автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка вариационных алгоритмов восстановления входных сигналов конечной длительности в линейных системах

Введение.

Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах.

1.1 Линейные системы и методы обработки сигналов.

1.2 Математические основы теории восстановления сигналов.

1.3 Методы вычислений приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

1.4. Задачи исследований.

Глава 2. Разработка математических основ восстановления сигналов.

2.1 Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и их свойства.

2.2 Математическое представление доступных восстановлениям на основе эмпирических данных компонент входных сигналов.

2.3 Потенциальные возможности восстановления входных воздействий.

Интегральное соотношение вида ь и{у)= *)/(*>&, с<у<Л, (1) а достаточно часто используется в качестве модели, описывающей зависимость отклика и(у) линейной системы с аппаратной функцией Я(у,х) от воздействующего на ее вход сигнала/(х) (входного воздействия).

Такого рода системы имеют широкое распространение, а представление (1) позволяет с достаточной степенью точности вычислить значения откликов по заданным значениям входных воздействий и аппаратной функции системы (прямая задача).

Вместе с тем, часто возникает необходимость рассмотрения обратной задачи, которая заключается в определении неизвестного входного воздействия на основе результатов регистрации откликов на входе системы (восстановление входного сигнала по эмпирическим данным). Очевидно, что речь идет о компенсации искажающего действия аппаратной функции, что особенно целесообразно для улучшения разрешающей способности различного рода измерительных приборов, включая радиолокаторы, радиометры, оптические системы регистрации сигналов и др.

Другим важным источником обратных задач служит синтез входных воздействий, которые позволяют получить наилучшую аппроксимацию желаемого отклика (например синтез диаграмм направленности антенн).

В качестве математической основы при восстановлении сигналов естественно воспользоваться представлением (1), которое при решении обратной задачи должно рассматриваться как интегральное уравнение Фредгольма первого рода (ИУФ1).

Известно, что задача решения ИУФ1 в математическом смысле является некорректной. Это существенно осложняет построение вычислительных процедур восстановления входных сигналов, так как в эмпирических данных ь у(у) = "(у)+*М= \я{у,х)/(х)ск + Е{у), уе[с,с1}, (2) а неизбежно присутствуют погрешности регистрации е(у). И даже небольшой их уровень может привести к неконтролируемо большим погрешностям восстановления сигналов, если не использовать специальные методы регуляризации (повышение устойчивости результатов вычислений к воздействию погрешностей исходных данных). Таким образом, имеется возможность вычислений только приближений входных сигналов.

Широкая распространенность в различных областях науки и техники описываемых моделью (1) линейных систем и настоятельная необходимость повышения их эффективности за счет восстановления входных сигналов явились источником большого количества исследований возможных подходов к построению соответствующих вычислительных процедур. В подавляющем большинстве наиболее известных методов задача восстановления рассматривается с позиций обеспечения устойчивости вычислений, для чего должны быть использованы те или иные априорные сведения либо предположения.

Среди них особо широкую известность приобрел метод регуляризации Тихонова А.Н., в котором реализована идея преобразования исходного уравнения первого рода (1) к уравнению второго рода на основе вариационного принципа минимизации регуляризирующего функционала, в конструкции которого используются эвристический функционал - стабилизатор.

Разработке теоретических основ и применениям метода Тихонова А.Н. посвящены работы многих исследователей, в результате чего он приобрел достаточную известность и по-видимому, достигнут предел его совершенствования. Вместе с тем в виду общности подхода метод остается сложным в реализации и непрозрачен с точки зрения анализа возникающих погрешностей.

На наш взгляд, основной особенностью большинства известных методов решения обратной задачи на основе уравнения (1) является формально-математический подход без изучения вопроса о том, какие входные воздействия или их компоненты доступны восстановлению на основе эмпирических данных, и какова форма их представления.

Ответ на этот вопрос позволяет построить адекватные вычислительные процедуры, устойчивые к воздействию погрешностей регистрации, и позволяющие осуществить анализ погрешностей определения доступных восстановлению компонент входных сигналов. Этот подход и реализован в данной диссертации.

Целью работы является разработка вариационных алгоритмов восстановления сигналов в линейных системах на основе адекватного учета имеющейся о них информации в обрабатываемых исходных данных.

Для достижения этой цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка математических представлений доступных для восстановления компонент входных сигналов в линейных системах, информация о которых имеется в зарегистрированных откликах.

