автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов и средств математического моделирования и анализа структурно сложных систем на основе аппарата полиэдральной динамики

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ,,. .ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

• ОЦ--^-

На права* рукописи

ДЕ1ТЯРЕВ Константин Юрьевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И СРЕДСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА СТРУКТУРНО СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ АППАРАТА ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссер1ации на со^кание ученой степени кандидата технически* наук ■

Моего а - 1995 г.

Работ выполнена в Московской Государст енной Академии Приборостроения н . Информатики (МГАПИ)

Научный руководитель :

доктор технических наук, профессор С.Н. Муэикин

Официальны* оппоненты:

доктор технических пауте, доце|гт И.В.Ломакин

кандидат технических наук, в.и.с. И.В.Щукин

ведущее предприятие:

Институт системно! о програм жирования Российской Академии наук, I .Москва

Защита состоимся МлрТА____ 1995г. в часов

на заседании Диссертационно!о Совет ДОМ.93.0I МГАПИ по ядресу: 107846, Москва, ул. Стромынка д. 20,1ел. 268-3775, 269-44-98.

С . кссртанисй можно ознакомиться в библиотеке Московской Государственной Академии Приборостроения и Информатики (МГАПИ)

Авюрсфсра! разослан 1?

___1995 I од.)

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д063.93.01,

Ol¡ 1ЦАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Aims-ituom «мы

Значительные достижения науки и техники в разработке, создании и ¡правлении сиснм., un большой сложности, совершенствовании существующих методов их анализа и синк за способствую! возникновению новых интересных задач, охватывающих' проблематику : .¡ мых разных областей традиционно!! науки. Общие снсгеыные кониепшти позволяют nepeiini t объединяющей научные направления дегтелыюеш, сосредоточенной нд исследовании cu. н erra сипем и сказанных с эти задач, н обычно называемой тстемаяогией или ис¡\ы>й и и,. темах. Являясь, по существу, новым научный измерением, системология характеризуй! стремлением к раскрытию присущей системам сложности, определению общей структуры, организации способов взаииодейсгвия иежду элементами системы, совокупною езаммоотн» таеиия системы и внешней среды.

Одним из наиболее важных и необходимых гладов исследовании систем авляеии и структурной анализ, требования к результатам которого возрастают- нз-за усложнен) структуры самих систем и необходимости повышенна качества решений по орт анннш1 взаимодейсгви« подсисгем системы. Изучение структуры представ-мет «ifrcpсс н с тик зреши Bi.ua.ienn« закономерностей сущссгвевани« и развита систем, а также особенности (теш недостапсоа), которые требуют повышенного внимания (или улучшения) исслсдова i с к Кроме тою, и» этапе структурного анализа формируете* первоначальное представление ь и иотцее в значительной степени «и объяснение многих хараггсрнсп« систем, среди Koiupi можно выделить структурную устойчивость (живучесть) н сложи осп, оргаттизацин, выявляют "слабые мест* системы и определяете» значимость ее элементов, Поскольку всякая сложшн система выполнаст определенные функции, реализуемые посредством потоков энерт пи материи, информации, то анализ структуры систем, по сущсс ну, орнетгтреван и на определение множества ограничений и направлений (каналов), которые структура создаст д и потоков.

В саазн с этим, предсгеаажтся «ктуитьтюй разработка методики исследования с1р)м>рм сложных систем на ¿.юбальном (с позиция структуры' как единого цстою) и локашюи (с позиций отдельных элемедасэ) yposiux, причем использование нссгаадарлют о, имеющего в нгеюгщее вреиж ограниченное применение, annapíra алгебраической юполопт, корни групп, Теория множеств и бинарных отношений дает возможность анализа структуры как сложного иисгомгрт.'ого гсох.-'тричссксго образозашта (симмш/иммого комплекса). Формирование оснозтатх г.утеЯ нсттатьтоглння снцпт.'Цлгльних комплексов дли построениз математических мол.жГт структур систем и исследоагшш ta сга.чзтопн относится к нглглу 70-х толоз и связано с пишем гнглтЗсхого и:п г'итта Р.Эптнз (R.H.Alki.T).

"i-n т грдггтез разработка ta oct.'ow eimfpsiv. иг.чпд'ямалшых кош • 'мое ерншгнрозгнимх на спетшаетста-пе'лагепатнха (тглженерэ, рроягп^'о^уа'ка, тнлтот; биолога н т.п.) кегодов п средств иагеиатичгсадго иодашроеаюя и шшпяа струг», г»ш г;м> ни я систей а условиях ютпмаг.; noií (отраимчкшсП) априорной штформзц:«! ошисшслыт ¡ uherm исследования.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

- создание аппарата формализованного представлении структуры систем в виде соответствующею ей симплициальиого комплекса с использованием теории алгебраической топологии;

- исследование структуры рассматриваемых систем на основе оценок и* прут урной сложности и связности;

- построение оценок связности комплекса локального й глобального уровня,

- проведение структурного анализа комплексов при учете сил взаимодействия между элементами;

- анализ поведения структурно сложных систем в условиях лсйспж« внешних и внутренних возмущений их структуры,

- разработка программно-ма тематического комплекса моделирования и анализа широкого класса сложных систем с использованием современных специализированных программных средств, рассчитанных на широкий круг пользователей.

Маодм шаишмгт

Для решения поставленных задач а диссертации применяется аппарат теории множеств и бинарных отношений, алгебраичеекой топологии и теории систем.

Научная новизна работы зактючаегся в :

- проведении сравнительного анализа различных подходов к моделированию структурно сложных систем, систематизации взглядов на понятие сложности,

- разработке модифицированных оценок основных характеристик структуры сложных систем, моделируемой симплинчалъными комплексами,

- установлении подходов к объяснению получаемых в результате реализации процедуры полиэдральной динамики чистовых значений характеристик, способов их представления,

- разработке подхода, связывающего метод моделирования структурно сложных систем на основе аппарата симплициальных комплексов с методом представления динамических систем » пространстве состояний.

