ь, [(^ - а)х1 + (У2 + а)х2 = Ь, {(}; - а)х* + (У2 + а)хк2* = Ь При абсолютной сходимости справедливо утверждение х = х{ = х2 = н х2*', при этом параметр а сокращается, и получаем дважды исходное уравнение Таким образом, в точках разделения уравнения удваиваются, что позволяет ввести а так, что результирующее решение не изменится, а спектральные свойства матриц С? и в станут зависеть от а Понятно, что эффективность предложенной РП проявляется при решении нескольких десятков тысяч и более уравнений, разделенных на десятки блоков Но иногда не столько важна эффективность, сколько возможность решения уравнений по отдельности, например совместное использование нескольких программ моделирования и сшивание их результатов посредством РП

Уравнение из примера может описывать участок цепи (узел), который является граничным (общим) по отношению к смежным блокам При этом У\ - эквивалентная проводимость первого блока, а У2 - второго, х - узловой потенциал, а Ь -

независимый источник тока Тогда необходимое и достаточное условие сходимости (2), выраженное через параметры цепи в точке разделения

/(а-К)(а-К)

= -¿V-Ф\<[

у(а + +

Видно, что при любых положительных а (проводимость всегда положительная величина) РП всегда сходится А выбор а равным одной из проводимостей приводит к максимально быстрой сходимости Предложенная РП может использоваться и для моделирования инерционных и даже нелинейных цепей Устойчивость РП исследована в области малых времен, получены необходимые и достаточные условия А также получены области устойчивости стабилизированных РП на комплексной плоскости, граница которых определяется соотношением Уь У2, а В случае, когда Ух и/или У2 являются нелинейными проводимостями, из (3) следует ограничение, что соответствующие дифференциальные проводимости должны быть положительными Проведен анализ локальных погрешностей РП, в том числе и стабилизированной РП, и их сопоставление с локальными погрешностями прямых методов при разных формулах дискретизации производных Графики локальных ошибок приведены на рисунке 1 (для перехода от дифференциальных к алгебраическим уравнениям используется (а) для смежных частей неявный метод Эйлера, (б) - метод трапеции, (в) для одной из частей метод трапеции, для другой - неявный метод Эйлера) Дальнейшее повышение порядка схем численного дифференцирования не приводит к изменению наклонов кривых, что говорит о нецелесообразности использования схем дифференцирования высоких порядков в рамках релаксационного подхода

(а) (б) (в)

Рис 1

В третьей главе рассмотрен метод совместных релаксаций (MCP), введено понятие критической задержки и предлагается методика оценки последней Идея MCP состоит в том, что в результате декомпозиции возникают задержки обмена между блоками разделенной системы, которые влияют на устойчивость последней Предлагается учесть их Математически, замена исходной модели некоторой сис-

темы на аппроксимирующую модель при декомпозиции с задержками соответствует переходу от системы

L,(xXrx2, .,*„) = 0 (/=1,2, ,п), (4)

к новой системе уравнений с задержками г

Lfaiit-T,,), , x^it-T,^), x,(t), xl+l(t-Tu+i), , x„(t-T,„)) = 0 (/ = 1,2, ,«) (5) Здесь Z.,{) - некоторые дифференциальные операторы В работе показано, что (5) можно рассматривать как РП для решения (4)

Под критической задержкой MCP тс понимается такая временная задержка, при которой (5) находится на грани устойчивости Оценка тс - нетривиальная задача В работе рассматривается случай, когда все задержки в (5) равны, а если оказываются разными, то следует выбирать максимальную, а все остальные приравнивать к ней Если (5) записать по аналогии с (1), но с учетом производных, то

QCX(/) + St X(f - г) + QAX(t) + QAX(t - т) = В, или, вводя замену а = Q<1S<, ß = Q^'Q^, у = Q^'S^, 8 = Q^-'B

X(/) + aX(t -t) + ßX(t) + yX(t -t) = S . (6)

Чтобы получить (6), матрица Q<- должна быть легко обратимая, все остальные ограничения следуют из условия, что (6) и все предыдущие уравнения описывают процессы в электрических цепях

Идея оценки тс базируется на поинтервальном рассмотрении решений на участках (0,т], (т,2т], При этом под устойчивостью (6) понимается сходимость по-интервальных приращений z,(r) временной вектор-функции Х(/), которая характеризуется выражением z,+1(r) = W(r)z,(r) Исследуя спектральные свойства оператора перехода W(z) получаем оценки критической задержки

r.s-иг<g5 --- Где¡11| = Да)

Приводится ряд тестовых задач, для которых оценка Тс сравнивается с экспериментально установленной Как правило, оценка близка к экспериментальным результатам, но в случае жестких задач и сильно связанных фрагментов разделенной системы оценки могут быть завышены Поэтому рекомендуется задержку в системе выбирать на 1 -2 порядка меньше критической. С другой стороны, если задержка близка к критической, то решение хотя и носит устойчивый характер, но оказывается сильно осциллирующим, поэтому в любом случае необходимо ориентироваться на задержки много меньшие гс

Из-за невозможности применять оценки ошибок усечения к задачам, которые возникают в результате декомпозиции с задержкой, в работе предлагаются другие способы вычисления погрешностей, вносимых MCP, в частности локальная ошибка декомпозиции с задержкой

В четвертой главе рассмотрены практические аспекты использования релаксационных процедур на примере приложений, которые не могут быть решены альтернативными методами В первую очередь это моделирование задач, которые со-

держат реальный физический объект, выступающий в качестве своей собственной модели. В работе приводится моделирование двигателя постоянного тока (ДПТ) в реальном времени. Для сшивания электрической части (реализованной в виде математических моделей н системе моделирования \П'В) и механической части (реальный ДПТ) использовался метод совместных релаксаций, который рассматривался в главе 3.

Другая задача - это распределенное моделирование в компьютерной сети, когда на трех рабочих станциях запущена система УТВ, решающая свой собственный фрагмент, а РП используются для сшивания решений между программами моделирования посредством РФС.

