автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления: теория и применения

На правах рукописи

ФИЛИМОНОВ Николай Борисович

ПОЛИЭДРАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ: ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва • 2009

003464604

Работа выполнена в Московском государственном университете

приборостроения и информатики

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор В.Д. Ивченко

Официальные оппоненты:

Академик РАН доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Кузнецов

доктор физико-математических наук, профессор

B.И. Цурков

доктор технических наук, профессор

C.В. Манько

Ведущая организация:

ГНЦ РФ ФГУП «Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем»

Защита состоится «13 мая 2009 г.» в «14-00» часов на заседании диссертационного совета Д212.131.03 Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ) по адресу:

119454, г.Москва, просп.Вернадского, д.78; тел. 434-92-32

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (ТУ)

Автореферат разослан «23» марта 2009 г.

Отзывы на автореферат, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 119454, г. Москва, просп. Вернадского, д. 78, МИРЭА(ТУ) Учен. секр. дисс. совета Д 212.131.03, Тягунову O.A.

E-mail: tyagunov@mirea.ru

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент О.А. Тягунов

d

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одна из важнейших тенденций развития автоматики наиболее отчетливо выражена в программном манифесте Я.З.Цыпкина: «Оптимизировать все, что оптимизируется, а что не оптимизируется, сделать оптимизируемым».

В современной теории автоматических систем доминируют непрямые (косвенные) методы оптимизации процессов управления, основанные на непосредственном использовании (необходимых и/или достаточных) условий оптимальности и базирующиеся на классическом вариационном исчислении, принципе максимума, динамическом программировании и функциональном анализе. Однако, в практике автоматических систем данные методы зачастую оказываются малоэффективными либо просто непригодными. В условиях усложнения динамических моделей, расширения требований качества, ужесточения фазовых и ресурсных ограничений более перспективны прямые методы оптимизации процессов управления, не использующие условия оптимальности, а изначально базирующиеся на аппарате математического программирования (МП).

В настоящее время МП достигло определенной степени зрелости и представляет собой мощный инструмент оптимизации, обеспеченный широким арсеналом алгоритмических и программных средств. К сожалению, несмотря на огромный прикладной потенциал, аппарат МП до сих пор не получил должного признания и применения в сфере оптимизации процессов управления.

«Занимаясь той или иной научной проблемой, - подчеркивали Курант (R. Courant) и Роббинс (G.Robbins), - лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться на общие методы», а А.Н.Тихонов и Д.П.Костомаров, рассуждая о перспективах развития методов оптимизации отмечали, что «конкретизация задачи, выделение определенных классов функций и областей позволяют провести более глубокое исследование и разработать специальные методы, которые решают задачу исчерпывающим образом». В настоящей диссертации выделен такой конкретный и вместе с тем достаточно широкий класс оптимизационных задач, для которых удается получить весьма простые и вместе с тем эффективные алгоритмические решения.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию нового класса оптимизационных задач - задач полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления динамическими объектами в условиях ресурсных и фазовых ограничений. Полиэдральная оптимизация основывается на аппарате полиэдрального программирования - специального раздела МП, изучающего оптимизационные задачи полиэдральной структуры.

Тема диссертации - полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления: теория и применения.

Объект диссертационного исследования - дискретные процессы управления конечномерными динамическими объектами с учетом ресурсных и фазовых ограничений.

Предмет диссертационного исследования - проблематика полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления.

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью исследования следующих проблем современной автоматики:

• проблемы управления динамическими объектами в условиях фазовых и ресурсных ограничений, уровень теоретической проработки которой не отвечает требованиям практики;

• проблемы развития техники классических прямых показателей качества процессов управления в рамках формализма пространства состояний;

• проблемы разработки прогностических стратегий управления, продиктованной закономерной сменой классической парадигмы позиционного управления;

• проблемы разработки алгоритмов робастного управления в условиях параметрической неопределенности динамики объекта и внешней среды.

Основной целью диссертационного исследования является разработка теоретических основ и изучение прикладных аспектов полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления и их применение к решению выделенных проблем автоматики.

В диссертации также затронуты вопросы наблюдения состояния управляемых объектов и внешней среды, органично связанные с информационно-измерительными аспектами технической реализации процессов управления.

Основными задачами диссертационного исследования являются:

4 разработка теоретических основ и численных методов полиэдральной оптимизации;

• разработка полиэдральной критериальной базы для дискретных задач управления динамическими объектами с учетом фазовых и ресурсных ограничений;

• постановка и решение на полиэдральной основе ряда ключевых задач оптимизации дискретных процессов управления и наблюдения;

• применение полиэдрального подхода в задачах алгоритмизации управления терминальным маневром летательных аппаратов.

Современное состояние темы диссертации. Диссертационное исследование поступательно развертывается по линии: «полиэдральное программирование -полиэдральная оптимизация процессов управления».

Ретроспектива полиэдрального программирования. Исследования в области оптимизации процессов управления не могли пройти стороной мимо аппарата линейного программирования (ЛП), как наиболее зрелого и развитого раздела МП, обеспеченного мощным арсеналом алгоритмов и программных средств. Однако, возможности ЛП не выходят за пределы линейной структуры решаемых задач - линейности целевой и ограничивающих функций.

По сравнению с ЛП более перспективно в сфере оптимизации процессов управления ПП - новый специальный раздел МП, объектом исследования которого является класс экстремальных задач с полиэдральной структурой, т.е. полиэдральными целевыми и ограничивающими функциями. Полиэдральная методология применима к большинству прикладных оптимизационных задач, причем многие возникающие на практике оптимизационные задачи либо изначально удается формализовать в терминах ПП, либо допускают применение полиэдральной аппроксимации. Важно подчеркнуть, что ключевые конструкции ПП - полиэдральные мноэюества, функции, нормы и метрики, - открывают новые возможности с точки зрения формализации постановки и содержательной интерпретации прикладных задач оптимизации дискретных процессов управления динамическими объектами в условиях ресурсных и фазовых

ограничений.

ПП занимает «промежуточное» место между линейным и выпуклым програм-мированиями, являясь обобщением первого и частным случаем второго. Его можно рассматривать как особую ветвь кусочно-линейного программирования (КЛП), охватывающую класс экстремальных задач с выпуклыми кусочно-линейными целевой и ограничивающими функциями. Основные задачи КЛП сформулированы в 1960-х гг. в известных книгах Е.Г.Голыптейпа, Д.Б.Юдина и С.И.Зуховицкого, Л.И.Авдеевой. Среди немногочисленных исследований, затрагивающих вопросы КЛП, можно выделить работы Arxapa (W.G.Aghar) и Уэйлеса (T.D.Walace); Мельцера (D.Meitzer); Гороховика (V.V.Gorokhovick) и Зорко (O.I.Zorko); Крифганза (A.Kripfganz) и Шульца (R.Schulze); Бенчекроуна (B.Benchekroun); Бен-Исраэля (A.Ben-Israel) и Чарнеса (А. Chames); В.П.Булатова; Р.П.Федоренко; В.И.Мудрова; Ф.М.Кирилловой и Р.Габасо-ва; Е.П.Волокитина; Е.И.Шилкиной; С.В.Плотникова; В.Н.Козлова; И.И.Еремина.

Несмотря на 40-летнюю историю своего существования, КЛП практически отсутствует в современной учебной и монографической литературе по МП, а задачи КЛП именуются нестандартными, либо специальными задачами Ж. В связи с этим введение автором специального самостоятельного раздела МП под названием «полиэдральное программирование» является принципиальным и вполне оправданным. Данный термин более адекватно отражает существо рассматриваемых задач, позволяет избежать терминологической путаности и привнести необходимую строгость в общую классификацию разделов МП. Кстати, словосочетание «полиэдральное программирование» (точнее «сепарабельное полиэдральное выпуклое программирование»), впервые встречается в 1992 г. в монографии А.Д.Гвишиани и В.А.Гурвича, а те или иные полиэдральные категории (объектами которых являются полиэдры), связанные с задачами оптимизации и управления, в последнее десятилетие все чаще встречаются в отечественной научной и учебной литературе. Здесь можно указать работы: И.И.Еремина, Н.А.Кузнецова, А.Б.Куржанского, Р.Габасова, Б.П.Дербеневой, A.B. Лотова, Г.К.Каменева, Р.В.Ефремова, Е.К.Костоусовой, Л.И.Микулича, А.С.Белень-кого, Е.В.Гончарова и С.Б.Пельцвергера, в которых используются такие выражения, как: полиэдральное оценивание и полиэдральная аппроксимация областей достижимости систем, полиэдральная оптимизация и оптимизация в полиэдральной норме, полиэдральные множества допустимых стратегий, алгоритмы полиэдральной аппроксимации в задачах фильтрации, оптимизация систем управления с полиэдральными ограничениями, полиэдральные методы в задачах управления и т.п.

К разработке теоретических основ ПП наиболее близки работы И.И.Еремина последнего десятилетия, связанные с исследованием задач КЛП.

Ретроспектива полиэдральной оптимизации процессов управления. Критериальная база задач оптимального управления основана на формализации представлений о качестве процессов управления. Проблема качества управления является одним из наиболее консервативных (по Я.З.Цыпкину «вечно юных») и слабо развивающихся разделов современной теории автоматического управления. Однако, на современном этапе ее развития фактически утрачена преемственность к интуитивно ясным и содержательным классическим представлениям о качестве процессов управления, выработанным отечественной автоматикой в 40-60-е гг. прошлого столетия. Действительно, мы наблюдаем преобладание квадратичных критериев качества и порождаемых ими задач оптимизации, именуемых задачами аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Несмотря на чрезвычайную популярность, концептуальные основы АКОР часто подвергались резкой критике известными отечественными и зарубежными учеными, включая В.В.Солодовникова, Н.Н.Моисеева, Я.З.Цы-гггана, С.В.Емельянова, С.К.Коровина, А.А.Первозванского, А.М.Баткова, А.А.Коле-сникова, В.Н.Букова, Беллмана (R.E.Be)iman), Уояэма (W.M.Wonham), а также самих основоположников теории АКОР Калмана (R.E.Kalman) и А.М.Летова. Данная критика обусловлена, прежде всего, отсутствием у оптимизируемых квадратичных крите-

риев ясного физического смысла, невозможностью учесть локальные свойства переходных процессов, а также установить прямые ограничения на фазовые переменные. Кроме того, инженерную ценность методологии АКОР ставят под сомнение результаты решения так называемой обратной задачи АКОР, согласно которой любая асимптотически устойчивая замкнутая автоматическая система (даже со сколь угодно неудовлетворительным качеством переходных процессов) является оптимальной в смысле некоторого квадратичного критерия качества.

В работах автора проведено систематическое исследование проблемы качества процессов управления для широкого класса конечномерных динамических объектов, которое затронуло, в частности, критериальные основы теории АКОР и послужило толчком к разработке альтернативной к ней теории полиэдральной оптимизации процессов управления.

По мнению Беллмана (R.E.Bellmati), в теории АКОР исходную задачу «заменяют менее важной задачей минимизации квадратичного функционала, потому что она, в противоположность первой, более реалистичной задаче, поддается изучению с помощью классических методов». Более реалистичны задачи полиэдральной оптимизации процессов управления, отличительной особенностью которых является полиэдральная структура: все ключевые элементы задачи - цель управления, ограничения и критерии качества - являются полиэдральными.

Обращаясь к ретроспективе полиэдральных критериев качества процессов управления, следует отметить, что отдельные их виды имеют давнюю историю и в период зарождения не могли интерпретироваться с позиций полиэдрального анализа. К числу исторически сложившихся первых критериев качества управления полиэдральной структуры следует отнести известный критерий равномерного приближения Че-бышева, впервые введенный в теорию и практику автоматических систем сначала Б.В.Булгаковым в конце 1930-хгг. для задач накопления возмущений, а затем В.В.Со-лодовниковым и А.А.Фельдбаумом в 1953 г. для общего класса задач управления как максимальное отклонение, или перерегулирование. Важность данного критерия качества в теории и практике автоматических систем подчеркивали ведущие зарубежные и отечественные ученые: Беллман (R.E.Bellman), Дрейфус (S.E.Dreyfus), Гликсберг (I. Glicksburg), Гросс (O.Gross), Нейштадт (L.W.Neustad), Джонсон (C.D.Johnson), Далех (M.A.Dahleh), Пирсон (J.B.Pearson), Куликовский (R.Kulikowski), Портер (W.A.Porter), Варга (J.Warga), Е.А.Барбашин, Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский, Ю.С.Осипов, Н.Н.Моисеев, Ф.Л.Черноусько, Я.З.Цыпкин, В.А.Якубович, А.Я.Дубовицкий, A.A. Милютин, Г.М.Уланов, В.Ф.Демьянов, К.А.Лурье, Р.П.Федоренко, Р.Габасов, Ф.М. Кириллова, В.А.Троицкий, А.И.Субботин, А.Г.Ченцов, В.М.Кейн, В.А.Бесекерский, АА.Колесников, А.А.Первозванский, В.П.Куропаткин, В.В.Григорьев, А.Е.Бараба-нов и др. Однако, несмотря на ясный физический смысл, практическую значимость и давнюю историю, возможности его применения оставались сомнительными из-за отсутствия конструктивных методов решения порождаемых им оптимизационных задач. Один из мотивов диссертационного исследования - возрождение интереса к че-бышевскому критерию качества управления на основе полиэдральной методологии.

Те или иные полиэдральные конструкции фрагментарно встречаются в литературе в постановках ряда задач оптимального управления при формализации либо цели управления, либо ограничений, либо критериев качества. Здесь следует указать задачи минимаксного управления динамическими объектами, рассмотренные в работах Джонсона (C.D.Johnson), IIlBenne(F.C.Schweppe), Далеха (M.A.Dahleh), Н.Ф.Кириченко, АБ.Куржанского, В.А.Якубовича, В.М.Кейна, А.Е.Барабанова, Э.Я.Рапопорта, А.Ф.Шорикова и др. Однако, все эти задачи не относятся к рассматриваемому в диссертации классу задач с полиэдральной структурой.

К полиэдральной методологии оптимизации процессов управления наиболее близки работы А.А.Первозванского 1960-х гг., связанные с равномерной оптимизацией систем управления.

Методы исследования базируются на положениях современной теории управления и методов математического программирования. Для вывода, обоснования и доказательства основных теоретических результатов применялся математический аппарат теории разностных уравнений, теории матриц, теории оптимизации и выпуклого анализа. Подтверждение теоретических результатов проводилось компьютерными вычислительными экспериментами.

Научная новизна. В диссертации сформировано новое научное направление в теории автоматического управления, связанное с применением аппарата полиэдрального анализа, полиэдрального исчисления и полиэдрального программирования к задачам дискретного управления динамическими объектами.

На защиту выносятся следующие новые результаты:

♦ Теоретические основы полиэдральной оптимизации, включая элементы полиэдрального анализа, полиэдрального исчисления и полиэдрального программирования.

♦ Методы редукции задач полиэдральной оптимизации к задачам безусловной полиэдральной оптимизации и к задачам линейного программирования.

♦ Численные методы безусловной полиэдральной оптимизации: субградиентный метод, реализующий непрямую схему «жестких вычислений», и эволюционный метод в виде комбинации эволюционных стратегий и генетических алгоритмов, реализующий прямую схему «мягких вычислений».

♦ Полиэдральная методология формализации задач оптимального управления динамическими объектами с учетом фазовых и ресурсных ограничений на процессы управления.

♦ Полиэдральная стратегия дискретного упреждающего управления динамическими объектами в условиях ресурсных ограничений.

♦ Полиэдральная методология постановки и решения ряда дискретных задач анализа и синтеза систем управления с учетом фазовых и ресурсных ограничений:

• предельного быстродействия;

• исследования устойчивости и стабилизирующего управления;

• экстремального накопления возмущений;

• гарантированного управления в условиях начальной полиэдральной неопределенности;

. • робастного управления в условиях параметрической полиэдральной неопределенности;

• конфликтного управления противоборствующими объектами;

• барьерного управления в критических ситуациях;

• идентификации состояния системы и внешней среды в условиях полиэдральной неопределенности возмущающих факторов.

♦ Решение прикладных задач управления терминальным маневром аэродинамических летательных аппаратов на основе методологии полиэдральной оптимизации.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций диссертации обусловлены использованием апробированных научных методов и средств, полнотой и корректностью исходных посылок, строгостью математических выкладок, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, а также апробацией и обсуждением полученных результатов на научных конференциях и экспертизой публикаций в ведущих научных изданиях.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты и методические рекомендации ориентированы на разработку эффективных дискретных систем автоматического управления с учетом разнообразных условий функционирования, включая условия параметрической неопределенности, действия возмущающих факторов, возможность критических и конфликтных ситуаций.

Основными достоинствами полиэдральной методологии оптимизации процессов управления как эффективного инженерного инструмента решения широкого круга теоретико-прикладных задач являются:

• общность математического формализма, обусловленная использованием полиэдральных конструкций в постановке и содержательной интерпретации задач управления;

• аппроксимативные аспекты полиэдрального формализма, связанные с возможностью приближения любых выпуклых функций и множеств соответственно полиэдральными функциями и множествами;

• ясный инженерный смысл полиэдральных критериев динамического качества процессов управления, простота формализации полиэдральных целей управления, а также полиэдральных фазовых и ресурсных ограничений;

• простота компьютерной реализации алгоритмов полиэдральной оптимизации с использованием доступных и апробированных вычислительных технологий и стандартного программного обеспечения.

Результаты теоретических исследований, разработанные методы полиэдральной оптимизации и полиэдральные алгоритмы управления могут найти широкое применение в задачах автоматизации технических объектов и технологических процессов в промышленности, энергетике и на транспорте.

Использование, внедрение и реализация результатов. Диссертационная работа выполнялась в рамках плановых госбюджетных научно-исследовательских работ и конкурсных проектов, включая: программу Минобразования РФ «Интеллектуальные системы» (1998 г.), подпрограмму «Научные исследования высшей школы в области транспорта» (2001 г.), конкурсный проект РФФИ по отделу математики, информатики и механики «Исследование алгоритмов решения терминальных задач» (2000-2002 гг.).

Результаты диссертационного исследования использовались в научно-производственном процессе двух предприятий:

- ОАО АНТК им. А.Н.Туполева в 1998-2000 гг. при разработке научно-методического, алгоритмического и программного обеспечения системы компьютерной сертификации динамики посадочных маневров пассажирских самолетов: среднемагистрального Ту-204 и сверхзвукового Ту-144ЛЛ;

- ФГУП «НПО машиностроения» в 2000-2003 гг. при разработке перспективных алгоритмов управления стартовым маневром автоматических аэродинамических высокоманевренных беспилотных летательных аппаратов.

Предложенные решения позволяют значительно сократить сроки разработки и верификации алгоритмов управления, а также повысить качество процессов управления маневрами летательных аппаратов. При этом техническая целесообразность применения и эффективность разработанных алгоритмов управления обусловлены возможностью учета реальных динамических свойств аппарата, требований к качеству маневра, а таюке ресурсных и фазовых ограничений.

Основные теоретические результаты диссертации вошли в пятитомный учебник по методам классической и современной теории автоматического управления, использованы в учебном процессе при подготовке инженеров по направлению «Системы управления и навигации», магистров и бакалавров по направлению «Автоматизация и управление» в МГТУ им. Н.Э.Баумана и «МАТИ»-РГТУ им. К.Э.Циолковского, а также при подготовке аспирантов в МГТУ им. Н.Э.Баумана и PhD-студента в Де Монтфортском университете (г. Лейстер, Великобритания).

Апробация работы. Основные теоретические и практические результаты диссертации докладывались и обсуждались на более, чем 110 международных и отечественных научных конференция, симпозиумах и семинарах, включая:

♦ Конференции и семинары в России и в ближнем зарубежье: Моск. гор. шк.-семин. мол. учен. «Алгоритмизация и программирование задач управления» (Москва, 1978, 1984); I и II Всесоюз. межвуз. науч.-техн. конф. «Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП» (Ленинград, 1978; Ташкент, 1980); III Всесоюз. совещ. по автоматизации проектирования САУ и АСУ ТП (Иваново, 1981); Ре-спубл. конф. «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе» (Киев, 1982); 1-я Всесоюз. науч.-техп. конф. «Синтез и проектирование многоуровневых систем управления» (Барнаул, 1982); X и XI Всесоюз. науч.-техн. совещ. «Создание и внедрение систем автоматического и автоматизированного управления ТП» (Алма-Ата, 1983; Новгород, 1986); V Всесоюз. совещ. «Управление многосвязными системами» (Москва, 1984); Республ. науч.-техн. конф. «Опыт создания и пути повышения эффективности функционирования АСУПиТП» (Минск, 1985); V-VI Всесоюз. совещ.-семин. мол. учен. «Современные проблемы автоматического управления» (Пушкино, 1985; 1987); III и IV Всесоюз. науч.-техн. конф. «Программное, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ» (Ташкент, 1985, 1988); Всесоюз. науч. конф. «Декомпозиция и координация в сложных системах» (Челябинск, 1986); 5-я Всесоюз. Четаевская конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1987); Респ. науч.-техн. конф. «Методологические проблемы автоматизированного проектирования и исследования систем» (Севастополь, 1987); III Республ. науч.-техн. конф. «Новые достижения в области приборостроения» (Ереван, 1987); 1-2-я Всесоюз. науч.-техн. конф. мол. учен, и спец. с междунар. участием «Контроль, управление и автоматизация в современном производстве» (Москва, 1988, 1990); X Всесоюз. совещ. по проблемам управления (Москва, 1989); Всесоюз. науч.-техн. совещ. «Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления ТП» (Челябинск, 1990); Науч.-техн. конф. «165 лет МГТУ им. Н.Э.Баумапа» (Москва, 1995); 1-6-й междунар. симп. «Интеллектуальные системы» (Махачкала, 1994; С.-Петербург, 1996; Псков, 1998; Москва, 2000; Калуга, 2002; Саратов, 2004); VI-VIII и XI междунар. науч.-техн. семин. «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 1997-1999, 2002); 1-я междунар. конф. «Новые технологии управления движением технических объектов» (Ставрополь, 1999); The Third Russian-Korean Internat. Sympos. on Science and Technology (Novosibirsk, 1999); The 4th и 5й Internat. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engi-

neering (Novosibirsk, 1998, 2000); VI междунар. семин. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2000); Конф. по теории колебаний и управлению, посвящ. 100-летию Б.В.Булгакова (Москва, 2000); Междунар. конф. «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике» (Ульяновск, 2001); Науч.-практ. семин. «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); Всеросс. науч.-техн. конф. «Аэрокосмические технологии» (Реутов, 2002, 2003, 2004); 2, 3 и 5-я междунар. науч.-техн. конф. «Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники (Чкаловские чтения)» (Егорьевск, 1997, 1999, 2004); XXVI-XXVIII академ. чтения по космонавтике (Москва, 2002-2004); 2-3-я Всеросс. науч. конф. «Управление и информационные технологии» (Пятигорск, 2004; С.-Петербург, 2005); 1-2-я Всеросс. науч.-техн. конф. с междунар. участ. «Мехатроника, автоматизация, управление» (Владимир, 2004; Уфа, 2005); 1-2-я междунар. науч. конф. «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2000, 2005); Всеросс. научно-техн. конф. «Информационные технологии» (Воронеж, 2005); The Г' и 2"d Internat. Conf. «Dynamical System Modelling and Stability Investigation» (Kyiv, 2003, 2005).

♦ Конференции в ближнем и дальнем зарубежье: Научна сесия ВМЕИ «Ленин» (Болгария, София, 1989); Трета-Пета Национ. млад. шк. с междунар. уч. «Систе-ми за автоматизация на инженерния труд и научните изследвания» (Болгария, София, 1989-1991); 9,h, Ю'\ 13,h-17lh Internat. Conf. «Systems for Automation of Engineering and Research» (Bulgaria, Varna, 1995, 1996,1999-2003).

♦ Семинары в: МГТУ им. Н.Э.Баумана, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э.Циолковского, МИФИ (ТУ), МГУ им. М.В.Ломоносова, СПбГЭТУ «ЛЭТИ», Саратовском ГТУ, Киевском национ. ун-те (Украина), Софийском национ. ун-те (Болгария), Де Монфортс-ком ун-те (г. Лестер, Великобритания).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано самостоятельно и в соавторстве более 160 печатных работ, включая одну монографию, две главы в пятитомном учебнике, учебное пособие, 34 статьи, опубликованные в центральных отечественных и зарубежных журналах, а также 19 статей, опубликованных в рецензируемых научных сборниках. 18 статей опубликованы в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ (из них б статей без соавторов). Публикации полностью отражают основное содержание диссертации.

Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежат результаты, относящиеся к разработке теории ПП и ее применения в задачах оптимизации процессов управления. В работах с соавторами (В.В.Солодовниковым и А.Б.Филимоновым) автору принадлежит ведущая роль в постановке задач, выборе и обосновании методов их решения, а также в объяснении полученных результатов. В работах, выполненных совместно с аспирантами А.Н.Бабичем, М.Н.Деменковым и И.В.Белоусовым, автор осуществлял непосредственное научное руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 821 наименований и двух приложений, включая акты об использовании результатов диссертационного исследования. Основное содержание диссертационного исследования изложено на 284 страницах, включая 26 рисунков и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и приведен обзор современно-Введение го состояния научных исследований по теме диссертации. Определены: объект, предмет, цель, основные задачи и методы исследования. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Показана научная новизна, оригинальность, достоверность и обоснованность, а также практическая ценность результатов. Дана общая характеристика работы.

В главе разрабатываются основные положения полиГлава 1. Основы теории эдрального анализа (ПА), полиэдрального програм-полиэдральной оптими- мирования (ПП) и полиэдрального исчисления (ПИ), зации составляющих фундамент теории полиэдральной оп-

тимизации. Формулируются общая и типовые частные задачи ПП. Предлагаются методы редукции задач ПП к задачам ЛП и задачам безусловной полиэдральной оптимизации.

Элементы полиэдрального анализа. ПА - специальный раздел выпуклого анализа, объектом изучения которого являются такие полиэдральные конструкции, как полиэдральные множества, функции, неравенства, нормы и метрики.

Полиэдральные множества. Полиэдральное множество, или выпуклый полиэдр РсХ=Кп, - множество, образованное пересечением конечного числа замкнутых полупространств в X, причем пустое множество 0 является полиэдральным по определению.

Каждый полиэдр допускает «внешнее» и «внутреннее» представления, которые, согласно известной теореме Вейля (! I. \VeyI), эквивалентны.

«Внешнее представление» полиэдра Р с К" задается множеством замкнутых полупространств [Р\, Р2, ..., Рт}, порождаемых ограничивающими гиперплоскостями Г, = {хеК" : (в„ х) = Ь,, /=1 ,т (а, еК", Л,еК)}:

т

9= = {хеК": Ах<Ь}, 1=1

где АеК™*" - матрица со строками о„ ЬеКт - вектор с элементами (г= 1 ,т).

«Внутреннее представление» полиэдра V с К" задается параметрически в виде всевозможных выпуклых комбинаций конечного числа точек х :

V = сопу{дг',х2,..х*} = еК" : * = £;Ь е К,X/ > О, I = й;Я/ = 11.

Полиэдральные функции. Полиэдральная функция / - функция, надгра-фик которой ер1 /является выпуклым полиэдром.

Описываются фундаментальные свойства полиэдральных функций и доказывается сохранение свойства полиэдральности при многих операциях.

На классе непрерывных функций]\(х),/г(х), ... /т{х) определена операция максимума (поточечного или дискретного максимума)

т

тах{/;(*),Д*), - V./;{л:) = (/;v/2v...v/m)(лc).

/=1

Теорема 1.1. Функция fix) является полиэдральной тогда и только тогда, когда она является функцией максимума конечного числа линейных функций:

т

fix) = V Ср;(х), (1.1)

1=1

где ф,(х) = а,о + (ah х>, a,0eR, а,еХ, ;'= 1 ,т.я

Представление полиэдральной функции в виде (1.1) является ее дизъюнктивным разложением.

Теорема 1.2. Если ft(x),f2(x), ... fjx) - полиэдральные функции, a fix) -функция максимума:

т

№=vf{x), i=i

то fix) - полиэдральная функция. ■

Доказано, что класс полиэдральных функций совпадает с классом выпуклых кусочно-линейных функций. Показана возможность построения новых полиэдральных функций из имеющихся посредством операций умножения на положительный скаляр, сложения и поточечного максимума, а также линейного преобразования аргумента.

Наиболее часто встречающимися полиэдральными функциями являются функции поточечного максимума и суммы модулей:

fix) = maxI, |х21, ■••, l*«|}, ,А*) = Ы + Ы+ ... + |x„|.

Полиэдральные неравенства. Полиэдральное неравенство - неравенство

фс)<С, (1.2)

в котором g(x) является полиэдральной функцией, а С = const, причем множество его решений является выпуклым полиэдром.

Показано, что всякую конечную систему полиэдральных неравенств можно представить единственным полиэдральным неравенством (1.2), а если

я

g(x) = V vi/ре), j=1

где у/х) - линейные функции, то полиэдральное неравенство (1.2) можно разложить в эквивалентную систему линейных неравенств:

%{x)<CJ=\,q.

Полиэдральные нормы и метрики. Математическая структура многих прикладных задач оптимизации определяется выбором нормы векторов в пространстве решений X. Введение полиэдральных норм может дать существенные преимущества, позволяя в прикладных задачах оптимизации эффективно использовать методологию полиэдральной оптимизации.

Полиэдральная норма - норма, являющаяся полиэдральной функцией координат. Широкое распространение находят две полиэдральные нормы:

IMIi=lW, IMI®= max|x,|, (1-3)

¡=1 Win

известные как октаэдрическая и кубическая (чебышевская) нормы.

Полиэдральные нормы порождают особый класс «неевклидовых» метрик - полиэдральные метрики. Нормы (1.3) порождают соответственно две полиэдральные метрики - расстояние Минковского и расстояние Чебышева:

= ||*--х'||ь р4*, Л') = Цл-х'Цоо.

Доказана теорема об удовлетворении функции максимума аксиомам нормы. Обсуждаются вопросы построения и сравнения полиэдральных норм.

Элементы полиэдрального программирования. ПП - специальный раздел математического программирования, объектом исследования которого является класс экстремальных задач с полиэдральной структурой, т.е. с полиэдральными целевой и ограничивающей функциями.

Общая задача полиэдрального программирования. Общая задача ПП является задачей условной оптимизации вида

Лл:)ехй-, (1.4)

&{*)<0, /=Пм, (1.5)

хеР, (1.6)

где -дсеХ- И", /(х) и g,{x) - соответственно полиэдральные целевая и ограничивающие функции; РаХ - полиэдральное множество.

Введение полиэдральной функции

£(•*) = тах g¡(x) /е[1 :т]

и полиэдра

2)={дгеК":й(д:)<0;л:е!Р}. (1.7)

позволяет общую задачу ПП (1.4)-(1.6) представить в виде следующей эквивалентной задачи условной полиэдральной оптимизации:

ех1г(/С*):*е£>}. (1.8)

Многие прикладные задачи оптимального управления, проектирования и планирования изначально имеют полиэдральную структуру. Кроме того, некоторые задачи ЛП для уменьшения количества переменных и ограничений целесообразно переформулировать в терминах ПП, а любую задачу выпуклого программирования всегда можно точно или приближенно свести к задаче ПП путем кусочно-линейной аппроксимации целевой и ограничивающих функций.

Поскольку полиэдральные функции относятся к классу выпуклых кусочно-линейных функций, то общая задача ПП относится к классу задач выпуклой негладкой оптимизации.

В последнее время негладкость все чаще встречается в математических моделях технических, социально-экономических и экологических процессов, что способствовало интенсивному развитию теории негладкой оптимизации, основанной на аппарате негладкого анализа. Различным аспектам негладкой оптимизации посвящены работы А.М.Гупала, В.А.Демьянова, В.Н.Малоземова, Л.В. Васильева, В.В.Федорова, Н.З.Шора, В.И.Норкина, Е.А.Нурминского, Б.Т.Поляка, А.М.Рубинова, И.В.Коннова, Рокафеллара (К.Т.ЯоскаГеНаг), Кларка (Р.Н.С1агке), Ауслендера (А.АиБкпёег), Данскина (¿М.Оапзкш), Калума (1Си11ит), Голдстейна (А.А.ОоШет),Халкина (Н.НаШп), Доната (\*/.Е.ВопаШ), Волфа (Р.\¥о1Ге) и др.

Автором развиваются два подхода к редукции задач ГШ:

• редукция задач ПП к семейству задач ЛП;

• редукция задач ПП к задаче безусловной полиэдральной оптимизации.

