автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Разработка программных средств и алгоритмов символьно-числового анализа устойчивости динамических систем

Государственный Комитет Российской Федерации по высшему

образованию

Нижегородский государственный университет им. Н. й. ЯооачеьуКОГи

РГ 5■ СП

На правах рукописи

ДОЛГОВ Геннадий Александрович

УДК 681.3,06:681.3.001.12:

518.514.3:531.391.5: 519.6:518.5:531.395

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ И АЛГОРИТМОВ СИМВОЛЬНО-ЧИСЛОВОГО АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.12 - Системы автоматизации проектирования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Нижний Новгород 1995

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского, Научно-исследовательском * институте прикладной математики и кибернетики при ННГУ.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник ^ЯГДГЧубароё"

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор КЕТКОВ Ю. Л. , доктор физико-математических наук САМСОНОВ В. А.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский филиал

института машиноведения РАН имени А.А.Благонравова.

Задита состоится « О О » Н/)Я 1996 г. в /У — часов в ауд. на заседании совета й 063,85.02 при

Нижегородском техническом университете по адресу г.. И- Моёъо/>с<[ , чл. Минина »

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

*

Автореферат разослан С?ч9 ¿<У7 Я 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета ¿(¿.¿ооЛ ИВАНОВ А. П.

' >

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена вопросу разработки средств автоматизации научных исследований для анализа устойчивости математических моделей, автоматизации программирования эадач с гибридными вычислениями, требующих проведения, как численных расчетов, так и преобразования математических формул и применении этих средств и методик при проектировании. Основное внимание в работе уделяется использованию классических результатов теории устойчивости (Раус Э..Гурвиц А..Ляпунов A.M. Долпинз ДЖ. .Матросов В.М. .Неймарк Ю. И., Харитонов Л. В., Джури Э. И. .Поляк Б.Т.) в разработке аналитико-числовых методик автоматизированного исследования устойчивости линеаризованных математических моделей. Наиболее близкие подходы в такой постановке задачи можно найти у Иртегова В. Д., Бурлаковой Л. А., Чубарова М. А., Кульветис Г. П. .Щуко С. Д. .Почтаренко М. В.

Актуальность темы Внедрение новых информационных технологий во все сферы жизни требует развития средств общения человека с ЭВМ в разных предметных областях на современном уровне. Применение математического аппарата, аналитических преобразований на ЭВМ в сочетания с численными расчетами и проведение совместных гибридных вычислений широко распространено при исследовании динамических систем, решении задач теории устойчивости, автоматизации процессов проектирования механических, электрических и

электро-механических и т.п. устройотв.

Прикладное значение темы работы обусловлено тем, что качественное и полное исследование устойчивости математических моделей технических устройств в значительной мере определяет применимость конструкционных разработок различных агрегатов в машиностроении, промышленности средств связи, самолетостроении и т. п., повышает эффективность процессов проектирования, уменьшает их себестоимость, сокращает временные, технические и "интеллектуальные" затраты при их создании.

Фундаментальное значение темы работы состоит в создании эффективных средств для использования на ЭВМ и автоматизации аналитических, аналитика-числовых методик, распространенных в различных областях математики, физики, механики и приложениях. Цель работы состояла

- в создании эффективных средств общения с ЭВМ и входного языка высокого уровня для проведения аналитических преобразований и гибридных вычислений, ориентированного на исследование динамических систем аналитико-числовыми методами,

- в разработке методики его реализации на средствах вычислительной техники и создании программного обеспечения,

- в разработке аналитико-числовой методики построения областей робастной устойчивости для непрерывных систем,

- в разработке методик и программных средств для полной автоматизации исследования устойчивости и свойств переходных процессов в произвольных линеаризованных системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями,

- ь применении разработанных средств при автоматизации процессов проектирования амортизационных стоек.

Методика исследования Для автоматизации гибридных расчетов реализовано расширение языка Фортран, облегчающее процесс обучения языку. Это достигнуто разработкой препроцессора.

Задача об автоматизации исследования устойчивости линеаризованных математических моделей, при постановке которой использовались классические результаты теории устойчивости, может быть решена с помощью как численных, типа схемы Рауса, так и аналитико-числовых методик. Была разработала специальная аналитико-числовая методика решения этой задачи, свободная от недостатков численной методики (наличия особых случаев, нейнвариантности относительно исходной математической модели,быстрый рост ошибок округления). Она базируется на известных фактах теории устойчивости, свойствах последовательностей полиномиальных остатков СППО).