Эффективность релаксационных процедур проявляется как раз при решении задач большой размерности. Рассматривается пример анализа микросхемы 10x10 мм и учета ее перегрева в импульсном рабочем режиме. Используется пассивное охлаждение с помощью медной пластины размерами 25x25x0,2 мм, прикрепленной к поверхности микросхемы. Анализ 5Р1СЕ-модели микросхемы в импульсном режиме дает рассеиваемую мощность ! Вт в моменты максимальной нагрузки и 15 мкВт при минимальной нагрузке. Для определения поля распределения температур по пластине используется метод конечных элементов с элементарной площадкой 0,5x0,5 мм. Т.е. необходимо решать уравнение теплопроводности на сетке 50x50 узлов, что приводит к системе уравнений с 2500 неизвестными, а матрица только тепловой составляющей модели содержит 2500x2500 коэффициентов, что достаточно скромно для современных задач. На рисунке 2 приводится результат моделирования - установившееся распределение температуры перегрева медной пластины в рабочем режиме. Сшивание результатов электрического и теплового моделирования выполнялось посредством МСР, система из 2500 уравнений тепловой

Процедуры решения уравнений теплопроводности были реализованы в среде MATLAB, поэтому применение функции tic/toc позволяет вычислить затраченное время. Обмен между пакетом схемотехнического моделирования и MATLAB осуществлялся каждую Юме мо-

Рис.2

части задачи также была разделена на 50 блоков, каждый из которых решался отдельно, и сшивание всех решений выполнялось также MCP. Т.к. электрическое моделирование выполнялось в отдельном программном пакете, то временные затраты на анализ электрической части оказывались равными, поэтому сравнивалось время, необходимое для решения системы уравнений теплопроводности как прямым методом, так и MCP.

дельного времени, конечное время моделирования 20 сек Решение прямым методом системы из 2500 уравнений потребовало 40 минут, а применение блочного МСР (50 блоков и естественное упорядочение) сократило время решения до 14 минут (почти в 3 раза) При этом организовать совместную работу пакета схемотехнического моделирования и МАТЬАВ без применения релаксаций было бы невозможно

На этапе решения уравнений теплопроводности не было возможности использовать стабилизацию МСР, тк каждый из 50 блоков связан с последующим 50 линиями связи, что требует введения 50 дополнительных уравнений для каждого из блоков, а это соизмеримо с размерностью блока (число уравнений внутри блока 50), что существенно повысит трудоемкость каждой релаксации При сшивании электрической и тепловой частей, также не требуется стабилизации метода, тк тепловые процессы более инерционные в сравнении с электрическими

Таким образом, в числе основных практических результатов, связанных с использованием предложенных релаксационных процедур, следует назвать следующие

• возможность простой интеграции Н1Ь-моделей с системами моделирования, что является предпосылкой для построения программ автоматизированной идентификации параметров моделей реальных устройств (отдельных образцов),

• перспективы использования сетевых технологий для распределенного моделирования в программах анализа, которые не имеют встроенной поддержки распределенных вычислений

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе Отмечены возможные приложения и показаны дальнейшие направления исследований

В приложении приводятся математические выкладки получения условий устойчивости, что приводятся в главе 2, а также обосновывается использования оценок порядка 0( I2) корней характеристического уравнения для оператора перехода W(т) из главы 3

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе рассматриваются численные методы решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений по частям (методами декомпозиции) Для решения отдельного фрагмента системы могут использоваться наиболее подходящие численные методы, но сшивание решений отдельных фрагментов выполняется с помощью релаксационных процедур (итерационных методов типа Гаусса-Зейделя/Якоби и их модификаций), к недостаткам которых, прежде всего, относится плохая устойчивость

В работе разработан метод стабилизации, позволяющий расширить область устойчивости релаксационных процедур для решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений методами декомпозиции с недоступными для непосредственного ввода блоками системной матрицы, когда отдельные фрагменты рассматриваются как «черные ящики» при моделировании электрических цепей

Метод позволяет адаптировать релаксационные процедуры под частную задачу В работе показано, что можно всегда добиться устойчивости стабилизированного релаксационного процесса при анализе линейных цепей как во временной, так и в частотной областях Таким образом, решена проблема устойчивости релаксационных процедур, что позволяет беспрепятственно их использовать для сшивания решений, полученных в различных моделирующих программах, а также использовать аппаратные модели и проводить анализ в реальном времени Применение предложенных методов не ограничивается только линейными цепями Ряд вычислительных экспериментов показал, что блоки, на которые разделена исходная цепь, могут носить и нелинейных характер Единственное ограничение в случае решения нелинейных задач - дифференциальные сопротивления каждого из блоков должны быть положительными величинами

Основные научные и практические результаты работы заключаются в следующем

1. Выполнено исследование методов декомпозиции с введением упрощенной модели смежного блока, которые позволяют частично или полностью скомпенсировать влияние соседних блоков системы на анализируемый фрагмент за счет незначительного усложнения исходной задачи Такой подход оказывается эффективным, если размерность отдельных блоков значительно превышает число связей между ними

2. Предложен метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов, основанный на симметричном разделении задачи За счет расщепления узла в точке разделения удается ввести стабилизирующий параметр (элемент) Доказано, что введение и варьирование этого параметра никоим образом не влияет на результирующее решение, однако позволяет расширить область устойчивости релаксационных процедур, а определенный в диссертации выбор стабилизирующих параметров существенно ускоряет сходимость релаксационных процедур Таким образом, появляется возможность использовать релаксационные подходы не только для математического моделирования систем, разделенных на слабосвязанные блоки, но и при сильных связях между смежными блоками

3 Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и сходимости стабилизированных релаксационных процедур через входные/выходные проводимости блоков разделенной электрической цепи Построены схемные эквиваленты стабилизированных релаксационных процедур Это позволяет прогнозировать устойчивость решения при анализе электрических цепей в программах схемного моделирования, а схемные эквиваленты полезны при реализации цифро-аналоговых интерфейсов для использования аппаратных моделей в едином цикле моделирования

4 Доказано, что метод совместных релаксаций является общим случаем релаксационного метода «временной анализ» и позволяет проводить моделирование в реальном временном масштабе. Показана возможность стабилизации метода совместных релаксаций, что делает его инвариантным к временным задержкам в смысле устойчивости релаксационного процесса

5 Получено необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое базируется на определении критической задержки обмена данными между фрагментами декомпозированной системы Также предложен способ оценки критической задержки, использующий в качестве исходных данных матрицы расщепления Знание критической задержки, которая характеризует устойчивость разделенной системы, позволяет сделать вывод о возможности использовать цифро-аналоговый интерфейс для моделирования систем с аппаратными моделями

6 Выполнено сравнение локальных погрешностей традиционных (прямых) и релаксационных алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений при разных разностных схемах Предлагается ввести новый вид ошибки специально для систем уравнений с задержками локальная ошибка декомпозиции с задержкой (local delay-decomposition error)

7 Выполнено моделирование систем, для которых целесообразно использовать релаксационные процедуры различного вида междисциплинарные системы, системы с аппаратными моделями и задачи, для моделирования которых необходимо использовать совместно несколько моделирующих сред в едином цикле моделирования

