автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Разработка методов исследования устойчивости электроэнергетических систем на основе теории катастроф

рге од - ^ т »1 <0

На правах рукописи

КУБАРЕВА Татьяна Сергеевна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

Специальность 05.14.02 - "Электрические станции (элеюрическая часть), сети, электроэнергетические системы и управление ими"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва

2000

и * » •

Работа выполнена на кафедре "Электроэнергетические системы " Московского энергетического института (Технического университета).

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук,

профессор В.А.Веников

доктор технических наук, профессор М.Г.Тягунов

Ведущая организация:

кандидат технических наук доцент Ю.В.Шаров

ОАО "Институт Энергосетьпроект", г. Москва

Защита состоится 22 декабря 2000 г. в 16 час. 30 мин. в аудитории Г-200 на заседании диссертационного Совета К 053.16.17 Московского энергетического института (Технического университета) по адресу: г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 17, 2-й этаж, корпус "Г".

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу: 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ. Автореферат разослан" 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К 053.16.17 С^р^—Сыромятников С.Ю.

Ш- П\Г. У, 4} г /Л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные условия управления функционированием электроэнергетических систем (ЭЭС) предъявляют повышенные требования к математическому обеспечению автоматизированной системы управления (АСДУ). Значительное место в общем объеме задач, решаемых в рамках АСДУ, занимают расчеты установившихся режимов (УР), или равновесных состояний ЭЭС.

Важность проблемы устойчивости равновесных состояний, или в общем случае устойчивости движения, в различных областях науки и техники общеизвестна. Большое значение она имеет и для электроэнергетических систем.-Без надежного решения этой проблемы невозможно надежное и качественное снабжение электроэнергией потребителей практически всех отраслей народного хозяйства.

В целом по проблеме устойчивости энергосистем, являющейся составной частью более общей проблемы качества переходных электромеханических процессов в электроэнергетических системах, имеется большое число публикаций как отечественных, так и зарубежных авторов. Это работы Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, С.А. Лебедева, П.С. Жданова, A.A. Горева, И.С. Брука, И.М. Марковича, С.А. Совалова, В.А. Веникова, Л.Г. Мамиконянца, Л.В. Цукерника и многих других. В них заложены теоретические основы проблемы устойчивости энергосистем, получен ряд фундаментальных результатов. В то же время некоторые вопросы еще не нашли удовлетворительного решения и в связи с этим заслуживают более подробного рассмотрения.

Как известно, численные методы решения прикладных инженерных задач устойчивости нелинейных энергосистем пока остаются основными и наиболее точными, хотя и они оказываются малоэффективными в случае необходимости проведения многовариантных расчетов, а так-

же в задачах экспресс - анализа и выбора управляющих воздействий. Это вызвано, прежде всего, частным характером получаемых решений, плохими прогнозными свойствами численных методов и невозможностью выбора управляющих воздействий без проведения серии вариантных расчетов, что требует больших вычислительных затрат. К тому же сходимость и быстрота сходимости численных методов существенно зависят от многих режимных и расчетных факторов. Более того, сходимость существующих численных методов может быть медленной или совсем необеспеченной, особенно при расчетах близких к предельным по статической устойчивости режимов, что особенно важно для электроэнергетических систем, работающих с малыми запасами статической устойчивости.

Другая важная тенденция при исследовании современных ЭЭС заключается в том, что наблюдается переход от чисто расчетного (пассивного) подхода в анализе ЭЭС к синтезу и установлению путей и способов активного влияния на режимы работы энергосистемы. В последние годы проявляется значительный интерес к проблеме устойчивости ЭЭС в свете применения современной теории управления. Однако до настоящего времени общая теория выбора законов управления в нелинейных ЭЭС еще не разработана, хотя вопрос о создании такой теории поставлен.

Таким образом, проблема устойчивости функционирования современных ЭЭС охватывает широкий круг вопросов, связанных с решением задач анализа, синтеза и прогнозирования устойчивости систем.

Вопросы прогнозирования характеристик технических объектов, в том числе электроэнергетических, в настоящее время привлекают все большее внимание специалистов многих отраслей науки и техники, которые используют при решении задач прогнозирования различные научные теории, такие как техническая диагностика, теория подобия, теория планирования эксперимента, основы технических измерений, теория распозна-

вания образов и др. Однако теория прогнозирования состояния технических объектов находится еще в начальной стадии своего развития.