Была предложена аналитико-числовая методика построения

-з-

области робастной устойчивости динамических систем в непрерывном случае, сводящаяся к нахождению корней некоторого полинома и построению многомерных параллелепипедов в пргкггпансугьй параметра* и покрытии ими искомой области.

В процессе создания всего математического обеспечения соблюдались принципы модульного программирования, открытости систем и единого языка реализации - Фортран.

Научная новизна

1. Разработан язык высокого уровня АНФОР, ориентированный на алгоритмизацию числовых расчетов, аналитических преобразований и совместных численно -аналитических вычислений.

2. Разработана и предложена аналитико-числовая методика анализа устойчивости линеаризованных математических моделей.

3. Разработана и предложена аналитике - числовая методика конструктивного построения областей робастной устойчивости.

4. Разработано и создано алгоритмическое и программное обеспечение, позволявдее автоматизировать исследование устойчивости и свойств переходных процессов в линеаризованных математических моделях. В основу" положена предложенная аналитико-числовая методика. '

Практическая ценность результатов работы определяется возможностью применения разработанного программного обеспечения (разработанных методик и алгоритмов) для поверочных расчетов конструкций, научного исследования динамических систем, процессов обучения студентов и квалифицированных специалистов в -области динамики систем.

Данная разработка освобождает специалиста от необходимости проведения громоздких аналитических преобразований, защищает от возможности ошибки, позволяет использовать более сложные и более адекватные математические модели исследуемых объектов,сокращает затраты на подготовку программы, автоматизирует как поиск областей устойчивости в пространстве параметров модели, так я решение других исследовательских и конструкторских задач.

Созданные языковые средства для анализа устойчивости даст возможность не углубляться в проблемы программирования, а. использовать лишь знания специалиста - • исследователя.

Разработанный язык АНФОР может служить инструментом для реализации различных алгоритмов решения задач математики, физики, механики и других задач с гибридными вычислениями, для создания библиотек программ, хранящих численно-аналитические методы как общего, так и специального назначения. При этом для проведения аналитических преобразований и численно аналитического интерфейса . будут использоваться высокоэффективные средства специализированной CAB, а эффективность численных расчетов • будет сравнима с эффективностью таких расчетов . в . . традиционном языке программирования.Фортране.

Реализация результатов работы Исследование по теме диссертационной работы выполнялись в рамках ряда, научно -исследовательских работ, проводимых в НИИ ПМК при ННГУ в течении 1980 - 1995 годов,, и результаты воплотились в создание <- специализированной CAB АЛГЕБР А ¡-0.5, пакета прикладных программ УСТОЙЧИВОСТЬ"!, • 'разработку специализированного препроцессора с языка для анализа устойчивости линеаризованных математических моделей и разработку препроцессора с языка-АН40Р.

С помошы)' разработанных средств проводился анализ устойчивости и свойств переходных процессов в разных математических моделях, описывающих реальные технические устройства. Результаты исследования устойчивости устройств при . автоколебаниях типа шимми использовались при выборе 'схемы, конструкции и их параметров в. амортизационных стойках. Часть исследований в области теории устойчивости, динамики систем л в других задачах приводятся в данной, работе.

CAB ' АЛГЕБРА-0.5, ППП УСТОЙЧИВОСТЬ-! внедрены в ряде организаций. На их основе была разработана АСНИ МАУС, развитие которой закреплено в сданных Государственной комиссии рабочих проектах АСНИ С АБСТРАКЦИЯ-!, АБСТРАКЦИЯМ).. Она использовалась

-5в учебной работе и отмечена бронзовой медалью ВДНХ в 1980 г.

На зааиту выносятся

аналитика-числовая методика анализа устойчивости линеаризованных математических моделей, свободная от недостатков схемы Рауса,

- методика конструктивного построения областей робастности для динамических систем в непрерывном случае,

- разработанный язык АНФОР, являющийся расширением Фортрана и предназначенный для эффективной алгоритмизации смешанных числовых и аналитических вычислений,

- системные и программные решения, принятые при разработке математического обеспечения, и реализация языка АНФОР и сопутствующих программных систем.

