автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.05, диссертация на тему:Реконструкция распределения удельной электрической проводимости для технических и биомедицинских измерительных систем

Державний університет «Львівська політехніка»

•> а. На правах рукопису

^ УДК 621.317.

> #

/ . .

Дудикевич Тарас Валерійович

РЕКОНСТРУКЦІЯ РОЗПОДІЛУ ПИТОМОЇ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ПРОВІДНОСТІ ДЛЯ ТЕХНІЧНИХ ГА БЮМЕДИЧНИХ ВИМІРЮВАЛЬНИХ СИСТЕМ

пеціапьність 05.11.05 - прилади та методи вимірювання електричних та магнітних величин

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Львів 1997

Дисертацією є рукопис Робота виконана в Державному університеті «Львівська політехніка»

Науковий керівник:

—доктор технічних наук, професор, заслужений винахідникУкраїни Стадник Богдан Іванович —доктор фізико- математичних наук, професор

Попов Богдан Олександрович

—доктор технічних наук, старший науковий співробітник Бунь Ростислав Адамович

Офіційні опоненти:

Провідна організація: Наукове-виробниче підприємство пс радіоелектронній медичній апаратурі (м.Львів)

засіданні спеціалізованної ради Д 04.06.11 у Державному університеті “Львівська політехніка" (290646, Львів-13, вул. С. Бандери,12, ауд. 225 головного корпусу).

Відгуки на автореферату двох примірниках, завірені печаткою, просимо надсилати на адресу: 290646, Львів-13, вул. С. Бандери, 12, Державний університет “Львівська політехніка", вченому секретарю ради Д 04.06.11.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Державного університету "Львівська політехніка” (вул. Професорська, 1).

Захист відбудеться "0 “ № 1997 р. о . годині на

Вчений секретар спеціалізованої ради, к.т.н., с.н.с.

з

Загальна характеристика роботи

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ. На цей час гомографічні системи, які ізуються на різних фізичних принципах, успішно використовуються медицині та промисловості. Це в першу чергу рентгенівські, іьтразвукові системи, та такі, що базуються на явищі ядерного ігнітного резонансу (ЯМР).

Проте ці системи мають ряд очевидних недоліків. По-перше, це кідливість для пацієнтів та обслуговуючого персоналу, яка іеможливлює часту повторюваність томографічних вимірювань, пькість рентгенівських і ЯМР- томограм для однієї людини в певний юміжок часу строго регламентована. По-друге, це низька юдуктивність, як правило, дуже дорогого та габаритного обладнання, /ізька продуктивність цього обладнання обумовлена низькою видкодією механічних елементів сканування, які містяться у всіх іщезгаданих системах. Лише процес збору даних для однієї томограми іиває від декількох секунд до декількох десятків хвилин. Цей недолік >инципово виключає можливість зображування динамічної активності ієредині людського організму та технічних системах в реальному часі, допомогою таких томографічних систем в медицині можна отримувати іше статичні томограми органів, які не змінюють або мало змінюють юю форму під час збору томографічних даних. Таким чином, /іттєдіяльність серцево-судинної та дихальної систем не може бути юслідкована використовуючи класичні томографічні системи. В юмисловості різні модифікації деяких з цих томографічних систем ікористовуються лише для неруйнівної діагностики, тобто знову ж іки там, де досліджувані зразки не міняють свою форму та фізичні іраметри в часі та на даний момент практично не мають застосування ія моніторингу розподілу речовин при швидкозмінних процесах. Тому інтенсивно іде пошук нових шляхів створення ісокопродуктивних малогабаритних та дешевих засобів, придатних ія динамічної візуалізації внутрішньої структури досліджуваних об’єктів реальному або квазіреальному часі.

З огляду на це перспективним видається томографічний метод, в :ому інформативним параметром є питомий електричний опір, а мета імірювання полягає у знаходженні його розподілу в площинних ;рерізах біологічних та промислових об’єктів. Ця галузь томографічних імірювань називається резистивною томографією. Суть методу їзистивної томографії полягає у знаходженні розподілу питомого іектричного опору або питомої електричної провідності всередині алогічного та промислового об’єкта за вимірюваннями струму і іпруги, зробленими лише на його поверхні. Час збору даних для інієї томограми обмежується лише швидкодією електронних пристроїв е перевищує, як правило, БОтв. Струм порядку кількох десятків або

сотень мікроампер, що використовується для збору даних, є безпечнім для людського організму, не руйнує та не збуджує тканин і забезпечу* достатнє співвідношення сигнал-шум. Сама томографічна систем? містить в собі лише струмопідвідні електроди, персональний абс спеціалізований компьютер та пристрій збору даних, розміри якого не перевищують розмірів звичайного відеомагнітофону. Таку переносну систему легко можна розмістити в дослідницькій лабораторії, нг промисловому об’єкті або біля ліжка хворого.

