автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из композиционных материалов

На правах рукописи

МУРАШОВ МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФОРМЫ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель: д.т.н., проф. Панин С.Д.

Официальные оппонент: д.ф.-м.н., проф. Димнгриенко Ю.И.,

К.Т.Н.. с.н.с. Головин Н.Н.

Ведущая организация: ОАО «ЦНИИСМ», Московская обл.,

г.Хотьково

Защита состоится « i1» ЯсТудрА 2003 г. в на заседании

диссертационного совета Д 212.141,15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. КЭ.Баумана.

Автореферат разослан « А&ГУ&га 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В связи с развитием современной техники предъявляются все более высокие требования к работоспособности углерод-углеродных композиционных материалов (УУКМ) в условиях обтекания вы-сокоэнталышйными потоками газа Изменение формы области, занимаемой конструкцией из УУКМ, значительно затрудняет проведение проектирования и моделирования. Математическое моделирование теплового состояния конструкций изменяющейся формы из аблирующих композиционных материалов (КМ) позволяет не только предсказывать поведение конструкции в тех или иных условиях, но и открывает широкие возможности для новых конст-рукгорско-технологических решений.

Ограниченность подходов для математического моделирования поведения композиционных материалов в экстремальных условиях работы является одним из основных препятствий к дальнейшему совершенствованию аэрокосмической техники.

Разработка более совершенных методов математического моделирования сложных процессов разрушения конструкций из КМ под воздействием высоких температур является актуальной проблемой. При этом существенное значение имеет построение и исследование моделей с учетом структуры и технологических свойств КМ, что значительно расширяет перспективы создания и применения аблирующих КМ.

Не менее важным вопросом является создание современных компьютерных программ и алгоритмов для решения задач теплопроводности с подвижными границами, дающих новые возможности в проведении научных и прикладных расчетов.

Цель работы - разработка методики математического моделирования температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из КМ на уровне структуры матрица-наполнитель.

Основные задачи исследования:

1. Разработка методики, математических моделей и алгоритмов для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в составных областях изменяющейся формы.

2. Постановка и решение задачи определения температурных полей в структуре КМ матрица-наполнитель и параметров процесса возникновения и развития шероховатости поверхности конструкции.

3. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов программы для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Научную новизну диссертационной работы составляют разработанные и полученные:

- методика и алгоритмы решения двумерных задач теплопроводности в сложных составных областях изменяющейся формы, учитывающие произвольную форму области и произвольный характер движения границы;

- постановка задачи, модель и алгоритмы для определения температурных полей в КМ на уровне структуры матрица-наполнитель и параметров процесса развитая шероховатости поверхности конструкций из углеграфито-вых композиционных материалов, обтекаемых высокотемпературным газовым потоком;

- результаты исследования погрешности метода конечных элементов (МКЗ) для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов и рекомендации для снижения уровня этой погрешности.

Практическая ценность работы. Применение предложенной методики и разработанной программы определения с учетом шероховатости температурных полей в структуре материала матрица-наполнитель позволяет получать более точные результаты, являющиеся исходными для расчета напряженно-деформированного состояния конструкции.

Получаемая по разработанной программе зависимость величины высоты бугорков шероховатости от времени может быть использована для более корректной оценки напряжения трения на поверхности конструкций из УУКМ.

Применение методики определения температурных полей позволяет проводить более глубокий анализ процессов в структуре композиционных материалов.

Разработанные методика и алгоритмы решения двумерной задачи с подвижной границей дают возможность создания автоматизированной программы для использования в инженерной практике, что позволяет значительно расширить круг решаемых задач с подвижными границами.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости математического построения описанных моделей исследуемых тегогофизических процессов;

2) на проведенном тестировании разработанных алгоритмов и программ на аналитических решениях известных тестовых задач;

3) на сравнении полученных результатов расчетов с данными других авторов.

На защиту выносятся:

- методика решения двумерных задач теплопроводности в сложных составных областях изменяющейся формы;

- методика и модель для определения температурных полей в КМ на уровне структуры матрица-наполиитель и параметров процесса развития шероховатости поверхности конструкций из углеграфитовых композиционных материалов, обтекаемых высокотемпературным газовым потоком;

* ><(!»>, И.

I »

2 I .,, «г »

- результаты исследования погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков и рекомендации для снижения уровня этой погрешности.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на студенческой научной конференции «Студенческая научная весна - 2001» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2001 г.; Второй международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы», Москва, 2003г.; семинарах кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 20032004 гг.; семинаре кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2004 г.; семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им.Н. Э.Баумана, Москва, 2005 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 80 наименований. Общий объем работы составляет 116 страниц. Диссертация содержит 67 рисунков и 5 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выполняемых в диссертационной работе исследований, сформулированы цель и задачи исследования, дано краткое содержание работы по главам.

Различные методы решения двумерных задач теплопроводности с подвижными границами предложены в работах Дж-Чина, М.Хогге и П.Геррекенса, Г.Н.Кувыркина, С.М.Шарова, Н.НГоловина, А.Г.Цицина, А.Я.Филатова.

Однако, при решении имеет место ряд проблем. Среди них:

- необходимость предварительного ручного разбиения области расчета на подобласти достаточно простой формы, что не позволяет решать задачи с произвольным изменением подвижной границы;

- при генерации сетки существует ограничение на равенство числа узлов на противоположных сторонах подобласти, что может приводить к большой разности размеров элементов в разбиении, то есть к снижению качества сетки;

- разрыв границы может происходить только по заранее определенной линии соединения подобластей.

В данной работе предложена новая методика, которая лишена перечисленных недостатков. Основными составляющими ее являются МКЭ, метод Делоне и равномерное распределение узлов. Применение методики позволяет получать качественную сетку в сложных областях и дает возможность проведения вычислений при произвольных изменениях формы тела. Генерация

сетки в сложных областях выполняется полностью автоматически без необходимости вмешательства расчетчика.

В первой главе сформулирована общая постановка двумерной нестационарной задачи теплопроводности с подвижной границей.

Рассматривается осесимметричное составное ортотропное тело произвольной формы, занимающее объем V и ограниченное поверхностью 5 (рис. 1). Точки части поверхности Э, обозначенной движутся со скоростью и{Т) по нормали к 5 внутрь тела. При этом другая часть поверхности 5, обозначенная 5 \ 5,, неподвижна.