2. Разработка адекватной вариационной процедуры устойчивых вычислений приближенных значений доступных для восстановлений компонент входных сигналов с адаптивным оцениванием непосредственно по эмпирическим данным евклидовой нормы погрешности регистрации отклика.

3. Исследование устойчивости и точностных характеристик разработанной вычислительной процедуры.

4. Разработка вычислительных процедур обработки эмпирических данных для повышения разрешающей способности радиолокационных измерений и восстановления линейно смазанных фотографических изображений с адаптивным оцениванием величины смаза.

5. Разработка программно-алгоритмической поддержки восстановления входных сигналов в линейных системах и ее апробация при решении реальных и модельных задач обработки эмпирических данных.

Методы исследований:

• Методы системного анализа и синтеза на основе использования вариационных принципов.

• Методы теории линейных пространств и линейной алгебры.

• Вычислительные эксперименты. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения. Глава 1. Восстановление сигналов в линейных системах.

Заключение

1. Агекян Т. А. Распределение истинных конфигураций тройных звезд. Астрон. журн., 1954,31, вып. 6, с. 544—549.

2. Алексеев Г.А., Жиляков Е.Г. О численном решении обратной задачи рефракции. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по распространению радиоволн. Харьков, 1990.-Часть2.-С.64.

3. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 352 с.

4. Андреянов Б.Г., Седельников Ю.Е. Использование методов восстановления для повышения угловой разрешающей способности радиометрических измерений Радиотехника и электроника, т. 34, 4,1989. 78-83.

5. Арсении В.Я., Винокуров В.А., Свешников А.Г. Конференция но некорректно поставленным задачам (Фрунзе, 1979 г.) Успехи мат. наук, 1980, 35, вып. 6 с. 184— 188.

6. Афанасьев Ю.В., Студенцов Н.В., Хореев В.Н. и др. Средства измерений параметров магнитного поля. Л Энергия, 1979. 320 с.

7. Бадаев В.В., Любовцева Ю.С, Туровцева Л.С. Определение микроструктуры аэрозоля по ореольным измерениям методом В.Ф. Турчина. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1973,9, Ю, с. 1044-1053.

8. Бакушинский А.Б. Замечания о методе Кунрадзе-Алексидзе Дифференциальные уравнения, том 4, J27, июль 1970г.

9. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М Изд-во Моск. Ун-та, 1989. 199 с ил. 28.

10. Балабанов В.В., Жиляков Е.Г. О повышении разрешающей способности радиометрических измерений //Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, №12. П. Басистов Ю.А. Регуляризация по Тихонову задачи различения гипотез при неопределенности. Автоматика и телемеханика, 1981, 9, с. 49—59.

11. Бахрах Л.Д., Кременецкий Д. Синтез излучающих систем (Теория и методы расчета). М.: Сов. радио, 1974. 232 с.

12. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989.-334С.

13. Берикашвили В.Ш. Комплекс процедур и программ для определения оптимальных параметров систем массового обслуживаиия. Программирование, 1976, 4, с. 101 106. 129

14. Боровков А.А. Теория вероятностей. Изд. 4-е. М.: Едиториал УРСС, 2003. 472 с. Брагинская Т.Г., Клюбин В.В. Решение обратной задачи спектроскопии оптического смещения методом регуляризации Тихонова.— Л., 60 с.— (Препринт/ ЛИЯФ; 855).

15. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления Оптимизация, оценка и упр. М.: Мир, 1972. 544 с.

16. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. М Паука, 1986. 544 с.

17. Вайнштгйн Б.К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул. Успехи физ. наук, 1973,109, вып. 3, с. 455—497.

18. Ванштейн Л.А., Зубаков В.Д. Сов.радио, 1960.-447 с. Вьщеление сигналов на фоне случайных помех. М.:

19. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. Радио, 1979. 272 с. 23.

20. Васин В.В. Об устойчивом вычислении производной. ЖВМ и МФ, 1973,13, №

21. Васин В.В., Танана В.П. Об устойчивости проекционных методов при решении некорректных задач. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1975, 15, 1, с. 1929.

22. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Паука, 1980.-208 с.

23. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев. Паукова думка 1986.

24. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев Паук, думка, 1978.— 292 с. 28.

25. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Паука, 1977. 304 с. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.:Паука,1987г.