Таким чином, резистивна томографія, будучи використаною і медицині, здатна забезпечити широкий діапазон повторюванні фізіологічних вимірювань в клінічних та лабораторних умовах і < придатною для візуалізації швидкозмінних циклічних процесів всередин людського організму. Резистивні гомографічні системи можуть такох знайти широке застосування в промисловості для моніторингу розподіл] хімічних речовин в трубопроводах, циліндричних змішувачах т< сепараторах в реальному часі, причому математичні моделі для різни: застосувань будуть універсальними.

Процес реконструкції питомої електричної провідності з лиш< поверхневих даних струму та напруги є в резистивній томографі набагато складнішим і менш дослідженим, ніж в альтернативни: гомографічних методах. Ця галузь томографії все ще знаходиться' фазі швидкого розвитку і тому її практичне застосування вимага< розв’язку ряду специфічних проблем, а саме розробки ефективни: швидкодіючих алгоритмів реконструкції питомої електричної провідною в площинних перерізах досліджуваних об’єктів.

МЕТОЮ РОБОТИ є аналіз загальних закономірностей побудові резистивних гомографічних систем (РТС), уточнена постановка задач реконструкції та розробка методів і алгоритмів розв’язання як прямо задачі резистивної томографії, тобто побудови моделі неоднорідноп провідного тіла, так і зворотної задачі, тобто задачі реконструкці питомої електричної провідності за результатами вимірювані поверхневих струмів та напруг.

ЗАДАЧІ ДОСЛІДЖЕННЯ Згідно з поставленою метою задачамі дослідження є:

— аналіз загальних закономірностей побудови РТС, оцінка ї: швидкодії та просторової роздільної здатності;

— уточнена постановка задачі реконструкції, формулюванні прямої та зворотної задачі реконструкції;

— розробка математичного апарату для моделювання розподіл потенціалу в площинних перерізах провідних об’єктів при задани; розподілі питомої електричної провідності всередині перерізу Ті значенні підведеного до певних точок поверхні об’єкту струму;

— розробка методів реконструкції питомої електрично провідності в площинних перерізах провідних об’єктів з;

вимірюваннями струму та напруги, зробленими лише на поверхні;

—дослідження розробленої математичної моделі та формування рекомендацій для конструювання РТС;

—аналіз похибок реконструкції питомої електричної провідності. МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ. В дисертаційній роботі використовувався іектр методів наближених обчислень, а саме метод сіток та метод сінчених елементів (РЕМ) для розв’язання диференційного рівняння апласа в часткових похідних з граничними умовами Неймана, ераційні та прямі методи розв’язання системи лінійних алгебраїчних івнянь (СЛАР), квазіньютонівський регуляризований метод евенберга-Марквардта для розв’язання нелінійної задачі безумовної інімізації.

НАУКОВА НОВИЗНА проведених досліджень така:

— проведено постановку задачі реконструкції питомої електричної провідності з поверхневих даних струму та напруги, на її основі сформульовано пряму і зворотну задачі резистивної томографії;

— для 16-ти електродної конфігурації системи збору даних проаналізовано чутливість та просторову роздільну здатність системи;

— розроблено модель неоднорідного провідного тіла без внутрішніх джерел струму з відомими розподілом питомої електричної провідності всередині тіла та підведеним до його поверхні струмом;

— запропоновано алгоритми та розроблено і досліджено програмне забезпечення для розрахунку розподілу електричного потенціалу в площинних перерізах моделі з використанням методу сіток та методу скінченних елементів для розв’язання диференціального рівняння Лапласа з граничними умовами Неймана;

— запропоновано алгоритми та розроблено і досліджено програмне забезпечення для реконструкції розподілу питомої електричної провідності в площинних перерізах провідних об’єктів за результатами вимірювань поверхневих струмів та напруг з використанням квазіньютонівського регуляризованого методу Левенберга-Марквардта для розв’язання задачі безумовної мінімізації квадратичного функціоналу;

—проведено аналіз похибок реконструкції питомої електричної провідності.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ, ЩО ВИНОСЯТЬСЯ НА ЗАХИСТ:

— теоретичні засади побудови резистивних томографічних систем;

— модель неоднорідного провідного тіла без внутрішніх джерел струму з відомим розподілом провідності та підведеним до його поверхні струмом;

— методи розрахунку розподілу електричного потенціалу в

площинних перерізах моделі;

— метод реконструкції розподілу питомої електричної провідності в площинних перерізах провідних об'єктів за вимірюванням підведеного до поверхні тіла струму та спричиненого ним розподілу поверхневих напруг;

—аналіз похибок реконструкції питомої електричної провідності з поверхневих значень струму та напруги.