Апробация работы Основные результаты работы доложены на 4 зональных (Горький 1979, Горький 1980, Ижевск 1981, Вильнюс 1984), на 13 Всесоюзных СГорький 1978, Новосибирск 1981, Протвино 1983, Москва 1983, Таллин 1983, Горький 1984, Горький 1987, Горький 1988, Киев 1588, Ленинград 1989, Вильнюс 1990, Горький 1990, Севастополь 1991), на 3 Международных СДубна 1985, Дубна 1990, Переславль-Залесский 1995) конференциях.

Разработанные средства внедрены в ПО Гидромаш (Горький), Ир ВЦ СО АН СССР (Иркутск), ФТИНГ АН УССР (Харьков).

~ Публикации результатов исследований Основные материалы опубликованы в 39 печатных работах. В том числе были изданы 2 учебно - методических пособия и зарегистрированы отдельные программы - 1 в Госфонд алгоритмов и программ ,- 2 в ОФАП МАП.

Структура, и обьем диссертации Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы ( 178 наименований). Диссертация изложена на 191 странице машинописного текста, содержит 3 таблицы и 9 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении указывается направление проведенных исследований и разработок, обосновывается актуальность и важность решаемых задач, приводится краткое содержание работы.

/

Первая глава посвяадна описанию разработанного языка АНФОР. В начале раздела проводится обсуждение возможности сочетания числовых расчетов и аналитических преобразований в современных языках программирования и CAB, формулируются различия CAB с фиксированном и свободным форматом задания, их специфические особенности. АНФОР реализуется как расширение Фортрана, которое заключается в следующем:

- введены два новых типа данных: скалярная аналитическая величина CAB) и матричная АВ, которые описываются аналитическими переменными, имеющих два добавочных типа- -буквенный и аналитический; массив может быть массивом АВ;

- введен новый вил данных: аналитические константы или вводимые выражения;

- к логическим н арифметическим выражениям разных типов добавлены аналитические выражения: скалярные и матричные;

- введен новый тип операторов - собственные операторы АНФОРа. Собственные операторы АНФОРа могут находиться-в тексте любого модуля наравне с операторами Фортрана а делятся на три группы:

директивные операторы или директивы, операторы описания, . функциональные операторы.

Директивные операторы позволяют инициализировать и выбрать режим функционирования базовой CAB. Кроме того,- они обеспечивают совместное или раздельное использование базовой и сопровождающих CAB, специализированных подсистем или пакетов прикладных программ. Операторы описания идентифицируют аналитические переменные, соответствующие обрабатываемой аналитической информации, функциональные операторы реализуют функциональные возможности языка АНФОР по обработке аналитической информации с использованием базовой CAB. В разделе 1.3 приводится описание следующих собственных операторов АНФОРа: операторов ввода и вывода аналитической информации, операторов описания, аналитический оператор присваивания, оператор инициализации базовой CAB в упрощенно*

виде, библиотечные функции и другие функциональные операторы. Например, операторы описания имеют вид СКАЛЯР <список> , МАТРИЦА <список> , где в списках перечисляются аналитические переменные или массивы аналитических величин с указанием размерности, а операторы ввода-вывода аналитической информации имеет.вид ВВОД <список ввода - вывода>=<группа вводимых значений>, ПЕЧАТЬ < список ввода - вывода> .

Основная часть аналитических преобразований выполняется с использованием аналитических выражений АНФОРа и его библиотечных функций, как числовых, так и аналитических типов. В . левой части аналитического оператора присваивания располагается аналитическая переменная Спростая или с индексом), а в правой части - аналитическое выражение.

Раздел 1.4 содержит сведения о конструкциях АНФОРа, реализующих весь спектр возможностей для аналитических преобразований базовой CAB, подключений других CAB й пакетов прикладных программ СПЛЮ. В программе на АНФОРе должен присутствовать хотя бы один директивный оператор, осуществляющий инициализацию CAB. Директива инициализации. базовой системы АЛГЕБРА имеет вид

СТАРТ - АЛГЕБРА PI ЕР?) , СТАРТ - AISAC-1 Р1 ГР2] iРЗЗ или СТАРТ - ALSAC-2 PI 1Р2] ГР43 , ' где PI, Р2 - параметры инициализации CAB АЛГЕБРА, а РЗ, Р4 обозначают параметры, задающие ■ размеры вспомогательных массивов для функционирования систем SAC-1 и-SAC-2.