В свою очередь, решение этих задач неразрывно связано с двумя другими фундаментальными задачами. Первая из них - это получение адекватных математических моделей описания установившихся и переходных процессов в ЭЭС. Вторая заключается в решении задач контроля параметров ЭЭС. Поэтому большую значимость при математическом описании реальных ЭЭС получают оценочные модели, позволяющие пусть с некоторой погрешностью, но за достаточно малое время найти решения, верно отражающие качественные эффекты в поведении системы при изменении выбранных управляющих параметров.

Кроме того, в практическом отношении очень важно иметь возможность математического описания границ области устойчивости в терминах управляющих параметров, возможность прогнозирования их "опасных' и "безопасных" участков в зависимости от значений внутренних параметров системы, а также оценки степени их совместного влияния на устойчивость ЭЭС.

Именно в такой постановке вопроса представляется актуальным использование активно развивающейся в последние два десятилетия прикладной теории катастроф (ТК).

Аналитический аппарат ТК и его использование в решении задач, возникающих в различных областях науки и техники, изложены в работах Т. Постона, И. Стюарт, Д. Каста, Р. Гилмора, В.И. Арнольда.

Общей методологии применения теории катастроф к энергетическим задачам пока еще не разработано.

Первое инженерное приложение ТК в энергетике было представлено в работе зарубежных авторов У. Бте11у , А. 5а11аш в 1983 г. В 1986 г. вышла статья автора настоящей диссертационной работы, которая выпол-

нялась на кафедре "Электроэнергетические системы" МЭИ под руководством В.А. Веникова.

В ней исследовалась устойчивость простой ЭЭС "станция -шины", оснащенной автоматическим регулятором частоты вращения (АРЧВ) турбины.

В диссертационной работе рассматривается инженерное. приложение теории катастроф к задачам анализа и синтеза, прогнозирования и управления устойчивостью электроэнергетических систем.

Использование теории катастроф в качестве методологической основы качественного анализа и количественной оценки параметрической устойчивости нелинейных ЭЭС определяется самой сущностью решаемых задач - исследованием зависимости координат равновесных состояний (УР) и экспериментально наблюдаемых форм электромеханической неустойчивости электроэнергетической системы ("самораскачивание", "сползание" или "текучесть режима") от значений ее внутренних параметров.

Целью диссертационной работы является:

- изучение возможности и целесообразности использования математического аппарата теории катастроф в задачах анализа и синтеза устойчивости ЭЭС;

- разработка методики применения моделей и методов ТК для определения координат и оценок устойчивости равновесных состояний при варьировании режимных, конструктивных и настроечных параметров системы;

- разработка аналитических алгоритмов определения предельных по условиям статической ( апериодической, колебательной) и динамической устойчивости режимных и системных параметров ЭЭС;

- оптимизация установившихся и переходных режимов ЭЭС по запасу статической устойчивости методом теории катастроф.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Построение детерминированных моделей исследуемых ЭЭС в виде инвариантных "многообразий критических точек" нелинейной потенциальной функции и "многообразии собственных значений" линеаризованной "матрицы устойчивости" типа катастроф "складки", "сборки" и "ласточкиного хвоста".

2. Разработка аналитических алгоритмов получения выражений для границ статической и динамической устойчивости ЭЭС в терминах выбранных управляющих параметров.

3. Разработка методики построения областей устойчивости ЭЭС непосредственно в пространстве управления, минуя этап построения фазового пространства, с помощью моделей ТК.

4. Формулировка и решение задачи синтеза закона управления "без бифуркаций" для стабилизации равновесных.состояний регулируемых ЭЭС на основе метода ТК.

5. Проведение исследования характера границ устойчивости ЭЭС ("опасные"- "безопасные") методом ТК.

6. Оптимизация настроек АРВ по запасу статической (апериодической и колебательной) устойчивости с помощью многообразий катастрофы "сборки" и катастрофы "ласточкиного хвоста".