Математическая модель представляет собой уравнение теплопроводности (1.1), начальное условие (1.2) и граничные условия на поверхностях ^ (1.3) и ^ (1.4), записанные в следующем виде:

Рис.1. Геометрическая схема

Т(г,2,0)=Т0{г,г),

(1.1) (1.2)

подвижная граница ¿м: неподвижная граница

дГ дг

= а(Гж-7;)+т(Г„)-е., (1.3)

8Т_ дг

-пХ(т)

дг

-О,

(1.4)

где Ср, р - удельная теплоемкость и плотность материала; 1Г и коэффициенты теплопроводности материала в направлении главных осей; дР - удельная мощность тепловыделения материала; и„ пг — проекции единичного вектора внешней нормали к поверхностям 5] и на направления осей координат, а, Тс - коэффициент теплоотдачи и температура среды; Т„ - температура на границе тела; т(Тп) - массовая скорость уноса материала; (?»- тепловой эффект физико-химических превращений на поверхности.

Во второй главе приведена постановка тестовой двумерной задачи теплопроводности без подвижной границы, рассмотрена стандартная конечно-элементная методика ее решения, тестированием на аналитических решениях выявлены и проанализированы погрешности МКЭ, определены пути снижения и устранения погрешностей.

Базовая процедура метода конечных элементов для задач теплопроводности описана в работах О.С.Зенкевича, ЛДисСегерлинда, ДНорри и Ж. де Фриза, Р.Галлагера, Г. Стренга и Дж. Фикса и других.

Для анализа возможных погрешностей МКЭ была решена тестовая линейная нестационарная задача теплопроводности без подвижной границы (рис.2). На геометрической схеме £пр - приведенный коэффициент излучения, Тщш - температура излучения среды. Для решения использовалась процедура метода конечных элементов в форме Бубнова-Гаперкина. Для интегрирования по времени применялась схема Кранка-Никольсона. Сравнение проводилось с аналитическим решением А.В.Лыкова. Определены, проанализированы н устранены основные погрешности МКЭ.

Рассмотрению погрешностей, возникающих при решении задач теплопроводности методом конечных элементов, посвящены работы С.Патанкара, С.Э.Уманекого, Г.Н.Кувыркина, В.С.Зарубина, В.Е.Трощиева и Р.М.Шагалисва, ДяеМайерса, Р.Ялманчили и С Чжу и других.

Следует отметить, что погрепшость, обусловленная отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов, не описана в литературе, хотя присутствует в решениях, полученных даже с помощью современных профессиональных программ. Характер проявления данной погрешности в тестовой задаче представлен на рис.3 На графиках (рис.4, 5) показано изме-

неиие величины погрешности в зависимости от числа (размера) элементов по осям гиг.

1200

Е

1170

81 121 Номер узла по оси г

-Решение МКЭ

■'■'Лиалмгичестоорещнн^

Рве. 3. Погрешность, обусловленная отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов

Определено, что чем больше несимметричность сетки элементов относительно тепловой нагрузки, тем больше величина погрешности. Поэтому избавиться от погрешности в рассматриваемой задаче можно, изменяя разбиение области на элементы с несимметричного на симметричное (рис. 6) или используя четырехугольные элементы.

100 1») Число узлов по оси г

»Погрешность справа

• Погрешность "в начале счета"

Рис. 4. Величина погрешностей в зависимости от числа узлов по оси г

В разработанной программе разбиение было изменено на симметричное. При этом погрешность исчезла. Было замечено, что в этом случае, при увеличении числа узлов по оси г «погрешность в начале счета» возрастает на величину до 30% от величины «погрешности в начале счета» для числа узлов по г, равного двум. Также, если число узлов по оси г больше, чем по г, то несмотря на проводимую диагонализацию матрицы теплоемкости, появляется погрешность, обусловленная неконсервативностыо элементов.

число узлов по оси г

■Погрешность слева 1

— Погрешность справа

Рис. 5. Величина погрешности в зависимости от числа узлов по оси т. (в узлах на нагреваемой границе слева и справа)

В случае произвольной расчетной области необходимо стремиться к обеспечению симметрии разбиения относительно тепловой нагрузки, однако, как правило, полной симметрии достигнуть не удается. Таким образом, при расчете сложной области эта погрешность в какой-то мере всегда будет иметь место. Уменьшать величину погрешности можно локальным измельчением сетки.

8

10

10

11

12

13

14

X X X X

Рис. 6. Несимметричное (слева) и симметричное (справа) разбиения прямоугольной области по отношению к тепловой нагрузке. Даны глобальные номера узлов

В д анной части работы также проиллюстрировано влияние формы треугольных конечных элементов на погрешность расчета. Были рассмотрены разбиения квадратной области с различным числом столбцов при фиксированном числе строк иг=20, пг=40 и л/=400. При этом величина минимального угла в треугольных элементах изменялась в диапазоне 0,1^45°. Получено, что при изменении формы элементов возможно увеличение обшей погрешности от 0,14% до 0,21% (при иг=20), что является незначительным и позволяет не учитывать форму элементов при решении рассматриваемой задачи теплопроводности.

В этой же главе приведены результаты тестирования разработанной программы при решении нелинейной задачи теплопроводности.

В третьей главе рассмотрена алгоритмическая реализация предлагаемой методики решения задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Здесь приведены результаты проверки точности численного решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей, рассмотрены особенности применения метода Д елоне к решению двумерных задач с подвижными границами, разработаны алгоритмы равномерного расположения узлов и движения границы в сложных областях.

На рис.8 представлен алгоритм решения задачи с подвижной границей.

Для тестирования программы численное решение одномерной задачи с подвижной границей сравнивалось с аналитическим решением о нагреве полубесконечного стержня, полученным Э.М.Карташовым. Представленные на рис.7 результаты (различие менее 1%) подтвердили верность численного решения.

Время!, с

я^м м цаО ы/с, аналитическое решение т '^^"■»«аО, 001 м/с, аиапкп «чес«ое решение

А иО.СХНм/Ь, решение МКЭ

Рис. 7. Результат тестирования решения одномерной задачи с подвижной границей

При переходе к двумерной задаче с подвижной границей требуется определять направление движения узла подвижной границы. В данной работе направление определяется по векторным формулам аналитической геометрии без вычисления углов и использования тригонометрических функций.