ПРАКТИЧНА ЦІННІСТЬ РОБОТИ полягає в наступному:

— на основі запропонованих алгоритмів розв’язання прямої те зворотної задач резистивної томографії створено повний комплекс програмного забезпечення для PTC;

— на основі дослідження математичної моделі вироблен рекомендації по конструюванню PTC;

— розроблені числові алгоритми можуть бути використані дл9 розв’язку інших задач, що описуються подібними математичними залежностями.

РЕАЛІЗАЦІЯ. Результати роботи використані на Науково-виробничому підприємству по радіоелектронній медичній апаратур (м. Львів) при виконанні робіт по визначенню набряків мозку ; використанням 16-електродної системи для вимірювання електричного імпедансу в режимі моніторингу, а також при дослідженні секреторно' активності слизової оболонки шлунка за допомогою зондуванн? середовища високочастотним струмом і знімання потенціалів з 8-му електродів.

АПРОБАЦІЯ РОБОТИ. Основні результати дисертаційної роботі/ доповідались і обговорювались на наступних конференціях:

— VI Українській конференції “Моделювання та досліджень стійкості систем”, Київ, 1995р.;

— II Всеукраїнській конференції “Сучасні фізико— математичн дослідження молодих науковців вузів України”, Київ, 1995р.

— Міжнародній науковій конференції “5th International Symposium on Temperature and Thermal Measurement in Industry and Science Tempmeko’93", Prague, 1994.

ПУБЛІКАЦІЇ З РОБОТИ. За темою дисертації опубліковано 6 робіт, ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ЗДОБУВАНА є основним на всіх етапа> виконання досліджень і полягає в формулюванні завдань та безпосередньому виконанні всіх етапів роботи. В друкованих працях опублікованих у співавторстві, автору належить участь в постанови задач, розробка методів та комп’ютерне моделювання.

СТРУКТУРА ТА ОБ’ЄМ РОБОТИ. Дисертаційна робота складаєтьс? з вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку літератури та додатків Обсяг дисертації 105 сторінок машинописного тексту, вона містить ЗО рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтована актуальність роботи, сформульована мета . задачі досліджень, наведена наукова новизна дисертації та основні )ложення, що виносяться на захист. Представлені відомості про іробацію роботи та публікації.

У першому розділі проаналізовано існуючі засоби та методи зуалізації внутрішньої структури біологічних та технічних об’єктів. Сюди ілежать ультразвукова ехо-локація, рентгенівська томографія та імографія на явищі ядерного магнітного резонансу. Наведені типові зласті застосування цих томографічних методів.

Проведено аналіз спільних недоліків цих методів візуалізації, таких : низька швидкодія, як правило, дорогого та габаритного обладнання, кідливість для пацієнта та обслуговуючого персоналу, складність терпретації отриманих зображень.

Обгрунтовано доцільність вибору резистивного методу для зуалізації внутрішньої структури біологічних та технічних об’єктів, зведені переваги методу в порівнянні з традиційними методами зуалізації: висока швидкодія, низька вартість, екологічність. Показано,

о реконструкція розподілу питомої електричної провідності, зокрема медичній діагностиці, повинна забезпечити добру контрастність )браження, оскільки існує відчутна різниця між значеннями питомого іектричного опору різних тканин.

°ис 1. Площинний переріз круглого об'єкту з розміщеними на його

поверхні електродами

Наведена структурна схема та основні компоненти резистивної »мографічної системи: набір струмо-підвідних електродів, система зору томографічних даних, спеціалізований або персональний

комп'ютер з пристроєм відображення.

Наведено стратегію сканування об’єкту 16-ти електродно«: системою збору томографічних даних, яка використовує по два сусідн електроди для підведення струму та вимірювання напруги. До дво> сусідніх електродів, для прикладу, 1 та 16 (рис. 1) підводиться струи заданого значення, всі інші пари сусідніх електродів 2-3, 3-4, ..., 1415 використовуються для вимірювання поверхневих напруг Вимірювання напруг між електродами 15-16 та 1-2 не проводяться оскільки це пов’язане з певними труднощами внаслідої' неконтрольованого спаду напруги на електродах. Далі струн підводиться почергово до кожної з пар сусідніх електродів виконуються відповідні вимірювання різниць потенціалів. Для ціє стратегії в подальшому розроблялися відповідні математичні модел та алгоритми реконструкції питомої електричної провідності.