Проведенные исследования показали, что предложенные релаксационные подходы могут быть использованы при распределенном моделировании электрических цепей с использованием различных программ моделирования, которые не поддерживают такую возможность на уровне ядра, но позволяют подключать пользовательские модели Такими возможностями обладает большинство известных программ (OrCAD, N1 MultiSim, VTB и др ) Релаксационные алгоритмы легко распараллеливаются Методика распределенного моделирования в локальных вычислительных сетях, а также через Интернет, была реализована в VTB с помощью сетевых интерфейсных моделей в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем» С другой стороны, есть задачи, которые не могут быть решены иными методами (системы, включающие аппаратные модели, задачи, для решения которых необходимо использовать различные программы моделирования в едином цикле) Релаксации могут оказаться эффективными при решении междисциплинарных задач и при анализе жестких систем

Необходимо подчеркнуть также, что область применения модульного подхода, основанного на методах декомпозиции, не ограничивается рассмотренными приложениями Разработанные релаксационные процедуры могут быть использованы в других задачах, где решение системы "в целом" невозможно либо из-за ее высокой размерности, либо из-за отсутствия математических моделей отдельных частей рассматриваемой системы в форме, допускающей их совместную обработку

Перспективным направлением является дальнейшее развитие предложенных подходов В частности, автоматизация процедур задания и подстройки стабилизирующих параметров, реализация релаксационных процедур на кластерных систе-

мах и использование их в задачах идентификации параметров математических моделей физических устройств

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1 Ляшев В А Моделирование тепловых процессов при численном анализе электромеханических устройств // Мат-лы II Международной научно-практической конференции (ИЭМС 2001) -Новочеркасск ЮРГТУ, 2001 - СС 27-31

2 Дмитриев-Здоров В Б , Ляшев В А , Максимов М Н., Реализация распределенного моделирования электрических цепей в локальных вычислительных сетях (ЛВС), «Телекоммуникации», Москва, Ноябрь 2001, № 11, С 15-19

3. V. Dmitriev-Zdorov, R Dougal, V Lyashev, М Maksimov, V Popov, E Solodov-nik, Distributed Simulation of Electromechanical Systems in the Virtual Test Bed, Proc of 5th IASTED International Conference Power and Energy Systems (PES 2001) in Tampa, FL, November 19-22,2001

4. Ляшев В А Совместное, параллельное моделирование тепловых, электрических и механических процессов при анализе электромеханических систем // 8-я Международная научно-техническая конф студентов и аспирантов Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Тез докл - Том 2 - Москва,

• МЭИ, 2002-С 55.

5 Dmitriev-Zdorov V.B , Lyashev V.A , Maksimov M N Modified Concurrent Relaxation Method and Improving the Stability of Numerical Analysis by Partitioning / Proc of International conference "Information Technologies In Natural, Technical And Humanitarian Sciences" (IT-2002) Part 3 - Taganrog- TSURE, 2002, PP 3537.

6 Купцов A.B , Ляшев В A , Схемы сшивания для численного моделирования с оборудованием в цепи обратной связи // Международная научная конф «Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках» (ИТ-2002) Тез докл - Часть 3 - Таганрог ТРТУ, 2002 - С 37-38

7. Ляшев В А Оценка эксплуатационных параметров технического объекта в системах автоматизированного функционального анализа,- «Известия ТРТУ»-№1,2004-С 12-55

8 Balim G , Dougal R Lyashev V , et al Evaluation of Non-Failure Operation Time of Power System Elements in Virtual Test Bed Environment via Time-Frequency Analysis - IEEE IMTC-2005 Conf - Ottawa, Ontario, Canada, May 2005 - PP 737741

9 Балим Г M , Ляшев В А Процедуры доопытной оценки времени безотказной работы электронных устройств для автоматизированных систем проектирования аппаратных средств, «Телекоммуникации», Май 2003, № 5, С 11-18

10 Ляшев В А Анализ сходимости итерационных методов Гаусса-Зейделя и Якоби с симметричным расщеплением // Международная научная конференция "Цифровые методы и технологии" - часть 2 - Таганрог «Антон», 2005 - С 51-54

11 Ляшев В А Проблемы автоматизированного анализа многокомпонентных высокоразмерных систем // Сборник научных статей «Современные проблемы теории радиотехнических сигналов, цепей и систем» - Таганрог. «Антон», 2004 - С 50-53

12 Ляшев В А. Современные методы численного анализа задач электромагнитной совместимости - Таганрог.- «Известия ТРТУ», 2005 - № 9 - С 9

13 Ляшев В А Проблемы численного анализа смешанных систем / Межд научн конф "Системный подход в науках о природе, человеке и технике" Тез докл -ч 5 - Таганрог ТРТУ, 2003 -С 47-48

14 Ляшев В А Модификация методов декомпозиции электрических цепей для улучшения устойчивости процесса моделирования /5-я Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления - Таганрог, ТРТУ, 2000

15 Bahm G М , Lyashev V A The Numerical Model of Electronic Device for Pre-Development Reliability Estimate / Proc of International conference "Modelling As a Tool of Solving Engineering and Humanitarian Problems" (M-2002) Part 2 -Taganrog TSURE, 2002, pp 7-9

16 Балим ГМ, Левина МГ, Ляшев В А Неравновесные флуктуации, надежность и стойкость элементов аналоговых микросхем / Мат-лы Международного научно-практического семинара «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники», часть 2, Шахты ЮРГУЭС, 2003, с 15-21

Личный вклад автора в работах выполненных в соавторстве [2, 3] - изучено и описано ядро системы моделирования VTB, рассматривается возможность реализации релаксационных процедур в виде подключаемых пользовательских моделей компонентов, [5, 6] - предлагается способ компенсации задержек и, как следствие, повышения устойчивости РП, [9, 10, 15, 16] - реализованы релаксационные процедуры для совместного электротеплового анализа устройства, предложены процедуры автоматизированной оценки времени безотказной работы с применением релаксаций

Все другие результаты, отраженные в указанных выше работах, непосредственном участии автора

Отпечатано на лазерном принтере Тираж 100 экз

Введение

Глава 1 Релаксационные методы математического моделирования электрических цепей и систем. Общее состояние вопроса и постановка задач исследования

1.1 Модульный подход в задачах моделирования систем

1.2 Классификация релаксационных методов

1.3 Методы сшивания решений и схемные эквиваленты - схемы сшивания

1.4 Демпфирование и метод временных окон

1.5 Постановка задач исследования

Глава 2 Стабилизированный релаксационный метод

2.1 Модифицированные релаксационные методы

2.2 Сходимость стабилизированных релаксационных методов, основанных на разделении узлов цепи

2.3 Структурные изменения в матрице расщепления, вызванные стабилизацией метода

2.4 Устойчивость стабилизированных релаксационных методов в частотной области

2.5 Устойчивость стабилизированных релаксационных методов во временной области

2.6 Стабилизированный метод релаксации формы сигнала

2.7 Локальная погрешность стабилизированного метода при различных разностных схемах

