автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка варианта МКЭ с использованием несогласованных сеток для решения задач теплопроводности в составных телах с подвижными границами

ГОСУДАРСТВЕННА комитет СССР ПО НАРОДОМ'/ ОБРАЗОВАНИЮ Московский'ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный технический университет им. Н, Э. Баумана

На правах рукописи

<ШАТОВ Александр Яковлевич

Уда 535.2:519.6

РАЗРАБОТКА ВАРИАНТА ЬКЭ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕСОШСОиАИШ СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ БШЛОПРОЬОДНОСТИ В СС-СТАБШХ ШАХ С П0ДЫШЙ.М ГРАНИЦАМИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. Москва 1991

Ч

о

Работа наполнена в Московской ордена Ленина, орден Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Унамени государственном техническом университете им.Н.Э.Баумана,

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Зарубин В.С.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

доцент Формалев Б., доктор технических наук, старший научный сотрудник Доыбровский Л.А.

Ведущая организация - Институт проблем механики АН СССР

Защита состоится "14 " мая 1991 года в II час 00 ш:н на заседании специализированного совета Д. 053.15.12 в 11ПУ им.Н.Э.Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул.,

д.б. :

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПУ им, Н.Э. Баумана

Автореферат разослан

»/л 04 ■ 199/г.

Ьг~и отзывы в 2 эхз., заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу.

Ученый секретарь ,

специализированного совета

к.т.н. .¿я А.Г. Цицин

Заказ 276. Объем 1.0 п.л. Тит>аж 100

Типография ИЛУ им. Н.й. Баумана

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. На современном этапе развития ноу к и и техники все больяее внимание исследователей при решении задач теплопроводности привлекают задачи с подвижными границами области. Важный класс задач связан с расчетом нестационарных температурных полей в телах (например, ал ем от ах конструкций летательных аппаратов), форма которых изменяется при разрушении материалов под воздействием высокоинтенсивного нагрева. Получить экспериментальные данные о распределении тсжературы в этих условиях достаточно сложно. Поэтому большой интерес вызывают работы по математическое моделировании процессов распространения тепла в элементах конструкций с учетом изменения их геометрической формы.

В настоящее время существует ряд методов решения задач • теплопроводности в областях с подвижными границами. Эти метода разрабатывались для класса задач, в котором скорость движения границы области можно считать непрерывно иэменлдщей-ся вдоль границы. В то же время нередко в конструкциях соседствуют материалы с существенно различной скоростью разрушения поверхности. Поэтому актуальной проблемой является разработка методов решения задач теплопроводности, учитывали?« скачкообразный, разрывный характер изменения (функции, описывающей скорость движения границы.

Цель работы - разработка метода решения двумерных задач теплопроводности в составных телах с учетом разрывного движения границы области и оптимизация вычислительных процедур при конечноэлементной дискретизации области.

Научная новизна . '

- Исследованы особенности применения несогласованных, сеток в методе конечных элементов (МКЭ). Показано, что исключение фиктивных узлов из конечноэлементной модели путем наложения дополнительных линейных интерполяционных условий связи эквивалентно использованию метода конечных элементов с набором базисных функций специального вида.

- Предложен новый метод решения задач теплопроводности с подвижными границами области, основанный на зонном представлении тела. Использование несогласованной сетки и возможность смещения зон друг относительно друга позволяет моделировать разрывное движение граничной поверхности в

процессе решения задачи. •

- Разработан .генератор сеток зонного типа, предназначенный для построения несогласованных сеток и реализации разрывного движения границы области.

- Исследованы возможности оптимизации пространственно-временного разбиения области при использовании несогласованна сеток в составных телах с существенно различными теп-лофизическими свойствами материалов. Получен новый критерий определения величины временного шага, основанный на оценке локальной погрешности решения. Предложен алгоритм динамического выбора схемы интегрирования по времени. ,

- Дня тестирования программных комплексов получено аналитическое решение двумерной задачи о нагреве составной ор-тотропной пластины. ' -

Практическая ценность диссертации заключается в создании программного комплекса по расчету двумерных плоских осесим-метричных температурных полей в составных анизотропных телах с подвижными границами. . ; , - ^ . о

Апробация работы. Результаты работа докладывались на седьмом Всесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (г.Кемерово, 1938), на научном семинаре отдела Термомеханики НИИ ЛШ МГТУ йм.Н. 8. Баумана ' в,1989 г. ,яа , Всесоюзной выставке программных. комплексов по численному решению задач термомеханики (г.Мссква, 1990г), на третьем -Всесоюзной совещании по Проблемам построения сеток для ранения задач математической физики (г.Свердаовск, 1990г.) , на научном семинаре научно-теоретического отделения КБ машиностроения (г.Коломна, 1990г.), на семинаре по численным методам тепло- и массообмена ИПМ АН СССР в 1990г. ■•< ■'.'"