7. Анализ возможности предварительных расчетов демпфирующих воздействий на границе колебательной устойчивости ЭЭС "станция - шины".

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) получены математические модели инвариантных многообразий типа катастроф "сборки", "складки", "ласточкиного хвоста" для исследования динамической устойчивости и статической устойчивости

двух - и трехмашинной ЭЭС с учетом систем автоматического регулирования (АРЧВ, АРВ);

2) дано обоснование целесообразности использования математического аппарата теории катастроф при решении частных задач анализа и синтеза устойчивости регулируемых ЭЭС как с методологической, так и с алгоритмической точек зрения; ,

3) показана эквивалентность представления множества положений равновесия трехмашинной ЭЭС "две станции - шины" и регулируемой ЭЭС "станция-шины" при утяжелении режимов в виде "критического многообразия" катастрофы "сборки";

4) показана эквивалентность представления множества корней характеристического уравнения регулируемой ЭЭС "станция-шины" в виде "многообразия собственных значений" катастрофы "ласточкиного хвоста";

5) Показано, что области допустимых по условию динамической, статической апериодической и статической колебательной устойчивости управляющих параметров образуются бифуркационными кривыми и бифуркационными поверхностями, задающими критические (предельные) значения физических (режимных и настроечных) параметров реальной энергосистемы;

6) Разработана методика и представлены алгоритмы определения предельных пО условию статической и динамической устойчивости значений режимных, системных и настроечных параметров двух и трехмашинной ЭЭС;

7) Получены аналитические выражения границ области статической (колебательной и апериодической) и динамической устойчивости двух - и трехмашинной ЭЭС непосредственно в терминах выбранных управляющих параметров;

8) Доказана принципиальная возможность единого подхода к решению проблемы математического моделирования ЭЭС при исследованиях как статической, так и динамической устойчивости двух - и трехма-шинной ЭЭС (с учетом действий АРЧВ, АРВ и устройств противоаварий-ной автоматики УПА) с помощью моделей ТК;

9) Разработан критерий выявления "опасных" и "безопасных" границ области устойчивости регулируемой ЭЭС "станция-шины" в рамках линеаризованных дифференциальных уравнений электромеханических и электромагнитных переходных процессов с помощью моделей ТК;

10) Показана принципиальная возможность определения характера ("опасные", "безопасные") границ области устойчивости в рамках линеаризованных дифференциальных уравнений электромеханических переходных процессов с помощью "многообразия собственных значений";

11) Разработан алгоритм, позволяющий реализовать процедуру оптиматизации настроек АРВ на базе оценочных математических моделей "многообразия критических точек" типа катастрофы "сборки" с целью обеспечения, сохранения и улучшения устойчивости установившихся режимов ЭЭС "станция -шины";

12) Разработана процедура оптимизации настроек АРВ на базе математических моделей "многообразия собственных значений" типа катастрофы "ласточкиного хвоста" с целью улучшения качества переходных процессов в ЭЭС "станция-шины";

13) Доказано, что на основе нового, топологического подхода с помощью теории катастроф возможно решение в рамках линеаризованных дифференциальных уравнений частной задачи анализа устойчивости регулируемой ЭЭС "станция-шины" в особых случаях;

14) Показано, что с помощью метода теории катастроф не может быть определено регулирующее воздействие как функция времени, но на-

холится минимальное значение управляющего параметра, уводящего систему в сторону увеличения запаса устойчивости.

Методы исследования. В работе использовались основные положения современной математической теории катастроф (источниками которой являются теория особенностей дифференцируемых отображений Уит-ни и теория устойчивости динамических систем Ляпунова, Андронова и ' Пуанкаре); методы функционального анализа и дифференциальной геометрии, теория матриц, теория колебаний, теория автоматического управления и регулирования, теория электрических цепей, теория электромеханических переходных процессов в электрических системах, теория устойчивости электроэнергетических систем.-

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработанный алгоритм построения оценочных моделей ЭЭС в виде инвариантных многообразий критических точек (поверхностей равновесных состояний ЭЭС) или многообразий собственных значений непосредственно в пространстве управления позволяет технически просто реализовать экспресс - анализ режимов функционирования ЭЭС при изменении ее внутренних параметров.