Редукция к задачам линейного программирования. Полиэдральные функции обладают важной спецификой: они, являясь негладкими, составлены из гладких - линейных функций. Именно эта специфика позволяет избежать «борьбы» с негладкостью решаемых задач ПП посредством их редукции к задачам ЛП. ПустьДх) и g(x): X->R - полиэдральные функции.

Задачи ПП на максимум - это оптимизационные задачи вида 30: тах[Дд:) :gW<0}.

Представим функции fix) и g(x) своими дизъюнктивными разложениями:

р я

Лх) = V ф,{*), g(x) = V у/*), <=1 у=1

где и у/лс) - линейные функции. Рассмотрим семейство задач ЛП:

3,-: тах{ф,<*): у/х) < 0,/= 1 ,q}, /= 1 ,р.

Теорема 1.3. Исходная задача Зо разрешима тогда и только тогда, когда разрешима каждая изр вспомогательных задач Зь Зэ,..., Зр.

Допустим, что задача Зо разрешима, и положим, что /*, cpi, 92, ..., фр -оптимальные значения целевых функций рассматриваемых задач, причем ф* =тах{ф*, ф2,..., фр}.

Тогда /*= ф*,

причем, если для некоторого кв{ 1,2, ...,р} выполняется равенство ф£=ф*, то оптимальное решение вспомогательной задачи 3* является также оптимальным решением исходной задачи Зо- ■

Метод решения задачи ПП на максимум:

• решается семейство вспомогательных задач ЛП 3i, З2, ..., Зр;

• определяется наибольшее значение из всех оптимальных значений целевых функций решенных задач;

• найденное оптимальное решение, обеспечивающее наибольшее значение целевой функции, принимается за оптимум исходной задачи Зо.

Задачи ПП на минимум - это оптимизационные задачи вида 30: шт{Дд:):^)<0}.

Поставим исходной задаче Зо в соответствие следующую вспомогательную оптимизационную задачу Зо в расширенном пространстве X =XxR: Зо: f(x) = х„+) -> min,

gi(*) =Äxь x2,..., xn) -x„+i < 0, I2C*) =&(*Ь*2, ...,*„) ^0. где x = col(*b xi,..., x„, X0-i)e X.

Теорема 1.4. Исходная Зо и вспомогательная Зо задачи эквивалентны:

1) каждая из них разрешима только тогда, когда разрешима другая;

2) оптимальные значения целевых функций обеих задач совпадают:

/* = /*;

3) если х* еХ - оптимальное решение исходной задачи, то х* =(х*,/*) является оптимальным решением вспомогательной задачи и наоборот. ■

Теорема 1.5. Любая задача ПП на минимум сводится к задаче ЛП. ■ Метод решения задач ПП на минимум:

• вводится дополнительная переменная х„+| - мажоранта целевой функции задачи Зо;

• исходная задача преобразуется в расширенную задачу Зо с линейной целевой функцией х^,;

• из задачи Зо посредством разбиения ее полиэдральных ограничений на линейные получается задача ЛП Зь

• найденное оптимальное решение последней задачи дает решение исходной задачи.

Задачи ПП на миннмакс и максимин - это минимаксные и максимин-ные задачи полиэдральной структуры.

Пусть X=R", аР, б сХ - выпуклые полиэдры, являющиеся выпуклыми оболочками заданных конечных множеств точек То, QqcX :

P = conVP0, fü={p\,pi, ...,Pl], />,еХ (/=й);

ö = convö0, öo={?i>?2, ...,?м}> (j=l,M).

Под задачами ПП на минимакс понимаются задачи вида

fi = min max/(y-z). (1.9)

yzP zeQ

Показано, что вспомогательная функция ср (у) = шах/(у-г) является по-

zeQ

лиэдральной, для ее построения можно использовать формулу

фО)= maxf(y-q)= max f(y-qj), qeQ0 i< j<M

а минимаксная задача (1.9) сводится к задаче ПП на минимум

f\ = min ф(у).

уеР

Под задачами ПП на максимин понимаются задачи вида

/н = max тт/(р-г), (1.10)

геОуеР

предполагая, что полиэдральная функция fix) удовлетворяет аксиомам нормы. Показано, что вспомогательная функция y(z) = min fiy-z)

ysp

является выпуклой и ее множества уровня являются выпуклыми полиэдрами. В силу этого, максиминная задача (1.10) равносильна задаче ПП на максимум

/н = max\|/(z), (1.11)

zeQ

оптимальное значение которой достигается в крайней точке множества Q.

Экстремальная задача (1.11) сводится к поиску максимума функции y(z) на конечном множестве точек Q0:

/и = max 4/(9) = max geQ0 MjüM

значения функции в которых являются значениями задачи ПП на минимум:

v|i(qj)= min f{y-qj).

yeP

Для значений рассматриваемых минимаксных и максиминных задач ПП справедливо общее правило: f\ > f\\.

Таким образом, принципиальной особенностью основных типовых задач ПП является их редуцируемость, т.е. сводимость к задачам ЛП.

Редукция к задаче безусловной полиэдральной оптимизации методом точных полиэдральных штрафов. Один из способов решения задач условной оптимизации состоит в их сведении к задачам безусловной оптимизации методом штрафных функций, который в сочетании с методами поиска безусловного экстремума является универсальным средством решения практически любых задач МП.

В основу метода штрафных функций положена идея введения «штрафа» за нарушение ограничивающих условий задачи в виде штрафной функции, зависящей от штрафного параметра и обладающей следующими свойствами:

• при нахождении переменных в допустимой области штрафная функция близка к нулю и достаточно быстро возрастает при выходе за ее пределы;

• степень близости «штрафа» к нулю и скорость его возрастания зависят от значения штрафного параметра и увеличиваются с его ростом.

Рассмотрим общую задачу ПП (1.8), (1.7) на минимум:

3: min f(x).

x<=D

Введем вспомогательную «оштрафованную» целевую функцию

Fix, у) =/(х) + Ф(д;, у), где Ф(х, у) - штрафная функция, отражающая меру «штрафа» за нарушение ограничения хеЮ и зависящая от положительного штрафного параметра у.

В случае гладкой штрафной функции Ф(х, у) любая последовательность положительных чисел {у*}, у^~>+со, приводит к соотношению Ф(х, ук) —> 0, т.е. обеспечивается лишь приближенная, асимптотическая редукция задачи 3. В случае же негладких точных штрафных функций, введенных И.И.Ереминым и Зангвиллом (W.I.Zangwill), существует конечный точный штрафной параметр у* такой, что при любых у> у* множество решений условной оптимизационной задачи 3 с целевой функцией fix) совпадает с множеством решений безусловной оптимизационной задачи с целевой функцией F(x, у), т.е. обеспечивается точная конечная редукция задачи 3.

Исследования точных штрафных функций связаны с работами Кивеля (К.С.

Kiwiel), ДиПило (G.Di Pillo), И.И.Еремина, А.М.Гупала, Ю.Г.Евтушенко, В.Г.Жа-дана, В.В.Шмелева, В.Ф.Демьянова, В.В.Федорова, Л.Н.Поляковой и др.

Обратимся к общей задаче ПП и положим, что £> = 0ПР; Q, РаК", где Q - полиэдральное множество, задаваемое функциональными ограничениями в виде системы полиэдральных неравенств:

0={jceR":a(x)!SO,/=Üm}, (1.12)

a f - полиэдральное множество, задаваемое прямыми (интервальными) ограничениями, в виде «простого» параллелепипеда, определяющего двухсторонние границы изменения компонент вектора *:

P={xeR" : x¡ <x¡< x¡, -оо< x¡ < x¿ < +00, / = 1^2}. (1.13)

Построим точные штрафные функции множеств Q ар для освобождения от функциональных и прямых ограничений общей задачи ПП.

Поскольку каждая из полиэдральных функций £,{•*) может быть представлена своим дизъюнктивным разложением:

я i _

gi(x)= V \y¡j(x), i= l,m, 7=1

где »(/у (x) - линейные функции, то полиэдральные неравенства (1.12) могут быть представлены эквивалентной системой линейных неравенств:

Уу{х)<0,у=17^,/=Гт. (1.14)

Введем «срезки» функций ij/y (х):

ytj(x) = max {\\i¡j(x), 0} = 0,5[\|/у<л:)+|\|/,у(д:)|], j=\,q¡ ,i=\,m, и объединим их в вектор-функцию y : +Ч2 +'"+?т вида

W) = col(v^(x), у+2(х),..., y+mqm (х)).

Как следует из работ Ю.Г.Евтушенко и В.В.Федорова, в качестве точных штрафных функций множества Q достаточно взять /^-норму (норму Гельдера) вектор-функции у(х) для двух значений параметрар: р = 1 и р = со:

т Я, т Я,

(1-15)

í=l j=1 i=l 1

. ®ffoo(x,y) = y||\)/(x)|U = y max max {yUx)} = y max {g,(*),0}. (1.16)

ie[l:m]y<=[l:?i] ' ie[l:m]

Аналогичным образом строятся точные штрафные функции множества Р:

п

у) = yZ[max{(*/-x¡)>°} + тах{(-^. +Х,.),0}]5 (1.17) /=1

ФpJx, у) = у max {(*,- - x¡), (~x¡ +x¡), о}. (1.18)

/€[1:и]

Нетрудно видеть, что сепарабельные Ф^](х, у) и Ф/ч(х, у), а также несепа-

рабельные Фд<с(х, у) и Фр<х>(х, у) точные штрафные функции вида (1.15)—(1-18) являются полиэдральными функциями, порожденными соответственно полиэдральными октаэдрической и кубической нормами.

Введем «оштрафованные» целевые полиэдральные функций: Т\(х, у) =ßx) + Фв1(х, у) + у),

"F«,(x, у) =ßx) + Ф&х(х, у) + Фрм(д:, у).

Предложение. Пусть задача 3 разрешима. Тогда при использовании полиэдральных штрафных функций (1.15)—(1.18) существует точный штрафной параметр у*, т.е. для любых у > у* задача условной полиэдральной оптимизации 3 и вспомогательные задачи безусловной полиэдральной оптимизации с целевыми функциями Т\(х, у) и TJ,x, у) эквивалентны:

min {/(je): xe£>} = min {T\{x, у): xeR"} = min {^(д:, у): ДсеК"}; arg min {fix): xeD} = arg min {T\(x, y) : xeR"} = arg min {Tx(x, y): jcelR"}. ■

В результате, любой численный метод однократного решения вспомогательной задачи полиэдральной оптимизации при любом точном штрафном параметре у = у* служит также методом решения исходной задачи 1111.

Элементы полиэдрального исчисления. ПИ - специальный раздел выпуклого анализа, занимающийся исследованием дифференциальных свойств полиэдральных функций, включая локальное поведение и условия их экстремума.

Показано, что полиэдральные функции относятся к классу субдифферен-цируемых функций. Приводятся основные положения «исчисления» субдифференциалов выпуклых негладких функций.

Проведен анализ дифференциальных и экстремальных свойств полиэдральных функций на основе использования их дизъюнктивного разложения и формул субдифференцирования функций поточечного максимума, полученных Данскиным (J.M.Danskin) и В.Ф. Демьяновым. Результаты данного анализа отражают следующие теоремы.

Теорема 1.6. Для субдифференциала полиэдральной функции (1.1) справедливо выражение

8J[х) = conv {ak, kel(x)},

где Цх) = {ke[\:m]: (Р<(х) = Ддг)}, (1.19)

т.е. любой субградиент функцииредfix) представим выпуклой комбинацией

/>= 5>*«<ь (1.20)

ksl(x)

где = const > 0,

*е/(Х)

Теорема 1.7. Точка*' является минимумом полиэдральной функции вида (1.1) при выполнении условия

max [~(ak, а,)] > 0. ■ (1.21)

к,ЫЦх*)

В главе обсуждаются особенности применения Глава 2. Численные методы современных вычислительных технологий к за-безусловной полиэдральной дачам безусловной полиэдральной оптимизации, оптимизации Предлагаются численные методы решения дан-

ных задач на основе технологий соответственно

«жестких» и «мягких» вычислений.

Задача безусловной полиэдральной оптимизации - задача на минимум

minA*) (2.1)

для полиэдральной функции/:X=R" R.

Данную задачу можно решать на базе одного из изложенных выше методов редукции к задачам ЛП, воспользовавшись в итоге точными методами ЛП, гарантирующими нахождение решения за конечное число шагов. Однако, в случае высокой размерности задачи и большой структурной сложности целевой функции У(дс) менее трудоемкими могут оказаться приближенные бесконечно-шаговые методы оптимизации. При этом, несмотря на богатый спектр последних, Ф.П.Васильев и Ю.Г.Евтушенко подчеркивают, что «универсального метода пока нет, и вряд ли он существует» и «не поиск универсального метода, а разумное сочетание разнообразных методов позволит с наибольшей эффективностью решать данные задачи».

Автором предлагаются два альтернативных метода вычисления экстремума полиэдральной функции - субградиентный метод оптимизагрт, реализующий непрямой метод «жестких вычислений» (Hard Computing) и эволюционный метод оптимизации, реализующий прямой метод «мягких вычислений» (Soft Computing). Данные методы целесообразно комбинировать в единой технологии негладкой оптимизации: сначала эволюционным методом осуществляется глобальный поиск «грубого» решения задачи, а затем на его основе субградиентным методом осуществляется локальный поиск ее «точного» решения.

Субградиентный метод оптимизации. Начало численным методам негладкой оптимизации положили методы субградиентного спуска, получившие развитие в работах Н.З.Шора, И.И.Еремина, Н.Н.Астафьева, Ю.М.Ермольева, М.А. Шепилова, Б.Т.Поляка, П.Р.Гамбурга, Е.Г.Гольштейна, А.С.Немировского, В.Ф. Демьянова, Л.В.Васильева, Д.Б.Юдина, Ю.Е.Нестерова, В.И.Билецкого, В.И.Гер-шовича, А.П.Лиховида, Н.Г.Журбенко, В.А.Скокова, Гоффина (L.I.Goffin), Митга (K.A.Mitter), Берцекаса (D.P.Bertsecas), Хелда (M.Held), Волфа (P.Wolfe) и др.

В диссертации предложен субградиентный метод оптимизации, являющийся развитием традиционного субградиентного метода спуска применительно к задачам безусловной полиэдральной оптимизации (2.1).

В методе спуска строится минимизирующая последовательность точек {дit), t = О,1,2,...}, обеспечивающая монотонное убывание целевой функции Лх(0))>/*(1))>...>/(л:(0)>....

Выбирается произвольное начальное приближение x(0)eR,", а следующие приближения находятся по рекуррентной формуле

x(t) -x(t-l) + Ах(/), где t = 1,2,..., Ax(t) - вектор спуска:

Ax(0 = -v(0p(t)-

Скаляр v(/) задает темп спуска на /-м шаге, а вектор />(/) является субградиентом целевой функции и вычисляется по формулам (1.20), (1.19), в которых весовые множители X*, kel(x), можно принять равными:

bt=l/|/(*)|,

где |Дл:)| - мощность множества индексов 1(х).

Для алгоритмизации метода спуска необходимо учесть погрешности вычислений и формализовать правило остановки итерационного процесса.

Задавая допустимую погрешность е/ > 0 выполнения приближенного равенства <Рк(х) -Л*), приходим к следующей модификации выражения для определения доминирующих базисных функций (1.19):

1(х) = {к : 1 <k<N, ^х)>Лх)-г,}. (2.5)

Зададим допустимую погрешность ё/> 0 вычисления экстремума и опишем два возможных способа остановки вычислительного процесса.

♦ В первом способе остановки вычисления заканчиваются при зацикливании с малыми изменениями целевой функции, для выявления которого анализируется отрезок минимизирующей последовательности длины т ^ п. Вычислительный процесс останавливается в точке лij) при выполнении условий:

\)J{x(T))<f[x(T-\))-

2)\Mt))-A*{t-m<Zf при T<t<T+v,

3)Ax(T))<fix(T+r)).

Найдена нижняя грань для темпа спуска, гарантирующая соблюдение требуемой точности вычислений при приближении к искомой точке минимума:

v>v0=e Wmax||a-1|.

J 1 HiiN '

♦ Во втором способе остановки в соответствии с условием экстремума (1.21) вычислительный процесс заканчивается в момент t = Т, если

max [- (iяь о,)] > £/.

k.UIWT))

Введенные погрешности 8/ и ё/должны удовлетворять условию: е/<с/.

Приводятся алгоритм, реализующий изложенный метод спуска, и результаты его исследования на модельных примерах.

Нейросетевая реализация субградиентного метода оптимизации. Обсуждается реализация предложенного субградиентного метода спуска в нейросе-тевом логическом базисе, обеспечивающая значительное ускорение решения оптимизационной задачи за счет распараллеливания вычислений.

Искусственная нейронная сеть периодического функционирования, адекватная субградиентному методу спуска, включает следующие шесть слоев:

♦ Первый (входной) слой вычисляет значения линейных базисных функций ф;(лс) в дизьюнктивном разложении (1.1) целевой полиэдральной функции Дх), каждой из которых соответствует нейрон с линейной функцией активации:

п

щ= 'YjWijXj, '= Xq = 1, Wy = ay.

; = о

♦ Второй слой вычисляет значение целевой полиэдральной функции (1.1) и состоит из нейрона-дизъюнктора, выделяющего максимальный сигнал:

у = щУи2У...Уим = шах {щ, и2,..., uN).

♦ Третий слой - персептронный - предназначен для распознания доминирующих нейронов первого слоя посредством сравнения выходных сигналов нейронов первого слоя и нейрона-дизъюнктора в соответствии с (2.5).

♦ Четвертый слой вычисляет направление спуска по весам доминирующих нейронов согласно (1.20), используя выходы предыдущего слоя.

♦ Пятый слой вычисляет очередной шаг изменения Лх(г) предыдущего приближения дс(< -1 ).

♦ Шестой (выходной) слой вычисляет координаты новой точки поиска x{t), т.е. скорректированного приближения и эта информация на следующем такте подается на вход первого слоя по цепям обратной связи.

На нулевом такте на входной слой нейронной сети подаются сигналы, соответствующие начальному приближению х(0), а на последнем такте ее выходной слой выдает искомый ответ: х(Т)^х .

Дается алгоритмическая реализация нейросетевого метода спуска.

Эволюционный метод оптимизации. Эффективным инструментом полиэдральной оптимизации являются эволюционные вычисления (ЭВ), основными достоинствами которых являются: простота реализации, быстродействие поиска, ро-бастность, адаптируемость и внутренний параллелизм.

Методы ЭВ базируются на некоторых формализованных принципах эволюции популяции виртуальных особей в окружающей среде, в качестве которых принимаются соответственно произвольные альтернативные решения оптимизационной задачи и ее условия. Приспособленность каждой особи к окружающей среде характеризуется функцией приспособленности, в качестве которой выступает целевая функция и задача оптимизации состоит в ее максимизации, т.е. нахождении наиболее «приспособленного решения». Здесь многошаговый процесс поиска имитирует основной механизм природной эволюции - естественный отбор в сочетании с наследственной изменчивостью, следуя принципу «выживает наиболее приспособленный» среди альтернативных вариантов решения. На каждом шаге поиска используется набор поисковых генетических операторов, основными из которых являются: мутация, обеспечивающая изменение одного решения, рекомбинация (кроссовер, кроссинговер), обеспечивающая перекомпоновку пары решений, и отбор (селекция, репродукция). В результате применения данных операторов происходит «выращивание» (поиск) популяции особей с наилучшими показателями приспособленности.

Среди направлений ЭВ наибольшее применение в практике оптимизации находят эволюционные стратегии (ЭС), предложенные Рехенбергом (I.Rechenberg) и Швефелем (Н.-Р. Schwefel), а так же генетические алгоритмы (ГА), сформулированные Фразером (A.S.Fraser), Бремерманом (H.J.Bremermann), Холландом (J.H. Holland), Де Джонгом (KA.De Jong) и оформленные Гольдбергом (D.E.Goldberg).

В диссертации предложен эволюционный метод оптимизации, являющийся модификацией комбинированной схемы ЭС и ГА Ю.В.Федотова и имеющий следующие принципиальные особенности:

♦ особь рассматривается как вектор искомых переменных, т.е. используется явное представление альтернативных решений, характерное для ЭС;

• размер популяции особей фиксирован и не меняется в процессе поиска;

• поиск решения осуществляется парой родительских особей, формируемой на основе панмиксии с нормальным законом распределения;

• разнообразие популяции особей достигается за счет стандартных генетических операторов - универсальной равномерной рекомбинации, характерной для ГА, и абсолютной аддитивной мутации, характерной для ЭС;

• используется элитная селекция с вытеснением, осуществляемая по целевой функции исходя из репродукционной популяции «предки + мутанты»;

• для ускорения процесса поиска решения предусмотрена адаптация интенсивности мутации, характерная для ЭС.

Предложенный метод фактически реализует комбинацию стохастических переборного и градиентного методов: механизмы рекомбинации и мутации отвечают поисковой схеме переборного метода, а механизм селекции - поисковой схеме градиентного метода. Дана алгоритмическая реализация метода.

Согласно следствию известной теоремы «No Free Lunch» (D.H.Wolpert & W.G.Macready), единственным способом сокращения времени и повышения качества эволюционного поиска является специализация схемы поиска, т.е. настройка основных ее параметров под конкретный класс целевых функций.

Для автоматизированной настройки параметров алгоритма эволюционной оптимизации разработано специальное программное средство «ESGA» с широкими библиотеками генетических операторов и тестовых функций, позволяющее в интерактивном режиме конструировать различные схемы поиска на основе ЭС и ГА. Компьютерное исследование предложенной базовой схемы эволюционного поиска и 16-ти вариантов ее конфигураций, проведенное на тестовых функциях Растригина, Розенброка и ступенчатой функции, позволило найти наиболее эффективную (в два раза эффективней прототипа) схему поиска.

В главе предложена полиэдральная ме-Глава 3. Формализация задач поли- тодология формализации требований к эдральной оптимизации дискретных дискретным процессам управления: це-процессов управления ли управления, критериев динамичес-

кого качества, фазовых и ресурсных ограничений. На этой основе выделяется класс задач полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления.

Общая задача оптимального дискретного управления. Полагаем, что динамика объекта управления описывается векторным разностным уравнением

x(t+l)=At,x(t),u(t)), (3.1)

где teT, 7"=[0:7'-l]cZ+- интервал управления, Т> 1 - терминальный момент времени; х = coI(x¡, х2, ..., *„)eX=R" и и = col(«i, и2, ..., ur)<sRr - векторы переменных состояния и управления соответственно; /: ТxR"xRr-»R"; X - пространство состояний; Ж+ - множество неотрицательных целых чисел.

В случае линейной модели динамики объекта уравнение (3.1) принимает

вид

x(t+ 1) = A(íM0 + В(/)и(0, (3.2)

где А: Т-» R""1 и В: Т-» R"*r - функциональные матрицы.

Цель управления заключается в переводе состояния объекта за время Т в

некоторое целевое множество состояний Х*сХ с учетом заданных фазовых и ресурсных «геометрических ограничений»:

х(/)еа, /е7-+; (3.3)

и(0еП„ ГеТ, (3.4)

где 7~+=[1 ."Г]; сК" и Г2„сКг - допустимые множества значений вектора

состояния и вектора управления соответственно, причем обычно, X * = {х*}.

Процесс управления представляет собой совокупность реализаций управляющего воздействия - программы управления Я1- {«(/)> ¡еТ} и порожденной

им фазовой траектории движения объекта X = {х(1), /е7~+ }. При этом управляющее воздействие реализует программно-позиционную стратегию управления, предложенную Дрейфусом (Б.Е.БгеуШз), в виде гибких, циклически обновляемых (в частности, на каждом такте), программ.

Пусть качество процесса управления оценивается скалярным критерием

Т=пх,г0- (3.5)

Общая задача оптимального дискретного управления заключается в нахождении управляющего воздействия 1А, при котором процесс управления, т.е. пара (И, /V), удовлетворяет ограничениям (3.3), (3.4) и обеспечивает экстремальное (минимальное или максимальное) значение критерию (3.5):

ех№.

Формализация задач полиэдральной оптимизации процессов управления основывается на полиэдральных конструкциях ключевых элементов в постановке задачи: цели управления, оптимизируемого критерия качества процесса управления, фазовых и ресурсных ограничений на управляемые движения.

Важнейшим этапом формализации задачи оптимального управления является выбор критерия качества процессов управления. Обсуждается негативная роль АКОР и связанная с этим «фитишизация» квадратичных критериев качества процессов управления, не имеющих ясного физического смысла. Более содержательную и продуктивную альтернативу для теории и практики автоматических систем открывают полиэдральные критерии качества. В связи с этим можно надеяться на грядущую смену парадигмы квадратичной оптимизации на парадигму полиэдральной оптимизации.

Полиэдральные критерии качества. Обсуждается методология формализации полиэдральных критериев качества в задачах управления с заданным целевым состоянием объекта х*.

Критерии должны учитывать динамическую структуру фазовых траекторий и стоимость ресурсов управления. Введем величины

е(0= х(0-х', Ах(/)=х(/+1)-х(/), Аи(/) = и(/+1)-и(/). и выберем некоторые полиэдральные нормы:

•ЯЕ:Х->К; •Нйг:Х-+Ш; ?{Л11:Ю->К.

Процессы управления в текущий момент времени можно характеризовать точечными показателями точности управления и затрат на управление, имеющими полиэдральную структуру и представляющими собой комбинацию вели-

чин ,WE(e(/)), "Яд^Дx(t)), Hu(u(i)), "H&u(Au(t)). Возможные варианты показателей:

• полиэдральные показатели точности управления".

nt)=ut)mm+х^тимт

P{t) = max {\,(tyH№t)), X^tYH^Mt))},

• полиэдральные показатели затрат на управление:

£(/) = ШШи( 0)+М0*ЫД«(0);

fi(0 = max (U0?4(«(0), W)^„(A«(0)}, где > 0, ¡W(i) > 0, Xu(t) > 0, Л,дu(t) > 0 - заданные весовые коэффициенты.

Из введенных точностных и ресурсных показателей можно формировать различные полиэдральные критерии качества управления, например:

• полиэдральный критерий майеровского типа (терминальный критерий):

ТМ=Р(ТУ,

• полиэдральные критерии лагранжевого типа (интегральные критерии):

/=1 (=0 Ть = max 9(1)+max £(0;

rL = max({P(t),teT+ }(J{S(t),teT})-,

• полиэдральные критерии больцевского типа (смешанные критерии):

Тъ=Тм+Тъ, причем здесь предполагаются формальные соотношения: х(Г+ 1)= х(Г), и{Т)= и(Т- 1).

Весьма перспективны для задач оптимальной стабилизации критерии:

r=^Q(x(t),Ax(.t),u(t), Д«(0); (3.6)

1=0

Т= max Q(x(t),Ax(t),u(t),iut(t)), (3.7)

0<<<Г-1

где

Q(x, Ах, и, Ди) = A.!(0f/i(x(0) + М0?2(Дх(0) + >-з(0<7з(и(0) + ^4(0?4(Ди(0). gi-. R"->R, R"->R, Цъ- Rr-»R и qc Rr->R - некоторые положительно однородные полиэдральные функции; X,{t) > 0 - весовые коэффициенты, причем

?.,(/) + ^(О + Ш + ^О О, <=0,Г-1.

В частности, можно положить: 9l(x)=|xi|+|x2l+-+l*nl, 92(Дк)=0, дз(м)=|м1|+|и2|+...+|мг|, <зг4(Ди)=0;

^,(0 = iv(v€Z+), Х3(0= 1.

Полиэдральные критерии (3.6) и (3.7) обобщают критерии, предложенные Ю.Г.Бандаросом и В.К.Шабловским, и развитые А.А.Красовским, В.А.Шишляко-вым, Б.М.Миркиным, М.Х.Гандельманом, Г.И.Ванюрихиным и В.М.Ивановым.

Особый интерес представляет полиэдральный критерий вида: Т- шах ||дс(/) 11« = max max |x,-(i)|,

]£/<Г

1 <t<T /е[1:п]

имеющий смысл максимальной динамической ошибки системы стабилизации и именуемый в литературе критерием равномерного приближения, максимального уклонения, или критерием Чебышева. Его ограничение гарантирует, что переменные состояния не превысят заданных пределов. Впервые данный критерий был применен к задачам оптимального управления в 1956 г. в работе Бел-лмана (К.Е.Ве11тап), Гликсберга (ГОНскБЬигя) и Гросса (О.Сгобз). Впоследствии особую важность его для прикладных задач управления неоднократно подчеркивали практически все ведущие отечественные и зарубежные ученые.

Другим весьма распространенным критерием полиэдрального типа является критерий «сумма модулей»:

Различие между полиэдральными критериями (3.6) и (3.7) обусловлено различием между октаэдрической и кубической нормами [| д: ;|| и |х||х.

Чебышевский критерий качества процессов управления не получил широкого применения из-за отсутствия конструктивных методов решения порождаемых им оптимизационных задач. А.А.Первозванский особо подчеркивал, что «задачи такого рода являются наиболее сложными в вычислительном отношении». Настоящее диссертационное исследование направлено, в частности, на возрождение интереса к данным критериям и дальнейшее их развитие на основе полиэдральной методологии.

Полиэдральные терминальные цели управления. Положим, что целевое множество X * имеет полиэдральную структуру. Тогда его можно описать в форме полиэдрального неравенства:

где 'Н\ X-»R - некоторая полиэдральная функция; р* = const.

В задачах терминального управления возможны два варианта формализации терминальной цели управления в терминах ПП: жесткие критериальные ограничения, либо требование критериальной оптимальности.

В первом варианте необходимо точное попадание терминального состояния объекта в целевое множество: х(Т)е X *. Данное требование может быть записано ¡в виде терминального условия полиэдральной структуры

Во втором варианте необязательно точное попадание терминального состояния в целевое множество. Введем полиэдральный критерий «промаха» вида

п

f = max 1 <t<T

Х* = {х:Пх(Г))<р*},

Р(х(Т)) = Пх(Т))<Р*.

<Р(Т) = р(х(Т),

где

О при дгеХ*; Щх)-р* при хеХ*.

Тогда терминальное требование воплощается в экстремальной форме:

Р(Г) -> min.

Полиэдральные фазовые и ресурсные ограничения. Данные ограничения могут быть сформулированы в виде линейных, либо полиэдральных неравенств и/или равенств, например, вида

P(x(t))<p(t),tsT+; (3.8)

£(u(t))<q(t), leT, (3.9)

где Р: X—> IR и 6: HJ-> R - некоторые полиэдральные функции.

Частным случаем полиэдральных фазовых и ресурсных ограничений являются естественные прямые двусторонние ограничения вида

Xi<Xj(t)<Xi,i = \,n-, ы(<м,(<)^"<> j — Xr ■ Данные неравенства эквивалентны неравенствам (3.8), (3.9), если положить P(x)=max(max(-x/ + тах(х,-л;)), p(t)=О,

1<;<л 1<i<n

£(и)=тах(тах(-«, + м(), тах(и,-й,)), <7(0-0,

1</<г 1</<г

В ряде задач управления необходимы плавные управляющие воздействия, что требует сужения класса допустимых управляющих воздействий путем учета т.н. «приемистости» управления, т.е. введения ограничений не только на величину, но и на скорость изменения управляющих переменных:

Auj<Auj(t)<Auj, j=l,r, где Auj(t)=uj(t+l)-uj(t).

Постановка общей задачи полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления. На базе введенных полиэдральных конструкций формулируется общая задача полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления: для объекта (3.1) требуется найти управляющее воздействие u(t), обеспечивающее достижение цели управления:

Т=Т(Х,г1)->ех tr, с учетом критериальных, фазовых и ресурсных ограничений:

g,(X,U)*g„ i=Wg,

Pj(x(t))<Pj, J=ÜTP, teT\

8k(u(t))<qk, k=Щ, teT.

В случае, когда модель динамики объекта является линейной (3.2) данная задача является задачей полиэдральной оптимизации и, в силу своей полиэдральной структуры, относится к классу задач ПЛ.

В главе обсуждается предложенная автоГлава 4. Полиэдральная стратегия ром полиэдральная стратегия дискретно-дискретного упреждающего управ- Го упреждающего управления динамиче-ления скими объектами в условиях ресурсных

ограничений. В ее основу положена идея объединения многошагового прогнозирования управляемого движения объекта, методов функций Ляпунова и наискорейшего спуска.

Обсуждается ретроспектива и современное состояние исследований в области управления с прогнозом. Отличительной особенностью современных методов многошагового упреждающего управления является оптимизация процесса управления на скользящем интервале.