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять научных работ. ; \ ' •'■'..'•-■■.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации 123 страницы. Диссертация содержит 32 рисунка, 3 таблицы. Список литературы содержит 78 наименований.

СОДЕЙГАНИЕ РАБОИ

Во введении обоснована актуальность выполняемых в диссертационной работе исследований, сформулированы цель и задачи исследования, дано краткое содержание работы по главам.

В первой главе рассмотрена постановка задачи,проведен обзор известных методов решения задач теплопроводности с подвижными границами, описан вычислительный алгоритм решения краевой задачи теплопроводности методом конечных ¡элементов.

Различные численные методы решения задач с подвижными границами описаны П.Н.Вабищевичем. Изменение формы тела под воздействием аэродинамического нагрева исследовались в работах В.В.Лунева, В.В.Знаменского. Методы решения задач теплопроводности с подвижными границами, основанные на использовании фиксированных расчетных сеток, развиты в работах В.-5. Формалева, А,Г.Го^т'лка , Э.Э.Грузиной, Н.Г.Исмаилова, Дк.Чина. Различные методы, основанные на трансформировании расчетных сеток в процессе решения задачи, предложены в работах М.Хогге, П.Геррекенса, Г.Н.Кувыркина, С.М.Шарова, Н.Н.Головина, А.Г.Дицина.

При решении задач теплопроводности о учетом разрывного •движения границы области возникает ряд проблем. Одна из них связана с тем, что через некоторое время развития (физического процесса на стыках материалов, имеющих различную скорость разрушения поверхности, возникают уступы и вновь образующиеся участки границы начинают подвергаться соответствующему ' тепловому воздействию. Следовательно, в ходе расчета необходимо существенно изменять расчетную схему задачи.

Анализ трудностей, возникающих-при учете разрывного движения границы области, показал, что целесообразно использо--вать зонное представление тела, где различным материалам соответствуют различные зоны. В этом случае разрывное движение границы можно интерпретировать как смещение зон друг относительно друга {рис. I). Генерация конечно-элементных сеток внутри зон осуществляется на каждом временном шаге независимо для каздой зоны. Такой подход привел к необходимости использования несогласованных сеток, у которых некоторые линии сетки заканчиваются на внутренних границах области так называемыми фиктивными узлами. На ркс.1 фиктивные узлы помечем ■ крестиками.

В МКЭ исследование свойств несогласованных сеток началось сравнительно недавно. Этим вопросам посвящены работы Дя.Ямады, И.Ншшгуши, Ю.М.Лаевского, С, А. Шишкина, В.С.Зарубина, Г. Н.Кувчркина, А.Г.Цицина, Б. М. Темпе а, М.В.Соборнова.

Далее в главе рассмотрен вычислительный алгоритм решения краевой задачи теплопроводности методом конечных элементов с использованием несогласованных сеток. Для вывода уравнений МКЭ используется проекционный алгоритм Бубнова-Галерки-на, который приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестного вектора узловых температур {.Т}

сттнскцт]*^, ш

где [С] - матрицы теплоемкости и теплопроводности,{р} -вектор те! овой нагрузки.

Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (I) используется разностная схема с весами ^

(к [&.-3+«

* {Т*} + {Рь^} . (2)

Здесь сб. - весовой параметр схемы интеггировакия по времени, индекс означает, что матрица вычисляется для момента времени и+м » Л^ь - величина И -го временного шага.

о Матрица теплоемкости ГС] используется в диагональной форме, что позволяет полностью снять ограничения на времен-но.й шаг по соображениям устойчивости и монотонности раздаст- . ной схемы длл неявной схемы интегрирования по времен» и существенно ослабить оти ограничения для явной схемы. Вопросы устойчивости в МКЭ исследовались в работах Дк.Майерса,Р.Ял-манчшш.СЯлу, Г.М.Големштоиа, В.Н.Константинова.