2.8 Выводы

Глава 3 Метод совместных релаксаций

3.1 Декомпозиция с задержкой

3.2 Общая характеристика метода совместных релаксаций

3.3 Устойчивость МСР: оценка временной задержки

3.4 Оценка критической задержки для простейшей RLRC-цепи

3.5 Ошибка, вносимая методом разделения с задержкой

3.6 Выводы

Глава 4 Применение методов релаксации в задачах анализа электрических цепей и систем

4.1 Моделирование смешанных систем

4.2 HIL-моделирование

4.3 Моделирование по частям с использованием распределенного моделирования через сеть и HIL моделирования одновременно

4.4 Решение задач большой размерности

4.5 Выводы

Решение задачи моделирования сложных многокомпонентных систем большой размерности сопряжено со значительными трудностями как теоретического, так и практического характера. Интенсивное индустриальное развитие постоянно повышает требования к моделирующим средам. Существующие традиционные системы компонентного моделирования уже не позволяют эффективно поддержать современные задачи разработки индустриальных приложений. С другой стороны, одного моделирования на функциональном уровне часто недостаточно и необходимо моделирование эксплуатационных характеристик. Иными словами, разработчикам необходимы программные средства, позволяющие в диалоговом режиме определять не только функциональные параметры и характеристики создаваемого устройства, но и такие показатели качества их работы, как тепловой режим, стабильность, надежность, стойкость к внешним воздействующим факторам и др.

В течение двух последних десятилетий сформировался «классический» набор процедур, на котором базируется алгоритмическое обеспечение программ схемотехнического моделирования. Он включает в себя неявные жестко-устойчивые методы алгебраизации обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), ньютоновские итерации для решения нелинейных алгебраических уравнений и "прямые" методы гауссовского типа для решения систем линейных уравнений. Программы подобного типа позволяют проводить моделирование цепей, описываемых системами уравнений порядка нескольких тысяч, что не обеспечивает насущных потребностей при решении задач автоматизации проектирования и анализа радиотехнических устройств. Несмотря на многочисленные и в целом небезуспешные попытки модернизации алгоритмического обеспечения, базирующего на «классическом» подходе, к настоящему времени не удалось существенно расширить возможности программ автоматизированного анализа цепей, сделать их достаточно эффективными при моделировании таких компонентов как сверхбольшие интегральные схемы (СБИС), а также при натурно-численном моделировании и моделировании систем, в которых учитываются процессы различной физической природы и их взаимосвязь между собой, будем их называть смешанными системами.

Надежда на существенный прогресс в области схемного моделирования крупномасштабных электронных цепей (например, СБИС) возникла в начале 80-х годов с появлением программ, базирующихся на методах релаксации, позволяющих реализовать структурную декомпозицию анализируемой цепи [1,2, 3]. По сравнению со своими предшественниками программы этого типа позволили в 10-100 раз сократить затраты процессорного времени при обработке систем, насчитывающих до нескольких сотен уравнений и увеличить предельную размерность анализируемых систем на два порядка. Кроме того, структурная декомпозиция модели дает возможность проводить независимую (последовательную или параллельную) обработку отдельных фрагментов, что открывает дополнительные возможности для реализации релаксационных методов на многопроцессорных системах [4, 5]. Бурное развитие сетевых технологий и построение систем кластеров с распределенной памятью способствует развитию методов структурной декомпозиции модели, распараллеливанию алгоритмов.

Основным недостатком, сдерживающим широкое применение релаксационных методов, является их медленная сходимость, а также ограниченность класса цепей, в котором выполняются условия такой сходимости. Попытки решения крайне актуальной задачи улучшения сходимости релаксационных методов в известных работах, например [6, 7], сводятся к выбору оптимальной стратегии разбиения исходной модели на фрагменты и определения порядка обработки подсхем, минимизирующего число итераций. Но такой подход существенно ограничен в своих возможностях, так как задача «подстраивается» под алгоритм, а не алгоритм под задачу. В работах [8, 9] был впервые предложен иной подход, который заключался в построении нового класса модифицированных и многоуровневых релаксационных алгоритмов, использующих принцип переобуславливания итерационных матриц, что позволяло расширить область применимости релаксационных алгоритмов. Идея переобуславливания матриц получила большое распространение в последние годы. Благодаря развитию вычислительной техники, появился целый класс ускоренных итерационных методов, которые подробно изложены в работах [10,11].

Одной из областей применения релаксационных методов является методология модульного рассмотрения задачи моделирования систем. С одной стороны, модульный принцип построения современных устройств способствует тому, что можно выполнять их моделирование, учитывая такую особенность и существенно снижать трудоемкость временного анализа, с другой стороны, модульный подход позволяет легко описывать такие виды моделирования как цифро-аналоговое или Hardware-in-the-Loop (HIL), когда часть системы представлена своей собственной моделью и подключена через аналогово-цифровой интерфейс; Software-in-the-Loop (SIL), когда сопрягаются различные моделирующие программы для совместного анализа отдельных частей некоторой сложной системы. Более того, в рамках модульного подхода трудно найти альтернативу релаксационным методам, что делает крайне актуальной задачи прогноза устойчивости методов релаксации и разработки модифицированных релаксационных методов, устойчивость и сходимость которых можно будет гарантировать на этапе, предшествующем моделированию.

Цель настоящей диссертации состоит в разработке и исследовании нового класса релаксационных алгоритмов со стабилизацией, что позволяет значительно улучшить устойчивость/сходимость известных релаксационных методов анализа цепей и систем при прочих равных условиях и прогнозировать устойчивость метода на этапе формирования уравнений. Как следствие, разработанные в диссертации алгоритмы должны обеспечить расширение класса анализируемых цепей и систем при модульном представлении, снизить требуемые затраты ресурсов ЭВМ на проведение их анализа, а также сделать поведение итерационных алгоритмов анализа электрических цепей предсказуемым. Для достижения обозначенной цели необходимо решить следующие задачи:

• разработать и исследовать способы ускорения релаксационных процедур решения систем линейных диференциально-алгебраических уравнений, полученных в результате декомпозиции при математическом моделировании электрических цепей с недоступными для непосредственного ввода блоками системной матрицы. Такие задачи возникают в сложных системах, состоящих из многих блоков, часть из которых является «черными ящиками», для которых известны только отклики на заданные входные воздействия;

• разработать методы повышения устойчивости (сходимости) релаксационных процедур математического моделирования систем с блоками типа «черный ящик», и получить необходимые и достаточные условия устойчивости модифицированных релаксационных алгоритмов в терминах теории цепей, что целесообразно при моделировании электрических цепей;