Для генерации треугольной сетки используется метод Делоне, эффективные алгоритмы которого появились в 1980-х годах с работами Бауера, Д.Ф.Вотсона, Ф.Хёмелайна. В данной работе использован именно этот метод, так как он позволяет наиболее быстро и полностью автоматически получать сетки приемлемого качества в сложных областях. > Без пополнений метод Делоне для невыпуклых и/или составных облас-

тей применить нельзя. В противном случае, в процессе триангуляции происходит нарушение целостности границ. к Указанная проблема решена в данной работе использованием в процессе

поиска сопряженного узла двух процедур:

a) анализ пересечений с внутренней границей;

b) анализ пересечений с подвижной границей.

Бели такое пересечение имеет место, то для текущего отрезка выбирается другой пробный узел.

Узлы на границах модели и внутри области генерируются по возможности равномерно с постоянным шагом сетки А/. Таким образом, с изменением геометрии расчетной области на каждом шаге по времени число узлов в модели и их положение меняются. Узлы пересечения или соединения границ рассматриваются как особые и требуют отдельных методов обработки. Наиболее часто нужно обеспечить присутствие этих узлов даже при нарушении равномерности расположения узлов, с появлением элементов, в десятки раз меньших, чем остальные.

В работе при перемещении узлов подвижной границы учитываются следующие геометрические эффекты:

1. Расстояние между узлами поддерживается близким к шагу сетки Д/.

2. Не допускается самопересечения отрезков подвижной границы в процессе ее движения.

3. При большой разнице в скоростях уноса материалов производится уда-и. ление отгорающих частей материала.

4. Исключается возможность пересечения отрезком подвижной границы

отрезка внутренней границы без пересечения самой внутренней границы.

* Использование датчика случайных чисел для генерации внутренних уз-

лов дает некачественную сетку. Данная проблема была решена генерацией узлов с расположением, близким к регулярному и равномерному. Для этого на область накладывается сетка с узлами, расположенными регулярно и с определенным шагом сетки А/.

Температура в узле новой сетки находится линейной интерполяцией с трех узлов старой сетки.

С Задание начальных условий )

,_ _:_

I Начальное разбиение области на элементы

221

I Начальный вывод сетки и поля температур I

.....т.—: .. , и....... ,.-

Б^вдк т^улерзтурнрго расчета дп» т4ку1цегЬ шага яр времени к"

Нет

3£

-Ы Определение ширины ленты глобальных матриц

Я

| Пвисгсаний 2Л8><дит9и ЦЩиЮПЯ иятйпияля I

| |уГ,УМУ1#1.Г.УУ. ---------------г- - -г -- - |

I Задание тепловой нагрузки на границе I - ^ -

| Счетчик итераций 8=0 |

-Ы 8=8+1

^^_.

Формирование матриц [К], [С] и вектора {Я>

Нет

2£

Приведение системы дифференциальных уравнений к СЛАУ

I Изменение подвижной границы --

Построение новой сетки в измененной области

Интерполяция температур на новую сетку

, ^ У , '

} Вывод новой сетки и поля температур |

( Окончание счета ) Рис. 8. Алгоритм решения задачи с подвижной границей

В четвертой главе проводится рассмотрение моделей и свойств современных и перспективных углеродных композиционных материалов, определен круг задач, в которых возможно проведение расчетов температурного состояния решением двумерной задачи теплопроводности с учетом структуры КМ.

В данной главе также сформулирована постановка задачи моделирования возникновения и развития шероховатости на поверхности конструкции из УУКМ, находящейся под воздействием высокотемпературного газового потока. Здесь проведено построение модели рассматриваемой части конструкции и проанализированы полученные в ходе вычислительного эксперимента результаты.

Рис.9. Образование шероховатости за счет более быстрого уноса матрицы

Определение изменения уровня шероховатости поверхности по времени необходимо для правильного расчета уноса, так как коэффициент тепломассообмена для шероховатой поверхности может быть в 2,7-3 раза выше, чем для гладкой. Представленная на рис.9 модель УУКМ показывает, что разность скоростей уноса матрицы и наполнителя на периодической структуре КМ приводит к образованию шероховатости поверхности.

Решение задачи моделирования шероховатости даст возможность рассматривать влияние на величину уноса и размер шероховатости доли содержания матрицы в УУКМ, технологии производства и характеристик исходных материалов.

В качестве основных в работе рассматривались узлы конструкций сопловых блоков жидкостных и твердотопливных ракетных двигателей. Для последних расчеты проводились для начальных моментов времени работы двигателя, когда реализуется кинетический режим окисления углерода.

Из многообразия структур УУКМ при рассмотрении двумерной (осе-симметричной) задачи возможно проводить моделирование только однонаправленных структур. Для адекватности двумерной модели необходимо, чтобы структура материала была полностью однородной по третьей координатной оси. Поэтому рассматриваемое сечение одномерной структуры должно

г

г

быть расположено перпендикулярно направлению волокон. Возможные для расчета в осесимметричной задаче модели Ш струетур приведены на рис. 10.

В этом случае параметр шероховатости £ является характеристикой материала, так как представляет собой расстояние между жгутами волокон йг (рис. 10), а задачей математического моделирования является определение параметра к.

г

Рис. 10. Возможные двумерные модели композиционных материалов. 1 - для прямоугольной Ш структуры; 2 - для гексагональной Ш структуры

При построении моделей периодических структур, оптимальных для температурного расчета, базовыми являются минимальные элементы, которые не содержат симметричных частей. Такие элементы для однонаправленных структур показаны на рис. 11.

1 2

Рис. 11. Базовые минимальные элементы Ш структур: 1 - прямоугольная Ш;

2 - гексагональная Ш В данной работе для решения задачи моделирования развития шероховатости выбрана однонаправленная прямоугольная структура, хотя возможно проведение моделирования и для гексагональной структуры.

Постановка задачи аналогична постановке квазиодномерной задачи с подвижной границей (см.рис.2). Граница ^ начинает движение в радиальном направлении внутрь тела со скоростью и(Т„).

Из базового минимального элемента для КМ прямоугольной 10 структуры (рис. 11) построена модель для температурного расчета и определения величины шероховатости, показанная на рис. 12.

Модель представляет собой кольцо полого цилиндра и состоит из двух областей. Первая, внутренняя, которая покрывается мелкой сеткой конечных элементов, - область, где может происходить движение границы. Исходя из диаметра жгута 0,5 мм, толщина этой области составляет 1 мм. Ширина модели ¿1=0,25 мм.