26. Войтович П.П., Савенко П.А. Синтез антенн по заданной амплитудной диаграмме и родственные задачи квазиоптики (обзор). Радиотехника и электрон., 1979, 24, вып. 8, с. 1485—1500. 31.

27. Воробьев Ю.В. Метод моментов в прикладной математике. М. Физматгиз, 1

28. Галайдин П.А., Замятин И.А., Иванов В.А. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. Уч. Пособие СПб: Издво ИТМО, 1998.29 с. 130

29. Гантмахер Ф Р. Теория матриц.М.: Наука, 1967 г. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. Главная редакция физикоматематической литературы издательства «Наука», М., 1978,296 стр.

30. Гласко В.Б., Володин В.А., Мудрецов Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиразведки для контактной поверхности на основе метода регуляризации.Физика Земли, 1973, 2, с. 3 0 1

31. Гласко В.Б., Гущин Г.В., Старостенко В.Я. О применении метода регуляризации А.Н. Тихонова к решению нелинейных систем уравнений. Жури, вычисл. математики и мат. физики, 1976,16, 2, с. 283—292.

32. Гласко В.Б., Тимофеев Ю.М. Использование метода регуляризации для решения задачи термического зондирования атмосферы. Физика атмосферы и океана, 1968, 4,Jo3,c. 303—310.

33. Гласко В.Б., Тихонов А.Н., Тихонравов А.В. О синтезе многослойных покрытий. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1974,14, 1, с. 135—144. 39.

34. Голд В., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 367 с. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985. 308 с.

35. Гончарский А.В., Черенащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М Наука, 1978.

36. Горчакова И.А., Малкевич М.С, Турчин В.Ф. Определение вертикального профиля влажности атмосферы по измерениям собственного излучения Земли. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1970, 6, 6, с. 565—576.

37. Гурари Л.М., Рукман Г.И., Толпина СП. О решении уравнения Фредгольма I рода с лоренцевским ядром в задачах допплеровской спектроскопии.— Метрология, 1977, 7, с. 26—30.

38. Демидович В.Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации. В кн.: Вычисл. Матем. И программирование, VIII, М.: МГУ, 1967.

39. Денисов A.M. Об аппроксимации квазирешений некоторых интегральных уравнений первого рода.— Там же, 1974,14, 1, с. 222—230. 46.

40. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. М.: Мир, 1973. 280 с. Дженкинс Г., Вате Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. Вып. I.-315C.

41. Джонсон Д. X. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения. ТИИЭР, 1982, 70, 9, с. 126—139. 131

42. Долгополова Т.Ф., Иванов В.К. О численном дифференцировании. ЖВМ и МФ, 1966,6, №3. 51.

43. Дружкин Л.А. Задачи теории поля. М.: Изд-во МИРГЭ, 1964. 462 с. Есепкина Н.А., Корольков Д.В., Парийский Ю.М. Радиотелескопы и радиометры. М.: Наука, 1973.

44. Жиляков Е.Г. Метод построения восстанавливающих операторов для уравнений типа свертки Проблемы передачи информации, 1993, I. 25-32.

45. Жиляков Е.Г. Метод построения ядер обратных операторов для приближенного решения интегральных уравнений типа свертки Электронное моделирование, 1992, N2 2. 34-40.

46. Жиляков Е.Г. О восстановлении сигналов. Радиотехника и электроника, 2002, том 47, №1,с. 1-6.

47. Жиляков Е.Г. О вычислении приближенных решений интегральных Фредгольма первого рода с использованием эмпирических уравнений данных. Дифференциальные уравнения, №7,2003 г.

48. Жиляков Е.Г. О приближенном решении интегральных уравнений типа свертки. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Математическое моделирование в энергетике", Киев, 199О.Часть2.-С. 116.

49. Жиляков рассеяния. Е.Г. Повышение разрешающей Тезисы докладов Всесоюзной способности метода по некогерентного распространению конференции радиоволн. Харьков, 1990, 116.

50. Жиляков Е.Г. Теория и методы обработки сигналов в задачах автоматизации технологических процессов и научных исследований. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Харьков 1993.