• получить необходимые и достаточные условия устойчивости численного моделирования на основе метода совместных релаксаций для анализа сложных систем, представляющих собой набор взаимодействующих между собой «черных ящиков». В частности, определить критическую задержку обмена данными между блоками декомпозированной системы, при которой релаксационный процесс находится на грани устойчивости;

• исследовать влияние релаксационного процесса на точность схемы интегрирования, в частности получить оценки для локальных погрешностей релаксационных процедур;

В качестве методов исследования использовались: методы теории цепей, численные методы и методы аппроксимации, матричное исчисление, функциональные ряды Тейлора.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• предложена новая разновидность релаксационных процедур -стабилизированный релаксационный метод, что позволило расширить область устойчивости, а в большинстве случаев и увеличить скорость сходимости релаксационного процесса при моделировании декомпозированных систем, представленных набором взаимосвязанных «черных ящиков»;

• полученные условия устойчивости (сходимости) релаксационных процедур и проведенное численное исследование этих условий и свойств предложенных методов, подтверждают реалистичность данных условий;

• предложен способ прогноза устойчивости метода совместных релаксаций, использующий в качестве исходных данных только положительно определенные матрицы расщепления произвольного вида;

• сформулировано необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое определяется через максимальную задержку обмена данными между блоками в декомпозированной системе. Приводится ряд оценок допустимой (критической) задержки.

Практическая значимость работы

Предложенный стабилизированный релаксационный метод всегда устойчив и сходится к точному решению при любом положительном значении стабилизирующего параметра, что существенно увеличивает достоверность результатов, полученных с помощью релаксационных процедур. С другой стороны, модификация релаксационного метода, его стабилизация, значительно расширили границы условий устойчивости релаксационного процесса.

Редкое применение релаксационных методов обусловлено плохой предсказуемостью их поведения. Способ прогноза устойчивости МСР позволяет предсказать поведение метода и определить дополнительные условия устойчивости, при которых метод будет давать верный результат.

Изложенные в работе подходы расширяют условия применимости релаксационных методов, что существенно повышает их привлекательность при решении таких задач как моделирование смешанных систем и систем, содержащих реальный физический объект. Также, обозначенные методы могут применяться для блочных слабосвязанных систем, которые описываются блочной диагонально доминирующей матрицей большой размерности, и для анализа систем, описываемых дифференциальными уравнениями с задержкой (например, длинные линии или другие цепи с распределенными параметрами) [12, 13].

Таким образом, разработана методология численного моделирования сложных систем, состоящих из многих блоков, в том числе типа «черный ящик», основанная на модифицированной релаксационной процедуре (стабилизированный релаксационный метод) с повышенным запасом устойчивости и улучшенной сходимостью по сравнению с известными процедурами релаксационного типа. Затрагиваются вопросы использования релаксационных процессов при моделировании в реальном масштабе времени.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов решения систем дифференциально-алгебраических уравнений с недоступными фрагментами системной матрицы, что характерно для систем, отдельные блоки которых представляют собой «черные ящики».

2. Выражения и соответствующие диаграммы, характеризующие область устойчивости стабилизированных релаксационных методов решения систем алгебраических уравнений (гарантированная устойчивость при любых положительных значениях стабилизирующих параметров) и систем дифференциально-алгебраических уравнений (необходимые и достаточные условия устойчивости).

3. Метод совместных релаксаций для математического моделирования электрических цепей и систем по частям, который является обобщением итерационного алгоритма «временной анализ» и позволяет выполнять моделирование в реальном времени, что актуально для задач, содержащих аппаратные модели.

4. Методика и выражения оценки критической задержки как основного параметра, характеризующего устойчивость метода совместных релаксаций.

5. Результаты решения практических задач, для которых не могут использоваться другие численные методы, в частности математическое моделирование двигателя постоянного тока (ДПТ) как междисциплинарного объекта с учетом тепловых, электрических и механических процессов; моделирование ДПТ, который представлен аппаратной моделью (реальный ДПТ и цифро-аналоговый интерфейс) и распределенное моделирование в локальной вычислительной сети с использованием программы моделирования, которая не поддерживает такие возможности на уровне ядра.

Внедрение результатов работы

Основные результаты диссертационной работы нашли применение при выполнении госбюджетных работ № 11170, № 11055 на кафедре ТОР ТРТУ, в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем» (х/д 44001, 44002). Часть результатов была получена в Фраунгоферском институте алгоритмов и научных вычислений (Санкт-Августин, Германия) и использована в проектах по численному моделированию электрических цепей и задач электромагнитной совместимости. Результаты работы используется в учебном курсе посвященном автоматизированному анализу электрических цепей, в курсе «Математические основы моделирования радиотехнических цепей и сигналов», а также в ряде лабораторных работ по курсу «Основы теории цепей».

Апробация результатов работы

Основные результаты обсуждались на следующих конференциях:

V, VI, VII Всероссийские научные конференции студентов и аспирантов: техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. Таганрог, ТРТУ, 2000, 2002, 2004 г.г.; Fifth IASTED International Conference Power and Energy Systems (PES 2001) in Tampa, FL, November 19-22, 2001; 1-я Международная научно-практическая конференция: Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы. Новочеркасск, ЮРГТУ, ноябрь, 2001; 8-я Международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Радиоэлектроника, электротехника и энергетика. Москва, МЭИ, март, 2002; Международная конференция" Информационные технологии в естественных, технических и гуманитарных науках ", Таганрог: ТРТУ, 2002, 2004 г.г.; Международная конференция "Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных задач" (М-2002). Таганрог: ТРТУ, 2002; Международная научная конференция "Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты", Таганрог: ТРТУ, 2003; Международный научно-практический семинар «Проблемы современной аналоговой микросхемотехники», Шахты: ЮРГУЭС, 2003; Международная конференция «Цифровые методы и технологии», Таганрог: ТРТУ, 2005. А также были представлены в виде доклада в Институте алгоритмов и научных вычислений, Санкт-Августин, Германия и в Кельнском университете, Германия. Обсуждались на научных семинарах кафедр Теоретических основ радиотехники и Высшей математики

ТРТУ и на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002-2006 г.г.

По результатам исследований опубликовано 16 работ из них 3 в изданиях рекомендованных ВАК, 2 за рубежом, 8 тезисов докладов, остальные в местной печати.

Личный вклад автора

Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии.

В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке вычислительных экспериментов с привлечением релаксационных методов, адаптации релаксационного алгоритма к задаче (выбор стабилизирующих параметров), построении алгоритмов анализа и их реализация на ЭВМ.

Структура диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений.