Практическая чти ость результатов работы состоит > создании эффективного рабочет о инструмента математического моделирования и анализа структуры сложны« систем, позволяющего: г • " • . .

- раскрыть присущую всем системам многомерность и структурную сложность.

- использовать идеи алгебраической толологни в контексте тъорпмко-иножссткнною подхода к построению моделей с их последующим анализом и реализацией в виде программного обеспеченна,

- создап. единую методику исследования структуры систем на ранних папах проел иромния

Разработанное программное обеспечение рассчитано на широкий крут спщиалисюв-нсма-тематкков (специалистов в конкретной предметной области) и позво.иег в мескотько раз сократить время, необходимое для проведения структурного анализа- сиаг* (прежде всею, за счет ускорения вычислений и удобной'формы преда явления результатов). По.ц оговлш-ные в работе программы могут служил. в дальнейшем основой .vi» построения м йуяил ш-шеим, которая возьмет на себя функции "помощника" исслсдоваимя в обмежнин ою-

)

6ciiHocifri ycipoHciw» симплмшальных комплексов, происходящих « них тиснений с icunii-см времен* и возможных последствий (со структурной тонки зрении), которые эгн изменения могут вызвать.

Проведенные исследования и предложенные разработки являют с» составной частью patin i выполненных на кафедре "Управление и моделирование систем" (ИЭ-6) Московскою шкш туи приборостроения (Госуддрсттгнной Академии Приборостроения и Информатики) в рам ках госбюджетной и хоздоговорных гем (ЦНКБ "Союз" и НПО "Взлет") в период с (988 по Iwl год (с передачей разработанного программного обеспеченна). Материалы дисссрчацнонп. и работы используются в учебных курсах "Моделирование систем", "Сисгемный анализ и исследование операций" и "Математические основы корни систем", читаемых на кафе.фе Акты о внедрении и использовании материалов приведены в приложении. • Разработанная методика структурного анализа сложных сисгем применяется в cobmci i ном со Средневосточным Техническим Университетом г Анкары и TUBITAK (Турция) пр<чк к "Исследование нейронных сетей". ,

Дплуобшяз работ Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на:

-Второй Всесоюзной научно-технической конференции "Микропроцессорные сиск-чп аятхшя1ики" (Повосиб(фск, пай 1990 г.),

Региональной научно-технической конференции "Моделирование и автоматизации n¡>o ектирования сложных технических систем" (Калуга, октябрь 1990 г.), - - Втором международном ссмниаре "Новые информационные технологои" (Гебзе, Турция, май "199« г.),

: - Четвертом международном семинаре "Взаимодействие человек« с компьютером" (Саны-Петербург, август 1994 г., стендовый дошил}'

- семинарах кафедры "Управление и моделирование систем* Московское Госудяравешюи Академии Приборостроения и Информатики (1991-1995 гг.).

По теме диссертационной работы опублккомно сечь печатных работ.

Структур; и t/fotH работы Диссертация состоит н> введения, четырех глав, заключения, списка лнтеразуры, включающего 145 наименований, и приложения на 36 страницах: Материал основной часгн работ изложен ом 121 страницах машинописного текста, содержит 18 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ц&доогаа обоснована актуальность работы, дана ст общая характеристика. В первой гдр рассматриваются проблема соотношения целого к частей при лц.сл : ¡етш понятия системы, способы кюссифихашм систем по степсам сложности, отмечаются разные

ви ляды на трактовку термина "сложность". .

В силу ориентации данной работы на анализ структуры систем предпочтение отдано одному из множественных определений системы, которая трактуется как "саткупигкть элементов, ■ находящихся в отношениях или снизил друг с другом, обрапнпцих целостность или органическое еОинстт". Термин "отношение" здесь объединяет весь спектр родственных понятий, таких, как арутаура, информация, организация, связь, зависимость и тл. Устанавливаемые между элементами системы отношения целиком завнегг от решаемой задачи, на основе которой исследователь включаем в рассмотрение те или иные существенные или интересующие его отношения, исключая несущественные. Приведенное выше определение использует одну из наиболее существенных и конструктивных характеристик системы - к структуру.

В диссертации описывается один из возможных подходов к изучению структурной <>р[ а-низации систем различного происхождения (экономические, био.кнические, социальные. производственные и т.д.), использующий один из самых' людатворных путей анализа систем -метод абстракции {со»ание математический модели).

Системы, существующие в окружающем нас мире, можно классифицировать по различным признакам (по особенностям повеления, по способу управления, по происхождению и т.п.), одним из которых является степень сложности или масштабности. По чгому признаку системы подразделяют и» простые и сложные при достаточно бо.'п.шом многообразии смысловых трактовок 31ИХ понятий. Можно говорю* о различных формах сложности, во многом ззви- ' сяпш* от типа системы и задач, которые стоят перед исследователем

Одной из характерных черт сложных систем признается наличие строгих (сложных) структурных и функциональных взаимодействий между цементами системы. В днесертацм-онной работе сложность раскрывается на основе теоретик о-множественного подхода к анати-зу систем, учитывающего число элеметггов системы и связи между ними (при таком подходе считаем сложной систему с большим чистом элементов и связей между этими элементами), и предлагаемый математический аппарат ориентирован и* исследование систем, относящихся к классу структурно сложных.

В качестве примера структурно сложной системы рассматривается производственный ком-' плекс. доя которого дается общее описание и необходимые определения, отмечается актуальность задач анализа и научно обоснованного построения (выбора) структур сложных систем на основе построения их математических моделей. Под щхУпемой ашпим структур будем понимать определение основных характеристик (свойств) сипГмы. в частности, ее связности, при некоторой фиксированной структуре (в работе анализу по.иежит юполотия'

у

структуры сист ем).