При такій стратегії для заданої кількості електродів N всього мож« бути зроблено лише N(N-3)

П = Л-2~1 <1>

незалежних вимірювань поверхневих напруг. В випадку 16-ти електродно системи л =104. В подальшому лише найбільше п значень питомо електричної провідності в межах перерізу можуть бути реконструйован для даної кількості струмопідвідних електродів.

Задача реконструкції питомої електричної провідності з поверхневи) даних струму та напруги в резистивній томографії принципове відрізняється від задачі реконструкції в існуючих томографічних метода) за рахунок специфіки розповсюдження струму в провідному об’єкті. Е той час як, практично можна говорити про прямолінійне розповсюдження рентгенівського випромінення та наближене акустичних хвиль у досліджуваних середовищах, процес поширенн? струму в провідному середовищі є принципово не прямолінійним і крім того, тут йдеться скоріше про розподіл струмових потоків Е реальному тримірному об’єкті. В даній дисертаційній роботі буде зроблене припущення, ЩО розподіл струмових ПОТОКІВ ПОЗс досліджуваним площинним перерізом є мізерно малим в порівнянні і розподілом в межах перерізу і буде розглядатися двомірна задача реконструкції провідності.

Таким чином, значний досвід реконструкції зображень з поверхневи) даних, накопичений в класичних галузях томографії, не може буті використаним в резистивній томографії. Реконструкція розподілу питомої електричної провідності в двомірних перерізах провідни) об’єктів з поверхневих даних струму та напруги вимагає розроби спеціальних методів та алгоритмів.

Дана галузь томографії знаходиться в фазі початкового розвитку, і незважаючи на певну кількість праць, все ще не вироблений загальний

дхід до побудови точних та швидкодіючих методів та алгоритмів зконструкції провідності. Тому створення вітчизняних засобів ззистивної томографії вимагає розробки методів, алгоритмів та пакетів зикладних програм для реконструкції провідності для технічних та омедичних вимірювальних систем.

У другому розділі математично описана модель неоднорідного

Рис. 2. Модель неоднорідного провідного тіла

зовідного тіла О (рис. 2), обмеженого границею Г з розподілом /1ТОМОЇ електричної провідності у(х,у), яке не має внутрішніх джерел груму. Підведений до поверхні тіла струм и спричиняє розподіл зтенціалу и(х,у) всередині тіла. Сумарний потік густини струму Л через зверхню об’єкту є рівним нулю.

Струм, підведений до поверхні тіла через два електроди, прикладені

точках Г\ та Г2, спричиняє розподіл потенціалу и(х,у), що описується іагальненим рівнянням Максвелла

У-(г(х>У)Уи(х9у)) = 0. (2)

Умова рівності нулю потоку струму через поверхню тіла дозволяє формулювати наступні граничні умови

[у— = +/, на вхідному електроді (частина контуру г )

1 ¿її ’ 1

Гу — = —/ на вихідному електроді (частина контуру г ) (3)

} Зі 2

їг^=0 на решті точок контуру (контур р ),

Зі 3

э п позначає одиничну зовнішню нормаль до поверхні тіла.

ю

Приведено формулювання та математична постановка прямої т; зворотної задачі резистивної томографії. Пряма задача полягає і знаходженні розподілу електричного потенціалу всередині та ні поверхні об’єкту за заданими значеннями розподілу питомо електричної провідності всередині об’єкту та струму, підведеного д< поверхні об’єкту. Пряма задача включає в себе розв’язанні диференціального рівняння Лапласа (2) в частинних похідних : граничними умовами Неймана (3). Аналітичний розв’язок цієї зада^ неможливий за винятком простого одномірного випадку.

На початковому етапі дослідження пряма задача резистивно томографії розв’язувалась методом сіток (скінченних різниць) длі правильної двомірної радіально-циліндричної сітки з розбиттям ні 60*64=3840 елементів, а результуюча система лінійних алгебраїчни; рівнянь методами Зейделя та верхньої релаксації по лініях. Проте виявилися два фактори, які, на жаль, роблять недоцільнт використання методу сіток в процесі реконструкції, тобто при рішень зворотної задачі резистивної томографії. По-перше, проблематичні вибрати вдалу економічну сітку. Правильна радіально-циліндрична сітк, є значно згущеною всередині перерізу об’єкту і розрідженою на йоп поверхні і, як наслідок, забезпечує вищу точність різницевої схеми і центральній частині перерізу, в той час як більш важливою є точністі в приграничній області. Крім того ця сітка призводить до значної різний площ елементів на поверхні і в центрі перерізу. По-друге, ще ра: підтвердився відомий факт, що метод скінченних різниць поган< пристосований для розв’язку задач з неоднорідним або анізотропниг розподілом параметрів. Так, для всіх протестованих сіток виявилося що, коли провідність у двох сусідніх елементах відрізняється більш« ніж у 5 разів, різницева схема, а отже й ітераційний процес розходяться.

