автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Развитие вероятностных методов математического моделирования естественных нефтегазовых систем

цуи»- На правах рукописи

О и

Исаева Анна Вячеславовна

РАЗВИТИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НЕФТЕГАЗОВЫХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

1 6 МАЙ 2013

005058779

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

кандидат физико-математических наук, доцент Сердобольская Мария Львовна

Голубцов Петр Викторович, доктор физико-математических наук, доцент, кафедра математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, профессор

Тихоцкий Сергей Андреевич, доктор физико-математических наук, ФГБУН Институт физики Земли имени О. Ю. Шмидта Российской академии наук, директор

ФГБУН Институт проблем передачи информации имени А. А. Харкевича Российской академии наук

Защита состоится 14 июня 2013 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, большой конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27).

Автореферат разослан «¿0 »01\Ьй 2013 года.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению и развитию математических методов, лежащих в основе современных программных комплексов моделирования естественных нефтегазовых систем1 и происходящих в них процессов. Центральным объектом исследований стали методы и алгоритмы геостатистики. Под геостатистикой понимают совокупность специальных вероятностных подходов к моделированию, анализу и обработке геолого-геофизических данных.

Экспансия методов теории вероятностей и математической статистики в область наук о Земле началась еще в первой половине XIX века2. По-настоящему широко и системно вероятностный аппарат стал внедряться в 1960-х гг. В этот период зародилась новая дисциплина - геостатистика. Теоретическую базу геостатистики впервые сформулировал в своих работах французский математик Ж. Матерон. Ему же принадлежит вероятностное обоснование метода обыкновенного кригинга - популярного метода построения оптимальных статистических оценок и интерполяции значений различных по физическому смыслу пространственных данных?.

Рост популярности с 1960-х гг. математических методов в науках о Земле вообще и вероятностных подходов в частности был обусловлен стремительным прогрессом компьютерной техники. В конце 1970-х гг. появились первые коммерческие программные продукты, воплощающие основные прикладные наработки геостатистики4.

В задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем компьютерные технологии начали использоваться еще раньше5, в середине 1950-х гг. Постепенно вычислительный эксперимент стал основным способом априорной оценки технико-экономической эффективности различных технологий разработки нефтяных месторождений6. Методы геостатистики пришли в эту область как инструмент, позволивший ввести в математическую модель понятие неопределенности параметров модели7. Внедрение методов геостатистики инициировало процесс их адаптации и совершенствования, который продолжается и по сей день. Поэтому развитие методов геостатистики применительно к задачам математического моделирования естественных нефтегазовых систем представляет собой

1Под естественными нефтегазовыми системами мы понимаем нефтяные, газонефтяные, нефтегазовые, газоконденсатные залежи и т. п. (см. определения понятий: Основы разработки телъфовых нефтегазовых месторождений и строительство морских сооружений в Арктике / А. Б. Золотухин, О. Т. Гудместад, А. И. Ермаков и др. М.: Изд-во «Нефть и газ» РГУНГ им. И. М. Губкина, 2000).

2Fisher, Я. A. The Expansion of Statistics//Jour. Royal Stat. Soc. 1953. A116. p. 1-6.

3 Cressie, N. Statistics for Spatial Data. New York: Wiley, 1993.

iDubrule, O. Geostatistics in Petroleum Geology. Tulsa: Amer. Assn. of Petrol. Geologists, 1998.

5Peaceman, D. W. A Personal Retrospection of Reservoir Simulation//A History of Scientific Computing/Edit. S.G.Nash. New York: ACM Press, 1990. p. 106-129.

6 Watts, J. W. Reservoir Simulation: Past, Present and Future//SPE Computer Applications. 1997. 9(6). p. 171-176.

7Deutsch, С. V. Geostatistical reservoir modeling. Oxford: Univ. Press, 2002.

актуальную проблему.

Цель работы состояла в развитии аппарата методов геостатистики и применении их в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем, а именно, предполагалось:

- создание новых математических методов и вычислительных алгоритмов анализа и интерпретации данных геофизических исследований скважин для прогноза геолого-геофизических параметров;

- создание новых методов математического моделирования, вычислительных алгоритмов и комплексов программ для изучения процесса вытеснения нефти водой в неоднородных пористых средах.

В диссертационной работе рассматривались две основные задачи.

1. Построение наилучших в среднем квадратичном несмещенных оценок значения случайной функции по данным наблюдений применительно к прогнозу геолого-геофизических параметров с учетом априорных представлений о типичной структуре естественных нефтегазовых систем.

2. Исследование математической модели процесса нефтеизвлечения, содержащей случайные параметры, и компьютерное моделирование процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде.

Первая задача подразумевала формулировку новых разновидностей метода кригинга, причем таких разновидностей, которые были бы полезны при прогнозировании значений геолого-геофизических параметров естественных нефтегазовых систем. Для решения задачи было введено понятие локально стационарной случайной функции. В классе локально стационарных случайных функций были получены выражения для наилучшей в среднем квадратичном несмещенной линейной оценки значения случайной функции по данным наблюдений (модификация метода кригинга). Предложенная модификация метода кригинга тестировалась в вычислительном эксперименте, а также была использована для прогноза значений коэффициента пористости по данным геофизических исследований скважин реального нефтяного месторождения. Для сопоставления геологических разрезов скважин по профилям пористости были впервые использованы морфологические методы анализа сигналов и изображений.

В рамках решения второй задачи была рассмотрена простейшая математическая модель, описывающая процесс вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде - начально-краевая задача для уравнения Бакли-Леверетта. В работе предполагалось, что уравнение Бакли-Леверетта содержит случайный параметр (коэффициент пористости представлял собой случайную функцию координаты). В такой постановке удалось получить явное выражение для стохастических характеристик уравнения Бакли-Леверетта, а также сформулировать алгоритм построения приближенных решений рассматриваемой начально-краевой задачи, сколь угодно близких к ее точному решению. С помощью данного алгоритма в вычислительном

эксперименте изучались численные методы (метод ориентированных против потока разностных схем и гибридный метод Федоренко) решения начально-краевых задач для нелинейных гиперболических уравнений.