4.5 Выводы

Таким образом, в числе основных практических результатов, связанных с использованием предложенных релаксационных процедур, следует назвать следующие:

• возможность простой интеграции HIL-моделей с системами моделирования, что является предпосылкой для построения программ автоматизированной идентификации параметров моделей реальных устройств (их отдельных образцов);

• перспективы использования сетевых технологий для распределенного моделирования в программах анализа, которые не имеют встроенной поддержки распределенных вычислений.

Основным требованием к системам моделирования является возможность создания пользовательской модели на языке объектно-ориентированного программирования (например, С++). Большинство современных программ схемного моделирования данному требованию удовлетворяют: OrCAD, VTB, N1 MultiSim. В частности, в рамках международного проекта VTB были созданы и включены в базу данных VTB Schematic Editor сетевые интерфейсные модели, использующие релаксационные процедуры для сшивания откликов различных сетевых станций. Это позволило провести ряд экспериментов по распределенному моделированию, как в локальной сети, так и через сеть Интернет.

Также, улучшение устойчивости релаксационных процедур позволило расширить класс решаемых задач, прежде всего, за счет междисциплинарных систем, содержащих объекты неэлектрической природы, для которых схемная модель отсутствует, либо идентификация параметров и ее практическое использование чрезмерно дороги.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассматриваются численные методы решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений по частям (методами декомпозиции). Для решения отдельного фрагмента системы могут использоваться наиболее подходящие численные методы, но сшивание решений отдельных фрагментов выполняется с помощью релаксационных процедур (итерационных методов типа Гаусса-Зейделя/Якоби и их модификаций), к недостаткам которых, прежде всего, относится плохая устойчивость.

В работе разработан метод стабилизации, позволяющий расширить область устойчивости релаксационных процедур для решения систем линейных дифференциально-алгебраических уравнений методами декомпозиции с недоступными для непосредственного ввода блоками системной матрицы, когда отдельные фрагменты рассматриваются как «черные ящики» при моделировании электрических цепей и систем. Метод позволяет адаптировать релаксационные процедуры под частную задачу. В работе показано, что можно всегда добиться устойчивости стабилизированного релаксационного процесса при анализе линейных цепей как во временной, так и в частотной областях. Таким образом, решена проблема устойчивости релаксационных процедур, что позволяет беспрепятственно их использовать для сшивания решений, полученных в различных моделирующих программах, а также использовать аппаратные модели и проводить анализ в реальном времени. Следует заметить, что применение предложенных методов не ограничивается только линейными цепями. Ряд вычислительных экспериментов показал, что блоки, на которые разделена исходная система, могут носить и нелинейных характер. Единственное ограничение в случае моделирования нелинейных задач заключается в том, что дифференциальные сопротивления каждого из блоков должны быть положительными величинами в точках разделения.

Основные научные и практические результаты работы заключаются в следующем:

1. Выполнено исследование методов декомпозиции с введением упрощенной модели смежного блока, которые позволяют частично или полностью скомпенсировать влияние данных блоков системы на анализируемый фрагмент за счет незначительного усложнения исходной задачи. Такой подход оказывается эффективным, если размерность отдельных блоков значительно превышает число связей между ними.

2. Предложен метод стабилизации класса релаксационных алгоритмов, основанный на симметричном разделении задачи. За счет расщепления узла в точке разделения удается ввести стабилизирующий параметр (элемент). Доказано, что введение и варьирование этого параметра никоим образом не влияет на результирующее решение, однако позволяет расширить область устойчивости релаксационных процедур, а определенный в диссертации выбор стабилизирующих параметров существенно ускоряет сходимость релаксационных процедур. Таким образом, появляется возможность использовать релаксационные подходы не только для математического моделирования систем, разделенных на слабосвязанные блоки, но и при сильных связях между смежными блоками.

3. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и сходимости стабилизированных релаксационных процедур через входные/выходные проводимости блоков разделенной электрической цепи. Построены схемные эквиваленты стабилизированных релаксационных процедур. Это позволяет прогнозировать устойчивость решения при анализе электрических цепей в программах схемного моделирования, а схемные эквиваленты полезны при реализации цифро-аналоговых интерфейсов для использования аппаратных моделей в едином цикле моделирования.

4. Доказано, что метод совместных релаксаций является общим случаем релаксационного метода «временной анализ» и позволяет проводить моделирование в реальном временном масштабе. Метод совместных релаксаций может эффективно использоваться при моделировании систем с аппаратными моделями. Показана возможность стабилизации метода совместных релаксаций, что делает его инвариантным к временным задержкам в смысле устойчивости релаксационного процесса.

5. Получено необходимое условие устойчивости метода совместных релаксаций, которое базируется на определении критической задержки обмена данными между фрагментами декомпозированной системы. Также предложен способ оценки критической задержки, использующий в качестве исходных данных матрицы расщепления. Знание критической задержки, которая характеризует устойчивость разделенной системы, позволяет сделать вывод о возможности использовать цифро-аналоговый интерфейс для моделирования систем с аппаратными моделями.

6. Выполнено сравнение локальных погрешностей традиционных (прямых) и релаксационных алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений при разных разностных схемах. Предлагается ввести новый вид ошибки специально для систем уравнений с задержками: локальная ошибка декомпозиции с задержкой (local delay-decomposition error).

7. Выполнено моделирование систем, для которых целесообразно использовать релаксационные процедуры различного вида: междисциплинарные системы, системы с аппаратными моделями и задачи, для моделирования которых необходимо использовать совместно несколько моделирующих сред в едином цикле моделирования.

Проведенные исследования показали, что предложенные релаксационные подходы могут быть использованы при распределенном моделировании электрических цепей с использованием различных программ моделирования, которые не поддерживают такую возможность на уровне ядра, но позволяют подключать пользовательские модели. Такими возможностями обладает большинство известных программ (OrCAD, N1 MultiSim, VTB и др.). Релаксационные алгоритмы легко распараллеливаются. Методика распределенного моделирования в локальных вычислительных сетях, а также через Интернет, была реализована в VTB с помощью сетевых интерфейсных моделей в рамках международного проекта «Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем». С другой стороны, есть задачи, которые не могут быть решены иными методами (системы, включающие аппаратные модели, задачи, для решения которых необходимо использовать различные программы моделирования в едином цикле). Релаксации могут оказаться эффективными при решении междисциплинарных задач и при анализе жестких систем.

Необходимо подчеркнуть также, что область применения модульного подхода, основанного на методах декомпозиции, не ограничивается рассмотренными приложениями. Разработанные релаксационные процедуры могут быть использованы в других задачах, где решение системы "в целом" невозможно либо из-за ее высокой размерности, либо из-за отсутствия математических моделей отдельных частей рассматриваемой системы в форме, допускающей их совместную обработку.

Перспективным направлением является дальнейшее развитие предложенных подходов. В частности, автоматизация процедур задания и подстройки стабилизирующих параметров, реализация релаксационных процедур на кластерных системах и использование их в задачах идентификации параметров математических моделей физических устройств по результатам использования их в качестве аппаратных моделей.

1. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика /Пер. с англ.- М.: Наука, 1972, 544 с.

2. Newton A.R., Sangiovanni-Vincentelli A.L. Relaxation-Based Electrical Simulation.- IEEE Trans, on Electronic Devices, 1983, v. ED-30, N 9, PP. 11841207.

3. Lelarasmee E., Ruehli A.E., Sangiovanni-Vincentelli A.L. The waveform relaxation method for time-domain analysis of large scale integrated circuit.- IEEE Trans., 1982, v. CAD-l,N3,pp. 131-145.

4. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем /Пер. с англ. под ред. Х.Д. Икрамова, М.: Мир, 1991.- 367 с.

5. Wang К., et al., Parallel Multilevel Sparse Approximate Inverse Preconditioners in Large Sparse Matrix Computations // Intern. Conference SC2003, November 15-21, 2003.- Phoenix, AZ, USA, 2003.

6. White J., Sangiovanni-Vincentelli A.L. Partitioning Algorithms and Parallel Implementation of Waveform Relaxation Algorithms for Circuit Simulation, Proc. Int. Symp. on Circuits and Systems, Kyoto, Japan, June 1985.

7. Desai M., Hajj I. On the convergence of block relaxation methods for circuit simulation.- IEEE Trans., v. CAS-36, N 7, July 1989, pp. 948-958.

8. Dmitriev-Zdorov V.B., Klaassen B. An improved relaxation approach for mixed system analysis with several simulation tools. Proc. Of European Design Autom. Conf., EURO-DAC'95, Brighton, UK, 1995, pp.274-279.

9. Dmitriev-Zdorov V.B. Multicycle generalization of relaxation-based algorithms for circuit and system simulation.- Oldenbourg Verlag, Munchen, Vien, 1997.

10. Barret, R., et al. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, Philadelphia: SIAM, 1994, 124 p.

11. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition with corrections, Frontiers in Applied Mathematics. PIVS Publishing Company, Boston, 2000.- 440 p.

12. Garrett J.E., Ruehli A.E., Paul C.R., Accuracy and Stability Improvements of Integral Equivalent Circuit (PEEC) Approach, IEEE Trans, on Antennas and Propagation, v.46, No. 12, Dec. 1998, pp. 1824-1832.

13. Ruehli A.E., Cangellaris A.C. Progress in the Methodologies for the Electrical Modeling of Interconnects and Electronic Packages, Proc. of the IEEE, v.89, No.5, May 2001, PP.740-771.

14. Nagel L.M. SPICE2: A computer program to simulate semiconductor circuits, Rep. № ERL-M520, Univ. of Calif., Berkeley, 1975.

15. R. Saleh, A.R. Newton, "Mixed-Mode Simulation", Kluwer Academic Publishers, Boston, 1990.

16. Денисенко В., Проблемы схемотехнического моделирования КМОП СБИС //«Компоненты и технологии»,- 2000.- №3.- С.74-78; №4.- С. 100-104.

17. Szekely V., et al. Electro-thermal simulation: a realization by simultaneous iteration, Microelectronics Journal, v.28, No.3, 1997, PP.247-262.

18. Pica S. et al. Electro-thermal simulation and experimental detection of the hot spot onset in power bipolar transistors, Microelectronics Journal, v.28, No.3, 1997.- PP.263-275.

19. Storti-Gajani G., Brambilla A., Premoli A. Electrothermal Dynamics of Circuits: Analysis and Simulations.- IEEE Trans, on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, 2001, v. 48, № 8, PP. 997-1005.

20. Bushyager N., et al., Modeling of Large Scale RF-MEMS Circuits Using Efficient Time-Domain Techniques, 2002.

21. Romanowicz, B. F., Methodology for the Modeling and Simulation of Microsystems. Kluwer Academic Publishers, 1998.

22. Neul, R., Becker, U., Lorenz, G., Schwarz, P., Haase, J., and Wunsche, S., "A Modeling Approach to Include Mechanical Microsystem Components into the

23. System Simulation," 1998 Design Automation and Test in Europe, Paris, FRANCE, 1998.

24. Mukherjee, T. and Fedder, G. K., "Hierarchical Mixed-Domain Circuit Simulation, Synthesis and Extraction Methodology for MEMS," Journal of VLSI Signal Processing-Systems for Signal, Image and Video Technology, 1999 PP. 233-249.

25. Balim G.M., Levina M.G., Smakhtin S.S. Nonequilibrium 1/f Noise and Hardware Reliability. Proceedings of the IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. 26-28 June.- St.Petersburg, Russia, 2002,- PP 396-399.

26. Балим Г.М., Ляшев B.A. Процедуры доопытной оценки времени безотказной работы электронных устройств для автоматизированных систем проектирования аппаратных средств, «Телекоммуникации», Май 2003, № 5, с. 11-18.

27. Southwell R. V., Relaxation Methods in Engineering Science.- Oxford: Oxford University Press, 1940.

28. Southwell R. V., Relaxation Methods in Theoretical Physics.- Oxford: Oxford University Press, 1946.

29. Rollings G., Choma J., Mixied-Mode PISCES-SPICE Coupled Circuit and Device Solver, IEEE Trans, on Computer Aided Design, v.7, No.8, 1988, PP. 862867.

30. Schmerler S., Tanurhan Y., Miiller-Glaser K.D., A Backplane Approach for Cosimulation in High-Level System Specification Environments, Proc. of European Design Autom. Conf., (EURO-DAC'95), Brighton, Sept. 1995, PP.262267.

31. Chawla B.R., et al. MOTIS-an MOS timing simulator, IEEE Trans. Circuits Syst., v. CAS-22, pp. 901-909, Dec. 1975.

32. Fan S.P., et al. MOTIS-C A new circuit simulator for MOS LSI circuits, in Proc. IEEE Int. Symp. Circuits Syst., Apr. 1977.

33. Micheli G., Sangiovanni-Vincentelli A. Characterization of integration algorithms for the timing analysis of MOS VLSI circuits. Circuit Theory & Apps., v. 10, 1982, PP.299-309.

34. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы /Пер с англ.- М.: Мир, 1986.- 448 с.

35. Орте га Дж.М., Рейнболдт В.К. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными /Пер. с англ.- М.: Мир, 1975.- 560 с.

36. White J., Sangiovanni-Vincentelli A. Relaxation techniques for the simulation of VLSI circuits. Cluwer Academic Publ., Boston, MA, 1986. 202 p.

37. Debefve P., Odeh F., Ruehli A.E. Waveform technique. Circuit analysis and design, ed. by Ruehli A.E., North Holland, 1987.