Зачастую, недостаток доходной информации на начальных этапах ана-поа или проектирования систем вынуждает исслеловагеля пехать такие модети, которые моыи бы быть построены при имеющейся минимальной входной информации Разнообразие пробки исследования структурно сложных систем определяет спектр возможных подходов к построению таких моделей. Структурные исследования базируются на теории отношений и теории трафов

Для графов построена интересная и содержательная теория имеющая мио! очис.к-нимс приложения - графовые модели активно применяются в биодотнн. экономике, сонно ни шт и, конечно, при анализе и создании сложных технических систем ( вычислигодных сетей. снс

тем программного обеспечения н т.д.). В рамках теории графов имеется множество рамичш.» напраалелий, предоставляющих я распоряжение аналитику эффективный аппарат cipyKiypiu.ix исследований, которые явлаются начальным этапом в изучении систем. С другой стороны, ! многомерность и mhoi освязносгь как характерные признаки сложных систем практически пс учитываются при теоретико-графовом подходе к построению моделей, хотя, вряд ли, свят между длемемгамн системы можно свести к простой совокупностн одномерных обьекюв (ребер, дуг), а сами элементы отождествлять с точками на плоскости. Этот недостаток графовых моделей устраняет Q-анализ.

Рост размерности и сложности систем заставил исследователей, помимо традищюши.и ме тодоа анализа структур, разрабатывать новые подходы, среди которых можно отмегигь меиы декомпозиции Г.Крона (G.Krohn), метод структурных матриц.. К настоящему времени разработаны также методы, позволяющие устанавливать факт изоморфизма графов и, км самим, потенциально ускоряющие анализ вновь построенных графовых моделей chcicu. ' Структура системы, ее сложность зависит не только от взаимозависимости, важным ф.>ь тором служит и число взаимодействующих компонент. Система приобретает новые свомслва получаемые в результате синергии (взаимодействия) взаимозависимых частей. Такие cboiíci «а часто характеризуют новые образования - кнастеры, формирование которых происходи i использованием кластерных методов, лоззолякмцих классифицировать элементы некоторой множества на основе конечного набора дескрипторов (характеристических признаков . Распространению кластерного анализа способствовало развитие вычиситеныюй техники ' по привело к появлению многочисленных кластерных процедур. Практически все класк-р иые методы сталкиваются с проблемами измерения расстояния (выбора критерия подобии • между элементами (дескрипторами) и выбора шкалы, по которой соответствие элемёшов > !• признаков выражается определенным числом, в также обоснования числа формируемых кластеров с их последующей интерпретацией. Кластерные алгоритмы в попытке преодолеть : сложность изучаемых объектов неизбежно приводят к потере информации о системе и pai-рушению ее реальной структуры." Проведенное сравнение кластерного анализа и Q-аналнза, позволило выделить их наиболее существенные отличия друг от друга и констатировать неправомерность отнес«кия полиэдральной динамики (Q-аналнза) в разряд существующих кшс-терньц методов.•

Поскольку во, многих практических ситуациях важным является раскрытие сложное ш, взаимоотношений элементов системы, то модели таких систем должны с необходимостью отражать присущую им сложность (например, структурную сложность). Такое требование заставляет отдать предложение моделям отношений, отводя функциональным моделям |лавную роль на последующих этапах изучения сложных систем. В этой связи, вызывает ишерес способ представления любого отношения, при котором множество элементов, соотносимых конкретному элементу, трактуется как геометрический симплекс, и совокупносгь таких симплексов образует симплшршльный комплекс. Математические основы такого подхода были за.южг. 1(Ы КДоукером (C.Dowker), в дальнейшее развитие шея такого представления получи т в работах Р.Эткина (R.H.Atkin), послуживших началом процесса формирования метода исследования структур сложных систем - Q-анаииза или полиэдральной динамики.

В настоящее время такие области математики как теория трупп, дифференциальная ieo-

»

мстрия, теория инвариантов активно используются для изучения внутреннего функционирования сложных систем и новых подходов к анализу их структур. Одной из методик описания н исследования структурных вопросов является (^-анализ. Основной установкой подхода являйся рассмотрение .системы в виде отношения между элементами конечных множеств. Структура системы используется с л елью получения геометрического и алгебраического представления последней как симплициального комплекса, состоящего из множества вершин и заданного семейства непустых подмножеств множества вершин (симплексов). Немногочисленные публикации Р.Эткина, Дж. Касты, С.Сейдмана, Дж. Джонсона, К. Эрлл, П.Гаулда, Х.Кауклелиса, С.Мактчла, А. Куплена, Х.Гриффищса позволяют говорить о том. что приложение (^-анализа к социальным, производственным, биологическим, экономическим системам помогает раскрыть многомерную геометрию таких систем, сделать акцент на их структурных особенностях, которые не выявляются при других полхфдах к построению моделей, проследить влияние различных локальных изменений на структуру систем в целом.

С геометрической точки зрения каждое отношение соответствует симптициальному комплексу, для анализа структуры и связности которого используется аппарат алгебраической топологии. Предметом самого пристального внимания рассматриваемою подхода является способ соединения многогранников (полиэдров), составляющих комплекс, с помощью цепей связности различных размерностей, которые и определяют внутреннюю многомерную структуру системы. С самого начала процедура предусматривает выбор двух конечных множеств X и У, элементы которых определенным образом связаны с изучаемой системой. Взаимосвязь элементов рассматриваемых множеств представляется математическими отношениями, которые существуют между X и У. Каждое отношение между двумя конечными множествами X и У является подмножеством декартова произведения Х»У,так что можно записать: X с Х>У. Отношение удобно представить матрицей инцидентности (инииленций) Л = ( Х^ ), где Х^ = I, если ( ) б X, и Ху = О, если ( х,, у^) * X. Определив конкретное отношение между злеметггя-ми множеств, исследователь тем самым задает структуру системы, подлежащую изучению и выдвигает важную концепцию, реализация которой связана с удачным выбором множеств N отношения X . Каждое отношение X порождает симплициальный комплекс, обозначаемый К,(У, X) (в сокращенной форме, просто К), и под словами "структура отношения X" понимается именно этот комплекс или его геометрическая реализация.