В диссертации были получены следующие основные результаты:

1. Разработаны новые методы и вычислительные алгоритмы, применимые в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем: модификация метода построения оптимальных статистических оценок и интерполяции пространственных данных (метода кригинга), опирающаяся на введенное в работе понятие локально стационарной случайной функции, и морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований.

2. Предложены приближенные аналитические методы и вычислительные алгоритмы решения начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверетта со случайным параметром; получены статистические оценки параметров процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде.

3. Создан многофункциональный комплекс программ, реализующий предложенные в работе методы и вычислительные алгоритмы математического моделирования естественных нефтегазовых систем, работы с данными геофизических исследований скважин, решения нелинейных гиперболических уравнений, статистического моделирования случайных коррелированных полей.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

- введено понятие локально стационарной случайной функции;

- предложена модификация метода кригинга для класса локально стационарных случайных функций;

- предложен морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований;

- получены стохастические характеристики уравнения Бакли-Леверетта, содержащего случайный параметр;

- сформулирован алгоритм построения приближенных решений начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверетта, сколь угодно близких к ее точному решению;

- разработан комплекс программ, реализующий предложенную в диссертации модификацию метода кригинга, морфологический алгоритм, методы решения нелинейных гиперболических уравнений, алгоритмы компьютерного моделирования случайных полей.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в задачах прогноза значений геолого-геофизических параметров, анализа и интерпретации данных геофизических исследований скважин, построения численных решений нелинейных гиперболических урав-

нений, интерпретации результатов лабораторных экспериментов по фильтрации на кернах.

Апробация. Основные результаты диссертационной работы были представлены на 16-й и 18-й Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2009, 2011), XVI, XVIII и XIX Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2009, 2011, 2012), семинаре кафедры волновой и газовой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (15.09.2010), семинаре лаборатории физикохимии модифицированных поверхностей ИФХЭ РАН (14.09.2012), семинаре «Обратные задачи математической физики» НИВЦ МГУ имени М.В. Ломоносова (26.09.2012), семинаре лаборатории структурных методов анализа данных в предсказательном моделировании и оптимизации МФТИ (16.10.2012), семинаре лаборатории сейсмических методов исследования геофизической среды ИФЗ РАН (29.10.2012), научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ (13.12.2012).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано девять работ, в том числе четыре статьи в журналах из списка ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и пяти приложений. Общий объем диссертации составляет 111 стр., в том числе 26 рисунков и 3 таблицы, список цитируемой литературы включает 121 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении кратко охарактеризованы основные подходы, принятые в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем. Обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цели работы. Дано краткое описание решаемых в работе задач, используемых методов и основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена теоретическим основам геостатистики в формулировке Ж. Матерона8. Согласно его представлениям изучаемые параметры реальных (геологических) объектов следует интерпретировать как реализации значений некоторых случайных функций9 £(х), где переменная х е X по физическому смыслу обычно совпадает с пространственной координатой.

Основная задача классической геостатистики - это задача построения оптимальной оценки Y* значения случайной функции в точке х по данным наблюдений, т. е. задача поиска наилучшей в среднем квадратичном

^МатеронЖ. Основы прикладной геостатистики. М: Мир, 1968.

9Под случайной функцией мы понимаем измеримую функцию £(•) : X х Q -> Ж , где X С Rw, О - пространство элементарных событий, на ст-алгебре которого задана вероятностная мера. Далее, как это принято, в аргументе случайной функции будем опускать зависимость от случайного нехода - элемента П.

несмещенной оценки для £(х) по известным реализациям значений случайной функции в точках XI,..., Хп €Х:

Г*=аге{тГУефЕ(£(х)-У)2}, Е«(х)-П = 0, где 2) = {У (^(хх),..., - заданный класс оценок.

В геостатистике задачу (1), как правило, рассматривают для класса линейных оценок. При этом вводят различные ограничения на допустимые свойства случайных функций. В такой постановке получают решения задачи (1) - явные выражения для оптимальных оценок У*. Процедуру получения решений задачи (1) в заданных классах оценок для выбранных типов случайных функций в геостатистике называют кригингом. К примеру, для линейного класса оценок = {У = Ь 4- ЕГ=1 аг Ь, щ 6 З1} и слабо стационарных случайных

функций (Е£(х)=тп, соу (£(х),£(х')) = К(х. — х'), х, х' 6 X) решение задачи (1) имеет вид

'у* = ь* +

. Ь* = т(1-ЕГ=10», _ (2)

: Е"=1 аЩъ - х,) = ЙГ(х - 1 = 1, п.

Если оценка У € 2)1 удовлетворяет условиям (2), то говорят, что У реализует простой кригинг величины £(х).

Другая, по-видимому, наиболее известная разновидность метода кри-гинга была получена Ж. Матероном. Он рассмотрел случайные функции, удовлетворяющие внутренней гипотезе: Е (£(х) — £(х')) =0, Е (£(х) — £(х'))2 = У(х — х*), х, х' € X. Для таких случайных функций оптимальная в классе фс = {У = ЕГ=1 сг4(хг)> ЕГ=1 <к = 1) с; € К1} оценка У* - решение задачи (1) - может быть получена из соотношений

< = (3)

+ (Еи ^и) (1 - Е1',;=1 - X,))/ Еи=1 ии,

где - элементы матрицы, обратной к матрице V: У^ = У(~Х-{ — х^), г^ = 1,п. Говорят, что У* из (3) реализует обыкновенный кригинг величины £(х).