Подключение пакета УСТОЙЧИВОСТЬ для анализа линеаризованных моделей осуществляется в АНФОРе группой операторов, которые располагаются Между директивами СТАРТ - УСТОЙЧИВОСТЬ и ФИНИШ -УСТОЙЧИВОСТЬ. Режимы функционирования и параметры расчета, как числовые, так и аналитические, задаются в этой группе операторов и описываются на специализированном языке.

. .-е-; -•■В разделе 1.4 описываются операторы АНФОРа для работы с архивом аналитических величин, задания режимов печати, организации диалога, эффективного перехода к численному счету, работы с матрицами, аналитического решения задач линейкой алгебры. Необходимо подчеркнуть, что в CAB АЛГЕБРА реализовано несколько алгоритмов решения задач линейной алгебры и поиска наибольшего общего делителя полиномов и предусмотрена возможность их выбора в языке АНФОР.

В главе 2 описываются принципы и методы реализации языка АНФОР. Создание нового языка путем расширения уже известного языка программирования имеет определенные преимущества, из которых можно отметить:

-доступность в языке конструкций и средств предшественника, -сохранность разработанного математического обеспечения, -низкие затраты при'создании такого расширения." Новый язык АНФОР позволяет запрограммировать численные, аналитические и гибридные вычисления. Он строится путем расширения стандартного языка программирования Фортран. Все аналитические преобразования и численно - аналитический интерфейс реализуется посредством обращения к базовой CAB, языком реализации которой является Фортран, а другие ! вычисления средствами расширяемого языка.

Трансляция предложений языка АНФОР в операторы вызова программы базовой CAB и другие операторы Фортрана осуществляется с помощью препроцессора, который полностью написан на Фортране. В начале раздела описываются состав системы, состоящей из базовой CAB АЛГЕБРА и препроцессора, и потоки информации между'различными ее частями.

Раздел 2.2 более подробно дает характеристику разработанной CAB и ее организации. В нем приводятся сведения об алгоритмах, реализованных в системе для обработки аналитической информации,на выборе которых сказался выбор канонической формы хранения и требования эффективности этой специализированной системы,рассматривается весь набор

фунхпиональных возможностей.

При разработке препроцессора (раздел 2.3) была реализована идея его синтаксической направленности. Все оператор« 5?энка ЖОР дсг.лтсл на дь« тшга: операторы Фортрана и дополнительные операторы, используемые в этом языке. В процессе работы препроцессора первые из них переносятся в результирующий текст Фортран - программы без изменения, а вторые заменяются соответствующими фрагментами Фортран -программы. Для описания синтаксиса собственных операторов АНФОРа был разработан метаязык - т.н. язык синтаксических формул. Этот язык представляет собой видоизмененный вариант формул Бэкуса. В специальных таблицах собственных операторов хранятся синтаксические формулы всех собственных операторов АНФОРа, каждому присвоен некоторый порядковый номер. Обработка собственного оператора АНФОРа с уже определенным его порядковым номером в таблице синтаксических формул осуществляется специальной программой, которая в соответствии с содержимым таблицы синтаксических формул, таблицы готовых заготовок и текстом исходного оператора формирует фрагмент Фортран - программы, заменяющий исходный текст оператора. Для трансляции аналитических выражений, содержащих гибридные операции, модифицирован алгоритм трансляции арифметических выражений с заданием таблицы ; замены заготовок операций с учетом аналитических или арифметических типов операндов.

В третьей главе рассматриваются вопросы автоматизации расчетов устойчивости математических моделей численно-аналитическими методами. В разделе 3.1 приводятся краткие сведения об известных примерах применения САВ при исследовании устойчивости и возможных случаях их использования.

Существенное упрощение аналитических выкладок и алгоритмов локализации корней полиномов может быть достигнуто при использовании последовательностей полиномиальных остатков С ПГО) Согласно теоремам [6], число корней характеристического полинома /Ос> степени п в правой полуплоскости, можно

-10- -

определить по знакам старших коэффициентов ППО, сформированное для полиномов Р^и Р^, таких, что

^ »С Р^СгУ -^ Р^гУУ, Пусть обойденная ППО СОПЛО) Штурма имеет вид

1-}СР1,Р2)-(Р1,Р2,... , где Р£=коп51 .

■ Если обозначить старший коэффициент полинома, 1-ого элемента ОППО Штурма через с ^ , то доказано!63, что число к корней полинома /Сх) с положительной вещественной частью равно

-К=Сп-в+0/г Мс!7сг,...,ср, где ., ,ср - число перемен знака в ряду с^ ... ,с£.