2. Разработанный алгоритм выявления "опасных" и "безопасных" границ области устойчивости в координатах выбранных управляющих параметров позволяет осуществлять оптимальную настройку АРВ по запасу устойчивости путем сдвига "первых" корней характеристического уравнения, соответствующего линеаризованному дифференциальному уравнению движения ЭЭС, в трехмерном пространстве управления.

3. Предлагаемое аналитическое описание границ области устойчивости в терминах управляющих параметров позволяет прогнозировать процесс функционирования ЭЭС со значительным опережением во времени практически на всем интервале наблюдения и может быть положено в

основу разработки эффективных алгоритмов управления переходными режимами.

4. Полученный на базе канонической модели критического многообразия "сборки" закон управления "без бифуркаций" позволяет ликвидировать существующее противоречие между точностью поддержания напряжения на шинах генератора и устойчивостью системы.

Апробация работы. Материалы и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах и заседаниях кафедры "Электроэнергетические системы" МЭИ (1986г., 1988г., 2000 г.); на Межвузовской научно-практической конференции "Повышение надежности и экономичности электроснабжения. Новые технологии" (Саратов, 2000г.).

Результаты диссертационной работы с 1988 г. используются в учебном процессе по курсу "Математические задачи электроэнергетики" (в Саратовском государственном техническом университете).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 5 печатных работ:

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, состоящего из 78 наименований, приложения и изложена на 124 страницах машинописного текста, включая 107 страниц основного текста, 41 рисунок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, определена ее основная цель, решаемые в ней задачи, основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена обзору состояния проблемы устойчивости ЭЭС, выбору направления исследования и обоснованию способов решения поставленных задач. Рассмотрено приме-

нение аппарата современной математики, используемого при исследовании устойчивости нелинейных динамических систем, описываемых с помощью детерминированных моделей.

Обзор и анализ современных литературных источников показал, что будущее больших систем, в том числе электроэнергетических, в методологическом плане определяется развитием тех областей алгебры и геометрии, которые изучают глобальные свойства математических объектов. И здесь явный уклон заметен в сторону методов, основанных на алгебраических и топологических идеях, а не на класссическом анализе.

Отмечено, что в современной теории систем проблема устойчивости исследуется с позиций возмущений в структуре самой системы, в отличие от классического подхода, где возмущения вносятся в фазовое пространство системы или на ее внешнем входе.

Один из эффективных путей решения указанных задач открывают методы исследования устойчивости нелинейных динамических систем на основе энергетического подхода, в частности, методы теории катастроф.

В диссертационной работе рассматривается применение так называемой "элементарной" теории катастроф.

Математическое описание исследуемых в диссетрационной работе ЭС. базировалось на использовании:

а) обыкновенного дифференциального уравнения (с постоянными коэффициентами) движения ротора генератора, правая часть которого содержит нелинейную относительно угла 5 функцию передаваемой электромагнитной мощности Рэл.

б) нелинейных дифференциальных уравнений движения генераторов, в которых влияние электромагнитных переходных процессов и действие регулирующих устройств учитывалось в виде коэффициентов синхронизирующих моментов, являющихся функциями параметров режима, системных и настроечных параметров;

в) потенципальной функции, нелинейной относительно углов 5i и 5г расхождения векторов ЭДС генераторов и вектора напряжения шин приемной системы;

г) системы нелинейных алгебраических (трансцендентных) уравнений, или уравнений статики электроэнергетической системы;

д) характеристического уравнения, порядок которого определяется числом контуров, в которых учитываются переходные (электромеханические и электромагнитные) процессы;

е) нелинейной функции, отражающей дисбаланс энергии площадок "ускорения" и "торможения" электроэнергетической системы в разных фазах движения.

Вторая глава посвящена изучению устойчивости нерегулируемых систем, а именно: исследуется динамическая устойчивость несимметричного режима работы ЭЭС "станция-шины бесконечной мощности", вызванного двухфазным коротким замыканием на землю; рассматривается задача поиска координат положений равновесия ЭЭС "две станции - шины постоянного напряжения" и определения предельных значений величин подводимых к системе механических мощностей Р-п = kip (p=var; ki=const; i=l,2) при пропорциональной загрузке турбин генераторов.