Выписанные разновидности метода кригинга (2) и (3) задают алгоритм получения оптимальной оценки У* значения £(х) по выборке £(х1),..., £(хп). В случае (2) для построения У* необходимы значения автокорреляционной функции Л'(-), в случае (3) - вариограммы У(-). На практике оценки К(-) и К(-) могут быть получены методом вариограмм-ного анализа, основные понятия и приемы которого освещены в первой главе диссертационной работы.

На сегодняшний день известен целый ряд разновидностей метода кри-гинга10. Модификации метода кригинга различаются вводимыми ограничениями, сужающими рассматриваемый класс случайных функций (в роли таких ограничений в (2) и (3) выступили слабая стационарность случайной функции и внутренняя гипотеза соответственно). На практике, как правило, используют такие модификации метода кригинга, которые лучше согласуются с априорными представлениями о структуре данных в конкретной задаче. Применительно к вопросам математического моделирования естественных нефтегазовых систем интерес представляет создание новых разновидностей метода кригинга, которые отражали бы наиболее общие представления о типичной структуре нефтяных месторождений. Такая задача рассматривалась во второй главе диссертационной работы.

Во второй главе предложена новая модификация метода кригинга, опирающаяся на введенное в диссертации понятие локальной стационарности случайной функции.

Определение 1 Назовем случайную функцию £(•) локально стационарной в области X, если существует такое разбиение X на Т < оо непересекающихся подобластей X¡ : |jJ=1 X¡ = X, Xi fli^j Xj = 0, что

1) в каждой подобласти X¡ случайная функция удовлетворяет условию слабой стационарности: Е£(х) = m¡, cov (£(х), £(х')) = х') для всех х, х' € Xi;

2) значения случайной функции в различных Xi не коррелируют, т. е. cov (£(х), ?(х')) = 0, х G Xi, х' € X¡, i Ф j.

Для локально стационарной случайной функции был сформулирован аналог метода кригинга. Полученные результаты обобщает следующая теорема.

Теорема 1 Для локально стационарной в смысле определения 1 случайной функции, значения которой, кроме того, являются стохастически линейно независимыми11 в любой подобласти стационарности X¡, i = 1 ,Т, наилучшая в среднем квадратичном несмещенная линейная оценка значения £(х) в точке х G Xq по известным значениям этой случайной функции в точках xi,..., х„ G X определяется выражениями

у* = тч + У2 «= y ai ~ '

a¡ : У^. ajKqixj - Xi) = Kg(x - x¡), i : x¡ € Xq. (4)

Из теоремы 1, в частности, вытекает, что для построения оптимальной оценки Y* значения £(х), х € Xqi мы можем ограничиться подмножеством

10К примеру, универсальный кригинг, ко-кригинг, блочный кригинг, индикаторный кригинг, байесов кригинг и другие методы.

!1Мы называем стохастически линейно независимыми случайные величины ..., £т, если из равенстваср + cigi + . ..Ч-Cm^m — 0, имеющего место в вероятностью единица, вытекает d = 0, i = 0,m, здесь c¿ G R1 - неслучайные числовые коэффициенты.

Рис. 1: Вычислительная сложность модификации метода кригинга и стандартной процедуры кригинга (результаты компьютерного эксперимента).

всех выборочных значений локально стационарной случайной функции, которые относятся к области Хд. Это приводит к уменьшению вычислительных затрат на построение У*.

Вычислительная сложность предложенной модификации метода кригинга изучалась в компьютерном эксперименте на модели локально стационарных случайных данных (Т = 3), показанной на рис. 1(а). Требовалось оценить количество арифметических операций, необходимое для решения относительно а* системы линейных алгебраический уравнений в (4). Аналогичная оценка количества арифметических операций производилась для обобщенного метода кригинга12. Рис. 1(6) показывает экспериментальные оценки вычислительной сложности двух указанных подходов: точки соответствуют затраченному количеству арифметических операций в зависимости от размера данных наблюдений п (красным цветом - для стандартного обобщенного метода кригинга, зеленым цветом - для предложенной модификации метода). Видно, что применение модифицированного подхода снижает вычислительные затраты.

Предположение локальной стационарности случайной функции хорошо согласуется с представлениями о типичной структуре нефтяных месторождений: часто месторождения имеют слоистую структуру, в одном слое геолого-геофизические параметры в среднем схожи, в различных слоях заметно отличаются. В диссертации модифицированный на основе понятия локальной стационарности метод кригинга использовался в задаче прогноза значений коэффициента пористости по данным геофизических исследований скважин реального месторождения нефти13.

12Под обобщенным методом кригинга мы понимаем алгоритм получения решений У* задачи (1), сводящийся к следующим выражениям:

ГУ = Е£(х) + Е"=1 < №>) - Е£(хО), _

1°? : = соу({(х),£(х*)), г = 1,п.

^Рассматривалась терригенная залежь, расположенная на южном шельфе Вьетнама.

1 шаг: выделение «проницаемых» участков на каждом профиле_

Й-

Профиль N91 Профиль N92

2 шаг: поиск участка А на Профиле №2

Профиль №1 Профиль N32

2 шаг: поиск участка Р на Профиле №1

Профиль N91 Профиль N92

3 шаг: взаимное сопоставление участков различных профилей_

' .....ОПА-

Профиль №1 Профиль №2

Рис. 2: Схема работы морфологического алгоритма сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований.

Задача заключалась в следующем. Были даны шесть профилей пористости14 по шести скважинам месторождения. Требовалось построить оценку значений коэффициента пористости вдоль траектории одной из скважин по данным от пяти оставшихся, затем сравнить полученные значения с экспериментальными значениями коэффициента пористости по этой скважине._

"Под профилем пористости мы понимаем зависимость коэффициента пористости геологической породы (пористой среды) от глубины (координаты).

Рис. 3: Прогноз значений коэффициента пористости вдоль траектории скважины.