а) Ь) с)

Рис. 12. Модель для расчета развития шероховатости: а) полная модель (изображено 7 первых блоков); Ъ) область с подвижной границей; с) перестроение

сетки

Вторая, внешняя область, представляет собой многократное повторение блока нижней области. Разбиение и границы её неизменяемые, и используется она для обеспечения емкости для подводимого тепла не меньшей, чем у моделируемой конструкции. Эта область вспомогательная, поэтому разбиение её делается крупными элементами. В проведенном расчете эта область была составлена из 20 блоков, н ее толщина равнялась 20 мм. Таким образом, суммарная толщина стенки моделируемой конструкции составляла 21 мм.

Рис. 13. Изотермы температурного поля в различные моменты времени

Проведен вычислительный эксперимент, и получены результаты для температурных полей и шероховатости в соплах ракетных двигателей для средних, больших и малых скоростей уноса. Результаты для средних скоростей уноса (и~0,15 мм/с) представлены на рис. 13,14.

В пятой главе в качестве примера реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты расчетов теплового состояния сложной составной конструкции - гироблока.

зо

25

— / У

/ /

у /

/ _ ч/ V /

! у

2 3 4

Время!, с

Рис. 14. Изменение величины шероховатости к по времени

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена новая методика для решения методом конечных элементов двумерных задач теплопроводности с подвижной границей, в основе которой лежит комбинация из следующих трех методов: 1) метода конечных элементов, 2) метода Делоне, 3) равномерного распределения узлов при перегенерации сетки.

Преимуществом данной методики является возможность проводить расчеты в составных областях сложной формы и при произвольном характере движения границы. Генерация сетки в сложных областях выполняется полностью автоматически без необходимости вмешательства расчетчика, что позволяет использовать данную методику при разработке универсальных коммерческих программ для решения задач с подвижной границей.

2. На основе предложенной методики, разработанных математических моделей и алгоритмов создана программа для численного решения двумерной нелинейной задачи теплопроводности с подвижными границами

3. Проведено тестирование программы на аналитических решениях, что подтвердило достоверность получаемых результатов. При этом были рассмотрены, систематизированы и устранены различные погрешности метода конечных элементов, возникающие при решения. Проведен анализ погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непре-

рывности тепловых потоков на границах элементов. Определены рекомендации по оптимальному выбору шага по времени, размеров элементов и характера сеточного разбиения, применение которых позволило повысить точность результатов расчетов.

4. Предложена методика и математическая модель для определения температурных полей в однонаправленных КМ на уровне структуры матрнца-наполнигель и параметров процесса развитая шероховатости на поверхности конструкций из УУКМ при интенсивном тепловом нагружении.

5. Проведен вычислительный эксперимент, и получены результаты для трмттррятурннх полей н шероховатости в соплах ракетных гоигятепей для широкого класса скоростей уноса.

6. Для демонстрации возможностей разработанных алгоритмов и программы в первом приближении построена математическая модель гироскопа, представляющего собой сложную составную конструкцию. Проведен вычислительный эксперимент, в рамках которого выполнен анализ теплового состояния прибора.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. С.ДПанин, А.В.Астрахов, М.В.Мурашов. Особенности решения осесимметричной нелинейной нестационарной задачи теплопроводности с подвижной границей методом конечных элементов // Известия вузов. Машиностроение. - 2003. -№6. - С. 9-16.

2. М.В.Мурашов, А.В.Науменко, А.И.Сапожников. Применение метода конечных элементов для исследования теплового состояния гиробдока // Известия вузов. Машиностроение. - 2004. - №1. - С. 3-10.

3. М.В.Мурашов. Численное моделирование теплообмена в конструкциях переменной геометрии // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках. Сборник научных трудов XV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И.Леошъева. - М, 2005. - Т.2. - С.315-318.

Подписано к печати 05.07.05. Зак. 209. Объем 1.0 н.л. Тир. 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана

1

í

I

!

í

ь-

s

i

i

i

í

I

í

í

t f

t

f *

I

t

í

i >

05-1 зв 0 í

РНБ Русский фонд

2006^4 9293

i

<

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

2. АНАЛИЗ ПРОЦЕДУРЫ МКЭ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ БЕЗ ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЫ.

2.1. Решение тестовой задачи теплопроводности.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Базовая процедура метода конечных элементов для осесимметричной задачи теплопроводности.

2.2. Результаты тестирования линейной задачи и выявленные погрешности.

2.3. Тестирование нелинейной задачи.

3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

3.1. Анализ численного решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей.

3.1.1. Алгоритм решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей.

3.1.2. Тестирование численного решения одномерной задачи.

3.2. Алгоритмическая реализация движения границы.

3.3. Генератор сетки.

3.3.1. Метод Делоне.

3.3.2. Методика генерации узлов в расчетной области.

3.3.3. Изменения процедур МКЭ, необходимые для расчета в областях произвольной геометрии.

-3стр.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ В КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ.

4.1. Свойства углерод-углеродных композиционных материалов.

4.2. Модели композиционных материалов.

4.3. Возникновение и развитие шероховатости в тракте соплового блока.

4.3.1. Постановка задачи моделирования развития шероховатости.

4.3.2. Результаты вычислительного эксперимента.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ.

5.1. Анализ теплового состояния гироблока.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

В связи с развитием современной техники предъявляются все более высокие требования к работоспособности углерод-углеродных композиционных материалов (УУКМ) в условиях обтекания высокотемпературными потоками газа. При окислении углерода кислородсодержащими газовыми компонентами происходит абляция, или унос, УУКМ. При этом область, занимаемая конструкцией из УУКМ, деформируется. Это значительно затрудняет проектирование и моделирование таких конструкций. Описанные тепловые процессы имеют место в таких классах авиационно-космической техники, как ракетные двигатели твердого топлива (РДТТ), многоразовые транспортные космические системы, возвращаемые модули космических аппаратов, и других.

Математическое моделирование температурного состояния конструкций изменяющейся формы из аблирующих композиционных материалов (КМ) позволяет не только предсказывать поведение конструкции в тех или иных условиях, но и открывает широкие возможности для новых конструкторско-технологических решений.

В частности, факт наличия широкого диапазона варьирования технологических параметров при производстве конструкций из КМ позволяет по результатам математического моделирования проводить оптимизацию технологии производства конкретной конструкции. Такой подход возможен только при построении модели, учитывающей структуру композиционного материала. Указанное требование обусловлено значительной зависимостью свойств КМ от параметров создаваемой из него конструкции.