Для учета несогласованности конечноэлементной сетки применяется метод исключения фиктивных узлов, предложенный в , работах Дк.Яыаде и И.Нишигуии, Г.Н.Кувыркина, С. А, Нерушая, А.Г.Цицина, Для исключения фиктивного узла ^ (рис.2) из конечно элементной модели используется следующее линейное интерполяционное соотношение »

Т^ . \ (3) •

где коэффициент Ф характеризует положение узла ^ на.отреэ-

ке, определяемом узлами I , . Тогда уравнение, связывающее вектор [Т] » содержащий все узловые переменные, и вектор

{у'] , содержаний только независимые узловые переменные, можно записать в виде

[т] = [Д] 1т'} , (4)

где матрица £д] формируется на основе соотношений (3), построенных для всех фиктивных узлов.

Тогда, если переписать линейную алгебраическую систему уравнений (2) в виде

[к*] 1Тпч] = {Р*} , (5)

ГДе —.

[к*] = м» , (6)

то в соответствии с (4) уравнение (5) могло преобразовать следующим образом

[аЧГК'НАНТ'ЬЕЛЧ^*} , , (0)

где [Лт] - транспонированная матрица [/0.

Рассмотренный метод исключения фиктивных узлов нуждается в обосновании, поскольку необходимо проверить, сохраняются ли при преобразовании системы уравнений ШЭ (5) к вида (8). аппроксимациокные свойства, присущие стандартной конечноэлементной процедуре. Теоретическое исследование свойств МКЭ на несогласованных сетках проведено в работах Ю.М.Лаевского и С.А.Шишкина, где стандартный набор базисных функций дополнен функциями специального вида, ассоциированными с узлами внутренней границы. Авторами установлено, что построенная система функций является полной и линейно назвисимой, а также' исследованы ее алпрсксимационные свойства. В то же время авторами было отмечено, что вопрос поиска эффективных алгоритмов, позволяющих использовать рассмотренную систему базисных <{унк-ций, остается открытым.

С этой точки зрения важным представляется следующий результат, полученный в диссертационной работе. Доказано, что матрица С К*] [ А] , построенная-методом исключегая фмн-тиеных узлов, эквивалентна матрице, полуценной.методом конечных атеменгоЕ с использованием набора базисных (¡ункцкй спе-

5

циального вида. Это означает, что метод исключения фиктивных узлов может использоваться в качестве алгоритмической ссно-бы для организации вычислений с использованием несогласованных сеток.

Анализ формул (6), (8) показал, что при использовании иэвес1.шх способов диагонализации матрицы теплоемкости применение метода исключения Активных узлов приводит к потере диагональной формы итоговой матрицей теплоемкости. В работе предложен модифицированный способ диагонализации матрицы позволяющий избежать такого результата. Суть модификации состоит в том, что уже на этапе диагонализации фиктивные узлы не учитываются в конечно&тементной модели, а значение диагонального аяемента матрицы [С] , соответствующего фиктивному узлу, распределяется мезду диагональными элементами, соответствующими соседним узлам сетки.

Во второй главе рассмотрена вопросы алгоритмической реализации предложенного метода решения задач теплопроводности . с подвижными границами области.

Ва«1<ую роль в алгоритмическом решении поставленной задачи играет генератор сеток. В рассматриваемом подходе генератор должен обеспечивать построение несогласованных сеток с формированием необходимых структур данных, реализацию разрывного движения границы области ; кроме того, генератор должен обладать высоким быстродействием, поскольку перегенерг.цйя • сыки производится на каждом временном шаге.

Анализ различных методов, используемых дня построения разностных и конечноатементных сеток, показал, что с учетом - формулированных требований предпочтительным является подход, основанный на разбиении сложной области на зоны достаточно простой форма, построение сетки в которых можно проводить независимо сравнительно простыми методами.

При разработке генератора сеток зонного типа большое внимание было уделено создании разнообразных и гибких структур данных, таких как матрица смежности аой, список смежиости уз- / лов, структуры, необходимые для эффективного вычисления матричного произведенияи т.д. Это позволило реализовать эффективные алгоритмы переборного типа, необходимые для решения поставленных задач. Характерными чертами разработанного генератора являются малый объем входной информации, б '

возможность легко сгущать сетку в произвольных местах, удобная фэрма задания информации о граничных условиях. Сетка строится из четырехугольных билинейных конечных элементов.