Для выделения областей локальной стационарности данных, в роли которых в рассмотренной задаче выступили геологические пропластки, был предложен морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований.

Работа морфологического алгоритма схематично показана на рис. 2. Первый таг состоит в выделении па исходных профилях пористости связных участков, на которых значения коэффициента пористости превышают некоторую пороговую величину15. На втором таге алгоритма согласно морфологическому критерию16 для каждого из выделенных на первом таге участков находят его «отражения» (схожие по форме участки) па других профилях (профилях, которым не принадлежит данный участок). На третьем таге рассматривают пересечения выделенных па первом шаге участков профилей и «отражений». Для того чтобы участки, принадлежащие различным профилям, были отнесены к одному пропластку, они должны иметь значительное пересечение с «отражениями» друг друга.

Модифицированный метод кригинга в сочетании с морфологическим алгоритмом был использован для решения описаштой выпте задачи прогноза значений коэффициента пористости вдоль траектории скважины - результат прогноза показан па рис. 3(а) (красным цветом показаны прогнозные значения, синим цветом - экспериментальные значения). На рис. 3(6) показан результат аналогичного прогноза, выполненного методом простого кригинга. Использование модифицированного метода кригинга повысило достоверность прогноза17, о чем свидетельствует увеличение выбороч-

15Данную процедуру можно интерпретировать как выделение «проницаемых» интервалов.

у(,Пытье.вЮ.П., Чуличкпв А. И. Методы морфологического анализа изображений. М: ФИЗ-

МАТЛИТ, 2010.

"Примечательно, что модифицированный метод позволил выделить непроницаемый прослой на глубинах 1762-1764 м. Наличие таких «перегородок» течению нефти необходимо учитывать." к примеру, при проектировании разработки залежи с применением вертикального вытеснения.

ного коэффициента корреляции между прогнозными и экспериментальными значениями коэффициента пористости в серии прогнозов.

В третьей главе диссертации рассматривалась классическая математическая модель процесса нефтеизвлечения - начально-краевая задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных18, которая описывает процесс совместного течения нескольких жидкостей (например, воды и нефти) в поровом пространстве геологических пород.

В геостатистике параметры геологических пород (коэффициент пористости, элементы тензора проницаемости и др.), фигурирующие в начально-краевой задаче, считают реализациями случайных функций. Интерес представляет влияние «случайности» параметров модели на результат математического моделирования процесса нефтеизвлечения.

Типичный подход к решению данной задачи сводится к использованию метода Монте-Карло для изучения зависимости результатов моделирования от «статистического разброса» исходных параметров модели. При этом большое методологическое значение имеют работы19, в которых в вероятностной постановке получают аналитические решения некоторого класса задач.

В диссертационной работе была рассмотрена простейшая математическая модель, описывающая процесс вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде - классическое уравнение Бакли-Леверетта20. В одномерном случае это уравнение может быть записано в виде

где <р - коэффициент пористости среды, а' = х) - искомая насыщенность порового объема водой, II - суммарный объемный поток нефти и воды, .Р(-) - функция Бакли-Леверетта, значение ^(в) которой равно объемной доле воды в потоке II. Уравнение (5) дополняют начальным и граничным условиями

Решение в(-) получившейся начально-краевой задачи ищут в прямоугольной области [71,72] х [-Аъ^Дг], при этом ¡р(-) и £/(•) считают известными функциями координаты и времени соответственно.

Начально-краевая задача (5), (6) для нелинейного гиперболического уравнения (5), вообще говоря, имеет разрывные решения. В этом случае

1%АзизХ., СеттариЭ. Математическое моделирование пластовых систем. Ижевск: ИКИ, 2004; Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Ижевск: ИКИ, 2002.

19См. Швидлер М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред. М.: Недра, 1985.

20Баренблатт Г. И., Ентов В. М., РыжикВ. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.

(5)

= в°(ж)> х 6 ИъЛг] «в*)!^, =«('), «е [71,75].

(6)

понятие классического решения становится непригодным и заменяется понятием слабого решения21. Слабым решением задачи (5), (6) называют функцию а(-) : [7Т, 7г] х [-Аь-Лг] —> [0,1], гладкую в области определения, за исключением, быть может, некоторой поверхности в пространстве (х, {), на которой в(-) имеет разрыв. При этом функция в(-) удовлетворяет условиям (6), и для всякой непрерывной вместе со своими первыми производными финитной на [71,72] х [Ль Лг] функции г>(-) справедливо равенство

dx (ipsdtv + UF(s) dxv) + dx <ps{Ti,x)v(Ti,x) = 0. (7)

В диссертационной работе задача (5), (6) решалась в следующей постановке. Фигурирующий в уравнении Бакли-Леверетта (5) коэффициент пористости <р рассматривался как случайная функция координаты, т.е. <р(-) : [Ль Лг] х Г2 —> [0,1], где П - пространство элементарных событий, на ст-алгебре которого задана вероятностная мера. Все реализации случайной функции 1р(-) предполагались непрерывными функциями координаты.

Рассматривалось слабое решение (7) задачи (5), (6) для всякой реализации случайной функции ¥>(•)• Для решения поставленной задачи была использована комбинация аналитического (метод характеристик) и численного (ориентированные против потока и гибридные разностные схемы) подходов.

В работе было получено явное выражение для стохастических характеристик22 уравнения Бакли-Леверетта в случае постоянного значения 17:

где s - заданное значение насыщенности водой, которое сохраняется на характеристике i(-), io(s) - момент времени, когда насыщенность водой примет значение s в точке Ль F'(-) - производная функции Бакли-Леверетта, xe[Ai,A2], we П.