Тому надалі було використано метод скінченних елементів длі розв’язання рівняння (2) з граничними умовами (3). Для цьоп площинний переріз об’єкту розбито на 104 трикутні елементи Яі показано на рис. 3. Для методу скінченних елементів наведен, варіаційна постановка задачі та кусково-лінійні базові функції н; трикутних елементах.

Матриця результуючої системи лінійних рівнянь є симетричною ті позитивно визначеною. Цей факт дозволяє її розклад на множникі

вигляду А = Ь • і7 методом Холеського, де І. - нижня трикутна матриця

Перевагами розкладу Холеського є чисельна стійкість та найвищі серед різних способів розкладу матриць швидкодія, він вимагаї

виконання лише я3/б операцій множення та ділення.

Для коректного розв’язання прямої задачі проведена оцінка точносі

Рис. 3. Розбиття перерізу на 104 трикутні елементи

эделювання розподілу електричного потенціалу методом скінченних іементів за принципом Рунге. Показано, що для мінімального числа )4-х елементів похибка моделювання на різних контурах рисунку 3 є зною, вона зростає від середини до краю перерізу. Для зменшення єї похибки побудовані ще три сітки з більшою кількістю елементів і зрівнювались значення електричного потенціалу в спільних вузлових >чках. Для кількості елементів 640 забезпечена похибка моделювання межах 1 %, що цілком достатньо.

Наведені результати моделювання розподілу електричного пенціалу в графічному та числовому вигляді.

У третьому розділі розроблений математичний апарат зконструкції питомої електричної провідності за виміряними на зверхні об’єкту значеннями різниць потенціалів.

На основі дослідження математичної моделі неоднорідного ювідного тіла показано, що задача реконструкції провідності з зверхневих даних струму та напруги є фізично дуже погано зумовленою. Причиною цього явища є те, що великі зміни питомої іектричної провідності в перерізі об’єкту можуть привести до зовсім >значних змін електричного потенціалу на поверхні перерізу. І, що ійгірше, справедливе і зворотне твердження, а саме, незначні зміни вхідних даних алгоритму реконструкції, спричинені похибками імірювання струму та напруги на поверхні об’єкту та похибками в іближених математичних обчисленнях, можуть привести до великих ¡контрольованих похибок в реконструйованому розподілі провідності. )ім того, дослідження моделі показали, що чутливість значень іектричних потенціалів на поверхні до зміни провідності елементів в

приграничному шарі об'єкту є в 10 разів вищою ніж в центральнії області.

Математично задача реконструкції полягає в наступному: знайті

такий розподіл провідності у є SH” в межах перерізу, де 9іп позначаї л-мірний евклідовий простір, причому обчислені для цього розподіл

значення поверхневих напруг у. мають бути еквівалентні виміряниг

v!". Для цього спробуємо в квадратичній нормі мінімізувати суму різниц

між відповідними компонентами у та ут. Формально це може буті записати у такому вигляді

дано

1 П 2 знайти min f(r) = -Y V'M-VT) . (4)

/dR» v ; 2tiv l}

де "1/2" додано виходячи із зручності подальших викладок. Позначим

ТаКОЖ ДЛЯ ЗРУЧНОСТІ VV™ Через яка в СВОЮ Чергу Є /-TOf

компонентою вектор-функції : 9?п —> 9?" • Тоді задача (4) мож

бути записана у векторній формі

==\FW Fb)_ <5

Для розв’язання використано квазіньютонівський метод Левенберга

Марквардта. На кожній ітерації для функції /(г) = /^.^{У) Р{У будувалась наступну квадратичну модель

™c(rc+s) =

= \РІУс)Т Р(Гс) + {АГс)Т НГс))Т + \sT[J{yc)T АУсЇ)5 ’{Є

де s - довільний ненульовий приріст, Ус - поточне значення вектор

овідностей, J^y ^ - якобіан в поточній точці. Мінімізуючи квадратичну ідель (6) отримуємо наступний модифікований ньютонівський крок та

ве наближення у+ для вектору провідностей

^=-(Лг‘УАп)}'Лг.)гКг.) <7)

N

(8)

Так як = J(}'C)T^{ус)’ то дана модель позитивно

значена тоді і тільки тоді, коли якобіан ^(ус) не вироджений. В ному випадку це відповідає тому факту, що ус + ^ є єдина точка німумудля Мс{у}-