Идея и особенности полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления. Рассматриваемый класс линейных дискретных объектов управления описывается векторным разностным уравнением состояния вида

x(t+1)=адг(<)+Bh(í), x(O)=jc0, где íeZ+; д: еХ = [R", hgUcR'; Ае IR""", В е R™". Область допустимых управлений U - r-мерный параллелепипед: U={h=co1(u1,u2,)| u¡<u¡<ü¡, i=\,r}.

Решается задача стабилизации целевого состояния объекта л:* =0.

Будем осуществлять управление посредством экстраполяции движения объекта на Т шагов вперед. Пучок всех возможных траекторий движения в последующие Т периодов, исходящих из текущего состояния дг(/) = х, можно описать дискретной формулой Коши:

X _

4(í+T)=AT;t+£AT~0Bv(0), Т=1,Г, 0=1

где V eU. Далее í)/- (л:)сХ - множество состояний объекта, достижимых из состояния х не более чем за Т шагов.

Поскольку стабилизация означает демпфирование возмущенного движения объекта, то процессу стабилизации можно придать экстремальные свойства. Введем критерий удаленности состояний от целевого состояния х* =0 - некоторую выпуклую положительно определенную функцию Q(x): 2(0) = 0; Q(x) > 0,

Упреждающее управление с многошаговым прогнозом сводится к оптимизации движения по данному критерию в пределах горизонта прогнозирования: сначала в каждый момент времени решается задача условной оптимизации

V(x)= min Q{x)= min min Ö(£(/+t)), (4.1)

Mm v[l:7"J

где v[l:7]= {v(0) e LI [ 9 = 1,7"}, а затем определяется точка прицеливания х, лежащая на экстремальной траектории и являющаяся ближайшей к целевому состоянию в смысле метрики Q(x):

Q(x)=V(x) при K(jc)>0; i =0 при V(x) = 0.

На очередном такте управления движение объекта направляется по экстремальной траектории, ведущей в точку прицеливания х:

«(0 = v(l),

причем среди альтернативных экстремальных траекторий выбирается та, которая обеспечивает наискорейшее попадание в данную точку.

На каждом такте управления расчетная процедура повторяется, т.е. осуществляется «управление со скользящим интервалом прогноза».

Основные особенности изложенной стратегии упреждающего управления:

♦ стратегия реализует известный метод наискорейшего спуска, формируя движение объекта в пределах горизонта прогноза к минимуму целевой функции;

♦ стратегия относится к классу немонотонных стратегий управления, теория которых, как подчеркивает Д.А.Поспелов, «находится в зачаточном состоянии и не разработаны сколь-нибудь общие подходы к их формированию»;

♦ стратегия является программно-позиционной, формирующей управление по принципу алгоритмической обратной связи.

В известном Обзоре Моска (E.Mosca), опубликованном в журнале «Automática» (2005, V.41,Nol), подчеркивается уникальность использования автором идеи переменного горизонта прогноза в задачах упреждающего управления.

Применение полиэдральной парадигмы к стратегии дискретного упреждающего управления. Вычислительная реализация упреждающего управления сводится к решению задачи условной оптимизации (4.1) и определяется выбором целевой функции Q{x). При выборе последней из класса полиэдральных функций решаемая задача является задачей ПП.

Дано теоретическое обоснование предложенной стратегии упреждающего управления. Изложены варианты ее обобщения на класс нелинейных дискретных динамических объектов. Алгоритмизация упреждающего управления основана на сведении решаемой задачи к задачам ЛП. Приведены иллюстративные примеры синтеза дискретного упреждающего управления.

В главе развивается полиэдральный под-Глава 5. Полиэдральный подход к ход к дискретным задачам стабилизации, дискретным задачам стабилизации На его основе разработаны методы решения задач быстродействия, стабилизирующего и барьерного управлений с учетом фазовых и ресурсных ограничений.

Задачи предельного быстродействия. Объект управления описывается уравнением

x(í+ 1) = Ax(t) + Bu(t), (5.1)

teZs,xeX=R"; неУсГ; AeR"*", BeR"".

В общей постановке задачи оптимального по быстродействию управления требуется перевести объект из начального состояния a:(0)=jco (х0£ X *) в целевое множество X * за кратчайшее время:

3: x(T)G Х\ Т min,

в условиях заданных фазовых и ресурсных ограничений.

Данная задача занимает ключевое место теории оптимального управления и актуальна для многих инженерных приложений. В диссертации предложен новый, полиэдральный подход к ее формализации и решению.

Полиэдральная формализация задачи предельного быстродействия предполагает полиэдральную структуру целевого множества и ограничений на управляемое движение:

X*: g(x(T))<g, (5.2)

Q,: <P(x(t))<p(t), 1 <t<T-l; fi„: Q(u(í))<q(t), 0<t<T-\,

где X-»R, Р: X-»R, О: U->R - полиэдральные функции, g = const.

Для решения задачи 3 используется основополагающий для метода динамического программирования принцип инвариантного погружения многошагового процесса, согласно которому исходная оптимизационная задача погружается в семейство вспомогательных терминальных задач'.

3Т: S(x(T))^ min, Т= 1,2,3,..., последовательно решаемых до тех пор, пока не будет достигнута цель управления (5.2). Таким образом, оптимальное время управления

Г*= min {Г: £№))<£}, причем решение задачи 3f даст решение исходной задачи 3.

Поскольку терминальное состояние объекта х(Т) определяется формулой

т—\

х(Т) = Атх(0) + £ Аг~е~' Ви(9),

9=0

то критерий качества Q(x(T)) является полиэдральным функционалом программы управления и(-), в силу чего Заявляется задачей ГШ на минимум.

В итоге, использование аппарата ПП позволяет свести решение исходной задачи предельного быстродействия к решению семейства задач ЛП.

В задаче предельного быстродействия с целевым состоянием X * = {х* } выбирается полиэдральная метрика dist(x, х') (л:, х'еХ), которая принимается в

качестве целевой функции ff(x) = dist(jc, х*) и исходная двухточечная задача управления погружается в семейство полиэдральных терминальных задач

0(х{Т)) min,

итерационная схема решения которых продолжается до выполнения условия

dist(jc(7), х*) = 0.

Целевому состоянию д;* = 0 отвечает задача стабилизации, обеспечивающая демпфирование возмущенного движения за кратчайшее время.

Полиэдральные функции Ляпунова и задачи стабилизации. Расширение сферы применения второго метода Ляпунова в теории автоматического управления связано с расширением класса функций Ляпунова (ФЛ). Наряду с ФЛ типа квадратичных форм рассматриваются также ФЛ иного типа: однородные формы, «модуль линейной формы», «взвешенная сумма модулей», кусочно-квадратичные функции. В середине 1990-х гг. автором предложен класс полиэдральных функций Ляпунова.

Рассмотрим класс дискретных систем

*(<+!) =/«0), (5-3)

где ieZ+; xeX=R";/: Х->Х.

Полагаем, что начало координат д:=0 является положением равновесия:

/(0) = 0.

Пусть DczX - некоторая область, включающая начало координат, a V(x) -скалярная функция, которая определена и непрерывна в D, обращается в нуль в начале координат и является положительно определенной.

При выполнении условия

V(x(t+\)) < V(x(t)), (5.4)

положение равновесия системы (5.3) асимптотически устойчиво и функция V(x) именуется функцией Ляпунова, ассоциированной с данной системой.

Ясно, что для объекта управления, охваченного обратной связью, ассоциированный с ним класс ФЛ определяется выбором обратной связи.

Пусть исследуется класс линейных систем:

.х(/+1) = Ах(г). (5.7)

Асимптотическая устойчивость положения равновесия д: = 0 имеет место тогда и только тогда, когда спектр матрицы А лежит строго внутри единичного круга. В этом случае условие (5.4) записывается в виде

К(А(*)) < V(x). (5.8)

Пусть функция V(x) обладает свойствами полиэдральной нормы и РссХ -полиэдр, ограниченный поверхностью уровня К(д:) = с > 0:

^={л:еХ: V(x)<c}, с множеством вершин причем pf^ = {x'u', |д= \,М}.

Теорема 8 (узловой критерий устойчивости). Если во всех вершинах хеР^ полиэдра Рс выполняется условие (5.8):

V(A^])<c (ц = Ц7), (5.9)

то система (5.7) устойчива. ■

Для полиэдральной ФЛ вида

V(x) = max cpv(x), где cf>v(jc) = (rfv> *),dvsX, v=l,N, l<v<N

полиэдральные неравенства (5.9) принимают вид линейных неравенств: <rfv, ах^сс v=1jv, ц = vm.

Посредством аппарата полиэдральных ФЛ и узлового критерия устойчивости решается обратная задача робастности - определение «максимально возможных допусков» на параметры, обеспечивающих устойчивость системы.

Показывается продуктивность применения аппарата полиэдральных ФЛ к исследованию процессов стабилизации. В частности, для класса линейных объектов (5.1) развивается метод решения задач стабилизации, основанный на применении полиэдральных ФЛ К(д:) и формировании алгоритмической обратной связи посредством решения задачи полиэдральной оптимизации:

и = arg min V(Ax + Ви).

ueU

Данный метод распространяется и на нелинейные объекты, линейные по управлению (класс аффинных систем) вида

*('+!) = g(x(t)) + В(*(0)и(0, где g: Х-»Х и В: X-»U.

Задачи барьерного управления. Средства защиты технических объектов управления от недопустимых возмущений нормальных (штатных) режимов их функционирования (для предотвращения критических режимов и аварийных ситуаций) принято называть автоматами ограничений или автоматами безопасности.

Среди работ, посвященных синтезу автоматов ограничений, выделяются работы А.А.Красовского и В.Н.Букова, связанные с «оптимальным удержанием» движения объекта в допустимой области путем штрафования критерия оптимальности за выход из этой области.

В диссертации предложена концепция двухрежимного автомата ограничений состояния управляемых динамических объектов, обеспечивающего в критических ситуациях скорейшее возвращение их состояния в область «нормы».

В пространстве состояний X управляемого объекта выделяются две области: рабочая GcX, которая отвечает его нормальному (штатному) режиму функционирования, и аварийная X\G, соответствующая его аварийному (нештатному) режиму функционирования. Поскольку реализовать непроницаемую границу между рабочей и аварийной областями практически невозможно, то ставится более реалистичная задача создания проницаемой границы - защитного динамического барьера, охватывающего рабочую область G и препятствующего движению объекта вне ее. Требование безопасности функционирования объекта сводится к требованию минимизации времени выхода и глубины его проникновения в аварийную область X\G, а функциональное назначение автомата ограничений - скорейшее возвращение объекта в рабочую область G. Действие автомата ограничений рассматривается с позиций двухрежимного управления: в рабочей области действует штатное управляющее устройство, а в аварийной области - барьерное управляющее устройство, создающее для движения объекта соответствующий защитный барьер.

Ставится задача барьерного управления как задача обеспечения минимума времени пребывания объекта в аварийной области X\G и развивается полиэдральная стратегия упреждающего барьерного управления линейными динамическими объектами (5.1) в условиях ресурсных ограничений.

Если рабочая область G задана полиэдральным неравенством: С={*|б(д:)<0},

где Q(x) - полиэдральная функция, то основу алгоритма формирования барьерного управления составляют следующие задачи. Сначала для промежуточных горизонтов прогнозирования t+i, т= 1,2,... последовательно решаются задачи планирования траекторий управляемого движения объекта x(t), которые за время х приближают его текущее состояние x{t)eX\G к рабочей зоне G на минимально возможное расстояние:

Q+{x{t + x)) = max{g(i(i + t)), 0} -> min.

Затем решается задача нахождения горизонта прогнозирования t+T*, обеспечивающего попадание планируемой траектории в рабочую область G:

Q\x(t+T')) = 0.

В главе полиэдральный подход при-Глава 6. Полиэдральная оптимизация меняется к ряду дискретных задач уп-дискретных процессов управления и равления и наблюдения в условиях наблюдения в условиях неопределен- неопределенности - задач экстрема-ности льного накопления возмущений, га-

рантированного и робастного управления, конфликтного управления, наблюдения состояния системы и внешней среды.

Современная наука управления приблизилась к границе, за которой, по выра-

жению Негойцэ (C.V.Negoita), «существенную роль начинают играть способы учета неопределенностей», т.е. возмущающих факторов, препятствующих достижению цели управления, информация о которых заранее неизвестна (текущие значения некон-тролируемы, а будущие непредсказуемы). Ограничимся рассмотрением класса аддитивных, регулярных возмущающих факторов, порождающих «природную» (по терминологии Ю.Б.Гермейера) неопределенность, отражающую неполноту знаний, их недостоверность, а также нечеткость и неточность, относящихся к их содержанию.

Смена парадигм неопределенности и принцип гарантированного результата. В теории управления долгое время доминировала стохастическая парадигма неопределенности. Основное заблуждение ее сторонников связано с отождествлением неопределенности и случайности. Однако, неопределенность - это не случайность. Как утверждает Касти (j.Casti): «нет априорных математических оснований полагать, что механизм, порождающий неопределенность, по своей природе непременно стохастичен». В литературе общепризнанно считать неопределенными величины, для которых не обнаруживается статистическая устойчивость. Возмущающие факторы, порождающие неопределенность, как правило, не относятся к классу повторяемых и не обладают свойством статистической устойчивости. Это обстоятельство явилось основанием для резких высказываний Калмана (R.E.Kalman): «Мы должны отрицать, что классические вероятностные структуры класссической теории вероятностей, на самом деле, имеют научное отношение к описанию неопределенности» и Н.Н.Моисеева: «Стохастические задачи, т.е. задачи, содержащие случайные величины или функции, мы не относим к числу задач, содержащих неопределенные факторы».

В последние десятилетия происходит смена парадигмы неопределенности в сторону ее детерминистических моделей. Важную роль в этом процессе играет принцип гарантированного результата: принимая решение в условиях неопределенности, надо всегда рассчитывать на худшее стечение обстоятельств и принимать то решение, которое дает в этих обстоятельствах максимальный эффект. Данный принцип в наиболее общем виде впервые сформулирован Ю.Б.Гермейером и получил развитие применительно к задачам управления и обработки информации в работах Н.Н.Красовско-го, А.Б.Куржанского, Н.Ф.Кириченко, Б.Н.Бублика, Ф.Л.Черноусько, А.А.Меликяна, А.И.Субботина, А.Г.Ченцова, Н.Н.Моисеева, В.М.Кунцевича, М.М.Лычака, А.Г.Сухарева, В.М.Кейна, А.Е.Барабанова, Ю.П.Петрова, О.М.Куркина, А.Ф.Шорикова, A.B. Небылова, Э.Я.Рапопорта, В.В.Александрова, В.Д.Фурасова и др.

Экстремальные возмущающие факторы. Рассматривается задача определения возмущающих факторов, оказывающих наихудшее действие на процессы стабилизации.

Объект управления описывается линейным разностным уравнением

*(i+l) = A(t)x(t) + В (/)«(/) + H(i)v(i)> (6.1)

где teT=[0 : Т-1 ]cZ+ (Т> 1); jceX=R"; «eRr - управление; уеR? - возмущение; A^eR"*", B(/)eR"*r, H^gR""7.

Пусть цель управления заключается в терминальной стабилизации равновесного состояния х = 0 посредством обратной связи

u(t) = ~K(t)x(t), K(t)eRrxn. (6.2)

Управляемое движение объекта x(t) определяется равенством

м

х(0 = Ф(1, о)х(о) + 2>(/,е+1) Н(еме),

е=о

где Ф(/, 0) - переходная матрица состояний системы (6.1)—(6.2).

Полагаем, что неизвестные начальное состояние х(0) и возмущающее воздействие у(') удовлетворяют ограничениям:

х(О)еХ0, yiOeVi/eT), причем области неопределенности Хо и Ч? имеют полиэдральную структуру.

Качество стабилизации характеризуется полиэдральным критерием Е= max ||JcfO||» = max max |дг,{/)|.

/е[1:Г] /е[1:Г]/е[1:п]

Введем кортеж v = (х(0), v|/(0),v|/(l), ...,v|/(7M))eV = Х0у,*¥т.

Исследуется задача нахождения наиболее неблагоприятных возмущающих факторов:

3„(£,7): Е = E(v) -> max,

veV

являющаяся обобщением дискретного аналога классической задачи Булгакова о максимальном отклонении и имеет структуру задачи ПП на максимум. Изложена схема ее сведения к семейству задач ЛП.

Решение данной задачи позволяет вычислять гарантированную точность дискретных процессов стабилизации, а также проводить компьютерное тестирование соответствующих алгоритмов стабилизации. Здесь автором на полиэдральной основе развивается идея тестирования с использованием экстремальных тестовых воздействий «булгаковского типа», предложенная В.В. Александровым.

Гарантированная позиционная стратегия управления в условиях начальной полиэдральной неопределенности. Обратимся к дискретной системе управления (6.1)—(6.2) в условиях отсутствия текущего возмущения (\|/(г) з= 0).

Пусть преследуется терминальная цель управления:

*(7) = 0,

причем считается, что начальное состояние объекта л:(0) = xq неизвестно и область его возможных значений ХосХ является полиэдральным множеством.

Искомые параметры обратной связи представляет кортеж 7С=(К(0),К(1),...,К(Г-1)).

Для характеризации качества процессов управления воспользуемся некоторым полиэдральным критерием "Нхо, К), например, вида (3.6) или (3.7), где Ди(/) = u(t+\)-u{t), Ax(t) ~x(t+])~x(t).

В условиях начальной неопределенности использование принципа гарантированного результата приводит к задаче на минимакс:

min max Т[х0,%), (6.3)

'К х0аХ0

решением которой являются оптимальная настройка обратной связи 'К* и наихудшее с критериальной точки зрения начальное состояние xq .

Обозначим через [Хо] множество вершин полиэдра Хо. Эффективный метод решения задачи (6.3) заложен в следующей теореме.

Теорема 9. Для любой позиционной стратегии управления в виде обратной связи (6.2) наихудшее в смысле критерия Т{хо, "К) начальное состояние объекта совпадает с одной из вершин полиэдра Xq: xq е[Хо]. ■

Таким образом, заменой континуального полиэдрального множества Хо на конечное множество его вершин [Хо], удается свести оптимизационную задачу (6.3) к более простой минимаксной задаче:

min max iFfco, 1С), к дс06[Х о]

Изложен алгоритм сведения последней к задаче ПП на минимум.

Рассмотренная задача построения гарантированной позиционной стратегии управления в условиях начальной неопределенности дуальна так называемой задаче синтеза ограниченного регулятора (или «constrained stabilization»).

Робастная стратегия упреждающего управления в условиях параметрической полиэдральной неопределенности. В современной теории автоматического управления все в большей степени проявляется методологическая установка Я.З.Цыпкина: «Робастизировать все, что робастизируется, а что не робасти-зируется - сделать робастизируемым». Здесь термин «робастность» подразумевает сохранение свойств устойчивости системы при вариациях ее параметров.

Автором предложен новый подход к робастной стабилизации динамических объектов с параметрической неопределенностью, ставший предметом дискуссии в двух номерах журнала «European Journal of Control» (2001, V. 1, No6 и 2002, V. 8, No 1) и получивший признание известных зарубежных ученых.

Полагаем, что динамика объекта управления с параметрической неопределенностью представлена в следующей «политопической форме»:

x(f+1) = MX)x(t) + В (X)u(t), где teZ+; jteXHR", кеНсК',

ч ч

А(\) = А„ В(Х) = В„ i=l ¡=1 A/eR"*", B,eR">"', X,- - скаляры, причем

X = co1(X,,,X2,...,X.9)eAcR?, Л = |х.:Я.,->0,/ = 1^;

Здесь вектор % и симплекс Л играют роль соответственно вектора и множества возможных параметрических возмуи{ений объекта.

Полагаем, что область управления U является параллелепипедом.

Выделим идейные аспекты предложенной полиэдральной стратегии дискретного робастного упреждающего управления.

1) Выбирается целевая полиэдральная функция Q(x), служащая мерой удаленности текущего состояния л: от целевого (стабилизируемого) х* = 0 и играющая роль локального критерия эффективности управления.

2) Управление основано на прогнозировании возможных вариантов движения объекта дг(/+т) из текущего состояния х(/) в пределах заданной глубины прогноза Т: те[1: Т] с учетом неопределенных параметрических возмущений X.

3) Инструментальными средствами прогнозирования движения служат две полиэдральные конструкции;

- ЩИ) - целевое полиэдральное множество, ограниченное уровнем А целевой функции Q(x): D(h) = {д:: Q(x)<h};

- £lT(7i) - область ^-управляемости объекта относительно целевого множества D(h), образованная всеми состояниями, которые могут быть переведены в D(h) допустимым управлением за т тактов при любых возмущениях ХеЛ.

4) На каждом шаге t вычисляются экстремальные траектория и программа управления, обеспечивающие минимизацию целевой функции Q(x) в пределах горизонта прогнозирования.

5) Реализуется первый такт рассчитанного экстремального движения.

Решение локальных задач минимизации целевой функции Q(x) основано

на результатах следующей теоремы.

Теорема 10. Область т-управляемости Qx(h) может быть описана в виде некоторого линейного векторного неравенства:

ЩК) = {х : Мгд: + dxh <lx), (6.4)

где MTeR'v'" и dx, lxeRN- числовые матрица и векторы соответственно. ■

Областям т-управляемости Ох(/г) присущи два важных свойства: поли-эдральность и линейная И-параметризованность. Построение данных областей сводится к формированию системы линейных неравенств (6.4).

Стратегия робастного упреждающего управления сводится к следующему трехэтапному алгоритму, выполняемому на каждом такте управления.

На первом этапе решается экстремальная задача:

h* = mm {h : xsQx(h), те[1 : T]}. которая сводится к семейству задач ЛП:

h —> min, Mtjc + dxh < /т.

На втором этапе определяется минимальное число шагов, за которые объект может достигнуть целевое множество с уровнем h* : т* = min{x : *eQT(/j*), те[1 : Т]}.

На третьем этапе определяется управление, обеспечивающее перевод состояния объекта в область Î2X«_](A*):

На основе второго метода Ляпунова обоснована работоспособность описанной стратегии робастного управления.

Конфликтное управление противоборствующими объектами в условиях преследования. Специальный класс задач управления в условиях неопределенности составляют задачи конфликтного, или игрового управления, причем в теории игр особый интерес для приложений представляют дискретные динамические игры преследования.

В диссертации исследуется возможность применения полиэдральной методологии в сфере линейных дискретных динамических игр преследования.

Рассматривается дискретная игра перехвата, в которой две противоборствующие стороны - игроки - являются движущимися объектами: первый игрок-союзник Р (Pursuer) преследует второго игрока-противника Е (Evader). Процесс игры описывается линейным разностным уравнением вида дг(Г +1) = Ax(t) + u{t) + v((),

где геТ - дискретное время развертывания игры; ТсЖ+\ хеХ - позиция игры, являющаяся вектором относительных координат игрока Р в системе, связанной с игроком Е; Х = КЯ - пространство игры; иеШ и уе"У - управляющие векторы соответственно игроков РпЕ\ и,^УсХ - области управления; АеК"*".

Игра преследования начинается в момент времени / = 0 из начальной позиции х(0) = д:0. Цель игрока Р заключается в захвате игрока Е, который стремится избежать захвата. Игра рассматривается как игра качества (с исходом типа «да/нет»), причем захват считается осуществившимся, если расстояние между игроками уменьшилось до некоторого заданного расстояния р>0.

Полагаем, что V и V - полиэдральные множества. Оба игрока располагают полной информацией о текущей позиции игры - векторе х

Введем целевое терминальное множество @с:Х: условие захвата - достижение точкой х этого множества. Полагаем множество § полиэдральным:

§={х\\\х\\Р<р), где ||дг||^ - некоторая полиэдральная норма векторадсеХ.

Близость хода игры перехвата к завершению будем оценивать расстоянием текущей позиции х до начала координат в той же полиэдральной метрике:

В основу управления процессом преследования положена идея организации многошагового прогноза развития игры с последующей оценкой прогнозируемой платы - терминального промаха.

На каждом шаге игры преследователь по информации о текущей позиции игры формирует некоторый план преследования в виде жесткой программы на основе прогностической кинематической модели игры. При этом он ориентируется на наибольшее противостояние со стороны преследуемого и, в результате, строит стратегию управления с ориентацией на наихудший исход игры - максимальный прогнозируемый терминальный промах.

Положим, что осуществляется Г-шаговый прогноз и х(1+Т\ г) - прогнозируемая позиция игры. Она определяет прогнозируемый промах

У =\\х(1+Т)\1)\\Р. (6.5)

Каждый игрок ориентируется на наилучшую игру своего противника и в соответствии с этим придерживается принципа гарантированного результата (по Ю.Б.Гермейеру) для прогнозируемого промаха: стратегия игрока-союзника реализует наилучший результат при наихудшей для него же стратегии игрока-противника. Данный принцип согласуется с более общим принципом неухудшения позиции (по Н.Н.Красовскому) по показателю (6.5), требующему, чтобы в последующий момент времени он был не хуже, чем в предыдущий.

Терминальную прогностическую конструкцию выражает формула

где^еР и ге(3, а <Р и О. - области достижимости игроков Р и Е в X:

Р=АТх + 2Аг" и, а = - £ Аг"'1 "9 V. е=о е=о

Плата игры записывается в виде

Игрок Рруководствуется минимаксной стратегией, которой отвечает задача полиэдрального программирования на минимакс:

min тахДу-z). у^Р ге<2

На основе полученного решения он формирует управление на текущем шаге. На следующем шаге решается новая задача планирования развития игрового процесса и т.д., т.е. план преследования на каждом шаге корректируется. Таким способом реализуется закон управления и(х).

Предложенное правило построения рациональной стратегии управления для игрока Р назван принципом гарантированного прогнозируемого промаха, отлично от принципа экстремального прицеливания Н.Н.Красовского и, на наш взгляд, лучше согласуется с логикой и практикой игровых задач преследования.

Полиэдральная методология в задачах наблюдения. Изучаемый процесс наблюдения представлен уравнениями

х(г +1) = Ах(/) + Gv|/(f), (6.6)

y(t) = Cx(t), (6.7)

z(t)=y(t) + 4{t),

teZ+, дсеК" - состояние объекта наблюдения, zeiR - измеряемый выход; ye(R -внешнее возмущение, rjeR - шум измерения; AeR"*", GsRml, CsR1*".

Решается задача наблюдения (оценивания, идентификации) переменных x(t) и (|/(?) по данным измерения z(t). Источниками неопределенности в модели процесса наблюдения являются неконтролируемые возмущающие факторы -шум г| и возмущение у. Возможны два направления дальнейшей формализации задачи - стохастический и детерминистический.

Со дня своего зарождения теория идентификации поглощена стохастикой и в настоящее время располагает широким спектром статистических методов, включая методы: калмановской фильтрации, марковских и байесовских оценок, максимума апостериорной вероятности и максимума правдоподобия, стохастической аппроксимации и регрессионного анализа. Однако, получение экспериментальным путем необходимых статистических характеристик затруднительно, а часто просто невозможно. Даже ярый сторонник «стохастической идентификации» Льюнг (L.Ljung) поднимает вопрос о правомерности стохастического подхода, «поскольку мы наблюдаем только конкретную последовательность данных, а подход основан на предположении, что эксперимент, порождающий этот набор данных, может быть повторен бесконечно много раз при «одинаковых» условиях». Вопросу корректности статистических методов наблюдения посвящены работы Хубера (P.J.Huber), Калмана (R.E.Kaiman), Ю.И.Алимова, Ю.А.Кравцова, В.Н.Тутубалина, П.Е.Эльясберга, Б.Ц.Бахшияна, Р.Р.Назирова, М.Л.Лидова, И.К.Бажинова, В.Н.Почукаева, Б.М.Шамрикова, В.А.Фурсова, Г.И.Ло-мако, А.А.Ершова и др. Здесь показательно мнение Калмана (R.E.Kalman): «было бы большой неправдой утверждать, что все данные являются выборкой, а вся неопределенность возникает в силу механизма статистического выбора»; «классический вероятностный подход не может работать в реальных задачах с недостоверными данными»; «случайность является плохим научным инструментом для работы с зашумлен-ными данными»; «предположение (априорная гипотеза) о вероятностных структурах для описания неопределенности в задаче идентификации совершенно бесполезно».

Согласно общей тенденции смены стохастической парадигмы неопределенности все большее распространение получает детерминистический подход к задачам идентификации и, в частности, так называемая детерминированная теория гарантированной идентификации.

В диссертации развивается детерминированный метод наблюдения, основанный на полиэдральной методологии равномерного приближения функций.

Пусть задана решетчатая функцияД/), teT= [0:7] (TeZ+). Требуется найти ее наилучшее приближение в классе обобщенных полиномов вида:

ф(0 = ci9i(0 + С2Ф2О)+ ■•• + c¿<p¿(0-

Здесь {ф1(0, Фг(0> ••• > ф/Х')} - заданная система базисных функций, с\, •••, c¿ - неизвестные числовые коэффициенты.

Введем погрешность приближения (невязку) в точке teT:

s(0 =fit) - ф(/), и вектор погрешностей: Е = (s(0), s(l),..., е(7)).

Задача приближения формализуется как задача минимизации некоторой нормы вектора погрешностей:

II Е И —> min.

Наилучшее равномерное приближение дает кубическая норма:

||E|U= max|s(0|= тах|Д0-ф(01-

/ет teT

Поскольку здесь критерий || Е ||оо является полиэдральной функцией искомых коэффициентов с i, cj, ..., c¿, то, вводя некоторые дополнительные полиэдральные ограничения на эти коэффициенты, например, вида

\Cj\< Cj (сj = const, j- О,L),

приходим к задаче ПП на минимум.

Обратимся к задаче наблюдения состояния х свободной системы-. \|ís0, Из (6.6), (6.7) находим

y(t) = СА'х(О) = х1(0)ф1(/)+х2(0)ф2(/)+...+х„(0)ф„(О,

где ф,(;) - г'-й элемент векторной функции CA'. Отсюда получаем выражение для оценки выходной переменной у:

y(í) = i, (0)Ф1 (t)+x2 (0) Ф2 (/)+...+х„ (0)Фп (0, (6.8)

где i, (0) - оценка координаты хДО). Определяя невязку

z{t)=z{t)-y{t),

задачу наблюдения состояния можно трактовать как задачу наилучшего дискретного приближения эмпирических данных z(t) функцией (6.8). Если возможные начальные состояния стеснить некоторыми полиэдральными ограничениями, то данная задача становится задачей ПП на минимум.

Изложенная алгоритмическая схема применима к более общей задаче наблюдения - одновременному оцениванию текущего состояния системы x(t) и возмущения \¡/(í). Для этого необходима линейно параметризованная модель возмущения. Рассматриваются два типа таких моделей.

Сигнальная модель возмущений. Возмущение представляется разложением в ряд по некоторой системе базисных функций {со,, i -1, р }:

р

Ч'(0 =

/=1

где а,- (/= \,р) - неопределенные коэффициенты.

Динамическая модель возмущений. Возмущение генерируется динамической системой (экзогенная система, модель «внешней среды»):

Г(/+1) = Гу(0,

где - вектор состояния внешней среды, а ГеК/"р, - заданные ко-

эффициентные матрицы. Неопределенными являются координаты начального состояния модели у;(0)(/=1,р).

Нетрудно учесть обусловленную возмущением составляющую в структуре реакции выхода системы у{г). Тогда формульное выражение для его оценки >!(г) будет включать линейным образом неизвестные параметры возмущений а,-или у,(0). Налагая на эти параметры полиэдральные ограничения, приходим к полиэдральной задаче минимизации нормы вектора невязок.

В приложении решается приклад-Приложение 1. Полиэдральная оптими- ная задача алгоритмизации управ-зация процесса управления посадочным ления посадочным маневром пас-маневром пассажирского самолета сажирского самолета. Применяет-

ся полиэдральная формализация требований к процессу управления: терминальной цели управления, критериям динамического качества маневра, ресурсным и фазовым ограничениям.

Особенности посадочного маневра пассажирских самолетов. Самым ответственным участком полета гражданских самолетов является посадка: выход хотя бы одного режимного параметра из области допустимых значений может привести к аварии. Посадочный маневр самолета (рис. П.1) характеризуется большой сложностью и скоротечностью, сильным аэродинамическим влиянием земли. Ряд переменных за считанные секунды меняются в широком диапазоне, приближаясь к предельно допустимым значениям: в десять раз падает вертикальная скорость, в пять раз уменьшается угол наклона траектории, в два раза увеличиваются углы атаки и тангажа, на 20% падает путевая скорость.

Математический имитатор посадочного маневра самолета представляет собой нелинейную нестационарную математическую модель, адекватно отражающую закономерности механики полета. Предполагается, что самолет является абсолютно жестким телом, и движение происходит в неспокойной атмосфере в вертикальной плоскости под действием поля тяготения, аэродинамических сил и тяги двигателей, изменяющейся по заданной программе.