Согласно определению, симппщимьный комплекс К,(У. X) является совокупностью симплексов сТр, р = 0,1.....N. причем, каждый симплекс ор е К однозначно определяется некоторым подмножеством из (р+1) различных у, , при этом имеется, по крайней мере, один элсмемент у, е V такой, что ( хк. у, ) «= X для каждою из (р+1) значений I. Симплекс в,,

отождествляется с у,, 1= 1,...,т (т - число элементов множества У), I каждое подмножество симплекса ор1 определяемое ^+1) элементами множества У (ч £ р), называется его ф-гракын и образует новый симплекс ац е К. Число N 'называется размерностью комплекса (Ат К) и равняется наибольшей размерности любых о^ еК, при этом размерность самого сймазекса вычисляется по формуле <Ипт( ар) = саг(1(Ор) - |„ Множество У называется множа т«** вершин комплекса К,(УД), Если изменить роли множеств X и У, т.е. считать, что X прелегавляп собой множество вершин, Iо отношение X* порождает сопряженный коматекс Ку(ХД*> состоящий из симплексов {у,}. Матрица инцидентности д.тя X* получается транспонированием

матрицы Л, т.е. с каждым отношением связаны два коиатекса.

Поскольку снмачициальный комплекс есть семейство симплексов, соединенны* посред сгеом общих граней, то в качестве характеристики связности используется понятие цепи сна :.t отражающее тот факт, что два симплекса могут не иметь общей грани, но могут быть связат. при помощи последовательноето (цепи) промежуточных симплексов. Другими словами, iMj... с'нмачексов afll ar комплекса К. соединены цепью святи, если существует такая кЬнечная нос ледователыюсть симплексов о,!, сча, ,..., , тго о,t - грань симплекса ор, а ста1. - ip-nn симплекса ог, при этом, симплекси а^ и разделяются общей траныо (Ть; для ¡ = 1,2,...

.Jt-I. Эта цепь является цепью /¡-связи, если q представляет собой наименьшее нз значении размерносгсй |а, ,bj ,b2 .....b^., ,зк }. Если же симплексы ор и стг соединяются цепью q-связн то они также (п-|)-,...,|-,0-связаны в К, и такие симплексы целесообразно объединить в одн> группу itiH q-чоипоцснгу.

Процесс выделения наибольших частей комплекса К., которые q-связаны для всех зпа . чений q от 0 до dim К, предусматривает разделение симплексов на каждом уровне q. Чис i q-компонент в комплексе К обозначается Qq , q = 0, l,..:,dim К. Процедура Q-анализа, npi ложмшая Р.Эткиныи, использует алгоритм для. вычисления структурного вектора

Q » (Q&.K.....Qi.Q»). С)

который содержит информацию о структуре комплекса в целом.

Q-анализ оказывается достаточно эффективным при изучении глобальной связности cipyt гуры системы, однако в определенных ситуациях весьма существенными Moiyr оказана индивидуальные свойства симплексов, что свидетельствует о важности знания степени и; тегрированност каждого отдельного симплекса в структуре всего комплекса. С этой целы .вводите! понятие экадаггрнеэтет» симплекса, отражающее как относительную важность последнего для комплекса, так и его (симплекса) значимость в качестве связующего звена. Формула для вычисления эксцентриситета симплекса о требует знания размерности симплекса (dim о) и наибольшего значения q, при котором о становится связанным с каким-либо другим симплексом комплекса ( q ):

Эксце! гтркситет поза о i -г оценил» "плотность" вложения каждого симплекса в комплекс п. тем самым, характеризует локядытые (н* уровне cHttwiatcoa) особенности его «рую уры.

Анализ структурных особенностей разных взркаигоэ системы порождает естественное желаше выявить более простую (или, наоборот, сложную) g структурном смысле модель, к такая необходимость заставляет в рамках используемого подхода к изучению систем ъысш меру сложности. В основном, сложность связана с двумя важными свойствами сискм -структурой се подсистем (неприводимых коцпонетгг) 11 способом, которым тги компинлпм связаны между собой. Последнее нз перечисленных свойств включает такие ва;лыс харак ге-ристиюи системы, как размерность, иерархия, длина цепей связи и другие. При рагемшре-нин

понятия сложности в рамках алгебраичбсхо-топологического описания структуры систем ((^-анализа) требуется вычисление размерностей симплексов и соединяющих ИХ граней. В качестве меры сложности комплекса вводится в рассмотрение фунхция

У(К)!

1-е ] ■.

(1)

где N - размерность комплекса К., О, - 1-тая компонента структурного вектора О симплици-алыюго комплекса. Сравнение числовых значений функции для различных комплексов позволяет классифицировать их по степени сложности структурной организации, при прочих равных условиях, выбрать наиболее просто устроенный комплекс.

Рассмотрены основные шага реализации процедур^ ^-анализа, базирующейся на выполнении элеметтгарных матричных операций с последующим сравнением результатов, приведен пример использования предложенной методики дтя исследования структуры участка производственной системы на основе его теоретико-множественной модели. Особо отмечено, что важную дополнительную информацию об особенностях построения структуры системы исследователь может получить в результате последовательного выполнения проц^уры срсм взвешенной матрицы, отражающей степени взаимодействия между конкретными элементами системы. Удачный и хорошо продуманный выбор параметров (матриц) среза позволяет выявить те симплексы, важность которых для комплекса не удалось определить при анализе модели системы, отражающей лишь факт наличия или отсутствия связей между ее элементами (га-кие симплексы можно классифицировать как важные или узловые с организационной, структурной точки зрения). В то же время, процедура среза дает возможность выделить |руппы симплексов, которые представляют собой своеобразную преграду нв пути к однородной структуре системы. Эффективность использования такой процедуры для структурного анализа производственных комплексов, экономических, социальных и биологических систем допол-' няется и удобством реализации алгоритма на персональном компьютере.