Явное выражение (8) для характеристик уравнения (5) позволило сформулировать алгоритм построения приближенных решений задачи (5), (6), сколь угодно близких к точному решению. С помощью этого алгоритма в вычислительном эксперименте изучалась точность численных методов решения начально-краевых задач для нелинейных гиперболических уравнений. В работе рассматривались два численных метода: метод ориентированных против потока разностных схем23 и гибридный метод Федо-

21 LeVeque, R. J. Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press, 2004; Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

"Традиционно характеристики уравнения (5) строят в виде £(■) - функций, заданных на [71,72], что для случая постоянного коэффициента пористости приводит к простому выражению для таких характеристик. В диссертации характеристики уравнения (5) рассматривались в виде s-параметрического семейства функций <(•), заданных на [.АьЛг].

23Иначе такие схемы называют схемами Куранта-Изаксона-Риса. В англоязычной литературе «ориентированным против потока» разностным схемам соответствует термин "upwind schemes".

(8)

ж

Ai

ш

Рис. 4: Численные решения уравнения Бакли-Леверетта.

24

ренко .

Метод ориентированных против потока разностных схем является наиболее популярным численным методом решения уравнения Бакли-Леверетта25. В диссертации обоснована перспективность использования гибридного метода Федоренко, предусматривающего адаптивное переключение порядка аппроксимации разностной схемы.

На рис. 4(a) изображен шаблон классической ориентированной против потока разностной схемы. Шаблон гибридной разностной схемы изображен на рис. 4(6): зеленым цветом показан шаблон, применяющийся в области гладкого решения, красным цветом - в области разрыва решения. Данные численные схемы являются явными по времени, условно устойчивыми при соблюдении условия Куранта-Фридрихса-Леви

hip* Т U*F'{s*)'

где г и h - шаги сетки по времени и координате, jj^min^^^ipfi), U* =maxi6[Tbr2] U(t), s* = arg {max.s6[0,i] F'(s)}.

На рис. 4(в) показаны численные решения задачи (5), (6) (красная кривая - расчет выполнен по ориентированной против потока схеме, зеленая кривая - по гибридной схеме) и заведомо более точное решение, полученное с помощью характеристик (8) (фиолетовая кривая). Видно, что ориентированная против потока разностная схема сглаживает решение -это происходит за счет «аппроксимационной вязкости» схем первого порядка. Гибридная схема дает численное решение, более близкое к точному решению.

В вычислительном эксперименте изучалось поведение решений задачи (5), (6) во времени. Моделировался процесс вытеснения нефти водой из неоднородного образца пористой среды, зависимость коэффициента

24Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. М.: БИНОМ, '2006.

25Tmngenstein, J. А. Numerical Solution of Hyperbolic Partial Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

Рис. 5: Численные решения начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверета в различные моменты времени.

пористости от координаты для которого показана па рис. 5(а). Численные решения26 задачи (5), (6) в различные моменты времени показаны на рис. 5(б)-5(е) (желтым цветом изображена доля объема пористой среды. занятая твердым скелетом, черным цветом - доля объема, занятая нефтью, синим цветом - занятая водой). Видно, что со временем насыщенность водой растет, что отражает физический смысл рассмотренной задачи о вытеснения нефти водой.

В предположении случайности параметра tp(-) в задаче (5). (6). изучались статистические свойства такого важного показателя нефтедобыч и17, как время прорыва фронта вытеснения нефти водой t+. С помощью (8) были получены аналитические выражения для его математического ожидания и дисперсии:

f£dy Е<р(у) то = Et+ = t0(s+) Н--UF'(s+)—'

^ гЛ2 гЛг

D = Dt+= ТТ<1ТР,, / dy / dy' cov {ip{y), ip{y')), (9) U2F\s+Y JM JAl

где s+ - значение насыщенности водой за фронтом вытеснения.

Аналитические значения то и D сопоставлялись с выборочными оценками той D этих величин по серии из N расчетов времени прорыва фронта вытеснения нефти водой (в вычислительных экспериментах, подобных

^Изображенные на рис. 5(6) 5(е) численные решения были получены с помощью гибридной разностной схемы.

27Васниев К. С., КтинаИ. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993.

/3 / 0.9 ? I ¿ 7 1.5 ) ) '.*•-*•*. и * •

100 200 300 400 500

100 200 300 400 500

(а) (б)

Рис. 6: Сопоставление выборочных и аналитических оценок математического ожидания и дисперсии времени прорыва фронта вытеснения нефти водой.

проиллюстрированным на рис. 5(б)-5(е)) для различных реализаций случайной функции коэффициента пористости. Полученные результаты показаны на рис. 6. Видно, что с ростом N совпадение выборочных и аналитических оценок растет, что косвенно свидетельствует о состоятельности выборочных оценок для и Б4+ в задачах, где соответствующие аналитические значения не известны.

В четвертой главе диссертационной работы описаны структура и функционал созданного комплекса программ. Комплекс включает три модуля: 1) модуль для работы с пространственными данными (алгоритмы метода кригинга, анализ и обработка данных геофизических исследований скважин); 2) модуль компьютерного моделирования процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде (алгоритмы численного решения нелинейных гиперболических уравнений); 3) модуль компьютерного моделирования реализаций случайных коррелированных полей.

Для создания в вычислительном эксперименте реализаций случайных полей с заданными статистическими параметрами (моментами первого и второго порядка) был реализован популярный геостатистический алгоритм. Работа алгоритма проиллюстрирована на рис. 7: показаны три модели случайных полей, различающихся ковариациями значений случайного поля. В частности, с помощью реализованного геостатистического алгоритма была построена модель локально стационарных случайных данных во второй главе работы (см. рис. 5(а)), а также получены реализации случайной функции коэффициента пористости в третьей главе диссертации (см. для примера рис. 1(а)).

В заключении кратко сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

о Проведен анализ существующих вероятностных методов математического моделирования естественных нефтегазовых систем, определены

Рис. 7: Модели случайных полей с различными статистическими параметрами.

актуальные направления развития и применения методов теории случайных функций в данной области.