Переменные, характеризующие посадочный маневр: V - путевая (земная) скорость полета; 9 - угол наклона траектории; Я - высота полета; Э - угол тангажа; <вг = Э - угловая скорость тангажа.

Модель посадочного маневра описывает в переменных состояния кинематику перемещения центра масс самолета в земной системе координат, динамику перемещения г/ентра масс в проекциях на оси скоростной системы координат, динамику вращения самолета вокруг центра масс в проекции на поперечную ось связанной системы координат, функционирование автопилота. Учтены ограничения, обусловленные конструктивно-аэродинамическими особенностями самолета, требованиями его эксплуатации и безопасности посадки.

Полагаем, что посадочный маневр выполняется за промежуток времени 7~= [/„, /к], где г„ и /к - моменты начала и окончания маневра соответственно.

Задача управления посадочным маневром самолета заключается в нахождении управляющего воздействия и на автопилот, обеспечивающего перевод самолета к заданному моменту времени в предписанное целевое состояние: Н(1К)~-Н*К- Я(/К) = ЯК*; Я(/к) = Як*.

Управление посадочным маневром самолета осуществляется по принципу «гибких» корректирующих траекторий. Согласно данному принципу целевое терминальное управляемое движение самолета осуществляется по периодически обновляемым «гибким» траекториям, обеспечивающим коррекцию номинальной траектории х*((), определяющей его невозмущенное движение. Необходимость коррекции обусловлена неконтролируемыми возмущениями, порождающими отклонение фактического движения х(() от номинального я* (г):

х(1)=х*({)+Лх(1).

При этом управление маневром и(/) формируется из основной номинальной и"(7) и дополнительной корректирующей Ди(г) составляющих:

и(0 = и*(0 + Д«(0-

«Жесткая» номинальная составляющая «*(/) находится решением двухточечной краевой задачи управления: дс(гн) = *н, х(/к) = дГк, на основе неупрощенной нелинейной модели маневра. Предлагается оригинальный подход к ее решению на основе методологии обратных задач динамики, предложенной Г.С. Поспеловым и В.И.Толокновым, с использованием полиномиальной номинальной траектории посадки:

Я* = Я*(0 = ео + е\1 + е2«2 + е3г3 + е4Г4 + е5Г5, I е 7",

где коэффициенты е,- (/ = 0,5) определяются исходными начальными и заданными конечными условиями маневра.

Полиэдральный алгоритм «гибкого» корректирующего управления посадочным маневром самолета. Корректирующее управление Дu(t) является терминальным управлением «в малом» и синтезируется на основе упрощенной модели маневра, полученной линеаризацией исходной нелинейной модели вертикального маневра самолета относительно номинальной траектории.

Процесс коррекции номинальной траектории посадочного маневра самолета осуществляется дискретно в моменты времени t = /„, л = 0,1,...,N -I, причем to = t„, tfj =tK, с постоянным шагом h = (/к -<н)/N:

Au(t) = Au{t„), t„<t<t„+1, и = О, N -1.

Дискретная линейная модель возмущенного движения самолета: х[п +1] = А(и)л;[и] + В(л)Ды[и], где ns/V = [ö:A'-l]cZ+ - дискретное время; Ди[и] = Ды(/„) и дг[и] = x(tn) -дискреты управления Дм и вектора состояния х = со!(лГ], х2, , х4 ), компонентами которого являются отклонения фактических значений переменных, характеризующих посадочный маневр самолета от их номинальных значений:

=ДЭ = Э-Э*, х2=Д9 = 9-Э\ Х3=ДЯ = Я-Я*, Х4=ДЯ = Я-Я*;

А(я) еК4х4 и ß(«)e!R4xl - функциональные матрицы, зависящие от h.

Начала циклов коррекции [i=0,L,2L,...,(M-\)L, т.е. N=ML.

Корректирующим управлением для ¿1-го цикла является управляющее воздействие Ди[ц]>Ам[ц+1].....Дк[|Л-1-1], которое находится решением задачи

терминального управления для отрезка времени [/ц,Лс]> исходя из начального д:[р] = ) и целевого конечного состояний: д:[Лг] = л:(/к) = 0, с учетом заданных фазовых и ресурсных ограничений: -Т/ | < х/д0П, /' = 1,4; |Д«|2Д«доп.

Процесс корректирующего управления оптимизируется по критерию комфортности, безопасности и энергозатрат. В качестве такого критерия используется полиэдральный критерий, характеризующий максимальные значения переменных состояния и управляющих переменных возмущенного движения:

Т= max Qx(x[n\) + max Q^,{Au[n)), ne[n+l:W] ле[ц:]У-1]

где: Qx(*[«]) = max{| x\[и] |, | x2[ri\ | x3[и] |, | x4Ml}, Q&u (A«M) = IA"MI •

Данная оптимизационная задача является задачей ПП на минимум.

Компьютерная верификация алгоритма управления посадочным маневром самолета. Автором предложена концепция компьютерной сертификации посадочного маневра самолета (КС ПМС), предназначенной для подтверждения соответствия посадки самолета требованиям норм летной годности и безопасности полета. Данный вид сертификации логично дополняет летные сертификационные испытания и позволяет избежать риск при выполнении посадочного маневра в нештатных полетных ситуациях. Одна из версий системы КС ПМС реализована в среде программирования Delphi. Основные рабочие окна ее интерфейса представлены на рис. П.2.

Разработанная полиэдральная методология алгоритмизации управления посадочным маневром апробирована на компьютерных имитаторах для ряда

туполевских пассажирских самолетов, включая летающую лабораторию СПС Ту-144ЛЛ (в рамках российско-американской программы по сверхзвуковой авиации, проводимой в ОАО АНТК им. А.Н.Туполева в 1998-2000 гг.).

**»" Графики изменения высоты и вертикальной скорости

Изменение высоты

■ программа Я без коррекции

Изменение вертикальной скорости

программа без коррекции |

■ программа И терминальный|

Расчёт посадки Самолёта ... .. - • • -•--НЕЕ!

Г" Сгенерировать случайное

Модально-трансцендентный алгоритм

| Долиноь1иально-термииальный алгортм | | Дискретный алгоритм с прогнозом "| ч/ Дискретный Фтстшй алгоритм I

^ Построить графики изменешя высоты и вертикальной скорости I

-/ {Тосгроигь графит изменения сигнала дправпения } X Выход}

изменение сигнала управления

Рис. П.2

Синтезированный дискретный полиэдральный алгоритм корректирующего управления посадочным маневром СПС Ту-144ЛЛ с параметрами коррекции: й = 0.05с, t = t^1, р = 0,10,20,...,90, сравнивался стремя алгоритмами:

• непрерывным модально-трансцендентным алгоритмом управления (Г.С.Поспелов, В.И.Толокнов);

• непрерывным полиномиально-терминальным алгоритмом управления (В.В.Солодовников, Н.Б.Филимонов);

• дискретным финитным алгоритмом управления.

На рис. П.З приведены результаты такого сравнения для одной из нештатных, фактически катастрофических ситуаций, соответствующих сходу самолета с глиссады с занижением на 30 % высоты начала маневра. Вычислитель-

ные компьютерные сертификационные эксперименты показали высокую эффективность предложенных алгоритмических решений.

В приложении представлены акты, под-Приложение 2. Акты об использо- тверждающие использование результатов вании результатов диссертации диссертации при разработке перспективных алгоритмов управления посадочным маневром пассажирских самолетов и стартовым маневром автоматических высокоманевренных аэродинамических летательных аппаратов, а также в учебном процессе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В диссертации разрабатаны теоретические основы полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления и наблюдения, полиэдральные методы анализа и синтеза систем управления динамическими объектами в условиях ресурсных и фазовых ограничений, параметрической неопределенности и неполноты измерительной информации.

Результаты диссертационного исследования представлены автором как новое научное направление в теории автоматического управления - полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления и наблюдения в динамических системах.

В диссертации получены следующие новые теоретические результаты:

♦ Разработаны основы полиэдрального анализа и полиэдрального исчисления. Исследованы фундаментальные свойства и способы построения полиэдральных функций, получены формулы для субдифференциала и конструктивное условие минимума полиэдральных функций.

♦ Разработаны теоретические основы полиэдрального программирования. Дана типизация и исследованы решения ряда задач полиэдрального программирования. Предложены способы их сведения к задачам линейного программирования - методами мажорирования целевой функции и погружения, а также к задаче безусловной полиэдральной оптимизации - методом точного полиэдрального штрафа.

♦ Разработаны альтернативные численные методы безусловной полиэдральной оптимизации, реализующие схемы «жестких» и «мягких» вычислений: субградиентный (в традиционной и нейросетевой реализациях) и эволюционный (комбинированная схема эволюционных стратегий и генетических алгоритмов с механизмом адаптивной мутации).

♦ Разработана полиэдральная методология оптимизации дискретных процессов управления, основанная на полиэдральных конструкциях цели управления, динамических критериев качества, фазовых и ресурсных ограничений.

♦ Предложена полиэдральная стратегия дискретного упреждающего управления динамическими объектами в условиях ресурсных ограничений на основе объединения принципа многошагового прогнозирования управляемого дви-жения, метода функций Ляпунова и оптимизационной схемы наискорейшего спуска.

♦ Разработаны полиэдральные методы решения ряда дискретных задач анализа управляемых систем, синтеза алгоритмов управления с учетом фазовых и ресурсных ограничений, оптимизации процессов управления и наблюдения в условиях неопределенности - в штатных, конфликтных и критических ситуациях: предельного быстродействия; анализа устойчивости, синтеза стабилизирующих управлений; определения экстремальных возмущающих факторов; гарантированного и робастного управления в условиях параметрической неопределенности; конфликтного управления противоборствующими объектами; барьерного управления в критических ситуациях; идентификации состояния системы и внешней среды при действии неизвестных возмущающих факторов.

♦ На основе аппарата полиэдральной оптимизации решена прикладная задача алгоритмизации управления посадочным маневром пассажирского самолета.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Учебники, учебные пособия и монографии

1. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Филимонов Н.Б. и др. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в пяти томах. Т. 4. Теория оптимизации систем автоматического управления. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 744 с.

2. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Филимонов Н.Б. и др. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в пяти томах. Т. 5. Методы современной теории автоматического управления. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 784 с.

3. Солодовников В.В., Филимонов Н.Б. Динамическое качество систем автоматического регулирования. Учебное пособие. - М.: МВТУ им. Н.Э.Баумана, 1987. 84 с.

4. Пухов А.Л. Толокнов В.И., Филимонов Н.Б. Компьютерная сертификация посадочного маневра СПС Ту-144. Монография. - М.: Изд-во ОАО Туполев, 2001. 52 с.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

5. Филимонов Н.Б. Полиэдральное программирование в дискретных задачах управления //Информационные технологии. Приложение. 2004. № 1. 32 с.

6. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б., Бабич А.Н. Метод спуска в задачах минимизации полиэдральных функций и его нейросетевая реализация // Информационные технологии. 2001. № 12. С. 12-16.

7. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. О минимаксных и максиминных задачах полиэдрального программирования // Информационные технологии. 2000. № 12. С. 2-9.

8. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Полиэдральное программирование: элементы теории и приложения ¡/Информационные технологии. 1999. № 11. С. 2-12.

9. Филимонов Н.Б. Идентификация состояния и внешней среды дискретных динамических объектов методом полиэдрального программирования И Мехатроника, автоматизация, управление. 2003. № 2. С. 11-15.

10. Филимонов Н.Б., Деменков М.Н. Дискретное упреждающее управление линейными динамическими объектами с параметрической полиэдральной неопределенностью II Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 9. С. 2-7.

11. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Модальное управление многомерными объектами НИзв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. № 2. С. 130-142.

12. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод динамической развязки каналов управления в многосвязных объектах // Изв. вузов. Приборостроение. 2002. № 7. С. 28-34.

13. Филимонов Н.Б. Гомеостатические системы и двухрежимный автомат ограничений состояния управляемых динамических объектов // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. № 1-2. С. 17-34.

14. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Негладкий анализ и синтез систем регулирования на основе прямого метода Ляпунова. II. Синтез и оптимизация систем регулирования И Изв. вузов. Приборостроение. 1996. № 4. С. 8-23.

15. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Негладкий анализ и синтез систем регулирования на основе прямого метода Ляпунова. I. Негладкий анализ устойчивости систем и конструирование кусочно-гладких функций Ляпунова // Изв. вузов. Приборостроение. 1994. № 7-8. С. 5-15.

16. Филимонов Н.Б. Системы многорежимного регулирования: концепция, принципы построения, проблемы синтеза // Изв. вузов. Приборостроение. 1988. № 2. С. 18-33.

17. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового пространства. Ч. II. Многосвязное регулирование //Изв. вузов. Приборостроение. 1982. № 8. С. 28-32.

18. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового пространства. Ч. I. Объекты с одномерным управляющим входом //Изв. вузов. Приборостроение. 1982. №6. С. 23-27.

19. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Анализ компенсационного подхода к синтезу систем управления // Изв. вузов. Приборостроение. 1979. № 2. С. 27-32.

20. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Игровые критерии качества систем регулирования и проблема аналитического конструирования регуляторов II Изв. вузов. Приборостроение. 1976. № 12. С. 26-31.

21. Филимонов Н.Б. Оптимизация дискретных процессов управления по полиэдральным критериям качества // Вестн. МГТУ. Сер. Приборостроение. 2000. № 1. С. 20-38.

22. Филимонов Н.Б. Барьерное регулирование динамических объектов // Вестн. МГТУ. Сер. Приборостроение. 1998. № 1. С. 53-66.

Статьи в других центральных рецензируемых периодических изданиях

23. Demenkov M.N., Filimonov N.B. Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets II European Journ. of Control. 2001. V. 7, № 6. P. 596-604.

24. Filimonov N.B. The Author' Answer to the Letter to the Editor on the Paper «Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets» by M.N.De-menkov and N.B.Filimonov // European Journ. of Control. 2002. V. 8, № 1. P. 90-94.

25. Филимонов Н.Б. Наихудшие возмущающие факторы и гарантированные стратегии управления в задачах дискретной стабилизации динамических объектов // Докл. Академии военных наук. Поволжское межрегион, отд. 2003. № 9. С. 123-133.

26. Белоусов И.В., Филимонов Н.Б. Применение генетических алгоритмов в задачах оптимизации терминального управления динамическими объектами // Докл. РАЕН. Поволжское межрегион, отд. 2002. № 3. С. 68-80.

27. Филимонов Н.Б., Деменков М.Н. Кишалов П.А. Дискретное регулирование технических объектов методом прогнозируемого наискорейшего спуска // Приборы и системы управления. 1998. №З.С. 10-12.

28. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод фазового пространства в задачах управления линейными конечномерными объектами // Автоматика. 1981. №2. С. 55-67.

29. Филимонов Н.Б. Локальный и глобальный аспекты в задачах управления нелинейными объектами II Труды МВТУ. № 513. Системы автоматического управления. М.: МВТУ, 1988. С. 3-11.

30. Филимонов Н.Б. Качественный анализ динамики линейных систем управления с кинематическим звеном // Труды МВТУ. № 409. Системы автоматического управления. Вып. 9. М.: МВТУ. 1983. С. 24-34.

31. Филимонов Н.Б. Проблема динамического качества многомерных систем управления // Труды МВТУ. № 360. Системы автоматического управления. Вып. 8. М.: МВТУ, 1981. С. 39-51.

32. Филимонов Н.Б. К вопросу о разрешимости задачи В.В.Солодовникова // Труды МВТУ. № 314. Системы автоматического управления. Вып. 7. М.: МВТУ, 1979. С. 60-71.

33. Филимонов Н.Б. Управление фазовыми траекториями в линейных конечномерных нестационарных объектах // Труды МВТУ. № 297. Системы автоматического управления. Вып. 6. М.: МВТУ, 1979. С. 11-17.

34. Филимонов Н.Б. Круговой критерий устойчивости и аналитическое конструирование регуляторов // Труды МВТУ. № 238. Системы автоматического управления. Вып. 4. М.: МВТУ, 1977. С. 56-58.

35. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод полиэдрального программирования в дискретных задачах идентификации состояния системы и внешней среды // Вестн. РУДН. Сер. Кибернетика. 1999. № 1. С. 23-30.

36. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Синтез систем управления линейными динамическими объектами с эталонной динамикой выхода // Вестн. РУДН. Сер. Кибернетика. 1998. № 1. С. 64-80.

37. Филимонов Н.Б., Макашов B.C. Математическое обеспечение ППП «МАВР» для автоматизированного синтеза высококачественных многосвязных САР // Труды МВТУ. № 458. Автоматизированное проектирование систем управления. Вып. 4. М.: МВТУ, 1986. С. 125-136.

Статьи в рецензируемых научных сборниках

38. Белоусов И.В., Филимонов Н.Б. Синтез алгоритма управления маневром аэродинамического ЛА на основе эволюционно-генетического метода // Проблемы эксплуатации и совершенствования транспортных систем'. Сб. науч. тр. Акад. ГА. Т. VI. Ч. 2. СПб: АГА, 2001. С. 98-103.

39. Деменков Н.П., Филимонов Н.Б. Экстоаполяционный алгоритм дискретной стабилизации состояния динамических объектов II Автоматизированные системы управления и обработки информации: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. СПб. АГА. 1999. С. 17-21.

40. Деменков Н.П., Филимонов Н.Б. Одношаговые и многошаговые алгоритмы дискретной стабилизации объектов с параметрической неопределенностью // Проблемы эксплуатации и совершенствования авиационной техники и систем воздушного транспорта: Сб. науч. тр. Т. 3. С.-Петербург: АГА, 1997-1998. С. 44-48.

41. Филимонов Н.Б. Концепция многорежимного регулирования // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1988. С. 88-92.

42. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Циклические процессы регулирования в нелинейных объектах // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1988. С. 90-96.

43. Филимонов Н.Б. Концепция квазилинейного управления переходными режимами САР // Управление гибкими производственными системами: Межвуз науч. сб. Л.: ЛЭТИ-НПИ, 1987. С. 49-54.

44. Филимонов Н.Б., Макашов B.C. Квазиоптимальное модальное управление // Труды МВТУ. № 486. Автоматизированное проектирование систем управления. Межвуз. сб. Вып. 5. М.: МВТУ, 1987. С. 38-47.

45. Филимонов Н.Б. Функциональная управляемость и синтез систем управления методом обратных задач динамики // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1986. С. 58-68.

46. Филимонов Н.Б. Многообразие установившихся режимов многосвязных САР // Методы и устройства обработки информации в системах управления: Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: РРТИ, 1985. С. 43-46.

47. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Модальное управление нестационарными объектами // Адаптивные системы автоматического управления: Респ. межвед. науч.-техн. сб. Вып. 10. Киев: Технка, 1982. С. 43-51.

48. Филимонов Н.Б. Критерий устойчивости терминальных систем управления с кинематическим звеном // Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз. науч. сб. Рязань: РРТИ, 1981. С. 22-25.

49. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. К проблеме динамического качества линейных стационарных систем регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1981. С. 94-106.

50. Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование квазиоптималыюй системы терминального управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч.-техн. сб! Вып. 3. Саратов: СПИ, 1978. С. 100-113.

Подписано в печать 25.01.2009г. Объем 2,5 п.л. Тираж 150 экз. Заказ №342

Отпечатано в салоне оперативной полиграфии «Мирен и Ко»

Москва, Потешная ул., 6/2; тел.: (495) 963-08-18 mireya@mail.ru

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ.

1.1. Элементы полиэдрального анализа.

1.2. Элементы полиэдрального программирования.

1.2.1. Постановка и особенности общей задачи полиэдрального программирования.

1.2.2. Постановка и редукция основных типовых задач полиэдрального программирования к задачам линейного программирования.

1.2.3. Редукция общей задачи полиэдрального программирования к задаче безусловной полиэдральной оптимизации методом точных полиэдральных штрафов.

1.3. Элементы полиэдрального исчисления и условия полиэдрального экстремума.

Выводы по главе 1.

Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ

ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

2.1. Задача безусловной полиэдральной оптимизации и современные технологии «жестких» и «мягких» вычислений.

2.2. Непрямой метод «жестких вычислений»: субградиентный метод оптимизации.

2.2.1. Основные положения и традиционная вычислительная реализация субградиентного метода оптимизации.

2.2.2. Нейросетевая реализация субградиентного метода оптимизации.

2.3. Прямой метод «мягких вычислений»: эволюционный метод оптимизации.

2.3.1. Стохастическая парадигма оптимизации и концепция эволюционных вычислений.

2.3.2. Основные положения и алгоритмическая реализация эволюционного метода оптимизации.

2.3.3. Настройка параметров и тестирование алгоритма эволюционной оптимизации.

Выводы по главе 2.

Глава 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ.

3.1. Постановка общей задачи оптимизации дискретных процессов управления.

3.2. Проблема выбора критерия качества и критика парадигмы квадратичной оптимизации.

3.3. Полиэдральные критерии качества процессов управления.

3.4. Полиэдральные цели и ограничения процесса управления.

3.5. Постановка общей задачи полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления.

Выводы по главе 3.

Глава 4. ПОЛИЭДРАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ДИСКРЕТНОГО

УПРЕЖДАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ.

4.1. Ретроспектива и современное состояние проблемы упреждающего управления.

4.2. Идея и особенности полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления.

4.3. Обоснование полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления.

4.4. Обобщение полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления на нелинейные объекты.

4.5. Алгоритмизация полиэдральной стратегии дискретного упреждающего управления.

Выводы по главе 4.

Глава 5. ПОЛИЭДРАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ДИСКРЕТНЫМ

ЗАДАЧАМ СТАБИЛИЗАЦИИ.

5.1. Задачи предельного быстродействия.

5.2. Метод полиэдральных функций Ляпунова и задачи стабилизации.

5.2.1. Полиэдральные функции Ляпунова и узловое условие устойчивости.

5.2.2. Синтез и оптимизация стабилизирующего управления.

5.3. Задачи барьерного управления.

5.3.1. Автомат ограничений и полиэдральная методология барьерного управления.

5.3.2. Стратегия упреждающего барьерного управления.

Выводы по главе 5.

Глава 6. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПОЛИЭДРАЛЬНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ И НАБЛЮДЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.

6.1. Драматическая смена парадигм неопределенности и принцип гарантированного результата.

6.2. Экстремальные возмущающие факторы.

6.3. Гарантированное и робастное управление в условиях полиэдральной неопределенности.

6.3.1. Гарантированная позиционная стратегия управления в условиях начальной полиэдральной неопределенности.

6.3.2. Робастная стратегия упреждающего управления в условиях параметрической полиэдральной неопределенности.

6.4. Конфликтное управление противоборствующими объектами в условиях преследования.

6.4.1. Полиэдральные дискретные динамические игры преследования.

6.4.2. Полиэдральная стратегия преследования на основе принципа гарантированного прогнозируемого промаха.

6.5. Полиэдральная методология в задачах наблюдения.

6.5.1. Стохастический и детерминистический подходы к задачам наблюдения.

6.5.2. Задача дискретного наблюдения состояния системы и дискретное равномерное приближение функций.

6.5.3. Наблюдение состояния свободной системы.

6.5.4. Совместное наблюдение состояния системы и внешней среды.

Выводы по главе 6.

В современной автоматике на первый план выдвигаются задачи оптимизации процессов управления [24, 149, 176, 317, 324, 330, 368, 439, 443, 452, 465, 571, 649, 673, 706, 754, 772, 800, 802], причем интерес к ним неизбежно будет возрастать в соответствии с манифестом Я.З.Цыпкина [590, с. 116]: «Оптимизировать все, что оптимизируется, а что не оптимизируется, сделать оптимизируемым». Необходимо отметить, что вследствие прогрессирующего усложнения динамических моделей управляемых объектов и ужесточения требований качества управления большинство оптимизационных задач не поддается точному аналитическому решению и требует применения приближенных численных методов с использованием ЭВМ.

Интенсивные исследования по созданию численных методов решения задач оптимального управления начались в конце 50-х - начале 60-х гг. прошлого столетия и связаны с работами: Д.Е.Охоцимского и Э.Т.Энеева; Л.И.Шатровс-кого; Н.Н.Красовского; И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько; Н.Н.Моисеева; Б.Н. Пшеничного; Н.Е.Кирина; В.Ф.Демьянова; Р.П.Федоренко; Брайсона (А.Е.Вгу-son) и Денхема (W.F.Denham); Келли (H.J.Kelley); Миеле (A.Miele); Балакриш-нана (A.V.Balakrishnan); Нейштадта (L.W.Neustadt); Итона (J.H.Eaton). К настоящему времени в данной области насчитывается значительное число публикаций, включая известные книги: И.В.Бейко [50]; Н.Е.Кирина [237, 238]; Даера (P.Dyer) и МакРейнольдса (S.McReynolds) [677]; Полака (E.Polak) и др. [385, 653]; Н.Н.Моисеева [340]; Брайсона (A.E.Bryson) и Ю-Ши (HoYu-Chi) [77]; Ф.Л.Черноусько и др. [599, 601]; А.И.Пропоя [398]; В.Г.Болтянского [71]; Б.М. Будака и Ф.П.Васильева [82]; Табака (D.Tabak) и Kyo (В.С.Кио) [464]; Р.П.Федоренко [485]; Ю.М.Ермольева, В.П.Гуленко и Т.И.Царенко [202]; В.С.Миха-левича и В.Л.Волковича [331]; И.А.Орурка и др. [22]; Л.Т.Ащепкова, В.П.Булатова и др. [34]; Сингха (M.G.Singh) и Титли (A.Titli) [431]; В.Н.Козлова и др.

245, 247, 248]; Кларка (F.Clarke) [241]; М.В.Азанова и др. [4]; В.В.Дикусара и А.А.Милютина [174]; В.Ф.Кротова и др. [360]; В.А.Срочко и др. [325, 453, 454]; Р.Габасова, Ф.М.Кирилловой и А.И.Тятюшкина [116, 480]; Н.Д.Егупова и др. [399, 475]; И.Г.Черноруцкого [598]; Ю.Г.Евтушенко и В.Г.Жадана [182, 184] и др.

Численные методы решения задач оптимального управления, в зависимости от непосредственного использования или не использования в них необходимых и/или достаточных условий оптимальности, принято условно разделять на «непрямые» и «прямые» соответственно. «Непрямые» методы оптимизации получили широкое распространение в теоретических исследованиях и оказались малоэффективными для решения практических задач оптимального управления с фазовыми ограничениями: условия оптимальности здесь принимают сложный вид и приводят к неприемлемым с точки зрения вычислительной реализации решениям [28]. Напротив, «прямые» методы оптимизации позволяют достаточно просто учесть фазовые ограничения, причем результаты сравнения и анализа общей тенденции их развития позволяют констатировать, что наиболее эффективным и перспективным средством решения задач оптимального управления с ресурсными и фазовыми ограничениями являются «прямые» методы, основанные на использовании аппарата математического программирования (МП). Как утверждают Табак (D.Tabak) и Kyo (В.С.Кио), «для большого класса задач оптимального управления МП является наиболее эффективным подходом, а в ряде случаев и единственным, фактически применимым на практике».

Среди первых работ, посвященных редукции задачи оптимального управления к задаче МП следует отметить работы Хо (У.С.Но) и Брентани (Р.В.Вге-ntani) [725]; Л.С.Гноенского и С.М.Мовшовича [133]; Хензона (M.A.Hanson) [716]; Ю.М.Ермольева и В.П.Гуленко [201]; А.И.Пропоя [395]; А.А.Первозва-нского [370]; Б.М.Будака, Е.М.Берковича и Е.Н.Соловьевой [81]; И.О.Мельца [319]; Табака (D.Tabak) и Куо (В.С.Кио) [801] и др. В настоящее время методы оптимального управления на базе МП прочно вошли в золотой фонд теории оптимального управления и составляют важный раздел современной теории автоматического управления [294, §3.8; 324,т.4,гл.5; 368, гл.9,п.7.3; 465, п. 18.2.5].

И все же, приходится констатировать, что разрабатываемые численные методы оптимизации процессов управления в недостаточной мере используют огромный потенциал аппарата МП.

В последние годы в развитии методов оптимального управления на базе МП наметилась тенденция унификации, связанная с поиском единого универсального метода решения общего класса оптимизационных задач. Однако, еще Курант (R. Courant) и Роббинс (G.Robbins) убедительно подчеркивали, что «занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться на общие методы», а А.Н.Тихонов и Д.П. Костомаров, рассуждая о перспективах развития методов оптимизации отмечали, что «конкретизация задачи, выделение определенных классов функций и областей позволяют провести более глубокое исследование и разработать специальные методы, которые решают задачу исчерпывающим образом». Поскольку современная теория оптимального управления объемлет весьма широкий класс оптимизационных задач с большим разнообразием специфических свойств, можно заключить, что все большую актуальность и практическую ценность приобретает тенденция спецификации, связанная с выделением отдельных классов оптимизационных задач и поиском методов решения на базе аппарата МП, учитывающего их специфику. В настоящей диссертации выделен такой конкретный и вместе с тем достаточно широкий класс оптимизационных задач, для которых удается получить весьма простые и вместе с тем эффективные алгоритмические решения.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию нового класса оптимизационных задач - задач полиэдральной оптгмизации дискретных процессов управления динамическими объектами в условиях ресурсных и фазовых ограничений. Полиэдральная оптимизация основывается на аппарате полиэдрального программирования - специального раздела МП, изучающего оптимизационные задачи полиэдральной структуры.

Следует подчеркнуть, что материал диссертации ограничен рассмотрением дискретных задач управления, которые имеют в теории и практике автоматического управления несравненно более важное значение, чем непрерывные задачи управления. Действительно, задачи дискретного управления возникают в двух случаях: когда процесс управления по своей сути является дискретным и когда для управления непрерывным процессом используется дискретное управляющее устройство, например, ЭВМ. Действительно, все процессы управления социальными и экономическими системами, а также многие процессы управления техническими объектами по своей природе являются дискретными: в них контроль состояния объекта и управление им осуществляется в дискретные моменты времени. Особенно важное значение данные процессы приобрели в связи с внедрением в практику управления средств вычислительной техники. Наконец, решаемые задачи дискретного управления часто являются дискретной формой исходной непрерывной задачи управления, причем, как подчеркивает Полак (Е.Ро1ак): «Во многих случаях формулировка задачи оптимального управления в дискретном виде предпочтительнее, чем в непрерывном», поскольку «любой численный метод решения задач непрерывного оптимального управления предполагает ту или иную форму дискретизации задачи».

Тема диссертации - полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления: теория и применения.

Объектом диссертационного исследования являются дискретные процессы управления конечномерными динамическими объектами с учетом ресурсных и фазовых ограничений.

Предметом диссертационного исследования является проблематика полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления.

Актуальность темы диссертации продиктована теоретическими и практическими аспектами развития современной автоматики и, в частности, необходимостью исследования следующих проблем:

• проблемы управления динамическими объектами в условиях фазовых и ресурсных ограничений, уровень теоретической проработки которой не отвечает требованиям практики;

• проблемы развития техники классических прямых показателей качества процессов управления в рамках формализма пространства состояний; проблемы разработки прогностических стратегий управления, продиктованной закономерной сменой классической парадигмы позиционного управления; проблемы разработки алгоритмов робастного управления в условиях параметрической неопределенности динамики объекта и внешней среды.

Целью диссертационного исследования является разработка теоретических основ и изучение прикладных аспектов полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления динамическими объектами.

В диссертации также затронуты вопросы наблюдения состояния управляемых объектов и внешней среды, органично связанные с информационно-измерительными аспектами технической реализации процессов управления.

В соответствии с поставленной целью основными задачами исследования диссертации являются:

Разработка теоретических основ и численных методов полиэдральной оптимизации.

Разработка полиэдральной критериальной базы для дискретных задач управления динамическими объектами с учетом фазовых и ресурсных ограничений.

Постановка и решение на полиэдральной основе ряда ключевых задач оптимизации дискретных процессов управления и наблюдения.

Применение полиэдрального подхода в задачах алгоритмизации управления терминальным маневром летательных аппаратов.

Современное состояние темы диссертации. Ограничимся библиографическим анализом двух фундаментальных составляющих диссертационного исследования - полиэдрального программирования и задачи полиэдральной оптимизации процессов управления.