Во второй глав» обсуждаются особенности количественных характеристик (структурный

вектор, эксцентриситеты симплексов, структурная сложность) комплекса, их слабые стороны. Отмечено, что процедура (^-анализа основана на сравнении симплексов определенных размерностей и выделении компонент связности, которые содержат важную информацию о распределении связей между симплексами, поэтому исследование комплекса на "локально*" уровне должно обеспечить получение таких количественных характеристик, на основании которых можно бьщо бы сулить о различиях в степени ннгстрированностй симплексов в структуре К и классифицировать их по степени вложенности. С этой целью в работе предлагается пути уточнения используемых выражений (2) и (3) с целью усиления возможностей классификации образующих комплекс симплексов по степени их интегрированное™ в единой структуре и комплексов в целом. . "

Проводится обсуждение аксиом, на основании которых опредетяется' модифицированная оценка эксцентриситета симплекса:

<■» + !) еаН(„к) .

где - число симплексов I К, имеющих с«г(1(ук) общих вершин с симплексом ок, при ¡этом саг<1(ук)= тах[сат<1(о^ Па|) - максимальное число общих вершин к-го симплекс» со

•семи остальными симплексами, к и I - порядковые номера симплексов, назначенные при . Первоначальном определении исходных множеств, к * I.

Ввелогие диапазона (0,1) изменения значений есс(ст) продиктовано стремлением более Четко, по сравнению с (2), класеифицировать степени вложения симплексов в структуру ком. плекса - от крайне незначительной до очень высокой. Для классификации симплексов по степей* интегрированности можно предложить деление интервала [0,1| возможных значений «сс<о), представленное в графическом виде на рис. I. Такая шкала зксцет-рисигетов допуска-

.-1-1-1--

« U (I U I

кнпрмл А (0.0 2) - крайне мим own »иiя [нцюдшиости *т*рем в (0.2.0 s) - нпнеадтиьная ctxneNfc тгтрепювжииост ттрмл с (0 5,0 8) - феджы стелет, икгтгриромииост мгтгрмя О (в ».l|-»иоо«»с!тв1ЯЛ (оггегржромяипег*

(Л*. I

«т модификации в уточнения, которые могут потребоваться в конкретных исследованиях для выявления нюансов, связанных с ратью тех или иных симплексов в структуре комплекса К.

Предлагается модификация опенки структурной сложности, учитывающая степени связ-воети каждого q-уроян», имеющего определенный вес в иерархической структуре комплекса. Для определенности вес уровня поставим в зависимость от его размерности тик, что 0-уро-Ьекь имеет единичный вес, а вес каждого последующего q-уровня равняется q+1. Отношение

^ , п_ - число симплексов, размерности которых не меньше текущего значения q, q = О,... "Ч

-,<ttm К, представляет собой числовое выражение степени связности q-уровня! Модифицированная оценка (}) и^-т следующий вид:

i[i(un.9i] ■ i.__Li?s_

ЧЧК)«1—^-(5)

(N + 1) (N♦1)

где используются практически ге ясе обозначения. что и в выражении (3). По аналогии с экс-поггрнекгггамн симплексов хтя классификации комплексов по сложности принимается ткала, по которой числовое шаченме Ч1 (К) связывается с вербальной характеристикой сложности устройства структуры комплекса.

Локальная информация о структуре К оказывается подчас более важной Х1Я исследователя, благодаря содержащимся в ней значимым уточнениям глобальных характеристик комплекса. В

частности, эксцентриситет симплекса определяет степень его ингетрированностн в комплексе, и оценка (4) учитывает число обра^ющих симплекс вершин и максимальное число щ совпадений с вершинами других симплексов, количество которых также принимается со внимание. Если в иерархической цепочке понятий "комплекс-симгшексы-вершины" скснцен-. трировать внимание на нульмерных симплексах (вершинах) и с их позиции рассмотрев К, то сразу обращает на себя внимание тот факт, что частота появления разных вершин в составе симплексов комплекса различна. Размерность симплекса вычисляется, исходя из числа определяющих его вершин, но при вхождении некоторых вершин в множество, относящееся сразу к нескольким симплексам,. возникают компоненты связности, причем размерность соединяющей эти симплексы цепи зависит от кардинального числа сформированною множества 4 общих вершин. Из сказанною делается вывод, что па локальном уровне анализа комплекса четкое представление роли отдельных симплексов К складывается не только из сравнения вычисленных значений эксцаггрисшттов, но н из характеристики их значимости (веса), выводимой на основе комбинаций множества вершин. Оценку вершинной значимости следует рассматривать совместно с вычисленным значением эксцентриситета (4) симплекса как дополняющие друг д, /га характеристики локальною уровня исследования комплекса. Отмеченные в работе отличия зкецен жеитеча и веса симплекса дают основания считать весовую меру симплекса как вспомогательную оценку, раскрывающую особенности структуры системы на уровне "симплексы-вершины".

Предполагается при выполнении процедуры (^-анализа использование наряду со структурным вектором комплекса, дополнительных векторов (вентир'рашернизшей симплексов и вектор д-святости или топологический вектор комплекса) , отражающих результаты вычис-' лений в более компактной форме, показывается практическая целесообразность и удобство работы с такими векторами (при отказе от матричной формы представления).