Этот результат положен в основу аналитико - числовой методики для решения проблемы; Рауса - Гурвица и смежных с ней задач, которая лишена недостатков числовой схемы Рауса.

Другой актуальной является задача построения областей-робастной устойчивости. В непрерывном случае по теореме Харитонова для определения робастности полинома необходимо исследовать угловые полинома Б!,Б2,53,54 на гурвицевость. Введем полиномы р^хр1 ,{3^ € .

РСр^^а^, Ш

такие что РСрЗ - гурвицев и

Тогда можно сформулировать следующее утверждение. ,

Теорема. Если полиномы 0 и Р удовлетворяют С1), то.область, определяемая формулами С2).робастно - устойчива

р^а.п'хсё.-ё^/г , , сг)

где 1\ С) \12шП\У,

а параметры определяются как минимальные по

модулю корни уравнения Дп_^СНр~0 , , СЗ)

где Д^- предпоследний определитель Гурвица, полиномы Н^ и Ь'^ являются параметрическими полиномами Харитонова

^Ср^^V . . С4)

где у^а^Ср^УП/г , 1=0,1,4^,8,9,... у/^С^-е^П/г , 1=2,3,6,7,10,...

, 1=0,3,4,7,8,11,... , 1=1,2,5,6,9,10,...

На основании приведенной теоремы и, учитывая линейность вхождения параметра t в полиномы , можно сформулировать аналитико -числовой алгоритм построения областей робастяости, который сводится к покрытию некоторой односвязяой области многомерными параляелешшедами разного масштаба и задание алгоритма нахождения £*. ■ -

Первый способ определения t*. Аналитически получаем уравнение СЗЭ с помощью CAB. Затем, применяя численные процедуры поиска корней полинома, находим t*.

Второй способ определения t*. В виду линейности полиномов по параметру t можно показать, что, _если обозначить все вещественные корни уравнения С5) через ы+£

P^CaDsGLgtA) С5)

для , P^op^tCZ^xCjXoO1) ) ,

й^ыЗ^х^ьГ , Q^uJ^jitj*«1, к, U [0,п1 , где по к суммирование идет по четным, а по I по нечетным индексам, то справедлива формула , vt .где

В конце главы конкретизируются формулы и методы расчета, основанные на рассмотренной материале, применяемые в специализированном пакете ППП УСТОЙЧИВОСТЬ для автоматизации анализа устойчивости линеаризованных моделей.

Четвертая глава посвяаена результатам применения разработанных средств. В разделе 4.1 ставится задача автоматизации процессов исследования ' устойчивости линеаризованных моделей, описывается аналитико- числовая методика ее решения и кратко реализация этой. методики в ППП УСТОЙЧИВОСТЬ.

Для произвольной линеаризованной модели = описываемой системой дифференциальных уравнений требуется осуществить разбиение' пространства параметров характеристического полинома F- dst БСр,Ю на области с качественно ? одинаковым расположением корней характеристического полинома. В кгчеетт.е таких областей могут быть выбраны:

. -12- области 1Хп-к,Ю с заданным числом Л- корней полинома Г в правой полуплоскости, в частности, область устойчивости (£=£0,

- области с заданным числом и вещественных отрицательных корней полинома Г, С при и=п - область апериодичности^,

- области с. заданным числом п вещественных положительных корней, в частности, при исследовании абсолютной устойчивости, требуется найти область, где п=0 ,

- области с заданным запасом устойчивости.

В ' ППП УСТОЙЧИВОСТЬ входит составной частью специализированная САВ АЛГЕБРА -0.5, посредством обращения к которой реализовано получение аналитических формул из математического описания линеаризованной модели, что придает инвариантность разработанному программному обеспечению относительно возможной замены модели. Расчетные формулы методики базируются на результатах, описанных в третьей главе. В разделе 4.2 приводятся режимы функционирования 1ШП УСТОЙЧИВОСТЬ, выдачи результатов расчета на печать и график. Управление и установка режимов ' функционирования 'возможны на уровне Фортрана, а также на специально разработанном входном языке.Разработанные средства применялись при исследовании устойчивости и условий возникновения колебаний типа шимми в конструкторских разработках при проектировании шасси самолета. Рассматриваются математические модели и результаты расчетов.

В разделе 4.2 приводятся примеры использования САВ АЛГЕБРА.