Осуществлен качественный анализ устойчивости и количественная оценка границ области возможного существования режима и области устойчивости ЭЭС на базе сформированной модели "многообразия критических точек" типа катастрофы сборки.

Указан такой набор аналитических соотношений, который связывает критические показатели - комбинации режимных и системных параметров Рт, Eq, Хл, задающие предельные значения последних по условию динамической и статической устойчивости исследуемых систем.

В отличие от подхода, реализующего численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений движения и алгебраических

(трансцендентных) уравнений "кривых загрузки", предлагаемый в диссертации подход на основе представления топологии (геометрии) области минимумов, максимумов и седел энергетической функции в виде "критического многообразия" непосредственно в трехмерном пространстве переменной состояния "х" и двух управляющих параметров "а", "Ь" позволяет: во-первых, заранее, до проведения числовых расчетов определить число и тип критических точек для последовательного и совокупного изменении внутренних параметров ЭЭС; во-вторых, позволяет избежать особенностей, связанных с обращением в нуль гессиана, или с нарушением условия единственности решения (51. 62) системы уравнений статики при "критических" значениях подводимых механических мощностей Р-п.

Существенным отличием сформированных моделей "катастроф сборок" А+з для двухмашинной и трехмашинной ЭЭС является рассматриваемая в ТК возможность представления во втором случае катастрофы типа А±з(х) в виде функции двух переменных А+з (х ;у). При этом, согласно "методу стягивания", локальному минимуму потенциальной функции П (х) ставится в соответствие глобальный минимум или критериальное седло функции П (х, у), а локальному максимуму потенциальной функции П (х) -глобальный максимум или некритериальное седло функции П (х, у).

В третьей главе решается частная задача стабилизации равновесных состояний регулируемой ЭЭС "станция-шины" как одного из аспектов проблемы статической устойчивости ЭЭС в свете применения современной теории управления нелинейных систем.

Рассматривается регулирование по отклонению параметров режима, осуществляемое по отдельности при воздействии на возбуждение (когда учитывается автоматический регулятор возбуждения АРВ) и при воздействии на первичный двигатель (с помощью автоматического регулятора частоты вращения турбины АРЧВ).

Разработанные на базе сформированной модели "многообразий критических точек" типа катастрофы сборки аналитические алгоритмы позволяют оптимизировать настройку АРВ путем регулирования возбуждения (выбором оптимального значения коэффициента усиления Кои, постоянной времени Те) или с помощью синтеза закона управления "без бифуркаций" с учетом изменения механической мощности Рт.

Такой закон управления (или закон обратной связи для управляющего параметра "Ь", линейно входящего в выражение для канонической модели "элементарной катастрофы") позволяет ликвидировать существующее в практике эксплуатации регулируемых ЭЭС противоречие между точностью поддержания напряжения на шинах генератора и устойчивостью системы.

В четвертой главе исследуется устойчивость ЭЭС "станция - шины", генератор которой оснащен АРВ, в первом случае пропорционального действия, а во втором - сильного действия. Рассматривается возможность прогнозирования "опасных" и "безопасных" границ области статической устойчивости в зависимости от значений выбранных управляющих параметров (коэффициентов усиления Кои, К15. К25).

Используется комплексный подход, включающий в себя изучение "особого" движения по характеру "смежных" движений в рамках линеаризированных дифференциальных уравнений переходного процесса, а также возможность суждения об устойчивости в "особых" случаях по величине кратности корней "элементарных делителей" канонических жордановых матриц, зависящих от параметров; этот подход дополнен принципами теории катастроф.

Сформированная в главе модель "многообразия" собственных значений типа катастрофы ласточкиного хвоста позволяет просто решать задачу не только качественной, но и количественной оценки корней харак-

герпетического уравнения четвертой степени, не решая самого уравнения, на границе устойчивости.

С помощью разработанных на базе методов ТК аналитических алгоритмов можно, задаваясь желаемыми показателями качества переходного процесса, вытекающими из требований, предъявляемых к устойчивости системы, целенаправленно выбирать мероприятия по улучшению устойчивости ЭЭС на границе самораскачивания и сползания режима.