Оскільки функція Я не задана аналітично, а сама є результатом числювальної процедури, то якобіан вданому випадку буде шукаєтися кожній ітерації по скінченно-різницевих апроксимаціях по різниці еред. При цьому/-й стовбець апроксимувався по формулі

/ \ Н/к+Кеі)~Н?к) • і

(Ак\. = -^-----^------—-У = 1 О)

де ву- позначає/-ий одиничний вектор і Нк « 10“5-И(Г7. Ускладнення наведеної вище ітераційної схеми виникає, коли внаслідок ганої обумовленості задачі якобіан модел/(^с)майже вироджений

іоточній точці у . В цьому випадку буде неможливо обчислити щифікований ньютонівський крок

’=-{Агс)т Аг.)) 'АгіУНг,)’ оскільки гессіан моделі

/с ) ^(Ус ) буде теж майже виродженим.

Для виявлення цієї ситуації застосовано метод оцінки числа умовленості матриць. Якщо якобіан моделі є виродженим або число

го обумовленості більше, ніж (таякерз) /г, де таЬвєрз позначає

машинне епсилон для заданого формату чисел з плаваючою комою, тс квадратична модель (5) збурювалась так, що

™с(Ус + s) = \F{7c)TF{yc)^(АУсУрІГс))7s + \sTH{yc)s (10) де #(^с)позначає гессіан моделі,

H(yc) = J(yc)TJ(yc) + (n-masheps)l/2 \j(yc)TJ{yc\-1

де /—одинична діагональна матриця, а множник перед/—параметі регуляризаціі, і далі шукався ньютонівський крок в точку мінімуму ціє збуреної моделі за формулою

sK=-H{ye)-'-j(rc)TF(rc) (11)

Для використаного 80-бітного формату long double чисел з плаваючон комою mahseps приблизно дорівнює 1019. Дослідження моделі показала що число обумовленості якобіану моделі, як правило, більше 109,, число обумовленості незбуреного гессіану порядку 1017.

Збурення моделі покращує її обумовленість, проте може навіть суттєві погіршити здатність моделі апроксимувати реальну задачу. Звщси робимо висновок про доцільність такого мінімального збурення, яке б робилі модель надійно добре обумовленою, проте не більше ніж це потрібне Саме цю властивість має використана методика збурення квадратичне моделі (5), оскільки доведено, що число обумовленості таким чиної модифікованої матриці є величина порядку (masheps) ^.

Тестування розробленого методу показало, що число обумовленос таким чином збуреного гессіану ніколи не перевищує 109, тобто ві справді є добре обумовленим і гарантовано позитивно визначений Тоді для отримання кроку в напрямі нового наближення розв’язуєм лінійну систему (11) ШЛЯХОМ розкладу Холеського І подальшою 3B0p0TH0f підстановкою.

Проаналізовано швидкодію ітераційного процесу. Зазначено, що, н жаль, метод є повільним і на звичайних персональних ком’ютерах н може бути використаним для реконструкції провідності в реальном масштабі часу. Одною з альтернатив в цій ситуації є брати лише одн ітерацію квазіньютонівського алгоритму. Це має ту очевидну перевап що апроксимація якобіану моделі при заданому початковому наближені може бути обчислена наперед і зберігатися у дисковому файлі. Більш

того, матричне перемноження )Г j(yc)> регуляризація цієї матриї

згідно із запропонованою методикою, її розклад Холеського, а тако:

перемноження на J{yc'f > тобто три перші тривалі математичні операи в знаходженні модифікованого ньютонівського кроку (7) можуть теж бут

юнаними заздалегідь і збережені у файлі.

Позначимо отриману в результаті цього реконструкційну матрицю

>езЛ=-(у(Уг)гу(г,)) Тоді знаходження кроку в напрямі

їого наближення будемо шукати за формулою

5і =~К(р(у^)~УМ) (12)

- вектор наперед обчислених значень різниць поверхневих

іруг при заданому початковому наближенні првідності . Ця операція

земноження матриці на вектор вимагає виконання лише п2 операцій оження і стільки ж додавання. Очевидно, що платою за це є втрата іності реконструкції, важливішою, проте, тут є здатність алгоритму з на першій ітерації відслідковувати тенденцію зміни провідності в зівнянні з однорідним розподілом, який, як правило, задається в ролі іаткового наближення.

Наведені ситуації, коли використання лише одного кроку ізіньютонівського алгоритму є оправданим.

У четвертому розділі наведені результати реконструкції розподілу гомої електричної провідності з допомогою розроблених алгоритмів, я цього використано три тестові моделі з різними розподілами звідності та різними початковими наближеннями. На рис, 4 наведений ?ультат реконструкції розподілу провідності для випадку, коли на всіх

Рис 4. Результат реконструкції провідності

елементах провідність була заданою 3 См/м за винятком 53-го елемент на якому вона рівна 5 См/м. Початкове наближення приймалось рівни 1 См/м.