В ряде случаев необходимо построение функций Ляпунова линейной-системы х=Б*х ,где х - вектор переменных размерности п. "Оно связано с решением матричного уравнения Ляпунова

5Т*у + у* $ = -й, где О - симметричная матрица заданной положительно определенной квадратичной формы х^й х ,а у - неизвестная симметричная матрица. Известны разные алгоритмы решения уравнений такого вида. В одних используется техника преобразований к нормальной Жордановой форме, в других численные процедуры; Для решения этого уравнения с помощью САВ

АЛГЕБРА использовался оригинальный алгоритм, что позволило найти решение в общем случае для я=4 , эквивалентное аналитическому решению системы линейных уравнений с восьми неизвестными. Проведен анал:!2 сффсктявностд решения матричного уравнения Ляпунова с помсаью CAB АЛГЕБРА.

Проблема различения центра или фокуса в динамических системах сводится к вычислению Ляпуновских величин. Для системы с характеристическим уравнением, имеювдам пару чисто мнимых корней и остальные корни с отрицательной действительной частью, она сводится к вычислению ляпуновских величин для некоторой системы'второго порядка, выводимой из исходной. На основе использования CAB АЛГЕБРА с помощью алгоритма, в котором применяются вычисления над полиномиальными матрицами ,бьши получены ляпуновские величины для разных систем, в том числе для систем высокого порядка.

При конструировании графических и полутоновых изображений на 55М возникает проблема интерполяции определенного класса функций. Один из разработанных способов такой интерполяции основывается на гипотезе о свойствах функций, в частности, их непрерывности. Величина области значений параметров а, в которой • локальная однородная восстанавливающая функция -pCyJ непрерывна, суаествена для качественного построения изображений, С помощью CAB АЛГЕБРА на ЭВМ были вычислены Сп=4,5,6,7), т.е. показана зависимость от а области непрерывности рСЮ.

В. заключении подводятся результата проведенной работы.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе обзора состояния современных языковых средств для проведения аналитических выкладок,численных расчетов и их эффективного сочетания мотивируется задача .создания языка высокого уровня для гибридных вычислений и обосновывается методика его реализации ках расширение традиционного языка программирования Фортрана средствами специализированной CAB.

2. Разработан и описан язык алгоритмизации аналитические и

гибридных вычислений - АНФОР, в котором предусмотрены средства для проведения аналитических преобразований с помощью базовой и сопровождающих CAB, численно - аналитического интерфейса и обмена информацией между различными CAB и подключаемыми АЛЛ.

3. Разработана' и описана новая методика конструктивного построения областей робастности для динамических систем в непрерывном случае.

4. Поставлена и решена задача полной автоматизации исследования устойчивости и качества переходных процессов в линеаризованных математических моделях, описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. На основе анализа численных, аналитических методик, применяемых при исследовании устойчивости была разработана численно - аналитическая методика, основанная на свойствах ППО для решения поставленной задачи (п.4), обладающая рядом преимуществ по сравнению с известными.

6. Разработаны новые, модифицированы известные алгоритмы для проведения аналитических преобразований полиномов, полиномиальных матриц и т.п., исследования устойчивости моделей, построения границ областей с качественно - разным расположением корней характеристического полинома. Они обьеденены и реализованы в спроектированных средствах программного ; обеспечения: ■ CAB АЛГЕБРА, ППП УСТОЙЧИВОСТЬ, препроцессор с АНФОРа, специализированного препроцессора с языка алгоритмизации анализа устойчивости.

7 На примере исследования^ устойчивости технических устройств относительно автоколебаний типа шимми показаны преимущества разработанной методики (п.5) и разработанных средств относительно известных ранее подходов. Возможности специализированной CAB АЛГЕБРА подчеркнуты при решении математических задач и задач исследования динамики систем.

8. Разработанные средства подтвердили правильность принятых решений и свои возможности в процессе эксплуатации

- для обучения студентов ННГУ по специальности 01.02,

-15- в качестве составных частей АСНИ МАУС,

- при научных исследованиях динамических систем,

- при исследованиях в областях физики и механики .

лгчтлощл? псат/гсгт*ти лтгсггтшгпплиы о

1.Долгов Г. А..Чубаров М. А. Система АЛГЕБРА-0 для аналитических преобразований алгебраических многочленов и полиномиальных матриц, зависящих от многих переменных// Тез. докл. Всесоюзной конф. по методам трансляции. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. - С. 174-177.