Разработанная в четвертой главе методика параметрического прогнозирования и подавления неустойчивости может быть положена в основу проектирования и разработки таких регуляторов, которые не давали бы характеристическим корням пересекать мнимую ось.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Традиционно используемые в теории электроэнергетических систем качественные методы и модели для решения двух основных задач устойчивости ( статической и динамической) не рассчитаны на учет изменяющихся внутренних параметров системы, в то время как предметом теории катастроф является изучение зависимости качественной природы решений дифференциальных уравнений от значений присутствующих в этих уравнениях параметров.

2. Разработанная на базе методов ТК в диссертации методика дает рекомендации, позволяющие решать задачи: а) анализа и синтеза устойчивости ЭЭС; б) статической и динамической устойчивости; в) колебательной и апериодической статической устойчивости; г) устойчивости нормальных (переходных и установившихся) и аварийных режимов ЭЭС; д) регулируемых и нерегулируемых ЭЭС; е) выявления "опасных" и "безопасных" границ колебательной устойчивости - при варьировании выбранных управляющих параметров.

3. В "элементарной" теории катастроф, используемой в диссертации, статика определяет динамику, т.е. объектом ТК являются "пограничные" состояния (применительно к электроэнергетическим ^ системам - это режимы, предельные "по сползанию" или по "самораскачиванию"), что особенно важно для электроэнергетических систем, работающих с малым запасом статической устойчивости.

4. Использование моделей ТК ("критических многообразий" и "многообразий собственных значений" типа катастроф "сборки" и "ласточкиного хвоста") в качестве "оценочных" и "прогнозных" моделей позволяет не только аналитически задавать границы области устойчивости в пространстве управления, минуя этап построения фазового пространства, но и прогнозировать состояния системы (число и тип критических точек, количество и качество собственных значений) в зависимости от управляющих параметров.

5. Модели теории катастроф в виде "многообразий собственных значений", базирующиеся на использовании дифференциальных уравнений в первом приближении, содержат принципиальную возможность

успешного исследования статической устойчивости в особых, или крити-*

ческих случаях, хотя в рамках классической теории устойчивости электрических систем такая возможность пока не рассматривается.

6. До настоящего времени общая теория выбора законов управления в нелинейных электрических системах с целью сохранения равновесных состояний еще не разработана, однако для канонических моделей теории катастроф, в частности, модели "катастрофы сборки", эта проблема в диссертации в принципе разрешена ( путем введения обратной связи для канонического параметра, линейно входящего в нее).

7. С помощью метода теории катастроф не может быть получено регулирующее воздействие как функция времени, но находится минимальное значение регулирующего параметра за фиксированное время динами-

ческого процесса, уводящее систему от предельных по условию статической устойчивости состояний.

8. Метод ТК является существенным дополнением к первому методу Ляпунова при изучении переходных процессов в малых возмущениях, поскольку он позволяет не только количественно, но и качественно оценить и предсказать величину корней характеристического уравнения (до шестого порядка включительно), а, следовательно, и устойчивость ЭЭС.

Полученные результаты отражены в публикациях:

1. Кубарева Т.С. Параметры электроэнергетической системы, предельные по условию статической устойчивости // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1986. -№ 1.- С. 46-52.

2. Кубарева Т.С, Определение предельных режимов, работы электроэнергетической системы с помощью инвариантного много-образия. - М„ 1988. - 16 с. - Деп. в Иыформэнерго 06.09.S8. № 2742 - ЭН.

3. Кубарева Т.С. Нахождение условий вариации параметров электроэнергетической системы с целью сохранения динамической устойчивости на основе метода теории катастроф. - М., 1988. - 40 с. -Деп. в Информэнерго 06.09.88. № 2743 - ЭН.

4. Кубарева Т.С. Современное состояние вопроса о приложении аналитических методов анализа устойчивости нелинейных энергосистем // Известия вузов. Энергетика. - 1988. - № 7. - С. 16-21.

5. Кубарева Т.С. Оптимизация настроек АРВ по оценочным моделям теории катастроф// Вопросы преобразовательной техники, частотного электропривода и управления: Межвузовский научный сборник. - Саратов., 2000,-С. 74-81.

Подписано к печати Печ. л. 1.25

Л-

Тираж /00

Заказ №