Ограниченность подходов для математического моделирования поведения композиционных материалов в экстремальных условиях работы является одним из основных препятствий к дальнейшему совершенствованию аэрокосмической техники.

Кроме того, в связи с постоянным повышением уровня температур и тепловых потоков на первый план выходит задача повышения точности результатов математического моделирования.

В настоящее время новые возможности для численного моделирования сложных теплофизических процессов открываются благодаря постоянному развитию вычислительных средств.

Актуальность проблемы.

Разработка более совершенных методов математического моделирования сложных процессов разрушения конструкций из КМ под воздействием высоких температур является актуальной проблемой. При этом существенное значение имеет построение и исследование моделей с учетом структуры и технологических свойств КМ, что значительно расширяет перспективы создания и применения аблирующих КМ.

Не менее важным вопросом является создание современных компьютерных программ и алгоритмов для решения задач теплопроводности с подвижными границами, дающих новые возможности в проведении научных и прикладных расчетов. .

Диссертация выполнена в МГТУ им.Н.Э.Баумана на кафедре «Космические аппараты и ракеты-носители» (СМ-1).

Обзор состояния проблемы.

Методы решения задач теплопроводности подразделяются на аналитические и численные.

Аналитическим методам решения задач теплопроводности посвящены работы А.В.Лыкова [1], Х.С.Карслоу и Д.К.Егера [2], Э.М.Карташова [3], В.С.Зарубина [4] и других.

В настоящее время основные достижения в теоретических исследованиях связаны с использованием мощных вычислительных средств (компьютера и численных методов), тогда как аналитические методы прикладной математики носят вспомогательный характер [5].

Лидирующее положение среди численных методов в приложении к решению задач теплопроводности занимает метод конечных элементов (МКЭ).

Базовая процедура метода конечных элементов в вариационной формулировке описана в работах О.С.Зенкевича [6], Л.Дж.Сегерлинда [7], Д.Норри и Ж. де Фриза [8], Р.Галлагера [9], Г.Стренга и Дж.Фикса [10] и других [11-14]. Для решения нестационарных задач целесообразно применение метода конечных элементов в форме метода Бубнова-Галеркина [6,11,15-17].

Рассмотрению погрешностей, возникающих при решении задач теплопроводности методом конечных элементов, посвящены работы С.Патанкара [18], С.Э.Уманского [19], Г.Н.Кувыркина [20], В.С.Зарубина [21], В.Е.Трощиева и Р.М.Шагалиева [22], Дж.Майерса [23], Р.Ялманчили и С.Чжу [24] и других. Следует отметить, что в литературе погрешности описаны не полностью. Кроме того, отсутствует систематизация знаний о погрешностях.

Наиболее мощными и универсальными зарубежными пакетами прикладных программ для проведения конечно-элементного расчета температурных полей являются ANSYS и MSC/NASTRAN.

Методы решения одномерных нестационарных задач теплопроводности с подвижными границами предложены в работах Э.М.Карташова [3], В.С.Зарубина и Г.Н.Кувыркина [25], Ю.И.Димитриенко [26], Р.Е.Хогана, Б.Ф.Блэквелла и Р.Дж.Кочрена [27], А.М.Липанова и А.В.Алиева [28], И.К.Чена и Ф.С.Милоса [29] и других.

Существует достаточно много работ в области решения методом конечных элементов двумерных задач теплопроводности с подвижной границей. Ранее была предложена работа, в которой для проведения вычислений использовались фиксированные расчетные сетки [30]. Этому методу свойственна невысокая точность определения температуры на подвижной границе.

Другой подход основан на использовании сеток, трансформируемых в ходе расчета. В частности, в работе [31] узлы перемещаются по наперед заданным траекториям, что значительно сужает круг решаемых задач. В работе

32] для нахождения новых координат узлов сетки решается вспомогательная задача теории упругости. В этом случае возможно появление вырожденных элементов.

В работе [33] используется метод, когда рассматриваемая область заранее вручную разбивается на криволинейные четырехугольники-подобласти, внутри которых проводится автоматическая генерация сетки. Для этого применяется генератор [34], использующий отображение криволинейной области в квадрат, разбивку на четырехугольные конечные элементы и обратное отображение в криволинейную область. Такой генератор сетки требует равенства числа узлов на противоположных сторонах подобласти, что приводит к значительной разнице размеров элементов в разбиении, то есть к снижению качества сетки. В случае существенной разницы в скоростях разрушения материалов возможно появление вырожденных (с нулевой площадью или с самопересечением) конечных элементов на стыках материалов.

Последняя проблема решается в работе [35] применением несогласованных сеток. Рассматриваемая область разделяется на зоны, соответствующие различным материалам, и разрыв подвижной границы интерпретируется как смещение зон относительно друг друга. Для генерации сетки также используется метод отображения в квадратную подобласть в криволинейных координатах. Использование такого генератора при смещении зон приводит к появлению фиктивных узлов и построению несогласованной сетки. Поэтому далее применяется специальная процедура исключения фиктивных узлов из конечно-элементной модели.

Наиболее универсальная методика, изложенная в последней работе, имеет следующие недостатки: а) необходимость первоначального ручного разбиения области расчета на подобласти достаточно простой формы, что снижает уровень автоматизации процесса генерации и поэтому не позволяет решать задачи с произвольным изменением подвижной границы; б) разрыв границы может происходить только по заранее определенной линии соединения подобластей; в) при генерации сетки существует ограничение на равное число узлов на противоположных сторонах подобласти, приводящее к большой неравномерности сетки.

Все эти недостатки обусловлены применением для построения сетки метода преобразования координат.

Следует отметить, что возможность решения задач теплопроводности с подвижной границей при расчете абляции имеют очень немногие зарубежные программные комплексы, такие как SINDA, SAMCEF. Главным недостатком этих программ является одномерная постановка задачи. Кроме того, существует множество других ограничений (на число узлов, на модель абляции и т.п.).

В рамках оговоренных выше отечественных работ по решению двумерной задачи теплопроводности с подвижной границей были созданы исследовательские программы [33,35], применить которые, как правило, можно лишь для узкого круга задач. Универсальных коммерческих пакетов программ для решения двумерных задач с подвижной границей нет. Отсутствие эффективной методики перегенерации сетки в произвольной области является основной проблемой на пути создания таких программ.

С начала 1990-х годов значительное развитие вычислительной техники обусловило появление более эффективных и универсальных геометрических методов построения сеток.