о Рассмотрены две основные задачи, отражающие различные аспекты математического моделирования естественных нефтегазовых систем: 1) задача статистического оценивания значений геолого-геофизических параметров с учетом априорных представлений о типичной структуре нефтяных месторождений: 2) задача изучения математической модели процесса нефтеизвлечения, содержащей случайные параметры.

о Предложены новые методы и вычислительные алгоритмы, применимые в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем: модификация метода построения оптимальных статистических оценок и интерполяции пространственных данных (метода кригинга), опирающаяся па введенное в работе понятие локально стационарной случайной функции, и морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований.

о Разработаны приближенные аналитические методы и вычислительные алгоритмы решения начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверетта со случайным параметром; получены статистические оценки параметров процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде.

о Создан многофункциональный комплекс программ, реализующий предложенные в работе методы и вычислительные алгоритмы математического моделирования естественных нефтегазовых систем, работы с данными геофизических исследований скважин, решения нелинейных гиперболических уравнений, статистического моделирования случайных коррелированных полей.

о Результаты диссертационной работы могут быть использованы в задачах прогноза значений геолого-геофизических параметров, анализа и

интерпретации данных геофизических исследований скважин, построения численных решений нелинейных гиперболических уравнений, интерпретации результатов лабораторных экспериментов по фильтрации на кернах.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих научных изданиях.

Публикации в журналах из Перечня ВАК:

1. Исаева A.B., Сердобольская M.JI. Решение уравнения Бакли-Леве-ретта со случайным коэффициентом пористости // Вычислительные методы и программирование. Т. 13. 2012. С. 517-524.

2. Макаров С. С., Исаева А. В., Грачев Е. А., Сердобольская М. Л. Ускорение вычислений при решении неоднородного уравнения диффузии с помощью перенормировочного метода//Вычислительные методы и программирование. Т. 13. 2012. С. 239-246.

3. Исаева А. В. Новый алгоритм автоматической корреляции скважин// Нефтяное хозяйство. 2011. 11. С. 24-26.

4. Исаева A.B., Сердобольская M.JI. Гипотеза локальной стационарности в задаче стохастического прогноза методом кригинга//Вестник МГУ. Сер.3. (Физ., Астрон.). 2011. 2. С. 14-19.

Публикации в других научных изданиях:

5. Исаева А. В. Исследование математической модели термогазового воздействия на нефтяной пласт в вычислительном эксперименте // Материалы XIX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Москва, 2012. С. 110-111.

6. Исаева А. В. Компьютерная реализация морфологических методов в задачах нефтегазовой геофизики // Материалы XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Москва, 2011. С.132.

7. Исаева А. В. Морфологический алгоритм идентификации пропластков // Сб. 18-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2011. С. 201.

8. Исаева А. В. Задача стохастического прогноза геофизических данных: гипотеза стационарности // Материалы XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Москва, 2009. С. 48.

9. Исаева А. В., Сердобольская М. Л., Грачев Е. А. Гипотеза слабой стационарности в задаче стохастического прогноза геофизических наборов данных // Сб. 16-й Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2009. С. 117.

Подписано в печать: 26.04.2013 Тираж: 150 экз. Заказ №989 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинградский проспект д.74 (495)790-47-77 www.reglet.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

04201357655

Исаева Анна Вячеславовна

РАЗВИТИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НЕФТЕГАЗОВЫХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Сердобольская М. Л.

Москва - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В НАУКАХ О ЗЕМЛЕ. ГЕОСТАТИСТИКА 10

1.1. Основные понятия геостатистики ................. 10

1.2. Стационарные случайные функции, их свойства......... 15

1.3. Оптимальные линейные оценки. Метод кригинга......... 20

1.4. Вариограммный анализ....................... 24

ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНО СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ И МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД КРИГИНГА 31

2.1. Локально стационарные случайные функции: физические предпосылки и математическая формулировка ............ 31

2.2. Модифицированный метод кригинга, его вычислительная сложность .................................. 34

2.3. Вычислительный эксперимент................... 37

2.4. Модифицированный метод кригинга в задаче оценки значений геолого-геофизических параметров в межскважинном пространстве .................................. 41

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА НЕФТЕИЗВЛЕЧЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕЙ СЛУЧАЙНЫЕ ПАРАМЕТРЫ 55

3.1. Компьютерное моделирование процесса нефтеизвлечепия .... 55

3.2. Анализ математической модели процесса нефтеизвлечепия вероятностными методами: постановка задачи, подходы к решению 63

3.3. Уравнение Бакли-Леверетта со случайным параметром..... 69

3.4. Вычислительный эксперимент................... 75

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТАННЫЙ КОМПЛЕКС ПРОГРАММ И РЕАЛИЗОВАННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ 83

4.1. Структура и функционал разработанного комлекса программ . 83

4.2. Алгоритмы моделирования случайных полей с заданными статистическими параметрами..................... 85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 94

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые разновидности метода кригинга 96

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Кусочно-гладкие модели вариограмм 97

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Сведения из теории морфологического анализа сигналов и изображений 98

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Параметрические модели фазовых проницаемо-стей 100

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Материальные уравнения многокомпонетной многофазной фильтрации 101

ВВЕДЕНИЕ

Методология математического моделирования во второй половине XX в. заметно обогатилась за счет быстрого развития области научного знания, в которой создается инструментарий так называемого вычислительного эксперимента [63], [86], [88], [109]. Эта исследовательская технология доказала свою эффективность при решении таких задач, как разработка атомной и водородной бомбы, создание ядерной энергетики, космических технологий и т.д. Благодаря этим достижениям XXв., компьютерный эксперимент сегодня прочно укоренился во многих областях науки, техники, конструирования и проектирования.

Науки о Земле не стали исключением. Вычислительный эксперимент успешно применяют как для решения фундаментальных задач о строении и происхождении Земли [33], [42], так и в научно-прикладных разделах, где интерес представляют оценки параметров конкретных геологических объектов (см. примеры в [13], [15], [17], [19], [80]).