Проаналізовані джерела та природа похибки реконструкції та впли на цю похибку проведеної регуляризації гессіану моделі.

На кожній ітерації оцінювались середня за модулем та максимальк на елементі похибки реконструкції провідності за формулами:

де уг позначає дійсне значення провідності на/-тому елементі,

(5) • • • - г*

У} - значення провідності на елементі на в-іи ітерації. Для розподі; на рис. 4 середня похибка рівна 1%, а максимальна—4%.

Досліджено стійкість та швидкість збіжності ітераційного процесу. 5 правило, для досягнення достовірного розв’язку цілком достатньо 1( 15 ітерацій.

В дисертації отримано такі основні теоретичні і практичні результат

1. Проаналізовано існуючі методи візуапізації внутрішньої структур біологічних та технічних об’єктів. Обгрунтовано доцільність використав для цих цілей резистивного томографічного методу, який полягає реконструкції розподілу питомої електричної провідності в площинні перерізах досліджуваних об’єктів за вимірюваннями струму та напруг зробленими лише на поверхні об’єкту. Показано, що зокрема в медици резистивний гомографічний метод здатний забезпечити достати контрастність, оскільки існує відчутна різниця між значеннями питом електричної провідності різних біологічних тканин. Проаналізоваь чутливість та просторову роздільну здатність резистивних томографів

2. Наведено стратегію сканування об’єкту 16-ти електродною системо збору гомографічних даних, яка використовує по два сусідні електро/ для підведення струму та вимірювання напруги. Для цієї стратегії подальшому розроблялися відповідні математичні моделі та алгори™ реконструкції питомої електричної провідності.

3. Здійснена строга математична постановка задачі реконструкц Сформульовано пряму та зворотну задачі резистивної томографії, ц дало можливість в подальшому розробити ефективні алгоритми розв’язку.

З™* = шах

(13)

(14)

ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ

4. Розроблено модель неоднорідного провідного тіла без внутрішніх ерел струму. Розрахунок розподілу електричного потенціалу в зщинних перерізах моделі проводився методами скінченних різниць скінченних елементів. Показано, що метод скінченних різниць є придатним для даної задачі. Для методу скінченних елементів жструйовано три сітки з різною мірою згущення та спільними вузловими іками. Проаналізовано точність моделювання розподілу електричного генціалу з їх використанням, необхідний обсяг оперативної пам’яті та идкодію. Зокрема при розбитті перерізу на 640 елементів досягнена хибка моделювання в межах 1%.

5. На підставі дослідження розробленої моделі неоднорідного овідного тіла показано, що задача реконструкції питомої електричної овідності є фізично дуже погано обумовленою, що унеможливлює посування типових методів розв’язку.

6. Створено кількісний алгоритм реконструкції розподілу питомої овідності в площинних перерізах провідних об’єктів на основі зв’язання задачі безумовної мінімізації квадратичного функціоналу ізіньютонівським ітераційним методом типу Левенберга-Марквардта. слідження алгоритму показали, що гессіан задачі на кожній ітерації лзький до виродження, що робить неможливим знаходження надійного зв’язку. Використано та адаптовано до потреб даної задачі методику гуляризації гессіану задачі на основі оцінки його числа обумовленості, пропоновано методику внесення в гессіан такого мінімального урення, при якому він вже є достатньо добре обумовленим і Зезпечується належна швидкість збіжності.

7. Проаналізовано джерела та природу похибки реконструкції зподілу питомої електричної провідності в перерізах провідних ’єктів. Досліджено вплив на цю похибку параметру регуляризації :сіану моделі.

8. Всі розроблені алгоритми реалізовані в вигляді програм на ‘оритмічній мові С++ з використанням переваг об’єктно-орієнтованого эграмування.

9. Створено теоретичну та практичну базу для подальшого розвитку дослідження алгоритмів реконструкції провідності при інших стратегіях жування об’єкту та для конструювання резистивних томографічних :тем.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНІ В НАСТУПНИХ ПУБЛІКАЦІЯХ:

1. Дудикевич Т.В. Резистивна томографія в медицині. Автоматика, лірювання та керування. //Вісник Державного університету „Львівська тітехніка“ № 283,1994, ст. 16-21.

2. Дудикевич Т.В. Моделювання розподілу електричного потунціалу їредині біологічних об’єктів при резистивних томографічних

вимірюваннях. //Вимірювальна техніка та метрологія. Міжвідомчи науково-технічний збірник, Львів, 1995, от. 60-62.