В нашей стране выпущено большое количество литературы на эту тему [36-40]. Достаточно полный обзор зарубежной литературы по методам генерации сеток можно найти в [41]. Для решения МКЭ модель наиболее часто разбивают на треугольные или четырехугольные конечные элементы. Эти два подхода являются практически равнозначными, однако генерация высококачественной четырехугольной сетки в произвольной области является задачей, значительно более трудной, чем триангуляция (построение треугольной сетки). Поэтому в данной работе рассматриваются только методы триангуляции.

Здесь мы рассмотрим существующие методы с точки зрения эффективности применения для решения двумерных задач с подвижными границами.

Методы триангуляции плоской области можно разделить на четыре подгруппы:

1. На основе «метода продвигающегося фронта»;

2. На основе метода Делоне;

3. На основе методов машинной графики для триангуляции многоугольника;

4. Различные авторские методы.

Рассмотрим каждую группу, определяя достоинства и недостатки методов.

1. На основе «метода продвигающегося фронта» [42-44].

Впервые предложен С.ХЛо в 1985 году. В работе [43] метод расширен до трехмерного варианта и получил свое название «метод продвигающегося фронта».

Основным достоинством является то, что методы этой группы дают наиболее качественную из всех рассмотренных групп сетку, главным образом состоящую из равносторонних элементов [45]. Недостатками являются: a) метод требует больше процессорного времени для построения триангуляции, чем метод Делоне [45]; b) необходимость создания вручную фоновой сетки как основы для выбора параметров преобразования координат для генерации треугольника [46] или введения сложной системы правил формирования треугольников [44].

2. На основе метода Делоне [36,37,47-49].

База для создания метода была положена советским математиком Б.Н.Делоне в 1934 году [47], однако эффективные алгоритмы появились только в начале 1980-х годов с работами Бауера, Д.Ф.Вотсона, и Ф.Хёмелайна [48,49]. За два последних десятилетия триангуляция Делоне получила очень широкое распространение. Метод позволяет полностью автоматически получать сетки приемлемого качества в сложных областях. В данной работе использован именно этот метод, который подробно обсуждается во второй главе.

3. На основе методов машинной графики для триангуляции многоугольника [36,38,39].

В этих методах соединением граничных узлов получают минимальное количество треугольников [36,38]. Если требуется более мелкая сетка, то полученные треугольники делятся на равные части [39]. Недостатками являются большое различие в габаритах и сильная вытянутость получаемых треугольных элементов.

4. Метод [40], предложенный Ю.В.Шехтманом в 1977г., представляет собой комбинацию «метода продвигающегося фронта» и метода Делоне, но при этом не избавляется от всех недостатков первого.

Таким образом, существующие методы (кроме метода Делоне) или требуют вмешательства расчетчика в процесс генерации, или дают некачественную сетку.

Рассматривая поверхность конструкции на уровне структуры композиционного материала и решая двумерную задачу теплопроводности с подвижной границей, можно проводить моделирование развития шероховатости поверхности.

В данной работе при решении задачи моделирования развития шероховатости в качестве базовых рассматривались конструкции соплового блока РДТТ и насадка соплового блока жидкостного ракетного двигателя (ЖРД). При этом разработанная методика может применяться и для других конструкций из УУКМ, разрушающихся под воздействием химически агрессивных сред.

После изготовления поверхность тракта соплового блока является гладкой. В начале работы поверхность под воздействием высокотемпературного химически активного двухфазного потока становится шероховатой.

Работы по оценке влияния шероховатой поверхности на коэффициент тепломассообмена — при внешнем обтекании были проведены

А.ГЪМельниковым, Ю.В.Полежаевым и другими [50,51]. Показано, что коэффициент тепломассообмена для шероховатой поверхности может быть в 2,7-3 раза выше, чем для гладкой [52].

Вопрос получения более точных данных по шероховатости становится особенно актуальным с переходом РДТТ на топлива с температурой сгорания более 4000К и увеличением давления в камере сгорания. Увеличение давления приводит к уменьшению толщины пограничного слоя и, следовательно, к увеличению сил трения на стенке, и повышению механического воздействия на элементы шероховатости. Полученные математическим моделированием значения уровня шероховатости, образующейся «химическим» путем, могут быть использованы для коррекции расчетных уровней механического воздействия газового потока.

Решая поставленную задачу, можно рассматривать влияние на величину уноса и размер шероховатости доли содержания матрицы в УУКМ, технологии производства и характеристик исходных материалов.

Для проведения моделирования развития шероховатости необходимо построение модели конструкции с учетом структуры материала матрица-наполнитель, а также определение параметров процесса разрушения. Построению моделей КМ с учетом их структуры посвящены работы Ю.И.Димитриенко [26], Ю.М.Тарнопольского, И.Г.Жигуна и В.А.Полякова [53], Д.Б.Малько [54] и других. В этих работах описаны основные подходы к моделированию структуры КМ и даются модели для решения некоторых задач. Практически со времени появления КМ ведутся исследования процессов их разрушения под воздействием высоких температур. Основные результаты этих исследований приводятся в работе [55].

Цель работы. В соответствии с изложенным выше, целью настоящей диссертационной работы является разработка методики математического моделирования температурных полей в составных конструкциях изменяющейся формы из КМ на уровне структуры матрица-наполнитель.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Разработка методики, математических моделей и алгоритмов для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в составных областях изменяющейся формы.

2. Постановка и решение задачи определения температурных полей в структуре КМ матрица-наполнитель и параметров процесса возникновения и развития шероховатости поверхности конструкции.

3. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов программы для решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования ЕГпервой главе сформулирована общая постановка двумерной нестационарной задачи теплопроводности с подвижной границей.

Во второй главе приведена постановка тестовой двумерной задачи теплопроводности без подвижной границы, рассмотрена стандартная конечноэлементная методика ее решения, тестированием на аналитических решениях выявлены и проанализированы погрешности МКЭ, определены пути снижения и устранения погрешностей.

В этой же главе приведены результаты тестирования разработанной программы при решении нелинейной задачи теплопроводности.

В третьей главе рассмотрена алгоритмическая реализация предлагаемой методики решения задач теплопроводности в областях изменяющейся формы.

Здесь приведены результаты проверки точности численного решения одномерной задачи теплопроводности с подвижной границей, рассмотрены особенности применения метода Делоне к решению двумерных задач с подвижными границами, разработаны алгоритмы равномерного расположения узлов и движения границы в сложных областях.