Настоящая работа посвящена обобщению и развитию методов компьютерного эксперимента в задачах изучения естественных нефтегазовых систем1. Создаваемые модели по сложившейся традиции подразделяют на статические и динамические [11], [17], [19], [53]. Статические или геологические модели представляют собой оценку свойств изучаемого объекта: размеры и геометрия залежи, зависимость фильтрационпо-емкостпых свойств и геолого-геофизических параметров от пространственных координат [17], [19]. Посредством динамических моделей2 в вычислительном эксперименте воспроизводят процесс извлечения углеводородного сырья, а также прогнозируют уровни добычи при реализации заданного воздействия на залежь [51], [55], [87]. При этом статическая модель выступает в роли исходных данных для построения динамической модели. В главе 3 будет показано, что динамическую модель определяет некоторая начально-краевая задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений

1 Здесь и далее под естественными нефтегазовыми системами мы будем понимать нефтяные, газонефтяные, нефтегазовые, газоконденсатные залежи и т.п. (см. определения понятий в [99]).

2Иначе динамические модели называют гидродинамическими или термогидродинамическими (в случае, когда при математическом моделировании приходится учитывать превращение энергии в залежи).

в частных производных, которая описывает совместное движение флюидов (нефти, газа, конденсата, воды) в поровом пространстве породы-коллектора. Статическая модель в этом случае задает значения параметров данной начально-краевой задачи, определяет особенности ее последующей дискретизации и алгоритм получения численных решений. Так, качество статической модели отражается па предсказательной силе динамической модели: с учетом результатов динамического моделирования принимают важные технико-экономические решения о разработке залежи (бурение новых скважин, выбор агента воздействия на залежь, режимов работы скважин) [47], [51]. В этой связи критический анализ и развитие методов построения статических моделей, а также алгоритмов перехода от статических моделей к динамическим является актуальной задачей.

Центральным объектом исследований в диссертационной работе стали методы и алгоритмы геостатистики. Под геостатистикой понимают совокупность специальных вероятностных подходов к моделированию, анализу и обработке геолого-геофизических данных. Экспансия методов теории вероятностей и математической статистики в область паук о Земле началась еще в первой половине XIX в. [80], [85], [104]. В 1830-х гг. для стратиграфического расчленения разрезов Ч. Ляйель воспользовался выборочными статистическими методами, с помощью которых он изучал соотношения распространенности раковин моллюсков [20], [85]. Далее подходы математической статистики успешно применялись при исследовании относительного содержания химических элементов в породах, для построения классификации магматических пород, изучения изменчивости оруднепия и т.д. Однако по-настоящему широко и системно вероятностный аппарат стал внедряться в 1960-х гг. В этот период зародилась новая дисциплина — геостатистика.

Рост популярности с 1960-х гг. математических методов в пауках о Земле вообще и вероятностных подходов в частности был обусловлен стремительным прогрессом компьютерной техники (появление и развитие ЭВМ па полупроводниковых интегральных схемах). В конце 1970-х гг. появились первые коммерческие программные продукты, воплощающие основные прикладные наработки геостатистики [19].

В 1990-х гг. произошел еще один всплеск популярности геостатистических подходов, вызванный развитием вычислительной техники, а именно — появлением персональных компьютеров [19], [80]. Наличие мощных компьютеров с развитым программным обеспечением сделало аппарат основных геостатистических методов доступным индивидуальному пользователю.

В задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем компьютерные технологии начали использоваться еще раньше, в середине 1950-х гг. [5], [10], [38], [51]. Постепенно вычислительный эксперимент стал основным способом априорной оценки технико-экономической эффективности различных технологий разработки нефтяных месторождений [47], [51], [55], [60], [87]. Методы геостатистики пришли в эту область как инструмент, позволивший ввести в математическую модель понятие неопределенности параметров модели [1], [17], [37], [39]. Внедрение методов геостатистики инициировало процесс их адаптации и совершенствования, который продолжается и по сей день. Поэтому развитие методов геостатистики применительно к задачам математического моделирования естественных нефтегазовых систем представляет собой актуальную проблему.

Цель работы состояла в развитии аппарата методов геостатистики и применении их в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем, а именно, предполагалось:

- создание новых математических методов и вычислительных алгоритмов анализа и интерпретации данных геофизических исследований скважин для прогноза геолого-геофизических параметров;

- создание новых методов математического моделирования, вычислительных алгоритмов и комплексов программ для изучения процесса вытеснения нефти водой в неоднородных пористых средах.

В диссертационной работе рассматривались две основные задачи.

1. Построение наилучших в среднем квадратичном несмещенных оценок значения случайной функции по данным наблюдений применительно к прогнозу геолого-геофизических параметров с учетом априорных представлений о типичной структуре естественных нефтегазовых систем.

2. Исследование математической модели процесса нефтеизвлечения, содержащей случайные параметры, и компьютерное моделирование процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде.

Первая задача подразумевала формулировку новых разновидностей метода кригинга — популярного метода построения оптимальных статистических оценок и интерполяции значений различных по физическому смыслу пространственных данных [13], [15], [32], [96]. Причем создаваемые модификации метода кригипга должны были бы быть полезны при прогнозировании значений геолого-геофизических параметров естественных нефтегазовых систем. Для решения такой задачи в диссертации было введено понятие локально стацио?1арной случайной функции, В классе локально стационарных случайных функций были получены выражения для наилучшей в среднем квадратичном несмещенной линейной оценки значения случайной функции по данным наблюдений (модификация метода кригинга). Предложенная модификация метода кригипга тестировалась в вычислительном эксперименте, а также была использована для прогноза значений коэффициента пористости по данным геофизических исследований скважин реального нефтяного месторождения. Для сопоставления геологических разрезов скважин по профилям пористости были впервые использованы морфологические методы анализа сигналов и изображений.