Перед использованием генератора геометрическую область необходимо представить б виде совокупности зон - криволинейных четырехугольников, не обязательно выпуклых. Течки, характеризуйте изломы геометрии конструкции, будем называть суперузлами. На любой стороне зоны можно использовать произвольное число промежуточных суперузлов, что позволяет легко описывать криволинейные границы области.

Генерация сетки осуществляется в два этапа. На первом • этапе строятся сетки внутри зон независимо для каждой зоны. Для этого зона отобралаегся о квгдрат путем проектирования каждой стороны зоны на соответствующую сторо!-у квадрата с сохранением относительных расстояний образов граничных узлол от начала стпронч, Дгпее в квадрате сетка строится путем соединения прямыми соответствующих образов граничных у злев,

ьа противоположных сторонах квадрата, причем точки пересечения прямых вцутра квадрата являются прообразами узлов сетки. После этого опурествляется обратное отображение квадрата в зону с использованием кусочно-линейной Интерпол."-' ционной формулы Кунса. При построении сетки осуществляется автоматический контроль качества сетки по геометрическим . критериям, предложенным Г.П.ПрокопоЕым.

На втором етапе после того, как сетки внутри зон построены, производится стыковка зон и построение единой конечно-элементной модели области. При построении сеток независимо в каждой зоне общая граница смежных зон будет состоять из двух несовпадающих множеств узлов, принадлежащих разным зонам, причем, если не принять спеаиатьных мер, то эти множества могут иметь очень мало общих узлов или даже вообще не иметь их за исключением двух узлов, зашкакяцих границу. В этом случае применение метода исключения фжтиЕных узлов будет эквивалентно использованию очень большого конечного але-мента, одной из сторон которого является граница, раздела зон. Таким образен, вдоль границы раздела будет принудительно задано линейное распределение температуры, что приведет к значительной погрешности решения в окрестности границы раздела зон. Чтобы избегать этого, применяется следую^!! алгоритм

■7

"склеивания" граничных узлов, принадлежащих соседним зонам. Пусть на границе первой и второй зон граничных узлов первой зоны меньше, чем граничных узлов второй зоны. Toi да каждый граничный узел первой зоны притягивается к ближайшему гранично^ узлу второй зоны. 1 '

Лсоле генерации конечноапемеэтной сетки осуществляется перенумерация узлов сетки. Дело в том, что матрица теплопроводности хранится и обрабатывается в профильной форме, т.е. -она хранится в векторе столбец за столбцом, начиная с диагонального алемента столбца и. заканчивая ненулевым элементом с минимальным номером строки, при этом профилем называется количество атеменгов в векторе. Профильная схема хранения позволяет економигь со сравнению с общепринятой ленточной схемой машинную память и сокращать время решения системы линейных алге -раических уравнений (8).

Как. и сирина ленты в случае ленточной схеш хранения , профиль матрицы обшко меняется при перестановке строк и , столбцов или, что то se.самое, при перенумерации узлов Ьетки. Меньший профиль означает меньшие затраты памяти и меньшее число операций в вычислениях, выполняемых с матрицей. Одним из наиболее еффективных алгоритмов минимизации профиля является обратный алгоритм Катхилла-Какки, который и использован в данной работе. Алгоритм производит обработку неориентированного графа, связанного с матрицей, и требует задания'стартовой вершины. Определяется квазиоптимальная нумерация графа, , а затем строки и столбцы матрицы переставляются б соответствии с полученной нумерацией. Для определения стартовой верши- , 'ч используется алгоритм Гиббса.";

Учет движения границы области осуществляется после каждого временного шага решения задачи теплопроводности. Для этого с использованием соответствующей модели движения границы рассчитывается скорость движения границы по' нормали к поверхности в текущий момент времени. Далее определяется новое положение гргявд.области, затем перегенерируется конечноалемен-тная сетка в области с новым положением границы, решение с предыдущей сетки переинтерполируется на новую сетку, а в случае образования новых участков граничной поверхности - на них задаются соответствующие граничные условия.