В четвертой главе проводится рассмотрение моделей и свойств современных и перспективных углеродных композиционных материалов, определен круг задач, в которых возможно проведение расчетов температурного состояния решением двумерной задачи теплопроводности с учетом структуры КМ.

В данной главе также сформулирована постановка задачи моделирования возникновения и развития шероховатости на поверхности конструкции из УУКМ, находящейся под воздействием высокотемпературного газового потока. Здесь проведено построение модели рассматриваемой части конструкции и проанализированы полученные в ходе вычислительного эксперимента результаты.

В пятой главе в качестве примера реализации разработанных методов, алгоритмов и программ представлены результаты расчетов теплового состояния сложной составной конструкции — гироблока.

Научную новизну диссертационной работы составляют разработанные и полученные:

- методика и алгоритмы решения двумерных задач теплопроводности в сложных составных областях изменяющейся формы, учитывающие произвольную форму области и произвольный характер движения границы;

- постановка задачи, модель и алгоритмы для определения температурных полей в КМ на уровне структуры матрица-наполнитель и параметров процесса развития шероховатости поверхности конструкций из углеграфитовых композиционных материалов, обтекаемых высокотемпературным газовым потоком;

- результаты исследования погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов, и рекомендации для снижения уровня этой погрешности.

Практическая ценность.

Применение предложенной методики и разработанной программы определения с учетом шероховатости температурных полей в структуре материала матрица-наполнитель позволяет получать более точные результаты, являющиеся исходными для расчета напряженно-деформированного состояния конструкции.

Получаемая по разработанной программе зависимость величины высоты бугорков шероховатости от времени может быть использована для более корректной оценки напряжения трения на поверхности конструкций из УУКМ.

Применение методики определения температурных полей позволяет проводить более глубокий анализ процессов в структуре композиционных материалов.

Разработанные методика и алгоритмы решения двумерной задачи с подвижной границей дают возможность создания автоматизированной программы для использования в инженерной практике, что позволяет значительно расширить круг решаемых задач с подвижными границами.

Обоснованность и достоверность результатов, представленных в диссертации, основана:

1) на строгости математического построения описанных моделей исследуемых теплофизических процессов;

2) на проведенном тестировании разработанных алгоритмов и программ на аналитических решениях известных тестовых задач;

3) на сравнении полученных результатов расчетов с данными других авторов.

Апробация работы. Материалы настоящей диссертационной работы докладывались на студенческой научной конференции «Студенческая научная весна — 2001» МГТУ им.НЗ.Баумана, Москва, 2001 г.; Второй международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные проблемы», Москва, 2003г.; семинарах кафедры «Космические аппараты и ракеты-носители» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2003-2004 гг.; семинаре кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2004 г.; семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им.Н.Э.Баумана, Москва, 2005 г.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена новая методика для решения методом конечных элементов двумерных задач теплопроводности с подвижной границей, в основе которой лежит комбинация из следующих трех методов: 1) метода конечных элементов, 2) метода Делоне, 3) равномерного распределения узлов при перегенерации сетки.

Преимуществом данной методики является возможность проводить расчеты в составных областях сложной формы и при произвольном характере движения границы. Генерация сетки в сложных областях выполняется полностью автоматически без необходимости вмешательства расчетчика, что позволяет использовать данную методику при разработке универсальных коммерческих программ для решения задач с подвижной границей.

2. На основе предложенной методики, разработанных математических моделей и алгоритмов создана программа для численного решения двумерной нелинейной задачи теплопроводности с подвижными границами.

3. Проведено тестирование программы на аналитических решениях, что подтвердило достоверность получаемых результатов. При этом были рассмотрены, систематизированы и устранены различные погрешности метода конечных элементов, возникающие при решении. Проведен анализ погрешности МКЭ для задач теплопроводности, обусловленной отсутствием непрерывности тепловых потоков на границах элементов. Определены рекомендации по оптимальному выбору шага по времени, размеров элементов и характера сеточного разбиения, применение которых позволило повысить точность результатов расчетов.

4. Предложена методика и математическая модель для определения температурных полей в однонаправленных КМ на уровне структуры матрица-наполнитель и параметров процесса развития шероховатости на поверхности конструкций из УУКМ при интенсивном тепловом нагружении.

5. Проведен вычислительный эксперимент и получены результаты для температурных полей и шероховатости в соплах ракетных двигателей для широкого класса скоростей уноса.

6. Для демонстрации возможностей разработанных алгоритмов и программы в первом приближении построена математическая модель гироскопа, представляющего собой сложную составную конструкцию. Проведен вычислительный эксперимент, в рамках которого выполнен анализ теплового состояния прибора.

-110

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 599 с.

2. Карслоу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964.-488 с.

3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 2001. — 549 с.

4. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 541 с.

7. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.-392 с.

8. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.-304 с.

9. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

10. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977.-349 с.

11. Rao S.S. The finite element method in engineering. — Pergamon Press, 1982. — 625 p.

12. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986.-318 с.

13. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. — М.: Недра, 1974. — 239 с.

14. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. — М.: Мир, 1989.-190 с.

15. Власова E.A., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. — 700 с.

16. Станкевич И.В. Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики: Дис. докт. техн. наук. — М., 2001. — 359 с.

17. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993. — 360 с.

18. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 150 с.

19. Уманский С.Э. Оптимизация приближенных методов решения краевых задач механики. — Киев: Наукова думка, 1983. — 168 с.

20. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтенсивном нагружении. — М.: Изд-во МГТУ им. Н-Э.Баумана, 1993.-142 с.

21. Зарубин B.C. Математическое моделирование процессов теплопроводности в неоднородных телах сложной формы // Труды МВТУ. 1988. - №512. - С. 35-52.

22. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных разностей и конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Численные методы механики сплошной среды. — 1984. -Т.15, № 4. — С.131-157.

23. Майерс Дж. Критическая величина шага по времени, используемая при решении двумерных нестационарных задач теплопроводности методом конечных элементов // Труды амер. общ. инж.-мех. Теплопередача. — 1978. Т.100, №1. - С. 130-139.

24. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Термопрочность конструкции ракетного двигателя твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1985. — 200 с.

25. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. — М.: Машиностроение, 1997. — 368 с.

26. Hogan R.E., Blackwell B.F., Cochran RJ. Numerical solution of two-dimensional ablation problems using the finite control volume method with unstructured grids // AIAA Paper. 1994. - № 2085. - 10 p.