Акцентируется внимание на важности применения адтебранчгско-топодогическнл^ методов анализа геометрических объектов, дающих своеобразную "проекцию" топологии а алгебру. Вводятся понятия полиэдра, его триангуляции, упорядоченных остовов симплексов, обсуждается проблема построения топологических инвариантов полиэдров. Применительно к основному предмету рассмотрения данной работы - симплициальноиу комплексу К,.- рассмотрен процесс построения групп гомологии (групп Бетти), назначение которых, сформулированное на элементарном уровне, сводится к возможности подсчета числа несвязанных частей совокупности симплексов К или количества дыр а структуре (понятие "дыра" дос- : таточно метко определяет те своеобразные пустоты, которые существуют внутри Комплекса, и они представляют собой препятствия на пути информационного потока, поддержив;. у ого структурой комплекса). Группы гомологий комплекса, по сравнению с самим комплексом К, оказываются проще для анализа, при этом потеря некоторой значимой информации при раскрытии топологических свойств комплекса, исходя из сопоставленных ему алгебраических ь ¡струкций, может быть компенсирована другими подходами г, построению моделей изучаемой системы. Вводится в рассмотрение важное понятие комбинаторной топологии -немилыер-мернав цепи, представляющей собой формальнубтотейную комбинацию е^ я

+ »20^ + •- + а^.Ср' !>р симплексов размерности р," в которой коэффициенты а, 0 = 1....Лр)

обычно представляют собой элементы ад,оггивмой абелевой фуппы J (дтя удобства в работе f=Zj - модуль вычетов по модулю 2). Семейство целей ср , обладающее i-рупповыми свойствами по операции сложения, обозначается Cf(K.i) и называется группой р-мгрных цепей комплекса К. Граница цепи может рассматриваться как гомоморфный образ самой пели под действием линейного оператора 8: C^flC.Zj) -♦ Cp_j(K,Zj). р г 0 (при р = 0 группа С.! считается нуль-группой, a S » 0). Цепи размерности р, гр>ница которых равна нулю, называются циклами, а соответствующая группа - группой р-циклов (ядро гомоморфизма 8). Образ группы Ср под действием 8 представляет собой подгруппу группы С^ , которую естественно назвать группой границ, но так как оператор нильпотенген (° ( 8 ср ) = 0 в C^j), поэтому элементы такой группы являются и циклами, т.е. B^fK.Zj ) ■ Ira (5 : Cf (K,Z2) C^jiK.Zj)! с CH(K,Zj) называется группой граничных циклов. Таким образом, симпли-циалыюму комплексу соответствует последовательность абелевмх групп Cf , образующие которых определяются р-мерными симплексами К. и связывающих их гомоморфизмов.

Р-мерная группа гомологий комплекса 1С представляет собой фактор-группу (6), элементами которой являются смежные классы, которые называются гомологическим. Для выбранного варианта комплекса рассмотрен процесс построения групп гомологий, проведен анализ информации, содержащейся в полученных результатах. С использованием аппарата полиэдраль-

Н,(К) = <

i l^ÇKZjilbfÇKZj). pi О

(И

р <0 .

ной динамики (Q-анализа) проводится структурный анализ технологической структуры гибкого производств« (рис.2) к биологической ("паразит-xoimn", представители нейтральной

А

С

а-

1

€14

рмс. 2

1 ■ **гом«ги*«г«мА склад мжтт>> мента . и ч*г\по»ок: 1 • аггоютичеосий склад готовых игдслиА; Э • «»(омагнчк-жа* тс*** /граж.т*>рткыЯ рпЛгт). 4 ♦ перегрузочные устр<>Лс-гя# с*, »ало» (консольные столы}; S -транс пор rtp. oftc тукнваашшД гткмо.то?нчесх«* пЛ^р>жч»аине 4 - птицни нст>п-р\-«и транспортера. 7 • бункер длл временного Чрамеии'я от х^ло*. t % гранпюртер длч уаалени* огходов и »Гючих тон станков; 9 - основное тгхж'.'кчнчесгое о6ор>'.*к»мнме (мноичктсвыс станхн). 19 • гтаииия агмматичсской подачи сгмоса; U -• стании* texMH4cc*(»m контроля тлелмй; U • накопитель врагованной продукции; стрелками с литерой 'В* (Йгвд/Выхол) о'Чмнвчены каиа.ты етаммолсНстюм сиетгмм е внешней no orutnaetinro к Wvrft грелой (поступление чютчкж. ннс1)\уч«н1« и тл >

части России) сисгем. являющихся характерными прсдставт* 1ями неживой и живой природы, обсуждаются получаемые результа т .и даются необходимые пояснения. Отмечается удобство

и

(рафического представления результатов анализа в видягнстотрамм ы точечных диаграмм (рис.3), позволяющих выявлять происхо, пне структурные изменения комлекса на докальиом

к

ртя

И

пиалки к

>

4 > • ! 4 I 1 I I -

Уf9»*МЬ Я

р«к. 3

и глобальном уровнях и сосредоточить вес внимание на их объяснении. Подчеркиваются объективные сложности решения задачи подробного и полного изучения особенностей структуры (или нескольких структур) системы.

В третьей главе рассматривается проблема взаимовлияния и взаимозависимости структуры системы и ее динамики (функционирования). Вводится понятие потока, посредством которого выполняются функции системы, то есть преобразования ее назначения в действие, и структур» не только поддерживает эти потоки, направляя их по определенным каналам, но и создаст иногда препятствия для их распространения. Потоки могут меняться и вне зависимости от структурных изменений, используя при этом потенциальные способности структуры настраиваться на возникающие (часто, нестандартные) условия функционирования. Для описания , динамических эффектов в геометрии (статической фоне) системы используется понятие образа, определяемого дня симплексов размерности р, 0 £ р.£ Ы, и ставящего в соответствие каждому симплексу определенное тело в каждый момент времени. Поскольку еммплици мшй комплекс ранжирован по р, то образ К в целом представляет собой отображение П = П0 Ф П| © ©... ® Пы, где Пр - образ симплексов размерности р. С течением времени модель (образ) П' получает приращения 5П = рФ Щр , р = 0,...,Ы, возможно и нулевые, которые позволяют мс-| довать динамику системы в рамках используемого подхода к ее описанию, т.е. динамика системы раскрывается благодаря перераспределению ("движению") чисел между симплексами с течением грсыени. Приращения £П неизбежно связаны с геометрией комплексов. При постоянной (фиксированной) структуре К ненулевые изменения модели 5П предлагается трактовать как сил проявляющиеся на симплексах комплекса н. ранжированные по раз-

li

мерностным уроки»« р. Изменение в базовом образе в сторону увеличении сопоставленных р-симплексам значений будет рассматриваться как р-сияа притяжения, в противном случае -к1к сила отпылкияания. которая воздействует на комплекс.