51. Жиляков Е.Г., Попов И.Г. Метод восстановления входных сигналов в линейных системах Вестник Национального технического Сборник научных университета "Харьковский выпуск: политехнический институт". трудов. Тематический Информатика и моделирование. Харьков: НТУ "ХПИ". 2003. №26. с.58-62

52. Жиляков Е.Г., Попов И.Г. Программная система анализа и восстановления сигналов по эмпирическим данным Зарегистрировано в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Федерального агентства по образованию, свидетельство 5494, номер государственной регистрации 50200501790 от 20.12.2005г. 132

53. Жиляков Е.Г., Попов И.Г., Чижов И.И. О дифференцировании, интерполяции, экстраполяции и фильтрации дискретных сигналов Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2004. №1(19), вып 1, с.3-14

54. Жуков В. Б. Расчет гидроакустических антенн по диаграмме направленности.— Л.: Судостроение, 1977.— 184 с.

55. Зелкин Е.Г., Соколов В.Г. Методы синтеза антенн: фазированные антенные решетки и антенны с непрерывным раскрывом. М.: Сов. радио, 1980.— 296 с.

56. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передач сигналов.— М. Связь, 1980. 2 8 8 с.

57. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. ДАН СССР, 1962, 145, 2, с. 270272.

58. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.206 с.

59. Интегральные уравнения. П.П. Забрейко, Л.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. М.: Наука, 1968.-448 с. 70. Кеч В., Теодореску П. Введение

60. Клей К., МедБИн Г. Акустическая океанография Основы применения.— М. Мир, 1980.—582 с. 72.

61. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания.— М.: Машиностроение, 1979.— 431 с. Колмогоров А.Н., Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968 г., 496 стр. с илл. 74.

62. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1

63. Красный Л.Г., Скрипниченко С В Оптимальное измерение координат источников шумовых акустических сигналов.— Акуст. журн., 1979,25, вып. 6, с. 893—901.

64. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.- 68 с.

65. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский СП. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.

66. Лисковец О.А Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981. 344 с. 133

67. Ловелл Б., Клегг Дж. Радиоастрономия. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 240 с. Мальцев И.А. Линейная алгебра. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. 316 с.

68. Морозов В.А, О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейным неограниченным оператором. Дифференц. уравнения, 1970, 6, 8, с. 1453—1458.

69. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.; Наука, 1987.240 с. 83.

70. Немировский М. Цифровая передача информации. М Связь, 1980. 255 с. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ.-М.: Мир, 1983. 384 с.

71. Натрик Е.А. Основы теории распознавания образов. М. Сов. радио, 1980. 408 с.

72. Петров Ю.П., Третий класс задач физики и техники промежуточных между корректными и некорректными. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1998. 30 с.

73. Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. О СПб: Политехника, 2003. 261 с ил.

74. Пози Дж. Л., Брейсузлл Р. Н. Радиоастрономия.— М.: Изд-во иностр. лит., 1958.— 350 с.

75. Попов И.Г. О восстановлении входных сигналов в линейных системах Системный анализ и обработка информации в интеллектуальных системах сб. науч. тр. каф. автоматизир. систем обр. инф. и упр. Вып. 3 под общ. ред. Ф. Ф. Иванова Сургут. Гос. Ун-т. Сургут Изд-во СурГУ, 2005. с. 66-73

76. Попов И.Г. О регуляризации приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода 8-й международный молодежный форум «Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке»: Сб. материалов форума. Харьков: ХНУРЭ.Ч.2.2004Г.С.160

77. Попов И.Г. Повышение разрешающей способности линейных измерительных приборов //Сборник студенческих научных работ: В 3-х ч. Белгород: Изд-во БелГУ, 2004. Вып. VII. Ч. I. с.35-40

78. Попов И.Г. Устойчивый алгоритм приближенного решения интегрального уравнений Фредгольма первого рода Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2006. №1(21), вып. 2, с. 7-12

79. Преображенский Н.Г., Пикапов В.В. Неустойчивые Новосибирск: Наука, 1982. 134 задачи диагностики плазмы.

80. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1990.-288 с.

81. Пытьев Ю.П., Чулличков А.И. Прибор+ЭВМ=новые возможности. М.: Знание, 1983. 6 4 с. 97. 98.

82. Раутиан Г. Реальные спектральные приборы. УФН, 1958, т. 66, вып.

83. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1

84. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания. М. Статистика, 1979. 96 с.

85. Сборник научных программ на Фортране /М.: Статистика, 1974. Вып. 1. 314 с; Вып. 2. 222 с.

86. Свистов В.М. Радиолокационные сигналы и их обработка. М.: Сов. радио, 1977. 448 с. 102.

87. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003. 604 с ил. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений: Учебник для вузов. СПб: Политехника, 2001. 240 с ил.

88. Сизиков B.C. Применение метода интегрального уравнения в задаче углового разрешения сигналов. Вопр. судостроения. Сер. общетехн., 1981, вып. 60, с. 34-38.

89. Сизиков B.C., Ахмадулин Р.И., Николаев Д.Б. Синтез магнитного поля вдоль оси катушки ЯМР-томографа Изв. вузов. Приборостроение, 2002, т. 45, №1, с. 52-57.

90. Сизиков B.C., Белов И.А. Реконструкция смазанных дефокусированных изображений методом регуляризации Оптич. Ж., 200, т. 67, 2 4, с. 60-63 Г

91. Смарышев М. Д. Направленность гидроакустических антенн. Д.: Судостроение, 1973. 2 8 0 с.

92. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том четвертый, часть первая. М., 1974 г., 336 стр. с илл.

93. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М. Сов. радио, 1978. 3 2 0 с.

94. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук, думка, 1978. 228 с.

95. Страхов В.Н. К вопросу о скорости сходимости и методе простой итерации. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1973, 6, с. 1602 -1606. 135

96. Титчмарш Е. Введение

97. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 153, 1 с. 49-52.

98. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач. ДАН СССР, 1963, 151, №3.

99. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, 1943, 39, 5, с. 195198.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. Изд. 2-е. 118. W Тихонов А.И., Арсенин В.Я., Рубашов И.Б., Тимонов А.А. О решении проблемы восстановления изображения в ЯМР-топографии. ДАН СССР, 1982, 263, №4, с. 846. 119.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.160 с. Тихонов А.Н., Виткевич В.В., Артюх B.C. и др. О восстановлении распределения радиояркости по источнику. Астроном, журн., 1969,46, 3, с. 472—480.

102. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений Некорректные задачи естествознания Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 1987, с. 185-195.

103. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

104. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. О методах решения обратной задачи теории антенн. Вычисл. методы и программир., 1969, 13, с. 209—214. 124.

105. Троицкий М.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989. 240 с. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С. Использование методов статистики для решения некорректных задач 386.

106. Уилкинсон, Райнш Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. Перевод с английского. Под ред. д-ра техн. наук проф. Ю.И. Топчева. М., «Машиностроение», 1976 г. Успехи физических наук, т. 102, вьш.З, 1970. 345- 136

107. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, т. I.-1969.-608 с.

108. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США 1961-1968 гг. Перевод и научная обработка М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. М., Изд-во «Советское радио», 1971.256 стр.

109. Халфин Л. А. Статистический подход к решению некорректных задач геофизики. В кн.: Исследования по статистической теории оценивания. П. Л. Наука, 1978, с. 67— 81.

110. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983. 352 с. 132. 133.

111. Христиансен У., Хегбом И. Радиотелескопы. М Мир, 1972. 239 с. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике .М.:Наука,1971 г. Шамис В.А. C-b+Builder

112. Техника визуального программирования. Издание второе, переработанное и дополненное. М.: "Нолидж", 2000.-656 с ил. 135.

113. Ширман Я.Д. Разрешение и сжатие сигналов. М.: Сов. радио. 1974. 360 с. Якубов В.П., Симакова Н.А. Обратная задача рефракции в атмосфере Земли Радиотехника и электроника, 1987, т. 32; вьш. 7. 1367-1373. 137. Chu В., Gulari Е. Photon correlation measurements of colloidal size distributions. II. Details of histogram approach and comparison of methods of data analysis. Phys. scr., 1979, 19, N 4, p. 476—485.

114. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique.— Bull. Univ. Princeton, 1902,13, p. 49—52.

115. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles Iineaires hiperboliques. Paris Hermann, 1932. 352 p.

116. Holt J.H., Bracken A.J. First kind Fredholm integral equation of liver kinetics: numerical solutions by constrained least squares. Math. Biosci., 1980, 51, N 1/2, p. 11—24.

117. Lavrentiev M.M. Numerical solution of conditionally properly posed problems.— In: Numerical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE—1970. New YorK London: Academic, 1971.

118. Levintal C. Molecular model-building by computer. —Sci. Amer., 1966, 214, N 6, p. 42— 52.

119. Marchuk G. I. Formulation of the theory of perturbations for complicated models.— Appl. Math, and Optim., 1975,2, N 1, p. 1—33. 137