Реализация разрывного движения границы осуществляется сле-8 , . ' '

дающим образом. На этапе подготовки исходных данных в тех точках, где предполагается разрыв граничной поверхности, вводятся сдвоенные супедозлы с совпадающим координатам!. Пока на границе не образовался уступ, один из сдвоенких суперузлов игнорируется при построении сетки. Впоследствии, когда уступ возникает, игнорируемый ранее суперузел начинает смещаться по внутренней границе зон и определять вновь образующийся участок граничной поверхности, на этом участке ставятся соответствующие граничные условия, а со временем на нем могут появиться и дополнительные узлы сетки.

После того, как найдено новое положение границы и построена новая конечноапементчая сетка, необходимо перенести решение со старой сетки на новую. В отличие от метода конечных разностей в МКЭ решение определено в каждой точке области. В частности, для четырехугольного билинейного конечного элемента 6

где Тц - температура в узлах элемента, а -базисные фикции, ассоциированное с узлами конечного элемента. Таким образом, зная координаты узла новой сетки и имея информацию о конечном элементе старой сетки, в который отст узат попадает, температуру в нем можно вычислить по формуле (9).

При решении задач теплопроводности с учетом разрывного движения границы облает использование профильной схемы хранения матрицы теплопроводности помимо преимуществ, связанных с ее экономичностью, порождает и определенные проблемы. В связи с тем, что расчетная.сетка перегенерируется на каждом временном шаге, причем число узлов и ее топологическая структура может при этом значительно меняться, количество фиктивных узлов, их расположение, нумерация также постоянно изменяются. Следовательно, профиль матрицы необходимо пересчитывать на хаддом временном шаге. Кроме того, в процессе исключения фихтивных узлов необходимо помимо изменения значений элементов матрицы теплопроводности одновременно изменять и со стхуктуру. Это связано с тем, что вновь образуемые в процессе исключения фиктивных узлов ненулевые элементы могут выходить за пределы профиля матрицы теплопроводно- ■ сти. В работе предложены эффективные алгоритмы модификации структура хранения матрицы теплопроводности в процессе ре-

шеыяЯ задачи.

Ь третьей главе наследованы возможности повышения вычислительной объективности созданного программного комплекса эа Ыет оптимизации пространственно-временного разбиения области.

Показано, что при решении задач теплопроводности в составных телах с существенно различными теплофпзическими свойствами материалов использование несогласованных сеток позволяет значительно снизить вычислительные затраты. Для этого необходимо выбирать сеточные параметры в гоьах, соответствующих различним материалам, таким образом, чтобы выровнять по всей области значение сеточного числа £урье

Л Foj. ^ ^-рг- ~ ыпЖ (10)

A

где - коэффициент температуропроводности С -тога мате-

риала, At - временной шаг, д й/ - паг сетки в зоне, соответствующей t -тому материалу, причем если материал анизотропный, то к шаги сетки б разных направлениях для отеге материала должны быть различными, Таким образом, выигрш достигается оа счет того, что в более температуропроиодных зонах, где решение меняется относительно плавно, используются более крупные конечные элементы.

Использование несогласованных сеток в составных телах при высокоинтенсивноы нагреве позволяет вернуться к вопросу сб эффективности применения яеной схемы интегрирования по времени. Преилуцество явной схемы заключается в том, что при использовании матрицы теплоемкости в диагональной форме отпадает необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений. Однако для составных тел с резко различаппушея теплефизкчееккми свойствами материалов использование обычных близких к равномерным во Есей области сеток приводит к жестким ограничениям на временной каг для сохранения устойчивости схемы:

д f * г If, {Си /г ¡Kyi) (П)

где Сц , Kij - злаленти патриц теплоемкости f^J и теплопроводности [к] , // ~ размерность матриц. Причину жесткости ограничения на греиенной aar можно ьыявить более четко, если рассмотреть аналогичное Еырпкение

ал t j

Л Fo ~ ¿I* S H <K>

дтя равномерно1"! квадратной конечно-разностной сетки. Заметим, что жесткое ограничение на временной таг & Ь при постоянном по области а {} порождает зона, соогпетствуш.ая самому температурспровсдноцу материалу, решение в которой изменяется наиболее плавно. Следовательно, ограничение немно существенно ослабить, если использовать несогласование сетки, выбирал размер конечшх элементов в зонах в соотаеютвии с (10).

При резении нестационаршх задач теплопроводности определенные трудности вызывает сбоснованнкй вкбор временного ¡лага, историй влияет на точность и время решения. Проанализировали известнее алгоритмы ей бора временного шага.