Обратимся сначала к предыстории полиэдрального программирования. Современное МП состоит из ряда разделов, рассматривающих специальные типы экстремальных задач, различающихся видом целевой и ограничивающих функций. В процессе развития численных методов оптимизации процессов управления большие надежды возлагались на использование аппарата линейного программирования (ЛП), как наиболее зрелого и развитого раздела МП, обеспеченного мощным арсеналом алгоритмов и программных средств [72, 90, 111, 132, 385, 397, 464, 485, 646, 653, 659, 666, 683, 684, 713, 753, 758, 783, 803, 806, 816]. Однако, данные надежды не оправдались из-за линейной структуры задач ЛП - линейности целевых и ограничивающих функций. Класс задач оптимизации процессов управления, который может быть формализован в терминах ЛП, оказался слишком узким и часто не соответствующим потребностям практических приложений.

По сравнению с ЛП, более перспективным является использование в задачах оптимизации процессов управления полиэдрального программирования (1111) [536, 545] - нового раздела МП, объектом исследования которого является класс экстремальных задач с полиэдральной структурой, т.е. полиэдральными целевыми и ограничивающими функциями. Полиэдральная методология применима к большинству прикладных оптимизационных задач, причем многие возникающие на практике оптимизационные задачи либо изначально удается формализовать в терминах 1111, либо допускают применение полиэдральной аппроксимации. Важно подчеркнуть, что ключевые конструкции 1111 - полиэдральные множества, функции, нормы и метрики, - открывают новые возможности с точки зрения формализации постановки и содержательной интерпретации прикладных задач оптимизации дискретных процессов управления динамическими объектами в условиях ресурсных и фазовых ограничений.

1111, введенное впервые в работе [505], занимает «промежуточное» место между линейным и выпуклым программированиями, являясь обобщением первого и частным случаем второго. Более точно 1111 можно рассматривать как современную трактовку, развитие и обобщение так называемого кусочно-линейного программирования (КЛП) [435, с.517; 619, с.231-232], в задачах которого целевая и ограничивающие функции являются выпуклыми кусочно-линейными функциями. Основные положения КЛП были сформулированы еще в 60-х гг. прошлого столетия в известных книгах Е.Г.Голыптейна, Д.Б.Юдина [136, гл.7] и С.И.Зуховицкого, Л.И.Авдеевой [217, гл.V]. Среди немногочисленных исследований, так или иначе затрагивающих вопросы КЛП, можно выделить работы: Агхара (W.G.Aghar) и Уэйлеса (T.D.Walace) [624]; С.И.Зуховицкого [216]; В.И. Мудрова [345]; Бен-Исраэля (А.Ben-Israel) и Чарнеса (A.Chames) [640], Е.Г. Голыитейна [134,с.31]; В.П.Булатова [90,с.24]; Р.П.Федоренко [485,с.431-436]; Е.П.Волокитина [107]; Р.Габасова и Ф.М.Кирилловой [110, с.341-346]; Е.И.Шилкиной [609], С.В.Плотникова [383, с.83-118]; Мельцера (D.Meitzer) [760]; Крифганза (A.Kripfganz) и Шульца (R.Schulze) [746]; Бенчекроуна (В. Benchekroun) [639]; Гороховика (V.V.Gorokhovick) и Зорко (O.I.Zorko) [710]; В.Н.Козлова [245, с. 136-137; 246]; И.И.Еремина [193, 196]).

Несмотря на 40-летнюю историю своего существования, КЛП практически отсутствует в современной учебной и монографической литературе по МП, а задачи КЛП именуются нестандартными, либо специальными задачами ЛП. В связи с этим введение автором специального самостоятельного раздела МП под названием «полиэдральное программирование» является принципиальным и вполне оправданным. Данный термин более адекватно отражает существо рассматриваемых задач, позволяет избежать терминологическую путаность и привнести необходимую строгость в общую классификацию разделов МП. Кстати, словосочетание «полиэдральное программирование» (точнее «сепарабельное полиэдральное выпуклое программирование»), впервые встречается в 1992 г. в монографии А.Д.Гвишиани и В.А.Гурвича [122], а те или иные полиэдральные категории (объектами которых являются полиэдры), связанные с задачами оптимизации и управления, в последнее десятилетие все чаще встречаются в отечественной научной и учебной литературе. Здесь можно указать работы: И.И. Еремина, Р.Габасова, А.Б.Куржанского, Н.А.Кузнецова, Б.П.Дербеневой, A.B. Лотова, Г.К.Каменева, Р.В.Ефремова, Е.К.Костоусовой, С.Б.Пельцвергера, Л.И. Микулича, А.С.Беленького, Е.В.Гончарова и др., в которых используются такие выражения, как: полиэдральное оценивание и полиэдральная аппроксимация областей достижимости систем, полиэдральная оптимизация и оптимизация в полиэдральной норме, полиэдральные множества допустимых стратегий, алгоритмы полиэдральной аппроксимации в задачах фильтрации, оптимизация систем управления с полиэдральными ограничениями, полиэдральные методы в задачах управления и т.п.

Следует отметить, что к разработке теоретических основ ПП наиболее близки работы И.И.Еремина последнего десятилетия [192, 193, 196], связанные с исследованием задач КПП.

Обратимся теперь к предыстории задач полиэдральной оптимизации процессов управления. Критериальная база задач оптимального управления основана на формализации представлений о качестве процессов управления. Проблема качества процессов управления составляет один из наиболее консервативных (по Я.З.Цыпкину «вечно юных») и слабо развивающихся разделов современной теории автоматического управления. В большинстве работ, связанных с выбором критерия качества оптимизируемых автоматических систем, утрачена преемственность с интуитивно ясными и содержательными классическими представлениями о качестве процессов управления, выработанными отечественной автоматикой еще в 40-60-е гг. прошлого столетия. В результате, сегодня в теории и практике оптимизации автоматических систем «безраздельно господствуют» квадратичные критерии качества и порождаемые ими задачи квадратичной оптимизации, именуемые задачами аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Несмотря на чрезвычайную популярность, концептуальные основы АКОР неоднократно подвергались резкой критике известными отечественными и зарубежными учеными, включая В.В.Со-лодовникова, Н.Н.Моисеева, Я.З.Цыпкина, А.М.Баткова, С.В.Емельянова, С.К. Коровина, А.А.Первозванского, A.A.Колесникова, В.Н.Букова, Беллмана (R.E. Bellman), Уонэма (W.M. Wonham), а также самих основоположников теории АКОР A.M. Летова и Калмана (R.E.Kaiman). Данная критика обусловлена отсутствием ясного физического смысла оптимизируемых квадратичных критериев, невозможностью учесть локальные свойства переходных процессов и установить прямые ограничения на фазовые переменные. Кроме того, инженерную ценность методологии АКОР ставят под сомнение результаты решения обратной задачи АКОР, согласно которой любая асимптотически устойчивая замкнутая автоматическая система (даже со сколь угодно неудовлетворительными прямыми показателями качества переходных процессов) является оптимальной в смысле некоторого квадратичного критерия качества.

В потоке работ, посвященных проблеме качества процессов управления, имеется также и цикл работ автора, отражающих ее идейную эволюцию [444 -451, 491, 492, 494-497, 500, 501, 507, 508, 511, 514, 518, 520, 521, 526, 529, 530, 531, 533, 535, 538, 539, 540, 541, 547-549, 552-555, 558, 559, 565, 566, 688, 689]. В этих работах проведено систематическое исследование проблемы качества для широкого класса конечномерных динамических объектов: линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных, одноканальных и многоканальных. Результаты исследований, в частности, затронули критериальные основы теории АКОР и послужили толчком к разработке альтернативной к ней теории полиэдральной оптимизации процессов управления.

Еще Беллман (R.E. Bellman) подчеркивал, что в теории АКОР исходную задачу «заменяют менее важной задачей минимизации квадратичного функционала, потому что она, в противоположность первой, более реалистичной задаче, поддается изучению с помощью классических методов». Напротив к реалистичным задачам, максимально приближенным к практическим нуждам автоматики, правомерно относить задачи полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления, сформулированные впервые в работах автора [532, 536, 542 -545]. Отличительной особенностью данных задач является их полиэдральная структура: все ключевые элементы задачи - цель управления, ограничения и критерии качества - являются полиэдральными.

Обращаясь к ретроспективе полиэдральных критериев качества процессов управления, следует отметить, что отдельные их виды имеют давнюю историю и в период зарождения не могли интерпретироваться с позиций полиэдрального анализа. Это касается, прежде всего, известного критерия равномерного приближения Чебышева, впервые введенного в теорию и практику автоматических систем сначала Б.В.Булгаковым в конце 1930-х гг. для задач накопления возмущений [91], а затем в 1953 г. В.В.Солодовниковым [441] и А.А.Фе-льдбаумом [488] для общего класса задач управления как универсального прямого критерия качества процессов управления - максимального отклонения или перерегулирования. Важность данного критерия качества в теории и практике автоматических систем подчеркивали: Беллман (R.E.Bellman), Гликсберг (I.Gli-cksburg), Гросс (О.Gross), Дрейфус (S.E.Dreyfus), Джонсон (C.D.Johnson), Варга (J.Warga), Куликовский (R.Kulikowski), Нейштадт (L.W.Neustad), Портер (W.A. Porter), Далех (M.A.Dahleh), Пирсон (J.B.Pearson), Е.А.Барбашин, Н.Н.Красовс-кий, Н.Н.Моисеев, Ф.Л.Черноусько, А.Б.Куржанский, Ю.С.Осипов, Я.З.Цып-кин, В.А.Якубович, А.Я.Дубовицкий, А.А.Милютин, В.Ф.Демьянов, Г.М.Уланов, Р.Габасов, Ф.М.Кириллова, Р.П.Федоренко, К.А.Лурье, В.А.Троицкий; А.И.Субботин, А.Г.Ченцов, В.М.Кейн, А.Е.Барабанов, И.В.Бейко, В.А.Бесеке-рский, А.А.Колесников, А.А.Первозванский, Ю.М.Астапов, В.П.Куропаткин, М.З.Коловский, В.В.Гурецкий, В.Ф.Кудин, Б.Г.Питтель, В.В.Григорьев, О.Н. Граничин, Н.Н.Макаров, А.В.Шавров и др. (см., напр., [368, с.475; 317, с.21; 465, с. 143]). Однако, несмотря на ясный физический смысл, практическую значимость и давнюю историю, чебышевский критерий качества, из-за отсутствия конструктивных методов решения порождаемых им оптимизационных задач оказался в забвении во многом благодаря широкому распространению идеологии АКОР. В связи с этим один из последовательных сторонников чебышевско-го критерия качества А.А.Первозванский подчеркивал: «Значение такого критерия вряд ли оспоримо, однако в практических расчетах он почти не используется. Это обстоятельство связано, в первую очередь, с неразработанностью соответствующих аналитических и вычислительных приемов». Одна из частных целей диссертационного исследования заключается в возрождении интереса к чебышевскому критерию качества процессов управления на основе полиэдральной методологии.

Следует отметить, что те или иные полиэдральные конструкции фрагментарно встречаются в литературе в постановках ряда задач оптимального управления при формализации либо цели управления, либо ограничений, либо критериев качества. Это касается, прежде всего, задач минимаксного управления динамическими объектами (см., напр., работы Джонсона (C.D.Johnson) [170, 729], Швеппе (F.C. Schweppe) [794], А.Б.Куржанского [291], Н.Ф.Кириченко [80, 240], В.А.Якубовича [574,§3.2], В.М.Кейна [236], Далеха (M.A.Dahleh) [666, 667], А.Е.Барабанова [40], Э.Я.Рапопорта [406, 407], А.Ф.Шорикова [616]). Однако, все эти задачи не относятся к рассматриваемому в диссертации классу задач с полиэдральной структурой. К полиэдральной методологии оптимизации процессов управления наиболее близки работы А.А.Первозванского второй половины 1960-хгг. [367; 368,с.475-478; 369, 371], связанные с равномерной оптимизацией систем управления.

Методы исследования базируются на активном использовании положений современной теории управления и методов математического программирования. Для вывода, обоснования и доказательства основных теоретических результатов применялся математический аппарат теории разностных уравнений, теории матриц, теории оптимизации и выпуклого анализа. Подтверждение теоретических результатов проводилось компьютерными экспериментами в инструментальной среде МАТЬАВ с использованием современных технологий жестких и мягких вычислений.

Научная новизна. В диссертации, по существу, сформировано новое научное направление в теории автоматического управления, связанное с применением аппарата полиэдрального анализа, полиэдрального исчисления и полиэдрального программирования к задачам дискретного управления динамическими объектами.

На защиту выносятся следующие новые результаты, полученные в диссертации в соответствии с поставленной целью и решением основных задач исследования:

Теоретические основы полиэдральной оптимизации, фундаментальными составляющими которой являются полиэдральный анализ, полиэдральное программирование и полиэдральное исчисление.

Методы редукции задач полиэдральной оптимизации к задачам безусловной полиэдральной оптимизации и к задачам линейного программирования.

Численные методы безусловной полиэдральной оптимизации: субградиентный метод, реализующий непрямую схему «жестких вычислений», и эволюционный метод в виде комбинации эволюционных стратегий и генетических алгоритмов, реализующий прямую схему «мягких вычислений».

Полиэдральная методология формализации задач оптимального управления динамическими объектами с учетом фазовых и ресурсных ограничений на процессы управления.

Полиэдральная стратегия дискретного упреждающего управления динамическими объектами в условиях ресурсных ограничений.

Полиэдральная методология постановки и решения ряда дискретных задач анализа и синтеза систем управления динамическими объектами с учетом фазовых и ресурсных ограничений - в условиях неопределенности, в штатных, конфликтных и критических ситуациях:

• предельного быстродействия;

• исследования устойчивости и стабилизирующего управления;

• экстремального накопления возмущений;

• гарантированного управления в условиях начальной полиэдральной неопределенности;

• робастного управления в условиях параметрической полиэдральной неопределенности;

• конфликтного управления противоборствующими объектами;

• барьерного управления в критических ситуациях;

• идентификации состояния системы и внешней среды в условиях полиэдральной параметрической неопределенности возмущающих факторов.

Решение прикладной задачи алгоритмизации управления посадочным маневром пассажирского самолета.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций диссертации обусловлены использованием апробированных научных методов и средств, полнотой и корректностью исходных посылок, строгостью и непротиворечивостью математических выкладок, подтверждаются результатами вычислительных экспериментов, а также апробацией и обсуждением полученных результатов на научных конференциях и экспертизой научных статей при публикации в ведущих научных изданиях.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты и методические рекомендации ориентированы на разработку эффективных дискретных систем автоматического управления с учетом разнообразных условий функционирования, включая условия параметрической неопределенности, действия возмущающих факторов, возможность конфликтных и критических ситуаций.

Основными достоинствами полиэдральной методологии оптимизации процессов управления как эффективного инженерного инструмента решения широкого круга теоретико-прикладных задач являются:

• общность математического формализма, обусловленная использованием полиэдральных конструкций в постановке и содержательной интерпретации широкого класса задач управления;

• аппроксимативные аспекты полиэдрального формализма, связанные с возможностью приближения любых выпуклых функций и множеств соответственно полиэдральными функциями и множествами;

• ясный инженерный смысл полиэдральных критериев динамического качества процессов управления, простота формализации полиэдральных целей управления, а также полиэдральных фазовых и ресурсных ограничений;

• простота компьютерной реализаг\ии алгоритмов полиэдральной оптимизации с использованием доступных и апробированных вычислительных технологий и стандартного программного обеспечения.

Результаты теоретических исследований, разработанные методы полиэдральной оптимизации и полиэдральные алгоритмы управления могут найти широкое применение в задачах автоматизации технических объектов и технологических процессов в промышленности, энергетике и на транспорте.

Использование, внедрение и реализация результатов. Диссертационная работа выполнялась в МГТУ им. Н.Э.Баумана и МГУПИ в рамках плановых госбюджетных научно-исследовательских работ и конкурсных проектов, включая: фундаментальную программу Минобразования РФ «Интеллектуальные системы» (1998 г.), подпрограмму «Научные исследования высшей школы в области транспорта» (2001 г.), конкурсный проект РФФИ по отделу математики, информатики и механики «Исследование алгоритмов решения терминальных задач» (2000-2002 гг.).

Результаты диссертационного исследования использовались в научно-исследовательской и проектно-конструкторской деятельности четырех предприятий:

- ОАО «Туполев» в 1998-2000 гг. при разработке научно-методического, алгоритмического и программного обеспечения системы компьютерной сертификации динамики посадочных маневров пассажирских самолетов (среднема-гистрального Ту-204 и сверхзвуковой летающей лаборатории Ту-144ЛЛ);

- ФГУП «НПО машиностроения» в 2000-2003 гг. при разработке перспективных алгоритмов управления стартовым маневром автоматических аэродинамических высокоманевренных летательных аппаратов;

- ОАО «Пензенское КБ моделирования» в 2009 г. при разработке цифровых динамических моделей авиационного тренажера для пассажирского самолета Ту-204;

- ГУП «Пилотажно-исследовательский центр» в 2009 г. при разработке и верификации алгоритмического обеспечения бортовых информационно-управляющих комплексов.

Предложенные решения позволяют значительно сократить сроки разработки и верификации алгоритмов управления, а также повысить качество процессов управления маневрами ЛА. При этом техническая целесообразность применения и эффективность разработанных алгоритмов управления обусловлены возможностью учета реальных динамических свойств аппарата, требований к качеству маневра, а также ресурсных и фазовых ограничений.

Основные теоретические результаты диссертации вошли в пятитомный учебник по методам классической и современной теории автоматического управления, использованы в учебном процессе при подготовке инженеров по направлению «Системы управления и навигации», магистров и бакалавров по направлению «Автоматизация и управление» в МГТУ им. Н.Э.Баумана и «МА

ТИ»-РГТУ им. К.Э.Циолковского, а также при подготовке аспирантов в МГТУ им. Н.Э.Баумана и PhD-студента в Де Монтфортском университете (г.Лейстер, Великобритания).

Апробация работы. Основные теоретические и практические результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на более, чем 110-ти международных и отечественных научных конференция, симпозиумах и семинарах, включая: Конференции и семинары в России и в ближнем зарубежье: Моск. гор. шк.-семин. мол. учен. «Алгоритмизация и программирование задач управления» (Москва, 1978, 1984); I и II Всесоюз. межвуз. науч.-техн. конф. «Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП» (Ленинград, 1978; Ташкент, 1980); III Всесоюз. совещ. по автоматизации проектирования САУ и АСУ ТП (Иваново, 1981); Республ. конф. «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе» (Киев, 1982); 1-я Всесоюз. на-уч.-техн. конф. «Синтез и проектирование многоуровневых систем управления» (Барнаул, 1982); X и XI Всесоюз. науч.-техн. совещ. «Создание и внедрение систем автоматического и автоматизированного управления ТП» (Алма-Ата, 1983; Новгород, 1986); V Всесоюз. совещ. «Управление многосвязными системами» (Москва, 1984); Республ. науч.-техн. конф. «Опыт создания и пути повышения эффективности функционирования АСУПиТП» (Минск, 1985); V-VI Всесоюз. совещ.-семин. мол. учен. «Современные проблемы автоматического управления» (Пушкино, 1985; 1987); III и IV Всесоюз. науч.-техн. конф. «Программное, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ» (Ташкент, 1985, 1988); Всесоюз. науч. конф. «Декомпозиция и координация в сложных системах» (Челябинск, 1986); 5-я Всесоюз. Четаевская конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1987); Респ. науч.-техн. конф. «Методологические проблемы автоматизированного проектирования и исследования систем» (Севастополь, 1987); III Республ. науч.-техн. конф. «Новые достижения в области приборостроения» (Ереван, 1987); 1-2-я Всесоюз. науч.-техн. конф. мол. учен, и спец. с междунар. участием «Контроль, управление и автоматизация в современном производстве» (Москва, 1988, 1990); X Всесоюз. совещ. по проблемам управления (Москва, 1989); Всесоюз. науч.-техн. со-вещ. «Теоретические и прикладные проблемы создания систем управления ТП» (Челябинск, 1990); Науч.-техн. конф. «165 лет МГТУ им. Н.Э.Баумана» (Москва, 1995); 1-6-й междунар. симп. «Интеллектуальные системы» (Махачкала, 1994; С.-Петербург, 1996; Псков, 1998; Москва, 2000; Калуга, 2002; Саратов,

2004); VI-VIII и XI междунар. науч.-техн. семин. «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 19971999,2002); 1-я междунар. конф. «Новые технологии управления движением технических объектов» (Ставрополь, 1999); The Third Russian-Korean Internat. Sympos. on Science and Technology (Novosibirsk, 1999); 4th и 5th Internat. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering (Novosibirsk, 1998, 2000); VI междунар. семин. «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2000); Конф. по теории колебаний и управлению, посвящ. 100-летию Б.В.Булгакова (Москва, 2000); Междунар. конф. «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике» (Ульяновск, 2001); Науч.-практ. семин. «Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления» (Новосибирск, 2001); Всеросс. науч.-техн. конф. «Аэрокосмические технологии» (Реутов, 2002, 2003, 2004); 2, 3 и 5-я междунар. науч.-техн. конф. «Инженерно-физич. проблемы авиац. и космич. техники (Чкаловские чтения)» (Егорьевск, 1997, 1999, 2004); XXVI-XXVIII академ. чтения по космонавтике (Москва, 2002-2004); 2-3-я Всеросс. науч. конф. «Управление и информационные технологии» (Пятигорск, 2004; С.-Петербург,

2005); 1-2-я Всеросс. науч.-техн. конф. с междунар. участ. «Мехатроника, автоматизация, управление» (Владимир, 2004; Уфа, 2005); 1-2-я междунар. науч. конф. «Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения» (Саратов, 2000, 2005); Всеросс. научно-техн. конф. «Информационные технологии» (Воронеж, 2005); Ist и 2nd Internat. Conf. «Dynamical System Modeling and Stability Investigation» (Kyiv, 2003, 2005). Конференции в ближнем и дальнем зарубежье: Научна сесия ВМЕИ «Ленин» (Болгария, София, 1989); Трета-Пета Национ. млад. шк. с междунар. уч. «Системи за автоматизация на инженерния труд и научните изследвания»

Болгария, София, 1989-1991); 9th, 10th, 13,h-17,h Internat. Conf. «Systems for Automation of Engineering and Research» (Bulgaria, Varna, 1995, 1996, 1999-2003). Семинары в: МГТУ им. Н.Э.Баумана, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э.Циолковского, МИФИ (ТУ), МГУ им. М.В.Ломоносова, Саратовском ГУ, Киевском ГУ, Софийском ГУ (Болгария), Де Монфортском университете (Великобритания).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано самостоятельно и в соавторстве более 160 печатных работ, включая: одну монографию, две главы в пятитомном учебнике, учебное пособие, 27 статей, опубликованных в центральных отечественных и зарубежных журналах, а также 27 статей, опубликованных в рецензируемых сборниках научных трудов. В периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ опубликована 21 статья. Публикации в полной мере отражают основное содержание диссертации.

Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежат результаты, относящиеся к разработке теории ПП и ее применения в задачах оптимизации процессов управления и наблюдения. В работах с соавторами (В.В.Солодовниковым и А.Б.Филимоновым) автору принадлежит ведущая роль в постановке задач, выборе и обосновании методов их решения, а также в объяснении и интерпретации полученных результатов. В работах, выполненных совместно с аспирантами А.Н.Бабичем, М.Н.Деменковым и И.В.Бе-лоусовым, автор осуществлял непосредственное научное руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 821 наименований и двух приложений. Общий объем работы - 393 е., включая: 286 с. основного содержания исследований (26 рис. и 4 табл.), 40 с. приложений и 67 с. списка литературы.

Основные результаты главы:

1. Приведен сравнительный анализ стохастической и детерминистической парадигм неопределенности в задачах управления и наблюдения.

2. Разработана полиэдральная методология решения задачи экстремального накопления возмущений, т.е. определения экстремальных возмущающих факторов, порождающих неопределенность в процессах стабилизации.

3. Предложен новый регулярный метод синтеза дискретной позиционной гарантирующей стратегии управления динамическими объектами в условиях полиэдральной начальной неопределенности.

4. Предложен новый подход к робастной дискретной стабилизации динамических объектов с полиэдральной параметрической неопределенностью на основе стратегии упреждающего управления с многошаговым прогнозом и линейной параметризации полиэдральных областей управляемости.

5. Разработана стратегия преследования в полиэдральных дискретных динамических играх на основе принципа гарантированного прогнозируемого промаха.

6. Предложен метод наблюдения состояния системы и внешней среды, основанный на полиэдральных моделях неопределенности и аппарате полиэдральной оптимизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлены результаты теоретических исследований автора в области полиэдральной оптимизации дискретных процессов управления и наблюдения в динамических системах. Развиваемые концептуальные основы и математический аппарат полиэдральной оптимизации являются гибким инструментарием формализации и решения дискретных задач анализа и синтеза автоматических систем в условиях ресурсных и фазовых ограничений, параметрической неопределенности и неполноты измерительной информации. Автор стремился показать продуктивность полиэдрального подхода к оптимизации дискретных динамических процессов, его потенциальные возможности, теоретическую и прикладную значимость.

Совокупность положений и результатов диссертационной работы следует рассматривать как новое научное направление в теории автоматического управления, связанное с применением аппарата теории полиэдральной оптимизации, включающей элементы полиэдрального анализа, полиэдрального программирования и полиэдрального исчисления, к задачам дискретного управления и наблюдения в динамических системах.

Основные научные результаты работы

В диссертации получены следующие новые научные результаты в области теории автоматического управления:

1. Разработаны теоретические основы полиэдральной оптимизации, фундаментальными составляющими которой являются полиэдральный анализ, полиэдральное программирование и полиэдральное исчисление. Сформулированы основные положения полиэдрального анализа, исследованы фундаментальные свойства полиэдральных функций и методы их построения, изложены элементы полиэдрального исчисления, включая вопросы субдифференцирования и конструктивные условия минимума полиэдральных функций, разработаны основы полиэдрального программирования как специального раздела выпуклого программирования.

2. Сформулированы и исследованы общая и типовые частные задачи полиэдрального программирования. Предложены способы сведения задач полиэдрального программирования (задачи на минимум, максимум, минимакс и максимин) к задачам линейного программирования - методом мажорирования целевой функции и использования принципа погружения, а также способ сведения к задаче безусловной полиэдральной оптимизации - методом точного полиэдрального штрафа.

3. Разработаны численные методы безусловной полиэдральной оптимизации, реализующие современные схемы «жестких» и «мягких» вычислений: субградиентный метод оптимизации в традиционном и нейросетевом исполнении, являющийся полиэдральным аналогом градиентного метода наискорейшего спуска; эволюционный метод оптимизации, являющийся быстродействующей модификацией комбинированной схемы эволюционных стратегий и генетических алгоритмов с механизмом адаптивной мутации.

4. Разработана полиэдральная методология формализации задач оптимизации процессов управления. В ее основу положены полиэдральные конструкции цели и критериев качества процессов управления, фазовых и ресурсных ограничений. Изложена логика перехода от малопродуктивной классической парадигмы квадратичной оптимизации к новой перспективной парадигме полиэдральной оптимизации.

5. Предложена полиэдральная стратегия дискретного упреждающего управления динамическими объектами в условиях ресурсных ограничений. В основе лежит идея объединения принципа многошагового прогнозирования управляемого движения объекта, метода функций Ляпунова и оптимизационной схемы наискорейшего спуска.

6. На основе полиэдральной методологии разработаны методы решения ряда дискретных задач анализа управляемых систем, синтеза алгоритмов управления с учетом фазовых и ресурсных ограничений, оптимизации процессов управления и наблюдения в условиях неопределенности - в штатных, конфликтных и критических ситуациях:

• анализа устойчивости и синтеза стабилизирующего управления;

• предельного быстродействия;

• экстремального накопления возмущений;

• гарантированного управления в условиях полиэдральной начальной неопределенности;

• робастного управления объектами с полиэдральной параметрической неопределенностью;

• конфликтного управления противоборствующими объектами;

• барьерного управления в критических ситуациях;

• идентификации состояния системы и внешней среды в условиях полиэдральной параметрической неопределенности.

7. Теоретические положения диссертации применены к решению прикладной задачи алгоритмизации управления посадочным маневром пассажирского самолета.

1. Абанькин А.Е. О точных штрафных функциях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. - Вып. 3 (№ 13). - С. 3-8.

2. Авруцкий Г.И., Буков В.Н., Гросс В.К., Чудинова В.Г. Применение алгоритма с прогнозированием для системы управления с неидеальным интегрирующим приводом // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 10.

3. Адаменко Г.М., Гайшун И.В. О численных методах построения функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. 1972. - № 10. - С. 197-199.

4. Азанов М.В., Заика Ю.В., Росляков А.П. Вычислительные методы решения задач анализа и синтеза в теории оптимального управления. М., 1989. -92 с.

5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах -М.: Высш. шк., 1986. 319 с.

6. Акулич И.Л., Стрелченок В.Ф. Математические методы и компьютерные технологии решения оптимизационных задач. Рига: BKI, 2000. - 298 с.

7. Алгоритмы и программы случайного поиска. Рига: Зинатне, 1968.

8. Александров А.Г. К обратной задаче синтеза оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1967. - № 4. - С. 115.

9. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Математика и механика. 1997. - № 3. -С. 51-54.

10. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С. и др. Оптимизация динамики управляемых систем / Под ред. В.В. Александрова. М.: Изд-во МГУ, 2000. 304 с.

11. Александров Е.Е., БехМ.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. Харьков: Изд-во «Основа» при Харьковском ГУ, 1993. - 112 с.

12. Александрова И.Е., Александрова Т.Е. О выборе весовых коэффициентов оптимизируемого функционала в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов //' Радюелектрошка, информатика, управ-лшня. 2001. - № 1. - С. 135-137.

13. Александровский Н.М., Егоров C.B., Кузин P.E. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. -М.: Энергия, 1973. 272 с.

14. Алимов Ю.И. Альтернатива методу математической статистики. М.: «Знание», 1980. - 64 с.

15. Алимов Ю.И. Еще раз о реализме и фантастике в приложениях теории вероятностей //Автоматика. 1979. - № 4. - С. 83.

16. Алимов Ю.И. Несовместимость фишеровской теории оценок с требованием многократного воспроизведения экспериментального результата / Идентификация, прогнозирование и управление в технических системах. Владивосток: Изд-во ДальГУ, 1986. - С. 23-32.

17. Алимов Ю.И. О приложении методов математической статистики в обработке экспериментальных данных // Автоматика. 1974. - № 2. - С. 1-24.

18. Алимов Ю.И., Кравцов Ю.А. Является ли вероятность «нормальной» физической величиной? // Успехи физ. наук. 1992. - Т. 162. - С. 149-181.

19. Алферов В.Г., Ишханов П.Э., Хусаинов P.M. Введение прогнозирования в системы управления электроприводов позиционных механизмов // Вестн. МЭИ. 1996. - № 2. - С. 23-28.

20. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Функция Ляпунова для исследования устойчивости в целом нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1985. - Т. 49, Вып. 5. - С. 883-893.

21. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. A.A. Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука, 1984. - 344 с.

22. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построенияфункций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общ. механика. Т.2. М.: ВИНИТИ, 1975. - С. 53-112.

23. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 1999. -467 с.

24. Анциферов Е.Г., Ащепков Л.Т., Булатов В.П. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1990.- 158 с.

25. Аршавский Ю.Э., Корчанов В.М. Управление динамическими объектами одного класса в условиях траекторных ограничений // X Всесоюз. совещ. по проблемам управления: Тез. докл. в 2-х кн. Кн. II. М.: ВИНИТИ, 1986. - С. 224-225.

26. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. - 320 с.

27. Афанасьев В.Н. Динамические системы управления с неполной информацией: Алгоритмическое конструирование. М.: Изд-во «КомКнига», 2007. -216 с.

28. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Наука, 1998. - 576 с.

29. АхоА., ХопкрофтДж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536 с.

30. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981. - 304 с.

31. Ащепков Л.Т., Белов Б.И., Булатов В.П. и др. Методы решения задачматематического программирования и оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1984. - 234 с.

32. Байдык Т.Н. Нейронные сети и задачи искусственного интеллекта. Киев: Наук, думка, 2001.

33. Баландин Д.В., Коган М.М. Алгоритм построения функции Ляпунова в синтезе динамических регуляторов по выходу // Дифференц. уравнения. -2004. -№Ц. -С. 1457-1461.

34. Бандарос Ю.Г. Аналитическое конструирование контуров управления для дискретных систем с полиномиальными характеристиками // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1975. - № 3. - С. 185-194.

35. Бандарос Ю.Г., Шабловский В.К. Аналитическое конструирование контуров управления для дискретных систем с кусочно-линейными характеристиками // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1974. - № 1. - С. 211-216.

36. Банди Б. Основы линейного программирования. М.: Радио и связь, 1989. - 176 с.

37. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПб.: Изд-во С-Пе-терб. ун-та, 1996. 224 с.