В рамках решения второй задачи в диссертации была рассмотрена простейшая математическая модель, описывающая процесс вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде — начально-краевая задача для уравнения Бакли-Леверетта. В работе предполагалось, что уравнение Бакли-Леверетта содержит случайный параметр (коэффициент пористости представлял собой случайную функцию координаты). В такой постановке удалось получить явное выражение для стохастических характеристик уравнения Бакли-Леверетта, а также сформулировать алгоритм построения приближенных решений рассматриваемой начально-краевой задачи, сколь угодно близких к ее точному решению. С помощью данного алгоритма в вычислительном эксперименте изучались численные методы (метод ориентированных против потока разностных схем и гибридный метод Федо-ренко) решения начально-краевых задач для нелинейных гиперболических

уравнений.

В диссертации были получены следующие основные результаты:

1. Разработаны новые методы и вычислительные алгоритмы, применимые в задачах математического моделирования естественных нефтегазовых систем: модификация метода построения оптимальных статистических оценок и интерполяции пространственных данных (метода кригинга), опирающаяся на введенное в работе понятие локально стационарной случайной функции, и морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований.

2. Предложены приближенные аналитические методы и вычислительные алгоритмы решения начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверетта со случайным параметром; получены статистические оценки параметров процесса вытеснения нефти водой в неоднородной пористой среде.

3. Создан многофункциональный комплекс программ, реализующий предложенные в работе методы и вычислительные алгоритмы математического моделирования естественных нефтегазовых систем, работы с данными геофизических исследований скважин, решения нелинейных гиперболических уравнений, статистического моделирования случайных коррелированных полей.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

- введено понятие локально стационарной случайной функции;

- предложена модификация метода кригинга для класса локально стационарных случайных функций;

- предложен морфологический алгоритм сопоставления геологических разрезов скважин по данным геофизических исследований;

- получены стохастические характеристики уравнения Бакли-Леверетта, содержащего случайный параметр;

- сформулирован алгоритм построения приближенных решений начально-краевой задачи для уравнения Бакли-Леверетта, сколь угодно близких к ее точному решению;

- разработан комплекс программ, реализующий предложенную в диссертации модификацию метода кригинга, морфологический алгоритм, методы решения нелинейных гиперболических уравнений, алгоритмы компьютерного моделирования случайных полей. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в задачах прогноза значений геолого-геофизических параметров, анализа и интерпретации данных геофизических исследований скважин, построения численных решений нелинейных гиперболических уравнений, интерпретации результатов лабораторных экспериментов по фильтрации па кернах.

Основные результаты диссертации, предложенные идеи и разработанные методы отражены в работах [82], [83], [84], [118], опубликованных в изданиях, входящих в Перечень ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и пяти приложений.

ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В НАУКАХ О ЗЕМЛЕ. ГЕОСТАТИСТИКА

1.1. Основные понятия геостатистики

Геостатистика сформировалась как область прикладной математики, в задачи которой входит создание методов моделирования, интерпретации и обработки данных паук о Земле па основе математического аппарата случайных функций и математической статистики. Теоретическую базу геостатистики впервые сформулировал в своих работах французский математик Ж. Матерой1 [14], [32], [80], [96] (1960-е гг.). Ему же принадлежит вероятностное обоснование метода кригипга2 — наиболее распространенного на сегодняшний день стохастического метода оценивания и интерполяции различных по физическому смыслу геолого-геофизических данных. Первым метод кригипга на практике осуществил инженер-геолог из Южной Африки Д. Г. Криг [25], в честь которого метод и получил свое название — кригинг.

Введем базовые понятия геостатистики. Назовем пространственной переменной3 скалярпозначную функцию /(■): X —>■ R1, где X С Какой физический смысл следует придавать пространственной переменной, зависит от конкретного содержания проблемы. Функция/(•) может выражать, например, мощность геологической формации, концентрацию полезного компонента в руде [32], [96], пористость породы и т.п. Мы в основном будем рассматривать область X в трехмерном пространстве и называть ее геольетрическим полем4.

Госстатистика базируется на представлении о том, что пространственная переменная является реализацией некоторой случайной функции

'Матерон Жорж (1930-2000 гг.) — французский математик, основатель геостатистики, совместно с Дж. Серра [31], [45] создатель математической морфологии, в 1968 г. организатор школы Centre de Géostatistique et de Morphologie Mathématique, École des Mines de Paris, Fontainebleau (n 1986 r. разделилась на дне школы Centre de Geostatistique и Centre de Morphologie Mathématique).

2Пекоторые апторы переводят на русский язык термин kriging как «крайпшг» [80]. Однако предпочтительной является транскрипция «кригинг».

3Вместо термина пространственная переменная [96] часто используют термин реггюнализованная переменная, см. например [80[.

'Геометрическое поле называют также базой регионализованной переменной, см. [80].

£(х) = £(и;,х), где х € X — точка геометрического поля, а ш — элементарный исход5. Случайная функция представляет собой параметрическое семейство случайных величин [67], [71], [107], [120], [121]. В рассматриваемом нами случае в качестве параметра выступает точка геометрического поля х Е X.

Определим случайную функцию с помощью более общего понятия случайного элемента [71], [120]. Для этого введем два измеримых пространства (0,5) и (Л, £), где ^ и £ — сг-алгебры подмножеств О и А соответственно. Назовем 5|^-измеримой функцию £ : О —>- А, если для любого Ь Е £ соответствующее множество {и; : Е Ь} Е

Случайным элементом назовем 5|£-измеримую функцию £ : О —> А, если для определена счетно-аддитивная (сг-аддитивная) мера Рг(-),

удовлетворяющая условию Рг(О) = 1, т. е. задана вероятность [67], [71], [92], [107], [120].

Для (А,£) = (М1,^1), где 251 — система �