Основой процедуры Q-анализа симплициялытых комплексов является изучите его пеней связности, которые определяют возможность перемещения потока между симплексами дашюй

размерности q - чем меньше компонент связности иа уровне q, q = 0.....dimK, тем меньше

препятствий возникает на пути распространения допускаемого геометрией потока. В работе вводжея в рассмотрение вектор препятствий О* Q - U, где U - вектор, все компонпгты которого имеют значения, равные единице. Возрастание по величине любой из компонетгт вектора препятствий Q является "признаком увеличения жесткости" ■ развитии системы.

Возможности "перераспределения чисел" (свободного изменения образа) между симплексами » работе раскрываются с помотпмо оператора ?рами, ставящего в соответствие каждому симплексу ор комплекса совокупность всех его граней размерности р-1, и двойственного к нему оператора »iv/xjhh, определяемо!-о соотношением (Г(Ор).П) = (ор ,ДГ1). На примере модели участка производственной системы показывается использование введенных понятий, обсуждаются привлекательны« стороны и проблемы описания динамики систем в рамках Q-млодоюгин среди которых можно выде.тктъ неизбежное возникновение гтредваритслыюто этапа, на котором устанавливаются законы функционирования (развития) элементов системы, соответствующих симплексам комплекса, что заставляет применять "традиционные" подходы к описанию динамики.

Поскольку каждое конкретное математическое описание предопределяет круг проблем, которые можно исследовать в рамках зтеч-о описания, поэтому в большинстве случаев аналитик будет стремиться (если такая возможность существует) к получению дополнительной априорной информации, необходимой лля построения динамической модели (иди нескольких моделей ) системы, отражающей ее поведете. Такая модель позволяет перейти к изучению тех вопросов, которые не находят отражения в рамках Q-анаднэ», прежде всего это касается опре.те.тения состояний и их изменений (переходов) во времени, формирования управления на основе текущего состояния, выбора эффективных значений параметров системы и тд. Традиционно динамические процессы описываются на языке дифференциальных (или разностных) уравнений, и в работе прелюжен подход к использованию аппарата полиэдральной динамики для анализа геометрической структуры систем, изменения состояний которых во времени описываются линейным разностным уравнением

x(à+l)»A4(l)f»4(li), (7)

где А и В - постоянные матрицы размерностей тп и mm, соответственно, х = ( Х|,...,ХП )т -

конечномерный вектор состояния, u = ( u,.....и,, )т - вектор . .равления. Выбор класса лн-

нейных ctaiwoHapinJX дискретных по времени процессов связан с тем, что поведение многих рет.ных сисгем может бьтгь описано уравнениями видя (7). Четкое разделение переменных иа внутренние (х(к)) и внешние (u(k)| в трактовке уравнения (7) позво.тясг провести анализ линейной динамической системы в контексте Q-аналнэа. В !иессртацно|Шой работе пред|а-тапся процедура перехода от модели (7) к матрице инцидентности Л, рассматривается пример

и

использования такой процедуры и обьясняется роль ыаярнц А и В со структурных позиций.

Совместное использование теории лт1 .-иных динамических систем и аппарата 0-ана.шза можег оказаться полезным и при формировании взвешенной матрицы Г = 1 у^ ], которая служит, основой для выполнения процедуры среза и изучения вопросов, касающихся структурной устойчивости систем.

Р четвертой i.iaft оччечаюгея удобства реализации алгоритма Q-анализа в виде программы для персонального компьютера, которая превращает утомигельную рутинную работу в процесс творческого анализа выходных данных и принятия решений о дальнейших действиях, подчеркивается особая значимость для исследователя необходимости объяснения получаемых результатов и форма их представления.

Дано краткое описание программного комплекса POLYEDR (Сокращенна» Вертя Оля MS-DOS) структурного анализа систем, предоставляемых им возможностей и порядка работы.

Особенности алгоритма Q-анализа и появление на рынке мощных npoipaMM символьной математики, ориентированных на разные компьютерные платформы и использующих современные концепции 1.»стрости вычислительных сред, позволяют эффектный» и просто реализовать требуемые действия. В . дботе пркаедено описание пакета Kialhem.ukаш (Wolfram Research Inc.), этапов его развития и программ, подготовленных с его помощью дня использования в рамках проведения процедуры Q-анализа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ"'

Пивным результатом работы является создание универсального конструктивного инструмента моделирования и анализа структуры сложных систем. Под универсальностью здесь понимается ориентация методики на широкий класс объектов различной природы н назначения. конструктивность же связана с реализацией такого ориентированного на современные средства вычислительной техники программного комплекса, который дает конкретные численные оценки результатов моделирования и анализа структуры.

Основные выводы по диссертационной работе сводятся к следующему: 1. Предложенная методика анализа структуры сложных систем (процедура Q-анализа) должна рассматриваться как самостоятельный этап в изучении систем, позволяющий аналитику глубже понять структуру внутреннего устройства систем, присущую ей многомерность, характер н распределение связей между элементами (подсистемами), иерархичность построения системы и ее структурную сложность. Возможность создания эффективных програ • >но-ма тематических комплексов для проведения подробного структурного анализа систем открывает преимущества для специалистов в конкретной предметной области в понимании тех особенностей исследуемых систем, которые не выявляются при использовании традиционных ш чодов к построению математических моделей, а также в. формировании баш для организации дальнейших исследований. .