38. Баранов В.В. Метод численного построения функций Ляпунова нелинейных динамических систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тез. докл. VI Междунар. семин. М.: ИПУ, 2000. - С. 74.

39. Барбашин Е.А. О построении функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1968. - № 12. - С. 2127-2158.

40. Барбашин Е.А. Об одной задаче теории динамического программирования // Прикл. математика и механика. 1960. - № 6.

41. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Пакшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М.: Изд-во МАИ, 1992.-304 с.

42. Батищев Д.И. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач. -Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1995. 65 с.

43. Батищев Д.И., Исаев С.А. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов // Межвуз. сб. науч. тр. «Высокие технологии в технике, медицине и образовании». Воронеж: ВГТУ, 1997. -С. 4-17.

44. Батищев Д.И., Коган Д.И. Вычислительная сложность экстремальных задач переборного типа. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1994. - 114 с.

45. Бахутин В.Д., Майборода JI.A. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984. - 208 с.

46. Бейко И.В. Численные методы отыскания оптимальных управлений // Оптимальные системы. Статистические методы: Тр. III Всесоюз. совещ. по автомат, управлению. М.: Наука, 1967. - С. 176-183.

47. Бейко И.В., Бейко М.Ф. Численные методы решения задач оптимального управления. Киев: Знание, 1963. - 141 с.

48. Бейко И.В., Булик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища шк., 1983. - 512 с.

49. Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления М.: Наука, 1989. - 224 с.

50. Беленький A.C. Нахождение седловых точек на выпуклых многогранниках в задачах минимаксной оптимизации с линейными ограничениями // Автоматика и телемеханика. 1980.-№7.-С. 161-167.

51. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 460 с.

52. Белман Р., Калаба Р. Обратная задача программирования в автоматическом управлении // Механика: Сб. переводов иностр. статей. 1964. - Т. 88, № 6.- С. 3.

53. Белов M.JL, Городничев В.А., Козинцев В.И., Федотов Ю.В. Метод поиска квазирешений в задаче лазерного оптико-акустического газоанализа // Оптика атмосферы и океана. 2002. - Т. 15, № 4. - С. 388-392.

54. Белоусов И.В., Плавник Г.Г., Филимонов Н.Б. Исследование генетических алгоритмов с динамическими параметрами // Всерос. науч.-техн. конф. «Аэрокосмические технологии»: Тез. докл. Реутов: НПО машиностроения, 2002. - С. 19-20.

55. Белоусов И.В., Плавник Г.Г., Филимонов Н.Б. Исследование эффективности генетических алгоритмов с динамическими параметрами // Аэрокосмические технологии: Тр. Всерос. науч.-техн. конф. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - С. 165-168.

56. Беркинблит М.Б. Нейронные сети. М.: Мирос и ВЗМШ РАО, 1993. -96 с.

57. Бертрам Дж.Е., Сарачик P.E. Об оптимальном управлении с применением вычислительных устройств // Тр. Первого междунар. конгр. ИФАК по автоматическому управлению. М.: Изд-во АН СССР, 1960. - 23 с.

58. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

59. Бесекерский В.А. Проблемы развития систем автоматического управления //Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 11. - С. 20-27.

60. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990. - 360 с.

61. Бобылев H.A., Климов B.C. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. М.: Наука, 1992.

62. Богатырев A.B., Пятницкий Е.С. Построение кусочно-квадратичных функций Ляпунова для нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 10.

63. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.-448 с.

64. Бондаренко В.И., Филимонов Ю.И. О применении линейного программирования к экстремальным задачам теории управления // Прикл. математика и механика. 1968. - № 1. - С. 147-153.

65. Борзенко И.М. Адаптация, прогнозирование и выбор решений в алгоритмах управления технологическими объектами. М.: Энергоатомиздат, 1984.- 144 с.

66. Борзенко И.М. О выборе алгоритмов управления с прогнозированием для оптимизации переходных режимов технологических процессов // Приборы и системы управления. 1975. - № 8. - С. 6-8.

67. Борзенко И.М., Сапожников Л.А. Решение оптимальных задач с применением принципа максимума на аналоговых вычислительных устройствах при помощи схем логики / Вычисл. техника в управлении. М.: Наука, 1964.-С. 179-187.

68. Борисовский П.А., Еремеев A.B. О сравнении некоторых эволюционных алгоритмов // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 3. - С. 3-9.

69. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972. 544 с.

70. Бранулли К.А. Статистическая теория и методология в науке и технике. -М.: Наука, 1977. 408 с.

71. Бромберг П.В. Устойчивость и автоколебания импульсных систем регулирования. М.: Оборонгиз, 1953. - 224 с.

72. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксные оценки и регуляторы в динамических системах. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1978. - 48 с.

73. Будак Б.М., Бркович Е.М., Соловьева Е.Н.О разностных аппроксимациях в задачах оптимального управления // Вестн. МГУ. Сер. математики и механики. 1968. - № 2.

74. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. - 172 с.

75. Букатова И.Л. Глобальный поиск в эволюционном моделировании // Вопросы кибернетики. Модели и методы глобальной оптимизации. М.: Наука, 1986. - С. 60-69.

76. Букатова И.Л. Эволюционное моделирование и его приложения. М.: Наука, 1979. - 231 с.

77. Букатова ИЛ., Михасев Ю.И., Шаров A.M. Эвоинформатика: Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Наука. 1991. - 206 с.

78. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. -М.: Наука, 1987.-232 с.

79. Буков В.Н. Оптимальные алгоритмы в задачах с ограничениями управляющих координат // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1982. - № 2.

80. Буков В.Н., Зубов Н.Е. Релейное управление на основе алгоритма с прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика. 1986. - № 4.

81. Булавский В.А., Звягина P.A., Яковлева М.А. Численные методы линейного программирования / Под ред. Л.В. Канторовича. М.: Наука, 1977. -368 с.

82. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск:1. Наука, 1977. 161 с.

83. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // Докл. АН СССР. 1946. Т. 51, № 5. -С. 339-342.

84. Валеев К.В., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наук, думка, 1981.-412 с.

85. Вальков К.И. Вероятность, информация и доводы разума // Геометрические модели и алгоритмы. Л.: 1986. - С. 4-25.

86. Ванюрихин Г.И., Иванов В.М. Синтез оптимальных алгоритмов дискретного управления с прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика. 1985.-№2.

87. Ванюрихин Г.И., Иванов В.М. Синтез систем управления движением нестационарных объектов. М.: Машиностроение, 1988. - 168 с.

88. Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления с использованием генетических алгоритмов // Прил. к журн. Информационные технологии. 2000. - № 12.-24 с.

89. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. -400 с.

90. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.-552 с.

91. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998. - 176 с.

92. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. -М.: Наука, 1980. 208 с.

93. Вентцель Е.С. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе / Математики о математике: Сб. статей. М.: Знание, 1982. - С. 37-55.

94. Верещаго E.H. Построение функционала оптимизации по заданным показателям качества // Изв. вузов. Приборостроение. 1972. - № 4. - С. 8-12.

95. Верлань А.Ф. и др. Эволюционные методы компьютерного моделирования. Киев: Наук, думка, 1992. - 257 с.

96. Волгин B.B. Модели случайных процессов для вероятностных задач синтеза АСУ. Генеральная совокупность реализаций. Эргодичность. Единственная реализация. М.: Изд-во МЭИ, 1998. - 64 с.

97. Волгин Л.И. Непрерывная логика и ее схемотехнические применения. -Ульяновск: УлГТУ, 1996. 108 с.

98. Воленко Е.В. и др. Оптимизация функций многих переменных алгоритмами генетического поиска. Снежинск, 1998. - 12 с.

99. Волокитин Е.П. О представлении непрерывных кусочно-линейных функций // Управляемые системы. 1979. - № 19. - С. 14-21.

100. Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности. Харьков: ОСНОВА, 1997. - 112 с.

101. Воронцов H.H. Развитие эволюционных идей в биологии. М.: Изд-во КМК, 2004. - 432 с.

102. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы линейного программирования. В 3-х чч. Ч. 3. Специальные задачи. Минск: Изд-во БГУ, 1980. - 368 с.

103. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления и классические проблемы теории автоматического регулирования / Между нар. конф. по проблемам управления: Сб. пленарных докл. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999. - С. 42-60.

104. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во БГУ, 1981.-350 с.

105. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск. Изд-во БГУ, 1975. - 264 с.

106. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Балашевич Н.В. Гарантированная оптимизация неопределенных систем с использованием прогноза // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. - № 2. - С. 78-84.

107. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Сенько A.A. Комплекс программных средств решения задач планирования и оптимального управления. -Минск: Ин-т математики АН БССР, 1982. 15 с.

108. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методыоптимизации. В 5-и чч. Ч. 2. Задачи управления. Минск: Университетское, 1984.

109. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное наблюдение и управление в линейных системах // Современная математика и ее приложения. Т. 23. Тбилиси: Ин-т математики АН Грузии. - 2005. - С. 7-33.

110. Габасов Р.К. К вопросу о единственности оптимального управления в дискретных системах // Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика. 1962. -№5.

111. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 204 с.

112. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. М.: ИПРЖР, 2000. - 416 с.

113. Гасилов В.Л. Об адаптивном осуществлении программных движений / Вопросы анализа нелинейных систем автоматического управления: Сб. ст. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1973. - С. 45-60.

114. Гвишиани А.Д., Гурвич В.А. Динамические задачи классификации и выпуклое программирование а приложениях. М.: Наука, 1992. - 360 с.

115. Герасимов А.Н., Иванов В.М. Синтез оптимальных управлений в дискретной системе с моделью при мультипликативных возмущениях // Изв. вузов. Приборостроение. 1986. - № 3. - С. 11-16.

116. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-384 с.

117. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной минимизации. М.: Мир, 1977.-292 с.

118. Гилл Ф., Мюррей У., РайтМ. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. - 509 с.

119. Гирсанов И.В. Дифференцируемость решений задач математического программирования / Тез. докл. Всесоюз. межвуз. конф. по применению методов функционального анализа к решению нелинейных задач. Баку, 1965. - С. 43-45.

120. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы / Под ред. В.М. Курейчика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.

121. Гноенский Л.С. О накоплении возмущений в линейных системах // Прикл. ма-тематика и механика. 1961. - № 2. - С. 319-342.

122. Гноенский Л.С. Задача Булгакова о накоплении возмущений // Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применения // Под ред. В.В. Александрова. М.: Изд-во МГУ, 1993.

123. Гноенский Л.С. К задаче преследования // Прикл. математика и механика. 1962.-Т. 26, Вып. 5.

124. Гноенский Л.С., Мовшович С.М. О применении методов линейного программирования к одной задаче теории следящих систем // Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика. 1962. - № 6. - С. 50-66.

125. Гноенский Л.С., Мовшович С.М. О применении методов математического программирования к задаче оптимального регулирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1964. - № 5. - С. 16-29.

126. Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). М.: Наука, 1970.-68 с.

127. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Методы расчета и синтеза импульсных автоматических систем. I., II // Автоматика и телемеханика. 1963 - № 7. - С. 921-928; № 12. - С. 1643-1659.

128. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Сов. радио, 1966. - 524 с.

129. Горбань А.Н., Россиев Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996. - 276 с.

130. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь, 1991. - 288 с.

131. Гороховик В.В. Выпуклые и негладкие задачи векторной оптимизации. -Минск: Наука 1 тэхшка, 1990. 239 с.

132. Горячев Ю.В. Генетические алгоритмы многокритериальной конфликтной оптимизации. М.: Изд-во НИИ ПМТ, 2001. - 102 с.

133. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2003. - 291 с.

134. Григоренко Н.Л. Дифференциальные игры преследования несколькимиобъектами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 79 с.

135. Григорян A.A. Закономерности и парадоксы развития теории вероятностей: философско-методологический анализ. М.: Едиториал УРСС, 2004. -120 с.

136. Гринченко С.Н. Метод «проб и ошибок» и поисковая оптимизация: анализ, классификация, трактовка понятия «естественный отбор» // Исследовано в России: электронный журнал. 1998. - № 3. - С. 1228-1271:http ://www.zhurnal.mipt.ru/

137. Гринченко С.Н. Феномен оптимизации, адаптации и эволюции в природных системах // Сб. НТИ. Сер. 2. Информационные процессы и системы. -1999.-№6.- С. 20-30.

138. Грудо Э.И. О построении функций Ляпунова в виде форм т-то порядка // Дифференц. уравнения. 1984. - № 5. - С. 739-745.

139. Гублер Е.В., Первозванский A.A., Челпанов И.Б. Процессы аварийного регулирования в живом организме как фактор его надежности при разрушительных воздействиях // Вопросы бионики. Под ред. М.Г. Гаазе-Рапо-порта. М.: Наука, 1967. - С. 20-24.

140. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 911 с.

141. Гулько Ф.Б., Коган Б.Я. Методы оптимального управления с прогнозированием // Тр. II конгр. ИФАК. Т. 2. М.: Наука, 1964.

142. Гулько Ф.Б., Новосельцева Ж.А. Системы управления с прогнозированием // Измерения, контроль, автоматизация: сб. М.: ЦНИИТЭИ. 1976. -Вып. I. - № 5.

143. Гупал A.M. Алгоритмы поиска экстремума недифференцируемых функций с ограничениями. Киев: ИК АН УССР, 1976. - 18 с.

144. Турецкий В.В. К задаче минимизации наибольшего отклонения // Тр. Ленингр. Политехнич. ин-та. № 307. Л.: Машиностроение, 1969.

145. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1977. - 184 с.

146. Деменков Н.П., Филимонов Н.Б. Оптимизация процессов терминального регулирования технических объектов // Новые технологии управления движением технических объектов: Тр. 1-й междунар. конф. Ставрополь: НП НИИ СУП, 1999. - С. 62-64.

147. Деменков М.Н., Филимонов Н.Б. Полиэдральный алгоритм дискретной стабилизации объектов с параметрическими неопределенностями // XXIV Гагаринские чтения: Сб. тез. докл. Всерос. молодежи, науч. конф. Ч. 3. -М.: Изд-во «ЛА-ТМЭС», 1998. С. 11-12.

148. Деменков Н.П., Филимонов Н.Б. Экстраполяционный алгоритм дискретной стабилизации состояния динамических объектов // Автоматизированные системы управления и обработки информации: Межвуз. тематич. сб. науч. трудов. СПб.: АГА. 1999. - С. 17-21.

149. Демьянов В.Ф. К минимизации максимального уклонения // Вестн. Ле-нингр. ун-та. Сер. 1. 1966. - Вып. 2 (№ 7). - С. 21-28.

150. Демьянов В.Ф. К построению оптимальной программы в линейной системе // Автоматика и телемеханика. 1964. - Т. 25, № 1.

151. Демьянов В.Ф. К решению некоторых минимаксных задач. I. II // Кибернетика: I 1966. - № 3. - С. 58-66; II - 1967 - № 3. - С. 62-66.

152. Демьянов В.Ф. Точные штрафные функции в задачах негладкой оптимизации // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1994. - Вып. 4 (№ 22). - С. 21-27.

153. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высш. шк., 2005. - 335 с.

154. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.:1. Наука, 1981.-384 с.

155. Демьянов В.Ф., Виноградова Т.К., Никулина В.Н. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. JL: Изд-во ЛГУ, 1982. - 324 с.

156. Демьянов В.Ф., Ди Пилло Д., Фахиней Ф. Точные штрафные функции / Математические модели систем управления. Под общ. ред. В.Ф. Демьянова. Гл. 5. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. - С. 62-79.

157. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.- 368 с.

158. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. - 432 с.

159. Детисов В.А., Таран В.Н. Синтез оптимального управления градиентным методом на основе прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика.- 1990.-№ 10.

160. Джонсон К.Д. Минимаксная теория управления Чебышева / Тр. IV Всесо-юз. совещ. по автоматическому управлению. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Наука, 1972. - С.140-149.

161. Джонсон К. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям / Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. Под ред. К.Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. - С. 253-320.

162. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы метода внутренних точек). Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1974. - 144 с.

163. Дикин И.И., Попова О.М. Исследование и ускорение сходимости алгоритмов метода внутренних точек. Решение оптимизационных задач термодинамики. Новосибирск: Наука, 1997. - 70 с.

164. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 143 с.

165. Дмитриев Г.А., Комисарчук В.Ф., Прутенский В.Н. Многосвязная система с прогнозом регулируемых переменных // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. научн. тр. -Новосибирск: НЭТИ, 1986. С. 96-100.

166. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

167. Доценко В.И., Чхартишвили Г.С. Системы управления с использованием модели, работающей в ускоренном масштабе времени // Тр. МЭИ. Вып. 59. М.: Изд-во МЭИ, 1965.

168. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Некоторые оптимальные задачи для линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1963. - T. XXIV. - № 12.

169. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. М.: Но-лидж, 2001. 1296 с.

170. Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения MAT-LAB. Спец. справочник. СПб.: Питер, 2001. - 480 с.

171. Дьяченко И.В., Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Численный метод построения функций Ляпунова и анализ устойчивости нелинейных динамических систем на ЭВМ // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 4. -С. 23-38.

172. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

173. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Точные вспомогательные функции в задачах оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1990.Т. 30, № 1.-С. 43-57.

174. Евтушенко Ю.Г., Жадан В.Г. Численные методы оптимизации. М.: Наука, 2005.

175. Евтушенко Ю.Г., Мазурик В.П. Программное обеспечение систем оптимизации. М.: Знание, 1989. - 48 с.

176. Егоров C.B. Построение моделей с периодическим просмотром вариантов решения // Изв. вузов. Электромеханика. 1964. - № 7.

177. Егоров C.B. Элементы идентификации и оптимизации управляемых систем. М.: МЭИ, 1974. - 224 с.

178. Егоров Ю.Д., Кисляков B.C. Определение оптимизируемых функционалов в задачах аналитического конструирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1975. - № 3. - С. 195-203.

179. Ежов A.A., Шумский С.А. Нейрокомпъютинг и его приложения в экономике и бизнесе. М.: МИФИ, 1998. - 224 с.

180. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. - 432 с.

181. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 352 с.

182. Еремин И.И. Двойственность в линейной оптимизации. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001.- 180 с.

183. Еремин И.И. Двойственность для Парето-последовательных задач линейного программирования // Тр. ИММ УрО РАН. 1995. - Т. 3. - С. 245-261.

184. Еремин И.И. Идентификация штрафных констант в методах точных штрафных функций // Докл. РАН. 2005. - Т. 402, №.6. - С. 737-739.

185. Еремин И.И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 143, № 4. - С. 748-751.

186. Еремин И.И. Некоторые вопросы кусочно-линейного программирования. // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 12 (427). - С. 1-13.

187. Еремин И.И. О методе штрафов в выпуклом программировании // Кибернетика. 1967. - № 4. - С. 63-67.

188. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. Екатеринбург: Изд-во «Екатеринбург», 1999. - 312 с.

189. Еремин И.И., Астафьев H.H. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука. 1976. - 192 с.

190. Ермольев Ю.М. Методы решения нелинейных экстремальных задач // Кибернетика. 1966. - № 4. - С. 1-17.

191. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П. Конечноразностный метод в задачах оптимального управления // Кибернетика. 1967. - № 3.

192. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев: Наук, думка, 1978. - 164 с.

193. Ерофеев A.A. Теория автоматического управления: Учебник. СПб.: Политехника, 1998. - 295 с.

194. Ефимов В.В. Нейроподобные сети в бортовых информационно-управляющих комплексах летательных аппаратов. Решение оптимизационных задач. СПб.: ВИКА им. А.Ф. Можайского, 1996. - 113 с.

195. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб.: Наука, 2005. - 314с.

196. Жиглявский A.A. Математическая теория глобального случайного поиска. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 296 с.

197. Жиляков В.И. К определению весовых коэффициентов функционалов кАчества // Изв. вузов. Электромеханика. 1984. - № 5. - С. 32-35.

198. Жолен JL, Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2007. - 468 с.

199. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. -М.: МНИИ ПУ, 1997. 446 с.

200. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. Тбилиси: Мецниереба, 1998. - 462 с.

201. Жуковский В.И., Чикрий A.A. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наук, думка, 1994. - 320 с.

202. Завадский В.К. Терминальное управление с обратной связью по прогнозируемому конечному состоянию / Управление в сложных нелинейных системах: Сб. М.: Наука, 1984. - С. 24-30.

203. Заде Л.А. Роль мягких вычислений и нечеткой логики в понимании, конструировании и развитии информационных/интеллектуальных систем // Новости искусственного интеллекта. 2001. - № 2-3. - С. 7-11.

204. Зубов В.И. Аналитическое построение функций Ляпунова // Докл. АН. -1994. Т. 335, № 6. - С. 688-690.

205. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 496 с.

206. Зуховицкий С.И. Об одной задаче кусочно-линейного программирования // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1963. - Т. 3, № 3. - С. 599-605.

207. Зуховицкий СЛ., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. -М.: Наука, 1967.-460 с.

208. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: справочное пособие. Киев: Наук, думка, 1986. - 584 с.

209. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техшка, 1975. - 312 с.

210. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетике. Киев: Техшка, 1971. - 311 с.

211. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. Киев: Техшка; Берлин: ФЕБ Ферлаг Техник, 1984. - 223 с.

212. Ивахненко А.Г., Толокняненко В.А., Яременко А.Г. Управление с оптимизацией прогноза при использовании дискретных нелинейных прогнозирующих моделей объекта // Автоматика. 1974. - № 1. - С. 64-72.

213. Иртегов В.Д. К вопросу построения функций Ляпунова / Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. -С. 115-124.

214. Исаев С.А. Генетические алгоритмы эволюционные методы поиска. -Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2000.

215. Исаев С.А., Виндман П.А. Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов // Вестн. ННГУ. Сер. «Математическое моделирования и оптимальное управление». Вып. 1(26). Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2003. - С. 180-188.

216. Кабанов С.А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997.

217. Калинин В.Н. Основы теории локально-оптимальных процессов управления. Л.: ЛВИКА, 1968. - 164 с.

218. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.- М.: Мир, 1971.-400с.

219. Калман P.E. Когда линейная система управления является оптимальной? // Тр. Американск. об-ва инженеров-механиков. Т. 86, Сер. D. 1964. - № 1- С. 69-84.

220. Калман P.E. Идентификация систем с шумами // Успехи мат. наук. 1985.- Т. 40, Вып. 4 (244). С. 27-41.

221. Каменецкий В.А. Градиентный метод построения функций Ляпунова для нелинейных динамических систем / Вопросы кибернетики. Оптимизация всложных системах. М.: АН СССР, 1988. - С. 55-72.

222. Карапетян P.M. О численном решении уравнений оптимальных коэффициентов в задачах аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1972. - № 12.

223. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986. -288 с.

224. Катковник В.Я. Линейные оценки и стохастические задачи оптимизации (метод параметрических операторов усреднения). М.: Наука, 1976. -488 с.

225. Катулев А.Н., Северцев H.A. Математические методы в системах поддержки принятия решений. М.: Высш. школа, 2005. - 311 с.

226. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. -М.: Наука, 1985. 248 с.

227. Кирин Н.Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. -СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993.-308 с.

228. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.- 144 с.

229. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев: Ви-щашк., 1978. - 184 с.

230. Кириченко Н.Ф. Минимаксное управление и оценивание в динамических системах // Автоматика. 1982. - № 1. - С. 32-39.

231. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. - 280 с.

232. Клейменов А.Ф. Неантагонистические дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. - 184 с.

233. Клюев A.C., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. - 240 с.

234. Князева E.H. Одиссея научного разума. Синергетическое видение научного прогресса. М.: ИФРАН, 1995. - 228 с.

235. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1986. - 168 с.

236. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский B.C. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1989.-224 с.

237. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Вычислительная математика и теория управления. СПб.: СПбГТУ, 1996. - 284 с.

238. Коллац JL, Крабе В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука, 1978. - 272 с.

239. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. - 320 с.

240. Комарцова Л.Г., Максимов A.B. Нейрокомпьютеры. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 320 с.

241. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей / A.B. Лотов, В.А. Бушенков, Г.К. Каменев, О.Л. Черных. М.: Наука, 1997. - 239 с.

242. Конева К.К., Терехова Л.М. Появление эволюционных алгоритмов. М.: Мир, 2003.-243 с.

243. Коннов И.В. Методы недифференцируемой оптимизации. Казань: Изд-во КГУ, 1993.- 100 с.

244. Корнеев В.В., Гареев А.Ф., Васютин C.B., Райх В.В. Базы данных. Интеллектуальная обработка информации. М.: Изд-во Нолидж, 2001. - 496 с.

245. Коршунов А.И. К определению наиболее неблагоприятного задающего воздействия системы автоматического управления // Изв. вузов. Приборостроение. 1999. - № 8. - С. 31-37.

246. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость. // Успехи физ. наук.- 1989. Т. 158. - С. 92-121.

247. Красовсий H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

248. Красовский A.A. Аналитическое конструирование автоматов ограничений // Автоматика и телемеханика. 1975. - № 6. - С. 14-20.

249. Красовский A.A. Неклассические целевые функционалы и проблемы теории оптимального управления (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1992. -№ 1.-С. 3-41.

250. Красовский A.A. Обобщение задачи аналитического конструирования регуляторов при заданной работе управлений и управляющих сигналов // Автоматика и телемеханика. 1969. - № 7. - С. 7-17.

251. Красовский A.A. Оптимальное управление посредством физической прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 2. -С. 156-162.

252. Красовский A.A. Прогнозирование и оптимальное автоматическое управление // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. - № 4. - С. 115-122.

253. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. - 560 с.

254. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. -272 с.

255. Красовский А.Н. Некоторые задачи игрового управления. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1984. - 100 с.

256. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. -420 с.

257. Красовский H.H. К задаче об успокоении линейной системы при минимальной интенсивности управления // Прикл. математика и механика. -1965.-Т. 29, Вып. 2.

258. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. - Т. 18, № 11. - С. 960-970.

259. Красовский H.H. Об одной задаче оптимального регулирования // Прикл. математика и механика. 1957. - Т. 21, № 5.

260. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. -476 с.

261. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. - 520 с.

262. Красовский H.H., Моисеев H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1967. - № 5. - С. 14-27.

263. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. -М.: Наука, 1974.-455 с.

264. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. М.: Горячая линия - Телеком, 2001. - 224 с.

265. Крыжановский Г.А., Солодухин В.А. Обратная задача теории оптимальных процессов и синтез линейных оптимальных систем при ограниченных фазовых координатах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1972. - № 3.

266. Кубинцев Г.М., Цатурян К.Т. Итеративный синтез управлений при помощи прогнозирующих устройств // Автоматика и телемеханика. 1981. -№8.

267. Кудин В.Ф. К вопросу об оптимальном решении задачи стабилизации // Оптимальные системы. Статистические методы: Тр. III Всесоюз. совещ. по автомат, управлению. М.: Наука, 1967. - С. 184-189.

268. Кузнецов А.Г., Черноусько Ф.Л. Об оптимальном управлении, минимизирующем функцию фазовых координат // Кибернетика. 1968. - № 3.

269. Куликовский Р. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического регулирования. М.: Наука, 1967. - 380 с.

270. Кумков С.И., Пацко B.C. Задача преследования с неполной информацией: Препринт. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1993. - 64 с.

271. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. Киев: Наук, думка, 2006. - 264 с.

272. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игровой подход. Киев: Наук, думка, 1985. - 247 с.

273. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. - 400 с.

274. Купатадзе О.В. О градиентном методе минимизации негладких функций на АВМ / Оптимальные и адаптивные системы: Тр. IV Всесоюз. совещ. по автоматическому управлению. М.: Наука, 1972. - С. 134-140.

275. Курдюков А.П. Основы робастного управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995. - 51 с.

276. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы. Перспективы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. - № 1. - С. 144-160.

277. Курейчик В.М. Эволюционные методы решения оптимизационных задач. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999. - 95 с.

278. Курейчик В.М., Зинченко JI.A., Хабарова И.В. Алгоритмы эволюционного моделирования с динамическими параметрами // Информационные технологии. 2001. - № 6. - С. 10-15.

279. Куржанский А.Б. Задача идентификации теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. - 1991. - № 4. - С. 3-26. ,

280. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392 с.

281. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. Об оптимальном управлении при ограничениях на фазовые координат системы / Оптимальные и адаптивные системы: Тр. IV Всесоюз. совещ. по автомат, управлению. М.: Наука, 1972.-С. 124-133.

282. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталов С.А. Минимаксная обработка информации. М., 1990. - 214 с.

283. Куропаткин П.В. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высш. школа, 1980.-288 с.

284. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчисление. Новосибирск: Наука, 1987. - 224 с.

285. Кухаренко Н.В. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. - № 4. - С. 410-417.

286. Лебедев С.А., Кудрявцев И.К. Детерминизм и индетерминизм в развитии естествознания // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. 2005. - № 6. -С. 3-20.

287. Левин A.C. Некоторые вопросы использования грубых и точных моделей прогнозирования в системах терминального управления / Управление всложных нелинейных системах: Сб. М.: Наука, 1984. - С. 53-57.

288. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М. Наука. 1985. - 336 с.

289. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автоматика и телемеханика. I960: № 4. - С. 406-411; № 5. - С. 561-568; № 6. -С. 661-665.

290. Летов A.M. Выбор оптимизирующего функционала в проблеме аналитического конструирования // Оптимальные системы. Статистические методы: Тр. III Всесоюз. совещ. по автоматич. управлению. Т. 1, М.: Наука, 1967.-С. 14-21. .

291. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 360 с.

292. Летов A.M. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления // Дифференц. уравнения. 1970. - № 4. - С. 592-615.

293. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966 176.

294. Ли Хьонг Вон. Новые результаты и новые взгляды на робастность динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 1. - С. 175-176.

295. Лидов М.И., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор) // Космические исследования. -1991. Т. 29, № 5. с. 659-684.

296. Лозгачев Г. И. Построение функций Ляпунова для нелинейных динамических систем // Дифференц. уравнения. 1998. - № 11. - С. 1565-1567.

297. Лозгачев Г.И. О построении функций Ляпунова для систем с переменной структурой // Автоматика и телемеханика. 1973. - № 8. - С. 161-162.

298. Лурье К.А. Об одном классе минимаксных задач с дифференциальными связями // Прикл. математика и механика. 1967. - Т. 31, Вып. 2.

299. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. М.: Наука, 1991.-432 с.

300. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000 - 176 с.

301. Майоров A.B., Москатов Г.К., Шибанов Г.П. Безопасность функционирования автоматизированных объектов. М.: Машиностроение, 1988. -264 с.

302. Малафеев O.A. Управление в конфликтных динамических системах -СПб, 1993.-96 с.

303. Математические модели систем управления / Под ред. В.Ф. Демьянова. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 96 с.

304. Машиностроение. Энциклопедия в 40 тт. Т. 1-4. Автоматическое управление. Теория / Е.А. Федосов, A.A. Красовский, Е.П. Попов и др. Под общ. ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. - 688 с.

305. Медведев B.C., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6 / Под общ. ред. В.Г. Потемкина. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002. - 496 с.

306. Мельц И.О. Учет ограничений в задаче оптимизации динамических систем в функциональном пространстве на основе методов нелинейного программирования // Автоматика и телемеханика. 1968. - № 3.

307. Мерриэм К.У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967. - 552 с.

308. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Под ред. A.A. Воронова, В.М. Матросова. М.: Наука, 1987. - 312с.

309. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / С.К. Коваленко, М.А. Колывагин, B.C. Медведев и др.; Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1993. - 576 с.

310. Методы анализа устойчивости нелинейных систем управления на ЭВМ / A.B. Богатырев, В.А. Каменецкий, А.П. Молчанов и др. М.: ИПУ, 1989.48 с.

311. Методы оптимизации и их приложения. В 2-х чч. Ч. 2. Оптимальное управление / О.В. Васильев, В.А. Срочко, В.И. Терлецкий. Новосибирск: Наука, 1990.- 151 с.

312. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - 744 с.

313. Минаков И.А. Сравнительный анализ некоторых методов случайного поиска и оптимизации // Изв. Самарского науч. центра РАН. 1999. - № 2. -С. 286-293.

314. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука. 1990. - 448 с.

315. Мироновский JI.A. Функциональное диагностирование динамических систем. М.-СПб.: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998. - 256 с.

316. МирошникИ.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. - 272 с.

317. Михалевич B.C., Волкович B.JI. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. - 288 с.

318. Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В.И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. - 280 с.

319. Михок Г., Урсяну В. Выборочный метод и статистическое оценивание. -М.: Финансы и статистика, 1982. 248 с.

320. Мовчан JI.T. Построение функции Ляпунова для импульсных систем с нестационарной нелинейностью методом дискретных моментов // Кибернетика и вычисл. техника.- 1985.- Вып. 67. С. 58-62.