38. Dmitriev-Zdorov V., Klaassen В., Paap K.-L. Improvement of stability injLcosimulation of tightly-coupled systems. Proc. of 9 European Simulation Symposium (ESS'97), Oct. 19-23, 1997, Passau, Germany, PP.639-643.

39. Немнюгин C.A., Стесик O.JI. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем.- СПб.: БКВ-Петербург, 2002.400 с.

40. Klaasen В, Ein hicrarchisches Verfahren zur Schaltkreissimulation, Dissertation, Berichte der GMD, Nr. 216, Oldenbourg-Verlag, 1993.

41. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы,-М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.- 632 с.

42. Newton A.R., Sangiovanni-Vincentelli A.L., Relaxation-Based Electrical Simulation, IEEE Trans, on CAD, v. CAD-3, No. 4, October 1984, PP. 308-331.

43. Фадеев Д.К., Фадеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: «Лань», 2002.- 736 с.

44. Введение в математическое моделирование / В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер и др. Под ред. П.В. Трусова.- М.: Логос, 2005.440 с.

45. Самарский А.А. Введение в численные методы.- М.: Наука, 1987.- 288 с.

46. Joppich W., Mijalkovic S., Multigrid Methods for Process Simulation, Сотр. Microelectronics, Springer-Verlag, Wien, NY, 1993.

47. Stiiben K., Algebraic Multigrid (AMG): An Introduction with Applications, GMD Report 70, St. Augustin, Germany, 1999.

48. Попов В.П. Основы теории цепей,- М.:Высш.шк., 1998.- 523 с.

49. Ляшев В.А. Анализ сходимости итерационных методов Гаусса-Зейделя и Якоби с симметричным расщеплением // Международная научная конференция "Цифровые методы и технологии".- часть 2.- Таганрог: «Антон», 2005,-С. 51-54.

50. Varga R.S. Matrix Iterative Analysis.- New Jersey: Prentice-Hall, 1962.

51. Каханер Д., Моулер С., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение / Пер. с англ. М.: Мир, 2001.- 575 с.

52. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем /Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1988.- 560 с.

53. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ.- М.: Наука, 1982.-272 с.

54. Бирюков В.Н. Применение итераций Зейделя для решения неявных разностных схем обыкновенных дифференциальных уравнений для программ анализа электрических цепей / Радиоэлектроника.-1997.-Т.40.-№11. С. 77-80.

55. Dmitriev-Zdorov V.B., Lyashev V.A., Maksimov M.N., Modified Concurrent Relaxation Method and Improving the Stability of Numerical Analysis by Partitioning, Proc. of International conference "Information Technologies In

56. Natural, Technical And Humanitarian Sciences" (IT-2002). Part 3,- Taganrog: TSURE, 2002, pp. 35-37.

57. Корн Г.А., Корн T.M. Справочник по математике, М.: Наука, 1984 -832 с.

58. Dmitriev-Zdorov, V.B., Dougal R.A., Merezhin N.I., Popov V.P. Stability of Real-Time Modular Simulation of Analog Systems. Proc. of IEEE Workshop on Computers in Power Electronics, Blacksburg, VA, July 2000, pp.255-259.

59. Чуа JI.O., Лин П.М. Машинный анализ электронных схем /Пер. с англ.-М.: Энергия, 1980.-640 с.

60. Meyer C.D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,- Philadelphia: SIAM publ, 2000.- 720 p.

61. Manetti S., Piccirilli M.C., A Singular-Value Decomposition Approach for Ambiguity Group Determination in Analog Circuits.- IEEE Trans. On C&S-I, v.50, No.4, April 2003, PP.477-487.

62. Электротехнический справочник: электротехнические изделия и устройства.-М.: Энергоатомиздат, 1986.- Т.2.- 712 с.

63. Дульнев Г.Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре. -М.: Высшая школа, 1984. 247 с.

64. Storti-Gajani G., Brambilla A., Premoli A. Electrothermal Dynamics of Circuits: Analysis and Simulation, IEEE Trans. Circuit Syst., v.48, Aug. 2001, PP.997-1005.

65. Ляшев В.А. Моделирование тепловых процессов при численном анализе электромеханических устройств // Мат-лы II Международной научно-практической конференции (ИЭМС 2001).-Новочеркасск: ЮРГТУ, 2001.- СС. 27-31.

66. Ляшев В.А. Оценка эксплуатационных параметров технического объекта в системах автоматизированного функционального анализа,-«Известия ТРТУ».- №1,2004.- С. 12-55.

67. Balim G., Dougal R. Lyashev V., et. al. Evaluation of Non-Failure Operation Time of Power System Elements in Virtual Test Bed Environment via TimeOFrequency Analysis.- IEEE IMTC-2005 Conf.- Ottawa, Ontario, Canada, May 2005.- PP.737-741.

68. Виртуальная моделирующая установка для современных электрических систем // Попов В.П., Веселов Г.Е. и др.: Квартальный отчет по х/д 44001, номер госрегистрации: 01.2.00101690, инвентарный номер: 02.200204533, кол-во книг: 1, 2002.- 180 с.

69. Gokdere L.U., Brice Ch.W., Dougal R.A. A Virtual Test Bed for Power Electronic Circuits and Electric Drive Systems // Computers in Power Electronics (COMPEL 2000) in Blacksburg, VA, July 16-18, 2000.

70. Brice CH.W., Gokdere L.U., Dougal R.A. The Virtual Test Bed: An environment for Virtual Prototyping // Proceedings of International Conference on Electric Ship (ElecShip'98).- Istanbul, Turkey, September 1998.- PP. 27-31.

71. Кондратенко C.B. Распределенные вычисления в локальных компьютерных сетях,- Таганрог: Известия ТРТУ, вып. 1(24), 2002.- СС.72-73.

72. Дмитриев-Здоров В.Б., Ляшев B.A., Максимов M.H., Реализация распределенного моделирования электрических цепей в локальныхвычислительных сетях (ЛВС), Журнал «Телекоммуникации», Москва, Ноябрь 2001, № И, с. 15-19.

73. Ляшев B.A. Проблемы автоматизированного анализа многокомпонентных высокоразмерных систем // Сборник научных статей «Современные проблемы теории радиотехнических сигналов, цепей и систем».- Таганрог: «Антон», 2004.- С.50-53.

74. Ляшев В.А. Современные методы численного анализа задач электромагнитной совместимости.- Таганрог.- «Известия ТРТУ», 2005.- № 9.-с. 9.

75. Ляшев В.А. Проблемы численного анализа смешанных систем / Межд. научн. конф."Системный подход в науках о природе, человеке и технике": Тез. докл.- ч.5.- Таганрог: ТРТУ, 2003.-С.47-48.