I. Применение алгебраического языка для описания геометрических образований позволяет построить сис.-сму локальных и глобальных числовых характеристик структуры систем, значения которых лвисят от происходящих с течением времени структурных изменений и

создают основу ли объяснения реальной карпшы событий специалистом, исход» из фнзи-. ческой природы системы.

3. Эффективность применения аппарата полиэдральной динамики, в общем случае, зависит от . Той априорной информации, которая имеется в наличии у исследователя - возможность совместной реализации процедуры среза и О-анализа оказывается достаточно продуктивной с точки зрения выявления структурных "нюансов" систем.

4. Потенциал О-анализа раскрывается при рассмотрении и изучении структурных отношений между подсистемами и элементами внутри системы, а также таких определяемых структурой характеристик, как надежность системы и « устойчивость.

в. Определение характера взаимного влияния структуры (основы) н развивающихся на ней потоков, посредством которых выполняются функции систем, является важным аспектом в структурном анализе, позволяющим выявить ограничения (препятствия) I» пути распространения потоков, возможные направления (своеобразные туннели) их движения. 1 Использование процедуры (^-анализа при исследовании внутреннего устройства систем, математическая моле.п, которой имеет вид линейного дифференциального или разностного уравнения, позволяет проспедить воздействие сигналов управления на состояния системы, понять причины возникновения изменений состояний и, тем сямым, перевести атгебраическую Модель на язык геометрического представления. Такой подход требует дальнейшего развития, объяснения понятий цикла, групп гомологий в системно-теоретическом котптксте и решения проблем уцрав-кння со структурной точки зрения.

Т. Возможности современных программных пакетов символьной математики и резко возросшие мощности компьютеров, доступных широкому кругу пользователей, открывают пути для построения эффективных программ, которые предоставляют значительные, удобства за счет гибкого «зыка и богатых средств графики при анализе созданных математических моделей сложных систем. Разработанные программы оказываются .юстаточно компактными и легко читаемыми.

Безусловно, результаты диссертантки гной работы свидетельствуют о значимости этапа анализа структур во всем комплексе системных исследований и расширяющимся круге возможностей. имеющихся в распоряжении аналитика и позволяющих ему взг лянуть на структуры сложных систем ~ позиций нетрадттонных подходов. Однако остается немало вопросов и проблем, непосредственно вытекающих из исходной постановки задачи и Предлагаемых путей ее решения. Прежде всего, стремление исследователя к получению полного представления о рассматриваемой нстеме определяет необходимость построения нескольких математических моделей, каждая из которых отражает определенное свойство (отношение) системы и подлежит самостоятельному, анализу с использованием аппарата полиэдра,сытой динамики. Накоп. генные выходные данные должны бить систематизиров-чы и обобщены, а самое главное, объяснены с учетом объективно существующих связей М зависимостей внутри системы.

Еще о.отой важной проблемой является "сопряжение" математических моделей, определяемых некоторым введенным отношением на последовате.1ьносги декартовых произведений двух множеств, хтгменты которцх, сохраняя принадлежность выбранному смысловому содержанию. отражаю! разные уровни деташзации описание !'сзультаты структурного анализа в таких с-т>ча»х сами станов*» « исходными данными для последующих шагов исследования.

Поскольку представляемый в работе аппарат Q-анализа рассматривается не в кошсксте чистой теории, а с позиций приложение j сфере математического иодс.шрооаши, то особый ннтсрес вызывает трактовка понятий Цепи q-связносги, дыр размерности q и других, раскры-' тне их физического смысла применительно к природе моделируемых систем. Более глубокой, рассмотрения заслуживает теория алгебраической юпологин и ее использование при проведении структу рного анализа сложных систем.

Основная часть материала диссертации отражена в работах:

1. Дегтярев К.Ю Описание дииамикн систем при теоретико-множественном подходе к их моделированию / Труды И Всесоюзной научно-1 нической конференции "Микропроцессорные системы автоматики". Тезисы докладов, Новосибирск, 1490 .

1. Дегтярев К.Ю. К вопросу моделирования сложных систем с испо;1ьзоваиием аппарата полиэдральной динамики / Труды Региональной научно-технической конференции "Моделирование и автоматизация проектирования сложных технических систем". Тезисы докладов, Калуга, 1990.

J. Дегтярев К.Ю. Планирован!, работы участка производственной системы / Отчет по хоздоговорной теме РТ-236 (ЦНКБ "Союз"), ретистраииоштый N 800008691. Москва, ДО МИ, 1988. Соавторы: С.Н.Музыкин, А.А.Мерсоэ, А.П.Хныкин.

4. Деттярев К.Ю. Исследование поведения сложных систем методами по лральной динамики / Отчет по хоздоговорной теме РТ-241 (НПО "Взлет"), регистрационный N 01900057878. Москва, МИП, 1990, Соавторы: С.Н.Музыкин, М Д.Шгыкии.

5. Oegtyaryov K.Y. Neurai Networks Modefing: a structural approach using • Q-anaJysü / The Proceedings of the Turkish-Russian Seminar on New Information Technologies. Oeb/e, Turkey,

6. Muzykin S.N., Oegtyaryov K.Y. Mathematical Modelinj of Neural Networks: joint или!» cf simplicial complexes methods and Wiener-Volterra functional expansions / The Proceedings of the Turkish-Russian Seminar on New Information Technologies. Gebze, Turkey, 1994.

7. Degtyaryov K.Y.,Muzykin S.N. The Forms! Description of Structurally Complex Information Systems I The 4-th East-West International Conference on Human Computer Interaction, St.Peterburg, 1994 (стендовый доклад).

1994.