27. Липанов A.M., Алиев A.B. Проектирование ракетных двигателей твердого топлива. — М.: Машиностроение, 1995. — 400 с.

28. Chen Y.-K., Milos F.S. Ablation and thermal response program for spacecraft heatshield analysis // AIAA Paper. 1998. - № 273. - 14 p.

29. Chin J.H. Finite element analysis for conduction and ablation moving boundary // AIAA Paper. 1980. - №1488. - 8 p.

30. Hogge M., Gerrekens P. Two-dimensional deforming finite element methods for surface ablation // AIAA Paper. 1983. - №1555. - 9 p.

31. Кувыркин Г.Н., Шаров C.M. Решение двумерных задач теплопроводности с подвижной внешней границей методом конечных элементов // Известия вузов. Машиностроение. — 1985. — №7. — С.52-56.

32. Головин Н.Н., Кувыркин Г.Н., Цицин А.Г. Численное решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности для анизотропного тела переменного объема // Проблемы прочности. — 1988. — №12. — С.105-108.

33. Zienkiewicz О.С., Phillips D.V. An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by "isoparametric" coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng. 1971. - V.3, №4. - P.519-528.

34. Филатов А.Я. Разработка варианта МКЭ с использованием несогласованных сеток для решения задач теплопроводности в составныхтелах с подвижными границами: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М., 1991. — 123 с.

35. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. — М.: Бином, 1997. 302 с.

36. Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. Начала компьютерной графики.- М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.

37. Михашпок М.В. Математическое моделирование. Вычислительная геометрия. — М.: Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 2001. — 68 с.

38. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики.- СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 560 с.

39. Шехтман Ю.В. Автоматическое разбиение плоской области на треугольные элементы // Труды ЦИАМ. — 1978. — №790. — 6 с.

40. Sullivan J.M., Charron G., Paulsen K.D. A three-dimensional mesh generator for arbitrary multiple material domains // Finite Elements in Analysis and Design. 1997. - V.25. - P.219-241.

41. Lo S.H. A new mesh generation scheme for arbitrary planar domains // Int. J. Numer. Methods Eng. 1985. - V.21. - P.1403-1426.

42. Lohner R., Parikh P. Generation of three dimensional unstructured grids by the advancing front method // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1988. - V.8. -P.l 135-1149.

43. Schoberl J. NETGEN. An advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules // Comput. Visual. Sci. 1997. - V. 1. - P.41 -52.

44. Liu C.Y., Hwang C.J. A new strategy for unstructured mesh generation // AIAA Paper. 2000. - №2249. - 11 p.

45. Brebbia C.A., Aliabadi M.H. Adaptive Finite and Boundary Element Methods.- London: Elsevier Applied Science, 1993. 319 pp.

46. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН. 1934. - №4. -С.793-800.-11448. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay tessellation with applications to Voronoi polytopes // Comput. J. — 1981. — V.24. — P. 167-172.

47. Hermeline F. Une methode automatique de mailage en dimension n. // Thesis lect. Universite Paris. 1980. - №6. - 28 p.

48. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. — М.: Энергия, 1976. — 391 с.

49. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Рудько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. — М.: Машиностроение, 1976. — 224 с.

50. Белов Г.В., Ерохин Б.Т., Киреев В.П. Композиционные материалы в двигателях летательных аппаратов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998.-344 с.

51. Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы. — М.: Машиностроение, 1987.-225 с.

52. Малько Д.Б. Способы совершенствования технологии объемно-армированных углерод-углеродных композиционных материалов: Автореф. дис. канд. техн. наук. М., 2000. - 31 с.

53. Шишков А.А., Панин С.Д., Румянцев Б.В. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого топлива: Справочник. — М.: Машиностроение, 1988. -240 с.

54. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). СПб.: Лань, 2003. — 832 с.

55. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. — 296 с.

56. Волков В.И., Каданер Я.С. Расчет осесимметричного температурного поля методом конечных элементов // Труды ЦИАМ. — 1982. — №1022.- 14 с.

57. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, Гл.ред.физ.-матлит., 1987. — 600 с.

58. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, Гл.ред.физ.-матлит., 1977. — 456 с.

59. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. — Л.: Машиностроение, 1983. —212 с.

60. Мяченков В.И. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. — М.: Машиностроение, 1989. — 520 с.

61. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса / А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов и др. М.: Факториал, 1998. — 368 с.

62. Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1997. — 683 с.

63. Станкевич И.В. Сходимость метода простых итераций при решении нелинейных стационарных уравнений теплопроводности // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1995. -№3. - С.97-102.

64. George P.L. Improvements on Delaunay-based three-dimensional automatic mesh generator // Finite elements in analysis and design. — 1997. — V.25. -P.297-317.

65. Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Федосеев А.И. Минимизация ширины ленты матрицы в методе конечных элементов. — Серпухов, 1980. 16 с. (Препринт Ин-та физ. выс. энерг., №80-152).

66. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 1973. — 872 с.

67. Термо-, жаростойкие и негорючие волокна / Под ред. А.А. Конкина. — М.: Химия, 1978.-421 с.

68. Углеродные волокна / Под ред. С. Симамуры. М.: Мир, 1987. — 304 с.

69. Бушуев Ю.Г., Персии М.И., Соколов В.А. Углерод-углеродные композиционные материалы: Справочник. — М.: Металлургия, 1994. — 128 с.

70. Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций / Ю.В. Соколкин, A.M. Вотинов, А.А. Ташкинов и др. — М.: Наука: Физматлит, 1996. — 238 с.

71. Композиционные материалы: Справочник / В.В. Васильев, В.Д. Протасов,

72. B.В. Болотин и др. — М.: Машиностроение, 1990. — 512 с.

73. Бояринцев В.И., Звягин Ю.В. Исследование разрушения углеграфитовых материалов при высоких температурах // ТВТ. — 1975. — Т. 13, №5. —1. C.1045-1051.

74. Домбровский JI.A., Баркова Л.Г. Решение двухмерной задачи переноса теплового излучения в анизотропно рассеивающей среде с помощью метода конечных элементов // ТВТ. 1986. - Т.24, №4. - С.762-769.

75. Попов В.М. Теплообмен через соединения на клеях. — М.: Энергия, 1974. -304 с.

76. Гюнтер Б. Форматы данных. — Киев: Торгово-издательское бюро BHV, 1995.-472 с.

77. Климов А.С. Форматы графических файлов. — Киев: НИПФ ДиаСофт, 1995.-480 с.