3. Дудикевич Т.В. Метод зворотного проектування для моніторинг процесів у реальному часі в електричній імпедансній томографії. у Автоматика, вимірювання та керування. Вісник Державного університеї „Львівська політехніка“ № 305,1996, ст. 108-110.

4. Дудикевич Т.В. Математичні аспекти резистивної томографії. / Збірник праць 2-ї Всеукраїнської конференції молодих вчени: Математика. 16-18 травня 1995р. Депоновано 04.09.1995, №2034, УК9! ст. 161-166.

5. Дудикевич Т.В., Дудикевич А.Т. Моделювання розподі/ електричного потенціалу всередині біологічних об’єктів при резистивні-томографічних вимірюваннях. //Тези доповідей 6-тої Українські конференції „Моделювання та дослідження стійкості систем“, 15-19 траві 1995, Київ, ст. 41.

6. The Measurement System for the Temperature Field in Gaseoi Enviroment. M.Dorozovets, T.Dudykevich, A.Kuzii, B.Stadnyk. //5th Intern: tional Symposium on Temperature and Thermal Measurement in Industry ar Science Tempmeko’93, Prague, 1994.

АНОТАЦІЯ

Дудикевич T.B. Реконструкція розподілу питомої електричні провідності для технічних та біомедичних вимірювальних систем. Рукопі дисертації на здобуття наукого ступеня кандидата технічних наук г спеціальностю 05.11.05 - прилади та методи вимірювання електричні та магнітних величин, Державний університет “Львівська політехніка Львів, 1997.

В дисертаційній роботі розроблені теоретичні основи побудоЕ резистивних гомографічних систем. Побудована модель площинної перерізу неоднорідного провідного тіла без внутрішніх джерел CTpyN та з підведеним до поверхні перерізу струмом. Для визначення розподи електричного потенціалу в перерізі використано метод скінченні елементів. Реконструкція розподілу питомої електричної провідності перерізі об’єкту визначалась шляхом розв’язання задачі безумовн мінімізації квадратичного функціоналу квазіньютонівськи регуляризованим методом Левенберга-Марквардта. Досліджені похибі реконструкції розподілу провідності. Розроблені алгоритми реалізова в комплексі програмних засобів. Вироблені рекомендації по проектуванн резистивних томографічних систем.

Ключові слова: резистивна томографія, вимірювальні системі математичне моделювання, провідне тіло, безумовна оптимізаці реконструкція провідності, медична діагностика, похибка реконструкці

19

АННОТАЦИЯ

Цудыкевыч Т.В. Реконструкция распределения удельной ктрической проводимости для технических и биомедицинских зрительных систем. Рукопись диссертации на соискание ученой пени кандидата технических наук по специальности 05.11.05 -іборьі и методы измерения электрических и магнитных величин, ударственный университет “Львівська політехніка”, Львов, 1997.

І диссертационной работе разработаны теоретические основы троения резистивных томографических систем. Построена модель »скостного сечения неоднородного проводящего тела без тренних источников тока с подведенным к поверхности сечения ом. Для определения распределения электрического потенциала іменен метод конечных елементов. Распределение удельной ¡ктрической проводимости в сечении объекта определялось иением задачи безусловной оптимизации квадратичного ікционала квазиньютоновским регуляризированным методом іенберга-Марквардта. Исследована погрешность реконструкции іводимости. Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе іграмньїх средств. Выработаны рекомендации по проектированию истивных томографических систем.

(лючевые слова: резистивная томография, измерительные ¡теми, математическое моделирование, проводящее тело, условная оптимизация, реконструкция проводимости, медицинская ігностика, погрешности реконструкции.

ABSTRACT

Dudykevych T.V. Reconstruction of Distribution of Electrical Conductiv-or Technical and Biomedical Measuring Systems. Manuscript of distation for the title of Candidate of Technical Sciences obtaining in the ciality 05.11.05 - devices and technics of measurements of electrical magnetic magnitudes. Lviv State Polytechnical University, Lviv, 1997. rheoretical backgrounds of electrical impedance tomography systems ding are developed in the dissertation. A model of plane cross section on-uniform conductive object without internal sources of current and

і external sources of current, attached to the cross section boundary is t. For distribution of electrical potential determination the method of e elements used. Distribution of electrical conductivity on the cross tion is determined as a solution of the problem of unconstrained opti-ation by quasi-Newton regularised Levenberg-Marquardt method. There been analyzed conductivity reconstruction error. The developed algo-ns were programmed and software package obtained. Recomendations design of electrical impedance tomography systems were produced, (ey words: electrical impedance tomography, measurement systems, hematical method, conductive object, unconstrained optimization, con-tivity reconstruction, medical diagnostic, reconstruction errors.