2. Долгов Г. А. ,Макарычева Д. Н. , Чубаров М. А. Пакет АЯГЕБРА-0 для аналитических операций над алгебраическими многочленами и полиномиальными матрицами// Оптимизация и математическое обеспечение САПР. - Горький: Горьк. ун-т, 1982. - С. 15-30.

3.Грошева М.В., Ефимов Г. Б.....Долгов Г. А. и др. Системы

аналитических вычислений на ЭВМ. С Аналитические пакеты прикладных программ ). - М.: ИПМ АН СССР, 1983. - 65с.

4.Долгов Г.А..Сергиевский А.В.,Чубаров М. А. Алгоритмы численно - аналитического исследования устойчивости линеаризованных систем// Труды Междунар. совещ. по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике. - Дубна: ОИЯИ, 1985. - С.166-171.

З.Долгов Г.А.,Сергиевский А.В.,Чубаров М.А. Автоматизация символьно - числовых расчетов при анализе устойчивости линеаризованных моделей// Автоматизация научных исследований: Сб. научн. работ. - Куйбышев: КуАИ, 1987. - С. 72-76.

6, Чубаров М. А. .Долгов Г. А. .Киселева Л. В. .Макарычева Д.Н. , Митина Т.А. Структура автоматизированной, - системк для исследования устойчивости линеаризованных моделей// Пакета прикладных программ. - М.: Наука,1988. - С.38-63.

7. Долгов Г. А. ,Киселева Л. В. .Макарычева Д. Н-.Чубаров М. А. Автоматизированная система МАУС д:.я моделирования и анализа устойчивости// Математическое моделирование я методы оптимизации: Межвуз. тематич. сб. научн.трудов. - Горький: Горьк.ун-т, 1939. - С.75-83.

8.Долгов Г. А. Реализация арифметик целых и рациональных коэффициентов -произвольной точности в пакете АЛГЕБРА// Математическое моделирование и методы оптимизации: Межвуз. тематич. сб. научн. трудов.- Горький: Горьк.ун-т,1989. - С. 93-98.

Э.Васин Ю.Г. .Долгов Г. А. .Малыженков В.И. О непрерывности локальней однородной рекуррентно-рекурсивной восстанавливающей функции// Математическое моделирование и методы оптимизации: Межвуз. сб. научн. трудов. Горький: Горьк.ун-тД989. - С. 122-132.

Ю.Долгов Г.А. .Чубаров М.А. Пакет для анализа устойчивости произвольной линеаризованной модели// Тез.докл. Всес. совед. "Методы компьютерного конструрования моделей классической и небесной механики - 89". - Л.: ЛФ ИМ АН СССР. 1989. - С.46-47.

И.Долгов Т.А. ,Чубаров М. А. Язык АНФОР системы АЛГЕБРА-1// Тез.докл.Всесоюзн. конф. " Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследов. работ". - Вильнюс,1990. - С.64.

15.Dolgov G. A. .Shchuko S.D. Deriving the analyt ical expressions for the Lyapunov Quantités and studing them by computers// Сб. аннотаций докл. на IV-ом междунар. совет, по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях. -Дубна: ОИЯИ, 1990. - С. 69. '

13.Долгов Г. А. .Чубаров М.А. АНФОР - расширение Фортрана для аналитических вычислений: Методическое пособие. - Н. Новгород: ИНГУ, 1990. - 72с.

14.Долгов Г. А. Автоматизированная система анализа устойчивости механических систем при колебаниях типа шимми// Тез.докл.конф. " Применение ЭВМ для решения задач механики ". - Киев,1991. - С. 47.

13. Долгов Г. А..Чубарав М.А. АНФОР-- расширение Фортрана для систем аналитических выкладок с фиксированным форматом// Программирование. 1994. - HI. - С. 16-21.

16.Dolgov G.A. Analyticalo - numerical algorithm of the construction the robust regions// Annotation of the conference "New computer technologies in control systems Pereslavl-Zalesskiy,199S. - P.23-24.

Подл, к печ. Формат 60х?4 Ч\<>- Бумага .

Печать офсетная. Уч.-изд. л. -¿О . Тирах 20 экз. Заказ

Бесплатно. _'_■_____ ' _

Типографий "НГТУ." 603600, Н.Новгорюдг ул.Минина,- 2$.------------------ ~