Предложен новый критерий выбора временного шага, оснований на сценке локальной погрешности решения :за один временной паг. Доказано следующее предло:»с!'':с. Пусть Цн , UK - есст-ветс.'венно точной и конечнезлементиоа решение в некотором узле •сетки з момент времени , кк- и* , , и'д ^Уи,',, ц',/] при 9 £ Г £«, ¿/-r-Hj (гзтрих означает операцию дифференцирования по времени). _

Тогда для того, чтобы локальная ошибка реяенпя на -Л -тем временном интервале в рассматриваемом узле сетки не превышала £ , необходимо выбирать временной иаг ¿in удовлетворяющим неравенству G__-

f ¡U^r^l ' (13)

При практическом применении формулы (13) значение \и'кп-и'п\ , оценивается с помощью решения, вычисленного в момент времени ¿« , tk~ , tk-l , т.е.

I UX-VK-± Uk.< - Uk-г

«' - ик = ~ГГ~---7- ' (14)

k*i к л tz-t д t к-г

На основе критерия (13), а также ограничения на временной паг по соображениям устойчивости (II) (отсутствующего для неявной схемы интегрирования по времени) сформулирован алгоритм автоматического выбора временного шага.

Длля использования преимуществ явной и неявной схем интегрирования по времени разработан алгоритм дина^мического выбора схемы интегрирования по времени, основанный на критерии минимальной трудоемкости разностной схемы. Трудоемкость (машинное время) одного временного шага по явной 7*sr и неявкой Тн схемам фиксируется на первых шагах решения задачи с помошью встроенного таймера ЭВМ. Далее, на каждом временном шаге определяются ограничения на размер временного шага по соображениям точности A tr и устойчивости ¿iy . Тогда допустимый шаг по неявной схеме

extn = & Ьт , (15)

по явной схеме

й-Ьъ- frit'« С^г,^^ <16)

Критерием для выбора схемы служит трудоемкость одного шага, отнесенная к величине допустимого временного шага для явной и для неявной схемы. Если

7„ /й и 4 7% , (37)

, то выбирается неявная схема ( d = I в уравнении (2)), в противном случае выбирается явная схема ( с< = 0).

В случае использования неявной схемы интегрирования по времени необходимым этапом решения задачи является решение системы линейных олгебраичесих уравнений. Использование одинарной точности представления вещественных чисел в ЭВМ при решении систем линейных уравнений прямыми методами может приводить к значительным ошибкам округления. Поэтому обычно применяется двойная. точность представления чисел, что ведет к значительным затратам памяти ЭВМ. ■

В связи с этим предложен способ, позволяющий решать системы' линейных алгебраических уравнений с использованием одинарной точности представления чисел в ЭВМ без увеличения погрешности расчетов; Суть алгоритма в использовании итерационного ч'ебьмевского метода для уточнений реления, полученного 'прямы.: методом Хслессксго.

Проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих (Эффективность предложенных алгоритмов.

В четвертой, главе дане описание созданного программного комплекса (ПК) "РАКЕТ" (РАсчет НЕстацконарной Теплопроводности.) реализуоЕего алгоритма и методы, предлокенниг• в диссер-

тационной работе.

ГПС "РАНЕТ" реализован на ПЗШ типа 1Ш ГС АТ и состоит из функциональной и сервисной частей. Ь состав сервисной части входят операционная оболочка, препроцессор и постпроцессор. Операционная оболочка является интегрированной средой, находясь в которой пользователь может выполнять все необходимые при использовании ПК действия, такие как подготовка исходных данных для расчета, слежение за развитием физического процесса в ходе выполнения задачи, обработка результатов расчета. Интерфейс операционной оболочки организован ь виде системы многоуровневых меню.

Для тестирования ПК получено аналитическое решение двумерной задачи о нагреве составной ортотролной пластины. Задача решена методом йурье.

Креме того, тестирование ПК проводилось на аналитическом решении двумерной задачи о нагреве однородного тепловыделяющего цилиндра, полученном в работе Б.С.ЗагуСина и А.Г.Цицина, а "1кже - на аналитическом решении задачи о нагреве полубес-кокечного стержня с подвижной границей, приведенном в работе Э.Ы.Картапова.

Тестирование подтвердило достоверность результатов, получаемых с использованием данного ГШ.