321. Модельное прогнозирующее управление / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо Проектирование систем управления. Гл. 23. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. С. 739-769.

322. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем М.: Наука, 1975. -528 с.

323. Моисеев А.Г. Метод оптимально-прогнозируемого управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1992. - № 6. - С. 128-134.

324. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979. - 488 с.

325. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.-488 с.

326. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

327. Молчанов А.П. Функции Ляпунова для нелинейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 6.

328. Молчанов А.П., Морозов М.В. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 10. - С. 37-45.

329. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. - 360 с.

330. Мороз А.И. К задаче синтеза оптимального по времени управления для дискретных объектов // Автоматика и телемеханика. 1966. - № 11. - С. 52-63.

331. Мудров В.И. Замечание к статье С.И. Зуховицкого «Об одной задаче кусочно-линейного программирования» // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. - Т.4, № 5. - С. 968-969.

332. Муртаф Б. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984. -224 с.

333. Назаров A.B., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем. СПб.: Наука и Техника, 2003. - 384 с.

334. Налимов В.В. Язык вероятностных представлений // Автоматика. 1979. -№1. - С. 62-74.

335. Небылов A.B. Гарантирование точности управления. М.: Наука. Физмат-лит, 1998. - 304 с.

336. Неймарк Ю.И. Поисковые и оптимизационные возможности коллективов автоматов // Самоорганизация и адаптивные информационно-управляющие системы: сб. М., 1979. - С. 21-24.

337. Нейроинформатика / А.Н. Горбань, B.JI. Дунин-Барковский, E.H. Миркес и др. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1998. - 296 с.

338. Нейроматематика. Сб. статей под ред. А.И. Галушкина. М.: Изд-во ИПРЖР, 2002.-415 с.

339. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks. М.: Горячая линия -Телеком, 2000. - 182 с.

340. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, 1979. - 384 с.

341. Ненахов Э.И., Щепакин М.Б. О некоторых модификациях субградиентного спуска / Теория оптимальных решений. Киев: ИК АН УССР, 1977. -С. 18-22.

342. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

343. Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. Анализ сохранитель-ных свойств. М.: Наука, 1978. - 320 с.

344. Норенков И.П. Эвристики и их комбинации в генетических методах дискретной оптимизации // Информационные технологии. 1999. - №2. -С. 2-7.

345. Нурминский E.JI. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.- 167 с.

346. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М.Лобанов и др. Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш. школа., 1990. -430 с.

347. Осыка A.B. Экспериментальное исследование зависимости скорости сходимости генетического алгоритма от его параметров // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. - № 5. - С. 100-111.

348. Охоцимский Д.Е., Бельчанский Г.И., Бухаркина А.П. и др. Оптимальное управление при входе в атмосферу // Космич. исследования. 1968. -Т. 6, Вып. 1.-С. 31-48.

349. Охоцимский Д.Е., Бухаркина А.П., Голубев Ю.Ф. Прогнозирование при управлении входом в атмосферу // Космич. исследования. 1972. - Т. 10, Вып 3.

350. Пантелеев A.B., Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. М.: Изд-во МАИ, 1992. - 192 с.

351. Пасюк В.П. Алгоритм с прогнозирующей моделью в задаче управления конечным состоянием / Научно-методич. материалы. Информационное и алгоритмическое обеспечение ПНКЛА. М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1986.

352. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 384 с.

353. Первозванский A.A. Критерий равномерного приближения в задачах оптимального управления // Оптимальные системы. Статистические методы: Тр. III Всесоюз. совещ. по автоматическому управлению. М.: Наука. 1968. -С. 112-120.

354. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. - 616 с.

355. Первозванский A.A. О минимуме максимального отклонения управляемой линейной системы // Изв. АН СССР. ОТН. Механика. 1965. - № 2.

356. Первозванский A.A. О связи основных теорем математического программирования и принципа максимума // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1967. - № 1.

357. Первозванский A.A. Равномерно оптимальные управляемые системы // Тр. II Междунар. конгр. IFAC. Оптимальные системы. Статистические методы. М.: Наука, 1971. - С. 64.

358. Перельман И.И. Текущие модели объектов и методы их использования в задачах управления. М.: ИПУ, 1973.

359. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Алгоритмическое конструирование оптимальных регуляторов при неполной информации о состоянии объекта // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1972. - № 6. - С. 188-199.

360. Петров Б.Н., Портнов-Соколов Ю.П., Андриенко А.Я., Иванов В.П. Бортовые терминальные системы управления. М.: Машиностроение, 1983. -200 с.

361. Петров Ю.П. Вариационные методы синтеза гарантирующих управлений. СПб.: СПбГУ, 1995. - 54 с.

362. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Д.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 290 с.

363. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд. ЛГУ, 1977.-222 с.

364. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высш. школа. Книжн. дом «Университет», 1998.

365. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л.: Изд. ЛГУ, 1982. - 252 с.

366. Петросян Л.А., Томский Г.В. Элементарные задачи теории преследования и убегания. Якутск, 1989. - 80 с.

367. Петухов Л.В., Серегин Г.А. Методы решения задач выпуклого программирования. СПб.: СПбГТУ, 1991.

368. Питтель Б.Г. О задаче оптимального управления, связанной с минимизацией функционала типа «максимума отклонения» // Дифференц. уравнения. 1965. - Т. 1, № 11.

369. Плотников C.B. Методы проектирования в задачах нелинейного программирования: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Свердловск: УрГУ, 1983.

370. Пожарицкий Г.К. О построении функций Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // Прикл. математика и механика. 1958. -№2.-С. 145-154.

371. ПолакЭ. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974. - 376 с.

372. Половинкин А.И. Алгоритм поиска глобального экстремума при проектировании инженерных конструкций // Автоматика и вычисл. техника.1970.-№2.-С. 31-37 с.

373. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

374. Поляк Б.Т. Минимизация негладких функционалов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. - № 3. - С. 507-521.

375. Поляк Б.Т. Один общий метод решения экстремальных задач // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 174, № 1. - С. 33-36.

376. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

377. Полякова Л.Н. О методе точных штрафов квазидифференцируемых функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2001.- Т. 41, № 2. - С. 225-238.

378. Попов Ю.Б. Некоторые вопросы качества регулирования в задачах аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. -1964. № 9.

379. Портер У. Современные основания общей теории систем. М.: Наука,1971.-556 с.

380. Пресидский С.К. О применении линейных форм в качестве функций Ляпунова // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1968. - № 3 - С. 39-46.

381. Пропой А.И. Методы возможных направлений в задачах оптимального дискретного управления // Автоматика и телемеханика. 1967. - № 2. -С. 69-79.

382. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова. II. // Автоматика и телемеханика. 2000.- № 6. - С. 61-68.

383. Пропой А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. -1963.-№7.

384. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука. 1973.-256 с.

385. Пупков К.А., Фалдин Н.В., Егупов Н.Д. Методы синтеза оптимальных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-512 с.

386. Пустовойтов H.A. К построению функций Ляпунова методом малого параметра / Тр. семин. по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев: Наук, думка, 1968. - С. 186-193.

387. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука. 1980.-320с.

388. Пшеничный Б.Н. Двойственный метод в экстремальных задачах. I. II // Кибернетика. 1965: Т. 3. - С. 89-95; Т. 5. - С. 64-69.

389. Пшеничный Б.Н. Синтез линейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1966. - № 5.

390. Пятницкий Е.С. Скородинский В.И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 11. - С. 52-63.

391. Рактунович H.A. Использование знакопостоянных функций Ляпунова при исследовании устойчивости // Актуальные задачи теории динамических систем управления. Минск: Наука и техника, 1989. - С. 59-64.

392. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в задачах полубесконечной оптимизации / Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация. Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - С. 164-200.

393. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. -М.: Наука, 2000. 336 с.

394. Растригин JI.A. Случайный поиск специфика, этапы истории и предрассудки // Вопросы кибернетики. - 1978. - Вып. 33. Проблемы случайного поиска. - С. 3-16.

395. Растригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига: Зинатне, 1965. - 211 с.

396. Растригин JI.A. Случайный поиск в эволюционных вычислениях // Обозрение прикл. пром. математики. 1996. - Т. 3, № 5. - С.688-705.

397. Растригин Л.А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. - 376 с.

398. Растригин Л.А., Рипа К.К., Тарасенко Г.С. Адаптация случайного поиска. Рига: Зинатне, 1978. - 242 с.

399. Редько В.Г. Эволюционная кибернетика. М.: Наука, 2003. - 156 с.

400. Редько В.Г., Цой Ю.Р. Оценка эффективности эволюционных алгоритмов //Докл. АН. 2005. - Т. 404, № 3. - С. 312-315.

401. Римский Г.В., Мазуреико Е.Г., Римский А.Г. и др. Построение функций Ляпунова / Корневые методы исследования интервальных систем. Минск: Ин-т техн. кибернетики HAH Беларуси, 1999. - С. 84-89.

402. Рисхиев Б.Б. Дифференциальные игры с простыми движениями. Ташкент: Фан, 1989. - 232 с.

403. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. -М.: Мир, 1967. 260 с.

404. Родзин С.И. Формы реализации и границы применения эволюционных алгоритмов // Изв. ТРТУ. Интеллектуальные САПР. 2001. - № 4. -С. 129-134.

405. Родзин С.И. Эволюционные стратегии: концепции и результаты // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы: электронный журнал. 2002. - № 2. - С. 4-12: http://pitis.tsure.ru/.

406. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. М.: Мир, 1969. - 216 с.

407. Розенвассер E.H. О построении функций Ляпунова для нелинейных систем // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. - № 2. -С. 7-16.

408. Ройтенберг Я.Н. Об одном методе построения функций Ляпунова для линейных систем с переменными параметрами // Прикл. математика и механика. 1958. - № 2. - С. 167-172.

409. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. - 472 с.

410. Рубинштейн Г.Ш. Задача о крайней точке пересечения оси с многогранником и ее приложение к исследованию конечной системы линейных неравенств // Докл. АН СССР. 1955. - Т. 100. - С. 627-630.

411. Румянцев В.В. Сравнение трех методов построения функций Ляпунова // Прикл. математика и механика. 1995. - Вып. 6. - С. 916-921.

412. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. -432 с.

413. Северцов A.C. Теория эволюции. М.: Изд-во Владос, 2005. - 380 с.

414. Сегё Дж.П. Новые методы построения функций Ляпунова для автономных систем с постоянными параметрами / Теория непрерывных автоматических систем: Тр. II Междунар. конгр. ИФАК. М.: Наука, 1965. - С. 127-136.

415. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. -М.:РХД, 2003.-272 с.

416. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев и др. Л.: Машиностроение, 1983. - 245с.

417. Системы: декомпозиция, оптимизация и управление / Сост. М. Сингх, А. Титли М.: Машиностроение, 1986. - 496 с.

418. Скачков Б.Н. Построение функции Ляпунова для систем авторегулирования // Дифференц. уравнения. 1976. - № 8. - С. 1454-1461.

419. Скурихин А.Н. Генетические алгоритмы // Новости искусственного интеллекта. 1995. - № 4. - С. 6-46.

420. Слобожанин Н.М. Информация и управление в динамических играх. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002.

421. Словарь по кибернетике / Под ред. B.C. Михалевича. Киев: Гл. ред. УСЭ им. М.П. Бажана, 1989. - 751 с.

422. Сложность вычислений и алгоритмов: Сб. пер. М.: Мир, 1974. - 390 с.

423. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 200 с.

424. Снитюк В.Е. Аспекты эволюционного моделирования в задачах оптимизации // Искусственный интеллект. 2005. - № 4. - С. 284-291.

425. Современная теория систем управления / Под ред. К.Т. Леондеса. М.: Наука, 1970.-512 с.

426. Солодовников В.В. Проблемы качества и динамической точности в теории автоматического регулирования // Тр. Второго Всесоюз. совещ. по ТАР. Т. II. Проблема качества и динамической точности в ТАР. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1955. - С. 7-37.

427. Солодовников В.В., Бирюков В.Ф., Пилишкин В.Н. Достаточные условия в задаче синтеза регулятора при фазовых ограничениях // Автоматика. 1985.-№4.-С. 54-60.

428. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев A.B. Теория автоматического управления техническими системами. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 492 с.

429. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Анализ компенсационного подхода к синтезу систем управления // Изв. вузов. Приборостроение. 1979. - № 2. - С. 27-32.

430. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового пространства. Ч. I. Объекты с одномерным управляющим входом // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 6. - С. 23-27.

431. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового пространства. Ч. II. Многосвязное регулирование // Изв. вузов. Приборостроение. -1982.-№ 8.-С. 28-32.

432. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Игровые критерии качества систем регулирования и проблема аналитического конструирования регуляторов // Изв. вузов. Приборостроение. 1976. - № 12. -С. 26-31.

433. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод фазового пространства в задачах управления линейными конечномерными объектами // Автоматика. 1981. - № 2. - С. 55-67.

434. Солодовников В.В., Филимонов Н.Б. Динамическое качество систем автоматического регулирования. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1987. - 84 с.

435. Солодовников В.В., Филимонов Н.Б. Проблема динамического качества многосвязных систем автоматического регулирования // Управление многосвязными системами: Тез. докл. V Всесоюз. совещ. М.: ИЛУ, 1984. -С. 11-12.

436. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Кра-совского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

437. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. - 110 с.

438. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

439. Станкевич В.И., Луценко Л.А. Расчет весовых коэффициентов в интегральном квадратичном функционале качества // Изв. вузов. Электромеханика. 1975. - № 8. - С. 895-896.

440. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. - 296 с.

441. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления / Под ред. H.H. Красовского. М.: Наука, 1981. - 288 с.

442. Суровцев И.С., Клюкин В.И., Пивоварова Р.П. Нейронные сети. Введение в современную информационную технологию. Воронеж: ВГУ, 1994. -224 с.

443. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М., 1989. 300 с.

444. Сухарев А.Г. Оптимальный поиск экстремума. М.: Изд МГУ, 1975.

445. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука. 1986.-328 с.

446. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. В 2-х тт. М.: Мир, 1991: Т. 1.-360 е.; Т. 2.-342 с.

447. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. - 280 с.

448. Теория автоматического управления / С.Е. Душин, Н.С. Зотов, Д.Х. Имаев и др. Под ред. В.Б. Яковлева. М.: Высш. школа, 2003. - 567 с.

449. Теория систем с переменной структурой / Под ред. C.B. Емельянова. М.: Наука, 1970. - 592 с.

450. Тереки И., Хатвани Я. Функция Ляпунова типа механической энергии // Прикл. математика и механика. 1985. - Т. 49, Вып. 5. - С. 894-899.

451. Теряев Е.Д., Шамриков Б.М. Цифровые системы и поэтапное адаптивное управление. М.: Наука. 1999. - 330 с.

452. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М. : Наука, 1984. - 192 с.

453. Толокнов В.И. О параметрическом синтезе в задаче аналитического конструирования регуляторов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. -№ 1.-С. 197-200.

454. Томский Г.В., Уланов В.А. Игры в общих управляемых системах. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1987. - 208 с.

455. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982.

456. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение, 1976. - 248 с.

457. Троицкий В.А. О синтезе оптимальных амортизаторов // Прикл. математика и механика. 1967. - Т. 31, Вып. 4. - С. 624-630.

458. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. М.: Энерго-атомиздат, 1997. - 653с.

459. Тутубалин В.Н. Вероятность, компьютеры и обработка результатов эксперимента // Успехи физ. наук. 1993. - Т. 163. - С. 93-109.

460. Тутубалин В.Н. Границы применимости: вероятностно-статистические методы и их возможности. М.: Знание, 1977. - 64 с.

461. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. Основы математического аппарата и прикладные аспекты. М.: Изд-во МГУ, 1992. -127 с.

462. Тятюшкин А.И. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления / Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация. Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - С. 201-217.

463. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука. 1992. - 193 с.

464. УонэмМ. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980. - 376 с.

465. Уоссермэн Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. М.: Мир, 1992.- 161 с.

466. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С.Т. Кусимов, Б.Г. Ильясов, В.И. Васильев и др. М.: Наука, 1998. - 452 с.

467. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. -М.: Наука, 1981.-367 с.

468. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 488 с.

469. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.

470. Федосеев A.C. Алгоритмы оптимального управления с обобщенной прогнозирующей моделью // Автоматика и телемеханика. 1977. - № 7. -С. 16-21.

471. Фельдбаум A.A. К вопросу о синтезе оптимальных систем автоматического регулирования // Тр. Второго Всесоюз. совещ. по ТАР. Т. II. Проблема качества и динамической точности в ТАР. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1955. -С. 325-360.

472. Фельдбаум A.A. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1953. - № 6. - С. 712-728.

473. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Автономизация каналов управления в многосвязных объектах // Вестн. РУДН. Спец. вып. Инженерные исследования. 2000. - № 1.-С. 11-15.

474. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитический синтез терминальных систем управления с особой точкой // Системы управления: Сб. науч. тр. -Фрунзе: ФПИ, 1981. С. 31-38.

475. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Дискретное регулирование линейных объектов методом наискорейшего спуска // Современные технологии в задачах управления и обработки информации: Тр. междунар. науч.-техн. семин. М.: МАИ, 1997. - С. 96-98.

476. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. К проблеме динамического качества линейных стационарных систем регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1981. - С. 94-106.

477. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Канальная коррекция линейных нестационарных объектов и метод обратных задач динамики // Аналитические методы анализа и синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 1996. - С. 59-68.

478. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Линейные конечномерные системы терминального управления: синтез управления, анализ устойчивости и грубости // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Вып. 4. Саратов: СПИ, 1980. - С. 55-68.

479. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод динамической развязки канна-лов управления в многосвязных объектах // Изв. вузов. Приборостроение. -2002. № 7. - С. 28-34.

480. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Метод полиэдрального программирования в дискретных задачах идентификации состояния системы и внешней среды // Вестн. РУДН. Сер. Кибернетика. 1999. - № 1. - С. 23-30.

481. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Минимаксные и максиминные задачи полиэдрального программирования // Интеллектуальные системы: Тр. Четвертого ме-ждунар. симп. М.: РУСАКИ, 2000. - С. 119-123.

482. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Модальное управление многомерными объектами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. - № 2. -С. 130-142.

483. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Модальное управление нестационарными объектами // Адаптивные системы автоматического управления: Респ. межвед. науч.-техн. сб. Вып. 10. Киев: Техшка, 1982. - С. 43-51.

484. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Негладкий анализ и синтез систем регулирования на основе прямого метода Ляпунова. II. Синтез и оптимизация систем регулирования // Изв. вузов. Приборостроение. 1996. - № 4. -С. 8-23.

485. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. О минимаксных и максиминных задачах полиэдрального программирования // Информационные технологии. -2000. № 12. - С. 2-9.

486. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Полиэдральное программирование: элементы теории и приложения // Информационные технологии. 1999. -№ 11.-С. 2-12.

487. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Полиэдральные метрики в задачах управления дискретными объектами // Интеллектуальные системы: Тр. Третьего междунар. симп. М.: ООО «ТВК», 1998. - С. 173-177.

488. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Приведение передаточных матриц многомерных объектов к диагональной форме // Аналитические методысинтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1982. - С. 56-69.

489. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Принцип многорежимности и сетевые модели динамических объектов регулирования // Первый междунар. симп. «Интеллектуальные системы'94»: Сб. материалов и сообщ. М.: МГТУ, 1994.-С. 19-23.

490. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Синтез релейного барьерного регулятора // Интеллектуальные системы: Тр. Второго междунар. симп. В 2-х тт. Т. 1. М.: Изд-во РУДН-ПАИМС, 1996. - С. 183-187.

491. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Синтез систем управления и регулирования на основе построения негладких функций Ляпунова // Первый междунар. симп. «Интеллектуальные системы'94»: Сб. материалов и сообщений. М.: МГТУ, 1994. - С. 88-92.

492. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Синтез систем управления линейными динамическими объектами с эталонной динамикой выхода // Вестн. РУДН. Сер. Кибернетика. 1998. - № 1. - С. 64-80.

493. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Техника полиэдральных множеств в задачах управления конечным состоянием динамических объектов // Интеллектуальные системы: Тр. Третьего междунар. симп. М.: ООО «TBK», 1998.-С. 169-172.

494. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Упреждение в.дискретных процессах управления техническими объектами // Новые технологии управления движением технических объектов: Тр. 1-й междунар. конф. Ставрополь: НП НИИ СУП, 1999. - С. 54-56.

495. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Циклические процессы регулирования в нелинейных объектах // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. Саратов: СПИ, 1988. - С. 90-96.

496. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б., Бабич А.Н. Метод спуска в задачах минимизации полиэдральных функций и его нейросетевая реализация // Информационные технологии 2001. - № 12. - С. 12-16.

497. Филимонов Н.Б. Алгоритмы приведения передаточных матриц к диагональной форме в задачах проектирования многосвязных САР // Тез. докл. III Всесоюз. совещ. по автоматизации проектирования САУ и АСУ ТП. -М.: Упр. уч. зав. Минэнерго СССР. 1981. С. 63-64.

498. Филимонов Н.Б. Анализ и оптимизация дискретного упреждающего регулирования // Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: Сб. тр. VIII междунар. науч.-техн. семин. М.: Изд-во МАИ, 1999. - С. 56-58.

499. Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование квазиоптимальной системы терминального управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Меж-вуз. науч.-техн. сб. Вып. 3. Саратов: СПИ, 1978. - С. 100-113.

500. Филимонов Н.Б. Барьерное регулирование динамических систем // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 1998. - № 1. - С. 53-66.

501. Филимонов Н.Б. Гомеостатические системы и автомат ограничений состояния управляемых динамических объектов // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. - № 1-2. - С.17-34.

502. Филимонов Н.Б. Дискретное упреждающее управление динамическими объектами //Интеллектуальные системы: Тр. Пятого междунар. симп. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. - С. 131-135.

503. Филимонов Н.Б. Идентификация состояния и внешней среды дискретных динамических объектов методом полиэдрального программирования // Ме-хатроника, автоматизация, управление. 2003. - № 2. - С. 11-15.

504. Филимонов Н.Б. К вопросу о разрешимости задачи В. Солодовникова // Тр. МВТУ. № 314. Системы автоматического управления. Вып. 7. М.: МВТУ, 1979.-С. 60-71.

505. Филимонов Н.Б. Конструирование и сравнение полиэдральных норм // Интеллектуальные системы: Тр. четвертого междунар. симп. М.: РУСАКИ, 2000.-С. 218-221.

506. Филимонов Н.Б. Концепция автомата ограничений // Интеллектуальные системы: Тр. Второго междунар. симп. В 2-х тт. Т. 1. М.: Изд-во РУДН-ПАИМС, 1996. - С. 152-158.

507. Филимонов Н.Б. Концепция квазилинейного управление переходными режимами САР // Управление гибкими производственными системами: Меж-вуз науч. сб. Л.: ЛЭТИ-НПИ, 1987. - С. 49-54.

508. Филимонов Н.Б. Концепция многорежимного регулирования // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1988. - С. 88-92.

509. Филимонов Н.Б. Круговой критерий устойчивости и аналитическое конструирование регуляторов // Тр. МВТУ № 238. Системы автоматического управления. Вып. 4. М.: МВТУ, 1977. - С. 56-58.

510. Филимонов Н.Б. Линейно-полиэдральные задачи оптимального управления дискретными объектами // Мехатроника, автоматизация, управление: Тр. Первой Всерос. науч.-техн. конф. М.: Новые технологии, 2004. -С. 181-185.

511. Филимонов Н.Б. Локальный и глобальный аспекты в задачах управления нелинейными объектами // Тр. МВТУ. № 513. Системы автоматического управления. М.: МВТУ, 1988. - С. 3-11.

512. Филимонов Н.Б. Метод спуска в задачах полиэдральной оптимизации процессов управления и наблюдения / Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления: Материалы науч.-практ. семин.

513. Новосибирск: НГТУ, 2001. С. 21-24.

514. Филимонов Н.Б. Метод фазового пространства в задачах управления линейными нестационарными системами // Алгоритмизация и программирование задач управления: Сб. тр. Моск. гор. шк.-семин. мол. учен. М.: ЦНИИИТЭИ ПСАиСУ. 1978. - С. 67-68.

515. Филимонов Н.Б. Наихудшие возмущающие факторы и гарантированные стратегии управления в задачах дискретной стабилизации динамических объектов // Докл. Акад. военных наук. Поволж. межрегион, отд. 2003. -№9. - С. 123-133.

516. Филимонов Н.Б. Неклассические принципы построения систем автоматического регулирования // X Всесоюз. совещ. по проблемам управления: Тез. докл. Кн. I. М.: ВИНИТИ, 1986. - С. 112-113.

517. Филимонов Н.Б. Оптимизация дискретных процессов управления по полиэдральным критериям качества // Вести. МГТУ. Сер. Приборостроение. -2000. -№ 1.-С. 20-38.

518. Филимонов Н.Б. Парадигма полиэдральной оптимизации процессов управления // Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения: Тр. 2-й междунар. науч. конф. Саратов: СарГТУ, 2005. -С. 42-45.

519. Филимонов Н.Б. Полиэдральная оптимизация дискретных процессов управления // Управление и информационные технологии: Сб. докл. 2-й Все-рос. науч. конф. Пятигорск: Изд-во «Спецпечать», 2004. - С. 172-176.

520. Филимонов Н.Б. Полиэдральное программирование в дискретных задачах управления // Информационные технологии. Приложение. 2004. - № 1. -32 с.

521. Филимонов Н.Б. Проблема динамического качества многомерных систем управления // Тр. МВТУ. № 360. Системы автоматического управления. Вып. 8. М.: МВТУ, 1981. - С. 39-51.

522. Филимонов Н.Б. Системы многорежимного регулирования: концепция, принципы построения, проблемы синтеза // Изв. вузов. Приборостроение. -1988.-№2.-С. 18-33.

523. Филимонов Н.Б. Смена парадигм неопределенности в задачах управления // Интеллектуальные системы: Тр. Шестого междунар. симп. М.: РУСАКИ, 2004.-С. 173-178.

524. Филимонов Н.Б. Стохастический и детерминистский подходы в задачах параметрического оценивания // Мехатроника, автоматизация, управление: Тр. Первой Всерос. науч.-техн. конф. М.: Новые технологии, 2004. -С. 187-190.

525. Филимонов Н.Б. Управление переходными процессами в линейных конечномерных объектах: Дис. . канд. техн. наук. М., 1979. - 396 с.

526. Филимонов Н.Б. Управление фазовыми траекториями в линейных конечномерных нестационарных объектах // Тр. МВТУ. № 297. Системы автоматического управления. Вып. 6. М.: МВТУ, 1979. - С. 11-17.

527. Филимонов Н.Б. Функциональная управляемость и синтез систем управления методом обратных задач динамики // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками: Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: НЭТИ, 1986. - С. 58-68.

528. Филимонов Н.Б. Численные методы негладкой оптимизации в задачах полиэдрального программирования // Информационные технологии: Материалы Всерос. науч.-техн. конф. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2005. -С. 388-391.

529. Филимонов Н.Б. Численные методы полиэдрального программирования // Modelling & Stability: Thesis of Reports of Second Intern. Conf. «Dynamical System Modelling and Stability Investigation». Kyiv: KU named after T. She-vchenko, 2005.-P. 396.

530. Филимонов Н.Б. Эволюционная парадигма процессов самоорганизации в сложных системах // Мехатроника, автоматизация, управление: Сб. тр. Второй Всерос. науч.-техн. конф. Т. 1. Уфа: УГАТУ, 2005. - С. 116-122.

531. Филимонов Н.Б. Эволюционные принципы самоорганизации функционирования систем управления // Управление и информационные технологии:

532. Сб. докл. 3-й Всерос. науч. конф. Т. 1. СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2005. -С. 35-44.

533. Филимонов Н.Б., Белоусов И.В. Применение генетических алгоритмов в задачах оптимизации терминального управления динамическими объектами // Докл. РАЕН. Поволжское межрегион, отд. 2002. - №3. - С. 68-80.

534. Филимонов Н.Б., Деменков М.Н. Кишалов П.А. Дискретное регулирование технических объектов методом прогнозируемого наискорейшего спуска // Приборы и системы управления. 1998. - № 3. - С. 10-12.

535. Филимонов Н.Б., Лукьянов С.Л. Гарантированное тестирование дискретных алгоритмов стабилизации маневров летательных аппаратов // XXXIV науч.-техн. конф., посвящ. памяти авиаконструктора И.И. Сикорс-кого: Тез. докл. СПб.: АГА, 2002. - С. 13-14.

536. Филимонов Н.Б., Макашов B.C. Квазиоптимальное модальное управление // Тр. МВТУ. № 486. Автоматизированное проектирование систем управления. Межвуз. сб. Вып. 5. М.: МВТУ, 1987. - С. 38-47.

537. Филимонов Н.Б., Макашов B.C. Математическое обеспечение lililí «МАВР» для автоматизированного синтеза высококачественных многосвязных САР // Автоматизированное проектирование систем управления (Тр. МВТУ. № 458). Вып. 4. М.: МВТУ, 1986. - С. 125-136.

538. Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Робастная коррекция объектов регулирования // Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях: Сб. науч. тр. М.: Изд-во АСВ. 1998. - С. 248-252.

539. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

540. Филипс Ч., Хабор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 616 с.

541. Фишман В.М. Определение весовых матриц квадратичного функционала по заданному распределению корней характеристического уравнения // Автоматика и вычисл. техника. 1979. - Вып. 9. - С. 170-171.

542. Фогель Л., Оуэне А., Уолш М. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование. М. Мир, 1969. - 230 с.

543. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

544. Фурасов В.Д. Задачи гарантированной идентификации. Дискретные системы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 150 с.

545. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. - 248 с.

546. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982.- 191 с.

547. Фурсов В.А. Введение в идентификацию по малому числу наблюдений. -М.: МАИ, 1991.-32 с.

548. Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 244. - С. 1093-1096.

549. Хачиян Л.Г. Сложность задач линейного программирования // Новое вжизни, науке, технике. Сер. Математика, кибернетика. М.: Знание, 1987. -№ 10. - 32 с.

550. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-536 с.

551. Хованов Н.В. Стохастическая оптимизация параметров методом варьирования области поиска // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1967. - № 4. -С. 34-40.

552. Хоменков А. Величайший обман или величайшая из шуток? URL: http:// vos. 1 september.ru/2002/22/5 .htm

553. Хургин Я.И. Да, нет или может быть: Рассказы о статистической теории управления и эксперимента. М.: Наука, 1983. - 207 с.

554. Хургин Я.И. Как объять необъятное. М.: Знание, 1985. - 192 с.

555. Цетлин M.JI. Исследования по теории автоматов и моделирование биологических систем. М.: Наука, 1969. - 316 с.

556. Цициашвили Г.Ш. Построение функции Ляпунова для исследования устойчивости кусочно-линейных Марковских цепей // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1979. - Т. 2. - С. 74-84.

557. ЦурковВ.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. М.: Наука, 1981.-352 с.

558. Цыганков В.Д. Нейрокомпьютер и его применение / Под ред. В.А. Львова. М.: «Сол Систем», 1993. - 117 с.

559. Цыпкин Я.З. Оптимальность в задачах и методах современной теории управления //Вестн. АН СССР. 1982. - № 9. - С. 116-121.

560. Цыпкин Я.З. Оптимальные процессы в импульсных автоматических системах // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1960. - № 4.

561. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. -560 с.

562. Цыпкин Я.З. Робастность в системах управления и обработки данных // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 1. - С. 165-169.

563. Чеботарев Н.Г. Об одном критерии минимакса // Докл. АН СССР. 1943. -Т. 39. - С. 373-376.

564. Чебышев П.JI. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля // Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955. - С. 579-608.

565. Чебышев П.Л. Теория механизмов, известных под названием параллелограммов / Полн. собр. сочинений. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. -С. 23-51.

566. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. - 488 с.

567. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. СПб.: Питер, 2004. - 256 с.

568. Черноусько Ф.Л. Вычислительные методы оптимального управления / Математика на службе инженера. Сб. М.: Знание, 1973. - С. 56-73.

569. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. - 320 с.

570. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления (Численные методы). М.: Наука, 1973. - 240 с.

571. Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. -М.: Наука, 1978. 272 с.

572. Чикрий A.A. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наук, думка, 1992.

573. Шавров A.B., Коломиец А.П. Автоматика. М.: Колос, 1999. - 264 с.

574. Шамриков Б.М. Определение характеристик динамических объектов по малому числу наблюдений. М.: МАИ, 1998. - 40 с.

575. Шашков В.М. Алгоритм оптимизации с управляемой прогнозирующей моделью / Научно-методич. материалы. Интегрированные бортовые комплексы. М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1989.

576. Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания. М.: Статистика, 1978. - 213 с.

577. Шендрик B.C. Синтез оптимальных управлений методом прогнозирующей модели // Докл. АН СССР. 1975. - Т. 224(5). - № 3. - С. 561-562.

578. Шилкина Е.И. Адаптивный метод кусочно-линейного программирования / Проблемы оптимального управления. Мн.: Наука и техника, 1981. -С. 349-356.

579. Шмальгаузен И.И. Факторы эволюции. М.: Наука, 1968. - 451 с.

580. Шмелев В.В. Точные штрафные функции в линейном и целочисленном программировании // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 5. -С. 106-115.

581. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев: Наук, думка, 1979. - 200 с.

582. Шор Н.З. Обобщенные градиентные методы минимизации негладких функций и их применение к задачам математического программирования // Экономика и мат. методы. 1976. - Т. 12, Вып. 2. - С. 337-365.

583. Шор Н.З. Применение метода градиентного спуска для решения сетевой транспортной задачи / Материалы науч. семин. по теорет. и приют, вопр. кибернетики и исследования операций. Вып. 1. Киев: ИК АН УССР, 1962. -С. 9-17.

584. ШорН.З., Стеценко С.И. Квадратичные экстремальные задачи и недиф-ференцируемая оптимизация. Киев: Наук, думка, 1991.

585. Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1997.

586. Эккман Д., Лефкович И. Принципы применения моделей в оптимальных системах управления // Тр. II конгр. ИФАК. Т. 2. М.: Наука, 1965.

587. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? М.: Наука, 1983. - 208 с.

588. Энциклопедия кибернетики. В 2-х тт. Т. 2. Киев: Гл ред. УСЭ, 1974. -624 с.

589. Юдин Д.Б., Голынтейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М.: Наука, 1969. - 424 с.

590. Яковлев М.К. Об одном способе построения функций Ляпунова для линейных систем с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1965.-№ 11.-С. 1488-1492.

591. Янушевский Р.Т. О выборе функционала качества в задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов / Регулирование многосвязных систем. М.: Наука, 1967. - С. 90-96.

592. Ablow C.M., Brigham G. An analog Solution of Programming Problems // Oper. Res. 1955. - V. 3. - P. 388-394.

593. Aghar W.G., Walace T.D. A Sampling Study of Minimum Absolute Deviations Estimators // Oper. Res. 1963. - V. 11, № 5. - P. 747-758.

594. Algôwer F., Zheng A. (Eds). Nonlinear Model Predictive Control. Basel: Birkhâuser, 2000.

595. Allais M. Fréquence, Probabilité et Hasard // Journ. Soc. Statist. Paris. 1983. -V. 124, №2.-P. 70-102.

596. Andeline P.J. Evolutionary Algorithms and Emergent Intelligence: Diss., Ohio State University, Columbus, 1993.

597. Anderson B.D.O, Moore J.B. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. -Engle-wood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.

598. Axelrod R. The Evolution Strategies in the Iterated Prisoner's Dilemma / Genetic Algorithms and Simulating Annealing. London, Pitman, 1987. - P. 32-41.

599. BackT. Evolutionary Algorithms in Theory and Practice. N.Y.: Oxford University Press, 1996.

600. Back T., Fogel D., Michalewicz Z. (Eds). Handbook of Evolutionary Computation. Bristol and Oxford: Oxford University Press, 1997.

601. Balinski M.L., Wolfe P. (Eds). Nondifferentiable Optimization. Math. Programming. Study 3. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1975. - 178 p.

602. Basar T., Olsder G.J. Dynamic Noncooperative Game Theory. -N.Y.: Academic Press, 1995.

603. Bazaraa M.S., Sherali H.D., Shetty C.M. Nonlinear Programming Theory and Algorithms. N.Y.: John Wiley and Sons, 1993.

604. Bellman R. Notes on Control Processes. I. On the Minimumof Maximum Deviation // Quarterly Appl. Math. 1957. - V. 14 - № 4, Junuary. - P. 419-423.

605. Bellman R.E., Glicksburg I, Gross O. Some Nonclassical Problems in the Calcuius of Variations //Proc. Amer. Math. Soc. 1956. - V. 7. - № 1, Feb.

606. Beltrami E. What is Random? N.Y.: Copernicus imprint of Springer-Verlag Publishers, 1999.

607. Benchekroun B. A Nonconvex Piecewise Linear Optimization Problem // Computers Math. Applic. 1991. - V. 21, № 6/7. - P. 77-85.

608. Ben-Israel A., Charnes A. An Explicit Solution of Special Class of Linear Programming Problems // Oper. Res. 1968. - V. 16 - P. 1166-1175.

609. Ben-Israel A., Robers P.D. An Decomposition Method for Interval Linear Programming // Manag Sei. 1970. - V. 16, № 5.

610. Bertsekas D.P. Nonlinear Programming. Boston: Athena Scientific, 1999.

611. Bertsimas D., Tsitsiklis J. Intro to Linear Optimization Athena Scientific, 1997.

612. Beyer, Schwefel, Wegener. How to Analyze Evolutionary Algorithms? / Technical Report No. CI-139/02. Dortmund: University of Dortmund, 2002.

613. Blanchini F., Mesquine F., Miani, S. Constrained Stabilization with an Assigned Initial Condition set // Intern. Journ. of Control. 1995. - V. 62, № 3. - P. 601-617.

614. Blanchini F, Ukovich W. A Linear Programming Approach to the Control of Discrete-Time Periodic System with State and Control Bounds in the Presence of Disturbance // Journ. of Optimization Theory and Appl. 1993. - V. 73, № 3. -P. 523-539.

615. Boese K.D., Kahng A.B., Muddu S. A new Adaptive Multi-Start Technique for Combinatorial Global Optimizations // Oper. Res. Lett. 1994. - V. 16, № 2. -P. 101-114.

616. Borwein J.M., Lewis A.S. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. N.Y.: Springer-Verlag, 2000.

617. Brogan W.L. Modern Control Theory. Englewood Cliffs N.Y.: Prentice-Hall, 1991.

618. Burger Y. Мягкие вычисления. URL: http://faqs.org.ru/progr/common/.

619. Camacho E.F., Bordons С. Model Predictive Control. Advanced Textbooks in Control and Signal Processing. Berlin: Springer, 1999.

620. Camerini P. On Improving Relaxation Methods by Modified Gradient Techniques // Mathematical Programming. Study 3. 1975. - November. - P. 26-34.

621. Cannon M.D., CuIIum C.D., Polak E. Theory of Optimal Control and Mathematical Programming. N.Y., 1970.

622. Caravani P., De Santis E. A Polytopic Game // Automatica. 2000. - V. 36. -P. 973-981.

623. Chaitin G.J. Computers, Paradoxes and the Foundations of Mathematics // American Scientist. 2002. - V. 90, № 2. - P. 164-171.

624. Chaitin G.J. Exploring Randomness. London: Springer-Verlag, 2001. - 164 p.

625. Chambers L.D. Practical Handbook of Genetic Algorithms. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995, 1996. - V. 1, 560 p; V. 2, 448 p.; V. 3, 537 p.

626. Chandrasekharan P.C. Robust Control of Linear Dynamical Systems. Academic Press, 1996.

627. Chang T.S., Seborg D.E. A Linear Programming Approach for Multivariate Feedback Control with Inequality Constraints // Intern. Journ. of Control. -1983. V. 37, № 3. - P. 583-597.

628. Charnes A., Cooper W.W., Ferguson R. Optimal Estimation of Executive Compensation by Linear Programming // Management Science. 1955. - V. 2. -P. 138-151.

629. Chestnut H., Sollecito W.E., Troutraan P.H. Predictive-Control System Application. P. II. Applications and Industry // ALEE Trans. 1961. - № 55. -P. 128-139.

630. Chipperfield A., Fleming P., Pohlheim H., Fonseca C. Genetic Algorithm Toolbox User's Guide. Vers. 1.2. UK, Univ. of Sheffield, GR/J17920, 1999.

631. Clarke D.W. (Ed). Advances in Model-Based Predictive Control. Oxford: Oxford University Press, 1994.

632. Clarke F. Nonsmooth Analysis in Control Theory: A Survey // European Journ. of Contr. 2001. - V. 7. - № 2-3.

633. Coals J.F., Noton A.R.M. An on-off Servomechanism with Predicted Changeover //Proc. IEE. 1955. - V. 103, № 10. - P. 449-462.

634. Dahleh M.A., Diaz-Bolillo I.J. Control of Uncertain Systems: A Linear Programming Approach. Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 1995.

635. Dahleh M.A., Pearson J.B. ZrOptimal Feedback Controllers MIMO Discrete-Time Systems // IEEE Trans, on Automat. Control. 1987. - V. 32. - P. 314-322.

636. Danskin J.M. The Theory of Max-Min and its Application to Weapons Allocation Problems. N.Y.: Springer-Verlag, 1967.

637. De Jong K.A. Analysis of the Behaviour of a Class of Genetic Adaptive Systems / PhD Thesis. Ann Arbor. The University of Michigan Press, 1975. 256 p.

638. Demenkov M.N., Filimonov N.B. Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets // European Journ. of Control. 2001. - V. 7, № 6. - P. 596-604.

639. Desoer C.A., Wing J. The Minimal Time Regulator Problem for Linear Sampled-Data Systems: General Theory // J. Frankl. Inst. 1961. - V. 272, № 3.

640. Di Pillo G. Exact Penalty Methods // E. Spedicato (Ed). Algorithms for Continuous Optimization. The State of the Art. NATO ASI Series C. V. 434. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. - P. 209-253.

641. Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbaum A.R. Feedback Control Theory. Englewood Cliffs, NJ: MacMillan, 1992.

642. Dreyfus S.E. Dynamic Programming and the Calculus of Variations. N.Y.: Academic Press, 1965.

643. Droste S., Jansen T., Wegener I. Optimization with Randomized Search Heuristics The (A)NFL Theorem, Realistic Scenarios, and Difficult Functions // Theoretical Computer Science. - 2002. - V. 287(1). - P. 131-144.

644. Dullerud G.E., Paganini F. A Course in Robust Control. Berlin: SpringerVerlag, 1999.

645. Dyer P., McReynolds S. The Computation and Theory of Optimal Control. -N.Y.: Academic Press, 1970.

646. Eisenhard R., Williams I.B. Closed Loop Computer Control at Luting // Control Engineering. 1960. - V. 7, № 11.

647. Evolutionary Computing / T.C. Fogarty (Ed). AISB Workshop Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 865 p.

648. Fallside F., Thedchanamoorthy N. Predictive Control Using an Adaptive Fast

649. Model // Proc. IEE. 1967. -№11.

650. Fang S.-C., Puthenpura S. Linear Optimization and Extensions. N.Y.: Prentice-Hall, Engelwood Cliffs, 1993.

651. Fath A.F. Approximation to the Time-Optimal Control to Linear State-Constrained Systems. // JACC, Ann. Arbor. Mich., 1968. P. 962-969.

652. Fath A.F., Higgins T.J. Fixed-Time Fuel-Optimal Control of Linear State-Constrained Systems by Use Linear Programming Techniques // JACC, Ann. Arbor, Mich. 1968. - P. 462-467.

653. Fegley K., His M.I. Optimum Discrete Control by Linear Programming // IEEE Trans, on Automatic Control. 1965. - V. 10, № 1.

654. Fereira C. Combinatorial Optimization by Gene Expression Programming: Inversion Revisited // I.M. Santos & A. Zapico (Eds). Proc. of the Argentine Symp. an Artificial Intelligence. Santa Fe, Argentina. - 2002. - P. 160-174.

655. Fiacco A.V., McCormick G.P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. Philadelphia: SIAM Publications, 1990.

656. Filimonov A.B., Filimonov N.B. Discrete Interception Problem Research by Methods of Polyhedral Programming // 2000 5th Intern. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering Proc. V. 1. Novosibirsk: NSTU, 2000. - P. 109-113.

657. Filimonov A.B., Filimonov N.B. Dynamic Decoupling of Channels Control Multiple-Connected Objects // Computer Systems and Computer-Aided Application: Proc. of the 10th Intern. Conf. «SAER'96». Sofia: USB, 1996. -P. 28-32.

658. Filimonov A.B., Filimonov N.B. Minimax Optimization of Terminal Regulation Discrete Processes // Abstracts the Third Russian-Korean Intern. Sympos. on Science and Technology. V. 1. Novosibirsk: NSTU, 1999. - P. 235-237.

659. Filimonov A.B., Filimonov N.B. The New Approach to Synthesis of Robust Controllers // 13,h Intern. Conf. on Systems for Automation of Engineering and Research. Sofia: Publ. House of TU, 1999. - P. 64-67.

660. Filimonov N.B. Discrete Control by Dynamic Objects with Multistep Prediction // Proc. of the 16th Intern. Conf. on Systems for Automation of Engineering and Research. Sofia: Print. House of USB, 2002. - P. 53-57.

661. Filimonov N.B. Gradient Method of Polyhedral Optimization of Control and Observation Processes // Proc. of the 15th Intern. Conf. on Systems for Automation of Engineering and Research. Bulgaria. Sofia: Print. House of USB, 2001. -P. 181-184.

662. Filimonov N.B. Polyhedral Norms Design and their Application for Discrete Processes Research // 2000 5th Intern. Conf. on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering Proc. V. 1. Novosibirsk: NSTU, 2000. - P. 114-117.

663. Filimonov N.B. Polyhedral Programming in Linear Multistep Dynamic Pursuit Games // Proc. of the 17th Intern. Conf. on Systems for Automation of Engineering and Research. Sofia: SAER Forum Group & Publish. House of the TU, 2003.-P. 102-105.

664. Filimonov N.B. The Author' Answer to the Letter to the Editor on the Paper «Variable Horizon Robust Predictive Control via Adjustable Controllability Sets» by M.N. Demenkov and N.B. Filimonov // European Journ. of Control. -2002.-V. 8, № 1. P. 90-94.

665. Fogel D.B. An Introduction to Evolutionary Computation // Australian Journ. of Intelligent Information Processing. 1994. - V. 1:2. - P. 34-42.

666. Fogel D.B. An Introduction to Simulated Evolutionary Optimization // IEEE

667. Trans, on Neural Networks. 1994. - V. 5, № 1. - P. 3-14.

668. FogelD.B. Evolutionary Computation. Toward a New Philosophy of Machine Intelligence. N.Y.: IEEE Press, 1995.

669. Fogel D.B. On the Philosophical Difference between Evolutionary Algorithms and Genetic Algorithms // Proc. of the Second Annual Conf. on Evolutionary Programming. Evolutionary Programming Society, San Diego, CA: Morgan Kauffman, 1993.

670. Foundation of Genetic Algorithms / R. Gregory (Ed). San Mateo. California: Morgan Kaufman Publishers, 1991.

671. Francis B.A., Khargonekar P. Robust Control Theory. N.Y.: SpringerVerlag, 1995.

672. Gillies D.A. An Objective Theory of Probability. London: Methuen, 1973. -250 p.

673. Glad T., Ljung L. Control Theory. Multivariable and Nonlinear Methods. -London-N.Y.: Taylor & Francis, 2000.

674. Goldberg D.E. Genetic Algorithm in Search. Optimization and Machine Learning. Massachusetts: Addison-Wesley Publ. Co., Inc., 1989. - 412 p.

675. Goldberg D.E., Deb K. A Comparative Analysis of Selection Schemes Used in Genetic Algorithms / R. Gregory (Ed). Foundations of Genetic Algorithms. -San Mateo, California: Morgan Kaufmann Publishers, 1991. P. 69-93.

676. Goodman E. et al (Eds). Evolutionary Computation and its Applications // Proc. of the Intern. Conf. Moscow: IHPCS of RAS, 1996. - 350 p.

677. Gorokhovik V.V., Zorko O.I. Piecewise Affine Functions and Polyhedral Sets // Optimization. 1994. - V. 33. - P. 209-221.

678. Green M., Limebeer D.J.N. Linear Robust Control. Prentice Hall, 1995.

679. Grefensette J. Optimization of Control Parameters for Genetic Algorithms // IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics. 1986. - V. 16 (1).

680. Gutman P.-O. A Linear Programming Regulator Applied to Hydroelectric Reservoir Level Control // Automatica. 1986. - V. 22, № 5. - P. 533-541.

681. Hahn W. Über die Anwendung der Methode von Liapunov auf Differenzengleichungen // Math. Annalen 1958. - 136. - P. 430-441.

682. Handbook of Genetic Algorithms / L. Davis (Ed). N.Y: Van Nostrand Reinhold, 1991.-412 p.

683. Hanson A.M. Bounds for Functionally Convex Optimal Control Problems // Journ. Math. Anal. Appl. 1964. - V. 8. - P. 84-89.

684. Harti R.E. A Global Convergence Proof for Class of Genetic Algorithms. -Techische Univesitat Wien. 1990.

685. Haupt R.L., Haupt S.E. Practical Genetic Algorithms. N.Y.: John Wiley & Sons, 1998.

686. Haykin S. Neural Networks. A Comprehensive Foundation. N.Y.: Macmillan College Publishing Company, 1994. - 696 p.

687. Hemelrijk J. Rules for Building Statistical Models // Math. Centre Tracts. -1979.-№ 100.-P. 189-203.

688. Herrera F., Lozano M. Adaptive Genetic Algorithms, Based on Fuzzy Techniques // Proc. of IPMU'96. Granada, 1996. - P. 775-780.

689. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tackling Real-Coded Genetic Algorithms: Operators and Tools for the Behaviour Analysis // Artificial Intelligence Review. 1998. - V. 12, № 4. - P. 265-319.

690. Herrera F., Verdegay J.L. Genetic Algorithms and Soft Computing. Physics -Verlag, 1996.

691. Hiriart-Urruty J.-B., Lemarechal C. Convex Analysis and Minimization Algorithms. I, II. Vol. 305 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. -N.Y.: Springer-Verlag, 1993: 420 p., 348 p.

692. Ho Y.C., Brentani P.B. On Computing Optimal Control with Inequality Constraints // Journ. SIAM Control. 1963. - V. 1. - P. 319-348.

693. Ho Y.C., Pepyne D.L. Simple Explanation of the No-Free-Lunch Theorems and its Implications // Journ. of Optim. Theory and Applications. 2002. - V. 115. -P. 549.

694. Holland J. H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Michigan: Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 1975. - 185 p.

695. Hussain T.S. An Introduction to Evolutionary Computation / Tutorial Presentation, 1998 CITO Researcher Retreat (May 12-14, Hamilton, Ontario), 1998.

696. Johnson C.D. Optimal Control with Chebyshev Minimax Performance Index // Trans. ASME of J. of Basic Engng. 1967. - V. 89, Ser. D. - № 2.

697. Kaiman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. - V. 5, № 1. - P. 102-119.

698. Kaiman R.E. Probability in the Real World as a System Attribute / Special Issue of CWI Quarterly on Control and System Theory, 1996.

699. Kaiman R.E. Randomness and Probability // Mathematica Japonica. 1995. -V. 4, № 1.-P. 41-58.

700. Kaiman R.E. Randomness Reexamined // Journ. of Modeling, Identification and Control. 1994. - V. 15. - P. 141-151.

701. Kaiman R.E., Bertram J.E. Control Systems Analysis and Design via the Second Method of Liapunov: II. Discrete-Time Systems // Trans. ASME Journ. of Basic Eng., Ser. D. 1960. - V. 82, № 3. - P. 371-400.

702. Kaiman R.E., Koepke R.W. Optimal Synthesis of Linear Sampling Control Systems Using Generalized Performance Indexes // Trans. ASME. 1958. -V. 80, № 8.

703. Karmarkar N. A New Polynomial-Time Algorithm for Linear Programming // Combinatorica 1984 - V. 4, № 4. - P. 373-395.

704. Keane A.J. A Brief Comparison of Some Evolutionary Optimization Methods / V.J. Rayward-Smith, I.H. Osman, C.R. Reeves and G.D. Smith (Eds). Modern Heuristic Search Methods. N.Y.: John Wiley & Sons, 1996. - 312 p.

705. Keeley C.R. Predictor Instruments Look to the Future // Control Engineering. -1962. March.

706. Kirkpatrick S., Toulouse G. Configuration Space Analysis of Traveling Salesman Problems // Journ. de Phys. 1985. - V. 46. - P. 1277-1292.

707. Kiwiel K.C. Exact Penalty Functions in Proximal Bundle Methods for Constrained Convex Nondifferentiable Minimization // Math. Progr. 1991. - V. 52. - P. 285-302.

708. Klee V., Minty G.J. How Good is the Simplex Algorithm? / Inequalities, III. O. Shisha (Ed). N.Y.: Academic Press, 1972. - P. 159-175.

709. Kogan M.M., Neimark Ju.I. Multistep Locally-Optimal Controls // Preprints of2nd Russian-Swedish Control Conf. S.-Peterburg, 1995. P. 143-147.

710. Koza J. R. Genetic Programming. In J.G. Williams and A. Kent (Eds). Ency-clopia of Computer Science and Technology, V. 39. Marcel-Dekker, 1998. -P. 29-43.

711. Koza J.R. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection. Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

712. Koza J.R. Hierarchical Genetic Algorithms Operating on Populations of Computer Programs // N.S. Sridharan (Eds). Eleventh Intern. Joint Conf. on Artificial Intelligence. Morgan Kaufmann. 1989. - P. 768-774.

713. Kripfganz A., Schulze R. Piecewise Affine Functions as a Difference of Two Convex Functions // Optimization. 1987. - V. 18, № 1. - P. 23-29.

714. Kufman H., De Russo P.M. On Adaptive Predictive Control System Random Signals // IEEE Trans, on Automatic Control. 1964. - V. 4.

715. Kursawe F. Evolution Strategies for Vector Optimization / Taipei. National Chiao Tung University, 1992. P. 187-193.

716. Lagunov V.N. Introduction to Differential Games and Control Theory. Berlin: Haldermann, 1985. - 285 p.

717. Lampinen J., Zelinka I. Mixed Integer-Discrete-Continuous Optimization by Differential Evolution. Part 1: The Optimization Method // Proc. of MENDEL/99, 5th Intern. Mendel Conf. on Soft Computing. Brno: Brno University of Technology, 1999. - P. 71-76.

718. Luenberger D.G. Convergence Rate of a Penalty Function Scheme // Journ. of Opt. Theory and Appl. 1971. - V. 7, № 1. - P. 39-51.

719. Lupfer D.E., Johnson M.L. Analog-Computer Control Cuts Distilationcosts // ISA Journ. 1966. - № 8.

720. Maas A. et all. Design of Water Resource Systems. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1962.

721. Maciejowski J.M. Multivariable Feedback Design. Wokingham: Addison-Wesley, 1989.

722. Maciejowski J.M. Predictive Control with Constraints. Harlow, Essex: Prentice-Hall, 2002.

723. Mahfouf M., Linkens D.A. Generalised Predictive Control and Bioengineering. Taylor & Francis, 1998.

724. Mangasarian O.L. Nonlinear Programming. Philadelphia: SIAM Publications, 1994.

725. Manne A.S. Linear Programming and Sequential Decisions // Manag. Sei. -I960. V. 6. - P. 259-267.

726. Mayne D.Q., Schroeder W.R. Robust Time-Optimal Control of Constrained Linear Systems // Automatica. 1997. - V. 33, № 12. - P. 2103-2118.

727. Meitzer D. On the Expressibility of Piecewise Linear Continuous Functions as the Difference of Two Piecewise Linear Convex Functions // Math. Program., Study 29. 1986. - P. 118-134.

728. Michalewicz Z. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. -Berlin: Springer-Verlag, 1992.

729. Mitchell M. An Introduction to Genetic Algorithms. Complex Adaptive Systems. Cambridge, Massachusetts, London: MIT-Press, 1996.

730. Morari M., Lee J.H. Model Predictive Control: Past, Present and Future // Computers and Chemical Engineering. 1999. - V. 23. - P. 667-682.

731. Mosca E. Optimal, Predictive and Adaptive Control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

732. Mosca E. Predictive Switching Supervisory Control of Persistently Disturbed Input-Saturated Plants // Automatica. 2005. - V. 41, № 1. - P. 55-67.

733. Multivariable Control: New Concepts and Tools / S.G. Tzafestas (Ed). Boston, 1984.-502 p.

734. Nesterov Yu., Nemirovsky A. Interior-Point Polynomial Methods in Convex Programming / Studies in Applied Mathematics. SIAM. Vol. 13. Philadelphia, PA, 1994.

735. Neustadt L.W. Optimal Control Problems as Extremal Problems in a Banach Space // Proc. of the Symp. on System Theory. April. Polytechnic Press. Polytechnic Inst, of Brooklyn. N.Y., 1965.

736. Nicholson H. Dual-Mode Control of a Time Boiler Model with Parameter and State Estimation // Proc. of the IEE. Part A. Power Engin. 1965. - V. 112.

737. Nissen V. Einführung in Evolutionäre Algorithmen. Braunschweig: Vieweg,1997.

738. Nocedal J., Wright S.J. Numerical Optimization. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

739. Ogata K. Modern Control Engineering. Englewood Cliffs, NJ: Printice-Hall, 1990.

740. Pincus S., Kaiman R.E. Not All (Possibly) «Random» Sequences are Created Equal // Proc. National Academy of Science of the USA. 1997. - V. 94, April. -P. 3513-3518.

741. Potter M.A. The Design and Analysis of Computational Model of Cooperative Coevolution / PhD Thesis. George Mason University: Virginia, Fairfax 1997. -153 p.

742. Powell F.D. Predictive Adaptive Control // IEEE Trans, on Automatic Control. -1969.-V. 14, №5.

743. Practical Handbook of Genetic Algorithms. Washington: CRC Press, 1999.

744. Qu Z. Robust Control of Nonlinear Uncertain Systems. John Wiley & Sons,1998.

745. Rae W.G. Fast Model Search Control Systems // Intern. Journ. of Contr. 1967. - № 6.

746. Rechenberg I. Cybernetic Solution Path of an Experimental Problem // Royal Aircraft Establishment. Library Translation No. 112, 1965.

747. Rechenberg I. Evolutionsstrategie'94. Stuttgart: Frommann-Holzboog, 1994.

748. Rechenberg I. Evolutionstrategie: Optimierung Technischer Systeme nach Prinzipien der Biologischen Evolution. Stuttgart: Frommann-Holzboog-Verlag, 1973.

749. Reeves C.R., Rowe J.E. Genetic Algorithms Principles and Perspectives A Guide to GA Theory. - Kluwer, 2002.

750. Revelle C., LoucksD.P., Lynn W.R. Linear Programming Applied to Water Quality Management // Water Resource Res. 1968. - V. 4. - P. 1-10.

751. Robers P.D. Interval Linear Programming / PhD Thesis. Dept. of Industrial Engineering and Management Sciences, Northwestern University, 1968.

752. Rockafellar R.T. Convex Analysis and Optimization. Pitman, Boston, 1982.

753. Roos K., Terlaky T., Vial J.-Ph. Theory and Algorithms of Linear Optimization: An Interior Point Approach. N.Y.: John Wiley & Sons, 1997.

754. Rudolf G. Parallel Approaches to Stochastic Global Optimization. Amsterdam: IOS Press, 1992.

755. Sánchez-Peña R.S., Sznaier M. Robust Systems Theory and Applications. -Wiley, Hardcover, 1998.

756. Schäfer W., Balzer D., Schneider A. Quasistabiliatät eine Modifikation des Stabilitätsberiffs von Ljapunow für Probleme der Prozeßsicherung // msr, Berlin 29. - 1986. - 6. - S. 242-245.

757. Schoeneburg E., Heinmann F., Feddersen S. Genetische Algorithmen und Evolutionsstrategien: Eine Einfuerung in Theorie und Praxis der Simulierten Evolution. Bonn, Paris, Mass.: Addison-Wesley, 1994. - 321 p.

758. Schwefel H.P. Evolution and Optimum Seeking. N.Y.: Wiley & Sons, 1995.

759. Schwefel H.P. Evolutionsstrategie und Numerische Optimierung / PhD Dissertation. Berlin, 1975. 371 p.

760. Schwefel H.-P. Numerische Optimierung von Computer-Modellen Mittels der Evolutionsstrategie. Basel: Birkhaeuser, 1977.

761. Schweppe F.C. Uncertain Dynamic Systems. N.Y.-London: Prentic-Hall, 1973. - 563 p.

762. Shor N.Z. Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems. Boston, Dordrecht, London: Kluwer Academic Publishers, 1998. - 412 p.

763. Shultz D.G. The Generation of Liapunov Functions N.Y.: Academic Press, 1965. - 64 p.

764. Soeterboek R. Predictive Control: a Unified Approach. Prentice Hall, 1992.

765. Spears W.M. The Role of Mutation and Recombination in Evolutionary Algorithms / PhD Thesis. George Mason University: Virginia, Fairfax, 1998. 240 p.

766. Spielman D.A., Teng S.-H. Why the Simplex Method Usually Takes Polynomial Time? // Proc. of the Thirty-Third Annual ACM Symp. on Theory of Computing, 2001.-P. 296-305.

767. Systems and Control Encyclopedia / M.G. Singh (Ed). V. 1-8. Pergamon1. Press, 1987.

768. Tabak D., Kuo B.C. Application of Mathematical Programming in the Design of Optimal Control Systems // Intern. Journ. of Control. 1969. - V. 10, № 5. -P. 548-552.

769. The Control Handbook / W.S. Levine (Ed). CDC Press, IEEE Press, 1996.

770. TormgH.C. Optimization of Discrete Control Systems Through Linear Programming // Journ. Franklin Inst. 1964. - V. 227, July.

771. Van Veldhuizen D.A. Multiobjective Evolutionary Algorithms: Classifications Analyses, and New Innovations / PhD Thesis. Graduate School of Engineering of the Air Force Institute of Technology. Air University, 1999.

772. Vanderbei R.J. Linear Programming: Foundations and Extensions. Netherlands, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

773. Waespy C.M. An Application of Linear Programming to Minimum Fuel Optimal Control: PhD Thesis. UCLA. Los Angeles, 1967.

774. Warga J. Minimax Problems and Unilqieral Curves in the Calculus of Variations // SIAM J. on Control. Ser. A. 1965. - V. 3. - № 1.

775. Whitley D. An Overview of Evolutionary Algorithms: Practical Issues and Common Pitfalls // Journ. of Inform, and Software Technology. 2001. - № 43. -P. 817-831.

776. Wilson S.W., Goldberg D.E. A Critical Review of Classifier Systems // Proc. of the Third Intern. Conf. on Genetic Algorithms. Los Altos, California: Morgan Kauftnann, 1989. - P. 244-255.

777. Wolpert D.H., Macready W.G. No Free Lunch Theorems for Optimization // IEEE Trans, on Evolutionary Computation. 1997. - V. 1(1). - P. 67-82.

778. Wright A.H. Genetic Algorithms for Real Parameter Optimization / R. Gregory (Ed). Foundations of Genetic Algorithms. San Mateo, California: Morgan Kaufmann Publishers, 1991. - P. 205-219.

779. Wright M.H. The Interior-Point Revolution in Optimization: History, Resent Developments and Lasting Consequences // Bulletin (New Series) of the American Math. Soc. 2004. - V. 42, № 1. - P. 39-56.

780. Ye Y. Interior Point Algorithms. Theory and Analysis. NJ: John Wiley &1. Sons, 1997.-480 p.

781. Yoshise A. An Optimization Method for Convex Programs Interior-Point Method and Analytical Center // Systems, Contr. and Inform. - 1994. - V. 38, № 3. -P. 155-160.

782. Zadeh L.A. What is Optimal? // IRE Trans, on Information Theory. 1958. -V. IT-4, № 1.

783. Zadeh L.A., Whalen B.H. On Optimal Control and Linear Programming // IRE Trans. Autom. Control. 1962. - V. AC-7, № 4. - P. 45-46.

784. Zangwill W.I. Nonlinear Programming via Penalty Functions // Management Science. 1967. - V. 13, № 5. - P. 344-358.

785. Ziebolz H. Anwendungsmöglichkeiten des Elektronischen «Predictor Prinzips on Regelstrecken und die Instrument-Anzeigen // Arrh. Techn. Messen. 1966. -№ 360.

786. Ziebolz H., Paynten H.M. Possibilities of a Two-Time Scale Computing System for Control and Simulation of Dynamic Systems / Proc. of-the National Electronics Conf. 1953. - V. 9. - P. 215-223.

787. Ziegler G.M. Lectures on Polytopes. V. 152 of Graduate Texts in Mathematics. N.Y.: Springer-Verlag, 1995. - 370 p.

788. Zurada J. Inroduction to Artificial Neural Systems. West Publishing Company, USA, 1992.