Приведены расчета температурных полей ь составной осесиы-ыетричной конструкции, обтекаемой высокоэнтальпийным газовым потеком (рис.3). Расчетная область была разбита на 3 зоны. Область составлена, из двух материалов: в крайних зонах - углепластик, в средней зоне - углерод-углеродный композиционный материал (УУКМ). Разрыв в движении граничной поверхности произошел по границам между углепластиком и УША. Вычисление массовой скорости уноса проводилось по методике В.И.Бояринце-ва и Ю.В.?",ягина, описывающей кинетический, переходный и диффузионный режимы окисления углерода.

В заключении с формулированы основные результаты работы.

I. Разработан метод решения задач теплопроводности в составных телах с подвижными границами, отличительной чертой которого является возможность проведения расчетов в случае, если скорость движения границы описывается функцией, имевшей разрывы 1-го реда вдоль границы, т.е. если в теле соседствует материалы с существенно различной скоростью разруяекия

поверхности. Метод основан на зонном представлении тела и пенегенерации конечноэлементной сетки на каждом временном шаге. При ¡этом сетки генерируются независимо ь каждой зоне и не обязаны быть согласованными на внутренних границах между зонами, а разрш в движении внешней граничной поверхности в местах стыковки материалов с различной скоростью разрушения поверхности интерпретируется как смещение зон друг относительно друга.

2. Изучены особенности применения несогласованных сеток при решении задач теплопроводности методом конечных элементов. Показано, что исключение фиктивных узлов из кднечнооле-ментной модели путем наложения дополнительных линейных интерполяционных уравнений связи оквивалентно использованию проекционного метода со специальным образом выбранной системой базисных функций. Описан алгоритм преобразования профиль-. ной структуры матрицы теплопроводности в«процессе исключения

фиктивных узлов. Обобщен на случай несогласованных сеток метод диагснализацик матрицы теплоемкости.

3. Разработан генератор сеток зонного типа, предназначенный дая построения как согласованных, так и несогласованных кснечноалементных сеток, а также - для реализации разрывного движения границы области.

4. Рассмотрены вопросы повышения вычислительной эффективности разработанного метода. Исследованы возможности оптимизации пространственно-временного разбиения области при использовании несогласованных сеток в составных телахссущественно различавшимися теплофизическими свойствами материалов. Разработаны алгоритмы автоматического определения временного шага и динамического выбора схемы интегрирования по времени, рассмотрены вопросы экономичного решения системы линейных алгебраических уравнений.

Б. Дчя.тестирования программных комплексов по расчету двумерных температурных полей в составных анизотропных телах получено аналитическое решение 'задачи о нагреве составной ор-тотролней тепловыделяющей пластины.

6. Проведены численные эксперименты, подтвердившие эффективность построенного программного комплекса, а также проведены расчеты температурных полей в олеменг&х конструкций лета-тс„~ьшх аппаратов, иллюстрирующие возможности разработанного метола. . .

По теме диссертации опубликоЕШШ следующие работы.

1. Филатов А.Я. Генератор сеток зонного типа // Бессоюзная виставха программных комплексов по численному тепению задач термомеханики:Теэисы докладов.- I!., 1990,- С.46.

2. 4илатов А.Я., Цицин Л.Г. С принципах сравнения алгоритмов и программ построения двумерных сеток // Ьопроеы атомной науки и техники. Сер.Математическое моделирование физических процессов. - 1990,- Вып. 2.- С.76-77.

3. Бондарешо М.И., Кузьмин И.А., ¿илатов А.Я. Автоматизированная система обеспечения тепловых и прочностных расчетов // Численно-аналитическое исследование процессов тепломассообмена: Сборник нвучн.тр., ДГУ.- Днепропетровск, 1990,-С. 105-109.

4. Математическое моделирование температурных полей в составных конструкциях переменного объема / В.У.Забелин, Н.Б.Уу-хин, А.Я.Филатов и др. // Математическое моделирование в машиностроении: Тезисы докладов Первой Всесоюзной школы-конференции. - Куйбышев, 1990. - С. 19-40.

5. Адаптивные методы решения задач термомеханики /А.Г.Цицин, С.Н.Лесовой, А.Я.Филатов, Т.П.Ярославцева // Труды МГТУ.-1990.- )р 542,- Термомеханика: Сборник статей. - С. 106-115.